Coup Belier

Écoulements transitoires en conduite

LA HOUILLE BLANCHE/N° 2-2006 100

Ecoulements transitoires en conduite et coup de bélier, calcul des profils radiaux de la vitesse axiale

Transient laminar flow in pipes and water hammer, instantaneous axial velocity profiles

Lamjed Hadj Taïeb

([email protected])

Ezzeddine Hadj Taïeb

([email protected])U.R. : Mécanique des fluides appliquée et modélisation, ENIS, Sfax, Tunisie.

I ■ INTRODUCTION

Depuis plus d’un siècle, nombreuses ont été les études théoriques et expérimentales portant sur les écoulements transitoires en conduites. Du point de vue pratique et indus-triel, on s’est surtout intéressé à l’estimation des pressions provoquées par le phénomène dit de coup de bélier, au nom suffisamment évocateur des dommages possibles sur les canalisations et le matériel hydraulique. Les circonstances où peuvent apparaître ces variations de pression suite de pertur-bations volontaires (changement de régime) ou accidentelles (rupture de conduites, arrêt de pompes) sont nombreuses.

A coté du cas historique des conduites forcées d’usine hydroélectrique qui fut à l’origine du développement de bien de méthodes de calcul, citons pour mémoire les réseaux urbains de distribution d’eau potable, les systèmes de condui-tes d’irrigation et les oléoducs en génie pétrolier.

En écoulement transitoire, turbulent ou laminaire, la part essentielle de la dissipation d’énergie provient des pertes de charge dues au frottement du fluide sur les parois, c’est pourquoi plusieurs modèles de frottement en régime transi-toire ont été développés.

Habituellement, les chercheurs utilisent la même expres-sion du frottement valable en écoulement permanent dans l’analyse de l’écoulement transitoire. Le modèle ainsi obtenu

est dit modèle quasi-stationnaire [Streeter et Wylie (1983)]. La contrainte de cisaillement pariétale est exprimée en fonc-tion de la vitesse moyenne du fluide par la formule de Darcy-Weisbach. Ceci revient à dire que les profils de vitesse sont paraboliques.

En fait, il semble que le frottement ainsi calculé soit sous-estimé car la dissipation d’énergie doit être plus importante dans un écoulement transitoire.

En effet, les travaux expérimentaux et théoriques mon-trent que la distribution des vitesses dans une section de la conduite n’est pas la même en écoulement permanent et en écoulement transitoire. Puisque le frottement du fluide dépend étroitement de cette distribution, les formules du frottement en écoulement permanent ne sont pas valables pour l’écoulement transitoire et en particulier en régime laminaire.

Des modèles plus approfondis ont été proposés pour per-mettre une meilleure résolution des écoulements transitoi-res laminaires. On peut citer, à titre d’exemple, ceux de Zielke (1968), de Trikha (1975), de Brunone et al. (1991) et Vitkovsky et Simpson (1998).

Dans ces modèles, le terme de frottement est fonction, non seulement de la vitesse moyenne instantanée, mais aussi des fluctuations de la vitesse et des vitesses anté-rieures.

A model for transient laminar flow in pipes, giving the instantaneous axial velocity profiles, is presented. The model is inspired from Prado et Larreteguy (2002) model and is based on the polynomial expansion of the radial profiles of axial velocities, and the solution of the resulting set of equations by the Lax-Wendroff method. The test of the new model against experimental results, mathematical models and numerical simulations of other authors show that it is able to obtain comparable results.

ECOULEMENTS TRANSITOIRES EN CONDUITE ET COUP DE BÉLIER, CALCUL DES PROFILS RADIAUX DE LA VITESSE AXIALE

LA HOUILLE BLANCHE/N° 2-2006101

Plus récemment, Vardy et al. (1991) ont proposé un modèle bidimensionnel avec discrétisation du domaine sous la forme d’un ensemble d’anneaux cylindriques concentriques, et résolution du problème transitoire pour chacun d’eux.

Les études faites par Vardy montrent que les profils de vitesse instantanée en régime transitoire ne sont pas parabo-liques. Puisque le frottement du fluide dépend étroitement de la distribution des vitesses, il ne peut donc être exprimé comme en régime permanent.

Pour calculer les contraintes de cisaillement pariétal dans un écoulement transitoire laminaire en conduite, un nou-veau modèle, basé sur le développement polynomial des profils radiaux de la vitesse axiale, a été proposé par Prado et Larreteguy (2002). La résolution numérique de la formu-lation mathématique élaborée a été obtenue par la méthode des caractéristiques à trois directions.

Dans ce papier, une modélisation numérique plus simple et plus fiable des écoulements transitoires en régime lami-naire, permettant la détermination des profils radiaux de la vitesse axiale, est présentée. Cette modélisation simplifie le modèle théorique de Prado et Larreteguy (2002) et la simulation numérique est effectuée par la méthode des dif-férences finies de Lax- Wendroff. L’étude est illustrée par diverses applications dans lesquelles les résultats obtenus sont comparés avec des résultats expérimentaux, numériques et analytiques tirés de la littérature.

II ■ FORMULATION MATHÉMATIQUE

Considérons un écoulement laminaire purement axial dans une conduite quasi-rigide horizontale de diamètre D. La distribution de la pression à travers la section de la conduite est constante, la vitesse moyenne, V0, est négligeable devant la célérité des ondes sonores dans l’eau C et les contraintes normales de viscosité sont négligeables.

● II.1 Relations de base

L’écoulement laminaire étant supposé axisymétrique, la vitesse axiale est exprimée par un polynôme

de la coordonnée radiale adimensionnelle :

(1)

où aj sont des coefficients définis par et J

est un ensemble de nombres entiers sélectionnés par l’utilisa-teur, défini par .

La matrice G est telle que et les vitesses Vi

sont définies par les moyennes pondérées :

(2)

Il faut noter que l’indice j n’est pas une séquence com-plète de nombres entiers. Par conséquent, la notation matri-cielle est un abus de notation.

L’équation (1) vérifie automatiquement la condition de non glissement à la paroi, c’est à dire à , et devrait être

capable de représenter aussi la condition de l’écoulement laminaire permanent (écoulement de Poiseuille-Hagen) :

(3)

Pour cette raison, la puissance j = 2 devrait toujours être présente. Les autres puissances sont choisies de manière à mieux représenter les profils de vitesse.

Toutefois, l’ensemble J doit contenir des nombres entiers assez grands correspondant aux hautes puissances pour mieux représenter les variations de la pente des profils de vitesse au voisinage de la paroi.

Selon les hypothèses sus-mentionnées, le système des équations du modèle de Prado & Larreteguy régissant les écoulements transitoires laminaires peut être simplifié :

(4)

● II.2 Détermination des termes sources

Dans ce modèle, les termes sources Si sont exprimés en fonction des moyennes pondérées Vi par la relation :

(5)

Les coefficients de la matrice H sont définis par :

(6)

où ν est la viscosité cinématique du fluide et τi sont les contraintes de cisaillement pondérées.

Pour un fluide newtonien, la contrainte à la paroi est :

(7)

Par conséquent, le présent modèle considère que la contrainte de cisaillement pariétale, τ0, est non seulement fonction de la vitesse moyenne, comme dans le cas du modèle quasi-stationnaire, mais aussi des vitesses moyennes pondérées.

Afin de valider le modèle proposé, nous avons considéré l’ensemble .

Pour cet ensemble, on a :

Dans ce cas, on peut vérifier que la contrainte pariétale s’écrit :

(8)



● II.3 Méthode numérique de Lax-Wendroff

La résolution numérique du système d’équations (4) est effectuée par la méthode des différences finies de Lax-Wendroff (1966). C’est un schéma numérique explicite de précision d’ordre deux à deux pas : prédiction et correction. Son élaboration est basée sur le caractère conservatif des équations de l’écoulement transitoire qui peuvent s’écrire :

(9)

Q1 et Q2 sont des fonctions vectorielles du vecteur inconnu W.

Pour le modèle proposé, le système (4) peut se mettre sous une telle formulation, avec :

La méthode de Lax-Wendroff est du type « prédicteur- correcteur » pour laquelle le plan (x,t) est quadrillé par un réseau de droites orthogonales parallèles aux axes x et t (Figure 1).

On obtient pour la phase de prédiction :

(11)

et pour la phase de correction :

(12)La méthode de Lax-Wendroff est un schéma explicite et

obéit à un critère de stabilité qui limite le pas de temps en fonction du pas d’espace.

Ce critère se traduit par la condition de Courant-Friedrichs-Levy :

(13)

III ■ APPLICATION ET RÉSULTATS

Afin de valider la modélisation numérique proposée, les résultats obtenus sont comparés avec les résultats expéri-mentaux, numériques et analytiques disponibles dans la lit-térature.

● III.1 Validation expérimentale

Dans ce premier test, les résultats obtenus sont comparés avec ceux de l’expérience de Holmboe & Rouleau (1967) concernant le phénomène du coup de bélier dans l’installa-tion hydraulique représentée sur la figure 2. Le nombre de Reynolds de l’écoulement permanent initial est Re ≈ 77 et l’écoulement transitoire est provoqué par la fermeture brus-que de la vanne.

III.1.1 Courbes de pression

Les figures 3 et 4 montrent l’excellente concordance entre les courbes de pression, au niveau de la vanne et de la sec-tion médiane de la conduite, obtenues par le modèle pro-posé et celles de l’expérience de Holmboe & Rouleau. La concordance est nettement meilleure qu’avec les résultats du modèle quasi-stationnaire.

III.1.2 Contrainte de cisaillement pariétal et vitesse moyenne

La figure 5 montre l’évolution de la contrainte de cisaille-ment pariétal. Il est clair que le modèle quasi-stationnaire ne représente pas correctement cette contrainte. Par contre les résultats du modèle présenté concordent parfaitement avec

Figure 1 : Schéma de Lax-Wendroff

Figure 2 : Installation de l’expérience de Holmboe & Rouleau

Figure 3 : Diagrammes de pression à la vanne.



ceux de Vardy & Hwang (1991) obtenus par discrétisation de l’écoulement en 24 cylindres concentriques. Ceci indique que le modèle proposé demande moins de calcul pour une précision comparable.

L’évolution de la vitesse moyenne à la section médiane de la conduite, obtenue par le modèle quasi-stationnaire et par le modèle proposé, est représentée sur la figure 6.

L’examen de cette figure montre bien la différence entre les deux modèles.

III.1.3 Profils radiaux de la vitesse instantanée

Les f igures 7 et 8 représentent les prof ils radiaux de la vitesse axiale instantanée au milieu de la conduite,

, aux instants t = {t*, t* + T/4, t* + T/2,

t* + 3T/4, t* + T}, où t* = L/2C est le temps mis par la pre-mière onde de pression pour arriver à la position x = L/2, et T = 4L/C est la période de l’onde.

Ces profils, calculés avec le modèle quasi-stationnaire et le modèle proposé, ont été tracés à partir des valeurs des vitesses moyennes pondérées Vi.

La figure 7 montre que les profils radiaux de la vitesse instantanée en régime transitoire ne sont plus paraboliques comme en régime permanent.

Par contre, la figure 8 montre que les profils radiaux de la vitesse axiale, issus du modèle quasi-stationnaire, sont para-boliques comme en régime permanent.

● III.2 Validation numérique

Les résultats du modèle proposé, issus de la méthode de Lax-Wendroff, sont comparés avec les résultats numéri-

Figure 4 : Diagrammes de pression à la section médiane de la conduite x = L/2.

Figure 5 : Evolution de la contrainte de cisaillement pariétal à la section médiane.

Figure 6 : Evolution de la contrainte de cisaillement pariétal à la section médiane.

Figure 8 : Profils de la vitesse instantanée à la section médiane de la conduite (modèle quasi-stationnaire)

Figure 7 : Profils de la vitesse instantanée à la section médiane de la conduite (modèle proposé)



ques de Jian-Jun Shu (2003) basés sur le modèle de Zielke (1968).

Jian-Jun Shu a étudié l’écoulement transitoire laminaire dans l’installation de la figure 9. Les caractéristiques de cette installation sont données dans le Tableau 1. Le régime transitoire est provoqué par la fermeture brusque de la vanne à l’extrémité aval de la conduite.

Tableau 1 : Caractéristiques de l’installation

Caractéristiques Valeurs

Rayon de la conduite R = 4 mm

Longueur de la conduite L = 20 m

Masse volumique du fluide ρ = 871 Kg/m2

Viscosité dynamique µ = 50,5018 cP

Célérité C = 1392 m/s

Pression amont P1 3 MPa

Pression aval P2 2 MPa

La figure 10 montre l’excellente correspondance entre les résultats numériques de Jian-Jun Shu calculés par la méthode des éléments finis, et ceux du modèle proposé, alors que l’écart est perceptible en les comparant avec les résultats du modèle quasi-stationnaire.

La figure 11 représente l’évolution de la pression à la section médiane de la conduite. Là encore, on remarque la différence, assez nette, entre les résultats du modèle proposé et ceux du modèle quasi-stationnaire.

● III.3 Validation analytique

Dans une étude analytique de l’écoulement transitoire laminaire basée sur les équations de l’oscillation en masse, Bird (1968) a considéré un fluide de masse volumique ρ et de viscosité dynamique µ constantes, s’écoulant dans une conduite horizontale, cylindrique de rayon R et de lon-gueur L assez grande. Initialement, le fluide est au repos :

et .

A l’instant t = 0, l’écoulement transitoire est provoqué par imposition d’un gradient de pression (p0 – pL)/L entre l’ex-trémité amont et l’extrémité aval de la conduite.

Figure 9 : Schéma de l’installation de l’application de Jian-Jun Shu.

Figure 10 : Diagrammes de pression à l’extrémité amont de la conduite.

Figure 11 : Diagrammes de pression à la section médiane de la conduite.

Figure 12 : Evolution des profils de la vitesse à la section médiane de la conduite



Afin de valider le modèle proposé, nous avons examiné le même régime d’écoulement étudié par Bird en considérant l’installation de la figure 9 pour laquelle le régime transitoire est provoqué par l’ouverture instantanée de la vanne.

La comparaison des profils de vitesse, représentés sur la figure 12, montre une excellente correspondance entre les résultats analytiques et ceux du modèle proposé. Cette figure montre bien que les profils radiaux de la vitesse instantanée en régime transitoire laminaire ne sont pas paraboliques.

Toutefois, la solution analytique est basée sur la théorie du mouvement en masse supposant qu’il n’y a pas d’onde de pression se propageant le long de la conduite. Ainsi, comme le montre la figure 13 qui représente les profils de vitesse le long de la conduite pour différents instants, les résultats du modèle analytique ne sont pas corrects quand les effets de réflexion de l’onde de pression sont importants. Les profils de vitesse obtenus par ce modèle sont les mêmes à n’im-porte quelle section de la conduite.

IV ■ CONCLUSION

En vue de résoudre le problème des écoulements transi-toires laminaires, un modèle mathématique, inspiré de celui de Prado et Larreteguy, et fournissant les profils radiaux de la vitesse axiale instantanée est présenté. Le modèle est basé sur le développement polynomial des profils radiaux de la vitesse axiale. Pour mieux représenter ces profils, des vites-ses moyennes pondérées ont été définies tout en vérifiant des équations supplémentaires ajoutées aux équations de base habituelles. Les équations ainsi obtenues ont été réso-lues numériquement par la méthode aux différences finies de Lax-Wendroff. Cette approche, comparée au modèle quasi-stationnaire habituel, permet une meilleure représentation des variables considérées en régime transitoire, et surtout la représentation des profils de la vitesse et la contrainte de cisaillement pariétale. Les résultats fournis par le modèle proposé concordent parfaitement avec les données expéri-mentales et numériques obtenues par d’autres auteurs. La comparaison avec la solution analytique doit être considérée comme préliminaire en raison des simplifications théoriques du modèle analytique. Quand le transitoire est rapide, les

effets de l’onde étaient clairement visibles mais le modèle du mouvement en masse ne donne pas de bons résultats et le modèle numérique est exigé pour obtenir des résultats plus précis.

BIBLIOGRAPHIE

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Figure 13 : Profils de la vitesse le long de la conduite pour différents temps adimensionnels.—— : modèle quasi-stationaire—— : modèle proposé- - - : modèle de Bird

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