C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Serie I, p. 543-547, 1997Topologie/Topology

Construction d'entrelacs hyperpoliqueset aritlunetiques

Jerome STEPHAN

Universite de Poitiers,Departt>ment lIe J\latlll~mati'lues,

86022 Poitiers CEDEX, France.E-mail: Htt>phan@mathrll.univ-poitil.rs .fr

Resume. Dans cette Note, nous continuons l'etude comrnencee dans [4] des entrelacshyperboliques et arithmetiques L tels que S3\L soit homeornorphe aH3If, OU I' n'estpas conjugue aun sons-groupe d'un groupe de Bianchi PSL2«(Jd). Nous decrivons iciles etapes d'une construction, differente de celie de [4], qui nous a permis de determinerles premiers exernples connus dans M z(Q (iV39» et M 2(Q (iV6)) respectivement.

Construction of arithmetic hyperbolic links

Abstract. In this Note. we continue the study started in [4] about arithmetic hyperbolic links Lsuch that 5'1\L is homeomorphic to HIIf. where I' is not conjugate to a subgroupof any Bianchi group. One describes the steps of the construction, different fromthe construction in [4], which permits us to determine the first known examples inMz(Q (iV39» and M 2 (Q (iV6» respectively.

1. Introduction et notations

Soit d un entier positif sans facteur carre et Od l'anneau des entiers de Kd := Q(H). Lesdefinitions utilisees sont celles de [4J; on rappelle toutefois que l'on note Ol,d (l un ideal de Od)

I'ordre maximal de M2(Kd) forme des matrices (~ ~) au a et d E Od , b E I-I et c e t. On

note OJ,d Ie groupe des elements de determinant 1 et POj,d = OJ,dl{±Identite}.Blume-Nienhaus (voir [2)) a montre, par un argument de cohomologie cuspidale, que si L est un

entrelacs hyperbolique et arithrnetique, alors 83\L est homeomorphe a H3/r, au rest conjugue aun sous-groupc d'indice fini d'un groupe POj,d avec d E {I, 2, 3, 5, 6, 7, 10, II, 14, IS, 19,23,n, 35, 39, 47, 55, 71, 95, 119}.

Pour les petites valeurs de d, (1,2,3,5,7,11 ,15,23), on connait des exemples d'entrelacsarithmetiques tels que r soit un sous-groupc d'indice un multiple de 6 de P8L2(Od). Dans cette Note

Note presentee par Etienne GUYS,

0764-4442/97/03240543 © Academic des Sciences/Elsevier, Paris 543

J. Stephan

nous explicitons les etapes de la construction d'un entrelacs represente par un sous-groupe d'indice 2de PO},39 (Figure 2) (respectivement un sous-groupe d'indice 12 de PO},6' Figure 3) : ces exemplesetant les seuls connus pour ces deux valeurs de d, alors merne que l'on ne sait toujours pas si l'onpeut determiner de tels sous-groupes dans les groupes de Bianchi PSL2(06) et PSL2(039).

2. Les eta pes de la construction de I'exemple dans PO} ,39

2.1. PREsENTATION DE PO} ,3 9'

2.1.1. Pour d = 39,039 = Z[w], ou w = 1±it'39. Posons 1 = (2,w); dans ce cas 12 = (4,w + I),[3 = (2,w-l) et 14 =0 39 dans Ie groupe C39 des classes d'ideaux de 0 39. Comme C39contient quatreelements, 1 n'est pas un carre dans C39, et done 0/,39 et M 2(0 39) ne sont pas isomorphes. (C'est uneapplication de [Bourbaki, Aig. corn., chap. 2, p.181, ex. 20], avec P =0 39 $ 0 39, pi =0 39 $ 1; siEndo 39(P) ~ M 2(039) et Endo 39(P') ~ 0/,39 sont isomorphes, it existe un 039-module projectifde rang 1 (isomorphe aun ideal entier) F tel que 0 39$1 ~ (039$039)®F. En considerant l'algebreexterieure seconde, on montre que 1 = F 2 dans C39. voir [5] pour une demonstration plus detaillee).

2.1.2. Pour ca\culer une presentation de PO},39' on precede de la rneme facon que Riley (voir [3D,en construisant un domaine de Ford de H3/ PO},39: on determine tout d'abord les deux translations

A = G~) et B = (~ lr), qui delimitent un domaine fondamental pour I'action de r sur

C x {O}, puis les elements de PO},39 dont les spheres d'isornetrie contribuent au domaine de Fordde H3/ PO} 39 en procedant par rayon decroissant,

2.1.3. Les 'elements suivants permettent de construire Ie domaine de Ford D de H3/ PO},39 dontla projection sur C est representee par la figure 1.

32'" )w '

(-2 _1-",) (2 -~)D2 = 2 D3 = 2W 2' w -2 '

3-"') ( 3-"')5 ' G2 = W.:4 ~3 '

(- W- 2

12 = 6

c = (!2 ~), D 1 = (~ ~),

E= (W~2 ~), F= (W~2 3f), G1= (W~4

II = (-w -32'" ) 1 = (w + 2 32"')w 'i- 4 -w ,1 6 -w'

J= (W+3 2-W) K= (5 -(I+W)) L= (4-W -3- "'2'1)w-6 w+3 ' 2w-4 5 ' 2w+2 4-w

Le theoreme de Poincare permet de determiner la presentation de PO},39 suivante :

PO},39 =< C, E, H, J, K I (J-l K H-l E)2 =1, [C; E] = [E-l K; E-l H] = 1,[C- 1 H C- 1 J-l K H::' E C H-l; J E-l H K- 1 c:' H K:' J] = 1,

[J C-l H C-l J-l K II-I E C H- 1 J- 1 K H-l E C H- 1; K J-l] = 1 > .

ou [Xi Y] est Ie commutateur de X et Y.

PROPOSITION 1. - PO},39 ne contient pas d'element de torsion d'ordre 3.

Demonstration. - Le theorerne de Poincare montre, en considerant les relations d'aretes, quePO},39 n'a pas de 3-torsion.

2.1.4. REMARQUE. - On peut tres facilement montrer que, mis a part ce cas de PO} 39' tous lesautres groupes PO} d' pour les valeurs de d de la liste don nee en introduction, possedent des elementsde torsion cl'ordre 2' et 3 : leurs sous-groupes sans torsion seront done d'indice un multiple de 6.

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Construction d'entrelacs hyperpoliques et arithmetiques

2.2. DItrERMINATION DU SOUS·GROUPE DE PO},3Q '

TH~OR~ME I (voir [I)). - Supposons PO},d tel que WIPO} ,d n'ait que des bouts toriques. Etantdonne un parabolique par classe (modulo PO},d) des cusps de H3 I PO},d' soit I' Ie plus petit sous­groupe distingue de PO},d contenant ces elements. Alors, si f est sans torsion et d'indice fini dansPO} d' H3If est Ie complementaire d'un entrelacs dans une sphere d'homotopie.

On' trouvera une demonstration de ce theorerne dans [5]. L'idee est que l'on peut effectuersuffisamment de remplissages de Dehn sur la variete hyperbolique H3If afin de « tuer » lesparaboliques qui engendrent I' et obtenir ainsi une sphere d'homotopie.

2.2.2. Les quatre classes des cusps de H3 I PO},39 sont representees par : 00 qui est fixe parn = JE-II/K-1C-1I/K-1J, 0 fixe par E, Itw fixe par E-1K, et 11w fixe par K.J- 1.

On pose alors: I' :=« .JE-II/K-1C-1I/K-1J,E,E-IK,KJ-l »; ainsi PO},39/f =< II I I/2 = 1 >~ l/2l, et I' est sans torsion.

Fig. 1.

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J. Stephan

2.3. DETERMINATION DE L'ENTRELACS

Pour conclure, et montrer que H3/r est homeomorphe au complementaire d'un entreIacs dans 8 3

(et non pas dans une hypothetique sphere d'homotopie), iI faut determiner I'entreIacs L en questionet un isomorphisme entre r et 1rl(83\L). C'est la partie Ia plus technique. Le lecteur est renvoyea [5] pour Ie detail des calculs.

2.3.1. Presentation de r. - II y a plusieurs facon de determiner une presentation de r (par exempleIe processus de Schreier). lei, Ie plus simple est de construire un domaine de Ford de H3/r car onsait, d'une part, que rest d'indice 2 dans PO} 39 et que, d'autre part, la translation A n'etant pas dansr, geometriquernent, Ie domaine fondamental'de H3/r sera Ie double de celui de H3IPO},39 (lesidentifications de faces etant toutefois differentes), On a: r ab ~ IS; I'entrelacs aura cinq composantes,

2.3.2. On reecrit la presentation de r sous la forme:

r =< xl, ... ,xsl [Xl;lt], [x2;l2],""[x4;l4] >,

ou chaque z, (respectivement chaque li) est un parabolique fixant un des dnq representants des cuspsde H3/r. On considere alors Xi comme Ie meridien d'une composante de Let li comme sa longitudeexprimee en fonction des Xj (ou de leurs conjugues) : ainsi, lorsque la composante « i » passe sousla composante « j », dans li apparait Ie mot 8X/j-l pour un certain 8 E r. Pour avoir une ideeplus precise de l'entrelacement des composantes, on precede par remplissages de Dehn partieIs Ielong des meridiens Xi, c'est adire sur une partie des composantes afin d'observer Ie comportementdes composantes restantes. L'isomorphime entre r et 1rl(83\L) se determine alors tres facilement:iI correspond a la reecriture de r decrite plus haul.

PROPOSITION 2. - r n'est pas conjugue dans GL2(C) aun sous-groupe de P8L2(039).

Demonstration. - La demonstration est similaire acelIe donnee en 2.6 de [4].

3. L'exemple dans PO} 6,

Pour obtenir I'exemple dans PO},6' ou I = (2, iV6), on a precede de la meme facon queprecedemment en determinant tout d'abord un domaine fondamental de H3IPO},6' puis en determinant

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Fig. 2. Fig. 3.

Construction d'entrelacs hyperpoliques et arithmetiques

un sous-groupe I" d'indice 12 de PO},6 satisfaisant aux conditions du theoreme 1. Toutefois, Iecalcul d'une presentation simple de I" fut beaucoup plus complique que ci-dessus, en particulier pourI'obtention d'un domaine fondamental de H3If', du fait de l'indice eleve de I" dans PO},6 (voir [5]).

Remerciements. Je tiens aremercier particulierernent Mark D. Baker, qui m'a enonce Ie theorerne I, centrala cette note.

Note remise Ie 26 novembre 1996, acceptee apres revision Ie 6 janvier 1997.

References bibliographiques

[I] Baker M. D. Article en preparation.[2] Blume-Nienhaus J., 1992. Lefschetzzahlen fUr Galois-Operationen auf der Kohomologie arithmetisher Gruppen. These de

doctorat, Universite de Bonn.[3] Riley R., 1975. A quadratic parabolic group, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 77, p. 281-288.[4] Stephan J., 1996. Complementaires d'entrelacs dans 8 3 et ordres maximaux des algebres de quatemions M2(Q(iVd)).

C.R. Acad. Sci., Sir. t, t. 322, p. 685-688.[5] Stephan J., 1996. Geometric et homologie de certains groupes arithrnetiques, These de doctorat, Universite de Rennes-I.

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