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Cours 4: La lumiere: experience de Young 1
Cours 4. La lumiere . . .
– Transport d’energie par une onde (§2.2 dans les notes de cours de
Jacques Langnois).
– L’experience de Young (§2.3 dans les notes de cours de Jacques
Langnois).
– Ondes electromagnetiques (§2.4 dans les notes de cours de
Jacques Langnois).
Cours 4: La lumiere: experience de Young 2
Resume du cours 3. La lumiere
– Notions modernes de la lumiere
– La lumiere est une onde electromagnetique tres particulier :
(i) elle a un comportement corpusular dans quelques situations
(notament a l’echelle atomique ou la mecanique quantique
intervient)
(ii) Il n’y a pas de materiel qui assure la propagation des ondes
lumineuses ; il n’y a pas d’ether. Au lieu de l’ether comme
reference pour c, c’est un referentiel inertiel. La lumiere, et tous
ondes electromagnetiques, se propage avec vitesse c par rapport a
un referentiel inertiel.
– Pendant le 17eme siecle Rømer a mesure la vitesse de la lumiere
utilisant l’effet doppler pour interpreter les observations
astronomiques.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 3
– La periode avec laquelle le satellite Io disparaıt derriere Jupiter
puis reapparaıt l’autre cote, environ 42h, change avec la saison.
Quand la terre se rapproche (s’eloigne) de Jupiter la periode
etait 15 s inferieur (superieur). Il en deduit la vitesse de la
lumiere utilisant l’effet doppler.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 4
Resume du cours 3 : Puissance moyenne :
– Dans le cas de la lumiere on appelle eclairement ε la puissance
moyenne par unite de surface :
ε = 〈ψ2(x, t)〉 = A2〈cos2(kx− ωt)〉.
– La valeur moyenne d’une fonction sur une duree T est,
〈f〉 =1
T
∫ T
0
f(t) dt.
– Remarque : la valeur moyenne est un operateur lineaire a cause
Cours 4: La lumiere: experience de Young 5
des proprietes des integrals :
〈a f + b g〉 =1
T
∫ T
0
a f(t) + b g(t) dt
=a
T
∫ T
0
f(t) dt+b
T
∫ T
0
g(t) dt
= a〈f〉+ b〈g〉. (1)
– Si on prend T une periode T = 2π/ω nous avons trouve pour la
valeur moyenne d’un produit de deux cosinus dephases :
〈cosωt cos(ωt+ ϕ)〉 =1
2cosϕ. (2)
Dans les cas particuliers ϕ = 0 et ϕ = −π/2 on retrouve les
Cours 4: La lumiere: experience de Young 6
resultats :
ϕ = 0 〈cos2 ωt〉 =1
2,
ϕ = −π2
〈cos(ωt) sin(ωt)〉 = 0.
(3)
On en deduit egalement :
〈sin2 ωt〉 =1
2,
parce que sin(ωt) a la meme forme que cos(ωt) sauf qu’il est
decale par π/2.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 7
La puissance transportee par une onde
spherique
– Une source ponctuelle produit une onde spherique (a trois
dimensions). La forme de la fonction d’onde est,
ψ(r, t) =A
rcos(kr − ωt),
ou r est la distance de la source. La phase est constante a un
instant donne si r = constante. La surface d’onde est donc une
sphere. L’onde est sortante car pour suivre une crete il faut que r
augmente avec le temps.
– La puissance transportee par unite de surface est :
〈ψ2(r, t)〉 =
⟨(A
rcos(kr − ωt)
)2⟩
=1
2
A2
r2.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 8
– La surface d’une sphere etant 4πr2 la puissance transportee est
independante de la distance a la source. Elle se repand sur une
surface de plus en plus grande.
– L’eclairement est inversement proportionnel au carre de la
distance. Cette loi traduit la conservation de l’energie.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 9
L’experience de Young
Cours 4: La lumiere: experience de Young 10
– L’experience de Young en 1802 [Thomas Young 1773 – 1829] a
mis en evidence le caractere ondulatoire de la lumiere
– Cette experience a mise en evidence l’interference de la lumiere
provenant de deux sources synchrones.
– Une caracteristique essentielle des phenomenes ondulatoires
reside dans le principe de superposition. Lorsque deux sources
produisent des perturbations, la vibration totale recue en un
point est la somme des vibrations produites par les sources a des
instants anterieurs.
– La frequence de la lumiere dans le spectre visible est de l’ordre
de 1015 Hz. Aucun detecteur ne peut suivre un mouvement aussi
rapide. Par ailleurs la puissance recue en un point est
proportionnelle au carre de l’amplitude. C’est donc la valeur
moyenne du carre de la vibration recue qui est enregistree.
– A cause de la frequence tres elevee de la lumiere visible il est tres
Cours 4: La lumiere: experience de Young 11
difficile de realiser deux sources synchrones (c’est a dire en phase
et de meme frequence). Young y a apporte une solution
imaginieuse a ce probleme.
– La lumiere produite par une source S [monochrome] rencontre un
ecran perce de deux fentes separees d’une distance d. D’apres le
principe de Huyghens les parties de la surface d’onde qui arrivent
au niveau des fentes peuvent etre considerees comme des sources
d’ondelettes qui vont se propager jusqu’au detecteur en P .
Fig. 24
– Les fentes peuvent donc etre considerees comme des sources
pontuelles synchrones. La vibration recue au point P a l’instant t
est la somme des vibrations produites au niveau de la fente au
Cours 4: La lumiere: experience de Young 12
temps t− r1/c et au niveau de la fente 2 au temps t− r2/c :
ψp(t) =A1
r1cos(ω(t− r1
c))
+A2
r2cos(ω(t− r2
c))
– Par symetrie on peut supposer que les deux sources ont la meme
intensite ce qui permet d’ecrire A1 = A2.
– Elles ne se trouvent pas a la meme distance mais on peut dire les
amplitudes provenant des deux sources sont egales a une bonne
approximation :A1
r1=A2
r2=A
r
ou r est la distance mesuree a partir du point situe a mi-chemin
entre les deux fentes. Pourquoi ? La difference entre r1 et r2 ne
peut pas depasser d :
|r1 − r2| ≤ d.
La difference de marche (r2 − r1) depend de la direction
d’observation. Nous supposerons que le point P est loin des
Cours 4: La lumiere: experience de Young 13
fentes, c’est a dire :
r1 � d, et r2 � d.
Dans ce cas les amplitudes provenant des deux sources sont
egales a une bonne approximation et on peut ecrire :
A1
r1≈ A2
r2.
– La vibration recue en P peut donc s’ecrire :
ψp(t) =A
r
(cos(ω(t− r1
c))
+ cos(ω(t− r2
c)))
.
– La difference de marche (r2 − r1) joue un role important
car elle est responsable de la difference de phase entre
les deux vibrations recues en un point.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 14
– La puissance recue en un point P est proportionnelle a :
〈ψ2p(t)〉 =
(A
r
)2⟨[cos(ω(t− r1
c))
+ cos(ω(t− r2
c))]2⟩
(4)
=
(A
r
)2 ⟨cos2 ω(t− r1/c) + cos2 ω(t− r2/c)
+2 cosω(t− r1/c) cosω(t− r2/c)〉 (5)
=
(A
r
)2
(1 + cos[(r1 − r2)ω/c]) (6)
car le dephasage entre les deux cosinus est ϕ = [(r1 − r2)ω/c].
Regarder Fig. 1 ; image tire de
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fentes_d’Young.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 15
Figure 1 – Experience de Young.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 16
On peut reecrire ce resultat en fonction de la longueur d’onde :
〈ψ2p(t)〉 =
(A
r
)2 [1 + cos
(2π(r1 − r2)
λ
)]L’expression entre crochets peut varier de 0 a 2 selon la valeur du
cosinus. Si la difference de marche est un multiple entier de la
longeur d’onde :
r2 − r1 = nλ (n = 0,±1,±2,±3 . . .)
on a :
cos
(2π(r2 − r2)
λ
)= cos (2πn) = 1
et la puissance recue est maximale. L’interference est
constructive et les positions correspondantes correspondent a des
franges brillantes. Les vibrations provenant des deux fentes
arrivent en phase.
Lorsque la difference de marche correspond a un nombre impair
Cours 4: La lumiere: experience de Young 17
de demi-longueurs d’onde on a :
r2 − r1 = (2n+ 1)λ/2 (n = 0,±1,±2,±3 . . .)
on a :
cos
(2π(2n+ 1)
2
)= −1
La puissance recue en ces points est nulle et l’interference est
destructive. Cette condition determine les position des franges
sombres.
Les observations de Young ont apporte un appui tres solide au
modele ondulatoire de la lumiere.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 18
Ondes electromagnetiques
– L’experience de Young a mis en evidence le caractere ondulatoire
de la lumiere mais la nature de cette onde n’etait pas connue.
Dans les decennies qui ont suivi les connaissances en electricite et
en magnetisme ont beaucoup progresse. Les experiences de
Faraday [Michael Faraday (1791–1867) ] ont montre que ces deux
domaines etaient lies.
– Vers 1865 J. C. Maxwell a realise une remarquable synthese des
lois de l’electricite et du magnetisme. Il a montre qu’une solution
possible des equations de l’electromagnetisme correspondait a une
onde transversale. Un champ electrique et un champ magnetique
mutuellement perpendiculaires oscillent dans des directions
perpendiculaires a la direction de propagation de l’onde.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 19
– Il a obtenue pour la vitesse de phase l’expression
c =1
√ε0µ0
(7)
ou ε0 est la permittivite du vide et µ0 est la permeabilite du vide.
– Ce resultat etait tres proche de la vitesse de la lumiere dans le
vide et Maxwell a emis l’hypothese que la lumiere est une onde
electromagnetique.
Il etait generalement admis qu’une onde avait besoin d’un milieu
materiel pour se propages. Ce milieu materiel etait appele ether
et la vitesse de la lumiere devait etre constante par rapport a
l’ether.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 20
Spectre electromagnetique
Figure 2 – Le spectre electromagnetique.
Cours 4: La lumiere: experience de Young 21
Figure 3 – Le spectre electromagnetique.