Économétrie II - UDLrisques-environnement.universite-lyon.fr/IMG/pdf/ectx_ii... · 2016-09-08 · Économétrie II Ch. 4. 9t,s :cov(et,es)6= 0 : Autocorrélation Causes & exemples

Économétrie II

Économétrie IICh. 4 Autocorrélation

L3 Économétrie – L3 MASS

Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2

Année 2015-2016

Économétrie II

Ch. 4. 9t,s : cov (et ,es ) 6= 0 : Autocorrélation

Rappel

1. E (ei ) = 0 8i : Espérance nulle2. X var (ei ) = s

2 8i : Homoscédasticité3. cov (et ,es) = 0 8t 6= s : Pas d’autocorrélation4. E (eixi ) = 0 8i : Exogénéité5. X La matrice X est de plein rang : Pas de multicolinéarité6. Le modèle est correctement spécifié7. La variable dépendante Y est continue

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Table des matières

Ch. 4. 9 t,s : cov (et ,es) 6= 0 : AutocorrélationDéfinition & conséquencesCauses & exemplesSéries temporellesSéries temporelles : TendancesSéries temporelles : I(0)Séries temporelles autorégressives d’ordre 1 AR(1)Test d’autocorrélation AR(1)Application : Capital Asset Pricing ModelTraitement de l’autocorrélation

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Définition & conséquences

Table des matières


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DéfinitionI 9t,s : cov (et ,es) 6= 0

⌃e

=

0

BBB@

s

2r12 · · · r1Ns

2r2N

. . ....

sym s

2

1

CCCA

I Plusieurs formes sont possiblesI Autorégressive d’ordre 1 AR(1) : et = ret�1+µt

I avec µt “bruit blanc”

I À préciser (séries temporelles)

I ⌃e

6= s

2INI La matrice de var-cov des erreurs n’est pas diagonaleI Les observations ne sont pas indépendantes entre elles

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ConséquencesI En principe, bMCO est non-biaisé et consistant

I Ces propriétés ne dépendent pas de ⌃e

I Sauf si autocorrélation causée par un problème plus graveI EndogénéitéI Intégration I(1) d’une série temporelle

I Gauss-Markov ne s’applique plus =)MCO n’est plus efficient

I Comme hétéroscédasticité : ⌃b

=⇣X0X⌘�1

X0⌃

e

X⇣X0X⌘�1

I Inférence basée sur ⌃b

= s

2⇣X0X⌘�1

fausse : tests t, F...I Bootstrap faux car pas indépendanceI 9 estimateur pour ⌃

b

semblable à l’estimateur de White en casd’hétéroscédasticité

I Peu utilisé car l’aurocorrélation est souvent dans un contexte deséries temporelles et on veut les étudier plus en détails

I Exception parfois avec données de panel

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Causes & exemples

Table des matières


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Causes & exemples

Autocorrélation en séries temporelles

I Forme “naturelle” : Le passé influence le présent / persistanceI Ex. demande de monnaie

I lnM1t = b0+b1 lnPIBt +b2 ln IPCt + et

I Cette influence peut être capturée par les régresseurs ou pas

I Terme d’erreur capture l’influence de variables ou de chocs omisI Variables omises : tendances et cycles (ci-dessous)I Chocs : Souvent l’effet dure plus d’une période

I Cas le plus abondant et objet d’étude des séries temporellesI Cas AR(1) dans les sections suivantesI On dit souvent “autocorrélation sérielle”

I Conséquences potentiellement graves (Endogénéité)

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Causes & exemples

Exemple : Omission d’un terme cycliqueI Données Verbeek, moyennes / 4 semaines, Etats-Unis, 1951-53I Expliquée : Consommation de crème glacée per capitaI Régresseurs inclus : prix et revenus moyensI Régresseur omis : température moyenne

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Causes & exemples

Omission d’un terme cyclique (2)I La température suit des cycles annuels (été–hiver)

I Les ventes de crème glacée aussi !

I Si la température n’est pas incluse comme régresseur, les résidussuivront les cycles été–hiver

I Ces résidus auront tendance à apparaître groupés par signe =autocorrélation

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Causes & exemples

Omission d’un terme cyclique : Correction del’autocorrélation

I Si on a les données correspondantes au régresseur manquant, onajoute ce régresseur manquant

I Si on a pas les données ...

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Causes & exemples

Régresseur quadratique manquant Regr manquant.odsI Monte-Carlo : Y = b0+b1x+b2x

2+ e avec b1 > 0 et b2 < 0

I Mais on régresse Y = b0+b1x+µ

I On “ajuste” une droite dans un nuage de points “courbe”I Résidus pour des valeurs petites et grandes de X et � pour des

valeurs moyennes de XI Il faut ordonner selon X pour le voir

I Pas facilement détecté par logiciel, sauf si X croit avec le temps

I Conséquences potentiellement graves (Endogénéité)

Autocorrélation en coupe transversaleI Généralement : autocorrélation si données structurées

I Coupe transversale, échantillonnage aléatoire) pasd’autocorrélation

I Corrélation spatiale

Résidus régression % County votes pour Bush contre revenu par habitant

Source Y.M. Zukhov, 2010

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Séries temporelles

Table des matières


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Séries temporelles

Séries temporelles

I En dehors du cas spatial, l’autocorrélation n’est considérée quepour les séries chronologiques

I Variables macro-économiques : PIB, inflation, chômage...I Suivi mensuel d’un individu / population : emploi, salaire,

consommation...I Cotation d’une action : annuelle, mensuelle, journalière, à la

minute. . .I Taux de changeI Flux de passagers dans une compagnie aérienneI Ventes / achatsI Rendements : plante, entreprise, titre...

I La suite de ce chapitre leur est consacrée

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Séries temporelles

Séries temporelles vs. coupes transversales

I Les observations des séries chronologiques sont ordonnéesI l’ordre des observations d’une coupe transversale n’a pas

d’importance

I Les observations de séries chronologiques sont issues d’unprocessus stochastique (aléatoire)

I pas d’un échantillon aléatoire (coupes transversales)

I Les modèles chronologiques sont généralement indexés par t :

yt = b0+b1x1t + . . .+bkxkt + et

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Séries temporelles

Modèles à retards distribués

I Le modèle yt = b0+d0xt + et est dit statiqueI Courbe de Phillips classique inflationt = b0+b1chomaget + et

I Modèles à retards distribués (du régresseur) finisI un ou plusieurs x affectent y avec un ou plusieurs retards (lags)I gft = b0+d0tet +d1tet�1+d2tet�2+ et

I gf “general (average) fertility”I te “tax exemption”I “à l’ordre 2”

Id0 = impact immédiat (= de court terme) de x sur y

I L’ensemble d0,d1, . . . ,dq décrit la relation de long terme entre xet y

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Séries temporelles

Modèles à retards distribués

I Modèle d’ordre 2 yt = b0+d0xt +d1xt�1+d2xt�2+ et

I Choc transitoire (1 t) �sur x constant intervenant en t

I yt = b0+d0 (x+�)+d1x+d2x+ etI yt+1 = b0+d0x+d1 (x+�)+d2x+ et+1I yt+2 = b0+d0x+d1x+d2 (x+�)+ et+2

I Choc permanent (à partir de t) �sur x constantI yt = b0+d0 (x+�)+d1x+d2x+ etI yt+1 = b0+d0 (x+�)+d1 (x+�)+d2x+ et+1I yt+2 = b0+d0 (x+�)+d1 (x+�)+d2 (x+�)+ et+2

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Séries temporelles : Tendances

Table des matières


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Modèles à tendance

I Le modèle yt = b0+d0t+ et est une tendanceI y “suit” le temps avec un bruit stochastique e

I Multiples spécifications de tendanceI Linéaire yt = b0+b1zt +b2t+ et , t = 1,2 . . .TI Exponentielle lnyt = b0+b1zt +b2t+ et

I Arrive lorsque y a le même taux de croissance t après t(ci-dessous)

I Quadratique yt = b0+b1zt +b2t+b3t2+ et

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Note sur log

I � log (yt) = log (yt)� log (yt�1)⇡yt � yt�1

yy�1

I Le différentiel de log (ln en fait) est approximativement égal autaux de croissance

I Pour des taux plutôt faibles

I Une tendance exponentielle sans régresseur est alorslnyt = b0+b2t+ et

I �ln (yt) = b2+�et : tx de croissance constant + une erreur àespérance nulle

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Régression spurieuse

I Différentes variables économiques chronologiques ont souventune tendance temporelle

IRégresser une tendance sur une tendance semble souvent bon

I R2 , t élevésI Des facteurs inobservés par l’économètre peuvent causer les

tendancesI ⌘ problème des cigognes

I Ces facteurs inobservés peuvent être contrôlés en modélisant latendance temporelle

I p.e. introduire un régresseur t = 1, . . . ,T peut ramener lasignificativité des autres régresseurs à leur juste niveau

I Régression fallacieuse (spurieuse/spurious)

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Exemple tableur Trend Coint RndWalk.odtI Générer y=a+bt+µ

I =2+3*C3+10*SQRT(-2*LN(RAND()))*SIN(2*PI()*RAND())

I Générer x=ct+v :I =-10*C3+10*SQRT(-2*LN(RAND()))*SIN(2*PI()*RAND())I indépendant de y car RAND() génére indépendamment

I Régresser y sur t et une constante (plage L)I =LINEST(A3 :A53 ;C3 :C53 ;1 ;1)

I Régresser y sur x et une constante (plage M)I =LINEST(A3 :A53 ;H3 :H53 ;1 ;1)I Calculer t-stat : x semble significatif

I Insérer tendance dans régression y sur xI x n’est plus significatif

I Régresser detrended y sur detrended x

Exemple : investissement immobilier et prixI Fichier Gretl hseinv.gdt dans données WooldridgeI Série 1947-88 “housing investment and housing price index”

\ln(invpc) =�.55+1.24 ln(price)

I L’élasticité de l’investissement individuel (pc) p/r prix estsignificativement différente de zéro, mais pas de un.

I Un changement de prix est répercuté complèment surl’investissement

I Mais les deux séries suivent une tendance

Exemple : investissement immobilier et prix

I En rajoutant une tendance

\ln(invpc) =�.91� .38 ln(price)+ .0098t

I Le prix cesse d’être significatifI Mais l’investissement (réel) croit d’environ 1% l’anI Possiblement, cela reflète l’effet de regresseurs omis

I Le résultat antérieur était spurieuxI Si y et x ont des trends opposés

I Introduire une tendance peut accroitre la significativité de xI La t-stat sur une tendance n’est pas nécessairement correcte

(section sur I(1))

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Purger une tendance (detrending)I Au lieu d’introduire une tendance linéaire : purger les données

de la tendance (detrend)

1. Régression de chaque variable du modèle sur une tendance2. Utilisation des résidus de chaque équation comme nouvelles

variables

I Par exemple yt = b0+b1zt +b2t+ et

1. Création de variables purgées de la tendanceyt = g0+ g1t+zt 99K ydt = zt

zt = q0+q1t+xt 99K zdt = xt

2. Régression sur les variables purgées ydt = lzdt +nt

I Plus utile de mettre une constante car E�ydt

�= E

�zdt

�= 0 par

construction

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Purger une tendance (2)I Purger la tendance est une méthode en 2 étapes qui introduit une

erreur de mesure sur la deuxième étapeI Les variables purgées de la tendance sont construites à partir de

paramètres estimésI

xt est une mesure avec erreur de zdt

I L’introduction d’une tendance et l’utilisation de variablespurgées de la tendance sont deux approches équivalentes

I Remarque sur le R2

I Les régressions en séries temporelles ont souvent un R2 élevé duseul fait de la tendance

I Mais ne correspond pas au pouvoir explicatif réel du modèleestimé

I Le R2 de la régression avec variables purgées de la tendancereflète de manière plus juste le pouvoir explicatif du modèleéconomique

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Séries temporelles : I(0)

Table des matières


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Stationnarité

I Un processus stochastique est stationnaireI Lorsque sa distribution ne change pas dans le temps

I paramètres compris

I La stationnarité est semblable à “identiquement distribués”

I Les tendances ne sont pas stationnairesI car leur espérance change avec le temps

I Un processus stochastique est covariance-stationnaireI Si son espérance et sa variance sont constantes dans le tempsI Et si la covariance entre 2 périodes ne dépend que du nombre de

périodes entre elles

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IntégrationI Un processus stationnaire est

I Faiblement dépendant ouI Intégré d’ordre zéro I(0) siI xt et xt+h sont “presque indépendant” quand h! •

I Une définition semblable existe pour un proc. non stationnaireI Une série covariance-stationnaire est I(0) si la corrélation entre

xt et xt+h ! 0 quand h! •I I(0) implique que la loi des grands nombres et le théorème

central limite s’appliquentI La dépendance faible est semblable à “indépendamment

distribués”I Stationnaire + I(0) remplace l’hypothèse d’échantillon aléatoire

simple (iid)I I(0) est une condition suffisante pour pouvoir utiliser une série en

régression

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MA(1) : Processus de moyenne mobile d’ordre 1

I MA(1) xt = et +aet�1, t = 1,2, . . .

I {et : t = 0,1, . . .} est une séquence i.i.d avec moyenne zéro etvariance s

2e

I Bruit blanc

I Un MA(1) est I(0)I Les termes adjacents dans une séquence sont corrélésI Dès qu’il y 2 périodes ou plus entre 2 termes d’un MA(1), la

corrélation est zéro car et est i.i.d.I Comme et est i.i.d., le MA(1) est stationnaire

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Séries temporelles autorégressives d’ordre 1 AR(1)

Table des matières


AR(1) : et = ret�1

+µt processus autorégressif d’ordre 1

I AR(1) est dit stable lorsque |r|< 1

Iµt ⇠ iid

�0,s2

µ

�bruit blanc

I Espérance 0, variance constante et covariance 0

I On peut écrire et = µt +rµt�1+r

2µt�2+ . . .

I D’où var (et) = s

2e

= s

2µ

+r

2s

2µ

+r

4s

2µ

+ . . .=s

2µ

1�r

2

I Et cov (et ,et�1) = cov (ret�1+µt ,et�1) = rs

2e

=rs

2µ

1�r

2

I Par substitutions répétées dans AR(1)

et = ret�1 +µt = r (ret�2 +µt�1)+µt = r

2et�2 +rµt�1 +µt = . . .= r

set�s +

s�1

Âi=0

r

iµt�i

Donc cov (et ,et�s) =r

ss

2µ

1�r

2 = r

ss

2e

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Matrice var-cov des erreurs AR(1)

⌃e

= s

2e

0

BBBBB@

1 r r

2 · · · r

T�1

1 r · · · r

T�2

. . ....

1 r

sym 1

1

CCCCCA

= s

2e

IT +s

2e

0

BBBBB@

0 r r

2 · · · r

T�1

0 r · · · r

T�2

. . ....

0 r

sym 0

1

CCCCCA

= s

2e

IT +s

2e

�

AR(1) stable est I(0)I Stationnaire car

µt i.i.d.I Cov! 0 quand

écart entrepériodes! •

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Matrice var-cov des coefficients MCO avec erreurs AR(1)

I y = Xb + e avec et = ret�1+µt

I

⌃b

=⇣X0X⌘�1

X0⌃

e

X⇣X0X⌘�1

=⇣X0X⌘�1

X0 ⇥

s

2e

IT +s

2e

�⇤X⇣X0X⌘�1

= s

2e

⇣X0X⌘�1

+s

2e

⇣X0X⌘�1

X0�X

⇣X0X⌘�1

I On ne peut pas dire si elle est + grande que ⌃b

= s

2e

⇣X0X⌘�1

I On ne peut pas dire si les t-stats seront sur- ou sous-évaluées

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Test d’autocorrélation AR(1)

Table des matières


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Examen visuel des résidus

I Voir exemples antérieursI Autocorrélation �

I Les résidus tendent à être groupés par signeI Ils changent de signe trop peu souvent par rapport à des résidus

non-autocorrélés

I Autocorrélation c’est l’inverseI Les résidus alternent plus d’une fois sur deux

I Le plus souvent, l’analyse graphique est délicate à interpréter

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Test de Durbin-Watson

I Test d’autocorrélation de type AR(1) : et = ret�1+µt

I |r|< 1I

µt ⇠ iid�0,s2

µ

�

I On veut tester H0 : r = 0 versus H1 : r 6= 0

I Stat du test : DW =

T

Ât=2

(et � et�1)2

T

Ât=1

e

2t

où e = y �X b

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Analyse de DW

I Si on estime e = ae�1+n avec e�1 = vecteur des et�1

Ia =

⇣e

0�1e�1

⌘�1e

0�1e =

T

Ât=2

et�1et

T

Ât=2

e

2t�1

= r

Ir est un estimateur non-biaisé de r

I DW =

T

Ât=2

(et � et�1)2

T

Ât=1

e

2t

=

T

Ât=2

�e

2t + e

2t�1

��2

T

Ât=2

et et�1

T

Ât=1

e

2t

⇡ 2�2r

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Règle de décisionI Comme r 2 [�1,1], DW 2 [0,4] avec

I Autocorrélation : r proche de -1, DW proche de 4I Autocorrélation � : r proche de 1, DW proche de 0I Pas d’autocorrélation :r proche de 0, DW proche de 2

I C’est la 2º “règle du 2” en économétrie (la 1º était le t-stat)

I Durbin et Watson (1950) ont tabulé les valeurs critiques de DWau seuil de 5%

I Taille de l’échantillon TI Nombre de variables explicatives kI La table donne 2 valeurs dL et dU (Low et Up)

FIGURE – Règle de Durbin-Watson

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I Si DW < dL : Autocorrélation �I Si DW > 4�dL : Autocorrélation I Si DW 2 [dU ,4�dU ] : pas d’autocorrélationI Entre dL et dU et entre 4�dU et 4�dL on ne peut conclure

FIGURE – Table de Durbin-Watson à 5%

k = nbr de régresseurs (constante exclue)n = nbr observations (au minimum 15)

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Conditions d’utilisation de Durbin Watson

I DW ne permet de tester que l’autocorrélation d’ordre 1I Mais souvent c’est la principale

I Intercept obligatoireI Nombre d’observations � 15I Pas yt�1 dans les variables explicatives

I AR(1) : et = ret�1+µtI Si yt = b0+b1zt +b2yt�1+ etI Alors

yt = b0+b1zt +b2 [b0+b1zt�1+b2yt�2+ et�1]+ [ret�1+µt ]

I Donc : corrélation erreur-régresseur : Ch. endogénéitéI On cumule les problèmes (on ne traite pas)

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Tests alternatifs

I DW est un vieux testI Un de ses intérêts principaux est de minimiser les calculs

I On réutilise les résidus de MCO pour un calcul “simple”

I Test de résidus AR(1) : estimer e = ae�1+n

I Si a est significatif, (t-test) il y a AR(1), � ou selon le signeI Mais si r proche de 1, ce test n’est plus valable

I Test de résidus AR(q) : estimer e = ae�q+n

I t-test sur a

I Test d’autocorrélation plus générale : e =q

Âi=1

ai e�i +n

I F-test H0 : a1 = a2 = . . .= aq = 0

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Application : Capital Asset Pricing Model

Table des matières


Application : Capital Asset Pricing ModelI Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)I Suppose que tout investisseur compose son portefeuille d’actifs

en équilibre entre sa rentabilité et son risqueI Investisseur au sens large, p.e. entreprise multiproduitI Risque = variance de la rentabilité (return)

I D’où chaque investisseur détient un portefeuille dit meanvariance efficient

I qui donne le return maximum pour un niveau de risque donné : lerisque maximum accepté par l’investisseur

I Si1. Tous les investisseurs ont les mêmes croyances sur les risques et

les returns2. Il n’y a pas de coût de transaction

Alors, le portefeuille de marché (la somme de tous lesportefeuilles individuels) doit aussi être mean variance efficient

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FormalisationI Si le marché est mean variance efficient,

I alors le return espéré d’un actif individuel est une proportiondu return espéré du marché :

E (rjt � rf ) = bjE (rmt � rf )

I où rjt est le return (risqué) sur l’actif j dans la période tI rmt est le return du marché en tI rf est le return sans risque (p.e. bon d’état)

I La différence espérée rjt � rf est une rémunération du risqueI

bj = facteur de proportionnalité (inconnu)I indique comment des fluctuations du marché affectent le return

de l’actif j

Ibj = volatilité de l’actif / celle du marché : bj =

cov�rjt , rmt

�

var (rmt)

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CAPM comme modèle économétriqueI On n’observe pas les espérances E mais seulement les cours

réalisésI Hypothèse d’espérances rationnelles

I en moyenne les agents ne se trompent pas

DéfinitionsReturn inespéré de l’actif j µjt = rjt �E (rjt)Return inespéré du marché µmt = rmt �E (rmt)

I Alors modèle de régression sans interceptI rjt � rf = bj (rmt � rf )+ ejt

I avec ejt = µjt �bjµmt

I Pourrait être hétéroscédastique et/ou autocorréléI Sous espérances rationnelles E

�ejt

�= 0

I On peut montrer que (rmt � rf ) n’est pas corrélé à ejt

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Estimation

I Gretl file capm.gdt, données Verbeek non-préchargées,disponibles en ligne sur www.econ.kuleuven.ac.be/GME/

I 1988 :1 à 1996 :2

I Returns de 3 grandes entreprises belges sur la bourse deBruxelles

I Pétrofina, Générale de banque, CBR

I Return du marché = Belgian All Share indexI Actif sans risque : bons du trésor à 3 mois

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Résultats pour Générale de Banque

I On regarde Générale de Banque : définir les rendements netsI Volatilité Générale (coefficient estimé) : bgen = .72

I CAPM implique que d’autres régresseurs ne devraient pas êtrepertinents y-compris une constante

I Constante pas significative : conforme à la théorieI Effet Janvier : il existe quelques indications que janvier serait un

mois dans lequel les returns seraient plus élevésI pas dans ces données-ci

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Résultats pour Générale de BanqueI Menu modèle!MCO

I Remarque : boutton “retards” = retards distribués des régresseursI DW est en sortie standard : 1.80

I avec 98 données & 3 régresseurs, on voit tout de suite qu’on estdans la zone “pas d’autocorrélation”

I Peut paraitre bizarre, mais la régression porte sur des différencesde séries

I post-estimation menu “tests”I p-critique DW = 15% environI Autocorrélation AR(x)

I Sélectionner x = ordre d’autocorrélationI Plusieurs testsI Sortie MCO modifiée

I Tests (fin d’output) : rejette HétI R2 “moyen” 47%, mais peu de variables explicatives

I significativité globale très élevée

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Résultats pour CBR

I DW < valeur critique [via tools / statistical tables] : autocorrél �I C’est une erreur ?I Voir aussi DW p-value dans postestimation

I On va voir à présent ce qu’on peut faire

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Traitement de l’autocorrélation

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Moindres Carrés Généralisés

I Pour autant que l’autocorrélation ne révèle pas un problème plusgrave

I Régresseur manquant / endogénéitéI Série temporelle I(1)

I On a vu qu’en présence d’autocorrélationI MCO sans biais (si exogénéité stricte, cfr ch. suivant)I MCO ne sont plus de variance minimale

I On cherche un estimateur qui soit de variance minimaleI Proposition

I Soit le modèle Y = Xb + e avec ⌃e

= s

2 6= s

2I

I Alors l’estimateur bMCG =hX0 �1X

i�1X0 �1Y est efficient

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Preuve

I Toute matrice de var-cov est définie positive, donc Y aussiI Pour toute matrice définie positive, on peut définir une matrice

carrée non-singulière non nécessairement unique P t.q.P0P = �1

I On transforme le modèle : PY = PXb +Pe 99K Y ⇤ = X ⇤b + e

⇤

I ⌃e

⇤ = E⇣

e

⇤e

⇤0⌘= E

⇣Pee

0P0⌘= PE

⇣ee

0⌘P0= s

2P P0

I P P0= P

⇣P0P⌘�1

P0= PP�1

⇣P0⌘�1

P0= I

I Donc ⌃e

⇤ = s

2I

I les données transformées ne sont plus autocorrélées

I Et E (e⇤) = 0I Donc MCO appliqué à ces données est efficient

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Propriétés des MCG

I L’estimateur des MCG

IbMCG =

⇣X ⇤

0X ⇤

⌘�1X ⇤

0Y ⇤ =

⇣X0 �1X

⌘�1X0 �1Y

I est BLUEI suit asymptotiquement une loi normale centrée en b et de variance

⌃bMCG

= s

2⇣X ⇤

0X ⇤

⌘�1= s

2⇣X0 �1X

⌘�1

I Les MCO sont un cas particulier des MCG pour = I

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Appliquer les MCG

I Dans la pratique on ne connaît pas I Il faut l’estimer dans une première étape.

I Les tests d’hypothèses des MCO peuvent être directementappliqués au modèle transformé.

I Le R2 n’est plus comparable à celui des MCOI 9 plusieurs alternatives (non développées ici)

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MCG faisables

I Pour appliquer les MCG, on suit 3 étapesI Estimation de : I Transformer les donnéesI Appliquer MCO aux données transformées

I L’ensemble s’appelle MCG faisablesI Parfois MC “quasi-généralisés”

I Rem. La première étape introduit des paramètres estimés (avecerreur) dans la deuxième étape.

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Application des MCGF aux erreurs AR(1)

I AR(1) : et = ret�1+µt

I |r|< 1I

µt ⇠ iid�0,s2

µ

�

I ⌃e

= s

2e

0

BBBBB@

1 r r

2 · · · r

T�1

1 r · · · r

T�2

. . ....

1 r

sym 1

1

CCCCCA= s

2e

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Application des MCGF aux erreurs AR(1)

I Applique MCO 99K e

I On estime e = re�1+n avec e�1 = vecteur des et�1 commeindiqué dans Durbin-Watson 99K r

I L’estimation de est alors

=

0

BBBBB@

1 r r

2 · · · r

T�1

1 r · · · r

T�2

. . ....

1 r

sym 1

1

CCCCCA

I L’estimation MCGF est bMCGF =⇣X0 �1X

⌘�1X0 �1Y

Économétrie II



Procédure itérative de Cochrane-Orcutt

I On itère MCGF :I Avec les résidus MCGF eMCGF = Y �X bMCGF

I on calcule une nouvelle estimation de r : r1

I Avec r1 on calcule une nouvelle estimation MCGF descoefficients

I On itère jusqu’à ce que les coefficients estimés ne changent plus

I En principe, pas d’avantage à itérer, l’estimateur a toujours lesmêmes propriétés

I Mais beaucoup de logiciels proposent la procédureCochrane-Orcutt

I Prais-Winsten est une procédure équivalente à Cochrane-Orcutt

Économétrie II



Procédure de balayage de Hildreth-Lu

I Première étape : Statistique de Durbin-WatsonI Autocorrélation positive r0 > 0 ou négative r0 < 0

I Deuxième étape : Régression pour l’intervalle des valeurspossibles de r

I Si r0 > 0 alors on “balaie” (on en essaie plusieurs) sur desvaleurs de r sur [0,1]

I Si r0 < 0 alors on balaie sur des valeurs de r sur [-1,0]

I On retient la valeur de r qui minimise la somme des carrés desrésidus en balayant l’intervalle avec un pas correspondant audegré de précision désiré

I Gretl : Cochrane-Orcutt, Prais-Winsten, Hildreth-Lu accessiblesvia “modèle” “séries temporelles”

Économétrie II



Propriétés de MCGFI Si l’estimateur de r est consistant

I l’estimation en 2 étapes MCGF est asymptotiquementéquivalente à utiliser le vrai paramètre r

I Les propriétés à échantillon fini de l’estimateur MCGF sontinconnues dans le cas général.

I N’est plus «sans biais»I Les statistiques de tests ne sont que des approximations du fait de

l’approximation de r par r

I Différentes études (Monte-Carlo) montrent que MCGF estsouvent plus efficient que MCO

I mais, si le problème d’autocorrélation n’est pas trop grave, MCOpeut être plus efficient que MCGF sur petits échantillons

I Si erreur sérieuse sur la forme de l’autocorrélationI

r n’est pas un estimateur consistant de r (mauvaise spécification)I Peut induire inconsistance de MCGF alors que MCO consistant

Économétrie II



Application CAPM : Résultats pour CBR

I On a vu : DW < valeur critique [via tools / statistical tables] :autocorrél �

I MCGF dans Gretl : Cochrane-Orcutt, Prais-Winsten, Hildreth-LuI accessibles via menu modèle! séries temporelles! AR(1)I menu modèle! séries temporelles! modèle autorégressif =

Cochrane-Orcutt avec des AR(x)

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Économétrie II - UDLrisques-environnement.universite-lyon.fr/IMG/pdf/ectx_ii... · 2016-09-08 · Économétrie II Ch. 4. 9t,s :cov(et,es)6= 0 : Autocorrélation Causes & exemples