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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
L'abaque de Smith est l'outil graphique le plus utilis dans le
domaine des hautes frquences. Des appareils de mesure comme les
analyseurs de rseau donnent une reprsentation de leurs acquisitions
dans ce type d'abaque (au choix avec un plan de Bode) ; les
constructeurs de composants HFet micro-ondes prsentent galement
souvent les caractristiques de leurs produits par le mme moyen. Il
s'agit donc d'un outil dont la matrise est indispensable pour
l'tude de circuit haute et hyper frquence. D'autre part, l'abaque
de Smith donne une reprsentation graphique simple de phnomnes
dcrits par des quations mathmatiques complexes ; elle permet une
meilleure comprhension du comportement d'une ligne. Son application
dpasse l'tude des phnomnes de propagation et permet en particulier
de rsoudre les problmes d'adaptation d'impdance en gnral et ce qui
en dcoule (gain, stabilit, bande passante et stabilit d'un
amplificateur HF). Comme nous allons le voir, l'abaque de Smith
n'est rien d'autre qu'une reprsentation du plan complexe avec une
graduation permettant de lire la valeur d'impdance associe un
coefficient de rflexion. Dans la premire partie nous introduirons
quelques lments ncessaires sa construction et dans la seconde nous
nous intresserons aux diffrentes utilisations. En troisime partie,
on rsumera les principales notions connatre sur labaque. En annexe,
on trouvera les lments ncessaires la construction logicielle d'un
abaque, avec Scilab (la mthode tant facilement adaptable d'autres
langages de programmation). L'intrt de cette construction est
essentiellement d'ordre pdagogique, de nombreux logiciels ayant t
dvelopps afin de permettre de travailler avec cet abaque.
Elments de construction
Considrons une ligne sans pertes d'impdance caractristique RC,
charge par une impdance ZU. La rfrence de longueur x=0 est prise au
niveau du gnrateur.
VG
R G
Z UR C
axe x0
a) Coefficient de rflexion
Rappeler l'expression du coefficient de rflexion (x) sur un
point de la ligne situ une distance x du
gnrateur, en fonction des modules des tensions incidente et
rflchie, de z ainsi que de la longueur d'onde (voir exercice
prcdent) Rappeler galement les proprits du module et de la phase de
(x) pour une ligne sans perte.
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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b) Tension le long de la ligne
Exprimer maintenant la valeur complexe de la tension V(x) en un
point de la ligne en fonction de la
valeur de la tension incidente Vi (que nous prendrons comme
origine des phases) et de (x)
Donner une reprsentation graphique dans le plan complexe et
dterminer comment volue cette reprsentation suivant que l'on se
dplace sur la ligne vers le gnrateur ou vers la charge. A quoi
correspond une distance de sur la ligne ? Afin d'adapter la
reprsentation tous les cas particuliers, celle ci est normalise par
rapport une tension incidente unitaire. Donner la nouvelle
reprsentation graphique.
c) Impdance le long de la ligne
Rappeler l'expression du coefficient de rflexion (x) en fonction
de RC et de l'impdance (x)Z en un
point quelconque de la ligne. Afin de gnraliser cette
expression, l aussi on normalise par rapport RC. Exprimer alors (x)
en
fonction de la nouvelle impdance normalise zZ xRC
(x) =( )
D'aprs l'quation qui prcde, chaque valeur de (x) , dont le
module peut voluer entre 0 et 1, correspond une impdance normalise
z(x). L'abaque de Smith est simplement une graduation du plan
complexe par :
- les lieux des points o la valeur relle de z(x) est constante,
comme le montre la figure suivante :
-0.56 1.00 2.56
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
r=0 r=0,2 r=0,5 r=1 r=2
r=5
- les lieux des points o la valeur imaginaire de z(x) est
constante comme le montre la figure
suivante:
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-0.53 1.01 2.55
-1.0
0.0
1.0
x=0
x=0,2
x=0,5
x=1
x=2
x=5
x=-0,2
x=-0,5
x=-1
x=-2
x=-5
En assemblant les deux tracs prcdents on obtient alors l'abaque
complte :
r=0 r=0,2 r=0,5 r=1 r=2
r=5
x=0
x=0,2
x=0,5
x=1
x=2
x=5
x=-0,2
x=-0,5
x=-1
x=-2
x=-5
inductance srie
capacit srie
Afin de se familiariser avec cet abaque, reprons quelques
points. Pour cela, partons de graphe de Fresnel tabli pour les
tensions aux questions prcdentes et reprsentons les vecteurs
obtenus dans le cas dune impdance Z(x) infinie, puis nulle et gale
RC . Vrifier la correspondance des points sur labaque de Smith.
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En repartant de lexpression du coefficient de rflexion en
fonction de lendroit o on se trouve sur la ligne, dterminer comment
se traduit un dplacement le long de la ligne, de la charge vers le
gnrateur, puis dans le sens inverse. Que deviennent alors les
points prcdents lorsque l'on se dplace de /4 sur la ligne ? Est ce
le rsultat attendu ?
Principe dutilisation
Afin d'illustrer les principales proprits de l'abaque, nous
prendrons comme exemple une ligne d'impdance caractristique 50 ,
alimente par un gnrateur adapt, une frquence de 2 GHz. La longueur
relative de la ligne est 1,3 (si on appelle la longueur d'onde =10
cm 2 GHz avec une vitesse de propagation de 2 108 m/s sur la
ligne). L'impdance de la charge vaut ZU=(25+10j). Les exercices
suivants pourront tre faits sur un abaque "papier" ou l'aide d'un
logiciel comme MMIP. Dans ce dernier cas, il est important afin de
bien comprendre l'utilisation de l'abaque, d'avoir prvu sur un
abaque papier, mme de manire grossire, les rsultats donns par le
logiciel.
a) Reprsentation de l'impdance
Nous avons vu que la graduation de l'abaque est normalise par
rapport l'impdance caractristique. Reprsenter alors le point
correspondant zu=ZU/RC sur l'abaque. L'une des principales
utilisations de l'abaque est le calcul de circuits d'adaptation
d'impdance. Ceux-ci tant composs ventuellement d'association en
srie et parallle d'lments ractifs, il est ncessaire de savoir
raliser cette opration d'association sur l'abaque. Comment se
dplace alors le point correspondant ZU si on lui ajoute une
inductance en srie ? une capacit ?
b) Lecture du coefficient de rflexion et de la tension
Lire la valeur du coefficient de rflexion au niveau de la charge
(module et phase) et vrifier par le calcul. Si l'amplitude crte du
gnrateur vaut 5 V, lire sur l'abaque l'amplitude et la phase de la
tension aux bornes de la charge. Vrifier par le calcul.
c) Reprsentation d'un dplacement sur la ligne
Nous avons vu la priodicit du coefficient de rflexion (x) tait
de /2, en consquence de quoi une rotation complte sur l'abaque
correspondait un dplacement de /2 (vers la charge dans le sens
positif, vers le gnrateur dans le sens ngatif). Lire sur l'abaque
l'impdance d'entre de la ligne. Vrifier par le calcul. Lire
galement la tension l'entre de la ligne (en module et en phase).
Vrifier par le calcul. Rappeler quelle tension est prise pour
origine des phases.
d) Lecture d'une admittance
Rappeler l'expression liant le coefficient de rflexion (x) en
fonction de l'impdance z(x) en un point de la ligne.
Replaons z(x) par son admittance yz
(x)(x)
=1
dans l'expression de (x) .
Comment sont modifis la phase et le module de (x) ? Conclure sur
la manire de lire l'admittance correspondant une admittance (et
rciproquement) sur l'abaque. Lire sur l'abaque la valeur de
l'admittance l'entre et la sortie de la ligne. Vrifier par le
calcul.
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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Suite la remarque concernant les circuits d'adaptation
d'impdance, il est galement ncessaire de savoir ajouter une
impdance en parallle sur l'abaque. Imaginons qu'une capacit CE se
trouve l'entre de la ligne, c'est dire en parallle sur l'impdance
d'entre ZE de celle-ci. Deux solutions sont possibles :
- Aprs avoir dtermin le point de ZE puis de YE, d'aprs les
calculs que nous venons de faire, l'ajout d'une susceptance (partie
imaginaire d'une admittance) normalise YE RC se traduit par un
dplacement positif (la partie imaginaire de l'admittance est
positive) sur un cercle rsistance constante. - Certains abaques,
dits abaque d'impdance et d'admittance prsentent deux graduations,
une traditionnelle pour les impdances, l'autre symtrique par
rapport au point (0,1) pour les admittances. La partie suprieure de
cette dernire graduation correspondant aux susceptances ngatives,
on peut donc lire directement l'admittance ou l'impdance suivant la
graduation utilise. L'ajout d'une capacit se traduira alors par un
dplacement, sur la graduation admittance, dans le sens ngatif (la
susceptance est positive mais l'chelle de l'abaque est inverse),
sur un cercle conductance constante. La figure suivante reprsente
un abaque de Smith gradu en admittance uniquement (les conductances
tant repres par la lettre g et les susceptances par la lettre
b)
g=5
g=2 g=1 g=0,5g=0,2
g=0 b=0
b=-5
b=-2
b=-1
b=-0,5
b=-0,2
b=5
b=2
b=1
b=0,5
b=0,2
susceptance ngativeinductance parallle
susceptance po sitivecapacit parallle
Dterminer par les deux mthodes la nouvelle impdance vue par le
gnrateur si on lui ajoute une capacit de 1,27 pF l'entre de la
ligne.
e) Lecture du taux d'onde stationnaire (TOS ou ROS)
Rappeler l'expression de la tension en un point quelconque de la
ligne en fonction de la tension incidente Vi et du coefficient de
rflexion (x) . Lire sur l'abaque les points o on trouve les valeurs
maximale VMAX et minimale VMIN de la tension (on supposera la ligne
de longueur suprieure /2). Vrifier par le calcul. On rappelle que
le taux d'ondes stationnaires est dfini par TOS=VMAX/VMIN. Exprimer
alors ce dernier en fonction de (x) .
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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Rappeler dans le cas d'une charge rsistive normalise ru=RU/RC
l'expression de celle-ci en fonction de u. Comparer les deux
expressions obtenues et conclure sur la lecture directe du taux
d'ondes stationnaires sur l'abaque de Smith. Lire le taux d'ondes
stationnaires et vrifier par le calcul.
f) Reprsentation d'un dplacement sur la ligne d'impdance
caractristique diffrente
Les circuits d'adaptation d'impdances jouent couramment sur la
valeur de l'impdance caractristique d'une ligne. Imaginons que le
gnrateur soit reli notre ligne 50 par une ligne d'impdance
caractristique 130 et de longueur relative 0,05. 2 GHz. Pour
calculer la nouvelle impdance vue par le gnrateur, il est ncessaire
de reprsenter l'impdance d'entre de la ligne 50 (dtermine comme
prcdemment) dans un abaque normalis 130 (c'est dire de dplacer le
point correspondant ZE), puis de procder comme prcdemment dans le
cas d'une progression sur la ligne vers le gnrateur. Calculer alors
cette impdance.
Rsum et complments
La matrise des quelques lments que nous venons de voir permettra
une utilisation correcte et efficace de l'abaque de Smith. Il est
essentiel de retenir les points suivants :
- notions de normalisation par rapport aux tensions et rsistance
caractristique
-0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
V/V i
- dplacement sur l'abaque vers le gnrateur et vers la charge.
Une rotation complte sur
labaque correspond un dplacement de /2 sur la ligne, vers le
gnrateur pour le sens ngatif et vers la charge pour le sens positif
(voir convention de sens sur la premire figure).
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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(1,0)
dplacementvers la charge(sens positif)
dplacementvers le gnrateur
(sens ngatif)
- conversion d'une impdance en admittance et rciproquement
(1,0)
- ajout d'une impdance en srie et parallle
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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inductanceparallle
capacitparallle
inductancesrie
capacitsrie
- courbes coefficients de qualit constant.
Cette notion est importante pour dterminer la bande passante et
rponse en frquence dun quadriple ; pour raliser ladaptation
dimpdance dun systme bande troite, on peut se dplacer dans nimporte
quel endroit de labaque, alors que pour un systme bande large, il
faut veiller rester dans une zone o le coefficient de qualit reste
infrieur au rapport de la frquence centrale sur la bande passante
(B=f0/Q). Le coefficient de qualit est lui aussi normalis par
rapport la rsistance caractristique.
Q=1
Q=2
Q=5
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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- dplacement sur une ligne d'impdance caractristique diffrente
de celle de la normalisation. Cette opration seffectue par une
normalisation du trac par rapport la nouvelle impdance
caractristique. Le dplacement le long de la ligne se fait alors de
manire classique, puis on normalise de nouveau si ncessaire par
rapport lancienne impdance.
Une fois ces lments matriss, on peut ensuite passer aux
diffrentes applications et en particulier l'utilisation de l'abaque
pour le calcul de circuits d'adaptation d'impdance.
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
Denis Rabast 10/15 IUFM Aix Marseille
Annexe : programmes des illustrations
Trac partie relle d'impdance constante.
clear; // nombre de tracs et nombre de points par trac T=6;
N=500; // valeur des rsistances affiches param=[0 0.2 0.5 1 2 5];
// // espacement logarithmique entre les points
abs_var=logspace(-2,3,N/2); var=[abs_var(N/2:-1:1),-1*abs_var]'; //
// vecteur constant cst=ones(N,1); // // dfinition des rsistances,
ractances et impdances r=cst*param; x=var*ones(1,T); z=r+%i*x; //
// calcul du coefficient de rflexion et vecteur tension
un=ones(N,T); rau=(z-un)./(z+un); vect=un+rau; // // affichage
xbasc(); // y=4 pour vue isomtrique, z=5 pour tracer les axes
plot2d(real(vect), imag(vect),cst',"045",nax=[2,2,2,4]); // //
commentaires xstring( 0.03, 0, ["r=0"]); xstring( 0.2, 0,
["r=0,2"]); xstring( 0.55, 0, ["r=0,5"]); xstring( 0.9, 0,
["r=1"]); xstring( 1.2, 0, ["r=2"]); xstring( 1.7, 0.15,
["r=5"]);
Trac partie imaginaire d'impdance constante.
clear; // nombre de tracs et nombre de points par trac T=6;
N=500; // // valeur des ractances affiches param=[0 0.2 0.5 1 2 5];
val_x=[-1*param(T:-1:1),param]; // // espacement logarithmique
entre les points abs_var=logspace(-2,3,N/2);
var_r=[abs_var(N/2:-1:1) , abs_var]'; // // vecteur constant
cst=ones(N,1); // // dfinition des rsistances, ractances et
impdances r=var_r*ones(1,2*T); x=cst*val_x; z=r+%i*x;
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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// // // // // calcul du coefficient de rflexion et vecteur
tension un=ones(N,2*T); rau=(z-un)./(z+un); vect=un+rau; // //
affichage xbasc(); // y=4 pour vue isomtrique, z=5 pour tracer les
axes plot2d(real(vect), imag(vect),cst',"045",nax=[2,2,2,2]); // //
commentaires xstring( 0.05, 0, ["x=0"]); xstring( 0.1, 0.4,
["x=0,2"]); xstring( 0.15, 0.8, ["x=0,5"]); xstring( 1, 1,
["x=1"]); xstring( 1.6, 0.8, ["x=2"]); xstring( 1.95, 0.4,
["x=5"]); xstring( 0.1, -0.45, ["x=-0,2"]); xstring( 0.15, -0.85,
["x=-0,5"]); xstring( 1, -1.1, ["x=-1"]); xstring( 1.6, -0.9,
["x=-2"]); xstring( 1.95, -0.45, ["x=-5"]);
Trac complet de labaque dimpdance.
// nombre de tracs et nombre de points par trac T=6; N=500; //
// valeur de rsistances et ractances affiches param_r=[0 0.2 0.5 1
2 5]; param_x=[-1*param_r(T:-1:1),param_r]; // // variations
logarithmiques pour les rsistances et ractances
abs_var=logspace(-2,3,N/2); var_r=[abs_var(N/2:-1:1) , abs_var]';
var_x=[abs_var(N/2:-1:1),-1*abs_var]'; // // dfinition d'une
constante cst=ones(N,1); // // calcul des rsistances, ractances et
impdances r1=cst*param_r; x1=var_x*ones(1,T); r2=var_r*ones(1,2*T);
x2=cst*param_x; r=[r1,r2]; x=[x1,x2]; z=r+%i*x; // // calcul du
coefficient de rflexion et vecteur tension un=ones(N,3*T);
rau=(z-un)./(z+un); vect=un+rau; // // affichage
xset("window",0);xbasc(0); // y=4 pour vue isomtrique, z=0 pour
effacer les axes plot2d(real(vect), imag(vect),cst',"040"); // //
commentaires xstring( 0.03, 0, ["r=0"]); xstring( 0.2, 0,
["r=0,2"]); xstring( 0.55, 0, ["r=0,5"]);
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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// xstring( 0.9, 0, ["r=1"]); xstring( 1.2, 0, ["r=2"]);
xstring( 1.7, 0.15, ["r=5"]); xstring( -0.2, 0, ["x=0"]); xstring(
-0.15, 0.4, ["x=0,2"]); xstring( 0.15, 0.8, ["x=0,5"]); xstring( 1,
1, ["x=1"]); xstring( 1.6, 0.8, ["x=2"]); xstring( 1.95, 0.4,
["x=5"]); // // // xstring( -0.2, -0.45, ["x=-0,2"]); xstring(
0.15, -0.85, ["x=-0,5"]); xstring( 1, -1.1, ["x=-1"]); xstring(
1.6, -0.9, ["x=-2"]); xstring( 1.95, -0.45, ["x=-5"]); //
xstring(2, 0.8, ["inductance srie"]); xstring(2, -0.8, ["capacit
srie"]); //
Trac de labaque dadmittance ( la suite du programme prcdent)
// // calcul de la nouvelle expression du coefficient de
rflexion et vecteur tension rau_ad=-rau; vect_ad=un+rau_ad; // //
affichage xset("window",1);xbasc(1); // y=4 pour vue isomtrique,
z=0 pour effacer les axes plot2d(real(vect_ad),
imag(vect_ad),cst',"040"); // xstring( 0.25, 0.15, ["g=5"]);
xstring( 0.7, 0, ["g=2"]); xstring( 1.05, 0, ["g=1"]); xstring(
1.35, 0, ["g=0,5"]); xstring( 1.7, -0.1, ["g=0,2"]); xstring( 1.85,
0, ["g=0"]); // xstring( 2.1, 0, ["b=0"]); xstring( -0.1, 0.4,
["b=-5"]); xstring( 0.2, 0.8, ["b=-2"]); xstring( 1, 1, ["b=-1"]);
xstring( 1.6, 0.8, ["b=-0,5"]); xstring( 1.95, 0.4, ["b=-0,2"]); //
xstring( -0.1, -0.45, ["b=5"]); xstring( 0.2, -0.85, ["b=2"]);
xstring( 1, -1.1, ["b=1"]); xstring( 1.6, -0.9, ["b=0,5"]);
xstring( 1.95, -0.45, ["b=0,2"]); // xstring(2, 0.8, ["inductance
parallle";"susceptance ngative"]); xstring(2, -0.8, ["capacit
parallle";"susceptance positive"]);
Trac dun dplacement sur la ligne
theta=[%pi/4 : .01 : 3*%pi/2] ; rau_dc=.5*exp(%i*theta) ;
vect_dc=ones(1,length(rau_dc))+rau_dc; xset("thickness",3);
plot2d(real(vect_dc), imag(vect_dc),1,"000");
Trac dun dplacement ractance constante
x_imp=[-.6: 0.01: .6]; r_imp=0.3*ones(1,length(x_imp));
z_imp=r_imp+%i*x_imp; un_imp=ones(1, length(x_imp));
rau_imp=(z_imp-un_imp)./(z_imp+un_imp); vect_imp=un_imp+rau_imp; //
xset("thickness",3);
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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plot2d(real(vect_imp), imag(vect_imp),1,"000"); Trac dun
dplacement susceptance constante
rau_adm=-rau_imp; vect_adm=un_imp+rau_adm; //
xset("thickness",3); plot2d(real(vect_adm),
imag(vect_adm),1,"000"); Trac dun dplacement coefficient de qualit
constant
Q=1; r_q1=logspace(-4,3,N/2); r_q2=r_q1(N/2 : -1 : 1);
x_q1=Q.*r_q1; x_q2=-Q.*r_q2; r_q=[r_q1,r_q2]; x_q=[x_q1,x_q2];
z_q=r_q+%i*x_q; rau_q=(z_q-ones(1,N))./(z_q+ones(1,N));
vect_q=ones(1,N)+rau_q; xset("thickness",3); plot2d(real(vect_q),
imag(vect_q),1,"000");
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Construction et utilisation de l'abaque de Smith
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Annexe 2 : abaque impdance
r=0 r=0,2 r=0,5 r=1 r=2
r=5
x=0
x=0,2
x=0,5
x=1
x=2
x=5
x=-0,2
x=-0,5
x=-1
x=-2
x=-5
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Annexe 3 : abaque admittance
g=5
g=2 g=1 g=0,5g=0,2
g=0 b=0
b=-5
b=-2
b=-1
b=-0,5
b=-0,2
b=5
b=2
b=1
b=0,5
b=0,2
