C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, SCrie I, p. 17-20, 1997

Analyse math6matique/Mathematical Analysis

Construction de bases orthonorm6es d’ondelettes de L2 (R2) non &parables, ?I support compact et de r+ularit& arbitrairement grande

Antoine AYACHE

Universit6 Paris-Dauphine CEREMADE,

place du Mar&ha1 de Lattre de Tassigny, 75775 Paris CEDEX 16. E-mail : ayache@ceremade.dauphine.fr

R&urn& A partir de trois Filtres Miroirs en Quadrature (FMQ) monodimensionnels, nous construisons un FMQ bidimensionnel non &parable. De tels FMQ nous permettront d’obtenir des bases orthonormkes d’ondelettes de L2 (R*) h support compact, non &parables et de r6gularitk arbitrairement ClevCe.

Construction of non-separable compactly supported

orthononnal wavelet bases for L2 (R2) with arbitrarily

high regularity

Abstract. Starting from three monodimensional Quadratur Mirror Filters (QMF), we construct a non-separable bidimensional QMF. Such QMF’s will allow us to obtain non-separable compactly supported orthonormal wavelet bases of arbitrarily high regularity for L2 (R2).

En toute gCnCralitC, une base d’ondelettes est une famille dknombrable de fonctions engendrke par dilatation et translation d’un nombre fini de fonctions fondamentales. 11 ne sera question ici que de bases orthonormkes d’ondelettes & support compact de L2 (R2), de la forme standard

{d& (2G - k)/j E z, lc E Zd, i E (1, 2, 3},

mais la plupart des techniques utiliskes s’adaptent A d’autres types de bases d’ondelettes et se gMralisent au cas multidimensionnel.

I. Daubechies a construit des bases d’ondelettes univarikes A support compact et de rCgularit& arbitrairement grande (voir [2]). La construction de bases d’ondelettes bivariCes analogues se fait habituellement par la mkthode du produit tensoriel, les bases ainsi obtenues et leurs images par les isomktries de L2 (R2) du type f (x) I-+ f (Bz) (B E SL (2, Z)) sont dites &parables (voir [4]).

Note prt%entie par Yves MEYER.

0764~4442/97/032.50017 0 Acadtmie des SciencesElsevier. Paris 17

A. Ayache

Cette Note sera organisee de la facon suivante : Nous definissons d’abord une classe de FMQ bidimensionnels non separables obtenus a partir de

trois FMQ monodimensionnels. Le probleme de construire, a partir de ces FMQ bidimensionnels, des analyses multiresolution et des bases d’ondelettes, est considerablement simplifie par leur for-me ad hoc (theoreme 1 et proposition 1).

NOUS montrons ensuite, que chacun des FMQ &parables DN (cl, &) = aN ([I) aN (&), oti aN est un FMQ de Daubechies laN (x)1” = cN s,” (sint) 2N-1 dt qui sont habituellement utilids pour construire des bases d’ondelettes de L2 (R2) de regular&5 arbitrairement elevee, peut etre approche par un FMQ non separable de la classe precedente de sorte que ces deux FMQ aient des zeros du mCme ordre en (T, 0), (rr, 0) et (a, K) (cela resulte du lemme 1). Ainsi les ondelettes associees a chacun de ces deux FMQ ont des regularitts proches (theoreme 2), et la regularite des ondelettes non separables peut done Ctre rendue arbitrairement Clevee.

Un FMQ est un polynome trigonometrique sur R2, verifiant :

M(0) = 1, (1)

i > aE{$I12 w (I + 4” = 1.

Si $ est la transforrnee de Fourier de la fonction d’echelle d’une analyse multiresolution de L2 (R2), on a i;l(t) = ib- W4 d (1/2) P our un certain FMQ 1M. Ainsi, il existe une correspondance biunivoque entre les analyses multiresolution de L2 (R2) dont la fonction d’echelle est a support compact et les FMQ satisfaisant la condition de A. Cohen (voir [l]).

A partir de toute analyse multiresolution de L2 (R2), l’algorithme de Grochenig pet-met de construire une base d’ondelettes, mais il est difficile de savoir si ces ondelettes sont a support compact, mCme lorsque la fonction d’echelle est a support compact (voir [3] et [4]). Cette difficult6 sera contournee grace a une construction ad hoc.

Lorsqu’une analyse multiresolution de L* (R2) est separable, le FMQ bidimensionnel associe est lui aussi dit separable, et il s’ecrit

(2) MC&, 12) = ml (a1151 + a12<2)m2(a21& + a2212),

oh (aij) est une certaine matrice de SL (2, Z) et ml, m2 sont deux FMQ monodimensionnels. Si s est un polynome trigonomCtrique sur R, on posera :

s, (ix) = l/2 [s (X) + s (T + T)],

s, (x) = l/2 [s (cc) - s (x + T)],

s”(5) =e?“s(z+7r).

Si Q est un polynome trigonometrique sur R2, la norme de Q sera

llQllm = sup{lQ 631; I E [-T 4”).

T&OF&ME. - Soient a, b, m trois FMQ. Le polynBme trigonomktrique

(3) MO (<I, <2) = a (6) m, (E2) + b (cl) m, (J2)

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Construction de bases orthonormCes d’ondelettes de L2 (R’) non &parables

est alors un FMQ bidimensionnel. De plus, si MO (<I, (2) est s&parable, alors on est dans l’une des deux situations suivantes :

(i) a = b, (ii) m a seulement deux coeficients non nuls.

Dkmonstration. - Un calcul evident montre que Ma ((1, <a) est un FMQ. Si Mu ((1, <a) est du type (2), on a en posant & = 0, m(&) = ml (aI2 12) m2 (ass Ja). Mais,

comme m ([a) est un FMQ, l’egalite preddente n’est possible que si a12 = 0 ou ~~22 = 0.

fitudions le cas El 0

( > e; = 1, -1, l’autre cas &ant analogue.

a21 E2 On a :

M(E1,12) = ml (~112)m(~2a2151+t2).

Prenons 62 = 0, puis <2 = T; on obtient :

l/2 b (6) + b (&)I = ml (~111) m (wm&),

l/2 1~ (Cl) - b (&>I = ml (~111) m (EZUH& + r).

D’ou

~((1) = 2ml (~l&)m,(E2a21<1),

b (tl) = 2ml (&I&) m. ( EZU2111).

Comme a et b sont des FMQ, on a 41m, (u~~L$~)[~ = 1 et 41m, (u~~G)I~ = 1. Ceci implique m, ([I) = 1/2eiklE1 et m, (t2) = 1/2e ik2Ez lorsque u21 # 0, ou a = b lorsque u21 = 0.

Si les FMQ a et m vCrifient la condition de A. Cohen (voir [ 11) et que la norme [la - b 11, est suffisamment petite, le FMQ (3) engendre une analyse multiresolution de fonction d’echelle << le plus souvent N (Zariski dense) non separable, et a support compact.

Rappelons que l’algorithme de Grochenig (voir [3] et [4]), qui est generalement utilid pour construire la base d’ondelettes de L2 (R2) correspondant a une analyse multiresolution, ne produit pas toujours des ondelettes a support compact, m&me lorsque la fonction d’echelle est a support compact. Dans le cas present, la forme ad hoc du FMQ (3) permet de contourner cette difficult6

PROPOSITION. - Soit MO (cl, &T) = a (&) m, (J2) + b (&) m, (t2) un El4Q du type (3). Si Ml, M2, MS dhignent les polynbmes trigonomtftriques

(4)

1

Ml (L 12) = 4-d W&2) j- b(h) {% (t2),

M2 (Cl, b) = ii (G) m, (~$2) + b ($1) m, (&), M3 (II, (2) = z(h) {fi},(J2) + b(Jd{%b(J2),

alors la matrice

u(b, 12) = (Mr (6 + rsl~ 12 + ~~2~~~~{~,...3},(s~,s~)~{O,1}~

est unitaire.

Dkmonstration. - C’est un calcul evident. Par consequent, lorsque MO ((1, &) engendre une analyse multiresolution, les fonctions &, $2

et $+ dont les transforn-kes de Fourier verifient &. (I) = MT (J/2) (I, (J/2), engendrent une base d’ondelettes de L2 (R2).

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A. Ayache

Si DN ((1, 12) = aN (<r)aN ([a), oti a,v est un FMQ de Daubechies, (law (x)1” = cN s” (sin t)2N-1dt), le lemme suivant permet de construire un FMQ non separable du type (3) DN,~ (<I, <a), qui admet des zeros en (T, 0), (0, T) et (T, T) du mCme ordre que DN (rI, E2), et

tel que IIDN - DN,~II~ < E.

LEMME 1. - Soit a un FMQ monodimensionnel. Pour tout 7 > 0 et pour tout entier 1, il existe un FMQ monodimensionnel b ve’ri$ant :

(i) a # b.

(ii) Pour tout k, 0 5 k 5 1, (&)” (a (x) - b (x)) = 0 quand 5 = 0 et z = T, (iii) Ila - b/loo 5 q.

Dkmonstrution. - Soit a, le polynome trigonometrique. a: (x) = 1 - E (sin~)2(z+1), oti E > 0. D’apres le lemme de Riesz, il existe un autre polynome trigonometrique ,8 a coefficients dans R tel que lo (x)]” + 1/3(2)12 = 1, a (x) = 1 + 0 (x”) et /J(X) = 0 (~0.

Nous prendrons b (x) = cy: (2~) a (x) + p (2%) 6 (x). Le theorbme suivant permet de montrer que, pour E > 0 suffisamment petit, la regularite des

ondelettes non separables associees au FMQ Dhr; E est proche de la regularite des ondelettes &parables associees au FMQ DN.

TH~~O&ME 2. - Soient 6 E (0; 1) et C > (27r-’ d eux re’els. IL existe un exposant ck = a! (S? C) > 0 tel que, si ik’ (<I, &), le FMQ associe’ & la fonction d’e’chelle p,lf (x1, x2), ve’ri$e pour un certain entier N 2 1

(4

IM (Jl, t211 I c” (111 - 4 + 1121)“:

(b) IM (El, J2)I I c” (I<11 + I<2 - wr:

et IM(Cl, 1211 I ~7%~ (111 - ~1 + It2 - 7V:

ah-s GM (Cl, J2) = 0 (6.51 + M)-““).

Dkmonstrution. - Ce theoreme est en fait. une consequence de la generalisation en dimension quelconque du lemme 10 page 100 de [4].

11 existe 6 E (0, 1) et C 2 1, tels que pour tout N, le FMQ DN satisfait les conditions (a) et (b) du theoreme 2 ; ainsi pour tout N, moyennant un bon choix de E, le FMQ Dn;, E satisfait les memes conditions pour 6’ = (1 + S)/2 et C’ = 2C, et il satisfait aussi la condition de A. Cohen. On a done

@DN, i (cl> 12) = o ((IhI + 1121)-“‘N)7 ou cr.’ est un reel strictement positif et independant de N. La regularite des ondelettes correspondant aux FMQ du type DN, e peut done etre rendue arbitrairement grande pourvu que N soit suffisamment grand.

Note remise le 16 decembre 1996, acceptee le 6 janvier 1997.

RCfkrences bibliographiques

[l] A. Cohen, 1990. Ondelettes, analyses multirksolution et filtres miroir en quadrature, Ann. Insf. H. PoincarP Anal. non

liniaire, 7. [2] I. Daubechies, 1988. Orthonormal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure, Appl. Math., 41. [3] K. Griichenig, 1987. Analyse multidchelle et bases d’ondelettes, C. R. Acad. Sci. Paris, S&e I, 13-17.

[4] Y. Meyer, 1990. Ondelettes et ope’rateurs, I, Hermann.

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