Courbes et surfaces - Résumé

Essaidi Ali

5 avril 2014

1 Courbes dans R2 ou R3 :Soient d = 2 ou 3, k ∈ N∗ ∪ {∞} et on considère Rd muni de sa structure euclidienne usuelle.

1.1 Courbes paramétrées :Soit γ ∶ I → Rd un arc paramétré de classe Ck sur I .

Définitions : Soit t0 ∈ I . Le point M0 = γ(t0) est dit :– Simple si Card {t ∈ I/γ(t) = M0} = 1, double si Card {t ∈ I/γ(t) = M0} = 2, triple si Card {t ∈ I/γ(t) = M0} = 3 ou

généralement multiple si Card {t ∈ I/γ(t) =M0} ≥ 2.– Régulier si γ′(t0) ≠ 0. Sinon, stationnaire ou singulier.– Birégulier si k ≥ 2 et (γ′(t0), γ′′(t0)) est libre.– L’arc γ est dit simple, régulier, birégulier ou fini si tous ses points sont simples, réguliers, biréguliers ou I est un segment.

Remarque : En cas des courbes paramétrées en polaires. On a γ(θ) = O + ρ(θ)eρ donc γ′(θ) = ρ′(θ)eρ + ρ(θ)eθ. Donc,γ′(θ) = 0⇒ ρ(θ) = 0. On déduit que tout point autre que l’origine est régullier.Proposition : Si t0 ∈ I,M0 = γ(t0) et p = min{p ≥ 1/γ(q)(t0) ≠ 0} alors γ admet la droite D(M0, γ

(p)(t0)) comme tangenteen M0.Position relative de la courbe par rapport à sa tangente : On suppose que les dérivées successives de γ en t0 ne sont pastoute nulles.Soit p le plus petit entier non nul tel que γ(p)(t0) ≠ 0 et q le plus petit entier non nul, s’il existe, tel que (γ(p)(t0), γ(q)(t0))soit libre donc γ(t) = γ(t0) + (t−t0)

p

p!(1 + o(t − t0))γ(p)(t0) + (t−t0)

q

q!γ(q)(t0) + o((t − t0)q).

p impair, q pair : Cas p, q impairs :

Point ordinaire Point d’inflexionCas p pair, q impair : Cas p, q pairs :

Point de rebroussement de la première espèce Point de rebroussement de la deuxième espèce

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1.2 Courbes cartésiennes de R2 :Soit U un ouvert de R2 et f ∈ C1(U). On considère la courbe cartésienne C d’équation f(x, y) = 0.

Définition : Le point M0(x0, y0) ∈ C est dit critique ou stationnaire si gradf(x0, y0) = (∂f∂x(x0, y0),∂f∂y(x0, y0)) = (0,0).

Sinon, on dit que M0 est régulier.La courbe C sera dite régulière si tous ses points sont réguliers.Proposition : On suppose que la courbe C ∶ f(x, y) = 0 est régulière et soit M0(x0, y0) ∈ C. Alors :

– Le vecteur gradf(x0, y0) est normal à la courbe C en M0.– La courbe C admet une tangente en M0 d’équation (x − x0)∂f∂x(x0, y0) + (y − y0)

∂f∂y(x0, y0) = 0.

1.3 Longueur d’un arc paramétré de R2 :Soit γ ∶ I → Rd un arc orienté régulier de classe Ck.

Définition : Soient t0, t1 ∈ I avec t0 < t1. On appelle longueur de l’arc γ entre t0 et t1 le nombre ∫t1

t0∥γ′(t)∥dt.

Remarques :

– La longueur de l’arc γ(t) = (x(t), y(t)) entre t0 et t1 est L = ∫t1

t0

√x′2(t) + y′2(t)dt.

– En cas d’une courbe paramétrée en coordonnées polaires, la longueur de l’arc entre θ0 et θ1 de l’arc f(θ) = O + ρ(θ)eρest L = ∫

θ1

θ0

√ρ′2(θ) + ρ2(θ)dθ.

– Pour la courbe y = f(x). La longueur de la courbe entre a et b est L = ∫b

a

√1 + f ′2(x)dx.

1.4 Repère de Frenet associé à un arc paramétré dans le plan euclidien orienté R2 :Soit l’espace euclidien orienté R2 muni d’un repère orthonormé direct (O, i, j) et et γ ∶ I → R3 un arc paramétré régulier.

Définition : Soit t ∈ I . On appelle vecteur unitaire de la tangente orientée de γ en t le vecteur T (t) = γ′(t)∥γ′(t)∥ .

Expressions de T :

Arc paramétré en coordonnées cartésiennes γ = (x, y) : ∀t ∈ I, T (t) = ix′(t) + jy′(t)√x′2(t) + y′2(t)

.

Arc y = f(x) (x ∈ I) : ∀x ∈ I, T (x) = i + jf ′(x)√1 + f ′2(x)

.

Arc paramétré en coordonnées polaires γ(θ) = O + ρ(θ)eρ (θ ∈ I) : ∀θ ∈ I, T (θ) = ρ′(θ)eρ + ρ(θ)eθ√ρ′2(θ) + ρ2(θ)

.

Définition : Soit t ∈ I . On appelle repère de Frenet le repère (M(t), T (t),N(t)) où N(t) est le vecteur tel que le répère soitorthonormé directe.Proposition : Soit t ∈ I .

La courbure algébrique de γ en M(t) est c(t) = det(γ′(t), γ′′(t))∥γ′(t)∥3 .

Si c(t) ≠ 0 alors le rayon de courbure algébrique de γ en M(t) est R(t) = 1c(t) .

Calcul du rayon de courbure :

Arcs paramétrés en coordonnées cartésiennes : Si γ(t) = (x(t), y(t)). Alors : ∀t ∈ I , R(t) = (x′2(t) + y′2(t)) 32

x′(t)y′′(t) − x′′(t)y′(t) .

Cas de l’arc y = f(x) : R(x) = (1 + y′2(x)) 3

2

y′′(x) .

Arcs paramétrés en coordonnées polaires : Si avec γ(t) = O + ρ(θ)eρ. Alors : ∀θ ∈ I,R(θ) = (ρ′2(θ) + ρ2(θ)) 32

ρ2(θ) + 2ρ′2(θ) − ρ(θ)ρ′′(θ) .

1.5 Repère de Frenet associé à une courbe paramétrée dans l’espace euclidien orienté R3 :Soit l’espace euclidien orienté R3 muni d’un repère orthonormé direct (O, i, j, k) et γ ∶ I → R3 un arc paramétré birégulier.

Définition : Soit t ∈ I . On appelle :

Le vecteur unitaire de la tangente orientée de γ en t le vecteur T (t) = γ′(t)∥γ′(t)∥ .

Le vecteur unitaire de la normale principale de γ en t le vecteur N(t) = γ′(t) ∧ γ′′(t)∥γ′(t) ∧ γ′′(t)∥ .

Le vecteur unitaire binormal de γ en t le vecteur B(t) = T (t) ∧N(t).Le repère de Frenet de γ en t le repère (M(t), T (t),N(t),B(t)).

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Le plan osculateur le plan P(M(t), T (t),N(t)).Le plan rectifiant le plan P(M(s), T (t),B(t)).Le plan normal le plan P(M(t),N(t),B(t)).Proposition : ∀t ∈ I la courbure de γ en t est c(t) = ∥γ

′(t) ∧ γ′′(t)∥∥γ′(t)∥3 .

Si c(t) ≠ 0 le rayon de courbure de γ est R(t) = 1c(t) .

Proposition : La torsion de γ en t ∈ I est τ(t) = det(γ′(t), γ′′(t), γ(3)(t))∥γ′(t) ∧ γ′′(t)∥2 .

2 Surfaces paramétrées dans R3 :L’espace affine orienté R3 est muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k).

2.1 Nappes paramétrées :Définition : On appelle nappe paramétrée de classe Ck tout couple (U, f) où U est un ouvert non vide de R2 et f ∶ U → R3 declasse Ck sur U . f(U) s’appelle le support de la nappe paramétrée (U, f).Définition : Soit (U, f) une nappe paramétrée. (u0, v0) ∈ U et M0 = f(u0, v0). M0 est dit :

– simple, double, triple ou multiple si Card{(u, v) ∈ U, f(u, v) = M0} = 1, Card{(u, v) ∈ U, f(u, v) = M0} = 2,Card{(u, v) ∈ U, f(u, v) =M0} = 3 ou Card{(u, v) ∈ U, f(u, v) =M0} ≥ 2.

– régulier si (∂f∂u(u0, v0), ∂f∂v (u0, v0)) est libre.

– stationnaire si (∂f∂u(u0, v0), ∂f∂v (u0, v0)) lié.

(U, f) est dit :– simple si tous ses points sont simples.– régulier si tous ses points sont réguliers.

Définition : Soit (u0, v0) ∈ U . On suppose que M0(u0, v0) est un point régulier de la nappe (U, f).Le plan T (M0,

∂f∂u(u0, v0), ∂f∂v (u0, v0)) s’appelle le plan tangent en M0.

Le vecteur ∂f∂u(u0, v0) ∧ ∂f

∂v(u0, v0) s’appelle la normale en M0.

2.2 Nappe cartésienne :

Définition : On appelle nappe cartésienne toute nappe paramétrée en x et y :

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = xy = yz = f(x, y)

où f ∈ Ck(U) et U un ouvert de

R2. On l’appelle aussi la surface d’équation z = f(x, y).Proposition : Soit M0(x0, y0, z0) un point de la surface z = f(x, y). Alors la surface z = f(x, y) admet un plan tangent en M0

d’équation : (x − x0)∂f∂x(x0, y0) + (y − y0)∂f∂y(x0, y0) − (z − z0) = 0.

Proposition : S une surface d’équation z = f(x, y) avec U un ouvert de R2 et f ∈ Ck(U) (k ≥ 2) et M0(x0, y0) ∈ S.On pose r = ∂2f

∂x2 (x0, y0), s = ∂2f∂x∂y(x0, y0) et t = ∂2f

∂y2(x0, y0).

– Si rt − s2 > 0 alors la surface S est en ballon en M0. On dit que M0 est un point elliptique.– Si r > 0 alors la surface est au dessus de sa tangente en M0.– Si r < 0 alors la surface est au dessous de sa tangente en M0.

– Si rt − s2 < 0 alors la tangente à S en M0 traverse S. On dit que M0 est un point hyperbolique ou point col.

2.3 Surfaces cartésiennes :Soit U un ouvert de R3 et f ∈ Ck(U,R). On considère surface S d’équation cartésienne f(x, y, z) = 0.

Définition : Soit M(x0, y0, z0) ∈ S.Le point M0 est dit régulier si gradf(x0, y0, z0) ≠ (0,0,0). Sinon, M0 est dit stationnaire ou critique.La surface cartésienne S sera dite régulière si tous ses points sont réguliers.Proposition : Soit S ∶ f(x, y, z) = 0 une surface cartésienne régulière et M0(x0, y0, z0) ∈ S.Le vecteur gradf(x0, y0, z0) est normal à S en M0.Le plan d’équation (x − x0)∂f∂x(x0, y0, z0) + (y − y0)

∂f∂y(x0, y0, z0) + (z − z0)∂f∂z (x0, y0, z0) = 0 est tangent à S en M0.

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