Cours de 6eme

Jean Roussie

13 mai 2014

Chapitre 1

Nombres entiers et nombresdecimaux

1.1 Les entiers naturels

1.1.1 Numerotation decimale

Notre systeme de numerotation est compose de 10 symboles appeles chiffres :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

On parle de numerotation decimale.A partir de ces dix chiffres, on peut ecrire tous les nombres entiers naturels.

Exemples

1.1.2 Entiers naturels

Les entiers naturels sont les premiers nombres utilises dans l’histoire des hommes car ils permettent decompter.

Definition 1.1 (Entiers naturels)— 0 est le plus petit des entiers naturels ;

— Tous les entiers naturels ont un suivant ;

— Si n designe n’importe quel entier naturel, son suivant sera n + 1.

Explications

1.1.3 Ecriture en chiffre des nombres entiers

Dans la numerotation decimale, la position des chiffres est importante.

Classe des milliards Classe des millions Classe des milliers Classe des unitesC D U C D U C D U C D U

8 0 4 5 0 1 8 2

Explications : Chiffres des dizaines de millions, des centaines de mille...

Pour faciliter la lecture, on separe les classes par des espaces : 80 450 182.

Remarque : Ne pas confondre nombre de et chiffre des.

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1.1.4 Ecriture en lettre : Regles d’orthographe

Regle 1.1 (Regles d’ecriture des nombres entiers)1. mille est invariable - Exemple : Quatre mille

2. million et milliard s’accordent - Exemple : Quatre millions

3. ♠ vingt et cent s’accordent sauf :

(a) S’ils sont suivis par un autre nombre - Exemple : Quatre cent quatre-vingts

(b) S’il sont employes pour indiquer un rang - Exemple : Page quatre cent

Exemples

1.2 Qu’est-ce qu’un nombre decimal

1.2.1 Fraction decimale

Definition 1.2 (Fraction decimale)Une fraction decimale est une fraction dont le numerateur est un nombre entier et le denominateur estegal a 10, a 100, a 1000...

Rappel :

Fraction =Numerateur

Denominateur

1.2.2 Nombre decimal

Definition 1.3 (Nombre decimal)Un nombre decimal est un nombre que l’on peut ecrire sous la forme d’une fraction decimale.

Exemples :

— 4, 25 = 425100

— 13 n’est pas un nombre decimal.

1.2.3 Valeur d’un chiffre suivant son rang

Partie entiere Partie Decimale

Classe des milliers Classe des unitesDixiemes Centiemes Milliemes

Centaines Dizaines Unites Centaines Dizaines Unites

× 1000 × 1× 1

10 × 1100 × 1

1000× 100 × 10 × 1 × 100 × 10 × 1

1.2.4 Differentes ecritures d’un nombre decimal

L’ecriture d’un nombre decimal n’est pas unique. On peut trouver d’autre ecritures a l’aide du tableauci dessus. Par exemple :

27, 54 = 2× 10 + 7 + 5× 1

10+ 4× 1

100= 2754× 1

100= . . .

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1.2.5 Precision, valeurs approchees d’un nombre decimal

Definition 1.4 (Precision d’un nombre)On appelle precision d’un nombre le rang du chiffre de plus petit rang que l’on connait de ce nombre.

Regle 1.2 (Valeur approche d’un nombre a une certaine precision)1. La valeur approchee au plus proche d’un nombre a une certaine precision est le nombre de

la precision consideree le plus proche du nombre donne.

2. La valeur approchee par defaut d’un nombre a une certaine precision est le plus grandnombre de la precision consideree inferieur au nombre donne.

3. La valeur approchee par exces d’un nombre a une certaine precision est le plus petitnombre de la precision consideree superieur au nombre donne.

Remarque : Les valeurs approchees par defaut et par exces encadrent le nombre donne :

Valeur approchee par defaut < Nombre < Valeur approchee par exces

1.3 Comparaison et representation des nombres decimaux

1.3.1 Comparaison de deux nombres decimaux

Vocabulaire :

— Le symbole > se lit ”est superieur a”

— Le symbole = se lit ”est egale a”

— Le symbole < se lit ”est inferieur a”

Methode 1.1 (Comparer deux nombres decimaux)Pour comparer deux nombres decimaux, on regarde :

1. Le rang du chiffre de plus haut rang ;

2. Si le rang du chiffre de plus haut rang est le meme, la valeur du chiffre de plus haut rang ;

3. Si la valeur du chiffre de plus haut rang est la meme, la valeur du chiffre du rang immediatementinferieur, et ce jusqu’au premier rang qui nous permette de choisir. . .

Definition 1.5 (Ordre croissant, ordre decroissant)— Ranger par ordre croissant, c’est ranger du plus petit au plus grand ;

— Ranger par ordre decroissant, c’est ranger du plus grand au plus petit.

1.3.2 Reperage sur une demi-droite graduee

Sur une demi-droite graduee, chaque point peut-etre repere a l’aide de sa distance a l’extremite de lademi-droite.

Definition 1.6 (Abscisse d’un point)On appelle abscisse d’un point d’une demi-droite graduee sa distance a l’extremite de la demi droite,exprimee dans l’unite des graduations.

Remarque : Le point O qui est l’extremite de la demi-droite et correspond a l’abscisse 0 est appeleorigine de la graduation.

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Chapitre 2

Distance et cercle

2.1 Objets et outils de la geometrie

2.1.1 Monde reel et monde imaginaire

Le monde decrit par la geometrie est un monde dans lequel les objets sont ideaux, c’est a dire imagi-naires.

2.1.2 Les objets de la geometrie

Un objet geometrique est caracterise par deux choses :

— Sa forme

— Sa dimension

Definition 2.1 (Le point)Le point est le plus petit objet geometrique que l’on puisse imaginer.

Remarques

Definition 2.2 (Objet geometrique)Un objet geometrique est un ensemble de points.

Tous les objets geometriques sont des ensembles de points. Ils sont regroupes en familles ou ensemblespresentant des proprietes communes.

L’ensemble des proprietes qui caracterisent une famille d’objets geometriques s’appelle une definition(figure 2.1 page 5).

2.1.3 Les figures geometriques

Une figure geometrique est une illustration particuliere d’une situation geometrique. Les figuresgeometriques utilisent des conventions de dessin.

Exemple : Representation d’un point

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Un diamètre est une corde passant par le centre du cercleCorde Cercle

Une corde est un corde dont les

extrémités sont sur le

Segment

Cercle

Une cercle est un ensemble de points situés à la même

distance d’un point appelé centre du cercle.

Points

Un segment de droite est la ligne la plus

courte entre deux points.

Ligne

Points

Une ligne est un ensemble non interrompu

de entre deux points appelés extrémitésPoints

Un point est le plus petit objet géométrique que l’on puisse imaginer.

FONDATION

La géométrie est une construction de la pensée dont les briques sont des objets imaginaires qui n’existent que par le sens que nous leur donnons : Leur définition.

Ne pas connaître la définition d’un objet empêche de comprendre tous les objets qui sont construits à partir de celui-ci.

Figure 2.1 – Une construction imaginaire au service de la realite

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2.1.4 Les outils de la geometrie

Les outils de la geometrie servent a tracer des figures representant des objets geometriques.

Les outils de bases de la geometrie sont :

— La regle : Sert a tracer des traits et a mesurer des distances.

— La compas : Sert a reporter des distances

— L’equerre : Sert a tracer des perpendiculaires et des paralleles.

2.2 Droites et distances

2.2.1 Ligne droite entre deux points

Definition 2.3 (Ligne)Une ligne est une ensemble de points qui relie sans interruption deux points appeles extremites de laligne.

Definition 2.4 (Ligne droite)Entre deux points, parmi toutes les lignes les reliant, la ligne droite est la ligne dont la longueur est laplus petite.

La ligne droite est le plus court chemin d’un point a un autre.

Definition 2.5 (Segment de droite)Soient A et B deux points. On appelle segment de droite [AB] la ligne droite dont A et B sont lesextremites.

2.2.2 Droites et demi-droites

Definition 2.6 (Droite)On appelle droite une ensemble de points qui n’a ni debut, ni fin, et dont tout morceau non interrompuest un segment de droite.

Notations 2.1 (Droite definie par deux points)La droite definie par les points A et B est notee (AB).

Remarque : Points alignes.

Definition 2.7 (Demi-droite)Soit A et B deux points.La partie de la droite (AB) qui commence au point A, comprend le point B et continue sans interruptionjusqu’a l’infini s’appelle la demi-droite [AB).

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Notation

Segment [AB]

Droite (AB)

Demi-droite [AB)

Distance AB AB = 5 cm par exemple

2.3 Ensembles de points - Cercles

2.3.1 Rappels sur les ensembles

Un ensemble est un regroupement d’objets.

Definition 2.8 (Element d’un ensemble)Un objet appartenant a un ensemble est un element de l’ensemble.

Notations 2.2 (Appartenance et non appartenance a un ensemble)Soit x est un objet et A est un ensemble. On note :

— x est un element de A : x ∈ A

— x n’est pas un element de A : x 6∈ A

Definition 2.9 (Egalite de deux ensembles)Soient A et B deux ensembles : Si tous les elements de A sont aussi des elements de B et que tous leselements de B sont aussi des elements de A, on dit que les ensembles A et B sont egaux.

On note que A et B sont egaux : A = B

Definition 2.10 (Intersection et reunion de deux ensembles)Soient A et B deux ensembles :

— L’intersection des ensembles A et B et l’ensemble des objets appartenant a la fois a A et a B.

On note l’intersection de A et B : A⋂

B

— La reunion des ensembles A et B et l’ensemble des objets appartenant a A ou a B.

On note la reunion de A et B : A⋃

B

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Figure 2.2 – Ensembles

2.3.2 Cercle

Definition 2.11 (Ligne fermee)Une ligne fermee est une ligne dont le parcours ramene au point de depart.

Une ligne fermee permet de separer un interieur dont on peut determiner la surface et un exterieur dontla surface est infinie.

Remarque : Une ligne fermee n’a pas d’extremites.

Definition 2.12 (Cercle)Un cercle de centre O est l’ensemble de tous les points situes a une meme distance du centre O.Cette distance est appelee rayon du cercle.

Definition 2.13 (Segments associes a un cercle)— Rayon : Un rayon d’un cercle est un segment de droite dont une des extremites est le centre du

cercle et l’autre extremite est un point du cercle.

— Corde : Une corde d’un cercle est un segment de droite dont les extremites sont des points ducerle.

— Diametre : Un diametre d’un cercle est une corde du cercle passant par son centre.

Exemples :

— O : Le centre du cercle C ;

— [OA], [OB] et [OC] : Des rayons du cercle C ;

— [AB] et [AC] : Des cordes du cercle C ;

— [AC] : Un diametre du cercle C.

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Figure 2.3 – Rayon, corde, diametre et arc de cercle

Definition 2.14 (Arc de cercle)Une partie de cercle delimitee par deux points est appelee un arc de cercle

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Chapitre 3

Addition, soustraction etmultiplication de decimaux

3.1 Addition et soustraction de decimaux

3.1.1 Vocabulaire

Definition 3.1 (Somme et difference - Terme)— Une somme est le resultat d’une addition ;

— Une difference : est le resultat d’une soustraction ;

— Les nombres entrant en jeu dans une somme ou oun difference sont appeles des termes.

Exemples :

— 5 + 3 est une somme dont les termes sont 5 et 3 ;

— 5− 3 est une difference dont les termes sont 5 et 3.

Remarques :

— Lorsqu’on effectue la somme de deux termes, on dit qu’on les ajoute ou qu’on lesadditionne ;

— Lorsqu’on effectue la difference de deux termes, on dit qu’on soustrait ou qu’on retranchele second terme au premier.

3.1.2 Technique

Methode 3.1 (Poser une addition ou une soustraction)Pour poser une addition ou une soustraction, on aligne sur une meme colonne les chiffres de meme rang.On effectue le calcul dans l’ordre croissant des rangs (de la droite vers la gauche) sans oublier les retenues.

1 21 51 , 6

+ 5 8 , 6 2

1 8 4 , 2 2

1 12 15 , 16 10

− 1 51 81 , 61 2

6 6 , 9 8

Remarque : Pour aligner les chiffres de meme rang, il suffit d’aligner les virgules et de bien faire attentiona n’ecrire qu’un seul chiffre par colonne.

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3.1.3 Ordre de grandeur d’une somme

Pour calculer l’ordre de grandeur d’une somme ou d’une difference, on va remplacer les termes pardes valeurs approchees avec lesquelles le calcul sera facile a effectuer de tete.Les valeurs approchees choisies devront etre de meme precision.

Remarque : Ordre de grandeur au plus proche, par exces ou par defaut.

3.1.4 Ordre des termes dans une somme ou une difference

Methode 3.2 (Sens de calcul)Lorsqu’une expression ne comprend que des additions et des soustractions, le calcul s’effectue dans lesens de lecture : De la gauche vers la droite.

Exemple :

Methode 3.3 (Changement de l’ordre des termes)Pour modifier l’ordre des termes sans modifier le resultat du calcul, il faut deplacer avec le terme le signeoperatoire qui le precede.

Exemple :Remarque : Si une operation ne comprend que des additions, on peut changer l’ordre des termescomme on veut.

3.1.5 Calcul avec des durees

Methode 3.4 (addition et soustraction de durees)Les durees s’expriment en systeme sexadecimal.On procede des plus petites durees (secondes) vers les plus grandes sans oublier les retenues :

— 1 minute = 60 secondes

— 1 heure = 60 minutes

— 1 jour = 24 heures

— 1 semaine = 7 jours

— ...

51 j 11 61 h 21 71 mn 41 6 s

+ 4 j 1 8 h 5 2 mn 5 5 s

1 s 10 03 j 31 51 h 82 0 mn 104 1 s

5 j 14 160 h 28 7 mn 410 6 s

− 41 j 11 81 h 5 21 mn 5 5 s

0 j 2 1 h 3 4 mn 5 1 s

3.2 Multiplication de decimaux

3.2.1 Vocabulaire

Definition 3.2 (Produit - Facteur)— Un produit est le resultat d’une multiplication

— Les nombres entrant en jeu dans un produit sont appeles des facteurs.

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Exemple :

3.2.2 Technique

La methode consistant a poser une multiplication a ete vue en primaire.

Methode 3.5 (Poser une multiplication)a. On pose un facteur sur chaque ligne et on multiplie le premier facteur par chaque chiffre du second :

— Dans l’ordre croissant des rangs ;

— Sans oublier les retenues ;

— En changeant de ligne et en decalant le resultat vers la gauche a chaque rang.

b. On effectue l’addition des nombres obtenus ;

c. On decale la virgule vers la gauche de la somme des nombres de chiffres apres la virgule dans lesdeux facteurs.

1 1 5 , 6

× 5 8 , 6 2

1 1 1 21 3 1 2

6 9 3 6 0

9 2 4 8 0 0

5 7 8 0 0 0 0

6 7 7 6 , 4 7 2

3.2.3 Table de multiplication

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 6 8 10 12 14 16 18 20

9 12 15 18 21 24 27 30

16 20 24 28 32 36 40

25 30 35 40 45 50

36 42 48 54 60

49 56 63 70

64 72 80

81 90

100

— 1ere ligne : Nombres de 1 a 10

— La 1ere ligne et la 1ere colonne sont composeesdes meme nombres dans le meme ordre, la2nde ligne et la 2nde colonne aussi et ainsi desuite. Si on connait les nombres d’une ligne,on connait ceux de la colonne correspondante.

— 2nde ligne : Nombres pairs de 2 a 20.

— 3eme ligne : La table de 3 est facile amemoriser.

— 4eme ligne : La table de 4 se retrouve facile-ment a partir de la table de 5.

— 5eme ligne : La table de 5 est facile amemoriser.

— 6eme ligne : La table de 6 se retrouve facile-ment a partir de la table de 5.

— 7eme ligne : Il faut apprendre 7× 7 et 7× 8.

— 8eme ligne : Il faut apprendre 8× 8.

— 9eme ligne : Regle des doigts

— 10eme ligne : Dizaines de 10 a 100.

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3.2.4 Multiplication par une puissance de 10

Methode 3.6 (Multiplier par une puissance de 10)Multiplier un nombre decimal par une puissance de 10 revient a deplacer la virgule de ce nombre :

— Du meme, nombre de rangs

— Dans le meme sens

Que l’on doit deplacer la virgule a partir de 1 pour obtenir la puissance de 10.

3.2.5 Ordre de grandeur d’un produit

Definition 3.3Ordre de grandeur d’un nombre] L’ordre de grandeur d’un nombre est sa valeur approchee a la precisionde la valeur du rang de chiffre de plus haut rang.

Exemples :

— 7389 ' 7000

— 0,006 71 ' 0,007

Remarque : Un ordre de grandeur peut s’ecrire sous la forme du produit d’un nombre entier comprisentre 1 et 9 et d’une puissance de 10 :

— 1700 ' 2000 = 2× 1000

— 0,003 51 ' 0,004 = 4× 0,001

Methode 3.7 (Ordre de grandeur d’un produit)L’ordre de grandeur d’un produit de facteurs s’obtient en effectuant le produit des ordres de grandeursdes facteurs.

Remarque :

— Resultat plausible 6= aberrant.

— Multiplier n’agrandit pas toujours

3.2.6 Regles de calcul mental

Methode 3.8 (Regles de calcul mental)Pour effectuer mentalement le calcul de l’ ordre de grandeur d’un produit il faut bien connaıtre :

— Les tables de multiplication de 1 a 12.

— Les regles de multiplication par les puissances de 10 (. . .1000, 100, 10, 0,1, 0,01. . .).

— Connaıtre la table de 25 :

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

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Chapitre 4

Paralleles et perpendiculaires

4.1 Droites et demi-droites

4.1.1 Notations

La definition d’une droite a ete donnee precedemment (definition 2.6 page 6). Nous allons preciser lesnotations utilisees pour les designer :

Notations 4.1 (Droites)Une droite se note a l’aide de parentheses :

— (AB) est la droite passant par les points A et B ;

— (d) est la droite nommee ”d”.

Remarque : Pour ne pas confondre une droite designee par son nom et une droite designee par deuxpoints, on ne nomme une droite que par une lettre unique. On peut par contre, s’il y a plus d’unedroite a considerer, utiliser :

— Un indice, qui est une lettre ou un nombre ajoute en bas a droite du nom : (d0), (d1), (da)...

— Un ou plusieurs apostrophes : (d′) (d ”prime”), (d′′) (d ”seconde”)...

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4.1.2 Droite support d’un segment et d’une demi-droite

Les definition d’une demi-droite (definition 2.7 page 6) et d’un segment de droite (definition 2.5 page6) ont ete donnees precedemment.

Definition 4.1 (Droite support d’un segment de droite ou d’une demi-droite)La droite support d’un segment (ou d’une demi-droite) est la droite dont ce segment (ou cette demi-droite) est une partie.

Exemples :

— La droite support de [AC] est (AC) ;

— La droite support de [BA) est (AB) ;

— La droite support de (BC] est (BC).

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4.2 Position relatives des droites et demi-droites

4.2.1 Droites secantes, droites paralleles

Deux droites ne peuvent etre que secantes ou paralleles.

Definition 4.2 (Droites secantes)Deux droites secantes sont deux droites dont l’intersection est un point unique.

Ce point est appele point d’intersection des deux droites.

(figure 4.1)

Remarque : Les droites etant par definition infinies, deux droites secantes peuvent se croiser en dehorsd’une figure.

Definition 4.3 (Droites paralleles)Deux droites qui ne sont pas secantes sont paralleles.On dit que deux droites paralleles ont meme direction.

(figure 4.1)

Propriete 4.1 (Droites paralleles)Si deux droites sont paralleles, alors :

— Soit elles n’ont aucun point en commun ;

— Soit elles ont tous leurs points en commun et sont confondues.

(figure 4.1)

Notations 4.2 (Droites paralleles)On note que deux droites sont paralleles en ecrivant le symbole ‖ entre elles :

(d) parallele a (d′) peut s’ecrire : (d) ‖ (d′) ”

Figure 4.1 – Secantes et paralleles

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Dessin : La parallele a une droite se trace a l’aide d’une regle et d’une equerre.

4.2.2 Perpendicularite, droites perpendiculaires

Definition 4.4 (Pied d’une perpendiculaire)Soient (d) une droite et A un point. On appelle pied de la perpendiculaire a (d) en A le point de(d) le plus proche de A.

(figure 4.2)

Figure 4.2 – Pied de la perpendiculaire a (d) en M : H

Definition 4.5 (Droites perpendiculaires)Soient (d) et (d′) deux droites.Elles sont perpendiculaires signifie que le pied de la perpendiculaire a (d) de tous les points de (d′)est element de (d′).

On note : (d) ⊥ (d′)

(figure 4.3)

Remarques :

— ”Angle droit” et sa representation symbolique.

— Des droites perpendiculaires sont secantes.

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(a) Droites perpendiculaires (b) Droites non perpendiculaires

Figure 4.3 – Perpendicularite de deux droites

4.2.3 Droites concourantes

Definition 4.6 (Droites concourantes - Point de concours)Des droites qui se coupent en un meme point sont appelees droites concourantes.Leur point d’intersection unique est appele point de concours.

(figure 4.4)

Figure 4.4 – Droites concourantes

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4.3 Proprietes et objets a connaıtre

En mathematiques, une propriete sert a prouver (on dit a demontrer) quelque chose, elle permet deconclure quelque chose que quelque chose est vrai a partir de conditions realisees.

Une propriete se presente generalement sous la forme :

Si conditions alors conclusion.

Exemple : Si a est un passereau alors a est un oiseau.

Le moineau est un passereau, donc le moineau est un oiseau.La vache n’est pas un oiseau, donc la vache n’est pas un passereau (en effet, si la vache etait un passereau,alors la vache serait un oiseau).

4.3.1 Proprietes des droites paralleles et perpendiculaires

Propriete 4.2 (Axiome d’Euclide)Par un point, on peut faire passer une droite unique qui est parallele a une droite donnee.

(figure 4.5)

Remarque : L’axiome d’Euclide ne peut pas etre prouve, c’est la ”fondation” de la geometrie classique.

Propriete 4.3 (Perpendiculaire passant par un point)Par un point, on peut faire passer une droite unique qui est perpendiculaire a une droite donnee.

(figure 4.5)

(a) Axiome d’Euclide (b) Perpendiculaire en un point

Figure 4.5 – Parallele et perpendiculaire passant par un point

Propriete 4.4 (Droites perpendiculaires a une droite donnee)Si deux droites sont perpendiculaires a une droite donnee, alors elles sont paralleles entre elles.

Exemple :

Soient (d1), (d2) et (d) trois droites telles que (d1) ⊥ (d) et (d2) ⊥ (d), on a donc (d1) ‖ (d2) (figure 4.6).

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Propriete 4.5 (Droites paralleles perpendiculaires a une droite donnee)Soient deux droites paralleles.

Si une droite est perpendiculaire a une droite donnee, alors la deuxieme droite est aussi perpendi-culaire a cette droite donnee.

Exemple :

Soient (d1), (d2) et (d) trois droites telles que (d1) ‖ (d2) et (d1) ⊥ (d), on a donc (d2) ⊥ (d) (figure 4.6).

Propriete 4.6 (Droite parallele a des droites parallele)Si deux droites sont paralleles, alors toute droite parallele a l’une est aussi parallele a l’autre.

Exemple :

Soient d, (d1), (d2) et (d′) trois droites telles que (d1) ‖ (d2) et (d1) ‖ (d), on a donc (d2) ‖ (d) (figure 4.6).

Propriete 4.7 (Secante a des droites paralleles)Si deux droites sont paralleles, alors toute droite secante a l’une est aussi secante a l’autre.

Exemple :

Soient (d′), (d1) et (d2) trois droites telles que (d1) ‖ (d2) et (d′) secante a (d1).On a donc (d′) secante a (d2) et (d). (figure 4.6).

4.3.2 Mediatrice d’un segment

Definition 4.7 (Mediatrice d’un segment)La mediatrice d’un segment est l’ensemble des points equidistants des extremites de ce segment.

Propriete 4.8 (Mediatrice d’un segment)La mediatrice d’un segment est la droite perpendiculaire a ce segment et qui passe par son milieu (figure4.7).

Remarque : Une mediatrice se trace au compas.

Remarques : Si (d) est la mediatrice de [AB] et que C ∈ [AB], alors on peut en deduire trois choses :

— AC = BC ;

— (d) ⊥ (AB) ;

— (d) coupe [AB] en son milieu.

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(a) Perpendiculaires a une droite (b) Paralleles a une droite

Figure 4.6 – Proprietes des perpendiculaires et des paralleles

Figure 4.7 – Mediatrice d’un segment

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4.3.3 Triangles particuliers

Definition 4.8 (Triangle rectangle)Un triangle rectangle est un triangle dont deux cotes sont perpendiculaires.

Remarque : Triangle rectangle ”en un point”.

Definition 4.9 (Triangle isocele)Un triangle isocele est un triangle dont deux cotes ont la meme longueur.

Dessin : Un triangle isocele se trace au compas.

Remarque : Triangle isocele ”en un point”.

Remarque : Triangle isorectangle.

Definition 4.10 (Triangle equilateral)Un triangle equilateral est un triangle dont les 3 cotes ont meme longueur.

Remarque : Tous les triangles equilateraux ont meme ”forme”

Remarque : Tous les triangles equilateraux sont des triangles isoceles.

La reciproque n’est pas vraie : Tous les triangles isoceles ne sont pas des triangles equilateraux.

4.3.4 Quadrilateres particuliers

— Trapezes

— Parallelogrammes

— Rectangles

— Losanges

— Carres

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Chapitre 5

La division

5.1 Division euclidenne de deux nombres entiers

5.1.1 Multiples et diviseurs d’un nombre entier

Definition 5.1 (Multiples d’un nombre entier)Soit a un nombre entier. Les multiples de a sont les produits de a par un nombre entier :

{0× a; 1× a; 2× a; 3× a; 4× a; 5× a; 6× a; ...}

Exemples :

— 15 = 3× 5 et 20 = 4× 5 sont des multiples de 5.

— 12 = 3× 4 et 15 = 3× 5 sont des multiples de 3.

Definition 5.2 (Diviseurs d’un nombre entier)Soit a un nombre entier.Le nombre b 6= 0 est un diviseur de a signifie que a est un multiple de b.

Exemples :

— 15 = 3× 5× 1 : 3, 5 et 1 sont des diviseurs de 15.

— 48 = 3× 4× 2× 1 : 3, 4, 2 et 1 sont des diviseurs de 48.

Definition 5.3 (Nombre premier)Un nombre qui n’a pour diviseurs que 1 et lui meme est un nombre premier.

Exemple : Les 10 plus petits nombres premiers sont :

{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29...}

Propriete 5.1 (Produit de diviseur)Si les nombres a et b sont deux nombres premiers diviseurs du nombre c ,alors le produit a× b est aussi un diviseur de c.

Exemples :

— 30 = 3× 5× 2⇒3 ; 5 et 2 sont des nombres premiers diviseurs de 30 :3× 5 = 15 ; 3× 2 = 6 et 5× 2 = 10 sont donc aussi des diviseurs de 30.

— 45 = 3× 3× 5⇒3 ; 5 sont des nombres premiers diviseurs de 30 :3× 5 = 15 et 3× 3 = 9 sont donc aussi des diviseurs de 45.

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5.1.2 Criteres de divisibilite

Nombre Critere de divisibilite Exemples

1 1 est un diviseur de tous les nombres entiers.

2 2 est un diviseur de tous les nombres pairs (2 ; 4 ; 6 ;...) 8 ; 236 ; 12 864

3 La somme des valeurs des chiffres du nombre doit etre divisible par 3. 3 diviseur de 2 247 :2 + 2 + 4 + 7 = 15

4 Le nombre forme par les 2 derniers chiffres doit etre un divisiblepar 4.

104 ; 45 616

5 Un nombre admet 5 pour diviseur s’il finit par les chiffres 0 ou 5 35 ; 150 ; 12345

6 Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 3 et divisible par2.

636 ; 1626

9 La somme des valeurs des chiffres du nombre est divisible par 9. 1 251 ; 362 718

10 Le dernier chiffre est 0. 450 ; 1200

5.1.3 Division euclidienne de deux entiers

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