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1

Cours d’optique physique

(cohérente)

Licence 3ième année.

Mise à jours 2016-2017

Olivier Jacquin

olivier.jacquin@uiv-grenoble-alpes.fr

téléphone: 04 76 51 40 15

2

Pré requis

Optique Géométrique: Lois de Snell-Descartes, Indice de réfraction,

Lentilles, relation de conjugaison

Électromagnétisme et optique : Équations de Maxwell, Équations

d’onde, Onde plane, Interférences, Interféromètre de Michelson,

Montage de Young, Polarisation

Mathématique: Équation différentielles, Calcul d’intégrales simples

et doubles, développements limités, représentation complexe,

relations trigonométriques

mailto:olivier.jacquin@uiv-grenoble-alpes.frmailto:olivier.jacquin@uiv-grenoble-alpes.frmailto:olivier.jacquin@uiv-grenoble-alpes.frmailto:olivier.jacquin@uiv-grenoble-alpes.frmailto:olivier.jacquin@uiv-grenoble-alpes.fr

2

3

Objectif du cours

Décrire et comprendre les conséquences de la nature ondulatoire de la lumière

sur sa propagation (avec et sans obstacle). Puis étudier les applications

possibles.

I – Conséquences

Interférences

Diffraction

II – Applications

Mesures très précises de grandeurs physiques (indice, distance,

vibrations, déformation, angle, rugosité) Précision : 10-6 10-9

Résolution d’un instrument d’optique (Microscope, Télescope)

Spectroscopie (analyse de la matière, de gaz, détection de polluant)

Divergence d’un faisceau optique lors de sa propagation

Holographie: Imagerie 3D

4

Plan du cours.

I. Description ondulatoire de la lumière

II. Cohérences (Conditions pour réaliser des interférences)

III. Diffraction par un objet (que se passe t-il quand la lumière rencontre un

objet)

IV. Optique de Fourier (application de la diffraction à des objets complexes)

V. Les réseaux de diffraction ( comment analyser spectralement la lumière)

VI. Formation des Images et Filtrage optique (Comment voir des objets

transparents)

VII. Diffraction sans objet : faisceaux Gaussiens (La lumière diverge

toujours!)

VIII. Holographie (L’imagerie en 3D)

IX. Diffraction par une onde acoustique (Interaction entre la lumière et le

son)

3

5

Description ondulatoire de la

lumière

6

Limites de l’optique géométrique

L’optique géométrique (O.G.) permet a priori d’expliquer la propagation de la

lumière et la formation d’images à travers un système dioptrique ou

catadioptrique.

Les bases de l’O.G. reposent sur la notion de rayons lumineux et les lois de Snell-

Descartes. Le Rayon lumineux représentant la propagation de l’énergie

lumineuse. Dans certaines conditions l’O.G. montre rapidement ses limites.

Imaginons que l’on éclaire un « petit trou carré (mm)» avec un faisceau laser

collimaté (venant de l’infini), d’après l’optique géométrique et l’expérience on a :

L’O.G. prédit un carré lumineux de dimension égale à celle du trou alors que

l’expérience donne un faisceau divergent et modulé spatialement en intensité.

Expérience Optique géométrique

4

7

Limites de l’optique géométrique

Imaginons que l’on éclaire une lentille avec un faisceau laser collimaté ,

L’optique géométrique prédit un point lumineux infiniment petit.

L’expérience donne un spot lumineux modulé spatialement en intensité et dont la

dimension dépend de la longueur d’onde et de l’ouverture de la lentille (diamètre).

En optique géométrique, les instruments d’optique n’ont pas de limite de

résolution. Dans la réalité, l’image d’un point objet à une dimension finie.

Expérience Optique géométrique

onded'longueur lentille de diamètred lentillela de focale

d

f22.1 la tache de Rayon

f

8

Limites de l’optique géométrique

Imaginons un système optique qui permet de couper en 2 un faisceau lumineux et

qui permet de recombiner ces 2 faisceaux lumineux en un seul (interféromètre de

Milchelson). D’après l’optique géométrique et l’expérience on a :

L’optique géométrique prédit que lorsque deux rayons lumineux se rencontre il

n’interagissent pas. Il y a juste sommation de l’énergie.

L’expérience montre que sous certaines conditions que l’on verra plus tard,

l’intensité lumineuse peut être nulle.

Expérience Optique géométrique

Miroir

plan

Mir

oir

pla

n

séparatrice

5

9

Limites de l’optique géométrique

Dans le montage précédent on remplace un des miroirs plans par une surface

réfléchissante déformée (profil non plan), D’après l’optique géométrique et

l’expérience on a :

L’optique géométrique prédit que lorsque deux rayons lumineux se rencontre il

n’interagissent pas. Il y a juste sommation de l’énergie.

L’expérience montre que sous certaine que l’on verra plus tard, on obtient une

modulation spatiale d’intensité. Le passage d’un minimum à un maximum

d’intensité correspond à une variation de profil égale à /4. Dans le visible

=500nm. On détecte simplement des variations de profil de l’ordre de 100nm.

Expérience Optique géométrique

10

La lumière est une onde progressive

Ces expériences montre limitations de l’optique géométrique pour expliquer les

phénomènes mis en jeu dans ces 3 expériences.

Pour expliquer ces phénomènes on doit décrire la

lumière par une onde progressive (pas stationnaire).

6

11

Onde Progressive

Une onde progressive est la propagation d’une perturbation d’un point A vers un

point B en transportant de l’énergie et la quantité de mouvement, mais sans

transporter de matière.

Une onde progressive lors de sa propagation produit lors de son passage une

variation réversible des propriétés physiques locales du milieu.

Hauteur d’eau pour la houle

Pression pour le son

Champ électrique et champ magnétique pour la lumière

onde 2.gif

12

Expression d’une onde

Une onde progressive est une perturbation qui se déplace dans l’espace, elle

dépend donc de t et z (cas 1D). Soit une perturbation f(z,t) qui se déplace à la

vitesse v.

onde 2.lnk

La perturbation s’est déplacée d’une

distance vt pendant le temps t.

On a f(t0+t,z)=f(t0,z-Δz) ce qui impose que

la dépendance en z et en t est de la forme :

f(z-vt) pour une onde qui se propage

dans le sens des z croissants.

L’onde peut se propager dans l’autre sens

dans ce cas la dépendance en z et en t est

de la forme : f(z+vt) pour une onde qui

se propage dans le sens des z

décroissants.

z

t0=0

f(t0,z)

z

t0+t

vt

f(t0+t,z)

z

t0+t

vt

f(t0+t,z)

Une onde progressive se propageant à la vitesse v est décrit par une fonction

de la forme f(r±vt)

onde 2.gifonde 2.lnk

7

13

Equation d’onde

Une onde progressive se déplace dans l’espace au cours du temps, elle est donc

régit par une équation qui relie les variations dans temps aux variations dans

l’espace.

Dans le cas 1D on a:

Dans le cas 3D on a:

Cette équation ne fait appel que des opérateurs linéaires ce qui permet d’appliquer la

principe de superposition:

La somme de solutions de l’équation d’onde est également solution de

l’équation d’onde. Si f1 et f2 sont solution de l’équation d’onde alors

f=f1+f2 est aussi solution de l’équation d’onde.

0v

1

0vv

2

2

22

2

t

f

z

f

t

f

z

f

t

f

z

f

0v

12

2

22

2

2

2

2

2

t

f

z

f

y

f

x

f

14

Equation d’onde (démonstration)

Pour une fonction de dépendance spatio-temporelle f(z-vt) on a :

et

Pour avoir une équation qui régit le comportement de f(z-vt) et de f(z+vt) en

même temps on doit calculer la dérivé seconde, on a :

et

Soit pour les deux cas :

En 3D cela donne:

0)v(

v

1)v( :

)v('v)v(

)v(')v(

t

tzf

z

tzfsoit

tzft

tzf

tzfz

tzf

0v

12

2

22

2

2

2

2

2

t

f

z

f

y

f

x

f

0)v(

v

1)v( :

)v('v)v(

)v(')v(

t

tzf

z

tzfsoit

tzft

tzf

tzfz

tzf

)v('v)v(

)v('')v(

2

2

2

2

2

tzft

tzf

tzfz

tzf

)v('v)v(

)v('')v(

2

2

2

2

2

tzft

tzf

tzfz

tzf

0v

12

2

22

2

t

f

z

f

8

15

Equations de Maxwell

La Lumière est composées d’ondes Electromagnétiques (E.M.) de différentes

fréquences.

La lumière est donc un champ électrique et un champ magnétique qui s’influencent

mutuellement au cours de la propagation. Le comportement de ces champs est régi

par les équations de Maxwell. Dans un milieu homogène, isotrope et transparent

(milieu dépourvue de charges et courant libre) on a:

0et

0et

2

00

BDivt

EnBRot

EDivt

BERot

0.et

0.et

2

00

Bt

EnB

Et

BE

Ou encore

16

Equation d’onde E.M.

Dans les équations de Maxwell les champ E et B sont couplés, il est possible de

les découpler en combinant les équations entre elles et d’obtenir une équation

régissant le comportement de chacun d’eux.

On obtient une équation d’onde

De la même façon, on obtient pour le champ B:

Les champs E et B sont donc des ondes progressives vectorielles

0v

1-

v

cnet

1 ,0.or - - ..

-

A- .. :suivante relationla utilise On

2

2

2

2002

22

00

2

22

00

t

EE

cE

t

EnEE

t

EnE

Btt

BE

AA

0v

1-

2

2

2

t

BB

9

17

Equation d’onde scalaire

Les champs E et B sont des grandeurs vectorielles que l’on peut décomposer dans un repère cartésien, on a alors:

Toutes les composantes du champ E.M sont décrites par la même équation. Elles sont

donc toutes identiques à une constante de proportionnalité près.

De plus, si non ne s’intéresse pas à la propagation dans des milieux anisotropes, on peut

alors décrire le champ E à partir d’une seule composante (champ E.M. polarisé

linéairement dans une direction du repère xyz) car la polarisation reste invariante au cours

de la propagation.

Pour décrire la propagation d’un faisceau lumineux dans un milieu isotrope, on

représentera alors l’onde lumineuse par un champ scalaire régit par l’équation d’onde

scalaire:

v

1-

v

1-

v

1-

0v

1-et

v

1-

v

1-

v

1-

0v

1-

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

BB

t

BB

t

BB

t

BB

t

EE

t

EE

t

EE

t

EE

zz

y

y

xx

zz

y

y

xx

0v

1-

2

2

2

t

18

Ondes harmoniques

Cette équation d’onde a un grand nombre de solutions, les solutions les plus simples sont

des fonctions qui varient dans le temps et dans l’espace de façon sinusoïdale: on parle

alors d’ondes harmoniques.

Cas d’une onde se propageant selon les z positifs on a:

on a bien une fonction : f(z-vt)

0 v

1

2

2

2

t

On doit résoudre l’équation d’onde:

ondel' den propagatio de direction la représente

ondel' de vitesseoù v v

2 onded' vecteur le

ondel' de périodeet ondel' de fréquenceoù 2

2

ondel' de phase ))( (

ondel' de amplitude )(

))( cos()( ),(

0

0

k

nkestk

TT

rtrk

r

rtrkrtr

r

k

y

x

z

tzktk

zktk v z

10

19

Ondes harmoniques

))( cos()( ),( 0 rtrkrtr

0 2 k

r

k

y

x

z ))( cos()())( cos()( ),( 00 rtkzrrtkzrtr

Propriétés des ondes harmoniques:

Onde monochromatiques (On est obligé d’avoir des solutions monochromatiques car on

a une équation d’onde qui dépend de via: n(), v())

Durée infinie, extension temporelle infinie

Dans ce cas l’équation d’onde devient:

0(r) donne une information sur la répartition spatiale de l’intensité lumineuse

𝑘𝑟 +(r)=cte donne la surface d’égale phase appelée front d’onde.

Les différentes ondes harmoniques se différencient par les expressions de 0(r) et de

𝑘𝑟 +(r).

L’expression d’une d’ondes harmoniques est:

Le vecteur d’onde défini la direction de propagation, pour une onde se

propageant selon les z décroissant on a:

20

Direction de propagation de l’énergie

L’énergie lumineuse se propage perpendiculairement au front d’onde, exemple:

La déformation du front d’onde se traduit par une modification de la direction de

la direction de propagation de l’énergie lumineuse, exemple: la lentille

11

21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps

Am

plitu

de

Profil onde non monochromatique

Somme 100 harmoniques

Somme 1 harmoniques f=0.1Hz

Somme 5 harmoniques f=[0.1-0.5]Hz

Somme 10 harmoniques f=[0.1-0.5]Hz

Lumière non monochromatique Pour représenter une lumière non monochromatique se propageant suivant les r croissants,

on utilise les propriétés linéaires de l’équation d’onde, c’est-à-dire le principe de

superposition. Une onde non monochromatique (dépendance temporelle non sinusoïdale)

est alors décrite par une somme d’ondes monochromatiques. Chaque onde

monochromatique est associée une amplitude 0(r,) particulière permettant de décrire le

spectre de l’onde non monochromatique (cas ou (r)=0 afin de simplifier l’écriture).

Exemple pour une de

dépendance temporelle

rectangulaire.

Le spectre de l’onde

non monochromatique

correspond à l’ensembles

des amplitudes 0(r,) permettant

de reconstituer 0(r,) (TD).

dtrkrrtOutrkrrt

i

ii )cos(),( ),( )cos(),( ),( 00

22

Ondes harmoniques plane

vide.le dans lumièrela de vitesseC où 1

C avec

ondel' depoint und' position vecteur r

où 2

2 onded' vecteur le )cos(A

00

C

optiquefréquence

nkestkwtrk

Caractéristiques:

Une seule direction de propagation

Perturbation constante dans le plan d’équation:

Ce plan est appelé le front d’onde et est perpendiculaire à la direction de

propagation de l’énergie lumineuse

L’onde à extension infinie = énergie dans tout le plan transverse à la direction de

propagation peu approprié pour représenter un faisceau lumineux

La solution la plus simple est celle où 0(r) est une constante et (r)=0. On a alors dans

le plan perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde une amplitude et une

phase constantes. On parle alors d’onde harmoniques planes. Pour une onde se

propageant suivant les r croissants:

constante zkykxk zyx

12

23

Exemple ondes plane 2D

Exemple: houle:

Onde plane 2D

Front d’onde est une ligne : crête de la houle, ensemble de point d’égale perturbation.

expression de l’onde :

Vitesse est de ~25km/h soit environ 7ms-1 donc λ=84m

)22

3cos())sin()cos(cos(

).cos(

wtxk

kzAwtxkzkA

wtrkA

x

z

30

12s T avec 2

T

w

24

Lumière d’extension finie On a vu précédemment que l’on peut représenter une onde de durée finie (onde

non monochromatique) par une somme d’ondes de durée infinie (onde

monochromatique). On peut étendre cette propriété à la dépendance spatiale.

On peut décrire une onde d’extension finie (onde non plane) par une somme

d’ondes d’extension infini (onde plane).

Si on compare au cas de l’onde non monochromatique:

Le temps correspond à l’espace

Une fréquence correspond à une direction de propagation. On appelle

alors une direction de propagation une fréquence spatiale.

Une onde harmonique d’extension finie peut donc être représentée par une

somme d’ondes se propageant dans différentes directions avec différentes

amplitudes (fait en TD).

2222

00

:

)cos()()cos()( ),(

zyxkkkkavec

dkdkdktrkkkdtrkkrt zyx

13

25

Ondes sphériques

26

Ondes sphériques Dans le cas d’une source ponctuelle la symétrie de l’émission devient alors sphérique

(même propriété dans toutes les directions de l’espace). Les surfaces d’amplitude et de

phase constante sont des sphères dont le centre est le point source O. L’onde ne

dépend que la coordonnée radiale. On parle alors d’onde sphériques.

L’onde se propage dans toutes

les directions de l’espace :

Soit :

Dans ces conditions l’équation d’onde sphérique

se réduit à sa partie radiale:

(r,t) est solution de cette équation si 0(r) varie en 1/r. L’expression d’une onde

sphérique se propageant selon les r croissants est:

Onde sphérique divergente

0 1 2

2

2

krdr

d

r

)cos()()cos()( ),( 00 tkrrtrkrtr

scolinéaire son et rk

)cos( ),( tkrr

Atr

14

27

Ondes sphériques (r,t) est solution de cette équation si 0(r) varie en 1/r. L’expression d’une

onde sphérique se propageant selon les r décroissants est:

Onde sphérique convergente

Caractéristiques:

Extension finie

Propagation dans toutes les directions de l’espace

Front d’onde de forme sphérique perpendiculaire aux directions de

propagation.

Energie s’éparpillent dans l’espace

L’amplitude de l’onde diminue quand r augmente

La conservation de l’énergie est assurée par l’amplitude en 1/r (TD)

)cos( ),( tkrr

Atr

28

Ondes sphériques dans l’approximation paraxiale

En optique, on travaille souvent en privilégiant une direction de propagation qui

s’appelle l’axe optique, et avec des angles de propagation faibles par rapport à cet axe.

On parle des conditions de Gauss ou d’approximation paraxiale. Les angles d’incidence

par rapport à l’axe optique doivent être inférieurs à 20°.

Dans l’approximation paraxiale l’expression d’une onde sphérique divergente (se

propageant selon les r croissants) est:

tk

z

Atr

2z

yxzcos ),(

22

r k

y

x

z

x y

2z

yxkzkret

2z

yxz

z

yx1zr

zyxror y zet x zSoit

1et 1 : Gauss de conditions les Dans

22

22

2

22

222

yx

kz

A

r

A

Gauss de conditionsyx2z

yxk si

2z

yxknégliger peut On 22

2222

z

15

29

Notation Complexe Il peut être commode pour représenter les ondes planes et ondes sphérique

d’utiliser la notation complexe. On a alors :

Pour une onde plane se propageant selon les r croissants :

Pour une onde sphériques divergente :

Pour une onde sphériques divergente dans l’approximation paraxiale:

Souvent on n’écrira pas « Re[--] », sous entendant qu’en réalité ce qui

nous intéresse c’est la partie réelle des expressions en notation complexe.

tkrie

r

Atkr

r

Atr Re)cos( ),(

tki

ez

At

z

Atr

2z

yxz22

22

Re2z

yxz

2cos ),(

trkiAetrkAtr

Re) cos( ),(

30

Représentation d’une onde lumineuse

En conclusion, pour étudier la propagation d’une onde

lumineuse on peut décrire celle-ci comme une somme d’onde

planes ou une somme d’ondes sphériques.

Quand utilise t-on les ondes planes?

Quand utilise t-on les ondes sphériques?

Ces ondes interfèrent-elles entre elles?

16

Détection optique

En optique on ne sait pas détecter les champs E et B. Ce que l’on mesure ce sont

des photons, c’est-à-dire l’énergie électrique et magnétique transportée par le

champ E.M.

Un flux lumineux qui arrive sur un capteur génère un courant électrique

proportionnel au nombre de photons incidents.

L’intensité lumineuse I d’un faisceau lumineux correspond au nombre de photons

qui traversent par seconde une surface unité perpendiculaire à la direction de

propagation du faisceau lumineux.

I est proportionnel au module au carré de l’amplitude de l’’onde lumineuse en

notation réelle.

L’orientation du flux d’énergie lumineuse 𝑅 est donnée par la forme du front

d’onde. 𝑅 = I𝑢 avec 𝑢 = vecteur unitaire perpendiculaire au front d’onde.

Flux lumineux Surface

sd

2

2 -2 -1

On montre en TD que .v en notation réelle

On en déduit que I [J.m .s ]

I E

k

32

Puissance optique La puissance lumineuse détectée par un capteur correspond à la puissance reçue

par la surface du capteur moyennée pendant le temps de la mesure Tmes. Pour

une onde plane:

Tmes

mes

Tmes

mes

Tmes

mes

dttkrT

AP

dtsdutkrAT

P

k

kudtsduI

TP

0

22

0

22

0

cos1

)cos(

.cos1

avec .1

Flux lumineux Surface capteur

sdk

k

Tmes est compris entre la micro et la nanoseconde

La fréquence optique est de l’ordre du thérahertz soit une période optique Toptique

de l’ordre 10-14. On moyenne donc un cosinus carré sur environ 105 périodes.

On en déduit que :

Attention : en notation complexe on obtient directement la valeur

moyenne de l’énergie lumineuse. Dans ce cas (notation complexe ): 𝑰 ∝𝝍 𝟐

𝟐

2

)cos(

2

A

P

17

33

Direction de propagation de l’énergie lumineuse

On a vu que pour l’onde plane et l’onde sphérique l’énergie lumineuse se propage dans

des directions perpendiculaires au plan équiphase (front d’onde). Ces directions peuvent

être représentées par des rayon lumineux.

Axe

optique z

Onde

plane

Onde sphérique

divergente

(r-r0)>0

Onde sphérique

divergente

(r-r0)

18

35

Cohérence

37

Intérêt de l’interférométrie

La superposition de 2 ou N ondes lumineuses peut se traduire sous certaines conditions

par l’observation d’une figure d’interférence. L’intensité observée n’est pas égale à la

somme des intensités des ondes mises en jeu. Exemple : Fente de Young. Hypothèse :

ondes planes dans le plan d’observation.

Sur l’écran on passe d’une frange sombre à une frange clair quand: varie de

, soit pour =0.5 µm :

n qui varie de 0.25 10-6 ( détection de gaz)

r1-r2 varie de 0.25 10-6 (état de surface, distance, vibrations)

Méthode de mesure extrêmement précise!

2121

2

2

2

1

2121

2

2

2

1

2

22

2

1121

2cos

2

2

cos2

2

espacel' dans intensitéd' Modulation)(

2

et 2

avec )(

rrnAAAA

I

AAAA

I

XI

AI

AIIIXI

mesT

mesT

r1

r2

212

rrn

19

38

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

temps

Inte

nsité

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

temps

am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

temps

am

plitu

de

Superposition d’ondes lumineuses: qualitatif

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

temps

am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

temps

am

plitu

de

On a au point M la somme de deux ondes, considérons 2 cas :

Intensité non moyennée

Les ondes =+ sont en phase =2

Les ondes sont

en opposition =-=0, les 2 phase amplitudes se soustraient

Différence de phase (1-2) = différence de temps de parcours

39

Contraste d’une figure d’interférence

La précision des mesures interférométriques est extrêmement intéressante en métrologie.

Cette précision va dépendre de la « qualité » de la figure d’interférence. Il est donc

important de savoir réaliser des interférences de bonne qualité. On utilise comme critère de

qualité le contraste C de la figure d’interférence.

Le contraste C va dépendre de :

• L’amplitude des ondes lumineuses

• La fréquences des ondes lumineuses

• La différence de marche entre les ondes lumineuses

• La géométrie de la source S

• Les propriétés spectrales de la source S

1et 0 entre compirsest

: à égaleest constraste Le

espacel' dans intensitéd' Modulation)(

)(

minmax

minmax

21

C

II

IIC

XI

IIXI

20

40

L’intensité optique en M est égale à:

L’intensité observée est égale la valeur moyenne , intégrée sur le temps de

mesure Tmes du détecteur utilisé. Selon les détecteurs Tmes est compris entre 1µs –

et 1ns.

On doit donc déterminer : qui correspond à l’intensité observée ou

mesurée

Superposition de 2 ondes quelconques

Soit deux ondes planes optiques quelconques qui se superposent un point M de

l’espace.

On a au point M :

i

22221111

22211121

rparcourir pour temps

22

et 2 2

avec

cos cos

i

nrnr

twAtwA

2

21

2)( MI

mesTMI )(

r1 S1

S2

M

r2 Milieu

d’indice n

X

41

Tmes (1µs -1ns) et w1w21014Hz, soit au moins 105 périodes sur un temps de

mesure. On a alors :

On observe en M des interférences si la valeur moyenne du cosinus est non nulle

Superposition de 2 ondes quelconques

On a :

2211

2222

1111

2et

2 avec

cos

cos

nrnr

twA

twA

21122112212222

211

22

1

2

221112122

22

211

22

1

2

coscoscos cos

coscos2 cos cos

twwtwwAAtwAtwA

twtwAAtwAtwA

mesmesT T

twwAAAA

MI 211221

2

2

2

1 cos2

2

)(

0cos 211221 mesT

twwAA

r1 S1

S2

M

r2

21

42

2 fréquences différentes: interprétation

Si les ondes ont des fréquences différentes alors l’intensité moyenne est:

Exemple pour :

f1=10Hz et f2=9Hz;

A1=A2=1;

1=0 et 2=/10;

Intensité non moyennée, I

Oscillation à f9,5Hz,

Modulée par une enveloppe à 1Hz

On peux observer cette modulation si elle est lente par rapport à Tmes. En effet, si

cette modulation est rapide devant Tmes alors la valeur moyenne du Cosinus est

nulle.

mesmesT T

twwAAAA

I 211221

2

2

2

1 cos2

2

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1

temps

am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

temps

Inte

nsité

43

Conditions d’interférences

On a donc des interférences si Tmod>> Tmes soit

La différence de longueur d’onde correspondante est :

Pour des sources lumineuses avec un 0.5µm, on a

Pour Tmes=1µs,

22

44

Fréquences différentes: somme incohérente

Donc pour des ondes de fréquences différentes on a :

Dans ce cas pour déterminer I(M) on peut donc directement sommer les intensités

dues à chaque fréquence. On n’est plus obligé de calculer le vibration en M avant

de calculer l’intensité. On somme les intensités et non plus les champs.

On parle de somme des deux ondes incohérentes. Dans le cas d’une somme

incohérente, on n’a plus de phénomène d’interférence.

Dans la suite du cours, on considérera que lorsque l’on superpose des ondes

optiques de fréquences (longueurs d’onde) différentes, on peut directement

sommer les intensités de chaque fréquence.

)( )(

2

2

2211

2

2

2

1

III

AAI

mesT

mesT

45

2 ondes de même fréquence

Si les ondes sont de même fréquence alors on a :

On une modulation d’intensité qui dépend de la différence de phase entre les deux

onde (différence de parcours). Le contraste de la modulation dépend alors des

amplitudes des deux ondes:

Pour avoir un bon contraste on doit avoir A1A2, on a alors un contraste

maximum: C=1

Conclusion : Pour avoir des interférences de « bonne qualité » entre 2

vibrations on doit donc avoir : w1=w2 et A1A2.

Est-ce suffisant?

Avons-nous fait une hypothèse?

21212

2

2

1 cos2

2

AAAA

ImesT

2

2

2

1

21

minmax

minmax

2

AA

AA

II

IIC

23

46

Cohérence mutuelle

En écrivant :

On a supposé que les deux ondes ont la même « origine de phase », c’est-à-dire qu’

elles sont corrélées en phase. En réalité, les vibrations lumineuses ont une durée

limitée de « stabilité » et prennent naissance de façon complètement aléatoire.

On a doit alors écrire :

Où dépend du point S considéré de la source « i » et varie de façon

aléatoire et très rapidement dans le temps.

L’intensité moyenne observée ou mesurée pour deux vibrations de même fréquence

est alors égale à:

On observe en M des interférences si la valeur moyenne du cosinus est non nulle

twAxtwA 22221111 cos)(et cos

twtSAxtwtSA 222222111111 ),(cos)(et ),(cos

),( tSi

mesmesT T

tStSAAAA

I 21221121

2

2

2

1 ),(),(cos2

2

0),(),(cos 21221121 mesT

tStSAA

47

Cohérence mutuelle: ondes cohérentes

Si 1=2 :

Si 1=2 il y a des interférences

Si 1=2 les vibrations sont cohérentes entre elles

Les vibrations sont donc issues d’une même source

On parle de somme cohérente des deux ondes, I=2

Pour calculer l’intensité dans le plan d’observation on somme les vibrations

lumineuses

mesmesT T

tStSAAAA

I 21221121

2

2

2

1 ),(),(cos2

2

21212

2

2

1 cos2

2

AAAA

ImesT

Le montage suivant permet d’avoir

2 vibrations lumineuses cohérentes

entres elles.

212121

2121

2

2

2

1

cos2

cos2

2

IIIII

AAAA

I

mesT

mesT

r1

r2

24

48

Cohérence mutuelle: ondes incohérentes

Si 12:

Si 12 alors on dit que les vibrations sont incohérentes et sont issues de

points sources différents.

12 correspond au cas de 2 sources lumineuses différentes. On ne peut pas

faire interférer des faisceaux lumineux issus de 2 sources différentes.

La phase n’est plus stationnaire et varie rapidement devant Tmes. On parle de

somme d’ondes incohérentes. Pour calculer l’intensité on doit sommer les

vibrations lumineuses: I=2=I

Cette notion de cohérence, définit plus généralement l’aptitude d’un

rayonnement à produire des interférences et dépend de la nature et de la

géométrie de la « source lumineuse ».

2

2

),(),(cos2

2

2

2

2

121221121

2

2

2

1 AAtStSAAAA

ImesmesT T

mesmesT T

tStSAAAA

I 21221121

2

2

2

1 ),(),(cos2

2

49

Cohérence d’un rayonnement lumineux

La cohérence d’un rayonnement lumineux (« source lumineuse ») définit sa

capacité à réaliser des franges d’interférences.

On distingue deux types de cohérence:

La Cohérence temporelle qui est à ramener au caractère

monochromatique ou polychromatique du rayonnement lumineux. C’est

la dépendance temporelle de (r,t).

La cohérence spatiale qui est liée à l’extension spatiale et à la

divergence du rayonnement. C’est la dépendance spatiale de (r,t).

Exemple de figure d’interférences de Young pour une source monochromatique

et pour une source polychromatique.

Cas polychromatique Cas monochromatique

25

50

Cohérence : origine

Peu de sources lumineuses émettent un rayonnement cohérent. Cette incohérence

entre les vibrations émises est liée au processus d’émission de la lumière qui se

fait par transition électronique. L’incohérence est due:

Au caractère aléatoire des transitions électroniques.

A la largeur des transitions électroniques mises en jeu. Largeur liée au

mouvement aléatoire des atomes sous l’effet de l’agitation thermique.

Aux collisions entre atomes qui vont interrompre le processus d’émission.

Les atomes vont émettre des vibrations de façon indépendante les un des

autres.

On a alors émission d’une vibrations lumineuses présente des fluctuations

aléatoires d’amplitude, de phase (saut) et de fréquence. On a par exemple:

Amplitude de la vibration

t

« train d’onde » saut

51

Cohérence Temporelle

Cependant, l’émission de la lumière peut être considérée stable pendant un temps

Tc, appelé temps de cohérence. On peut considérer que pendant ce temps la

vibration émise est stable.

Cette durée de cohérence est inversement proportionnelle à la largeur spectrale

de la vibration émise. Tc 1/

1 vibration rigoureusement monochromatique a un temps de cohérence infini.

Une source incohérente temporellement présente alors une certaine largeur

spectrale

On peut alors décrire l’émission lumineuse par une succession de trains d’onde

de durée Tc incohérents entre eux.

Pas d’interférence entre deux trains d’onde différents

26

52

Cohérence Temporelle: mise en évidence

Soit 1 source lumineuse d’intensité I0 constituée d’un atome unique et un montage

de fentes de Young. O1 et O2 sont éclairés de façon uniforme dans l’air (n=1)

Cas de la source monochromatique de fréquence 0 :

On observe sur l’écran une modulation de I :

Interfrange dépend de :

cD

aXAAAA

D

aXAI

AAAA

rrAAAA

I

mesT

mesT

et :avec )2cos(1 )2

cos(1

cos2

2

2cos

2

2

021000

21

2

2

2

12121

2

2

2

1

r1

r2

D>>x

a

a

D i

I0 O1 et O2 sont éclairé de la

même façon: A1=A2=A0

53

Fonction de contraste

Soit une source de largeur spectrale centrée sur une fréquence 0, son spectre est défini

par la fonction F(-0). L’intensité totale I0 de la source est donnée par la somme de toutes

les contributions du spectre:

L’intensité lumineuse produite sur l’écran par une tranche de fréquence d est donné par:

L’intensité produite par la source est alors égale à :

)()(Acar 2cos1 )( 000 FFIdmesT

dFI )( 00

c

rr

cD

aXdieieFII

dieFII

dFIdFI

mesT

mesT

mesT

2100

000

000

:avec '2xp'2xp )'(Re

' :poseon 2xp )(Re

2cos )(2cos1 )(

2

2

00 exp)(

AF

27

54

Fonction de contraste L’intensité produite par la source est alors égale à :

C() est la fonction de contraste. Le contraste de la figure d’interférence dépend du

déphasage entre les ondes.

Cas d’un profil gaussien:

F() de largeur

C() de largeur 1/ retard entre les deux

ondes

000

0

0

0000

2cos)(12cos)(

1 : cas ce Dans

réelleest )( alors paireest )'( siet )'( de inversefourier de e tranformélaest )(

)(2expRe'2xp )'(2expRe

CII

GII

GFFG

GiIdieFiII

mesT

mesT

55

Interprétation La largeur de la fonction contraste détermine le temps de cohérence de la source.

Pour un retard plus important, on a plus de franges d’interférence. Le retard entres

deux trains d’onde est alors supérieur à la longueur d’un train d’onde.

=0 Contraste maximum

0 et Tc

Toujours des interférences mais

contraste plus faible, car seule

une partie des trains d’onde se

recouvrent

Plus d’interférence

28

56

Interprétation

Pour une fréquence on a :

Pour chaque fréquence on a une figure d’interférence I(X,) avec un interfrange

différent. Sur l’écran on observe la somme des I(X,i). Exemple pour 3.

0

2 (1 cos ) avec interfrange

Tmes

aX DI I

D a

57

Interprétation

Pour une fréquence on a :

a

D

D

aXII

mesT

i einterfrangl' avec )

2cos(1 0

La position xmin des

mininuma (franges

sombres) pour longueur

d’onde est:

Le décalage entre les figures

d’interférences de 2

séparées de est:

a

D mXmax

da

Dd mXmax

Ce décalage augmente avec

m, ce qui se traduit par un

brouillage des franges pour m grand

29

58

Quelques temps de cohérence

59

Cas du doublet

Soit une source qui émet 2 vibrations lumineuses « quasi monochromatique » de

même intensité. Les vibrations aux différentes longueur d’onde ne vont pas

interférer entre elles, l’intensité I(x) est donc égale à :

cD

aXII

D

aX

cD

aX

cII

D

aX

cI

D

aX

cII

III

D

aX

cI

D

aX

cII

D

aXI

D

aXII

mesT

mesT

mesT

mesT

mesT

: que rapelleon 2cos2cos1 2

2cos

2cos1 2

2cos1 )(

2cos1 )(

)()( ,et lumière, la de vitessela c :avec

2cos1 )(

2cos1 )(

2cos1 )(

2cos1 )(

00

01

0

020010

020100201

220

110

2

20

1

10

est le retard temporelle engendré par la différence de marche r1-r2

30

60

Mesure d’un doublet L’intensité sur l’écran est égale à:

Le contraste de la figure d’interférence est modulé pas un cosinus. On perd le

contraste quand le cosinus est nul. On observe sur l’écran:

00

2cos

2cos1 2

D

aX

cD

aX

cII

mesT

Xa

cDDonc

a

cDX

mcD

aX

mD

aX

c

P

:

:contraste de

pertes 2 entre distance la

4

11

22

2

pour contraste de erte

ΔX

61

Cohérence spatiale

La cohérence spatiale définit la corrélation de phase entre deux points de

l’espace.

L’incohérence spatiale d’un rayonnement lumineux est lié au fait qu’une

source étendue « classique » est constituée de plusieurs points sources qui

émettent des vibrations incohérentes entre elles. Les atomes émettent

généralement la lumière indépendamment les uns des autres.

Pour mesurer la cohérence entre les point A, B et C on peut utiliser un

interféromètre de Young.

Source

étendue

A

B

C

A et B points cohérents entre eux

A et C points incohérents entre eux

31

62

Cohérence spatiale On considère le montage de Young avec une source de largeur d. L’intensité I0 de

la source est donnée par F(X) :

Soit un point P qui émet une vibration lumineuse. Pour atteindre le point M cette

vibration a deux parcours possibles: PA1+A1M et PA2+A2. Les deux vibrations

qui se recombinent en M, subissent donc un déphasage entre la source et les trous,

et entre les trous et l’écran. L’intensité lumineuse en M produite par P est :

x X

2xpour 0)(

et 2

xpour )(

)(

0

0

dxF

d

d

IxF

dxxFI

D

aX

cR

ax

cxFXxI

mesT

22cos1 )(),(

63

Cohérence spatiale: fonction de contraste

L’intensité lumineuse produite sur l’écran par une tranche de fréquence dx est

donnée par

L’intensité produite par toute la source est alors égale à :

dxxR

aie

D

Xai

d

III

D

XaiRaCIdx

R

xaie

I

xF

D

XaiII

dxR

xaiexF

D

XaieII

dxD

X

R

xaiexFII

dxD

X

R

xaxFI

d

dmesT

mesT

mesT

mesT

mesT

2

2

00

0

0

0

0

0

2xpRe2

cos

2cos,1

2xp

)(2cos1

2xp )(

2xpRe

2xp )(Re

2cos1 )(

dxD

X

R

xaxFXxI

mesT

2cos1 )(),(

Fonction de contraste

TF(F(x))

32

64

Cohérence spatiale: fonction de contraste

C(a,R) est la fonction de contraste, dans le cas d’une fente c’est un sinus cardinal

2

00

2

0 0 0

xp 22

Re cos

2

sin2 2

cos 2 (1 ( , )cos )

Tmes

Tmes

d

d

ae i x

I Xa RI I

ad Di

R

ad

Xa XaRI I I I C a R

aD Dd

R

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

(x)c(x)

sinsin

0)(sin

10sin

mc

)c(

Cohérence spatiale: largeur de cohérence Les franges disparaissent quand l’argument du sinus cardinal est égal à , c’est à

dire:

est l’angle sous lequel on voit la source étendue. La première valeur a0 de a

pour laquelle le contraste s’annule permet de mesurer la largeur de cohérence de

la source :

La cohérence spatiale définit la corrélation de phase entre deux points de l’espace.

représente la distance maximale entre deux points du front d’onde pour lesquels

les vibrations sont cohérentes.

(1 Source étendue incohérente est équivalente à une collection de points qui émettent des

ondes sphériques incohérentes entre elles. Elle éclaire tout l’espace, elle est très divergente)

Rdpour avec soit

R

dm

d

Rmamd

R

am

cca

Source

étendue

c ou ac A

B

C

A et B points cohérents entre eux

A et C points incohérents entre eux

33

66

Source cohérente spatialement

1 Source ponctuelle est cohérente spatialement :

Elle émet une onde sphérique: points corrélés en

en phase

Une source étendue:

équivalent à : (source ponctuelle « i » incohérente entre elles)

L’intensité résultante =2

Emission de lumière dans toutes les directions de l’espace

0d

d

R

0d

d

R

67

Sources Laser Dans le cas d’un laser, l’émission de la lumière met en jeu un processus particuliers

appelé « l’émission stimulée ». Ce processus permet de synchroniser l’émission de

des atomes qui émettent la lumière.

Un laser est une source étendue cohérente spatialement:

équivalent à : (source ponctuelle « i » cohérente entre elles)

L’intensité résultante I=2

Interférences constructives dans des directions de propagation particulières

Emission de lumière quasiment que dans une seule direction

Une conséquence de la

cohérence est que la

source est peu divergente

34

68

Suite du cours

La suite du cours va consister étudier la propagation d’un

rayonnement cohérent spatialement et temporellement

On va modéliser la lumière comme étant une collection de sources

ponctuelles cohérentes entre elles

On va étudier les conséquences de cette représentation de la

lumière quand celle-ci rencontre des objets

Diffraction

69

Diffraction par un objet (que

se passe t-il quand de la

lumière cohérente rencontre

un objet)

35

70

Diffraction : observation Un objet opaque éclairé par un rayonnement cohérent (spatial et temporel)

projette une ombre complexe faite de parties sombres et claires très différentes de

ce qui prédit les lois de l’optique géométrique.

Par exemple un bord d’écran

éclairé par un laser

Trou rectangulaire éclairé par

un laser . Observation loin

du trou

Ces figures d’intensité sont une manifestation de la nature ondulatoire de la

lumière et peuvent être expliquées à partir d’une somme de vibrations

cohérentes entre elles.

71

Diffraction : observation

Ces phénomènes de diffraction permettent également de d’expliquer:

la déviation des rayons X par les

Cristaux

La décomposition de la

lumière par un CD ou DVD

La divergence d’un faisceau

lumineux cohérent

La taille et l’aspect de l’image

d’une étoile au foyer d’un télescope

36

72

Diffraction : explication qualitative Reprenons le cas du trou carré. On éclaire le trou par une onde que l’on peut

considérer comme plane. Faisceaux incident cohérent spatialement.

L’onde au niveau du trou

subit une altération en amplitude

et en phase

Les différentes zones du front d’onde qui se propagent au-delà du trou se

recombinent et interfèrent, ce qui entraîne une répartition d’intensité modulée que

l’on appelle: figure de diffraction.

Pour calculer cette figure de diffraction on doit alors déterminer la vibration

lumineuse qui se propage au-delà du trou. C’est un problème difficile à résoudre

mais possible en faisant un certain nombre d’approximations.

73

Propagation d’une vibration quelconque

Pour résoudre notre problème on doit être capable de déterminer l’expression d’une

vibration (r,t) en r connaissant son expression en r0.

Pour cela on doit décrire la propagation (r0,t). On doit alors utiliser une

description qui satisfait l’équation d’onde.

Les solutions de l’équation que nous connaissons sont :

Ondes planes (1 direction de propagation et extension infinie)

Ondes sphériques (toutes les directions de propagation et ponctuelle)

Le principe de superposition nous dit qu’une somme de solutions de l’équation

d’onde est également solution de l’équation d’onde.

On va donc décrire (r0,t) par une somme d’ondes planes ou sphériques.

L’extension infinie des ondes planes pose un problème pour la propagation avec des

obstacles. On ne sait pas décrire les obstacles avec une tel représentation. On

utilise alors une somme d’ondes sphériques, c’est le principe de d’Huygens-

Fresnel.

37

74

Principe de Huygens-Fresnel Soit ψ(r0, t) une onde supposée monochromatique et cohérente spatialement sur une

surface Σ. Alors ψ(r ) s’exprime comme la somme cohérente ("l’interférence")

d’ondes sphériques émises depuis tous les points r0 avec une amplitude

proportionnelle à celle de ψ(r0, t) et une phase identique à celle de ψ(r0, t).

On considère que chaque point

d’un front d’onde se comporte

comme une source d’ondelettes

secondaires sphériques, à partir

desquelles on détermine la

progression du front d’onde.

75

Principe de Huygens-Fresnel Lorsque la lumière rencontre un obstacle, le principe de Huygens peut s’énoncer de

la façon suivante: chaque point non obstrué du front d’onde va se comporter

comme une source secondaire d’ondelette sphérique, on a donc en chaque point de

l’ouverture de la fente un point source émettant une onde sphérique avec une

amplitude proportionnelle et une phase identique à celles de l’onde incidente.

38

Soit un écran opaque percé d’une ouverture de dimension d et éclairée par une

vibration lumineuse cohérente. D’après le principe de Huygens-Fresnel la

vibration dans le plan d’observation (OXY) s’écrit:

K traduit le fait qu’il n’y a pas d’onde émise vers l’arrière. On a :

76

Mise en équation

dxdy ).exp(

)()(QP

QPikQKP

pour 0 KOz. directionla et QP entre anglel'est ou 2

)cos(1

iK

Hypothèses:

= 0 au niveau de la partie opaque

Par d’effet des bords du

trou, est le même que s’il

n’y avait pas d’écran d>>

77

Huygens dans l’approximation paraxiale On se place généralement dans le cas de l’approximation paraxiale, c’est-à-dire

que l’on considère des points P répartis sur une extension latérale petite devant z.

Dans ces conditions :

devient:

Pour le terme d’amplitude on peut alors prendre QPz, en revanche on ne peut pas

faire la même approximation pour le terme de phase. La phase étant définie à 2

près, négliger le 2nd terme QP dans la phase revient à:

On ne peut donc pas simplifier le terme de phase dans l’approximation paraxiale à

part sortir les termes indépendant de x et y de l’intégrale

z

yYxXzQP

z

yYxXzyYxXzQP

2

)()(

)()(1)()(

22

2

22222

dxdy )2

)()(exp()(

).exp()(

22

z

yYxXikQ

z

zikKP

62222

102

)()( 2

2

)()(

z

yYxX

z

yYxXk

39

78

Huygens dans l’approximation paraxiale Si on développe le terme de phase on peut simplifier l’intégrale:

On peut exprimer (P) en fonction de différent paramètres : X,Y et Z

Mais aussi en fonction des direction de propagation [x, y] ou [kx, ky]

On peut également définir des grandeurs ux et uy appelée fréquences spatiales tel que:

dxdy2

expexp)(2

exp).exp(

)(2222

z

yxik

z

YyXxikQ

z

YXik

z

zikKP

yx kket kket

)tan(et )(t : aOn

yx

yyxx

z

yk

z

Xk

z

Yan

z

X

uet u yx

xx

y

x

Y

X

k x

k y

k

z y

x

79

Huygens dans l’approximation paraxiale On a alors :

dxdy2

expuu 2exp)(2

exp).exp(

),u,u(

dxdy2

expkk exp)(2

exp).exp(

),k,k(

dxdy2

exp exp)(2

exp).exp(

),,(

dxdy2

expexp)(2

exp).exp(

),,(

22

yx

22

yx

22

yx

22

yx

2222

2222

z

yxikyxiQ

z

YXik

z

zikKZ

z

yxikyxiQ

z

YXik

z

zikKZ

z

yxikyxikQ

z

YXik

z

zikKZ

z

yxik

z

YyXxikQ

z

YXik

z

zikKZYX

yxyx

y

x

Y

X

k x

k y

k

z y

x

40

80

Huygens dans l’approximation paraxiale On décrit généralement l’objet diffractant par une fonction de transmission t(x,y). Cette

fonction peut être complexe si l’objet diffractant introduit un déphasage comme une lame de

verre (voir TD). L’expression de s’écrit alors:

On souhaite déterminer la répartition d’éclairement dans le plan d’observation, c’est-à-dire

une grandeur proportionnelle à |(x,y)|2 ou à |(X,Y)|2 . .On peut donc négliger:

Les termes de phase devant l’intégrale.

Le terme 1/z est un facteur d’atténuation

Le coefficient K (approximation paraxiale:

41

82

Diffraction de Fraunhofer Si on veut pouvoir calculer simplement (P)

Il faut que :

Soit :

L’ouverture doit être de petite dimension et le plan d’observation situé quasiment à l’infini.

On parle de diffraction à l’infini ou de diffraction de Fraunhofer.

d22m

Afin de satisfaire la condition de Fraunhofer l’observation se fait généralement

au foyer image d’une lentille convergente.

dxdyexp)(),()( yx yxikQyxtP

12

exp22

z

yxik

ouverturel' de taille avec

22

2

22

dzd

z

yxk

83

Fraunhofer avec une onde plane Si l’objet diffractant est éclairé avec une onde plane se propageant selon l’axe z

alors :

On peut dans ce cas sortir le terme (Q) de l’intégrale. Les termes exp(ikz) et A ne

modifient répartition d’intensité. On peut donc écrire :

Cette intégrale est une transformation mathématique bien connue appelée la

transformée de Fourier.

Dans les conditions de Fraunhofer, la vibration sur l’écran d’observation est la

transformée de Fourier spatiale de la fonction de transmission de l’objet diffractant.

La vibration est une somme d’ondes planes, chaque onde plane étant définie par

une direction de propagation (x,y) et une amplitude particulière.

Le problème du calcul de la figure de diffraction d’un objet diffractant se

ramène à déterminer la fonction de transmission de cet objet et calculer la

transformée de Fourier de cette fonction

dxdyexp),(),()( yx yxikyxtYXP

)exp(),()( ikzAyxQ

42

84

Cas d’une ouverture rectangulaire On considère une ouverture rectangulaire de taille axb percée dans un écran opaque

et éclairée par une onde plane avec une incidence normale à l’ouverture.

La fonction de transmission t(x,y) est:

L’amplitude la vibration diffractée dans la direction de propagation définie par

x et y est égale à:

x y

a b

2 2x ya b

- -2 2

( ) ( , ) exp dxdy

( ) exp dxdy

P t x y ik x y

P ik x y

2ypour 0),(

2ypour 1),(

2xpour 0),(

2xpour 1),(

byxt

byxt

ayxt

ayxt

85

Cas d’une ouverture rectangulaire On peut séparer les variables x et y:

On en déduit I:

2

bksinc.

2

aksin

2

bk

2

bksin

.

2

ak

2

aksin

)(

k

2

bkexp

2

bexp

.k

2

aexp

2

aexp

)(

exp.

exp)(

dyexp.exp)(

yx

y

y

x

x

y

yy

x

xx

2

b

2

b-y

y2

a

2

ax

x

2

b

2

b-

y2

a

2

a-

x

cababP

i

iik

i

ikik

P

ik

yik

ik

xikP

yikdxxikP

2

y

2

x

22

yx2

bksinc.

2

aksin)(,

cabPI

43

86

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Cas d’une ouverture rectangulaire La répartition d’énergie est donc décrite par des sinus cardinaux au carré selon x et

y. On a

Maximum en x=0

Minimum en x=m Lobes secondaires d’amplitude 1/x2

Selon x on a :

A chaque direction de propagation

est associé une intensité.

Pour un plan d’observation en Z, on peut

associer à chaque direction de propagation

une position X

0)(sin

10sin

2

2

mc

)c(

2

aksin)(

2

x

2

x

caI

z

x Chaque direction

correspond à un x

X

Sinc(x)2

2

2 aX

sin)X(

zcaI

87

Cas d’une ouverture rectangulaire Si l’observation se fait au foyer d’une lentille, la position sur l’écran d’observation

associée à une direction de propagation est donnée dans l’approximation paraxiale

par:

L’expression de I devient:

On observe sur l’écran la répartition d’intensité suivante si a=b:

22

2a

Ysina

Xsin),X(

fc

fcabYI

f

X

f

f

Y2k

X2

k

y

x

44

88

Sens de variation

On a un maximum en kx et ky=0 ou en X et Y=0

La position des minima est donnée par:

Soit

On a donc un pic central de largeur:

Si on augmente b : le pic centrale devient de plus en plus petit et les lobes

secondaires se resserrent

Si on diminue b : le pic centrale devient de plus en plus grand petit et les lobes

secondaires s’éloignent

Plus on ferme l’ouverture et plus la lumière divergente

à la sortie de l’ouverture

2

y

2

x

22

yx2

bksinc.

2

aksin)(k,k

cabPI

p2

bket m

2

ak yx

y selon2et x selon 2b

f

a

f

b

fp

b

Zp

bm

a

fm

a

Zm

am

y

x

You You

Xou Xou

89

Cas d’une fente infinie

Si on fait tendre b vers l’infini, cela correspond à une fente fine verticale

La fonction: est alors non nulle seulement pour y=0 ou X=0

La répartition d’intensité

sur l’écran est :

2

y2

bksinc

45

90

Cas d’une ouverture circulaire On considère une ouverture circulaire de taille de rayon r=D/2 percée dans un écran

opaque et éclairée par une onde plane avec une incidence normale à l’ouverture.

Du fait de la symétrie de révolution du problème la fonction de transmission est

exprimée en coordonnées polaires:

On doit également exprimer l’intégrale de Fraunhofer en coordonnées polaires, on

effectue alors les changements de variables suivants:

( , ) 1 pour

( , ) 0 pour

t r

t r

)sin(kket )cos(kk: aon OXYplan le Dans

)sin(et )cos( : aon oxy plan le Dans

yx

xx

91

Cas d’une ouverture circulaire L’intégrale de Fraunhofer devient:

On doit retrouver la symétrie de révolution dans l’expression de la vibration dans le

plan (OXY), c’est dire de (,) doit être indépendant de , que l’on peut donc

prendre égale à zéro.

On a alors:

Cette intégrale fait appel à une fonction spéciale, la fonction de Bessel d’ordre 1

J1(r), on peut montrer que :

L’onde propagée respecte la symétrie du problème et dépend donc

uniquement de .

2

00

2

00

yx

dd)cos(kexp),(

dd)sin()sin()cos()cos(kexp),(

dxdykkexp),()(

ik

ik

yxiyrtP

r

r

)cos(kket )cos(kk

)sin(et )cos(

yx

xx

2

00dd)cos(kexp),( ik

r

rk

rkJrk

)(2),( 12

46

92

Cas d’une ouverture circulaire

On en déduit l’intensité :

Cette figure de diffraction s’appelle le disque d’Airy

En déduit la demi largeur angulaire du disque d’Airy

Au foyer d’une lentille le rayon R est égale à:

Plus l’ouverture est grande et plus la tache d’Airy est petite, ceci a une grand

importance dans la résolution des instruments d’optique

2

1 )()(

rk

rkJI

Drr

r

22.161.02

83.3 : aOn

83.32

rkPour

3.83upour zéro 1

0upour maximum un presente )(

er

2

1

u

uJ

D

ffR

22.1

93

Application à l’imagerie On souhaite imager avec une lentille de focale f et de diamètre D, un objet

« ponctuel » très éloigné. L’objet est considéré à l’infini:

Front d’onde plan au niveau

de la lentille

Image au foyer de la lentille

On a donc une ouverture de diamètre D éclairée par une onde plane, d’après les

résultats précédents on observe dans le plan d’observation une tache lumineuse

circulaire:

de rayon angulaire:

de rayon spatial:

Cette tache sera d’autant plus petite que l’ouverture de la lentille sera grande. Si on

observe deux objets, on pourra les distinguer si leur deux images sont séparées. On

comprend donc que la résolution de notre système optique va augmenter avec D.

D

22.1

D

fR

22.1

Plan

d’observation

47

94

Critère de Rayleigh Deux points objets seront distinguables si les centres des spots images sont séparés

au moins d’une distance égale au « rayon » de chacun des spots.

Dc

22.1

Dc

22.1

Dc

22.1

95

Exemple: Telescope

Le télescope Keck à

Mauna Kea (Hawaii),

possède un diamètre

effectif de 10m.

min

1,22

D 1,22

600 109 m

10 m 7,3108rad 0,015 seconde d'arc

A 100km il distingue des objets séparés de 1mm!

48

96

Optique de Fourier

(application de la diffraction

à des objets "complexes")

97

Diffraction de Fraunhofer et TF Nous avons vu l’effet de la diffraction crée par des objets simples: ouverture

rectangulaire et circulaire. Nous allons maintenant nous intéresser à des cas un peu

plus compliqués.

• Effet sur la figure de diffraction d’une translation de l’objet diffractant

• Diffraction par des objets opaques plutôt que des ouvertures

• Diffraction par une collection d’objet identiques (fentes Young, réseau)

La détermination de la figure de diffraction dans ces différent cas peut être

grandement facilité en remarquant que:

• Dans les conditions de Fraunhofer

• L’approximation paraxiale

• Pour un éclairage cohérent collimaté selon z

L’amplitude de l’onde diffractée est proportionnelle

à la transformée de Fourier de la fonction de

transmission t(x,y) de l’objet diffractant.

49

98

Diffraction = TF de l’objet

Dans ces conditions on a:

Vous avez vu en math que la transformée de Fourier 1D d’une fonction f(x) est :

La transformée de Fourier 2D d’une fonction f(x,y) est :

On a alors :

x y x yyx

x y

( , ) ( , )exp 2 2 dxdy

(k ,k ) ( , )exp k k dxdy

( , ) ( , )exp 2 2 dxdy

X YX Y t x y i x y

f f

t x y i x y

t x y i x y

)( dx2exp)()( xfTFuxixfuF

),( dxdy2exp2exp)(),( yxfTFvyiuxixfvuF

Z

Yv

Z

Xu

vuTyxtTFvyuxiyxtvu

yx et :Avec

),()),((dxdy22exp),(),(

99

Transformé de Fourier 1D On utilisera principalement l’expression suivante:

Dans ces conditions, la vibration sur l’écran d’observation est transformée de

Fourier spatiale de la fonction de transmission de l’objet diffractant. La vibration

est une somme d’ondes planes, chaque onde plane étant défini par une direction de

propagation (αx,αy) et une amplitude.

Le problème du calcul de la figure de diffraction d’un objet diffractant se

ramène à déterminer la fonction de transmission t(x,y) de cet objet à partir de

fonction dont on connait la transformée de Fourier

On rappelle que la transformée de Fourier inverse d’une fonction f(x) est:

),()),((dxdy22exp),(),(yxyx

yx

TyxtTFyxiyxt

f(x)du2exp)()(

dx2exp)()(

1

1

uxuFuFTF

uxxfxfTF

50

100

Motif composé

Soit le motif suivant:

La fonction mathématique qui va nous permettre

de décrire ce motif est la fonction porte:

La fonction de transmission est donc :

)().()().(),( yxyxyxt badc

2xpour 0(x)

2xpour 1(x)

a

a

a

a

b

c

a d x

y

101

Motif à variable séparables Les motifs auxquels on va s’intéresser sont des motifs à variables séparables (x et y

indépendants): t(x,y)=tx(x).ty(y) ou t’(x,y)=tx1(x).ty1(y)- tx2(x).ty2(y)

Si t(x,y)=tx(x).ty(y) on a alors:

On traite séparément les dimensions x et y. I(αx, αy) = Ix(αx) .Iy(αy)

)(.)( dyexp)(exp)(),(

),( dxdyexpexp),(),(

yxyx

yxyx

ytTFxtTFyiytdxxixtT

yxtTFyixiyxtT

yxyx

51

102

Translation et répétition d’un motif On va donner les outils mathématiques qui permettent décrire la translation ou la répétition de

motifs. On s’intéresse essentiellement aux outils dont on connaît la transformée de Fourier.

Ces sont le produit de convolution et la fonction « Dirac ». Le produit de convolution de 2

fonctions f(x) et g(x) est égale à:

C’est l’aire du recouvrement entre f et g en translatant l’une par rapport à l’autre.

La fonction de Dirac (x) est une fonction nulle partout sauf dans un tout petit intervalle

autour de 0 ou elle égale à 1 pour le physicien:

Si on pose x0(x)=(x-x0) on a:

On en déduit l’expression de t(x) pour une répétition quelconque:

)( dx)'()'( )(* :oùd' )0(dx)()(et 1dx)( xfxxxfxffxxfx

)( dx)'()'( )(* 000 xxfxxxxfxxf

)(xf

dx')'()'()(* xxgxfxgf

)(xt

N

n

nxxf1

)(*t(x)

Conv.gif

a

b

103

Répétition périodique d’un motif

Dans le cas d’une répétition périodique, on utilise alors une somme de Dirac équidistant,

espacé de a. cette fonction s’appelle « peigne de Dirac »

Le peigne de Dirac est de dimension infini donc: est de dimension

infini.

Pour décrire une répétition fini du motif on doit borné le peigne de Dirac par une fonction

« porte b», tel que :

On en déduit l’expression de t(x):

)(xf

p

p

a paxx )()(

)(xt a

b

a

p

p

paxtxt )(*)(

2xpour 0)(et

2xpour 1)(

bx

bx bb

)()(*)( xpaxfxt b

p

p

Conv.gif

52

104

TF usuelles La Transformée de Fourier du produit de convolution de 2 fonction est égale au produit des

transformées de fourrier de chacune des fonctions:

La Transformée de Fourier d’un Dirac est une exponentielle complexe:

On une fonction de «dimension infinie» dans l’espace de Fourier

La Transformée de Fourier d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac de pas inversement

proportionnel:

La Transformée de Fourier d’une fonction « porte b» est un sinus cardinal de largeur

inversement proportionnelle:

)()()(* uGuFgTFfTFxgfTF

)2exp()2exp()( 000 xiuxixxTFx

m

m

xx

a

m

m

aa

m

aa

mu

axTF )(

1)()(

1))(( 1

b

b

Z

XkcbbcbubcbxTF xb

2largeur )

2(sin )(sin )(sin))((

105

TF usuelles La Transformée de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne de largeur inversement

proportionnelle:

La Transformée de Fourier d’une fonction « disque» est un Bessel cardinal de largeur

inversement proportionnelle:

La Transformée de Fourier d’une amplitude constante est un Dirac:

2

2

22222

2

2

2

expexp)(

exp1

)(

xuxfTF

xxf

yx kkkrk

rkJr

r

rJ

rur

urJrTF

ryry

avec 2

2

2

22

22)D(

x si 0)D(et x si 1)D(Soit

121

212

2222

xx AAuAxfTF

Axf

)(

)(

53

106

Application: translation de l’objet diffractant Soit un objet diffractant de fonction de transmission t(x,y), éclairé par une onde plane en

incidence normale. Dans les conditions de Fraunhofer, l’onde diffractée est donné par:

L’intensité lumineuse est donné par :

Si on translate l’objet de x0 selon x, on a :

l’onde diffractée est donné par:

L’intensité lumineuse est :

La répartition d’intensité I(αx, αy) n’est pas modifiée

),(),( dxdyexp),(),(

yxyxyx TyxtTFyxiyxt

2

22

),(),( ),(),(

yxyxyx TyxtTFI

)(*),('),(' 0xxyxtyxt

)2exp(),()(),(),('

),(' dxdyexp),('),('

00 xiTxxTFyxtTF

yxtTFyxiyxt

xyxyx

yxyx

22

0

2

),()2exp(),( ),('),('

yxxyxyx TxiyxtTFI

107

Application: Théorème de Babinet

Soit une ouverture percée dans un écran, de fonction de transmission t(x,y), éclairée par une

onde plane en incidence normale. Dans les conditions de Fraunhofer, on a :

Considérons un obstacle opaque de la forme que l’ouverture de fonction de transmission

t’(x,y):

L’amplitude l’onde diffractée est donné par:

L’intensité lumineuse est :

La répartition d’intensité identique à I(αx, αy) avec une intensité

différente en (αx =0, αy =0)

2

),(Iet ),( ),(

yxyxyx TT

),(1),(' yxtyxt

),()()(),('

),(1 ),('),('

yxyxyx

yx

T

yxtTFyxtTF

)0,0(2)()(),(),()()(),('),('

222

TTTIyxyxyxyx

yxyx

54

108

Application: Théorème de Babinet

)(2

sin)Y,X(

2

2 YD

XcaI

aYXYD

XcaI

)()()(

2sin)Y,X('

2

2

109

Diffraction de 2 fentes

Soit deux fentes infini de largeur b (axe ox),séparée de distance a, éclairée par une onde

plane en incidence normale de dimension c selon l’axe oy. On travaille dans les conditions

de Fraunhofer.

Pour une fente centrée en O, l’onde diffractée est égale à

(résultat Chap.3) :

Transformée de Fourier T(x, y) d’un ouverture rectangulaire t(x,y)

La fonction de transmission t’(x,y) du système de fente est égale à:

L’onde diffractée est égale à:

L’intensité est égale:

)2

(*),( )2

(*),(),('a

xyxta

xyxtyxt

2kcos),(2 )

2kexp(),()

2exp(),( ),('

)2

(),()2

(),( ),(' )k,k('

xyxxyxxyxyx

yx

aT

aiT

aikT

axTFyxtTF

axTFyxtTFyxtTF

2

cksinc.

2

bksin),( yxyx cbc

x

y

a

o

2

x

2

y

2

x

2

yx2

kcos2

cksinc.

2

bksin4),(

acbcI

55

110

Diffraction de 2 fentes, cas limites

On a donc la répartition d’intensité suivante:

Si a tend vers zéro et b vers l’infini, on retrouve la figure d’interférence « classique »

des fentes de Young.

x

y

a

o

2

x

2

y

2

x

2

yx2

kcos2

cksinc.

2

bsin4),(

akccbI

c

2

2 2

2

x y x y

0x y 0

b c 2( , ) 2 sin k .sinc k 1 cos

2 2

avec I la répartition d'intensité d'une fente2( , ) 2 1 cos

observée individuellement

I bc c XaD

I I XaD

111

Réseau de diffraction Les réseaux de diffraction sont des objets constitués de N motifs identiques

disposés périodiquement. Ce type de structure éclairée par une onde plane génère

plusieurs faisceaux lumineux qui vont se propager dans des directions de

propagation bien particulières.

Ces directions vont dépendent de la période de répétition des motifs et de la

longueur d’onde de l’onde incidente. Le nombre de faisceaux généré dépend

du motif répété.

Si un réseau de diffraction est éclairé par une vibration lumineuse

polychromatique, il en résulte alors une séparation des composantes spectrale

de la vibration lumineuse.

Un réseau de diffraction est donc un outil intéressant pour faire de la

spectrométrie. La plupart des spectromètres optiques que l’on trouve dans le

commerce utilise un réseau de diffraction.

Les réseaux sont faciles à fabriquer et présente une grande souplesse dans le

choix de leurs caractéristiques.

56

112

Réseau: onde diffractée Afin de simplifier les écritures, on va se placer dans un cas unidimensionnel. Soit un réseau

dont le motif a une fonction de transmission f(x). La largeur d’un motif est c . La période du

réseau est a avec a>c. Ce réseau est éclairé en incidence normale sur une largeur b.

La fonction de transmission de ce réseau est égale à:

Dans les conditions de Fraunhofer l’onde diffractée est égale à :

)(xf

)(xt a

b

)()(*)( xpaxfxt b

p

p

c

)( avec )(sin*)( )(

)(sin*)(1

)( )(

)(*)()( )( )k( x

xfTFFbca

mF

a

b

bcba

m

axfTF

xTFpaxTFxfTFxtTF

xxm

m

xxx

xm

m

xx

b

p

p

113

Représentation de l’amplitude de l’onde diffractée

On rappelle que plus une fonction est large et plus sa transformée de Fourrier est étroite. Dans

notre cas b>a>c et on a l’amplitude:

On peut alors faire l’approximation suivante:

)(sin*)( )( bca

mF

a

b xm

m

xxx

)(sin bc x

m

m

xx

a

mF )(

1

c

a

1

x

b

1

sin )( xxx

m

m

ba

mcF

a

b

x( )

x

x

x

57

114

Intensité diffrac