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ÉCOLE POLYTECHNIQUE –

Espaces metriques

Cours 1 : espaces metriques Bertrand Remy 1 / 42


1. Distances et normes


Distances et espaces metriques

Soit X un ensemble et d : X × X → R+ une application.

Definition

On dit que d est une distance sur X si :

(i) on a : d(x , y) = 0 si, et seulement si, x = y (separation) ;

(ii) pour tous x , y ∈ X , d(x , y) = d(y , x) (symetrie) ;

(iii) pour tous x , y , z ∈ X , d(x , z) 6 d(x , y) + d(y , z) (inegalite triangulaire).

On dit alors que (X , d) est un espace metrique.

Exemple : sur tout ensemble non vide X , on peut definir la distance discrete par :

d(x , y) =

{0 si x = y1 si x 6= y .


Normes et espaces vectoriels normes

Dans tout ce qui suit, K designera le corps R des nombres reels ou le corps C des nombrescomplexes. Soit E un K-espace vectoriel et soit N : E → R+ une application.

Definition

On dit que N est une norme sur E si :

(i) on a : N (x) = 0 si, et seulement si, x = 0 (separation) ;

(ii) pour tout x ∈ E et pour tout λ ∈ K, on a : N (λx) = |λ| N (x) (homogeneite) ;

(iii) pour tous x , y ∈ E , on a : N (x + y) 6 N (x) +N (y) (inegalite triangulaire).

On dit alors que (E ,N ) est un espace vectoriel norme.

Lien avec ce qui precede. Un espace vectoriel norme (E ,N ) est automatiquement un espacemetrique : l’application de E × E → R+ qui envoie (x , y) sur N (x − y) est une distance sur E .


Normes equivalentes

Definition

On dit que deux normes N1 et N2, definies sur un K-espace vectoriel E , sont equivalentes s’ilexiste deux constantes C1,C2 > 0 telles que

N1(x) 6 C1N2(x) et N2(x) 6 C2N1(x) pour tout x ∈ E .

Dans un cadre strictement metrique, on dit que deux distances d1 et d2, definies sur X , sontLipschitz-equivalentes s’il existe des constantes C1,C2 > 0 telles que

d1(x , y) 6 C1 d2(x , y) et d2(x , y) 6 C2 d1(x , y),

pour tous x , y ∈ X .

Si N1 et N2 sont des normes equivalentes sur un meme K-espace vectoriel, alors les distancesassociees sont Lipschitz-equivalentes.


Normes standard sur KN

Sur KN , les applications qui associent a x = (x1, x2, . . . , xN) les nombres reels :

‖x‖1 :=N∑i=1

|xi |, ‖x‖2 :=

(N∑i=1

|xi |2) 1

2

,

ou encore‖x‖∞ := max

i=1,...,N|xi |

sont des normes (nous allons le verifier pour ‖ · ‖2).

Tout K-espace vectoriel de dimension finie admet donc des normes, et peut donc etre vu(de plusieurs facons differentes) comme un espace metrique.

Nous verrons aussi que ces normes se generalisent a des K-espaces vectoriels dedimension infinie (espaces de suite, de fonctions) : faire des raisonnements de topologiesur des espaces fonctionnels est le point de depart de l’analyse avancee.


Rappel sur Cauchy-Schwarz

Revenons a l’affirmation : � ‖ · ‖2 est une norme � , afin de la demontrer.

Preuve. Supposons pour simplifier que K = R. Nous allons utiliser l’inegalite deCauchy-Schwarz : ∣∣∣∣∣

N∑i=1

xi yi

∣∣∣∣∣ 6(

N∑i=1

|xi |2) 1

2(

N∑i=1

|yi |2) 1

2

.

On la demontre en observant que la fonction polynomiale de degre 2 en t ∈ R donnee par

t 7→N∑i=1

|xi + t yi |2 =N∑i=1

|xi |2 + 2 tN∑i=1

xiyi + t2N∑i=1

|yi |2,

ne change pas de signe ; par consequent, son discriminant est negatif ou nul.


L’application ‖ · ‖2 est une norme

On a alors :

N∑i=1

|xi + yi |2 =N∑i=1

|xi |2 + 2N∑i=1

xiyi +N∑i=1

|yi |2

6N∑i=1

|xi |2 + 2

(N∑i=1

|xi |2) 1

2(

N∑i=1

|yi |2) 1

2

+N∑i=1

|yi |2

=

( N∑i=1

|xi |2) 1

2

+

(N∑i=1

|yi |2) 1

2

2

.

Ceci demontre l’inegalite triangulaire pour ‖ · ‖2.

Les deux autres axiomes de la definition d’une norme : separation et homogeneite, sont facilesa verifier. �


Normes matricielles standard

Les espaces de matrices (ou d’applications lineaires) sont des exemples d’espaces vectoriels,sur lesquels les normes precedentes sont bien definies.

Plus precisement, pour tout entier N > 1, l’espace vectoriel MN(K) des matrices N × N acoefficients dans K admet les normes ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 et ‖ · ‖∞ definies par :

‖A‖1 =N∑

i ,j=1

|aij |, ‖A‖2 =

N∑i ,j=1

|aij |2 1

2

,

et‖A‖∞ = max

i ,j=1,...,N|aij |,

ou A designe la matrice (aij)16i ,j6N .


Normes matricielles subordonnees

Dans le cas des espaces d’applications lineaires ou de matrices, il existe un autre procede defabrication de normes, a partir d’une norme pre-existante sur l’espace vectoriel sous-jacent.

Plus precisement : pour tout entier N > 1, etant donnee une norme N sur KN , on peut definirsur MN(K) la norme matricielle subordonnee a N par

‖A‖ := supx∈KN−{0}

N (Ax)

N (x).

On dispose des definitions equivalentes

‖A‖ = supx∈KN

N (x)=1

N (Ax) = supx∈KN

N (x)61

N (Ax).


Inegalites pour les normes subordonnees

Par definition d’une norme subordonnee, on a :

N (Ax) 6 ‖A‖N (x),

pour tout x ∈ KN .

On verifie egalement que l’on a l’inegalite

‖AB‖ 6 ‖A‖ ‖B‖,

pour toutes A,B ∈ MN(K).

Remarque : en dimension quelconque, chercher a donner un sens a la definition de normesubordonnee pour des applications lineaires entre espaces vectoriels normes conduit aintroduire la condition de continuite pour ces applications.


Normes sur des espaces de suites

Exemples : par analogie avec le cas de dimension finie, on definit des normes sur des espacesde suites x = (xn)n∈N a valeurs dans K.

Sur `∞(N; K), l’espace vectoriel des suites x = (xn)n∈N bornees a valeurs dans K, ondefinit la norme :

x 7→ ‖x‖∞ := supn∈N|xn|.

Sur `1(N; K), l’espace des suites x = (xn)n>0 telles que la serie de terme general |xn|converge, on definit la norme :

x 7→ ‖x‖1 :=∑n∈N

|xn|.

Sur `2(N; K), l’espace des suites x = (xn)n>0 pour lesquelles la serie de terme general|xn|2 converge, on definit la norme :

x 7→ ‖x‖2 :=

(∑n∈N

|xn|2) 1

2

.


Normes sur l’espace des fonctions continues sur [0, 1]

Exemple : Sur C([0, 1]; K), on peut definir (encore par analogie) les normes

‖v‖1 :=

∫ 1

0|v(x)| dx , ‖v‖2 :=

(∫ 1

0|v(x)|2 dx

) 12

,

et‖v‖∞ := sup

x∈[0,1]|v(x)| (norme de la convergence uniforme).

Preuve. Pour verifier que ‖ · ‖2 est une norme, on utilise l’inegalite de Cauchy-Schwarz quis’exprime cette fois-ci sous la forme∣∣∣∣∫ 1

0u(t) v(t)dt

∣∣∣∣ 6 (∫ 1

0|u(t)|2 dt

) 12(∫ 1

0|v(t)|2 dt

) 12

.

Ensuite, la demonstration est identique a celle pour les normes standard sur KN . �


Boules ouvertes et boules fermees

Definition

Si (X , d) est un espace metrique, pour tout x ∈ X et pour tout r > 0, on note

B(x , r) := {y ∈ X : d(x , y) < r} la boule ouverte

etBf (x , r) := {y ∈ X : d(x , y) 6 r} la boule fermee

de centre x ∈ X et de rayon r > 0.

Boules dans R2 pour les distances associees aux normes standardCours 1 : espaces metriques Bertrand Remy 14 / 42

Definition des ouverts

Definition

On dit que U ⊂ X est un ouvert de (X , d) si

∀x ∈ U, ∃r > 0, B(x , r) ⊂ U.

On appelle topologie associee a la metrique d l’ensemble de parties de X constitue des

ouverts de X .

Les parties ∅, X sont des ouverts de (X , d).

Pour tout x ∈ X et r > 0, la boule B(x , r) est un ouvert de (X , d). En effet, il decoule del’inegalite triangulaire que B(y , r − |y − x |) ⊂ B(x , r).


Notion de voisinage

Definition

On appelle voisinage d’un point x ∈ X (ou d’un ensemble Y ⊂ X ) tout ensemble V quicontient un ouvert de (X , d) qui lui-meme contient le point x (ou l’ensemble Y ).

Autrement dit, un voisinage d’un point x ∈ X est une partie de X qui contient une bouleouverte centree en x .

Exemples :

Un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.

[−1, 1[ est un voisinage (ni ouvert, ni ferme) de 0 dans (R, | |).


Reunions quelconques d’ouverts

Proposition

Une reunion quelconque d’ouverts est un ouvert de (X , d).

Preuve. Soit (Oi )i∈I une famille quelconque d’ouverts de (X , d) et x ∈⋃

i∈I Oi .

Il existe j ∈ I tel que x ∈ Oj , qui est un ouvert. Donc, il existe r > 0 tel que

B(x , r) ⊂ Oj ⊂⋃i∈I

Oi ,

ce qui montre que⋃

i∈I Oi est un ouvert. �


Intersections finies d’ouverts

Proposition

Une intersection finie d’ouverts est un ouvert de (X , d).

Preuve. Soit (Oi )i∈I une famille finie d’ouverts de (X , d) et x ∈⋂

i∈I Oi .

Pour tout j ∈ I , il existe rj > 0 tel que B(x , rj) ⊂ Oj . Notons r := inf i∈I ri . La famille I estfinie, donc r > 0.

Par construction B(x , r) ⊂ Oi pour tout i ∈ I . Donc

B(x , r) ⊂⋂i∈I

Oi ,

ce qui montre que⋂

i∈I Oi est un ouvert. �


Definition des fermes

Definition

On dit que F ⊂ X est un ferme de (X , d) si son complementaire X − F est un ouvert de(X , d).

Les parties ∅ et X sont des fermes de (X , d).

Une reunion finie de fermes est un ferme de (X , d).

Une intersection quelconque de fermes est un ferme de (X , d).

Pour tout x ∈ X et tout r > 0, la boule fermee Bf (x , r) est un ferme de (X , d) : ceci sevoit en utilisant l’inegalite triangulaire dans le complementaire de la boule.


Topologie usuelle sur un intervalle reel

Exemple : On considere l’ensemble [0, 1[ muni de la distance usuelle d(x , y) = |y − x | eta, b ∈ ]0, 1[ tels que a < b. On verifie que :

les ensembles [0, a[ , ]a, b[ et [0, 1[ sont des ouverts de ([0, 1[ , d) ;

les ensembles [0, a], [a, b], [0, 1[ et {a} sont des fermes de ([0, 1[ , d) ;

l’ensemble [a, b[ n’est ni un ouvert, ni un ferme de ([0, 1[ , d) ;

les seuls sous-ensembles de ([0, 1[ , d) qui sont a la fois ouverts et fermes sont ∅ et [0, 1[.



2. Sous-ensembles remarquables


Notions d’interieur et d’adherence

Soit (X , d) un espace metrique et soit Y une partie de X .

Definition

L’interieur de Y , note Y , est le plus grand ouvert contenu dans Y , soit : Y :=⋃

U ouvertU⊂Y

U.

L’adherence de Y , notee Y , est le plus petit ferme contenant Y , soit : Y :=⋂

F fermeY⊂F

F .

On dit que Y est dense dans X si son adherence vaut X tout entier.

Exemple : Dans (R, | · |) on verifie que

R− {0} = R, {x} = {x}, Q = R.

˚︷︸︸︷R− {0} = R− {0},

˚︷︸︸︷{x} = ∅, Q = ∅.


Suites convergentes dans les espaces metriques

Definition

On dit qu’une suite (xn)n>0 d’un espace metrique (X , d) est convergente, de limite x ∈ X , silimn→∞ d(xn, x) = 0.

Dans un espace metrique, la limite d’une suite, si elle existe, est unique.

Si une suite (xn)n>0 converge dans (X , d) vers x , on notera

limn→∞

xn = x ou xn → x .

En general, le contexte est clair et la distance utilisee n’est pas mentionnee.


Caracterisation sequentielle des fermes

Proposition

Un sous-ensemble F ⊂ X est ferme si, et seulement si, la limite de toute suite d’elements deF , qui converge dans X , appartient a F .

Preuve. Supposons que F est un ferme et soit (xn)n>0 une suite d’elements de F quiconverge vers x ∈ X .

Supposons que x /∈ F . L’ensemble X − F est un ouvert. Donc, il existe r > 0 tel queB(x , r) ⊂ X − F . Or, pour tout n assez grand, d(x , xn) < r , donc

xn ∈ B(x , r) ⊂ X − F ,

ce qui contredit le fait que xn ∈ F . Conclusion, x ∈ F .


Caracterisation sequentielle des fermes (suite)

Reciproquement, supposons que la limite de toute suite d’elements de F qui converge dans X ,appartient a F et prouvons que F est ferme.

Supposons le contraire. Alors X − F n’est pas un ouvert et il existe x ∈ X − F tel que, pourtout r > 0,

B(x , r) ∩ F 6= ∅.

Pour tout n > 1, choisissons xn ∈ F ∩ B(x , 1/n).

La suite (xn)n>1 est une suite d’elements de F qui converge vers x et x /∈ F . Ce qui constitueune contradiction. �


Suites et adherence

Proposition

L’adherence d’un ensemble Y ⊂ X dans (X , d) est egale a l’ensemble des limites de suitesconvergentes d’elements de Y . Ainsi, Y est dense dans X si tout element de X est limited’une suiite de points de Y .

Preuve. On note Y l’ensemble des limites de suites d’elements de Y ; deja Y ⊂ Y .

Soit y ∈ Y et F un ferme qui contient Y . Il existe une suite (yn)n>0 d’elements de Y quiconverge vers y , donc y ∈ F . On conclut que Y ⊂ F et par consequent que Y ⊂ Y .

Montrons que Y est un ferme, ce qui montrera que Y ⊂ Y .

Soit (yn)n>1, une suite d’elements de Y qui converge vers y ∈ X . Pour tout n > 1, le pointyn ∈ Y est la limite d’une suite d’elements de Y , donc il existe yn ∈ Y tel qued(yn, yn) 6 1/n. La suite (yn)n>1, qui est une suite d’elements de Y , converge vers y . Pardefinition de Y , ceci prouve que y ∈ Y , et donc que Y est un ferme. �


Voisinages des points adherents

Proposition

L’adherence d’un ensemble Y ⊂ X dans (X , d) est egale a l’ensemble des x ∈ X tels que,Y ∩ B(x , ε) 6= ∅ pour tout ε > 0.

Preuve. On note Y l’ensemble des x ∈ X tels que, B(x , ε) ∩ Y 6= ∅, pour tout ε > 0.

Soit x ∈ Y . Pour tout n > 1, choisissons xn ∈ Y ∩ B(x , 1/n). La suite (xn)n>1 est une suited’elements de Y qui converge vers x , donc x ∈ Y .

Inversement, tout element x ∈ Y est la limite d’une suite d’elements de Y . En particulier,pour tout ε > 0, la boule B(x , ε) contient des elements de cette suite, donc des elements deY . Donc x ∈ Y . �


Valeurs d’adherence et suites extraites

Definition

Soit (xn)n>0 une suite de (X , d). Un point a ∈ X est une valeur d’adherence de la suite(xn)n>0 si a est limite d’une suite extraite de la suite (xn)n>0.

Rappel : on dit que (yn)n>0 est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite (xn)n>0, s’ilexiste ϕ : N→ N, strictement croissante, telle que yn = xϕ(n) pour tout n > 0.

Exemple : Dans R muni de la distance usuelle, la suite

((−1)n)n>0

admet exactement deux valeurs d’adherence (a savoir −1 et 1), mais aucune limite.


Adherence et valeurs d’adherence

Proposition

Le point x ∈ X est une valeur d’adherence de la suite (xn)n>0 si, et seulement si, pour toutε > 0 on a :

card {k ∈ N : xk ∈ B(x , ε)} = +∞,

ou card(A) designe le cardinal d’un ensemble A.

Dans le meme ordre d’idees, si Y est une partie d’un espace metrique (X , d) alors l’adherenceY est l’ensemble des valeurs d’adherence des suites a valeurs dans Y .



3. Applications continues


Definition metrique et caracterisation topologique de la continuite

Soient (X , d) et (Y , d ′) des espaces metriques et soit f : X → Y une application.

Definition

On dit que f est continue en x0 ∈ X si

∀ε > 0, ∃δ > 0(d(x0, x) < δ =⇒ d ′(f (x0), f (x)) < ε

).

On dit que f est continue (sur X ) si f est continue en tout point de X .

Proposition

On a equivalence entre :

(i) L’application f est continue sur X .

(ii) L’image reciproque par f d’un ouvert de (Y , d ′) est un ouvert de (X , d).

(iii) L’image reciproque par f d’un ferme de (Y , d ′) est un ferme de (X , d).


Caracterisation topologique de la continuite (preuve)

Preuve. Supposons que f est continue sur X et donnons-nous un ouvert U de Y .

Soit x ∈ f −1(U). Par definition, y = f (x) ∈ U qui est ouvert. Il existe donc ε > 0 tel queBY (y , ε) ⊂ U. La continuite de f en x nous assure qu’il existe δ > 0 tel que

f (BX (x , δ)) ⊂ BY (y , ε) ⊂ U,

ce qui montre queBX (x , δ) ⊂ f −1(U).

Par consequent, f −1(U) est un ouvert de X .

Inversement, supposons que l’image reciproque de tout ouvert de Y est un ouvert de X . Pourtout x ∈ X et pour tout ε > 0, l’image reciproque de BY (f (x), ε) par f est un ouvert de X quicontient x , donc il existe δ > 0 tel que

BX (x , δ) ⊂ f −1(BY (f (x), ε)).

Autrement dit, l’image de BX (x , δ) par f est incluse dans BY (f (x), ε), ce qui demontre lacontinuite de f au point x .


Caracterisation topologique de la continuite (preuve, suite)

L’equivalence entre (ii) et (iii) est une consequence du fait que l’image reciproque ducomplementaire d’une partie A dans Y est egale au complementaire dans X de l’imagereciproque de A, i.e.

f −1(Y − A) = X − f −1(A).

Ce qui termine la demonstration. �


Stabilites de la continuite

La composee d’applications continues est aussi une application continue : si f : X → Yest continue au point x ∈ X et si g : Y → Z est continue au point f (x) ∈ Y , alors g ◦ fest continue au point x .

Si f : X → E et g : X → E sont deux applications continues en x ∈ X , a valeurs dans unespace vectoriel norme (E , ‖ ‖) et si α, β : X → K sont deux fonctions continues enx ∈ X , alors α f + β g est continue en x ∈ X .


Continuite uniforme

Definition

Soient (X , d) et (Y , d ′) des espaces metriques. Une application f : X → Y est diteuniformement continue sur X si

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x , x ′ ∈ X ,(d(x , x ′) < δ =⇒ d ′(f (x), f (x ′)) < ε

).

Remarque. La fonction x 7→√x est uniformement continue sur [0,+∞[ en vertu de l’inegalite∣∣∣√x ′ −√x∣∣∣ 6√|x ′ − x |,

pour tous x , x ′ > 0, mais la fonction continue x 7→ x2 n’est pas uniformement continue sur R.


Applications lipschitziennes

Definition

On dit qu’une application f : X → Y definie entre deux espaces metriques, est ditelipschitzienne de rapport k > 0 (ou encore k-lipschitzienne) si

d ′(f (x), f (y)) 6 k d(x , y)

pour tous x , y ∈ X .

Une application lipschitzienne est uniformement continue car la distance entre deux pointsimages est dans ce cas majoree par une fonction lineaire de la distance des points a la source.


La fonction distance est 1-lipschitzienne

Soit (X , d) un espace metrique et x0 ∈ X . On a

d(x , x0)− d(y , x0) 6 d(x , y),

et en echangeant le role de x et de y , on conclut que

|d(x , x0)− d(y , x0)| 6 d(x , y).

Ceci montre que l’application d(·, x0) : X → R est 1-lipschitzienne.

Cas particulier : dans un espace vectoriel norme (E , ‖ ‖), on a∣∣‖y‖ − ‖x‖∣∣ 6 ‖y − x‖,

pour tous x , y ∈ E . Ceci montre que x 7→ ‖x‖ est 1-lipschitzienne.


Caracterisation sequentielle des applications continues

Proposition

Soient (X , d) et (Y , d ′) deux espaces metriques et x ∈ X . Une application f : X → Y estcontinue au point x si et seulement si pour toute suite (xn)n>0 qui converge vers x dans X , ona

limn→+∞

f (xn) = f

(lim

n→+∞xn

).

Preuve. Supposons que f est continue en x et soit (xn)n>0 une suite qui converge vers x .Pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que

d(x , y) < δ ⇒ d ′(f (x), f (y)) < ε.

Il existe n0 ∈ N tel que d(xn, x) < δ pour tout n > n0, et donc d ′(f (xn), f (x)) < ε, pour toutn > n0.


Preuve du critere sequentiel de continuite (suite)

Supposons que f n’est pas continue en x .

Il existe ε > 0 tel que, pour tout δ > 0, il existe y ∈ X tel que

d(y , x) < δ et d ′(f (y), f (x)) > ε.

En prenant δ = 1/n, on construit ainsi une suite (xn)n>1 telle que

d(xn, x) < 1/n et d ′(f (xn), f (x)) > ε.

La suite (xn)n>1 converge vers x et la suite (f (xn))n>1 ne converge pas vers f (x). �


Criteres de continuite pour les applications lineaires entre evn

Proposition

Soient (E , ‖ · ‖E ) et (F , ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normes et L : E → F une applicationlineaire. Alors, les propositions suivantes sont equivalentes :

(i) l’application lineaire L est continue sur E ;

(ii) l’application lineaire L est continue en 0 ;

(iii) il existe une constante C > 0 telle que

‖L(x)‖F 6 C ‖x‖E ,

pour tout x ∈ E .

Remarque. Comme annonce, le dernier critere est a rapprocher de la definition des normessubordonnees donnee au premier paragraphe.


Preuve des criteres de continuite pour les applications lineaires

Preuve. On suppose L continue en 0 (assertion la plus faible des trois). Il existe δ > 0 telque, pour tout x ∈ E , on ait :

‖x‖E 6 δ ⇒ ‖L(x)‖F 6 1.

Par homogeneite, si x 6= 0 on a :

‖L(x)‖F =‖x‖Eδ·∥∥∥∥L( δ

‖x‖Ex

)∥∥∥∥F

61

δ· ‖x‖E .

Inversement, L etant lineaire, on peut ecrire :

‖L(x)− L(y)‖F = ‖L(x − y)‖F 6 C ‖x − y‖E ,

ce qui montre que L est lipschitzienne (assertion la plus forte des trois). �


Espaces d’applications lineaires continues

On note L(E ,F ) l’espace vectoriel des applications lineaires de E dans F et L(E ,F ) lesous-espace vectoriel des applications lineaires continues de E dans F .Si L ∈ L(E ,F ), on peut definir

‖L‖L(E ,F ) := supx∈E−{0}

‖L(x)‖F‖x‖E

= sup‖x‖61

‖L(x)‖F‖x‖E

= sup‖x‖=1

‖L(x)‖F .

En particulier‖L (x)‖F 6 ‖L‖L(E ,F ) ‖x‖E .

On verifie que l’on definit ainsi une norme sur L(E ,F ).


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