Cours 1 – 20/02/2012

6. La dynamique du solide indéformable

6.1 Le centre de masse (cm)

6.2 Mouvement du solide indéformable

11

Introduction

Pour les points matériels en mouvement:

Translation

Rotation autour d’un axe

p: quantité de mouvement

L: moment cinétique Mext: moment de la force extérieure

2

IntroductionL’approximation du « point matériel » n’est plus valable lorsqu’il s’agit de décrire le mouvement de solides réels

Exemple: des cylindres roulant sur un plan incliné

Même forme, même masse, mais vitesse différente!

3

IntroductionComparaison entre deux cylindres identiques. L’un glisse sans frottement et l’autre roule sans glissement

roule glisse

Cas du cylindre qui glisse:

h

Conservation de l’énergie mécanique: E1 = E2

E1 = Ec1+ Ep1 = Ep1 = mghE2 = Ec2 + Ep2 = Ec2 = ½ mv² ½ mv² = mgh vg = (2gh)1/2

Cas du cylindre qui roule:

E1 = mghE’2 = ½ mv’² + Erotation

v’ = [2(mgh – Erotation)/m]1/2

La vitesse est plus faible:Une partie de l’énergie potentielle est transférée dans le mouvement de rotation du cylindre

h

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Introduction

Dans ce cas, la distribution spatiale de la masse par rapport à l’axe de rotation entre en jeu

Exemple: des cylindres roulant sur un plan incliné

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Lequel arrive en bas le premier ?

Pour traiter le mouvement du solide indéformable nous utilisons le principe de superposition:

- on considère le solide comme un ensemble de points massifs représentés par des éléments de volume dVi de masse dmi = idVi (i masse volumique)

- chacun de ces points est repéré par le vecteur position ri et les lois du mouvement du point matériel s’appliquent en chacun de ces points

- le mouvement du solide dans son ensemble est donné par la sommation sur tous les points qui constituent le solide

Introduction

²Mvdm²v²vdmE 21

ii2

1i

i21

c

Exemple: cas d’une sphère de masse M (de masse volumique homogène ) se déplaçant à la vitesse v (sans tourner sur elle-même)

Ec =1/2 M v2 ? i

ii

ii dmdVM

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Le mouvement d’un corps peut toujours être décrit par une combinaison d’un mouvement de translation et d’une rotation autour d’un axe

translation

rotation

Translation du centre de masse et rotation autour d’un axe passant par le centre de masse

Le mouvement du cm est décrit par extcm F

dtdvM

Introduction

Le mouvement de translation d’un solide est décrit parfaitement si on assimile ce dernier à un point matériel (le centre de masse) et si on lui applique les lois définies précédemment

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IntroductionDeux types de mouvement:

1) la translation

2) la rotation

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Introduction

Le mouvement de translation d’un solide est décrit par les lois de Newton appliquées au centre de masse

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6.1. Le centre de masse (cm)

ii i

F f m m i g g

Un objet de masse m est soumis au champ de pesanteur de telle sorte qu’il subit une force (la gravité) F = mg

Exemple d’un objet quelconque

Cet objet peut être décomposé en petits volumes élémentaires de masse mi qui sont soumis eux aussi à une force de gravité fi = mi g

On peut alors écrire que

On peut définir un point d’application précis pour cette force, que l’on appelle le centre de gravité, dont la position est définie par

iii

iiii

cg gm

gmrr

m

zmz

m

ymy

m

xmx i

ii

cmi

ii

cmi

ii

cm

,,

F = mg

m

m

m

mi

ii

ii

iii

cm

rr

r

Rem: si gi = cte alors le centre de gravité est aussi le centre de masse

avec

Centre de masse10

6.1. Le centre de masse (cm)Exemple: système de 3 particules

m1 = 5 kg, (-2;0)

m2 = 2 kg, (0;4)

m1 = 3 kg, (1;-1)

Masse totale m = 10 kg

5,0105

10)1(3)4(2)0(5

7,010

710

)1(3)0(2)2(5

cm

cm

y

x

m = 10 kg, (0,5;0,5)

Centre de masse 11

6.1. Le centre de masse (cm)Comment déterminer le centre de masse (1)

Equilibre si

1)

2)

ii

ii

0

0

M

F translation

rotation

1) Fi + N = 0 mig = - N

2) Considérons un système avec 2 masses distribuées de part et d’autre d’une tige sans masse. Nous avons équilibre si mAg × rA + mBg × rB = 0

En généralisant (mi g × ri) - m g × rc= 0 mi g ri = m g rc

N

Fi

Finalement rc = mi ri / m 12

6.1. Le centre de masse (cm)Comment déterminer le centre de masse (2)

Si l’on suspend un objet tenu à deux endroits différents, alors les deux axes verticaux passent par le cm

FT FT

F = mgF = mg

FT

Fx

z

d

Moment du poids par rapport au point d’application F × d = 0 d = 0

cm

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6.1. Le centre de masse (cm)Définition: cas général

iiii

iicm

dV)(M1

dmM1

rr

rr i

car dmi = (ri) dVi

Ou encore

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6.1. Le centre de masse (cm)Définition: cas général

car M = V

Coordonnées du centre de masse:

dVzyxzM

z

dVzyxyM

y

dVzyxxM

x

V

V

V

cm

cm

cm

),,(1

),,(1

),,(1

Pour un solide homogène, cad avec = cte

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6.1. Le centre de masse (cm)Calcul du centre de masse

1. Calcul du volume

2. Calcul du centre de masse

V

dVV

Définition:

Comment procéder?

V

cm dVV1 rr

pour un solide homogène

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6.1. Le centre de masse (cm)Calcul du centre de masse

Rappels: calculer à partir d’une intégrale

Une longueur :

Une surface:

Un volume:

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6.1. Le centre de masse (cm)Calcul du centre de masse

Exemple: calcul de la surface d’un disque de rayon R

R

Élément de surface élémentaire?

dS = 2 r dr

dS = r d dr

2r

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dr

Approximation si dr infinitesimal

Élément de surface élémentaire de base à utliser pour le cas d’objets à forme curviligne (voir exemple suivant)

Rem: 2

0

2ds r dr d rdr

6.1. Le centre de masse (cm)Calcul du centre de masse

Exercice: calcul du centre de masse d’un demi-disque de rayon R et d’epaisseur h

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1cm

S

dSS

r r

2

/22

20 /2

3 3/2

2 2/20

12

2 cos

2 2 4sin 23 3 3

R

cm

R

cm

S R

dS r d dr

x r d drR

r Rx RR R

L’axe de symétrie est Ox. On projette sur cet axe*:

O x

dS

r

1. . coscm cmS S

dS x r dSS

x xr e r e

*Rappel: on projette en faisant le produit scalaire du vecteur considéré avec le vecteur unitaire de la base

6.1. Le centre de masse (cm)Exemple 1: calcul du centre de masse d’une demi-sphère (1)

Elément de volume dV en coordonnées sphériques

dV = dr r d r sin d

dV = r² sin dr d d

Pour simplifier le calcul, on tire avantage de la symétrie du système symétrie radiale autour d’un axe passant par le centre et le sommet de la demi-sphère. On choisit le repère de coordonnées en conséquence:

c’est-à-dire au centre du plan de base de la demi-sphère

Par symétrie, le centre de masse est le long de l’axe z: rcm = (0,0,zcm)

r, , et

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6.1. Le centre de masse (cm)

1) calcul du volume d’une demi-sphère

21

/2 2 3

/2 2

0 00 0 0 0

3 3

cos3

21 23 3

V VRR

dV = r² sin dr d d

V dV r² sin dr d d

rV r² dr sin d d

R RV

2) calcul de la masseV

V

M dV

M dV V

Si masse homogène

Exemple 1: calcul du centre de masse d’une demi-sphère (1)