Économétrie II - UDLrisques-environnement.universite-lyon.fr/IMG/pdf/ectx_ii...Économétrie II Ch. 5. 9i :E (eixi)6= 0 : Endogénéité Source 1. Hétérogénéité inobservée

Économétrie II

Économétrie IIL3 Économétrie – L3 MASS

Ch. 5. 9 i : E (eixi ) 6= 0 : Endogénéité

Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2

Année 2015-2016

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Ch. 5. 9 i : E (ei xi ) 6= 0 : Endogénéité

Rappel

1. E (ei ) = 0 8i : Espérance nulle2. X var (ei ) = s

2 8i : Homoscédasticité3. X cov (et ,es) = 0 8t 6= s : Pas d’autocorrélation4. E (eixi ) = 0 8i : Exogénéité5. X La matrice X est de plein rang : Pas de multicolinéarité6. Le modèle est correctement spécifié7. La variable dépendante Y est continue

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Table des matières

Ch. 5. 9 i : E (eixi ) 6= 0 : EndogénéitéDéfinition & conséquencesSource 1. Hétérogénéité inobservéeSource 2. Erreurs de mesureSource 3. SimultanéitéEstimation en présence d’endogénéitéDoubles moindres carrés MC2E (2SLS)TestsSource 4. ÉchantillonnageSource 5. Autocorrélation en séries temporelles

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Définition & conséquences

Table des matières


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Définition

I Exogénéité :I Coupe transv. E (eiXi ) = 0

I Pas de corrélation entre l’erreur et chaque régresseur pour unmême i

I On écrit aussi E (ei |Xi ) = 0 : espérance conditionnelle nulle

I Série temp : E (etxt) = 0 8t 8x pas de corrélationcontemporaine

I Lorsque E (et |xs) = 0s = 1, . . . ,T , x est strictement exogène

I Rupture de cette hypothèse = endogénéitéI Interprétation : Un choc aléatoire e induit un choc sur Y et sur X

pour un même i

I Donc difficile de séparer les effets “confondants”

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Conséquence : Inconsistance de l’estimateur MCOI Corrélation positive : à des valeurs élevées (basses) de e

correspondent des valeurs élevées (basses) de XI

e grand : Y > Xb et e petit : Y < Xb

I Donc : droite estimée par MCO pente plus forte que la réalité

I Monte Carlo : fichier tableur en ligne Endogeneite.ods

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Pourquoi l’endogénéité est-elle un problème ?

I Ne vaut-il pas mieux prédire Y le mieux possible ?I Trois cas

I Prédiction : on veut prédire Y conditionnellement à X

I Si on connait X “e inclus”, x (e), ce qui n’est pas évident,I Dans ce cas, l’effet de l’erreur sur X est inclus, donc prédiction

MCO Y correcte

I Contrôle : on choisit X , quel sera Y ? [p.e. effet d’une politique]I Si on choisit X , l’erreur n’y est pas, donc prédiction MCO

incorrecte

I Si l’on souhaite comprendre la relation entre Y et X il faut traiterl’endogénéité

I Dans les 2 derniers cas : ce n’est pas une bonne idée “d’ajusterune droite au mieux” dans le nuage de points

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5 sources de l’endogénéité

1. Hétérogénéité inobservée2. Erreur de mesure3. Simultanéité4. Échantillonnage endogène5. Autocorrélation en séries temporelles

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Source 1. Hétérogénéité inobservée

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2 cas d’hétérogénéité inobservée

I Variable omiseI Coefficients aléatoires

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Variable omise

I Le modèle correctement spécifié est Y = b0+b1x1+b2x2+ e

I Mais le modèle estimé est Y = b0+b1x1+n

I L’effet du régresseur manquant se retrouve dans l’erreur dumodèle estimée : n = b2x2+ e

I = hétérogénéité inoberservée : Des facteurs inobservés affectent àla fois la variable expliquée et un régresseur

I Si le régresseur manquant est corrélé à un régresseur présentI Alors le terme d’erreur du modèle estimé est corrélé avec au

moins un régresseur présentI De plus vraisemblablement :

I Hétéroscédasticité si var (x2t) 6= var (x2s) ,t 6= s

I Autocorrélation si corr (x2t ,x2s) 6= 0,t 6= s

IE (n) 6= 0 l’intercept du modèle est biaisé

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Que faire en cas de variable omise ?

1. Ignorer le problème : inconsistance des estimateurs2. Essayer de trouver un proxy acceptable pour la variable

inobservéeI Proxy = mesure approximative de la variable inoberservée

(ci-dessous)

3. Si données de panel et si la variable inobservée ne change pasdans le temps (mais seulement entre les agents)

I Modèle “à effets fixes” (programme de M2)

4. Laisser la variable inobservée dans le terme d’erreur mais utiliserun estimateur qui reconnait sa présence

I Estimateur Variable Instrumentale ci-dessous

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Proxy

I Variable inobservée : on sait que le modèle devrait inclure unrégresseur, mais on n’a pas de donnée

I Modèle Y = b0+b1x1+b2x2+ e

I x2 pas observée

I Proxy z pour x2 :I z observée mais pas explicative dans le modèleI z corrélée à x2 : x2 = d0+d1z+µ

I On ne peut tester cette corrélation puisque x2 pas observée

I P.e. (salaire) éducation x2 et nombre d’années d’étude z

I La proxy n’est pas une erreur de mesureI Ni un instrument (plus loin)

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Utilisation d’une proxy

I La variable proxy est substituée à la variable inobservée dansY = b0+b1x1+b2x2+ e

I On peut estimer Y = p0+p1x1+p2z+x

I Que dit ce modèle sur le précédent ?

Y = b0+b1x1+b2 (d0+d1z+µ)+ e

= b0+b2d0+b1x1+b2d1z+b2µ + e

= p0 +p1x1+p2z +x

I Donc si µ n’est pas corrélé avec x1, estimerY = p0+p1x1+p2z+x par MCO

I Sans bias et consistant pour b1 = p1I Les autres coef. p0 et p2 n’ont pas d’interprétation directe

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Coefficients aléatoires

I Autre forme d’hétérogénéité inobservéeI Modèle vrai Yi = b0+x1ix1i +hi avec x1i aléatoire t.q.

Ix1i = g1+µ1i

Ig1 pas aléatoire (pourrait dépendre de régresseurs)

Iµ1i est un bruit blanc

I P.e. rendement éducation

I On estime Yi = b0+b1x1i + ei doncI

ei = µ1ix1i +hiI

b1 = g1

I SolutionI Variable instrumentale (ci-dessous)I Modélisation explicite par Maximum de Vraisemblance (on ne

voit pas)

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Source 2. Erreurs de mesure

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Source 2. Erreurs de mesure

Définition & traitementI Modèle y = b0+b1x

⇤1 + e

I On n’observe pas x⇤1 mais bien x1 = x⇤1 +n

In est une erreur de mesure

I “Classical Error-in-Variables” (CEV)

I Équation estimée : avec x1I y = b0+b1 (x⇤1 +n)+(e �b1n) = b0+b1x1+µ

I Donc, cov (x1,µ) = cov (x⇤1 +n ,e �b1n) =�b1s

2n

6= 0I Pour autant que erreur de mesure n pas corrélée avec x

⇤1

I Les erreurs de mesure sont la normeI Endogénéité pas toujours préoccupante

I Solution : variable instrumentale ci-dessousI Une erreur de mesure sur y accroît la variance des erreurs

I mais ne cause pas d’endogénéité

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Source 3. Simultanéité

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Définition & exemples

I 2 variables sont causales l’une de l’autreI y = b0+b1x+ e (x cause y ) et x = g0+ g1y +µ (y cause x)

I Donc : x (y) mais y (e) donc x (e)

I d’où corrélation entre x et l’erreur dans y = b0+b1x+ e

I ExemplesI Publicité et vente :

I La publicité accroît/soutient les ventesI Le budget publicité est calculé en proportion aux ventes

I Fonction de coût C (Q,W )

IQ = production, W vecteur des prix d’intrants

I Lemme de Sheppard ∂C/∂W = d (Q,W ) : demande d’intrantsest fonction de la production mais production est fonction desintrants utilisés

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Exemple de simultanéité : modèle keynésien

I Deux équations : forme structurelle = forme économiqueI Consommation Ct = b0+b1Yt + et avec Y le PIBI Identité comptable Yt = Ct + It avec I l’investissement, ici

exogèneI Économie fermée sans état

I La consommation et le revenu sont donc déterminéssimultanément

I C et Y sont deux endogènes

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Forme réduite

I Forme réduite = toutes les endogènes à gauche

I Ct =1

1�b1[b0+b1It + et ] = d0+d1It +µt

I Yt =1

1�b1[b0+ It + et ] = g0+ g1It +nt

I Clairement, Y est corrélé à e

I DONC : Endogénéité dans le modèle structurel en estimantl’équation de consommation, même seule

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Moindres Carrés Indirects

I MCO toujours consistant pour forme réduiteI Identification : coef. forme structurelle peuvent-ils être

récupérés de la forme réduite ?I Ici, en estimant chaque équation de la FR : d0, d1, g0, g1

I On calcule les coef. structurels par b1 =d1

1+d1ect

I Si une seule manière de récupérer tous les coef. structurels :système exactement identifié

I Moindres Carrés Indirects MCI = appliquer MCO à la formeréduite & résoudre pour obtenir les coef. structurels

I Si certains coef. ne peuvent être ainsi retrouvés : sous-identifiéI Si certains coef. retrouvés de plus d’une manière : sur-identifié

I “Bonne” manière ? Variable Instrumentale

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Estimation en présence d’endogénéité

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Méthode des Moments MM

I Interprétation d’inversion de MCO dite “méthode des moments”I Soit A un estimateur de b dans Y = Xb + e

I alors on peut écrire Y �XA= e

I Hypothèse exogénéité E (X e) = 0I Stratégie “méthode des moments”

I Cette condition sur les moments de la population est imposéeaux moments de l’échantillon

I C’est-à-dire on veut A tel que X0e = 0

I Donc : X 0(Y �XA) = 0 : ce sont les CPO de moindres carrés

I Donc :A= (X0X )�1X

0Y = b

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Variables instrumentales

I Hypothèse exogénéité E (X e) = 0 ne tient plusI Supposons qu’on puisse trouver un ensemble de variables Z ou

“instruments” telles queI Z et X soient de mêmes dimensionsI E (e|Z ) = 0I Corr (Z ,X ) soit élevée

I Donc Z permet d’inverser la relation Y = Xb + e

I Via Z0Y = Z

0XA+Z

0e , on a (Z 0X )�1Z

0Y = A+(Z 0X )�1Z

0e

I Si on a PlimZ0e = 0 (à la limite Z et e ne sont pas corrélés)

I Alors : Estimateur Méthodes des Moments :I

A t.q. Z0(Y �XA) = 0

IA= (Z 0

X )�1Z

0Y = bVI

I ⌘ Estimateur Variables Instrumentales VI

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Propriétés de bVI

I Il s’agit d’un estimateur alternatif à MCOI En général biaiséI Consistant (si les instruments sont valides, voir ci-dessous)

I On peut démontrer que ⌃bVI

= s

2e

⇣Z

0X⌘�1⇣

Z0Z⌘⇣

Z0X⌘�1

I Cette variance est d’autant plus faible que la corrélation entre Zet X est forte

I À la limite si Z et X non-corrélés, alors Z 0X ! 0 et ⌃

bVI! •

I MCO peut être vu comme VI avec Z = X

I Corr (Z ,X ) = 1I Donc : si pas endogénéité, MCO plus efficient que VI

I 6= remplacer X par Z dans Y = Xb + e [cfr. proxy]I Si on le faisait, le modèle serait Y = Zg +µ

I Et l’estimateur MCO serait gMCO =⇣Z

0Z⌘�1

Z0Y

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Exemple : Equation de salaireI Eq mincérienne de salaire

I lnw = b0+b1educ+b2exper +b3exper2+ e

I w salaire ; educ nbr années études ; exper nbr années expérience

I Capacités Intellectuelles Intrinsèques (CII) de l’individuI Inobservées / inobservablesI Corrélées � avec niveau d’éducation : educ = a0+a1CII +n

I Corrélées � avec niveau de salaire : ln(w) = d0+d1CII +µ

I Rendement de l’éducation estimé par eq mincérienneI Sur- ou sous-estimé ?

I Données card.gdt de WooldridgeI Définir lnwage, exper2 puis GMM 1 étapeI Instrument possible : proximité à un “college4”I On en verra d’autres plus loin

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Instruments & Tests

I La difficulté fondamentale est de trouver des instrumentsI On verra quelques casI En séries temporelles & panels : valeurs passées (retards)I En systèmes d’équations : régresseurs dans d’autres équations

I Avec VI, il faut exactement un instrument par variable de X(identification exacte)

I Les variables non-endogènes sont leurs propres instrumentsI Plus d’un instrument pour une variable =) il faut généraliser la

méthode

I Les tests d’inférence n’ont plus de valeur qu’asymptotiquementI Le bootstrap reste valideI Le R2 n’a plus de sens

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Validité des instrumentsI Difficile de tester l’exogénéité des instruments cov (Z ,e) = 0

I Test OverId + loinI Si Z n’est pas exogène, VI sera inconsistant (par construction)I ) VI ne s’applique pas en cas d’échantillonnage endogène

I On peut mesurer la corrélation entre Z et XI Soit Y = b0+b1x+ e

I x est endogène, on a un instrument z

I Si cov (z ,e) 6= 0 on peut montrer que Plim b1VI = b1+cov (z ,e)

cov (z ,x)

I Donc que si cov (z ,e) 6= 0 alors bVI est inconsistant

I De plus Plim b1VI = b1+s

e

corr (z ,e)

sxcorr (z ,x)

I Donc, si corr (z ,e) 6= 0 même faible, alors si corr (z ,x) est faible(mauvais instrument), Plim b1VI ne sera pas proche de b1

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Illustration d’un mauvais instrument : Poids à la naissance

I Données bwght.gdt WooldridgeI Poids de l’enfant à la naissance (bwght) en log en fonction de

I consommation de tabac (packs)I revenu familial (faminc) prix comme proxy d’autres facteurs

(accès aux soins, ...)I On peut rajouter d’autres régresseurs

I La consommation de tabac pourrait être endogèneI P.e. stress (= hétérogénéité inobservée)

I Instrument : cigprice prix des cigarettesI Équation d’instrumentation (ci-dessous)

I ou corr(cigprice,packs)I On voit que c’est un mauvais instrument

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Doubles moindres carrés MC2E (2SLS)

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InstrumentationI Application particulière de VII Soit l’équation structurelle Y = Xb + e

I Supposons que dans X , xk soit endogèneI et qu’on dispose d’un instrument z pour xk

I La matrice d’instruments serait Z ,I identique à X sauf dernière colonne : remplacer xk par z

I Équation d’instrumentationxk = d0+d1x1+ . . .+dk�1xk�1+dkz+µ = Zd +µ

I Estimation MCO, valeurs ajustées de xk

Ixk = d0+ d1x1+ . . .+ dk�1xk�1+ dkz = Z d

I On voit que xk est un instrument valide pour xkI si z est un instrument valide pour xk

I X la matrice X dans laquelle on a remplacé xk par xk

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MC en 2 ÉtapesI Estimateur VI avec X est bVI =

⇣X

0X⌘�1

X0Y

I Meilleur que (Z 0X )�1Z 0Y car la corrélation entre xk et xk aumoins aussi élevée que entre z et xk

I L’estimateur VI est équivalent à une estimation MCO en deuxétapes (MC2E) :

1. Estimation de l’équation d’instrumentation xk = Zd +µ

2. Remplacer X par X dans l’équation structurelleI Y = pX +n (régression de 2nde étape)I et on estime par MCO

IpMC2E =

⇣X

0X

⌘�1X

0Y : c’est

⇣X

0X

⌘�1et pas

⇣X

0X

⌘�1

comme dans bVI

I On peut montrer que pMC2E = bVI =⇣X

0X

⌘�1X

0Y

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pMC2E = bVI =⇣X

0X

⌘�1X

0Y : Preuve

I On note qu’on peut écrire X = Z⇣Z

0Z⌘�1

Z0X

I Pour la dernière colonne de X , c’est Z d

I Pour les autres, ce sont les colonnes de X (exogènes)

pMC2E =⇣X

0X⌘�1

X0Y

=

✓X

0Z⇣Z

0Z⌘�1

Z0✓Z⇣Z

0Z⌘�1

Z0X

◆◆�1X

0Y

=

✓X

0Z⇣Z

0Z⌘�1

Z0X

◆�1X

0Y

=⇣X

0X⌘�1

X0Y = bVI

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Exemple : Equation de salaire

I Rendement de l’éducationI Estimé par lnw = b0+b1educ+b2exper +b3exper

2+ e

I Sur- ou sous-estimé ?

I Données card.gdt de WooldridgeI Instrument : proximité à un “college4”I Equation d’instrumentation educ =

�cst,exper ,exper2,college4

�

I 2SLS : automatisé (Gretl “DMC”) et “à la main” en mettant [educcomme régresseur dans l’équation de salaire

I Mêmes coefficients, pas les mêmes t-testsI Mêmes résultats qu’avec VI (GMM 1 instrument) exemple

antérieur

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Plusieurs instruments

I Il faut au moins un instrument par variable explicativeI Les exogènes sont leurs propres instruments

I Dans certains cas, on dispose de plus d’un instrument pourcertains régresseurs

I MC2E : on voit tout de suite comment intégrer ces instrumentssupplémentaires via la (ou les) équations d’instrumentation

I On peut démontrer queI parmi toutes les manières d’utiliser/combiner ces différents

instrumentsI MC2E est la plus efficiente

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Remarques

I Ne pas faire la régression en 2 étapes explicitementI utiliser la commande MC2E (2SLS)I sinon à la 2ème étape le logiciel va calculer une matrice de var

cov selon la formule MCO et pas VI

I Des estimations robustes à l’hétéroscédasticité sontgénéralement disponibles pour MC2E et VI

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I Rendement de l’éducationI Estimé par lnw = b0+b1educ+b2exper + e


I Données card.gdt de WooldridgeI Instruments : Education de la mère et du pèreI Equation d’instrumentation

educ =�cst,exper ,exper2,Meduc ,Feduc

�

I Échantillon : drop missing values – 2SLS

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Résumé

I Identification Exacte : 1 ! instrument par régresseur endogèneI Utiliser Variable Instrumentale ⌘ MMI MC2E = + efficient des estimateurs VI

I Sous-identification : manque au moins un instrumentI Estimation consistante impossible

I Sur-identification : plus d’un instrument pour au moins unrégresseur endogène

I MC2E avec eq d’instrumentation à pls instrumentsI = un cas de MM Généralisée : GMM

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Tests

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Tests

Test 1. Hausman : EndogénéitéMCO MC2E

Aucun régresseur endogène consistant consistantefficient inefficient

Au moins 1 régresseur endogène inconsistant consistant

I Donc : si endogénéité : MC2E – mais sinon : MCOI H0 : égalité des coefficients ⌘ bMCO � bMC2E = 0

I Si égaux, alors pas endogénéité : on préfère MCOI Sinon, on prend MC2E

I Test disponible sur tous les logiciels économétriquesI Entre n’importe quelle paire d’estimateurs avec un consistant

I VI contre MCGF par exempleI

var

⇣bMCO � bMC2E

⌘peut poser problème

I Aussi une bonne idée de comparer directement bMCO et bMC2E

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Tests

2 autres tests : Définitions

Equation structurelle : y1 = b0+b1y2+b2x1+b3x2+µ1

I x1 et x2 sont exogènesI On a aussi 2 autres exogènes x3 et x4

I Qui ne sont pas dans l’équation structurelleI Qui sont corrélés à y2

I On veut tester l’endogénéité de y2

Forme réduite pour y2 : y2 = p0+p1x1+p2x2+p3x3+p4x4+n2

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Tests

Test 2. Test de régression / de corrélation des erreurs /Durbin–Wu–Hausman

I On veut tester l’endogénéité de y2 dans eq structurelleI Chaque xj est non-corrélé avec µ1

I y2 non-corrélé avec µ1 ssi n2 non-corrélé avec µ1

I Estimer y2 = p0+p1x1+p2x2+p3x3+p4x4+n2 par MCO(consistant)

I On obtient n2 : une approximation à n2

I Estimer y1 = b0+b1y2+b2x1+b3x2+d1n2+ erreur par MCOI

n2 significatif (t-stat) =) n2 manquant dans eq struct.I

n2 est partie de µ1, donc corrélés, donc y2 endogène

In2 non-significatif n’implique rien

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Tests

Test de régression : remarque

I On peut montrer queI

bMCO de y1 = b0+b1y2+b2x1+b3x2+d1n2+ erreur estidentique à

IbMC2E de y1 = b0+b1y2+b2x1+b3x2+µ1

I C’est une 2ème interprétation de MC2EI inclure n2 dans la régression MCO “nettoie” l’endogénéité de y2

I Test sur plusieurs variables endogènesI tester conjointement (test F) la significativité des résidus de

chaque équation d’instrumentation

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Tests

Test 3. “OverID” Restrictions sur-identifiées : Exogénéitéde l’instrument

I Si un seul instrument pour un régresseur endogèneI Impossible de tester l’absence de corrélation entre l’instrument et

le terme d’erreur : corr (z ,e) = 0I Modèle “juste / exactement” identifié

I Si on dispose de plusieurs instruments,I Possible de tester l’exogénéité d’un instrumentI Le modèle est “sur-identifié”

I Dans notre exemple : x3 et x4 peuvent servir d’instruments poury2 dans l’équation structurelle y1 = b0+b1y2+b2x1+b3x2+µ1

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Tests

Étapes du test OverID1. Estimer l’équation structurelle par VI en utilisant seulement x3

comme instrument1.1 Calculer résidu µ1MC2E = y1� b0+ b1y2+ b2x1+ b3x2

2. Régresser résidu µ1MC2E sur toutes les variables exogènes dumodèle (explicatives + instruments)2.1 µ1MC2E = g0+ g1x1+ g2x2+ g3x3+ g4x4+x

I Ce résidu est une approximation de µ1 de l’éq. struct.

2.2 Calculer le R2 de cette régressionI Si exogénéité R

2 devrait être faible

3. Sous l’hypothèse nulle (exogénéité de x4) : nR2 a⇠ c

2q

I q : nombre d’instruments en excèsI nombre d’instruments total dans le modèle moins nombre de

régresseurs endogènesI “Over-identification”, ici q = 1 car 2 instruments x3 et x4 et un

régresseur endogène y2

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Tests

OverID : remarques

I Il faut faire l’hypothèse que x3 est exogène : on ne peut la testerI Si nR2 > c

2q;0.95 on rejette que

Ix4 est exogène

I OU que x3 est exogène

I Hypothèse de un instrument valide par régresseur endogène

I Test implémenté directement dans beaucoup de logiciels

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Tests


I Rendement de l’éducationI Estimé par lnw = b0+b1educ+b2exper +b3exper

2+ e


I Données card.gdt de WooldridgeI Instruments : Education de la mère et du pèreI Equation d’instrumentation

educ =�cst,exper ,exper2,Meduc ,Feduc

�

I Échantillon : drop missing values – 2SLSI Test d’endogénéité :

I Test de Hausman et OverId (Sargan) dans sortie “DMC”I Test de régression : Résidu de l’équation de d’instrumentation dans

MCO de l’équation de salaire

I Autre instrument possible proximité à un “college4”

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Source 4. Échantillonnage

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4º source d’endogénéité : ÉchantillonnageI Si on n’observe pas un échantillon “purement” aléatoire

(“simple”)I mais plutôt un échantillon sélectionné dans lequel seuls certains

individus sont admisI ou bien avec des données manquantes

I 3 casI Sélection – ou attrition – purement aléatoire, ou basée sur des

variables aléatoires exogènesI Pas de problème

I Sélection basée sur un régresseur xj corrélé à la dépendante y

I Généralement pas de problème

I Sélection basée sur dépendante y

I Un problème d’échantillon sélectionné ou troncature se pose

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Sélection basée sur un régresseur xj corrélé à y

I Exemple : On estime une équation de salaires, mais on observeplus d’attrition pour les niveaux d’éducation faibles

I Sans que cette attrition soit corrélée au revenu (salaire) par classed’éducation

I On observe l’éducation, mais pas le salaire

I Les statistiques descriptives sont biaiséesI par exemple, le salaire moyen sera plus élevé que dans la réalité

I Les MCO restent sans biais et consistantsI Les estimations “contrôlent” les dimensions des variables

explicatives

I Pas de problème tant qu’il y a assez de variabilité dans lesvariables explicatives pour identifier les effets mesurés

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Sélection sur y – cas 1. Troncature (Truncation)

I Inclusion dans l’échantillon est yi ci (sélection de troncature)I Alors ei ci �Xib

I Car yi = Xib + eiI Donc : la sélection de troncature introduit une corrélation

contemporaine entre l’erreur et les régresseur(s)

I NotesI On n’observe aucun yi > ci ni aucun Xi correspondantI La sélection peut aussi être yi � ci

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Sélection sur y – cas 2. Troncature accidentelle

I Modèle bivarié de sélection de l’échantillon (MBSE)

I Équation de participation Y1 =

(1 si Y ⇤

1 > 00 sinon

I Équation de résultat Y2 =

(Y ⇤

2 si Y ⇤1 > 0

� sinonI Donc : On n’observe Y ⇤

2 que si Y ⇤1 > 0, c’est-à-dire que si on

observe Y1 = 1

I On suppose que la réalité est Y ⇤1 = X1b1+ e1

Y ⇤2 = X2b2+ e2

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Troncature accidentelle : origine du biais

I Il semble raisonnableI de supposer que le terme d’erreur e1 de l’équation de

participation peut être corrélé au terme d’erreur e2 de l’équationde résultat : e1 (e2)

I que certains régresseurs au moins soient communs entre X1 et X2

IX1\X2 = X21

I Le reste se nomme X22 et X11

I On peut écrire l’équation de participation commeX11b11+X21b12 > e1 (e2)

I Donc, la troncature accidentelle provoque une corrélation entreX21 et e2

I et donc entre X2 et e2 : endogénéité dans l’équation de résultat

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Autre interprétation : moyenne conditionnelle de Y2

I La moyenne de Y2 conditionnellement à X2 dépend de Y ⇤1 car si

Y ⇤1 0, on n’observe pas Y2

I On suppose pour simplifier que X2 est non-endogèneI

E (X2|e1) = E (X2|e2) = X2

I Donc E (Y2|X2,Y ⇤1 > 0) = E (X2b + e2|X1b1+ e1 > 0)

= X2b2+E (e2|e1 >�X1b1)

I DoncI Si e2 et e1 sont indépendants, le dernier terme est nulI Sinon, il faut corriger la moyenne conditionnelle pour le biais de

sélection (ou troncature accidentelle)I Et en particulier MCO de Y2 sur X2 sera biaisé et inconsistant

Économétrie II




I Le salaire dépend de caractéristiques comme le niveau d’étude,l’age, le sexe, le nombre d’enfants...

I On n’observe un salaire que pout ceux/celles qui participent aumarché du travail

I La décision de participer au marché du travail dépendcertainement de facteurs similaires à ceux expliquant le salaire

I Donc équation de sélection : participationI Équation de résultat : salaireI Corrélation entre les deuxI MCO équation de salaire : biaisé et inconsistant

Économétrie II



Estimation

I Rappel : Sources 1 (hétérogénéité inobservée), 2 (erreurs demesure) et 3 (simultanéité) peuvent être adressées par VariableInstrumentale / MC2E

I Source 4 Sélection d’échantillonnageI VI inutile car VI a le même problème d’échantillonnageI La solution passe par une modélisation du processus de sélection :

I Plusieurs estimateurs alternatifs (Heckman) – on regardera en M1

I En résuméI Toujours se poser la question de l’échantillonnageI Pourquoi certaines données sont manquantes

Économétrie II


Source 5. Autocorrélation en séries temporelles

Table des matières


Économétrie II



5º source : Autocorrélation en séries temporellesI Exogénéité en série temp : E (etxt) = 0 8t 8x pas de

corrélation contemporaineI On écrit aussi E (et |xt) = 08t 8x : espérance conditionnelle

nulleI Ce qui est la même chose

I Lorsque E (et |xs) = 0s = 1, . . . ,T on dit que x est strictementexogène

Iet n’est corrélé à aucun régresseur à aucune période

I En série temp., on ne fait pas l’hypothèse d’absenced’autocorrélation

I L’absence de corrélation contemporaine suffit à ce que MCO soitconsistant

I Si les séries sont I (0)

I Pour que MCO soit non-biaisé il faut l’exogénéité stricte

Économétrie II



Implication de l’exogénéité stricte

Soit le modèle statique du taux de meurtre en fonction du nombre depoliciers / habitant

TxMeurtret = b0+b1Pol/ht + et

1. Pol/h ne peut avoir aucun effet retardé sur TxMeurtre

I Sinon, Pol/ht�1 serait dans et ce qui romperait l’exogénéitéstricte

2. et ne peut causer aucun changement futur de Pol/h

I Supposons que la ville ajuste Pol/h sur base des valeurs passéesde TxMeurtre, alors Pol/ht+1 est corrélée avec et

I Facile que l’exogénéité stricte ne tienne pas

Économétrie II



Devoir #6 : VI

I Reprenez de ma feuille Tableur l’exemple avec un régresseurendogène

I Générez un instrumentI Valide (= non-corrélé avec le terme d’erreur)I Bon (= corrélation élevée avec le régresseur endogène)I Basez-vous directement sur la façon dont le régresseur a été

généré

I Estimez les coefficients du modèle par VII Examinez comment les coefficients estimés varient en fonction

de la corrélation de l’instrument avec le régresseurI Illustrez qu’un instrument non-valide amène à l’inconsistance

I Examinez le degré d’inconsistance en fonction de la corrélationde l’instrument avec le régresseur

Documents

Économétrie II - UDLrisques-environnement.universite-lyon.fr/IMG/pdf/ectx_ii...Économétrie II Ch. 5. 9i :E (eixi)6= 0 : Endogénéité Source 1. Hétérogénéité inobservée