Cours 9. Le quadri-vecteur energie-impulsionstockage.univ-brest.fr/~scott/Rel_2016/Rel_lecture_9.pdf · R esum e du cours 8 3 Contraction des longueurs Voir (Smith, 1997, Chapitre

Cours 9: Le quadri-vecteur energie-impulsion 1

Cours 9. Le quadri-vecteur

energie-impulsion

— Resume du dernier cours sur l’espace-temps.

— Les quadri-vecteurs.

— Le quadri-vecteur vitesse.

— Le quadri-vecteur energie-impulsion.

— Exercices pour la maison.

Resume du cours 8 2

Resume du cours 8

Les grandes lignes :

— Contraction des longueurs.

— Intervalle d’espace-temp.

— La structure causale de l’espace-temps.

Resume du cours 8 3

Contraction des longueurs

Voir (Smith, 1997, Chapitre 4), TD 6 exercice 2.

— Si une tige est au repos dans R′ on mesure dans R′ sa

longueur propre L′ = L0.

— L’observateur attache au repere R qui se deplace par rapport

a R′, on mesure sa longueur impropre L.

— La relation entre la longueur propre et impropre est :

L =L0

γ.

La longueur propre est donc toujours plus grande que la

longueur mesuree dans un repere ou la tige est en

mouvement. C’est ce que l’on appelle la contraction des

longueurs.

Resume du cours 8 4

— La contraction des longueurs est un phenomene cinematique

et non dynamique comme l’ont cru Fitzgerald, Lorentz, et

Poincare. Aucune force n’est a l’origine de cette contraction.

C’est un effet de perpective. Il ne s’agit pas d’une illusion ;

c’est une vraie longueur.

— La contraction des longueurs depend du referentiel et est un

resultat du fait que une ligne de simultaneite depend du

referentiel aussi. Une ligne de simultaneite est parallel aux

axes spatiaux.

Resume du cours 8 5

x

ct ct’

x’

Figure 1 – La ligne d’univers de l’avant du train est en rouge, le

derriere du train en rose. Les lignes d’univers de l’avant et derriere

du tunnel en bleu. Solution complete disponible sur mon site web.

Resume du cours 8 6

Diagramme de Minkowski pour deux

referentiel en configuration standard

— Soitent R et R′ deux referentiels en configuration standard.

— L’axe des ct′ est l’ensemble des points x′ = 0. Il s’agit de la

ligne d’univers de l’origine O′. Par definition de la

configuration standard on a :

x = ctβ = vt. (1)

Donc l’axe ct′ est une droite avec coefficient directeur 1/β.

Ca veut dire que l’angle θ de l’axe ct a l’axe ct′ est tel que

tan(θ) = β, positive dans le sens anti-trigonometrique (2)

Il n’y a rien nouveau la.

Resume du cours 8 7

ct

x

x’

ct’

q

q

Figure 2 – Configuration standard avec v/c = β = tan(θ).

Resume du cours 8 8

— L’axe des x′ est l’ensemble des points t′ = 0. Nous avons

trouve avec la transformation de Lorentz qu’il s’agit d’une

droite avec coefficient directeur β. Ca veut dire que l’angle θ

de l’axe des x a l’axe des x′ est tel que

tan(θ) = β, positive dans le sens trigonometrique (3)

— Pour ct et x sur le diagramme de Minkowski pour R′ en

configuration standard β > 0 donc on a toujours

tan(θ) = β (4)

mais les axes penchent dans l’autre sens, voir Figure 3.

Resume du cours 8 9

ct’

x

x’

ct

q

q

Figure 3 – Configuration standard avec v/c = β = tan(θ).

Resume du cours 8 10

Intervalle d’espace-temps

— Un evenement correspond a un point dans l’espace-temps a

quatre dimensions. Il a lieu a un endroit et a un instant

donnes.

— Soit A et B deux evenements. On define ∆s l’intervalle

d’espace-temps entre A et B ou

∆s2 = c2(tB − tA)2 − (xB − xA)2 − (yB − yA)2 − (zB − zA)2.

(5)

— Cet intervalle etant le meme pour tous les referentiels

galileens (i.e. inertiels) il a une signification absolue.

Resume du cours 8 11

Table 1 – Lien entre structure causale et l’intervalle

∆s2 A et B sont separe Relation causale cone avec apex a A

> 0 du genre temps possible B a l’interieur

= 0 du genre lumiere possible B sur le cone

< 0 du genre espace impossible B a l’exterieur

Cours 9 12

Exercices pour la maison

1. Lire tous le chapitre 4 (au minimum §4.1 ) de (Smith, 1997).

2. Quand est la loi de Galilee de l’addition des vitesse valable ?

3. (Examen de l’annee 2015) J’ai deux fils, Red et Kas, et

chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte a la vitesse

v = 3c/4, par rapport a moi, vers la nebuleuse du Crabe. Au

meme instant Kas le suivre a la vitesse v = c/2 par rapport

a moi. Calculer la vitesse de Red par rapport a Kas comme

fraction de c.

4. Tracer la ligne d’univers de la fusee dans l’exercice du voyage

a l’Alpha du Centaure dans le referentiel R fixe par le soleil,

et le referentiel R′ qui ce deplace avec la fusee. Indiquer les

intervalles du temps et longueurs propre est impropre.

Cours 9 13

Exercices pour la maison : solutions

1. Quand est la loi de Galilee de l’addition des vitesse valable ?

Solution Quand le parametre

|v12v23|c2

� 1 (6)

on a

v13 =v12 + v231 + v12v23

c2≈ v12 + v23. (7)





Cours 9 14


fraction de c.

Solution La loi d’Einstein donne

v13 =v12 + v231 + v12v23

c2(8)

ou Kas est particule 1, moi je suis particule 2, et Red est

particule 3. Donc, v12 = −c/2 parce que je vais dans le sens

negative par rapport a Kas. v23 = 3c/4, c’est la vitesse de

Red par rapport a moi. Finalement v13 est la vitesse de Red

par rapport a Kar, la vitesse nous cherchons :

v13 =v12 + v231 + v12v23

c2=−c/2 + 3c/4

1− 1234

=c 14

1− 38

= c1

4

8

5=

3

5c. (9)

3. Tracer la ligne d’univers de la fusee dans l’exercice du voyage

a l’Alpha du Centaure dans le referentiel R fixe par le soleil,

Cours 9 15

et le referentiel R′ qui ce deplace avec la fusee. Indiquer les

intervalles du temps et longueurs propre est impropre.

Cours 9 16

Exercices pour la maison

1. Lire tous le chapitre 4 (au minimum §4.1 ) de (Smith, 1997).






fraction de c.

Solution

Dans le referentiel inertiel qui se deplace avec Kas, j’ai une

vitesse V = −c/2 le long de l’axe des x (c’est negative parce

que c’est dans le sens de −x). Maintenant on peut utiliser la

loi d’addition des vitesses d’Einstein pour trouver la vitesse

Cours 9 17

u de Red par rapport au Kas :

u =V + v

1 + vVc2

=− c

2 + 3c4

1− 12 ·

34

=1

4c · 8

5=

2

5c. (10)

la loi exacte d’Einstein :

v13 =v12 + v231 + v12v23

c2. (11)

Cours 9 : Le quadri-vecteur energie-impulsion 18

Le quadri-vecteur energie-impulsion


Les quadri-vecteurs

— Le quadri-vecteur (ct, x, y, z) est le quadri-vecteur position.

La transformation de Lorentz donne la relation entre les

composantes mesurees dans deux reperes inertiels. Elle est

construite pour que la quantite (ct)2 − x2 − y2 − z2 soit

invariante.

— Nous allons voir comment construire d’autres quadrivecteurs.

— Les composantes d’un quadri-vecteur ~A sont notees

(A0, A1, A2, A3) dans un repere R. Dans R′ elles deviennent

(A′0, A′1, A

′2, A

′3) et la relation entre les deux est fournie par


la transformation de Lorentz :A0

A1

A2

A3

=

γ βγ 0 0

βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

A′0

A′1

A′2

A′3

.

— Remarque : On ecrit ~A pour le quadri-vecteur dans tous les

referentiels car le quadri-vecteur est le meme dans tous les

referentiels. Ceci n’est pas le cas dans mecanique classique

newtonienne exprime avec les vecteurs habituels. Nous avons

vu, par exemple, que la vitesse ~v = x~i+ y~j + z~k, elle change

lors d’un transformation de Galilee.

— Un calcul direct montre que :

A20 −A2

1 −A22 −A3

3 = A′20 −A

′21 −A

′22 −A

′23 .

Considerons un autre quadri-vecteur dont les composantes


sont (B0, B1, B2, B3). Le produit scalaire au sens de

Minkiowski de ces deux quadri-vecteurs est donne par :

~A · ~B = A0B0 −A1B1 −A2B2 −A3B3. (12)

— La forme la plus generale d’un produit scalaire de deux

quadri-vecteurs peut s’ecrire :

~A · ~B =3∑

µ=0,ν=0

gµνAµBν ,

ou gµν est la metrique de l’espace-temps. La metrique de

l’espace-temps de Minkowski utilisee en relativite restreinte

est telle que :

g00 = 1, g11 = g22 = g33 = −1,

et gµν = 0 si µ 6= ν. On suppose que les coordonnees

cartesiennes sont utilisees pour la partie spatiale. En


coordonnees spheriques la forme serait differente.

— Le produit scalaire peut s’ecrire comme un double produit

matriciel :

∑µν

gµνAµBν =(A0 A1 A2 A3

)

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

B0

B1

B2

B3

.

(13)

— Nous allons voir comment construire des quadrivecteurs a

partir du quadri-vecteur position. Ils se caracterisent par des

proprietes de transformation identiques dans un changement

de repere.


Le quadri-vecteur vitesse

— Un quadri-vecteur est un ensemble de 4 composantes qui se

transforme selon une transformation de lorentz lors d’un

changement de referentiel inertiel :cdt′

dx′

dy′

dz′

=

γ −βγ 0 0

−βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

cdt

dx

dy

dz

(14)

— Les quantites cdt, dx, dy et dz sont les composantes d’un

quadri-vecteur.

— Mais (c, dx/dt, dy/dt, dz/dt) n’est pas un quadri-vecteur. La

premiere composante est invariante ce qui n’est pas le cas

pour un quadri-vecteur. Par ailleurs les composantes de la


vitesse ne se transforment pas comme celles d’un

quadri-vecteur. (Voir chapitre 3 des notes du cours de

Jacque Langlois.)

— La raison est que l’intervalle de temps dt n’est pas un

invariant. En divisant chaque composante par dt on modifie

donc les proprietes de transformation de l’ensemble des

quatre grandeurs obteneues.

— L’intervalle d’espace-temps pour deux evenements proches

s’ecrit :

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2

il est une quantite invariante par la transformation de

Lorentz.

— Pour un intervalle du genre temps ds2 > 0 on a

ds2 = c2dτ2ou dτ est l’intervalle de temps propre. Il est

l’intervalle du temps dans le repere propre de la particule.


On peut donc ecrire :

dτ =dt

γ.

Le facteur γ est ce que intervient dans la transformation de

Lorentz du repere R au repere propre de la particule. Il ne

depend que de la vitesse de la particule dans le repere R,

γ =1√

1− v2/c2, v2 = ‖~v‖2 = v2x + v2y + v2z .

— En divisant les composantes du quadri-vecteur

(cdt, dx, dy, dz) par dτ on obtient un nouveau quadri-vecteur

dont les composantes sont homogenes a une vitesse :(cdt

dτ,dx

dτ,dy

dτ,dz

dτ

)= γ

(cdt

dt,dx

dt,dy

dt,dz

dt

),

= γ(c, vx, vy, vz) ≡ ~U. (15)

C’est le quadri-vecteur vitesse ou la quadri-vitesse.


— Notation : Ce cours je vais parler des vecteurs habituels

aussi, donc je utilise une majuscule pour un quadri-vecteur,

et une minuscule pour un vecteur habituel, comme la vitesse

habituel ~v. (Il n’y a pas du standard pour distinguer les

vecteurs habituels et les quadri-vecteurs.)

— On peut l’ecrire egalement ~U = (γc, γ~v). Le produit scalaire

de ce quadri-vecteur par lui-meme s’ecrit :

γ2c2−γ2v2x−γ2v2y−γ2v2z = γ2(c2−v2) = c2γ2(1−v2/c2) = c2.

Cette grandeur est manifestement invariante.

— Dans le repere R′ on definit de la meme maniere les

composantes du quandri-vecteur vitesse dans R′ :

(γ′c, γ′vx′ , γ′vy′ , γ′vz′)

ou β′ = v′/c, et γ′ = 1/√

1− β′2.

— Si la vitesse relative des deux reperes est βLc, on a


γL = 1/√

1− β2L. La relation entre les deux quadri-vecteurs

s’ecrit : A0

A1

A2

A3

=

γL βLγL 0 0

βLγL γL 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

A′0

A′1

A′2

A′3

ou

A0

A1

A2

A3

=

γc

γvx

γvy

γvz


et A′0

A′1

A′2

A′3

=

γ′c

γ′vx′

γvy′

γvz′


Le quadri-vecteur vitesse : interpretation

geometrique

— Considerons une particule ponctuelle. Elle a une ligne

d’univers dans l’espace-temps de Minkowski.

— On peut considerer la ligne d’univers comme une courbe

parametree ; voir http://stockage.univ-brest.fr/

~scott/IUT_CP_2016/index_cp.html.

— Le quadri-vecteur vitesse (ou la quadri-vitesse) est le vecteur

tangent a la ligne d’univers parametrisee par τ , le temps

propre mesure le long de la ligne d’univers :

~U =

(d ct(τ)

dτ,d x(τ)

dτ,d y(τ)

dτ,d z(τ)

dτ

)(16)


t

x

U

U

Figure 4 – Ligne d’univers d’une particule massive. ~U est la tan-

gente.


ct

x

Figure 5 – Les particules massives portent une montre qui mesurent

le temps propre le long de leur lignes d’univers.


Le quadri-vecteur energie-impulsion

— En mecanique newtonienne on definit l’impulsion ~p (ou

quantite de mouvement) par l’expression :

~p = m~v

ou m est la masse de la particule.

— En relativite il faut mesurer cette masse toujours avec la

particule au repos. La masse mesure ainsi s’appele la masse

au repos ou masse propre.

— Si on multiplie chaque composante du quadrivecteur vitesse

par la masse propre de la particule on obtient un

autre-quadrivecteur dont les composantes sont :

~P = (γmc, γmvx, γmvy, γmvz)

— Une extension naturelle au domaine relativiste est fournie


par la formule :

~p ≡ γm~v

Elle redonne la formule precedente lorsque v � c. Le

quadrivecteur obtenu en multipliant le quadrivecteur vitesse

par la masse propre a donc pour composantes spatiale

l’impulsion relatviste ~p :

~P = (Pt, ~p) (17)

— Il faut encore identifier la composante temporelle, Pt.

— La puissance fournie a une particule soumise a une force ~f

est :

~v · ~f =dE

dt

ou E est l’energie de la particule. La loi de Newton etendue


au domaine relativiste permet d’ecrire :

~f =d~p

dt

soit :

~v · ~f = ~v · d(γm~v)

dtOn en deduit :

~v · ~f = m~v · ~v dγdt

+ γm~v · d~vdt

A partir de la definition de γ on peut ecrire :

dγ

dt=

d

dt(1− β2)−1/2

= −1

2(1− β2)−3/2

(−2β

dβ

dt

)= γ3β

dβ

dt=γ3

c2vdv

dt(18)


Par ailleurs seule la composante de la force sur la direction

de ~v produit un travail et contribue a faire varier l’energie de

la particule. On peut donce ecrire :

~v · d~vdt

= vdv

dt

ou v = |~v|.La puissance fournie peut donc s’ecrire :

~v · ~f = mv2γ3

c2vdv

dt+ γmv

dv

dt

= (β2γ2 + 1)γmvdv

dt(19)

Or on a :

γ2β2 + 1 = γ2

On en deduit :

~v · ~f = γ3mvdv

dt


On peut reecrire le membre de droite sous la forme :

~v · ~f = mc2γ3βdβ

dt=

d

dt(γmc2) =

dE

dt

Ce resultat conduit a definir l’energie de la particule par

l’expression :

E = γmc2

Le quadri-vecteur energie-impulsion peut donc s’ecrire :

~P = (γmc, γm~v) =

(E

c, ~p

)


Le quadri-vecteur energie-impulsion :

Bilan

— Nous avons generaliser l’expression newtonienne pour

l’impulsion au cas relativiste :

~P ≡ m~U = (γmc, γmvx, γmvy, γmvz)

ce qui donne le vecteur d’impulsion relativiste ~p = mγ~v.

— Nous avons utilise la loi newtonienne pour la puissance

fournie a une particule soumise a une force ~f :

~v · ~f =dE

dt

ou E est l’energie de la particule. La seconde loi de Newton


permet d’ecrire :

~f =d~p

dt,

dE

dt= ~v · d~p

dt, remplace ~f dans l’equation ci-dessus

= ~v · d(mγ~v)

dt, remplace ~f dans l’equation ci-dessus

(20)

— On fait de mathematiques et on obtient :

d

dt(γmc2) =

dE

dt

ce qui meme a la definition :

E = γmc2


— Le produit scalaire d’un quadri-vecteur par lui-meme etant

un invariant on en deduit que la grandeur E2/c2 − p2 est la

meme dans tous les reperes galileens. Dans le repere propre

de la particule p = 0 et E0 = mc2. On en deduit :

E2

c2− p2 =

E20

c2

ou

E2 = p2c2 +m2c4

On distingue deux cas limites :

— l’approximation non relativitste lorsque p2c2 � m2c4

— l’approximation ultra relativiste lorsque p2c2 � m2c4


Pour l’approximation non-relativiste on peut ecrire :

E = mc2(

1 +p2c2

m2c4

)1/2

≈ mc2(

1 +1

2

p2c2

m2c4

)= mc2 +

p2

2m(21)

ou p = γmv ≈ mv car v � c. L’energie cinetique comprend

tous les termes autres que mc2.

— L’energie totale d’une particule libre est γmc2. Son energie

au repos etant mc2 on en deduit que son energie cinetique

est :

Ecin = (γ − 1)mc2

Cette expression est exacte, quelle que soit la vitesse de la

particle.


Un developpement de Taylor de la fonction

f(x) = (1 + x)−1/2 donne :

(1 + x)−1/2 ≈ 1− 1

2x+

3

8x2 − 5

16x3 + . . .

En posant x = −β2 il vient :

γ = (1− β2)−1/2 ≈ 1 +1

2β2 +

3

8β4 +

5

16β6 + . . .

Le developpement de l’energie cinetique en puissances de β

s’ecrit :

Ecin ≈ mc2[1

2β2 +

3

8β4 +

5

16β6 + . . .]

= mc2[β2

2+

3

4β2 β

2

2+

5

8β4 β

2

2+ . . .]

=1

2mv2[1 +

3

4β2 +

5

8β4 + . . .]

(22)


Lorsque β � 1 on retrouve bien l’expression familiere de la

mecanique classique.


Exercice pour la maison

1. Verifier par un calcul direct que :

A20 −A2

1 −A22 −A3

3 = A′20 −A

′21 −A

′22 −A

′23 .

Ici, Aµ avec µ = {0, 1, 2, 3} sont les composantes d’un

quadri-vecteur.

2. Verifier par un calcul direct que le produit matriciel dans

l’equation (13) est egale a l’equation (12) pour le produit

scalaire.

3. Trouver la vitesse d’une particule massive tel que l’energie

totale relativiste au carre, E2, a deux parties egales :

p2c2 = m2c4


A cette vitesse, quel est le rapport

EcinE

?


References

Smith, J. H. (1997), Introduction a la relativite, InterEditions,

Paris, France.

Documents

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