1.  

L’équation  −2𝑥 + 4𝑥! + 1 = 0  a  pour  discriminant  :    

∆  = 24   ∆  = −20   ∆  = −𝟏𝟐  

Attention  à  l’ordre  des  termes  dans  l’expression  −2𝑥 + 4𝑥! + 1  !  Ici  𝑎 = 4,  𝑏 =  −2  et  𝑐 = 1.    Ainsi,  ∆  = 𝑏! − 4𝑎𝑐 = −2 ! − 4  ×  4  ×  1 = 4− 16 =  −12.  

2.  

   On  considère  la  représentation  graphique  ci-­‐contre,  d’une  fonction  polynôme    du  second  degré  𝑔  définie  sur  ℝ.  Le  discriminant  associé  à  la  fonction  𝑔  est  :    

strictement  négatif   Nul   strictement  positif  

D’après  le  représentation  graphique,  𝑔 𝑥 = 0  admet  deux  solutions  réels  distinctes.  Donc  le  discriminant  associé  à  la  fonction  𝑔  est  strictement  positif.  

3.  

Le  coefficient  multiplicateur  correspondant  à  l’évolution  globale  d’une  baisse  de  5  %  suivie  d’une  baisse  de  10  %  et  enfin  d’une  hausse  de  15  %  est  :    

1   0,98325   0,01675  

1−5100  ×   1−

10100  ×   1+

15100 =  0,95  ×  0,90  ×  1,15 = 0,98325  

4.  

On  considère  une  variable  aléatoire  X  qui  suit  une  loi  binomiale  ℬ(3  ; 0,7).  

La  probabilité  d’avoir  trois  succès  est  égale  à  3  ×  0,7.  

Le  nombre  0,7  représente  la  probabilité  de  l’échec   L’espérance  E[X]  =  2,1.  

E[X]  =  𝑛  ×  𝑝 = 3  ×  0,7 = 2,1.  𝑛  représente  le  nombre  de  répétitions  identiques  et  indépendantes  d’épreuves  de  Bernoulli  et  𝑝  représente  la  probabilité  du  succès.  

 

Exercice  2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

On  considère  la  fonction  𝑓  définie  par  𝑓 𝑥 = −5 𝑥 + 3  

1. Détermine  le  domaine  de  définition  de  la  fonction  𝑓  que  l’on  note  𝐷!.  

La  fonction  𝑓  est  définie  si  et  seulement  si  𝑥 + 3   ≥ 0,  c’est  à  dire  lorsque  𝑥   ≥  −3.  Donc  le  domaine  de  définition  est  :  𝑫𝒇 = [−𝟑  ;  +  ∞[.  

2. Calcule  l’image  de  6  par  la  fonction  𝑓.  

     

Exercice  1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

3. Détermine  les  variations  de  la  fonction  𝑓  sur  𝐷!  (pensez  à  justifier  chaque  étape).    /  !  \  Raisonnement  faux  !!  

 Attention,  ici  la  fonction  proposée  n’est  pas  une  fonction  affine  de  la  forme  𝒂𝒙+ 𝒃  !  𝑓  est  une  fonction  composée  de  plusieurs  fonctions  usuelles.    

   Pour  −3 ≤ 𝑎 < 𝑏,  on  a  𝑓 𝑎 > 𝑓(𝑏),  donc  la  fonction  𝑓  est  décroissante  sur  l’intervalle  [−𝟑  ;  +∞[    

L’argument  ici,  c’est  la  monotonie  de  la  fonction.  On  «  compose  »  avec  la  fonction  racine  carrée  qui  est  croissante  sur  ℝ!donc  le  sens  de  l’inégalité  est  conservé.  

dans  l’intervalle  [−𝟑  ;  +∞[  

4. Encadre  𝑓(𝑥)  pour  tout  réel  𝑥  de   1  ; 7 .  

/  !  \  Raisonnement  faux  !!  

 En  calculant  𝑓 1  et  𝑓 7 ,  on  peut  seulement  affimer  que  𝑓 1 >  𝑓 7 .  C’est  tout…  On  ne  peut  pas  en  faire  une  généralité  pour  tous  les  nombres  réels  dans  l’intervalle  [1  ;  7].    Pour  1   ≤ 𝑥 ≤ 7,  on  a  montré  à  la  question  3.,  que  la  fonction  𝑓  est  décroissante.  Ainsi,  on  peut  en  tirer  que  𝑓 1 ≥ 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 7 .  C’est  à  dire  :  −5 10  ≤ 𝑓 𝑥 ≤ −10,  pour  𝑥 ∈ [1  ; 7].    

Exercice  3                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

On  considère  la  fonction  𝑓  définie  sur  ℝ  par  𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥 + 3.  Détermine  une  équation  de  la  tangente  à  la  courbe  représentative  de  la  fonction  𝑓  au  point  d’abscisse  2.    

         

     

Exercice  4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Une  entreprise,  dont  la  production  de  casques  audio  varie  entre  50  et  250  pièces  par  jour,  estime  que  le  coût  de  fabrication  (en  €)  est  donné  par  :  

𝐶 𝑞 = 0,08𝑞! − 1,6𝑞 + 108,      où  𝑞  est  le  nombre  de  casques  produits.  Chaque  casque  est  vendu  15  €  l’unité.  

1. a)  Combien  coûte  la  fabrication  de  80  casques  audio  ?    b)  Calcule  la  recette  associée  à  la  vente  de  80  casques.    L’entreprise  réalise-­‐t-­‐elle  des  bénéfices  pour  80  casques  produits  et  vendus  ?    

 

2. a)  Exprime  la  recette  𝑅(𝑞),  en  €,  en  fonction  de  la  quantité  𝑞  de  casques  fabriqués  et  vendus  en  un  jour.  b)  Montre  que  le  bénéfice  sur  une  journée  correspondant  à  la  fabrication  et  à  la  vente  de  𝑞  casques  est  :  

𝐵 𝑞 =  −0,08𝑞! + 𝟏𝟔,𝟔𝒒− 108    (erreur  dans  l’énoncé)  

 

3. Combien  faut-­‐il  construire  et  vendre  de  casques  pour  que  le  bénéfice  sur  une  journée  soit  supérieur  ou  égal  à  400  €  ?    On  peut  utiliser  la  calculatrice  pour  répondre  à  cette  question  ou  bien  y  aller  à  tâtons  mais  la  réponse  reste  incomplète.    

     

Bénéfice  =  Recette  –  Coût  

Méthode  experte  :      «  En  français  »  :  Combien  faut-­‐il  construire  et  vendre  de  casques  pour  que  le  bénéfice  sur  une  journée  soit  supérieur  ou  égal  à  400  €  ?  

«  En  mode  mathématique  »  :  on  cherche  le  ou  les  valeur(s)  de  𝑞  tels  que  𝐵 𝑞 ≥ 400.  D’après  la  question  précédente,  on  sait  que  𝐵 𝑞 =  −0,08𝑞! + 13,4𝑞 − 108.  (Je  repars  avec  l’expression  fausse  de  l’énoncé).    

−0,08𝑞! + 13,4𝑞 − 108   ≥ 400      est  équivalent  à      −0,08𝑞! + 13,4𝑞 − 508   ≥ 0  

On  calcule  le  discriminant  ∆  avec  les  coefficients  𝑎 =  −0,08,  𝑏 = 13,4  et  𝑐 =  −508.  ∆  = 𝑏! − 4𝑎𝑐 = 13,4 ! − 4  ×   −0,08 ×   −508 =  17  

∆  = 113 > 0  donc  l’équation  𝐵 𝑞 = 0  admet  deux  solutions  distinctes  :  

𝑞! =−𝑏 − ∆2𝑎 =

−13,4−   172  ×   −0,08  ≈ 109      et      𝑞! =

−𝑏 + ∆2𝑎 =

−13,4+   172  ×   −0,08  ≈ 58  

 Donc  𝐵 𝑞  est  du  signe  inverse  de  𝑎  (c’est  à  dire  positif)  entre  les  racines,  donc  pour  tous  les  nombres  réels  dans  l’intervalle  [58  ;  109].  Il  faut  donc  construire  entre  58  et  109  casques