Conception d’un bélier hydraulique à moindre coût adapté

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

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ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE

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DEPARTEMENT HYDRAULIQUE

Mémoire de fin d’études en vue de l’obtention du diplôme de Master

Titre : Ingénieur

« Conception d’un bélier hydraulique à

moindre coût adapté aux petits villages »

Présenté par : RANDRIATSITOHAINA Njiva Nomenjanahary

Date de soutenance : 23 Décembre 2017

Promotion 2015

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

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ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE

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DEPARTEMENT HYDRAULIQUE

Mémoire de fin d’études en vue de l’obtention du diplôme de Master

Titre : Ingénieur

« Conception d’un bélier hydraulique à

moindre coût adapté aux petits villages »

Présenté par : RANDRIATSITOHAINA Njiva Nomenjanahary

Devant la commission d’examen composée de :

Président du Jury Monsieur RAKOTO David Rambinintsoa

Enseignant chercheur à l’Ecole Supérieure Polytechnique d’Antananarivo

Encadreur Monsieur RAMANARIVO Solofomampionona


Chef du Département Hydraulique

Rapporteur Monsieur RAMANARIVO Nary Solofoniaina

Project Officer à WaterAid Madagascar

Examinateurs Monsieur RANDRIANARIVONY Charles


Monsieur RANDRIAMAHERISOA Alain


Promotion 2015

i

Remerciements

A l’issu de l’aboutissement de ce mémoire, je ne saurais exprimer ma reconnaissance et

ma gratitude dans la mesure où cet ouvrage est le fruit de l’association des efforts de tout un

bon monde.

Ce mémoire est le résultat des mois de recherches qui seraient vains sans la bénédiction

et la grâce de Notre Seigneur.

Pour commencer, je souhaite exprimer mes plus vifs remerciements à l’encontre de

Monsieur ANDRIANAHARISON Yvon, Directeur de l’Ecole Supérieure Polytechnique

d’Antananarivo, qui a donné son accord pour la réalisation de cette soutenance.

Je tiens également à remercier Monsieur RAMANARIVO Solofomampionona,

Enseignant chercheur et Chef de département Hydraulique, qui malgré ses lourdes

responsabilités, m’a fait l’honneur d’être l’encadreur de ce mémoire.

De même pour Monsieur RAKOTO David, Enseignant chercheur à l’ESPA, ma

reconnaissance, lui qui a consenti à présider le Jury de ce mémoire.

Puisse Messieurs RANDRIANARIVONY Charles et, RANDRIAMAHERISOA Alain

Enseignants chercheurs à l’ESPA, trouver ici l’expression de mes sentiments les plus

distingués. De bonne volonté, ils ont accepté d’examiner et d’évaluer ce mémoire.

Mes vifs remerciements vont à l’endroit de Monsieur RAMANARIVO Nary

Solofoniaina, mon encadreur professionnel, pour m’avoir délivrée son aide et ses précieux

conseils qui ont été des déterminants majeurs dans la concrétisation de ce mémoire.

Enfin, j’adresse mes sincères remerciements à ma famille : mes parents, ma petite sœur

et tous mes proches et mes amis, qui m’ont soutenu, aidé, accompagné et encouragé tout au

long de l’accomplissement de ce mémoire.

ii

DECLARATION SUR L’HONNEUR

Je, soussignée, RANDRIATSITOHAINA Njiva Nomenjanahary, auteur de ce mémoire intitulé

: « Conception d’un bélier hydraulique à moindre coût adapté aux petits villages de

Madagascar » déclare sur l’honneur que :

- Ce document est le résultat de mes travaux de recherches personnelles, travaux qui n’ont

pas été publiés.

- Dans cet écrit, je n’ai ni copié, ni reproduit les œuvres d’autrui.

- Que conformément à l’usage en matière de travaux destinés au public, j’ai précisé à

partir de la bibliographie les sources exactes des extraits et des documents exploités.

Fait à Antananarivo, le

RANDRIATSITOHAINA Njiva Nomenjanahary

iii

Sommaire

PARTIE I : GENERALITES SUR LES MACHINES ELEVATOIRES ET

JUSTIFICATION DU CHOIX DU BELIER HYDRAULIQUE ....................................................... 2 Les différents types de pompe de relevage d’eau ....................................................... 2

PARTIE II : ETUDE THEORIQUE DU FONCTIONNEMENT DU BELIER

HYDRAULIQUE ................................................................................................................................. 27 Le phénomène du coup de bélier ................................................................................ 27 Etude théorique du bélier hydraulique ..................................................................... 37 Les recommandations pour la construction et l’installation du bélier

hydraulique ........................................................................................................................................... 74 PARTIE III : CONCEPTION D’UN NOUVEAU MODELE DE BELIER

HYDRAULIQUE ................................................................................................................................. 80 Dimensionnement du bélier hydraulique .................................................................. 80 Choix et mode d’assemblages des pièces ................................................................... 87 Essais et mesures ......................................................................................................... 92 Etude économique et financière ................................................................................. 95 Opérationnalisation et maintenance du bélier hydraulique conçu ....................... 109

iv

Liste des tableaux

Tableau 1.01: Type de courant en fonction de la puissance des moteurs ............................... 16 Tableau 1.02: Comparaison du bélier par rapport à d’autres technologies ............................. 23 Tableau 1.03: Coût d’investissement par kW des différents pompages d’eau ....................... 24

Tableau 1.04: Coût d’investissement par habitant selon la technologie d’AEP employée .... 25 Tableau 2.01: Résumé des quatre phases de coup de bélier ................................................... 32 Tableau 3.01: Tableau de récapitulation des formules des phases du bélier .......................... 67 Tableau 7.01: Résultats du premier essai ................................................................................ 92 Tableau 7.02: Résultats du troisième essai ............................................................................. 93

Tableau 7.03: Résultats du quatrième essai ............................................................................ 94 Tableau 8.01: Coût des pièces constituants le bélier hydraulique .......................................... 95 Tableau 8.02: Coût des mains d’œuvres effectuées lors de la conception .............................. 96 Tableau 8.03: Coûts des pièces du bélier hydraulique à Antaninandro ................................ 108 Tableau 8.04: Comparaison des deux béliers hydrauliques .................................................. 108

Tableau 9.01: Coût annuel de maintenance du bélier hydraulique conçu ............................ 111

v

Liste des figures

Figure 1.01 : Turbopompe et ses composantes ...................................................................... 3 Figure 1.02 : Différents types de turbopompes ...................................................................... 3 Figure 1.03 : Pompes volumétriques ...................................................................................... 5

Figure 1.04 : Pompe à balancier à simple effet ...................................................................... 6 Figure 1.05 : Pompe à cylindre horizontal à double effet ...................................................... 6 Figure 1.06 : Pompe à piston immergé .................................................................................. 7 Figure 1.07 : Hydro-pompe de VERGNET-MENGIN .......................................................... 7 Figure 1.08 : Pompe à vis ....................................................................................................... 8

Figure 1.09 : Pompe à engrenage ........................................................................................... 8 Figure 1.10 : Pompe à plateau excentrique ............................................................................ 9 Figure 1.11 : Courbe caractéristique d’une pompe .............................................................. 10 Figure 1.12 : Courbe de rendement en fonction du débit ..................................................... 11 Figure 1.13 : Point de fonctionnement d’une pompe ........................................................... 12

Figure 1.14 : Principe de fonctionnement de l'entrainement direct ..................................... 13

Figure 1.15 : Installation d'une pompe à bras ...................................................................... 13

Figure 1.16 : Pompe à pédale modèle VERGNET HPV-60 ................................................ 14 Figure 1.17 : Schéma de l'installation du bélier hydraulique ............................................... 17 Figure 2.01 : Pression dans la moitié d’une conduite .......................................................... 28 Figure 2.02 : Ecoulement dans une conduite terminée par une vanne ................................. 30

Figure 2.03 : Tranche d’une conduite .................................................................................. 32 Figure 2.04 : Coup de bélier pour une fermeture lente ........................................................ 36

Figure 3.01 : Relation de la vitesse au niveau du clapet anti-retour avec le temps durant les

phases 2 et 3 46 Figure 3.02 : Mise en eau de la conduite par la colonne motrice constante h ..................... 54

Figure 3.03 : Mouvement de l'eau dans la conduite de refoulement .................................... 56 Figure 3.04 : Mise en vitesse de l’eau dans une conduite .................................................... 62

Figure 3.05 : Courbe de rendement en fonction de m .......................................................... 66

Figure 6.01 : Bélier hydraulique conçu ................................................................................ 89

Figure 6.02 : Crépine non modifiée ..................................................................................... 90 Figure 6.03 : Colle PVC ....................................................................................................... 90 Figure 6.04 : Crépine modifiée ............................................................................................ 90

Figure 6.05 : Corps du clapet de choc .................................................................................. 91 Figure 8.01 : Régulateur de debit ......................................................................................... 97

Figure 8.02 : Bassin de retenu .............................................................................................. 98 Figure 8.03 : Crépine dans le collecteur ............................................................................... 98 Figure 8.04 : Raccord à embout cannelé laiton 40 femelle 40/49 ...................................... 100

Figure 8.05 : Crépine de puits ............................................................................................ 100 Figure 8.06 : Bélier installé à Antaninandro ...................................................................... 100

Figure 8.07 : Corps de la pompe ........................................................................................ 102 Figure 8.08 : Conduite de refoulement .............................................................................. 102 Figure 8.09 : Représentation schématique du filtre biosable à Antaninandro ................... 107

vi

Liste des abréviations

AEPG : Adduction d'Eau Potable Gravitaire

AFNOR : Association Française de Normalisation

ESPA : Ecole Supérieure Polytechnique d’Antananarivo

EDM : Électricité De Madagascar

ONG : Organisation Non Gouvernementale

PEHD : Polyéthylène Haute Densité

PVC : Polychlorure de Vinyle (Polyvinylchloride)

SAF/ FJKM : Sampan’Asa momba ny Fampandrosoana/ Fiangonan'i Jesoa Kristy Eto

Madagasikara

vii

Liste des grandeurs physiques :

𝛂 : Accélération de la colonne d’eau dans le tuyau de batterie au début de la

phase 1

𝐉 : Accélération du clapet de choc

𝐠 : Accélération de la pesanteur

z : Altitude

Ar : Ariary

HI : Charge hydraulique en point I

𝛘 : Coefficient de compressibilité de l’eau

𝛆 : Coefficient d’élasticité de l’eau

𝐤" : Coefficient de perte de charge singulière du clapet de refoulement

𝐛 : Coefficient de perte de charge singulière au niveau du tuyau de batterie

C : Coefficient de perte de charge singulière au niveau du clapet de choc

𝛌 : Coefficient de perte de charge linéaire au niveau de la conduite de batterie

𝐛′ : Coefficient de perte de charge singulière de la conduite de refoulement

𝛌′ : Coefficient de perte de charge linéaire de la conduite de refoulement

𝛔′ : Coefficient de Poisson

𝐖 : Coefficient d'instantanéité de fermeture du clapet de choc

K : Coefficient de raideur du joint du clapet de choc

𝛔 : Contrainte appliquée sur la paroi du tuyau

𝐞𝟎 : Course du clapet de choc

𝐐𝐩 : Débit d’eau pompé dans le réservoir d’air

Qm : Débit massique

𝐪𝐦 : Débit moteur

𝐐𝐀 : Débit moyen absorbé

𝐐𝐄 : Débit moyen éjecté

𝐐𝐑 : Débit moyen refoulé

𝐪𝐮 : Débit utile

𝐭𝟎 : Début de la fermeture du clapet de choc

𝐝′ : Diamètre de la conduite de refoulement

D : Diamètre de la conduite motrice

𝐭𝐜𝐲𝐜𝐥𝐞 : Durée d'un cycle

E : Epaisseur du tuyau

𝐅𝐡 : Force de quantité de mouvement

Fp : Force de pression

𝐅𝐈 : Force en un point I

𝐅𝟎 : Force de résistance du clapet de choc à sa fermeture

h : Hauteur de chute

𝐇𝐠é𝐨𝐦 : Hauteur géométrique

𝐇𝐌𝐓 : Hauteur manométrique totale

𝐇𝐦𝐚𝐱 : Hauteur maximale

𝐇 : Hauteur de refoulement

h/j : Homme jour

kW : Kilowatt

𝐋′ : Longueur de la conduite de refoulement

L : Longueur de la conduite de batterie

viii

Mopt : Masse optimale à ajouter

𝛒 : Masse volumique de l’eau

M : Mètre

mm : Millimètre

E : Module d'Young ou module d'élasticité longitudinale de la paroi de la

conduite

𝐄𝐯 : Module de rigidité moyenne du disque de la soupape de choc

N.P.S.H : Net Positive Suction Head

𝐍 : Nombre entier d'ondes allé et retour durant les phases 2 et 3

Part : Particulier

Δv : Perte moyenne de vitesse v à chaque réflexion de l'onde

∆𝐯𝟏 : Perte de vitesse correspondant à Δh′

𝐉𝐫𝐞𝐟 : Perte de charge dans la conduite de refoulement

𝐉𝐚𝐬𝐩 : Perte de charge dans la conduite d’aspiration

𝛚 : Poids volumique de l’eau

𝐩𝐚𝐭𝐦 : Pression atmosphérique

𝐏𝐑 (𝟕) : Pression d'air comprimé en fin de phase 7

𝐏𝐑 : Pression de refoulement

P : Pression hydrostatique

𝐩𝟎 : Pression hydrostatique initiale de l’eau

PL : Pression limite

𝐏𝐔 : Puissance utile

∆W : Quantité d’eau emmagasinée

𝐦 : Rapport de v0/vm

𝐘 : Ratio de la variation de pression pour la variation de volume d’eau

𝐑𝐫 : Ratio de montée de pression du réservoir d’air

Rc : Ratio de sensibilité de la cloche

𝛈 : Rendement global ou rendement de Rankine

𝐒 : Section de la conduite de batterie

𝐒𝐜 : Section droite de l'obturateur du clapet de choc

𝐒𝐢 : Section intérieure de ce réservoir d’air

∆𝐩𝐢 : Surpression pendant la phase i

∆𝐡 : Surpression correspondant à Δv

∆𝐡𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 : Surpression totale

∆𝐡𝐦𝐚𝐱 : Surpression maximale

𝚫𝐡′ : Surpression correspondant à la première onde

∆𝐡" : Surpression de la deuxième onde

𝐭𝐟 : Temps de fermeture de la vanne

𝐭𝐢 : Temps écoulé pendant la phase i

𝐭𝐦 : Temps où le régime permanent est atteint

𝐖𝐈 : Travail en un point I

U : Unité

𝐯𝐢 : Vitesse de l’eau à la fin de la phase i

𝐚 : Vitesse de propagation ou célérité de l’onde

𝐯𝐦 : Vitesse en régime permanent

𝐯𝟎 : Vitesse du commencement de la fermeture de la soupape de choc

v0 opt : Vitesse optimale de l’eau dans la conduite de batterie

ix

𝐕𝐢 : Volume d’eau véhiculé pendant la phase i

V : Volt

𝐕𝐚𝐢𝐫(𝟕) : Volume d'air comprimé en fin de phase 7

𝐕𝐚𝐢𝐫(𝐚𝐭𝐦) : Volume d’air à la pression atmosphérique

𝐕𝐑 : Volume d’eau refoulé

Introduction

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1ESPA / Département Hydraulique

Introduction

Madagascar est un pays avec un vaste potentiel en ressource en eau. La grande île

dispose de plus de dix grands fleuves couvrant presque la totalité de sa superficie et plusieurs

milliers de rivières et de ruisseaux. A ce jour, ces derniers restent encore sous exploités pour

l’adduction d’eau potable du fait de leur qualité brute et du besoin de pompage qui nécessitent,

à eux deux, un coût d’investissement et un coût de fonctionnement exorbitants. De ce fait, rares

sont les organismes, qui œuvrent dans l’adduction d’eau potable, qui veulent les exploiter.

Pourtant, plusieurs solutions technologiques peuvent remédier aux problèmes du coût de

pompage. L’une d’entre elles est l’utilisation de bélier hydraulique n’occasionnant presque

aucun coût d’opérationnalisation. Cependant, peu d’organisme l’exploite du fait de son coût

d’investissement relativement important par rapport aux nombres de bénéficiaires desservis. De

plus, le rendement entre l’« eau exploitée » et l’ « eau utilisable » est faible. Ce qui accentue

cette réticence à son utilisation.

WaterAid Madagascar a pour mission de « transformer la vie des plus pauvres et des

plus marginalisés en améliorant l’accès à l’eau potable, à l’assainissement et à l’hygiène », dont

l’une des valeurs préconisées est l’innovation. Cette organisation non gouvernementale, dans

son objectif stratégique n°01, souhaite « développer des modèles inclusifs, durables et

reproductibles, mis en œuvre et élargis grâce à la collaboration des acteurs clés ». Dans ce cadre,

elle promeut l’utilisation des autres alternatives technologiques pour l’adduction d’eau potable

pouvant être mis en échelle dans ses activités afin de contribuer à l’accès d’eau potable à 100%

pour Madagascar avant 2030. En collaboration avec l’ESPA, un des acteurs clés du secteur eau

potable, WaterAid a accordé son soutien tout au long de cette recherche, consistant à la

réalisation d’une conception d’un nouveau modèle de bélier hydraulique adapté aux petits

villages de Madagascar.

Il existe déjà plusieurs types de bélier hydraulique à Madagascar conçu par plusieurs

entités (ONG TARATRA, SAF/FJKM, Conception de Jean David Rakotomanalina à

Ankazobe, département physique de l’Université d’Antananarivo…) mais dont la vulgarisation

reste moindre pour les raisons déjà citées ci-dessus. Nous voulons contribuer, dans ce mémoire

de fin d’étude à trouver un type de bélier qui pourrait remédier à cela, autrement dit, avec un

coût moins élevé tout en ayant un rendement optimal.

Pour cela, le plan adopté sera :

- Dans la première partie, il s’agit de la justification de l’utilisation du bélier hydraulique

à Madagascar ;

- La deuxième partie portera sur l’étude théorique du fonctionnement du bélier

hydraulique ;

- La dernière partie s’intéressera à la conception d’un nouveau modèle de bélier

hydraulique plus économique.

PARTIE I :

GENERALITES SUR LES

MACHINES

ELEVATOIRES ET

JUSTIFICATION DU

CHOIX DU BELIER

HYDRAULIQUE

Partie I : Généralités sur les machines élévatoires et justification du choix du bélier hydraulique

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2 ESPA / Département Hydraulique

Les différents types de pompe de relevage d’eau

Actuellement, l’adduction d’eau potable gravitaire reste la solution la plus économique

pour approvisionner en eau les zones rurales Malagasy. Cependant, cette technologie n’est pas

adaptée pour les régions proches des côtes avec une faible déclivité. De plus, même pour les zones

des hautes terres, elle n’assure aucunement l’approvisionnement en eau de tous les villages. En

effet, malgré la disponibilité des ressources en eau exploitable, quelques villages situés à des

altitudes plus élevées que les ressources restent difficiles à approvisionner en eau. Soit il faudrait

mettre en place d’autres AEPG avec une source plus éloignée, économiquement très élevés, soit

utiliser des pompes de refoulement, ou un bélier hydraulique.

1.1 Généralités sur les pompes de refoulement

1.1.1 Définition

Une pompe hydraulique est une machine destinée à accroître l’énergie d’un liquide en

vue de provoquer son élévation de pression et son déplacement dans un circuit.

Suivant les conditions d’utilisation, ces machines communiquent au fluide, soit de l’énergie

potentielle (par accroissement de la pression en aval) soit de l’énergie cinétique par la mise en

mouvement du fluide.

1.1.2 Liste non exhaustive des types de pompe de refoulement

Il existe un très grand nombre de types de pompe. Ces derniers peuvent cependant être, tous,

rattachés à deux grandes catégories qui sont :

- Les turbopompes ou rotodynamiques ;

- Les pompes volumétriques.

1.1.2.1 Les turbopompes

Définition :

Ce sont des pompes dont le fonctionnement est basé sur le principe du passage continu du liquide

et de la transformation de l’énergie par différence de pression dans les éléments de la roue. Ces

pompes donnent des débits qui varient en raison inverse des hauteurs de refoulement.

Constitution :

Elles sont essentiellement constituées d’une pièce en rotation « le rotor », appelée aussi roue ou

hélice. Cette dernière tourne dans un carter appelé corps de pompe ou volute.

Ces machines comprennent :

- Un distributeur dans l'axe de la roue (arrivée du liquide) ;

- Un impulseur ou l’ouïe d’aspiration ;

- Une roue à aubes tournant autour de son axe ;

- Un corps de la pompe ou volute ;

- Une ouïe de refoulement.


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1- Un impulseur

2- Un corps de la pompe ou

volute

3- Sens de rotation de

l’impulseur

4- Bride de refoulement

Figure 1.01 : Turbopompe et ses composantes

Principe de fonctionnement des pompes centrifuges :

L’eau introduite par l’orifice d’aspiration arrive au centre des corps de pompe. Elle est entraînée

en rotation par les aubes de la roue tournant à grande vitesse. La force centrifuge projette l’eau à

la périphérie du corps de pompe d’où elle s’échappe par l’orifice de refoulement.

Plus précisément, le rotor transforme l’énergie mécanique appliquée à l’arbre de la machine en

énergie cinétique. A la sortie du rotor, le fluide se trouve projeté dans la volute qui le ramènera

ensuite dans la section de sortie. La section offerte au liquide étant de plus en plus grande, son

énergie cinétique se transforme alors en énergie de pression.

Le vide partiel ainsi crée à l’aspiration, assure l’arrivée continue de l’eau, sous la pression

atmosphérique. La hauteur de refoulement est en fonction de la vitesse de l’eau à la sortie de la

pompe. Cette vitesse est en fonction du diamètre et du nombre de tours par minute du rotor.

Différents montages des turbopompes :

Il existe deux types de montage possibles :

- en aspiration ;

- en charge.

Les différents types de turbopompes :

Suivant le type de rotor ainsi que son mode d'action il faut distinguer dans la catégorie des

turbopompes :

- Les pompes centrifuges,

- Les pompes hélices,

- Les pompes hélico-centrifuges.

Roue radiale (centrifuge)

Roue semi-radiale (hélico-

centrifuge)

Roue axiale (hélice)

Figure 1.02 : Différents types de turbopompes


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Il existe d'autres classifications des turbopompes, reposant sur les critères suivants :

- Disposition de l'axe (horizontale, verticale, inclinée) ;

- Nombre de rotors (monocellulaire, multicellulaire) ;

- Importance de la pression produite (basse, moyenne, haute) ;

- Utilisation (irrigation, eaux chargées, forages).

Pompes à hélices : Elles comportent un seul rotor en forme d’une hélice de bateau. Les pâles

d’hélices produisent un flux axial.

Leur emploi est généralement limité à de très grands débits à faibles hauteurs.

Pompes centrifuges et hélico-centrifuges : Ce sont des pompes dans lesquelles l’accroissement

d’énergie est obtenu par le passage du liquide dans une roue constituée par un ensemble d’aubes.

Dans ces pompes, l’écoulement moyen se fait en s’écartant de l’axe de la roue vers sa périphérie :

- De façon radiale dans les pompes centrifuges ;

- De façon semi-axiale dans les pompes hélico-centrifuges.

Avantages et inconvénients des turbopompes :

Les avantages :

Pour les avantages, ce sont des machines de construction simple, sans clapet ou soupape,

d’utilisation facile et peu coûteuse.

- Coût de la maintenance faible ;

- Matériaux de construction très variés (fluide corrosif possible) ;

- A caractéristiques égales, elles sont plus compactes que les machines volumétriques et peu

encombrantes ;

- Le rendement est souvent meilleur par rapport aux pompes volumétriques ;

- Le débit est régulier et le fonctionnement silencieux ;

- En cas de dysfonctionnement du circuit de refoulement (colmatage), la pompe ne subit

aucun dommage et l’installation ne risque pas d’éclater.

Les inconvénients :

Du côté des inconvénients :

- La pompe n’est pas auto-amorçante ;

- Il est impossible de pomper des fluides trop visqueux ;

- A l’arrêt ces pompes ne s’opposent pas à l’écoulement du liquide par gravité (donc vannes

à prévoir…)

1.1.2.2 Les pompes volumétriques :

Définition :

Selon l’AFNOR, les pompes volumétriques sont des pompes dans lesquelles l’accroissement

d’énergie est obtenu dans des chambres dont le volume augmente (phase d’aspiration) puis

diminue (phase de refoulement) de telle sorte que l’écoulement procède par volume engendré

successif.

Les pompes volumétriques donnent un volume constant à n’importe quelle hauteur de refoulement.


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Pompe aspirante Pompe aspirante et élévatoire Pompe aspirante foulante

Figure 1.03 : Pompes volumétriques

Principe de fonctionnement d’une pompe volumétrique

Un volume de fluide emprisonné dans un espace donné est contraint à se déplacer de l’entrée vers

la sortie de la pompe par un système mécanique. Ce volume prélevé, dans la conduite d’aspiration,

engendre une dépression qui fait avancer le fluide vers la pompe par aspiration. Cet effet permet

aux pompes volumétriques d’être auto-amorçante.

Par contre, si le volume aspiré ne peut s’évacuer dans la canalisation de sortie (vanne fermée, ou

canalisation obstruée) l’augmentation de la pression aboutirait, soit à l’éclatement de la conduite,

soit au blocage du moteur d’entraînement de la pompe. C’est pourquoi, une soupape de sûreté doit

être impérativement montée à la sortie de la pompe.

Les différents types de pompes volumétriques

Nous distinguons généralement :

- Les pompes alternatives ;

- Les pompes rotatives.

Les pompes alternatives : Ce sont des pompes volumétriques à travers lesquelles la

variation de volume des chambres est obtenue par un mouvement alternatif d’un organe

d’impulsion.

Les pompes alternatives se décomposent en deux catégories suivant leur utilisation et leur

profondeur d’aspiration : corps de pompe en surface ou immergé. Si la profondeur d’aspiration est

supérieure à 7m, la partie hydraulique de la pompe doit être descendue dans le liquide à refouler.

Corps de pompe en surface :

Ces pompes sont représentées essentiellement par les pompes à piston dont le principe de

fonctionnement est le suivant : le système se compose d’un corps de pompe cylindrique dans lequel

se meut un piston produisant l’aspiration ou le refoulement selon qu’il agrandit ou qu’il diminue

la capacité du corps de pompe. Le piston est manœuvré par une tige animée d’un mouvement

alternatif produit par un vilebrequin, une manivelle ou un excentrique, actionnées manuellement

ou mécaniquement.


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Quelques exemples de pompes volumétriques alternatives :

Pompe à balancier à simple effet :

Figure 1.04 : Pompe à balancier à simple effet

Pompe à cylindre horizontal à double effet

Figure 1.05 : Pompe à cylindre horizontal à double effet

Corps de pompe immergé :

Voici quelques exemples de pompe alternative immergée :

Pompe à piston : Le piston est actionné par une tringle de manœuvre entraînée depuis la surface

par un balancier ou un volant à manivelle ou excentrique. Il n’y a, théoriquement, pas de limite

de profondeur pour leur utilisation mais les débits deviennent de plus en plus faibles.


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Figure 1.06 : Pompe à piston immergé

Pompe à diaphragme ou à membrane :

L’exemple le plus connu est fourni par l’hydro-pompe de VERGNET-MENGIN. Un manchon

flexible à diaphragme est placé à l’intérieur d’un cylindre rigide placé dans le puits. L’utilisation

d’un système pilote hydraulique actionnée par une pédale à pied permet au manchon flexible de

se tendre et de se contracter alternativement, poussant ainsi l’eau du cylindre rigide vers la surface.

Figure 1.07 : Hydro-pompe de VERGNET-MENGIN


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Fonctionnement :

Aspiration : Quand la pédale remonte, le manchon se rétracte. L’eau est ainsi aspirée dans le corps

de pompe en acier inoxydable.

Refoulement : Quand la pédale descende, on exerce une pression hydraulique en circuit fermé sur

le manchon élastique qui se dilate et refoule l’eau vers la surface.

Les pompes rotatives : Ce sont des pompes dans lesquelles les volumes engendrés sont

créés par un ensemble d’organes animés d’un mouvement rotatif continu.

Corps de pompe immergé :

La pompe rotative hélicoïdale consiste en un rotor hélicoïdal à filetage simple tournant dans un

stator hélicoïdal à filetage double. Les surfaces hélicoïdales engrenées poussent le liquide vers le

haut.

Ce type de pompe est conçu pour être actionné à la main pour des forages de diamètre de 75mm.

Corps de pompe en surface :

Ce type de pompe n’est pas très utilisé pour l’alimentation en eau potable. Cependant, quelques

exemples restent les plus utilisés :

Pompes à vis : C’est une pompe volumétrique rotative dans laquelle les volumes sont engendrés

par la rotation d’une ou plusieurs vis dans un corps, le liquide s’écoulant axialement.

Figure 1.08 : Pompe à vis

Pompes à engrenages : Ce sont des pompes dans lesquelles las volumes sont engendrés par les

dentures de plusieurs engrenages en rotation dans un corps.

Figure 1.09 : Pompe à engrenage


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Pompes à plateau excentrique : Ce sont des pompes dans lesquelles les volumes sont engendrés

par le déplacement d’un plateau entraîné par un excentrique, ce plateau restant tangent à la surface

intérieure du corps de la pompe.

Figure 1.10 : Pompe à plateau excentrique

Avantages et inconvénients des pompes volumétriques :

Les avantages des pompes volumétriques :

- Construction robuste ;

- Pompage possible de liquide très visqueux ;

- Rendement élevé ;

- Amorçage automatique en fonctionnement normal ;

- Obtention de faibles débits facile à mesurer sous pression élevée (pompes doseuses

alimentaires)

Les inconvénients de ces pompes sont :

- Appareils plus lourds et plus encombrants ;

- Débit pulsé nécessitant l’installation d’appareils spéciaux (anti coup de bélier) ;

- Impossibilité d’obtenir de gros débits sous faible pression ;

- Danger de surpression dans le circuit de refoulement. D’où la présence indispensable de

sécurités (by-pass et soupape de sûreté) ;

- N.P.S.H requis élevé ;

- Impossibilité en général de pomper des liquides chargés ;

- Coût d’achat plus élevé ;

- Frais d’entretien plus élevés.

1.1.3 Les caractéristiques générales d’une pompe

1.1.3.1 La hauteur manométrique totale :

La hauteur manométrique totale d’une pompe est la différence de pression en mètre de colonne de

liquide entre les orifices d’aspiration et de refoulement.

Lors du pompage d'un liquide, la pompe ne doit pas seulement fournir une pression équivalente à

la hauteur géométrique d'élévation totale. Elle doit également fournir la pression nécessaire pour

vaincre les pertes de charge dans les conduites d'aspiration et de refoulement ainsi que les

accessoires qu’elle comporte. Si les niveaux à l'aspiration et au refoulement sont à la même

pression, comme la pression atmosphérique, nous avons :

HMT = Hgéom + Jasp + Jref

(1.01)


----------------------


HMT : Hauteur manométrique totale ;

Hgéom : Hauteur géométrique ;

Jasp : Perte de charge dans la conduite d’aspiration ;

Jref : Perte de charge dans la conduite de refoulement.

1.1.3.2 Les courbes caractéristiques d’une pompe :

Les courbes principales qui caractérisent une pompe sont au nombre de trois :

La courbe débit-hauteur :

Elle présente les variations de la hauteur manométrique totale d'élévation susceptible d'être fournie

par la pompe en fonction du débit Q. Ces courbes sont sensiblement des paraboles.

Deux points particuliers sont à considérer :

- Le point nominal, correspondant au point de calcul, et pour lequel le rendement passe par

un maximum ;

- Le point à débit nul qui fixe la forme de la courbe.

Débit volumique

( Qv en m3/h )

Pression

(Hmt en mCE)

Débit fortDébit faible

Pression

faible

Pression

forte COURBE DE POMPE

Figure 1.11 : Courbe caractéristique d’une pompe

La courbe de rendement :

La courbe de rendement d’allure parabolique passe par l’origine O et par un maximum pour le

débit nominal de la pompe. Les meilleures pompes centrifuges ont des rendements de 0,80 à 0,85.

η =puissance utile

puissance absorbée de la pompe

(1.02)


----------------------


Figure 1.12 : Courbe de rendement en fonction du débit

La courbe de puissance :

La courbe de puissance absorbée par la pompe est aussi d’allure parabolique. Elle passe par un

maximum pour un débit dont la position par rapport au débit nominal est liée à la courbe

caractéristique.

1.1.3.3 La courbe de NPSH :

La courbe de NPSH requis, d’allure parabolique représente, en fonction du débit et pour une vitesse

de rotation donnée, l’abaissement de la ligne de charge entre la bride d’aspiration de la pompe et

le point dans la pompe pour lequel la pression absolue passe par un minimum.

Le NPSH disponible doit être toujours supérieur au NPSH requis.

1.1.3.4 Le point de fonctionnement d’une pompe :

Il est essentiel pour une pompe donnée de connaitre son point de fonctionnement. La perte de

charge totale d'une conduite, en fonction du débit du liquide, peut être portée sur un graphique. La

courbe ainsi obtenue est appelée « courbe caractéristique de la conduite ». Puisque la perte de

charge est proportionnelle au carré du débit, la courbe sera une parabole. Dans un tel graphique,

on peut également représenter la hauteur géométrique d'élévation en fonction du débit. Ce qui

permet de déterminer d'une façon simple, pour chaque débit, la somme de Hgéom et J.

Ces courbes sont ensuite représentées en même temps que la courbe caractéristique Q-H d’une

pompe. Au point d’intersection, la hauteur manométrique de la pompe sera égale à la somme de

la hauteur géométrique totale et de la perte de charge totale dans les conduites. Ce point

d'intersection est de ce fait le point de fonctionnement de la pompe.


----------------------


Pression

(Hmt en mCE)

Point de fonctionnement

Courbe de réseau

Courbe de pompe

Débit volumique

( Qv en m3/h )

Figure 1.13 : Point de fonctionnement d’une pompe

1.2 Les différentes énergies utilisées pour les différentes pompes de relevage d’eau

1.2.1 Une pompe à motricité humaine

1.2.1.1 Définition :

Par définition, l’homme actionne les pompes. Celles à motricité humaine constituent un des

systèmes les plus accessibles pour accéder à l’eau en sous-sol.

Elle demande un homme ou une femme de l’actionner pour la faire fonctionner.

1.2.1.2 Différents types de mécanisme :

Il existe, pour ce faire, différents types de mécanisme : l’entraînement direct, l’entraînement par

levier ou pédale et l’entraînement par roue.

L’entraînement direct :

C’est un mécanisme qui permet, au maximum, de pomper de l’eau à une profondeur de 15 mètres.

Au-delà de cette profondeur, la force requise par l’utilisateur pour soulever l’eau et la tige

d’entraînement sont trop grandes. L’eau ne peut pas être pompée. Il faudra alors utiliser un

mécanisme d’entraînement indirect utilisant le principe du bras de levier.


----------------------


Figure 1.14 : Principe de fonctionnement de l'entrainement direct

L’entraînement par levier ou pédale :

L’entraînement par bras ou pédale se fait sur le même principe que l’entraînement direct.

Cependant nous devons ajouter un bras de levier pour augmenter la force disponible. Cela

permettra d’atteindre de plus grandes profondeurs qu’avec l’entraînement direct. L’entraînement

par pédale permet de bénéficier d’une force de gravité pour appuyer sur la pédale. Il sera donc

légèrement moins fatigant.

Figure 1.15 : Installation d'une pompe à bras


----------------------


Figure 1.16 : Pompe à pédale modèle VERGNET HPV-60

L’entraînement par roue :

Il s’agit d’un principe que l’on trouve dans les moteurs de voiture, de moto, ou des machines à

vapeurs. C’est la rotation de la roue, entraînée par la manivelle, qui va engendrer un mouvement

de bas en haut du piston.

1.2.2 Une pompe solaire

1.2.2.1 Définition

Il y a deux techniques principales de transformation de l'énergie solaire en énergie motrice pour la

mise en marche des pompes. La première est celle utilisée dans les systèmes solaires

thermodynamiques. Elle consiste à utiliser le rayonnement du soleil pour la mise en marche d'un

moteur (machine à vapeur ou moteur à cycle Stirling).

Tandis que la deuxième est celle adoptée dans les systèmes solaires photovoltaïques qui consiste

à utiliser les cellules photoélectriques pour transformer directement le rayonnement solaire en

électricité nécessaire pour l'alimentation des pompes.

1.2.2.2 Principe de fonctionnement

Système thermodynamique :

Le principe consiste à utiliser la chaleur émise par le soleil comme source chaude et l’eau pompée

comme source froide. Un fluide spécial : butane ou fréon, réchauffé par l’eau, transforme cette

énergie calorifique en énergie mécanique ou électrique à basse température : évaporation, détente,

condensation ou réinjection.

Le pompage peut être assuré :

- Par une hydropompe, directement actionnée par l’arbre moteur à piston ;

- Par une pompe immergée électrique.

Système d’énergie photovoltaïque :


----------------------


Il consiste à capter l’énergie solaire via des panneaux photovoltaïques afin de produire de

l’électricité. Celle-ci qui va ensuite alimenter une pompe électrique, permettant d’assurer le

pompage de l’eau.

Le plus souvent utilisée dans les zones rurales non desservies par le réseau électrique, l’énergie

solaire est depuis plusieurs années choisie comme une alternative à l’énergie « thermique »

(produite au moyen d’un groupe électrogène) pour faire fonctionner les systèmes de pompage.

Un système de pompage photovoltaïque est composé :

- D’un générateur avec des modules photovoltaïques, interconnectés électriquement pour

constituer une unité de production de courant continu ;

- D’une unité de conditionnement de puissance, constituée d’un convertisseur, capable de

faire varier la fréquence et la tension de sortie en fonction de la puissance disponible du

générateur solaire, elle-même fonction de l’irradiation solaire qu’il reçoit ;

- D’un groupe électropompe immergé, composé d’un moteur électrique à induction et d’une

pompe centrifuge ou volumétrique ;

- D’un câblage électrique, à travers lequel transitent l’énergie du générateur au moteur et les

informations relatives aux contrôles de sécurité ;

- D’une infrastructure hydraulique qui conduit l’eau de sa source (souvent un puits ou un

forage) vers un réservoir de stockage.

1.2.3 Une pompe éolienne

1.2.3.1 Généralité :

L’énergie éolienne a été toujours utilisée par les pays africains. Il faut bien préciser qu’avant toute

installation d’éolienne, il faut établir une étude précise de la répartition dans le temps de la vitesse

du vent : les données permettront de calculer l’énergie disponible.

Elles peuvent être classées comme suivant :

- La position de leur axe d’entraînement : vertical ou horizontal ;

- Leur vitesse d’utilisation : lente ou rapide ;

- Le nombre de pales d’entraînement : multipales ou bipales.

1.2.3.2 Principe de fonctionnement :

Eolienne à axe vertical : C’est une éolienne à vitesse lente que nous pouvons adapter aux pompes

à piston et à diaphragme. Ce type d’éolienne est connu sous le nom de SAVONIUS.

Eolienne à axe horizontal :

- Eolienne multipale à vitesse lente : Elle est destinée au pompage immergée pour toutes

profondeurs. Elle est constituée d’une roue de 2 à 9 m de diamètre environ, sur laquelle

est rattaché un grand nombre de pales obliques. Le mouvement rotatif issu de l’éolienne

est transformé en mouvements rectilignes transmis au piston par des tringles coulissantes.

- Eolienne rapide ou aéromoteur : Ce type d’éolienne transforme l’énergie mécanique

produite par le vent sur les pales (au nombre de 2 à 3) de l’hélice en énergie électrique par

l’intermédiaire d’une dynamo ou d’un alternateur. Cette électricité sera transmise à une

pompe en surface, soit à un groupe électropompe immergé.

Les pompes éoliennes les plus adoptées sont :

- Eolienne multipale + excentrique + tringles + pompe à piston

- Eolienne SAVONIUS + réducteur + hydropompe VERGNET

- Aérogénérateur couplé à une pompe électrique immergée eu en surface


----------------------


1.2.4 Une pompe électrique

Comme son nom l’indique, une pompe électrique est une pompe utilisant comme source d’énergie

le courant électrique.

1.2.4.1 Choix du type de courant en fonction de la puissance des moteurs :

Le tableau ci-après résume la nature du courant et des différentes tensions possibles en fonction

des puissances admissibles :

Nature du courant

Basse tension

Tension en V Puissance maximum Kw

(kilowattheure)

Continu 110

220

440

41

680

Pratiquement illimité

Alternatif

Monophasé

110

220

1,4

20

Alternatif

Biphasé

115

200

380

20

272

1359

Tableau 1.01: Type de courant en fonction de la puissance des moteurs

Il convient cependant de faire remarquer que :

- Le courant continu devra être le plus souvent produit par une génératrice entraînée elle-

même par un moteur ;

- L’usage du courant monophasé est limité aux petites installations ;

- Le courant alternatif à moyenne tension n'est utilisable que pour des puissances

importantes. Pour celles de quelques centaines de chevaux, le courant alternatif triphasé

leur convient le mieux.

1.2.4.2 Les différents types de moteurs à courant alternatif :

Les types de moteurs qui se prêtent le mieux à l’entraînement des pompes sont les moteurs

asynchrones et synchrones.

Les moteurs synchrones : Ils ont une vitesse qui est rigoureusement constante et

proportionnelle à la fréquence du réseau. Ils fournissent un couple moteur pour cette vitesse.

Ces moteurs sont rarement utilisés pour les installations de pompage important : ils démarrent

à faible charge.

Les moteurs asynchrones : Ils sont, par contre, d'un emploi général. Leur vitesse, en charge,

est différente de leur vitesse de synchronisme. Parmi les moteurs asynchrones, les moteurs à

cage et les moteurs à rotor bobinés sont pratiquement les seuls à être utilisés dans le pompage

d’eau.

1.2.5 Une pompe à moteur thermique

Dans tous les cas où le pompage ne pourra pas être reliée au réseau électrique, il faudra envisager

un entraînement des pompes par moteur thermique (Diesel ou essence).

1.2.5.1 Les différents types de moteurs thermiques :

Moteur à essence


----------------------


En raison de leur faible rendement (20 à 25%) ainsi que leur consommation en carburant élevée,

ces moteurs ne seront utilisés que pour de petites installations ne fonctionnant qu'à un temps limité

(quelques centaines d'heures par an).

Moteur à diesel

Leur rendement est compris entre 30 et 40% et ils utilisent un carburant moins cher. Ils peuvent

être utilisés pour des installations de moyenne ou de grande importance.

1.2.6 Un bélier hydraulique :

1.2.6.1 Généralité

Le bélier hydraulique est une pompe automatique fonctionnant avec l’énergie cinétique d’une

chute d’eau, afin de relever une partie de cette eau à une hauteur supérieure à la hauteur de chute.

1.2.6.2 Principe de fonctionnement

L'eau arrive à l'intérieur du corps de la pompe avec une vitesse croissante. Ce qui provoque la

fermeture du clapet de batterie (soupape de choc) sous l'influence de la pression interne. La

fermeture de ce clapet provoque une surpression permettant l'ouverture du clapet de refoulement

et permettant à l'eau qui est dans le corps de la pompe de passer dans le réservoir d’air ou cloche

d’air. L'air contenu dans ce réservoir se comprime et permet le passage d’une partie de l’eau dans

la conduite de refoulement jusqu’au réservoir supérieur à alimenter.

La pression dans le corps de la pompe diminue de ce fait et le clapet de refoulement se referme

sous la pression de l'air contenu dans le réservoir ainsi que le poids de l'eau. Suite à une dépression

dans le corps de la pompe, le clapet de batterie s'ouvre de nouveau et le cycle recommence tant

que la source d'alimentation n'est pas coupée.

Figure 1.17 : Schéma de l'installation du bélier hydraulique


----------------------


1.3 Choix du bélier par rapport à d’autres technologies

1.3.1 Les études à réaliser avant de choisir un système hydraulique à mettre en

place dans un milieu donné :

Le premier objectif de l’approvisionnement en eau est de le mettre à la disposition de toutes les

couches sociales de la population dans des conditions d’acceptabilité raisonnables. Il exprime le

caractère social de l’eau et la mission de service public que doivent remplir les gestionnaires des

systèmes. Le second objectif est la pérennité économique et financière des systèmes. Cet objectif

sous-entend, non seulement, une hiérarchisation des usages, mais aussi des niveaux de service et

de confort. L’eau est un bien économique qui doit être géré.

Sur ce, quelques études doivent être réalisées avant la mise en place d’un système hydraulique afin

de trouver la solution viable et durable sur le plan social.

Les études à réaliser se résument en 3 phases :

- Analyses socio-économiques de la zone d’étude ;

- Analyses de la gestion des infrastructures à réaliser ;

- Evaluation des coûts des ouvrages hydrauliques.

1.3.1.1 Analyse socio-économique de la zone d’étude :

L’analyse socio-économique du milieu a pour objectif de connaître la situation du village ou de la

zone d’intervention du projet en termes de :

- Potentialités villageoises et groupes cibles : ressources, activités développées ;

- Capacités techniques et financières des groupes cibles : niveau de connaissances et

d’organisation des populations, revenus et dépenses des groupes cibles ;

- Motivations et volonté de payer l’eau : priorité des ménages, motivations vis-à-vis de

l’eau, paiement de l’accès à l’eau.

L’intérêt des analyses socio-économiques réside dans :

- Une bonne connaissance de la situation des villageois et des groupes cibles ;

- Une identification plus claire des besoins, des capacités locales pour les satisfaire et des

acteurs potentiels ;

- Une appréciation/vérification plus objective de la faisabilité socio-économique d’un

système hydraulique avant son lancement ;

- Un choix plus approprié de la technologie adaptée au contexte local et des méthodes

d’intervention à développer ;

- Une identification plus aisée des mesures à entreprendre, notamment en termes

d’animation, de mobilisation des populations et de gestion du point d’eau projeté ou

existant.

1.3.1.2 L’analyse de la gestion des infrastructures à réaliser a pour objectifs :

- De fournir de l’eau en quantité suffisante et en qualité acceptable ;

- D’assurer la pérennité de l’approvisionnement en eau ;

- D’améliorer les conditions de vie des populations (santé, promotion d’activités

génératrices de revenus tels que le maraîchage et l’élevage) ;

- De contribuer à la promotion des femmes par leur implication dans le processus et les

structures de gestion des ouvrages hydrauliques ;


----------------------


- De développer les capacités organisationnelles et techniques des groupes bénéficiaires afin

d’assurer la pérennisation des infrastructures.

1.3.1.3 Les coûts des ouvrages hydrauliques :

La connaissance des coûts de réalisation et d’investissement des ouvrages hydrauliques constitue

un élément essentiel dans le calcul du prix de revient final de l’eau, composé des charges

d’amortissements et d’exploitation.

Le calcul et la maîtrise des coûts de l’eau sont indispensables pour assurer une gestion efficace et

pérenne des points d’eau. C’est à travers une bonne connaissance et un suivi périodique des coûts

de l’eau que l’on peut mettre en place des mécanismes appropriés de tarification et de participation

financière des populations bénéficiaires. Sans cet instrument, il ne sera pas aisé de motiver les

populations pour le paiement de l’accès à l’eau et de leur expliquer le bien-fondé de ce mécanisme.

Les méthodes et outils de calcul des coûts des ouvrages sont :

- Le calcul des coûts de réalisation et d’investissement des ouvrages hydrauliques en zone

rurale (coûts directs et indirects de réalisation de l’ouvrage, frais généraux, frais

préliminaires) ;

- Le calcul des coûts de l’eau des points d’eau en milieu rural (charges d’amortissements et

frais de fonctionnement).

1.3.2 Comparaison du bélier par rapport à d’autres technologies

Par rapport à ces critères de choix, des comparaisons s’avèrent nécessaires afin de choisir les

systèmes d’adduction d’eau potable les plus appropriés pour un milieu donné.


-----------------------

ESPA / Département Hydraulique

20

Type de

système

Pompage par

bélier

hydraulique

Pompage

solaire

Pompage

électrique

Pompage éolienne Pompage à

motricité

humaine

AEPG Pompage à moteur

thermique

Les

avantages

- Ne nécessitant

aucun apport

d’énergie

extérieure ;

- Coût

d’exploitation

minimum ;

- Capacité de

maintenance

locale ;

- Facile à amorcer

en cas d’arrêt ;

- Faible besoin

d’entretien ;

- Durée de vie de

l’ordre d’une

dizaine d’années

et plus selon les

matériaux

choisis ;

- Encombrement

limité ;

- Adapté aux

villages isolés

non électrifiés.

Système thermo-

dynamique :

- Nécessitant

aucun

entretien rien

qu’une visite

par an ;

- Durée de vie

de 10 à 15

ans ;

Système

photovoltaïque :

- Disponibilité

de l’énergie

dans les zones

adaptées ;

- Fonction-

nement

autonome sans

surveillance ;

- Coûts

d’exploitation

faibles ;

- Haute

fiabilité,

organes

simples,

entretien très

limité,

- Coûts de

raccordement

abordables si

réseau à

proximité ;

- Non limitée en

capacité et

puissance ;

- Rendement

élevé.

Eolienne multipale

à vitesse lente :

- Démarrage

excellent par

faible vent ;

- Faible vitesse de

rotation bien

adaptée au

fonctionnement

d’une pompe à

piston

commandée par

tringlerie ;

- Grande

simplicité de

construction

facilitant la

fabrication

éventuelle sur

place ;

- Maintenance

faible ne

demandant pas

de qualification

élevée ;

- Coût d’investis-

sement modéré.

Eolienne

SAVONIUS :

- Faible coût

- Rapidité

d’installation

- Facile à

entretenir

- Coûts

d’entretien

généralement

faibles

- Faciles à

comprendre

Durée de vie

de 10 ans à

30ans

- Facilité des

maintenances

pouvant être

réalisées

localement

- Coûts

d’exploitation

faibles ;

- Faible

maintenance ;

- Satisfaisant en

termes de débit.

- Capacités locales

de maintenance ;

- Très bonne

capacité et

puissance ;

- Flexibilité.


-----------------------


21

interventions

espacées de

deux ans ;

- Transport de

matériel et

installation

rapide ;

- Déplacement

local possible

en cas d’assè-

chement de la

source ;

- Non polluant,

silencieux, pas

de risques de

création

d’incendies de

brousse ;

- Possibilité de

faire

l’installation

et l’entretien

par des agents

locaux ;

- Envisageable

mêmes pour

des sites

isolés, avec

des habitants

peu

nombreux ;

- Ayant une

durée de vie

- Technologie

simple réalisable

en partie

localement ;

- Assez

bonne fiabilité ;

- Entretien peu

complexe ;

- Coût réduit ;

- Très bien adapté

aux faibles vents

et à leur

éventuelle

instabilité

directionnelle.

Aérogénérateur :

- Bonne utilisation

des vents

moyens ou très

forts ;

- Bonne fiabilité

pour certains

modèles.


-----------------------


22

théorique de

20 à 30 ans.

Les

inconvénie

nts

- Faible

rendement

avec une

quantité

considérable

d’eau

gaspillée ;

- Ne pouvant

pas

fonctionner

avec des

liquides

visqueux ;

- Forte

sensibilité à la

turbidité de

l’eau ;

- Fabrication en

petite série,

peu de

fournisseurs ;

- Augmentation

du coût en

fonction du

débit à

refouler ;

- Nécessitant un

site bien choisi

(débit

suffisant, une

Système thermo-

dynamique :

- Nécessitant

des

installations

onéreuses ;

- Installation

impossible en

milieu rural

isolé, à cause

de la fragilité

et de

l’entretien

minutieux des

systèmes

mécaniques en

jeu.

Système photo-

voltaïque :

- Pompage 9h

par jour

seulement, et

forte variation

journalière du

débit « au fil

du soleil » ;

- Sensible aux «

jours sans

soleil » et aux

- Irrégularité

(délestages) ;

- Capacités

d’entretien et

de maintenance

élevées ;

- Prix du

kilowattheure à

étudier par

zone ou pays ;

- Inadapté dans

les zones

isolées non

électrifiées.

Eolienne multipale

à vitesse lente :

- Inadaptation

aux puits

profonds

supérieurs à

40m ;

- Impossibilité de

fonctionner

avec un vent

fort ;

- Mauvaise

adaptation aux

changements de

vitesse du vent.

Eolienne

SAVONIUS :

- Rendement

faible pour les

vents inférieurs

à 5m/s ;

- Nécessitant une

maintenance

régulière ;

- Résistance

médiocre aux

tornades.

Aérogénérateur :

- Nécessitant

des entrétiens

frequents pour

assurer la

pérenité ;

- Complication

de l’obtention

des pièces de

rechange

appropriées à

cause de la

diversité des

pompes en

service ;

- Entretien des

pompes

exigeant

certains

matériels

inaccessibles

à l’équipe de

maintenance

locale

- La corvée

d’eau

attribuée aux

femmes et aux

enfants ;

- Coût

d’investis-

sement très

élevé avec une

source est très

éloignée ;

- Approvision-

nement en eau

impossible

dans les

villages situés

à des altitudes

supérieures à

la source.

- Coûts d’exploi-

tation élevés ;

- Indisponibilité

des pièces de

rechange pour les

moteurs ;

- Nécessitant un

entretien régulier

à effectuer par un

personnel

compétent ;

- Nécessitant une

considération des

problèmes de

ventilation et

d’évacuation des

gaz d’échap-

pement ;

- Encombrements

et poids toujours

très élevés.


-----------------------


23

dénivellation,

…) ;

- Clapet de choc

très bruyant.

saisons

humides ;

- Variabilité des

volumes

pompés

(nécessité

d’un système

de stockage) ;

- Nécessitant un

ensoleil-

lement ou un

rayonnement

solaire

maximal.

- Pas de

démarrage avec

vent faible ;

- Prix élevé,

notamment pour

les modèles

performants ;

- Technicité

élevée ne

favorisant pas la

construction et

l’entretien pour

les moyens

locaux.

- Capacité et

puissance très

limitées.

Tableau 1.02: Comparaison du bélier par rapport à d’autres technologies Source : Auteur


------------------------


A partir de ce tableau, une conclusion peut être établie, le bélier hydraulique n’est pas approprié

à certains types de sources. Ce classement peut être retenu :

- Pour les eaux souterraines : les solutions les plus adéquates restent les pompes de

refoulement qui sont : pompe à motricité humaine, pompage solaire, pompage éolienne,

pompage électrique et pompage à l’aide des moteurs thermiques.

- Pour les eaux superficielles : plusieurs solutions peuvent être adoptées : le bélier

hydraulique et le pompage en surface.

- Pour les sources : Si la source est placée à une hauteur supérieure à la zone à alimenter,

une adduction d’eau potable gravitaire est estimée être la meilleure solution.

Par rapport aux maintenances, le bélier hydraulique reste le plus simple à entretenir. Cependant

son rendement est assez faible. Sur ce, il n’est pas très conseillé d’utiliser un bélier hydraulique

pour des sources avec un débit faible et aux zones qui ne respectent pas ses conditions de

fonctionnement.

1.3.3 Avantage du bélier hydraulique par rapport au coût :

Il est aussi capital pour le choix d’un système à mettre en place de considérer son coût

d’investissement, de maintenance et d’exploitation.

1.3.3.1 Coût d’investissement par kW des différentes technologies de

pompages :

Le coût de l’investissement est primordial pour un projet donné, le tableau suivant présentera

le coût d’investissement par kW pour un projet de pompage d’eau :

Technologie Charges

d’investissement [Ar]

Puissance

fournie kW

Investissement /kW

Pompe à motricité

humaine

4 610 574,00 0,2 23 052 873,00

Eolienne 14 408 045,90 0,4 14 408 045,90

Système solaire 121 027 586,00 1,4 86 448 275,80

Groupe électrogène

essence

11 526 436,00 1 11 526 436,00

Groupe électrogène

Diesel

34 579 310,00 5 6 915 862,00

Raccordement à

l’EDM et à

l’électropompe

11 526 436,00 5 2 305 287,36

Bélier hydraulique 3 184 018,00 0,6 5 306 697,88

Tableau 1.03: Coût d’investissement par kW des différents pompages d’eau

En termes d’investissement, le bélier reste abordable par rapport aux autres types de technologie

de pompage.


------------------------


1.3.3.2 Etude du coût d’investissement par habitant selon la technologie

adoptée :

Le coût d’investissement par habitant selon la technologie employée :

Technologie Investissement par habitant [Ar/habitant]

AEPG 36 111, 83

Forage manuel 25m 60 000,00

Puits 20m 76 000,00

Forage mécanique 25m 120 000,00

Bélier hydraulique 48 242,71

Source: WaterAid

Tableau 1.04: Coût d’investissement par habitant selon la technologie d’AEP employée

En comparant les coûts d’investissement par habitant, l’AEPG reste le moins cher et le bélier

hydraulique se trouve à la seconde place. Cependant, l’AEPG rencontre certaines difficultés

lorsque l’altitude du village est supérieure à la source. D’où l’adoption de la technologie de

bélier hydraulique, dans le cas où ses conditions de fonctionnement sont assurées.

1.3.4 L’emploi le plus adapté du bélier hydraulique pour les adductions d’eau de

Wateraid Madagascar :

Suite aux problèmes de Wateraid Madagascar sur la non-alimentation en eau de certains

villages situés à des altitudes plus élevés par rapport à la source, le bélier hydraulique semble

être la meilleure solution. Il ne s’agit plus de chercher une autre source d’eau. Il suffit d’utiliser

l’adduction d’eau potable gravitaire existante. L’eau à employer vient de ce fait de ce système-

là tandis que la partie éjectée revient dans le même réseau afin d’alimenter d’autres villages en

aval.

Ce système devient alors très rentable du fait qu’aucun volume d’eau ne serait gaspillé. De plus

même aucun village, même situé, à des altitudes supérieures à 100 m par rapport aux réseaux

gravitaires, ne serait plus enclavé.

1.4 Quelques béliers hydrauliques inventés par d’autres concepteurs

Selon les documents à notre disposition, deux béliers ont pu être inventoriés :

1.4.1 Le Bélier de l’ONG TARATRA :

Le bélier hydraulique de l’ONG TARATRA a été conçu par Paul Lenaerts de Asa Tanana et

réalisé à Madagascar par Monsieur RAVELOSON Arsène, Coordinateur de l’O.N.G

TARATRA en 2007.


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Plusieurs béliers hydrauliques ont été installé dont une dans la région de Vakinankaratara,

district Antanifotsy, commune rurale Antanifotsy, fokontany Andriatsilahy, en vue d’une

irrigation agricole.

1.4.1.1 Les constituants de ce bélier hydraulique

Il est constitué de :

- Une conduite de batterie en acier galvanisé de longueur L= 6m ; de diamètre D =

42mm et d’épaisseur e = 3mm. La hauteur de chute h est 1,5m ;

- Un corps de pompe qui est une pièce en acier de forme cylindrique. Il porte le clapet

de batterie et la soupape de refoulement ;

- Une soupape de refoulement ;

- Un réservoir pneumatique renfermant des ballons de tennis ;

- Une conduite de refoulement.

1.4.1.2 Son rendement et son coût

D’après des essais effectués à Betioky Sud, le bélier de l’ONG TARATRA a eu un rendement

de 14% avec un coût du bélier non installé de 400 000,00 Ariary.

1.4.2 Le bélier inventé par le département physique de l’Université

d’Antananarivo :

Le bélier hydraulique inventé par le département de physique à l’Université d’Antananarivo est

breveté avec un coût de 20 000 000,00 Ariary. Il a été conçu en une vingtaine d’années par un

professeur chercheur de ce département.

Ce bélier ne comporte pas de réservoir pneumatique et a un rendement de 35%.

PARTIE II :

ETUDE THEORIQUE DU

FONCTIONNEMENT DU

BELIER HYDRAULIQUE

Partie II : Etude théorique du fonctionnement du bélier hydraulique

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27 ESPA /Département Hydraulique

Le phénomène du coup de bélier

2.1 Définition d’un régime transitoire ou non permanent

Un écoulement est dit transitoire si les grandeurs physiques (p, Q, v) varient en fonction du temps

en chaque point de l’espace.

∂p

∂t≠ 0 ;

∂Q

∂t≠ 0 ;

∂v

∂t≠ 0

(2.01)

Quand l’écoulement permanent est perturbé dans une installation hydraulique, il en résulte une

variation importante et très rapide des pressions due à l’inertie de la masse de liquide contenu dans

le réseau.

Les phénomènes transitoires ont pour origine une variation de pression ou de débit en un point du

réseau hydraulique. Les effets peuvent être très divers. Il importe alors d’étudier la configuration

du réseau hydraulique pour anticiper les impacts des effets transitoires afin de proposer des

solutions adéquates.

Les régimes transitoires en charge peuvent être divisés en deux catégories principales :

Les régimes créant des ondes élastiques ou « coup de bélier » ;

Les régimes créant des oscillations en masse du liquide.

Le coup de bélier est un phénomène de propagation d’ondes mettant en jeu la compressibilité de

l’eau et l’élasticité de la conduite. Alors que, dans le mouvement en masse, la colonne liquide est

assimilée à un solide monobloc. Ce qui revient à supposer l’eau incompressible et la conduite

infiniment rigide.

Dans notre cas, nous nous focaliserons surtout sur le phénomène de « coup de bélier » causé par la

fermeture brusque ou lente d’une vanne afin d’expliquer et de trouver les caractéristiques complètes

du phénomène.

2.2 Etude théorique du phénomène de coup de bélier

Le coup de bélier est le régime non permanent qui apparaît dans une conduite lorsqu’on provoque

une variation rapide du débit à l’extrémité aval de celle-ci. Chaque tranche d’eau dans la conduite

subit une variation de pression et de vitesse à des instants différents (propagation d’onde).

Cependant aucune oscillation d’ensemble n’est présente.

2.2.1 Compressibilité et célérité des liquides en général :

La compressibilité est une caractéristique d’un corps, définissant sa variation relative de volume

sous l’effet d’une pression appliquée. Elle peut être définie au moyen de son coefficient de

compressibilité χ, tel que :

χ = −dW

Wdp

(2.02)

Le signe moins tient compte du fait que le volume spécifique diminue quand la pression augmente.


-----------------------------------


La formule représente la variation de volume dW associée à un accroissement de pression dp et

possède les dimensions de l’inverse d’une pression [m2/N].

Etant donnée l’expression du volume massiqueW = ρ−1, nous avons :

χ =dρ

ρdp

(2.03)

La compressibilité d’un fluide est à l’origine des ondes dans le milieu considéré. La valeur de cette

célérité, dans le matériau, dépend de la valeur de la compressibilité par la relation :

c2 = (∂p

∂ρ) =

1

ρχ

(2.04)

Or χ =1

ε

(2.05)

Donc c2 =ε

ρ

(2.06)

2.2.2 Propagation des ondes des écoulements transitoires :

La propagation d’une onde des écoulements transitoires en charge est un processus de transport

d’énergie. Ce sont les phénomènes de compressibilité qui permettent d’expliquer la propagation des

ondes élastiques dans les milieux matériels.

Considérons la moitié d’une conduite cylindrique de longueur L, d’épaisseur e et soumise à la

pression p. Sous l'action de la pression constante p, la matière de la canalisation est soumise à une

contrainte.

Figure 2.01 : Pression dans la moitié d’une conduite

La moitié de la conduite est en équilibre :

∫ p cos α dS

π

2

−π

2

− 2σLe = 0

(2.07)

Avec dS = L r dα


-----------------------------------


Donc ∫ p L r cos απ

2

−π

2

− 2σLe = 0

(2.08)

Nous avons : σ = pD

2e

(2.09)

La variation de pression dp entraîne une variation dσ de la contrainte et nous avons :

dσ =D

2edp

(2.10)

La loi de Hooke permet d’écrire :

dσ = EdD

D

(2.11)

E : module d'Young ou module d'élasticité de la paroi de la conduite

Relation entre E et ε :

ε = E

3(1 − 2σ′)

(2.12)

σ′: coefficient de Poisson, il est toujours inférieur à 0,5 et dépend du solide envisagé Avec la loi de Hooke, nous pouvons en déduire que l’augmentation de l’effort entraîne un

accroissement du diamètre de la conduite (déformation).

La dilatation est donc purement transversale et il n'y a pas de dilatation longitudinale, c'est-à-dire

que la conduite est constituée d'anneaux juxtaposés.

Nous pouvons donc en déduire : dD

D=

dσ

E=

Ddp

2eE

(2.13)

Et un accroissement du diamètre entraîne l’accroissement de la section par la relation : dS

S= 2

dD

D

(2.14)

dS

S= 2

dD

D=

Ddp

eE

(2.15)

Une variation de la pression appliquée à la paroi de la conduite entraîne une variation de la section

de la conduite en fonction de la compressibilité du fluide considéré. C’est ce phénomène de

compressibilité et de dilatation de la conduite qui permet d’expliquer la propagation des ondes de

coup de bélier dans les milieux matériels.

2.3 Description du coup de bélier dans une conduite :

Soit une conduite AB de longueur L, de diamètre D et d’épaisseur e alimentée en A par un réservoir

R et terminée par une vanne V.


-----------------------------------


Figure 2.02 : Ecoulement dans une conduite terminée par une vanne

Pour simplifier l’analyse, nous supposons que la conduite est horizontale et que l’écoulement initial

est permanent avec une vitesse moyenne v0 et une pression p0.

Nous négligeons aussi la perte de charge.

Soit tf =L

a , le temps mis par l’onde pour traverser entièrement la conduite.

Nous admettons que cette conduite est brusquement obturée au moyen d’une vanne. Nous

constaterons alors quatre phases :

1ère phase : 0 < 𝑡 <L

a

`A t = 0, nous fermons brusquement la vanne sur laquelle s’écrase la première tranche. La

diminution de vitesse de cette première tranche provoque une augmentation de la pression et ainsi

une dilatation de l’élément de conduite en contact avec celle-ci. Une fois la déformation élastique

de la première tranche terminée, la deuxième tranche est arrêtée à son tour. Son énergie de vitesse

est à ce moment-là absorbée par le travail de compression de l’eau et de la dilatation des parois.

L’onde créée est une onde régressive dont la célérité vaut a.

Dans cette phase, toute l’énergie cinétique du liquide se transforme en travail de déformation du

tuyau, de compression du liquide et de dilatation de la paroi de la conduite.

La fermeture complète de la vanne fait passer la vitesse de v0 à zéro provoquant derrière elle une

onde de surpression ∆p. Par ailleurs, dans le reste de la conduite, l’écoulement persiste à la vitesse

v0 et la pression p0. Cette onde se propage vers l’amont avec une célérité (-a).

Au droit de la vanne, la pression devient p0 + ∆p et les particules qui suivent immédiatement celles

qui se sont immobilisées, sont stoppées à leur tour et ainsi de suite. L’onde de surpression se

propagera donc à une vitesse "a", dite vitesse de propagation d’onde ou célérité, de la vanne vers le

réservoir.

Une fois que toutes les particules du liquide sont immobilisées dans la conduite et que cette dernière

se soit complètement dilatée, la pression dans cette conduite sera p0 + ∆p . La surpression ∆p se calcule selon la loi de Joukovski :

∆p1 = a ∆v

g=

a(v0 − v1)

g=

av0

g

(2.16)

A l’instant t = L

a , l’onde de surpression atteint le réservoir.

A la fin de la première phase, nous avons :


-----------------------------------


{p1 = p0 + ∆p1

v1 = 0

(2.17)

2èmephase :L

a< 𝑡 <

2L

a

Ainsi, dans la première phase, le liquide franchissant à la vitesse v0 la section A entre t = 0 et t =L

a

sert à compenser la variation de volume dû à la dilatation de la conduite. Il n’y a pas équilibre car

le fluide est en surpression comparativement au réservoir. Il y a alors naissance d’une onde

progressive et celle-ci est une onde de dépression.

D’autre part, l’eau (en trop) dans la conduite repart dans le réservoir à la vitesse v0 mais de signe

contraire car elle repart vers l’amont. L’onde de surpression est alors réfléchie en une onde de

dépression qui se propage vers la vanne avec la vitesse a. L’onde de pression change de signe lors

de sa réflexion sur le plan d’eau.

L’écoulement généré, quant à lui, se produit vers le bassin (le fluide “en trop” retourne dans le

bassin). Peu à peu, les tranches de liquide et le tuyau retrouvent leur état d’origine.

A l’instantt =2L

a, l’onde de dépression arrive sur la vanne, la pression du fluide est en équilibre

avec celle du bassin et la conduite n’est pas dilatée.

A la fin de la deuxième phase, nous avons :

{

v2 = −v0

∆v2 = −v0

p2 = p0

(2.18)

3èmephase :2L

a< 𝑡 <

3L

a

Par inertie l’eau va continuer à s’écouler vers le réservoir diminuant ainsi la pression dans la

conduite. Autrement dit l’onde de dépression, au contact de la vanne, se réfléchit sans changement

de signe. Cette onde se propagera alors de la vanne vers le réservoir.

A l’instant t = 3L

a, l’onde de dépression arrive au réservoir. L’eau sera immobilisée et la pression

sera inférieure à la pression initiale. Ce qui causera une contraction de la conduite.

A la fin de la troisième phase, nous avons :

{

v3 = 0∆v3 = v0

p3 = p0 − ∆p1

(2.19)

4èmephase : 3L

a< 𝑡 <

4L

a

Comme la pression p3 est inférieure à celle du réservoir qui est maintenu constante et égale à p0.

L’eau s’écoulera alors du réservoir vers la vanne. Nous assistons au remplissage de la conduite

augmentant ainsi la pression dans la conduite de p0 − ∆p1 à p0. L’onde de dépression se réfléchit

ainsi sur la surface libre du réservoir en changeant le signe et devient une onde de surpression qui

descende la conduite.

La vitesse du liquide sera égale, à ce moment à v0.

Une fois que la dépression −∆p aura été complètement supprimée, la conduite va reprendre son état

initial et se retrouvera donc dans les mêmes conditions que celles qui existaient juste à la fermeture

de la vanne.

Donc, à l’instant t =4L

a , nous avons un écoulement identique à la première phase :


-----------------------------------


{

v4 = v0

∆v4 = v0

p4 = p0

(2.20)

Le phénomène se reproduira théoriquement à l’infini. Mais en réalité, l’amortissement du

phénomène est dû aux pertes de charge par frottement et à la dissipation d’une partie de l’énergie

du liquide dans le réservoir.

Le phénomène est donc périodique à T =4L

a

Nous pouvons résumer les quatre phases dans ce tableau :

Phase Vitesse Pression Temps après

la fermeture

de la vanne

Etat de la

conduite

Célérité

Initiale v0 p0 Diamètre

constante

1 0 p0 + ∆p L

a

Dilatation de

la conduite −a

2 −v0 p0 2L

a

Diamètre

constante a

3 0 p0 − ∆p 3L

a

Contraction

de la conduite −a

4 v0 p0 4L

a

Diamètre

constante a

Tableau 2.01: Résumé des quatre phases de coup de bélier

2.4 La célérité ou la vitesse de propagation de l’onde dans une conduite cylindrique

déformable :

Les ondes élastiques longitudinales peuvent aussi se propager dans le fluide contenu dans une

conduite cylindrique.

Considérons une tranche de conduite entre deux sections S et S’où règne un écoulement transitoire

en charge.

Nous prenons comme hypothèse le fait que l’eau est compressible et que la conduite est déformable

(élastique).

Figure 2.03 : Tranche d’une conduite


-----------------------------------


A travers la section en amont S, la vitesse est v tandis qu’à travers la section en aval S’, la vitesse

est v +∂v

∂xdx.

Pendant le temps dt , il entre par la face en amont de la tranche considérée un volume Svdt.

Pendant le même temps, il sort par la face en aval un volume S′(v +∂v

∂xdx)dt. Nous négligeons la

variation de la section ∂S

∂x ; donc S = S′

En négligeant la variation de la conduite entre les deux sections de distance élémentaire dx, nous

pouvons écrire :

∆W = Svdt − S (v +∂v

∂xdx) dt

(2.21)

Avec ∆W: la quantité d’eau emmagasinée

Donc : ∆W = −S∂v

∂xdxdt

(2.22)

Cet accroissement du volume est dû à la compressibilité de l'eau et à la dilatation de la conduite.

Compte tenu de la compressibilité de l’eau, considérons le volume dW1 correspondant au volume

supplémentaire d'eau qui a remplacé l'espace correspondant et qui s’est donc introduit dans la

tranche considérée du fait de la compressibilité du liquide.

D’après la loi de Hooke, la variation de pression dp (variation de la contrainte) entraîne une

diminution de volume dW (déformation) de la masse d'eau dans la conduite telle que :

dp = −εdW

W

(2.23)

Avec ε : coefficient d’élasticité

dW = −Wdp

ε

(2.24)

Avec p = ρgh = ρg(H − Z) (2.25)

p varie avec x et t, mais les variations de p avec x sont négligeables par rapport aux variations avec

t, donc :

dp = ρg∂h

∂tdt et W = Sdx

(2.26)

Donc dW = −1

εSρgdx

∂h

∂tdt (2.27)

Comme dW correspond donc à la diminution du volume d’eau dans la tranche considérée soit dW1

le volume supplémentaire d’eau qui est l’opposé de dW.

On a dW1 =1

εSρgdx

∂h

∂tdt

(2.28)

En considérant cette fois la dilatation de la conduite, avec les relations précédentes, nous avons : D

Eedp = 2

dD

D=

dS

S

(2.29)

Donc dS = 2SdD

D=

SD

Eedp

(2.30)


-----------------------------------


Soit dW2 le volume d’eau supplémentaire emmagasinée par la conduite dû à la dilatation.

dW2 = dSdx

(2.31)

Donc dW2 =SDdp

Eedx

(2.32)

Avec dp = ρg∂h

∂tdt

(2.33)

D’où dW2 =SD

Eedxρg

∂h

∂tdt

(2.34)

L’équation de continuité nous permet de dire que l'accroissement du volume d’eau dW dû à la

variation de la vitesse est égal à la somme de l'accroissement du volume dW1 et dW2, soit :

dW = dW1 + dW2

(2.35)

−S∂v

∂xdxdt =

1

εSρgdx

∂h

∂tdt +

SD

Eedxρg

∂h

∂tdt

(2.36)

En simplifiant par Sdxdt

On a : −∂v

∂x=

1

ερg

∂h

∂t+

D

Eeρg

∂h

∂t

(2.37)

∂v

∂t= −ρg(

1

ε+

D

Ee)

∂h

∂t

(2.38)

On pose 1

a2= ρ(

1

ε+

D

Ee)

(2.39)

Donc a =1

√ρ(1

ε+

D

Ee)

(2.40)

La constante "a" a les dimensions d'une vitesse et représente la vitesse de propagation des ondes de

vitesse et de pression dans le liquide.

La vitesse de l’onde "a" augmente avec toute augmentation de ε, E, e et elle diminue avec toute

augmentation de D et de ρ.

L’équation de continuité s’écrit alors comme suit : ∂v

∂x+

g

a2

∂h

∂t= 0

(2.41)

Sachant que : dp = ρg∂h

∂tdt

(2.42)

∂h

∂t=

1

ρg

dp

dt

(2.43)

L’équation de continuité d’un écoulement en charge en tenant compte la compressibilité et la

dilatation de la conduite est alors :

∂v

∂x+

1

ρa2

dp

dt= 0

(2.44)


-----------------------------------


1

ρ

dp

dt+ a2

∂v

∂t= 0

(2.45)

Avec a la valeur de la vitesse de propagation des ondes :

a =1

√ρ(1

ε+

D

Ee)

(2.46)

2.5 La surpression maximale selon le type de fermeture

Il est facile de se rendre compte qu’a priori une fermeture brusque produira un coup de bélier

supérieur à une fermeture lente. En effet, nous savons qu’il se produit, à l’extrémité amont de la

conduite, une réflexion des ondes avec changement de signe. Dans le cas d’une fermeture lente et

progressive, la pression augmente progressivement à l’extrémité aval. Par ailleurs, l’onde de

surpression qui est partie de la vanne à l’instant 0 (début de la fermeture) revient sous forme de

dépression à l’instant 2L

a et contribue à diminuer la surpression due à la fermeture progressive

si elle n’est pas encore achevée.

Par contre, si la fermeture est déjà terminée à cet instant 2L

a , la surpression atteindra la valeur la

plus élevée susceptible d’être prise. Autrement dit, si la durée de fermeture Tf est inférieure à 2L

a ,

nous avons affaire à une fermeture brusque et la surpression atteint la valeur la plus grande qu’elle

peut prendre compte tenu des caractéristiques de la canalisation (diamètre, épaisseur des parois) et

des conditions initiales v0.

2.5.1 Cas d’une fermeture brusque 𝑻𝒇 ≤𝟐𝑳

𝒂

Prenons le cas d’une vanne fermée à l’extrémité d’une conduite alimentée par un réservoir.

A l’instant t = 0 où nous fermons la vanne, une onde de surpression se propageant à la vitesse a de

la vanne vers le réservoir est constatée. L’équation d’Allievi permet d’écrire :

∆h =av0

g

(2.47)

Cette onde de surpression atteint le réservoir à l’instant t1 =L

a et change de signe lors de sa

réflexion en une onde de dépression arrivant à la vanne à l’instant t2 =2L

a avec ∆h = −

av0

g.

Nous pouvons donc prendre comme valeur maximale de surpression et de dépression :

∆h = ∓av0

g

(2.48)

Le phénomène de surpression qui accompagne une fermeture brusque est donc un phénomène

périodique de période T =2L

a .


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2.5.2 Cas d’une fermeture lente 𝑻𝒇 >𝟐𝑳

𝒂

La formule de Michaud pour le calcul de la surpression lors d’une fermeture lente nous donne :

Figure 2.04 : Coup de bélier pour une fermeture lente

Nous avons : ∆htotal = av0

g (2.49)

Par le théorème de Thalès, nous avons : ∆hmax

∆htotal=

2L

tfa

(2.50)

∆hmax =2L∆htotal

atf

(2.51)

D’où ∆hmax =2Lv0

gtf

(2.52)


-----------------------------------


Etude théorique du bélier hydraulique

Le bélier hydraulique fut inventé par Joseph Montgolfier en 1792. C’est une machine simple et

ingénieuse pour élever de l’eau là où les conditions favorables peuvent être trouvées pour son

installation.

Cette pompe est surtout réputée par sa faculté de fonctionner sans nécessiter un quelconque apport

d’énergie. En effet, l’énergie nécessaire au fonctionnement de l’appareil est l’énergie totale de la

veine liquide qui la traverse. Le bélier hydraulique appartient, à la fois, à la machine réceptrice

utilisant l’énergie d’une chute et à la machine motrice augmentant l’énergie d’une partie du débit

de la chute par une élévation à une hauteur plus grande. Cette condition d’élévation du liquide

résulte d’une augmentation de vitesse ou de l’énergie cinétique d’un écoulement fluide, qui est

transformée immédiatement en énergie de pression par un arrêt brusque de l’eau provoquant un

coup de bélier. C’est sur ce principe que fonctionne le bélier hydraulique.

L’emploi du bélier hydraulique reste capital dans les endroits où nous voulons emmener de l’eau

située à des altitudes plus élevées par rapport aux points d’eau.

3.1 Description générale et fonctionnement du bélier hydraulique :

3.1.1 Description générale du bélier hydraulique :

Pour mieux apprécier ce qu’est le bélier hydraulique, quelques termes restent inévitables :

- La hauteur de chute ;

- La hauteur de refoulement ;

- La conduite d’amenée ou de batterie ;

- Le corps de pompe ;

- Le clapet / la soupape de choc ou de batterie ;

- Le reniflard ;

- Le clapet anti-retour ou la soupape de refoulement ;

- Le réservoir d’air ;

- La conduite de refoulement.

3.1.1.1 La hauteur de chute et de refoulement :

La hauteur de chute h est la différence de niveau entre le plan d’eau à la source et le clapet de

batterie. Tandis que la hauteur de refoulement H est la différence de niveau entre le réservoir où

nous refoulons l’eau et le clapet de batterie.

3.1.1.2 La conduite d’amenée ou conduite de batterie :

L’alimentation en eau du bélier hydraulique se fait par la conduite d’amenée provenant du réservoir

ou d’un bassin contenant la source à élever. Il est très important de bien choisir la conduite de

batterie afin d’éviter un coup de bélier médiocre. Généralement, nous optons pour les conduites

motrices de grande résistance.

3.1.1.3 La conduite de refoulement :

Elle permet le passage du débit refoulé à partir du réservoir d’air vers le réservoir situé à la hauteur

de refoulement.


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3.1.1.4 Le corps de pompe :

Le terme « corps de pompe » désigne l’ensemble des différentes pièces assemblées, notamment le

clapet de choc, reliant la conduite de batterie et le clapet de refoulement.

3.1.1.5 Le clapet ou soupape de choc :

C’est une pièce, généralement métallique, qui permet de provoquer les coups de bélier lors de sa

fermeture sous l’action de la pression de l’eau.

Il assure en même temps le passage et l’arrêt de l’eau provenant de la chute.

Dans notre cas, la soupape de choc s’ouvre suivant un axe vertical sous l’effet de la vitesse ou de

l’énergie cinétique de l’eau et se ferme par le poids propre du clapet. Quelquefois elle est

accompagnée d’un ressort de rappel.

3.1.1.6 Le reniflard

La mise en place d’un reniflard dans un bélier hydraulique n’est pas obligatoire dans le cas où nous

utilisons un ballon à vessie ou un réservoir d’air étanche ne nécessitant aucune alimentation en air.

C’est un petit orifice aménagé avant la soupape de refoulement et a pour rôle d’alimenter en air le

réservoir d’air pendant le moment de dépression dans la conduite de batterie. Ceci afin de

compenser l’air dissout dans l’eau refoulé dans le réservoir d’air.

3.1.1.7 Le clapet anti-retour ou la soupape de refoulement

Lors du coup de bélier, l’eau arrêtée par le clapet de choc va ouvrir le clapet de refoulement ou

clapet anti-retour afin d’atteindre le réservoir d’air. Il permet le passage périodique de l’eau

provenant de la conduite d’amenée en période de surpression.

3.1.1.8 Le réservoir d’air ou la cloche d’air

Il reçoit l’eau dans les périodes de surpression et la refoule dans le tuyau de refoulement. Le

réservoir d’air est essentiel au bon fonctionnement de la pompe. Il permet d’en augmenter le

rendement et d’éviter que le corps de la pompe, la canalisation motrice ou même le réservoir

n’explosent sous les coups de bélier. Il consiste à régulariser le courant d’eau dans le tuyau de

refoulement. Si le volume d’air qui s’y trouve est suffisant, les pulsations ne sont plus sensibles à

l’arrivée d’eau dans le réservoir supérieur.

3.1.2 Fonctionnement du bélier hydraulique :

Le fonctionnement du bélier hydraulique se résume essentiellement en 4 étapes dont nous allons

approfondir avec calcul précis des phases dans l’étude approfondie du bélier hydraulique :

- La mise en vitesse de l’eau dans le tuyau de batterie : Le clapet de choc étant ouvert, l’eau

va s’écouler à travers celui-ci en partant du réservoir d’alimentation avec une vitesse

croissante sous la pression h ;

- La fermeture de la soupape de choc : A une certaine vitesse, le système accumule l’énergie

nécessaire à son fonctionnement et la soupape de choc se ferme. En effet, le clapet se

soulève et se ferme brutalement, produisant un arrêt brusque de la veine liquide, c’est-à-

dire un coup de bélier ;

- L’ouverture du clapet de refoulement ou du clapet anti-retour : La surpression engendrée

par la fermeture brusque du clapet de choc déclenche l’ouverture du clapet de refoulement.

Jusqu’à l’équilibrage de la pression, l’eau ouvre la soupape de refoulement, pénètre dans le

http://www.wikiwater.fr/spip.php?mot97



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réservoir d’air et comprime l’air dans celui-ci avant d’être propulsé dans le tuyau de

refoulement ;

- La retombée du clapet de choc : au moment où on a équilibre de pression, le clapet de

refoulement se ferme sous la pression de l’air comprimé et du poids de clapet de

refoulement. Nous assistons ensuite à une phase de dépression dans le corps de la pompe

provoquant l’ouverture du clapet de choc. Le clapet de batterie s’ouvre de nouveau et le

cycle recommence tant que la source d’alimentation n’est pas interrompue.

3.2 Etude approfondie du bélier hydraulique :

3.2.1 Analyse de l’action du bélier :

Depuis la délivrance du brevet sur le bélier hydraulique en 1797, son usage dans le monde entier

est devenu très fréquent. Malgré cette utilisation généralisée, l'analyse de ses caractéristiques n'est

généralement pas encore connue, bien que des garanties de performance empirique soient prises par

les fabricants.

Sur ce, l'objectif de cette partie est de réaliser une analyse mathématique rationnelle de l'action des

béliers hydrauliques automatiques. De nombreuses variables sont impliquées dans le

fonctionnement d’un bélier mais celles qui nous intéressent en tant que concepteur sont la quantité

d’eau pompée dans le réservoir supérieur et la quantité d’eau éjectée au niveau du clapet de choc.

Le but est alors de déterminer la quantité d’eau pompée et la quantité d’eau éjectée pour toutes

conditions d'opération.

Méthode d’approche :

Afin de déterminer le rendement du bélier, il faut :

Etablir la relation entre la vitesse et le temps pour la colonne d’eau dans la conduite de

batterie pendant chaque partie du cycle ;

Calculer la quantité d'eau perdue et la quantité d’eau pompée par cycle ;

Déterminer le temps écoulé pendant un cycle ;

Et à partir de ces valeurs, le rendement du bélier hydraulique peut être déterminé facilement.

3.2.1.1 Les phases de fonctionnement :

Dans l’établissement de l’équation régissant le bélier hydraulique, il est nécessaire de diviser le

cycle en différentes phases séparées et de les analyser individuellement. Il semble plus logique de

diviser le cycle en six périodes séparées, pendant lesquelles la vitesse est affectée par des facteurs

différents et varie selon une loi différente.

Dans cette analyse, nous avons supposé que le tuyau de batterie soit horizontal et que le cycle

commence à l'instant où la fermeture du clapet de choc débute. Il s'agit d'un point logique dans le

cycle pour commencer l'analyse. C’est à cet instant que la vitesse de la fermeture de la soupape de

choc est indépendante de la pression statique d'alimentation et de la pression de refoulement et ne

dépend uniquement que du réglage de la soupape de choc.

Le cycle commence alors à l'instant t0 début de la fermeture du clapet de choc avec une vitesse de

l'eau v0dans la conduite motrice.

Les phases de fonctionnement sont les suivantes :

Phase n°1 : Ejection de l'eau pendant la fermeture progressive du clapet de choc



-----------------------------------


A partir de l’instant t0, l'eau continue d'être éjectée par le clapet de choc jusqu'à sa fermeture

complète ;

Phase n°2 : Début du "coup de bélier" jusqu’à l’ouverture du clapet de refoulement.

Dès que le clapet de choc est fermé, l'eau se comprime, expanse la conduite motrice et la pression

dans le corps de pompe augmente soudainement. Dès que cette dernière atteint la pression de

refoulement PR, le clapet de refoulement s'ouvre de façon quasi-instantanée ;

Phase n°3 : Refoulement de l'eau dans le réservoir d’air jusqu’à la fermeture du clapet de

refoulement.

L'eau envahit alors le réservoir d’air en comprimant l'air qu'il contient. L'énergie cinétique de l'eau

s'épuise alors progressivement jusqu'à ce que sa vitesse soit insuffisante pour maintenir ouvert le

clapet de refoulement, qui se referme de façon quasi-instantanée ;

Phase n°4 : La fin du "coup de bélier" avec retard de l'ouverture du clapet de choc.

Le "coup de bélier" se termine dans la conduite motrice par un éventuel recul de l'eau vers le

collecteur et également par une réflexion de l'onde de choc sur le clapet de refoulement fermé. La

dépression induite provoque l'aspiration par le reniflard d'une certaine quantité d'air (en cas

d’utilisation). Cette dernière partira dans le réservoir d’air pendant la phase n°3 suivante et

l'ouverture quasi-instantanée du clapet de choc ;

Phase n°5 : La mise en vitesse de l'eau dans la conduite motrice sans éjection de l'eau.

En peu de temps, la vitesse de l'eau qui remonte éventuellement la conduite motrice se réduit,

s'annule puis s'inverse sans qu'il y ait encore éjection de l'eau par le clapet de choc ;

Phase n °6 : Ejection de l'eau avec clapet de choc complètement ouvert.

Le clapet de refoulement est fermé et le clapet de choc est ouvert. L'eau commence à être éjectée et

s'accélère jusqu'à ce que la vitesse atteint de nouveau la valeur suffisante v0 pour commencer à

fermer ce clapet. Nous revenons, de ce fait, au début du cycle.

Par ailleurs, parallèlement à ces six phases, la vitesse de l'eau dans la conduite de refoulement varie

selon différentes lois, sur deux phases successives :

Phase n°7 : Refoulement de l'eau du réservoir d’air dans la conduite de refoulement, le

clapet de refoulement étant ouvert.

Cette phase s'effectue en parallèle avec la phase 3 relative à la conduite motrice. L'air dans le

réservoir d’air se comprime par paliers successifs (correspondant aux ondes de choc dans la

conduite motrice) et continue de chasser l'eau du réservoir dans la conduite de refoulement.

Phase n°8 : Refoulement de l'eau de la cloche dans la conduite de refoulement, le clapet de

refoulement étant fermé.

Cette phase s'effectue en parallèle à l'ensemble des phases 4, 5, 6, 1 et 2, relatives à la conduite

motrice. Dès le début de la phase 4, l'air comprimé de la cloche se détend progressivement et

chasse une partie de l'eau de la cloche dans la conduite de refoulement.

3.2.1.2 Les équations par phase :

Considérons la figure 2.04 :


-----------------------------------


Comme nous avons indiqué dans la méthode d’approche, les équations de base du bélier

hydraulique pour chacune des phases de fonctionnement sont des expressions relatives à la vitesse

v(t) de l’eau dans la conduite motrice.

ti étant le temps écoulé pendant la phase i ;

vi : La vitesse de l’eau à la fin de la phase i ;

Vi : Le volume d’eau véhiculé pendant la phase i.

Analyse de la phase 1 : c’est le temps pendant lequel la soupape de choc se ferme.

Afin de trouver l’équation régissant la phase 1, il est très commode d’utiliser un oscilloscope pour

mesurer l’oscillation de la soupape de choc en traçant sur un repère les oscillations où nous pourrons

ensuite lire le temps de fermeture en fonction de la surpression maximale.

L’étude effectuée par LANSFORD dans « An analytical and experimental study of the hydraulic

ram » a montré à partir des enregistrements du mouvement réel de la soupape de choc que

l'accélération du clapet de choc peut être approchée par une équation de la forme :

d2e

dt2= −J

(3.01)

Où e est la valeur à tout instant du déplacement du clapet de choc depuis sa position fermée ;

Et J est l'accélération constante du clapet de choc.

Étant donné que e est mesurée à partir du siège de la soupape, le signe négatif doit être utilisé pour

obtenir une valeur positive pour J.

L’intégration de cette équation donne : de

dt= −Jt + c1

(3.02)

c1 est la constante d’intégration et comme la soupape

commence dans la position fermée, donc : de

dt= 0 quand t = 0 donc c1 = 0

(3.03)

Son intégration donne :

e =−Jt2

2+ c2

(3.04)

Soit e0 la longueur de la course du clapet de choc

Ainsi e = e0 quand t = 0 donc c2 = e0

Et e = 0 quand t = t1 car la soupape de choc est fermée.

A la fin de la phase 1, le clapet de choc est complètement fermé, donc :

e =−Jt2

2+ e0

(3.05)

Quand t = t1 , e = e0

Donc la relation (4) est obtenue :

𝐭𝟏 = √𝟐𝐞𝟎

𝐉 (4)

(3.06)


-----------------------------------


Avec t1 : le temps de fermeture du clapet de choc

Une approximation de la variation de vitesse dans la conduite est également nécessaire. Il est

démontré dans les formules ci-après que pendant la première phase de la fermeture du clapet de

choc, l’augmentation de la pression n’est pas très grande. Ce n’est qu’à une deuxième phase proche

de la fermeture complète du clapet de choc que la pression va considérablement monter. Par

conséquent, la vitesse de la colonne d'eau dans le tuyau de batterie doit continuer à augmenter selon

une certaine mesure pendant la phase1. D'autre part, le frottement, à travers la soupape de choc,

augmente lorsque l'ouverture de celle-ci devient plus petite et l'accélération de la colonne d'eau dans

la conduite motrice doit ralentir en raison de la perte accrue de frottement et de la force requise pour

accélérer la soupape de choc. Nous supposons que l'accélération diminue à un constante k, par

rapport au temps, et devient nulle à l'instant de la fermeture du clapet de choc.

D’où:

d2v

dt2= −k

(3.07)

L’intégration de (3.07) donne: dv

dt= −kt + c1

(3.08)

Or dv

dt= α quand t = 0

Donc c1 = α

Avec α : accélération de la colonne d’eau dans le tuyau de batterie à la fin de la phase 6 ou au début

de la phase 1.

Et dv

dt= 0 quand t = t1

De (3.07) dv

dt= α −

αt

t1

(3.09)

L’intégration de (3.09) donne :

v = αt −αt2

2t1

+ c2

(3.10)

Or v = v0 quand t = 0 donc c2 = v0

Et v = v1 quand t = t1

Donc 𝐯𝟏 = 𝐯𝟎 +𝛂𝐭𝟏

𝟐

(3.11)

Avec v1 : la vitesse de l’eau à la fin de la phase 1

La quantité d’eau éjectée à travers la soupape de choc pendant la phase 1 :

V1 = S ∫ vdtt1

0

= Sv1t1

(3.12)

Soit S la section interne de la conduite de batterie.


-----------------------------------


Après substitution de (3.12) par (3.11), nous obtenons :

𝐕𝟏 = 𝐒(𝐯𝟎𝐭𝟏 +𝛂𝐭𝟏

𝟐

𝟑)

(3.13)

Le calcul de la valeur de v0 se fera à la fin du calcul de toutes les phases.

Analyse de la phase 2 : C’est le temps entre l'instant de fermeture complète de la soupape

de choc et l'instant d'ouverture de la soupape de refoulement.

Le débit continue dans le tuyau de batterie, comprime le disque de soupape de choc, dilate le tuyau

et comprime l'eau. Ces déplacements sont accompagnés d’une augmentation de pression.

Selon la théorie fondamentale de coups de bélier d’ondes, une surpression ∆h est transmise le long

de la conduite de batterie à la vitesse de propagation de l'onde notée a. En outre, la vitesse de cette

colonne d'eau, dans laquelle la pression a augmenté, est réduite de ∆v1 liée à la surpression ∆h′ par

la relation :

∆v =g Δh′

a

(3.14)

Et si v est considéré comme étant la vitesse de la colonne d'eau au niveau du clapet anti-retour,

donc :

v = v1 − ∆v1 = v1 −g Δh′

a= v1 −

g (h′ − h)

a

(3.15)

Et Δh′ = h′ − h

(3.16)

Cette surpression ∆h va se déplacer du clapet de choc vers le clapet de refoulement à une vitesse a

qui est la vitesse de propagation de l’onde définit par la relation :

a =1

√ρ(1

ε+

D

Ee)

(3.17)

Avec

ρ : Masse volumique de l’eau

χ =1

ε : Compressibilité du liquide

E : Module d’élasticité longitudinale de la conduite (module d’Young)

e : épaisseur du tuyau

A la fin de la phase 2, la vitesse sera alors :

𝐯𝟐 = 𝐯𝟏 −𝚫𝐡′𝐠

𝐚

(3.18)

Le joint du clapet de choc est supposé sensiblement élastique alors la variation de pression dans le

clapet est liée à la variation de volume d'eau due à la compression du joint par les relations suivantes

:


-----------------------------------


Y =Ev

ρ Sc2

(3.19)

Ev =K

g

(3.20)

Avec

Ev: Le module de rigidité moyenne du disque de la soupape de choc ;

Sc: La section de la soupape de choc ;

Y : Le ratio de la variation de pression pour la variation du volume d’eau ;

K : le coefficient de raideur du joint du clapet de choc.

Le changement de volume de la soupape de choc est donné par la relation : dh′

Y= Svdt

(3.21)

De l’équation (3.15), nous avons :

v = v1 −g (h′ − h)

a

(3.22)

Donc ; dh′ = −a

gdv

(3.23)

En substituant (3.23) par (3.21), nous avons :

YS vdt = −a

gdv

(3.24)

Avec Z la constante de temps qui est donnée par la relation :

Z =a

SgY

(3.25)

Donc dt =a

gYS

dv

v= Z

dv

v (3.26)

En substituant (3.19), (3.20) et (3.25) dans (3.24), nous obtenons :

Z = aρSc2

SK

(3.27)

S : Section de la conduite motrice

L’intégration de l’équation (3.26) nous donne :

t = −Zlog v + c1

(3.28)

Quand t = 0 ; v = v1

D’où :

t = Z ln(v1

v)

(3.29)


-----------------------------------


Cette relation de vitesse à temps continue jusqu'à ce que la pression augmente suffisamment pour

ouvrir le clapet anti-retour. À ce moment, la vitesse est v2 et la durée de la phase 2 sera :

𝐭𝟐 = 𝐙 𝐥𝐧(𝐯𝟏

𝐯𝟐)

(3.30)

Analyse de la phase 3 : le temps pendant lequel le clapet anti-retour est ouvert où il y a

refoulement de l'eau dans le réservoir d’air jusqu’à la fermeture du clapet de refoulement.

La phase 3 est supposée suivre le modèle du coup de bélier dit "d'ondes". Suite à la fermeture

brusque du clapet de choc en début de la phase 2, l'onde de pression se propage dans la conduite

motrice avec une vitesse constante a. Elle vient se réfléchir alternativement d'une extrémité ouverte

du tube d'eau à l'autre, entre la surface du niveau d'eau du collecteur et au-dessus du clapet de

refoulement resté ouvert ; plus précisément à la surface du niveau d'eau dans le réservoir d’air. A

chaque passage de l'onde entre ces deux surfaces, la vitesse v dans la conduite motrice subit une

petite perte de vitesse Δv. La vitesse v(t) au niveau du clapet anti-retour est alors une fonction

décroissante, en dent de scie, du temps t.

Onde 1 : La première onde engendrée par la fermeture du clapet de choc atteint la soupape de

refoulement quasi-immédiatement. Dès que la pression au niveau du clapet anti-retour devient

suffisante, le clapet de refoulement s'ouvre de façon supposée instantanée et l'eau de la conduite

motrice commence à envahir le réservoir d’air.

D’après l’équation (3.15), la vitesse au niveau du clapet anti-retour est :

v = v1 − ∆v1

(3.31)

En négligeant la résistance à la fermeture du clapet de refoulement en fin de la phase 2, la

surpression Δh′ nécessaire pour ouvrir le clapet de refoulement doit être un peu supérieure à la

différence de pression initiale, compte-tenu de la perte de charge singulière à travers le clapet de

refoulement.

En appliquant la relation de Bernoulli généralisée, nous pouvons exprimer la surpression

Δh′nécessaire à l’ouverture au clapet de refoulement comme suit :

h + Δh′ = H +1

2k"(v1 − Δv1)2

(3.32)

Avec

k" : le coefficient de perte de charge singulière du clapet de refoulement

Donc

𝚫𝐡′ = (𝐇 − 𝐡) +𝟏

𝟐𝐠𝐤"(𝐯𝟏 − 𝚫𝐯𝟏)𝟐

(3.33)

L'onde de pression se propage ensuite à la vitesse a jusqu'au collecteur. Cette onde incidente change

de signe lors de sa réflexion sur le plan d’eau ouvert. Ceci a pour conséquence le changement de

signe de la variation de pression Δh′, sans changement du signe de la variation de la vitesse de

l'eau.

La vitesse de l'eau pendant le retour de l'onde dans la conduite de batterie vaut donc :

v = v1 − 2Δv1

(3.34)


-----------------------------------


A un temps 2L

a après le commencement de la période 2, la première onde incidente atteint de nouveau

le clapet anti-retour en abaissant la pression. Cependant, l’eau continue à se décharger à travers la

soupape de refoulement. Ainsi, pendant une période de temps t2, lorsque la première onde de

pression est dissipée, une autre est générée.

Onde 2 : L'onde incidente se réfléchit à la surface du niveau d'eau dans le réservoir à air et engendre

une seconde onde de pression. La surpression engendrée par la seconde onde est de Δh", légèrement

inférieure à Δh′ en raison de la perte par frottement à travers la soupape de refoulement à la vitesse

inférieure. La deuxième onde réduit la vitesse à

v1 − 2(Δv1) − Δv2.

Avec Δv2 < Δv1 dans la même proportion que ∆h" < ∆h′.

Cette onde se réfléchit vers le clapet anti-retour avec une vitesse v1 − 2(Δv1) − 2(Δv2).

Ce phénomène de propagation d’onde se reproduit plusieurs fois jusqu'à ce que la vitesse de l'eau

soit insuffisante pour maintenir ouvert le clapet de refoulement. Le clapet de refoulement est ensuite

fermé et la phase 3 est terminée.

Figure 3.01 : Relation de la vitesse au niveau du clapet anti-retour avec le

temps durant les phases 2 et 3

Par souci de commodité dans le traitement mathématique de l'action du bélier dans la période 3, la

simplification suivante est faite. De l'équation (3.18) et la définition de (∆v), nous constatons que

la surpression nécessaire pour ouvrir le clapet anti-retour est légèrement supérieure à(H − h), en

raison du frottement à travers la soupape de refoulement.

Donc,

∆h′ = (H − h) +k"(v1 − ∆v1)2

2g

(3.35)


-----------------------------------


Et ∆v1 =g

a[(H − h) +

k"(v1−∆v1)2

2g]

(3.36)

Les surpressions subséquentes dans la période 3 sont consécutivement inférieures en grandeur. En

effet, après chaque montée, la vitesse à travers la vanne de refoulement est inférieure à celle de la

surpression précédente. Lorsque la période 3 est presque terminée, seule une petite vitesse reste. La

perte de frottement à travers le clapet anti-retour est faible. Par conséquent, la dernière surpression

n'est pas beaucoup supérieure à (H − h) et la réduction de la vitesse due à cette surpression est

presque égale à (H − h)g

a.

Pour simplifier, nous supposons que toutes les surpressions et les réductions de vitesse du début à

la fin de la période 3 sont égales en grandeur. Cette grandeur ∆h est prise comme moyenne entre

la première surpression ∆h′et la valeur approximative de la dernière surpression égale à (H − h).

Ainsi,

∆𝐡 = (𝐇 − 𝐡) +𝐤"(𝐯𝟏 − ∆𝐯𝟏)𝟐

𝟒𝐠

(3.37)

Par conséquent,

∆v1 = ∆v2 = ⋯ = ∆v

(3.38)

D’où :

∆𝐯 =∆𝐡𝐠

𝐚= [(𝐇 − 𝐡) +

𝐤"(𝐯𝟏 − ∆𝐯)𝟐

𝟒𝐠]

𝐠

𝐚

(3.39)

Une telle moyenne ne présente aucune erreur grave. Effectivement, si H est élevé, la perte de

frottement à travers le clapet anti-retour est une partie insignifiante de la variation de la pression.

Lorsque H est faible, il existe un grand nombre de surpressions.

En prenant compte de cette hypothèse, l’équation (3.18) devient :

v2 = v1 −∆hg

a= v1 − ∆v

(3.40)

La courbe vitesse-temps pour les périodes 2 et 3 (Fig 2.01) a été dessinée selon l'hypothèse de

l'équation (3.39) pour un cycle ayant trois surpressions. La quantité d'eau pompée par cycle est q =

∫ ρSvdtt3

0 , le produit de la masse volumique de l'eau, de la section transversale du tube de batterie

et de la zone sous la courbe vitesse-temps de la figure. Les valeurs des différentes parties de la zone

de vdt sont indiquées sur la figure.

L'évaluation des zones sous les parties horizontales de la courbe vitesse-temps est évidente. Pour

simplifier les expressions résultantes, la quantité t′est définie comme :

t′ =2L

a− t2

(3.41)

La zone sous chaque partie en pente de la courbe est évaluée de la manière suivante : la courbe

vitesse-temps pour la période 2 est représentée sur la figure.

Pour la période 2, de l’équation (3.21), nous avons :


-----------------------------------


dh′

Y= Svdt

(3.42)

Et ∫dh′

YS= ∫ vdt : La zone sous la courbe vitesse-temps pour toute partie de la période 2.

L'intégration de cette équation donne :

∫dh′

YS=

h′ − h

YS

h′

h

(3.43)

Ensuite, la zone B de la figure dans la première onde de surpression est :

B = v1t − ∫ vdt = v1t − (h′ − h

YS)

(3.44)

De l’équation (3.15),

(h′ − h) =a

g(v1 − v)

(3.45)

Donc:

B = v1t −a

SgY(v1 − v) = v1t − Z(v1 − v)

(3.46)

De l’équation (3.29):

v = v1e−tZ⁄

(3.47)

D’où B = v1t − v1Z + v1Ze−tZ⁄ = v1[t − Z(1 − e−t Z⁄ )]

(3.48)

Pendant la période 2, la diminution de la vitesse ∆v est due à la génération d'une onde de surpression

représentée dans les parties en pente de la courbe vitesse-temps de la figure 3.01. Pour la phase 3,

une onde de pression de forme identique est dissipée et une autre de même ampleur est générée

dans un intervalle de temps égal à t2, réduisant la vitesse de 2∆v .

Par conséquent, les variations de vitesse qui se produisent aux moments correspondants à ces parties

de la période 3 sont deux fois supérieures à celles de la période 2. Les zones B de la courbe de

vitesse-temps pour une partie de la période 3, sont par conséquent deux fois plus grandes que la

zone B de la première onde de surpression. Autrement dit :

2B = 2v1 [t − Z(1 − e−tZ⁄ )]

(3.49)

Si nous considérons la surface de 2B pendant le temps t2 de la deuxième onde de surpression :

2B = 2v1 [t2 − Z(1 − e−t2

Z⁄ )]

(3.50)

2B = 2v1t2 − 2Z(v1 − v1e−t2

Z⁄ )

(3.51)

De l’équation (3.27) et (3.30) :

2B = 2v1t2 − 2Z(v1 − v2)

(3.52)

2B = 2v1t2 − 2Z∆v

(3.53)


-----------------------------------


La zone sous la courbe vitesse-temps en pente de la surpression de l’onde 2 :

∫ vdt = (v1 − ∆v)t2 − 2B (3.54)

∫ vdt = (v1 − ∆v)t2 − (2v1t2 − 2Z∆v) (3.55)

∫ vdt = 2Z∆v − t2(v1 + ∆v)

(3.56)

De même, pour l’onde de surpression 3, la zone correspondante sous la partie en pente de la courbe

vitesse-temps est :

∫ vdt = (v1 − 3∆v)t2 − 2B

(3.57)

∫ vdt = (v1 − 3∆v)t2 − (2v1t2 − 2Z∆v)

(3.58)

∫ vdt = 2Z∆v − t2(v1 + 3∆v)

(3.59)

Pour la dernière onde de surpression, selon l'équation (3.48), la zone Br est:

Br = 2v1 [tr − Z(1 − e−tr

Z⁄ )]

(3.60)

Br = 2v1tr − 2Z(v1 − v1e−tr

Z⁄ )

(3.61)

Le terme entre parenthèses, dans l'équation (3.61) est considéré, à partir de l'équation (3.47) comme

la réduction de la vitesse pendant un temps tr de la période 2. Comme la vitesse diminue deux fois

plus vite pendant tr par rapport au temps correspondant à la période 2, nous avons :

v1 − v1e−tr

Z⁄ =vr

2

(3.62)

En substituant (3.62) dans (3.61) :

Br = 2v1tr − 2Zvr

2

(3.63)

Et ∫ vdttr

0= vrtr − Br

(3.64)

∫ vdttr

0

= vrtr − (2v1tr − 2Zvr)

(3.65)

∫ vdttr

0

= Zvr − tr(2v1 − vr)

(3.66)


-----------------------------------


La figure ci-dessus a été dessinée seulement pour trois ondes de surpression. En revanche si nous

généralisons en prenant N ondes de surpressions, nous avons l’équation suivante :

q = ρS ∫ vdtt3

0

= [(v1 − ∆v)t′] ∶ onde de surpression 1 (3.67)

+[2Z∆v − (v1 + ∆v)t2] + [(v1 − 3∆v)t′]: onde de surpression 2

+[2Z∆v − (v1 + 3∆v)t2] + [(v1 − 5∆v)t′]: onde de surpression 3

+ ⋯ + Zvr − tr(2v1 − vr): dernière onde de surpression

(3.68)

q est la quantité d’eau en unité de masse [kg] Et en divisant q par ρ, nous obtenons la quantité d’eau en unité de volume [m3]

𝐕𝟑 =𝐪

𝛒= 𝐒[𝐍𝐯𝟏𝐭′ + (𝐍 − 𝟏)𝟐𝐙∆𝐯 + 𝐙𝐯𝐫 − 𝐍𝟐∆𝐯𝐭′ − (𝐍 − 𝟏)𝟐∆𝐯𝐭𝟐

− (𝐍 − 𝟏)𝐯𝟏𝐭𝟐 − (𝟐𝐯𝟏 − 𝐯𝐫)𝐭𝐫]

(3.69)

Avec V3 la quantité d’eau en [m3]entrant dans le réservoir d’air.

Dans l'équation (3.69), Z peut être déterminé à partir des constantes de l’appareil selon l’équation

(3.27) et v1 et t2peuvent être trouvés à partir des équations (3.11) et (3.30). Les quantités ∆v, N,vr

et tr restent à déterminer.

- Détermination de ∆𝐯 :

D’après (3.39)

∆v = [(H − h) +k"(v1 − ∆v)2

4g]

g

a

(3.70)

∆v =g

a(H − h) +

1

4ak"v1

2(1 −∆v

v1)2

(3.71)

Pour un ratio ∆v

v1 petit devant 1 en pratique, le dernier terme vaut environ (1 − 2

∆v

v1) et l'expression

de ∆v se simplifie en :

∆𝐯 =𝐠(𝐇 − 𝐡) +

𝟏

𝟒𝐤"𝐯𝟏

𝟐

𝐚 +𝟏

𝟐𝐯𝟏

(3.72)

- Détermination de N et 𝐯𝐫 :

La figure ci-dessus montre que 2∆v > vr ≥ 0 car si vr est supérieur à 2∆v, une autre onde de

surpression prendra naissance.

A partir de la figure, nous constatons que :

𝐯𝐫 = 𝐯𝟏 − (𝟐𝐍 − 𝟏)∆𝐯 (3.73)

Puis, 2∆v > v1 − (2N − 1)∆v ≥ 0

Donc :


-----------------------------------


𝐯𝟏 − ∆𝐯

𝟐∆𝐯< 𝑁 ≤

𝐯𝟏 + ∆𝐯

𝟐∆𝐯

(3.74)

- Détermination de𝐭𝐫 : Etant donné que la vitesse à la fin de la phase 3 est 2 fois plus petite que les autres, nous avons :

vr − v]periode 3 = 2(v1 − v)]période 2

(3.75)

De l’équation (3.47), nous obtenons :

v]periode 2 = v1e−tz⁄

(3.76)

En Divisant les des deux côtés par−1, et en additionnant de v1 :

vr − v]periode 2 = v1(1 − e−tz⁄ )

(3.77)

En substituant (3.77) dans (3.75), nous obtenons :

vr − v]periode 3 = 2v1(1 − e−tz⁄ )

(3.78)

et

Z⁄ =2v1

2v1 − vr + v

(3.79)

Mais quand t = tr,v = 0

Alors etr

Z⁄ =2v1

2v1−vr

Et 𝐭𝐫 = 𝐙𝐥𝐧 (𝟐𝐯𝟏

𝟐𝐯𝟏−𝐯𝐫)

(3.80)

Comme chaque terme dans l'équation (3.69) a été évalué, q est donc la quantité d’eau pompée et

peut être calculée.

Le temps t3de la phase 3 est déterminé comme suit :

𝐭𝟑 =𝟐𝐋

𝐚𝐍 − 𝐭𝟐 + 𝐭𝐫

(3.81)

Si la soupape de choc est considérée comme inélastique, Ev = ∞ alors Z = 0 et t2 = 0, l'équation

(3.69) se réduit comme suit :

𝐪 =𝟐𝐋𝐒

𝐚(𝐍𝐯𝟏 − 𝐍𝟐∆𝐯)

(3.82)

À la fin de la phase 3, la vitesse de l'eau au niveau du clapet anti-retour est bien sûr zéro, et la vitesse

de l'eau du côté du tuyau de batterie est dev1 − 2N∆v.

Donc :

𝐯𝟑 = 𝐯𝟏 − 𝟐𝐍∆𝐯

(3.83)

Le débit d’eau pompé dans le réservoir d’air est alors :

Qp =V3

t3

=S[Nv1t′ + (N − 1)2Z∆v + Zvr − N2∆vt′ − (N − 1)2∆vt2 − (N − 1)v1t2 − (2v1 − vr)tr]

2L

aN − t2 + tr

(3.84)

Analyse de la phase 4 : comprend le temps s’écoulant entre la fermeture de la soupape de

refoulement et le début de l'ouverture du clapet de choc.


-----------------------------------


A la fin du "coup de bélier", la vitesse de l'eau au niveau du clapet de refoulement est très faible.

La dernière onde de dépression descendante N, dans la conduite motrice, atteint le clapet de

refoulement en diminuant encore cette vitesse et provoque un éventuel recul de l'eau vers le

collecteur.

En outre, cette onde incidente se réfléchit sur la surface fermée du clapet de refoulement. Ce qui a

engendré le changement de signe de la variation de vitesse de l'eau, sans changer le signe de la

variation de pression. La nouvelle dépression au niveau du clapet anti-retour fait passer la pression

de l'eau sous la pression atmosphérique provoquant alors l'aspiration d'un peu d'air par le reniflard

et l'ouverture quasi-instantanée du clapet de choc.

La vitesse v4 en fin de phase 4 :

L’énergie cinétique requise pour produire v4 est égale à la somme de l'énergie cinétique de l'eau

dans la conduite motrice due à la vitesse v3 et l'énergie stockée dans la compression du joint du

clapet de choc

Energie cinétique de la colonne d′eau =1

2masse × (vitesse)2 =

1

2

ρLS

gv3

2

(3.85)

Energie stockée dans la compression du joint du clapet de choc =ρS

2gaZ∆v2

(3.86)

Donc : 1

2

ρLS

gv3

2 +ρS

2gaZ∆v2 =

1

2

ρLS

gv4

2

D’où :

𝐯𝟒 = −√𝐯𝟑𝟐 +

𝐚𝐙

𝐋∆𝐯𝟐

(3.87)

Le volume d’eau qui sort de la soupape de choc

=

Volume de compression du joint du clapet de choc.

(3.88)

Durant la période 2, le volume d'eau qui s'écoule dans la soupape de choc doit être égal au volume

de compression du joint du clapet de choc.

Le volume de la compression du joint du clapet de choc = SZ∆v Le volume total qui sort de la soupape de choc pendant la phase 4 est égal au produit de la vitesse

moyenne, de la section du tuyau et du temps de la phase 4.

La vitesse moyenne approximative est : v3+v4

2

Donc :

Le volume d′eau qui sort de la soupape de choc = (v3 + v4

2)St4

La substitution de cette équation dans (3.88) donne :

− (v3 + v4

2) St4 = SZ∆v

Le signe négatif du côté gauche est nécessaire car la vitesse est définie comme négative lorsqu'elle

est éloignée du bélier.

Donc :


-----------------------------------


𝐭𝟒 = −𝟐𝐙∆𝐯

(𝐯𝟑 + 𝐯𝟒)

(3.89)

Analyse de la phase 5 : le temps s’écoulant entre le début de l'ouverture de la soupape de

choc et le moment où l’eau commence à être éjectée.

La phase 5 correspond donc à la mise en vitesse de l'eau dans le tuyau de batterie sans éjection de

l’eau. Pendant cette phase, l'eau est considérée comme incompressible. Les fluctuations de pression

pendant les phases 5 et 6 sont suffisamment petites et les effets de compressibilité peuvent être

considérés comme négligeables. La vitesse dans le tube de batterie est donc uniforme tout au long

du tuyau. Elle est d'abord négative, égale à v4 . L'eau est continuellement accélérée vers le corps du

bélier par la pression du réservoir d'alimentation déséquilibrée. La vitesse diminue, de ce fait, à

zéro, puis augmente de nouveau vers le bélier, jusqu'à ce que le corps de la pompe soit rempli et

que l'eau commence à être éjectée.

Pendant la phase 5, nous pouvons négliger le frottement des tuyaux vu qu’une une analyse a été

faite dans « An analytical and experimental study of the hydraulic ram » en tenant compte du

frottement. Les calculs numériques ont montré que, les valeurs de v5 et t5, déterminées en

négligeant le frottement, ne dépassaient pas 5% des valeurs déterminées en le tenant compte.

Si le frottement n'est pas considéré :

𝐯𝟓 = −𝐯𝟒

(3.90)

Le théorème de centre inertie appliqué à la colonne d’eau en phase 5 donne :

Force = masse × accéleration

pS = ρSldv

dt

ρSh =ρSl

g

dv

dt

Où l est la longueur variable de la colonne d'eau dans le tuyau de batterie.

La substitution de l = L donne :

dt =L

ghdv

∫ dtt5

0

= ∫L

ghdv

v5

v4

D’où t5 =L

gh(v5 − v4) (3.91)

En substituant (3.90) dans (3.91), nous obtenons :

𝐭𝟓 =𝟐𝐋𝐯𝟓

𝐠𝐡

(3.92)

Analyse de la phase 6 : c’est le temps s’écoulant entre le début d’éjection d’eau et le

moment où la vitesse v0 de fermeture du clapet de choc est atteinte.

La phase 6 peut être considérée comme le modèle d’une mise en eau de la conduite motrice par

colonne motrice constante. Considérons la figure suivante :


-----------------------------------


Figure 3.02 : Mise en eau de la conduite par la colonne motrice constante h

Prenons le cas d'un grand réservoir d'eau se vidant à l'air libre à travers une canalisation de section

constante. La masse d'eau du réservoir étant importante, son niveau ne varie quasiment pas

(hypothèse de colonne motrice constante h).

Soient A, B et C les points du fluide situés respectivement sur le plan d'eau du réservoir, au début

et à la fin de la canalisation, et v la vitesse du fluide dans la canalisation.

Entre A et B, nous sommes en régime permanent et l’équation de Bernoulli s’écrit comme suit :

HA = HB

Avec HA =pA

ρg+ zA

Et HB =pB

ρg+ zB +

v2

2g

Entre B et C, nous sommes en régime non permanent et l’équation de Bernoulli s’écrit :

HB = HC +L

g

dv

dt

Et HC =pC

ρg+ zC + j

v2

2g

Avec j = 1 + b + c + λL

D

b : coefficient de perte de charge singulière au niveau du tuyau de batterie ;

c : coefficient de perte de charge singulière au niveau du clapet de choc ;

λ : coefficient de perte de charge linéaire. Il est sans dimension et est fonction du nombre de

Reynolds et de la rugosité de la paroi

Nous avons :

pA = pC = patm

D'où l'équation générale du mouvement :

h = zA − zC = jv2

2g+

L

g

dv

dt

dt =

2L

j

2gh

j− v2

dv

(3.93)


-----------------------------------


∫ dtt6

0

= ∫

2L

jdv

2gH

j− v2

v6

v5

D’où :

t6 =L

j√2gh

j

ln

√2gh

j+v6

√2gh

j−v6

√2gh

j+v5

√2gh

j−v5

v

En remplaçant v6 par v0 :

𝐭𝟔 =𝐋

𝐣√𝟐𝐠𝐡

𝐣

𝐥𝐧

(√𝟐𝐠𝐡

𝐣+ 𝐯𝟎)(√

𝟐𝐠𝐡

𝐣− 𝐯𝟓)

(√𝟐𝐠𝐡

𝐣− 𝐯𝟎)(√

𝟐𝐠𝐡

𝐣+ 𝐯𝟓)

(3.94)

Par l’équation (3.93), nous pouvons écrire :

dv

dt=

2gh

j−v2

2L

j

à tout moment pendant la phase 6

Puisque α est défini dans la phase 1 étant comme l'accélération de la colonne d'eau à la fin de la

phase 6 lorsque la vitesse v6est ou son équivalent v0 : Donc :

𝛂 =

𝟐𝐠𝐡

𝐣− 𝐯𝟎

𝟐

𝟐𝐋

𝐣

(3.95)

La quantité d’eau éjectée pendant la phase 6 :

V6 = S ∫ vdt = S ∫

2L

jvdv

2gh

j− v2

v0

v5

Donc :

𝐕𝟔 =𝐒𝐋

𝐣𝐥𝐧

𝟐𝐠𝐡

𝐣− 𝐯𝟓

𝟐

𝟐𝐠𝐡

𝐣− 𝐯𝟎

𝟐

(3.96)

Les deux phases suivantes concernent tous les paramètres durant le refoulement de l’eau dans la

conduite de refoulement.

Analyse de la phase 7 : c’est le refoulement de l’eau du réservoir d’air dans la conduite de

refoulement quand le clapet anti-retour est ouvert.

v est alors la vitesse de l'eau dans la conduite de refoulement à tout instant (t) de cette phase.

La durée t7 est égale à la durée pendant laquelle le clapet de refoulement reste ouvert, soit :

𝐭𝟕 = 𝐭𝟑

(3.97)

Calcul de v7 : En pratique, il s'avère que la vitesse v7 en fin de la phase 7 est assez proche de la vitesse v8 en fin

de phase précédente 8, l'inertie de la colonne d'eau H n'ayant pas le temps de modifier cette vitesse


-----------------------------------


durant la compression de l'air du réservoir d’air. Nous pouvons donc prendre le modèle simplifié

suivant :

𝐯𝟕 = 𝐯𝟖

(3.98)

Calcul de V7 : En conséquence, on a :

V7 = S′ ∫ vdtt7

0

= S′v7 t7

𝐕𝟕 = 𝐒′𝐯𝟕 𝐭𝟕 (3.99)

Avec S′ : la section de la conduite de refoulement.

Analyse de la phase 8 : C’est le refoulement de l’eau du réservoir d’air dans la conduite de

refoulement quand le clapet anti-retour est fermé.

Calcul de t8 ∶ La durée t8 est égale à la durée pendant laquelle le clapet de refoulement reste fermé, soit :

𝐭𝟖 = t4 + t5 + t6 + t1 + t2 = 𝐭𝐜𝐲𝐜𝐥𝐞 − 𝐭𝟑

(3.100)

Nous appelons v la vitesse de l'eau dans la conduite de refoulement à tout instant (t) de cette phase.

Figure 3.03 : Mouvement de l'eau dans la conduite de refoulement

Calcul de la vitesse v(t) : Pour trouver la vitesse v(t), il est nécessaire de connaître l'évolution dans le temps de la pression PR

et du volume d'air comprimé Vair(7) situé dans la cloche. En assimilant cet air à un gaz parfait et

la détente de l'air à une transformation isotherme durant la phase 8, alors PR et V air sont alors liés

à tout instant (t)par la relation suivante :

PR(t) =PR(7) × Vair(7)

Vair(t)

(3.101)

Dans laquelle :


-----------------------------------


PR (7) : la pression d'air comprimé en fin de la phase 7 ;

Vair(7) : le volume d'air comprimé en fin de la phase 7.

Compte tenu du volume d'air du réservoir d’air Vair(atm) à la pression atmosphérique patm c'est-à-

dire au démarrage du bélier, le Vair(7) est donné par la relation suivante:

𝐕𝐚𝐢𝐫(𝟕) =𝐕𝐚𝐢𝐫(𝐚𝐭𝐦) × 𝐩𝐚𝐭𝐦

𝐏𝐑 (𝟕)

(3.102)

Nous appelons zRl'altitude du point R situé à l'interface air-eau du réservoir d’air, et Si la section

intérieure de ce réservoir d’air. La variation du volume d'air Vair(t) comprimé à tout instant

(t)s'écrit alors : dV air

dt= −Si

d(zR)

dt

(3.103)

Par ailleurs, la conservation du débit massique de l'eau dans la conduite de refoulement appliquée

entre les points R et G sur le plan d’eau du réservoir supérieur s'écrit : ρ(−Si )d(zR)

dt= ρS′v(t)

(3.104)

Enfin, le mouvement de l'eau entre ces deux points suit l'équation généralisée de Bernoulli et s'écrit

:

PR(t) + ρgzR(t) +1

2ρ (

d(zR)

d(zR))

2

= patm + ρgzG +1

2ρj′(v(t))2 + ρL′

dv

dt

(3.105)

Avec j′ = 1 + b′ + λ′ L′

D′

Où

b′ : le coefficient de perte de charge singulière de la conduite de refoulement ;

λ′: le coefficient de perte de charge linéaire de la conduite de refoulement ;

L′ : la longueur de la conduite de refoulement ;

d′ : le diamètre de la conduite de refoulement.

Compte tenu de (3.104), la relation (3.105) s'écrit :

PR(t) = patm + ρg(zG − zR(t)) +1

2ρ (j′ − (

S′

Si2)

2

) (v(t))2 + ρL′dv

dt

Laquelle se dérive en :

d(PR)

dt= ρg (

S′

Si ) v(t) + ρ (j′ − (

S′

Si2)

2

) v(t)dv

dt+ ρL′

d2v

dt2

Compte tenu de (3.103) et (3.104), la relation (3.96) se dérive en :

d(PR)

dt= − (

PR(7) × Vair(7)

(Vair(t))2 )

d(Vair)

dt= − (

(PR(7) × Vair(7))

(Vair(t))2 ) S′v(t)

En éliminant la quantité d(PR)

dt entre ces deux dernières relations, nous trouvons finalement

l'équation générale du mouvement de l'eau dans la conduite de refoulement à tout instant (t):


-----------------------------------


d2v

dt2+ Av(t)

dv

dt+ Bv(t) = 0

(3.106)

Dans laquelle dv

dt et

d2v

dt2 sont respectivement les dérivées première et seconde de la vitesse v par

rapport au temps t. Avec

A =1

L′(j′ − (

S′

Si )

2

)

(3.107)

B =S′

L′

g

Si +

1

ρ(

PR(7) × Vair(7)

(Vair(t))2)

(3.108)

En pratique, les quantités (S′

Si )

2

et (1+b′

L′) sont petites devant 1 et la relation (3.107) se simplifie en

:

𝐀 =𝛌′

𝐃′

(3.109)

Par ailleurs, le volume d'air comprimé V airvariant très peu par rapport au volume d'air comprimé

Vair(7) en fin de la phase 7, la relation (3.108) se simplifie en :

𝐁 =𝐒′

𝐋′

𝐠

𝐒𝐢 +

𝟏

𝛒(

𝐏𝐑(𝟕)

𝐕𝐚𝐢𝐫(𝟕))

En pratique, la quantité[ρg (Vair(7)

Si ) PR(7)]étant petite devant 1, cette relation se simplifie encore en

:

𝐁 =𝟏

(𝐕𝐚𝐢𝐫(𝐚𝐭𝐦) × 𝐩𝐚𝐭𝐦)

𝐒′

𝐋′

𝟏

𝛒(𝐏𝐑(𝟕))𝟐

(3.110)

L'équation (3.106) donnant la vitesse v(t) est une équation différentielle non linéaire du second

ordre. En effectuant le changement de variable suivant :

w =A

Bv

(3.111)

Alors cette équation s’écrit sous la forme simple :

d2w

dt2+ Aw(1 +

dw

dt) = 0

(3.112)

Laquelle s’intègre en :

f (dw

dt) =

1

2B(C − w2)

(3.113)

Où C est une constante dépendant des conditions particulières de la phase 8.

En pratique, l'accélération dv

dtne subissant pas de discontinuité durant la phase 8, la variable

dw

dt ne

peut jamais atteindre la valeur -1 et l'on a de plus : dw

dt> −1

Pour trouver w(t), il reste à intégrer l'équation (4.112). Mais ici, nous allons retenir seulement que

la vitesse v(t) , égale à A

Bw(t) est une fonction d'abord croissante de t puis décroissante (figure ci-

dessus).


-----------------------------------


La courbe w(t) possède un maximum égal à :

wmaxi = C1/2

Calcul de 𝐝𝐯

𝐝𝐭(𝐭 = 𝟎) et

𝐝𝐯

𝐝𝐭(𝐭 = 𝐭𝟖) :

L'utilisation de la relation (3.101) dans la relation (3.113) donne l'égalité suivante :

f (dw

dt) (t = 0) = f(

dw

dt)(t = t8)

La courbe w(t)et la courbe v(t) sont alors plus pentues en t = 0 qu’ent = t8.

D'où finalement les expressions de dv

dt(t = 0) et

dv

dt(t = t8), compte tenu de (3.111) :

dv

dt(t = 0) = (

B

A) (

dw

dt) (t = 0)

(3.114)

dv

dt(t = t8) = (

B

A) (

dw

dt) (t = t8)

(3.115)

Calcul de 𝐯𝟖 et 𝐰𝟕 :

En pratique et lorsque le fonctionnement du bélier est normal, la montée de pression de la cloche

reste raisonnable. Dans ce cas, la courbe v(t) est très plate. La vitesse moyenne de l'eau dans la

conduite de refoulement étant connue, la vitesse v8peut s'écrire

v8 = vmoyen (3.116)

Par ailleurs, compte tenu de (4.98) (4.111), nous trouvons l'expression équivalente de w7 :

w7 =A

Bvmoyen

(3.117)

Expression de 𝐕𝟖 :

Lorsque le fonctionnement du bélier est stabilisé, le volume d'eau refoulé dans la conduite de

refoulement à chaque cycle est exactement égal au volume d'eau introduit dans le réservoir d’air

pendant la même durée, ce qui s'écrit :

VR = V7 + V8 (3.118)

Avec VR : le volume d’eau refoulé

En pratique, la durée t7 étant petite par rapport à la durée d'un cycle, nous pouvons écrire de manière

simple

𝐕𝐑 = 𝐕𝟖 (3.119)

Par ailleurs, le volume V(t)véhiculé depuis le début de la phase 8 jusqu'au temps t s'écrit :

V(t) = S′ ∫ vdtt

0

=S′

A∫ A

t

0

wdt

Compte tenu de (3.112), cette expression s'intègre en :

V(t) =S′

Aln [

1 + (dw

dt) (t = 0)

1 + (dw

dt) (t)

]

D'où l'expression de V8 :


-----------------------------------


V8 =S′

Aln [

1 + (dw

dt) (t = 0)

1 + (dw

dt) (t = t8)

]

En posant E = ln [1+(

dw

dt)(t=0)

1+(dw

dt)(t=t8)

], nous avons : V8 =S′

AE

Et la connaissance de Vr permet donc de calculer facilement la quantité E utilisée.

Or, d’après (4.69) Vr = V8 = V3

Et le débit d’eau refoulé à la sortie de la conduite de refoulement est alors :

𝐐𝐑 =𝐕𝟑

𝐭𝐜𝐲𝐜𝐥𝐞 − 𝐭𝟑

(3.120)

QR : le débit d’eau refoulé à la sortie de la conduite de refoulement

Calcul de 𝐏𝐑(𝟕) :

Presque toutes les formules établies précédemment contiennent, de façon implicite ou explicite, la

constante PR(7)qu'il faut calculer en tenant compte de la montée de la pression dans le réservoir

d’air.

Compte tenu de (3.105) (3.109), l'expression de PR(7) s'écrit alors :

PR(7) = PR(t = 0) = ρgH + ρL′1

2Av7

2 +dv

dt(t = 0)

Ce qui est équivalent, compte tenu de (3.111), à l'expression suivante :

𝐏𝐑(𝟕) = 𝐩𝐚𝐭𝐦 + 𝛒𝐠𝐇 + 𝛒𝐋′𝐀

𝐁[𝟏

𝟐𝐁𝐰𝟕

𝟐 + (𝐝𝐰

𝐝𝐭) (𝐭 = 𝟎)]

(3.121)

En pratique, la quantité (dw

dt) (t = 0)est souvent petite devant 1. Cette quantité peut alors se

simplifier en :

(𝐝𝐰

𝐝𝐭) (𝐭 = 𝟎) =

𝐄

𝟐

(3.122)

Et la quantité se simplifie également en :

𝐰𝟕 =𝐄

𝐁𝐭𝐜𝐲𝐜𝐥𝐞

(3.123)

Compte tenu de (3.121), (3.122), et (3.123) ; nous pouvons écrire :

𝐏𝐑(𝟕) = 𝐩𝐚𝐭𝐦 + 𝛒𝐠𝐇𝐑𝐫

(3.124)

Avec :

Rr : Le ratio de montée de pression du réservoir d’air

3.2.2 Les paramètres importants et simplifications des formules pour un cycle

donné :

Les résultats pratiques ont permis la simplification des formules citées ci-dessus.


-----------------------------------


3.2.2.1 Relation entre la résistance F0 du clapet de choc à sa fermeture et la

vitesse v0 de la fermeture :

Le début du cycle correspond au début de la fermeture du clapet de choc. A cet instant, l'ensemble

des forces de pression Fp et de quantité de mouvement Fh qu'exerce l'eau sur le clapet est exactement

compensée par une résistance du clapet à sa fermeture F0 égale au poids du clapet augmenté de la

poussée du ressort de tarage (en cas d’utilisation d’un ressort).

Compte-tenu de la relation générale de RENAUD :

F = C v2 ; la relation entre cette force F0 et la vitesse recherchée v0 de l'eau à cet instant est la

suivante :

F0 = C v02

(3.125)

Où C est une fonction de plusieurs paramètres, notamment fonction croissante de la section droite

(Sc) de l'obturateur du clapet de choc et fonction décroissante de la course totale (s0) de ce clapet.

Plus précisément, nous pouvons écrire :

Force de pression :

FP = PS = (Pamont − Paval)S =1

2c v2S

Force de quantité de mouvement :

Fh = ρScv2

D'où l'expression approximative de C :

C = ρS (SC

S+

c

2)

Donc 𝐅𝟎 = 𝛒𝐒 (𝐒𝐂

𝐒+

𝐜

𝟐) 𝐯𝟎

𝟐 (3.126)

SC : Section droite de l'obturateur du clapet de choc

Cette expression montre que les forces hydrodynamiques (Fh) contribuent à la fermeture du clapet

de choc tout autant que les forces de pression statique (Fp).

La force de résistance F0 est alors calculée à partir de la vitesse v0 qui est elle aussi prise à partir de

la calcule suivante.

3.2.2.2 Estimation de la vitesse v0 du début de la fermeture du clapet de choc :

Détermination de la vitesse v0 pour commencer la fermeture du clapet de choc :

La vitesse minimale v0 est calculée en fonction de la forme de la soupape de choc, de la longueur

de la course s0 et le poids de la charge de la soupape.

1er cas : Pour un bélier existant et déjà fonctionnel

D’après la formule de Michaud : ∆hmax =2Lv0

gt1


-----------------------------------


Donc 𝐯𝟎 =𝐠 ∆𝐡𝐦𝐚𝐱 𝐭𝟏

𝟐𝐋

(3.127)

Pour un bélier existant, il est facile de trouver v0 en mesurant la surpression maximale à l’aide d’un

manomètre et le temps de la fermeture du clapet de choc par l’utilisation d’un oscilloscope. D’où

la connaissance dev0.

2ème cas : Cas d’un bélier à concevoir

Pour un bon fonctionnement d’un bélier, il est primordial de bien choisir la vitesse v0optimale afin

d’avoir un rendement élevé.

Etudions tout d’abord la mise en vitesse de l’eau dans la conduite de batterie, de longueur L et de

section S ; soumis à la pression statique h du réservoir d’alimentation et se débouchant à un orifice

s à l’air libre, qui est la soupape de choc.

Figure 3.04 : Mise en vitesse de l’eau dans une conduite

Nous nous bornerons à considérer les travaux accomplis de la tranche A à la tranche B.

Le théorème de Bernouilli donne la pression existante dans la tranche A :

pA = ρg(h −v2

2g)

La force totale agissant sur cette tranche est alors :

FA = ρg(h −v2

2g)S

Et en un temps dt, cette tranche se déplacera de dl = vdt et le travail accompli par la force appliquée

à la tranche A sera un travail moteur égal à :

WA = ρg(h −v2

2g)Svdt

(3.128)

La pression à la sortie de l’orifice est la pression atmosphérique et la vitesse de sortie à l’orifice

sera :

u = vS

s

(3.129)

Nous supposerons que les pertes de charges sont nulles entre B et la sortie ; cherchons ensuite la

pression en B. Le théorème de Bernouilli entre B et la sortie s’écrit :

pB

ρg+

v2

2g= 0 +

u2

2g

En remplaçant u par (3.129), la pression en B dévient :

PB = ρgv2

2g(S2

s2− 1)

(3.130)


-----------------------------------


La force correspondante appliquée à toute la tranche B fera dans le temps dt un travail qui sera un

travail résistant :

WB = ρgv2

2g(S2

s2− 1)Svdt

(3.131)

Il existe entre A et B , une force de frottement qui est Ff = kv2

2gS et cette force s’appliquera le long

du tuyau. Ce qui nous donne un travail résistant comme suit :

Wf = ρgkv2

2gSvdt

(3.132)

Nous appliquons alors le théorème de l’énergie cinétique entre la tranche A et la tranche B :

Nous définissons la force vive par le produit de la masse par le carré de la vitesse, ici, nous avons :

m = ρLS

(3.133)

La différéntielle de la puissance vive est alors :

d (ρLSv2

2) = ρLSvdv =

ωLS

gvdv

(3.134)

Avec ω = ρg

Donc : ωLS

gvdv = ρg (h −

v2

2g) Svdt − ρg

v2

2g(

S2

s2 − 1) Svdt − ρgkv2

2gSvdt

ρg (h −v2

2g) Svdt − ρg

v2

2g(

S2

s2− 1) Svdt − ρgk

v2

2gSvdt −

ωLS

gvdv = 0

(3.135)

Après simplification de (3.135), nous obtenons :

L

gdv = [h −

v2

2g(S2

s2+ k)] dt

(3.136)

C’est l’équation différentielle de l’établissement du régime d’écoulement de l’eau dans un tuyau

dont la section de sortie est constante et qui est soumise à une pression h constante.

Cette équation s’explicite sous la forme : dv

h − (S2

s2 + k)v2

2g

=g

Ldt

qui en posant : v√S2

s2+k

2gh= y

dévient :

dy

1 − y2=

1

2L√2gh(

S2

s2+ k)dt

dont l’intégrale est :

1

2log

1 + y

1 − y=

1

2L√2gh(

S2

s2+ k)t + c


-----------------------------------


Dans notre cas où v = 0 pour t = 0 , nous trouvons c = 0 nous remplaçons y par sa valeur et nous

obtenons :

t =L

√2gh(S2

s2 + k)

log

1 + √S2

s2+k

2ghv

1 − √S2

s2+k

2ghv

(3.137)

v = √2gh

S2

s2 + k

e√2gh(

S2

s2+k)t

L − 1

e√2gh(

S2

s2+k)t

L + 1

(3.138)

Revenons à la figure 3.04 et écrivons le théorème de Bernouilli depuis le réservoir d’alimentation

jusqu’à l’ouverture, lorsque le regime vm est établi :

pA

ρg+

vm2

2g=

pB

ρg+

vm2

2g+ k

vm2

2g

Et pB

ρg+

vm2

2g=

um2

2g

qui, combinées, donnent :

𝐯𝐦 = √𝟐𝐠𝐡

𝐒𝟐

𝐬𝟐 + 𝐤

(3.139)

Or cette valeur portée dans (3.139) annule le dénominateur du terme sous le signe log de sorte que

nous avons log ∞ et par suite :

tm = ∞ Donc, théoriquement, la vitesse du régime n’est atteinte qu’après un temps infini.

Et le débit qui aura coulé par l’orifice depuis le temps t = 0 où la vitesse était nulle jusqu’au

moment où la vitesse a une valeur quelconque v est :

dq = Svdt Nous remplaçons v par sa valeur (3.138) et nous intégrons, puis nous trouvons le débit :

q =LS

(S2

s2 + k)log

1

1 − (S2

s2 + k)v2

2gh

(3.140)

Ce débit tombant de la hauteur h fait un travail ρgqh . Or, dans le bélier, le but de cet écoulement

est de créer la puissance vive :ωLS

g

v2

2 .Dès lors le rapport de ces deux travaux sera en quelque sorte

le rendement de l’opération. Nous trouvons ce rendement égal à :

η =v2

2gh

S2

s2 + k

log1

1−(S2

s2+k)v2

2gh

(3.141)

L’équation (3.141) nous livre à une conclusion très importante en ce qui concerne le choix de la

vitesse v0 : si nous portons la valeur (3.139) de vm dans l’équation (3.141), nous trouvons que

η = 0. Il en resulte donc que le rendement du bélier serait nul si la vitesse v0 = vm.


-----------------------------------


Conclusion:

1- Il ne faut jamais prendre une valeur de v0 qui est égale à la vitesse du régime vm.

2- Si nous donnons à v

√2gh une valeur constante et nous prenons

S

s égal à un, c’est-à-dire que

la section de l’orifice grand ouvert est égal à celui du tuyau, puis S

s égal à une valeur

quelconque plus grande. Nous trouvons par exemple :

Avec v

√2gh= 0,4

S

s= 1 et k = 0 (pertes nulles)

η = 0,92

Et v

√2gh= 0,4

S

s= 2 et k = 0

η = 0,612

Nous constatons une chute remarquable du rendement provoqué par un etranglement à la sortie.

La section de l’ouverture d’un bélier ne devra donc pas être plus petite que celle du tuyau de batterie.

Elle pourrait même être plus grande à condition que cet avantage compenserait le supplément de

prix.

Donc, suite à notre hypothèse, nous prenons S = s et le rapport v

√2gh= m de la vitesse dans le tuyau

de batterie à la vitesse théorique du régime √2gh, que nous essaierons par la suite de déterminer.

Et c’est ce rapport m qui déterminera la vitesse v0.

Donc v0 = m√2gh = mvm

Ensuite le rendement est le rapport du travail utile au travail moteur. Le travail utile est égal au

poids ρgqu monté au niveau supérieur multiplié par la hauteur d’élévation H ; le travail moteur est

égal au poids ρgqmlivré au niveau inférieur multiplié par la hauteur de chute h. Donc , le rendement

est :

η =qu

qm

H

h

Le traçage de la courbe de rendement a permis de prendre expérimentalement la valeur de v0 comme

nous indique la courbe expérimentale suivante :

Voici par exemple, pour le cas du bélier mis en place à Anjiro :


-----------------------------------


Figure 3.05 : Courbe de rendement en fonction de m

A cause des mauvais réglages et des mauvais dimensionnements, le bélier n’a pas pu avoir un

rendement élevé mais il est quand même à conclure à partir de cette courbe qu’à une certaine valeur

de m, nous obtenons un rendement plus élevé.

Dans notre cas, ce plage est entre m = 0,4 et m = 0,6 , il est à remarquer qu’au-delà de 0,6, le

rendement commence déjà à baisser. La plupart des concepteurs ont pris m = 0,5 qu’ils ont ensuite

vérifié par réglage sur terrain.

Sur ce, dans la suite de notre étude, nous prenons v0opt

vm=

1

2

𝐯𝟎𝐨𝐩𝐭 =𝟏

𝟐𝐯𝐦

(3.142)

Et l’obtention de la valeur de v0 permettra ensuite de calculer la force Fo la résistance du clapet à sa

fermeture.

3.2.2.3 Simplifications des formules établies :

L’expérimentation a permis de simplifier les formules établis ci-dessus sans pour autant changer les

valeurs de chacun des paramètres que nous vérifierons ensuite dans le calcul pratique.

Le modèle de fonctionnement du bélier hydraulique repose essentiellement sur les paramètres

suivants :

Les caractéristiques de la conduite motrice (longueur L et section S) ;

0

0,1

0,2

0,3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Ren

dem

ent

m

La courbe de rendement en fonction de m

rendement


-----------------------------------


L’altitude du bélier (hauteur motrice h et hauteur de refoulement H) ;

Les caractéristiques du clapet de choc (coefficient de raideur K du joint et résistance F0 du

clapet à sa fermeture) ;

Les dimensions du dispositif de refoulement (volume d'air du réservoir d’air et diamètre

D’de la conduite de refoulement).

D'autres paramètres, tels que la course totale (e0) du clapet de choc et la section droite (Sc) de

l'obturateur de ce clapet, sont moins importants.

Pour le calcul pratique, des simplifications dans le tableau ci-dessous peuvent être adoptées :

Phase Temps Vitesse

1

t1 = √2s0

J

v1 = v0 +αt1

2≃ v0

2 t2 = Z ln (

v1

v2) = Z (

∆v

v1) (1 +

∆v

2v1)

v2 = v1 − ∆v

3 t3 =

2L

aN − t2 + tr =

Lv1

a∆v−

1

2Z

∆v

v1

v3 = v1 − 2N∆v ≃ 0

4

t4 = −2Z∆v

(v3 + v4)= −

2Z∆v

(v4 − v3)+

2L

a≃ 2√

ZL

a

v4 = −√v32 +

aZ

L∆v2

5 t5 =

2Lv5

gh

v5 = −v4

6

t6 =L

j√2gh

j

ln

(√2gh

j+ v0)(√

2gh

j− v5)

(√2gh

j− v0)(√

2gh

j+ v5)

=1

j

L

vmln [

1 +v0

vm

1 −v0

vm

] −1

g

L

hv5

≃4

3

1

g

L

hv0

v6 = v0

Tableau 3.01: Tableau de récapitulation des formules des phases du bélier

La durée du cycle :

Nous avons:

tcycle = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6

En remarquant que (∆v

v0)

2

est petit devant ∆v

v0 en pratique, nous pouvons écrire :

𝐭𝐜𝐲𝐜𝐥𝐞 = 𝐭𝟏 +𝟒

𝟑

𝟏

𝐠

𝐋

𝐡𝐯𝟎 +

𝟏

𝐠

𝐋

(𝐇 − 𝐡)𝐯𝟎 +

𝟏

𝟐𝐠

𝛒

𝐘

𝟏

𝐒

(𝐇 − 𝐡)

𝐯𝟎+ [(

𝐇 − 𝐡

𝐡) + 𝟐] √𝐋

𝛒

𝐘

𝟏

𝐒

(3.143)


-----------------------------------


La durée du cycle dépend essentiellement donc des caractéristiques de la conduite motrice (longueur

L et section S), de l'altitude du bélier (hauteurs h et H) et des caractéristiques du clapet de choc

(coefficient de raideur K = YSc2 du joint et force F0 = C v0

2du clapet).

Le débit moyen refoulé 𝑄𝑅 :

Après simplification de la relation (39), la quantité d’eau V3entrant dans le réservoir d’air s’écrit

comme suit :

V3 =1

2Sv1 (

L

a

v1

∆v− Z

∆v

v1)

En remplaçant v1, ∆v et Z ; nous avons :

𝐕𝟑 = [𝟏

𝟐𝐒

𝟏

𝐠

𝐋

𝐡

𝐡

(𝐇 − 𝐡)𝐯𝟎

𝟐] − [𝟏

𝟐𝐠𝐡 (

𝐇 − 𝐡

𝐡)

𝛒

𝐘]

(3.144)

Or 𝐐𝐑 =𝐕𝟑

𝐭𝐜𝐲𝐜𝐥𝐞

Le débit moyen refoulé dépend essentiellement donc des caractéristiques de la conduite motrice

(longueur L et section S), de l'altitude du bélier (hauteurs h et H) et des caractéristiques du clapet

de choc (coefficient K = YSc2 du joint et force F0 = C v0

2 du clapet).

Après étude de l'influence de chacun de ces paramètres sur le débit QR ; nous constatons que QR est

une fonction :

Croissante de la section S, du coefficient K et de la hauteur h ;

Décroissante de la hauteur H ;

D’abord croissante de la longueur L puis décroissante ;

D’abord croissante de la force F0 puis décroissante.

Pour un joint relativement rigide du clapet de choc Z = 0 ; nous avons les particularités suivantes :

QR en fonction de H s'annule pour une hauteur H particulière vérifiant la relation :

Hmax = h +1

W

a

gv0

(3.145)

Avec W : coefficient d'instantanéité de fermeture du clapet de choc.

QR en fonction de L possède un maximum qui est atteint pour un rapport particulier (mpart)

vérifiant la relation :

(jpart)2 D

λv0t1

1

(Lpart)2 = mpart

Avec :

mpart =v0

vm part

vm part = √2gh

jpart

jpart = 1 + b + c + λLpart

D


-----------------------------------


Ce qui donne pour solution approchée :

mpart = √1

2gh(1 + b + c)v0

2 + √5

4

λ

Dv0t1

QRmaxi =1

2Sv0

h

(H − h)(1 − mpart

2) (3.146)

La longueur L influe très peu sur le débit moyen refoulé, en-dehors des longueurs extrêmes (cas :

V3 = 0 et cas : v0 = vm ). Diminuer la longueur L fait battre le bélier plus vite mais diminue dans

la même proportion le volume d'eau refoulé par cycle. Cependant, ce cas théorique ne se produit

jamais en fonctionnement optimal lorsque la vitesse v0 est modifiée en même temps que la longueur

L.

QR en fonction de F0 possède un maximum qui est atteint pour un rapport particulier m part

proche de la valeur 0,85 et vérifiant les relations :

mpart = √G + 1,28

G + 2

QRmaxi = Svm

h

(H − h)mpart(1 − mpart

2) (3.147)

Avec :

mpart =v0

vm part

G =jvmt1

L

Cette quantité G, sans unité, est une caractéristique fondamentale du bélier.

Le débit QR en fonction de F0 varie peu autour de la force particulière F0part. En pratique, la force

F0 influe très peu sur le débit moyen refoulé lorsque le rapport m passe de la valeur 0,50 à la valeur

0,85.

Afin de minimiser la fatigue du clapet de choc dans le temps, nous retiendrons donc la valeur m part

= 0,50.

Le rendement global du bélier ou rendement de Rankine :

Si QA,QE , QR désignent les débits volumiques moyens respectivement A débit moyen absorbé, E

débit moyen éjecté et R débit moyen refoulé. Le rendement global du bélier ou rendement de

Rankine vaut alors par définition :

𝛈 =𝐐𝐑

𝐐𝐄

(𝐇 − 𝐡)

𝐡

(3.148)

Par ailleurs, la loi de conservation du débit s’écrit :

QA = QE + QR


-----------------------------------


D’où :

𝛈 =(

𝐇

𝐡− 𝟏)

(𝐐𝐀

𝐐𝐑− 𝟏)

(3.149)

Il est aussi à remarquer le débit d’eau éjecté est QE =V1+V6

tcycle et le débit d’eau refoulé est déterminé

selon la relation (3.144) et simplifications faites, nous obtenons :

V1 + V6 = Sv0t1 + (2

3

L

ghS(vo opt)

2) − [

1

2gh

ρ

Y(

H − h

h)

2

]

En remplaçant QR et en simplifiant les valeurs, nous obtenons :

𝛈 =(

𝟏

𝟐𝐒

𝐋

𝐠𝐡𝐯𝟎

𝟐) − [𝟏

𝟐𝐠

𝛒

𝐘𝐡 (

𝐇−𝐡

𝐡)

𝟐

]

𝐕𝟏 + 𝐕𝟔

(3.150)

Le rendement global η dépend donc essentiellement des caractéristiques de la conduite motrice

(longueur L et section S), de l'altitude du bélier (hauteurs h et H) et des caractéristiques du clapet

de choc K et F0 du clapet.

Après étude de l'influence de chacun de ces paramètres sur le rendement global η ; nous obtenons

que η est une fonction :

- Croissante de la section S et du coefficient K ;

- D’abord croissante de la longueur L puis décroissante ;

- D’abord croissante de la hauteur h puis fortement décroissante ;

- D’abord croissante de la hauteur H puis faiblement décroissante ;

- D’abord croissante de la force F0 puis décroissante.

Pour un joint relativement rigide du clapet de choc (K grand donc Z = 0), nous avons en plus les

particularités suivantes :

Le rendement de Rankine η fonction de L possède un maximum qui est atteint pour un

rapport particulier mpart vérifiant la relation :

mpart = √1

2gh(1 + b + c)v0

2 + √15

8

λ

Dv0t1

(3.151)

Le rendement de Rankine η fonction de h possède un maximum qui est atteint pour un

rapport particulier (m part) vérifiant les relations :

mpart = (G′

G′ + 1)

1/4

ηmax = 1 − mpart2

Avec :

G′ =jv0t1

L


-----------------------------------


mpart =v0

vm part

vm part = √2ghpart

j

(3.152)

Le rendement global η en fonction de H s'annule pour une hauteur H particulière vérifiant

la relation :

Hmax = h +1

W

a

gv0

Le rendement global η fonction de H possède un maximum qui est atteint pour une hauteur

H particulière (H part).

En se plaçant autour du point de fonctionnement optimal v0opt du bélier et lorsque la quantité t1hg

v0L

est petite devant 1, H part vérifie les relations :

Hpart = h [1 + 2S (1

4

k"

ghvo opt

2) (K

Sc2) (

1

ρL) (

v0L

gh)

2

]

1/3

ηmax =3

4[1 −

k"v02

4g(H − h)]

(3.153)

Le rendement global η fonction de F0 possède un maximum qui est atteint pour un rapport

particulier (m part) vérifiant les relations :

mpart = (G

G + 3)

1/4

avec

mpart =v0

vm part et G donné par la relation : G =

jvmt1

L

3.2.3 Les conditions nécessaires pour un fonctionnement optimal du bélier

3.2.3.1 La durée du cycle :

Pour un joint relativement rigide du clapet de choc, en choisissant un fonctionnement optimal de la

vitesse v0 du bélier, la relation (3.143) se simplifie en :

(𝐭𝐜𝐲𝐜𝐥𝐞)𝐨𝐩𝐭𝐢𝐦𝐚𝐥

= 𝐭𝟏 +𝟏

𝐠

𝐋

𝐡𝐯𝟎𝐩𝐭 [

𝟒

𝟑+

𝐡

(𝐇 − 𝐡)]

(3.154)

3.2.3.2 Formule simplifiée de QR : le débit moyen de refoulement :

De façon générale, pour un joint relativement rigide du clapet de choc (K grand donc Z = 0), en se

plaçant autour du point de fonctionnement optimal du bélier, les relations (3.120) et (3.69) se

simplifient en :


-----------------------------------


𝐐𝐑 =𝟏

𝟐𝐒𝐯𝟎𝐨𝐩𝐭

𝟑𝐡

𝟒(𝐇−𝐡)

𝟑𝐡

𝟒(𝐇−𝐡)+

𝟑𝐭𝟏𝐠𝐡

𝟒𝐋𝐯𝟎𝐨𝐩𝐭+ 𝟏

(3.155)

3.2.3.3 Formule simplifiée du rendement Rankine η :

De façon générale, pour un joint relativement rigide du clapet de choc (K grand donc Z = 0), en se

plaçant autour du point de fonctionnement optimal v0opt du bélier ; la relation (3.150) se simplifie

en :

𝛈𝐨𝐩𝐭𝐢𝐦𝐚𝐥 =𝟑

𝟒[𝟏 + (

𝟑

𝟐

𝐭𝟏𝐡𝐠

𝐯𝐨𝐩𝐭𝐋)]

(3.156)

Remarque : Le rendement global du bélier ne peut donc pas dépasser la valeur 3/4 (pour t1 proche

de zéro seconde), avec une valeur optimale de 2/3 (pour des valeurs usuelles de t1).

3.2.3.4 Formule simplifiée de débits moyens éjecté QE et absorbé QA:

Compte-tenu de (3.144), (3.149) et (3.150) pour un joint relativement rigide du clapet de choc (K

grand donc Z = 0), en se plaçant autour du point de fonctionnement optimal v0opt du bélier ; QE et

QA se simplifient respectivement en :

𝐐𝐄𝐨𝐩𝐭 =

𝟏

𝟐𝐒𝐯𝐨𝐨𝐩𝐭 (𝟏 +

𝟑𝐭𝟏𝐡𝐠

𝟐𝐯𝟎𝐋)

𝟏 +𝟑

𝟒(

𝐡

𝐇−𝐡) +

𝟑𝐭𝟏𝐡𝐠

𝟒𝐯𝟎𝐋

(3.157)

QA opt =

1

2Svo opt (1 +

3

4(

h

H−h) +

3t1hg

2v0L)

1 +3

4(

h

H−h) +

3t1hg

4v0L

(3.158)

3.2.3.5 La puissance utile Pu :

La puissance utile Pu pour monter l'eau d'une hauteur (H - h) s'exprime par :

𝐏𝐔 = 𝛒𝐠(𝐇 − 𝐡)𝐐𝐑

Compte-tenu de à compléter (QR opt) ; pour un joint relativement rigide du clapet de choc (K grand

donc Z = 0), en se plaçant autour du point de fonctionnement optimal v0opt du bélier et pour une

quantité 𝟑𝐭𝟏𝐡𝐠

𝟒𝐯𝟎𝐋 petite devant 1, cette relation s'écrit :

𝐏𝐔𝐨𝐩𝐭 =𝛒𝐠𝐒𝐯𝐨𝐨𝐩𝐭𝐡

𝟑(𝐇−𝐡)

𝟖𝐡(𝐇−𝐡)

𝐡+

𝟑

𝟒

(3.159)


-----------------------------------


3.2.3.6 Recommandations pour un fonctionnement optimal :

Les paramètres essentiels ayant une conséquence directe sur le tcycle, QR et 𝛈 sont L, S, K = Y Sc2,

h, H, F0 = Cv02.

Chacun de ces paramètres influe relativement peu sur le temps de cycle tcycle, dans la mesure où

nous nous éloignons des temps de cycle extrêmes (cas : v0 = vm et cas : h = H).

En pratique, selon l'installation et la taille du bélier, tcycle varie de 0,7 s à 4 s ;

- L'augmentation de la section S de la conduite motrice ou de la raideur du joint du clapet de

choc de coefficient K donne un rendement global 𝛈 et un débit moyen refoulé QR plus

grands ;

- L'augmentation de la longueur L de la conduite motrice donne d'abord un rendement global

et un débit moyen refoulé plus grand, et qui dégrade ensuite ces deux caractéristiques ;

- L'augmentation de la hauteur motrice h du bélier donne d'abord un rendement global et un

débit moyen refoulé plus grands, et qui dégrade ensuite le rendement global ;

- L'augmentation de la hauteur de refoulement H du bélier donne d'abord un rendement global

plus grand et un débit moyen refoulé plus petit, et qui dégrade ensuite ces deux

caractéristiques ;

- L'augmentation de la résistance F0 du clapet de choc à sa fermeture donne d'abord un

rendement global et un débit moyen refoulé plus grands, et qui dégrade ensuite ces deux

caractéristiques.


-----------------------------------


Les recommandations pour la construction et l’installation du bélier

hydraulique

4.1 Les conditions de fonctionnement du bélier :

Les conditions de fonctionnement théoriques d'un bélier hydraulique sont les suivantes :

4.1.1 Alimentation continue en eau

Le bélier ne doit pas s'arrêter à cause des obstacles ou par manque d'eau dans la conduite motrice.

Pour cela :

- L'eau doit être propre, sans corps étrangers flottants (herbes, feuilles...) ou immergés

(solides, petits animaux...).

Solution : utiliser un système de filtre à l’entrée de la conduite de batterie. Si l’eau est assez

turbide et présentant de nombreux débris, des grillages de pré-filtre sont nécessaires afin de ne

pas colmater rapidement le filtre.

- L'eau ne doit pas contenir de poches d'air, dont l'élasticité dégraderait l'onde de choc dans

la conduite motrice (avec réduction du débit refoulé) et limiterait également le recul de l'eau

dans la conduite motrice (avec risque d'arrêt du bélier lorsque le clapet de choc ne s'ouvre

plus) ;

Solution : s'assurer que la conduite motrice est bien étanche et ne possède aucun tronçon à courbure

négative et que la conduite motrice est remplie d’eau.

- L'eau doit être disponible en permanence, en étiage comme en période de crue.

4.1.2 Fermeture du clapet de choc

A la fin de la phase 1, le clapet de choc doit impérativement se fermer, sous peine d'interrompre le

cycle de fonctionnement du bélier. Pour cela :

Le clapet de refoulement doit déjà être fermé, ce qui correspond à un écart positif de pression de

part et d'autre de ce clapet, soit :

ρg (H - h) > 0

Ou encore :

h/H < 1

La vitesse de l'eau dans la conduite motrice ne doit jamais atteindre le régime permanent, ce qui

correspond à la condition :

v1 <vm

Donc :

v0 / vm< 1

4.1.3 Ouverture du clapet de refoulement

A la fin de la phase 2, le clapet de refoulement doit impérativement s'ouvrir, sous peine

d'interrompre le cycle de fonctionnement du bélier. Pour cela, nous devons avoir :

(∆p)1 > ρ g (H - h) + (F2 / s') (4.01)

Avec ∆h1 =∆p1

ρg

où F2 est la résistance du clapet de refoulement à son ouverture à la fin de la phase 2,

et s' est la section droite de l'obturateur du clapet de refoulement.


-----------------------------------


Nous supposons que le clapet de refoulement est bien réglé de façon à ce que la pression mécanique

(F2 / s') soit négligeable par rapport à la différence de pression statique égale à : ρg(H - h).

Pour cela, le poids total du clapet de refoulement ne doit pas être excessif et le ressort de

compression doit avoir une raideur non excessive ainsi qu'une longueur sous charge non trop

réduite. Sous ces conditions, la condition théorique d'ouverture du clapet de refoulement est

équivalente à la condition suivante :

v0> (g/a) (H-h)

En pratique, le clapet de choc ne se ferme pas instantanément, induisant une variation initiale de

pression (∆p)1 inférieure à la variation théorique. La condition pratique d'ouverture du clapet de

refoulement s'écrit alors :

v0> (1/W) (g/a) (H-h) (4.02)

4.1.4 Fermeture du clapet de refoulement

A la fin de la phase 3, le clapet de refoulement doit impérativement se fermer, sous peine

d'interrompre le cycle de fonctionnement du bélier. Cette condition est toujours vérifiée vu que la

vitesse de l'eau dans la conduite motrice diminue à chaque passage de l'onde de pression.

4.1.5 Ouverture du clapet de choc

A la fin de la phase 4, le clapet de choc doit impérativement s'ouvrir, sous peine d'interrompre le

cycle de fonctionnement du bélier. Juste après la fermeture du clapet de refoulement, la dernière

onde descendante N dans la conduite motrice (dépression (∆h)N) se réfléchit sur le clapet de choc

également fermé. Ce qui a pour conséquence de changer le signe de la variation de vitesse de l'eau

(∆v)N sans changer le signe de la variation de pression (∆h)N. Le clapet de choc s'ouvre alors sous

la double dépression (d'intensité égale à 2 (∆h)N). Pour cela, cette dernière doit être suffisante et

vérifier la condition suivante :

Avec

∆𝐡 =∆𝐩

𝛒𝐠

2 (∆p)N + (F3 / Sc) > ρg h

Où F3 est la résistance du clapet de choc à sa fermeture à la fin de la phase 3. Par ailleurs, aux pertes

de charges près dans le clapet de refoulement, cette dépression vaut approximativement :

(∆p)N = ρg(H - h)

Une condition de fonctionnement suffisante est donc la suivante : h

H<

2

3

(4.03)

Remarque : Cette relation est un peu différente de celle donnée par tous les auteurs dans la mesure

où ils supposent a priori que l'ouverture du clapet de choc se produise par la dépression incidente et

non par la dépression réfléchie. Dans ce cas, la condition de fonctionnement est la suivante :


-----------------------------------


h

H<

1

2

(4.04)

4.1.6 Renouvellement de l’air dans la cloche

Sous la pression statique due à la colonne d'eau dans la conduite de refoulement (p statique = patm

+ ρgH), l'air de la cloche se dissous lentement dans l'eau jusqu'à saturation. L’idéale est d’utiliser

un ballon à vessie afin d’atteindre le rendement maximal.

4.1.7 Résistance de toute l'installation aux sollicitations mécaniques

Toute l'installation, en particulier la cloche à air, doit résister aux sollicitations mécaniques quatre

types :

- La Pression limite :

Tous les composants (conduite, coude, té, raccord, réduction, vanne, manomètre, cloche, clapet...)

doivent résister à cette pression limite.

Tous les composants doivent être parfaitement étanches à l'air à l'eau et, à la fois

- Les chocs et les vibrations

Les chocs et les vibrations induites altèrent toutes les fixations. Il convient notamment de freiner

toutes les vis (écrou Nylstop).

-La fatigue des organes en mouvement

Certains organes en mouvement fatiguent vite s'ils ne sont pas bien choisis et/ou dimensionnés.

- L’usure des organes en mouvement

Des organes en mouvement l'un par rapport à l'autre s'usent rapidement si leur conception et/ou leur

matériau est mal choisi à l’exemple du clapet de choc et du guidage de l'obturateur des clapets.

4.2 Recommandations pour l’installation du bélier :

Les conditions pratiques pour construire et installer correctement un bélier hydraulique sont les

suivantes :

4.2.1 Le collecteur d'eau ou la prise d'eau :

Le collecteur d'eau a pour fonction de fournir au bélier un volume d'eau permanent, renouvelé et

propre. Il doit, en particulier :

- Etre muni d'un trop-plein afin d'évacuer l'eau de source excédentaire ;

- Etre muni d'une vidange placée au fond afin de pouvoir nettoyer facilement le collecteur ;

- Etre séparé en deux chambres par une cloison centrale de hauteur légèrement inférieure à

l'arrivée d'eau de source, afin de ne pas envoyer de l’air dans la conduite motrice ;

- Avoir une grille de filtrage à l'entrée de la conduite motrice afin d'empêcher le passage des

poissons et des déchets flottants ;

- Avoir un couvercle ou un toit au-dessus du collecteur pour pallier à la chute des feuilles ;

- Avoir suffisamment un fond situé au-dessous de l'entrée de la conduite motrice afin de la

protéger des déchets solides (vase, sable, gravier, etc.)] ;

- Avoir suffisamment un niveau d'eau situé au-dessus de l'entrée de la conduite motrice afin

de l'alimenter en continu en évitant la formation d'un tourbillon (vortex) qui introduirait de

l'air ;


-----------------------------------


- Avoir une grille anti-vortex à l'entrée de la conduite motrice afin de retarder au maximum

la formation du vortex d'air qui se formerait éventuellement si le niveau d'eau dans le

collecteur est trop proche de cette entrée ou si ce niveau d'eau baisse de façon

exceptionnelle.

4.2.2 La conduite motrice :

La conduite motrice a une double fonction : acheminer l'eau vers le corps du bélier et entretenir une

onde de choc puissante (coup de bélier) pour pouvoir refouler un maximum d'eau à chaque cycle.

Elle doit, en particulier :

- Avoir une section S la plus grande possible pour avoir un débit refoulé maximal, mais non

excessive pour ne pas épuiser le débit source ;

- Avoir une longueur L relativement petite sans l’être excessivement ;

- Etre réalisée en matériaux rigides tels que tuyaux d'acier ou de fonte afin de résister aux

chocs ;

- Avoir le moins de coudes et de courbes latérales possible ;

- Etre parfaitement étanche, avec une pente régulière et sans contre-pentes. Au cas où, la

parie en amont de la conduite motrice est percée (causé en général par des gaz issus de

certaines eaux chargées de carbonate de chaux), il conviendra de surveiller et de changer

cette conduite ;

- Etre munie d'une vanne d'arrêt située en aval de la conduite, côté bélier, afin de permettre

un isolement et un démontage facile du bélier ou vidange de la conduite en cas

d’intervention nécessaire.

Recommandation : Une conduite motrice en matériau de type PEHD ou PVC rigide est un bon

exemple de choix pratique et économique, seulement pour de faibles hauteurs de refoulement H.

Pour des hauteurs importantes, il est nécessaire de choisir une conduite en fonte ou acier procurant

une grande vitesse d'onde a dans la conduite motrice. Cette grande vitesse d'onde engendre un coup

de bélier suffisamment puissant pour élever l'eau refoulée à la hauteur souhaitée H (avec H maxi =

h + W (a/g) v0) compte-tenu de la vitesse de l'eau v0 dans la conduite motrice imposée par la hauteur

motrice h.

4.2.3 Le corps du bélier :

Le corps du bélier a pour fonction de relier physiquement les différents composants (conduite

motrice, clapet de choc, clapet de refoulement, cloche à air, conduite de refoulement). Il doit, en

particulier :

- Etre situé à une hauteur motrice h satisfaisant la triple condition suivante :

o Hauteur suffisante pour que l'onde de choc dans la conduite motrice puisse ouvrir

le clapet de refoulement ;

o Hauteur la plus grande possible pour avoir un débit refoulé maximal ;

o Hauteur non excessive pour que le clapet de choc puisse se rouvrir

automatiquement ;

- Etre conçu pour engendrer, de façon idéale, une onde de choc plane et perpendiculaire à

l'axe de la conduite motrice. Trois conceptions existent : la cloche à air peut être placée en

amont, en aval ou au même niveau du clapet de choc ;

- Avoir des pièces mobiles (clapets de choc et de refoulement) bien résistant aux chocs et aux

attaques corrosives de certaines eaux ;

- Avoir des ressorts résistant bien à l'eau (par exemple, en acier inox) ;

- Avoir des boulons facilement dévissables, même après vingt ans de fonctionnement, par

exemple en enduisant les vis et les intérieurs d'écrou ;


-----------------------------------


- Etre fixé sur une structure solide et bien horizontal.

4.2.4 Le clapet de choc :

Il a pour fonction de se fermer rapidement dès que la vitesse de l'eau dans la conduite motrice atteint

un seuil prédéterminé. Il doit, en particulier :

- Etre conçu pour résister aux frottements, chocs et fatigue sur un grand nombre de cycles ;

- Avoir une section optimale de passage de l'eau entre l'obturateur et le corps du clapet ;

- Avoir, si possible, un obturateur le plus léger qu’il soit pour des fermetures et des ouvertures

rapides ;

- Etre parfaitement étanche en position fermée pour ne pas induire un coup de bélier médiocre

;

- Avoir une résistance à la fermeture F0 et une course totale e0 particulièrement bien ajustée

et réglable de l’extérieur ;

- Etre conçu pour que ces deux réglages (F0 et e0) soient totalement indépendants de façon à

pouvoir régler facilement le bélier sur site ;

- Etre conçu pour que le flux d'eau dans la conduite motrice vienne, de façon idéale, percuter

l'obturateur perpendiculairement à la surface de son chapeau ;

- Avoir un joint dont la raideur soit maximale. L'idéal est d'avoir un contact sans joint (métal-

métal), l'obturateur et son siège se durcissant mutuellement par martelage (ou écrouissage

ou matage).

4.2.5 Le clapet de refoulement :

Le clapet de refoulement a pour fonction de s'ouvrir largement et rapidement au passage de l'eau

vers la cloche à air, puis de se fermer immédiatement dès que la vitesse de l'eau traversant le clapet

devient insuffisante. Il doit, en particulier :

- Etre conçu pour résister aux frottements, chocs et fatigue sur un grand nombre de cycles ;

- Avoir un obturateur le plus léger possible avec une technologie bien étudiée pour des

fermetures et ouverture rapides ;

- Avoir un large flux (grande section de passage de l'eau) entre l'obturateur et le corps du

clapet pour induire une faible perte de charge singulière (et donc un grand volume d'eau

refoulé dans la cloche ;

- Etre parfaitement étanche en position fermée pour ne pas laisser l'eau refluer en arrière.

4.2.6 La cloche à air a une double fonction :

La cloche à air a une double fonction : emmagasiner à chaque cycle un maximum d'eau injecté en

un minimum de temps, et amortir les chocs dans la partie haute du bélier (dispositif anti-bélier).

Elle doit, en particulier :

- Etre conçue (ainsi que toute l'installation, y compris la conduite motrice) pour résister à la

pression limite ;

- Etre parfaitement étanche, à la fois, à l'eau et à l'air, au niveau des assemblages entre pièces

;

- Avoir un volume d'air suffisant ;

- Etre conçue pour que l'air en excès dans la cloche soit résorbé automatiquement (par

exemple, en plaçant le départ de la conduite de refoulement au-dessus du clapet de

refoulement, de façon à ce que l'air en excès soit entraîné par l'eau de refoulement) ;

- Avoir un système de vidange de l'eau en cas de montée accidentelle de celle-ci dans la

cloche.


-----------------------------------


4.2.7 Le système de renouvellement d'air dans la cloche

Le système de renouvellement d'air dans la cloche a pour fonction de renouveler l'air qui se dissout

progressivement dans la cloche sous la pression de refoulement.

Il doit, en particulier :

- Etre conçu pour renouveler automatiquement cet air par un reniflard, une pompe à air ou

tout autre moyen approprié ;

- Avoir un dispositif de réglage extérieur du débit d'air aspiré.

Recommandation : Pour un fonctionnement optimal, un bélier à reniflard, avec une cloche d’air,

doit être vidangé une fois par semaine afin de le réalimenter en air.

4.2.8 La conduite de refoulement :

La conduite de refoulement a pour fonction d'acheminer l'eau de la cloche vers le réservoir

supérieur. Elle doit être particulièrement :

- Avoir un diamètre D’suffisant ;

- Ne pas avoir de contre-pentes qui piègeraient l'air dans les "dos d'âne" de la conduite et

empêcheraient l'eau de remonter ; si cette situation ne peut pas être évitée compte-tenu des

ondulations du terrain, il faut placer des purgeurs d'air automatiques au point haut de chaque

"dos d'âne" de la conduite.

4.2.9 Le réservoir supérieur :

Le réservoir supérieur a pour fonction de stocker l'eau refoulée en attente de consommation

courante. Il doit principalement :

- Etre situé au-dessus des zones de consommation de l'eau afin de permettre un écoulement

par gravité vers ces zones ;

- Etre muni d'un trop-plein afin d'évacuer l'eau excédentaire ;

- Etre muni d'une conduite de recyclage pour ne pas gaspiller l'eau qui sort du trop-plein.

PARTIE III :

CONCEPTION D’UN

NOUVEAU MODELE DE

BELIER HYDRAULIQUE

Partie III : Conception d’un nouveau modèle de bélier hydraulique

-------


Dimensionnement du bélier hydraulique

En effectuant une évaluation des béliers existants, sur leur mode d’installation, leur

fonctionnement, leur rendement et leur coût, nous avons apporté des améliorations par rapport à

ces points.

Le calcul suivant intéressera plus particulièrement les organes travaillant dans le relevage d’eau

en utilisant le système de bélier hydraulique étant donné qu’il donne des résultats plus généraux et

plus précis que les abaques utilisés par la plupart des fabricants.

5.1 Calcul du bélier :

5.1.1 Les données initiales :

Les données initiales dont nous disposons en général sur un bélier en projet sont les suivantes :

- QA mini : débit source minimal obtenu en général en période d'étiage ;

- QR : débit moyen refoulé correspondant au besoin de consommation en eau en sortie du

réservoir supérieur ;

- h : hauteur motrice entre le collecteur et le bélier ;

- H : hauteur de refoulement entre le bélier et le réservoir supérieur ;

- L : longueur moyenne de la conduite motrice ;

- L’: longueur moyenne de la conduite de refoulement.

5.1.2 Démarche du calcul :

Nous nous plaçons, naturellement, à l'optimum de la vitesse du fluide dans la conduite motricev0 =vopt.

Pour une installation donnée, les paramètres n, λ, b, c, a, H, QA mini, λ’, L’sont connus et le ratio

k est à imposer. Nous calculerons ensuite les inconnus suivants : hmaxi, L, vo, S, K, Vair(atm) et

D’.

5.1.2.1 Calcul de h et L :

Pour un fonctionnement optimal, il est nécessaire d’avoir une hauteur motrice h plutôt grande mais

respectant la condition d’ouverture du clapet de choc h = h maxi et inférieur à H/2.

En pratique, les auteurs présentent une fourchette (basse et haute) pour la longueur L. La longueur

L n'étant pas déterminante dans l'optimisation d'un bélier ; nous pouvons prendre arbitrairement :

L = nh

Et d’après (3.151), nous prenons en général n = 6 à 10

5.1.2.2 Calcul de vo et D :

D’après (3.142) v0 =1

2vm =

1

2√

2gh

j

Avec j = 1 + b + c + λL

D

Le calcul du diamètre D se fait par la méthode itérative suivante :

Compte-tenu de vm, la vitesse optimale vo opt s’écrit :


-------


v0 = f(D) (5.01)

Avec

f(D) = (1

2

gh

j)−

1

2 :

Pour une alimentation continue en eau telle que au point de fonctionnement optimal (v0 opt) du

bélier:

k QA mini > QBopt

D’où :

D < F(y)

Avec :

F(y) = (

y

k1(k2 +

y

2)

k2 + y)

−1/2

Où y =1

v0

Et k1 =π

8

kQA mini ; k2 =

2

3(

1+3h

4(H−h)

gt1h

L

)

La fonction F(y) étant inversible et par ailleurs croissante quand y s’accroit, la relation à compléter

s’écrit :

y> F-1(D)

Ce qui s'écrit encore, compte-tenu de la relation :

v0< 1/F-1(D)

avec : 1

F−1(D)=

1

(k1D2 − k2 + √(k1D2)2 + (k2)2)

Compte − tenu de ces relations et quand (S maxi donc D maxi), la recherche de la solution pour

v0 et D se ramène donc à la recherche du zéro de la fonction g(D) telle que :

g(D) = f(D) - 1/F-1(D). (5.02)

La méthode classique de dichotomie consiste à choisir deux diamètres (notés p et q) qui encadrent

un zéro de la fonction g(D) et, à chaque itération, à choisir l'un des deux intervalles [p, D] ou [D,

q], D = (p + q)/2 étant le milieu de l'intervalle [p, q]. Vu que g(D) est continue avec un seul zéro

entre p0 et q0, la méthode converge toujours vers la solution avec toutefois une vitesse de

convergence relativement lente (linéaire). La méthode consiste à appliquer successivement les 4

étapes suivantes :

1- Calcul du milieu de l'intervalle : D = (p + q)/2 ;

2-Calcul de g(D) ;

3- Si |g(D)| très petit, alors D est la solution recherchée ;

4- Sinon nous remplaçons p par D si g(D). g(p) > 0, et q par D dans le cas contraire, puis nous

retournons en (1).


-------


5.1.2.3 Vérification de la contrainte de l'onde de choc suffisante :

A la fin de phase 2, le clapet de refoulement doit impérativement s'ouvrir, sous peine d'interrompre

le cycle de fonctionnement du bélier. La condition théorique d'ouverture du clapet de refoulement

est équivalente à la condition suivante :

v0 >g

a(H − h)

(5.03)

En pratique, le clapet de choc ne se ferme pas instantanément, induisant une variation initiale de

pression qui est inférieure à la variation théorique. La condition pratique d'ouverture du clapet de

refoulement s'écrit alors :

v0 >1

W

g

a(H − h)

(5.04)

Avec W coefficient d'instantanéité de fermeture du clapet de choc (W < 1). Ce coefficient dépend

fortement de la technologie utilisée pour résister à la fermeture du clapet de choc durant sa course.

Pour une technologie à résistance constante (clapet rappelé par son poids propre, poids additionnel

ou contrepoids extérieur), W vaut généralement 0,9. Pour une technologie à résistance croissante

(clapet rappelé par ressort), W vaut généralement 0,5 voire moins.

5.1.2.4 Calcul de K :

K étant le coefficient de raideur du joint du clapet de choc ; pour un rendement maximal, il faut

un clapet de choc avec un joint de raideur K la plus grande possible. Si K grand, la constante de

temps Z=0 ; le volume d’eau refoulé dans la cloche à air serait maximal.

K est de l’ordre de 5 à 5 106 N/m.

5.1.2.5 Calcul de Vair(atm) et D' :

Il est important de bien dimensionner le dispositif de refoulement afin de :

- Protéger l'installation des coups de bélier éventuels. L'absence totale d'air dans la cloche est

dangereuse. L'eau de la conduite de refoulement s’oppose à une inertie qui permettrait à un

coup de bélier de s'établir dans cette conduite et de l'endommager. Souvent, dans ce cas, le

clapet de refoulement perd son étanchéité. Le bélier continue, cependant, de battre mais sans

refouler de l'eau et à une cadence anormalement rapide. Il convient donc de dimensionner

toute l'installation (conduite motrice, corps du bélier, cloche à air) afin qu'elle résiste à la

pression effective maximale pouvant survenir dans la cloche.

- Interdire une montée excessive de la pression dans la cloche. Si le dispositif de refoulement

est bien dimensionné, le volume d'eau introduit dans la cloche à chaque cycle durant la phase

3 est intégralement chassé dans cette conduite durant les phases 8 puis 7. Dans le cas contraire

(volume d'air insuffisant ou conduite de refoulement trop étroite ou partiellement bouchée),

le volume d'air comprimé dans la cloche se réduit en deçà de la normale. La pression de l'air

dans la cloche, devenant supérieure à la normale, contribue alors à chasser l'excédent d'eau

pendant le ou les cycles qui suivent. Ainsi, durant les premiers cycles du démarrage du bélier,

la cloche monte en pression et devient capable, seulement après, de refouler intégralement le

volume d'eau introduit dans la cloche à chaque cycle. La cloche garde ensuite cette pression à

la fin de chaque phase 7 de refoulement. Ce fonctionnement anormal revient à augmenter

artificiellement la hauteur de refoulement H, ce qui dégrade sensiblement le rendement global


-------


η et le débit moyen refoulé QR du bélier. En outre, dans le cas limite où la pression pR(7)

deviendrait excessive, l'onde de choc dans la conduite motrice n'est plus suffisante pour ouvrir

le clapet de refoulement. Le bélier continue alors de fonctionner mais ne pompe plus d'eau

vers le réservoir supérieur. Afin d'interdire toute montée excessive de la pression dans la

cloche, nous définissons un ratio Rr > 1de montée de pression de la cloche :

Avec Rr =(PR(7)−Patm)

ρgH.

En pratique, ce ratio ne doit jamais dépasser la valeur 1,1.

Le ratio Rr étant maintenant fixé, ainsi que la longueur de refoulement L' souvent imposée par le

terrain, il reste à trouver la valeur optimale du diamètre de refoulement D' et du volume d'air au

démarrage du bélier Vair(atm).

L'expression générale (4.110) après simplification de PR(7)fournit dans un premier temps la valeur

minimale de Vair(atm) (en prenant D' = ∞) et la valeur minimale de D' (en prenant Vair(atm) =

∞). Ce qui s'écrit :

Vair(atm)mini =1

PatmE avec E =

2

SL12

ρv02

(Rr−h

H)(Rr−1)

(Rr+PatmρgH

)2

Et D′mini = (FL′

E)

1

5 avec F =

16

π2SL1

2ρv0

2λ′

tcycle2g(HRr−h)(Patm+ρgHRr)2

- Permettre l'ajout d'un volume d'air supplémentaire (rehausseur). En pratique, il faut pouvoir

ajuster le couple ( Vair(atm), D') de façon optimale, notamment en rajoutant, si nécessaire, un

rehausseur entre la cloche et la base du bélier. Cette astuce augmente le volume d'air

Vair(atm)et permet de compenser un diamètre D' trop petit et souvent non modifiable (cas

d'une installation existante). Pour cela, nous définissons un ratio Rc de sensibilité de la cloche.

En pratique, nous nous fixe la valeur Rc = 1/2 pour avoir une souplesse confortable dans

l'ajustement mutuel de Vair(atm)et de D'.

Le volume d’air et le diamètre optimal s’écrit alors :

Vairopt = Vair(atm)mini ∗ (1 +1

5RC)

D′opt = D′mini ∗ (1 + 5RC)1/5

(5.05)

5.1.2.6 Réglage du clapet de choc avec un Fo optimale :

Comme le clapet de choc de ce bélier est réalisé par ajout d'un poids modulable, nous devons

aussi calculer le poids à ajouter en fonctionnement optimal.

En fonctionnement optimal, nous avons : v0 =1

2vm

Donc : F0opt = Fm (v0opt

vm2 )

2

=1

4Cvm

2

Le choix d’un clapet de choc d'axe vertical est souvent plus facile et F0 réalisée par ajout d'un

poids modulable.

Dans ce cas, si Mm désigne le supplément de masse nécessaire pour équilibrer le clapet de choc

de masse Mclapet en régime permanent, alors la masse optimale Mopt à rajouter vaut :

Mopt + Mclapet =1

4(Mm + Mclapet)

(5.06)


-------


Remarque : Cette solution présente comme avantage une mise en œuvre simple. En revanche,

l'alourdissement du clapet de choc diminue son accélération J et augmente donc sa durée t1 de

fermeture. Ce qui dégrade indirectement le rendement global η du bélier et le débit moyen refoulé

QR. Le réglage nécessite, par ailleurs, un calcul théorique basé sur la connaissance de Mclapet.

5.2 Quelques recommandations pour le clapet de choc :

Il faut :

Un clapet de choc le plus léger possible

Nous remarquons, en effet, que le débit moyen refoulé et le rendement global sont d'autant plus

grands que la durée t1 de fermeture du clapet de choc est plus petite. Le clapet de choc doit donc

posséder une grande accélération J et en conséquence une petite masse.

Remarque : cette condition ne peut pas être remplie si nous faisons le choix, par ailleurs, d'un

réglage de la résistance F0 du clapet de choc à sa fermeture par ajout de poids modulables sauf

respect de F0opt.

Un clapet de choc dont la course totale e0 est bien réglé. Nous pouvons remarquer toutefois

que cette course est un compromis entre :

- Une course pas excessivement petite pour ne pas trop augmenter la perte de charge

singulière f du clapet et dégrader la vitesse de l'eau en régime permanent vm, la vitesse

optimale de l'eau v0opt et le débit moyen refoulé ;

- Une course pas excessivement grande pour ne pas trop augmenter la durée t1 de la

fermeture du clapet de choc et dégrader le débit moyen refoulé.

Un clapet de choc dont la surface du chapeau est disposée, de façon idéale,

perpendiculairement au flux d'eau de la conduite motrice ;

Il convient, en effet, de profiter pleinement de l'ensemble des forces de pression et de quantité de

mouvement qu'exerce l'eau sur le clapet de choc en position ouverte. Et il est toujours gagnant de

maximiser la force (hydrodynamique) de quantité de mouvement s'exerçant sur le chapeau du

clapet.

Un clapet de choc dont la section droite de l'obturateur Sc est optimale.

D’après la conclusion du choix de la section de l’obturateur, nous pouvons remarquer toutefois

que cette section est un compromis entre :

- Une section pas excessivement grande pour ne pas trop augmenter la perte de charge

singulière f de ce clapet et dégrader la vitesse de l'eau en régime permanent vm, la vitesse

optimale de l'eau et le débit moyen refoulé ;

- Une section pas excessivement petite pour ne pas diminuer en trop la force de l'eau sur le

clapet et avoir une fermeture trop lente du clapet donnant un coup de bélier médiocre et

dégraderait le débit moyen refoulé.

En pratique, nous veillerons à avoir une section droite de passage du flux d'eau autour de

l'obturateur approximativement égale au tiers de la section droite du flux d'eau en amont dans le

clapet.

5.3 Dimensionnement du bélier hydraulique :

5.3.1 Les conditions initiales du bélier :

QAmini = 1l/s

H= 6m

h=0,8m

L’= 5m


-------


L=1,1m

h <H

2= 3m

5.3.2 Calcul de L, vo, S, K, Vair(atm) et D’:

Comme indiquer L= nh avec n=10

Mais comme la condition du terrain n’a pas permis la réalisation de cette hypothèse, nous avons

pris

L=1,10m

Calcul de vo :

v0 =1

2vm =

1

2√

2gh

jAvec j = 1 + b + c + λ

L

D

Et b = 2 ; c = 2 et λ = 0,01

Donc vm = 1,72 m/s et v0 = 0,86 m/s

Calcul de S la section de la conduite motrice :

Par calcul itératif de g(D) = f(D) - 1/F-1(D), nous avons :

Dcalculé est égal à 0,034m ; or selon la recommandation, la conduite de batterie doit avoir la plus

grande section possible mais inférieure à la section de l’obturateur du clapet de choc, donc prenons

le diamètre normalisé :

D = 0,04m c’est-à-dire une section S = 0,001 m2

Vérification de la contrainte d’onde de choc :

Il faut que :

v0 >1

W

g

a(H − h)

Calcul de a, la vitesse de propagation des ondes :

a =1

√ρ(1

ε+

D

Ee)

avec χ =1

ε= 10−9 m2/N, E = 1,4.109 N/m2 et e = 0,03m

Donc a = 316 m/s

Le système de réglage du clapet de choc est réalisé avec des ajouts de poids modulable d’où :

W= 0,9. Donc :

v0 > 0,18 𝑚/𝑠 La contrainte d’onde de choc est vérifiée.

Le choix de K : il est primordial de choisir un joint de raideur K élevé, à titre d’exemple,

nous avons pris K = 5. 106N/m

Calcul de Vair(atm) et D’:

Avec Patm=101325 Pa ; Rr =1,1

Vair(atm)mini = 0,21 l

Avec J = 1m/s2

Y = 3,12. 109N/m5

tcycle = 0,6 s


-------


Et D’mini = 0,021m

Pour un fonctionnement optimal,

Rc = 0,5

Vairopt = 2,21 l Soit un diamètre de 35mm pour un tuyau de 0,6 m de longueur. Dans ce mémoire, nous avons pris

un tuyau de 63mm de diamètre avec une longueur de 0,6 m pour plus de sécurité en cas de

bouchage du reniflard.

D′opt = 0,012 m

Le diamètre D′ adopté est de 20mm.

Calcul de la pression limite :

La cloche à air et également toute l'installation, y compris la conduite motrice doit résister à la

pression limite comme suit :

Pression limite = ρgh + ρav0W

Dans notre cas, Pression limite = 334818 pa

Calcul des masses à ajouter pour un fonctionnement optimal :

Mopt + Mclapet =1

4(Mm + Mclapet)

Mclapet = 150g ; Mm = 790g donc Mopt = 100g

Avec les rondelles de 25 g, il nous faut 4 rondelles et 2 écrous.

Le rendement théorique du bélier :

A une hauteur de H = 6m, nous avons un débit de refoulement QR=0,01l/s

Donc le rendement global est de 6,4%.

En respectant toutes les conditions de fonctionnement optimal avec H=6m ; nous pouvons avoir

un débit de refoulement QR=0,052l/s donc un rendement global de 36%.

Remarque : Pour la conception du bélier hydraulique, des dimensions normalisées ont été

adoptées. Mais en général, cela n’affecte pas le rendement du bélier à l’exception de la longueur

de la conduite de batterie.


-------


Choix et mode d’assemblages des pièces

Il est capital de bien choisir les matériaux constituant le bélier hydraulique afin d’assurer sa

pérennité et d’éviter l’effet de rouille.

6.1 Critère de choix des matériaux constituants le bélier

Durant la conception de ce bélier hydraulique, quelques critères restent très importants à

considérer :

- Le coût du bélier hydraulique ;

- La durée de vie ;

- Le coût d’exploitation ;

- La facilité de maintenance ;

- Le rendement.

6.1.1 Choix du bélier par rapport au coût :

Etant donné que le bélier est une pompe de relevage d’eau fonctionnant avec aucun apport

d’énergie, mais éjectant une quantité considérable d’eau, les matériaux constituants le bélier

doivent être inoxydables. A Madagascar, l’inox, le laiton, le PVC et le PEHD restent les matériaux

inoxydables les plus utilisés dans l’adduction d’eau potable. Certains matériaux peuvent être

énumérés mais restent très difficile à chercher chez les fournisseurs locaux.

Dans le cadre de ce mémoire, un coût minimum de bélier a été particulièrement le principal but de

l’étude. Sur ce, nous nous focaliserons davantage sur ce point. L’inox est un matériau déjà très

réputé et n’est pas difficile à chercher. Le principal inconvénient réside cependant dans le coût de

ce matériau. Le laiton présente également le même problème. Il est très adapté à des installations

fonctionnant à haute pression, mais le coût de ces matériaux sur le marché est élevé. En revanche

les fabrications chinoises de ces matériaux sont à éviter.

Sur ce, deux matériaux restent adaptés à ce projet : le PVC et le PEHD. Entre ces deux matériaux,

le PVC reste le moins cher et la plus facile à trouver sur le marché. D’où l’adoption de celui-ci

pour la plupart des constituants du bélier.

A part le PVC, le laiton et l’inox sont également adoptés par leur coût moyen et leur résistance

aux chocs.

6.1.2 Choix du bélier par rapport à la durée de vie :

La durée de vie du bélier est aussi nécessaire pour la pérennité du système hydraulique mis en

place. Avec une maintenance régulière et non négligée, ce bélier hydraulique a une durée de vie

moyenne de 15 ans voire plus. Trois pièces sont les plus sensibles : le joint du clapet de choc, le

clapet de choc et le raccord taraudé mâle en PVC entre le clapet de choc et le té.

Il ne faut pas choisir un clapet de choc en PVC. Il faut opter pour un matériau très résistant. Sur le

marché, le laiton est le matériau le moins cher et très robuste pour les coups de bélier. D’où le

choix du laiton pour le clapet de choc et le clapet anti-retour.


-------


6.1.3 Choix du bélier par rapport au coût d’exploitation :

Le coût d’exploitation du bélier est très faible, étant donné qu’il ne requiert aucun apport d’énergie,

ni d’entretiens très fréquent. Le seul entretient à effectuer reste le remplacement du joint de clapet

de choc à son usure et de quelques pièces comme des raccords en PVC, des vannes. Le coût de la

maintenance est estimé à 160 000,00 Ariary par an. Cependant, il est capital de choisir des pièces

locales.

6.1.4 Choix du bélier par rapport au rendement :

Sur le plan rendement, le choix du matériau PVC ne porte aucun préjudice au rendement dans le

cas où la contrainte d’onde de choc utile est atteinte. Dans le cas contraire, nous devons utiliser

une conduite motrice rigide comme celle en acier galvanisé, inox, …. Cependant, le coût de

l’installation augmentera également.

6.2 Structure du bélier

6.2.1 Les constituants du bélier

Les pièces assemblées formant le bélier :

- Une conduite motrice en PVC de 40mm de diamètre avec une longueur L = 1,1m ;

- Un coude de 45° en PVC de diamètre 40 mm ;

- Un té de 90° en PVC de diamètre 40mm ;

- Une crépine de puits femelle de 1-1/4 de pouce ;

- Une tige filetée en inox de diamètre 6mm ;

- Un coude de 90° en PVC de diamètre 40mm ;

- Un manchon double PVC de diamètre 40mm ;

- Une réduction galva 40-3/4’’ ;

- Un clapet anti-retour ressort en laiton ¾’’ ;

- Deux (2) mamelons en laiton ¾’’ ;

- Une réduction PVC- laiton ¾’’- 32mm ;

- Deux (2) tés de 90° en PVC de diamètre 32 mm ;

- Deux (2) manchons filetés mâle en PVC de 25-1/2’’ ;

- Une vanne RBS en galva ½’’ ;

- Une vanne papillon à bille en galva ½’’ ;

- Un bouchon en PVC de diamètre 63 mm ;

- Une réduction en PVC 50 × 63 × 40 ; - Un manchon en PVC de diamètre 63 mm ;

- Un nez filetage mâle ½’’ × 22 × 20 ; - Un collier sans fin 16/27

- Un tuyau en polyéthylène de 20mm avec une longueur de 1m ;

- Un tuyau en PEHD de 20mm de longueur de 4m ;

- Dix (10) rondelles en acier ;

- 6 écrous de 6mm (4 chanfreinés).

Les constituants du bélier pendant ses essais sur un site :

- Une conduite motrice de 40mm de 1,1m de longueur ;

- Une crépine de puits en laiton modifié formant le clapet de choc ;

- Un clapet anti-retour en laiton ;

- Une cloche d’air en PVC de 60mm de diamètre de 0,6 m de longueur ;

- Une conduite de refoulement en PEHD de 20mm de diamètre de 4m de longueur ;


-------


- Une conduite souple de 20mm de diamètre de 1m de longueur ;

6.2.2 Structure du bélier :

Figure 6.01 : Bélier hydraulique conçu

Le clapet de choc

Le clapet de choc est une crépine de puits en laiton modifié. Un perçage de cette dernière a été

nécessaire afin de souder bar brasure sur le clapet une tige fileté de 6mm de diamètre. La tige

portera ensuite les poids supplémentaires pour équilibrer la vitesse de l’eau.

Le clapet de refoulement

Le clapet de refoulement est un clapet anti-retour en laiton de ¾’’. C’est un clapet à ressort, qui

évite le retour de l’eau de la cloche dans le corps de la pompe.

Le réservoir d’air ou cloche d’air

C’est un tuyau en PVC de diamètre 63mm fermé par un bouchon de 63mm de diamètre.

6.3 Mode d’assemblages des pièces

L’assemblage des pièces en PVC s’est fait à l’aide de l’utilisation de la colle standard GIRFIX, en

introduisant un morceau de tuyau entre les deux pièces consécutives. Tandis que les pièces

taraudées et filetées sont assemblées avec des fillasses.

Le clapet de choc est une crépine de puits modifiée. La crépine est percée afin de mettre en place

une tige filetée de 6mm de diamètre. Cette tige est soudée par brasure sur le clapet de la crépine

de puits, et portera ensuite les poids modulables afin d’avoir Fo optimale.

Deux vannes sont mises en place du côté du refoulement de l’eau afin de vidanger la cloche d’air

et d’augmenter la pression dans la cloche lors du démarrage du bélier.

Un petit trou de 1,6mm est placé sur le mamelon en laiton en bas du clapet anti-retour servant de

reniflard pour le bélier.


-------


Figure 6.02 : Crépine non modifiée

Figure 6.03 : Colle PVC

Figure 6.04 : Crépine modifiée


-------


Figure 6.05 : Corps du clapet de choc

Le renouvellement de l’air dans la cloche d’air :

Sous la pression statique due à la colonne d'eau dans la conduite de refoulement (p statique = patm

+ ρgH), l'air de la cloche se dissout lentement dans l'eau jusqu'à saturation (environ 0,02 litres d'air

dissous par litre d'eau à 20°C et quelle que soit la pression statique). Les eaux de source très pures

et froides absorbent des quantités d'air importantes, le contraire des eaux de rivière.

Il est nécessaire de renouveler automatiquement cet air dissous qui s'échappe à chaque cycle avec

l'eau refoulée par la conduite de refoulement (plusieurs litres d'air par mois selon les béliers).

Pour le cas de ce bélier, un reniflard est placé généralement juste en dessous du clapet de

refoulement, un petit trou de 1,5mm de diamètre.

Conditions de fonctionnement : Le clapet de choc doit se fermer rapidement (afin d'induire un

coup de bélier de bonne qualité suivi d'une dépression de même qualité). La distance entre la sortie

du reniflard et le piège à air doit être relativement petite (inférieure à 3 cm environ), et sans aucune

niche ni contre-pente pendant la migration de l'air aspiré, afin que ce dernier ne soit pas chassé au

cycle suivant par le flux d'eau qui redescend dans la conduite motrice.

Réglage du débit d'air : Un pointeau est généralement utilisé, lequel permet également de contrôler

visuellement si l'orifice n’est pas bouché.


-------


Essais et mesures

7.1 Procédé de mesure :

Nous avons procédé aux mesures qui suivent :

- Pour une longueur L de la conduite motrice ;

- Pour une hauteur h fixée ;

- Pour une hauteur de refoulement choisie ;

- Pour une position de la course e0 déterminée ;

- Et une masse modulable Mopt.

Nous mesurons :

- Le débit moteur ;

- Le débit refoulé ;

Nous calculons :

- Le temps de fermeture du clapet de choc ;

- La surpression maximale

Nous changeons ensuite la course e0 ;

Nous varions la hauteur de refoulement pour la même hauteur de chute ;

Nous varions la hauteur motrice pour L constante et refaire toutes les mesures précédentes ;

Une fois terminée toutes les mesures ; nous changeons la longueur de la conduite ;

Difficulté : Le bélier hydraulique réalisé et le site d’expérimentation ne permettent pas de

réaliser toutes ces étapes d’où les résultats des essais très limités.

7.2 Résultats des mesures :

1er essai :

Mesure

QA= 1l/s

h = 0,8m

L = 1,1m

Masse des rondelles = 225 g

Avec e0= 0,008m

Résultats :

Le débit d’eau refoulé selon la hauteur de refoulement :

Hauteur de

refoulement H [m]

Débit refoulé QR [l/s] Rendement en débit

[%]

Rendement global

[%]

1,7 0,04 5 5

3,5 0,035 4 12

Tableau 7.01: Résultats du premier essai

Le temps de la fermeture du clapet de choc est de 0,14 s, ce qui peut causer un débit un peu faible.

Pour optimiser le bélier, il faut alléger le poids sur la tige filetée et diminuer la pente de la conduite


-------


motrice en augmentant sa longueur. Le rendement global obtenu avec une hauteur de refoulement

de 3,5m est de 12%.

La hauteur maximale pouvant être atteinte pour un rendement nul (c’est-à-dire aucune quantité

d’eau ne sort en refoulement) est de 35m.

2ème essai :

Mesure :

QA= 1l/s

h = 0,8m

L = 1,1m


Avec e0= 0,009m

Résultats :

Nous constatons que le bélier fonctionne pendant un temps de 60 s et s’arrête.

D’après analyse sur terrain, la valeur de la course e0 ne doit pas être inférieure à 0,006m et ne doit

pas être supérieure à 0,008m.

Conclusion : Avec une course inférieure à 0,006 m, le temps de fermeture du clapet devient trop

petit, et le coup de bélier devient anormalement très rapide. Ce qui est à l’origine d’un débit de

refoulement très faible et l’arrêt du bélier.

Avec une course supérieure à 0,008m, l’eau dans le corps de la pompe aura une difficulté à fermer

le clapet de choc. Mais la vitesse de l’eau ne demeure pas le seul problème. Ce résultat est aussi

causé par la tige filetée qui n’effectue pas un mouvement vertical.

Il faut bien placer la tige filetée et choisir un bloc de masse stable pour remplacer les rondelles.

3ème essai :

Mesure :

QA= 1l/s

h = 0,8m

L = 1,1m

Masse des rondelles = 356,97 g

Avec e0= 0,008m

Contrainte sur terrain :

Les mesures effectuées ne sont pas exactes du fait de l’existence d’une fuite d’eau au niveau du

raccord du tuyau de refoulement.

Résultats :

Hauteur de

refoulement H [m]


[%]

Rendement global

[%]

3 0,011 1,2 3

7,5 0,007 1 6

Tableau 7.02: Résultats du troisième essai

Le temps de fermeture du clapet de choc est de 0,18 s. Ce qui est à l’origine d’un débit faible. Pour

optimiser le bélier, il faut diminuer la pente de la conduite motrice en augmentant sa longueur. En

effet, le débit devient très faible lorsque la vitesse de l’eau dans la conduite motrice est proche de

la vitesse du régime vm. Il est donc nécessaire d’installer le bélier hydraulique avec les conditions

d’installation optimales.


-------


4ème essai :

Mesure :

QA= 1l/s

h = 0,3m

L = 1,31m

Masse des rondelles = 95,2 g

Avec e0= 0,008m

Contrainte sur terrain :

Les mesures effectuées ne sont pas exactes du fait de l’existence d’une fuite d’eau au niveau du

raccord du tuyau de refoulement et la conduite de batterie présente une contre-pente à cause des

difficultés sur terrain.

Résultats :

Hauteur de

refoulement H [m]


[%]

Rendement global

[%]

7 0,01 1 24,24

8 0,011 1,11 28,55

Tableau 7.03: Résultats du quatrième essai

En diminuant la pente de la conduite motrice, le rendement du bélier devient plus grand. La

fréquence de la fermeture du clapet de choc devient plus rapide et le débit refoulé va être plus

important.

7.3 Conclusion

L’installation à opter pour un fonctionnement optimal :

Hypothèses :

QA= 1l/s

h = 0,8m

L = 8 m

H=3,5m


Avec e0= 0,008m

Résultats calculés :

D’après calcul, le débit de refoulement maximal pouvant être atteint est de 0,1 l/s avec un temps

de fermeture de 0,13 s, un rendement de débit de 9,8% et un rendement global de 34,67%.


-------


Etude économique et financière

8.1 Le coût du bélier hydraulique réalisé :

Le but de la conception est de fournir un bélier à moindre coût adapté aux petits villages de

Madagascar. Il est alors très important de calculer le coût du bélier hydraulique.

Les pièces principalement constituées en PVC pression ont un prix largement intéressant par

rapport aux autres matériaux mais avec une durée de vie de 15 à 20 ans.

Le coût des pièces assemblées est résumé dans le tableau suivant :

Designation Unité Quantité

Prix unitaire

[Ar]

Prix total

[Ar]

Coude pression 45° U 1 4 167 4 167

Té 90° U 1 5 000 5 000

Embout PVC U 1 2 000 2 000

crépine de puit 1-1/4 U 1 41 300 41 300

tige fileté inox D6 m 0,2 5 000 1 000

rondelles D12 U 10 400 4 000

rondelles D8 U 4 150 600

rondelle lourd U 1 400 400

coude 90° U 1 3 333 3 333

Manchon U 1 3 500 3 500

Reduction galva U 1 3 500 3 500

Clapet anti-retour 3/4'' U 1 22 000 22 000

mamelon laiton U 2 1 500 3 000

vanne D15 U 1 8 000 8 000

vanne D15 U 1 12 000 12 000

Té 90° 32mm U 2 2 500 5 000

Manchon fileté D25- 1/2'' U 2 2 500 5 000

bouchon pression d63 U 1 5 000 5 000

Tuyau D63mm m 1 3 000 3 000

Manchon a pression U 1 3 000 3 000

Nez filetage male U 1 1 667 1 667

Colle GIRFIX U 1 9 000 9 000

Tuyau D40 m 0,5 5 667 2 833

Gebasoin 500

Fillase 500

Tuyau D30 m 0,5 3 000 1 500

Total 150 800

Tableau 8.01: Coût des pièces constituants le bélier hydraulique

Le coût total des pièces, qui constituent le corps du bélier, est de 150 800 Ariary.

Comme les pièces ont été modifiées, des mains d’œuvres ont été effectuées. Le coût total des mains

d’œuvre se résume dans le tableau qui suit :


-------


Désignation Unité Quantité Prix unitaire [Ar]

Prix total

[Ar]

Perçage de la crépine U 1 3 000 3 000

Brasure U 1 5 000 5 000

Perçage D1,5 mm U 1 3 000 3 000

Total 11 000

Tableau 8.02: Coût des mains d’œuvres effectuées lors de la conception

Le coût total du bélier hydraulique est alors estimé à 161 800,00 Ariary.

8.2 Comparaison du bélier hydraulique conçu et le bélier hydraulique installé à

Antaninandro

Afin de justifier l’hypothèse du « bélier à moindre cout », il s’avère utile de comparer le coût du

bélier hydraulique conçu et le bélier hydraulique installé à Antaninandro Anjiro.

8.2.1 Etude du bélier hydraulique installé :

Le bélier hydraulique installé dans le village d’Antaninandro, dans la commune rurale de Sabotsy-

Anjiro, a été inspiré du bélier hydraulique du Groupe de travail sur les techniques de

développement (WOT) de l’Université de Twente en Pays-Bas à quelques détails près. Les détails

des modifications effectuées seront énumérés dans le choix des pièces à employer.

8.2.1.1 Description de l’installation du bélier sur terrain

Le bélier hydraulique mis en place consiste à l’approvisionnement en eau du village d’Antaninadro

en utilisant comme source l’eau superficielle à une centaine de mètre du village. Le système mis

en place comprend depuis la prise jusqu’à la distribution :

- Une prise ;

- Un ouvrage de régulateur de débit ;

- Un canal d’amené vers un bassin de retenu ;

- Un bassin de retenu ;

- Une conduite de batterie ;

- Une pompe bélier ;

- Une conduite de refoulement enterrée ;

La prise :

Il s’agit d’une déviation de l’eau ayant pour rôle d’alimenter en eau le bassin de retenu qui va à

son tour alimenter le bélier en eau. Elle se place à la rive gauche, à une altitude de 934 m.

L’ouvrage de régulateur de débit :

C’est un ouvrage en béton situé juste à l’entrée du chenal menant vers le bassin de retenu.

Il est composé d’une rainure verticale moulée sur le béton sur laquelle des poutrelles amovibles

sont mises en place. En cas de crue, il suffit juste de mettre en place les poutrelles afin de réguler


-------


le débit entrant dans le chenal et de même en période d’étiage. Il est aussi nécessaire d’enlever les

poutrelles.

Figure 8.01 : Régulateur de debit

Le canal d’amené :

C’est un canal à surface libre. Il a été mis en place pour conduire l’eau dans le bassin de retenu.

Sa section est trapézoïdale et il a été construit de manière à adoucir la vitesse de l’eau pour éviter

une érosion.

Le canal s’étend sur une longueur de 5,75 m ayant une pente de 3,5m/m.

Le débit d’eau arrivant dans le bassin est obtenu par la formule de Manning-Strickler :

Q = KSR2/3I1/2

Avec Q : le débit arrivant au bassin de retenu en m3/s ;

S : la section mouillée en m2 ;

R : le rayon hydraulique en m ; I : la pente du fond du canal enm/m.

Le débit de ce canal d’amené est alors de 0,003 m3/s soit de 3 l/s.

Ce débit est atteint lorsque nous ne mettons pas en place les poutrelles. En revanche, durant le

projet, nous avons régulé la prise de façon à avoir un débit de 1 l/s afin de pouvoir décanter l’eau

à un moment suffisant et de laisser un débit minimum de 1,5 l/s pour l’aval.

Le bassin de retenu ou le collecteur :

C’est un bassin en terre de 1,45 m de longueur, de 0,63 m de largeur, de 0,6 m de hauteur à son

entrée et 0,4 m à sa sortie et sur laquelle se place la crépine reliée au tuyau de batterie.

Pour le bélier mis en place, un débit minimal de 0,95 l/s est nécessaire pour son fonctionnement

normal. Le bassin a un volume de 0,456 m3 permettant avec un débit de 0,95 l/s, un temps de

décantation de 7mn.

Le bassin de retenu est mis en place afin d’alimenter la pompe bélier. C’est aussi une sorte de

prétraitement ayant pour rôle de décanter les grosses particules apportées par l’eau afin d’assurer

sa clarté et d’éviter l’obstruction de la crépine.

En cas de débordement du bassin, un canal a été construit à gauche du bassin afin d’évacuer le

débit d’eau en excès.


-------


Figure 8.02 : Bassin de retenu

La conduite de batterie :

C’est la conduite qui relie le collecteur ou le bassin de retenu au corps de la pompe bélier. Son

diamètre dépend du type de bélier utilisé. Mais dans le cadre de ce projet, le tuyau employé est un

tuyau PVC souple de 2,5m de longueur et de 40 mm de diamètre.

A l’entrée de la conduite de batterie se place une crépine afin de retenir les particules non

décantées. La crépine avec clapet anti-retour 33/42 est reliée à un tuyau PVC de diamètre nominal

40mm, par un manchon PEHD mixte taraudé raccord femelle de diamètre 40mm. Elle est ensuite

raccordée à la conduite de batterie par un manchon PEHD mixte taraudé raccord femelle de

diamètre 40mm.

Figure 8.03 : Crépine dans le collecteur

Le corps de la pompe bélier :

Le corps de la pompe est fixé sur une dalle sur laquelle des étriers ont été mis en place afin de le

garder immobile pendant les vibrations causées par les coups de bélier.

Les composants du corps de pompe :

Le tuyau en PVC souple de diamètre 40mm est raccordé au corps de la pompe par un raccord à

embout cannelé laiton 40 femelle 40/49 qui sera serré par un collier de serrage.

Le raccord à embout cannelé laiton 40 femelle 40/49 :

Caractéristiques du raccord :


-------


- Raccord pour tuyau polyéthylène PTR femelle

- Filetage 40-49

- Taraudage 40-49

- Conditionnement : une pièce

- Matière du raccord : Laiton

Raccord laiton fileté mamelon réduit mâle :

Caractéristiques :

- Famille de raccord : mamelon

- Genre des embouts : mâle-mâle

- Raccordement : à visser

- Diamètre filetage 1 : 40/49




- Inégal

Les tés femelles taraudés égaux :

Le té est la pièce qui relie le raccord réduit au clapet de batterie crépine et au clapet anti-retour.

Caractéristiques :

- Genre des embouts : femelle-femelle-femelle


- Diamètre taraudage : 20/27



- Egal

Le raccord laiton fileté mamelon réduit mâle :

C’est la pièce qui sert de raccord entre le té égal 20/27 et le clapet de batterie crépine 26/34.

Caractéristiques :








- Inégal

Le clapet de batterie ou le clapet de choc :

Dans ce projet, le clapet de choc est muni d’un ressort et d’une tige filetée de 6mm de diamètre

sur laquelle se place des rondelles et des écrous en cas de besoin de masse supplémentaire. C’est

un clapet de type femelle avec une dimension 26/34.


-------


Figure 8.06 : Bélier installé à Antaninandro

La crépine :

C’est une crépine mâle de dimension 26/34.

Caractéristiques :

- Genre d’embouts : mâle


- Diamètre filetage : 26/34



Figure 8.04 : Raccord

à embout cannelé laiton 40 femelle

40/49

Figure 8.05 : Crépine de puits


-------



C’est la pièce qui sert de raccord entre le té égal 20/27 et le clapet anti-retour 26/34. Sur ce raccord

est placé un petit trou de 1mm destiné à l’entrée d’air pendant la phase de dépression pour

compenser l’air dissous dans l’eau durant la phase de refoulement.

Caractéristiques :








- Inégal

Le clapet anti-retour

Le clapet anti-retour valve femelle à femelle. Il permet à un fluide de circuler, grâce à lui-même,

dans une seule direction.

Caractéristiques :

- Matériau : laiton

- Taille : 26/34

- Type de fil : femelle × femelle

- Max pression statique : 1MPa = 10bar

- Max température de fonctionnement : 120°C


C’est la pièce qui sert de raccord entre le clapet anti-retour 26/34 et le tuyau réservoir d’air de

diamètre 40mm par coincement avec adjonction d’un téflon.

Caractéristiques :



- Raccordement : à visser/ et à serrer par un collier de serrage


- Diamètre lisse 2 : 40/49



- Inégal


-------


Figure 8.07 : Corps de la pompe

La conduite de refoulement :

La conduite de refoulement est composée de deux types de tuyaux :

- Un tuyau polyéthylène goutte à goutte de 100m de longueur et de diamètre intérieur 15

mm qui relie le réservoir d’air, ou plus précisément le tuyau d’air, à un autre tuyau de

diamètre 15/19 ;

- Un tuyau de 3m en polyéthylène assure le transport de l’eau refoulé entre le tuyau goutte à

goutte à la cuve de filtration.

Figure 8.08 : Conduite de refoulement

8.2.1.2 Vérification par calcul du bélier :

Les conditions initiales du bélier mis en place à Antaninandro sont les suivantes :

QA mini : débit source minimal en m3/s obtenu pendant la période d'étiage ;


-------


QAmini = 0,001m3/s = 1l/s

QR : débit moyen refoulé en m3/s correspondant au besoin de consommation en eau en sortie du

réservoir supérieur.

QR = 0,011 l/s

h: hauteur motrice entre le collecteur et le bélier en m ;

h = 2 m

H : hauteur de refoulement entre le bélier et le réservoir supérieur en m ;

H = 3 m

L : longueur moyenne de la conduite motrice en m ;

L = 2,5 m

L' : longueur moyenne de la conduite de refoulement en m ;

L′ = 100 m

Calcul de la perte de charge au niveau de la conduite de batterie

La perte de charge singulière :

Les pertes de charges singulières présentes dans la conduite de batterie sont :

- La perte de charge au niveau de la crépine

- La perte de charge au niveau de 2 manchons PEHD mixte taraudé

- La perte de charge au niveau du raccord à embout cannelé laiton 40

- La perte de charge au niveau du raccord laiton fileté mamelon réduit mâle

- La perte de charge au niveau des tés femelles taraudés égaux

ΔHS = kU2

2g

(8.01)

Avec k = 5 ; nous obtenons 𝚫𝐇𝐒 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟕𝐦

La perte de charge linéaire :

La perte de charge linéaire se calcule comme suit :

- Calcul du nombre de Reynold

- Calcul de λ

- Calcul de la perte de charge linéaire

Calcul du nombre de Reynold :

Re =UD

ν

(8.02)

D : le diamètre de la conduite de batterie [m] ;

U : la vitesse moyenne [m/s] ;

ν : la viscosité cinématique de l’eau [m2/s].

Re = 30255 ; nous sommes en régime turbulent


-------


Calcul de λ

Équation de Colebrook-White :

1

√λ= −2log (

εD⁄

3,7+

2,51

Re√λ)

(8.03)

λ : coefficient de perte de charge linéaire ;

ε : rugosité absolue de la paroi interne de la conduite [m] ;

D : diamètre intérieur de la conduite [m] ;

Re : nombre de Reynolds.

Par itération, nous obtenons pour ε D⁄ = 0,075 m , 𝛌 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟒𝟑𝟔

Calcul de la perte de charge linéaire

ΔHL = λL

2gDU2

(8.04)

ΔHL : la perte de charge linéaire [m]

Donc 𝚫𝐇𝐋 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕 𝐦

Calcul de la vitesse de l'eau dans la conduite motrice, en régime permanent :

vm = √2gh

j

(8.05)

Avec j = 1 + b + c + λL

D

Donc 𝐯𝐦 = 𝟏, 𝟕𝟕𝐦/𝐬

Calcul de la vitesse v0 de l'eau dans la conduite motrice, à l'équilibre du clapet de choc :

Il s'agit de la vitesse réelle de l'eau (en m/s) en début de la fermeture du clapet de choc. Compte-

tenu des simplifications adoptées, cette vitesse se calcule comme suit :

𝐯𝟎 =𝐠

𝐡

𝐋(

𝟔𝟎

𝐍𝐛𝐦− 𝐭𝟏)

𝟒

𝟑+

𝐡

(𝐇−𝐡)

(8.06)

Avec :

𝐍𝐛𝐦 : étant le nombre de battements du bélier par minute

Après réglage du bélier hydraulique, nous avons eu 92 battements du clapet de choc par minute.

D’où 𝐯𝟎 = 𝟎, 𝟕𝟒𝐦/𝐬

Le rapport 𝐦 =𝐯𝟎

𝐯𝐦= 𝟎, 𝟒𝟑


-------


La durée du cycle :

D’après la relation (3.143) ; la durée du cycle calculée est de 1,23 s ; d’où la diminution très

excessive du débit d’eau refoulé.

Avec le calcul de la durée optimale, d’après la relation à (3.154), pour le bélier à Anjiro, une durée

de cycle de 0,65s est idéale.

Débit moyen refoulé 𝑸𝑹 :

Nous avons:

𝐐𝐑 =𝐕𝟑

𝐭𝐜𝐲𝐜𝐥𝐞

Et après calcul, nous obtenons, avec une accélération du clapet de choc assez faible, le débit mesuré

sur terrain qui est de 0,011 l/s.

Avec des conditions de fonctionnement optimales : 𝐭𝟏 = 𝟎, 𝟏𝐬 et 𝐯𝐨𝐨𝐩𝐭 ; nous pouvons avoir un

débit de refoulement de 0,26 l/s.

Pour une technologie à résistance constante c’est-à-dire un clapet rappelé par son poids propre,

poids additionnel ou contrepoids extérieur, W vaut généralement 0,9.

La hauteur maximale de refoulement pouvant être atteinte pour un débit de refoulement nul d’après

la relation (3.145) est donc de 25m.

La vitesse de propagation des ondes a dans la conduite motrice est de 269 m/s.

Le rendement global du bélier

D’après la relation (3.150), le rendement du bélier installé à Anjiro est estimé à 7%.

8.2.2 Présentation du système hydraulique mise en place

8.2.2.1 Etude des besoins en eau du village d’Antaninandro

Les habitants dans le village sont au nombre de 93 et se répartissent en 11 toits. La majorité des

habitants sont encore des enfants de 1 à 13 ans.

Le taux d’accroissement annuel est estimé à 1,89%.

Avec une projection de 15 ans, le nombre de la population est estimé à 123 personnes.

En considérant un besoin en eau de 30l/j/pers, le besoin en eau du village est de 3695l/j.

8.2.2.2 Les unités de traitement de l’eau

Après analyse de l’eau brute de la source à l’Institut pasteur de Madagascar, les unités de traitement

suivantes ont été adoptées : (à mettre en place les résultats des analyses de l’eau à traiter)

- Une sédimentation par un bassin de rétention ;

- Un système de tamisage ;

- Une cuve de filtration ;

- Une désinfection par chloration.

La sédimentation :


-------


C’est un bassin en terre de 1,45 m de longueur, de 0,63 m de largeur, de 0,6 m de hauteur à son

entrée et 0,4 m à sa sortie sur lequel se place la crépine reliée au tuyau de batterie. Il permet la

sédimentation des substances en suspension dans l’eau. Un nettoyage, une fois par semaine,

s’avère nécessaire afin de garder le volume du bassin de sédimentation.

Le tamisage :

La crépine joue le rôle d’un tamis. Elle permet d’empêcher l’entrée de toutes sortes de débris non

décantés afin de ne pas perturber le fonctionnement du bélier hydraulique

Une cuve de filtration :

Dans notre cas, la filtration constitue la deuxième étape dans le processus de clarification de l’eau

après la décantation et avant la désinfection.

La filtration est le processus qui consiste à faire passer l'eau à travers les couches d'un matériau

poreux pour enlever les matières en suspension et les microorganismes pathogènes.

Plus précisément, la filtration lente ou la filtration biosable est une méthode d'épuration biologique

qui consiste à faire passer l'eau à traiter à travers un lit de matériau filtrant à une vitesse de 0,1 à

0,3 m/h. Le matériau filtrant le plus approprié est le sable.

A la surface du lit de sable se forme une mince couche appelée "membrane biologique". Cette

mince couche superficielle est essentielle car c'est là que le processus d'épuration se déroule.

Le filtre lent joue deux rôles bien distincts : d’une part, il retient les matières en suspension par

filtration et d’autre part, il constitue un support bactérien permettant un traitement biologique, à

savoir une consommation des matières organiques, des microorganismes pathogènes et des

éléments chimiques spécifiques comme l’ammoniac, le fer et le manganèse conduisant à un

changement de la composition chimique de l’eau, par les bactéries qui sont développés sur le sable.

Dimensionnement du filtre :

De manière plus pratique, la conception d’un filtre se fait par rapport à quatre éléments importants

: la vitesse superficielle de filtration, la profondeur, la granulométrie des matériaux filtrants et la

composition du filtre.

Après calcul, la dimension du filtre est :

La vitesse de filtration est de 0,12m/h, donc la perte de charge calculée est de 0,065 m avec un

coefficient de perméabilité de K = 310−4m/s ;

Dans le cadre de ce projet, nous avons utilisé une cuve de filtration cylindrique en polyéthylène

ayant les caractéristiques suivantes :

Diamètre = 0,63 m

Hauteur = 0,77 m

Volume = 240 litres

De ce fait, avec la perte de charge de 0,065 m, la hauteur de la couche filtrante ne doit pas dépasser

0,66m car un filtre biologique exige la présence d’une hauteur d’eau de 0,05m au-dessus du filtre

à sable.

Les composants du filtre :

Essentiellement, le filtre biologique est composé de :

- Une cuve de filtration constituée d’un corps de filtre et d’un couvercle ajusté afin

d’empêcher la contamination et les parasites indésirables ;

- Un diffuseur qui évite la perturbation de la couche de sable de filtration et protège la couche

biologique quand l'eau est versée dans le filtre ;


-------


- Une couche de sable filtrant qui supprime les pathogènes et les matières en suspension ;

- Un tuyau de sortie nécessaire à la conduite de l'eau de la base au réservoir de stockage

d’eau ;

- Une couche de graviers de séparation et une membrane de support géotextile qui retient le

sable filtrant et l'empêche de pénétrer dans la couche de drainage et dans le tuyau de sortie ;

- Une couche de graviers drainants qui retient la couche de gravier de séparation et aide l'eau

à s'écouler facilement dans le tuyau de sortie.

Figure 8.09 : Représentation schématique du filtre biosable à

Antaninandro

La désinfection par chloration :

La désinfection a pour rôle d’éliminer le reste des microorganismes pathogènes pas encore

éliminés par le système de filtration mis en place. Pour cela, nous utilisons les produits chlorés

obtenus à partir d’un électrochlorateur alimenté par un panneau solaire. L’utilisation

d’électrochlorateur pour la fabrication du chlore à partir du sel de cuisine est la solution la moins

coûteuse et la plus pratique pour un village tel qu’Antaninandro.

D’après les calculs : nous mettrons 100 g de sel de NaCl dans une eau de 3 litres et nous le

laisserons pendant 8 heures de temps.

Puis, pour désinfecter une eau de 20 litres, il faut mettre 5 millilitres de produits chlorés pendant

un temps de contact de 30 mn.


-------


8.2.2.3 Le coût d’installation du bélier à Anjiro :

Le coût d’installation du projet permet de justifier son choix par rapport à d’autres alternatives. Il

s’agit plus concrètement d’évaluer le coût du projet afin que des parties prenantes puissent prendre

la décision de lancer son exécution, ou si au contraire il serait plus avantageux d’utiliser autres

technologies.

Il est de ce fait très important de connaitre le coût d’installation du bélier hydraulique déjà en

service à Anjiro.

Données et hypothèse de calcul

Avec une production journalière de 2m3 d’eau, l’investissement pour le système hydraulique mis

en place est de 3 184 018,73 Ariary. Le coût du bélier hydraulique non installé est de 206 797,00

Ariary.

Le coût de pièces constituantes du bélier hydraulique :

Tableau 8.03: Coûts des pièces du bélier hydraulique à Antaninandro

Désignation Unité Quantité

Prix unitaire

[Ar]

Prix total

[Ar]

Réduction laiton U 1 13334 13334

Réduction MF en cuivre U 1 1263 1263

Tige fileté m 0,2 1000 200

Ecrou U 4 100 400

Corps du bélier préfabriqué U 1 190000 190000

Rondelle U 2 300 600

Ressort U 1 1000 1000

Total 206797

Ce coût d’investissement par habitant est de 48 242,71 Ariary.

L’utilisation d’un bélier hydraulique comme moyen de pompage dans l’adduction d’eau potable

est alors envisageable. Son coût d’installation est encore classé parmi les plus abordables.

8.3 Comparaison des deux béliers hydrauliques :

Certes, le bélier hydraulique installé à Anjiro est abordable, mais le but de ce mémoire est de

concevoir un nouveau modèle de bélier hydraulique encore plus économique, de ce fait, il est

primordial pour arriver à cette fin de comparer les deux béliers hydrauliques.

Tableau 8.04: Comparaison des deux béliers hydrauliques

Critères de comparaison Bélier hydraulique installé à

Antaninandro Anjiro

Bélier hydraulique conçu

Coût du bélier non installé 206 797,00 Ariary 161 800,00 Ariary

Les matériaux constituants Locaux et importés Locaux

Rendement global 7% 12%

Rendement en débit 1,16% 4,21%

Conclusion : Le bélier hydraulique conçu est plus économique et réalisable pour les petits villages

de Madagascar. La totalité des pièces constituantes du bélier sont des pièces locales et son

rendement par rapport à d’autres types de bélier est aussi acceptable. Finalement, notre but de

concevoir un nouveau bélier est atteint.


-------


Opérationnalisation et maintenance du bélier hydraulique conçu

9.1 Les équipements nécessaires pour la maintenance du nouveau modèle de bélier

hydraulique :

En général, le bélier hydraulique ne nécessite aucun entretien considérable. De ce fait, une

maintenance locale est plus appréciée. Et pour faciliter cette maintenance locale, le comité de

gestion de l’eau doit avoir les équipements suivants :

- Une clé à griffe pour ouvrir le clapet en cas de rechange des joints ;

- Une clé plate ∅9 pour les écrous ;

- Une lame à scie à métaux ;

- Un tournevis pour l’entrée des joints ;

- Une caisse à matériel.

- Au cas où, l’obturateur du clapet de choc, se détache de la tige filetée, une maintenance

dans les ateliers locaux s’avère être la meilleure solution. Une brasure entre le clapet en

laiton et la tige filetée en inox doit être effectuée par des personnels compétents afin d’avoir

un clapet bien droit.

9.2 Recommandations pour son fonctionnement :

9.2.1 Méthode d’amorçage du bélier :

Au lancement du bélier, la hauteur de l'eau dans la conduite de refoulement est égale, au plus, à la

valeur h.

Un amorçage du bélier est donc indispensable :

- Solution 1 : En remplissant par le haut la conduite de refoulement jusqu'à respecter la

condition, puis en repoussant à la main le clapet de choc pour démarrer le cycle. Cette

solution présente le risque d'introduire de l'air dans la conduite de refoulement.

- Solution 2 : En repoussant plusieurs fois le clapet de choc jusqu'à ce que l'eau soit

suffisamment montée dans la conduite de refoulement pour que le cycle démarre

automatiquement. Pour aller encore plus vite, il suffit de fermer la vanne d'arrêt de la

conduite de refoulement, de faire monter en pression la cloche à air en actionnant le clapet

de choc manuellement plusieurs fois, de reouvrir la vanne d'arrêt, et de répéter ce cycle de

manœuvre deux ou trois fois pour remplir suffisamment en eau la conduite de refoulement.

9.2.2 Causes des mauvais fonctionnements du bélier :

9.2.2.1 Non-démarrage ou arrêt du bélier :

Alimentation discontinue en eau

- Le débit source est exceptionnellement faible ;

- Des corps étrangers bouchent la crépine de la prise d'eau (feuilles, brindilles, boues,

solides...).

Solution : Nettoyer la crépine de prise d’eau plus souvent.

Non-ouverture du clapet de choc :

- Mauvais amorçage du bélier

Solution : redémarrer le bélier selon la procédure de la mise en pression préalable de la

cloche à air.

- Des corps étrangers solides gênent l'ouverture du clapet (ciment, petit animal...)


-------


Solution : démonter et nettoyer le clapet

- La conception : rapport h/H est trop grand

Solution : diminuer h, autrement dit mettre le bélier moins en contre-bas de la source.

Non-fermeture du clapet de choc : Le régime permanent est atteint dans la conduite motrice

Solution : diminuer F0 (résistance du clapet de choc à sa fermeture)

Mauvaise installation du bélier : fuite au niveau des raccords, conduite de batterie très

courte, ….

9.2.2.2 Battements saccadés et bruyants du bélier :

Poches d'air dans la conduite motrice :

- Mauvais amorçage du bélier

Solution : redémarrer le bélier selon la procédure (avec purge préalable de la conduite

motrice)

- La conception : contre-pentes de la conduite motrice

Solution : supprimer les contre-pentes de la conduite motrice

Manque d'air dans la cloche

Non-renouvellement de l'air dans la cloche

Solution : déboucher le reniflard

9.2.2.3 Débit d'eau refoulée irrégulier :

Cloche pleine d'air : refoulement d'air sans eau au redémarrage du bélier

Solution : ne rien faire car c’est un fonctionnement normal

Vortex d'air à l'entrée de la conduite motrice : niveau d'eau dans le collecteur trop proche

de l'entrée de la conduite motrice

9.2.2.4 Débit d'eau refoulée faible ou nul :

Clapet de choc non étanche à l’eau : fuite d'eau à l'obturateur en position fermée

Solution : changer le joint ou le clapet entier ; effectuer une brasure pour boucher la fuite.

Clapet de choc se fermant trop tôt : clapet mal réglé

Solution : augmenter la résistance du clapet de choc à sa fermeture F0

Raccords non étanches à l'eau : fuites importantes d'eau au niveau des raccords du bélier

ou l’installation

Solution : resserrer le raccord et mettre des fillasses et gebajoint au niveau des filetages.

Poches d'air dans la conduite de refoulement : conception : conduite de refoulement avec

contre-pentes

Solution : supprimer les contre-pentes (ajout de purgeurs d'air dans les hauts de la conduite)


-------


9.2.2.5 Vidange du réservoir d’air

Pour assurer la présence d’une quantité d’air suffisante dans le réservoir d’air, une vidange du

réservoir d’air une fois toutes les semaines est nécessaire afin de le réalimenter en air. Il suffit de

fermer la vanne de refoulement et ouvrir la vanne de vidange puis réamorcer la pompe.

9.3 Les pièces de rechange à mettre en stock :

Les pièces assemblées pour constituer ce bélier sont toutes locales, donc facile à trouver sur le

marché. D’où l’abandon de certains matériaux comme l’inox pour les écrous, les rondelles, très

difficiles à trouver sur le marché local. Or ces matériaux sont très vite rouillés, d’où le besoin en

stock de certains matériaux. Les pièces de rechange à stocker :

- Les rondelles en cas de réglage du bélier et rouillure des rondelles ;

- Les écrous ∅6 mm simples et chanfreinés en cas de rouillure et perte dans l’eau ;

- Les joints du l’obturateur du clapet de choc en cas d’usure du clapet de choc ;

- Les vannes de refoulement et de vidange du réservoir d’air en cas d’usure ;

- Le collier de serrage au niveau de la conduite de refoulement ;

- La colle PVC en cas de décollement des raccords en PVC ;

- Un tuyau d’assemblage des raccords en cas de vétusté des tuyaux ;

- Des papiers abrasifs pour poncer les tuyaux avant collage avec des raccords ;

- Des fillasses et gebajoint ;

9.4 Le coût d’opérationnalisation, d’entretien et de maintenance

Désignation unité Quantité Fréquence Prix unitaire

[Ar]

Montant [Ar]

Entretien du

clapet de choc

brasure

(Soudure)

U 1 1 8 000 8 000

Entretien du

clapet de choc

h/j 1 1 5 000 5 000

Nettoyage filtre

et Vidange de

bélier

h/j 1 24 5 000 120 000

Tableau 9.01: Coût annuel de maintenance du bélier hydraulique conçu

Le coût maximal annuel de main d’œuvre pendant l’exploitation du bélier est de 149 315,00

Ariary.

De cette dernière partie, on en déduit que le bélier hydraulique conçu permet d’alimenter 93

bénéficières avec un rendement maximal de 35% à un coût de 160 800,00 Ariary. Le coût de

maintenance annuel du bélier conçu est de 149 315,00 Ariary pour une durée de vie de 15 ans.

Conclusion

-------


Conclusion

En guise de conclusion, le principal objectif établi dans ce mémoire a été concrétisé. Ce

dernier repose sur « la conception d’un bélier hydraulique à un coût minimum adapté aux petits

villages de Madagascar ». Le bélier aura une durée de vie de 15 années et est donc rentable par

rapport aux investissements par nombres de bénéficiaires hors coût de traitement pour la

potabilisation de l’eau.

Ce nouvel type de bélier hydraulique conçu pourrait être dupliqué pour des investissements

potentiels notamment pour le cas des zones d’interventions de Wateraid. Cet ouvrage pourrait

aussi faire office d’approfondissements pour les chercheurs, leurs permettant de perfectionner les

béliers existants.

Toutefois, à la suite d’observations lors des utilisations et selon la disponibilité des matériaux,

d’autres types de bélier hydraulique plus performants peuvent être élaborés.

Finalement, l’utilisation du bélier hydraulique comporte de nombreux avantages mais comme

toutes les autres technologies existantes, elle nécessite des mesures d’accompagnement pour les

exploitants locaux afin d’assurer sa pérennisation et son fonctionnement.

Annexes

------

I

Annexe I : Dimensionnement du canal d’amené

Le canal d’amené est en terre de section trapézoïdale. Sa longueur est de 5,8 m avec une pente de

3,5m/m. Le calcul de débit se fait à l’aide de la formule de MANNING STRICKER suivante :

Q = KSR2/3I1/2

Avec Q : le débit arrivant au bassin de retenu en m3/s ;

S : la section mouillée en m2 ;

R : le rayon hydraulique en m ; I : la pente du fond du canal enm/m.

Les données :

Longueur du canal [m] 5,8

pente du canal [m/m] 3,5

fruit de berge ou m 2,5

hauteur d'eau dans le canal [m] 0,01

Largeur du canal à l'ouverture [m] 0,2

Largeur du canal à l'extremité [m] 0,15

tg α 0,4

coefficient de Manning Strickler 25

Le rayon hydraulique :

R= [h(mh+l)]/[l+2h racine(1+m2)]

R = 0,009 m

La section mouillée :

S= mh2+hl

S= 0,00175 m2

Le débit calculé

Q= KSR(2/3) I(1/2)

Q=0,003 m3/s

Annexes

------

II

Annexe II : Le coût d’investissement de l’installation du bélier hydraulique à

Antaninandro Anjiro

1- Coûts directs de realisation

Coût des matériaux de construction :

Désignations Unité Quantité

Prix unitaire

[Ar]

Prix total

[Ar]

Ciment sac 2 25 000 50 000

Sable m3 0,3 10 000 3 000

Gravillon 5/25 m3 0,2 50 000 10 000

Gravillon 0,7/12 m3 0,032 182 400 5 837

Sable silex sac 4 30 400 121 600

Planche coffrage U 4 3 200 12 800

Citernes verticales U 2 265 000 530 000

Passe coques U 2 40 000 80 000

Tuyau air 25 m 3 5 800 17 400

Pistolet pour silicone U 1 4 500 4 500

Tuyau goutte à goutte m 50 1 400 70 000

Géotextile mL 3 4 666,6 13 999,8

Bâche légère U 1 53 333 53 333

Chlore non stabilisé g 100 50 5 000

Tuyau d'arrosage 15/29 m 4 1 400 5 600

Raccord té cannelé U 1 25 167 25 167

Nez de robinet U 1 8 333 8 333

Manchon PEHD U 1 16 333 16 333

Robinet d'arrosage 1/4 tour U 1 68 167 68 167

Manchon f-f1 U 1 14 583 14 583

Crépine clapet anti-retour U 1 9 795,5 9 795,5

Tube rectangulaire U 2 24 000 48 000

Fer U30 U 2 80 000 160 000

Cornière U 2 35 000 70 000

Tube carrée tube 2 11 700 23 400

Antirouille kg 1 15 000 15 000

White spirit L 0,5 4 000 2 000

Pinceau rouge U 2 350 700

Boulon BM 10*60 U 10 700 7 000

Boulon BM 10*40 U 10 500 5 000

Boulon BM 10*30 U 20 400 8 000

Boulon BP 6*70 U 20 500 10 000

Tamis 0,8mm U 1 65 000 65 000

Silicone transparent U 1 6 875 6 875

Marteau U 1 9 750 9 750

Equerre menuisier U 1 5 775 5 775

Niveau alu U 1 6 738 6 738

Collier de serrage U 2 800 1 600

Frais de manutention structure

métallique U

1 80 000 80 000

Annexes

------

III

transport structure métallique Transport 1 5 000 5 000

Transport/retour des MDC Transport 1 48 000 48 000

Etrier U 2 1 000 2 000

Seau électrolyse U 2 20 666 41 332

PEHD manchon réduit U 1 4 804 4 804

Total 1 751 422

Le coût total des matériaux de construction est de 1 751 422 ,10 Ariary.

Coût de la main d'œuvre :

Le coût de main d’œuvre durant la réalisation du projet :


Prix unitaire

[Ar]

Prix total

[Ar]

Fouillage dalle/ collecteur/prise m3 0 1 0

Fouillage tuyau refoulement ml 50 500 25 000

Salaires Personnes 2 140 000 280 000

transport sur le site Transport 1 5 000 5 000

Total 310 000

Le coût de main d’œuvre durant la réalisation du projet est estimé à 310 000,00 Ariary.

Coût des equipements rendus sur chantier :


Prix unitaire

[Ar]

Prix total

[Ar]

Panneau solaire U 1 340 000 340 000

Câble solaire U 1 7 800 7 800

Electrolyseur U 1 150 000 150 000

seau électrolyse U 1 12 000 12 000

Structure bois U 1 10 000 10 000

Total 519 800

Le coût des équipements rendus sur chantier est de 519 800,00 Ariary.

Coût du bélier hydraulique mis en place:


Prix unitaire

[Ar]

Prix total

[Ar]

Réduction laiton U 1 13 334 13 334

Réduction MF en cuivre U 1 1 263 1 263

Tige filetée m 0,2 1 000 200

Ecrou U 4 100 400

Corps du bélier préfabriqué U 1 190 000 190 000

Rondelle U 2 300 600

Ressort U 1 1 000 1 000

Total 206 797

Le coût total du bélier hydraulique est estimé à 206 797,00 Ariary.

Annexes

------

IV

2- Les frais préliminaires :

Analyse laboratoire 100 000 Ariary

Frais de deplacement recherche de source 48 000 Ariary

Achat des matériaux 20 000 Ariary

Visite du site 180 000 Ariary

Total 348 000 Ariary

3- Coût de realisation indirect :

Désignation Unité Quantité

Prix unitaire

[Ar]

Prix total

[Ar]

Frais de repli des matériels U 1 48 000 48 000

Total 48 000

Le frais de repli des matériaux est de 48 000,00 Ar.

Donc le coût total d’investissement est de 3 184 018,73 Ariary.

V

Bibliographies et Webographies

Cours :

[1] RAKOTO David, Cours d’Aménagement Hydroélectrique, 2015.

[2] RAMANANTSOA Benjamin, Station de traitement d’eau potable, 2015.

[3] RANDRIANARIVONY Charles, Ecoulement transitoire, 2013

[4] RANDRIANASOLO David, Station de pompage, 2014.

[5] RAVELOJAONA JOHNSON, Cours de Machine hydraulique, 2014.

Ouvrages :

[6] BENAMOUR A., Les moyens d’exhaure en milieu rural, Mars 1977.

[7] BERGERON L., Machines hydrauliques, Dunod, Paris 1928

[8] BRAUSCH F. et LEDANT G., Une pompe étonnante : Le bélier hydraulique,

TROPICULTURA 1984.

[9] CODEART (Coopération au Développement de l'Artisanat) : Réalisation d'un bélier

hydraulique.

[10] DINEPA, Pompes à motricité humaine, Juillet 2013.

[11] FRAENKEL P.L., Les machines élévatoires, BULLETIN FAO D'IRRIGATION ET DE

DRAINAGE 43, FAO 1994

[12] Frédéric Élie, Coup de bélier et cheminée d'équilibre, mai 2014.

[13] Hénou B., Les moyens d’exhaure pour puits et forages d’eau, Juin 1983.

[14] LANSFORD W.M. et DUGAN W.G., An analytical and experimental study of the hydraulic

ram, University of Illinois Bulletin, Vol.38, N°22, Engineering experiment station, Bulletin series

N°326 (pp. 1-70), Urbana 1941.

[15] LAPRAY Jean-François, Etude du fonctionnement d'un bélier hydraulique, février 2009.

[16] PACER, Régulation et sécurité d’exploitation, 1995.

[17] RABEHARISOA Ranto, Etude technique et construction d’un bélier hydraulique : application

à l’irrigation de petit périmètre d’Andriantsilahy Antanifotsy, Mémoire de fin d’études, Université

d’Antananarivo, ESPA, Département hydraulique, 2007.

[18] Société Grenobloise d’études et d’applications Hydrauliques, Les pompes et les petites

stations de pompage, Novembre 1978.

http://www.codeart.org/pdf/dossier/2008-realisation-d-un-belier-hydraulique.pdf

http://www.codeart.org/pdf/dossier/2008-realisation-d-un-belier-hydraulique.pdf

http://www.fao.org/docrep/010/ah810f/AH810F00.htm#Contents

http://www.fao.org/docrep/010/ah810f/AH810F00.htm#Contents

https://www.ideals.uiuc.edu/handle/2142/4407



VI

Sites web:

[19] Didier Nébréda : http://www.belier-‐inox.fr

[20] Patrick Hadengue. Pompe à Bélier Hydraulique [en ligne] (page consultée le 07/09/2017) :

https://sites.google.com/site/fabricationdunepompeabelier/

[21] Régis Petit. Bélier hydraulique [en ligne] (page consultée le 25/09/2017) :

http://www.regispetit.fr/belier.htm

[22] www.codeart.org.

https://sites.google.com/site/fabricationdunepompeabelier/

http://www.regispetit.fr/belier.htm

VII

Table des matières

Remerciements ............................................................................................................................... i

Sommaire ...................................................................................................................................... iii

Liste des tableaux ......................................................................................................................... iv

Liste des figures ............................................................................................................................ v

Liste des abréviations .................................................................................................................. vi

Introduction .................................................................................................................................. 1

PARTIE I : GENERALITES SUR LES MACHINES ELEVATOIRES ET

JUSTIFICATION DU CHOIX DU BELIER HYDRAULIQUE ............................................................ 2 Les différents types de pompe de relevage d’eau ............................................................ 2

1.1 Généralités sur les pompes de refoulement ......................................................................................... 2

1.1.1 Définition .............................................................................................................................. 2

1.1.2 Liste non exhaustive des types de pompe de refoulement ................................................ 2

1.1.3 Les caractéristiques générales d’une pompe ..................................................................... 9

1.2 Les différentes énergies utilisées pour les différentes pompes de relevage d’eau .......................... 12

1.2.1 Une pompe à motricité humaine ...................................................................................... 12

1.2.2 Une pompe solaire ............................................................................................................. 14

1.2.3 Une pompe éolienne ........................................................................................................... 15

1.2.4 Une pompe électrique ........................................................................................................ 16

1.2.5 Une pompe à moteur thermique ....................................................................................... 16

1.2.6 Un bélier hydraulique : ..................................................................................................... 17

1.3 Choix du bélier par rapport à d’autres technologies ....................................................................... 18

1.3.1 Les études à réaliser avant de choisir un système hydraulique à mettre en place dans un

milieu donné : .............................................................................................................................. 18

1.3.2 Comparaison du bélier par rapport à d’autres technologies ......................................... 19

1.3.3 Avantage du bélier hydraulique par rapport au coût : .................................................. 24

1.3.4 L’emploi le plus adapté du bélier hydraulique pour les adductions d’eau de Wateraid

Madagascar : ............................................................................................................................... 25

1.4 Quelques béliers hydrauliques inventés par d’autres concepteurs ................................................. 25

1.4.1 Le Bélier de l’ONG TARATRA : ..................................................................................... 25

1.4.2 Le bélier inventé par le département physique de l’Université d’Antananarivo : ...... 26

PARTIE II : ETUDE THEORIQUE DU FONCTIONNEMENT DU BELIER

HYDRAULIQUE ...................................................................................................................................... 27 Le phénomène du coup de bélier ..................................................................................... 27

2.1 Définition d’un régime transitoire ou non permanent ..................................................................... 27

2.2 Etude théorique du phénomène de coup de bélier ........................................................................... 27

2.2.1 Compressibilité et célérité des liquides en général : ....................................................... 27

2.2.2 Propagation des ondes des écoulements transitoires : .................................................... 28

2.3 Description du coup de bélier dans une conduite : ........................................................................... 29

VIII

2.4 La célérité ou la vitesse de propagation de l’onde dans une conduite cylindrique déformable : . 32

2.5 La surpression maximale selon le type de fermeture ....................................................................... 35

2.5.1 Cas d’une fermeture brusque 𝑻𝒇 ≤ 𝟐𝑳𝒂 ......................................................................... 35

2.5.2 Cas d’une fermeture lente 𝑻𝒇 > 𝟐𝑳𝒂 ............................................................................... 36

Etude théorique du bélier hydraulique .......................................................................... 37 3.1 Description générale et fonctionnement du bélier hydraulique : .................................................... 37

3.1.1 Description générale du bélier hydraulique : .................................................................. 37

3.1.2 Fonctionnement du bélier hydraulique : ......................................................................... 38

3.2 Etude approfondie du bélier hydraulique : ....................................................................................... 39

3.2.1 Analyse de l’action du bélier : .......................................................................................... 39

3.2.2 Les paramètres importants et simplifications des formules pour un cycle donné : ..... 60

3.2.3 Les conditions nécessaires pour un fonctionnement optimal du bélier ........................ 71

Les recommandations pour la construction et l’installation du bélier hydraulique .. 74 4.1 Les conditions de fonctionnement du bélier : ................................................................................... 74

4.1.1 Alimentation continue en eau ........................................................................................... 74

4.1.2 Fermeture du clapet de choc ............................................................................................. 74

4.1.3 Ouverture du clapet de refoulement ................................................................................ 74

4.1.4 Fermeture du clapet de refoulement ................................................................................ 75

4.1.5 Ouverture du clapet de choc ............................................................................................. 75

4.1.6 Renouvellement de l’air dans la cloche ............................................................................ 76

4.1.7 Résistance de toute l'installation aux sollicitations mécaniques .................................... 76

4.2 Recommandations pour l’installation du bélier : ............................................................................. 76

4.2.1 Le collecteur d'eau ou la prise d'eau :.............................................................................. 76

4.2.2 La conduite motrice :......................................................................................................... 77

4.2.3 Le corps du bélier : ............................................................................................................ 77

4.2.4 Le clapet de choc :.............................................................................................................. 78

4.2.5 Le clapet de refoulement : ................................................................................................. 78

4.2.6 La cloche à air a une double fonction : ............................................................................ 78

4.2.7 Le système de renouvellement d'air dans la cloche ........................................................ 79

4.2.8 La conduite de refoulement : ............................................................................................ 79

4.2.9 Le réservoir supérieur : ..................................................................................................... 79

PARTIE III : CONCEPTION D’UN NOUVEAU MODELE DE BELIER

HYDRAULIQUE ...................................................................................................................................... 80 Dimensionnement du bélier hydraulique ....................................................................... 80

5.1 Calcul du bélier : ................................................................................................................................. 80

5.1.1 Les données initiales : ........................................................................................................ 80

5.1.2 Démarche du calcul : ......................................................................................................... 80

5.2 Quelques recommandations pour le clapet de choc : ....................................................................... 84

5.3 Dimensionnement du bélier hydraulique : ........................................................................................ 84

5.3.1 Les conditions initiales du bélier : .................................................................................... 84

5.3.2 Calcul de L, vo, S, K, Vair(atm) et D’:............................................................................. 85

Choix et mode d’assemblages des pièces ........................................................................ 87

IX

6.1 Critère de choix des matériaux constituants le bélier ...................................................................... 87

6.1.1 Choix du bélier par rapport au coût : .............................................................................. 87

6.1.2 Choix du bélier par rapport à la durée de vie : ............................................................... 87

6.1.3 Choix du bélier par rapport au coût d’exploitation : ..................................................... 88

6.1.4 Choix du bélier par rapport au rendement : ................................................................... 88

6.2 Structure du bélier .............................................................................................................................. 88

6.2.1 Les constituants du bélier ................................................................................................. 88

6.2.2 Structure du bélier : .......................................................................................................... 89

6.3 Mode d’assemblages des pièces .......................................................................................................... 89

Essais et mesures .............................................................................................................. 92 7.1 Procédé de mesure : ............................................................................................................................ 92

7.2 Résultats des mesures : ....................................................................................................................... 92

7.3 Conclusion ............................................................................................................................................ 94

Etude économique et financière ...................................................................................... 95 8.1 Le coût du bélier hydraulique réalisé : .............................................................................................. 95

8.2 Comparaison du bélier hydraulique conçu et le bélier hydraulique installé à Antaninandro ..... 96

8.2.1 Etude du bélier hydraulique installé : ............................................................................. 96

8.2.2 Présentation du système hydraulique mise en place ..................................................... 105

8.3 Comparaison des deux béliers hydrauliques : ................................................................................ 108

Opérationnalisation et maintenance du bélier hydraulique conçu ............................ 109 9.1 Les équipements nécessaires pour la maintenance du nouveau modèle de bélier

hydraulique : ............................................................................................................................................ 109

9.2 Recommandations pour son fonctionnement : ............................................................................... 109

9.2.1 Méthode d’amorçage du bélier : .................................................................................... 109

9.2.2 Causes des mauvais fonctionnements du bélier : .......................................................... 109

9.3 Les pièces de rechange à mettre en stock : ...................................................................................... 111

9.4 Le coût d’opérationnalisation, d’entretien et de maintenance ...................................................... 111

Conclusion ................................................................................................................................................ 112 Annexe I : Dimensionnement du canal d’amené ...................................................................................... I

Annexe II : Le coût d’investissement de l’installation du bélier hydraulique à Antaninandro

Anjiro........................................................................................................................................................... II

Bibliographies et Webographies ............................................................................................................... V

Table des matières ................................................................................................................................... VII

Titre du mémoire : « Conception d’un bélier hydraulique à moindre coût adapté aux petits

villages de Madagascar »

Auteur : RANDRIATSITOHAINA Njiva Nomenjanahary

Adresse : IPA 502 Ampasika Anosimasina

Contact : +261 32 43 482 88 / +261 34 99 018 50

E-mail : [email protected]

Nombre de pages : 112

Nombre de tableaux : 14

Nombre de figures : 40

Nombre des annexes : 2

Résumé :

Il existe de nombreuses techniques de relevage disponible dans l’adduction d’eau potable. Le

bélier hydraulique est l’une des moins chers du point de vue du coût d’exploitation. Cependant le

coût d’investissement des béliers disponibles sont relativement important par rapport au nombre

de bénéficiaires desservis si on l’utilise pour l’AEP. De plus, son utilisation nécessite d’abord une

étude bien approfondie de manière à avoir un rendement maximal et un fonctionnement continu.

De ces faits, avec l’appui de WaterAid Madagascar, nous avons conçu un nouveau modèle de

bélier hydraulique à moindre coût, facile à mettre en place, facile à entretenir avec un rendement

supérieur. Il est surtout adapté pour les petits villages de Madagascar avec moins de 100 habitants.

Le bélier hydraulique conçu a une durée de vie de 15ans avec un coût de revient de 310 115,00

Ariary avec le coût de la maintenance annuelle.

Mots clés : Bélier hydraulique, machine hydraulique, moindre coût, AEP, relevage d’eau

Abstract:

There are many lifting techniques available in the drinking water supply. The hydraulic ram is one

of the cheapest from the point of view of the operating cost. However, the investment cost of

available rams is relatively high compared to the number of beneficiaries served if it is used for

drinking water supply. In addition, its use requires first a thorough study in order to have maximum

performance and continuous operation. From these facts, with the support of WaterAid

Madagascar, we have designed a new hydraulic ram model that is inexpensive, easy to set up, easy

to maintain, and superior in performance. It is especially suitable for small villages of Madagascar

with less than 100 inhabitants. The hydraulic ram designed has a lifespan of 15 years with a cost

of 310 115,00 Ariary with the cost of the maintenance annual.

Key-words: Ram pump, hydraulic machine, lower cost, drinking water supply, water lift

mailto:[email protected]

Documents

Conception d’un bélier hydraulique à moindre coût adapté