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Cours de béton armé14: Flambement

Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction - 2007

BAC3 - Helmo -Gramme

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Effet du second ordre

� = Effets induits par la déformation de la structure

� Compression centrée

d’une colonne idéale « parfaitement droite »

Pas d’effet du second ordre

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Effet du second ordre

� Compression centrée d’un élément

élancé « réel »

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Effet du second ordre

� Prise en compte des effets du 2nd ordre� MEd = M0Ed+ M2

où :

� M0Ed est le moment du premier ordre, compte tenu de l'effet des imperfections :

� EC2 6.1(4) excentricité minimale:

e0 = max(h/30;20 mm), h étant la hauteur de la section

� EC2 5.2 (9) voiles et poteaux isolés dans les structures contreventées : excentricité additionnelle ei = l0/400 pour couvrir les imperfections liées aux tolérances normales d'exécution.

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Exemple

� Béton C25/30, enrobage 25mm

� Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6.

� h=4m, bi-articulée� NED= 1000 kN

� Excentricité minimale (20mm)� Excentricité additionnelle ei = l0/400=1cm � -> exc tot=30mm� M0ED= 1000.0,03= 30 kN.m

0000

542

0

M min

0.1fcuAc

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 20 40 60 80 100MOMENT Mx

kNm

AX

IAL

CO

MP

RE

SS

ION

, N

, kN

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Effet du second ordre

� Prise en compte des effets du 2nd ordre� MEd = M0Ed+ M2

où :

� M2 est le moment nominal du second ordre et vaut :

� M2 = NEd e2

� où :

� NEd est l'effort normal agissant de calcul

� e2 est la déformation de second ordre

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Effet du second ordre

� Colonne infiniment rigide, effort excentré de e0

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Effet du second ordre

� Colonne élancée� e2

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Effet du second ordre

� Non prise en compte des effets du 2nd ordre si :

λλλλ = l0 / i < λλλλlim

où :� l0 est la longueur efficace de la colonne

� i est le rayon de giration de la section de béton non fissurée

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Effet du second ordre

� Non prise en compte des effets du 2nd ordre si :

λλλλ = l0 / i < où :

� A = 1 / (1+0,2ϕϕϕϕ ef) (si ϕ ϕ ϕ ϕ ef n'est pas connu, on peut prendre A

= 0,7) � B = (1 + + + + 2ω) ω) ω) ω) 0,5 (si ωωωω n'est pas connu, on peut prendre B =

1,1)� C = 1,7 - rm (si rm n'est pas connu, on peut prendre C = 0,7)� ϕϕϕϕ ef coefficient de fluage effectif � ω ω ω ω = Asfyd / (Acfcd) (ratio mécanique d'armatures )

� As est l'aire totale de la section des armatures longitudinales � n = NEd / (Acfcd); effort normal relatif � rm = M01/M02; rapport des moments

� M01, M02 sont les moments d'extrémité du premier ordre,

M02 ≥≥≥≥ M01

lim = 20 A B C / n λ

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Exemple

� Béton C25/30, enrobage 25mm

� Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6.

� h=4m, bi-articulée, pas de prise en compte du fluage� NED= 1000 kN

� l0= 400 cm3 /12

8.6612

I bh hi cm

A bh= = = =

0 / 46.19l iλ = =

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Exemple

� Non prise en compte des effets du 2nd ordre si :

λλλλ = l0 / i = 46.2 < où :

� A = 1 (ϕ ϕ ϕ ϕ ef =0 pas de prise en compte du fluage)� B = (1 + + + + 2ω) ω) ω) ω) 0,5 =1.24 � C = 1,7 - rm = 0.7 � ω ω ω ω = Asfyd / (Acfcd) = 0.2743� n = NEd / (Acfcd) = 106/(300x300x14.17)=0.78� rm = M01/M02 = 1

lim = 20 A B C / n λ

lim = 20 A B C / n =15.82λ

� prise en compte des effets du 2nd ordre

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Longueur de flambement : lo

� Structures contreventées (Braced)

� Structures non contreventées (Unbraced)

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Longueur de flambement : lo

� Structures contreventées

� Structures non contreventées

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Effet du second ordre

� Prise en compte des effets du 2nd ordre� MEd = M0Ed+ NEd e2

où :

NEd est l'effort normal agissant de calcul

e2 est la déformation de second ordre

e2 = (1/c) . (1/r) lo2

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Effet du second ordre

� Prise en compte des effets du 2nd ordree2 = (1/c) . (1/r) lo

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1/r est la courbure, mais la courbure n’est pas constante sur la hauteur de la colonne.

Variation de la courbure sur la hauteur

1/r = Kr⋅Kϕ⋅1/r0

2

2

1d y

dx rχ= =

1/c ≅ 1/10 (EC2)

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Calcul de la courbure 1/r

� Que vaut la courbure en ce point du diagramme d’interaction?

18

Calcul de la courbure 1/r

� Que vaut la courbure en ce point du diagramme d’interaction?

0

1(0.0035 / ) /

1' 2 : /(0.45 )

yd sbal

yd

f E dr

l EC prend dr

ε

= +

=

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Calcul de la courbure 1/r

� 1/r trouvé par interpolation

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Exemple

� Béton C25/30, enrobage 25mm

� Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6.

� h=4m, bi-articulée, sans fluage

� NED= 1000 kN

Calc effet 2nd ordre1/rbal 1.851E-05 mm-1

Kφ 1

Kr 0.5431948

1/r 1.005E-05 mm-1

e2 20.108273 mm

M2 20.108273 kNm

Mtot 50.108273 kNm

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Fluage

� Charges quasi-permanentes� Charges permanentes

� Ψ2 x Charges variables

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FluageFluage

Ec,eff = Ecm(t0) / (1 + φ(t,t0))

-t0 est l'instant initial du chargement-t est l'instant considéré du calcul-Ecm(t0) le module d'Young au moment du chargement-φ(t,t0) le coefficient de fluage à la référence de 28 jours

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FluageFluage

1ère étape : choisir t0 instant initial du chargement � A

A

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FluageFluage

2ème étape : tracer droite par 0 et A

A

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FluageFluage

3ème étape : calculer h0 et rechercher φ(∞,t0)

A

h0= rayon moyen = 2Ac /u

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FluageFluage

3ème étape : calculer h0 et rechercher φ(∞,t0)

A

Colonne 30cmx30cm

� h0= 2x30x30/(4x30)=15cm�φ(∞,t0)=2.8

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FluageFluage

Colonne 30cmx30cm�h0= 2x30x30/(4x30)=15cm�φ(∞,t0)=2.8et on a :

ϕϕϕϕef = ϕϕϕϕ (∞∞∞∞,t0) ⋅⋅⋅⋅M0Eqp / M0Ed

donnée

ho 150 mm

ϕϕϕϕ (∞∞∞∞,t 0) 2.8M0Eqp= 17.6471 kNmM0ED= 30 kNm

φef= 1.64706

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Fluage

� Prise en compte du fluage � effets du second ordre encore plus forts

50.7

56.5

42.0

M min

0.1fcuAc

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 20 40 60 80 100MOMENT Mx

kNm

AX

IAL

CO

MP

RE

SS

ION

, N

, kN

selon EC nu 1.27425327

n 0.78431373

nbal 0.4

Kr 0.56040917

Kφ 1.27519035

1/r= 1.3227E-05

e2= 26.4544898 mm

M2 26.4544898 kNm

Mtot= 56.4544898 kNm

Au lieu de Mtot=50.7 kNm, sans fluage