économétrie

COLLECTION DIRIGÉE PAR PIERRE TABATONI

SECTION : SYSTÈMES DE GESTION

é c o n o m é t r i e

C L A U D E F O U R G E A U D Professeur à l'Université de Paris I

Directeur du CEPREMAP

B E R N A R D L E N C L U D Docteur ingénieur. Administrateur de l ' I N S E E

Chef de la division de l'Informatique. Direction de la prévision

P R E S S E S U N I V E R S I T A I R E S DE F R A N C E

ISBN 2 13 0 3 5 5 0 9 9

I re é d i t i o n : 4e t r i m e s t r e 1 9 7 8

© P r e s s e s U n i v e r s i t a i r e s d e F r a n c e , 1 9 7 8

108, B d S a i n t - G e r m a i n , 7 5 0 0 6 P a r i s

sommaire

AVANT-PROPOS, 1

P r é s e n t a t i o n des données, 3

C H A P I T R E PREMIER. — G é n é r a l i t é s s u r l e s c h r o n i q u e s . R a p p e l s

d ' a l g è b r e l i n é a i r e , I l

1. I n t r o d u c t i o n . C h r o n i q u e s , I l

1 . 1 . Définitions, 11 —1.2. Représen ta t ion vectorielle des chroniques n u m é - riques, 12.

2 . E s p a c e s v e c t o r i e l s . F o r m e s l i n é a i r e s , 1 4

2 . 1 . Espace vectoriel, 14 - 2 . 2 . Sous-espace vectoriel , var ié té l inéaire affine, 15 - 2 .3 . Formes linéaires, 16.

3 . T r a n s f o r m a t i o n s l i n é a i r e s . M a t r i c e s , 17

3 . 1 . Définitions, 17 - 3 . 2 . Représen ta t ion d ' u n e appl ica t ion l inéaire p a r u n e matr ice , 18 - 3 .3 . Propriétés élémentaires des matrices, 19 - 3 . 4 .

Vecteurs propres, 22 - 3 . 5 . Matr ices semi-définies positives. Décom- position spectrale, 24.

4 . D i s t a n c e s e t n o r m e s d a n s l ' e s p a c e d e s c h r o n i q u e s , 2 6

4 . 1 . Définitions, 26 - 4 . 2 . Dis tance eucl idienne, 27 - 4 . 3 . Distances équivalentes, 29.

C H A P I T R E I I . — L ' a j u s t e m e n t d ' u n e c h r o n i q u e , 31

1. P r i n c i p e d e l ' a j u s t e m e n t , 3 2

2 . P r o g r a m m e s a s s o c i é s à d i f f é r e n t e s n o r m e s , 3 5

2 . 1 . T h é o r è m e de Fri tz J o h n et condit ions de K u h n et Tucker , 35 — 2 . 2 . N o r m e quadra t ique , n o r m e eucl idienne, 38 - 2 . 3 . P rogrammes associés, 39.

Annexe : C o m p a r a i s o n d ' a j u s t e m e n t s a v e c d i f f é r e n t e s n o r m e s , 41

C H A P I T R E I I I . — P s e u d o - i n v e r s e s d e m a t r i c e s , 4 5

1. U n i t é s , i n v e r s e s . S y s t è m e d e b a s e , 4 6

1 . 1 . Unités , 46 — 1 . 2 . Inverses, 46.

2 . P r o p r i é t é s d u s y s t è m e ( S ) , 4 7

2 . 1 . Système équivalent et invar ian t , 4 7 - 2 . 2 . Théorème , 48.

3. Propriétés des pseudo-inverses, 49 4. Résolution de systèmes AXB = C, 51

4.1. Système AX = B, 51 - 4.2. Système AXB = C, 53. 5. Propriétés métriques, 54 6. Généralisation : pseudo - inverses pondérées, pseudo - inverses

mixtes, 56 6.1. Solutions de SI (II, S). Pseudo-inverses pondérées, 57 - 6.2. Solutions du système S2 (TI, S). Pseudo-inverses mixtes, 59.

7. Propriétés métriques et propriétés géométriques des pseudo- inverses, 61

CHAPITRE IV. — Propriétés géométriques élémentaires de l 'ajus- tement p a r les moindres carrés, 65

1. Rappels, 65 1.1. Notations, 65 - 1.2. Ajustement quadratique, 65.

2. Précision de l'ajustement, 67 2.1. Modèles successifs, 67 -2.2. Coefficients de corrélation, 68.

3. Quelques problèmes pratiques de l'ajustement, transformations des variables et changement de base, 71

3.1. Utilisation de combinaisons linéaires de variables explicatives, 71 - 3.2. Changement de base dans RT, 72.

4. Régressions progressives et mise à jour, 72 4.1. Pseudo-inverse d'une matrice partitionnée, 7 2 – Régressions progressives, 74 - 4.3. Mise à jour, 76.

Annexe : Evolution de la population active agricole, 77

CHAPITRE V. — Distributions d'échantillonnage et convergences stochastiques, 81

1. Variable aléatoire. Echantillon de taille n, 82 1.1. Variable aléatoire, 82 - 1.2. Echantillon de taille n d'une variable aléatoire, 82 — 1.3. Moments empiriques, 83.

2. Notions sur les convergences stochastiques, 84 2.1. Convergence en probabilité, 84-2.2. Convergence presque sûre, 85 - 2.3. Convergence en loi, 86-2.4. Convergence en moyenne quadratique, 87.

3. Comportements asymptotiques, 88 3.1. Moyenne empirique, 90 - 3.2. Variance empirique, 91.

CHAPITRE VI. — Loi de Laplace-Gauss et distr ibutions d'échan- tillonnage associées, 93

1. Loi de Laplace-Gauss dans R 93 1.1. Propriétés élémentaires, 93 - 1.2. Lois conditionnelles, 94 - 1.3 Densité de probabilité d'une v.a. de LG, 96.

2. Distributions d'échantillonnage associées à une loi de Laplace- Gauss, 97

2.1. Lois du χ 98 - 2.2. Loi de Student, 99 - 2.3. Loi de Fisher- Snedecor, 100.

3. Propriétés de formes quadratiques associées à une loi N S), 100 3.1. Fonction caractéristique de Q, 101 - 3.2. Distribution de formes quadratiques et loi de X2, 103.

4. Indépendance de formes quadratiques, 106 5. Théorèmes de Cochran, 109

CHAPITRE VII. — Notions su r l ' inférence statistique, 113

A - Théorie de l'estimation, 113

1. Concepts de base, 114 2. Vraisemblance. Information. Résumé exhaustif, 116

2.1. Définitions, 116-2.2. Décomposition de la vraisemblance et résumé exhaustif, 117.

3. Estimation ponctuelle, 119 3.1. Précision intrinsèque d'un estimateur. Inégalité de Cramer-Rao, 120 - 3.2. Méthode du maximum de vraisemblance, 121 - 3.3. Extension au cas de plusieurs paramètres, 123.

4. Estimation par intervalle, 127 4.1. Définitions, 127 - 4.2. Méthode de construction d'un intervalle de confiance, 129 - 4.3. Intervalles de confiance pour grands échantillons, 130 - 4.4. Extension au cas de plusieurs paramètres, 132.

B - La théorie des tests, 134

1. Concepts de base et définitions, 135 2. Test entre deux hypothèses simples, 139 3. Test entre hypothèses multiples, 140

CHAPITRE VIII. — L'est imation dans le modèle linéaire, 145

1. Introduction, 145

2. Notations, hypothèses et définitions, 147 2.1. Notations, 147-2.2. Hypothèses, 148-2.3. Définitions, 149.

3. Estimation du modèle (Y, Xa, σ 1), 156

4. Estimation du modèle (Y, Xa, σ S), 158

5. Estimation du modèle (Y, Xa, La = 1, σ I), 160

Annexe 1 : Résultats d'ajustements, 163

Annexe 2 : Retards échelonnés. Méthode d'Almon, 165

CHAPITRE IX. — Théorème général de Gauss-Markov, 271

1. Propriétés préliminaires, 172

2. Théorème général de Gauss-Markov, 174

3. Théorème de Gauss-Markov et moindres carrés, 179

4. Extension des résultats au cas avec contraintes, 183

5. Interprétation des estimateurs comme solutions de procédures à deux étapes, 186

Annexe 1 : Propriété particulière des pseudo-inverses, 191

Annexe 2 : Estimation de fonctions de demande, 192

CHAPITRE X. — Inférence stat ist ique dans le modèle linéaire, 199

1. Propriétés préliminaires, 199

2. Propriété de base pour la théorie des tests, 202 2.1. Test du rapport de vraisemblance (rappel), 202 — 2.2. Application au test du modèle linéaire, 202.

3. Applications. Tests usuels des paramètres du modèle linéaire, 207 3.1. Test de l'hypothèse H0 : a = a0 contre Hl : a ≠ a 207 - 3.2. Test relatif à un sous-ensemble 1 C K = { 1 ... k } des paramètres, 208.

4. Test d'homogénéité de plusieurs régressions, 211

5. Intervalles de confiance, 217

6. Prévision linéaire, 219 6.1. Prévision, 220-6.2. Cas particuliers, 222 -6.3. Intervalle de pré- vision, 224.

Annexe : Test de coefficients. Homogénéité, régions de confiance, 227

CHAPITRE XI. — Propriétés asymptot iques du modèle linéaire, 233

1. Introduction. Notations, 233

2. Convergences de  — a, 235 2.1. Convergence en moyenne quadratique, 235 - 2.2. Convergence presque sûre, 238.

3 . C o n v e r g e n c e d e , 2 4 1

3.1. Propriétés préliminaires, 242 - 3.2. Convergence en loi dans le modèle linéaire, 243.

4 . C o n v e r g e n c e d e v e r s a 2 , 2 4 7

CHAPITRE XII. — Auto-corrélation des résidus dans les modèles de régression, 251

1. Influence d'une auto-corrélation sur la précision des estima- teurs, 252

1.1. Notations, 2 5 3 – Précision des estimateurs, 254 -1.3. Propriétés asymptotiques, 257.

2. Processus du premier ordre. Estimation des paramètres, 259 3. Tests d'auto-corrélation, 267

3.1. Test du rapport de vraisemblance, 267-3.2. Test du rapport de von Neumann, 277 — 3.3. Construction de résidus indépendants (Theil), 279.

4. Test de Durbin-Watson, 281 4.1. Définition et propriétés générales, 281 - 4.2. Mise en œuvre du test, 283.

Annexe 1 : Propriétés des valeurs propres de matrices symétriques, 287

Annexe 2 : Test asymptotique d'auto-corrélation des résidus, 290

Annexe 3 : Evolution du taux de couverture des importations, 292

TABLES, 295

BIBLIOGRAPHIE, 301

INDEX, 303

avant-propos

L'enseignement de l'économétrie s'est, au cours des dernières années, assez profondément transformé. Il existe maintenant, implantés sur support informatique, des systèmes d'estimation et de simulation de modèles d'un usage relativement commode et peu coûteux. D'autre part les progrès de l'information ont permis la création de banques de données accessibles, ce qui favorise le développement des études économiques. L'enseignement a bénéficié de ces circonstances et tend à développer une pédagogie empirique qui permettrait de se familiariser avec les méthodes de l'économétrie, la préparation technique étant réduite au minimum. Nous devons nous en réjouir car ainsi des économistes dont la formation mathématique demeure limitée, en dépit des réformes et des efforts des universités, devraient pouvoir, après un court temps d'apprentissage, se livrer à des investigations pratiques. Cette tendance, favorable à certains égards, n'est pas sans présenter des inconvénients. Tout d'abord on peut craindre qu'un utilisateur qui ignore la nature réelle des instruments techniques qu'il emploie ne commette de graves erreurs d'interprétation. En outre le dépérissement des enseignements méthodologiques n'est pas un facteur favorable à la recherche : si l'on en excepte de brillantes individualités l'économétrie en France n'a pas connu le même développement que celui qui a été constaté dans l'économie mathé- matique. Les méthodes de l'économétrie sont en effet à la frontière de disci- plines diverses. Il est certes nécessaire d'avoir une formation mathématique suffisante mais il est aussi indispensable de dominer les aspects classiques de la statistique mathématique et, pour cela même, de posséder de « raison- nables » connaissances de la théorie des probabilités.

Le contenu de cet ouvrage s'inspire des préoccupations précédentes. Il est de caractère résolument méthodologique et s'efforce de replacer les méthodes de l'économétrie dans leur environnement. En outre certains résultats souvent admis sans démonstration font l'objet d'une présentation complète.

Sans avoir pour ambition d'exposer l'ensemble des outils nécessaires à l'économétrie, ce livre s'efforce d'en présenter les concepts de base les plus utiles. C'est ainsi que les deux premiers chapitres rappellent les principes de l'algèbre linéaire et les propriétés des matrices qui sont au cœur des

méthodes d'ajustement. De même les méthodes statistiques de l'économétrie ne peuvent être assimilées sans connaissances précises sur la théorie de l'estimation statistique et celle des tests d'hypothèses. Il nous est apparu alors qu'un concept jouait un rôle fondamental, celui de pseudo-inverse de matrice. En effet, celles-ci permettent d'exprimer sous une forme commode la solution générale d'un système linéaire (estimateur sans biais) et, par ses propriétés métriques, de donner la solution d'un programme qui définit un estimateur de variance minimum. L'algèbre des pseudo-inverses conduit à un énoncé sous forme condensée de propriétés dont l'écriture développée serait particulièrement lourde. On obtient ainsi un théorème de Gauss- Markov dans le cas le plus général et on met en évidence les rapports qui existent entre différentes approches particulières. De même les propriétés statistiques du modèle linéaire peuvent être présentées, nous semble-t-il, de façon plus claire.

Ce qui vient d'être dit pourrait laisser supposer que cet ouvrage n'a qu'un caractère méthodologique, sans souci d'application; il n'en est rien. Nous nous sommes efforcés pour les chapitres les plus importants d'en présenter des applications significatives. Celles-ci trouvent leur origine dans des études réalisées à la direction de la Prévision du ministère de l'Economie et des Finances et à l ' INSEE. Dans un chapitre préliminaire figurent une présentation sommaire de ces études et les séries utilisées. Il sera possible au lecteur d'étudier sur les mêmes données d'autres modèles et d'acquérir ainsi une pratique plus concrète.

Le désir qui a été le nôtre de situer les méthodes de l'économétrie dans leur environnement nous a contraint de limiter l'ensemble des questions traitées. Certains pourront s'étonner que des aspects importants, tels que les modèles à erreurs composées, l'analyse spectrale des chroniques, ne soient pas abordés et que l'on ne traite pas des méthodes d'estimation des modèles à équations simultanées. Nous pensons que cet ouvrage permet leur étude sur des bases raisonnablement solides et par ailleurs une suite à ce livre n'est pas exclue.

Comme tout ouvrage celui-ci n'est pas uniquement redevable aux auteurs. De nombreux chapitres, en particulier le chapitre XI, ont fait l'objet de discussions et d'améliorations souvent profondes dans un séminaire qui comprenait en particulier : A. Holly, P. Mazodier, A. Monfort, A. Trognon. Nous devons aussi exprimer notre gratitude à J.-C. Bonnin qui a été un lecteur attentif et nous a aidé à la construction des exemples numériques ainsi qu'à Mme Delattre pour avoir dactylographié avec patience les versions successives du manuscrit.

Les Presses Universitaires de France ont réalisé cet ouvrage dans la meilleure tradition de l'imprimerie française.

présentation des données

Dans cet ouvrage, pour illustrer les différents chapitres on présentera quelques exemples concrets. Ils trouvent leur origine dans des études réalisées à la direction de la Prévision du ministère de l 'Economie et des Finances ou à l'INSEE.

Ces exemples sont les suivants : 1. Evolution de la population agricole en France. 2. Evolution du taux de couverture des importations de la France. 3. Demande de refinancement des banques commerciales. 4. Comparaisons internationales de fonctions de demande.

O n trouvera ci-dessous les statistiques utilisées avec quelques explications.

1. Evolution de la population agricole

L'information de base est constituée par les recensements généraux de la population de 1962 et 1968 et l 'on a utilisé les données relatives aux 21 régions de programme.

L'objet est d'expliquer les taux de départ par tranche d'âge des actifs agricoles exploitants et salariés en fonction d 'un certain nombre de variables explicatives.

Variables à expliquer :

y1 taux de disparition des actifs familiaux (15-24 ans). y2 taux de disparition des chefs d'exploitation (55-64 ans). y3 taux de disparition des salariés agricoles (15-24 ans). y4 taux de disparition des salariés agricoles (25-34 ans).

Variables explicatives : xl Revenu brut d'exploitation par personne-année-travail. x2 Pourcentage des actifs de 15 à 24 ans. x3 Pourcentage des actifs agricoles dans la population active. x4 Evolution de la taille moyenne des exploitations. x5 Capital d'exploitation. x6 Revenu des ménages de salariés agricoles. x7 Pourcentage de la production animale dans la production totale.

2. Evolution du taux de couverture des importations

La variable à expliquer est définie comme le rapport entre les expor- tations (FOB) et les importations (CAF) ; les variables explicatives retenues pour traduire les situations conjoncturelles respectives de la France et de l'étranger sont :

xl le niveau relatif des prix français mesuré par le rapport entre l'indice de la PIB française et un indice de prix de 12 pays de l'OCDE;

x2 un indicateur de la demande en France obtenu par les enquêtes auprès des chefs d'entreprise;

x3 un indicateur de la demande à l'étranger représenté par l'écart par rapport à une tendance linéaire d'un indice de la production indus- trielle des pays industrialisés.

Tableau des séries utilisées

3. Demande de refinancement des banques

La variable à expliquer est la demande de refinancement des banques commerciales (RF). Les variables explicatives retenues sont les suivantes :

p : indicateur de la rentabilité des crédits distribués par les banques ;

REX : réserves exogènes des banques. Elles correspondent au mou- vement net de l'or et des devises et au concours de la Banque de France et de la Caisse des Dépôts au Trésor;

RO : réserves obligatoires des banques sur la distribution des cré- dits et les dépôts collectés;

Z, MAI : variables « muettes » introduites pour tenir compte respec- tivement de l'encadrement du crédit durant la période 1963 à 1965 et des facilités exceptionnelles de refinancement accor- dées en 1968.

Les statistiques sont trimestrielles et couvrent la période 1962-1972.

Tableau des séries utilisées

4. C o m p a r a i s o n s i n t e r n a t i o n a l e s de f o n c t i o n s de d e m a n d e

Les fonc t ions d e d e m a n d e utilisées son t celles é tud iées p a r Lese r e t H o u t h a k k e r q u i son t d e la f o r m e :

Les représentent les consommations en volume (c'est-à-dire à prix constants) des différents biens, R le revenu, ( γ et ( α sont 2N coeffi- cients à estimer.

O n a considéré deux pays, la Norvège et le Royaume-Uni, et la consommation globale en cinq postes. Les statistiques utilisées sont celles de l'OCDE sur la période 1953-1968 que l 'on trouvera ci-après.

Dépenses de consommation. Norvège (en millions de couronnes)

Dépenses de consommation. Royaume- Uni (en millions de livres)

C H A P I T R E PREMIER

généralités sur les chroniques rappels d'algèbre linéaire

1. Introduction. Chroniques

1 .1. D é f i n i t i o n s

Les données des études économétr iques se p résen ten t généra- l emen t sous la forme de chroniques ou séries chronologiques.

U n e ch ron ique est définie à pa r t i r de deux ensembles. — Le p remie r décr i t la chronologie du phénomène , on le

note — Le second décr i t les différents états ou événements pos-

sibles, on le note ℰ. L ' ensemble est toujours o r d o n n é (il s 'agi t de chronologie) .

C'est en généra l u n ensemble discret le plus souvent fini. Ma i s il est des cas où la chronologie intéressante est celle d ' u n ensemble discret infini bien q u ' o n ne puisse observer cette ch ron ique que

sur une par t ie finie. P o u r d ' au t r e s phénomènes il sera utile de considérer c o m m e

u n ensemble o rdonné de type cont inu. Il est m ê m e f réquent que la not ion de temps qu i est intéressante ne soit pas définie p a r des instants mais p a r des intervalles disjoints sur l 'échelle des instants ; on o b t i e n d r a ainsi des flux : ceux de la Comptab i l i t é na t iona le p a r exemple. P o u r l ' ensemble ℰ plusieurs cas sont aussi possibles.

— ℰ peu t être sans s t ruc ture : cer taines chroniques météo- rologiques.

— ℰ peut être muni simplement d'une structure d'ordre : appréciation des chefs d'entreprises sur la conjoncture :

C = { ↗ , ↘ , = }.

— C peut être un ensemble de nombres pour lesquels les opérations arithmétiques usuelles ont un sens.

Quant à la chronique, elle est définie en faisant correspondre à chaque élément t de f un élément e(t) de ℰ et un seul. C'est donc une application de dans ℰ.

Si C désigne une chronique : C : → ℰ

t ↦ e(t).

L'ensemble de toutes les chroniques possibles définies pour les mêmes ensembles C et est donc l'ensemble noté de toutes les applications de dans C.

L'observation d'une chronique x est donc la donnée de T élé- m e n t s ( ϰ X2 ) . . XT) e '.

On peut alors classer les chroniques selon la nature des deux ensembles et C.

Les chroniques que l'on considère en économétrie sont définies le plus souvent par un ensemble ℰ de nombres ou de vecteurs. On parlera ainsi de chroniques numériques ou vectorielles, et ce sont celles que l'on analyse le plus aisément, mais on pourra aussi considérer des chroniques où l'ensemble ℰ possède simplement une structure d'ordre bien que la statistique de ces chroniques soit encore peu développée.

Remarquons enfin que la représentation d'une chronique comme application de dans ℰ est aussi valable lorsque est un ensemble d' « individus » au sens le plus général du terme; on parlera alors de coupe instantanée.

1 .2. Représenta t ion vectorielle des chron iques numér iques

Dans ce cas ℰ est un ensemble de nombres que l'on assimilera à Q (ensemble des rationnels) ou R (ensemble des réels).

Toute chronique x de durée limitée T peut s'écrire :

X — (ϰ , ϰ . . . , ϰ . . . 3 XT)

et peut être considérée comme élément de RT. Soit V l'ensemble des chroniques de même durée T.

On est conduit à définir des opérations sur V : les plus natu- relles sont l'addition et l'homothétie.

Soit x, y deux chroniques :

— la somme x + y est la chronique définie par :

V t e [1, T] = (x + Y)t = ϰ + y

— l'homothétie de rapport À e R x -> Àx :

V t G [1, T] = (Xx)t -- λ ϰ

Si l'ensemble V est muni de ces deux opérations, il possède une structure d'espace vectoriel. Cette structure s'introduit donc naturellement dans l'analyse des chroniques.

L'addition de deux chroniques correspond à la notion d'agré- gation. L'homothétie s'interprète comme un changement de base (ramener une chronique à une base 100) ou d'échelle. Dans ce dernier cas il faut pouvoir donner un sens à une fraction, aussi petite soit-elle, d'une quantité fixée. C'est une convention qui est légitime dans beaucoup de cas pratiques; elle est beaucoup moins justifiée si le phénomène étudié est par nature indivisible. Dans ce cas, l'espace V muni de ses additions et de ses homo- théties est un module.

D'autre part cette représentation peut se révéler insuffisante d 'un autre point de vue. En effet, les différentes coordonnées d 'un vecteur sont les valeurs prises au cours du temps par la chronique étudiée. Or la plupart des opérations que l'on effectue sur les chroniques considérées comme vecteurs négligent l'ordre du temps, et traitent les coordonnées de façon symétrique.

Quoi qu'il en soit, cette représentation permet de résoudre un grand nombre de questions pratiques. Elle donne un support intuitif aux opérations sur les chroniques et à la métrique qui sera introduite dans les problèmes d'ajustement.

Si les chroniques considérées sont de durée illimitée, on est conduit à les représenter par des éléments de RN ou R' suivant les cas (N désignant l'ensemble ordonné des entiers positifs et Z celui des entiers relatifs).

On rappelle ci-dessous les éléments d'algèbre linéaire nécessaires. On en trouvera une présentation plus détaillée dans [2] dont ce

chapitre est un résumé pour certaines de ses parties.

2. Espaces vectoriels . Formes linéaires

2 . 1 . Espace vectoriel

Un espace vectoriel est un ensemble V où sont définies :

1° une addition notée + commutative, associative, admettant un élément neutre noté 0 et telle que chaque élément x de V admet un inverse. Un ensemble muni d'une opération binaire ayant ces quatre propriétés est appelé groupe commutatif ou abélien; un espace vectoriel est un groupe abélien par rapport à son addition;

2° des homothéties qui à tout élément x de V et à tout élément À d'un corps de nombres appelés scalaires associent l'élément Xx de V. Cette application — homothétie de rapport À — satisfait aux propriétés suivantes : distributivité, par rapport à l'addition des vecteurs, par rapport à l'addition des scalaires, asso- ciativité dans le produit des scalaires et vérifie en outre la propriété que si 1 désigne l'unité du groupe multiplicatif du corps des scalaires :

1 .x = x.

Dépendance linéaire. Base. Décomposition des chroniques

Soit x, y, . . . , w des éléments d 'un espace vectoriel V. Ils sont dits linéairement dépendants s'il existe des nombres a, ß, . . . , À non tous nuls tels que :

αx + ßy + . . . + Xw = 0.

Dans le cas contraire ces éléments sont dits linéairement indépendants.

αx + ßy + . . . + Àw est appelée combinaison linéaire de x, y, . . . , w, elle définit un vecteur et un seul de V.

Si dans un espace vectoriel V on peut trouver n éléments linéairement indépendants mais non n + 1, on dit que l'espace V est de dimension n. Si, par contre, dans V on peut trouver un système comportant un nombre fini arbitraire d'éléments linéaire- ment indépendants on dit que V est de dimension infinie.

On appelle base d 'un espace vectoriel de dimension n tout système de n éléments linéairement indépendants, et tout élé- ment x de V s'exprime comme combinaison linéaire unique des éléments de la base.

Par exemple les vecteurs :

e, = (1 0 0)

e 2 = ( 0 1 0 0 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e 0 . . . 1)

forment une base de Rn. En outre, deux espaces vectoriels de même dimension sur le

même corps K de scalaires sont isomorphes entre eux et, par suite, tous ceux de dimension n sur le même corps K sont iso- morphes à l'espace vectoriel Kn des suites (xx, X2, . . . , xn) de n éléments de K.

2 . 2 . Sous -e space vectoriel variété linéaire affine

Définition 1 Dans un espace vectoriel V un ensemble E est un sous-espace

vectoriel si :

(2.1)

Définition 2 Soit El, E2 deux sous-espaces vectoriels de V. El et E2 seront

dits supplémentaires si et seulement si :

E + E 2 = V e t E l n E 2 = { 0 } .

Remarque : Si El et E2 sont supplémentaires, tout élément x e V peut

s'écrire de manière unique :

x = X l + X 2 , x 1 e E l , X 2 E E 2 .

Propriété : Soit x1 . . . x K vecteurs linéairement indépendants de V ;

ils engendrent un sous-espace vectoriel EK de dimension K, c'est-à-

di re que l ' ensemble des x e V tels que , où les 1

sont des scalaires, est u n sous-espace vectoriel de d imens ion K.

Définition 3

Soit V u n espace vectoriel ; une par t ie A de V est une var ié té l inéaire affine si et seu lement si elle est de la forme :

A = E + { x }

où E est u n sous-espace vectoriel de V et x0 e V.

Propriété : U n ensemble A est une var ié té l inéaire affine si et seu lement si :

(2 .2 )

2.3. Formes linéaires

On appelle forme linéaire ou covecteur d 'un espace vectoriel toute application :

u : V R

linéaire, c'est-à-dire telle que, quels que soient les vecteurs x et y de V et les scalaires À et µ :

(2 .3)

Dans le cas des espaces de dimension finie, toute forme linéaire a pour expression, si l'espace V est de dimension n :

u(x) = u + . . . + un ϰn

où les sont des nombres qui caractérisent cette forme linéaire. En effet, l'espace V étant rapporté à une base B = (ex, e2, . . . , e j on a, pour chaque vecteur x :

x = Xl el + . . . + e

D'où, en appliquant la propriété caractérisant les formes linéaires :

u(x) - ϰ u ( e + . . . + ϰ

On obtient l'expression donnée ci-dessus en posant : = u ( e En particulier, toute somme pondérée peut être considérée comme une forme linéaire. L'ensemble des formes linéaires sur V peut être muni à son tour d'une structure d'espace vectoriel, en défi- nissant les combinaisons linéaires de deux formes u et v par la règle :

w = αu + ßυ

si et seulement si pour tout vecteur x de V :

w(x) = α u + ßυ(x).

On voit en effet simplement que w ainsi défini est aussi une forme linéaire. On appelle cet espace le dual algébrique de l'espace V et on le note V*. Chaque forme étant en définitive définie par une suite de n nombres :

U = ( u 1 u 2 . . . ,

le dual de V est de même dimension et par suite lui est isomorphe. Dans le cas des espaces de dimension infinie, le dual est de struc- ture différente de celle de l'espace auquel il est associé. Par exemple le dual de l'espace des chroniques illimitées et bornées est l'espace des suites :

u = ( U 2 , . . . )

"0

telles que la série S | u | soit convergente. i

3. T rans fo rmat ions linéaires. Mat r ices

3 . 1 . Définit ions

V est un espace vectoriel; une transformation linéaire, ou homo- morphisme, ou opérateur linéaire de cet espace dans un espace W, est une application L : V → W telle que l'image de toute combi- naison linéaire de vecteurs soit la combinaison linéaire de mêmes coefficients de leurs images :

(3.1)

— Le noyau de l'application linéaire L est le sous-espace V de V constitué par les vecteurs tels que :

L(x) = 0 (0 est ici le vecteur nul de W).

— L'image de l'application linéaire L est le sous-espace de W noté L(V), constitué par l'ensemble des L(x) lorsque x parcourt V :

L(V) = { y; y ∈ W, ∃ x e V : L(x) = y }.

Ces deux notions de noyau et d'image sont complémentaires. En effet, deux vecteurs x et y ont même image si et seulement si leur différence appartient au noyau :

L(x) = L(y) o L(x — y) = 0 ⇔ x — y ∈ V

L'ensemble des applications linéaires de V dans W peut aussi être muni d'une structure d'espace vectoriel, en définissant les combinaisons linéaires de deux applications LI et L2 par :

L3 — α L + ß L

si et seulement si pour tout vecteur x ∈ V :

L , ( x ) = α L + ß L

On vérifie en effet que L3 est une application linéaire de V dans W. On notera l'espace des applications linéaires de V dans W par ℒ (V, W).

3 . 2 . Représenta t ion d 'une application linéaire par une mat r ice

Soit L une application de En dans Em et Bn = { e . . . , en } une base de E

Toute chronique x = ( ϰ . . . , ϰ . . . , xn) s'exprime de façon unique par :

x = ϰ . . . + en d'où :

L(x) = L(ei) + L ( e

L est donc déterminée par les vecteurs L ( e . . . , L ( e de E Posons :

L ( e

Rapporté à une base Bm = { b l , . . . , b } de E le vec- teur ai a pour expression en fonction de ses coordonnées a a . . . , a '

ai = a b + • • • + ami b '

De telle sorte que L est définie par le tableau :

Ce tableau à m lignes et n colonnes est appelé matrice de la trans- formation L. O n remarque que AL ne définit L que par rapport aux bases choisies dans En et E

On peut écrire :

L(x) = AL x.

Les vecteurs a . . an engendrent l'espace image L(V) ; ces vecteurs ne sont pas toujours linéairement indépendants, de sorte que la dimension de L(V) peut être inférieure à m. La dimension de L(V) est appelée rang de L, noté r. Elle est liée à la dimension du noyau V par la relation :

(3 .2)

Dans le cas où les espaces En et E sont de même dimension n, l'application L est biunivoque lorsque r = n; on la dit régulière (isomorphisme). Il est alors équivalent de dire que le noyau est de dimension nulle, ce qui signifie qu'il se réduit au vecteur nul.

3 .3 . Propr ié tés é lémenta i res des mat r i ces

Opérations sur les matrices

En associant (pour des bases données) des matrices aux appli- cations linéaires, on peut, aux opérations effectuées sur des appli- cations linéaires, faire correspondre des opérations analogues sur les matrices.

En désignant par L ( E Em) une application linéaire de En dans E , on peut résumer ces opérations dans le tableau ci-après.

Appl ica t ion M a t r i c e associée F o r m a t et définition

L ( E Em) A (m, n ) a i j

M ( E B (n , q) b - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

C o m b i n a i s o n l i n é a i r e C o m b i n a i s o n

l i n é a i r e

α L Em) + ß L Em) α A + PA2 (m, n) + ij - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

C o m p o s i t i o n M u l t i p l i c a t i o n

L ( E n , Em) o M ( E En) A B 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A p p l i c a t i o n n u l l e M a t r i c e n u l l e

L ( E n , E 0 (m, n) = 0 , V i , V j - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

I d e n t i t é M a t r i c e u n i t é

L ( E n , En) = J 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

I n v e r s e M a t r i c e i n v e r s e

L E E„)

= L ( E n , E En) = J A (n, n) A A 1 = A - 1 A = l n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

T r a n s p o s i t i o n M a t r i c e

t r a n s p o s é e

A ' (n , m) a i j = a j i

Propriétés : Les opérations précédentes vérifient les propriétés suivantes

(avec des formats convenables).

A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C a (A + B) = a A + ocB (α + ß) A = aA + ßA A(BC) = (AB) C = ABC A(B + C) = AB + AC (A + B) (C + D) = A(C + D) + B(C + D) A + 0 = A I .A = A.I = A

(AB)' = B' A' (AB)-l = B-1 A-l (A-i) ' = (A')-l.

Déterminant : Soit A une matrice carrée (n, n), le déterminant de A notée 1 A 1

est un nombre défini par :

(3 .3)

où p désigne une permutation de {(i,j) }, ep le signe de la per- mutation et P l'ensemble des permutations.

| A | ≠ 0 ⇔ A régulière 1 AB 1 = 1 A | | B | si A et B sont carrées |αA| = ocn |A|.

Trace : Soit A une matrice (n, n) ; on appelle trace de A la somme

des termes diagonaux de A :

(3 .4)

et l'on a, si A et B sont de formats respectifs (p, n), (n, p) :

trace AB = trace BA.

Produit de Kronecker de matrices

Définition : Soit A et B deux matrices de formats respectifs (m, n), (p, q),

le produit de Kronecker des matrices A, B est une matrice de format (mp, nq) définie par :

(3 .5)

Propriétés : 0 ⊗ A = A 0 0 = 0

(A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C aA ⊗ ßA = αß(A ⊗ B) a, ß ∈ R AB ⊗ CD = (A ® C) (B ⊗ D) (attention aux formats)

(A ⊗ B) ' = A' ® B' (A ⊗ B)-l = A- l ⊗ B-1 trace (A ⊗ B) = trace A trace B

| A ⊗ B | = | A | | B | si A est une (m, m) matrice et B une (p, p) matrice.

MORVAN Y. Economie industr ie l le

AFTALION F. Théor i e du portefeui l le . A n a l y s e du r i sque e t d e la et VIALLET C. rentabi l i té

LE MOIGNE J.-L. La théor i e du s y s t è m e généra l

FOURGEAUD C. Econométr ie et LENCLUD B.

BEER S. Neuro logie de l ' en t repr i se (sous presse)

TABATONI O. L 'éva lua t ion d e l ' en t repr i se (sous presse) et MICHEL P. A.

0 SECTION « MATHÉMATIQUES ET S T A T I S T I Q U E S P O U R LA DÉCISION »

dirigée par JEAN-PIERRE AUBIN

Mathéma t iques pour les s c i e n c e s soc ia l e s :

ROURE F. T. 1 : Ensemble s — Fonct ions rée l les et BUTERY A.

ROURE F. T. 2 : C o n v e x e s — Opt imisa t ion et CHARLES A.-M. COHEN V. T. 3 : P r o c e s s u s d i sc re t s

BUTERY A. T. 4 : Intégrat ion — P r o c e s s u s con t inus ROURE F., FRITZ G. T. 5 : Algèbre linéaire — Prog rammat ion linéaire — Graphes et CHARLES A.-M.

MONTBRIAL T. de Economie théor ique

QUIRK J. Théor ie de l 'équil ibre généra l e t é c o n o m i e du bien-être et SAPOSNIK R.

ULMO J. E léments de déc is ion s ta t i s t ique et BERNIER J.

BATTEAU P. Probabi l i t és e t déc i s ion d a n s l ' incer ta in et MARCIANO J.-P.

e SECTION « MARKETING »

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LAMBIN J.-J. Modèles e t p r o g r a m m e s de marke t ing

CHEVALIER M. La s t ra tég ie marke t ing et FENWICK R.

LAMBIN J.-J. La g e s t i o n marke t ing d e s en t repr i ses et PEETERS R. T. 1 : A n a l y s e

0 SECTION « RELATIONS INDUSTRIELLES »

dirigée par FRANÇOIS SELLIER

SELLIER F. Les re la t ions industr ie l les

ÉCONOMÉTRIE

Cet ouvrage présente les concepts de base de l'économétrie en les situant par rapport à d'autres disciplines : algèbre linéaire, programmation mathématique, statistique : théorie de l'esti- mation et des tests d'hypothèses. Celles-ci font l'objet d'une présentation condensée mais précise, adaptée aux préoccupa- tions de l'ouvrage. Il apparaît qu'un outil joue un rôle fondamental pour une exposition claire des méthodes économétriques : celui de pseudo-inverse de matrices. Il permet de développer une théorie unifiée de l'estimation dans le modèle linéaire et d'obtenir notamment un théorème général de Gauss-Markov recouvrant les différents cas particuliers.

L'ouvrage ne présente pas qu'un intérêt méthodologique. Les chapitres les plus importants sont illustrés par des applications économiques issues de travaux réalisés à la Direction de la Prévision et à l'INSEE.

Ce livre s'adresse plus particulièrement aux étudiants en sciences économiques s'intéressant aux techniques quantita- tives ainsi qu'aux élèves des Ecoles et des Universités scienti- fiques qui souhaitent acquérir des connaissances précises dans le domaine de l'économétrie.

Claude Fourgeaud enseigne l'Economie mathématique et l'Econométrie à l'Université de Paris 1 (Sciences économiques). Il est conseiller scien- tifique à la Direction de la Prévision du ministère de l'Economie et dirige le CEPREMAP.

Bernard Lenclud, chargé d'enseignement à l'Université de Paris 1, dirige la Division de l'Informatique de la Direction de la Prévision du ministère de l'Economie.