COURS DE

CALCUL MATRICIEL

APPLIQUÉ

OUVRAGES DE M. DENIS-PAPIN

E n s e i g n e m e n t s u p é r i e u r s c i e n t i f i q u e e t t e c h n i q u e .

NOTES ET FORMULES DE L'INGÉNIEUR (FORMULAIRE DE LAHARPE) , SOUS l a d i r e c t i o n d e

M. D E N I S - P A P I N e t J . VALLOT. — A l b i n M i c h e l , é d i t e u r .

PRÉPARATION DES MANUSCRITS SCIENTIFIQUES ET TECHNIQUES. — CORRECTION DES ÉPREUVES

(CONSEILS AUX AUTEURS) . — A l b i n M i c h e l , é d i t e u r . ( P l a q u e t t e t i r é e à p a r t d e

l ' o u v r a g e p r é c é d e n t ) .

MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES. — D u n o d , é d i t e u r .

MÉCANIQUE ET PHYSIQUE GÉNÉRALES. — D u n o d , é d i t e u r .

ELECTROTECHNIQUE GÉNÉRALE. — D u n o d , é d i t e u r .

MÉTROLOGIE GÉNÉRALE (GRANDEURS ET UNITÉS) ( E n c o l l a b o r a t i o n a v e c J . VALLOT). —

D u n o d , é d i t e u r .

MÉTROLOGIE APPLIQUÉE (MÉTHODES ET INSTRUMENTS DE MESURES) ( E n c o l l a b o r a t i o n a v e c

J . VALLOT). — D u n o d , é d i t e u r .

BIBLIOTHÈQUE DE L ' I N G É N I E U R - E L E C T R I C I E N - M É C A N I C I E N , f o n d é e p a r L . BARBILLION,

r e f o n d u e s o u s l a d i r e c t i o n d e M . D E N I S - P A P I N . — A l b i n M i c h e l , é d i t e u r .

MONOGRAPHIES TECHNIQUES DU X X SIÈCLE, c o l l e c t i o n d i r i g é e p a r M. D E N I S - P A P I N . —

D e s f o r g e s , é d i t e u r .

T R A I T É PRATIQUE DES UNITÉ3 DE MESURES. — A l b i n M i c h e l , é d i t e u r .

LA PRATIQUE INDUSTRIELLE DES TRANSFORMATEURS. — A l b i n M i c h e l , é d i t e u r .

PRINCIPES GÉNÉRAUX DE VENTILATION INDUSTRIELLE ET DE CONDITIONNEMENT D'AIR. —

D e s f o r g e s , é d i t e u r .

LES FOURS D'ELECTROMÉTALLURGIE ( E n c o l l a b o r a t i o n a v e c J . BISTESI) . — D e s f o r g e s , é d i t e u r .

E n s e i g n e m e n t s e c o n d a i r e — B a c c a l a u r é a t s .

COLLECTION DR RÉSUMÉS AIDE-MÉMOIRE ET DE FORMULAIRES DE MATHÉMATIQUES, PHY-

SIQUE ET CHIMIE, 8 v o l u m e s . — F e r n a n d N a t h a n , é d i t e u r .

E n s e i g n e m e n t p r o f e s s i o n n e l .

LES MATHÉMATIQUES APRÈS L'ÉCOLE PRIMAIRE ( E n c o l l a b o r a t i o n a v e c L . T R I P A R D ) . —

D u n o d , é d i t e u r .

COURS ÉLÉMENTAIRE D'ELEC TRICITÉ GÉNÉRALE (INITIATION A L'ÉLECTRICITÉ ET A LA T . S . F . ) .

— A l b i n M i c h e l , é d i t e u r .

COURS ÉLÉMENTAIRE D'ELECTRICITÉ INDUSTRIELLE ( E n c o l l a b o r a t i o n a v e c P . MAURER) .

— A l b i n M i c h e l , é d i t e u r .

POUR SE PRÉSERVER DES DANGERS DE LA FOUDRE ET DE L'ÉLECTRICITÉ. — D o i n , é d i t e u r .

O U V R A G E S D U C A P I T A I N E A . K A U F M A N N

( E n c o l l a b o r a t i o n a v e c M D E N I S - P A P I N )

COURS DE CALCUL OPÉRATIONNEL. — A l b i n M i c h e l , é d i t e u r .

COURS DE CALCUL MATRICIEL APPLIQUÉ. — A l b i n M i c h e l , é d i t e u r .

MEMENTO DES UNITÉS GIORGI ( M . K . S . A . ) . — U n e p l a q u e t t e , D e s f o r g e s , é d i t e u r .

B i b l i o t h è q u e d e l ' I n g é n i e u r É l e c t r i c i e n - M é c a n i c i e n F o n d é e p a r Lou i s BARBILLION

Professeur à l'Université de Grenoble, Directeur de l'Instilut Polytechnique. R e f o n d u e s o u s la d i r e c t i o n d e M a u r i c e D E N I S - P A P I N

Ingénieur-conseil et expert (1. E. G.), Professeur à l'Ecole d'Electricité physique et industrielle.

C O U R S D E M A T H É M A T I Q U E S S U P É R I E U R E S A P P L I Q U É E S

à l 'usage des É l è v e s de l ' E n s e i g n e m e n t Supé r i eu r scient i f ique e t t echn ique , des Ingénieurs , des P h y s i c i e n s e t des Officiers des A r m e s spécial isées .

Couronné p a r l 'Association p o u r l ' E n c o u r a g e m e n t à la Recherche Aéronaut ique .

COURS DE

CALCUL M A T R I C I E L APPLIQUÉ

PAR

MAURICE DENIS-PAPIN & CAPITAINE A. KAUFMANN Ingénieur 1. E. G. Ingénieur 1. R. G.

P R É F A C E S DE

F. ESCLANGON Directeur de l'École Nationale Supérieure d'Électrotechnique

et d'Hydraulique de Grenoble. ET

G . L E H R Ingénieur général de l'Air.

É D I T I O N S A L B I N M I C H E L

22, rue Huyghens P A R I S

1951

PRÉCÉDEMMENT PARU, A LA MÊME LIBRAIRIE

COURS DE MATHÉMATIQUES SUPÉRIEURES APPLIQUÉES :

* Cours de Calcul opérationnel.

A PARAITRE

*** Cours de Calcul tensoriel appliqué. '

Envoi franco, sur demande, du catalogue général des éditions scientifiques et techniques ALBIN MICHEL.

Tous droits de traduction et de reproduction réservés pour tous pays.

Copyright 1951, by ÉDITIONS ALBIN MICHEL.

PRÉFACES

Voici le second livre de mathématiques de M. Denis-Papin et du Capitaine Kaufmann Après le calcul opérationnel, ils présentent maintenant les matrices.

« Que nous importent les matrices, diront certains ingénieurs ; comme M. Jourdain, nous avons fait plus d'une fois du calcul matriciel sans le savoir ». Effectivement, il s'agit surtout d'un mode d'écriture, d'une sténographie.

J 'ai été autrefois de cet avis, mais je pense maintenant que la simplification de l'écriture amène une simplification de la pensée, et que tout progrès dans ce sens nous permet d'étendre le champ de nos connaissances.

Le calcul matriciel ressuscité, il y a quelques. années, par Born et Jordan pour la systémaiisation de la mécanique quan t i t é de Ileisenberg, est en train d'envahir toute la physique. Il est l'outil essentiel d'élude des systèmes linéaires, et ce ne sont guère que ces systèmes que nous arrivons à connaitre de façon un peu approfondie. D'ici quelques années, l'ingénieur, j'entends, celui qui fait de la technique et non de la littérature, ne pourra pas plus se passer de calcul matriciel, que son confrère d'il y a vingt ans ne pouvait se passer de calcul vectoriel.

Il existe déjà des ouvrages savants et fort bien faits sur le sujet ; mais, s'ils ont de grandes qualités quant à la rigueur des méthodes, ils sont souvent peu accessibles à l'ingénieur moyen qui a un peu perdu le contact avec les mathéma- ! tiques, et qu'un exposé trop abstrait peut rebuter. L'ouvrage de MM. Denis- Papin et Kaufmann vient à point pour vulgariser, au bon sens du mot, l'emploi des matrices. L'ingénieur trouvera dans ce livre un outil utilisable, et les très nombreuses applications qui y sont traitées le convaincront de l'intérêt de ce calcul.

En effet, après l'exposé algébrique et analytique nécessaire, les auteurs consacrent de nombreuses pages à l'utilisation des matrices ; dans la dyna- mique des vibrations, d'abord ; puis les quadripôles, qui font partie du b — a— ba des électriciens, et la résistance des matériaux.

En annexe, ils rappellent la liaison entre déterminants et malrices, et consacrent ensuite quelques pages à la solution numérique des équations

algébriques, et aux fameux critères de Hurvitz et Nyquisl, si importants dans la théorie des servomécanismes.

L ingénieur sera à son aise a la lecture de ce livre ; il y trouvera un lan- gage familier et des problèmes qu'il connaît pour les avoir rencontrés dans son métier. Il apprendra aisément les éléments de ce calcul, ce qui sera suffisant pour lui permettre de lire les articles utilisant celle notation. S'il doit en pour- suivre l'étude, ce livre lui servira d'initiation, avant d'entreprendre des ouvrages plus poussés. Les étudiants y trouveront un texte commode à quoi se rapporter pour compléter ou préciser le cours du Professeur.

Je souhaite à ce livre un vif succès ; puisse-t-il souligner devant les techni- ciens français que les mathématiques utiles à l'ingénieur ne te limitent pas au « taupin », et que, si l'étude des coniques peut être un passe-temps fort agréable pour les dimanches pluvieux, il y a autre chose à connaître. El à nous, Professeurs ou Directeurs d'Ecole d'ingénieurs, puisse-t-il rappeler qu'il est grand temps de moderniser nos programmes, si nous voulons que nos élèves apprennent leurs connaissances théoriques les plus utiles sur les bancs de nos établissements, et non comme autodidactes au cours de leur carrière d'ingénieurs.

F. ESCLANGON, Directeur de l'Ecole Nationale Supérieure

d ' et d'Hydraulique de Grenoble.

Le calcul matriciel, inventé il y a une centaine d'années par le mathématicien anglais Cayley, concerne les substitutions linéaires. Ce qui caractérise un poly- nôme l i n é a i r e plusieurs variables, ce ne sont évidemment pas les variables

| mais leurs coefficients d'où l'idée d'écrire seulement ces derniers. Telle est l'origine de la notion de matrice. Les matrices peuvent être soumises aux opérations algébriques usuelles dont Cayley a établi les règles. Dans certains cas, au lieu d'expliciter les matrices, on les symbolise par une lettre majuscule unique, ce qui procure une énorme simplification d'écriture.

Pendant longtemps, le calcul matriciel est resté simple spéculation de mathématiciens ; mais, depuis quelques années, il a été exhumé, dans les pays anglo-saxons et mis à la disposition des ingénieurs. Les systèmes linéaires jouent, en effet, un rôle primordial dans la science de l'ingénieur, comme d'ailleurs dans toutes les sciences appliquées, car ils forment l'approximation la plus simple des relations réelles entre les phénomènes, trop complexes pour pouvoir être exploitées. En outre, la réalisation des grandes machines arithmé- tiques permet aujourd'hui le calcul presque instantané des déterminants aux- quels conduit inévitablement l'emploi des matrices et dont on ne saurait venir à bout, par les moyens ordinaires, sans un travail pénible, fastidieux et sujet à erreurs.

Le grand mérite de MM. Denis-Papin et Kaufmann est d'avoir pris l'initia- tive de faire connaître, en France, au grand public scientifique et technique, ce

remarquable outil de travail. Les auteurs du présent ouvrage doivent être félicités d'avoir ainsi comble une lacune de notre bibliographie technique. L'Association pour l'Encouragement à la Recherche aéronautique l'a d'ailleurs bien compris, puisqu elle a décerné à chacun d'eux, à l'occasion de sa Journée des Vïbrations, en ju in 1950, une médaille de vermeil.

Leur travail intéressera d'autant plus les ingénieurs qu'il fourmille d'appli- cations techniques, appartenant surtout au domaine de l'électricité. Je suis persuadé qu'il recevra du public les encouragements qu'il mérite, à la fois pa r la nouveauté du sujet traité et par le caractère pratique de l'exposé.

GEORGES LEHR,

Ingénieur Général de l'Air (C. R . )

AVERTISSEMENT

On prouve le mouvement en marchant..... Le surcès du COURS DE CALCUL OPÉRATIONNEL a démontré que, si le but qu'on se proposait a bien été atteint, la méthode employée pour y parvenir entrait aussi en ligne de^compte.

C'est donc persuadés de ne pas faire fausse route — et les voix les plus autorisées nous en ont donné confirmation, — que nous présentons au lecteur le COURS DE CALCUL MATRICIEL APPLIQUÉ, suite naturelle et complément indis- pensable du premier, rédigé suivant les mêmes directives.

Comme son nom l'indique, c'est encore et toujours un ouvrage de MATHÉMATIQUES SUPÉRIEURES APPLIQUÉES, où la rigueur cède souvent le pas à l'intuition. Il s'agirait là d'un défaut capital s'il prétendait être destiné à des études spéculatives. Mais ce manque de rigueur mathématique, que nous ne cherchons nullement à dissimuler, nous a permis d'alléger consi- dérablement les exposés au profit d'un grand nombre d'exercices de toutes sortes pris dans la réalité palpable de chaque jour.

Certains prétendront que notre texte est trop long, d'autres qu'il est trop succinct pour un tel sujet; or nous avons cherché simplement à ce qu'il soit UTILE, sans nous préoccuper de son étendue. Fait par des ingénieurs pour des ingénieurs et élèves-ingénieurs, c'est à travers l'optique de leur métier que le Cours de Calcul Matriciel Appliqué a été conçu. Cette façon de voir attirera certainement aux auteurs de gros reproches de la part des « vrais mathématiciens », surtout en ce qui concerne la logique, la « grande Lo- gique ». Mais, comme on dit au tribunal, le lecteur « appréciera », et, en ce qui concerne le calcul opérationnel, c'est déjà chose faite, avec, même, la garantie de juges particulièrement qualitiés.

Chaque fois que l'on veut introduire de nouvelles méthodes dans les cours de mathématiques destinés aux ingénieurs, on se heurte forcément à l'hostilité violente de nombreux professeurs. Rappelons que, dans un passé tout proche, on porta des accusations telles que celles-ci :

— Le Calcul vectoriel cache la nature profonde des phénomènes... — Le Calcul complexe (théorie des imaginaires) ne doit être employé que

si l'on connaît les fonctions analytiques. (Pas un ingénieur sur cent ne les a étudiées).

— Le Calcul des probabilités est une pure spéculation de l'esprit... — Le Calcul opérationnel ne peut être utilisé qu'à la condition de pos-

séder à fond la notion d'intégrale curviligne dans le plan complexe! etc..., etc...

Ne dira t-on pas : Le Calcul matriciel ne doit pas être mis entre les mains de ceux qui ne

possèdent pas des connaissances supérieures en Algèbre linéaire? Mais que nous importe ! Notre opinion est qu'un ingénieur doit avant

tout voir dans les mathématiques un instrument indispensable, l'auxiliaire de toute recherche, de toute expérimentation, de toute technique ; un moyen extrêmement puissant, mais pas une fin. Ce qui n'empêche pas l'in- génieur d'approfondir plus tard ses connaissances mathématiques, de les étayer solidement, et, alors, de les considérer en dilettante, comme un art, comme une forme supérieure de l'intelligence.

Nous ne saurions mieux préciser notre pensée qu'en terminant cette profession de foi par une citation du grand Anatole France, dans « Le Jar- din d'Epicure », citation qui, si elle concerne les enfants et en particulier, dans le texte, les jeunes filles, s'applique aussi bien, en vérité, aux grands enfants que sont les hommes :

« .... On sourit de pitié en songeant à ces pédagogues qui enseignent aux enfants les mots d'une langue que ceux-ci n'entendront ni ne parleront jamais. Ils disent, ces barbacoles, qu'ils enseignent ainsi les éléments des sciences et donnent aux filles des clartés de tout. Mais qui ne voit qu'ils leur donnent seulement des ténèbres de tout et que, pour mettre des idées dans ces jeunes têtes, molles et légères, il faudrait user d'une tout autre méthoJe. Montrez en peu de mots les grands objets d'une science, marquez-en les résultats par quelques exemples frappants. Soyez des généralisateurs, soyez des philosophes et cachez si bien votre philosophie qu'on vous croie aussi simple que les esprits auxquels vous parlez. Exposez sans jargon, dans la langue vulgaire et commune à tous, un petit nombre de faits qui frappent l'imagination et contentent l'intelligence. Que votre parole soit naïve, grande et généreuse. Ne vous flattez pas d'enseigner un grand nombre de choses. Excitez seulement la curiosité. Contents d'ouvrir les esprits, ne les surchargez point. Mettez-y l'étincelle. D'eux-même^, ils s'éprendront par l'endroit où ils sont inflammables.

Et si l'étincelle s'éteint, si certaines intelligences restent obscures, du moins vous ne les aurez point brûlées. Il y aura toujours des ignorants parmi nous. Il faut respecter toutes les natures et laisser à la simplicité celles qui y sont vouées »

Nous exprimons notre vive gratitude à M. Jean Kuntzmann, Maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Grenoble, pour les judicieux conseils qu'il a bien voulu nous donner lors de l'établissement du manuscrit.

Nos remerciements vont aussi à MM. Jean Pilon, Professeur de Mathé- matiques à l'Ecole des Pupilles de l'Air ; Albert Prigent, Ingénieur A. et M.; Francis Gairoard, Professeur technique adjoint à l'Ecole des Pupilles de l'Air ; au Capitaine Roger Douriaux, et au Lieutenant Pierre Bertram, officiers des Télécommunications de l'Armée de l'Air, qui nous ont aidé lors de la correction du manuscrit et des épreuves.

Nous n'oublions pas, enfin, nos deux dévoués dessinateurs, Roger Hascoët et Bernard Genet.

M. D. P. A. K.

COURS DE CALCUL MATRICIEL APPLIQUÉ

Si la science est véritablement une « Economie de la Pensée », quelle économie ne réalisons- nous pas, du j o u r où, les fails élémentaires étant une fois connus, nous n'enseignons plus l'acous- tique, l' électricilé, l'optique, mais un cours géné- ra l d'impédance, un autre de propagation, un autre de stabilité ?

YVES ROCARD,

(Dynamique Générale des Vibrations. Ed. Masson).

CHAPITRE I

G É N É R A L I T É S E T THÉORIE

1. In t roduc t ion .

Tout d'abord nous allons donner au lecteur une idée générale concer- nant les systèmes algébriques linéaires; les explications du début seront aussi simples que possible et les exemples très élémentaires. Le lecteur découvrira sans difficulté le concept de motrice, puis progressivement diverses propriétés qui s'y attachent. Les notations que nous recommandons ne sont pas universellement adoptées, mais les auteurs, par expérience, ont apprécié leur commodité et ils en conseillent l'emploi.

Il importe de connaître les opérations les plus importantes de l'algèbre des matrices pour les utiliser plus loin. Ce sera l'objet principal de ce 1er cha- pitre. Nous conseillons au lecteur de faire beaucoup d'exercices, et nous lui en proposons d'ailleurs un grand nombre.

2. Rappel de certaines règles de l'Algèbre.

Nous allons rappeler un certain nombre de règles et propriétés que l'on considère en algèbre.

Si X, Y, ....etc sont des grandeurs de nature mathématique quelconque, mais toutes de même nature, si a, β, ...etc sont des nombres purs, le tableau ci-dessous rappellera ces diverses règles et propriétés.

(2.11) Étant donné 2 grandeurs X et Y, il existe une grandeur Z et une seule telle que :

X = Y + Z, Z est appelée « différence », on écrit Z = X — Y

(2.12) La grandeur 0 (zéro) est telle que X + 0 = X

Dans ce qui va suivre nous examinerons, lorsque ce sera nécessaire, quelles sont les propriétés qui seront satisfaites et quelles sont celles qui ne le seront pas pour les grandeurs auxquelles nous nous intéresserons ; c'est- à-dire quelles opérations aurons-nous le droit d'effectuer avec ces grandeurs.

3. Notion de système linéaire.

En algèbre élémentaire, on dit qu'une fonction f(x) est « linéaire » par rapport à x si elle est constituée par un polynôme du 1er degré en x.

Exemple. (3.1)

Une fonction linéaire homogène possède les 2 propriétés suivantes

(3.2) (3.3) où À est un nombre

en effet : si f(x) = ax

(3.4)

(3.5)

Une fonction linéaire non homogène satisfait aux propriétés (3.2) et (3.3) a une constante près.

En effet : si f(x) = ax + b

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

Ces considérations sont étendues aux fonctions de plusieurs variables indépendantes x, y, z,...

Soit f(x, y) une fonction de 2 variables indépendantes x et y. Les pro- priétés (3.2) et (3.3) s'écriront :

(3.10)

(3.11)

L'homogénéité sera définie de la même façon que précédemment :

Exemple. (3.12) est linéaire homogène

(3.13) est linéaire non homogène

Système d'équations linéaires.

Ce sont les mêmes considérations qui ont fait nommer les systèmes d'équations suivants où les coefficients a et b sont des constantes « systèmes d'équations algébriques linéaires non homogènes )) ou vulgairement « sys- tèmes algébriques linéaires ». (3.14)

(3.15)

si les coefficients b sont tous nuls le système est alors dit, en plus « homo- gène ».

De même :

(3.16)

et plus généralement :

(3.17)

4. Extension de l'idée de nombre.

En arithmétique on étudie successivement : les nombres entiers, les nombres fractionnaires, puis les nombres irrationnels.

En algèbre élémentaire on étudie, de plus, les nombres négatifs. En algèbre des nombres complexes (imaginaires) on étend la notion de

nombre en associant 2 nombres, l'un dit « coefficient de la partie réelle », l'autre dit « coefficient de la partie imaginaire ».

En calcul vectoriel on considère des grandeurs dirigées, ce qui implique la définition de ces grandeurs au moyen de 2 nombres (dans le plan) ou de 3 (dans l'espace) et un système de référence.

En calcul matriciel nous considérons cette fois des grandeurs définies au moyen de n nombres indépendants ou non et nous étudierons l'algèbre correspondante.

5. Notion de transformation linéaire.

Considérons une g randeur X définie au moyen des quanti tés x et x2 et une grandeur Y définie au moyen des quanti tés y et Y2 soit

(5.1)

Les relations (5.1) définissent ce que l'on nomme une « transformation linéaire » entre X ( et Y ( y y L'écriture employée signifiant que x définissent X et y1, y2 définissent Y.

De même la façon, on définira des transformations linéaires entre 3,4 . . . n grandeurs. Par exemple :

(5.2) (5.3)

d é f i n i s s e n t u n e t r a n s f o r m a t i o n l i n é a i r e e n t r e X ( x X 2 , x 3 ) e t Y ( Y l , Y2, y

entre X ( x . . . . , x et Y ( y ,

Plus généralement, on considère des transformations linéaires entre X ( x . , x et Y ( y . . . . , y soit :

(5.4)

où, comme on le voit X est défini par m quantités xi et Y par n quan- tités yj. Nous aurons surtout à nous occuper dans le présent ouvrage de transformations linéaires où m = n c'est-à-dire telles que (5 3).

Dans certains cas (nous verrons cela un peu plus loin) la transformation linéaire réciproque est possible, c'est-à-dire celle qui permet de passer de Y à X. Par exemple, en résolvant le système d'équations (5.1) par rapport, à Xi et X2, il vient :

(5.5)

on voit que la transformation inverse existe sous réserve que 1 a 1 ≠ 0. Pour une transformation linéaire telle que (5.2) les formules permettant

d'obtenir la transformation inverse, quand elle existe, sont plus compliquées et le calcul plus laborieux ; la complication devient de plus en plus grande lorsque le nombre d'équations est plus élevé. Nous verrons plus loin que le calcul matriciel entre autres méthodes nous permettra de passer d'une trans- formation à son inverse, si cet inverse existe.

6. Exemples géométriques de transformations linéaires.

1 exemple.

Rotation d'un point dans le plan.

Considérons un point M dans le plan xoy, de coordonnées OP = x et OQ = y; soit p = OM. Faisons tourner le point M d'un argle 0 au- tour de l'origine 0 et soit M' sa nou- velle position. D'après la figure (6.1) nous écrirons, O P ' = x ' et OQ' = y' étant les nouvelles coordonnées :

F i g u r e 6-1.

(6.1)

soil :

(6.2)

soit encore :

(6.3)

C'est la transformation linéaire qui correspond à une rotation 6.

Si , o n a :

(6.4)

s i - 0 = 7c, o n a :

. (6.5)

La transformation inverse existe, elle correspond à une rotation d'un angle θ, en sens inverse : (6.6)

2* exemple. Translation radiale (homothétie).

Figure 6.2. Figure 6.3.

Si M se déplace selon OM (figure 6.2), on écrira : (6.7)

C'est encore une t ransformation linéaire.

3e exemple. Symétrie.

En prenant M' symétr ique à M par rapport à ox (figure 6.3), on écrira :

(6.8)

Pour une symétrie par rapport à oy, on écrira : (6.9)

C'est encore une transformation linéaire.

7. Noms donnés aux systèmes linéaires.

Les Mathématiciens.

Les mathématiciens appellent « espace à n dimensions » l'ensemble des points tels que X défini par les n coordonnées x . . . , xn. On dira

alors que (5.1) définit une t ransformation linéaire dans un espace à 2 -dimen- sions, (5.2) dans un espace à 3 dimensions, (5.3) enfin, définit une t ransfor- mation linéaire dans un espace à n dimensions.

Les Mécaniciens.

Un système tel que (5.3) est appe é par les mécaniciens « sytème linéaire à n degrés de liberté )).

La figure (7.1) donne l'exemple d'un système mécanique linéaire (cas des petites oscillations) à 3 degrés de liberté. Ce système fait intervenir 3 équations différentielles linéaires dont les variables sont θ 62 et 03.

Les Electriciens.

Le système (5.3) est appelé par les électriciens « réseau linéaire à n mailles ».

Fig. 7-1.

La figure (7.2) donne l 'exemple d 'un réseau à 4 mailles ; ce réseau implique 4 courants i i3 et i qui représentent ici les 4 inconnues.

Fig. 7-2.

A noter que les électriciens choisissent aussi, comme inconnues, les différences de potentiel entre les différents « nœuds » du réseau.

8. Écriture indicielle.

. Le système d'équations (3.17) peut s'écrire sous forme indicielle

(8 1)

où le 1 indice de aij représente la ligne considérée et le 2° la colonne. Certains auteurs préfèrent employer la notation indicielle suivante :

(8.2)

dans ce cas, l'indice inférieur de se rapporte à la ligne et l'indice supérieur à la colonne.

Pour éviter des erreurs aux débutants, nous conseillons l'emploi des formules mnémotechniques :

LICO (ligne — colonne) OU

B A L I (indice du bas signifie ligne)

Convention de sommation.

Une des conventions les plus employées en mathématiques est la « convention de sommation » :

« La répétition d'un même indice une fois en bas et une autre fois en haut indique une sommation pour toutes les valeurs données à cet indice ». Cet indice est appelé INDICE MUET.

Exemple.

(8.3)

ici j est l'indice muet — (bien entendu yi ne signilie pas y puissance j). Autre exemple.

(8.4)

(8.5) soit ici k est l'indice muet.

Ces notations sont surtout utiles en « calcul tensoriel », nous ne les emploierons pas en calcul matriciel à l'encontre de certains auteurs.

9. Représentation des transformations linéaires au moyen de

« MATRICES ».

Considérons le système :

(9,1)

Nous appellerons « matrice de transformation » le tableau :

(9.2)

Pour éviter de confondre ce tableau avec un déterminant (lequel n'est pas un tableau mais représente un polynôme homogène ou un nombre 1) nous écrirons

1. Voir annexe I. « Rappel sur la théorie des déterminants ».

(9.3)

Certains auteurs préfèrent "employer des « doubles barres » ou des « parenthèses » :

Nous appellerons « matrice co'onne » le tableau vertical des grandeurs y et x.

Nous utiliserons des « accolades » pour représenter les matrices « colonnes ». Certains auteurs préfèrent conserver pour de telles matrices les représentations (9.4) ou (9.5).

Nous verrons un peu plus loin que l'on peut définir des opérations avec de tels tableaux.

Règle pour obtenir la matrice de transformation.

C'est très simple, on ordonne conformément à (5.1), (5.2) ou (5.3) et on met en évidence la matrice de transformation.

Exemple.

Chercher la matrice de transformation de :

(9.8)

Pour rechercher la matrice t ransformant x en y nous expliciterons y1 et y2, puis nous ordonnerons le second membre selon l 'ordre des indices

(ou tout ordre arbi t ra i re que l'on se fixe).

1" opération.

(9.9)

2e opération.

(9.10)

la matrice de transformation sera :

(9.11)

2 exemple. (9.12) (9.13) (9.14)

3 exemple.

(9.15) (9.16) (9.17)

10. Exercices pour le § 9.

Donner la matrice de t ransformation :

11. Opérations très élémentaires sur les matrices de transfor- mation.

Nous continuons l'initiation progressive du lecteur.

A) Somme. soit :

(11.1)

et :

(11.2)

faisons la somme ligne par ligne de (11.1) et (11.2)

(11.3)

Ainsi pour obtenir la matrice de t ranformation de (11.3) on fait la somme « élément » par « élément » de la matrice de (11.1) et de celle de (11.2).

B) Produits. soit :

(11.4)

et :

(11.5)

Cherchons à exprimer zi et en fonction de x et X2, pour cela por- tons y et Y2 tirés de (11.4) dans (11.5); il vient :

(11.6)

soit :

(11.7)

La matrice de (11.7) définit, comme nous le verrons un peu plus loin, le produit de la matrice de (11.5) par celle de (11.4).

Le lecteur a pu se faire une première idée sur le rôle des tableaux appe- lés « matrices ». Nous sommes restés intentionnellement sur des données intuitives, nous allons revoir toutes ces considérations avec plus de précisions dans ce qui suit.

THÉORIE DES MATRICES

12. Définitions.

On appelle « matrice d'ordre m par n » un tableau de m X n éléments formant m lignes et n colonnes 1. On écrit matrice d'ordre (m, n). Les élé- ments qui composent cette matrice peuvent être des grandeurs réelles ou complexes, des constantes ou des fonctions.

On entourera le tableau de 2 crochets pour Lien montrer qu'il ne s'agit pas d'un déterminant. -

(12.1)

Matrice carrée.

On appelle « matrice carrée » une matrice dont le nombre de lignes est 1 égal au nombre de colonnes, on dit que la matrice est d 'ordre n par n, ou encore d 'ordre n2 et plus s implement d 'ordre n (ce qui sous-entend n lignes, n colonnes).

1. Nous employons le mot « ordre » parce qu'il est commode, il est toutefois logique- ment impropre, en effet, on ne peut écrire : (2,4) > (3,3).

(12.2)

La diagonale constituée par les éléments a , a est appelée « diagonale principale ».

Matrice colonne.

On appelle matrice « colonne » une matrice dont le nombre de colonnes est égal à 1. Nous emploierons pour de telles matrices des accolades au lieu de crochets et nous n'utiliserons souvent qu'un seul indice, le second étant inutile

L'emploi d 'une notation différente nous semble justifié par le rôle bien part iculier de ces matrices.

Ecri ture abrégée.

Il est commode d'employer une écriture abrégée. La matrice dont les éléments sont a s 'écrira :

[ a ou encore [ a ]

si cette matrice est carrée, on écrira :

Oij ou encore a

s'il s 'agit d 'une colonne :

| a ou encore | a j

Rappel concernant les déterminants.

Rappelons au lecteur distrai t qu 'une matrice et un dé terminant sont 2 choses absolument différentes :

— une matrice est un tableau de nombres ou de fonctions.

— un déterminant est une représentat ion symbolique d'un polynôme parfai tement défini1.

(12.5)

1. Voir annexe 1.

il serait stupide d'écrire :

( 12.6)

Déterminant dune matrice carrée.

C'est le déterminant formé avec les éléments de la matrice.

Exemple.

(12.7) est :

(12.8)

Dans le cas général :

(12.9)

En écriture abrégée on aura le choix de divers symboles :

Matrice singulière ou dégénérée.

Une matrice carrée dont le déterminant est nul est dite « singulière » ou « dégénérée ».

exemple :

(12.10)

On définit souvent « l 'ordre de singularité ». Si a est d 'ordre n et

si a 1 est de rang 1 q alors l 'ordre de singularité de a 1 est :

(12.11) exemple : la matrice

(12.12)

est d 'ordre 3, son déterminant est nul et de rang 2. donc son ordre de sin- gularité est 3 — 2 = 1.

1. Voir annexe I. Rang d'un déterminant, § A4.

13. Addition des matrices.

1°) On ne peut additionner que des matrices de même ordre.

2°) La somme de 2 matrices [ a ] et [ b ] est une matrice [ e ] telle que : (13.1)

Donc on ajoute les éléments correspondants.

Exemples :

(13.2)

(13.3)

Les matrices possèdent les propriétés définies par (2.1) et (2.2), en effet :

(13.4)

(13.5)

La soustraction de 2 matrices sera définie selon (2.11) :

(13.6)

14. Égalité de 2 matrices.

2 matrices sont égales si tous leurs éléments correspondants sont égaux chacun à chacun.

(14.1)

15. Matrice zéro.

Une matrice « zéro » ou matrice « nulle » est une matrice dont tous les éléments sont nuls, c'est-à-dire telle que aij = 0

exemple :

(15.1)

on écrit en abrégé : [ 0 J

La matrice zéro est telle que :

(15.2)

16. Multiplication d'une matrice par un scalaire.

On multiplie tous les éléments de la matrice par ce scalaire.

(16.1)

Les matrices possèdent les propriétés définies par (2.8), (2.9) et (2.10), en effet :

(16.2)

(16.3)

(16.4)

exemples :

(16.5) (16.6)

Le lecteur r emarquera que le produit, d'une, matrice carrée par un sca- laire ne suit pas les mêmes règles que le produit d 'un dé terminant par un nombre.

(16.7)

(16.8)

17. Multiplication d'une matrice par une matrice.

Pour multiplier une matrice [ b ] par une matrice [ a J, soit [ a ] [ b ], il

faut que le nombre de lignes de b ] soit égal au nombre de colonnes de

[ a ] . Le résultat est une matrice [ c ] telle que :

(17.1)

l'ordre de 1 c 1 sera (m, n) si celui de [ a ] est (m, p) et celui de [ b ] est

(p, n).