Économétrie des Données de Panel Ch 1. Modèles Linéaires ...risques-environnement.universite-lyon.fr/IMG/pdf/pan_ch1_2017_18.p… · I Deux voies (Two-way) = inclusion de dich

Économétrie des Données de Panel Ch 1. Modèles Linéaires Non Dynamiques

Économétrie des Données de PanelCh 1. Modèles Linéaires Non Dynamiques

Pr. Philippe Polomé, Université Lumière Lyon 2

M1 APE Analyse des Politiques Économiques

M1 RISE Gouvernance des Risques Environnementaux

2017 – 2018


Plan du Ch 1

Les données de panelModèles à Données de Panel

Effets Fixes & Effets AléatoiresEstimateurs pour données de panel

Efficience et ErreursEstimateurs appropriés pour leMRLEstimateurs appropriés pour EFEstimateur approprié pour EAInterprétation : EF vs. EAApplication

Inférence avec données de panelMatrice des erreurs en panelInférence robuste : WhiteApplication WhiteInférence robuste : BootstrapApplication Bootstrap

Effets Fixes vs. Effets AléatoiresÉléments du choix hors testsTest de Hausman

Autres testsDonnées de panel non-cylindré


Les données de panel

Sommaire


Modèles à Données de Panel

Estimateurs pour données de panel

Inférence avec données de panel

Effets Fixes vs. Effets Aléatoires

Autres tests

Données de panel non-cylindré



Notation

I i = 1, ...,N : agent (individu, firme, pays...)I t = 1, ...,T : temps

I En général Ti : nombre de périodes diffère d’agent à agentI Panel “non-cylindré” (unbalanced)I Attrition, on y reviendra en fin de chapitre

I Pour simplifier la notation, la théorie utilise TI Les logiciels gèrent Ti

I yit une observation de la variable dépendante yI xit une observation du vecteur K ⇥ 1 des variables

indépendantesI “régresseurs”I Possiblement endogènes – Ch. 2



Organisation des données

obs agent i temps t y x1

. . . xK1 1 1 y

11

x111

xK11

......

t 1 t y1t x

11t xK1t...

...T 1 T y

1T x11T xK1T

T+1 2 1 y21

x121

xK21

......

it i t yit x1it xKit

......

NT N T yNT x1NT xKNT



Sommaire






Autres tests




Modèles & Estimateurs

I Plus grand choix de modèles et d’estimateurs qu’avec lescoupes transversales

I 3 modèles standards dans la présente SectionI 5 estimateurs dans la prochaine Section

I Chaque estimateur “peut” être appliqué à chaque modèleI Avec des résultats divers

I On ne sait jamais quel modèle s’appliqueI Table 5x3 des propriétés des estimateurs dans chaque modèle



Modèle 1. MRL - Modèle de régression linéaire classique

I Le modèle le + restricifI impose des coefficients constants entre i

yit = ↵+ x0it� + uit (1)

uit un élément scalaire du vecteur du terme d’erreur u↵ intercept� pente

I Si ce modèle est le bonI (correctement spécifié)I et si les régresseurs ne sont pas corrélés à l’erreurI Alors il pourra être estimé, de façon consistante, comme une

coupe transversale



Dichotomiques Individuelles et Temporelles

I Une variante simple du MRL (1)I Intercepts qui changent entre individus et entre période

I Mais pas les deux à la foisI Pentes constantes

yit = ↵i + �t + x0it� + ✏it (2)

ou yit =NX

j=1

↵jdj ,it +TX

s=2

�sds,it + x0it� + ✏it

où les N dichotomiques individuelles dj ,it = 1 si i = j & = 0 sinon

les T � 1 dichotomiques temporelles ds,it = 1 si t = s & = 0 sinon



Données de panel avec dichotomiques

obs i i = 1 . . . i = N t t = 1 . . . t = T � 1 y x1

. . . xK1 1 1 0 1 1 0 y

11

x111

xK11

......

t 1 1 0 t 0 0 y1t x

11t xK1t...

...T 1 1 0 T 0 0 y

1T x11T xK1T

T+1 2 0 0 1 1 0 y21

x121

xK21

......

it i 0 0 t 0 0 yit x1it xKit

......

NT N 0 1 T 0 0 yNT x1NT xKNT



Dichotomiques Individuelles et TemporellesI xit n’inclut pas d’intercept

I Si on en met unI alors une des N dichotomiques individuelles doit être retirée

I Beaucoup de logiciels font çaI Focus sur les panels courts où N ! 1 mais pas T

I Alors � (coef. des dich. temp.) peuvent être estimés de façonconsistante

I Au moins au sens où il y a un nombre fini de ces dich. temp.I T � 1 dich. temp. sont simplement incorporées aux

régresseurs xitI Par contre, si on insérait l’ensemble des N dich. individuelles

dj,itI Ça poserait un problème lorsque N ! 1I On ne peut estimer de façon consistante un nombre 1 de

paramètresI L’information ne croît pas sur ↵i lorsque N croît

I Challenge : estimer les paramètres �I en contrôlant pour les N dich. indiv. ↵i



Effets Fixes & Effets Aléatoires

Sommaire










Modèle à Effets IndividuelsI Chaque agent i a son intercept, mais toutes les pentes sont

les mêmes entre agents

yit = ↵i + x0it� + ✏it (3)

où ✏it est iid sur i et t

I = une façon plus parcimonieuse d’exprimer le précédentmodèle (2)

I Les dic. temp. sont incluses dans les régresseurs xitI C’est le modèle linéaire, non-dynamique, à données de panel

“standard”I ↵i variables aléatoires

I En fait : un modèle à paramètres aléatoiresI Capture hétérogénéité inobservée invariante dans le temps

I = caractéristiques individuelles inobservées




Rappel : l’hétérogénéité inobservée

I Modèle correct : Y = �0

+ �1

x1

+ �2

x2

+ ✏

I Modèle estimé : Y = �0

+ �1

x1

+ ⌫I L’effet du régresseur manquant x

2

sur Y est implicite dans leterme d’erreur du modèle estimé : ⌫ = �

2

x2

+ ✏I = hétérogénéité inobservée :

I Des facteurs (individuels) inobservés influent sur YI Si x

2

n’est pas corrélé avec x1

I Pas de souciI Si x

2

est corrélé avec x1

,I l’erreur ⌫ est corrélée avec x1

I MC inconsistant




Rappel : l’hétérogénéité inobservée

Mêmes pentes




ExogénéitéI Dans ce Ch. 1 : on assume l’exogénéité forte/stricte

E [eit |ai , xi1, ..., xiT ] = 0, t = 1, ...,T (4)

I C’est-à-dire : hypothèse que ✏itI Espérance de zéro conditionnellement aux valeurs passées,

présentes et futures des régresseursI Équivalent à zéro covarianceI Rien n’est supposé entre la variable aléatoire ↵i et les

régresseurs xiI Exclut des modèles avec une variable dépendante retardée

I Pas de yi(t�s) dans xit = Modèle dynamiqueI Comme yit�1 = ↵i + x

0

it�1� + ✏it�1 : il est diffcile d’affirmerque E (✏it✏it�1) = 0

I Et aussi avec des régresseurs endogènes (Ch. 2)




Modèle à Effets Fixes

I 2 variantes du modèle (3) yit = ↵i + x0it�+ ✏it selon hyp. sur ↵i

I Toutes deux ont “2” erreurs ↵i et ✏itI

Modèles à erreurs composées

I Toutes deux traitent ↵i comme une v.a. inobservéeI Variante 1 : modèle à effets fixes (EF)

I ↵i est corrélé avec (la partie invariante au temps) desrégresseurs observés xit

I C’est une forme d’hétérogénéité inobservée

I “fixe” parce que, anciennement, ↵i était traité comme unparamètre (non-aléatoire) à estimer




Modèle à Effets Aléatoires

I Variante 2 : modèle à effets aléatoires (EA)I ↵i distribué indépendamment de xI Habituellement, assume de plus que les effets aléatoires ↵i et

les termes d’erreurs ✏it dans (3) sont iid :

↵i ⇠�↵,�2

↵

�

✏it ⇠�0,�2

✏

� (5)

I Pas d’hyp. sur la distribution de ces v.a. dans (5)I ✏it peut présenter de l’autocorrélation

I Souvent, il est supposé que cov (✏it , ✏is) 6= 0I Mais aussi que cov (✏it , ✏jt) = 0 et cov (↵i ,↵j) = 0

I Sauf dans les modèles spatiaux

I Dans le modèle EA, ↵ est vu comme l’intercept




Autres noms des modèles EF/EA (3)

I Modèle à effets individuels une voie (One-way)I Deux voies (Two-way) = inclusion de dich. de temps ou

d’effets aléatoires de tempsI Modèle à intercept aléatoire

I Pour distinguer de modèles plus généraux, p.e. à pentesaléatoires

I Modèles à composants aléatoires




Modèle EA équicorrélé

I Le modèle EA yit = ↵i + x0it� + ✏it

I peut être vu comme la régression de yit sur xitI avec erreur composée uit = ↵i + "it

I Les hyp. EA usuelles (5) (↵i et ✏it iid) impliquent que

Cov [(ai + eit), (ai + eis)] =⇢sv2a, t 6= ssv2a + sv

2

e , t = s(6)

I Le modèle EA impose donc que l’erreur composée uit soitéquicorrelée

I Car Cor [uit , uis ] = �2↵/[�

2↵ + �2

" ] pour t 6= s ne change pasavec la durée t � s

I Le modèle EA est aussi appelé équicorrélé ou à erreursinterchangeables




Synthèse des 3 modèles à données de panel

MRL (1) yit = ↵+ x0it� + uit uit ⇠

�0,�2

u

�

EFyit = ↵i + x

0it� + ✏it (3)

Cov (↵i , xit) 6= 0

EA ↵i ⇠�↵,�2

↵

�

✏it ⇠�0,�2

✏

� (5)

I Ces 3 modèles supposent l’hétérogénéité stricte 4I D’autres modèles panel existent, en particulier dynamiques



Sommaire






Autres tests




IntroductionI Il y a 5 estimateurs utilisés couramment pour � en données de

panelI Dans ce contexte non-dynamique, sans endogénéité : variantes

MCI Diffèrent selon leurs utilisations des variations transversales

(entre i) et temporellesI Leurs propriétés dépendent de quel est le modèle approprié

(MRL - EF - EA)I Un régresseur xit peut être soit

I invariant dans le temps, xit = xi pour t = 1, ...,T ,I ou variable dans le tempsI Certains estimateurs ne peuvent identifier que les coefficients

des régresseurs variables dans le tempsI On va voir les estimateurs du plus simple au plus complexe

I On regarde la consistance et l’efficience



Efficience et Erreurs

Sommaire










Efficience des Estimateurs

I L’efficience n’est pertinente que pour les estimateursconsistants

I L’efficience est la précision de l’estimateurI Essentiellement l’inverse de sa matrice de var-cov ⌃�

I Qui donc dépend de la matrice de var-cov des erreurs ⌃u




Hypothèses sur les erreursI Les modèles à données de panel ont différents types d’erreur

I uit pour MRLI ↵i + "it pour EF et EA

I Dans beaucoup d’applications de microéconomieI raisonnable de supposer indépendance entre i

I Sauf en spatialI Pas le cas en macro

I Toutes ces erreurs sont potentiellement1. Autocorrélées (corrélées sur t pour un certain i )

I Corrélation sérielle, temporelle2. Hétéroscédastiques entre les i

I L’inférence (tests) stat. valide requiert de prendre en compteces caractéristiques

I Section suivanteI Dans cette section-ci

I structure de la mat. de var-cov des erreursI Efficience




Matrice ⌃u de variance-covariance des erreurs en panel

I Sans distinguer entre les trois modèlesI On écrit l’erreur du modèle uit

I Peut être ↵i + ✏it ou pasI Entre i on a Cor [uit , ujs ] = 0

I pour i 6= j et t = ou 6= s

I Pour un certain iI Cor [uit , uis ] = �its : corrélation quelconque dans le tempsI t = s, �its = �2

it : hétérocédasticité quelconqueI Ça donne la matrice var-cov des erreurs ⌃u suivante




Matrice ⌃u bloc-diagonale de var-cov des erreurs panel

0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

sv211

sv112

· · · sv11T

sv212

. . ....

.... . .

. . . sv1(T � 1)T

SYM · · · sv21T

0 · · · 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 0

0 · · · 0

sv2N1

svN12

· · · svN1T

sv2N2

. . ....

.... . .

. . . svN(T � 1)T

SYM · · · sv2NT

1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA




Modèle EA

I Le modèle EA met plus de structure dans la matrice ⌃u

I Modèle EA yit = ↵i + x0it� + ✏it avec

I ↵i iid (donc non-corrélés à xit)I ✏it iidI Corrélations comme dans l’hyp. EA (5)

↵i ⇠�↵,�2

↵

�

✏it ⇠�0,�2

✏

�

I La matrice ⌃u prend la forme suivante

Matrice ⌃u Bloc-Diagonale de Var-Cov des Erreurs Panel EA

0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

sv2a + sv2e sv2a · · · sv2a

sv2a sv2a + sv2e.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. sv2asv2a · · · sv2a sv2a + sv2e

0 · · · 0

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0 · · · 0


sv2a sv2a + sv2e.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. sv2asv2a · · · sv2a sv2a + sv2e

1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA




En mots

I La matrice s’organise en blocs carrés autour de la diagonaleprincipale

I Chaque carré tient en 2 chiffresI Hors de sa diagonale principale, une corrélation entre périodes

�2↵I la même pour tous les i

I Sur sa diagonale principale, une variance �2↵ + �2

✏

homoscédastiqueI Entre différents i , toutes les corrélations sont nulles

I Hors des blocs diagonaux



Estimateurs appropriés pour le MRL

Sommaire










Estimateur MCO

I MCO estime ↵ et � dans yit = ↵+ x 0it� + uitI MCO est consistant (pour N ! 1, t constant) si

I Cov [uit , xit ] = 0 etI MRL (1) est approprié, ou siI EA est approprié

I La mat ⌃u n’est pas diagonaleI MCO inefficient

I L’estimateur MCO de la matrice ⌃� �2 (X 0X )�1 est biaiséI MCO est inconsistant si EF est approprié

I Ré-écrire EF yit = ↵i + x0

it� + ✏it comme

yit = a+ x�itb+ (ai−a+ eit)

I Donc l’erreur MCO, uit = ↵i � ↵+ ✏it , est corrélé à xit par ↵i




Estimateur Between

I Étapes1. Prendre les moyennes sur le temps par individu

I yi =1T

TX

t=1

yit , idem pour xi

2. Estimer par MCO yi = ↵+ x 0i � + "iI Régresser yi sur un intercept et le vecteur xi

I Pour estimer �, MCO utilise toutes les donnéesI Donc les variations à la fois sur le temps et en transversal

I Between n’utilise que les variations transversalesI Entre (between) différents individus

I Analogue à une régression en coupe transversaleI Les variations internes (within) à chaque individu sont écartées




Propriétés de l’estimateur Between

I Le modèle implicite derrière l’estimateur between est

yi = ↵+ x0i � + ui i = 1, ...,N (7)

I Between est consistant si les régresseurs xi sont indépendantsde l’erreur ui

I C’est le cas pour le MRL (1)I Si par contre le modèle est à erreurs composées (3)

yit = ↵i + x0

it� + ✏itI Alors, ui = (↵i � ↵+ ✏i )

I Dans EA, ↵i est indépendant de xI Donc Between est consistant pour EA

I Dans EF, ↵i est corrélé à xit et donc à xiI Between est donc inconsistant




Propriétés de l’estimateur Between

I Between gaspille beaucoup d’informationsI C’est un estimateur didactiqueI Ne pas l’utiliser dans vos applicationsI Sauf si les données ne sont pas stationnaires

I Je ne détaille pas pour l’instantI Sans regarder formellement

I between est très inefficient à cause du gaspillage d’information



Estimateurs appropriés pour EF

Sommaire










Estimateur Within

I Principe : Les déviations individuelles de la variabledépendante de ses moyennes temporelles

I sont expliquées parI les déviations individuelles des régresseurs de leurs moyennes

temporellesI Soit le modèle à effets individuels 3 yit = ↵i + x

0it� + ✏it

I Prendre le moyenne sur t : yi = ↵i + x 0i � + "iI Soustraire : les termes ↵i s’annulent = la transformation

within

yit � yi = (xit � xi )0� + (✏it � ✏i )

1, ...,N, t = 1, ...,T(8)




Estimateur Within

I Estimateur Within = MCO sur les données transformées

yit � yi = (xit � xi )0� + (✏it � ✏i )

I Comme ↵i a disparu par différence, Within est consistant dansEF, EA et MRL

I En tout cas quand l’hyp d’exogénéité forte tient (+ loin)I Within est aussi appelé estimateur Effets FixesI Chaque i doit être observé au moins deux fois dans

l’échantillonI sinon xit � xi = 0




Consistance de l’estimateur Within / Effets FixesI Within traite ↵i comme des paramètres dits nuisance

I que l’on peut ignorer si notre intérêt porte sur les pentes �I qui n’ont pas besoin d’être estimés de façon consistante pour

obtenir une estimation consistante des �I Ce résultats ne se propage généralement pas aux modèles

non-linéairesI La consistance requiert plus précisément

E (✏it � ✏i |xit � xi ) = 0

dans le modèle transformé

yit � yi = (xit � xi )0� + (✏it � ✏i )

I À cause des moyennes, cela exige plus que E (✏it |xit) = 0I Il faut l’exogénéité stricte (4)

E [eit |ai , xi1, ..., xiT ] = 0, t = 1, ...,T




Estimations des effets fixesI Si les effets fixes ↵i sont d’intérêt , ils peuvent être estimés

par ↵i = yi � x0i �

I Cet estimateur de ↵i non-biaiséI Dans des panels courts (petit T ), cet estimateur est

inconsistantI Parce que l’information ne s’accumule pas (T ne croît pas)I Par contre, la distribution des ↵i , par rapport à une variable

clef ou pas, peut être informativeI Si N n’est pas trop grand, une alternative pour estimer Within

est l’estimateur MC à dichotomiquesI On définit N dich. di , une par individu, di = 1 pour iI Ensuite, estimer yit =

X

i

↵idi + x0

it� + ✏it par MCO

I Régression de yit sur xit et N dich. individuelles

I Cela produit l’estimation Within pour �, ainsi que lesestimations des N effets fixes

I Dans les limites des capacités de l’ordinateur




Within et les régresseurs invariants dans le temps

I Une limitation majeure de WithinI les coefficients des régresseurs invariants dans le temps ne sont

pas identifiésI Puisque si xit = xi alors xi = xi et (xit � xi ) = 0

I Beaucoup d’études ont précisément pour objet des régresseursinvariants dans le temps

I P.e. les effets du genre ou de l’origine ethnique sur le salaireI Pour cette raison, des praticiens évitent d’utiliser withinI MCO et l’estimateur Effets Aléatoires (ci-dessous) permettent

d’estimer ces coefficientsI mais sont inconsitants si EF est le modèle appropriéI On verra un estimateur qui permet parfois de les identifier




Estimateur différences premières

I Principe : Les changements individuels d’une période àl’autre de la variable dépendante

I sont expliqués parI les changements individuels d’une période à l’autre des

régresseursI Soit le modèle à effets individuels (3) yit = ↵i + x

0it� + ✏it

I retarder d’une période yi,t�1 = ↵i + x 0i,t�1� + "i,t�1I Soustraire = la transformation différences premières

yit � yi ,t�1

= (xit � xi ,t�1

)0� + (✏it � ✏i ,t�1

)i = 1, ...,N, t = 2, ...,T

(9)




Estimateur différences premières

I L’estimateur différences premières (D1) est MCO appliqué à latransformation différences premières (9)

I Cet estimateur est consistant pour � dans tous les modèlesI Pour les mêmes raisons que WithinI Pareillement, les coefficients des régresseurs invariants dans le

temps ne sont pas identifiésI D1 est moins efficient que within

I si "it est iid (pour T > 2)I car une période d’obsevation est écartée

I Cependant, D1 peut préserver contre des variables I(1)I Qui amènerait sinon à des résultats spurieux




Efficience des estimateurs pour EF

I Ces 2 estimateurs font peu d’hypothèses sur la structure duterme d’erreur

I Leur efficience n’est généralement pas discutéeI Car la priorité est l’estimation consistante



Estimateur approprié pour EA

Sommaire










Rappel du modèle EA

I Modèle à effets individuels (3) yit = ↵i + x0it� + ✏it avec

I ↵i iid (donc non-corrélés à xit)I ✏it iidI Corrélations comme dans l’hyp. EA (5)

↵i ⇠�↵,�2

↵

�

✏it ⇠�0,�2

✏

�

I Dans ce cas, MCO consistant (car ↵i non-corrélés à xit)I Mais Moindres Carrés Généralisés MCG sera plus efficient




Rappel : MCG en coupe transversaleI Quand toutes les hyp. du modèle linéaire sont satisfaites

I sauf que la matrice var-cov ⌃ des erreurs n’est pas l’identité,alors

I MCO consistantI mais pas efficient (Gauss-Markov ne s’applique plus)

I Si on connait ⌃, on peut retrouver l’efficienceI Soit le MRL en coupe transversale y = x

0� + ✏

I avec E⇣✏✏

0⌘= ⌃ 6= �2I

I On peut montrer qu’il existe toujours P telle que P0P = ⌃�1

I Décomposition de Cholesky, non-unique pour les matricesréelles sdp

I Prémultiplier le modèle linéaire par P : Py = Px� + P✏I y⇤ = x⇤� + ✏⇤

I Alors Var (✏⇤) = E⇣P✏✏

0P

0⌘= PE

⇣✏✏

0⌘P

0

I = P⌃P0= P

⇣P

0P⌘�1

P0= PP�1

⇣P

0⌘�1

P0= I




Rappel : MCG en coupe transversale

I Donc, le modèle transformé a des erreurs dites sphériquesI Donc, MCO sur les données transformées est efficientI C’est MCG

I En pratique, ⌃ est inconnue, il nous en faut un estimateurconsistant

I Tout estimateur consistant de ⌃, ⌃, définit l’estimateur MCGfaisables (consistant)

I En panel, le modèle EA implique une matrice ⌃ comme dansla diapo suivante

I Comme détaillé précédemment




Matrice ⌃ bloc-diagonale de var-cov des erreurs panel EA

0



sv2a sv2a + sv2e. . .

......

. . .. . . sv2a

sv2a · · · sv2a sv2a + sv2e

0 · · · 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 0

0 · · · 0


sv2a sv2a + sv2e. . .

......

. . .. . . sv2a

sv2a · · · sv2a sv2a + sv2e

1





Estimateur EA

I On appelle estimateur EA l’estimateur MCGI dans lequel la matrice ⌃ des erreurs est celle de la diapo

précédenteI La version faisable de cet estimateur est MCO

I appliqué aux données transformées de la façon suivante :

yit � �yi =⇣1 � �

⌘µ+

⇣xit � �xi

⌘0

� + ⌫it (10)

où ⌫it = (1 � �)↵i + ("it � �"i ) est asymptotiquement iid, et

I � est un estimateur consistant pour

� = 1 � �✏p�2

✏ + T�2

↵

(11)




Estimateur EA

I On ajoute l’intercept (non-aléatoire) scalaire µ afin denormaliser les effets aléatoires ↵i à une espérance nulle

I et ainsi faire coincider l’estimateur avec l’hypothèse EA (5)I C’est-à-dire µ correspond à ↵ dans (5)

I La dérivation de cet estimateur (10) et des manières d’estimer�2

↵ et �2

" , et donc �,I sont détaillés dans Cameron & Trivedi

I RemarqueI � = 0 correspond à l’estimateur MCOI � = 1 correspond à l’estimateur withinI � ! 1 lorsque T ! 1 (regardez la formule)

I Il s’agit d’un estimateur en deux étapes de �1. estimer �2. estimer � à partir des données transformées




Propriétés de l’estimateur EA

I Consistant et efficient si le modèle EA est le bonI Le gain d’efficience par rapport à l’estimateur MCO n’est pas

nécessairement élevéI Probablement inefficient si l’hypothèse d’équicorrélation

n’est pas vraieI Dans un processus AR (1)I Si le MRL est le bon

I Inconsistant si le modèle EF est le bon car alors ↵i est corréléavec xit



Interprétation : EF vs. EA

Sommaire










Discussion sur EA et EF

I La plupart des disciplines de stat appliquéesI traitent l’hétérogénéité inobservée (individuelle) ↵i comme

distribuée indépendamment des régresseursI Sauf la microéconométrie

I Cette hyp d’indépendanceI a l’avantage de permettre une estimation consistante de tous

les paramètresI y-compris ceux invariants dans le tempsI si l’hyp est vraie

I est souvent considérée par les économistes comme nonsupportée par les données

I Les deux modèles ont des intérêts distinctsI EA : Précise la structure temporelle ! EfficienceI EF : Endogénéité de l’hétérogénéité inobservée ! Consistance




Prédictions et effets individuels

I Le modèle est yit = ↵i + x0it� + ✏it aussi bien pour EA que

pour EFI L’effet individuel ↵i est une v.a. dans les deux modèles

I On prend l’espérance conditionnelle aux régresseursI E [yit |xit ] = E [↵i |xit ] + x 0it�I Que peut-on en dire ? (prochaine dia)




Prédictions et effets individuels

I Dans le modèle EA, il est supposé que E [↵i |xit ] = ↵I Donc E [yit |xit ] = ↵+ x 0it�I Si EA est le bon modèle, ↵ peut être estimé de façon

consistanteI Donc on peut prédire yit par E [yit |xit ]

I Dans EF, E [↵i |xit ] varie avec xit et on ne sait pas commentI C’est raisonnable car ↵i comprend des characteristiques

inobservéesI Donc E [yit |xit ] ne peut être identifié : pas de prédictionI Malgré cela, on peut estimer les � de façon consistante

I Et donc les effets marginaux sont identifiés� = @E [yit |↵i , xit ]/@xit

I Par exemple, l’effet d’un changement de population sur lesémissions

I Mais seulement pour les régresseurs variant dans le temps




Résumé estimateurs et modèles linéaires courants pour panel

ModèleEstimateur de � MRL (1) EA (3) & (5) EF (3)MCO (1) Consistant Consistant InconsistantBetween (7) Consistant Consistant InconsistantWithin (EF) (8) Consistant Consistant ConsistantD1 (9) Consistant Consistant ConsistantEA (10) Consistant Consistant Inconsistant

Cette table ne présente que la consistance des estimateurs de �I L’estimation des ↵i est toujours inconsistante, sauf si ↵i = ↵8iI La consistance ne tient que si les propriétés des modèles

tiennentLe seul estimateur efficient est EA si le bon modèle est EA



Application

Sommaire









Application

Package plm

I Créez un nouveau projet p.e. panelI Installer plm (Croissant & Milo)I fichier de commande 2017Panel.R sur le site du cours

I Structure des données dans plmI Peut être un dataframeI mais il faut un index qui indique i

I Soit on passe un argument index dans les fonctionsd’estimation et de test de plm

I Sinon, plm suppose que la première col. contient l’index i et la2º le temps t

I On peut aussi utiliser pdata.frame(x, index = NULL,...)I sur x un dataframe normalI pour créer un dataframe compris par plm



Application

Exemple : déforestation amazonienne

I Le fichier de données est en ligne sur le site du coursI À charger dans R-Studio via l’interface

I Bouton fenêtre HDI Données de 1988 à 2015

I États de l’Amazone légaleI 9 états du bassin brézilien de l’Amazone

I Le Brésil est un pays fédéralI Chaque état a une latitude importante sur ses politiques

Amazone légale du Brésil

Déforestation 2001

Déforestation 2002

Déforestation 2003

Déforestation 2004

Déforestation 2005

Déforestation 2006

Déforestation 2007

Déforestation 2008

Déforestation 2009

Déforestation 2010

Déforestation 2011

Déforestation 2012

Déforestation 2013

Déforestation 2014

Déforestation 2015



Application

Hypothèse : Courbe de Kuznetz Environmentales CKE

I S. Kuznets (1955) suggère une relation “U-inversé” \I entre la croissance économique et les inégalités de revenuI Le développement induit d’abord des inégalitésI À mesure que le revenu moyen augment, ces inégalités

deviennet intolérables et disparraissentI p.e. transferts, meilleures opportunités, meilleure éducation,

système de santé, biens publics...

I CKE suggérée par Grossman & Kruger [?][?]I Les dommages environnmentaux augmentent d’abord avec le

développementI Puis se récupèrent lorsque le revenu moyen augmente

I Émissions, déforestation,...



Application

CKE formelI Les niveaux plus élevés de revenu par habitant PIBh

I sont graduellement associés avec des niveaux plus faibled’émissions y

I Jusqu’à une baisse nette à un “turning point”

yit = �0 + �1PIBhit + �2PIBh2it + �xit + ✏it

I x : autres régresseurs/contrôles potentiels



Application

Évidence de CKEI Bien que décrite comme une relation temporelle

I CKE a + souvent été étudiée en coupe-transversale ou en panelI Lorsqu’on la trouve, est-ce causal ou spurieux ?

I Stern 2004 [?]I CKE pour les émissions de CO2 & CO2eq sont spurieusesI L’apparence de CKE est due à un mélange d’effets

1. La pollution % de façon monotone, voire linéaire, avec lerevenu

2. Mais le “temps” fait baisser les émissions, on émet moins3. Dans les pays à croissance rapide, l’effet revenu (% émissions)

est plus fort que l’effet temps4. Dans les pays riches, la croissance est faible, donc les efforts

de réduction des émissions peuvent dépasser l’effet revenu

I C’est ce qui cause un CKE apparent en coupe transversale ouen panel



Application

CKE déforestation

I Objectif : Estimer l’équation KCE par panelI Dans le cas de la déforestation

I Le modèle opérationnel d’intérêt

dit = �i + �1

PIBhit + �2

PIBh2

it + �xit + ✏it (12)

I d = déforestation annuelleI On pourrait postuler un modèle dynamique en incluant di,t�1

dans xI mais on reste en statique dans ce chapitre

I On pourrait regarder en log



Application

CKE déforestation

I Il y a un problème d’échelleI Déforestation en niveau, par habitant ou par km² ?I On fait abstraction de cela ici, mais c’est certainement

importantI PIB local ou national ?

I Interprétation, p.e. Kauppi et.al. [?]I avec la hausse du PIB, la déforestation devient moins

intéressante que d’autres alternatives



Application

CKE déforestation : les x

I PPCDAmI Plano Plurianual (de Ação) para a Prevenção e Controle de

Desmatamento, Queimadas e Exploração Madeireira Ilegal naAmazônia Legal

I Politique de lutte contre la déforestation, instaurée en 2004I Prix agricoles, principalement boeuf, soja dans une moindre

mesureI Prix locaux ou internationaux ?I Ces deux prix sont assez corrélés (65%)

I Pression de populationI Peu probable car les migrations se font surtout vers les villes

I Extraction de boisI Vrai mais peu évoqué comme pression

Examiner les variablesI Etat ! noms des étatsI Year ! annéeI pop ! population en hI surface en km²I PIBh2010R ! PIB en Real de 2010

I IPEA-IBGE (statistiques officielles brésiliennes)I Defor_km2 deforestation annuelle en km²

I Prodes http ://www.obt.inpe.br/prodes/taxas_prodes.htmI 1988 : moyenne 1978-1988 (peut-être préférable de l’éliminer) ;

1993-94 : moyenne 2 annéesI PPCDAmCurR ! budget du plan d’action contre la

déforestation en Real nominauxI Par État : plano pluriannual (plan pluriannuel) et Lei

Orçamentária Anual (loi du budget annuel) sur les portal dotransparencia de chaque État

I La donnée n’est pas présente pour tous les états ni tous les ansI 0 de 1988 à 2003 inclus pour tous les ÉtatsI 3 phases : 2004-2008, 2009-2011, 2012-2015

I CPI ! consumer price index (World Bank)I PPCDAm2010R ! budget du plan d’action contre la

déforestation en Real de 2010

Graphique : scatterplot

Graphique : ggplot2+facet (intaller ggplot2)

Graphique : log(Defor)~PIB

Graphique : Defor~Etat (intaller gplots)

Graphique : Defor~Year



Application

Transformer les données

I Conversion en “pdata.frame” pour plmI Prend en compte la variable temps (Year) correctement

I C’est-à-dire avec une durée entre observationsI 2 arguments logiques

I drop.index laisse tomber les index du data.frameI row.names crée des noms de ligne de type “Acre-1988”

I Il y a AmaLegal dans les donnéesI La somme des autres : il faut laisser tomber cette série



Application

Qualité des données

I “Cylindrage” du panel - quelle justification ?I Le PIB n’est dispo que jusque 2014 8 États (2013

actuellement)I La déforestation n’est dispo qu’à partir de 1988

I Un état n’a pas de donnée de déforestation en 1988I Donc : pas de conséquence

I Importantes différences sur le budget du PPCDAmI Restreint beaucoup l’échantillonI Les états qui tiennent bien les comptes pourraient être ceux

qui font plus d’effort sur la déforestation ?I En tout cas, les plus gros “déforesteurs” (Mato Grosso, Pará,

Rondônia)I présentent peu de donnéesI

Biais de sélection ?

I Les résultats sont-ils sensibles à la qualité des données ?



Application

Régression dans R

I On va commencer par la CKE seule (pas de x)I Ça n’est pas correct statistiquementI mais on veut surtout illustrer les régressions panel

I Du général au particulierI Modèle + général : effets fixes

I Estimateur WithinI Estimateur Diff 1ere

I Second modèle : effets aléatoiresI Modèle plus restrictif : MRL

I Estimateur MCOI Estimateur Between

I plm se charge de transformer les données



Application

Estimateur EF WithinI plm(Defor_km2~PIBh2010R+I(PIBh2010R^2), data=pama,

model = "within")I Unbalanced Panel : n=9, T=25-26, N=233

I Un état n’a pas de donnée de déforestation en 1988I La sortie ne présente pas d’intercept

I Suit la théorie, mais + difficile à comparer avec EAI On ne regarde pas les t-stat et les tests pour le moment

I Les autres modèles linéaires fonctionnent de la même manièreI en changeant juste l’option model

I Les ↵i sont extraits par la commande fixef avec des options decalcul

I Même non-consistants, on peut corréler ces ↵i avec desvariables d’intérêt

I Juste pour within



Application

Estimateur EF D1 - fd

I R conserve l’interceptI implicitement, le modèle en niveaux devrait alors inclure un

trend

dit = ↵+⌧ t+�1PIBit+�2PIB2it+✏it () �dit = ⌧+�1�PIBit+�2�PIB2

it+�✏it

I On exclut l’intercept en ajoutant "-1" à la formuleI On perd la significativité [à reporter section ultérieure]

I Illustre la perte d’efficience due aux différences 1º - plutôtintéressant, montre l’importance de la cointégration



Application

Estimateur EA - random

I Plusieurs versionsI random.method = c("swar", "walhus", "amemiya", "nerlove",

"kinla")I Se différencient essentiellement selon le mode de calcul de

MCGI Je ne détaille pas - on laisse tomberI Défaut : swar : Swamy and Arora

I summary informe sur la variance de chaque composant del’error

I idiosyncratic : �2✏ ; individual : �2

↵i

I Theta est le ✓ de MCGI L’estimateur EA avec effets temporels (“two way”) n’est pas

implémenté



Application

Estimateurs MCO, Between

I BetweenI Nombre d’observations réellement utilisées = “Observations

used in estimation” = 9I Pooling – même chose que MCO



Application

Comparaison des résultats

EF - Within EF - D1 EA - MCG Pooling Between

�0

– -99.5 -1045 1057 6942�

1

DIP 630 437 624 121 -1290�2DIP2 -31.4 -11.5 -31.1 -4.96 68.294# obs. 233 224 233 233 9

Sans dich. de temps

I Au vu des graphiques, pooling & between ne sont pasappropriés

I Within et EA ont des résultats semblablesI Forte différence (EF D1) vs. (EA MCO Between)

IRévèle endogénéité

I D1 est qualitativement semblablesI On en rediscute lors de l’inférence



Application

Dichotomiques de temps – twoways

I Permettent de “filtrer” un choc idiosyncratiqueI qui affecte tous les états de façon semblableI Mais beaucoup de régresseurs (1988 ! 2014 = 27)

I introduit potentiellement du bruitI plm option effect = "twoways"

I On les extrait avec fixef(modèle estimé,effect="time")I Si on donne l’option effect = "time" à plm : supprime les ↵i

I pas défini pour D1 : pq ?I ni pour be bien sûr

I pour EA, ne fonctionne que pour les panel “balanced”I Lorsque toutes les dich de temps sont introduites

I Peu de différence



Sommaire






Autres tests




Matrice des erreurs en panel

Sommaire










Inférence

I L’inférence consiste enI la prédictionI les tests d’hypothèses

I L’inférence classique fait des tests d’hyp.I dont la significativité des coefficientsI à partir de la matrice ⌃� de variance-covariance des �

I Donc : essentiel de disposer d’une estimationI au minimum consistanteI de cette matrice ⌃�

I Celle-ci s’appuie sur la matrice ⌃u

I Var-Cov des erreurs uit = ↵i + ✏itI Prochaine dia




Rappel sur la matrice var-cov des erreurs panel en général

0


sv211

sv112

· · · sv11T

sv212

. . ....

.... . .

. . . sv1(T � 1)T

SYM · · · sv21T

0 · · · 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 0

0 · · · 0

sv2N1

svN12

· · · svN1T

sv2N2

. . ....

.... . .

. . . svN(T � 1)T

SYM · · · sv2NT

1


Rappel 2 : Matrice ⌃u dans le modèle EA avechétéroscédasticité

0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

sv2a + sv2e1 sv2a · · · sv2a

sv2a sv2a + sv2e1.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. sv2asv2a · · · sv2a sv2a + sv2e1

0 · · · 0

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0 · · · 0

sv2a + sv2eN sv2a · · · sv2a

sv2a sv2a + sv2eN.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. sv2asv2a · · · sv2a sv2a + sv2eN

1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA




Estimateur MCI Tous les estimateurs panel sont MC sur données transforméesI MC traite chacune des T années comme de l’information

indépendante, maisI Le contenu informationnel est moindre

I puisque les erreurs (et donc les obs.) sont corréléesI Ceci tend à surestimer la précision

I Le modèle qui fait le plus d’hypothèses sur ⌃u est EAI Si ce modèle est exact, on peut procéder à l’inférence

habituelleI à partir des données transformées MCG

I Dans les autres cas,I On utilise des corrections panel des écarts-types (et) quand on

applique MCOI Beaucoup de corrections sont possibles, selon les hyp. sur la

corrélation et l’hétéroscédasticitéI Et aussi selon la longueur du panel – mais on ne verra pas




Inférence statistique Panel-robuste

I Des écarts-types Panel-robustes peuvent être estimésI sans supposer de forme fonctionnelle spécifique pour la

corrélation ou l’hétéroscédasticité des erreurs individuellesI au moyen de 2 techniques

Il’estimateur robuste de White

Ile bootstrap

I Dans beaucoup de packages économétriques, les et calculéspar défaut

I assument des erreurs iidI Donc une matrice ⌃u diagonale

I incohérente avec PanelI Cette inférence est erronée

I En général, elle sous-estime les et, donc sur-estime les t-stat




Efficience en panel

I En panel, donc, on utilise des estimateurs inefficientsI mais on estime leur matrice de var-cov ⌃� de façon

consistanteI Lorsque l’estimateur de � est consistant

I Seul l’estimateur EA est efficient dans le modèle EAI Tous les autres estimateurs consistants sont inefficients dans

tous les modèlesI Estimateurs plus efficients

I Moindres Carrés Généralisés (faisables) : pgglsI Méthode Généralisée des Moments GMM : Ch. 2

I Les estimateurs EF, EA et D1 tendent à réduire la corrélationsérielle

I mais pas à l’éliminer



Inférence robuste : White

Sommaire










Rappel : l’estimateur de ⌃� hétéroscédastique-consistant deWhite

I MRL classique en coupe transversaleI y = x

0� + ✏ avec E

⇣✏✏

0⌘= ⌃✏ 6= �2I

I MCO est non-biaisé et consistantI Var

⇣�OLS

⌘= ⌃�MCO

=⇣X

0X⌘�1

X0⌃✏X

⇣X

0X⌘�1

6=

�2⇣X

0X⌘�1

I En cas d’hétéroscédasticité pure, White (1980) montre que

S =1N

NX

i=1

✏2i XiX0i

I est un estimateur consistant de 1NX

0⌃✏X sous des conditions

généralesI ✏i est le résidu MCO ✏ = y � x

0�MCO




L’estimateur de ⌃� hétéroscédastique-consistant de Whiteen panel

I L’estimateur de White peut être étendu pour l’autocorrélationI mais souvent on ne le fait pas

I car on cherche à étudier les propriétés temporelles dans plusde détails

I Sauf en panel courtI où la série est trop courte pour la tester en détailI On va voir brièvement comment White est appliqué au Panel




L’estimateur de ⌃� hétéroscédastique-consistant de Whiteen panel

I Réécrire tout estimateur panel comme un estimateur MC de ✓dans

yit = w0it✓ + uit (13)

I yit est une fonction connue de seulement yi1, ..., yiTI Pareil pour w

0

it et w 0it =

⇥1 x

0

it

⇤; uit et uit

I p.e. MCO : pas de transformation, ✓ =⇥↵ �

0 ⇤0

I Within : yit = yit � yi , wit = xit−xi uniquement pour lesrégresseurs variant dans le temps

I ✓ : coefficients des régresseurs variant dans le tempsI ...

I / Ces transformations induiront de la corrélation sérielleI même si les erreurs originelles n’en ont pas




Notation

I Empiler les observations selon les périodes pour un individu i :I ~yi = ~W

0

i ✓ +~ui oùI ~yi : T ⇥ 1

I Pour D1, (T � 1)⇥ 1I ~Wi : T ⇥ q

I MCO ✓MCO =

"NX

i=1

~W0i~Wi

#�1 X

i

~W0i~yi

I pour tous les estimateurs panel




Variance estimateur MCO

I Variance de ✓MCO dans le modèle avec un ~ :

⌃✓MCO=

"NX

i=1

~W0i~Wi

#�1 X

i

~W0iE

h~ui~u

0i |~Wi

i~Wi

"NX

i=1

~W0i~Wi

#�1

I Même formule sandwich que dans le rappelI Sauf qu’on a un vecteur ui plutôt qu’un scalaire ui

I White :I On a pas besoin d’un estimateur consistant de la matrice

var-cov des erreurs ⌃u pour l’inférenceI Il suffit d’un estimateur de

X

i

~W0

iEh~ui~u

0

i |~Wi

i~Wi

I La partie du milieu de ⌃✓MCOI Qui est de dimension plus réduite que ⌃u




Estimateur “Panel-robuste” de la matrice de var-cov ⌃✓MCO

I L’estimateur de White faisable de ⌃�I étendu pour le panelI permet à la fois hétérodasticité et autocorrélation

\⌃✓MCO=

"NX

i=1

~W0

i~Wi

#�1 X

i

~W0

i ~ui~u0

i~Wi

"NX

i=1

~W0

i~Wi

#�1

(14)

où ~ui =~yi � ~W0i ✓

I L’information accumule lorsque N ! 1I car la mat. ⌃u de var-cov des erreurs est de dimensions finies

T ⇥ T alors qu’on prendX

iI C’est la base de la consistance




DétailI On cherche

X

i

~W0iE

h~ui~u

0i |~Wi

i~Wi

I On prendX

i

~W0

i ~ui~u0

i~Wi

I simplification de notation

I Wi = Zi =

0

B@zi11

· · · zik1...

. . ....

zi1T · · · zikT

1

CA, ˆui = ei =

0

[email protected]

1

CA

X

i

Z0i eie

0iZi =

X

i

0

B@zi11

· · · zik1

... . . . ...zi1T · · · zikT

1

CA

0 0

B@ei1...

eiT

1

CA

0

B@ei1...

eiT

1

CA

0 0

B@zi11

· · · zik1

... . . . ...zi1T · · · zikT

1

CA

(k ⇥ T )⇥ (T ⇥ 1)⇥ (1 ⇥ T )⇥ (T ⇥ k) = (k ⇥ k)




DétailX

i

Z0i eie

0iZi =

X

i

0

B@zi11

· · · zi1T... . . . ...

zik1

· · · zikT

1

CA

0

B@e2

i1 · · · ei1eiT...

...sym · · · e2

iT

1

CA

0

B@zi11

· · · zik1

... . . . ...zi1T · · · zikT

1

CA

=

X

i

0

B@ei1

Pt zi1teit · · · eiT

Pt zi1teit

... . . . ...ei1

Pt zikteit · · · eiT

Pt zikteit

1

CA

0

B@zi11

· · · zik1

... . . . ...zi1T · · · zikT

1

CA

=X

i

0

B@

Pt zi1teit

Pt zi1teit · · ·

Pt zikteit

Pt zi1teit

... . . . ...sym · · ·

Pt zikteit

Pt zikteit

1

CA

On voit comment on se rapproche d’une matrice de var-cov




Estimateur Panel-robuste de la matrice de var-cov ⌃✓MCO

I Cet estimateur (14) assume l’indépendance entre i et N ! 1I mais permet que V [uit ] et Cov [uit , uis ] change avec i , t, et sI ce qui est le cas pour des panels courts

I Des et Panel-robustes basés sur cet estimateur (14)I peuvent être calculés en utilisant une commande MCO

habituelleI avec une procédure parfois appelée “cluster-robust” pour le

calcul des etI cluster sur i

I Erreur fréquente :I utiliser une procédure “standard robust” des et dans MCO de

yit = w0

it✓ + uitI Ajuste uniquement pour hétéroscédasticité

I En Panel, en pratique, plus important de corriger pour lacorrélation sérielle



Application White

Sommaire









Application White

Application : déforestation amazonienne

RappelI Le fichier de données est en ligne sur le site du coursI Données de 1988 à 2015

I États de l’Amazone légale (un état n’a pas 1988)I 9 états du bassin brézilien de l’Amazone

I Modèle CKE

yit = ↵i + �1

PIBhit + �2

PIBh2

it + �xit + ✏it

I On ne regarde pas x pour le moment



Application White

vcovXX : fonctions du package plm

L’autocorrélation sérielle et/ou l’hétéroscédasticitéI ne modifie les coefficients estimés

I mais la matrice de v-cov des � doit être estimée correctementI plm ne fait pas les tests lui-même

I mais calcule une estimation robuste de cette matriceI qui est ensuite passée au package lmtest pour les tests

vcovHC correspond à l’estimation de White telle qu’on la vue pourpanel

I plusieurs alternatives existent sur le même principeI Elles ont généralement + modernes et mieux adaptées à

certains casI voir help plm, dans la liste descendre à vcovI On va juste regarder le classique vcovHC



Application White

vcovHCvcovHC(x,

I x : objet de class "plm" (résultat d’une estimation EA ouwithin), ou class "pgmm" ou class "pcce"

method = c("arellano", "white1", "white2"),I white1 : hétérocédasticité de tout type, pas d’autocorrélationI white2 : même variance au sein d’un groupe iI arellano : structure générale hétérocédasticité comme white 1

et autocorrélation à l’intérieur d’un groupeI Entre groupes, pas de corrélation

type = c("HC0", "sss", "HC1", "HC2", "HC3", "HC4"),I diverses corrections pour la taille d’échantillon entre autres

cluster = c("group", "time"), ...)I normalement le cluster est sur “group”

I Si on prend “time”, on groupe par t au lieu que par i



Application White

vcovHC estimée

I Dans le cas de la déforestationI On s’attend à Hétéroscédasticité et AutocorrélationI Donc : arellano

I vcovHC.w <- vcovHC(defor.w, method="ar")I et similaire pour ea & fd



Application White

Package lmtest – Zeileis & Hothorn

I Possiblement il faut l’installer & le chargerI lmtest peut exécuter plusieurs tests classiques

I associés aux modèles linéairesI coeftest est le t-stat

I mais aussi z-stat dans les conditions appropriéesI coeftest(x, vcov., ...)

I x est un objet stocké résultat d’une estimationI vcov. est soit une matrice stockée, soit une méthode pour

calculer cette matrice à partir de xI coefci(x, vcov., parm, level ...)

I idem, mais donne l’intervalle de confianceI pour le paramètre dans parm (optionel)I et le niveau de confiance dans level (.95 par défaut)



Application White

Résultats – en reprenant les estimations oneway

EF - Within EF - D1 EA - MCG Pooling Betweencoef. p-val coef. p-val coef. p-val coef. p-val coef. p-val

�0

– -99.5 .14 .03 -1045 .35 .61 1057 .37 .61 6942 .40�

1

DIP 630 2e-05 .09 437 .27 .04 624 2e-05 .09 121 .55 .75 -1290 .41�2DIP2 -31.4 3e-08 .02 -11.5 .43 .025 -31.1 3e-08 .025 -4.96 .55 .70 68.294 .33# obs. 233 defaut White 224 defaut White 233 defaut White 233 defaut White 9 defaut

I Le changement important de significativité en passant à WhiteI de pls ordres de grandeurs sur les p-valeurs

I Faible significativité de D1 due à la perte d’efficience enpassant aux diff. 1º

I Surpenante récupération en passant à White



Application White

Autres tests sur les coefficients

I Test de Wald : comparer des modèles anidésI waldtest du package lmtest

I Tester des restrictions linéairesI linearHypothesis( ) du package car

I Voir plm vignette p 40.



Application White

Note. Décomposition de la varianceI Pour l’estimateur EA, la sortie indique “Effects :

I Idiosyncratic – ✏itI Individual – ↵i ”I Si le modèle est twoway (et le panel balanced), il y a aussi un

terme timeI Cela reflète la variance estimée de l’erreur

I La variance totale s2 d’une série panel xit peut êtredécomposée en

1

NT

NX

i=1

TX

t=1

(xit � x)2 = 1

NT

NX

i=1

TX

t=1

[(xit � xi ) + (xi � x)]2

= 1

NT−N

NX

i=1

TX

t=1

(xit � xi )2 + 1

N�1

NX

i=1

TX

t=1

(xi � x)2

car les produits croisés somment à zéro.



Application White

Décomposition de la variance des résidus

I Variance totale s2 =I s2

w variance within “individual”I [moyenne sur les i des déviations individuelles autour des

moyennes individuelles]I = variance due aux évolutions temporelles individuelles (en

moyenne sur les i)I + s2

b variance between “idiosyncratic”I [déviations des moyennes individuelles autour de la moyenne

générale]I = variance due aux écarts entre individus

I Ici on a que de la variance totale inexpliquéeI 20% est idiosyncratiqueI 80% est due aux différences entre individus

I C’est bien l’intuition des graphiques panel



Inférence robuste : Bootstrap

Sommaire







Rappel : le Bootstrap

I Hyp. Bootstrap :I Si on pouvait ré-échantillonner la pop. dans les mêmes

conditions, on obtiendrait un échantillon semblable à celuiqu’on a déjà

I “Principe de médiocrité”I Pas la même chose que représentativité

I Principe (et 2nde hyp.)I Échantillonner l’échantillon de taille n avec remplacement

I soit n tirages, chaque i a une probabilité 1/n de sortirI S’appelle “Bootstrap par paire” car y et X sont tirésI On obtient un échantillon Bootstrap (de taille n)I Hyp. : semblable à ce qu’on aurait obtenu en

ré-échantillonnant la pop.I Répliquer ce processus B fois

I B pseudo-échantillons différentsI Pour chaque pseudo-échantillon < Yb,Xb >

I un vecteur ✓b




Rappel : le BootstrapI Pour construire un intervale de confiance pour un élément ✓k

de ✓I On a B estimations ✓kb p.e. B = 10 000I Ordonner ces estimations de la plus petite à la plus grandeI Alors l’intervale de confiance à 95% est délimité par

I l’estimation numéro 250, borne inférieureI l’estimation numéro 9750, borne supérieure

Pourquoi est-ce intéressant ?1. Pas d’hypothèse sur la distribution des erreurs

1.1 Mais il ne peut y avoir de corrélation entre observations1.2 Dès lors, en panels, on ré-échantillonne seulement sur i , en

utilisant toutes les T périodes de chaque i sélectionné2. On peut calculer des intervales de confiance

2.1 pour toute fonction des paramètres estimés, y-comprisnon-linéaire

2.2 pour des paramètres estimés de modèles sans propriétésd’échantillons finis connues




Estimateur Bootstrap (Panel-robuste) de la matrice devar-cov ⌃✓MCO

en panel

I Pour chaque pseudo-échantillon BI MCO de yit sur wit

I yit = w0it✓ + uit

I B estimations ✓b, b = 1, ...,BI Estimateur Bootstrap “empirique” de la matrice de var-cov ⌃✓ :

[⌃boot✓

=1

B � 1

BX

b=1

⇣✓b � ¯✓

⌘⇣✓b � ¯✓

⌘0

(15)

où ¯✓ = B�1

Pb ✓b




Estimateur Bootstrap (Panel-robuste) de la matrice devar-cov ⌃✓MCO

en panel

I Bootstrap s’applique à toutes les techniques économétriquesI Peut être lent

I Pour autant que les i soient indépendants :I Consistant quand N ! 1I Asymptotiquement équivalent au “Sandwich” Panel-robuste de

WhiteI Pour autant que les hyp. de chauqe approche soient correctes

I 8 forme d’hétéroscédasticité ou d’autocorrélation (intra-i)I Pas accessible comme White dans R

I Il faut une programmation + lourde



Application Bootstrap

Sommaire










Application : déforestation amazonienne

RappelI Le fichier de données est en ligne sur le site du coursI Données de 1988 à 2015


I Modèle CKE

yit = ↵i + �1

PIBhit + �2

PIBh2

it + �xit + ✏it





Bootstrap

I N’est pas implémenté dans le package plmI Il existe le package boot

I Mais il n’est pas implémenté pour les données de PanelI Rappel : en panel, bootstrap sur les i, pas sur toutes les

donnéesI Actuellement, je ne sais pas faire avec un panel non-cylindré

I Sous-échantillon cylindré :I PIBh manque en 1988 pour Tocantins

I ama3 <- ama2[-which(ama2$Year=="1988"),]I On enlève 1988I 27 observations pour chacun des 9 états

Générer un échantillon bootstrapI myfunc <- function(n,df) {

I #definit function (n et df sont dans l’appel de la fonction +bas)

I # n est ama3$Etat lors de l’appel de myfunc, df est ledataframe, ama3

I unique_Etat <- unique(n)I # Etat unique

I (help : unique renvoie un vecteur ou data frame comme sonarg x mais en enlevant les lignes doublons, dans ce cas définissur Etat

I sample_Etat <- sample(unique_Etat,size=length(unique_Etat), replace=T )

I # choisit sur Etat unique, au hasard avec remplacement, de lataille de "size" (help sample)

I new_df <- do.call(rbind, lapply(sample_Etat, function(x)df[df$Etat==x,] ))

I # va chercher toutes les années de chaque Etat choisialéatoirement et rbind c’est-à-dire empile par ligne

I }




Générer un échantillon bootstrap

I Notes do.call & lapplyI # do.call : construit & exécute une functionI # do.call(what, args, quote = FALSE, envir = parent.frame())I # what : soit une (nouvelle) function soit 1 string avec le nom

de la commande à appelerI # lapply {base} : Apply une Function sur un Vector ; lapply(X,

FUN, ...) renvoie une liste de même longueur que X, chaqueélément duquel est le résultat d’appliquer FUN à l’élémentcorrespondant de X

I # Note : création d’une 2eme function à l’intérieur de lapplyI a <- myfunc(ama3$Etat, ama3)

I # exécute la function, on voit que le résultat a la même tailleque ama3

I c’est un bien un "panel bootstrap" de ama3




Boucle for de 1 à R

I À ce stade, on a donc 1 échantillon bootstrapI On l’utilise pour estimer le panelI On met ca dans une boucle R fois

I R=99I c <- coef(plm(Defor_km2~PIBh2010R+I(PIBh2010R^2),

data=ama3, index = c("Etat","Year"), model = "within"))I # Estimation initiale (peut être part du bootstrap), coef est

un vector




Boucle for de 1 à R

I for(i in 1 :R) {I a <- myfunc(ama3$Etat, ama3)

I # A chaque i on relance le bootstrap & les estimationsI a$E <- rep(1 :9, each = 27)

I On ne peut pas utiliser directement “Etat” dans un call plmcar il y a des doublons par construction

I c <-cbind(c,coef(plm(Defor_km2~PIBh2010R+I(PIBh2010R^2),data=a, index = c("E","Year"), model = "within")))

I # crée une matrice avec tous les 1º coefs sur la 1º ligne, tousles 2º sur la seconde et ainsi de suite pour l’ensemble des coefdu modele (ici 2)

I }




Sortir les résultats

I colMeans(t(c))I # moyenne sur chaque coef

I sqrt(apply(t(c), MARGIN = 2, var))I # écarts-types par coefI apply : appliquer la fonction “var” sur la matrice t(c) par

colonne (MARGIN=2)I apply(t(c), MARGIN = 2, quantile, probs=c(.025, .975))

I # 95% CI over coef valueI Conclusion

I le bootstrap ne conclut pas à autant de significativité que laprocédure robuste White (option )




Résultats – à partir des estimations oneway, R =999

EF - Within EF - D1 EA - MCG Poolingcoef. IC 95% coef. IC 95% coef. IC 95% coef. IC 95%

�0,.025 – – – -99.5 -222 -189 -1045 -4733 -5128 1057 -4544 -3052

�0,.975

-17 -10 5009 3039 12164 5166�

1,.025

DIP 630 -404 -103 437 -194 16 624 -450 -106 121 -1516 -616�

1,.975

DIP 1260 1364 1006 858 1217 1353 1233 858�2,.025DIP2

-31.4 -53 -58 -11.5 -24 -21 -31.1 -49 -57 -4.96 -59 -31�2,.975DIP2 12 -5 7 -1 14 -5 49 21

# obs. 233 boot White 224 boot White 233 boot White 233 boot White

Décimales arrondies ; les résultats varient un peu d’un bootstrap à un autre ;EA : un message d’erreur dans au moins une itération




En résumé

I Dans la plupart des cas, les estimateurs Panel sont inefficientsI On ne tache pas de récupérer l’efficienceI Mais seulement d’estimer au mieux var

⇣�⌘

I 2 techniquesI White

I \var

⇣�⌘

= sandwichI Bootstrap

I \var

⇣�⌘

= variance sur pseudo-échantillons



Sommaire






Autres tests




Éléments du choix hors tests

Sommaire










CausalitéI Le modèle EF peut établir la causalité avec moins d’hyp.

que pourI des données de coupe transversaleI le MRL ou les EA

I Dans quelques cas, la causalité est claire, donc EA estapproprié

I p.e. dans une expérience contrôlée, la causalité est claire, ils’agit plus de mesurer sa force

I des rendements de culture causés par 6= quantités d’engrais,en labo

I dans ce cas, le traitement xit est alloué aléatoirement, doncnon-corrélé à ↵i

I Parfois, on ne veut mesurer que la corrélation, pas la“causation”

I p.e. pour de la prédictionI EA est alors suffisant




Causalité

I Les économistes sont inhabituelsI ils préfèrent une approche EF car ils veulent mesurer la

causalitéI avec des données observationnelles

I plutôt qu’expérimentalesI Dans ce cas, utiliser EA ou MCO n’aboutit qu’à une corrélation

spurieuse souvent due à une hétérogénéité inobservéeI “facteurs confondants” : variables non-incluses corrélées avec

régresseursI EF élimine l’hétérogénéité inobservée

I due aux variables inobservées qui sont invariantes dans letemps

I L’effet causal de x sur y est mesuré par la corrélation entre deschangements individuels dans y et dans x




Échantillon

I Souvent en économie, l’échantillon porte surI des agents complexes : personnes ou paysI des phénomènes expliqués complexes

I travail (chômage, salaire, participation....)I revenu, croissance, vote, espérance de vie...

I En conséquenceI il est difficle d’argumenter qu’il ne manque pas une

caractérisqueI histoire, géographie, droit... pour les paysI psychologie, culture... pour les personnes

I Donc, EF par défautI EA doit être justifié




Faiblesse des EF en pratiqueI L’estimation des coef. des régresseurs invariants dans le

temps n’est pas possible avec EFI Les coef. des régresseurs peu variables dans le temps sera

impréciseI sb (variation entre unités) forte par rapport à sW (variation

dans le temps)I La prédiction de la moyenne conditionnelle n’est pas

consistanteI car les effets individuels ↵i ne sont pas estimés de façon

consistanteI Seuls les changements de cette moyenne conditionnelle, causés

par des changement de régresseurs variants dans le temps,peuvent être prédits

I EF fait moins d’hyp que EA sur l’hétérogénéité inobservéeI mais il faut que celle-ci soit invariante au temps

I ↵i , pas ↵it



Test de Hausman

Sommaire









Test de Hausman

Rappel : le test de Hausman

I PrincipeI Soit 2 estimateurs ✓ et ✓

I dans le même modèle yit = w0it✓ + uit

I S’ils sont tous 2 consistantsI alors leur différence

⇣✓ � ✓

⌘ne devrait pas être

statistiquement 6= 0, asymptotiquement

I On teste H0

: plim⇣✓ � ✓

⌘= 0 , Ha : plim

⇣✓ � ✓

⌘6= 0

I Sous H0, la différence entre ces 2 estimateurs converge à unenormale d’espérance zéro

IpN⇣✓ � ✓

⌘! N [0,VH ]

I VH est la matrice de var-cov de la distribution limite



Test de Hausman

Rappel : le test de Hausman

I Statistique du test de Hausman

H =⇣✓ � ✓

⌘0 ⇣1

N VH

⌘�1

⇣✓ � ✓

⌘

I PrincipeI H est une valeur normalisée du carré de la différence

⇣✓ � ✓

⌘

I Donc, des valeurs élevées de H amènent à rejeter l’hyp. nulleI On peut montrer que H asymptotiquement �2 (q) sous H0

I donc rejeter H0

au niveau ↵ si H > �2

↵ (q)I avec q le nombre d’éléments de ✓I et donc : un des 2 estimateurs ✓, ✓ au moins est inconsistant

I Difficulté pratique : trouver un estimateur VH de VHI On va voir comment on fait en panel



Test de Hausman

Test de Hausman sur la présence d’effets fixes en donnéesde panel

I Si les effets individuels ↵i sont fixesI L’estimateur within �W est consistantI L’estimateur EA �EA est inconsistant

I Avec � le vecteur des coefficients des régresseurs variant dansle temps

I puique seuls ces coefficients sont estimables avec WithinI Tandis que si les effets sont aléatoires

I Les 2 sont consistantsI H

0

: pas de différence systématique entre les 2 estimations

I Si H0 vraie : on préfère EA car plus efficientI en principe, pas si clair si les erreurs sont I(1)

I Hausman fonctionne sur toutes paires d’estimateurs avec despropriétés semblables

I p.e. D1 vs. MCO



Test de Hausman

Test de Hausman sur la présence d’effets fixes en donnéesde panel

I Si le test amène à rejeter l’égalité des 2 vecteurs �W et �EAI On infère que puisque �W est consistant,

I si �EA est différent, il doit être inconsistantI Et donc que les effets individuels ↵i sont corrélés avec les

régresseurs xitI Remarque : On peut encore éviter d’utiliser un estimateur EF

I Si les régresseurs sont corrélés aux ↵i à cause de variablesomises

I il peut être possible de rajouter des régresseursI Il peut être possible d’utiliser un estimateur EA avec variables

instrumentales (Ch. 2)

I À présent on regarde la mat. de var-cov de⇣�EA � �W

⌘

I pour calculer la stat de Hausman en panelI 2 cas



Test de Hausman

Calcul du test de Hausman quand �EA EST pleinementefficient

I Si le modèle vrai est EA avec Equicorrélation, doncI ↵i iid

⇥0,�2

↵

⇤non-corrélé aux régresseurs

I l’erreur "it iid⇥0,�2

"

⇤

I Alors �EA pleinement efficient,I la stat de Hausman se simplifie

H =⇣�EA � �W

⌘0

\Vh�W

i� \

Vh�EA

i��1 ⇣bEA−bW

⌘

I Avec � le vecteur des coefficients des régresseurs variant dansle temps comme d’habitude

I Cette stat de test est asymptotiquement �2 (dim [�]) sous H0I Très facile à calculer

I puisque les matrices\

Vh�W

i,

\Vh�EA

isont fournies lors de

l’estimation



Test de Hausman

Calcul du test de Hausman quand �EA N’EST PASpleinement efficient

I La forme simplifiée de la stat de Hausman n’est pas valable si↵i ou "it ne sont pas iid

I p.e. lorsqu’il y a hétéroscédasticitéI Car dans ce cas l’estimateur EA �EA n’est pas pleinement

efficient sous H0

I L’expression\

VhbW

i� \VhbEA

idans la formule de H doit être

remplacée par

I\

VhbEA � bW

iqui est + générale

I Estimation de la matrice de var-cov de⇣�EA � �W

⌘

I Ceci N’EST PAS implémenté dans plmI Mais peut être estimé de façon consistante par bootstrap sur

i (pas t)



Test de Hausman

Calcul du test de Hausman quand �EA N’EST PASpleinement efficient

I Une version panel-robuste de la stat de Hausman est

HRobuste =⇣bEA−bW

⌘�

\

Vboot

hbEA � bW

i�−1 ⇣bEA−bW

⌘

I avec\

Vboot

hbEA � bW

i= 1

B�1

BX

b=1

⇣�b � ¯�

⌘⇣�b � ¯�

⌘0

I b est la beme de B replications bootstrap et � = bEA � bWI Cette stat de test peut

I être appliquée à des sous-vecteurs de �I utiliser d’autres estimateurs tels que �MCO à la place de �EA et

�D1 à la place de �W



Test de Hausman

Application du test de Hausman

Rappel. Déforestation amazonienneI Le fichier de données est en ligne sur le site du coursI Données de 1988 à 2015


I Modèle CKE

yit = ↵i + �1

PIBhit + �2

PIBh2

it + �xit + ✏it




Test de Hausman

Illustration du calcul habituel du test de Hausman dans R

I ama3$PIBSQR <- PIBh2010R^2I Pourquoi ? Comme ca, PIBh^2 est dans ama3

I phtest(defor.w3, defor.re3)I p-valeur légèrement inf. à 5% : on R H0 (within=re)

I Mais pas solidementI phtest(modèle 1, modèle 2)I La version de base, qui utilise la vcov par défaut de chaque

modèleI Donc, certainement fausse si on R H0 car alors re ne peut pas

être efficient



Test de Hausman

Illustration du calcul habituel du test de Hausman dans R

I plm fournit une version basée sur une méthode plus modernede calculer H

I form <- Defor_km2~PIBh2010R+PIBSQRI phtest(form, data=ama3)

I exactement le même que la version de baseI phtest(form, data=ama3, method = "aux")

I method = "aux" est la méthode + moderneI p-val passe à presque 19%

I phtest(form, data = ama3, method = "aux", vcov = vcovHC)

I idem que la précédente, mais matrice de vcov des coef estrobuste

I on tombe a p-val 8%



Test de Hausman

Hausman par bootstrapI Pour autant que je comprenne

I La version précédente ne résoud toujours pas le problème quela diff. des matrices vcov n’est pas la matrice vcov du vec. desdiff.

I On applique le bootstrap qu’on a développé précédemmentI On stocke les résutlats des 1000 estimations within dans cw

I 1000 estimations re dans creI cre2 <- cre[2 :3,] pour enlever l’intercept

I Calcul de la stat de HausmanI Hdiff <- cw-cre2I betadiff <- coef(defor.w)-(coef(defor.re)[2 :3])I H <- crossprod(betadiff,solve(var(t(Hdiff))))%*%betadiff

I Sous H0, est une chisq(q)I pchisq(H,df=2, lower.tail = F)

I ' 0 : prob qu’une chi2 > H (si lower.tail = TRUE, prob que<)



Test de Hausman

Hausman : Conclusion

I On rejette facilement re avec un test inadéquat,I mais avec bootstrap

I la vcov de la diff de coefficients est (bien) plus grandeI et donc on ne rejette plus du tout

I Ça fait sensI la différence des �1 est de l’ordre de 6.6

I alors que les �1

sont 100 fois + grandsI la différence des �2 est de l’ordre de -0.34

I idem les �2

sont 100 fois + grandsI Comme les estimations sont peu significatives, il serait

étonnant de conclure à une différence significative


Autres tests

Sommaire






Autres tests



Autres tests

Test de “poolability”

I Est-ce que les i de l’échantillon ont des coefficients égaux ? –sauf intercepts

I Peut-on dire que les pentes des différents i sont toutes lesmêmes ?

I On estime d’abord un modèle dit à coefficients variables pvcmI Version “within” : un modèle est estimé (par MC) par iI Version “random” : est le modèle de Swamy

I Essentiellement une moyenne des estimations withinprécédentes

I pondérées par une fonction de leurs variances


Autres tests

pooltest

I permet de tester si les résultats pvcm sont significativementdifférents des résultats plm

I 1º argument est un objet plmI 2º argument est un objet pvcm avec model=withinI Si le 1º argument est un model pooling

I Le test s’applique à tous les coefficients y-compris lesintercepts,

I Si c’est un modèle within, il ne s’applique qu’aux pentes,différents intercepts sont assumés

I est essentiellement un test zI On rejette fortement l’égalité des coefficients

I Pourquoi ? diapo suivante

pooltest : pourquoi des coef. différents ?I Voir les graphiques ggplot par Etat

I Déforestation en fonction du temps et du PIBhI Alors que la décroissance est observée partout, le PIBh évolue

différemment dans 3 étatsI Mato Grosso, Rondônia, Amazonas

I Acre, Amapá, Tocantins, Roraima, Pará ont une évolution bienplus limitée du revenu

I la baisse de déforestation observée y est peut-être due à autrechose qu’un CKE

I Maranhão est le plus pauvreI Par contre, voir le scatterplot, la déforestation est

principalement le fait de 3 états :I Mato Grosso, Rondônia, Pará. Ceci explique l’effet CKE au

globalI Mais, il semble qu’il y ait autre chose en jeuI On peut aussi se demander si le revenu par état est pertinent

dans une fédération sans frontière interneI C’est le revenu national (“fédéral”) qui importe en terme

d’opportunité


Autres tests

Tests d’effets individuels et temporelsI Est-ce que ↵i = ↵ 8i ?

I Le pooling est-il supérieur aux effets alétoires / fixes ?I Si ↵i = ↵ 8i , alors on préfère MCO aux estimateurs panel pour

l’efficienceI plmtest est un test des multiplicateurs de Lagrange

I À partir d’un objet plm poolingI N’utilise que les résidus du modèle poolingI Modèle qui est donc inconsistent si le bon modèle est within

I 4 variantes, arg typeI bp : Breusch and Pagan (1980), traditionnelI honda : Honda (1985), le défautI kw : King and Wu (1997)I ghm : Gourieroux, Holly, and Monfort (1982)

I Prend l’argument effectI "individual" (défaut), "time" ou les deux ("twoways")

I pFtest compare le modèle pooling et le withinI pour tester si ↵i = ↵ 8i .


Autres tests

Tests d’autocorrélation

I Plusieurs tests d’autocorrélation (corrélation sérielle) sontimplémentés dans plm

I Voir la vignetteI Les tests de racines unitaires sont importants

I Mais nous embarqueraient dans des développementsthéoriques trop importants

I On ne les verra pas dans ce cadre-ciI Car on s’appuie essentiellement sur une inférence robuste

I Mais deux tests ont un impact pratique importantI Choisir entre D1 et EFI Corrélation entre i

D1 vs. EFI D1 et EF sont consistants dans les 3 modèles panel

yit = ↵i + x0it� + ✏it

I Sauf si corrélation entre ✏it et un régresseurI Mais toutes les transfo yit = w

0

it✓ + uit sauf pooling (identité)créent de la corrélation sérielle

I Si T = 2, D1 et EF identiquesI Si le terme idiosyncratique ✏it n’a pas de corrélation sérielle

I alors l’erreur du modèle D1 uit = ✏it � ✏i,t�1 a une corrélationsérielle de –0.5

I cor (uit , ui,t�1

) = cor ((✏it � ✏i,t�1

) , (✏i,t�1

� ✏i,t�2

)) = �0.5I puisque les ↵i sont éliminés

I Dans ce cas, EF est plus efficient que D1I car EF n’élimine pas de données

I Si l’erreur du modèle D1 uit = ✏it � ✏i ,t�1

a une corrélationsérielle nulle

I Alors ✏it = ✏i,t�1 + uit est une marche aléatoire par définitionI Un processus AR(1) avec corrélation parfaite

I Dans ce cas, D1 est plus efficient que EFI car la transformation D1 ramène la série à un ordre 0


Autres tests

D1 vs. EF : commande pwfdtestI Appliquer sur un objet “fd”

I Résultat d’une estimation D1I Teste par défaut si les résidus D1 (h0=“fd”) n’ont pas de

corrélation sérielleI Si on ne rejette pas, D1 est recommandé

I L’option h0= “fe” teste pour la corrélation sérielle dans lesrésidus non transformés

I Si on ne rejette pas, EF est recommandéI Si on rejette les deux, l’estimateur choisi aura de la corrélation

sérielleI Conclusion pour la déforestation

I Indication de corrélation sérielle dans les ✏itI mais pas dans les résidus D1I Donc D1 recommandé


Autres tests

Tests de dépendance entre coupes transversalesI Abrégée en XSD pour “cross-sectional dependence”I Peut arriver

I Si les i répondent à des chocs communsI S’il y a des phénomènes de diffusion spatiale

I Les i sont alors reliés en fonction de la distance qui lesséparent

I S’il y a XSDI Aucun des estimateurs présentés n’est efficientI Au pire, si XSD est due à un régresseur manquant, les

estimateurs sont inconsistantsI Actuellement, plm ne comprend que des tests de spécification

I Détecter une corrélation résiduelle entre iI La seule solution est de trouver le(s) régresseur(s)

manquant(s)I Pour l’inférence comme pour la consistance


Autres tests

Commande pcdtestI Essentiellement, on regarde les corrélations résiduelles entre

chaque paire de iI Les résidus sont par défaut calculés sur des régressions sur

chaque iI Mais si la série est trop courte, le test utilise les résidus within

I Il faut que cette régression soit consistante pour que le test aitdu sens

I La version Breusch-Pagan test= “lm” s’applique à des panelslongs

I T ! 1 et n fixeI la version test= “pclm” est semblable, avec une correction

I La version Pesaran test= “cd” s’applique à toutes taillesd’échantillon suffisamment grand

I Mais est peu puissante lorsque la corrélation est due à deschocs qui ont un effet négatif sur certains i et positif surd’autres

I Est le défautI Il est possible de fournir une matrice de proximité au test


Autres tests

Protocole pratique1. Estimateurs pour EF

1.1 Within1.2 Différences premières

I S’il y a des différences notables entre ces deux estimateurs, ily a probablement des racines unitaires

I Section sur dynamique, différences premières est plusprobablement correct

2. Estimateur EAI HausmanI En principe, ça s’arrête là et on interprêteI En économie, si on préfère un modèle sans EF, il faut le

justifier en passant un test de Hausman3. (optionel) Estimateurs pour MRL

I Si Hausman & la théorie rejette EFI Si on a de bonnes raisons de soupçonner qu’il pourrait ne pas

y avoir d’EAI Alors, test d’effets individuels / poolability


Autres tests

Protocole pratique

I Souvent les étudiants procède à partir du plus simple :1. Estimer MCO2. Estimer EA3. Tester (effets individuels ou autre) EA contre MCO4. Si ¬R EA, alors estimer EF5. Test de Hausman EF contre EA

I Problème avec cette approcheI Si le modèle correct est EF, alors les estimateurs MCO et EA

sont inconsistantsI Les tests à l’étape 3 ne peuvent être utilisés



Sommaire






Autres tests




Attrition

I Panel cylindré (balanced)I Les données existent pour chaque i chaque t

I Lorsque les données de certains i n’existent pas pour certains tI On dit qu’il y a attrition

I p.e. avec des individus qui abandonnent le panelI Généralement définitivement

I Le panel est alors non-cylindréI

(unbalanced)

I ou incomplet

I Panel rotatifI un sous-échantillon d’individus est remplacé chaque année



Consistance

I yit = ↵i + x0it� + ✏it

I Soit dit = 1 si i observé au temps t, = 0 sinonI alors T devient Ti

I Within est consistant si l’hyp d’exogénéité forte devient

E [✏it |↵i , xi1, . . . , xiTi , di1, . . . , diTi ] = 0

I C’est-à-dire : présence ou absence (dit) dans l’échantillon nepeut être corrélée aux erreurs ✏it



Consistance

I Lorsque ça n’est pas le cas, on aI un exemple classique de sélection de l’échantillon

I Les estimateurs vus sont généralement inconsistantsI On parle de biais d’attrition

I Des caractéristiques inobservées gouvernent l’attritionI p.e. dans une enquête sur le salaire, il est plus probable que les

personnes à bas salaires quittent l’échantillonI Dans des applications macro, les pays les plus pauvres ne

disposent pas d’un système stat et auront plus de donnésmanquantes

I EA est consistant si de plusI l’effet individuel ↵i est indépendant des régresseurs xit



Cylindrage (Balancing)

I Opération consistant à convertir un panel non-cylindré encylindré

I En excluant de l’échantillon tous les individus dont les donnéesne sont pas disponibles tous les ans

I Ou en rejetant les années pour lesquelles tous les individus nesont pas observés

I En général, cela réduit beaucoup l’efficienceI D’un autre côté, dans la pratique,

I Il arrive que seules certaines variables ne sont pas observéestous les ans

I p.e. les questions sur le revenuI Plutôt que de cylindrer le panel à cause de ça, des méthodes

d’imputation de données sont souvent préférablesI Package mice (on verra en M2 CEE)



Conclusions

I Un panel permet deI traiter l’hétérogénéité inobservée constante dans le temps

I et donc établir la causation plus facilementI Il existe plusieurs modèles linéaires non-dynamiques en panel

I selon les hyp. sur les ↵iI Et plusieurs estimateurs

I Tous basés sur MCI On souligne EF, EA et D1



ConclusionsI Hétéroscédasticité & autocorrélation sont normalement

présentes ensembleI Souvent on ne va pas traiterI Mais utiliser une version robuste du calcul des et

I White ou bootstrapI Les estimateurs EF et D1 sont toujours consistants dans ce

contexteI Mais ne peuvent prédire ou estimer les coef. des régresseurs

constants dans le tempsI Ce que peut EA

I qui de + est + efficientI Mais repose sur une absence de corrélation en ↵i et xi

I Le choix entre EF et EA peut être justifié par un test deHausman

I Dont le calcul a fréquemment recours à bootstrap



Annexe 1. Sur la consistance de MCO dans les modèles àdonnées de Panel



Compacter la notation

I Empiler les observations sur le temps pour un i donné :I ~yi = ~W

0

i ✓ +~ui oùI ~yi : T ⇥ 1

I pour le modèle en diff. 1ères, (T � 1)⇥ 1

I ~Wi : T ⇥ q

I Estimateur MCO ✓MCO =

"NX

i=1

~W0i~Wi

#�1 X

i

~W0i~yi



Consistance de MCO dans un modèle ~I Si le modèle est correctement spécifié :

✓MCO = ✓ +

"NX

i=1

~W0i~Wi

#�1 X

i

~W0i~ui

I Comme l’indépendance entre i n’est pas remise en cause,I la condition essentielle pour la consistance de MCO est

Eh~W

0

i~ui

i= 0

I c’est-à-dire pas de corrélation des erreurs avec les régresseurs“à l’intérieur (within)” de chanque individu

I Eh~W0

i~ui

i= 0 est + forte que is E [uit |wit ] = 0 (exogénéité

contemporaine)I parce que la transformation ~ implique plus d’une période p.e.

wit = xit−xiI Exogénéité forte (4) E [uit |wi1, ..., wiT ] = 0 est suffisanteI Ch. 2 : hyp. + faibles – donc matrice de var-cov + compliquée



Annex 2. Abréviations courantesI D1 estimateur différences premièresI ddl degré de liberté (dof)I dich. DichotomiqueI v.a. Variable aléatoire (random variable)I EF Effets fixes (fixed effects)I EA Effets aléatoire (random effects)I ES état stationnaireI et Écart-type (se standard errors)I iid Indépendamment et identiquement distribuéI MC Moindres carrés

I MCO Moindres Carrés OrdinairesI MCG Moindres Carrés Généralisés

I MRL Modèle de Régression LinéaireI p.e. par exemple

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