Résumés d’une série statistique Johan MILLAUD D

Statistiques descriptives

Resumes d’une serie statistique

Johan MILLAUD

Departement Genie Civil de l’IUT du Limousin

Fevrier 2005

5

SommaireConceptsNotions

ExemplesExercices

Documents

2 II

Table des matieres

I Objectifs 4I.1 Analyse d’une serie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2 Saisie de donnees a la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Resumes d’une serie discretes 9II.1 Parametres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.2 Parametres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.3 Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III Resumes d’une serie continue 28III.1 Rappels : serie classee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.2 Parametres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33III.3 Parametres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A Exemples 44

Table des matieresConceptsNotions

ExemplesExercices

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JJ 3

B Exercices 79

C Documents 100


ExemplesExercices

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suivant I

4

Chapitre I

Objectifs

I.1 Analyse d’une serie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2 Saisie de donnees a la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


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5 II

I.1 Analyse d’une serie statistique

Exemples :Exemple A.1

En statistique descriptive, le travail du statisticien se decompose en plusieursetapes :

– Tout d’abord, il faut recueillir les donnees formant une serie statistique et re-sultant de l’etude d’un meme caractere chez tous les individus d’une population(on travaillera toujours avec un caractere quantitatif).

– Ensuite, il faut organiser la serie statistique obtenue afin de la presenter de ma-niere synthetique, c’est a dire sous la forme d’un tableau ou d’un graphique.Les modalites de construction d’un tel tableau ou d’une telle representation gra-phique dependent de la nature de la serie : si la serie est discrete, le tableaucomporte les effectifs et/ou frequences (simples et/ou cumules) de chaque mo-dalite, et les representations graphiques sont des diagrammes en batons et enescaliers ; si la serie est continue, alors le tableau comporte les effectifs et/oufrequences (simples et/ou cumules) d’une serie classee associee, et les represen-tations graphiques sont des histogrammes et des courbes affines par morceaux.


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JJ 6

Analyse d’uneserie statistique

– Dans un troisieme temps, il faut resumer la serie statistique, c’est a dire propo-ser des indicateurs (en nombre limite) traduisant les caracteristiques essentiellesde la serie. Grace a ces indicateurs, il doit etre possible d’apprehender la seriestatistique sans avoir a revenir aux donnees brutes recueillies ou aux tableaux etrepresentations graphiques synthetisant ces donnees brutes.Ces indicateurs portent le nom de parametres : on distinguera les parametres deposition (resumant une serie statistique a l’aide d’une valeur ”centrale”) et lesparametres de dispersion (donnant un renseignement sur la facon dont les don-nees recueillies se repartissent). Ils se declinent avec certaines nuances suivant sila serie statistique est discrete ou continue.

Dans ce cours, on abordera ce troisieme temps d’une etude statistique.


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7 II

I.2 Saisie de donnees a la calculatrice


Exercices :Exercice B.1

Certains des parametres statistiques de position et de distribution sont donnes pardes formules algebriques et peuvent etre calcules avec Excel ou a la calculatrice. Enparticulier, certaines formules sont pre-programmees sur la calculatrice Citizen SRP-350 : il suffit d’entrer les modalites et les effectifs pour que la calculatrice fournisse lesvaleurs prises par ces parametres.

La saisie de donnees statistiques a la calculatrice Citizen se fait dans le modeSTAT. N’etudiant pour le moment qu’un seul caractere dans une population donnee,on travaille dans le cadre des statistiques a une variable : on selectionne donc le menu”1-VAR” dans le mode STAT. A partir de cet instant-la, et tant qu’on ne tape pas anouveau la touche MODE, on reste dans le mode des statistiques a une variable (maiscela n’empeche pas d’utiliser les fonctionnalites basiques de la calculatrice).On peut maintenant saisir les donnees de la serie statistique a etudier : pour cela,il faut appuyer sur la touche DATA, selectionner le menu ”DATA-INPUT” et rensei-gner les modalites xi et les effectifs ni en validant chaque saisie par la touche ↓ . Onprendra garde a bien renseigner les effectifs de chaque modalite et NONPAS les frequences, comme pourrait le laisser croire l’invite ”FREQi=”,


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JJ 8

Saisie dedonnees a lacalculatrice

consequence d’un faux-ami de la langue anglaise. Une fois les donnees saisies,on tape a nouveau sur la touche DATA afin de quitter le mode de saisie. On peutrevenir a ces donnees, les modifier ou en rajouter toujours avec la touche DATA et lemenu ”DATA-INPUT”.

Avant de travailler avec une nouvelle serie statistique, il faut prendre le soin d’effa-cer la derniere serie statistique saisie en selectionnant le menu ”D-CL”du mode STAT.


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9

Chapitre II

Resumes d’une serie discretes

II.1 Parametres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.2 Parametres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.3 Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


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10

II.1 Parametres de position

II.1.1 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.1.2 Mediane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.1.3 Quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.1.4 Moyenne arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


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11

II.1.1 Mode



Le parametre de position le plus simple a apprehender est le mode de la seriestatistique : il s’agit de la modalite xi qui a le plus grand effectif (et donc la plusgrande frequence). C’est un moyen tres grossier de resumer la serie statistique, car ilne donne aucun renseignement sur les autres modalites, hormis le fait qu’elles ont uneffectif moindre : le mode peut aussi bien etre une valeur extreme de la serie statistiquequ’une valeur ”moyenne” ; l’effectif du mode peut aussi bien etre tres superieur a tousles autres effectifs que du meme ordre de grandeur. . .

Remarquons que le mode n’est en realite pas forcement unique : il se peut queplusieurs modalites aient un effectif maximal.

Attention enfin a ne pas confondre le mode qui est une modalite de laserie statistique avec son effectif ou sa frequence.


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12 II

II.1.2 Mediane



Pour permettre de situer autour de quelle valeur les modalites d’une serie statistiquese repartissent, on peut donner la mediane de cette serie statistique : il s’agit d’unevaleur M qui separe la famille des donnees recueillies et rangees dans l’ordre croissant(en repetant les donnees identiques autant de fois qu’elles ont ete obtenues) en deuxsous-familles de meme effectif.

Pour une meme serie, il peut exister plusieurs valeurs possibles pourla mediane, et une mediane n’est pas forcement une modalite de la serie.Plus precisement, on distingue deux cas suivant la parite de l’effectif total N de lapopulation :

1er cas – si N est impair, avec N = 2k+1 (k ∈ IN∗) , en notant v1 ≤ v2 ≤ · · · ≤ vN

(avec vN = v2k+1) les donnees recueillies de la serie statistique, alors on a :

v1 ≤ v2 ≤ · · · ≤ vk︸︷︷︸k valeurs

≤ vk+1 ≤ vk+2 ≤ vk+3 ≤ · · · ≤ v2k+1︸︷︷︸k valeurs

La valeur M = xk+1 separe la serie statistique ordonnee en deux sous-series dememe effectif : il s’agit donc de la (seule) mediane (possible).


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JJ 13

Mediane2nd cas – si N est pair, avec N = 2k (k ∈ IN∗) , en notant v1 ≤ v2 ≤ · · · ≤ vN

(avec vN = v2k) les donnees recueillies de la serie statistique, alors on a :

v1 ≤ v2 ≤ · · · ≤ vk︸︷︷︸k valeurs

≤ vk+1 ≤ vk+2 ≤ · · · ≤ v2k︸︷︷︸k valeurs

Toute valeur M ∈ [vk; vk+1] separe la serie statistique ordonnee en deux sous-series de meme effectif : une telle valeur est donc une des medianes de la serie.(Si vk = vk+1 , il n’y a en realite qu’une seule valeur possible).

La mediane n’est pas sensible aux valeurs extremes : si, par exemple, onechange la plus grande valeur d’une serie statistique par une valeur beaucoup plusgrande, la mediane reste inchangee.


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II.1.3 Quartiles



Par extension de la notion de mediane, on appelle, pour une serie aux valeursordonnees dans l’ordre croissant, quartiles les nombres Q1 ≤ Q2 ≤ Q3 qui divisentl’ensemble des valeurs de la serie en quatre parties egales.

Comme la mediane, les quartiles ne sont pas forcement uniques et ne sont pastoujours des modalites de la serie. Leur determination depend egalement de la paritede l’effectif total et de la parite de l’effectif des sous-series separees par la mediane.

Remarquons enfin que le deuxieme quartile Q2 n’est autre que la mediane M de laserie.


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15 II

II.1.4 Moyenne arithmetique


Exemple A.7

Exercices :Exercice B.5Exercice B.6

La mediane, que l’on a vue precedemment, est un parametre de position donnantune valeur autour de laquelle se repartissent les modalites de la serie. On a remarquequ’elle presentait la particularite de ne pas etre sensible aux valeurs extremes : celapeut etre interessant quand ces valeurs extremes correspondent a des valeurs aberrantes(mesures de grandeurs physiques peu realistes par exemple). Cependant, et du memecoup, elle ne prend guere en compte la dispersion de l’ensemble des valeurs. De plus, lamediane n’est pas donnee par une formule algebrique et est difficilement manipulabledans le cadre d’operations lineaires simples.

C’est pour ces raisons qu’on prefere, dans certains cas, utiliser la moyenne arith-metique des valeurs prises par la serie statistique. Notant S une serie statistiquediscrete d’effectif N ; x1 , x2 , . . . , xp ses modalites ; ni et fi les effectifs et frequencesassocies a ces modalites ; la moyenne arithmetique de S , note E(S) ou S , est le


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JJ 16

Moyennearithmetique

nombre defini par :

E(S) = S =1

N

p∑i=1

nixi =n1x1 + n2x2 + · · ·+ npxp

N

Ou encore, puisque ni

N= fi , par :

E(S) = S =

p∑i=1

fixi = f1x1 + f2x2 + · · ·+ fpxp


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II.2 Parametres de dispersion

II.2.1 Etendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.2.2 Ecart inter-quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.2.3 Ecart moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II.2.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II.2.5 Ecart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


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II.2.1 Etendue



Les parametres de position que l’on a vus dans la section precedente ne donnentqu’une information limitee sur la localisation des valeurs d’une serie statistique. Enidentifiant plusieurs de ces parametres pour une meme serie, on en a une connaissanceplus grande, mais, avec ces seuls parametres, on ne peut pas savoir comment se repar-tissent globalement l’ensemble des valeurs. C’est pourquoi on fait en general egalementappel aux parametres de dispersion pour mieux cerner les caracteristiques des seriesetudiees.

Un des parametres de dispersion les plus simples est l’etendue de la serie statis-tique. Il s’agit de la difference entre la plus grande modalite xp de la serie et la pluspetite x1 :

etendue = xp − x1

Elle donne bien un renseignement sur la repartition des valeurs de la serie statistique :plus l’etendue est grande, plus l’ecart entre la plus petite et la plus grande modalitede la serie est importante, et donc plus les valeurs de la serie peuvent etre disperseessur un grand intervalle.


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II.2.2 Ecart inter-quartiles



Comme la moyenne arithmetique, l’etendue presente le defaut d’etre tres sensibleaux valeurs extremes et aberrantes. Si, par exemple, une seule valeur d’une serie sta-tistique est tres eloignee de toutes les autres, l’etendue de cette serie est tres eleveealors que, a une exception pres, les valeurs sont toutes regroupees.

Pour eviter de prendre en compte les valeurs extremes, on peut utiliser l’ecartinter-quartiles : c’est la difference entre le troisieme et le premier quartile.

ecart inter-quartiles = Q3 −Q1

L’ecart inter-quartiles donne donc l’amplitude de l’intervalle qui contient 50% desvaleurs ”les moins extremes”, c’est a dire l’intervalle qu’on obtient en enlevant a la serieles 25% plus faibles valeurs et les 25% plus fortes valeurs.


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20 II

II.2.3 Ecart moyen



Les deux parametres de dispersion que l’on vient de voir (l’etendue et l’ecart inter-quartiles) n’utilisent que deux valeurs (modalites extremes ou quartiles) de la seriestatistique etudiee pour estimer la dispersion des valeurs de la serie. L’information quien resulte n’est donc pas tres precise.

Pour tenir compte de toutes les valeurs de la serie dans l’estimation de la dispersionde ces valeurs, on peut calculer la moyenne des ecarts entre chaque valeur de la serie etla moyenne arithmetique de cette serie. C’est l’ecart absolu moyen par rapport ala moyenne qu’on notera ”eamm” ; pour une serie statistique notee X d’effectif totalN , de modalites x1 , x2 , . . . , xp et d’effectifs ni , on a :

eamm(X) =1

N

p∑i=1

ni×|xi −X|

Les valeurs absolues sont necessaires pour que les ecarts positifs ne soient pas ”com-penses” par les ecarts negatifs.


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JJ 21

Ecart moyenPlus l’ecart absolu moyen par rapport a la moyenne est eleve, plus il y a de va-leurs eloignees de la moyenne : l’ecart absolu moyen est donc bien un parametre dedispersion, c’est a dire un indicateur de l’etalement des valeurs recueillies.

Remarque : on peut, de maniere similaire, definir un ecart moyen par rapport a lamediane quand on juge que la mediane est un parametre de position plus approprie al’etude d’une serie statistique que la moyenne arithmetique.


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22 II

II.2.4 Variance



L’ecart absolu moyen vu precedemment presente l’avantage de tenir compte detoutes les valeurs d’une serie statistique pour donner une indication sur la dispersionde ces valeurs. Par contre, il y a un inconvenient en termes de calculs a utiliser l’ecartmoyen : la formule qui le definit fait intervenir des valeurs absolues souvent delicatesa manipuler (les calculatrices ne les prennent pas forcement en charge ; on ne peut pasfaire grand chose avec la valeur absolue d’une somme. . .).

Par consequent, plutot que de travailler avec des ecarts en valeurs absolues, ontravaille avec les carres des ecarts : les carres de nombres etant toujours positifs, iln’y a pas de compensation entre des ecarts negatifs et des ecarts positifs ; de plus, lafonction carree etant croissante sur IR+ , le carre d’un ecart est d’autant plus grandque l’ecart lui-meme est grand.

Ainsi, en remplacant les ecarts en valeurs absolues |xi−X| par les carres des ecarts(xi −X)2 dans la formule de definition de l’ecart absolu moyen, on obtient a nouveauun indicateur qui prend une valeur positive d’autant plus grande que beaucoup demodalites xi sont eloignees de la valeur moyenne X .


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JJ 23

VarianceFinalement, on appelle variance d’une serie statistique X , et on note Var(X) , lamoyenne des carres des ecarts entre les valeurs de la serie et la valeur moyenne. Avecles memes notations que precedemment, on a :

Var(X) =1

N

p∑i=1

ni×(xi −X)2

La variance est un nombre positif qui est d’autant plus eleve que les valeurs de la seriesont dispersees.

Propriete : on montre que la variance d’une serie statistique X peut aussi se calculerpar une autre formule souvent plus facile a appliquer et appelee formule de Koenig :

Var(X) =

(1

N

p∑i=1

ni x2i

)−X

2

Cette formule s’interprete en disant que la variance d’une serie statistique X est ladifference entre la moyenne des carres des valeurs de cette serie et le carre de lamoyenne des valeurs de cette serie.


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24 II

II.2.5 Ecart-type



La variance d’une serie statistique que l’on vient de definir est un parametre dedispersion qui joue le meme role que l’ecart absolu moyen par rapport a la moyenne,mais qui a, en plus, l’avantage d’etre plus aise a manipuler dans les calculs du fait duremplacement des valeurs absolues presentes dans la definition de l’ecart moyen pardes carres. Cependant, ce remplacement a une consequence regrettable en terme dedimension physique : en effet, si les valeurs d’une serie statistique sont des grandeursphysiques dimensionnelles, alors la variance de cette serie n’a pas la meme dimensionque les valeurs en question.

Pour se donner un parametre de dispersion conservant les qualites de la variance etetant de meme dimension que les valeurs de la serie a laquelle il se refere, on introduitl’ecart-type : l’ecart-type σ(X) d’une serie statistique X est tout simplement laracine carree de la variance de cette serie.

La fonction racine carree etant croissante sur IR+ , l’interpretation de l’ecart-typeest equivalente a celle de la variance et donc de l’ecart absolu moyen : plus l’ecart-type d’une serie est grand, plus les valeurs de cette serie sont dispersees.


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JJ 25

Ecart-typeFormellement, on a, toujours avec les memes notations que precedemment :

σ(X) =√

Var(X) =

√√√√ 1

N

p∑i=1

ni×(xi −X)2 =

√√√√( 1

N

p∑i=1

ni x2i

)−X

2


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26

II.3 Utilisation de la calculatrice

II.3.1 Calculs de parametres a la calculatrice . . . . . . . . . . . . 27


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27

II.3.1 Calculs de parametres a la calculatrice



Apres avoir saisi les donnees d’une serie statistique a la calculatrice Citizen SRP-350 , on peut obtenir certaines caracteristiques de la serie automatiquement.Pour cela on tape, en mode STAT dans le menu ”1-VAR”, la commande STATVARaccessible par la succession des touches [2nd] et [DATA]. On peut alors lire les infor-mations suivantes :

n Effectif totalx Moyenne arithmetiqueSx Ecart-type d’echantillon∗

σx Ecart-typeΣx Somme des valeursΣx2 Somme des carres des valeurs

∗ L’ecart-type d’echantillon n’est pas etudie dans ce cours. . .


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28

Chapitre III

Resumes d’une serie continue

III.1 Rappels : serie classee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.2 Parametres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33III.3 Parametres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


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29

III.1 Rappels : serie classee

III.1.1 Regroupement en classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.1.2 Hypothese de discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31III.1.3 Calculatrice et serie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


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30

III.1.1 Regroupement en classes


Lorsque le caractere etudie d’une serie statistique peut prendre a priori n’importequelle valeur dans un intervalle [a0; aq[ , on regroupe ces valeurs suivant des classes[ai−1; ai[ choisies en fonction de l’etude menee et auxquelles on ajoute les intervalles]−∞; a0[ et [aq; +∞[ .

On definit pour chaque classe [ai−1; ai[ : les limites ai−1 et ai de la classe ; le centreci = ai−1+ai

2de la classe ; l’amplitude ai − ai−1 ; l’effectif ni et la frequence fi de la

classe.

On remplace alors l’etude la serie continue initiale par la serie discrete constitueedes modalites ci affectees des effectifs ni . On appelle serie classee la serie ainsi obtenue.


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III.1.2 Hypothese de discretisation

Le remplacement d’une serie continue par une serie classee utilisant les centresdes classes n’est justifiee que si les valeurs observees du caractere etudie sontreparties uniformement dans chaque classe. En effet, pour que l’approximationfaite en assimilant chaque valeur xk d’une classe [ai−1; ai[ a la valeur du centre ci nesoit pas trop grossiere, il faut que l’ensemble des differences xk − ci se compensent apeu pres (certaines etant positives et les autres negatives).

Sous cette hypothese, les parametres de position et de dispersion d’une serie classeeconstituent de bonnes approximations des parametres de la serie continue associee.C’est pourquoi on va, dans les sections suivantes, souvent assimiler les parametres desseries continues a ceux de leurs series classees.


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32

III.1.3 Calculatrice et serie continue

Le traitement des series continues consistant a remplacer la serie continue par uneserie classee (discrete) equivalente et a confondre les parametres des deux series, onpeut obtenir a la calculatrice les moyennes et ecarts-types d’une serie continue de lameme facon que dans le cas des series discretes.


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33

III.2 Parametres de position

III.2.1 Classe modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34III.2.2 Mediane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35III.2.3 Quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36III.2.4 Moyenne arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


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34

III.2.1 Classe modale



Pour une serie statistique continue, on ne parle pas de mode, car, en general, toutesles modalites de la serie ont un effectif identique, egal a 1.

On considere donc la serie classee associee et on definit la classe modale commela classe de plus grande densite de frequence. Dans le cas ou toutes les classes ont lameme etendue, la classe modale correspond a la classe de plus grand effectif.


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35

III.2.2 Mediane


Comme dans le cas des series discretes, la mediane M d’une serie continue est unnombre qui separe les valeurs ordonnees de la serie en deux familles de meme effectif.Autrement dit, M est un nombre en-dessous duquel se trouvent 50% des valeurs de laserie : c’est donc le nombre associe a la frequence cumulee croissante egale a 50% . Lamediane M verifie ainsi la relation :

Φ(M) = 50%

Sous l’hypothese de repartition uniforme des valeurs dans les classes, M est alors l’abs-cisse du point d’ordonnee y = 50% sur le polygone des frequences cumulees croissantesde la serie classee associee a la serie continue etudiee.

Finalement, si ak est la plus petite limite de classe telle que Φ(ak) ≥ 50% , alors lamediane M s’obtient par l’interpolation suivante :

50%− Φ(ak−1)

M − ak−1

=Φ(ak)− Φ(ak−1)

ak − ak−1


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III.2.3 Quartiles



Comme chez les series discretes, les quartiles Q1 , Q2 et Q3 d’une serie continuesont 3 nombres qui decoupent la serie en quatre familles de meme effectif.

Avec un raisonnement analogue a celui fait precedemment dans le cas de la mediane,on montre que, sous l’hypothese de repartition uniforme des valeurs dans les classes,les quartiles Q1 , Q2 et Q3 correspondent approximativement aux abscisses des pointsd’ordonnees respectives y1 = 25% , y2 = 50% et y3 = 75% du polygone des frequencescumulees croissantes de la serie classee associee a la serie continue etudiee.


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III.2.4 Moyenne arithmetique



La moyenne arithmetique d’une serie continue X se definit de la meme facon quecelle d’une serie discrete. Cependant, plutot que de calculer une telle moyenne enprenant en compte chaque modalite de la serie continue, on utilise a nouveau une serieclassee associee et verifiant l’hypothese de repartition uniforme des valeurs dans lesclasses.

Sous cette hypothese, la moyenne arithmetique de la serie classee constitue unebonne approximation de la moyenne de la serie continue associee. On utilise donc lescentres des classes pour faire le calcul de la moyenne :

X =1

N

q∑i=1

ni ci =

q∑i=1

fi ci


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III.3 Parametres de dispersion

III.3.1 Etendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.3.2 Ecart inter-quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40III.3.3 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41III.3.4 Ecart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


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III.3.1 Etendue

L’etendue d’une serie statistique peut se definir, toujours a partir de la serie classee,de deux facons :

– Soit comme la difference entre la limite superieure aq de la derniere classe et lalimite inferieure a0 de la premiere classe. C’est la definition que nous utiliseronsdans le cadre de ce cours :

etendue = aq − a0

– Soit comme la difference entre le centre cq de la derniere classe et le centre c1 dela premiere classe :

etendue = cq − c1


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III.3.2 Ecart inter-quartiles


L’ecart inter-quartiles d’une serie continue se definit de la meme maniere que celuid’une serie discrete, comme la difference entre le troisieme et le premier quartiles.


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41

III.3.3 Variance

On definit la variance d’une serie continue X comme la variance de la serie classeeassociee :

Var(X) =1

N

q∑i=1

ni (ci −X)2 =

(1

N

q∑i=1

ni c2i

)−X

2

Comme dans le cas des series dicretes, la variance d’une serie continue est d’autantplus grande que les valeurs de cette serie sont tres eparpillees autour de la valeurmoyenne.


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42

III.3.4 Ecart-type



L’ecart-type d’une serie continue X est la racine carree de la variance de cette serie,de sorte qu’elle est de meme dimension que les valeurs de cette serie.


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43 II

Annexe AExemples

A.1 Notes obtenues par les etudiants d’un groupe de TD . . . . . . . . . . 45A.2 Saisie d’une serie statistique a la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . 48A.3 Mode d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.4 Mediane d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.5 Quartiles d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.6 Moyenne arithmetique d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . 56A.7 Sensibilite de la moyenne aux valeurs extremes . . . . . . . . . . . . . 57A.8 Etendue d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58A.9 Ecart inter-quartiles d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.10 Ecart moyen d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.11 Variance d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A.12 Ecart-type d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65A.13 Calcul de parametres a la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.14 Mesures de la constante de gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


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JJ 44

A.15 Classe modale d’une serie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A.16 Mediane d’une serie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71A.17 Quartiles d’une serie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72A.18 Moyenne d’une serie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.19 Etendue et ecart inter-quartiles d’une serie continue . . . . . . . . . . 75A.20 Variance et ecart-type d’une serie continue . . . . . . . . . . . . . . . 77


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45 II

Exemple A.1 Notes obtenues par les etudiants d’un groupe de TD

Cours :Objectifs du cours

Une etude statistique peut etre faite sur les notes obtenues par les etudiants d’ungroupe de TD a un devoir de mathematiques : les etudiants forment une populationstatistique, et le caractere etudie chez chaque individu (ou etudiant) de cette popula-tion est la note obtenue au devoir de mathematiques.Le recueil des donnees se resume a la correction et a la notation des devoirs. Les notesobtenues forment la serie statistique S1 :

S1 = {11; 12; 10; 9; 4; 18; 19; 12; 16; 12; 13; 14; 18; 9; 8; 8; 12; 5; 11; 10}Les notes etant entieres, cette serie statistique est discrete.L’organisation de cette serie statistique sous forme d’un tableau synthetique conduitpar exemple a :

Modalites xi 4 5 8 9 10 11 12 13 14 16 18 19 Totaux

Effectifs ni 1 1 2 2 2 2 4 1 1 1 2 1 20

Frequences fi 5 5 10 10 10 10 20 5 5 5 10 5 100

Eff. cum. croissants 1 2 4 6 8 10 14 15 16 17 19 20

Freq. cum. dec. (en %) 100 95 90 80 70 60 50 30 25 20 15 5


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JJ 46 II

Exemple A.1Notes obtenues

par les etudiantsd’un groupe de

TD

Et sous forme graphique, on represente les effectifs des differentes modalites par lediagramme en batons suivants :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

1

2

3

4

notes

effectifs

distribution d’effectifs

Le tableau et les graphiques permettent d’avoir une bonne vision d’ensemble de laserie statistique, mais ils ne permettent guere de faire des comparaisons avec d’autresseries de meme nature.Imaginons en effet un autre groupe de TD, constitue cette fois de 23 etudiants, ayantsubi le meme devoir de mathematiques et dont les resultats se traduiraient par lediagramme suivant :


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JJ 47

Exemple A.1Notes obtenues

par les etudiantsd’un groupe de

TD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

1

2

3

4

notes

effec

tifs

distribution d’effectifs du second groupe

Il semble difficile de determiner le groupe ayant le mieux reussi au devoir de ma-thematiques par simple comparaison des diagrammes en batons. C’est a ce type deprobleme que pourront repondre les parametres statistiques de position et de disper-sion. . .


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J precedent chapitre N suivant I

48 II

Exemple A.2 Saisie d’une serie statistique a la calculatrice

Cours :Calculatrice (Saisie de donnees)


Entrons en memoire dans la calculatrice la serie statistique S1 de l’exemple prece-dent dont on rappelle les modalites et les effectifs :


Effectifs ni 1 1 2 2 2 2 4 1 1 1 2 1 20

Pour cela, on tape la succession de commandes suivantes (les touches sont repereespar des [crochets], les menus par des ”guillemets” et les invites de l’ecran par le texteen italique) :


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JJ 49

Exemple A.2Saisie d’une serie

statistique a lacalculatrice

etapes commandes descriptions

1 [MODE] ”STAT” selection du mode statistique de la cal-culatrice

2 ”1-VAR” choix des statistiques a une variable

3 [DATA] ”DATA-INPUT” selection du mode de saisie des donnees

4 X1= 4 et [↓] saisie de la premiere modalite et vali-dation

5 FREQ1= 1 et [↓] saisie de l’effectif de la premiere moda-lite et validation

6 X2= 5 et [↓] saisie de la deuxieme modalite et vali-dation

......

...

27 FREQ12= 1 et [↓] saisie de l’effectif de la douzieme et der-niere modalite et validation

28 [DATA] sortie du mode de saisie des donnees


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50 II

Exemple A.3 Mode d’une serie discrete

Cours :Mode (serie discrete)


On considere les ventes mensuelles d’un magasin de chaussures selon la pointure :

Pointures 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 TOTALNombrede paires 35 44 54 35 25 23 48 24 20 9 317vendues

Le mode de cette serie statistique est 38 puisque c’est la pointure de chaussure laplus vendue.

Sur cet exemple, on voit clairement que le mode ne donne qu’une information trespartielle sur la serie. En effet, si le responsable des commandes se contentait de cetteinformation, il serait tente de commander un maximum de paires de chaussure depointure 38 quel que soit le modele de chaussure (modele feminin ou masculin).Or, en analysant un peu plus finement la serie statistique, on peut remarquer l’existencede deux ”sous-series”, l’une contenant des valeurs entre 36 et 40, l’autre contenant desvaleurs entre 41 et 45 avec un ”pic”pour la pointure 42 : on retrouve la distinction entreles ventes de modeles masculins et les ventes de modeles feminins. Par consequent, si


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JJ 51

Exemple A.3Mode d’une serie

discrete

le responsable des commandes se procure un grand nombre de pointures 38 pour unmodele masculin, il risque de se retrouver avec beaucoup d’invendus !

Bien que le mode soit unique sur cet exemple, on peut qualifier cette serie deserie bimodale. Cela permet de conserver en memoire le fait que les femmes achetentbeaucoup plus de chaussures que les hommes. . .


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52 II

Exemple A.4 Mediane d’une serie discrete

Cours :Mediane (serie discrete)


Reprenons la serie statistique discrete des ventes mensuelles d’un magasin de chaus-sure :


L’effectif total de cette serie est impair : N = 317 = 2× 158+1 . En ordonnant lesvaleurs de cette serie statistique, on obtient :

36 ; 36 ; · · · ; 36 ; 37 ; · · · ; 38︸︷︷︸133 paires

; 39 ; · · · ; 39︸︷︷︸25 paires︸︷︷︸

158 paires

; 39 ; 39 ; · · · ; 39︸︷︷︸9 paires

; 40 ; 40 ; · · · ; 40 ; 41; · · · ; 45︸︷︷︸149 paires︸︷︷︸

158 paires

Cette serie n’a donc qu’une valeur mediane : la pointure M = 39 qui separe la seriestatistique en deux sous-series d’effectifs egaux a 158. Ce renseignement permet de


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JJ 53

Exemple A.4Mediane d’une

serie discrete

savoir que les pointures des paires de chaussures vendues se repartissent equitablementautour de la pointure 39.

Imaginons maintenant que le magasin de chaussure propose a un client fidele, bas-ketteur professionnel, des modeles de chaussure a sa pointure, a savoir du 52. Si ceclient fidele achete 8 paires de chaussures dans le mois, l’effectif de la serie statistiquepasse a 325, mais la mediane reste inchangee, car c’est encore une pointure 39 quiva separer la serie en deux sous-series d’effectif 162. On dit que la mediane n’est pasinfluencee par les valeurs extremes.


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54 II

Exemple A.5 Quartiles d’une serie discrete

Cours :Quartiles (serie discrete)


On a vu dans l’exemple des ventes mensuelles des paires de chaussures d’un magasinsuivant la pointure que la mediane M , c’est a dire le deuxieme quartile Q2 , de la serieetait la pointure 39, et qu’elle separait la serie en deux sous-series d’effectif 158. Lesdeux sous-series ont maintenant un effectif pair, donc le premier quartile Q1 doit etreun nombre qui separe la premiere sous-serie (ordonnee) en deux familles d’effectif 79 ;de meme le troisieme quartile Q3 doit etre un nombre qui separe la deuxieme sous-serieen deux familles d’effectif 79. On peut presenter la recherche de ces quartiles dans letableau suivant :

1ere sous-serie M 2eme sous-seriePointures 36 37 38 39 39 39 40 41 42 42 43 44 45 TOTALNombrede paires 35 44 54 25 1 9 25 23 22 26 24 20 9 317vendues

158 paires 1 158 paires 31779 p. 79 p. 1 79 paires 79 paires 317

Q1 Q2 Q3


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JJ 55

Exemple A.5Quartiles d’une

serie discrete

D’apres le tableau precedent, on voit qu’on peut choisir n’importe quel nombredans l’intervalle [37; 38] comme premier quartile. Il est souvent d’usage de choisir lecentre de l’intervalle dans une telle situation.Le troisieme quartile est unique, par contre, et correspond a la pointure 42.


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56

Exemple A.6 Moyenne arithmetique d’une serie discrete

Cours :Moyenne arithmetique (serie discrete)



On a vu dans les exemples precedents que c’etait la pointure 39 qui etait medianedans la serie des pointures des ventes mensuelles du magasin de chaussure :


La pointure moyenne, quant a elle, est donnee par :

S = 1317

(35×36 + 44×37 + 54×38 + 35×39 + 25×40

+23×41 + 48×42 + 24×43 + 20×44 + 9×45)

' 39,7


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57

Exemple A.7 Sensibilite de la moyenne aux valeurs extremes




On gardera bien en memoire que la moyenne arithmetique est, a la difference de lamediane, sensible aux valeurs extremes ou aberrantes.

Si, par exemple, dans une entreprise, 9 salaries sont payes 2 000Euros mensuels,tandis que le directeur peut compter sur un revenu mensuel de 22 000Euros, alors lecalcul de la moyenne arithmetique de la serie X des salaires des employes de l’entrepriseconduit a une valeur non representative :

X =9×2000 + 22000

10= 4 000 Euros

La moyenne est effectivement superieure au salaire de la quasi-totalite des employesde l’entreprise !

Pour attenuer les effets des valeurs extremes, on peut calculer la moyenne d’uneserie apres l’avoir tronquee d’un certain pourcentage des valeurs les plus faibles et desvaleurs les plus fortes.


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58 II

Exemple A.8 Etendue d’une serie discrete

Cours :Etendue (serie discrete)


On a releve les notes obtenues a 6 controles successifs par trois etudiants E1 , E2

et E3 d’un meme groupe :

Controle 1 2 3 4 5 6

Notes E1 8 10 11 9 10 12Notes E2 18 4 16 9 11 2Notes E3 15 10 11 1 13 10

On remarque que les moyennes arithmetiques de ces trois etudiants sont toutesegales a 10. Cependant cette moyenne ne reflete pas du tout les differences de compor-tement entre ces 3 etudiants : en effet, il semble que l’etudiant E1 fournisse un travailregulier, car toutes ses notes sont proches de 10 ; l’etudiant E2, au contraire, ne tra-vaille apparemment que par rapport a sa derniere note afin de s’assurer d’avoir 10 demoyenne sans faire plus d’effort que necessaire ; et l’etudiant E3 a toujours des resul-tats convenables, sauf a un controle pendant lequel il ne se sentait vraisemblablementpas bien.


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JJ 59

Exemple A.8Etendue d’uneserie discrete

Le calcul de l’etendue des series statistiques constituees des notes des etudiants E1

et E2 permet de mettre en evidence la difference entre les comportements scolaires deces deux etudiants :

etendue(E1) = 12− 8 = 4 et etendue(E2) = 18− 2 = 16

L’etendue de E1 est beucoup plus faible que celle de E2 , ce qui traduit bien le faitque les notes de E1 sont beaucoup moins dispersees autour de la note moyenne 10 quecelles de E2 .

L’etendue reste cependant un parametre de dispersion tres grossier, car elle nepermet pas de refleter le fait que les notes de l’etudiant E3 sont, a une exception pres,toutes voisines les unes des autres. Effectivement, l’etendue de E3 est tres elevee :

etendue(E3) = 15− 1 = 14

On va voir que dans de telles situations, un autre parametre de dispersion simple,l’ecart inter-quartiles, permet d’affiner les informations fournies par l’etendue. . .


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60 II

Exemple A.9 Ecart inter-quartiles d’une serie discrete

Cours :Ecart inter-quartiles (serie discrete)


L’ecart inter-quartiles permet de differencier les comportements des etudiants E2

et E3 de l’exemple precedent dont on rappelle les donnees :



En reorganisant par ordre croissant les series de notes de ces deux etudiants, onpeut determiner les quartiles de ces series :

Notes E2 ↗ 2 4 9 11 16 18 Notes E3 ↗ 1 10 10 11 13 15Quartiles Q1 Q2 Q3 Quartiles Q1 Q2 Q3

On a donc :

ecart I-Q (E2) = 16− 4 = 12 et ecart I-Q (E3) = 13− 10 = 3


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JJ 61

Exemple A.9Ecart

inter-quartilesd’une serie

discrete

L’ecart inter-quartiles faible de l’etudiant E3 montre bien que la plupart des notesde cet etudiant sont voisines les unes des autres, tandis que l’ecart inter-quartiles del’etudiant E2 confirme le fait que cet etudiant a des resultats en ”dents de scie”.


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62 II

Exemple A.10 Ecart moyen d’une serie discrete

Cours :Ecart moyen (serie discrete)


La repartition ”modalites-effectifs”de la serie des notes de l’etudiant E1 des exemplesprecedents se synthetise par le tableau suivant :

Notes E1 8 9 10 11 12 TotalEffectifs 1 1 2 1 1 6

On a vu precedemment que la moyenne de cette serie statistique etait : E1 = 10 .La moyenne des ecarts entre chaque note et cette note moyenne est :

eamm(E1) =1

6(1×|8−10|+1×|9−10|+2×|10−10|+1×|11−10|+1×|12−10|) = 1 point

Cela signifie donc que, en moyenne, les notes de l’etudiant E1 sont eloignees d’1 pointpar rapport a sa moyenne.

Le meme raisonnement concernant l’etudiant E2 des exemples precedents conduita l’ecart moyen :

eamm(E2) = 5 points


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JJ 63

Exemple A.10Ecart moyen

d’une seriediscrete

L’ecart moyen des notes de l’etudiant E2 par rapport a sa moyenne est beaucoup plusgrand que l’ecart moyen des notes de E1 : cela traduit ce que l’on avait constate desle debut, a savoir que les resultats de l’etudiant E2 sont bien plus irreguliers que ceuxde l’etudiants E1 .


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64

Exemple A.11 Variance d’une serie discrete

Cours :Variance (serie discrete)


Reprenons encore le cas des notes des etudiants E1 et E2 des exemples precedents :

E1 8 9 10 11 12 TotalEff. 1 1 2 1 1 6

E2 2 4 9 11 16 18 TotalEff. 1 1 1 1 1 1 6

La variance de la serie des notes de l’etudiant E1 est donnee par :

Var(E1) =1

6

[1×(8−10)2+1×(9−10)2+2×(10−10)2+1×(11−10)2+1×(12−10)2

]=

5

3points2

De la meme facon, on calcule la variance de la serie des notes de l’etudiant E2 :

Var(E2) =101

3points2

On peut finalement faire la meme constatation que celle faite grace aux ecartsabsolus moyens : comme la variance Var(E2) est beaucoup plus grande que la va-riance Var(E1) , les notes de l’etudiant E2 sont beaucoup plus dispersees que celles del’etudiant E1 .


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65

Exemple A.12 Ecart-type d’une serie discrete

Cours :Ecart-type (serie discrete)


Pour les etudiants E1 et E2 des exemples precedents, on avait calcule :

Etudiants E1 E2

Ecarts moyens 1 point 5 points

Variances 53points2 101

3points2

Les variances, a la difference des ecarts absolus moyens, s’expriment ici en ”points2”ce qui n’a guere de signification. On prefere donc comparer la dispersion des notes desdeux etudiants au moyen de la racine carree des variances, c’est a dire des ecarts-types.Or on a bien :

σ(E1) =√

Var(E1) ' 1,29 points < 5,80 points '√

Var(E2) = σ(E2)

On remarque que les ecarts-types restent dans les memes ordres de grandeur queles ecarts absolus moyens : ils en fournissent en general une bonne approximation.


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66 II

Exemple A.13 Calcul de parametres a la calculatrice

Cours :Calculatrice (Calcul de parametres)


On a explique, au debut du cours, comment saisir une serie statistique a la calcu-latrice et on a utilise, en exercice, ces explications pour saisir les donnees de la seriesuivante :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

1

2

3

4

notes

effec

tifs



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JJ 67

Exemple A.13Calcul de

parametres a lacalculatrice

On peut maintenant verifier qu’on n’a pas commis d’erreur lors de la saisie de cesdonnees. En tapant les touches [2nd] et [DATA] dans le mode STAT, on doit obtenir lesinformations suivantes sur la serie des notes obtenues au controle de mathematiquespar les etudiants du second groupe :

n = 23 Effectif totalx = 11,78 Moyenne arithmetiqueσx ' 5,27 Ecart-typeΣx = 271 Somme des valeurs

Σx2 = 3831 Somme des carres des valeurs


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68 II

Exemple A.14 Mesures de la constante de gravite

Cours :Classes d’une serie continue

Au cours d’un TP visant a mesurer experimentalement la constante d’accelerationde la pesanteur g , 20 etudiants ont chacun obtenu une mesure. La liste de valeursainsi recoltees forme une serie statistique continue S2 . Un regroupement en classes desvaleurs de cette serie conduit au tableau suivant :

classes etendues centres effectifs frequences fr. cum. cr. densites

[9,725; 9,775[ 0,05 9,75 1 5% 5% 1

[9,775; 9,800[ 0,025 9,7875 5 25% 30% 10

[9,800; 9,825[ 0,025 9,8125 4 20% 50% 8

[9,825; 9,500[ 0,025 9,8375 6 30% 80% 12

[9,850; 9,900[ 0,05 9,875 4 20% 100% 4

Grace a ce regroupement, on peut assimiler la serie statistique continue S2 a uneserie discrete dont les modalites sont les centres des classes auxquels on affecte les


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JJ 69

Exemple A.14Mesures de laconstante de

gravite

effectifs des classes. Cette approximation est pertinente a condition que les centres desclasses soient des valeurs representatives, c’est a dire que les valeurs observees danschaque classe s’y repartissent a peu pres uniformement.


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70

Exemple A.15 Classe modale d’une serie continue

Cours :Classe modale


Dans la serie des mesures de la constante g de gravitation, la classe modale est laclasse [9,825; 9,500[ car c’est la classe de plus grande densite de frequence.Il se trouve que c’est aussi la classe de plus grande frequence, mais comme les classesne sont pas toutes de meme etendue, ce n’est pas ce critere qu’il faut retenir.


[9,725; 9,775[ 0,05 9,75 1 5% 5% 1

[9,775; 9,800[ 0,025 9,7875 5 25% 30% 10

[9,800; 9,825[ 0,025 9,8125 4 20% 50% 8

[9,825; 9,500[ 0,025 9,8375 6 30% 80% 12

[9,850; 9,900[ 0,05 9,875 4 20% 100% 4


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71

Exemple A.16 Mediane d’une serie continue

Cours :Mediane (serie continue)

Le cas des mesures de la constante de gravitation est particulier en ce qui concernela determination de la mediane, car on lit dans le tableau de la serie classee que :

Φ(9,825) = 50%

C’est a dire que 50% des mesures effectuees sont inferieures a 9,825m.s−2 , et doncque la mediane de la serie S2 est egale a cette valeur et se determine sans calculsupplementaire.


[9,725; 9,775[ 0,05 9,75 1 5% 5% 1

[9,775; 9,800[ 0,025 9,7875 5 25% 30% 10

[9,800; 9,825[ 0,025 9,8125 4 20% 50% 8

[9,825; 9,500[ 0,025 9,8375 6 30% 80% 12

[9,850; 9,900[ 0,05 9,875 4 20% 100% 4


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72 II

Exemple A.17 Quartiles d’une serie continue

Cours :Quartiles (serie continue)


Comme chez les series dicretes, le deuxieme quartile Q2 d’une serie continue est enfait la mediane de cette serie. Or, on a vu que, dans les cas de la serie S2 des mesuresexperimentales de g , la mediane se lisait directement dans le tableau recapitulatif dela serie classee associee :

Q2 = M = 9,825 m.s2


[9,725; 9,775[ 0,05 9,75 1 5% 5% 1

[9,775; 9,800[ 0,025 9,7875 5 25% 30% 10

[9,800; 9,825[ 0,025 9,8125 4 20% 50% 8

[9,825; 9,500[ 0,025 9,8375 6 30% 80% 12

[9,850; 9,900[ 0,05 9,875 4 20% 100% 4

Pour ce qui est des premier et troisieme quartiles, il n’en va pas de meme, car lafonction frequence cumulee croissante Φ ne prend pas les valeurs 25% et 75% en des


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JJ 73

Exemple A.17Quartiles d’uneserie continue

limites de classes.On remarque par contre que Φ(9,775) = 5% et que Φ(9,800) = 30% . Par conse-quent, le premier quartile Q1 qui verifie Φ(Q1) = 25% est compris entre 9,775m.s−2 et9,800m.s−2 . En faisant l’hypothese que les valeurs de S2 sont uniformement repartiesdans chaque classe, la fonction Φ est affine sur l’intervalle [9,775; 9,800] et on determineQ1 par interpolation :

25%− 5%

Q1 − 9, 775=

30%− 5%

9, 800− 9, 775

Ce qui donne : Q1 = 9,795m.s−2

De la meme facon, on determine Q3 dans la classe [9,825; 9,850[ , et on en deduitque 75% des mesures recueillies sont inferieures a Q3 = 9,846m.s−2 .


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74

Exemple A.18 Moyenne d’une serie continue

Cours :Moyenne arithmetique (serie continue)


Pour calculer la moyenne de la serie S2 des mesures de g , on n’utilise pas les valeursbrutes recueillies, mais on fait une approximation en disant que la moyenne est prochede celle de la serie classee associee. Ainsi :

S2 =1

20(1×9,75 + 5×9,7875 + 4×9,8125 + 6×9,8375 + 4×9,875) ' 9,823 m.s−2


[9,725; 9,775[ 0,05 9,75 1 5% 5% 1

[9,775; 9,800[ 0,025 9,7875 5 25% 30% 10

[9,800; 9,825[ 0,025 9,8125 4 20% 50% 8

[9,825; 9,500[ 0,025 9,8375 6 30% 80% 12

[9,850; 9,900[ 0,05 9,875 4 20% 100% 4


ExemplesExercices

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75 II

Exemple A.19 Etendue et ecart inter-quartiles d’une serie continue

Cours :Etendue (serie continue)

Ecart inter-quartiles (serie continue)

L’etendue de la serie statistique correspond, chez les series discretes, a la differenceentre la plus grande valeur recueillie et la plus petite valeur. Or, dans le cas desseries continues, on passe par l’intermediaire d’une serie classee afin de ne pas avoir aprendre en compte toutes les modalites observees (qui sont en tres grand nombre engeneral). Cependant, pour eviter de sous-estimer la difference entre la plus grande etla plus petite des valeurs recueillies, on n’a pas interet a assimiler l’etendue de la seriecontinue a celle de sa serie classee (c’est a dire a la difference entre le plus grand centrede classe et le plus petit). Au contraire, on prefere souvent surestimer cette differenceen l’assimilant a la difference entre la limite superieure de la derniere classe et la limiteinferieure de la plus petite classe.

Dans le cas de la serie S2 , on a donc en travaillant avec les limites de classe :

etendue(S2) = a5 − a0 = 9,900− 9,725 = 0,175 m.s−2

Ou, en travaillant avec les centres :

etendue′(S2) = c5 − c1 = 9,875− 9,750 = 0,125 m.s−2


ExemplesExercices

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JJ 76

Exemple A.19Etendue et ecart

inter-quartilesd’une serie

continue

Pour nuancer l’information donnee par l’etendue et savoir si les valeurs extremessont minoritaires, on peut calculer, comme dans le cas des series discretes, l’ecartinter-quartiles :

ecart inter-quartile = Q3 −Q1 = 9,846− 9,795 = 0,051 m.s−2

L’ecart inter-quartiles est 2 a 3 fois plus petit que l’etendue (suivant la definitionretenue) . Or on trouve 2 fois moins de valeurs recueillies entre les premier et troisiemequartiles qu’entre les plus petite et plus grande valeurs de la serie. Cela traduit le faitles valeurs extremes ne sont pas minoritaires et ne peuvent donc pas etre considereescomme des valeurs aberrantes.


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77

Exemple A.20 Variance et ecart-type d’une serie continue

Cours :Variance (serie continue)

Ecart-type (serie continue)


La variance et l’ecart-type d’une serie continue sont assimiles aux parametres cor-respondants de la serie classee associee. Dans le cas de la serie S2 et avec la formulede Koenig, on a donc :

Var(S2) =1

20(1×9,752+5×9,78752+4×9,81252+6×9,83752+4×9,8752)−9,8232 ' 0,0037 m2.s−4

D’ou l’ecart-type :σ(S2) =

√Var(S2) = 0,061 m.s−2

Ainsi, les valeurs mesurees pour g etaient, en moyenne, egales a 9,823m.s−2 avec unecart moyen par rapport a cette moyenne de l’ordre de 0,061m.s−2 .


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78 II

Annexe BExercices

B.1 Manipulation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.2 Mode d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.3 Mediane d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.4 Quartiles d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.5 Paradoxe des salaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.6 Mediane ou moyenne ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.7 Comportement scolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B.8 Taille des individus d’une population . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88B.9 Ecart absolu moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.10 Variance d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B.11 Ecart-type d’une serie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.12 Interpretation des parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92B.13 Parametres et calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94B.14 Classe modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95


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JJ 79

B.15 Mediane et quartiles d’une serie continue . . . . . . . . . . . . . . . . 96B.16 Moyenne d’une serie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97B.17 Parametres de dispersion d’une serie continue . . . . . . . . . . . . . 98


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80 II

Exercice B.1 Manipulation de la calculatrice

Cours :Calculatrice (Saisie de donnees)


Faire les manipulations suivantes a la calculatrice :

– Si cela n’a pas encore ete fait, saisir les donnees de la serie S1 de l’exemple donton rappelle le tableau ”modalites-effectifs” :


Effectifs ni 1 1 2 2 2 2 4 1 1 1 2 1 20

– Apres distribution des copies, deux etudiants s’apercoivent que l’enseignant acommis une erreur en leur defaveur et font rectifier leurs notes. Il manquait 1point a l’etudiant qui avait obtenu 5/20 , et 2 points a un des deux etudiantsayant obtenu 9/20. Modifier les donnees de la calculatrice sans reprendre toutela saisie.

– On s’interesse maintenant au second groupe ayant subi le meme devoir de mathe-matiques. Effacer les donnees de la serie S1 (en une seule etape) , puis saisir lesdonnees relatives au second groupe a partir du diagramme des effectifs suivant :


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JJ 81

Exercice B.1Manipulation de

la calculatrice

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

1

2

3

4

notes

effec

tifs


On verifiera la bonne saisie de ces valeurs a l’occasion d’un exemple ulterieur ducours. Jusque la, on prendra garde a ne pas effacer les donnees que l’onvient de saisir.


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82

Exercice B.2 Mode d’une serie discrete



Dans une entreprise, le controle de fabrication a compte le nombre de pieces defec-tueuses dans la production journaliere.Les observations faites sur 170 jours ont donne les resultats suivants :

Nb de pieces defectueuses 0 1 2 3 4 5Nombre de jours 10 43 39 28 43 7

Determiner le ou les mode(s) de cette serie statistique parmi les valeurs du tableau.


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83

Exercice B.3 Mediane d’une serie discrete



Determiner, parmi les propositions ci-dessous, la mediane de la serie des notesobtenues a un controle de mathematiques par les etudiants d’un groupe :


Effectifs ni 3 1 2 2 2 1 3 1 1 1 2 1 20

Propositions : 4 9 9,5 10,5 11,5


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84

Exercice B.4 Quartiles d’une serie discrete



Determiner, parmi les propositions ci-dessous, les quartiles de la serie des notesobtenues a un controle de mathematiques par les etudiants d’un groupe :


Effectifs ni 3 1 2 2 2 1 3 1 1 1 2 1 20

Propositions pour Q1 : 2 8 8,25 9 9,75 13,5 14 14,5 15

Propositions pour Q3 : 2 8 8,25 9 9,75 13,5 14 14,5 15


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85

Exercice B.5 Paradoxe des salaires



Exemple A.7


Dans deux entreprises E1 et E2 , la repartition des salaires mensuels en Euros enfonction des categories professionnelles est la suivante :

Entreprise E1 Entreprise E2

Salaires 1 000 2 000 3 000 1 000 2 000 3 000Ouvriers 170 100 0 280 140 0Cadres 0 10 20 0 40 40

1. Calculer les moyennes des salaires m1 et m2 , dans les entreprises E1 et E2 .

2. Caluler les moyennes des salaires des ouvriers notees respectivement m′1 et m′

2 ,dans les entreprises E1 et E2 .

3. Meme question pour les salaires des cadres m1” et m2” .

Le P.D.G. de l’entreprise E2 dit a celui de l’entreprise E1 : ”mes employes sontmieux payes que les votres”.”Faux”, repond ce dernier, ”mes ouvriers sont mieux payes que les votres et mes cadresegalement”.

Qui a raison ? Reponse


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86

Exercice B.6 Mediane ou moyenne ?


Moyenne arithmetique (serie discrete)


Exemple A.7


Un etudiant a obtenu les notes suivantes au cours d’une annee :

12 ; 8 ; 13 ; 2 ; 12 ; 11 ; 10

Les enseignants hesitent entre la mediane et la moyenne arithmetique comme criterepour prononcer l’admission des eleves dans la classe superieure.Lequel des deux parametres de position est-il le plus favorable a l’etudiant dont on adonne les notes ?

la mediane la moyenne

Ce choix sera-t-il interessant pour tous les etudiants ?

oui non


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87

Exercice B.7 Comportement scolaire

Cours :Etendue (serie discrete)




Par rapport aux trois etudiants de l’exemple illustrant la notion d’etendue, de queletudiant vous sentez-vous le plus proche ?

l’etudiant E1 l’etudiant E2 l’etudiant E3


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88

Exercice B.8 Taille des individus d’une population

Cours :Ecart inter-quartiles (serie discrete)


On a releve les tailles des individus d’une population afin d’en faire une analyse ex-haustive en termes de parametres de position et de dispersion. Les donnees se trouventdans le fichier ”ResumesStatistiques.xls”.Completer les cellules vides du tableau recapitulatif (feuille ”serie discrete partie A”)puis determiner le mode, la mediane, les quartiles, la moyenne, l’etendue et l’ecartinter-quartiles de cette serie.

Acceder a l’exercice


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89

Exercice B.9 Ecart absolu moyen

Cours :Ecart moyen (serie discrete)


Determiner l’ecart absolu moyen par rapport a la moyenne de la serie des taillesdes individus de la population (fichier ”ResumesStatistiques.xls”, feuille ”serie discretepartie B”).



ExemplesExercices

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90

Exercice B.10 Variance d’une serie discrete

Cours :Variance (serie discrete)


Determiner la variance de la serie des tailles des individus de la population (fichier”ResumesStatistiques.xls”, feuille ”serie discrete partie C”).



ExemplesExercices

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91

Exercice B.11 Ecart-type d’une serie discrete



Determiner l’ecart-type de la serie des tailles des individus de la population (fichier”ResumesStatistiques.xls”, feuille ”serie discrete partie D”).



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92 II

Exercice B.12 Interpretation des parametres



Quatre enseignants de mathematiques ont communique au service de la scolariteles bilans statistiques concernant les resultats obtenus par leurs classes respectives aun devoir commun. Cependant, aucun d’entre eux n’a pense a indiquer son nom surle document ou le numero de sa classe. . .Interroges au telephone par le responsable de la scolarite, ils ne sont capables que dedonner les informations suivantes :

– le professeur Hixe : ”dans l’ensemble, j’ai de bons eleves, mais il y a une forteheterogeneite”

– le professeur Zede : ”j’ai de bons eleves et, a quelques exceptions pres, ils sonttous de niveau equivalent”

– le professeur Veeh : ”je suis tres content de mes eleves ; aucun n’est en grandedifficulte et j’ai meme une tres bonne tete de classe”

– le professeur Heme : ”les resultats de ma classe sont satisfaisants, mais je medemande si les eleves n’ont pas triche, car ils ont presque tous la meme note”

Le responsable de la scolarite a note A, B, C et D les documents qu’il a a sadisposition. On y trouve les informations suivantes :


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JJ 93

Exercice B.12Interpretation des

parametres

– document A : X = 12,7 , Q1 = 12 , mediane=13 et Q3 = 17– document B : X = 12,5 , σ(X) = 3,7 et ecart inter-quartiles=5– document C : X = 13,1 et σ(X) = 0,3– document D : X = 12,8 , etendue=13 et ecart inter-quartiles=1

Aider le responsable de la scolarite a retrouver le document de chaque professeur :– document du professeur Hixe : A B C D– document du professeur Zede : A B C D– document du professeur Veeh : A B C D– document du professeur Heme : A B C D


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94

Exercice B.13 Parametres et calculatrice

Cours :Calculatrice (Calcul de parametres)


Saisir, a la calculatrice, les donnees correspondant au premier groupe ayant subi ledevoir de mathematiques :


Effectifs ni 1 1 2 2 2 2 4 1 1 1 2 1 20

Determiner la moyenne et l’ecart-type de ce groupe et comparer, en termes dereussite, les resultats de ce groupe avec le second pour lequel on a trouve en exemple :

n = 23 Effectif totalx = 11,78 Moyenne arithmetiqueσx ' 5,27 Ecart-typeΣx = 271 Somme des valeurs

Σx2 = 3831 Somme des carres des valeurs

Reponse


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95

Exercice B.14 Classe modale



On a mesure les superficies (en m2) du logements sur un echantillon de 1000 foyers.Les resultats recueillis sont presentes dans le tableau :

Superficies [10; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 140[ [140; 200]Nb de foyers 240 208 160 172 129 51

Determiner, parmi les donnees du tableau, celle qui correpond a la classe modalede cette serie statistique.


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96

Exercice B.15 Mediane et quartiles d’une serie continue

Cours :Mediane (serie continue)

Quartiles (serie continue)


Exemple A.17

La serie des tailles d’individus avec laquelle on a travaille sur Excel dans le cadre dela section sur les parametres de dispersion des series discrete etait en realite une seriecontinue discretisee, puisque les tailles mesurees etaient des valeurs reelles arrondiesau centimetre.

Pour etre plus rigoureux, on doit donc traiter cette serie comme une serie clas-see. Un regroupement en classes est propose dans le fichier ”ResumesStatistiques.xls”.Completer le tableau recapitulatif figurant a la feuille ”serie continue partie A” de cefichier, puis determiner la mediane et les quartiles de cette serie.



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97

Exercice B.16 Moyenne d’une serie continue

Cours :Moyenne arithmetique (serie continue)


Determiner la moyenne de la serie classee des tailles des individus de la population(fichier ”ResumesStatistiques.xls”, feuille ”serie continue partie B”).



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98

Exercice B.17 Parametres de dispersion d’une serie continue

Cours :Etendue (serie continue)

Ecart inter-quartiles (serie continue)

Variance (serie continue)

Ecart-type (serie continue)


Exemple A.20

Determiner les parametres de dispersion de la serie classee des tailles des individusde la population (fichier ”ResumesStatistiques.xls”, feuille ”serie continue partie C”).



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J precedent

99 II

Annexe CDocuments

C.1 Mode d’une serie discrete (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101C.2 Mode d’une serie discrete (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102C.3 Mode d’une serie discrete (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103C.4 Mode d’une serie discrete (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104C.5 Mode d’une serie discrete (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105C.6 Mode d’une serie discrete (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106C.7 Mode d’une serie discrete (7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107C.8 Mode d’une serie discrete (8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108C.9 Mediane d’une serie discrete (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C.10 Mediane d’une serie discrete (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110C.11 Quartiles d’une serie discrete (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111C.12 Quartiles d’une serie discrete (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112C.13 Quartiles d’une serie discrete (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113C.14 Quartiles d’une serie discrete (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


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J precedent

JJ 100

C.15 Paradoxe des salaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115C.16 Mediane ou moyenne ? (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116C.17 Mediane ou moyenne ? (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117C.18 Mediane ou moyenne ? (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118C.19 Mediane ou moyenne ? (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119C.20 Comportement scolaire (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120C.21 Comportement scolaire (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121C.22 Comportement scolaire (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122C.23 Interpretation des parametres (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C.24 Interpretation des parametres (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124C.25 Parametres et calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125C.26 Classe modale (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126C.27 Classe modale (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


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101

Document C.1 Mode d’une serie discrete (1)



Votre reponse est fausse. Revoyez le cours puis refaites l’exercice.


ExemplesExercices

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102


Votre reponse est correcte. Est-ce la seule bonne reponse ?

Si oui, cliquez ici.

Si non, determinez-en une autre dans le tableau suivant :



ExemplesExercices

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103




Votre reponse est fausse. Le mode d’une serie statistique n’est pas la plus grandemodalite de cette serie. Revoyez le cours puis refaites l’exercice.


ExemplesExercices

Documents


104




Votre reponse est fausse. Le mode d’une serie statistique n’est pas le plus grandeffectif de cette serie. Revoyez le cours puis refaites l’exercice.


ExemplesExercices

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105


Votre reponse est fausse. Etait-ce de la chance la premiere fois ?. . . Retentez votrechance pour obtenir la bonne deuxieme reponse en cliquant ici.


ExemplesExercices

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106



Votre reponse est correcte. Vous avez identifie les deux modes de cette serie statis-tique. Vous pouvez reprendre la lecture du cours (lien ci-dessus).


ExemplesExercices

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107


Votre reponse est correcte. Est-ce la seule bonne reponse ?

Si oui, cliquez ici.

Si non, determinez-en une autre dans le tableau suivant :



ExemplesExercices

Documents


108


Votre reponse est fausse. Etait-ce de la chance la premiere fois ?. . . Retentez votrechance pour obtenir la bonne deuxieme reponse en cliquant ici.


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109

Document C.9 Mediane d’une serie discrete (1)





ExemplesExercices

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110

Document C.10 Mediane d’une serie discrete (2)


Votre reponse est correcte. En effet, il y a 10 notes inferieures ou egales a 10 et 10notes superieures ou egales a 11 : par consequent, tous les nombres compris (au senslarge) entre 10 et 11 separent la serie en deux sous-series de meme effectif et peuventetre pris comme mediane.


ExemplesExercices

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111

Document C.11 Quartiles d’une serie discrete (1)





ExemplesExercices

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112



Votre reponse est correcte. En effet, parmi les 10 notes inferieures ou egales a 10,il y a 5 notes inferieures ou egales a 8 en ne comptant qu’un seul des deux 8 releveset 5 notes superieures ou egales a 8 en comptant le 8 non pris en compte dans les 5premieres notes : 8 est donc le premier quartile de cette serie.


ExemplesExercices

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113



Votre reponse est correcte. En effet, parmi les 10 notes superieures ou egales a 10,il y a 5 notes inferieures ou egales a 13 et 5 notes superieures ou egales a 14 : 13,5 estdonc un troisieme quartile de cette serie. On pouvait en fait retenir n’importe quellevaleur comprise entre 13 et 14, y compris la note 14 proposee.


ExemplesExercices

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114



Votre reponse est correcte. En effet, parmi les 10 notes superieures ou egales a 10,il y a 5 notes inferieures ou egales a 13 et 5 notes superieures ou egales a 14 : 14 estdonc un troisieme quartile de cette serie. On pouvait en fait retenir n’importe quellevaleur comprise entre 13 et 14, y compris la note 13,5 proposee.


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115

Document C.15 Paradoxe des salaires


Les moyennes demandees sont les suivantes :

Moyennes m1 m2 m′1 m′

2 m1” m2”Valeurs 1 500 1 520 1 370 1 333 2 667 2 500

L’inegalite m2 > m1 justifie l’affirmation du P.D.G. de l’entreprise E2 , tandis queles inegalites m′

2 < m′1 et m2” < m1” vont dans le sens des propos du P.D.G. de

l’entreprise E1 .Les deux P.D.G. ont donc raison !La proportion de cadres dans l’entreprise E2 (16%) plus elevee que celle de l’entre-prise E1 (10%) explique ce ”paradoxe”, puisque les moyennes mi sont des moyennesponderees des moyennes m′

i et mi” .


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116

Document C.16 Mediane ou moyenne ? (1)


Votre reponse est correcte. En effet, la mediane de la serie des notes de l’etudiantest 11 (note qui separe l’ensemble des notes en deux familles de 3 notes), tandis que samoyenne est egale a 9,71 . Cela vient du fait que la mediane ne prend pas en comptela valeur des notes extremes, c’est a dire le 2 obtenu par l’etudiant.


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117



Votre reponse est fausse : la moyenne de cette serie est inferieure a la mediane. Eneffet, la mediane de la serie des notes de l’etudiant est 11 (note qui separe l’ensembledes notes en deux familles de 3 notes), tandis que sa moyenne est egale a 9,71 . Celavient du fait que la mediane ne prend pas en compte la valeur des notes extremes,c’est a dire le 2 obtenu par l’etudiant.


ExemplesExercices

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118



Votre reponse est fausse. En effet, ce critere leserait un etudiant n’ayant obtenuque des notes moyennes sauf a un controle ou il aurait eu une tres bonne note, puisquela mediane ne tiendrait pas compte de cette ”performance”.


ExemplesExercices

Documents


119



Votre reponse est correcte. En effet, ce critere leserait un etudiant n’ayant obtenuque des notes moyennes sauf a un controle ou il aurait eu une tres bonne note, puisquela mediane ne tiendrait pas compte de cette ”performance”.


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120

Document C.20 Comportement scolaire (1)


Il ne faut pas se contenter de la moyenne : forcez-vous un peu et vous grimperezdes sommets !


ExemplesExercices

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121



Vous etes un(e) sacre(e) fumiste : prenez garde a ce que ca ne se retourne pascontre vous !


ExemplesExercices

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122



Mouais : avoir 1/20 a un controle. . . Meme en venant avec 40◦C de fievre a uncontrole, on doit avoir mieux que ca !


ExemplesExercices

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123

Document C.23 Interpretation des parametres (1)

Votre reponse est fausse. Revoyez les informations de l’enonce.


ExemplesExercices

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124

Document C.24 Interpretation des parametres (2)

Votre reponse est correcte. Retour a l’exercice.


ExemplesExercices

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125

Document C.25 Parametres et calculatrice


A la calculatrice, on obtient :

Premier groupe Second groupen = 20 Effectif total n = 23

x = 11,55 Moyenne arithmetique x = 11,78σx ' 3,94 Ecart-type σx ' 5,27Σx = 231 Somme des valeurs Σx = 271

Σx2 = 2979 Somme des carres des valeurs Σx2 = 3831

Ainsi, on voit que le second groupe a globalement mieux reussi que le premier,car sa moyenne est plus elevee, mais l’ecart-type etant bien plus fort toujours dans cesecond groupe, cela signifie qu’il y a une plus forte heterogeneite, c’est a dire plus detres bons eleves ainsi que beaucoup d’eleves en grande difficulte.


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126

Document C.26 Classe modale (1)





ExemplesExercices

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127

Document C.27 Classe modale (2)



Votre reponse est correcte. La classe [40; 60[ a un effectif inferieur a celui de laclasse [10; 40[ , mais une densite de frequence superieure : c’est donc bien elle la classemodale.


ExemplesExercices

Documents

128 II

Index des concepts

Le gras indique un grain ou le concept estdefini ; l’italique indique un renvoi a un exer-cice ou un exemple, le gras italique a un do-cument, et le romain a un grain ou le conceptest mentionne.

CCalculatrice (Calcul de parametres) . . 27,

66, 94Calculatrice (Saisie de donnees) .7, 48, 80Calculatrice et serie continue. . . . . . . . . .32Classe modale. . . . . . .34, 70, 95, 126,127Classes d’une serie continue . . . . . . . 30, 68

DDiscretisation (Hypothese de) . . . . . . . . .31

EEcart inter-quartiles (serie continue). .40,

75, 98Ecart inter-quartiles (serie discrete) . . 19,

60, 88Ecart moyen (serie discrete) . . . 20, 62, 89Ecart-type (serie continue) . . . . 42, 77, 98Ecart-type (serie discrete) . 24, 65, 91, 92Etendue (serie continue) . . . . . . .39, 75, 98Etendue (serie discrete) . . . . . . . 18, 58, 87

MMode (serie discrete) . . . . 11, 50, 82, 101,

103,104, 106


ExemplesExercices

Documents

JJ 129

Moyenne arithmetique (serie continue)37,74, 97

Moyenne arithmetique (serie discrete) 15,56, 57, 85, 86

Mediane (serie continue) . . . . . . 35, 71, 96Mediane (serie discrete) . . .12, 52, 83, 86,

109

OObjectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . .5, 45

QQuartiles (serie continue) . . . . . .36, 72, 96Quartiles (serie discrete) . 14, 54, 84, 111

VVariance (serie continue) . . . . . . 41, 77, 98Variance (serie discrete) . . . . . . . 22, 64, 90


ExemplesExercices

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Index des notions

PParametres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . 6Parametres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . 6