Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale

NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 7

Problèmes d’ordre 2 en temps :Analyse modale

• Domaines d’application• Calcul des modes propres et fréquences propres• Application• Décomposition modale


Intérêts « industriels »

www.dt.insu.cnrs.frVibration - acoustique

www.cnes.fr

Couplage fluide-structure

www.otua.org/acier/seisme/

Protection séisme

Ouvrage génie civil

«Tacoma narrows bridge »

…


Deux approches possibles …

Approche modale : domaine fréquentiel

Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés Acoustique

Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel

Crash-tests Dynamiques rapides (choc …) Analyse de transitoire (démarrage moteur …) Propagations d’ondes (airbag …)

Approche qualitative !

Approche quantitative !www.netcar.co.il


La forme générale d’un système d’équations au 2ème ordre en temps s’écrit :

Avec : [M ] : matrice globale de masse [C ] : matrice globale d’amortissement ( =[0] en NF04 !) [K ] : matrice globale de rigidité (voir précédents cours de NF04) {F } : vecteur global des sollicitations (idem)

Particularités de l’analyse modale :1. On considère toujours {F } = {0} !2. Analyse modale = approche qualitative : conditions aux limites inutiles !

2

2M U C U K U F

t t

Problèmes de dynamiques


Application : système à 2 masses et 2 ressorts

Modèle physique :

Equations du mouvement :

Modèle discret :

21

1 1 1 2 2 12

22

2 2 2 12

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

d U tm k U t k U t U t

dt

d U tm k U t U t

dt

X (m)

U1(t) U2(t)

k1 k2 m2m1

1 1 2 2 11

2 2 2 22

0 0

0 0

m k k k UU

m k k UU


Application : cas d’une barre élastique

Maillage : deux éléments finis linéaires

Forme forte :

Forme faible :

X (m)

1 2 3

1 2F(t)

2 2

2 2

(0, ) 0 [ (

( ,0) 0 [0

( , ) ( , )0, [0

, ], ( ,0) [ ]

]

0

,

[

,

)

o

uu t F t EA

u x x L u x u x x

u x t u x tA EA x L

t

x

t

x

L

L

Dirichlet], Neumann]

2

200 0

0

( , ) ( , ) ( , )0

( , )( ) ( ) (0) (0)

LL L

L

réactioninconnue

u x t u x t u x tW x A dx EA dx EA

t x x xu x t

EA L F t Rx

avec

E : module de Young [N/m2] : masse volumique [kg/m3]

A : section [m2]

u(x,t) : déplacement [m]


Modèle éléments finis

Matrices élémentaires :

telles que :

avec :

Assemblage :

(L(1) = L(2) = Le)

Condition de Dirichlet :

Elimination ligne et colonnes .

2 1 1 1,

1 2 1 16

ee e

e

AL AEM K

L

. .

111 1

11

0eC L

e

e e e

W W W

UUW M K

UU

1 1

2 2

3 3

2 1 0 1 1 0 0

1 4 1 1 2 1 06

0 1 2 0 1 1

e

e

U UAL AE

U UL

U U F

1 1

2 2

3 3

2 1 0 1 1 0 0

1 4 1 1 2 1 06

0 1 2 0 1 1

e

e

U UAL AE

U UL

U U F


Analyse modale

Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés

« Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K]

Méthode : calcul de valeurs et de vecteurs propres associés


Ecriture d’un problème aux valeurs propres

Forme générale « temporelle » :

On pose une solution de la forme :

Ce qui conduit à :

0M U K U

2 2i t i tU t U e U t U e U t

2

2

0

0

M U K U

K M U

Ecriture générale d’un problème au valeur propre !(au sens mécanique du terme)

2 , U valeur propre vecteur propre associé


Calcul des valeurs propres

Le calcul des valeurs propres s’obtient par la recherche des solutions non triviales de :

soit à vérifier :

Sur le plan pratique (Matlab) :

>> [V, D]=eig(vkg,vmg)

2 0K M U

2det 0K M

Matrice des vecteurs propre

Matrice diagonale des valeurs propre

Matrice de masse

Matrice de rigidité


Application : système 2 masses et 2 ressorts

Simplifications : m1=m2=m, k1=k2=k

Soient :

Equation caractéristique :

Calcul des racines :

Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1

1 0 2 1,

0 1 1 1M m K k

2 2 2

det 0

20

3 0

K M

k m k

k k m

m k m k

1 2

3 5 3 50.38 , 2.62

2 2 2 2

k k k k

m m m m

1 2

1 1,

1.62 0.62U U


Interprétations graphiques

VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE

VALEURS PROPRES :

11 1 1 1

12

22 2 2 2

2

1/ 0.098 10.19

2

10.256 3.88

2

i i

rad s f Hz T sf

f Hz T sf

1 1.62

1 -0.62

Mode 1

Mode 2


Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de :

Cette condition stipule que l’inverse de la matrice n’est pas unique !

Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions d’orthogonalisation :

Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils …

Propriétés d’orthogonalisation des vecteurs

2det 0K M

2K M

1

0

0

i j

ii j

i jU M U

i j

i jU K U

i j

si

si

si

si

M-orthonormalisation

K-orthogonalisation


Application : décomposition modale (1)

Idée : utiliser les propriétés d’orthogonalisation des vecteurs propres pour diagonaliser le système couplé :

Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme.

On note la base des vecteurs propres :

On applique le changement de variables :

M U K U F

1 2 ... NX U U U

( ) ( ) ( ) ( )U t X q t U t X q t


Application : décomposition modale (2)

Injection des formes dans le système d’équations :

Multiplication « par la gauche » par [X ]T :

Pour aboutir à N équation différentielles « scalaires découplées » :

Résolution classique !Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que :

( ) , ( )U t U t

M X q K X q F

TT T

I

X K XX M X q q X F

1,...,i i i iq q f i N

(0) (0) (0) (0)U X q U X q et

Coefficients de participation modale des efforts

Quels modes sont sollicités ?

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