Appli ec2 poutres iso arche & ad

EUROCODE 2

Illustration au calcul en Illustration au calcul en flexion par Arche Poutre

Sommaire

� Section rectangulaire: Flexion simple– Données P3– Efforts internes P4– Aciers longitudinaux P7– Aciers transversaux P11– Plan d’armatures P15– Calcul de la flèche P16– Calcul de l’ouverture de fissures P17– Vérifications aux appuis P20

Graitec confidential / Do not disclose

– Vérifications aux appuis P20

� Section en Té: Flexion simple– Données P21– Aciers longitudinaux P22– Aciers transversaux et armature d’âme P23– Calcul de la flèche P27

� Sections continues et redistributions P282

Section rectangulaire: Flexion simple

� Données

� Poutre rectangulaire 25*60� Travée isostatique de 6m, appuis de 25cms� Béton C30/37, Armature B500B� Classe d’environnement XC3� Chargement:

– Poids propre + 25KN/ml


– Poids propre + 25KN/ml– Surcharge : 30KN/ml

3


� Calcul théorique

Sollicitations internes:Leff=Lnu+a1+a2 Avec ai=min(H/2;t/2)=0.125mSoit Leff= 6 +2*0.125=6.25mP=1.35G+1.5Q=1.35(0.25*0.6*25+25) + 1.5*30 = 83.81KN/ml

Moment ELU à mi-travéeKNm

PLM 24.409

²25.6*81.83² ===


Effort tranchant à l’axe de l’appui

Moment négatif forfaitaire sur appuiMa = 0.15MEd=0.15*409.24=61.4KN/ml

KNmPL

M Ed 24.4098

²25.6*81.83

8

² ===

KNPL

VEd 9.2612

25.6*81.83

2===

4


� Paramétrage Arche Poutre

Hypothèses/ Béton Armé Travée active


Charges répartie sur la travée

5


� Sollicitations internes Arche Poutre EC2On note que dans la version Eurocode, le coefficient de portée K vaut 2 (au lieu de 1 au

BAEL), ce qui corrige les sollicitations Leff = min (K.Lnu, Laxe)


6


� Calcul théorique des aciers longitudinaux inférieurs aux ELU

Le calcul à l’EC2 est identique à celui du BAEL avec une légère différence sur la contrainte maxi du béton et une portée de calcul prise entre axe des appuis :

� Résistance du béton C30/37 :

� Estimation de la hauteur utile d :

MPaf

fc

ckcccd 20

5,1

30. ===

γα

meHeHd 531.0565.0*06.0035.06.0)(06.0 =−−=−−−=


� Estimation de la hauteur utile d :

� Calcul du moment réduit :

� Calcul de ξ :

� Calcul du bras de levier zb :

� Calcul de la section d’armatures :

� On peut mettre en place en ce cas 3HA25 + 3HA20 (24.15cm²)

372.029,020²531.025.0

409.0

²<=

××==

cd

Ed

Fbd

Mµ

[ ] [ ] 44.0)29.021(125.1)21(125,1/ =×−−=−−== µξ dxu

mdzb 438.0)44.04.01(531.0)4.01( =×−=−= ξ

²48.21²10.48.2178.434438.0

409.0

.4 cmm

fz

MA

ydb

Eds ==

×== −

meHeHd 531.0565.0*06.0035.06.0)(06.0 =−−=−−−=

7


� Aciers longitudinaux théorique et réel Arche Poutre EC2

3HA12 3HA12


3HA25 + 3HA20

3HA253HA25

8


� Optimisation de la quantité d’acier longitudinale inférieure:

Hypothèses/ Ferraillage / Hypothèses


Nouvelle estimation de d

Hypothèses/ Béton Armé

meHeHd 542.0565.0*041.0035.06.0)(041.0 =−−=−−−=

( )( )( )

−−−+=

0

011

suk

SS

S

ykyd

kff

εεεε

γ

9


� Optimisation de la quantité d’acier longitudinale inférieure:

εs = 3,5 . (1-0,417) / 0,417 = 4.92 ‰,εs0 = 500 / (1,15 x 200000) = 2,175 ‰,εud = 0,9 . εuk = 0,9 x 25 ‰ = 22,5 ‰,on a bien la relation εs0 < εs < εud vérifiée

372.0278,020²542.025.0

409.0

²<=

××==

cd

Ed

Fbd

Mµ

[ ] [ ] 417.0)278.021(125.1)21(125,1 =×−−=−−= µξ


on a bien la relation εs0 < εs < εud vérifiée

� Calcul du bras de levier zb :

� Calcul de la section d’armatures :

( )( )( )

( )( )( ) MPa

kff

suk

SS

S

ykyd 439

175.225

175.292.4108.11

15.1

50011

0

0 =

−−−+=

−−−+=

εεεε

γ

mdzb 451.0)417.04.01(542.0)4.01( =×−=−= ξ

²7.20²10.7.20439451.0

409.0

.4 cmm

fz

MA

ydb

Eds ==

×== −

10


� Calcul théorique des aciers transversaux aux ELU

Calcul de l’effort tranchant sur appui:

Calcul de VRdc

avec

On ancre 3HA25

=2

12

3

3

1

035.0

)100(*

ck

cklRdcwRdc

fk

fkCMaxdbV

ρ2614.1

531

2001

2001 <=+=+=

dk

02.0011.01.53*25

9.4*3 <===db

Asllρ

KNPL

VEd 5.2512

6*81.83

2===


VRdc<VEd, il y a donc nécessité d’avoir des cadres sur appui, en deçà des dispositions constructives

Calcul de VRd,max

avec θ=45°soit tg θ = cotgθ =1

1.53*25dbwl

KNMN

MNMaxMaxVRdc 82

035.0

082.0

30614.1*035.0

)30*011.0*100(*614.1*12.0*531.0*25.02

1

2

3

3

1

=

=

=

θθν

gtg

zbfV wcd

Rd cotmax +=

11


� Calcul théorique des aciers transversaux aux ELU

Coefficent d’efficience

VRd,max > VEd ,la bielle de béton est donc correctement dimensionnée

Calcul de la section transversale

528.0250

3016.0

25016.0 =

−=

−= ckfν

KNMNVRd 631631.011

531.0*9.0*25.0*20*528.0max ==

+=

mmVA Edsw /²10*21.1

2515.0 3−===θ


Si 1 cadre et 1 étrier en φ6, section d’acier 1.13cm² soit un espacement de 0.093m soit 9cm

Vérification des pourcentages minimum

mmgfds ywd

/²10*21.11*435*531.0*9.0cot..9.0

===θ

²/08247.0²/7.824 cmmmmA

s

sw

==

000

000

3

000 1.12

435*2

20*528.0

284.4

25.0

10*21.1876.0

500

3008.008.0 ==≤===≤==

−

ywd

cd

w

sww

ywk

ck

f

f

sb

A

f

f νρ

mlcms

A

sb

A sw

w

sw /²19.2876.0*25.0876.0 000

minmin00

0 ==⇒== ρ

12


� Aciers transversaux théorique et réel Arche Poutre EC2


Optimisation possible dans Hypothèses /Ferraillage/Transversal

Arche donne alors mms

Asw /²974.9=13


� Aciers transversaux théorique et réel Arche Poutre EC2Autres optimisations possibles, mais pas souvent économique en terme de ratio:

� Considérer VEd,Red au lieu de VEd (l’effort tranchant est alors mesuré à une distance d du nu del’appui). Pour ce faire, il faut déjà autoriser l’ancrage complet sur appui, dans Hypothèses /Ferraillage/ Hypothèses, onglet ancrage


Puis dans Hypothèses /Conditions /Caractéristiques, activez la transmission directe desefforts

� Considérer un angle d’inclinaison des bielles plus faible, toujours dans Hypothèses/Conditions /Caractéristiques. Celui-ci doit varier entre 21.8 et 45°

14


� Aciers réels Arche Poutre EC2


15


� Calcul de la flèche dans Arche Poutre EC2

L’EC2 donne deux méthodes alternatives pour la limitation des flè ches:

- Calcul des flèches, pour vérifier si la valeur de calcul ≤ la valeur limite

- Contrôle de la flèche sans calcul direct, mais en limitant le ratio Portée/Hauteur utile


C’est cette dernière option qui est choisie par défaut dans Arche Poutre, dans le menu Hypothèses /Conditions /Flèches

625/54=11.58

16


� Calcul de l’ouverture de fissure théorique

L’EC2 donne deux méthodes alternatives pour limiter la fissuratio n:

� Calcul de l’ouverture de fissures et vérifier si wk ≤ wmax

� Contrôle de la fissuration sans calcul direct,mais en limitant le diamètre de la barre ou son espacement (méthode simplifiée)


C’est la première option qui est choisie dans Arche Poutre. On peut vérifier le diagramme d’ouverture des fissures dans Affichage / Contraintes

17



� Moment quasi-permanent à mi travéeP= G+0.3Q= 0.25*0.6*25+25 + 0.3*30 = 37.75KN/ml

� Position de l’axe neutre à l’ELS

KNmPL

M EdQP 3.1848

²25.6*75.37

8

², ===

( ) ( )264.0

25.0

25.0*54.0*0021.0*30*2²0021.0*150021.0*15***2²**=

++−=

++−=

b

bdAsnAsnAsny

3HA25+2HA20


� Inertie fissurée

� Contrainte Acier

25.0b

4333

10*93.3)²264.054.0(*0021.0*153

264.0*25.0)²(*

3

*mydAsn

ybI f

−=−+=−+=

( ) ( )MPa

I

ydMn

f

EdQPqps 8.193

10*93.3

264.054.0*184.0*15**3

,, =−=

−= −σ

( ) ( )MPa

I

ydMn

f

Edkks 303

10*93.3

264.054.0*287.0*15**3

,, =−=

−= −σ

18



K1=0.8 car barres HA, K2=0.5 en flexion

( )( )

( )( ) ²028.0

2/6.0

3/264.06.0

54.06.05.2

*25.0

2/

3/

5.2

*, mMin

h

yh

dh

MinbeffAc =

−−

=

−−

=

1.632800

200000===Ec

Eseα

075.0028.0

000021.0

,, ===effAc

Aseffpρ

mmeq 26.2320*225*3

²20*2²25*3 =++=φ

49.240

254.3

32

3 =

=K


1 2

Kt=0.4 durée d’application des charges longues,

fct,eff=fctm=2.9MPa pour un C30/37

Soit wk=0.13mm<0.3mm OKOn retrouve le résultat de Arche

mmmkk

cKseffp

r 152152.0075.0

0233.0*5.0*8.0*425.004.0*49.2

...425.0

,

213max, ==+=+=

ρφ

200000

1946,010*56.8

200000

)075.0*1.61(075.09.2

*4.0194).1(.4

,,

,

≥=+−

=+−

=− −

s

effpeeffp

effctts

cmsm E

fk ρα

ρσ

εε

)(max, cmsmrk sw εε −=

403

19


� Vérification sur appuiOn retrouve les vérifications sur appuis

dans le menu Affichage/ Vérif Appuis

Section à ancrer sur appuis: avec al = z (cotθ - cotα) / 2

==

==≥

)()0(0

²89.2435*2

251.0

*

*

22 ANFranceA

cmfz

aVMaxAs

l

yd

lEd

ββ


Les 3HA25 ne sont pas intégralement ancrés sur appuis, comme nous le voyons sur la courbes réelle des aciers longitudinaux.

Pour la bielle de béton maxi sur appuis:

Il convient de vérifier sur appui la condition VEd ≤ 0.5 bw d ν fcd , soit:

Pour la contrainte tangentielle :

Pour la contrainte tangentielle limite :

MPafk cdRd 96.145.1

30

250

301*85.0'2max =

−== νσ

MPadb

V

w

redEdresEd 52.1

54.0*25.0

206.0,, ===τ

20

MPafckfck

fcdl 75.45.1

30*

250

301*6.0*45.0

5.1*

2501*6.0*45.05.0*9.0 =

−=

−== ντ

Section en Té: Flexion simple

� Données

� Poutre rectangulaire 25*60� Travée isostatique de 10.8m, appuis de 50cms� Béton C25/30, Armature B500A� Classe d’environnement XC1� Chargement:

– Poids propre (poutre+table) + 20KN/ml


– Poids propre (poutre+table) + 20KN/ml– Surcharge : 70KN/ml

21


� Aciers longitudinaux:

G0 = [(1.6*0.17)+(0.3*0.83)]*25+20 = 33.025 KN/mlPu = 1.35G0 + 1.5Q = 1.35*33.025 + 1.5*70 = 149.58 KN/ml

Moment résistant de la table:

mha

LLi

iineff 3.11

2

5.0*28.10

2;

2min =+=

+= ∑ MNmLPu

M effEd 388.2

8

3.11*58.149

8

* 22

===

MPaf

fc

ckcccd 67.16

5.1

25*1 ===

γα MPa

ff

s

ykyd 435

15.1

500 ===γ


Moment résistant de la table:

L’axe neutre est dans la table, on se reporte à un calcul en section rectangulaire B*H

Arche poutre donne la même valeur22

MNmh

dfhbM fcdfftu 69.3

2

17.09.0*67.16*17.0*6.1

2=

−=

−=

186.0101.067.16*²94.0*6.1

388.22

<===cdf

Edbu fdb

Mµ

[ ] [ ] 133.0)101.021(125.1)21(125,1/ =×−−=−−== µξ dxu

mdzb 89.0)133.04.01(94.0)4.01( =×−=−= ξ

²6.6143589.0

388.2

.cm

fz

MA

ydb

Eds =

×==

meHeHd 94.097.0*031.003.01)(031.0 =−−=−−−=


� Aciers transversaux

Autorisons l’ancrage complet sur appuis, puis la transmission directe des efforts.VEd,red = VEd – Pu*(d+t/2) = 845.13-149.58(0.915+0.5/2) = 668.9KN

Calcul de VRdc

avec

KNLPu

V effEd 13.845

2

3.11*58.149

2

*===

1


avec

On ancre 8HA25

VRdc<VEd, il y a donc nécessité d’avoir des cadres sur appui, en deçà des dispositions constructives

23

=2

12

3

3

1

035.0

)100(*

ck

cklRdcwRdc

fk

fkCMaxdbV

ρ 2463.1931

2001

2001 <=+=+=

dk

02.0014.05.93*30

9.4*8 <===db

A

w

sllρ

KNMN

MNMaxMaxVRdc 161

063.0

161.0

25463.1*035.0

)25*014.0*100(*463.1*12.0*935.0*30.02

1

2

3

3

1

=

=

=


� Aciers transversauxCalcul de θ

θ est plafonné tel que soit θ =24°

54.0250

2516.0

25016.0 =

−=

−= ckfν

MPadb

V

zb

V

w

Ed

w

EdEd 35.3

94.0*9.0*3.0

845.0

9.0====τ

3448.0372.067.16*54.0

35.3,* >===cd

redEd

fντ

τ2.24

2

²411cotg

*

*

=−+=τ

τθ


Arche poutre donne 8.31cm² à une distance d du nu de l’appui

24

mcmgfd

V

s

A

ywd

dEdsw /²17.824.2*435*935.0*9.0

670.0

cot..9.0Re, ===

θ


� Aciers transversauxLiaison Ame / Table

On doit avoir avec Table comprimée 1<cotgθf<2

Table tendue 1<cotgθf<1.25

Plaçons nous dans le sens de la sécurité en terme de quantité d’acier avec cotgθf=2

f

fcd

ff

redEdEd g

gf

b

b

hz

V

θθ

ντ 21,

cot1

cot

* +<=

( )MPaMPa 6.3

²21

2

5.1

25*54.0892.1

6.1

2/3.06.1

17.0*94.0*9.0

67.0 =+

<=−


La condition est donc vérifiée

Calcul des aciers de couture

Si barre HA10, section d’acier 0.79cm² soit un espacement de 0.21m Arche poutre les espace de 19cm aux appuis

25

²215.16.117.0*94.0*9.0 +

mcmgf

h

s

A

fywd

fEd

f

sf /²7.32*435

17.0*892.1

cot.

*===

θτ


� Plan d’armatures proposé


26


� Calcul de la flèche

Si on utilise la méthode simplifiée avec la minoration par 7/Leff, la flèche n’est pas vérifiéOn peut alors utiliser la méthode des courbures


27

L/500=1130/500=2.26cm

1.4+(1080-700)/1000=1.78cm

Sections continues et redistributions

� Données2 travées de 5 mètres section 22*60 sur des appuis de 30cmsC25/30 acier B500B, Environnement XC1, classe structurale 4Charges uniformément réparties PP +20KN/ml en permanent et 30KN/ml de surcharges


28


� Hypothèses de redistribution.

L’EC2 stipule qu’il est loisible d’effectuer une redistribution pour les poutres et les dallescontinues qui:

a) sont principalement soumises à la flexionb) ont un ratio de longueur des travées adjacentes compris entre 0,5 et 2

Une redistribution d des moments fléchissants, sans vérification explicite de la capacité de rotation, est autorisée:

d ≥ k + k x /d pour f ≤ 50 MPa (5.10a)


d ≥ k1 + k2xu/d pour fck ≤ 50 MPa (5.10a)d ≥ k3 + k4xu/d pour fck > 50 MPa (5.10b)

d ≥ k5 pour Classe B et C d’armature (voir EN Annexe C: k5 = 0.7 )

d ≥ k6 pour armature de Classe A (voir EN Annexe C : k6 = 0.8 )

où: d est le ratio du moment redistribué sur le moment fléchissant élastique

xu est la hauteur de l’axe neutre à l’ELU après redistributiond est la hauteur utile de la sectionk1 = 0,44, k2 = 1,25(0,6 + 0,0014/ εcu2) = 1.25 pour bétons courants,k3 = 0,54, k4 = 1,25(0,6 + 0,0014/ εcu2)

29


� Modèle AD correspondant, et enveloppe des moments


30


� Arche Poutre sans redistribution et sollicitations entre-axeDans Hypothèse / Calcul /Moments


On retrouve sensiblement les mêmes résultats.

31


� Arche Poutre avec redistribution et sollicitations entre-axePar défaut, Arche poutre utilise une redistribution forfaitaire de 85% pour chaque combinaisons


32

0.85*268=228KNm

Moments augmentés pour respecter l’équilibre


� Arche Poutre avec redistribution et sollicitations entre-axeOn peut demander une redistribution automatisée par combinaison, ceci nécessite une régénération des combinaisons


33

Coeff mini de redistribution

Les combinaisons qui amplifiaient cette valeur n’ont pas subies la redistribution


� Arche Poutre avec redistribution et sollicitations entre-axe

L’EC2 dit que dans le cas d’assemblages monolithique, le moment critique de calcul au niveaude l’appui est égal au moment au nu de l’appui sous réserve que ce dernier soit au moins égal à 65% du moment d’encastrement, pour le calcul des armatures. C’est cette hypothèse qui est conservée dans Arche Poutre EC2

Menu Options / Affichage


34

Coeff mini de redistribution

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