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Cours de 6ème – M.ARDHUIN- Collège Fénelon à Cambrai

1 | P a g e

Chapitre G1 : Points, droites, demi-droites, segments, polygones


2 | P a g e

Un polygone est une figure géométrique plane fermée, formée par la succession d’au moins trois

segments appelés côtés. Le point commun à deux côtés successifs s’appelle sommet.

Les polygones les plus connus sont le triangle, à trois côtés ; le quadrilatère, qui a quatre côtés et qui

comprend comme formes particulières le carré, le losange, le rectangle, le trapèze et le

parallélogramme ; le pentagone, à cinq côtés ; l’hexagone à six côtés ; l’octogone, à huit côtés.


3 | P a g e

Chapitre G2 : A propos de longueurs

1/ Longueur d’un segment (notation AB, unités de longueur)

2/ Milieu d’un segment (définition, codage)

3/ Périmètre d’une figure (définition, cas particulier des polygones)

1/ Longueur d’un segment

On note AB la longueur d’un segment [AB].

La longueur d’un segment est déterminée dans une unité de longueur.

Les unités de longueur usuelles sont consignées dans le tableau suivant :

kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre

km hm dam m dm cm mm 1 , 7

2 3 , 5

Ce tableau permet d’effectuer facilement des conversions d’unités de longueur.

Par exemple : 1,7 m = 170 cm

23,5 dm = 0,0235 hm.

Une règle graduée permet d’évaluer la longueur d’un segment en centimètre ou en millimètre.

Par exemple :

CD = 6,7 cm = 67 mm

2/ Milieu d’un segment

Définition : Le milieu d’un segment [AB] est l’unique point I de ce segment tel que : IA=IB.

Le milieu d’un segment est équidistant (c'est-à-dire « à égale distance ») des extrémités de ce segment.

Le codage indique que le point I est le milieu de [AB].

3/ Périmètre d’une figure

Définition : Le périmètre d’une figure est la longueur de son pourtour.

Cas particulier : le périmètre d’un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.

Périmètre d’un cercle = diamètre ( 3,14)

C D

A

B I


4 | P a g e

Chapitre G3 : Utilisation d’un compas

1/ Report d’une longueur (applications : périmètre d’un polygone, comparaison de

périmètres)

2/ Cercles (définition, vocabulaire : centre, rayon, corde, diamètre)

3/ Constructions de triangles (connaissant les longueurs des côtés)

4/ Triangles particuliers (isocèle et équilatéral) : définitions et construction

5/ Losanges : définition et construction

1/ Report d’une longueur

Le compas est l’outil à utiliser pour reporter une longueur.

Par exemple :

Longueur à reporter

Longueur reportée

Exemples d’application (seul outil autorisé: le compas) :

Construire sur [Mx) le point N tel que MN soit égale au périmètre du triangle ABC

ci- dessous :

Comparer les périmètres des figures suivantes :

2/ Cercles

Définition :

O étant un point donné et r un nombre strictement positif, le cercle de centre O et de

rayon r est constitué des points situés à une distance r de O et seulement de ceux-là.

Par conséquent : Si un point M appartient au cercle de centre O et de rayon r, alors OM= r.

Réciproquement :

Si OM = r, alors M appartient au cercle de centre O et de rayon r.

M

A B

C

x

Figure 1 Figure 2


5 | P a g e

Par exemple :

Vocabulaire :

Un rayon du cercle : segment joignant le centre du cercle à un point du cercle.

(Ex : [OM])

Une corde du cercle : segment joignant deux points du cercle.

(Ex : [CD])

Un diamètre du cercle : corde passant par le centre du cercle.

(Ex : [KL])

Un arc de cercle : portion (continue) de cercle délimitée par deux points de ce cercle.

3/ Constructions de triangles (connaissant les longueurs des côtés)

Etude d’un exemple :

Construire un triangle DEF tel que : DE = 6,5 cm , DF = 6 cm et EF = 5,5 cm.

Etapes de la construction :

1- On trace [DE] tel que DE = 6,5 cm.

2- Dire que DF = 6 cm équivaut à dire que F appartient au cercle C de centre D et

de rayon 6 cm. On trace ce cercle C.

3- Dire que EF = 5,5 cm équivaut à dire que F appartient au cercle C ’ de centre E

et de rayon 5,5 cm. On trace ce cercle C ’.

4- F est donc l’un des points d’intersection (s’il existe) des cercles C et C ’.

O

M

C

C cercle de centre O et de

rayon 3,5 cm.

OM = 3,5 cm , M C

3,5 cm

C

D

A illustrer


6 | P a g e

4/ Triangles particuliers

a/ Triangle isocèle

Définition : Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur.

Construction et vocabulaire :

b/ Triangle équilatéral

Définition : Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de la même

longueur.

Un exemple :

BASE

Sommet principal

R S

T

RST triangle isocèle de

sommet principal T.

Plus simplement : on dit que

RST triangle isocèle en T.


7 | P a g e

5/ Losanges

Définition : Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur.

Un exemple de construction :


8 | P a g e

Chapitre G4 : Utilisation d’une équerre

1/ Droites perpendiculaires

a/ Définition, codage, notation

b/ Construction fondamentale

c/ Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces

droites sont parallèles.

2/ Droites parallèles a/ Définition, notation //


c/ Propriétés relatives au parallélisme

Si deux droites sont parallèles, alors :

toute parallèle à l’une l’est à l’autre ;

toute perpendiculaire à l’une l’est à l’autre.

3/ Parallélogrammes, triangles rectangles, rectangles et carrés : définitions et construction

1/ Droites perpendiculaires

a/ Définition et notation

Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont appelées droites

perpendiculaires.

Notation :

Ci-dessus, les droites d et d’ sont perpendiculaires, ce qui se note :

d d’


Objet de la construction : Tracer la perpendiculaire à une droite d donnée passant par un

point A donné.

(d’après le cinquième postulat d’Euclide, cette droite existe et est unique)

d

d’

A illustrer


9 | P a g e

c/ Propriété :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces droites sont

parallèles.

D et D’ donc D // D’ .

2/ Droites parallèles

a/ Définition et notation

Deux droites qui ne sont pas sécantes sont appelées droites parallèles.

Notation :

Ci-dessus, les droites d et d’ sont parallèles, ce qui se note :

d // d’

d

d’

D D’


10 | P a g e


Objet de la construction : Tracer la parallèle à une droite d donnée passant par un point

A donné.

(d’après le cinquième postulat d’Euclide, cette droite existe et est unique)

c/ Propriétés relatives au parallélisme

Si deux droites sont parallèles, alors :

toute parallèle à l’une l’est à l’autre ;

toute perpendiculaire à l’une l’est à l’autre.

D // D’ et // D donc // D’ D // D’ et D donc D’

3/ Parallélogrammes, triangles rectangles, rectangles et carrés

a/ Parallélogrammes

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés

parallèles.

Exemple :

D

D’

D

D’

A illustrer


11 | P a g e

b/ Triangles rectangles

Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

Exemple :

c/ Rectangles

Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.

Exemple :

d/ Carrés

Définition : Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses

quatre côtés de la même longueur.

Exemple :

Remarque : Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.


12 | P a g e

Chapitre G5 : Utilisation d’un rapporteur

1/ Les Angles a/ Définitions (angle, côtés de l’angle, sommet de l’angle)

b/ Notation

c/ Notation simplifiée

2/ Mesure d’un angle a/ Comparaisons d’angles (avec gabarits, relativement à l’angle droit)

b/ Une unité de mesure : le degré

c/Un outil de mesure : le rapporteur (découverte de l’outil)

d/ Vocabulaire (nul, plat, droit, aigu, obtus)

3/ Utilisation d’un rapporteur

a/ Mesure d’un angle

b/ Construction d’un angle de mesure donnée

4/ Constructions de figures usuelles : exemples

1/ Les angles

a/ Définitions

Un angle est formé par deux demi-droites de même origine, appelées les côtés

de l’angle.

L’origine commune aux deux côtés s’appelle le sommet de l’angle.

Exemple :

Les cotés de l’angle sont : [Ox) et [Oy).

Son sommet est O.

b/ Notation

L’angle ci-dessus se note : xOy ou yOx

La deuxième lettre désigne le sommet de l’angle.

O

y

x


13 | P a g e

c/ Notation simplifiée

Lorsqu’il n’y pas de risque de confusion des angles, on peut simplifier la notation

« à trois lettres » en ne notant que la lettre désignant le sommet de l’angle.

Par exemple, l’angle précédant peut se noter O .

Exemples :

Angle

Notation

« à trois lettres »

BAC

CAB

CBx

xBC

ACB

BCA

Notation simplifiée

A

N’existe pas

C

2/ Mesure d’un angle

a/ Comparaison d’angles

Comparer deux angles ne signifie pas comparer les longueurs des côtés mais

« l’ouverture » de ces côtés.

La comparaison peut facilement se faire par l’intermédiaire de gabarits réalisés sur papier-

calque.

Exemple 1 :

angle 2 angle 1

A B

C x


14 | P a g e

Exemple 2 :

b/ Une unité de mesure

Pour évaluer « l’ouverture » d’un angle, on va utiliser (au collège) une unité de mesure

appelée le degré.

Définition d’un degré : Un degré (noté °) est la mesure d’un angle dont « l’ouverture »

serait égale à 90

1de « l’ouverture » d’un angle droit.

Par conséquent, la mesure d’un angle droit est égale à 90°.

c/ Le rapporteur

D’après ce qui précède, un outil de mesure de forme circulaire serait idéal pour mesurer les

angles. Voici une ébauche de cet outil :

Un tel outil s’appelle un rapporteur.

Généralement, un rapporteur est de forme semi-circulaire.

0°

10°

20°

30°

40°

90°

170°

180°

angle 1

angle 2


15 | P a g e

d/ Vocabulaire

3/ Utilisation d’un rapporteur

a/ Mesure d’un angle

Les rapporteurs pratiques à utiliser sont :

- soit doublement gradués en degrés ;

- soit gradués en degrés et réversibles (rapporteurs translucides).

Un exemple de mesure :

0°

10°

20°

30°

40°

90°

170°

180° O

x

y

Centre du rapporteur au

sommet de l’angle

Graduation 0° aligné

avec un côté de l’angle

Lecture de la

mesure : 35°


16 | P a g e

b/ Construction d’un angle de mesure donnée

Etude d’un exemple : Construire un angle xOy de mesure 25°.

On trace un côté de l’angle, par exemple [Ox) ;

4/ Constructions de figures usuelles : exemples

a/ Construction de triangles

Construire un triangle DEF tel que DE = 6 cm, D = 35° et E = 50°.

Construire un triangle RST tel que RS = 6 cm, RT = 5 cm et R = 40°.

b/ Construction de losanges

Construire un losange ABCD tel que AB = 3,5 cm et BAD = 30°.

Construire un losange EFGH tel que EF = 3 cm et FEG = 25°.

c/ Construction de rectangles

Construire un rectangle KLMN tel que KL = 6 cm et LKM = 20°.

0°

10°

20°

30°

40°

90°

170°

180° O

x

y

Centre du rapporteur au

sommet de l’angle

Graduation 0° aligné

avec [Ox)

Tracé de [Oy) tel

que xOy = 25°.


17 | P a g e

Chapitre G6 : La symétrie axiale

1/ A la découverte de la symétrie axiale (par pliage sur papier-calque)

2/ Propriétés de conservation d’une symétrie axiale a/ Conservation des longueurs et des angles géométriques

b/ Conservation de l’alignement et des milieux

3/ Médiatrice d’un segment et points symétriques

a/ Définition

b/ Symétrique d’un point, points symétriques

c/ Propriété caractéristique des points de la médiatrice d’un segment

d/ Construction à la règle et au compas de la médiatrice d’un segment

e/ Construction de l’image d’un point par une symétrie axiale

4/ Construction de l’image d’une figure

a/ Point par point

b/ Image d’une droite par une symétrie axiale

c/ Image d’un cercle par une symétrie axiale

5/ Axe(s) de symétrie d’une figure a/ Définition

b/ Quelques exemples

1/ A la découverte de la symétrie axiale

Etape 1 : Situation initiale.

Feuille de papier-calque

d

F


18 | P a g e

Etape 2 : On plie la feuille le long de la droite d puis on décalque la figure.

Etape 3 : On déplie la feuille.

Les figures F et F ’ sont dites symétriques par rapport à la droite d.

On dit aussi que F ’ est l’image de F par la symétrie axiale d’axe d.

F

F ’



d

d


19 | P a g e

2/ Propriétés de conservation d’une symétrie axiale

a/ Conservation des longueurs et des angles géométriques

Propriété :

Deux figures symétriques par rapport à une droite sont superposables.

Autrement dit :

- L’image d’un segment par une symétrie axiale est un segment de même longueur ;

- L’image d’un angle géométrique par une symétrie axiale est un angle de même mesure.

On dit qu’une symétrie axiale conserve les longueurs et les angles géométriques.

b/ Conservation de l’alignement

On déduit de la propriété précédente ce qui suit.

Propriété :

Une symétrie axiale conserve l'alignement ainsi que l'ordre d'alignement.

Autrement dit :

- Trois points alignés ont pour images par une symétrie axiale trois points alignés

dans le même ordre.

3/ Médiatrice d’un segment et points symétriques

a/ Définition

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

b/ Symétrique d’un point, points symétriques

M et M’ étant deux points distincts :

Dire que M’est le symétrique de M par rapport à une droite d revient à dire que la droite

d est la médiatrice de [MM’].

Par conséquent, si M’est le symétrique de M par rapport à d, alors M est le symétrique de M’ par rapport à d : on dit que M et M’ sont symétriques par rapport à d.

Le symétrique d’un point A appartenant à l’axe de la symétrie est le point A lui-même.


20 | P a g e

ILLUSTRATION :

c/ Propriété caractéristique des points de la médiatrice d’un segment

Propriété :

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des

extrémités de ce segment.

Réciproquement :

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la

médiatrice de ce segment.

M et N appartiennent à la médiatrice de [AB], donc MA=MB et NA=NB.

M

N

A B

F

F ’


d


21 | P a g e

d/ Construction à la règle et au compas de la médiatrice d’un segment

e/ Construction de l’image d’un point par une symétrie axiale

Nous effectuerons cette construction à l’aide d’un compas.

Pour construire le point A’ symétrique du point A par rapport à la droite d, on procède comme

suit :

On considère deux points M et N distincts sur la droite d ;

On reporte à l’aide d’un compas les longueurs MA et NA ;

On obtient deux arcs de cercle qui se coupent en A’.

d

A x

M

N

A’

A B

Ecartement de compas supérieur à la

moitié de AB.


22 | P a g e

4/ Construction de l’image d’une figure

a/ Point par point

b/ Image d’une droite par une symétrie axiale

’

A

A’

B

B’

M

N

On considère deux points distincts A et B sur la droite , puis on en construit les images

A’ et B’. L’image de est alors la droite ’ passant par A’ et B’.

d

A

A’

B

B’

C

C’

F

F ’

d M

N

On construit les images des sommets.


23 | P a g e

c/ Image d’un cercle par une symétrie axiale

5/ Axe(s) de symétrie d’une figure

a/ Définition

Une figure F admet un axe de symétrie d si l’image de F par la symétrie axiale d’axe d

est la figure F elle-même.


Pas d’axe se symétrie

+

+

A

A’

M

N

d

C

C ’

On construit l’image A’ du centre A du cercle C.

L’image du cercle C est le cercle C ’ de centre A’ de même rayon que C .


24 | P a g e

Chapitre G7 : Axe(s) de symétrie des figures usuelles – Conséquences

1/ Triangle isocèle a/ Axe de symétrie

b/ Propriété angulaire

2/ Triangle équilatéral

a/ Axes de symétrie


3/ Losange a/ Axes de symétrie

b/ Propriété des diagonales

4/ Bissectrice d’un angle

a/ Définition

b/ Construction à la règle et au compas

5/ Rectangle


b/ Propriété des côtés

c/ Propriété des diagonales

6/ Carré a/ Axes de symétrie


1/ Triangle isocèle

a/ Axe de symétrie

Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.


25 | P a g e


2/ Triangle équilatéral


Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.


Les angles d’un triangle équilatéral sont égaux.

Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux.


26 | P a g e

3/ Losange


Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.


4/ Bissectrice d’un angle

a/ Définition

La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles de même

mesure.

Un angle a un axe de symétrie : sa bissectrice.

y

z

[Oz) est la bissectrice de l’angle xOy.

xOz = zOy = 2

xOy

Les diagonales d’un losange se coupent

en leur milieu et sont perpendiculaires.

x O


27 | P a g e

b/ Construction à la règle et au compas

La construction de la bissectrice d’un angle repose sur celle d’un losange dont les diagonales

sont des axes de symétrie.

5/ Rectangle


Un rectangle a deux axes de symétrie : les axes médians.

b/ Propriété des côtés

Des côtés opposés d’un rectangle

ont la même longueur.

y

z

O

Ecartement de compas quelconque.

x


28 | P a g e

c/ Propriété des diagonales

6/ Carré


Un carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et les axes médians.


Les diagonales d’un carré se coupent en leur

milieu, sont perpendiculaires et ont la même

longueur.

Les diagonales d’un rectangle se

coupent en leur milieu et ont la

même longueur.


29 | P a g e

Chapitre G8 : Pavés droits

1/ Pavés droits

a/ Description

b/ Représentation en perspective

* Règles de la représentation en perspective cavalière

* Représentation d’un pavé droit

c/ Construction d’un patron

2/ Cubes

a/ Description



1/ Pavés droits

a/ Description

Un pavé droit (encore appelé parallélépipède rectangle) est un solide composé de 6 faces

rectangulaires.

Un pavé droit possède : - 8 sommets ;

- 12 arêtes.


Règles de la représentation en perspective cavalière :

Les règles de cette représentation sont les suivantes :

Le parallélisme est respecté ;

Les arêtes cachées sont tracées en pointillés ;

Les arêtes fuyantes sont réduites (non respect des longueurs).

Une arête

Un sommet

Une face


30 | P a g e

Représentation d’un pavé droit :


Il existe plusieurs façons de « fabriquer » un pavé droit. La fabrication d’un pavé droit passe

par la réalisation d’une figure plane appelée patron destinée à être découpée, pliée puis collée.

Voici un exemple de patron d’un pavé droit :

3,5 cm

2 cm

1,5 cm

2 cm

1,5 cm

3,5 cm

2 cm

Face arrière

Face avant

Faces avant et arrière représentées en vraie grandeur

Une arête fuyante

Une arête « cachée » Arêtes parallèles comme

dans la réalité.


31 | P a g e

2/ Cubes

a/ Description

Un cube est un pavé droit particulier :

- il est composé de 6 faces superposables, chaque face étant un carré ;

- il possède : * 12 arêtes de même longueur ;

* 8 sommets.


Face avant

Face arrière

Arête fuyante

réduite

Faces avant et arrière représentées en vraie grandeur


32 | P a g e


Un exemple de patron d’un cube :

3 cm


33 | P a g e

1/ Conversions d’unités

TABLEAU DE CONVERSIONS

t q kg hg dag gramme

g

dg cg mg

km hm dam mètre

m

dm cm mm

hL daL litre

L

dL cL mL

2/ Multiplier ou diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000....

Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000 ... revient à déplacer la virgule respectivement

d’un, deux, trois ... rangs vers la droite en plaçant un ou des zéro(s) si c’est nécessaire.

Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000 ... revient à déplacer la virgule respectivement

d’un, deux, trois ... rangs vers la gauche en plaçant un ou des zéro(s) si c’est nécessaire.

kilo hecto déca déci centi milli

x1000 x100 x10 :10 :100 :1000 tonne quintal

MASSE

LONGUEUR

CAPACITE

Chapitre GM1 :

Unités de longueur, masse et capacité.

Multiplications et divisions par 10 ; 100 ; 1000 …


34 | P a g e

Chapitre GM2 : Aire d’une surface

1/ Notion d’aire

a/ Définition

b/ Aire et périmètre

2/ Unités d’aire usuelles a/ Définition d’un mètre carré et d’un centimètre carré

b/ Conversions

c/ Unités agraires

3/ Aires de quelques figures usuelles a/ Rectangle

b/ Carré

c/ Triangle rectangle

d/ Disque

4/ Méthodes de calcul : exemples a/ Un exemple de collage (surface composée)

b/ Un exemple de découpage

1/ Notion d’aire

a/ Définition

L’aire d’une surface est une mesure de la grandeur de cette surface dans une unité

d’aire déterminée.

Exemple :

b/ Aire et périmètre

Il ne faut pas confondre aire et périmètre !

On remarquera notamment que deux figures géométriques peuvent avoir des aires et

périmètres inversement ordonnés. Par exemple :

Aire du rectangle = 12 = 24


35 | P a g e

Deux figures différentes peuvent avoir la même aire.

Par exemple :

2/ Unités d’aire usuelles

a/ Définition d’un mètre carré et d’un centimètre carré

Les unités d’aire usuelles sont :

- le mètre carré noté m² qui est l’aire d’un carré de 1 mètre de côté ;

- le centimètre carré noté cm² qui est l’aire d’un carré de 1 centimètre de côté.

b/ Conversions

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

3 1 8 , 5

5 4 , 3 8

1 m² = 10 000 cm²

1 cm² = 100 mm²

318,5 dam² = 31 850 m²

54,38 dm² = 0,00005438 hm²

c/ Unités agraires

Il s’agit d’unités d’aire utilisées dans le milieu agricole. On retiendra :

- l’are noté a , unité égale à 1 dam² ;

- l’hectare noté ha , unité égale à 1 hm².

Figure 1 Figure 2

Aire de la figure 1 > Aire de la figure 2

Périmètre de la figure 1 < Périmètre de la figure 2

ha a


36 | P a g e

3/ Aires de quelques figures usuelles

a/ Rectangle

Exemple :

Ci-dessus, L = 5 cm et l = 3 cm.

Aire du rectangle = 5 x 3 = 15 cm².

b/ Carré

Exemple :

Ci-dessus, c = 4 cm.

Aire du carré = 4 x 4 = 16 cm².

c/ Triangle rectangle

Exemple :

Ci-dessus, c = 5 cm et h = 3 cm.

Aire du triangle rectangle = 5 x 3 / 2 = 7,5 cm².

c

h Aire d’un triangle rectangle =

2

hauteurcôté

Aire = 2

hc

c

Aire = c x c

Aire d’un carré = côté x côté

c

L

l Aire = L x l Aire d’un rectangle = Longueur x largeur


37 | P a g e

d/ Disque

Aire d’un disque de rayon R = x R x R

( 14,3 )

Exemple : aire d’un disque de rayon 1,5 cm

4/ Méthodes de calcul : exemples

a/ Un exemple de collage (surface composée)

b/ Un exemple de découpage

1,5 cm Aire = x 1,5 x 1,5 3,14 x 1,5 x 1,5 7,065 cm².


38 | P a g e

Chapitre GM3 : Volume d’un solide

1/ Notion de volume

2/ Unités de volume usuelles a/ Définition d’un mètre cube et d’un centimètre cube

b/ Conversions

c/ Relation entre unités de volume et unités de capacité

3/ Volume d’un pavé droit

a/ Formule

b/ Cas particulier d’un cube

1/ Notion de volume

Définition :

Le volume d’un solide est une mesure de l’espace occupé par ce solide, cette mesure étant

exprimée dans une unité de volume déterminée.

Exemple :

Le volume du solide ci-dessus est égal à 45 .

2/ Unités de volume usuelles

a/ Définition d’un mètre cube et d’un centimètre cube

Les unités de volume usuelles sont :

- le mètre cube noté m3 qui est le volume d’un cube de 1 mètre d’arête ;

- le centimètre cube noté cm3 qui est le volume d’un cube de 1 centimètre d’arête.


39 | P a g e

b/ Conversions

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

1 7 5 2 , 5

2 , 3

1 m3 = 1 000 000 cm

3

1 cm3 = 1 000 mm

3

1752,5 m3 = 1 752 500 dm

3

2,3 cm3 = 2300 mm

3

c/ Relation entre unités de volume et unités de capacité

A RETENIR la relation : 1 dm3 = 1 L

On peut par conséquent dresser ce tableau plus complet :

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

hL daL L dL cL mL

3/ Volume d’un pavé droit

a/ Formule

Volume d’un pavé droit = Largeur x Hauteur x Profondeur

Exemple :

Ci-dessus, L = 6 cm, H = 3 cm et P = 4 cm.

Volume du pavé droit = 6 x 3 x 4 = 72 cm3.

Largeur

Hau

teu

r

Profondeur


40 | P a g e

b/ Cas particulier d’un cube

Volume d’un cube = Arête x Arête x Arête

Exemple :

Ci-dessus, Arête = 5 cm.

Volume du cube = 5 x 5 x 5 = 125 cm3.

Arête


41 | P a g e

Un nombre décimal peut s’écrire en deux parties constituées de chiffres et séparées par

une virgule : la partie entière et la partie décimale. La position d’un chiffre relativement à la

virgule indique ce qu’il représente :

millio

ns

centain

es de m

ille

dizain

es de m

ille

mille

centain

es

dizain

es

un

ités

dix

ièmes

centièm

es

millièm

es

dix

-miillièm

es

cent-m

illièmes

millio

nièm

es

1 8 3 7 2 5

Exemple de décomposition d’un nombre décimal :

1837,25 = 1 x 1000 + 8 x 100 + 3 x 10 + 7 x 1 + 2 x 0,1 + 5 x 0,01

ou encore 1837,25 = 100

5

10

27103100810001

Un nombre décimal admet plusieurs écritures décimales.

Exemples : 1837,25 = 1837,250 = 1837,2500 = ...

1837,25 = 01837,25 = ...

Les zéros qui se trouvent à droite de la partie décimale sont superflus. Il en est de même

des zéros qui se trouvent à gauche de la partie entière.

Un nombre entier est un nombre décimal particulier : c’est un nombre décimal dont la

partie décimale est nulle.

Exemple : 92 = 92,0

Pour lire ou écrire un nombre entier, on regroupe les chiffres par trois à partir de la droite.

On groupe ainsi en classes : classes des unités, milliers, millions, milliards ...

Exemples :

82 585 247 se lit : « 82 millions 585 mille 247 ».

5,32 se lit : « 5 virgule 32 » ou 5 unités et 32 centièmes.

Repérage sur une droite graduée

partie entière partie décimale

Chapitre N1 :

Nombres décimaux

,

,


42 | P a g e

1/ Comparaison de deux nombres décimaux

a/ Quelques notations

A retenir : .......... se lit « est strictement inférieur à », et ........... se lit « est inférieur ou égal à » .

........ se lit « est strictement supérieur à », et ............se lit « est supérieur ou égal à » .

b/ Comment comparer deux nombres décimaux ?

Premier cas : Les nombres que l’on compare ont des parties entières différentes

Le nombre le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière.

Exemple : 41,35 > 23,89 (car 41 > 23)

Deuxième cas : Les nombres que l’on compare ont des parties entières égales

On utilise la méthode ...............................……….......……….......:

on compare les parties décimales avec le même nombre de décimales

(on ajoute des zéros si nécessaire).

Exemples : ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

2/ Ranger, encadrer

a/ Quelques définitions

A retenir : Ranger dans l’ordre croissant signifie ranger du plus ...................... au plus ..............

....................................................................signifie ranger du plus grand au plus petit.

Encadrer un nombre consiste à trouver un nombre plus petit que ce nombre et

un nombre plus grand que ce nombre.


Ranger dans l’ordre croissant les nombres : 5,41 - 5,8 - 5,49 - 6 - 5 - 5,09 - 6,1

.....................................................................................................................................................

, puis dans l’ordre décroissant :

.....................................................................................................................................................

Encadrer 5,41 par les entiers les plus proches : ......................................................................

Donner un encadrement plus fin : ...............................................................................................

Chapitre N2 :

Ranger et approcher des nombres décimaux


43 | P a g e

3/ Approcher un nombre

Exemple : approximations du nombre décimal 3,14159

Valeur approchée par défaut par excès

à l’unité 3 4

au dixième 3,1 3,2

au centième 3,14 3,15

(Eventuellement, réaliser des encadrements à l’unité, au dixième, au centième …)


44 | P a g e

Chapitre N3 : Addition, soustraction et multiplication des nombres

décimaux

1/ Addition des nombres décimaux

a/ Les méthodes

b/ Propriété

2/ Soustraction d’un nombre décimal

a/ Les méthodes

b/ Attention !

3/ Multiplication des nombres décimaux

a/ Les méthodes

b/ Propriétés

1/ Addition des nombres décimaux

a/ Les méthodes

Exemple :

Kévin a acheté pour la rentrée scolaire un blouson à 63,35 € et une paire de baskets à 78 €.

Quel est le montant de ses achats ?

On calcule la somme : 63,35 + 78

Les nombres 63,35 et 78 sont les termes de la somme.

Trois méthodes complémentaires peuvent être mises en œuvre pour ce calcul.

Mentalement :

On prévoit un ordre de grandeur du résultat :

8078

6035,63

60 + 80 = 140

On pose l’opération :

Il s’agit d’une addition : 6 3 , 3 5

+ 7 8

1 4 1 , 3 5

Vérification à la calculatrice :

On tape : 6 3 . 3 5 + 7 8 Il s’affiche : 141.35

Réponse : Le montant de ses achats s’élève à 141,35 €.

b/ Propriété

Pour le calcul d’une somme de plusieurs nombres, l’ordre des termes ainsi que l’ordre dans

lequel on effectue les additions n’ont pas d’importance.

Il est donc conseillé de rechercher des regroupements judicieux de termes.


45 | P a g e

Exemple : 18,5 + 14 + 1,3 + 1,5 + 13,7

20 + 14 + 15

49

2/ Soustraction d’un nombre décimal

a/ Les méthodes

Exemple :

Pour ces deux achats, Kévin paie avec un billet de 200 €. Combien lui rend-on ?

Il y a deux façons d’envisager la solution :

soit on calcule le terme inconnu de la somme : 141,35 + ? = 200 ;

soit on calcule la différence : ? = 200 – 141,35.

Les nombres 200 et 141,35 sont les termes de la différence.


Mentalement :

On prévoit un ordre de grandeur du résultat : 141,35 140

200 - 140 = 60


Il s’agit d’une soustraction : 2 0 0

- 1 4 1 , 3 5

0 5 8 , 6 5


On tape : 2 0 0 – 1 4 1 . 3 5 Il s’affiche : 58.65

Réponse : On lui rend 58,65 €.

b/ Attention !

L’ordre des termes d’une différence a de l’importance.

Par exemple : 200 – 141,35 141,35 – 200 .

3/ Multiplication des nombres décimaux

a/ Les méthodes


46 | P a g e

Exemple :

Quel est le prix d’un steak haché de 150 g vendu 12,35 € le kg ?

On calcule le produit : 0,150 12,35.

Les nombres 0,150 et 12,35 sont les facteurs du produit.


Mentalement :

On prévoit un ordre de grandeur du résultat :

1035,12

2,0150,0

0,2 10 = 2


Il s’agit d’une multiplication : 0 , 1 5 0 2 chiffres après la virgule

x 1 2 , 3 5 2 chiffres après la virgule

0 7 5

0 4 5 .

0 3 0 . .

0 1 5 . . .

0 1, 8 5 2 5 4 chiffres après la virgule (2+2)


On tape : 0 . 1 5 0 x 1 2 . 3 5 Il s’affiche : 1.8525

Réponse : Le prix de ce steak haché est de 1,8525 € (prix arrondi par la suite par le boucher).

b/ Propriétés

Pour le calcul d’un produit de plusieurs nombres, l’ordre des facteurs ainsi que l’ordre dans

lequel on effectue les multiplications n’ont pas d’importance.

Il est donc conseillé de rechercher des regroupements judicieux de facteurs.

Exemple : 2,5 x 1,4 x 5 x 4 x 2

10 x 1,4 x 10

14 x 10

140

Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 … revient à le diviser

respectivement par 10 ; 100 ; 1000 …

Exemples : 6,28 x 0,1 = 6,28 10 = 0,628

586,1 x 0,01 = 586,1 100 = 5,861

87455 x 0,001 = 87455 1000 = 87,455


47 | P a g e

Chapitre N4 : Divisions euclidiennes - Divisibilité

1/ Divisions euclidiennes

a/ Les méthodes

b/ Relation fondamentale

2/ Divisibilité

a/ Définition et vocabulaire

b/ Critères de divisibilité par 2 ; 5 ; 3 et 9

1/ Divisions euclidiennes

a/ Les méthodes

Exemple :

Combien de boîtes de 12 œufs peut-on remplir avec 2851 œufs ?

On cherche un nombre entier qui, multiplié par 12, donne 2851. On s’en approche le plus

possible par l’encadrement :

12 x ? 2851 < 12 x ( ? + 1)

Ce nombre cherché (?) s’appelle le quotient entier de 2851 par 12.

Trois méthodes complémentaires peuvent être mises en œuvre pour calculer ce quotient

entier.

Mentalement :

On cherche le nombre de chiffres qui composent le quotient entier.

12 x 100 < 2851 < 12 x 1000


Il s’agit d’une division euclidienne : 2 8 5 1 1 2

- 2 4 2 3 7

0 4 5

- 3 6

0 9 1

- 8 4

0 7

Reste < diviseur

Il y a 3 chiffres

1 x 12 = 12 2 x 12 = 24 3 x 12 = 36 4 x 12 = 48 5 x 12 = 60 6 x 12 = 72 7 x 12 = 84 8 x 12 = 96 9 x 12 = 108

Dividende Diviseur

Reste

Quotient

entier


48 | P a g e


On tape : 2 8 5 1 : 1 2 Il s’affiche : 237.5833 Il ne faut conserver que la partie entière du résultat affiché, soit 237.

Réponse : On peut remplir 237 boîtes (et il restera 7 œufs).

b/ Relation fondamentale

On remarque que : 2851 = 12 x 237 + 7

Plus généralement :

Dividende = diviseur x quotient entier + reste (reste < diviseur)

2/ Divisibilité

a/ Définition et vocabulaire

Lorsque que, dans une division euclidienne, le reste est nul, on dit que le dividende est

divisible par le diviseur.

Exemple :

Avec 2856 œufs, on remplit exactement 238 boîtes de 12 œufs. En effet :

2 8 5 6 1 2

- 2 4 2 3 8

0 4 5

- 3 6

0 9 6

- 9 6

0 0

Ainsi : 2856 12 = 238, autrement dit : - 2856 est divisible par 12 ; ou encore

- 12 est un diviseur de 2856.

2856 = 12 x 238, autrement dit : 2856 est un multiple de 12 (et 238).

b/ Critères de divisibilité par 2 ; 5 ; 3 et 9

Les nombres entiers divisibles par 2 sont ceux se terminant par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un tel nombre est dit pair. Sinon, il est impair.

Les nombres entiers divisibles par 5 sont ceux se terminant par 0 ou 5.

Les nombres entiers divisibles par 3 sont ceux dont la somme des chiffres est elle-même

divisible par 3.

Reste nul

Quotient entier

=

Quotient exact


49 | P a g e

Les nombres entiers divisibles par 9 sont ceux dont la somme des chiffres est elle-même

divisible par 9.

Exemples :

Voici sept nombres entiers : 58 ; 621 ; 365 ; 135 ; 330 ; 58923 et 223.

Nombres de la liste divisibles par 2 58 ; 330

Nombres de la liste divisibles par 5 365 ; 135 ; 330

Nombres de la liste divisibles par 3 621 ; 135 ; 330 ; 58923

Nombres de la liste divisibles par 9 621 ; 135 ; 58923

On remarquera que tout nombre divisible par 9 l’est par 3.


50 | P a g e

Chapitre N5 : Divisions décimales par un nombre entier

1/ Notion de quotient

a/ Exemple préliminaire

b/ Définition

2/ Une technique de la division décimale

3/ Quotient décimal exact, quotient approché

1/ Notion de quotient

a/ Exemple préliminaire

Exemple :

Un menuisier a une poutre de 13,5 m de long qu’il doit couper en trois morceaux d’égales

longueurs. Quelle sera la longueur d’un morceau ?

Il y a deux façons d’envisager la solution :

soit on calcule le facteur inconnu du produit : 3 x ? = 13,5 ;

soit on effectue une division pour calculer le quotient : ? = 13,5 3.

13,5 est appelé le dividende et 3 le diviseur.

b/ Définition

Le quotient d’un nombre a par un nombre b différent de 0 est le nombre q par lequel il

faut multiplier b pour obtenir a :

b x q = a.

Pour calculer le quotient de deux nombres décimaux, on effectue une division décimale.

2/ Une technique de la division décimale

Retour à l’exemple précédent :

On pose la division de 13,5 par 3 : 1 3 , 5 3

- 0

1 3 0 4 , 5

- 1 2

0 1 5

- 1 5

0 0

La division de 13,5 par 3 tombe juste (reste nul).

4,5 est le quotient exact de 13,5 par 3. On peut écrire : 13,5 3 = 4,5.

Réponse : Chacun des trois morceaux mesure 4,5 m.

Autres exemples :


51 | P a g e

1 3 8 , 3 6 1 2 8 7 5

- 1 2 - 5

0 1 8 1 1 , 5 3 3 7 1 7 , 4

- 1 2 - 3 5

0 6 3 0 2 0

- 6 0 - 2 0

0 3 6 0 0

- 3 6

0 0

138,36 12 = 11,53 87 5 = 17,4

3/ Quotient décimal exact, quotient approché

Exemple 1 :

On partage un segment de 58 cm de long en

8 segments de même longueur.

Quelle est la longueur de chacun de ces

segments ?

On pose la division décimale :

5 8 8

- 0 0 7 , 2 5

5 8

- 5 6

0 2 0

- 1 6

0 4 0

- 0 4 0

0 0

La division s’arrête.

Le quotient exact est décimal.

On peut écrire :

58 8 = 7,25


On tape : 5 8 : 8 Il s’affiche : 7.25

Réponse : Chaque segment mesure 7,25 cm.

Exemple 2 :

On partage un segment de 58 cm de long en

11 segments de même longueur.

Quelle est la longueur de chacun de ces

segments ?

5 8 1 1

- 5 5 5 , 2 7 2 7

0 3 0

- 2 2

0 8 0

- 7 7

0 3 0

- 2 2

0 8 0

- 7 7

0 3

La division ne s’arrête pas.

Le quotient n’est pas décimal.

On ne peut donner que des approximations

décimales : 58 11 5,27

On tape : 5 8 : 1 1

Il s’affiche : 5.2727273

(Le dernier chiffre est arrondi par la calculatrice)

Réponse : Chaque segment mesure environ 5,27 cm.


52 | P a g e

Chapitre N6 : Nombres en écriture fractionnaire

1/ Fraction et partage

a/ Vocabulaire

b/ Des exemples de partage

2/ Ecriture fractionnaire d’un quotient

3/ Fractions décimales

4/ Fraction d’une grandeur a/ Multiplication et division successives

b/ Fraction d'une grandeur (méthodes de calculs)

5/ Pourcentages

a/ Définition

b/ Application d'un pourcentage

1/ Fraction et partage

a/ Vocabulaire

Une fraction s’écrit sous la forme d

n, n et d étant des nombres entiers.

Dans cette écriture, n s’appelle le numérateur et d le dénominateur.

Exemples de fractions : 2

1 se lit « un demi » ;

3

1 se lit « un tiers » ;

4

1 se lit « un quart ».

b/ Des exemples de partage

Exemple 1 :

Pour colorier les 8

3d’une tarte ronde, on procède de la façon suivante :

On colorie 3 parts.

La partie coloriée représente 8

3

8

13 de la

tarte.

On la partage en 8 parts égales.

Chaque part représente 8

1de la tarte.


53 | P a g e

Exemple 2 :

Thibault et Léa ont tous deux raison :

Argument de Thibault : 12 carreaux sur un total de 16 sont coloriés ;

Argument de Léa : 3 colonnes sur 4 sont coloriées.

Par conséquent : 4

3

16

12 .

2/ Ecriture fractionnaire d’un quotient

Le quotient de a par b peut s’écrire sous forme fractionnaire : b

a.

Autrement dit : a : b = b

a

On retiendra que ce nombre est défini par l’égalité : ab

ab

Illustration :

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

35

35

A la question : Quelle fraction du carré la partie

coloriée représente-t-elle ?

Thibault a répondu : 16

12et Léa :

4

3.

Qui a raison ?


54 | P a g e

3/ Fractions décimales

Définition : une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1 ; 10 ; 100 ;

1000 …

Un nombre décimal est un nombre pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

Exemples :

7,1 = 10

71 ; 4,32 =

432

100 ; 6,8

10

86 ; 18,0

100

18

4/ Fraction d’une grandeur

a/ Multiplication et division successives

20 5 15

20 60 15

L’ordre dans lequel on effectue successivement une multiplication et une division

n’a pas d’importance quant au résultat.

Sous forme fractionnaire, ceci se traduit par :

4

3203

4

20 soit par conséquent : 20

4

3

4

3203

4

20

b/ Fraction d'une grandeur (méthodes de calculs)

Calculer b

a d’une grandeur G, c’est multiplier

b

a par G.

a a G a G

de G G ab b b b

(b non nul).

Exemple : On désire connaître ce que représente 3

4 de 20 litres.

On calcule pour cela le produit : 3

420 .

Première méthode : 3 20

4

60

415

.

Deuxième méthode : 320

43 5 15 .

Troisième méthode : 0,75 20 = 15

: 4

: 4 x 3

x 3


55 | P a g e

5/ Pourcentages

a/ Définition

Un pourcentage est un nombre de la forme

et se note p %.

Exemples :

100

5,14 est un pourcentage et peut se noter 14,5%.

4

1= 0,25 = 25% ;

2

1= 0,5 = 50% ;

10

7= 0,70 = 70% ;

0,35 = 35% ; 0,6 = 60% ; 0,196 = 19,6%

b/ Application d’un pourcentage

Exemple : 65% des 700 élèves d’un collège sont demi-pensionnaires.

Combien d’élèves de ce collège sont-ils demi-pensionnaires ?

On calcule 100

65x 700.

Première méthode : 65 700 45500

455100 100

.

Deuxième méthode : 700

65 65 7 455100

.

Troisième méthode : 0,65 700 = 455


56 | P a g e

Chapitre GD1 : Lecture de données

Partie 1 : lecture de tableaux

Partie 2 : lecture de graphiques

Partie 1 : lecture d’un tableau

Une première approche :

Voici la feuille récapitulative des tarifs d’une entreprise d’expédition de petits colis (masse inférieure à

5 kg) en France métropolitaine :

* Prise en charge du colis : prix forfaitaire 5 € ;

* Tableau des tarifs :

Masse du colis Jusqu’à 1 kg Entre 1kg et 2kg Entre 2kg et 3 kg Entre 3kg et 5 kg

Prix (€) 7 € 11 € 14 € 17 €

1/ Combien paierait-on pour expédier un colis pesant :

a/ 1,5 kg ?

b/ 2,9 kg ?

c/ 4,2 kg ?

2/ D’après vous, pourquoi peut-on affirmer que cette feuille de tarifs est imprécise ?

Poser une question analogue à celles posées dans la question 1) et dont la réponse est indécise.

Plus compliqué …

Depuis peu de temps, cette entreprise a décidé de s’ouvrir à l’international ; elle a donc dû élaborer

une nouvelle grille tarifaire tenant compte du pays de destination ; voici un extrait de cette grille :

Jusqu’à 1 kg Entre 1 kg et 2 kg Entre 2 kg et 3 kg Entre 3kg et 5kg

Allemagne 10 € 15 € 19 € 21 €

Espagne 12 € 16 € 20 € 21,50 €

Italie 13 € 17 € 22 € 23 €

Belgique 7 € 12 € 14,50 € 18 €

Japon 29 € 35 € 43 € 60 €

PAS DE FRAIS DE PRISE EN CHARGE

1) Combien paierait-on pour expédier un colis pesant 2,6 kg en Espagne ?

2) Combien paierait-on pour expédier un colis pesant 3,6 kg en Italie ?

3) Combien paierait-on pour expédier un colis pesant 0,9 kg en Belgique ?

4) Combien paierait-on pour expédier un colis pesant 1,7 kg en Allemagne ?

5) Combien paierait-on pour expédier un colis pesant 2,9 kg au Japon ?


57 | P a g e

Partie 2 : lecture de graphiques

1/ Voici un diagramme à barres représentant le nombre d’élèves par niveau dans un collège :

a/ Donner les effectifs de chacun des niveaux de ce collège.

b/ Quel est l’effectif total de ce collège ?

2/ Voici un diagramme présentant les températures maximales observées en 2004 durant quatre mois

de l’année dans trois villes de France :

a/ Quelle est la température maximale relevée à Lille en octobre ?

b/ Quelle est la ville la « plus froide » en juillet ?

3/ Voici un diagramme circulaire représentant par secteur les dépenses d’électricité d’un foyer :

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

6ème 5ème 4ème 3ème

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Janvier Avril Juillet octobre

Lille

Brest

Marseille

ventilation

lessive

éclairage

multimédia

réfrigérateur

a/ Quel est le secteur de la maison le plus

consommateur d’électricité ?

b/ Que peut-on dire de la consommation en électricité

des secteurs « lessive » et « éclairage » réunis ?


58 | P a g e

Chapitre GD2 : La notion de proportionnalité

1/ Définition et exemple

a/ Définition

b/ Exemple

c/ Contre-exemple

2/ Modélisation d’un problème relevant de la proportionnalité

1/ Définition et exemple

a/ Définition

Dire que deux grandeurs sont proportionnelles signifie que lorsqu’on multiplie (ou divise)

l’une par un nombre, l’autre est multipliée (ou divisée) par ce même nombre.

b/ Exemple

30 morceaux de sucre pèsent 240 grammes.

Combien pèsent 60 morceaux de sucre ?

Combien pèsent 15 morceaux de sucre ?

Combien faut-il réunir de morceaux de sucre pour obtenir 720 grammes de sucre ?

La masse de sucre est ici proportionnelle au nombre de morceaux.

c/ Contre-exemple

Kévin a 5 ans et mesure 1,15 m.

Combien mesurera-t-il à l’âge de 20 ans ?

Ce problème ne relève pas de la proportionnalité.

2/ Modélisation d’un problème relevant de la proportionnalité

Dans le cas où deux grandeurs sont proportionnelles, on peut dresser un tableau de nombres

appelé un tableau de proportionnalité.

On peut alors illustrer la proportionnalité par des flèches « de colonne à colonne » :

Nombre de

morceaux de sucre

30 60 15 90

Masse de sucre en

grammes

240 480 120 720

x 2

x 3

: 4


59 | P a g e

Un tableau de proportionnalité est un tableau tel que les nombres d’une ligne

s’obtiennent en multipliant ceux de l’autre ligne par un même nombre appelé un

coefficient de proportionnalité.

Nombre de

morceaux de sucre

30 60 15 90

Masse de sucre en

grammes

240 480 120 720

x 8 : 8

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Cours de 6ème – M.ARDHUIN- Collège Fénelon à …mathardhuin.e-monsite.com/medias/files/cours6eme-2017-filigrane.pdf · Cours de 6ème –M.ARDHUIN- Collège Fénelon à Cambrai