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Concours
PUISSANCE aLPHA
Concours
PUISSANCE aLPHA
MARIE-VIRGINIE SPELLERDAVID BENTOUZAPATRICK TROGLIASOPHIE GALLIX
LES ÉCOLES D’INGÉNIEUR
Tout-en-un
© Dunod, 202111 rue Paul Bert, 92240 Malakoff
www.dunod.comISBN 978-2-10-082021-4
Maquette de couverture : Caroline Joubert (Atelier du Livre)Mise en page : Belle Page
V
table des matières
Introduction ����������������������������������������������������������������������������������������������������� IX
Partie 1Mathématiques
Chapitre 1 La géométrie ������������������������������������������������������������������������������2Entraînements ���������������������������������������������������������������������������������������9Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������12
Chapitre 2 Les équations, les inéquations et les systèmes ���������������������������16Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������19Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������24
Chapitre 3 L’ensemble de définition d’une fonction ��������������������������������������33Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������34Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������35
Chapitre 4 L’axe et le centre de symétrie d’une fonction ������������������������������36Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������37Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������38
Chapitre 5 Les limites ���������������������������������������������������������������������������������39Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������41Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������43
Chapitre 6 Les dérivées ������������������������������������������������������������������������������46Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������48Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������50
Chapitre 7 Les fonctions usuelles �����������������������������������������������������������������56Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������60Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������63
Chapitre 8 Les primitives et intégrales ��������������������������������������������������������66Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������69Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������71
Chapitre 9 Les suites ����������������������������������������������������������������������������������74Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������76Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������78
Chapitre 10 Trigonométrie ����������������������������������������������������������������������������82Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������83Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������85
Chapitre 11 Les nombres complexes �������������������������������������������������������������88Entraînements �������������������������������������������������������������������������������������91Corrigés�����������������������������������������������������������������������������������������������94
Chapitre 12 Les probabilités �������������������������������������������������������������������������99Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������100Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������101
Chapitre 13 Les lois de probabilités discrètes et continues �������������������������������102Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������105Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������110
VI
Chapitre 14 L’arithmétique ��������������������������������������������������������������������������117Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������118Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������121
Partie 2Physique
Chapitre 1 Radioactivité �������������������������������������������������������������������������126Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������128Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������133
Chapitre 2 Décrire un mouvement ������������������������������������������������������������136Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������138Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������142
Chapitre 3 Mouvement et force ����������������������������������������������������������������144Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������146Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������149
Chapitre 4 Mouvement des satellites ��������������������������������������������������������152Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������154Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������157
Chapitre 5 Statique des fluides �����������������������������������������������������������������160Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������162Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������166
Chapitre 6 Dynamique des fluides ������������������������������������������������������������169Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������172Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������176
Chapitre 7 Optique ����������������������������������������������������������������������������������179Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������182Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������186
Chapitre 8 L’énergie : conversions et transferts ������������������������������������������189Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������191Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������195
Chapitre 9 Caractérisation des phénomènes ondulatoires��������������������������199Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������203Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������210
Chapitre 10 Interaction lumière matière : effet photoélectrique �������������������215Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������217Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������221
Chapitre 11 Étude des systèmes électriques �����������������������������������������������223Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������227Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������229
Partie 3Chimie
Chapitre 1 Acide/base ������������������������������������������������������������������������������232Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������233Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������237
Chapitre 2 Les dosages ����������������������������������������������������������������������������240Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������242Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������249
VII
Chapitre 3 Cinétique ���������������������������������������������������������������������������������254Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������255Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������260
Chapitre 4 Oxydoréduction �����������������������������������������������������������������������263Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������264Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������267
Chapitre 5 Évolution spontanée d’un système chimique �����������������������������270Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������271Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������274
Chapitre 6 Piles et électrolyse ������������������������������������������������������������������276Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������277Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������281
Partie 4Biologie
Chapitre 1 Génétique et diversification des génomes �������������������������������286Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������287Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������289
Chapitre 2 Évolution des êtres vivants et évolution de la biodiversité ��������290Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������291Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������292
Chapitre 3 La vie fixée des plantes �����������������������������������������������������������293Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������294Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������295
Chapitre 4 La plante domestiquée ������������������������������������������������������������296Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������297Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������299
Chapitre 5 La réaction inflammatoire ��������������������������������������������������������300Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������301Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������304
Chapitre 6 L’immunité adaptative ��������������������������������������������������������������305Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������306Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������309
Chapitre 7 Le phénotype immunitaire au cours de la vie ���������������������������311Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������312Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������315
Chapitre 8 Le réflexe myotatique ��������������������������������������������������������������317Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������318Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������321
Chapitre 9 De la volonté au mouvement ���������������������������������������������������322Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������323Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������326
Chapitre 10 Le contrôle des flux de glucose ������������������������������������������������327Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������328Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������330
Chapitre 11 Motricité et plasticité cérébrale ������������������������������������������������332Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������333Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������336
VIII
Partie 5Connaissance verbale et linguistique
Chapitre 1 Rappels de français pour soigner votre copie ���������������������������340Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������345Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������347
Chapitre 2 Compréhension d’un texte en français ��������������������������������������351Entraînements �����������������������������������������������������������������������������������358Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������364
Partie 6Anglais
Chapitre 1 Les articles ������������������������������������������������������������������������������368Chapitre 2 Les adjectifs, pronoms, quantificateurs et indénombrables ��������369Chapitre 3 Le pluriel des noms �����������������������������������������������������������������370Chapitre 4 Les comparatifs et superlatifs ������������������������������������������������371Chapitre 5 Les temps du passé ����������������������������������������������������������������372Chapitre 6 Les temps du présent �������������������������������������������������������������373Chapitre 7 Subjonctif, futur, conditionnel �������������������������������������������������374Chapitre 8 Le discours indirect �����������������������������������������������������������������376Chapitre 9 Les modaux ����������������������������������������������������������������������������377Chapitre 10 La proposition relative et infinitive ����������������������������������������379Chapitre 11 To ou –ing ? ����������������������������������������������������������������������������380Chapitre 12 Place de l’adverbe �����������������������������������������������������������������381
Partie 7Concours blancs
Concours blanc 1 ������������������������������������������������������������������������������������������385Épreuve 1 : Mathématiques ��������������������������������������������������������������385Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������389Épreuve 2 : Physique-chimie ������������������������������������������������������������404Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������409Épreuve 3 : Biologie �������������������������������������������������������������������������412Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������418Épreuve 4 : Connaissance verbale et linguistique ����������������������������422Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������430Épreuve 5 : Anglais ���������������������������������������������������������������������������434Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������439
Concours blanc 2 ������������������������������������������������������������������������������������������441Épreuve 1 : Mathématiques ��������������������������������������������������������������441Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������445Épreuve 2 : Physique-chimie ������������������������������������������������������������458Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������464Épreuve 3 : Biologie �������������������������������������������������������������������������467Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������473 épreuve 4 : Connaissance verbale et linguistique ����������������������������476Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������483Épreuve 5 : Anglais ���������������������������������������������������������������������������488Corrigés���������������������������������������������������������������������������������������������493
IX
Qu’est-ce qu’un concours ?
❖ Une nouvelle notationUn concours est bien différent d’un examen, notamment par son élaboration et sa notation�Jusqu’à présent, vous aviez l’habitude d’être évalué par le biais d’examens, c’est-à-dire qu’il vous suffisait d’avoir une note au moins égale à la moyenne (10/20) pour être reçu. C’est le cas du Bacca-lauréat ou du Brevet des collèges� Il en est de même pour les contrôles et les interrogations� Une telle épreuve est également conçue de manière à ce que vous puissiez traiter l’ensemble du sujet dans le temps imparti. Vous obtenez ainsi la note de 20/20 si vous répondez parfaitement à toutes les questions.Un concours se déroule de manière très différente. Tout d’abord, le sujet est élaboré de manière à ce que vous ne puissiez pas tout faire dans le temps octroyé� Ainsi, vous pouvez obtenir la note maximale (20/20) à l’épreuve sans avoir traité le sujet entièrement. C’est pourquoi en général, les énoncés de concours paraissent interminables aux élèves !Alors pas de panique ! Si vous n’avez pas répondu à toutes les questions ou pas traité tous les exer-cices et problèmes, vous pouvez tout de même avoir très bien réussi� Votre note dépend du meilleur candidat� Vous êtes noté et classé par rapport à la meilleure copie�Vous êtes reçu en fonction de votre classement et non plus si vous obtenez une note supérieure ou égale à la moyenne. Par exemple vous pouvez échouer avec 11/20 et réussir avec une note telle que 9/20 ! Votre réussite est aussi fonction du nombre de places offertes dans chaque école.
Le concours Puissance Alpha
❖ À qui s’adresse le concours Puissance Alpha ?Le concours Puissance Alpha s’adresse aux élèves issus de terminale générale, de terminale STI2D, de terminale STL ou titulaires depuis moins de 2 ans d’un bac S, STI2D ou ES (option maths).
Choix des spécialités au lycée
Classe de première Classe de terminaleSpécialité mathématiques+ une spécialité scientifique au choix parmi
physique-chimie, SVT, NSI ou SI+ une autre option au choix scientifique ou non
1re possibilité (conseillée par le concours)Spécialité mathématiques+ une spécialité scientifique au choix parmi physique-chimie, Science de la Vie et de la Terre, Numérique et Sciences Informatiques ou Sciences de l’Ingénieur2e possibilité2 spécialités scientifiques au choix parmi physique-chimie, SVT, NSI ou SI+ option mathématiques complémentaires
présentation du concours puissance alpha
Introduction
X
❖ Modalités d’inscriptionJe m’inscris !
L’inscription se fait uniquement sur Internet via le portail ParcourSup entre janvier et mars (les dates exactes sont précisées au premier trimestre de la terminale) de l’année de passation du concours.L’accès aux 15 écoles du concours Puissance Alpha se fait selon les étapes suivantes :
1) Cliquer sur « Présentation des formations » ;2) Cliquer sur « Rechercher une formation » ;3) Cliquer sur « Formations d’ingénieurs » avec un critère (mot-clé ou région) ;4) Cocher les écoles qui vous intéressent�Tarifs – 120 € pour les terminales générales ; – 50 € pour les terminales STI2D, STL ; – 50 € pour les étudiants bac +1/+2 ; – Gratuit pour les boursiers (sur justificatif).
❖ Quelles écoles ?Vous concourez pour intégrer une école d’ingénieur post-bac� Les études durent en général 5 ans� À l’issue de ces cinq années vous êtes « ingénieur » et disposez d’un niveau « bac + 5 »�Le concours Puissance Alpha offre plus de 4 000 places permettant l’accès à 15 grandes écoles d’in-génieur (33 campus).
Attention !Toutes les écoles du concours Puissance Alpha recrutent les élèves issus d’une terminale S.
Mais toutes ne recrutent pas les élèves issus des filières STI2D, STL et/ou à Bac +1/+2 (voir tableau ci-dessous).
Écoles Terminale générale
Terminale STI2D
Terminale STL Bac +1/+2
3iL Ingénieurs à Limoges OUI OUI OUICPE à Lyon OUI OUIEBI à Cergy OUI OUI
EFREI à Paris OUI OUI OUI
ELISA Aerospace à Bordeaux et Saint-Quentin OUI
OUI(Saint-
Quentin)OUI
ESAIP à Aix-en-Provence et à Angers OUI OUI OUI OUI
ESCOM Chimie à Compiègne OUI OUI OUIESEO à Angers, Dijon et
Paris OUIOUI
(Angers)OUI
(Angers)OUI
(Angers)ESEIA à Laval et Paris OUI OUI OUI OUI
ESIEE à Paris OUI OUI OUIJUNIA (HEI) à Lille OUI OUI OUI OUI
JUNIA (ISEN) à Lille OUI OUI OUI OUIISEN Méditerranée à Toulon OUI OUI OUI
XI
Écoles Terminale générale
Terminale STI2D
Terminale STL Bac +1/+2
ISEN Ouest à Brest, Nantes et Rennes OUI
OUI(Rennes)
OUI
ISEP à Paris OUI
❖ Quels débouchés ?À l’issue de votre école d’ingénieur, vous accédez au titre d’ingénieur et disposez d’un « bac + 5 »� Un large panel de métiers dans l’ingénierie s’offre désormais à vous� Vous pouvez aussi compléter votre formation par un troisième cycle dans une école de commerce ou dans une université (master 2).
Conseil :Choisissez vos stages dans des domaines professionnels qui vous plaisent. Si vous êtes passionné(e) par les voitures, orientez-vous vers un stage dans l’industrie auto-mobile, si vous êtes passionné(e) de mode, postulez dans une maison de couture, etc. Si vous ne savez pas vraiment ce que vous voulez faire, tentez des stages dans des secteurs différents afin d’avoir une idée plus précise de vos souhaits professionnels.
❖ Comment se déroule le concours Puissance Alpha ?Les épreuves écrites du concours Puissance Alpha sont celles de la « Banque d’épreuves Puissance Alpha »�Le déroulement du concours Puissance Alpha est résumé dans le tableau suivant :
Dossier scolaireCoefficient
Étude du dossier scolaire
Notes de Première et de Terminale (EC et contrôle continu) + pondération supérieure pour les sciences+ modulation de cette note jusqu’à 40 % par les écoles selon les prérequis et attendus de chaque programme demandé
40 %
Épreuves écritesQCM à points négatifs Durée Coefficient
Mathématiques 8 exercices dont :4 exercices obligatoires (programme de Première) 4 à choisir parmi plusieurs selon la spécialisation de terminales*�
1h30 40 % de la note Chaque école applique ses propres coefficients.
Sciences appliquées
6 exercices parmi 7 proposés dans une seule matière au choix : physique-chimie, SVT, NSI ou SI�
1h
Anglais 25 questions portant sur du vocabulaire, de l’expression et de la compréhension écrite�
45 min
Connaissance verbale et linguistique
30 questions sur la compréhension de textes, la correction linguistique ainsi que la cohérence argumentative et textuelle�
45 min
* Les exercices à choisir portent sur le programme de spécialité maths suivi en Terminale, maths complémentaires ou maths expert�Les Grands Classés selon la note de dossier scolaire peuvent être exemptés d’épreuves écrites�
XII
❖ Notation
Attention !Chaque épreuve comprend un nombre précis d’exercices (8 en mathématiques, 6 en sciences traiter).
Si vous traitez davantage d’exercices que le nombre imposé, seuls les premiers seront pris en compte dans la notation.
Pour chaque exercice il vous est proposé 4 affirmations et pour chacune d’elles vous devez déterminer si elle est vraie ou fausse�Toute réponse exacte rapporte un point tandis qu’une mauvaise réponse retire un point. Ne vous fiez donc pas au hasard si vous ne savez pas répondre ! Passez à l’exercice suivant dans ce cas pour ne pas perdre de temps�
Important :Si vous répondez correctement aux 4 items d’un exercice, vous bénéficiez d’un point supplémentaire.
Je prépare le concours !
❖ Je soigne mon dossier scolaireTravaillez régulièrement et sérieusement� Toutes vos notes obtenues en classes de première et
terminale interviennent dans le processus d’admission� Vos moyennes en langues et matières littéraires entrent également en ligne de compte�
Attention !Même si vous vous destinez à une carrière plutôt scientifique, les notes obtenues aux épreuves anticipées de français comptent ! (Voir tableau résumant le déroulement du concours).
Ne négligez donc aucune matière !
Participez en classe�Les appréciations inscrites sur vos bulletins trimestriels sont importantes� En participant en cours, les professeurs remarqueront l’intérêt que vous montrez pour leur discipline�
Ayez un comportement irréprochable en cours. Soyez toujours respectueux auprès de vos pro-fesseurs et de vos camarades�
❖ Je prépare les écritsVous travaillez seul(e)
Procurez-vous un manuel d’exercices corrigés ou consultez les annales corrigées sur Internet� Exercez-vous en commençant par des questions d’entraînement afin de déceler vos points forts et vos points faibles� Puis accentuez vos révisions sur les thèmes qui vous posent le plus de problèmes. Élaborez enfin un planning (que vous respecterez !) afin de vous donner des objectifs à court et moyen termes�
XIII
Vous optez pour de l’aide extérieureSi vous rencontrez des difficultés à travailler seul(e), vous pouvez toujours faire appel à des organismes de cours particuliers à domicile ou bien suivre un stage intensif de préparation�Les deux méthodes ont leurs avantages et leurs inconvénients résumés dans le tableau suivant :
Cours particuliers Stages collectifs
Avantages
- Flexibilité des horaires�- Pas de déplacement�- Vous avez plus de temps pour aborder les points qui vous posent problème� Vous avez une aide personnalisée�- Vous pouvez poser des questions en dehors du regard des autres�
- Les questions des uns peuvent vous aider�- En groupe, vous abordez plusieurs manières de résoudre les exercices�- Vous rencontrez des personnes qui passent le même concours que vous� Vous pouvez ainsi échanger avec eux� Cela peut avoir un effet plutôt rassurant�
Inconvénients
- Vous êtes seul(e) et ne rencontrez personne passant le même concours�- Vous n’avez pas d’autres points de vue�
- Les horaires et les déplacements sont moins flexibles.- Le professeur est moins disponible que dans le cas d’un cours particulier�
Conclusion
- Le cours particulier permet d’approfondir les notions que vous n’avez pas bien comprises et d’avancer à votre rythme�- Vous sélectionnez les points sur lesquels vous souhaitez travailler en priorité�- Choisissez cette option dans le cas où vous êtes en retard dans vos révisions et que vous avez besoin d’avancer rapidement�
- Le stage intensif vous permet de rencontrer d’autres personnes qui préparent le concours� Cela vous confronte aux réalités de la concurrence�- Si vous optez pour cette solution, vous devez, au préalable, réviser quelques notions afin de ne pas être perdu en route� Le professeur est beaucoup moins disponible que dans le cas d’un cours particulier, vous ne pourrez peut-être pas lui poser toutes vos questions�
Attitude à adopter
- Préparez des questions avant l’arrivée de votre professeur�- Cherchez des exercices pour la séance suivante afin de savoir où vous avez des difficultés et pouvoir les combler avec votre professeur�- Abordez, avec votre professeur, les thèmes que vous souhaitez traiter au cours suivant�
- Préparez des questions et des notions que vous souhaiteriez aborder en stage�- Relisez vos notes prises dans la journée le soir en rentrant chez vous.- Faites le travail que le professeur vous donne d’un jour à l’autre. Cela vous permet de mieux saisir les explications lors de la correction�
XIV
❖ Conseils : à emporter avec vous le jour du concours !Soyez reposé(e) (pas de fête la veille !) car un concours exige une grande concentration et une
énorme vivacité d’esprit�Lisez très attentivement les énoncés des exercices et des différentes propositions� Il peut y avoir
des subtilités dans le raisonnement� Faites bien attention à ce que l’on vous demande�Vous êtes pénalisé en cas de mauvaise réponse. Ne faites pas confiance au hasard !Si vous ne parvenez pas à résoudre un problème, passez au suivant pour ne pas perdre de temps�
Vous pourrez y revenir plus tard� Il est possible que la solution vous paraisse plus évidente après quelque temps�
Soignez votre orthographe et surtout… Relisez-vous !
Remerciements
Je tiens, tout d’abord, à remercier l’équipe d’édition pour sa disponibilité, son soutien et sa confiance.Je remercie également tous les élèves de terminale, d’écoles d’ingénieur et d’universités que j’ai pu encadrer dans le cadre de travaux dirigés (TD) ou de cours particuliers. Leurs questions, leurs inter-rogations et leurs doutes m’ont permis de cerner les points qui leur posaient le plus de problèmes et d’insister ainsi sur les chapitres et les thèmes difficiles.J’espère que cet ouvrage répondra aux attentes des candidats au concours Puissance Alpha�Bonne chance et bon travail à tous !
Marie-Virginie SPELLER
1
Mathématiques
1PARTIE
2
la géométrie
Je fais le point sur mes connaissances
❖ Propriétés dans un triangle
Hauteur d’un triangle équilatéral
h a= 32
Triangle inscrit dans un cercle
Tout triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre de ce cercle est rectangle.
L’hypoténuse est un diamètre de ce cercle.
Médiane et longueur
AG AI� ��� � ��
= 23
BG BJ
CG CK
� ��� � ��
� ��� � ���
=
=
2323
où G est le centre de gravité du triangle ABC.Inégalité triangulaire
AB + BC > AC
Chapitre 1
3
MA
THS
❖ Angles
Angle aigu Angle obtus
Angles alternes-internes Angles correspondants
Angles opposés par le sommet Angles supplémentaires
Angles complémentaires Angles interceptant le même arc de cercle
4
Somme des angles dans un triangle
Angles à la base d’un triangle isocèle
Angles dans un triangle équilatéral
❖ Périmètres, aires et volumes
Périmètre AireTriangle
somme des côtés base × h2
5
MA
THS
Périmètre AireCarré de côté c
4c c × c = c2
Rectangle
2 × (L + l) L × l
Cercle de rayon R
RO
2πR πR2
Trapèze
somme des côtésB b h
2
6
Aire VolumeCube
6a2 a3
Parallélépipède rectangle
2 × (Lp + hp + Lh) Lhp
Sphère de rayon R
4πR2 43
3πR
Demi-sphère de rayon R
3πR2 si la demi-sphère est pleine
2πR2 si la demi-sphère est vide
23
3πR
7
MA
THS
Aire VolumePyramide
Aire de base + aire des surfaces latérales
(qui sont des triangles)Aire de base × h
Cylindre
2πR2 + 2πRh πR2h
Cône de révolution
πRL + πR2
où L R h 2 2πR h2
3
8
Je sais maîtriser
❖ Les problèmes de géométrie euclidienne (théorème de Pythagore, théorème de Thalès, droites remarquables d’un triangle, propriétés du triangle rectangle, etc.).
❖ Déterminer le périmètre et l’aire d’une figure plane ainsi que l’aire et le volume d’une figure de l’espace.
❖ Déterminer les coordonnées d’un point, d’un vecteur, du milieu d’un segment. ❖ Montrer l’alignement de trois points. ❖ Calculer la longueur d’un segment en fonction des coordonnées de ses points situés aux extrémités.
❖ Vérifier qu’un point appartient bien à un ensemble (droite, plan, cercle, etc.). Vous devez vérifier pour cela que ses coordonnées vérifient l’équation de cet ensemble.
❖ Calculer la distance d’un point à une droite, à un plan :Distance d’un point M(xM ; yM) à une droite d d’équation ax + by + c = 0 :
a x b y c
a b
M M
2 2
Distance d’un point M(xM ; yM ; zM) à un plan P d’équation ax + by + cz + d = 0 :
a x b y c z d
a b c
M M M
2 2 2
❖ Calculer le produit scalaire de deux vecteurs :
u v u v u v� � � � � � cos ,
❖ Déduire des informations à partir d’un produit scalaire (orthogonalité ou colinéarité de deux vecteurs, etc.).
❖ Déterminer un lieu géométrique à partir d’une relation :
Relation Lieu géométriqueAM = a, a > 0 Cercle de centre A et de rayon a
AM = BM Médiatrice de [AB](AM) ⊥ (BM) Cercle de diamètre [AB]
(AM) ⊥ (AB) Perpendiculaire à (AB) passant par A
9
MA
THS
© D
unod
– T
oute
repr
oduc
tion
non
auto
risée
est
un
délit
.
ENTRAÎNEMENTS
Exercice 1 Le produit scalaire
1. Soient u�
et v�
deux vecteurs tels que uxy
�
et v
xy
�
''
, que vaut u v� �⋅ ?
a. u v u v� � � �× × ( )cos , c. xx’ + yy’
b. xx’ – yy’ d. u v v u� � � � sin ,
2. Soient u�
et v�
deux vecteurs, à quoi équivaut « u�
et v�
sont orthogonaux » ?a. u v� �⋅ = 1
b. u v� �⋅ = 0
c. u�
et v�
sont égaux en normed. u�
et v�
ont la même direction mais pas le même sens
3. Soient u�
35
et v�
124
deux vecteurs, quelle(s) est (sont) la (les) réponse(s) exacte(s) ?
a. u v� �⋅ = 16 c. u v
� �⋅ = – 16
b. u v� �
99
d. u v� �
91
Exercice 2 Problème d’aires et de volumes
4. Que vaut l’aire de la demi-sphère pleine en sachant que le rayon est égal à 8 cm ?
a. 48π cm2 c. 2563
π cm3
b. 192π cm2 d. On ne peut pas calculer l’aire de cette figure.
5. Quelle(s) est (sont) la (les) réponse(s) exacte(s)(en reprenant la figure de la question précédente) ?
a. Le volume de la figure est égal à 64 π cm2.
b. Le volume de la figure est égal à 5123
π cm3.
c. Le volume de la figure est égal à 1 0243
π cm3.
d. Le volume des trois quarts de la figure est égal à 256π cm3.
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
R = 8 cm
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
10
Exercice 3 Un peu de géométrie analytique !6. Soient A(4 ; 3), B(3 ; 2) et C(1 ; 5), cochez la ou les bonne(s) réponse(s) :a. AB = 2 c. AC = 13b. ABC est isocèle d. ABC est rectangle
7. Quelle(s) est(sont) l’(les) affirmation(s) exacte(s) à propos de l’équation sui-vante : (x – 4)2 + (y + 2)2 = 25 ? Il s’agit d’un/une :
a. Cercle de centre (4 ; 2) et de rayon 25b. Cercle de centre (4 ; – 2) et de rayon 5c. Sphère de centre (4 ; – 2) et de rayon 25d. Sphère de centre (4 ; 2) et de rayon 5
8. Quelle est la distance du point M(2 ; 1 ; 4) au plan d’équation : 4x – 2y + 5z + 4 = 0 ?
a. 2 5 c. 2 10
b. 105
d. 1045
9. Quelle est la distance du point M(4 ; 8) à la droite d’équation y = x + 1 ?
a. 322 c. 5
2
b. 232 d. 3
2
10. Soient A(1 ; 4 ; 3), B(4 ; 2 ; 5) et C(7 ; 0 ; 7). Quelle(s) est(sont) l’(les) affir-mation(s) exacte(s) au sujet de ces trois points ?
a. A, B et C sont alignésb. Le triangle ABC est rectanglec. Le triangle ABC est isocèled. Aucune de ces affirmations n’est exacte
Exercice 4 Ensembles de points11. L’ensemble des points M vérifiant que le triangle AMB est isocèle en M est :a. L’ensemble tel que le point M est équidistant de A et de Bb. La médiatrice de [AB]c. La perpendiculaire à (AB) passant par Md. Le cercle de diamètre [AB]
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
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12. L’ensemble des points M vérifiant AM = 4 est :a. Le cercle de centre A diamètre 4b. Le cercle de centre A et de rayon 4c. Le cercle de centre A et de diamètre 8d. Le cercle de centre A et de rayon 2
13. L’ensemble des points M vérifiant AMMC� ���� � ����
. = 0 est :a. Le cercle de diamètre [AC]b. Le vecteur nulc. Le cercle de centre J le milieu de [AC] et de rayon 1
2AC
d. Le cercle de centre A et de rayon [AC]
14. L’ensemble des points M vérifiant AMAC� ���� � ���
. = 0 est :a. Le cercle de diamètre [AC]b. Le vecteur nulc. La perpendiculaire à (AC) passant par Ad. Le cercle de centre A et de rayon [AC]
15. Soit ABC un triangle et G son centre de gravité. L’ensemble des points M
vérifiant MA MB MC� ���� � ���� � ����
4 est :
a. Le cercle circonscrit au triangle ABC.
b. Le cercle de centre G et de rayon 43
c. Le cercle de centre G et de rayon 4d. Le cercle de centre G et de rayon 12
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
12
CORRIGÉSExercice 1
1. Bonnes réponses a. et c. Par définition du produit scalaire u v� �⋅ = u v u v
� � � � cos , = xx’ + yy’
2. Bonne réponse b. u�
et v�
sont orthogonaux ⇔ u v� �⋅ = 0 par définition de l’or-
thogonalité et du produit scalaire.3. Bonnes réponses b. et c. Soient u
�35
et v�
124
deux vecteurs,
u v� �⋅ = 3 × (– 12) + 8 × 4 = – 36 + 20 = – 16
en utilisant la formule u v� �⋅ = xx’ + yy’ où u
xy
�
et vxy
�
''
u v� �
35
124
3 125 4
99
Exercice 24. Bonne réponse b. L’aire (ou la surface) d’une demi-sphère pleine de rayon R est
donnée par A = 3πR2, ainsi avec R = 8 cm, A = 3 × π × 82 = 3 × π × 64 = 192π cm2.
Attention !
La demi-sphère est pleine, c’est pourquoi son aire est égale à 3pR 2 unités d’aire. Si elle avait été vide, son aire aurait été égale à 2pR 2 unités d’aire.
5. Bonnes réponses c. et d. Le volume d’une demi-sphère (pleine ou vide) de rayon
R est donné par V =
432
23
3
3
R
R , soit avec R = 8 cm,
V = 23
8 23
512 1 0243
3 cm3.
Le volume des trois quarts de la demi-sphère de rayon R est donné par
V = 34
432
34
23
12
812
512 2563
3 3
R
R cm3.
Rappel :
Le volume d’une sphère est donné par Vsphère = 4
33πR unités de volume et
donc le volume d’une demi-sphère (pleine ou vide) est égal à la moitié du
volume d’une sphère soit : Vdemi-sphère = 2
33πR unités de volume.
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Exercice 36. Bonnes réponses a. et b. Vous devez calculer les longueurs AB, AC, et BC pour
déterminer la nature du triangle ABC :
AB = x x y yB A B A 2 2 2 23 4 2 3 1 1 2
AC = x x y yC A C A 2 2 2 21 4 5 3 9 4 13
BC = x x y yC B C B 2 2 2 21 3 5 2 4 9 13
Vous en déduisez que le triangle est isocèle en C.En revanche, il n’est pas rectangle car l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée.
7. Bonne réponse b. L’équation (x – 4)2 + (y + 5)2 = 25 correspond à un cercle de centre (4 ; – 2) et de rayon 5. En effet le cercle de centre (a ; b) et de rayon R a pour équation (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Attention !À ne pas confondre avec l’équation d’une sphère de centre (a, b, c) et de rayon R : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2.
8. Bonnes réponses a. et b. La distance d’un point M de coordonnées (xM, yM, zM) à un plan d’équation de la forme ax + by + cz + d = 0 est donnée par la formule : a x b y c z d
a b c
M M M
2 2 2
Ainsi, avec les données de l’énoncé :
2 4 2 1 5 4 4
4 2 5
8 2 20 416 4 25
3045
3 103 5
105
12 2 2
( )
0055 2 5
14
Remarque : En général, ne laissez pas de racine au dénominateur !
9. Bonnes réponses a. et d. La distance d’un point M de coordonnées (xM, yM) à une droite d’équation de la forme ax + by + c = 0 est donnée par la formule :
a x b y c
a b
M M
2 2
Vous devez réécrire l’équation de la droite sous la forme ax + by + c = 0 pour applique la formule, soit y = x + 1 ⇔ x – y + 1 = 0
Ainsi, avec les données de l’énoncé : 1 4 1 8 1
1 1
4 8 11 1
32
32
3 222 2
( )
Remarque : En général, ne laissez pas de racine au dénominateur !
10. Bonne réponse a. ABB A
B A
B A
� ���
x x
y yz z
4 12 45 3
322
;
ACC A
C A
C A
� ���
x xy yz z
7 10 47 3
644
et BC
C B
C B
C B
� ���x xy yz z
7 40 27 5
3222
Vous remarquez que AB AC� ��� � ���
= 12
donc ces vecteurs sont colinéaires. Ils ont en
plus un point en commun (A), les points A, B et C sont alignés.Les autres propositions sont donc fausses.
Remarque : Vous auriez pu considérer les vecteurs BC et AC avec pour point commun le point C ou bien encore les vecteurs BC et BA avec pour point commun le point B.
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AB = 3 2 2 9 4 4 172 2 2
AC = 6 4 4 36 16 16 682 2 2
BC = 3 2 2 9 4 4 172 2 2 Vous remarquez que AB = BC et donc que B est le milieu du segment [AC].Les propositions b et c sont fausses car ABC est un triangle aplati.
Exercice 411. Bonnes réponses a. et b. L’ensemble des points M du plan vérifiant
MA = MB est la médiatrice du segment [AB]. En effet MA = MB signifie que M est équidistant de A et de B. Il ne peut donc s’agir que de la médiatrice du segment [AB].
12. Bonnes réponses b. et c. L’ensemble des points M vérifiant AM = 4 est le cercle de centre A et de rayon 4 ou encore le cercle de centre A et de diamètre 2 × 4 = 8.
13. Bonnes réponses a. et c. L’ensemble des points M tels queAMMC� ���� � ����
. = 0 doit vérifier que les droites (AM) et (MC) sont perpendiculaires. Ainsi seul le cercle de diamètre [AC] peut vérifier cette propriété. Il s’agit également du cercle de
centre J (milieu de [AC]) et de rayon 12AC.
Remarque : Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si ces vecteurs ont des directions perpendiculaires.
14. Bonne réponse c. L’ensemble des points M tels queAMAC� ���� � ���
. = 0doit vérifier que les droites (AM) et (AC) sont perpendiculaires. Ainsi seule la perpendicu-laire à (AC) passant par A peut vérifier cette propriété parmi les propositions.
15. Bonne réponse b.
MA MB MC MG GA MG GB MG� ���� � ���� � ���� � ���� � ��� � ���� � ���
4�� ���� � ���
GC 4
en appliquant la relation de Chasles. Ainsi après simplifications :
MA MB MC MG GA GB GC� ���� � ���� � ���� � ���� � ��� � ��� � ���
4 3 4
Or GA GB GC� ��� � ��� � ��� �
0 par propriété du centre de gravité d’un triangle ABC. Ainsi :
MA MB MC MG MG MG� ���� � ���� � ���� � ���� � ����
4 3 4 134 4
3Ainsi l’ensemble des points M vérifiant MA MB MC
� ���� � ���� � ���� 4 est le cercle de
centre G et de rayon 43
.
16
Je fais le point sur mes connaissances
Les méthodes de résolution des équations, inéquations et systèmes vous sont très utiles pour les études de fonctions et en particulier pour déterminer l’ensemble de définition et les extrema éven-tuels.
❖ Les équationsElles peuvent se présenter sous la forme d’un produit, d’un quotient, d’une fonction quelconque, etc. Vous devez parfaitement maîtriser leurs techniques de résolution.Voici un tableau d’équivalence à connaître :
Équations Solutions
1 0 0x
a x a , , xax a 1 0 0, ,
ln ,x a x 0 x ea
a ae , 0x x a a ln , 0
x a= x a= 2
x a a2 0 , x a a , 0
x a3 = x a= 3
x a ap2 0 , x a ap= ± ≥2 0,
x ap2 1 x ap 2 1
x a= x a= ou x a
À retenir : La ou les solution(s) de l’équation f(x) = 0 est (sont) le(s) point(s) d’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses.
❖ Les inéquationsLes inéquations se présentent sous plusieurs formes que vous devez savoir résoudre. Prêtez notam-ment attention à la valeur absolue et à la notion de distance.
les équations, les inéquations et les systèmes
Chapitre 2
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Voici un tableau des équivalences :a < b a ≤ b a > b a ≥ b
ln(x) ln(a) < ln(b) ln(a) ≤ ln(b) ln(a) > ln(b) ln(a) ≥ ln(b)ex ea < eb ea ≤ eb ea > eb ea ≥ eb
x a b< a b≤ a b> a b≥
x² sur [0, + ∞[ a2 < b2 a2 ≤ b2 a2 > b2 a2 ≥ b2
x² sur ] – ∞; 0] a2 > b2 a2 ≥ b2 a2 < b2 a2 ≤ b2
1x
1 1a b> 1 1
a b≥ 1 1
a b<
1 1a b≤
x3 a3 < b3 a3 ≤ b3 a3 > b3 a3 ≥ b3
– x – a > – b – a ≥ – b – a < – b – a ≤ – b
Et plus généralement :
a < b a ≤ b a > b a ≥ bf strictement
croissante f(a) < f(b) f(a) ≤ f(b) f(a) > f(b) f(a) ≥ f(b)
f strictement décroissante f(a) > f(b) f(a) ≥ f(b) f(a) < f(b) f(a) ≤ f(b)
Et les valeurs absolues ?|x| < a ⇔ – a < x < a où a est positif|x| > a ⇔ x > a ou x < – a où a > 0|x – b| < a ⇔ – a < x – b < a ⇔ – a + b < x < a + b où a > 0|x – b| > a ⇔ x – b > a ou x – b < – a ⇔ x > a + b ou x < – a + b où a > 0
❖ Les racines et le signe des polynômes du second degré de la forme ax2 + bx + c en fonction de la valeur du discriminant ∆ = b2 – 4ac :
Racines Signe Factorisation
Δ > 0
Deux racines réelles
x ba
x ba
1
2
2
2
Le polynôme est du signe de a à
l’extérieur des racines et de – a à l’intérieur
a(x – x1)(x – x2)
Δ = 0
Une racine double réelle
x ba0 2
Le polynôme est du signe de a a(x – x0)2
Δ < 0
Deux racines complexes conjuguées
x ba
x ba
1
2
2
2
i
i
Le polynôme est du
signe de a
Pas de factorisation
dans ℝ
18
❖ Les systèmes d’équations et d’inéquationsLa résolution des systèmes de deux équations (affines) à deux inconnuesVous devez maîtriser la méthode par combinaison et la méthode par substitution. Préférez la méthode par combinaison dans le cas où les coefficients multiplicateurs des variables sont propor-tionnels ou identiques (vous avez de la chance !). Optez pour la méthode par substitution dans le cas où une variable est affectée du coefficient 1.
La résolution des systèmes de deux inéquations (affines) à deux inconnuesEn général la résolution se fait graphiquement. Vous mettez en valeur la partie solution sur le gra-phique (par exemple vous hachurez la partie solution).
Et en présence d'un système d’équations ou d’inéquations non affines ?Vous appliquez les méthodes classiques de résolution par combinaison ou par substitution en prêtant attention aux propriétés des différentes expressions.
Je sais maîtriser
❖ La résolution des équations sous toutes leurs formes : affine, second degré, troisième degré (polynôme de degré trois à factoriser en produit d’un polynôme de degré un par un poly-nôme de degré deux).
❖ La méthode d’identification (factorisation d’un polynôme de degré 3). ❖ Remplir un tableau de signes (avec les valeurs qui annulent l’expression et les valeurs inter-dites) et en déduire les solutions d’une inéquation.
❖ Les inéquations avec des valeurs absolues. ❖ La résolution des systèmes.
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ENTRAÎNEMENTS
Exercice 1 Équations sous forme de polynômes de degrés 1 et 2
1. Cochez la ou les affirmation(s) exacte(s) concernant l’équation : 3x – 3x = 7 ?a. Elle n’admet aucune solutionb. S = ∅c. S = ℝ\{3 ; 7}d. Elle admet pour unique solution x =
73
2. Quelle(s) est (sont) l’(les)affirmation(s) exacte(s) concernant l’équation : x = x ?a. S = ℝb. S = ∅c. Elle admet une infinité de solutionsd. x = 10 peut être une solution
3. Choisissez la ou les bonne(s) réponse(s) concernant l’équation x = 2 :a. Elle admet une infinité de solutionsb. S = {2}c. Elle n’admet aucune solutiond. Elle admet une unique solution
4. Choisissez la ou les bonne(s) réponse(s)concernant l’équation 2x + 5 = 3x2 :a. L’équation admet exactement deux racines réelles de signes contraires.b. La racine entière est 1.c. La racine entière est – 1.d. L’équation admet exactement deux racines réelles entières.
5. Choisissez la ou les bonne(s) réponse(s)concernant l’équation x2 = – 5 :a. L’équation admet exactement deux racines réelles.b. L’équation admet exactement deux racines complexes.c. L’équation n’admet pas de solution réelle.d. Les solutions sont x = − i 5 et x = i 5 .
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
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abcd
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Exercice 2 Équations sous la forme d’un produit de facteurs
6. Soit l’équation 5x + 3 – (5x + 3)(1 + 4x) + 25x2 – 9 = 0, Quelle(s) est (sont) la (les) bonne(s) réponse(s) ?
a. L’équation admet trois solutions réellesb. L’équation admet pour unique solution x = 3
c. L’équation admet pour solutions x = −35
ou x = 3
d. L’équation équivaut à (5x + 3)(x – 3) = 0
Exercice 3 Équations sous forme d’un quotient7. Choisissez la ou les bonne(s) réponse(s) concernant l’équation :
1 13
6 93 3x x
xx x
( )
a. L’équation admet une infinité de solutions.b. S = ℝ \ {0 ; 3}c. S = ℝd. S = ∅
Exercice 4 Équations sous forme d’un polynôme de degré 3
8. Cochez la ou les affirmation(s) exacte(s) : a. 2x3 + x2 – 2x – 1 = 0 admet exactement trois solutions réellesb. 2x3 + x2 – 2x – 1 = 0 admet exactement deux solutions réellesc. 2x3 + x2 – 2x – 1 = 0 admet exactement une solution réelled. 2x3 + x2 – 2x – 1 = 0 n’admet aucune solution dans ℝ
9. Quelle(s) est (sont) la ou les affirmation(s) exacte(s) au sujet du polynôme x3 – 3x2 + 3x – 1 ?
a. – 1 est racine évidenteb. Il n’admet pas de factorisationc. Il se factorise sous la forme (x – 1)3
d. Il admet une unique racine réelle
10. Quelle(s) est (sont) la ou les affirmation(s) exacte(s) au sujet du polynôme x3 – 2x2 – 4x + 3 ?
a. 3 est racine évidenteb. Il n’admet pas de factorisationc. Il se factorise sous la forme (x – 3)(x2 + x + 1)d. Il admet exactement trois racines réelles
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
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Exercice 5 Équations avec changement d'inconnue
11. L’équation ln2(x) + ln(x) – 2 = 0 : a. admet exactement deux solutions réellesb. S = {ln(e) ; ln(e2)}c. S = {e– 2 ; e}d. équivaut à X2 + X – 2 = 0 avec X = ln(x)
12. L’équation e2x + ex + 2 = 0a. admet exactement trois solutions réellesb. admet exactement deux solutions réellesc. admet exactement une solution réelled. n’admet aucune solution dans ℝ
13. L’équation 5 3 2x x = 0a. S = {0,16}b. admet exactement deux solutions réellesc. S = {0,16 ; 1}d. admet exactement une solution réelle
14. L’équation x4 + 3x2 + 2 = 0a. admet exactement une solution réelleb. admet exactement deux solutions réellesc. admet quatre solutions complexesd. n’admet aucune solution réelle
15. L’équation 1 1 1 02x x
a. admet exactement deux solutions réelles de mêmes signesb. admet deux solutions complexes ayant pour module 1c. admet deux solutions complexes qui ne sont pas conjuguéesd. admet deux solutions complexes conjuguées
Exercice 6 Inéquations16. 4x – 8 < 0 si et seulement si :a. x > 2 c. S = ]2 ; + ∞[b. x < 2 d. S = ] – ∞ ; 2[
17. Le polynôme x2 + 4x + 4 est :a. > 0 pour tout x de ℝb. ≥ 0 pour tout x de ℝc. est positif lorsque x < 2 seulementd. est négatif quand x = 0
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
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V F± ±± ±± ± ± ±
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V F± ±± ±± ± ± ±
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V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
22
18. L’inéquation xx
xx
52
32
0
a. admet pour ensemble solution l’intervalle 2 1 2; ;∪
b. admet pour ensemble solution l’intervalle ; ;2 1 2∪
c. admet pour ensemble solution l’intervalle ; ;2 1 2∪
d. admet pour ensemble solution l’intervalle 2 1 2; ;∪
19. L’inéquation ln(x2) + ln(x) > 0a. admet pour ensemble solution ]e2 ; + ∞[b. admet pour ensemble solution ]1 ; + ∞[c. équivaut à x > e2
d. équivaut à x > 1
20. ex ≥ e2
a. équivaut à x ≥ 2b. équivaut à x ≥ e2
c. admet pour ensemble solution [ln(2); + ∞[d. admet pour ensemble solution [2 ; + ∞[
Exercice 7 Systèmes linéaires de deux équations
21. Le système
x yx y2 4
3 6 12a. admet une infinité de solutionsb. n’admet pas de solution c. admet pour unique solution (2 ; – 1)d. Les solutions se situent sur la droite d’équation y = 0,5x – 2
22. Le système x yx y
52 3 11
a. admet une infinité de solutionsb. admet pour unique solution le couple (4 ; 1)c. n’admet pas de solution d. admet pour unique solution le point de concours des droites d’équations respectives x + y = 5 et 2x + 3y = 11
23. Le système 2 22 1x yx y
a. admet une infinité de solutionsb. admet pour unique solution le couple (1 ; 1)c. n’admet pas de solution d. admet pour unique solution le couple (0 ; 2)
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
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V F± ±± ±± ± ± ±
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Exercice 8 Systèmes d’inéquations linéaires
24. Le système 5 3 05 3 0x yx y
a. admet pour ensemble solution la droite d’équation 5x – 3y = 0b. admet une infinité de solutionsc. n’admet pas de solutiond. admet pour ensemble solution ]0 ; + ∞[
25. Le système 2 02 0x yx y
a. admet pour ensemble solution l’ensemble A de la figureb. admet pour ensemble solution l’ensemble B de la figurec. admet pour ensemble solution l’ensemble C de la figured. admet pour ensemble solution l’ensemble D de la figure
Exercice 9 Systèmes d’équations non linéaires
26. Le système ln( ) ln( )x yx y
2 42 0
a. admet pour ensemble solution ℝ
b. admet pour solution e ;e2
2
2
c. admet pour solution x y e ; e2 2
d. n’admet pas de solution
Exercice 10 Systèmes d’inéquations non linéaires
27. Le système ln( )| |
xx
2 00
a. admet pour ensemble solution [1 ; + ∞[b. n’admet pas de solution c. admet pour ensemble solution ]0 ; 1[d. admet pour ensemble solution ]0 ; + ∞[
28. Le système ln( )xx
2 00
a. admet pour ensemble solution ℝb. admet pour solution ]1 ; + ∞[c. admet pour ensemble solution ]0 ; 1[d. admet pour solution x > 1
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V F± ±± ±± ± ± ±
2x + y = 0 2x – y = 0
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V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
abcd
V F± ±± ±± ± ± ±
24
CORRIGÉSExercice 1
1. Bonnes réponses a. et b.L’équation 3x – 3x = 7 équivaut à 0 = 7, ce qui est impossible. Donc l’équation n’admet pas de solution car elle est impossible. Cela s’écrit également S = ∅ où ∅ est l’ensemble vide.
2. Bonnes réponses a., c. et d. L’équation x = x admet une infinité de solutions car elle est toujours vraie. En effet : en regroupant les termes « x » du même côté, vous obtenez x – x = 0 ⇔ 0 = 0, ce qui est toujours vrai. Cela s’écrit également S = ℝ. En particulier x = 10 vérifie l’équation car tout réel est solution et 10 est bien un nombre réel.
3. Bonnes réponses b. et d. L’équation x = 2 admet une unique solution x = 2. S = {2}
4. Bonnes réponses a. et c. Tout d’abord, vous écrivez l’équation en plaçant tous les termes du même côté. Vous obtenez l’équation du second degré de la forme 3x2 – 2x – 5 = 0. Vous calculez ensuite le discriminant ∆ = (− 2)2 – 4 × 3 × (– 5) = 4 + 60 = 64 > 0. Donc l’équation admet exactement deux racines réelles :
x12 646
2 86
66
1 et x22 646
2 86
106
53
et S =
1 53;
Les deux racines sont bien de signes contraires et la solution entière vaut – 1. Donc a. et c. sont vraies.
5. Bonnes réponses b., c. et d. Tout d’abord, vous écrivez l’équation en plaçant tous les termes du même côté. Vous obtenez l’équation du second degré de la forme x2 + 5 = 0. Vous calculez ensuite le discriminant ∆ = 02 – 4 × 1 × 5 = − 20 < 0. Donc l’équation admet exactement deux racines complexes :
x10 20
22 52
5 i i i et x20 20
2202
2 52
5
i i
ii
Remarque : Ces deux solutions sont des imaginaires pures car elles n’ont pas de par-tie réelle. Ceci est détaillé dans le chapitre sur les nombres complexes.
Exercice 26. Bonnes réponses c. et d. L’expression 5x + 3 – (5x + 3)(1 + 4x) + 25x2 – 9 a
visiblement un facteur commun : 5x + 3. Vous pouvez le faire apparaître en remarquant que 25x2 – 9 est de la forme a2 – b2, soit 25x2 – 9 = (5x – 3)(5x + 3) :5x + 3 – (5x + 3)(1 + 4x) + 25x2 – 9 = 5x + 3 – (5x + 3)(1 + 4x) + (5x – 3)(5x + 3)5x + 3 – (5x + 3)(1 + 4x) + 25x2 – 9 = (5x + 3)[1 – (1 + 4x) + (5x – 3)]
25
MA
THS
© D
unod
– T
oute
repr
oduc
tion
non
auto
risée
est
un
délit
.
5x + 3 – (5x + 3)(1 + 4x) + 25x2 – 9 = (5x + 3)[1 – 1 – 4x + 5x – 3]5x + 3 – (5x + 3)(1 + 4x) + 25x2 – 9 = (5x + 3)(x – 3)Finalement l’équation est équivalente à : (5x + 3)(x – 3) = 0 ⇔ x = −
35
ou
x = 3 et S =
353; Donc l’équation admet deux solutions
et équivaut à (5x + 3)(x – 3) = 0.
Exercice 37. Bonnes réponses a. et b.1 1
36 93 3
3 33 3
33 3
6 93 3
6x x
xx x
xx x
xx x
xx x
x
( )
( )( ) ( ) ( )
93 3
6 93 3x x
xx x( ) ( )
après réduction au même dénominateur, soit en en regroupant les termes en « x » et les termes constants :
0 0
3 3 003
0 3x x
xxx
S( )
\ ;�
� . Il existe une infinité de solutions
différentes de 0 et de 3. Donc seules les propositions a. et b. sont vraies.
Exercice 48. Bonne réponse a. 2x3 + x2 – 2x – 1 = 0
Vous devez d’abord factoriser le polynôme. Pour cela vous déterminez la racine évidente en « tâtonnant » avec quelques valeurs (en général, vous testez – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, etc.). Dans l’équation ci-dessus, vous obtenez facilement x = − 1 comme racine évidente, en effet : 2 × (− 1)3 + (− 1)2 – 2 × (− 1) – 1 = – 2 + 1 + 2 – 1 = 0Ainsi le polynôme se factorise de la manière suivante où a, b et c sont à déter-miner :2x3 + x2 – 2x – 1 = (x + 1)(ax2 + bx + c)2x3 + x2 – 2x – 1 = ax3 + bx2 + cx + ax2 + bx + c2x3 + x2 – 2x – 1 = ax3 + (b + a) x2 + (c + b)x + cPuis vous procédez par identification et vous obtenez un système de quatre équations à trois inconnues :
ab ac bc
abc
212
1
211
et finalement :
2x3 + x2 – 2x – 1 = (x + 1)(2x2 – x – 1)Vous pouvez maintenant résoudre cette équation en calculant le discriminant du second facteur : ∆ = (− 1)2 – 4 × 2 × (− 1) = 1 + 8 = 9 > 0.
26
Donc le polynôme de degré 2 admet deux racines réelles distinctes :
x11 94
1 34
24
12
et x21 94
1 34
441 et finalement
l’équation admet exactement trois solutions réelles distinctes : S
1 121; ;
9. Bonnes réponses c. et d. x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0Vous devez d’abord factoriser le polynôme. Pour cela vous déterminez la racine évidente en « tâtonnant » avec quelques valeurs (en général, vous testez – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, etc.). Dans l’équation ci-dessus, vous obtenez facilement x = 1 comme racine évidente, en effet : 13 – 3 × 12 + 3 × 1 – 1 = 1 – 3 + 3 – 1 = 0 Donc a. est fausse.Ainsi le polynôme se factorise de la manière suivante où a, b et c sont à déterminer :x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)(ax2 + bx + c)x3 – 3x2 + 3x – 1 = ax3 + bx2 + cx – ax2 – bx – cx3 – 3x2 + 3x – 1 = ax3 + (b – a) x2 + (c – b)x – cPuis vous procédez par identification et vous obtenez un système de quatre équations à trois inconnues :
ab ac bc
abc
1331
121
finalement le polynôme admet une factorisation de
la forme : x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)(x2 – 2x + 1) = (x – 1)(x – 1)2 = (x – 1)3et le polynôme admet donc une factorisation. Ainsi b. est fausse et c. est vraie.Vous pouvez maintenant déterminer les racines du polynôme en calculant le discriminant du second facteur : ∆ = (− 2)2 – 4 × 1 × 1 = 4 – 4 = 0.
Donc le polynôme de degré 2 admet une racine réelle double : x0221= =
et finalement le polynôme admet une unique racine : S 1 Donc d. est vraie.
Remarque : Vous auriez aussi pu directement reconnaître que le polynôme considéré dans la question était le développement de (x − 1)3
10. Bonnes réponses a. et d. x3 – 2x2 – 4x + 3Vous devez d’abord factoriser le polynôme. Pour cela vous déterminez la racine évidente en « tâtonnant » avec quelques valeurs (en général, vous testez – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, etc.). Dans l’équation ci-dessus, vous obtenez facilement x = 3 comme racine évidente, en effet : 33 – 2 × 32 – 4 × 3 + 3 = 27 – 18 – 12 + 3 = 0 et a. est vraie.Ainsi le polynôme se factorise de la manière suivante où a, b et c sont à déter-miner :x3 – 2x2 – 4x + 3 = (x – 3)(ax2 + bx + c)x3 – 2x2 – 4x + 3 = ax3 + bx2 + cx – 3ax2 – 3bx – 3cx3 – 2x2 – 4x + 3 = ax3 + (b – 3a) x2 + (c – 3b)x – 3c