consolidation d'un sol élastoplastique

par

J.-P. Magnan et A. BelkeztzLaboratoire Central des Ponts et Chaussées, Paris

1 lntroduction

Depuis les travaux de Sandhu et Wilson (1969), Sandhu(1972, 1976), Christian et Boehmer (1970), Christian et

àf. FgZz), Hwang et al. (1971, 1972\ et Yokoo et al.

(1971 a, b, c), la méthode des éléments finis est

devenue un outil courant pour t'analyse (théorique) des

problèmes de consolidation. Certains auteurs (Soulié,

igZA) ont même trouvé un accord raisonnable entre de

.. vrâiêg ' prévisions du comportement d'un remblai sursol compressible et les résultats des mesures.

Le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées s'est

intéressé très tôt à cette technique de calculnumérique et Richard (1975) et Humbert ont introduitdans le programme de calcul par éléments finisROSALIE un algorithme de traitement des problèmes

de consolidation tridimensionnelle dans le cas d'un sol

au squelette élastique linéaire (Guellec et al., 1976)'

ROSALIE a été ultérieurement complété par I'introduc-tion de l'élastoplasticité avec ou Sans écrou issage(Bef keziz et Mag nan , 1 982) dans le mod u le de

traitement de la consolidation (ROSALIE-Groupe 9)'

L'étude présentée dans cet article a été effectuée en

utilisant ce programme. Elle porte sur la consolidationdu sol de fondation du remblai B du site expérimentalde remblais Sur sols compressibles des Laboratoiresdes Ponts et Chaussées à Cubzac-les-Ponts (Magnan

et al., 1978). La consolidation a été calculée pou r

différentes hypothèses sur la loi de comportement du

squelette du sol :

élasticité linéaire isotroPe,élasticité linéaire anisotrope,élastoplasticité avec écrouissage (modèle Cam-

clay modifié).

Les résultats des calculs ont été ensuite confrontés aux

mesu res.

2 Le programme de calcul : Rosalie-Groupe 9

Le programme ROSALIE de calcul par éléments finiscomprend 16 Sous-ensernble appelés " Groupes ", plus

RËVUE FRANÇAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 19

trois modu les de maillage, et procède su ivant le

schéma de la figure 1. Le neuvième groupe,GROUPE 9, traite des problèmes de consolidation et

de diffusion de la chaleur. Les éléments utilisés sont du

type " déplacements,,. Avec les notations habituellespour ce genre de Problème :

e - tenseur des déformations (on fait I'hypothèse despetites déformations),g vecteu r des dérivées premières partielles de lacharge hydrau lique,E tenseu r d'élasticité,K tenseur des coefficients de perméabilité,H - charge hydraulique, comptée à partir de l'état initial(en supposant H : 0, initialement),Iw poids volumique de I'eau,

0:êrt*êzz*ê"",ô dérivée de o par rapPort au temPs,1r tenseur transposé du tenseur X,

F forces volu miques,U déplacements,T - forces appliquées à la su rface du domaine étudié,h débits imposés à la surface du domaine.étudié,O domaine étudié,So partie de la surface du domaine f) où les

contraintes sont imPosées,Sv - partie de la surface du domaine f) où le débit h est

imposé,

la résolution du problème de la consolidation d'un solélastique linéaire passe par la recherche simultanéed'un champ de déplacement U et d'une distribution de

charge hydraulique H qui vérifient :

FTôU df)u": L e'Eôe on - [ ^y*Hôo on - [- [. Trôu ds- - o (1)

et

rôJ : -t îwsrKôs do - I,ôaH on * J",

hôH ds,, - 0

(2)

39

l.IAILLE

Préparation du mail lage

MAPLAN

module planHATRID I uncAPo

module tridi.. I module structuremensionnel I

/ rrsT ivérifi cation

\ du maillage

\I

mauvais maillage

I Dessins des résultatsI A. TEST, impression, II perforation I

GROUPE ical cu] dugroupe i

I Rêsultats imprimés,/ pe"forés ou sur' support magnêtique I

TRACE ireprésentation

graphique

I Rêsul tats sous forme tf sraphique I

Fig. 1 Structure du programme ROSALTE

pour tout champ de déplacements virtuels admissible(c'est-à-dire vérifiant les conditions de déplacementimposées) ôU, avec les champs de déformations ôe etô0 associés, et pour toute distribution d'incrément decharge ôH admissible (c'est-à-dire vérifiant les condi-tions aux limites imposées à la charge hydraulique H),avec le champ de dérivées partielles ôg associé.

Après discrétisation de I'espace et du temps (par laméthode de Galerkin), I'analyse du problème débou-che sur une procédure de résolution itérative sur labase de l'équation matricielle

Go,'Vr*at : Lo, * Gi.. V,

avec les notations suivantes :

R matrice de rigidité du squelette du sol,C matrice de couplage entre l'écoulement et lesdéformations du squelette,At incrément de temps,F matrice-colonne des forces nodales imposées(forces volumiques et forces de surface confondues),O matrice-colonne des débits nodaux imposés.

Cette équation matricielle se résout .. facilement,,, à lacondition d'inverser la matrice Go,, qui est symétriqueet tridiagonalisable par blocs. Dans le programmeRosALlE-Groupe 9, I'inversion est réalisée par laméthode directe de Choleski par bande. La résolutiondonne les déplacements U et les charges H au tempst + at, qui permettent de calculer les autres inconnues,et en particulier les contraintes (les conventions designe du calcul sont celles de la mécanique des milieuxcontinus et non celles de la mécanique des sols).

ll faut noter que I'inversion de la matrice Go., qu i

conditionne pour une grande part le coût total ducalcul, doit être effectuée chaque fois que I'on modifieI'incrément de tennps at. En pratique, les calculsdoivent pour cette raison n'utiliser qu'un nombre limitéde valeurs de At dans chaque cas traité.L'introduction de l'élastoplasticité dans la procédurede calcul de la consolidation a été effectuée sousforme incrémentale, ên su pposant que la fonctionF(o', k) : 0 est à la fois le critère de plasticité et lepotentiel plastique (c'est-à-dire qu'on lui applique leprincipe de normalité), o' désignant l'état des contrain-tes effectives et k un paramètre d'écrouissage.

(3)

Gar:

1

-; R.r* zlJ^t :

_6r

R-C

-6rr - 2at

K-v -T

)c

î^1

2tF(t) +2F(t+At)l

Lat :

+ ta(t) + 2e(t+ at)l

v,*a, : till i îlil, V, : riltil

REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 19 40

u": L erEôe on - [ Aoe(t)ôe do - I,

L'analyse du problème de la consolidation dans un solélastoplastique conduit à l'établissement de deuxéquations déduites du principe des travaux virtuets etanalogues à celles établies dans le cas du squeletteélastique linéaire. L'équation (1) relative au squelettedu sol est remplacée par l'équation suivante, écritedans le cas où la plasticité est traitée par la méthode dela contrainte initiale :

rwHô0 dO

t Frôu dcl - f Trôu ds-Jrr J"--0 (4)

avec les mêmes notations que pour l'équation (1), lacorrection de contrainte Aoe étant obtenue par cumuldes corrections introduites à chaque incrément decharge pour caractériser l'état de contrainte réel du solélastoplastique par rapport à l'état de contrainte fictifcalculé en élasticité linéaire :

Aoe(t, t + At) : Ao(t, t + At) - E de(t, t + At),

Aoo: |.'Ooo( r, r+ Ar) dr.Jg

L'équation relative à l'écoulement est identique àl'équation (2) établie dans le cas du squelette élastiquelinéai re.

Après discrétisation de I'espace et du temps, on obtientfinalement une équation de récurrence de la forme

Go,. Vl, : Li. + Gii . V3, (5)

avec les notations suivantes :

^ R -Culat :

-çr - 3at K3

r\ **lJat

tF(t) + 2F(t + at) + 2F o_"(t)l

-îto(t)+2e(t+at)l

qu'un processus itératif annexe, inclus dans leprocessus itératif général relatif au temps, cumulejusqu'à ramener en tout point du maillage l'état descontraintes effectives sur le critère de plasticité.

La figu re 2 explique le déroulement des calculs deconsolidation dans le cas des sols élastoplastiques.Dans son état actuel, le programme ROSALIE-Groupe I permet de traiter la consolidation de solsdont le critère de plasticité du squelette est I'un descritères de Tresca, Von Misès ou Mohr-Coulomb ou,depuis les travaux de Dang et Magnan (19771, te critèred'élastoplasticité avec écrouissage du modèle Cam-clay modifié.

3 Le cas traité : remblai B du site expérimentalde Cubzac-les-Ponts

L'étude a été réalisée sur le cas d'un remblai réel, édifiéen 1975 par les Laboratoires des Ponts et Chausséessur la rive nord de la Dordogne, à Cubzac-les-Ponts(Gironde). Ce remblai a fait I'objet de nombreusesétudes théoriques et expérimentales et a été décritdans plusieurs publications antérieures (Dang etMagnan, 1977; Magnan et al., 1978; Shahanguian,1980; Baghery, 1980). Nous nous contenterons derappeler ici la géométrie du remblai et du sol defondation (fig. 3) et de reproduire la coupe géotechni-que du sol de fondation, telle qu'elle résulte de lareconnaissance effectuée avant la construction duremblai (Tableau l).

o)c: o î^

Li.: L

Vô: [1,,,]'Faoo matrice-colonne des forces nodales dues auxcorrections de contraintes,

autres notations, comme pour l'équation (3).

Cette équation qui permet, par un processus itératif,d'obtenir la solution des problèmes de consolidationdans les sols élastoplastiques, appelle deux commen-taires :

d'une part, comme pour l'équation (3), la résolutionde l'équation matricielle (a) passe par-l'inversion dela matrice symétrique Go., qui dépend de I'incré-ment de temps at : on a tout intérêt à inverser cettematrice le moins souvent possible, si I'on veutgarder le bénéfice du traitement de la plasticité parla méthode des contraintes initiales;d'autre part, si l'on regarde la composition de lamatrice des inconnues, Vir, on constate qu'elle necomporte qu'une fonction définie au temps t + At :

la charge hydraulique H. Les déplacements u sontdéfinis au temps t et I'on pourrait craindre qu'ils nerestent constants. En réalité, ils varient, parI'intermédiaire des corrections de contraintes

oo-:-toooJoo-ooo)<l'

d3'oo

-+è

tQ

og)oao

lJ-

Vi': [ill'* o.,]'

Colcul ' étol initiol

Elol ô t'

Résolution deGV=L+GV'

Colcu I de as

'est de plcsficité

Résultofs ô l+at( o, u,H )

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE NUMERO 19 41

Fig. 2

TableauCaractéristiques de compressibilité des

du sife expérimental de

1

so/s de fondation du remblai BCu bzac-les-Ponts

Drainage vertical Drainage horizontal

Couches eo o'lo

(kPa)

o('

(kPa)

c8 cc A, Bv

o': oJo48,3

o': oiro* , o': orlo + 48,3

Ah Bh

ot : orlo pour

ot : orlo

kh/k,,k,, cv(cm/s) 1cm2/s;

k"(cm/s)

cv(cm2ls)

k,,(cm/s)

cv(cm2ls1

kh(cmls)

0à1m1à2m2à3m3à4m4à5m5à6m6à7m7à8m8à9m

1

2,63,153,32,422,072,132,52,2

8,42024283236æ4548

7868363638,541

Æ5768

0,040,050,21

0,180,120,100,080,100,11

0,281,221,75',,70

1,281,181,11

1,301,20

2,28,24

13,410,58,957,Æ7,01

8,427,52

0,170,81

1,391,030,930,780,700,840,75

91,254,31

9,71,21,1

98,2

10-810-71o-810*71o-810-71o-71o-810-8

8,6. 10-'4,2.10-34,7 .10-41,6. 10-32 .10-33,2. 10-33,9. 10-33,3. 10-32,6. 10-3

6,5. 10-61,2. 1o-72,5. 10-85,4. 10-85,6. 10-86,8. 10-86,4. 10-86,6 . 1o-87 .10-8

2,4.10-38,7. 10-36,6. 10-s1,5. 10-41,8. 10-42,3.10-42,5. 10-42,7 .10-43 .10-4

5,7 .10-81,15.10-7

1 ,7 . 10-82,9. 1o-83,4. 10-84,1 . 1o-83,9. 1o-84,1 . 10-84,4. 10-8

3,6. 10-31,3. 1o-25,7. 10-51,1 .10-41,5. 10-41 ,8 . 10-42 .10-42,2.10-42,4.10-4

2,3

11

12

10

6,238

7,4

0,19

1 ,131,24'1,07

0,650,840.74

4,6. 10-6

1 ,4. 10-73,6. 10-71 .10-71,9. 10-71,1 . 10-71,5. 10-7

0,51

3,263,603,092,421

1,67

M ossiF h o moqèn e

--

Coupe CC

I

Fis. 3

3.1 Liste et hypothèses des calculs effectués

Trois séries de calculs ont été réalisées sur le remblai Bde Cubzac-les-Ponts :

deux calculs de consolidation dans I'hypothèsed'u n sol au squelette élastique isotrope (sol defondation homogène et sol de fondation divisé encinq couches horizontales);deux calculs de consolidation dans I'hypothèsed'un sol au squelette élastique anisotrope ou plusprécisément orthotrope à symétrie de révolution(sol de fondation homogène et sol de fondationdivisé en cinq couches horizontales);un calcul de consolidatiôn dans I'hypothèse où lecomportement élastoplastique du sol est régi par lemodèle Cam-clay modifié (sol de fondation diviséen cinq couches horizontales).

Dans tous les cas, le remblai a été remplacé par unedistribution trapézoidale de pressions à la surface dumassif de sol.

Maillages et discrétisation du temps

Les calculs ont tous été effectués sur deux maillagescorrespondant respectivement au cas du massif defondation homogène et au cas du massif de fondationdivisé en cinq couches (fig . 4). Ces maillages sontcomposés d'éléments rectangulaires à huit næuds, àI'intérieur desquels les fonctions d'interpolation desdéplacements et de la charge hydraulique sont despolynômes du second degré.

REVUE FRANÇA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 19

Mcrssit hétenoqene

-

Couches

Fis. 4

Pou r la discrétisation du temps, on a cherchésimultanément à :

représenter aussi fidèlement que possible la vitessede construction du remblai,couvrir une période de temps suffisammentétendue (20 ans),l'imiter au strict minimum les modifications deI'incrément de temps At au cours du calcul, pourlimiter le nombre d'inversions de la matrice Gor.

Ceci a conduit au choix des incréments de tempssuivants (fig. 5) :

six incréments de 1 jour,suivis de quatre incréments de 10 jours,suivis de dix incréments de 100 jours,suivis de cinq incréments de 1 000 jours.

L'utilisation de quatre valeurs de At permet de n'avoirque quatre inversions de la matrice Go, à effectuer.

Propriétés du sol (élasticité linéaire isotrope)

Chaque couche de sol est caractérisée par cinqparamètres :

le coefficient de pression des terres au repos, Ks,le module d'Young E et le coefficient de Poissoh v,les coeff icients de perméabilité verticale k,, ethorizontale kh.

Faute de résultats expérimentaux, on a attribué aucoefficient de Poisson la valeur arbitrai rê v: 0,35 et aucoefficient Ko la valeur également arbitraire Ko: 0,43.

42

583 poinlr ol c mon ls

39'e kPo 18,3 kPo

chonge conslonle 4q3 kFo

6 fois

1 fois

1 joun

10 jouns

Le module d'Young a été déduit du module ædométri-que E*o moyen entre l'état initial du sol et son état finalsous le poids du remblai, êh utilisant la valeur choisiepour u. Les coefficients de perméabilité du sol ont étéchoisis d'après les valeurs indiquées dans la coupegéotechnique (tableau 1).

Les tableaux 2 et 3 rassemblent les valeu rs desparamètres adoptées pour les calculs dans les cas dusol homogène et du sol hétérogène.

Propriétés du sol (élasticité linéaire anisotrope)

Chaque couche de sol est caractérisée par h u itparamètres :

le coefficient de pression des terres au repos, Ke,

les cinq paramètres de l'élasticité linéaire ortho-trope à symétrie de révolution r E,, En, un, u., et G.,,les coefficients de perméabilité verticale k., ethorizontale kh.

Les valeurs du coefficient Ko et des coefficients deperméabilité k" et k., sont identiques à celles adoptéespour le calcul en élasticité isotrope. Pour lesparamètres d'élasticité, pour lesquels on ne disposait

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 19

10 fois 100 jo., ns

5 fois 100O jo u ns

pas de valeu rs expérimentales, on a fait les choixsu ivants :

le module d'élasticité verticale E, est égal aumodule d'Young de l'élasticité isotrope,le rapport EhlE,, est égal à 2, valeur médiane deI'intervalle de variation indiqué pour les argilesdans la synthèse bibliog raph ique de Garn ier (1 973),le rapport G"/E, est égal à 0,5, d'après une synthèsedes publications concernant ce sujet,les valeurs de u6 et vv ont été choisies après uneétude paramétrique, de façon à assurer que lesdéplacements horizontaux continuent vers I'exté-rieur après la fin du chargement, que le rapport dudéplacement latéral maximal au tassement sousI'axe du remblai reste de I'ordre de 0,2 et que lerapport du tassement final au tassement initial soitvoisin de 10.

2

3

1

t"

chonge conslon le 18,3 k fu

chonge conslonle 48,3 kPo

Fig. 5

Tableau 2Hypothèses du calcul (sol homogène élastique isotrope)

Tableau 3Hypothèses du calcul (sol hétérogène élastique isotrope)

Les tableaux 4 etparamètres utilisées

Propriétés du solsage)

5 présentent les valeu rs despour les calculs.

(élastoplasticité avec écrou is-

Couche v E(kPa) kn(m/s) k"(m/s) Ko

0m-9m 0,35 300 1 ,62 - 10-s 0,96 . 10-e 0,43

Couche v E(kPa) kn(m/s) k"(m/s) Ko

0m-1m1m-2m2m-4m4m-6m6m-9m

0,350,350,350,350.35

1 8143748

222246382

0,46 . 10-s1 ,25. 10-s2,50 - 10-e2,95. 10-s1 ,30 - 10-s

0,90 . 10-e1 ,25. 10-s0,72. 10-s1 ,08 . 10-s0.94 . 10-s

0,430,430,430,430,43

43

Tableau 4Hypothèses du calcul (élasticité linéaire anisotrope, sol homogène)

Tableau 5Hypothèses du calcul (élasticité linéaire anisotrope, sot hétérogène)

Tableau 6Hypothèses du calcul (élastoplasticité avec écrouissage)

Couche En(kPa) E"(kPa) G"(kPa) uh vY kn(m/s) k"(m/s) Ko

0m-9m 600 300 150 0,9 0,1 1 ,62. 10-e 0,96 . 10-s 0,43

Couche En(kPa) E"(kPa) G"(kPa) uh vY kn(m/s) k"(m/s) Ko

0m-1m1m-2m2m-4m4m-6m6m-9m

3 6287 496

445492764

1 8143748

222246382

9071874

111123191

0,80,80,8750,8750,850

0,10,10,10,10.1

1,80 . 10-e1,25. 10-s2,50. 10-e2,95. 10-s2,95. 10-s

1 ,80 . 10-s1 ,21 . 10-s0,72. 10-e1 ,08 . 10-s1 .gg . 10-s

0,430,430,430,430.43

Couches Paramètresd'élasticité Paramètres de plasticité Ecou lement

E(kPa) v À x M ês ê\o eE kn(m/s) k"(m/s)

0m-1m1m-2m2m-4m4m-6m6m-9m

6 0007 6001 2201 8302 990

0,350,350,350,350,35

0,120,530,750,530.52

0,0170,0220,0850,0480,042

1,2'1,2

1,21,21.2

1,002,603,232,252.28

1,474,725,784,114.29

1,032,663,482,342.24

1 ,80 . 10-e1 ,25 - 10-s2,50 - 10-e2,95. 10-e2.95. 10-s

1 ,80 . 10-e1 ,21 . 10-e0,72. 10-s1 ,08 . 10-e1 ,88 . 10-e

Chaque couche de sol est caractérisée par onzeparamètres :

le coefficient de pression des terres au repos, Ks,les huit paramètres qui décrivent la surface d'étatlimite du modèle Cam-clay modifié(\, ,, M, ê^o, eE), le comportement élastique iso-trope du squelette à I'intérieur de la surface d'étatlimite (E, ,) et l'état initial du sol (eo),les deux coefficients de perméabilité verticale k,, ethorizontale kh.

r

Fig. 6

REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 19

Pour ce calcul, on a pris un coefficient de pression desterres au repos Ko : 0,5. Les coefficients de perméabi-lité sont identiques à ceux des calculs précédents. Lavafeur du coefficient de Poisson v a été fixée cette foisencore à 0,35. Le module d'Young E a été obtenu parlinéarisation des cou rbes de déchargement-recharEement isotrope (cou rbe de pente )( su r lafigure 6).

La valeur des paramètres de la courbe d'état limite aété déduite des résultats des essais ædométriques,sauf pour M, calculé à I'aide de la formule de Burland

M- 6sinÔ'3 - sin ô'

(ô'- angle de frottement interne du squelette du sol).

Le tableau 6 présente les valeu rs des paramètresutilisées pour les calculs.

3.2 Résultats des calculs

Squelette élastique isotrope

La f igu re 7 reg rou pe les résu ltats des deux calcu lseffectués avec un massif de sol homogène et un massifde sol hétérogène.

On observe sur cette figure que le tassement initial dela su rface du sol sous I'axe du remblai est plusimportant dans le cas dir sol homogène, maisqu'ultérieurement le tassement se poursuit à la mêmevitesse dans les deux cas.

44

(m)

b - Déplocemenls honizontqux è

010203040

0

'l

2

3

4

5

6

7

I9

z

0

1

2

3

4

5

6

7

I9

z

0

1

2

3

tt

5

6

7

I9

z

o - Tortemcnl roui I'qxc du ncmbloi

t ( jour: )

y(ml

oj

1040 j

4o4O j

verlicole du pied du nembloi

Au ( kPo )

f homogènef hélénogène-

lo

50

b- Déplocemenfs honizontoux

010203010

--al=:--\\- --..-\ \'

t (, jounr )

y (cm)

140i,

640 j

1040j

6040j

ô lo vcrlicole du pied du nembloi

50Au (kPo)

hom ogè nehéténogène

-\--\'

c- Sunpnessions inrenslitielles sous l'oxe du'nembloi

Fig. 7

Le déplacement horizontal du sol à la verticale du pieddu remblai est beaucoup plus important dans le cas dumassif de sol homogène, ce qu i s'explique par larigidité plus grande des deux couches de surface dansle cas du massif hétérogène. Comme dans tous lescalculs de consolidation des sols élastiques isotropes,on obtient une déformée latérale qu i revient versI'intérieur du remblai au cours de la consolidation, cequi n'est jamais observé sur les remblais réels.

Les isochrones de surpression interstitielle sous I'axedu remblai sont peu différentes lorsque I'on passe dusol homogène au sol hétérogène. On h'â, pour cetteraison, représenté qu'un seul réseau d'isochrones surla figure 7. On note sur I'isochrone correspondant à lafin du chargement (t: Oj) des ondulations provoquéespar les oscillations de la solution numérique lors despremières itérations du calcul.

Squelette élastique an isotrope

La figure 8 regroupe les résultats des deux calculseffectués dans I'hypothèse du squelette élastiqueanisotrope (sol homogène et sol hétérogène).

Le tassement du milieu du remblai est le même dansles deux cas.

Les déplacements horizontaux sont plus importantsdans le cas du sol homogène, toujours parce que lescouches supérieures du sol hétérogène sont plusrigides. Les résultats des calculs sont conformes à ce

REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 19

\-\\---. i Mcsstf

\\l

c - Sunpnessrons tnter.stlltelles 3ous I'oxe du nembloi

Fis. I

que I'on attendait, compte tenu de la façon dont on achoisi la valeu r des paramètres vv et u6 : lesdéplacements horizontaux augmentent au cours de laconsolidation.

Cette fois encore les isochrones de su rpressioninterstitielle diffèrent peu d'un calcul à I'autre et cesont les isochrones pour le sol homogène qul sontreprésentées sur la figure 8.

Squelette élastoplastique avec écrouissage

L'évolution des zones plastiques (au sens du modèleCam-clay modifié) au cou rè de la construction duremblai puis de la consolidation est représentée sur lafigure 9. On note que le sol devient progressivementplastique en commençant par la partie inférieure de lacouche. Initialement, l'état limite est atteint dans lapartie de la surface d'état limite où les déformationsplastiques entraînent un écrouissage du sol. Au coursde la consolidation (pour t - 1040 j et t:6040 j), deszones plastiques avec anti-écrouissage se développentdans les deux couches plus rigides qui constituent lapartie supérieure du sol.

Les résultats du calcul sont représentés sur la figure 10sous la même forme que pour les calculs précédents.On note sur cette figure que les déplacementshorizontaux sous le pied du remblai se développentvers I'extérieu r dans la partie inférieu re du sol defondation et vers I'intérieur dans sa partie supérieure

2

3

4

Moss I

Mossi

4040 1

rolojoro jtro i

10 j

oj

o - loscemenl soug |toxl du nrrnblor

r j'i \ -'J y:*i

I ( jouns )

@ zone ploslifiée

r((\\\\\ zone plost if i ê e

/dIIIffn zone Plostifi ée

ffi}. r=10401 {

9 i- t=6o1oi {

sous Hn : Or7 m

sous H" = 19 msous H" = 2,3 m

é..rl9uissoqeonlrec nou tssoge

ec r\cu lssogeonr I ec nou rssog e

o-

02

TosscmGnt obtcnvô tout lroxe du rembbi

4 6 E 10 1211 t6 18 20

Fig. 9

I ( jouns)

TossemGnl soùs Itoxc du rcmbloi

y (cm)

4O1O i

1040 j

640 j

140 i

oj

b - D6plocemenls horizonloux à lo

01020304{_50vcnlicole du pied du nembloi

Au (kPo)

Mo:sif n6r6ro9ê ne

oj,l40i

640j1040j

c - Surpncssions intrnst i tielles sous t'o xe du nem blo i

Fig. 10

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y(cm)

oj167 i

667 i1100 j

b- DéPloccmcnlr honizontoux oblervâ ô b vrnlicolc du picd du rcrnbbi

01020il)1050Au (kPo)

10j

167 j667 i

1100 j

c- Surpresionr intcnrtitidllr obrrnvlrr rour rtoxc du nrmHoi

Fig. 1 1

0

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0

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6

7

I9

z

plus rigide. D'autre part,sions interstitielles estsupérieure de la couche.

la dissipation des surpres-plus rapide dans la partie

3.3 Comportement observé du remblai B deCu bzac-les-Ponts

Pour faciliter la comparaison des résultats des mesuresavec ceux des calculs, nous avons représenté sur lafigure 11 les déplacements et surpressions interstitiel-les observés sous le remblai, sous une forme analogueà celle des figures 7, I et 10.

La partie supérieure des isochrones de surpressioninterstitielle n'a pas été représentée sur cette figure carle toit de la nappe oscille chaque année entre le niveaudu terrain naturel et une profondeur de 1,5 m.

3.4 Comparaison des calculs et des mesures

La figure 12 compare une sélection des courbes detassement et de déplacements horizontaux et desisochrones de surpression interstitielle calculées avecles mesures correspondantes.

Pour les tassements sous I'axe du remblai, les mesuressont plus proches des calculs effectués en élasticitélinéaire isotrope (sol homogène et sol hétérogène) eten élasticité linéaire anisotrope dans le cas du solhomogène.

46

100

s

élosticitaiso lrope ( honrogène)

-r' --or'

élosr icité onisolnope ( hété nogè ne )(cm)

o - Tossemenl sous I'oxe du nembloi

20æ 3000 1000 5000

élostoplostrcrtêêlos t ic i ré iso t nope ( hété nogêne )

- élost icité onisotnope ( homôgëne )

t (louns)

y (cm)

ç 35cm,/y'-

-r17 cm

IE= mesu.nes

--

âlosl. ito. héténogèneE*"t élosl. rsg. homogëne:.-,: êlosl, ontso. hélénogènef.ît; élost.oniso. homogènef-.T.- élosloplos t ic i ra

60

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z

(m)

b - Déplocemenls hontzonloux

20 30 10Au (kpol

c - Sunpr.essions intenstirietles sous Itoxe du nernbloi

Fig. 12

47

\\1-\..

\/

t

$'*,/-:4/

{

l=10j

Du point de vue des déplacements horizontaux, lasituation est toute différente : les deux calcu ls enélasticité linéaire isotrope sont à rejeter parce qu'ilsprédisent des déplacements d'amplitude exagérée etdont l'évolution est en contradiction avec celle desmesures. Les déplacements immédiats des calculsélastiques anisotropes sont trop importants mais leurvaleuràt:1040 iest prochedes mesures. Le calculenélastoplasticité donne des résultats un peu meilleurs.

La comparaison des isochrones de su rpressioninterstitielle montre que le calcul élastoplastiquedonne des résultats plus satisfaisants que tes autres,notamment dans la moitié supérieure de la couche.

3.5 Commentaires

S'if existe dans chacune des parties de la figure 12 unou plusieurs calculs en bon accord avec les mesures,aucune des hypothèses n'est vraiment satisfaisantevis-à-vis de I'ensemble des résultats analysés :

l'élasticité linéaire isotrope conduit à des valeursaberrantes des déplacements horizontaux,l'élasticité linéai re anisotrope est meilleu re vis-à-visdes déplacements horizontaux mais moins bonnepour les tassements,l'élastoplasticité type Cam-clay modifié est lameilleure pour les déplacements horizontaux et lessurpressions interstitielles, mais la pire pour letassement sous I'axe du remblai.

Même si l'élastoplasticité semble avoir un légeravantage sur les autres modèles de calcul, il est évidentque les recherches doivent se poursuivre si I'on veutobtenir un jour des prédictions numériques fiables desdéplacements, contraintes et pressions interstitiellesdans tout le sol de fondation.

On pou rrait tenter d'améliorer les prévisions descalculs en jouant sur les valeurs des paramètresmécaniques du sol de fondation. A part l'élasticitéisotrope, qui donne des résultats qualitativementinexacts, les modèles de calcul utilisés conduisent eneffet à des erreurs quantitatives que I'on peut espérercorriger en modifiant la valeur des nombreux paramè-tres :

8 paramètres seulement dans le cas de l'élasticitéanisotrope (sol homogène), mais40 paramètres pour l'élasticité anisotrope dans lecas du sol hétérogène divisé en 5 couches et55 paramètres dans le cas des calculs élastoplasti-ques avec écrouissage.

Dans le cadre de l'étude rapportée ici, on a refuséd'entrer dans le jeu arbitraire. des études paramétri-ques. Ce choix s'explique par trois raisons :

d'une part, on ne disposait pas de valeurs mesuréesdes paramètres qui puissent garder leurs modifica-tions ultérieures à I'intérieur de limites raisonna-bles,d'autre part, le coût important des calculs élasto-plastiques interdisait en pratique leur multiplica-tion,et enfin, il a été jugé préférable de continuer deperfectionner le modèle de calcul dans le sensd'une élastoplasticité anisotrope avec écrouissage,plutôt que de rester au niveau du modèle Cam-claymodifié (ce travail est en cours au L. C. P.C.).

ll peut être utile de faire un dernier commentaire sur lescalculs présentés dans cet article: I'utilisation desméthodes numériques est rarement exempte deproblèmes de convergence, d'oscillations des résul-

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tats, etc. qui font que les résultats publiés ont souventété précédés de calculs préliminaires variés, destinés àaméliorer le maillage ou à tester le choix desincréments de temps. Les calculs effectués dans lecadre de la présente étude ont comporté un certainnombre d'étapes préliminaires de ce genre, destinées àtester le maillage mais non les valeurs des paramètresmécaniques du sol.

4 Conclusion

La comparaison su r le cas du remblai B du siteexpérimental de Cubzac-les-Ponts des possibilités desmodèles élastique isotrope, élastique orthotrope derévolution et élastoplastique isotrope avec écrouissage(Cam-clay modifié) pour I'analyse numérique desproblèmes de consolidation des sols de fondationcompressibles a mis en évidence les défauts qualitatifsde l'élasticité isotrope et les possibilités offertes parl'élasticité an isotrope et l'élastoplasticité. Pou r laprédiction des déplacements horizontaux du sol defondation sous les remblais, en particulier, le progrèsréalisé par abandon de l'élasticité isotrope dans lescalculs de consolidation est très sensible puisque I'ona pu obtenir pour la première fois des déplacementshorizontaux évoluant vers I'extérieur au cours de laconsolidation.

Toutefois, des études complémentaires, utilisant desvaleurs des paramètres déterminées en laboratoire surdes échantillons de sol intact, seront encore nécessai-res si I'on veut démontrer la validité de I'une ou I'autrede ces deux méthodes, qu'il n'est pour l'instant pasquestion d'utiliser au niveau de l'élaboration desprojets.

Remerciements

La mise au point de la version du programmeRoSALIE-Groupe 9 utilisée pour cette étude a étébeaucou p facilitée par les conseils de MM. Franck,Guellec et Humbert, auxquels les auteurs exprimentleur gratitude.

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