Cours de mécanique classique – femto-physique...11.1 Le référentiel terrestre est en rotation par rapport au référentiel géocentrique.126 11.2 Déviation vers l’Est : forces

F EMTOF

MEacuteCANIQUE CLASSIQUEDu point mateacuteriel au systegraveme de points

JIMMY ROUSSEL

2020 ndash femto-physiquefr

Cours de meacutecanique classique ndash femto-physiquefrJIMMY ROUSSEL professeur agreacutegeacute agrave lrsquoEcole Nationale Supeacuterieure de Chimie deRennes

Copyright copy 2020 Jimmy Rousselcbn Ce document est sous licence Creative Commons laquo Attribution - Pas drsquoUtilisationCommerciale 30 non transposeacute (CC BY-NC 30) raquoPour plus drsquoinformations httpscreativecommonsorglicensesby-nc30

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1re eacutedition ndash Oct 2013Version en ligne ndash femto-physiquefrmecanique

Preface

Ce cours de meacutecanique classique srsquoadresse plus particuliegraverement agrave des eacutetudiants depremier cycle universitaire ou eacutelegraveves des CPGE Toutefois au travers des compleacutementsde ce cours le futur enseignant pourra eacutegalement y trouver matiegravere agrave reacuteflexion etapprofondissement

Ce cours couvre les aspects fondamentaux de la meacutecanique newtonienne notion deforce lois de Newton point de vue eacutenergeacutetique moment cineacutetique forces drsquoinertieetc Par ailleurs des sujets importants comme la chute libre lrsquooscillateur les forcescentrales les solides sont eacutegalement traiteacutes On privileacutegie une preacutesentation naturelleen essayant drsquoeacuteviter un formalisme trop abstrait comme celui des torseurs ou celui dela meacutecanique analytique Eacuteventuellement les aspects plus techniques sont abordeacutesdans des compleacutements

Jrsquoai essayeacute le plus possible drsquoillustrer les diffeacuterentes notions par des exemples ou desimples exercices Mais pour un entraicircnement plus pousseacute jrsquoinvite le lecteur agrave seprocurer les eBooks

mdash Meacutecanique classique ndash 1re partie ndash 60 exercices et problegravemes corrigeacutes

mdash et Meacutecanique classique ndash 2e partie ndash 60 exercices et problegravemes corrigeacutes

disponibles agrave lrsquoadresse payhipcomfemto

Enfin je tiens agrave remercier vivement Quentin Vuillemard pour son rigoureux travail derelecture

Jimmy Roussel

Table des matiegraveres

Preface iii

Table des matiegraveres v

1 CINEacuteMATIQUE DU POINT MATEacuteRIEL 111 Temps et espace 112 Repeacuterage drsquoun point 413 Vitesse drsquoun point 514 Acceacuteleacuteration drsquoun point 915 Mouvements simples 12

2 POSTULATS DE LA DYNAMIQUE 1521 Lois de Newton 1522 Interactions fondamentales 2023 Lois pheacutenomeacutenologiques 25

3 PROBLEgraveMES DE CHUTE 3131 Principe drsquoeacutequivalence 3132 Chute libre sans frottement 3233 Chute libre avec frottement 34

4 APPROCHES EacuteNERGEacuteTIQUES 3941 Concept drsquoeacutenergie 3942 Eacutenergie meacutecanique 4243 Systegraveme de points 48

5 OSCILLATEURS MEacuteCANIQUES 5551 Oscillateur harmonique 5552 Reacutesonances 5953 Effets anharmoniques 65

6 THEacuteOREgraveME DU MOMENT CINEacuteTIQUE 6961 Moment drsquoune force 6962 Moment cineacutetique 7163 TMC 7364 Applications 75

7 MOUVEMENTS Agrave FORCE CENTRALE 7971 Lois de conservation 7972 Le problegraveme de Kepler 8373 Interaction coulombienne 91

8 REacuteFEacuteRENTIELS NON GALILEacuteENS 9581 Reacutefeacuterentiels en translation 9582 Reacutefeacuterentiels en rotation 9883 Geacuteneacuteralisation 102

9 PROBLEgraveME Agrave DEUX CORPS 10791 Reacuteduction du problegraveme agrave deux corps 10792 Exemples drsquoapplication 110

10 PHYSIQUE DES COLLISIONS 117101 Lois de conservation 117102 Collisions eacutelastiques 118103 Collisions ineacutelastiques 122

11 EFFETS DUS Agrave LA ROTATION TERRESTRE 125111 Effets de la rotation propre 126112 Effets du mouvement orbital 134

ANNEXES 141

A REacuteSOUDRE UNE EacuteQUATION DIFFEacuteRENTIELLE 143A1 Eacutequation diffeacuterentielle ordinaire 143A2 Eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires 145A3 Eacutequation agrave variables seacuteparables 147

B MEacuteTHODE DES PERTURBATIONS 149B1 Principe geacuteneacuteral 149B2 Cas des oscillateurs 151

C PEacuteRIODE DU PENDULE SIMPLE 155C1 Mise en eacutequation 155C2 Formule de Borda 156C3 Utilisation de la moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique 157

D LES CONIQUES 161D1 Introduction 161D2 Lrsquoellipse 161D3 La parabole 163D4 Lrsquohyperbole 164

Reacutefeacuterences 167

Notations 169

Grandeurs et constantes physiques 170

Table des figures

11 Notion drsquoabscisse curviligne 512 Deacutefinition du vecteur vitesse 513 Systegraveme carteacutesien 614 Systegraveme polaire 715 Repegravere de Frenet 816 Deacutefinition du vecteur acceacuteleacuteration 1017 Mouvement rectiligne 1218 Mouvement circulaire 13

21 Illustration du theacuteoregraveme du centre drsquoinertie 1922 Chronologie des diffeacuterentes theacuteories 2223 Interaction gravitationnelle 2224 Poids drsquoun corps 2325 Forces de Coulomb 2426 Forces de contact solide-solide 2527 Traicircneacutee et portance 2628 Tension eacutelastique 2729 Fil tendu sur un support 28

31 Position du problegraveme 3332 Influence de lrsquoangle sur la trajectoire 3433 Vitesse de chute 3534 Chute libre avec frottement quadratique 37

41 Calcul du travail de pesanteur 4042 Calcul du travail des forces de frottement 4043 Profil eacutenergeacutetique 4744 Systegraveme Sde points mateacuteriels 4851 Pendule eacutelastique 55

52 Oscillations harmoniques 5653 Reacutegime pseudo-peacuteriodique 5854 Reacutegime critique 5955 Reacutegime apeacuteriodique 5956 pendule eacutelastique soumis agrave une excitation sinusoiumldale 6057 Reacuteponse drsquoun oscillateur en amplitude 6258 Forces exteacuterieures agissant sur le systegraveme masse-ressort 6259 Eacutevolution freacutequentielle de la puissance absorbeacutee par lrsquooscillateur 63510 Bande passante 64511 Influence du coefficient drsquoamortissement sur la bande passante 64512 Puits de potentiel approcheacute au voisinage du minimum par une parabole 65513 Approximation harmonique du pendule simple 66514 Influence de lrsquoamplitude sur la peacuteriode drsquoun pendule simple 67515 Potentiel de Morse 6761 Forces concourantes 69

62 Couple de forces 7063 Notion de bras de levier 7164 Loi des aires 7665 Echelle contre un mur 7766 Solide en rotation autour drsquoun axe fixe 7767 Le pendule pesant 78

71 Loi des aires 8072 Exemple de profil eacutenergeacutetique 8173 Exemples drsquoorbites avec 5 (A) =

74 Potentiel effectif keacutepleacuterien 8475 Les diffeacuterentes trajectoires keacutepleacuteriennes 8576 Trajectoire hyperbolique dans le cas drsquoune force newtonienne reacutepulsive 92

81 Exemples de mouvement de translation 9683 Reacutefeacuterentiel en rotation par rapport agrave un axe fixe 9882 Le veacutehicule freine Le passager se sent projeteacute vers lrsquoavant 9884 Vitesse drsquoentraicircnement 10085 Le veacutehicule tourne Le passager se sent deacuteporteacute vers lrsquoexteacuterieur du virage 10186 Mouvement du reacutefeacuterentiel geacuteocentrique par rapport au reacutefeacuterentiel de Copernic10491 Systegraveme agrave deux corps 107

92 Trajectoires de deux corps en interaction newtonienne 11193 Mouvement peacuteriodique de lrsquoeacutetoile induit par la preacutesence drsquoune planegravete 11294 Courbe de vitesse radiale de lrsquoeacutetoile 51Pegasi 11395 Diffeacuterents types de courbe de vitesse radiale 11496 Potentiels de Morse 114101 Collision 117

102 Collision unidirectionnelle 119103 Pendule de Newton 120104 Collision entre un projectile et une cible fixe 121105 Choc mou 123

111 Le reacutefeacuterentiel terrestre est en rotation par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique126112 Deacuteviation vers lrsquoEst forces en preacutesence 128113 Deacuteviation vers la droite pour un corps en mouvement horizontal sur Terre 131114 Formation drsquoun cyclone dans lrsquoheacutemisphegravere nord 131115 Mouvement (tregraves exageacutereacute) horizontal du pendule dans lrsquoheacutemisphegravere nord 132116 Parameacutetrisation du problegraveme de Foucault 132117 Repreacutesentation du champ de mareacutee 135118 Influence de lrsquoinclinaison de la Terre sur lrsquoamplitude des mareacutees 137119 Influence de la Lune sur lrsquoamplitude des mareacutees 138

B1 Solution de lrsquooscillateur de Duffing 154C1 Le pendule et son profil eacutenergeacutetique 155

C2 Influence de lrsquoamplitude sur la peacuteriode drsquoun pensule 159C3 Erreur produite par les formules approximatives en fonction de lrsquoamplitude 159D1 Lrsquoellipse 161

D2 La parabole 163D3 Hyperbole drsquoexcentriciteacute 4 = 1 6 164

Liste des tableaux

21 Les quatre interactions fondamentales 2122 Quelques valeurs de coefficient de frottement statique 2623 G agrave grande vitesse pour diffeacuterents obstacles 27

31 Paramegravetres pour une bille drsquoacier lacirccheacutee dans lrsquoair et dans lrsquoeau 37

41 Caractegravere conservatif ou non de quelques interactions classiques 44

51 Facteur de qualiteacute de quelques reacutesonateurs 65

71 Quelques eacuteleacutements drsquoorbites des principales planegravetes du systegraveme solaire 89

101 Quelques valeurs de coefficients de restitution 123

C1 Moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique pour 0 = 1 et 1 = 05 157

CINEacuteMATIQUE DU POINTMATEacuteRIEL 1

11 Temps et espace 1Le temps 1Lrsquoespace 2

12 Repeacuterage drsquoun point 4Vecteur position 4Abscisse curviligne 5

13 Vitesse drsquoun point 5Deacutefinition 5coordonneacutees carteacutesiennes 6coordonneacutees polaires 7base de Frenet 8

14 Acceacuteleacuteration drsquoun point 9Vecteur acceacuteleacuteration 9coordonneacutees carteacutesiennes 10coordonneacutees carteacutesiennes 10base de Frenet 11

15 Mouvements simples 12Le mouvement rectiligne 12Le mouvement circulaire 13

La cineacutematique eacutetudie le mouvement du point indeacutependamment descauses qui lui donnent naissance Elle repose sur une descriptioneuclidienne de lrsquoespace et drsquoun temps absolu Dans ce cours on illustreles notions de vitesse et drsquoacceacuteleacuteration en se limitant aux mouvementsdans le plan

Ce chapitre est accessible en ligne agrave lrsquoadresse

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11 Temps et espace

Le temps

Nous sommes tous familiers avec cette laquo machine raquo qui reacuteactualiseconstamment le preacutesent qursquoon appelle le temps et que lrsquoon reacuteduitsouvent agrave ces quelques attributs chronologie dureacutee flegraveche du tempsPourtant les philosophes le savent bien la question du temps estdifficile[1] [1] KLEIN (2004) Les tactiques de Chronoset toute tentative de deacutefinition megravene au mieux agrave des meacuteta-phores

Quelques meacutetaphores du temps ndash

Le temps est lrsquoimage mobile de lrsquoeacuteterniteacute immobile ndash PlatonLe temps crsquoest ce qui passe quand rien ne se passe ndash GionoLe temps est un fleuve fait drsquoeacuteveacutenements ndash Marc Auregravele

Cela explique sans doute pourquoi lrsquointroduction du temps en phy-sique nrsquoallait pas de soi En effet il a fallu attendre le XVIIe siegravecle avantque le temps devienne un concept fondamental en physique On srsquoac-corde en geacuteneacuteral sur le fait que la physique moderne est neacutee suite agravelrsquointroduction du temps matheacutematique par Galileacutee lors de ses travauxsur la chute libre1 1 Galileacutee lors de ses premiegraveres expeacute-

riences utilisa son pouls pour deacutecrire lemouvement de corps en chute libre surdes plans inclineacutes

Newton formalisa plus rigoureusement lrsquoideacutee drsquountemps absolu et publia en 1687 lrsquoouvrage qui le rendit ceacutelegravebre Philoso-phiaelig Naturalis Principia Mathematica dans lequel il fonde sa meacutecaniqueet ougrave le temps devient une variable matheacutematique noteacutee C Le postulatque fait Newton est de reacuteduire le temps agrave une variable scalaire (agrave unedimension donc) qui croicirct continucircment ceci indeacutependamment de toutobservateur et de tout pheacutenomegravene Cette variable permet alors drsquoor-donner les eacuteveacutenements observeacutes pour produire une chronologie Lachronologie dans ce contexte devient alors absolue puisque le tempslaquo srsquoeacutecoule raquo de la mecircme maniegravere pour tout observateur Pour les mecircmesraisons la notion de simultaneacuteiteacute est absolue2

2 Crsquoest en reacutefleacutechissant sur le conceptde simultaneacuteiteacute dans le cadre des pheacute-nomegravenes eacutelectrodynamiques qursquoAlbertEinstein reacutevolutionnera la physique parlrsquoinvention drsquoune nouvelle theacuteorie en1905 la relativiteacute restreinte dans la-quelle la simultaneacuteiteacute et la chronologiedeviennent relatives agrave lrsquoobservateur

La course du tempsest en geacuteneacuteral repreacutesenteacutee par un axe orienteacute qui indique le futur Cet

2 1 CINEacuteMATIQUE DU POINT MATEacuteRIEL

axe est lineacuteaire et non circulaire pour respecter un principe fondamen-tal de physique qui jusqursquoici nrsquoa jamais eacuteteacute infirmeacute le Principe deCausaliteacute

Principe de Causaliteacute

La cause est pour tout observateur anteacuterieure agrave lrsquoeffet qursquoelle pro-duit De maniegravere plus geacuteneacuterale la chronologie de deux eacuteveacutenementsrelieacutes causalement est toujours la mecircme quel que soit lrsquoobservateur

Autrement dit le temps est irreacuteversible33 Lrsquoirreacuteversibiliteacute du temps traduit lacourse du temps agrave ne pas confondre avecla flegraveche du temps qui traduit lrsquoirreacuteversibi-liteacute de certains pheacutenomegravenes

il nrsquoest pas permis deremonter son passeacute Enfin cette course du temps produit de la dureacuteegrandeur qui mesure lrsquoeacuteloignement dans le temps de deux eacuteveacutenementsSi la date C repegravere lrsquoeacuteveacutenement A et C lrsquoeacuteveacutenement B la dureacutee

ΔC = C minus C

est indeacutependante de lrsquoobservateur et du choix arbitraire de lrsquooriginedes temps La mesure des dureacutees srsquoeffectue gracircce agrave une horloge etneacutecessite la deacutefinition drsquoune uniteacute de temps la seconde du Systegravemeinternational

Lrsquoeacutetalon seconde

La seconde est aujourdrsquohui reacutealiseacutee avec une exactitude relative de10minus14 agrave lrsquoaide drsquoune horloge atomique mateacuterialisant la peacuteriode detransition dans lrsquoatome de ceacutesium

La seconde est la dureacutee de 9 192 631 770 peacuteriodes de la radiationcorrespondant agrave la transition entre les deux niveaux hyperfins delrsquoatome 133Cs dans son eacutetat fondamental

NB Initialement la seconde eacutetait deacutefinie agrave partir du jour solairemoyen J par la relation = 86 400 s Aujourdrsquohui avec la deacutefinitionde lrsquoeacutetalon seconde on a = 86 400 003 s

Cependant il ne faut pas srsquoy tromper mecircme si la meacutecanique newto-nienne avec son temps absolu a remporteacute un succegraves durant pregraves dedeux siegravecles la question du temps refit surface avec la theacuteorie de la re-lativiteacute restreinte (Einstein 1905) dans laquelle la dureacutee la simultaneacuteiteacuteet la chronologie deviennent des grandeurs relatives agrave chaque obser-vateur le temps absolu disparaicirct Aujourdrsquohui certains theacuteoricienspensent qursquoil faut examiner agrave nouveau la question du temps physiqueet que le prix agrave payer pour aboutir agrave une theacuteorie enfin unifieacutee de la Phy-sique sera peut-ecirctre lrsquoabandon du temps comme concept fondamentalLe temps pourrait nrsquoecirctre qursquoune illusion une proprieacuteteacute eacutemergente Lrsquoin-troduction du temps annonccedila la naissance de la physique moderne sadisparition annoncera peut-ecirctre sa maturiteacute

Lrsquoespace

Lrsquoexpeacuterience montre que le mouvement possegravede un caractegravere relatifEn drsquoautres termes on ne peut pas dire qursquoun corps est ldquoen mouve-

11 Temps et espace 3

mentrdquo (ou ldquoau reposrdquo) sans preacuteciser par rapport agrave quoi Pour deacutecrirele mouvement il est donc neacutecessaire de preacuteciser un systegraveme drsquoaxes quinous permette de repeacuterer la position drsquoun point crsquoest le repegravere drsquoes-pace constitueacute de trois axes orienteacutes munis drsquoune origine arbitraire etdrsquoune eacutechelle spatiale permettant de faire des mesures de longueur

Dans le cadre de la meacutecanique newtonienne lrsquoespace est supposeacute agravetrois dimensions euclidien (obeacuteissant agrave la geacuteomeacutetrie drsquoEuclide) ho-mogegravene et isotrope Cet espace est absolu et ses proprieacuteteacutes sont indeacute-pendantes de la matiegravere qui srsquoy trouve Armeacutes des lois de la geacuteomeacutetrieeuclidienne nous pouvons alors mesurer la distance entre deux pointsainsi que lrsquoorientation de nrsquoimporte quel axe agrave condition de deacutefinir uneuniteacute de longueur le megravetre du Systegraveme international

Lrsquoeacutetalon megravetre

Le megravetre a connu en deux siegravecles quatre deacutefinitions successives drsquoabord lieacute agrave un systegraveme supposeacute invariable la longueur du meacute-ridien terrestre (1795) le megravetre devient en 1889 associeacute agrave un blocparticulier en platine iridieacute les progregraves de la spectroscopie et dela physique quantique conduisent agrave retenir en 1960 un multiplede la longueur drsquoonde drsquoune radiation eacutemise lors drsquoune transitioneacutelectronique dans lrsquoatome de krypton Enfin depuis 1983 le megravetreest deacutefini agrave partir du pheacutenomegravene de propagation de la lumiegravere dansle vide

La distance parcourue par la lumiegravere dans le vide pendant 1 se-conde vaut par deacutefinition du megravetre

= 299 792 458 m

Lrsquoeacutetalon megravetre est donc relieacute agrave lrsquoeacutetalon seconde

NB Initialement le megravetre eacutetait deacutefini agrave partir de la longueur dumeacuteridien terrestre = 40 000 km Aujourdrsquohui avec lrsquoeacutetalon megravetreactuel (lieacute agrave lrsquoeacutetalon seconde) = 40 008 08 km la diffeacuterence estdonc imperceptible pour les utilisateurs courants

Pour deacutecrire le mouvement drsquoun corps mateacuteriel il est neacutecessaire depreacuteciser par rapport agrave quel repegravere drsquoespace on fait les mesures dedistance et par rapport agrave quelle horloge on mesure le temps Le repegraveredrsquoespace associeacute agrave un repegravere temporel forme un reacutefeacuterentiel En geacuteneacuteralon preacutecise uniquement le repegravere drsquoespace puisque le temps newtonienest absolu Insistons sur le fait que parler drsquoun mouvement sans deacutefinirle reacutefeacuterentiel nrsquoa aucun sens

Remarque La theacuteorie de la Relativiteacute Geacuteneacuterale inventeacutee par A Einsteinen 1915 est une theacuteorie relativiste de la gravitation Cette theacuteorie remet encause lrsquoideacutee drsquoun espace euclidien inerte et indeacutependant de son contenumateacuteriel Par exemple au voisinage de la Terre les lois drsquoEuclide ne sontpas rigoureusement veacuterifieacutees on observe des eacutecarts relatifs de lrsquoordre de10minus9[2]

[2] DAMOUR et al (1995) ldquoRelativiteacuterdquo

minusrarrDG

minusrarrDH

M(G(C)H(C))bull

12 Repeacuterage drsquoun point

Consideacuterons un point M deacutecrivant une trajectoire au cours de son mou-vement par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R Lrsquoeacutequation horaire est lrsquoeacutequationqui permet de repeacuterer le point M agrave chaque instant C dans le reacutefeacuterentielR Par souci de simpliciteacute on se limitera aux mouvements dans leplan sachant que la geacuteneacuteralisation agrave trois dimensions ne pose pas dedifficulteacute particuliegravere

Vecteur position

Par deacutefinition le vecteur position est le vecteur minusrarrA (C) = minusminusminusrarrOM(C)

Si lrsquoon munit le plan drsquoun repegravere drsquoorigine O (fixe dans le reacutefeacuterentielR) et de deux directions indeacutependantes deacutefinies par la base (minusrarrD1minusrarrD2)on peut toujours exprimer le vecteur position en fonction de ces deuxvecteurs de base

minusrarrA (C) = 21 (C)minusrarrD1 + 22 (C)minusrarrD2

On obtient alors lrsquoeacutequation horaire exprimeacutee dans la base (minusrarrD1minusrarrD2) lescoefficients 21 et 22 deacutesignent les coordonneacutees de M dans cette base

Il est pratique drsquoutiliser une base orthonormeacutee crsquoest-agrave-dire un ensemblede vecteurs tel que

minusrarrD8 middot minusrarrD 9 =

0 si 8 ne 9

1 sinon

De sorte que la coordonneacutee 28 srsquoobtient simplement agrave lrsquoaide drsquoun pro-duit scalaire

28 =minusrarrA middot minusrarrD8

La base carteacutesienne (minusrarrDG minusrarrDH) fait partie de cette classe avec pour par-ticulariteacute que les vecteurs unitaires sont fixes dans R Il est alorstraditionnel de noter G et H les coordonneacutees de M

Exemple le mouvement circulaire ndash Consideacuterons un point M deacutecrivantun mouvement plan muni drsquoun repegravere (OminusrarrDG minusrarrDH) drsquoeacutequation parameacutetriquecarteacutesienne

G(C) = coslCH(C) = sinlC

avec l = Cte

M deacutecrit une courbe fermeacutee de faccedilon peacuteriodique puisque

G(0) = G(2 cl) et H(0) = H(2 cl) avec isin Z

Par ailleurs OM2 = G2 + H2 = 2 pour tout C M deacutecrit donc un cercle decentre O de rayon agrave la freacutequence

13 Vitesse drsquoun point 5

bullbull

trajectoire

MB(C) =

M0M(C)

FIGURE 11 ndash Notion drsquoabscisse curvi-ligne

minusrarrDG

minusrarrDH

bullbull

trajectoire

minusrarrEM limΔCrarr0minusrarrEMMrsquo

Mrsquo minusrarrEMMrsquo

FIGURE 12 ndash Deacutefinition du vecteur vi-tesse

Abscisse curviligne

Supposons que lrsquoon connaisse la courbe sur laquelle se deacuteplace lepoint M Dans ce cas la connaissance de la distance agrave laquelle setrouve M drsquoun point particulier de la courbe suffit agrave repeacuterer ce pointPour cela on commence par orienter la courbe crsquoest-agrave-dire que lrsquoondeacutefinit arbitrairement un sens positif Ensuite on choisit un pointparticulier sur la courbe que nous noterons M0 Enfin on deacutefinit ladistance curviligne B(C) comme eacutetant la mesure algeacutebrique de la distance

drsquoarc

M0M(C) le long de la trajectoire Munis de M0 de la courbe etde B(C) nous sommes capables de repeacuterer le point M agrave chaque instantC

Exemple du mouvement circulaire ndash Reprenons le cas preacuteceacutedent drsquoun pointM deacutecrivant une trajectoire drsquoeacutequation parameacutetrique carteacutesienne

avec l = Cte

Nous avons vu que le point M deacutecrit un cercle Si lrsquoon fixe une origine enM0 = ( 0) alors lrsquoabscisse curviligne est lieacutee agrave lrsquoangle (C) = lC

B(C) = (C) = lC

La distance algeacutebrique parcourue croicirct lineacuteairement avec le temps On ditque le mouvement est uniforme

13 Vitesse drsquoun point

Deacutefinition

La vitesse est une grandeur qui mesure lrsquoeacutevolution de la position parrapport au temps Par ailleurs cette grandeur est vectorielle car lemouvement drsquoun point se caracteacuterise par une direction et un sensattributs des vecteurs drsquoespace Si lrsquoon note M la position drsquoun point agravelrsquoinstant C et Mrsquo sa position agrave lrsquoinstant C + ΔC alors on peut deacutefinir unvecteur vitesse correspondant au trajet MMrsquo

minusrarrE MMrsquo =

minusminusminusminusrarrMMrsquoΔC

Cette grandeur deacutesigne le vecteur vitesse moyenne entre deux instantsCependant cette quantiteacute possegravede lrsquoinconveacutenient de ne pas donnerdrsquoinformation sur le mouvement entre C et C +ΔC Crsquoest pourquoi on faittendre la dureacutee ΔC vers 0 pour deacutefinir le vecteur vitesse instantaneacuteedu point M

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrA (C)

FIGURE 13 ndash Systegraveme carteacutesien

Vecteur vitesse instantaneacutee

On appelle vecteur vitesse instantaneacutee du point M par rapport aureacutefeacuterentiel R le vecteur

minusrarrE M limΔCrarr0minusrarrE MMrsquo = lim

ΔCrarr0

minusminusminusrarrOM(C + ΔC) minus minusminusminusrarrOM(C)

dminusminusminusrarrOMdC

Le vecteur vitesse est donc la deacuteriveacutee du vecteur position Il enreacutesulte que le vecteur vitesse est tangent agrave la trajectoire La norme duvecteur vitesse que nous appellerons vitesse se mesure en msminus1

Insistons sur le fait que la vitesse est une notion relative agrave un reacutefeacuterentieldrsquoobservation Une fois le reacutefeacuterentiel choisi la vitesse drsquoun point neprend qursquoune valeur agrave un instant C Cependant il existe diffeacuterentes fa-ccedilons drsquoexprimer le vecteur vitesse puisque lrsquoon peut choisir diffeacuterentesbases de projection Dans tous les cas la vitesse scalaire ne deacutependpas de la base choisie Le choix de la base est en geacuteneacuteral guideacute par lasymeacutetrie du problegraveme

Remarques

1 Il est des situations ougrave il importe de preacuteciser le point en mouvementet le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude On adopte alors la notation minusrarrEMR pourdeacutesigner le vecteur vitesse du point M par rapport au reacutefeacuterentiel R

2 De faccedilon geacuteneacuterale la vitesse1313minusrarrEM

1313 = 131313dminusminusminusrarrOMdC

131313 ne dOMdC Parexemple un point M en mouvement circulaire de centre O gardeune distance OM constante alors que sa vitesse est non nulle

Expression du vecteur vitesse en coordonneacuteescarteacutesiennes

Consideacuterons un point M en mouvement dans un plan muni drsquoun re-pegravere carteacutesien drsquoorigine O et de base orthonormeacutee (minusrarrDG minusrarrDH) Les vecteursunitaires de la base carteacutesienne sont fixes par rapport au reacutefeacuterentieldrsquoeacutetude R

Le vecteur position srsquoeacutecritminusminusminusrarrOM = G minusrarrDG + H minusrarrDH ougrave G et H sont les coor-

donneacutees du point M en mouvement dans le reacutefeacuterentiel R Le vecteurvitesse du point M srsquoobtient en deacuterivant son vecteur position par rap-port au temps

minusrarrEM =dGdCminusrarrDG + G

dminusrarrDGdC+ dH

dCminusrarrDH + H

dminusrarrDHdC

Les vecteurs unitaires eacutetant fixes dans R on a dminusrarrDGdC =

dminusrarrDHdC =

minusrarr0 Fina-

lement les composantes de la vitesse sont simplement les deacuteriveacuteestemporelles des coordonneacutees de M On trouve44 On adopte la notation de Newton

currenG = dGdC

et currenH = dHdC minusrarrEM =

currenG = EGcurrenH = EHhearts (12)

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrDminusrarrDA

M(A (C) (C))bull

FIGURE 14 ndash Systegraveme polaire

Exemple du mouvement circulaire ndash Consideacuterons le mouvement plandrsquoeacutequation parameacutetrique carteacutesienne

avec l = Cte

On a deacutejagrave vu que la trajectoire est un cercle de centre O et de rayon Le vecteur vitesse srsquoeacutecrit

minusrarrEM =

(currenG = minusl sinlCcurrenH = l coslC

)On constate que le mouvement srsquoeffectue agrave vitesse constante puisque

radicEG

2 + EH2 = l

Il srsquoagit donc drsquoun mouvement circulaire uniforme

Expression du vecteur vitesse en coordonneacutees polaires

Dans le plan on peut aussi repeacuterer un point agrave lrsquoaide drsquoune distance etdrsquoun angle orienteacute Dans le systegraveme polaire on deacutefinit

A = OM et = minusrarrDG minusrarrA

On associe agrave ces coordonneacutees deux vecteurs unitaires minusrarrDA et minusrarrD Cesdeux vecteurs forment une base orthonormeacutee

Ainsi le vecteur position srsquoeacutecrit dans la base polaire

minusrarrA = A minusrarrDA =rArr minusrarrEM = currenA minusrarrDA + AdminusrarrDAdC

La base carteacutesienne eacutetant fixe dans R la base polaire ne lrsquoest donc pasOr la direction minusrarrDA deacutepend du temps par lrsquointermeacutediaire de lrsquoangle (C)Par conseacutequent on a

dminusrarrDAdC

=dminusrarrDAdtimes d

dCLa deacuteriveacutee drsquoun vecteur unitaire par rapport agrave lrsquoangle qui deacutefinit sadirection srsquoobtient en utilisant la regravegle suivante

Agrave savoir

La deacuteriveacutee drsquoun vecteur unitaire par rapport agrave lrsquoangle qui deacutefinit sadirection est le vecteur unitaire qui lui est directement orthogonal

Lorsque lrsquoon effectue une rotation dans le sens direct de c2 du vecteurminusrarrDA on obtient minusrarrD Ainsi

dminusrarrDAdC

= curren minusrarrD =rArr minusrarrEM =

currenA = EAA curren = E hearts (13)

bullM(C)

minusrarrC

minusrarr= (C)

Trajectoire

FIGURE 15 ndash Repegravere de Frenet

Exemple ndash Reprenons le mouvement circulaire drsquoeacutequation parameacutetriquecarteacutesienne

avec l = Cte

Si lrsquoon deacutecrit ce mouvement agrave lrsquoaide des coordonneacutees polaires on obtient

A (C) =

(C) = lCavec l = Cte

Lrsquoapplication de la formule (13) donne

minusrarrEM =

EA = currenA = 0E = A curren = l

Drsquoune part le vecteur vitesse est bien tangent au cercle puisque selon minusrarrD Onretrouve drsquoautre part le fait que la vitesse est constante et eacutegale agrave E = l

Expression du vecteur vitesse dans la base de Frenet

Le repegravere de Frenet55 Jean Freacutedeacuteric Frenet (1816-1900) Ma-theacutematicien franccedilais normalien dont lestravaux ont essentiellement porteacute surla geacuteomeacutetrie diffeacuterentielle des courbesgauches (Sur les courbes agrave double courbure1847)

a pour origine le point M(C) et pour base orthonor-meacutee (minusrarrC minusrarr= ) Cette base mobile est construite de la faccedilon suivante

1 on deacutefinit arbitrairement un sens positif le long de la trajectoire

2 le vecteur unitaire minusrarrC dit vecteur tangent est comme son nomlrsquoindique tangent agrave la trajectoire et orienteacute dans le sens positif

3 le vecteur unitaire minusrarr= dit vecteur normal est quant agrave lui orthogonalagrave minusrarrC et orienteacute vers le centre du cercle localement tangent agrave latrajectoire dit cercle osculateur6

6 Le cercle osculateur est le cercle quiest tangent agrave la trajectoire en M(C) et quipossegravede la mecircme courbure en ce point repreacutesenteacute en tirets sur la figure

M est la position du point mateacuteriel agrave lrsquoinstant C et Mrsquo celle pour lrsquoinstantC + ΔC Quand ΔC rarr 0 la corde qui relie les points M et Mrsquo tend vers la

longueur drsquoarc

MMprime de sorte que

minusrarrE M = limΔCrarr0

= limΔCrarr0

MMrsquoΔC

minusrarrC =

dBdCminusrarrC

On retiendra que la donneacutee de lrsquoabscisse curviligne B(C) ainsi que latrajectoire permettent de connaicirctre la position du point M la directiondu vecteur tangent ainsi que le vecteur vitesse via

minusrarrEM =dBdCminusrarrC hearts (14)

Exemple ndash Reprenons le mouvement circulaire qui nous sert de fil rougepour ce chapitre On peut le deacutecrire agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation horaire

B(C) = l C =rArr minusrarrEM =dBdCminusrarrC = l

minusrarrC

Supposons que le mouvement soit toujours dans le mecircme sens et quelrsquoon oriente la trajectoire dans le sens du mouvement Dans ce cas

14 Acceacuteleacuteration drsquoun point 9

B(C) srsquointerpregravete comme la distance parcourue agrave partir de lrsquoorigine M0Cette grandeur srsquoobtient par inteacutegration de la vitesse

E =dBdC

=rArr B(C) minus B(0) =int C

0E(C prime) dC prime

Notez que si la vitesse est constante on dit que le mouvement estuniforme et lrsquoon a B(C) = EC + B(0)

La distance parcourue 312 entre les instants C1 et C2 gt C1 srsquoeacutecrit

312 = B(C2) minus B(C1) =int C2

E(C) dC

Relation qui reste valable si le mouvement change de sens

Agrave savoir

La distance parcourue 312 entre les instants C1 et C2 gt C1 srsquointerpregravetecomme lrsquoaire sous la courbe donnant la vitesse au cours du tempsentre les instants C1 et C2

int C2

1313minusrarrE 1313 dC

14 Acceacuteleacuteration drsquoun point

Vecteur acceacuteleacuteration

Le vecteur acceacuteleacuteration est une grandeur drsquoeacutevolution qui mesure lavariation du vecteur vitesse en norme et en direction

Deacutefinition

On appelle vecteur acceacuteleacuteration instantaneacutee du point M par rapportau reacutefeacuterentiel R le vecteur

minusrarr0M limΔCrarr0

minusrarrEM (C + ΔC) minus minusrarrEM (C)ΔC

=dminusrarrEM

d2minusrarrAdC2

La norme du vecteur acceacuteleacuteration que nous appellerons acceacuteleacutera-tion et que nous noterons 0 se mesure en msminus2

Notez qursquoun mouvement rectiligne uniforme se caracteacuterise par unvecteur acceacuteleacuteration nul puisque le vecteur vitesse garde une normeet une direction constantes Autrement dit le vecteur acceacuteleacuterationpeut ecirctre vu comme une mesure drsquoun eacutecart au mouvement rectiligneuniforme

Lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuteration srsquoobtient donc en deacuterivant levecteur vitesse Donnons son expression dans diffeacuterents systegravemes decoordonneacutees

FIGURE 16 ndash Deacutefinition du vecteur acceacute-leacuteration trajectoire

minusrarrEM

Mrsquo

minusrarrEMrsquo

minusrarr0M = limΔCrarr0

ΔminusrarrEΔC

minusrarrEMminusrarrEMrsquo

ΔminusrarrE

Expression du vecteur acceacuteleacuteration en coordonneacuteescarteacutesiennes

Les vecteurs unitaires eacutetant fixes par rapport au reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude ilsuffit de deacuteriver les composantes de la vitesse7

7 On note yenG = d2GdC2

minusrarrEM =

currenG = EGcurrenH = EH=rArr minusrarr0M =

yenG = 0GyenH = 0Hhearts (16)

Exercice ndash Un point M deacutecrit le mouvement plan drsquoeacutequation parameacutetriquecarteacutesienne

avec l = Cte

Montrer que le vecteur acceacuteleacuteration est toujours dirigeacute vers le mecircme pointque lrsquoon identifiera

Expression du vecteur acceacuteleacuteration en coordonneacuteespolaires

Nous avons montreacute que la vitesse drsquoun point M repeacutereacute par ses coor-donneacutees polaires srsquoeacutecrit

minusrarrEM = currenA minusrarrDA + A curren minusrarrD

Pour obtenir lrsquoacceacuteleacuteration il faut deacuteriver agrave nouveau par rapport autemps

minusrarr0M =dminusrarrEM

dC= yenA minusrarrDA + currenA

dminusrarrDAdC+ currenA curren (C) minusrarrD + A yen minusrarrD + A curren

dminusrarrDdC

On a deacutejagrave vu quedminusrarrDAdC

= curren minusrarrD

Si lrsquoon applique agrave cette relation la transformation ↦rarr + c2 onobtient

minusrarrDA ↦rarr minusrarrD minusrarrD ↦rarr minusminusrarrDA etdminusrarrDdC

= minus currenminusrarrDA

Finalement lrsquoacceacuteleacuteration srsquoeacutecrit

minusrarr0M =

yenA minus A curren2 = 0A

A yen + 2 currenA curren = 0(17)

De la mecircme maniegravere que les composantes du vecteur vitesse ne sontpas obtenues en deacuterivant les composantes du vecteur position lescomposantes du vecteur acceacuteleacuteration ne sont pas non plus obtenuesen deacuterivant simplement les composantes du vecteur vitesse

Exercice ndash Un point M deacutecrit un mouvement circulaire drsquoeacutequation polaireA (C) = et = lC avec l = Cte Montrer que lrsquoacceacuteleacuteration vaut E2

Expression du vecteur acceacuteleacuteration dans la base deFrenet

Il est inteacuteressant de montrer que lrsquoacceacuteleacuteration preacutesente deux aspects crsquoest non seulement une mesure du caractegravere non uniforme de latrajectoire mais aussi de son caractegravere non rectiligne La formule deFrenet reacutesume parfaitement cette ideacutee

Partons de lrsquoexpression (14) et deacuterivons-la par rapport au temps

minusrarr0M =d2B

dC2minusrarrC + dB

dCdminusrarrCdC

Or le vecteur unitaire minusrarrC change de direction au cours du temps puis-qursquoil est lieacute au mouvement de M Par deacutefinition du rayon de courburelocal on a

dminusrarrCdC

minusrarr= avec EC =dBdC

Compleacutement sur le rayon de courbure ndash On a vu que lors drsquoun mouvementcirculaire uniforme de rayon lrsquoacceacuteleacuteration est centripegravete et vaut E2Ainsi

ddC(EminusrarrC ) = EdminusrarrC

minusrarr= =rArr dminusrarrCdC

minusrarr=

Dans le cas drsquoune trajectoire quelconque on peut toujours appliquer cetterelation entre deux instants suffisamment proches pendant lesquels le mou-vement peut ecirctre consideacutereacute uniforme Dans ce cas le rayon de courburedevient une notion locale eacutevoluant au cours du trajet et qui srsquointerpregravetecomme le rayon du cercle osculateur8

8 Le cercle osculateur est le cercle quieacutepouse le mieux possible la courbe enceci qursquoil preacutesente la mecircme tangente et ala mecircme courbure que la courbe en Magrave la trajectoire en M

En substituant dans lrsquoexpression de lrsquoacceacuteleacuteration on trouve la formulede Frenet

minusrarrEM = ECminusrarrC

minusrarr0M = 0CminusrarrC + 0= minusrarr=

131313131313131313131313EC =

0C =dECdC

0= =EC

hearts (18)

Le vecteur acceacuteleacuteration possegravede donc deux composantes

1 une composante tangentielle lieacutee au caractegravere non uniforme dela trajectoire

2 une composante normale lieacutee agrave la courbure de la trajectoire No-tez que le rayon de courbure au point M varie a priori au coursdu temps

Agrave partir de la formule de Frenet nous constatons que le produit scalaireminusrarrEM middot minusrarr0M srsquoeacutecrit

minusrarrEM middot minusrarr0M = ECdECdC

dCAinsi le signe de ce produit scalaire nous renseigne sur le caractegravereralenti (|EC | diminue au cours du temps) ou acceacuteleacutereacute (|EC | augmente)du mouvement On retiendra la regravegle suivante

Agrave savoir

Soit le produit scalaire minusrarrEM middot minusrarr0M

mdash si gt 0 le mouvement est acceacuteleacutereacute

mdash si lt 0 le mouvement est freineacute

mdash si = 0 le mouvement est uniforme

15 Quelques mouvements simples

Le mouvement rectiligne

Consideacuterons un point M en mouvement sur une droite orienteacutee et

appelons B(C) =

OM(C) lrsquoabscisse curviligne algeacutebrique par rapport agraveun point O de la droite Le trajet eacutetant rectiligne la courbure 1 est

FIGURE 17 ndash Mouvement rectiligneO

bullM(C)

minusrarrC

nulle On a drsquoapregraves les formules de Frenet

minusrarrEM =dBdCminusrarrC et minusrarr0M =

dC2minusrarrC

Les vecteurs vitesse et acceacuteleacuteration sont dirigeacutes suivant la trajectoire

Le mouvement rectiligne uniforme ndash On dit que le mouvement estrectiligne uniforme lorsque le vecteur vitesse est uniforme Dansce cas lrsquoacceacuteleacuteration est nulle et lrsquoeacutequation horaire srsquoeacutecrit

B(C) = EC C + B0 hearts (19)

Entre deux instants le trajet augmente proportionnellement agrave ladureacutee ΔB = ECΔC

Le mouvement rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute ndash Il srsquoagit drsquoun mou-vement rectiligne pour lequel lrsquoacceacuteleacuteration est constante Dans

15 Mouvements simples 13

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrEM

M(C)bull

FIGURE 18 ndash Mouvement circulaire

ce cas en inteacutegrant deux fois lrsquoacceacuteleacuteration on obtient

B(C) = 120C C

2 + E0 C + B0 hearts (110)

ougrave E0 et B0 sont respectivement la vitesse algeacutebrique et lrsquoabscissecurviligne agrave lrsquoinstant C = 0

Remarque ndash Entre deux instants C1 et C2on a

E22 minus E

21 = 20 (B2 minus B1)

Le mouvement circulaire

Consideacuterons un point M deacutecrivant un cercle de rayon et notons lrsquoangle formeacute par lrsquoaxe (OG) et le rayon vecteur

minusminusminusrarrOM

Mouvement circulaire uniforme ndash Le mouvement est uniforme quand augmente lineacuteairement avec le temps

l repreacutesente donc une vitesse angulaire et srsquoexprime en radsminus1Ici le cercle est deacutecrit agrave vitesse angulaire constante ce qui estcaracteacuteristique du mouvement circulaire uniforme Ainsi le pointM fait un tour au bout drsquoune dureacutee constante ) appeleacutee peacuteriode

) =2cl

hearts (111)

et le nombre de tours effectueacutes en 1 seconde srsquoappelle la freacutequencea et se mesure en hertz en hommage agrave Heinrich Rudolf Hertz9 9 Heinrich Rudolf Hertz est neacute agrave Ham-

bourg en Allemagne (1857-1894) Physi-cien ceacutelegravebre pour avoir reacuteussi la premiegravereeacutemission et reacuteception drsquoondes radio en1887 sur une distance de 20 megravetres don-nant du mecircme coup une preuve de la va-liditeacute de la theacuteorie eacutelectromagneacutetique deMaxwell Dans les milieux scientifiquesil est consideacutereacute comme le deacutecouvreur dela radio Crsquoest la raison pour laquelle ona donneacute le nom drsquo ldquoondes hertziennesrdquoaux signaux radio et pourquoi lrsquouniteacute dela freacutequence qursquoon appelait cycles au deacute-part a eacuteteacute remplaceacutee par hertz

(Symbole Hz)

a =1)=l

2chearts (112)

Comme nous lrsquoavons deacutejagrave montreacute la vitesse est constante etlrsquoacceacuteleacuteration centripegravete On retiendra

minusrarrEM = lminusrarrC et minusrarr0M = l2minusrarr= = E

minusrarr= hearts (113)

Mouvement circulaire non uniforme ndash Supposons maintenant que (C) varie de faccedilon quelconque Par deacutefinition de lrsquoangle exprimeacute

en radians lrsquoabscisse curviligne srsquoeacutecrit B(C) =

M0M(C) = (C)drsquoougrave la vitesse

minusrarrEM =dBdCminusrarrC = l(C) minusrarrC avec l(C) curren (C) hearts (114)

l deacutesigne la vitesse angulaire instantaneacuteeLe vecteur acceacuteleacuteration srsquoeacutecrit gracircce agrave la formule de Frenet

minusrarr0M = dldCminusrarrC + l2minusrarr= hearts (115)

POSTULATS DE LADYNAMIQUE 2

21 Lois de Newton 15Notion de point mateacuteriel 15Quantiteacute de mouvement 16Principe drsquoinertie 16PFD 17Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie18

22 Interactions fondamentales 20Geacuteneacuteraliteacutes 20Gravitation 22Eacutelectromagneacutetisme 23Les interactions nucleacuteaires 25

23 Lois pheacutenomeacutenologiques 25Contact solide-solide 25Contact fluide-solide 26Tension 27

Isaac Newton (1642-1727) ndash physicien et matheacutematicien anglais ndash futle theacuteoricien le plus respecteacute du XVIIe siegravecle Il publie en 1687 sonouvrage phare Naturalis Philosophiaelige Principia Mathematica dans lequelil jette les bases matheacutematiques de sa meacutecanique il reacuteussit le tour deforce drsquounifier les lois de la meacutecanique terrestre (chute des corps) avecles lois de la meacutecanique ceacuteleste Son traitement du mouvement desplanegravetes en accord avec les lois de Kepler transformera cette theacuteorieen un veacuteritable pilier de la physique moderne pendant plus de deuxsiegravecles jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee drsquoun certain Albert Einstein Newton fondesa theacuteorie sur trois principes que nous allons deacutetailler Insistons sur lefait que ces trois principes forment un tout indissociable et coheacuterent

femto-physiquefrmecaniquepostulats-de-la-dynamiquephp

21 Lois de Newton

Notion de point mateacuteriel

La meacutecanique newtonienne repose sur un concept cleacute le point ma-teacuteriel En effet on admet que tout systegraveme meacutecanique peut agrave partirdrsquoune certaine eacutechelle se deacutecomposer en points mateacuteriels sans struc-ture interne (on peut penser aux atomes mais ce nrsquoest pas neacutecessaire)qui interagissent les avec sur les autres via des forces qursquoil srsquoagit demodeacuteliser

Le point mateacuteriel

Un systegraveme meacutecanique sera assimileacute agrave un point mateacuteriel si son eacutetat(position mouvement) est complegravetement deacutecrit agrave lrsquoaide de troiscoordonneacutees spatiales au maximumDe plus un point mateacuteriel se caracteacuterise par une proprieacuteteacute dyna-mique la masse inerte noteacutee lt mesurant lrsquoinertie du mouvementCette quantiteacute est un scalaire positif et srsquoexprime en kilogrammes(symbole kg) dans le Systegraveme international drsquoUniteacutes

La connaissance des lois qui reacutegissent le mouvement drsquoun point ma-teacuteriel permet de deacutecrire lrsquoeacutevolution de tout systegraveme mateacuteriel La meacute-canique ceacuteleste la meacutecanique des solides et la meacutecanique des fluidesreposent sur cette approche reacuteductionniste

16 2 POSTULATS DE LA DYNAMIQUE

Nous verrons plus tard qursquoil est possible dans certaines conditionsdrsquoassimiler un systegraveme macroscopique agrave un point mateacuteriel Pour lrsquoins-tant il suffit drsquoadmettre qursquoil existe une eacutechelle agrave partir de laquelle cereacuteductionnisme est possible

Quantiteacute de mouvement

Deacutefinition

Un point mateacuteriel M en mouvement dans un reacutefeacuterentiel R acquiertune quantiteacute de mouvement (ou impulsion)

minusrarrM ltminusrarrEM (21)

avec lt deacutesignant la masse inerte du point mateacuteriel

La quantiteacute de mouvement drsquoun systegraveme de points se construit ensommant les contributions de chaque point mateacuteriel Ainsi la quantiteacutede mouvement drsquoun systegraveme meacutecanique Sformeacute de points mateacuterielsM8 8isin1 de masse lt8 8isin1 srsquoeacutecrit

minusrarrS =sum8=1

lt8minusrarrEM8

sum8=1

lt8dminusminusminusrarrOM8

Si maintenant nous deacutefinissons le centre drsquoinertie G comme eacutetant lebarycentre des masses inertes1111 La position de G ne deacutepend pas du

choix de O En effet si nous consideacuteronsun autre point fixe Orsquo la deacutefinition de Gpeut srsquoeacutecrire

ltminusminusminusrarrOOrsquo +ltminusminusminusrarrOrsquoG =

(minusminusminusrarrOOrsquo + minusminusminusminusrarrOrsquoM8

)crsquoest-agrave-dire

ltminusminusminusrarrOrsquoG =

lt8minusminusminusminusrarrOrsquoM8

Par ailleurs si lrsquoon place O en G on ob-tient une autre deacutefinition de G sum

lt8minusminusminusrarrGM8 =

minusrarr0

ltminusminusrarrOG =

sum8=1

lt8minusminusminusrarrOM8 avec lt =

il vient alors par deacuterivation

ltdminusminusrarrOGdC

sum8=1

Ainsi la quantiteacute de mouvement drsquoun systegraveme de points mateacuterielsS de masse totale lt est la mecircme que celle drsquoun point mateacuteriel demecircme masse et situeacute au centre drsquoinertie G

minusrarrS = ltdminusminusrarrOGdC

= ltminusrarrEG hearts (22)

Principe drsquoinertie

Le principe drsquoinertie est un des piliers de la meacutecanique newtonienneCrsquoest Galileacutee qui en eucirct lrsquointuition et Newton qui le formalisa dansses Philosophiaelig Naturalis Principia Mathematica Lrsquoideacutee sous-jacente duprincipe drsquoinertie est lrsquohomogeacuteneacuteiteacute de lrsquoespace un corps isoleacute nrsquoaaucune raison drsquoaller plus agrave droite qursquoagrave gauche ni plus vers lrsquoarriegravereque vers lrsquoavant le mouvement naturel est le mouvement rectiligneuniforme

21 Lois de Newton 17

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen un point mateacuteriel isoleacute (libre de touteinfluence exteacuterieure) conserve sa quantiteacute de mouvement En conseacute-quence sa trajectoire est rectiligne uniforme

Insistons sur le fait que ce principe deacutefinit la notion de reacutefeacuterentielgalileacuteen On montre dans le Chapitre 8 sur les reacutefeacuterentiels non galileacuteensque tout reacutefeacuterentiel en translation rectiligne uniforme par rapport agrave unreacutefeacuterentiel galileacuteen est lui-mecircme galileacuteen Crsquoest pourquoi il suffit detrouver un reacutefeacuterentiel galileacuteen pour en trouver une infiniteacute Cependantle caractegravere galileacuteen eacutetant lieacute agrave la validiteacute du principe drsquoinertie il esttributaire de la preacutecision avec laquelle on procegravede agrave cette veacuterificationAinsi nous ne connaissons pas de reacutefeacuterentiels absolument galileacuteensmais seulement des reacutefeacuterentiels approximativement galileacuteens sur unecertaine eacutechelle de temps Par exemple le reacutefeacuterentiel terrestre nrsquoest pasgalileacuteen mais les manifestations de son caractegravere non galileacuteen sonten premiegravere approximation neacutegligeables Par conseacutequent sauf aviscontraire le reacutefeacuterentiel terrestre sera consideacutereacute galileacuteen

Principe fondamental de la dynamique

Nous venons de voir que dans certains reacutefeacuterentiels si les actions exer-ceacutees sur un point mateacuteriel M se compensent sa quantiteacute de mouve-ment se conserve Ainsi toute variation de quantiteacute de mouvementest la signature drsquoune action non compenseacutee de lrsquoenvironnement quelrsquoon modeacutelise agrave lrsquoaide du concept de vecteur force La deuxiegraveme loide Newton ndashdite aussi principe fondamental de la dynamiquendash postulesimplement que lrsquoaction drsquoune force est de faire varier la quantiteacute demouvement de faccedilon proportionnelle

Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen R un point mateacuteriel M soumis agrave uneforce

minusrarr5 voit sa quantiteacute de mouvement varier drsquoautant plus vite

que la force est importante Lrsquoeacutequation du mouvement est donneacuteepar

dminusrarrM

dC= ltminusrarr0M =

minusrarr5 (23)

Deacutetaillons certains aspects de ce postulat

mdash Tout drsquoabord on voit ici que la masse lt mesure lrsquoinertie du pointmateacuteriel dans le sens ougrave plus sa masse est importante plus ilsera difficile de modifier son vecteur vitesse Par ailleurs lameacutecanique newtonienne suppose lrsquoinvariance de la masse parchangement de reacutefeacuterentiel

mdash La grandeurminusrarr5 est un vecteur qui deacutecrit lrsquoaction de lrsquoenviron-

nement exteacuterieur sur le point M La force preacutesente un pointdrsquoapplication (ici M) une direction un sens et une intensiteacute No-tez bien que la seconde loi de Newton nrsquoest pas une deacutefinition

de la force mais bien un principe drsquoeacutevolution qui dit commentla nature se comporte Crsquoest en associant ce postulat aux loisdrsquointeraction que lrsquoon peut preacutevoir les mouvements De mecircmeque pour la masse la force est invariante par changement dereacutefeacuterentiel en meacutecanique classique

mdash Lrsquoeacutequation du mouvement est une eacutequation vectorielle qui peutsrsquoeacutecrire comme trois eacutequations diffeacuterentielles de la forme

lt yenG = 5G (G H I currenG currenH currenI C)lt yenH = 5H (G H I currenG currenH currenI C)lt yenI = 5I (G H I currenG currenH currenI C)

On peut montrer que moyennant quelques hypothegraveses matheacute-matiques peu restrictives la solution existe et est unique agrave condi-tion de connaicirctre la position et la vitesse du point M agrave lrsquoinstantinitial

Dans le Systegraveme international drsquouniteacutes une force se mesure en newtons(symbole N) en hommage agrave Isaac Newton Lrsquoanalyse dimensionnellede lrsquoeacutequation du mouvement permet de relier le newton aux autresuniteacutes de base du SI

[ 5 ] = MLTminus2 =rArr 1 N = 1 kgmsminus2

La seconde loi de Newton est valide tant que les vitesses envisageacuteessont petites devant 2 30 middot 108 ms Dans le cas contraire le problegravemerelegraveve de la Relativiteacute Restreinte1212 Notez cependant que le principe

drsquoinertie et le principe fondamental dela dynamique sont conserveacutes en relati-viteacute restreinte agrave condition de redeacutefinir laquantiteacute de mouvement

(Einstein 1905)

Remarque Dans le cadre newtonien crsquoest-agrave-dire pour des vitesses faiblesdevant 2 certains auteurs remettent en cause le PFD pour les tregraves faiblesacceacuteleacuterations (0 10minus10 msminus2) et proposent une theacuteorie modifieacutee (theacuteorieMOND pour MOdified Newtonian Dynamics[3]

[3] HACYAN (2009) ldquoWhat does it meanto modify or test Newtonrsquos second lawrdquo

) ce qui leur permetde justifier lrsquoanomalie du profil des vitesses dans les galaxies sans avoirrecours au concept mysteacuterieux de masse cacheacutee

Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie

Newton ajoute enfin un troisiegraveme principe

3e loi de Newton ou principe des actions reacuteciproques

Tout corps A exerccedilant une force sur un corps B subit de la part deB une force drsquointensiteacute eacutegale de mecircme droite drsquoaction et de sensopposeacute1313 La troisiegraveme loi suppose implicite-

ment que lrsquoaction se propage de faccediloninstantaneacutee En fait un des reacutesultats im-portants de la theacuteorie de la Relativiteacute estqursquoil est impossible de transmettre uneinformation plus vite que 2 crsquoest pour-quoi le principe des actions reacuteciproquesnrsquoest plus valide en relativiteacute

Autrement dit les actions reacuteciproques sont opposeacuteeset coaxiales

Ce principe permet drsquoeacutetablir le theacuteoregraveme du centre drsquoinertie Consideacute-rons un systegraveme Sde points mateacuteriels M8 8isin1 (cf Figure 21) Ce

systegraveme est le siegravege drsquoactions exteacuterieuresminusrarr58

ext (pesanteur par exemple)et drsquoactions internes

minusrarr5 98 du point M 9 sur le point M8

Systegraveme Sde points mateacuteriels

minusrarr5 98

minusrarr58

minusrarr58 9

minusrarr5 9

bullM8 (lt8)

bullM 9 (lt 9 )

bullG =rArrTCI G

lt =sum8

minusrarr ext =

minusrarr58

FIGURE 21 ndash Illustration du theacuteoregravemedu centre drsquoinertie

Lorsque lrsquoon applique le PFD agrave chaque particule M8 on obtient dansle reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude supposeacute galileacuteen

dminusrarr8dC

=minusrarr58

ext +sum9ne8

minusrarr5 98

Par ailleurs en vertu du principe des actions reacuteciproques les forcesinternes se compensent deux agrave deux Aussi sommons toutes les eacutequa-tions du mouvement de chaque particule de faccedilon agrave annuler les actionsinternes sum

dminusrarr8dC

=dminusrarrSdC

minusrarr58

Et compte tenu de la relation (22) on obtient le theacuteoregraveme de la reacutesul-tante cineacutetique

Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie (TCI)

Dans un reacutefeacuterentiel R galileacuteen le centre drsquoinertie drsquoun systegravememateacuteriel veacuterifie lrsquoeacutequation

dminusrarrSdC

= ltminusrarr0 G =minusrarr ext

ougraveminusrarr ext deacutesigne la reacutesultante des forces exteacuterieures

Ainsi le centre drsquoinertie a le mecircme mouvement qursquoun point mateacute-riel de masse lt soumis agrave la force

minusrarr ext

Le theacuteoregraveme de la reacutesultante cineacutetique signifie donc que le mouvementdu centre drsquoinertie ne deacutepend que de la connaissance des actions exteacute-rieures au systegraveme Cependant il ne signifie pas que lrsquoon peut assimilerun systegraveme mateacuteriel agrave un point mateacuteriel (ici G affecteacute de la masse lt)au sens ougrave la reacutesultante des forces exteacuterieures peut ne pas deacutependreexclusivement des coordonneacutees de G mais drsquoautres variables lieacutees agravela structure interne du systegraveme Pour srsquoen convaincre il suffit de fairedeacutevaler agrave un œuf une pente suivant que lrsquoœuf est cuit ou pas onobservera deux mouvements diffeacuterents14 14 Dans cet exemple on peut montrer

que la force de frottement solide deacutependde la structure interne de lrsquoœuf

En revanche si le systegraveme nrsquoest pas trop grand par rapport aux corps

avec lesquels il interagit et suffisamment eacuteloigneacute drsquoeux alors la reacutesul-tante des forces ne deacutepend que de la position (et eacuteventuellement de lavitesse) du centre drsquoinertie G Par ailleurs si le systegraveme est rigide et entranslation (eacuteventuellement associeacutee agrave une rotation uniforme) alorsla dynamique du corps ne deacutepend que des coordonneacutees du centredrsquoinertie Dans ce cas on peut assimiler le systegraveme agrave un point mateacuterielde masse la masse totale et de position celle du centre drsquoinertie Parexemple le mouvement orbital de la Terre peut ecirctre assimileacute agrave celuidrsquoune masse ponctuelle situeacutee en son centre lieacutee par gravitation avecles autres astres (notamment le Soleil) de lrsquoUnivers En effet drsquounepart les distances qui seacuteparent les astres sont tregraves grandes devant lediamegravetre terrestre (environ 13 000 km) et drsquoautre part la Terre est uneboule relativement rigide en rotation quasi uniforme Il faut cependantavoir agrave lrsquoesprit qursquoil srsquoagit bien drsquoune ideacutealisation car si lrsquoon y regardedrsquoun peu plus pregraves notre planegravete est constitueacutee de parties deacuteformables(un noyau liquide des oceacuteans et une atmosphegravere) qui ont une influencesur la rotation propre de la Terre ainsi que sur son orbite La Lunequi est lrsquoastre le plus proche exerce une action leacutegegraverement diffeacuterentesur les oceacuteans et sur le centre de la Terre de sorte que cela modifie lemouvement relatif des diffeacuterentes parties1515 Dans un systegraveme planegravete-Lune les

mouvements de mareacutee dissipent progres-sivement lrsquoeacutenergie ce qui engendre unecircularisation des orbites ainsi qursquounesynchronisation des rotations propresDans le cas de la Terre la puissance dissi-peacutee est de lrsquoordre de 4 TW ce qui produitune augmentation de la dureacutee du jourdrsquoenviron 2 ms par siegravecle et un eacuteloigne-ment de la Lune drsquoenviron 4 cm par anOn voit donc qursquoagrave lrsquoeacutechelle de lrsquoanneacuteeces pheacutenomegravenes sont totalement neacutegli-geables [voir 4]

Remarque Le theacuteoregraveme du centre drsquoinertie possegravede fois moins drsquoinfor-mation que le principe fondamental de la dynamique puisqursquoil ne permetdrsquoobtenir que le mouvement du centre drsquoinertie (3 eacutequations scalaires)contrairement au PFD qui donne accegraves au mouvement de tous les pointsdu systegraveme (3 eacutequations)

22 Interactions fondamentales

Geacuteneacuteraliteacutes

Dans lrsquoeacutetat actuel de nos connaissances lrsquoeacutetude de la matiegravere depuislrsquoeacutechelle subatomique jusqursquoagrave lrsquoeacutechelle cosmique permet de postulerlrsquoexistence de seulement quatre interactions fondamentales permet-tant drsquoexpliquer tous les pheacutenomegravenes de la Nature Ces interactions secaracteacuterisent par des intensiteacutes et des eacutechelles drsquoaction tregraves diffeacuterentes(cf Table 21)

Lrsquointeraction gravitationnelle est lrsquointeraction la plus faible dans lanature et paradoxalement la premiegravere deacutecrite Cette interaction estresponsable de la pesanteur des forces de mareacutee et des pheacutenomegravenesastrophysiques Pendant plus de deux siegravecles la description newto-nienne a preacutedomineacute jusqursquoau deacutebut du XXe siegravecle ougrave Albert Einsteininterpreacuteta la gravitation en termes geacuteomeacutetriques comme une deacutefor-mation de lrsquoespace-temps nouveau concept issu de la theacuteorie de larelativiteacute restreinte inventeacutee quelques anneacutees auparavant

Du fait de lrsquoeacutelectroneutraliteacute de la matiegravere macroscopique lrsquointeractioneacutelectromagneacutetique fut correctement modeacuteliseacutee plus tardivement puis-qursquoil a fallu attendre le deacutebut du XIXe siegravecle et les travaux de CoulombBiot Savart Laplace Ampegravere etc Lrsquointeraction eacutelectromagneacutetique estagrave lrsquoorigine de la plupart des pheacutenomegravenes de notre quotidien eacutelectriciteacute

22 Interactions fondamentales 21

magneacutetisme forces de contact reacuteactions chimiques propagation de lalumiegravere transport de lrsquoinformation coheacutesion des atomes Les travauxde Faraday sur lrsquoinduction magneacutetique ont permis de faire un pasdeacutecisif vers lrsquounification du magneacutetisme et de lrsquoeacutelectriciteacute Crsquoest JamesClerk Maxwell qui en 1864 reacutealise cette unification en proposant unenouvelle theacuteorie dite theacuteorie eacutelectromagneacutetique dont lrsquoune des conseacute-quences est lrsquoexistence drsquoondes eacutelectromagneacutetiques Il faudra attendre1887 huit ans apregraves la mort de J C Maxwell pour que Hertz confirmecette preacutediction Apregraves le succegraves de la meacutecanique quantique au deacutebutdu XXe siegravecle on a chercheacute agrave deacutecrire lrsquointeraction eacutelectromagneacutetiqueen termes de champs quantiques Cette entreprise qui deacutebuta par lestravaux de Dirac (1928) aboutit agrave la naissance de lrsquoeacutelectrodynamiquequantique (Quantum Electrodynamics - Feynman et al)

Lrsquointeraction forte confineacutee agrave lrsquoeacutechelle subatomique est agrave lrsquoorigine de lacoheacutesion des noyaux atomiques de la fusion et de la fission nucleacuteairesCrsquoest Hideki Yukawa qui eacutelabore la premiegravere theacuteorie de lrsquointeractionforte en 1935 mais il faudra attendre les anneacutees 1970 pour qursquounetheacuteorie plus fiable se fasse jour la chromodynamique quantique crsquoestson nom deacutecrit correctement lrsquointeraction forte agrave condition de postulerlrsquoexistence de nouvelles particules appeleacutees quarks qui entre 1967 et1995 furent toutes deacutecouvertes

Lrsquointeraction faible malgreacute ses conseacutequences vitales pour lrsquoespegravecehumaine16 16 Sans lrsquointeraction faible le Soleil ne

pourrait pas briller opegravere sur des eacutechelles sub-nucleacuteaires (10minus18 m) avec une

intensiteacute relativement faible Elle est agrave lrsquoorigine de lrsquoinstabiliteacute duneutron et explique notamment la radioactiviteacute becircta

TABLE 21 ndash Les quatre interactions fondamentales

Interactions Caracteacuteristiques TheacuteoriesGravitationnelle Attractive de porteacutee infinie Notion de masse

grave 5 sim 10minus37 NMeacutecanique classique (1687) Relativiteacute geacute-neacuterale (1915)

Eacutelectromagneacutetique Attractive ou reacutepulsive de porteacutee infinie No-tion de charge eacutelectrique 5 sim 10 N

Eacutelectromagneacutetisme classique (1865) Eacutelec-trodynamique quantique (1949)

forte Interaction de tregraves courte porteacutee entre quarksNotion de charge de couleur5 sim 103 N

Chromodynamique quantique (1970)

faible Interaction de tregraves courte porteacutee5 sim 10minus2 N

Theacuteorie eacutelectrofaible (1961-1967)

5 repreacutesente la force ressentie par deux protons distants de 5 fermis (1 fermi = 10minus15 m)

Crsquoest Isaac Newton qui le premier unifia la meacutecanique ceacuteleste avec lameacutecanique terrestre en postulant lrsquoexistence drsquoune interaction attrac-tive entre tous les corps mateacuteriels Cette volonteacute de simplifier se pour-suivit avec les travaux de Maxwell qui proceacuteda agrave la seconde unificationde la physique en inventant lrsquointeraction eacutelectromagneacutetique Depuislrsquounification de toutes les interactions reacutesiste aux tentatives des physi-ciens En effet agrave lrsquoheure actuelle les quatre interactions fondamentalessont deacutecrites seacutepareacutement mais trois drsquoentre elles (les interactions faibleeacutelectromagneacutetique et forte) le sont en termes de champs quantiquesdans un mecircme formalisme matheacutematique le modegravele standard dont lesuccegraves srsquoest traduit reacutecemment par la deacutecouverte du boson de Higgsen 2013 au CERN de Genegraveve La gravitation quant agrave elle srsquoexpliquetregraves bien dans le cadre de la theacuteorie de la Relativiteacute Geacuteneacuterale qui nrsquoest

1687 - Newton 1915 - Einstein

1785Coulomb

1820Biot et Savart

1864Maxwell

Feynman et al

Becquerel

1934Fermi

1935Yukawa

PhysiqueUnifieacutee

Gravitation

Eacutelectrostatique

Magneacutetisme

Interaction Faible

Interaction Forte

FIGURE 22 ndash Chronologie des diffeacuterentes theacuteories

minusrarr512(lt1)

minusminusrarrD12(lt2)

FIGURE 23 ndash Interaction gravitation-nelle

pas une theacuteorie quantique De nombreux physiciens pensent que laquantification de la gravitation est la cleacute qui ouvrira les portes agrave unePhysique Unifieacutee Lrsquoavenir nous le dira

Gravitation

La gravitation est une interaction attractive qui concerne toute la ma-tiegravere Deux masses ponctuelles srsquoattirent proportionnellement au pro-duit de leur masse et agrave lrsquoinverse du carreacute de la distance qui les seacutepareFormellement la force

minusrarr512 qursquoexerce une masse ponctuelle lt1 sur une

masse ponctuelle lt2 srsquoeacutecrit

minusrarr512 = minusG

lt1lt2

A2minusminusrarrD12 hearts (24)

La deacutependance en 1A2 a eacuteteacute veacuterifieacutee expeacuterimentalement sur uneeacutechelle allant de 100 `m jusqursquoaux dimensions du systegraveme solaireDans le Systegraveme international drsquouniteacutes les masses dites masses gravessrsquoexpriment en kilogrammes1717 Voir le principe drsquoeacutequivalence au

Chapitre 3et la constante de gravitation univer-

selle vautG 6 6710minus11 kgminus1m3sminus2

La constante de gravitation universelle ndash En 1798 Henry Cavendish reacuteussitle tour de force de laquo peser la Terre raquo agrave lrsquoaide drsquoune balance de torsion Ca-vendish ne srsquointeacuteresse pas agrave la constante de gravitation mais son expeacuteriencerevient agrave la deacuteterminer [5]

[5] LAUGINIE (2003) ldquoLa peseacutee de laTerrerdquo

De nos jours la mesure de Gutilise toujours leprincipe de la balance de torsion associeacute agrave quelques raffinements techniquesPourtant la constante de gravitation reste la constante fondamentale la moinsbien connue Agrave lrsquoheure actuelle on lrsquoestime agrave

G= (6674 30 plusmn 0000 15)10minus11 m3kgminus1sminus2 [Source 2018 CODATA]

Lorsqursquoon approche un point mateacuteriel M de masse lt pregraves drsquoun sys-tegraveme mateacuteriel Sce dernier exerce sur M une force de gravitation qui

Sol terrestre

minusrarr6minusrarr ltminusrarr6

FIGURE 24 ndash Poids drsquoun corps

deacutepend de la reacutepartition de la matiegravere au sein de S Si lrsquoon deacutecom-pose le systegraveme en un ensemble de points mateacuteriels P8 de masselt8 et en supposant que la force de gravitation obeacuteit au principe desuperposition18

18 Le principe de superposition est uneconseacutequence de la lineacuteariteacute des eacutequa-tions qui reacutegissent le champ de force Siun systegraveme S1 produit seul une forceminusrarr51 sur un point mateacuteriel et qursquoun sys-tegraveme S2 produit sur ce mecircme point une

forceminusrarr52 alors le principe de superpo-

sition stipule que les deux systegravemesagissant simultaneacutement produiront une

forceminusrarr51 +minusrarr52 En toute rigueur les eacutequa-

tions de la relativiteacute geacuteneacuterale nrsquoeacutetant paslineacuteaires la gravitation ne respecte pas leprincipe de superposition Cependant ilsrsquoagit drsquoune bonne approximation si leschamps de gravitation sont faibles ce quiest le cas pour tous les corps du systegravemesolaire

on pourra eacutecrire que le systegraveme S exerce sur M uneforce

minusrarr = lt

sum8=1

minusGlt8A28

minusrarrD8 = ltminusrarr6 (M)

ougrave minusrarrD8 est un vecteur unitaire orienteacute de P8 vers M Par deacutefinition minusrarr6 (M)deacutesigne le champ de gravitation au point M

Une des proprieacuteteacutes eacutetonnantes des interactions en 1A2 est que lorsquela distribution de masse preacutesente une symeacutetrie spheacuterique19

19 Il existe alors un centre O drsquoougrave lareacutepartition de la matiegravere est identiquequelle que soit la direction dans laquelleon regarde

le champde gravitation en M ne deacutepend que de la distance OM et de la massecontenue dans la sphegravere de rayon OM

Agrave retenir

Le champ de gravitation produit par une reacutepartition de masse agravesymeacutetrie spheacuterique de centre O vaut

minusrarr6 (A) = minusGlt(A)A2minusrarrDA

ougrave A est la distance OM minusrarrDA le vecteur unitaire radial centrifuge etlt(A) la masse contenue dans la sphegravere de rayon AUne conseacutequence immeacutediate est qursquoune boule agrave symeacutetrie spheacuteriquede masse lt et de rayon produit agrave lrsquoexteacuterieur de la boule un champde gravitation identique agrave celui qursquoexercerait une masse ponctuellede masse lt situeacutee au centre de la boule

minusrarr6 (A ge ) = minusGltA2minusrarrDA

Sur Terre la force de pesanteurminusrarr ou poids agrave lrsquoorigine de la chute

des corps est essentiellement due agrave la force de gravitation terrestre(cf Chapitre 11 pour une eacutetude deacutetailleacutee de la pesanteur terrestre) etlrsquoon peut eacutecrire

minusrarr ltminusrarr6 Au voisinage du sol minusrarr6 est uniforme et a

pour intensiteacute 6 9 8 Nkgminus1 Tant que la dimension du corps restefaible devant le rayon terrestre on montre que le poids srsquoappliqueau barycentre des masses et ne deacutepend que de la position du centredrsquoinertie Crsquoest pourquoi lorsque lrsquoon eacutetudie la chute des corps onassimile ces derniers agrave des points mateacuteriels

Exercice ndash Calculer le poids drsquoune roche de masse lt = 1 kg situeacutee agrave lasurface de la Lune sachant que la masse de la Lune vaut ltL = 7 351022 kget son rayon L = 1 737 kmReacutep = 162 N

Interaction eacutelectromagneacutetique

Lrsquointeraction eacutelectromagneacutetique possegravede deux aspects la force eacutelec-trique et la force magneacutetique La force eacutelectrique entre deux particules

minusrarr512

minusrarr521

minusminusrarrD12+ +(2)(1)

minusrarr512

minusrarr521

minusminusrarrD12

(2)(1)

FIGURE 25 ndash Forces de Coulomb

eacutelectriquement chargeacutees est soit attractive soit reacutepulsive Lrsquoeacutetat eacutelec-trique des particules est caracteacuteriseacute par leur charge eacutelectrique scalairepositif ou neacutegatif Deux charges ponctuelles de mecircme signe subissentdes forces reacutepulsives opposeacutees et coaxiales en accord avec le principedes actions reacuteciproques Lorsque les deux charges eacutelectriques sont designes opposeacutes les forces sont attractives

En 1785 Charles-Augustin Coulomb met en eacutevidence agrave lrsquoaide drsquounebalance de torsion qursquoil a reacutealiseacutee lui-mecircme la loi qui porte deacutesormaisson nom La force eacutelectrique ndashdite aussi force coulombiennendash entre deuxcharges ponctuelles immobiles dans le vide varie comme lrsquoinversedu carreacute de la distance qui les seacutepare et deacutepend de leur quantiteacute decharge

minusrarr512 =

Dans le Systegraveme international drsquouniteacutes les charges srsquoexpriment encoulombs (symbole C) et la constante vaut

4cY0 9 0109 mFminus1

ougrave Y0 deacutesigne la permittiviteacute dieacutelectrique du vide

Exercice ndash Dans lrsquoatome drsquohydrogegravene comparer la force eacutelectrique queressent lrsquoeacutelectron de la part du proton avec la force gravitationnelle Ondonne

mdash charge eacuteleacutementaire 4 = 1 610minus19 C

mdash masse de lrsquoeacutelectron lte = 9 110minus31 kg

mdash masse du proton ltp = 1 6710minus27 kg

Reacutep Le rapport de la force eacutelectrique sur la force gravitationnelle vaut231039

Consideacuterons une distribution de charges ponctuelles 8 8isin1 pla-ceacutees en P8 et une charge test amp placeacutee en M Cherchons agrave exprimer laforce eacutelectrique qursquoexerce cet ensemble de charges sur la charge testDrsquoapregraves le principe de superposition2020 Les eacutequations qui reacutegissent les ef-

fets eacutelectromagneacutetiques eacutetant lineacuteairesles forces eacutelectromagneacutetiques obeacuteissentau principe de superposition

les forces qursquoexercent chacunedes charges 8 sur la charge amp ont pour reacutesultante

minusrarr = amp

sum8=1

minusrarrD8A28

sum8=1

minusminusminusrarrP8MP8M3 = amp

minusrarr (M)

ougraveminusrarr (M) deacutesigne le champ eacutelectrique creacuteeacute en M par la distribution de

charges Notez que la force eacutelectrique et la force de gravitation sont ma-theacutematiquement analogues la masse et le champ de gravitation sontagrave la force de gravitation ce que sont la charge et le champ eacutelectrique agravela force eacutelectrique

Mises en mouvement ces charges font apparaicirctre une composantesuppleacutementaire dite force magneacutetique Par exemple si lrsquoon considegraveredeux charges eacutelectriques 1 et 2 animeacutees de vitesses respectives minusrarrE1

et minusrarrE2 la force eacutelectromagneacutetique que produit 1 sur 2 srsquoeacutecrit sous laforme

minusrarr512 = 2

minusrarr1 + 2

minusrarrE2 andminusrarr1 hearts (26)

23 Lois pheacutenomeacutenologiques 25

minusrarr6minusrarr)

minusrarr

FIGURE 26 ndash Forces de contact solide-solide

ougraveminusrarr1 deacutesigne par deacutefinition le champ magneacutetique produit par la

charge 1 Notez que la force magneacutetique 2minusrarrE2 andminusrarr1 est toujours or-

thogonale agrave minusrarrE2 et de ce fait viole le principe des actions reacuteciproquespuisqursquoelle nrsquoest pas neacutecessairement porteacutee par la droite qui joint lesdeux charges

Les champs magneacutetiques sont produits agrave lrsquoaide de courants eacutelectriquesou de mateacuteriaux aimanteacutes et se mesurent en teslas (symbole T) dansle Systegraveme international drsquouniteacutes

Les interactions nucleacuteaires

Les interactions faible et forte ont la particulariteacute drsquoecirctre des interactionsde tregraves courte porteacutee elles agissent sur une distance caracteacuteristiquede lrsquoordre du fermi (1 fermi = 1 femtomegravetre = 10minus15 m) Agrave cette eacutechellela physique newtonienne nrsquoopegravere plus et une description quantiqueest neacutecessaire Crsquoest pourquoi nous nrsquoenvisagerons que les interactionseacutelectromagneacutetique et gravitationnelle par la suite

23 Lois pheacutenomeacutenologiques21 21 Loi de comportement qui permet dedeacutecrire dans un certain domaine de vali-diteacute un pheacutenomegravene En geacuteneacuteral cette loifait appel agrave des paramegravetres deacutetermineacutespar lrsquoexpeacuterience Une loi pheacutenomeacutenolo-gique nrsquoest pas fondamentale

Lorsque deux corps entrent en contact dans un premier temps ce sontles atomes en surface qui interagissent via des interactions de courteporteacutee de nature eacutelectromagneacutetique lesquelles seront responsablesde lrsquoapparition agrave lrsquoeacutechelle macroscopique de ce que lrsquoon appelle lesforces de contact Dans un deuxiegraveme temps si ces actions de contactsont suffisamment importantes elles peuvent avoir un effet au seinmecircme du solide et perturber la coheacutesion du corps ce qui provoque unedeacuteformation macroscopique Nous donnons ici quelques lois pheacuteno-meacutenologiques associeacutees agrave ces actions sans chercher agrave les justifier pardes modegraveles atomiques

Contact solide-solide

Le contact entre deux solides fait apparaicirctre deux forces une forceminusrarr

normale au support et une forceminusrarr) tangentielle au support dite force

de frottement solide qui srsquooppose au glissement

Amontons (1699) et Coulomb (1785) ont eacutetabli les lois du frottementsolide que lrsquoon peut reacutesumer ainsi

1 En lrsquoabsence de frottement ) = 0

2 En preacutesence de frottement on distingue deux cas de figure

a) Il y a adheacuterence et donc absence de glissement tant que ) lt`B ougrave `B deacutesigne le coefficient de frottement statique

ligne drsquoeacutecoulementminusrarrp

minusrarrt

minusrarr

minusrarrEFIGURE 27 ndash Traicircneacutee et portance

b) Lorsque la condition ci-dessus ne peut plus ecirctre respecteacuteeil y a glissement avec frottement La force de frottementest opposeacutee agrave la vitesse de glissement22

22 La vitesse de glissement est la vitessedrsquoun point M du solide situeacute au voisi-nage de la surface de contact par rapportau support

et ) = `3 ougrave`3 deacutesigne le coefficient de frottement dynamique Lescoefficients `B et `3 sont assez proches et en geacuteneacuteral on a`B gt `3 La Table 22 donne quelques valeurs de `B

TABLE 22 ndash Quelques valeurs de coeffi-cient de frottement statique Interfaces acieracier acierteacuteflon pneuroute boisbois

`B 018 004 sim 0 8 065

Contact fluide-solide

Consideacuterons un obstacle solide plongeacute dans un fluide de masse volu-mique df Nous distinguerons deux cas suivant qursquoil y a eacutecoulementou non autour du solide

Le fluide est au repos

Lorsque le fluide est agrave lrsquoeacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel lieacute au solide lesseules forces agrave consideacuterer sont des forces de pression La pousseacuteedrsquoArchimegravede

minusrarrΠ deacutesigne la reacutesultante de ces forces dans le cas courant

ougrave le fluide est agrave lrsquoeacutequilibre dans le champ de pesanteur On retiendralrsquoeacutenonceacute suivant

Theacuteoregraveme drsquoArchimegravede (250 av J-C)

Tout corps immergeacute partiellement ou totalement dans un fluidesubit de la part de celui-ci une pousseacutee verticale dirigeacutee vers lehaut appeleacutee pousseacutee drsquoArchimegravede dont lrsquointensiteacute est eacutegale aupoids du volume de fluide deacuteplaceacuteLe point drsquoapplication de cette force est le centre de pousseacutee il estdiffeacuterent en geacuteneacuteral du centre de graviteacute

Le fluide est en mouvement

Supposons un solide plongeacute dans un fluide en eacutecoulement permanentde vitesse minusrarrE loin de lrsquoobstacle Lrsquoeacutecoulement autour de lrsquoobstacle faitapparaicirctre en plus de la pousseacutee drsquoArchimegravede des forces de frictiondites forces de viscositeacute dont la reacutesultante se deacutecompose en deuxactions

mdash La traicircneacuteeminusrarrt de mecircme sens que minusrarrE et donc opposeacutee agrave la vitesse re-

lative du solide par rapport au fluide est toujours preacutesente dansun fluide visqueux cette force est responsable de la reacutesistanceau deacuteplacement dans un fluide

mdash La portanceminusrarrp orthogonale agrave la vitesse est responsable du

maintien en vol des avions (quand elle est opposeacutee au poids) oudu maintien au sol de certains veacutehicules de course (elle est dansce cas dirigeacutee vers le sol)

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

FIGURE 28 ndash Tension eacutelastique

Pour des raisons de symeacutetrie la portance disparaicirct quand lrsquoobstaclepreacutesente un axe de symeacutetrie de mecircme direction que minusrarrE Crsquoest pourquoiun corps spheacuterique ne subit pas de portance quelle que soit la directiondans laquelle il se deacuteplace23 23 Une portance apparaicirct cependant

lorsque lrsquoobstacle spheacuterique est en rota-tion sur lui-mecircme crsquoest lrsquoeffet Magnus

Une analyse dimensionnelle montre que ces forces peuvent srsquoexprimerainsi

t = 12 df ( G E

p = 12 df ( I E

ougrave G et I deacutesignent les coefficients de traicircneacutee et de portance df lamasse volumique du fluide E la vitesse drsquoeacutecoulement et ( une sectiondroite de lrsquoobstacle Les coefficients G et I sont sans dimension etdeacutependent de faccedilon complexe du reacutegime drsquoeacutecoulement Pour simplifieron retiendra les deux cas limites suivants

mdash Agrave grande vitesse ces coefficients sont quasi constants et les forcesvarient alors de faccedilon quadratique avec la vitesse

Obstacle Sphegravere Plaque Voiture moyenne Obstacle profileacute

G 041 12 035 0 1

TABLE 23 ndash G agrave grande vitesse pourdiffeacuterents obstacles

mdash Agrave faible vitesse2424 En meacutecanique des fluides le reacute-gime drsquoeacutecoulement est caracteacuteriseacute parle nombre de Reynolds Ce nombre sansdimension vaut e = ` 5 E 3[ ougrave 3 deacute-signe une dimension caracteacuteristique delrsquoobstacle et [ la viscositeacute du fluide Onentend par laquo grande vitesse raquo un reacutegimedrsquoeacutecoulement agrave fort nombre de Reynolds(typiquement 105) et par laquo faible vitesse raquoun reacutegime agrave faible nombre de Reynolds(le 1)

les coefficients G et I varient comme lrsquoin-verse de la vitesse de sorte que les forces de friction varientproportionnellement agrave la vitesse Dans le cas particulier drsquouncorps en mouvement lent suivant son axe de symeacutetrie la forcede frottement fluide qursquoil subit srsquoeacutecrit

t = UE avec U = Cte

Loi de Stokes

Stokes a montreacute que dans le cas drsquoun corps spheacuterique de rayonA le coefficient U vaut 6c [ A ougrave [ deacutesigne la viscositeacute du fluideCette loi nrsquoest valide qursquoagrave condition que le nombre de Reynoldse = 2df E A[ soit petit devant 1 La physique des suspensions (par-ticules solides meacutelangeacutees agrave un liquide) et des eacutemulsions (meacutelangenon miscible de gouttelettes liquides dans un autre liquide) estreacutegie par cette loi

Tension

Lorsque lrsquoon tire sur un fil extensible (eacutelastique) ou un ressort celui-ci srsquoallonge dans un premier temps proportionnellement agrave la forceappliqueacutee On dit que le comportement est eacutelastique Ce comportementest caracteacuteristique de la matiegravere solide et est reacuteversible En revanchelorsque la force deacutepasse une valeur seuil le comportement nrsquoest plusreacuteversible on obtient alors un comportement plastique qui preacutevient engeacuteneacuteral la rupture

Consideacuterons le cas du ressort agrave spires non jointives lorsque lrsquoon eacutetireleacutegegraverement un ressort drsquoune longueur Δℓ il produit sur lrsquoagent qui le

deacuteforme une force dite tension eacutelastique proportionnelle agrave Δℓ dansune direction opposeacutee agrave lrsquoeacutetirement De mecircme si lrsquoon comprime unpeu le ressort drsquoune quantiteacute Δℓ ce dernier produit une force identiquemais dans la direction opposeacutee Formellement en deacutefinissant le vecteurunitaire minusrarrDG orienteacute de lrsquoextreacutemiteacute fixe vers lrsquoextreacutemiteacute mobile du ressortcela donne

minusrarr) = minus (ℓ minus ℓ0)minusrarrDG hearts (27)

avec ℓ0 la longueur au repos ℓ sa longueur et la constante de raideurLa constante de raideur est une donneacutee pheacutenomeacutenologique qui mesurela reacutesistance agrave lrsquoallongement et qui srsquoexprime en Nmminus1 Notez quepour un eacutelastique la tension nrsquoexiste que si le fil est tendu crsquoest-agrave-diresi ℓ ge ℓ0 Par contre un ressort peut ecirctre comprimeacute ou eacutetireacute de tellesorte que la loi 27 est valable quel que soit le signe de lrsquoallongementG = ℓ minus ℓ0

FIGURE 29 ndash Fil tendu sur un supportminusrarr) a

minusrarr) (B + dB)minusrarr

) (B)dminusrarr5

dminusrarr

Interrogeons-nous maintenant sur la faccedilon dont la tension est trans-mise le long drsquoun fil tendu Supposons que lrsquoon tende un fil en appli-quant agrave son extreacutemiteacute une force de tension

minusrarr)a le fil eacutetant eacuteventuelle-

ment en contact avec un surface (gorge drsquoune poulie par exemple)Isolons par la penseacutee une portion de fil situeacutee entre B et B + dB ougrave B

deacutesigne lrsquoabscisse curviligne le long du fil Cette portion de masse dltest soumise agrave quatre forces

mdash une force de coheacutesionminusrarr) (B + dB) due agrave la partie se trouvant agrave

droite du systegraveme

mdash une force de coheacutesionminusrarr) (B) exerceacutee de lrsquoautre cocircteacute

mdash une force de contact dminusrarr5

mdash et la pesanteur dminusrarr = dltminusrarr6

Si lrsquoon note minusrarr0 (B) lrsquoacceacuteleacuteration au point de coordonneacutee B le principefondamental de la dynamique impose

dltminusrarr0 (B) = minusrarr) (B) + minusrarr) (B + dB) + dminusrarr5 + dltminusrarr6

Ainsi cette relation associeacutee aux lois sur le frottement et aux lois delrsquoeacutelasticiteacute permet drsquoeacutetudier la dynamique du fil On peut retenir un reacute-sultat particuliegraverement simple concernant les fils sans masse glissantsans frottement En effet dans ce cas

) (B) = ) (B + dB) =rArr ) (B) = Cte

La tension est donc uniforme le long du fil Par continuiteacute on deacuteduitque ) = )a

En conclusion Un fil sans masse se deacuteplaccedilant sans frottement trans-met inteacutegralement la tension

PROBLEgraveMES DE CHUTE 331 Principe drsquoeacutequivalence 31

Eacutenonceacute 31Test du principe 31

32 Chute libre sans frottement 32Cas unidimensionnel 33Cas bidimensionnel 33

33 Chute libre avec frottement 34Cas unidimensionnel 34Cas bidimensionnel 36Ordres de grandeur 37

httpsfemto-physiquefrmecaniqueproblemes-de-chutephp

31 Principe drsquoeacutequivalence

Eacutenonceacute

Le principe drsquoeacutequivalence est la pierre angulaire de la theacuteorie de laRelativiteacute Geacuteneacuterale qursquoAlbert Einstein proposa en 1915 pour traiter lagravitation dans un cadre relativiste En lrsquoeacutetat actuel de nos connais-sances ce principe ne trouve pas drsquoexplication ce qui explique qursquoonlrsquoeacuterige en principe Il identifie deux proprieacuteteacutes de la matiegravere concep-tuellement diffeacuterentes

mdash La masse inerte lt qui mesure lrsquoeffort agrave exercer pour changerlrsquoeacutetat de mouvement drsquoun corps Plus cette masse est grandeplus il est difficile de changer la vitesse drsquoun corps Il srsquoagit drsquouneproprieacuteteacute qui se rapporte agrave lrsquoinertie du mouvement

mdash La masse grave ltlowast qui mesure le couplage entre un corps et lechamp de gravitation Plus cette masse est grande plus la forcedrsquoattraction dans le champ de gravitation sera importante

Principe drsquoeacutequivalence

Pour tous les corps la masse grave est proportionnelle agrave la masseinerte Plus exactement le rapport = ltlowastlt est indeacutependant de lacomposition chimique On choisit = 1 ce qui permet drsquoadopterune seule uniteacute pour la masse grave et inerte le kilogramme26 26 Depuis mai 2019 le kilogramme est

deacutefini en fixant par deacutecret la valeurde trois constantes de la nature laconstante de Planck la ceacuteleacuteriteacute de la lu-miegravere dans le vide et la freacutequence de tran-sition dans le Ceacutesium 133

Tester le principe drsquoeacutequivalence

Une conseacutequence de ce principe est lrsquouniversaliteacute de la chute libre dansle vide En effet si lrsquoon considegravere un corps mateacuteriel de masse inerte ltde masse grave ltlowast tombant dans le vide dans un champ de pesanteurminusrarr6 alors lrsquoeacutequation fondamentale de la dynamique ltminusrarr0 = ltlowastminusrarr6 donnesi lt = ltlowast

minusrarr0 = minusrarr6 pour tous les corps

Ainsi une plume et un marteau tombent agrave la mecircme vitesse dans levide Pour lrsquoanecdote cette expeacuterience fut reacutealiseacutee sur la Lune en 1971lors de la mission Apollo 15 par le commandant David Scott27 27 une videacuteo est disponible sur le

site de la NASA agrave lrsquoadresse http

nssdcgsfcnasagovplanetary

lunarapollo_15_feather_drophtml

32 3 PROBLEgraveMES DE CHUTE

La violation du principe drsquoeacutequivalence signerait lrsquoeacutemergence drsquounenouvelle physique crsquoest pourquoi il est important de savoir avecquelle preacutecision est veacuterifieacutee ce principe ne serait ce pour fixer descontraintes sur les nouvelles theacuteories alternatives

Avant la fin du XIXe siegravecle lrsquoeacutetude preacutecise de lrsquoisochronisme des pen-dules permit de veacuterifier le principe drsquoeacutequivalence avec une preacutecisionde 10minus5 pregraves (Bessel 1830) On doit au Baron Von Eoumltvoumls un scienti-fique hongrois un test du principe drsquoeacutequivalence en 1890 avec ungain de preacutecision de trois ordres de grandeur Eoumltvoumls inventa une ba-lance de torsion capable de mesurer tregraves preacuteciseacutement les variations depesanteur et reacutealisa que son appareil pouvait eacutegalement servir agrave testerle principe drsquoeacutequivalence deux masses de composition diffeacuterentesont suspendues aux extreacutemiteacutes drsquoun pendule de torsion la mesureconsiste agrave veacuterifier que le bras du pendule tourne de 180deg lorsque la tecirctedu fil de suspension tourne de la mecircme quantiteacute Les masses subissantlrsquoattraction gravitationnelle de la Terre et la force centrifuge due agrave larotation de celle-ci une diffeacuterence devait ecirctre enregistreacutee si le rapport = ltlowastlt deacutependait de la composition chimique[6][6] NIETO (1989) ldquoActually Eoumltvoumls did

publish his results en 1910 itrsquos just thatno one knows about itrdquo

Eoumltvoumls veacuterifiaainsi le principe drsquoeacutequivalence avec une preacutecision de 510minus8 Plus reacute-cemment Adelberger trouva avec la mecircme technique une preacutecisionde 210minus13

A partir de la fin du XXe siegravecle des expeacuteriences de chute libre dans destours agrave vide furent eacutegalement reacutealiseacutees Dans ces tours la preacutecisionest limiteacutee par la reacutesistance de lrsquoair reacutesiduel et par le bruit sismiqueElle est de lrsquoordre de 10minus10 minus 10minus12 tout de mecircme Le meilleur vide quelrsquoon connaicirct eacutetant celui qui regravegne dans lrsquoespace lrsquoeacutetude des astres dusystegraveme solaire en chute libre dans le champ de gravitation du Soleilpermet eacutegalement de tester le principe drsquoeacutequivalence Par exemplegracircce aux reacuteflecteurs installeacutes sur la Lune lors des missions Apolloles scientifiques peuvent par teacuteleacutemeacutetrie laser mesurer preacuteciseacutement laposition de la Lune Les compositions internes de la Terre et de la Luneeacutetant diffeacuterentes ces deux astres devraient ecirctre acceacuteleacutereacutes diffeacuteremmentvers le Soleil en cas de violation du principe drsquoeacutequivalence La teacuteleacute-meacutetrie laser confirme le principe drsquoeacutequivalence avec une preacutecision de210minus13

32 Chute libre sans frottement

Commenccedilons tout drsquoabord par traiter le problegraveme simple de la chutelibre dans le vide Consideacuterons un point mateacuteriel M de masse lt enchute libre dans un champ de pesanteur uniforme Le principe fonda-mental de la dynamique associeacute au principe drsquoeacutequivalence nous ditque

minusrarr0 = minusrarr6 =rArr minusrarrE = minusrarr6 C + minusrarrE0 (31)

ougrave minusrarrE0 deacutesigne la vitesse initiale Le mouvement uniformeacutement acceacuteleacutereacuteest alors soit rectiligne soit plan Analysons ces deux cas de figure

32 Chute libre sans frottement 33

Cas unidimensionnel

Si le corps est lanceacute avec une vitesse initiale colineacuteaire agrave minusrarr6 la trajec-toire est neacutecessairement rectiligne puisque lrsquoacceacuteleacuteration est agrave chaqueinstant colineacuteaire agrave la vitesse Notons I(C) lrsquoaltitude du point mateacuterielagrave lrsquoinstant C et ℎ lrsquoaltitude initiale Lrsquoeacutequation (31) aboutit agrave

currenI = E0 minus 6C =rArr I = E0C minus126C2 + ℎ

Il est facile de montrer que le corps atteint le sol avec une vitesse

radicE2

0 + 26ℎ Dans le cas particulier ougrave le corps est lacirccheacute sans vitesseinitiale on obtient la fameuse formule

Es =radic

26ℎ hearts (32)

La vitesse de chute est indeacutependante de la masse et de la forme ducorps Notez que cette loi est la mecircme que celle agrave laquelle obeacuteissent lesliquides peu visqueux lors de la vidange drsquoun reacutecipient cylindriqueLa vitesse drsquoeacutecoulement varie comme la racine carreacute du niveau drsquoeauentre la surface libre et lrsquoorifice de sortie28

28 cf formule de Torricelli agravelrsquoadresse httpsfemto-physique

frmecanique_des_fluides

fluides-parfaitsphp

Cas bidimensionnel

Si initialement le corps est lanceacute avec un vecteur vitesse non colineacuteaireagrave minusrarr6 la trajectoire nrsquoest plus rectiligne En revanche elle est neacutecessaire-ment plane29

29 On observe une trajectoire planequand le vecteur acceacuteleacuteration et le vec-teur vitesse restent constamment dansle mecircme plan proprieacuteteacute violeacutee parexemple lorsqursquoon tient compte de la ro-tation terrestre dans lrsquoeacutetude de la chutelibre

minusrarr6minusrarrE (C)

minusrarrE0

FIGURE 31 ndash Position du problegraveme

Placcedilons le corps mateacuteriel agrave lrsquoorigine drsquoun systegraveme drsquoaxes (GOI) etlanccedilons le avec une vitesse minusrarrE0 formant un angle par rapport agrave lrsquoaxe(OG) Lrsquoeacutequation (31) projeteacutee sur lrsquoaxe OG donne

currenG = E0 cos =rArr G = E0C cos

Le mouvement suivant OG est uniforme En projetant selon OI onobtient

currenI = E0 sin minus 6C =rArr I = E0C sin minus 126C2

Le mouvement suivant OI est uniformeacutement acceacuteleacutereacute Lrsquoeacuteliminationdu temps permet de trouver lrsquoeacutequation de la trajectoire

I = minus12

E20 cos2

G2 + G tan

Le point M deacutecrit une trajectoire parabolique

La porteacutee Gmax du lanceacute deacutesigne la distance agrave laquelle retombe leprojectile Il est facile de montrer que

Gmax =E2

0 sin 26

La valeur de lrsquoangle qui permet de lancer le projectile le plus loinpossible correspond donc agrave

sin 2 = 1 soit = 45deg

FIGURE 32 ndash Influence de lrsquoangle surla trajectoire

minusrarr6

33 Chute libre avec frottement

Envisageons maintenant la preacutesence de frottements et cherchons lrsquoin-fluence qursquoils ont sur la trajectoire et la vitesse Pour simplifier onconsidegravere que le frottement se reacutesume agrave une force de traicircneacutee t

Cas unidimensionnel

Lacircchons un corps mateacuteriel de masse lt de volume Vet de masse volu-mique d dans un fluide de masse volumique df On observe une phaseacceacuteleacutereacutee suivie drsquoun mouvement uniforme agrave la vitesse Einfin dite vitesselimite En effet agrave suffisamment grande vitesse la force de frottementt compense les effets de la pesanteur (pousseacutee drsquoArchimegravede inclue)ce qui impose une acceacuteleacuteration nulle et donc une vitesse constanteLa pousseacutee drsquoArchimegravede eacutetant lrsquoopposeacutee du poids du fluide deacuteplaceacutesrsquoeacutecrit minusrarr

Π = minusdf Vminusrarr6 = minus df

dltminusrarr6

de sorte que la somme du poids et de la pousseacutee drsquoArchimegravede peutsrsquointerpreacuteter comme un poids apparent de champ de pesanteur minusrarr6 prime

minusrarr + minusrarrΠ = ltminusrarr6 prime avec minusrarr6 prime =

(1 minus df

)minusrarr6

et la vitesse limite est donneacutee par lrsquoeacutequation lt |6prime | = t La vitesselimite deacutepend donc de la masse et du fluide Cherchons la dureacutee

33 Chute libre avec frottement 35

Einfin

frottement lineacuteairefrottement quadratique

FIGURE 33 ndash Vitesse de chute - Compa-raison entre le frottement lineacuteaire et lefrottement quadratique

caracteacuteristique de la phase acceacuteleacutereacutee ainsi que lrsquoexpression de la vitesselimite en eacutetudiant deux modegraveles simplistes

Dans le cas des petites vitesses on peut modeacuteliser la force de traicircneacuteeen premiegravere approximation par une force lineacuteaire en vitesse

minusrarrt = minusUminusrarrE

ougrave U deacutesigne un coefficient de frottement qui deacutepend de la taille ducorps et de la viscositeacute du fluide La vitesse limite srsquoeacutecrit Einfin = lt6primeUA partir de la vitesse limite et de la pesanteur apparente on peutconstruire une grandeur homogegravene agrave un temps que nous appelleronsg = Einfin6prime La relation fondamentale de la dynamique se met alors sousune forme canonique

lt currenE = lt6prime minus UE =rArr currenE + Eg=Einfing

dont la solution estE(C) = Einfin

[1 minus eminusCg

]Le temps caracteacuteristique g repreacutesente donc le temps de relaxation dela vitesse Pour une dureacutee de 5g on fait une erreur infeacuterieure agrave 1 eneacutecrivant E Einfin On pourra donc consideacuterer que 5g repreacutesente la dureacuteedu reacutegime transitoire

Lorsque la vitesse est assez grande la force de frottement varie grossomodo comme le carreacute de la vitesse

minusrarrt = minusVEminusrarrE avec V =

12df(G

ougrave le coefficient G est un coefficient aeacuterodynamique qui deacutepend de laforme du corps et de lrsquoeacutecoulement autour de celui-ci ( est la sectiondroite Ici la vitesse limite vaut

E2infin =

lt6prime

V=rArr Einfin =

radic2lt6prime

Elle varie donc commeradiclt Lrsquoeacutequation du mouvement donne

currenE = 6prime minus V

ltE2 = 6prime

[1 minus

Einfin

Si lrsquoon pose comme preacuteceacutedemment g = Einfin6prime et G = EEinfin lrsquoeacutequationdevient apregraves seacuteparation des variablesint EEinfin

11 minus G2 dG =

ce qui donne la solution

E(C) = Einfin tanh( Cg

)avec tanh(G) = eG minus eminusG

eG + eminusG

La fonction tanh(G) est monotone croissante sur R et tend asymptoti-quement vers 1 quand G rarrinfin La vitesse croicirct donc de faccedilon monotone

jusqursquoagrave la vitesse limite et ce reacutegime acceacuteleacutereacute a une dureacutee caracteacuteris-tique de lrsquoordre de g La Figure 33 montre notamment que la vitesselimite est atteinte plus rapidement avec un frottement quadratiqueqursquoavec un frottement lineacuteaire

Il est eacutegalement possible drsquoexprimer la vitesse en fonction de la dis-tance parcourue B = ℎ minus I En effet on peut transformer lrsquoeacutequation (33)en utilisant

) (dBdC

E =dE22

On obtient alors lrsquoeacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire suivante

dDdB+ 26prime

E2infinD = 26prime avec D = E2

Cette eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire agrave coefficients constants admet dessolutions de la forme

D = E2infin +Cte exp

(minus 2BEinfing

)La condition initiale D(0) = 0 permet de deacuteterminer la constante drsquointeacute-gration Finalement la vitesse srsquoeacutecrit

E(B) = Einfinradic

1 minus eminusBℓ avec ℓ =12Einfing =

126primeg2

La grandeur ℓ homogegravene agrave une longueur repreacutesente la distance carac-teacuteristique sur laquelle la particule est acceacuteleacutereacutee On retrouve drsquoailleurspar un deacuteveloppement limiteacute que E

radic26primeB lorsque B ℓ Un calcul

numeacuterique montre que lrsquoon fait une erreur infeacuterieure agrave 1 en eacutecrivantE Einfin lorsque B gt 4ℓ

Cas bidimensionnel

Traitons maintenant le problegraveme du mouvement drsquoun corps lanceacute avecune vitesse initiale minusrarrE0 dans un fluide visqueux Consideacuterons le cas leplus courant pour lequel la force de frottement est quadratique envitesse

minusrarrt = minusVEminusrarrE Lrsquoeacutequation du mouvement projeteacutee sur les axes

usuels (OG) et (OI) donne deux eacutequations scalaires yenI = minus6prime minus V

ltcurrenIradiccurrenG2 + currenI2

yenG = minus VltcurrenGradiccurrenG2 + currenI2

Il srsquoagit drsquoun systegraveme drsquoeacutequations non lineacuteaires coupleacutees qui peut semettre sous la forme drsquoun systegraveme de quatre eacutequations diffeacuterentiellesdu premier ordre

currenG = EG

currenI = EIet

currenEI = minus6prime minus V

radicE2G + E2

currenEG = minus VltEG

radicE2G + E2

Il existe de nombreuses meacutethodes numeacuteriques pour reacutesoudre ce typedrsquoeacutequation comme par exemple la meacutethode de Runge-Kutta30 30 cf httpsfemto-physiquefr

omprunge-kuttaphp

LaFigure 34 montre un exemple de trajectoire calculeacutee numeacuteriquementLes diffeacuterences avec la chute libre tiennent essentiellement dans ladiminution de la porteacutee et de la flegraveche de la trajectoire ainsi que danslrsquoapparition drsquoune asymptote verticale En effet le mouvement suivant(Ox) nrsquoeacutetant que freineacute la vitesse EG ne cesse de diminuer jusqursquoagravesrsquoannuler Pour ce qui est du mouvement verticale il tend vers un

mouvement uniforme de vitesse Einfin =radiclt6prime

frottement nul

quadratique

Mminusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

FIGURE 34 ndash Chute libre avec frottementquadratique - Comparaison avec la chutelibre sans frottement

Ordres de grandeur

Arrecirctons nous un instant sur les ordres de grandeur et prenons deuxcas

1 une bille drsquoacier (d = 7850 kgmminus3) de diamegravetre 126 mm estlacirccheacutee dans lrsquoair (df = 1 2 kgm3)

2 la mecircme bille drsquoacier est lacirccheacutee dans lrsquoeau (df 1000 kgm3)

Les tables indiquent que le coefficient aeacuterodynamique drsquoune sphegraverevaut environ G = 0 44 agrave suffisamment grande vitesse On obtient lesreacutesultats suivants

fluide 6prime (msminus2) V (kgmminus1) Einfin (msminus1) ℓ (m) g (s)

air 6 33 middot 10minus6 495 125 5eau 087 6 27 middot 10minus3 16 015 02

TABLE 31 ndash Quelques ordres de gran-deur pour une bille drsquoacier lacirccheacutee danslrsquoair et dans lrsquoeau

On constate que dans lrsquoair en premiegravere approximation on peut neacutegli-ger les frottements si lrsquoon srsquointeacuteresse au mouvement de cette bille surles premiers megravetres En revanche dans lrsquoeau les frottements jouent unrocircle assez vite degraves les premiers centimegravetres

minusrarr5

minusrarrdℓ

APPROCHES EacuteNERGEacuteTIQUES 441 Concept drsquoeacutenergie 39

Travail drsquoune force 39Puissance drsquoune force 40TEC 41

42 Eacutenergie meacutecanique 42Forces conservatives 42Th de lrsquoeacutenergie meacutecanique 44Systegravemes non conservatifs 45Systegravemes unidimensionnels 46

43 Systegraveme de points 48TEC 48Theacuteoregraveme de Kœnig 49Conservation de lrsquoeacutenergie 50Lien avec la thermo 52

Hormis quelques systegravemes simples les eacutequations du mouvementssrsquoavegraverent souvent difficile agrave reacutesoudre et requiegraverent des meacutethodes nu-meacuteriques Toutefois on peut souvent deacuteterminer des lois de conservationqui permettent si ce nrsquoest de reacutesoudre le problegraveme au moins de ca-racteacuteriser partiellement lrsquoeacutevolution du systegraveme Le concept drsquoeacutenergiemegravene agrave ce type de loi comme nous allons le voir

femto-physiquefrmecaniqueapproches-energetiquesphp

41 Concept drsquoeacutenergie

Travail drsquoune force

Lorsqursquoune force srsquoexerce sur un point mateacuteriel M crsquoest sa composantele long de la trajectoire qui modifie la norme de la vitesse

Pour mesurer combien une forceminusrarr5 travaille agrave acceacuteleacuterer ou a ralentir

un point mateacuteriel on deacutefinit une grandeur appeleacutee travail meacutecaniquedeminusrarr5 et noteacuteeArarrB

ArarrB intCAB

minusrarr5 middotminusrarrdℓ hearts (41)

ougraveminusrarrdℓ deacutesigne le vecteur deacuteplacement infiniteacutesimal du point M le long

du trajet CAB Le travail est donc une inteacutegrale curviligne dont le reacutesul-tat deacutepend a priori de la force et du trajet On remarque que si la forcefait un angle aigu avec le vecteur deacuteplacement alors ArarrB gt 0 Ondit que le travail est moteur Si au contraire la force fait constammentun angle obtus avec le vecteur deacuteplacement ArarrB lt 0 le travailest reacutesistant Enfin si la force est orthogonal au deacuteplacement alorsArarrB = 0 la force ne fait qursquoincurver la trajectoire sans modifier lanorme de la vitesse comme nous le verrons plus loin

Dans le Systegraveme international drsquouniteacutes le travail srsquoexprime en joule(symbole J) en hommage agrave James Prescott Joule32

32 James Prescott Joule (1818-1889) Physicien anglais qui montra lrsquoeacutequiva-lence entre le transfert thermique etle travail meacutecanique Il deacutecouvrit avecWilliam Thomson (qui deviendra plustard Lord Kelvin) lrsquoeffet Joule-Kelvin agravelrsquoorigine des systegravemes frigorifiques

Une analyse di-mensionnelle donne

[] = ML2Tminus2 =rArr 1 J = 1 kgm2sminus2

40 4 APPROCHES EacuteNERGEacuteTIQUES

minusrarr

minusrarr6

FIGURE 41 ndash Calcul du travail de pesan-teur

minusrarr6bull

minusrarr)

minusrarr

FIGURE 42 ndash Calcul du travail des forcesde frottement

Notez que lrsquoexpression du travail se simplifie dans le cas drsquoune forceuniforme pour un trajet CAB on obtient

ArarrB =minusrarr5 middot minusminusrarrAB si

minusrarr5 =minusminusrarrCte

Exemple travail de la pesanteur ndash Calculons le travail de la force de pesan-teur lorsque le centre de graviteacute G drsquoun corps mateacuteriel se deacuteplace du point Aau point B Le poids eacutetant une force constante on a

ArarrB =minusrarr middot minusminusrarrAB = plusmnlt6ℎ (42)

ougrave ℎ deacutesigne la deacutenivellation (ℎ gt 0) On mettra le signe + quand G descend(travail moteur) et le signe - quand G monte (travail reacutesistant)

On remarque ici que le travail du poids ne deacutepend pas de la forme dutrajet mais seulement de la deacutenivellation Par conseacutequent si le centredrsquoinertie revient agrave sa position initiale le poids nrsquoaura produit aucuntravail globalement On verra que le poids appartient agrave lrsquoensembledes forces conservatives En revanche les forces de frottement ont laparticulariteacute de travailler en reacutesistance et ce drsquoautant plus que le trajetest long

Exemple travail drsquoun frottement solide ndash Une lugeuse glisse sur une pistede forme quelconque et lrsquoon suppose que la force de frottement qursquoexerce laneige sur la luge est constante et vaut ) Calculons le travail produit par lesforces de contact apregraves avoir parcouru une distance Tout drsquoabord lrsquoactionnormale agrave la surface ne travaille pas puisqursquoelle est orthogonal agrave la vitessede glissement Le travail des forces de contact srsquoidentifie donc avec le travailde la force de frottement

ArarrB =

intCAB

minusrarr) middotminusrarrdℓ = minus

intCAB

) dℓ = minus)

Contrairement au poids le travail des forces de frottement deacutepend de lalongueur du trajet et donc de la forme du chemin parcouru

Puissance drsquoune force

Pour mesurer agrave quel rythme une force travaille on introduit la notionde puissance meacutecanique La puissance drsquoune force que nous noterons Pest le quotient du travail fourni sur la dureacutee lorsque cette dureacutee tendvers 0

P = limXCrarr0

XC= limXCrarr0

minusrarr5 middotminusrarrdℓXC

=minusrarr5 middot minusrarrE (43)

ougrave minusrarrE est la vitesse du point drsquoapplication de la force La puissance estdonc une grandeur instantaneacutee Finalement le travail drsquoune force surun trajet CAB peut se calculer agrave partir de la puissance

ArarrB =

int CB

PdC hearts (44)

41 Concept drsquoeacutenergie 41

ougrave CA et CB sont les instants ougrave le point M se trouve en A et B Dans lecas particulier ougrave la puissance est constante on a tout simplement

ArarrB = Ptimes ΔC

avec ΔC = CB minus CA la dureacutee que met le point drsquoapplication agrave aller de Avers B

Dans le Systegraveme international drsquouniteacutes la puissance srsquoexprime en watt(symbole W) en hommage agrave James Watt33

33 James Watt (1736-1819) Ingeacutenieureacutecossais qui apporta de nombreuses in-novations agrave la machine agrave vapeur Onlui doit eacutegalement lrsquouniteacute de laquo cheval-vapeur raquo encore utiliseacutee dans le domaineautomobile 1 ch = 736 W

Une analyse dimension-nelle donne immeacutediatement

1 W = 1 Jsminus1

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique

Consideacuterons un point mateacuteriel M de masse lt animeacute drsquoune vitesse minusrarrEdans un reacutefeacuterentiel galileacuteen R et soumis agrave un ensemble de forces

minusrarr5

La relation fondamentale de la dynamique nous donne

ltdminusrarrEdC

minusrarr5

Multiplions par minusrarrE cette expression En remarquant que

ddC(minusrarrE middot minusrarrE ) = 2minusrarrE middot dminusrarrE

il vientddC

(12ltE2

minusrarr5 middot minusrarrE

Le terme de droite correspond agrave la somme des puissances meacutecaniquesLe terme de gauche est la deacuteriveacutee de la quantiteacute

Ec (M) 12ltE2 hearts (45)

Une analyse dimensionnelle donne [Ec] = ML2Tminus2 ce qui correspondagrave la dimension drsquoun travail Cette quantiteacute qui ne deacutepend que dupoint mateacuteriel et de son mouvement est appeleacutee eacutenergie cineacutetique etsrsquoexprime en joule Nous avons donc obtenu une eacutequation drsquoeacutevolutionde lrsquoeacutenergie cineacutetique

ddC(Ec) =

Si nous inteacutegrons cette eacutequation sur le temps entre les instants CA et CB on obtient

ΔEc Ec (B) minus Ec (A) =sum

ArarrB

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique (TEC)

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen R lrsquoeacutenergie cineacutetique Ec () 12ltminusrarrE 2

drsquoun point mateacuteriel M subissant les actionsminusrarr5 veacuterifie la loi drsquoeacutevolu-

ddC(Ec) =

P [Formulation diffeacuterentielle] (46)

ΔEc =sum

ArarrB [Formulation inteacutegrale] (47)

Arrecirctons nous un instant sur le contenu physique de ce theacuteoregraveme Onpeut consideacuterer que le point mateacuteriel possegravede ndashde part son mouvementndashune quantiteacute que nous appelons eacutenergie cineacutetique laquelle eacutevolue suite agraveun transfert drsquoeacutenergie dirigeacute de lrsquoenvironnement exteacuterieur vers le pointmateacuteriel Ce transfert drsquoeacutenergie srsquoidentifie ici avec le travail des forcesdrsquointeraction de lrsquoenvironnement exteacuterieur sur le point M Autrement-dit lrsquoeacutenergie cineacutetique ne varie que si le point mateacuteriel reccediloit de lapuissance meacutecanique Une conseacutequence immeacutediate est qursquoun pointmateacuteriel conserve son eacutenergie cineacutetique si les forces qursquoil subit netravaillent pas seule la direction de la vitesse peut changer pas sanorme

Exercice ndash Un canon tire un obus agrave la vitesse E = 100 msminus1 suivant la ver-ticale ascendante Le reacutefeacuterentiel terrestre est consideacutereacute galileacuteen et le champde pesanteur terrestre vaut 6 = 9 8 msminus2 Calculer lrsquoaltitude maximale ℎatteinte par lrsquoobus si lrsquoon neacuteglige la reacutesistance de lrsquoairReacutep ℎ = 510 m

42 Eacutenergie meacutecanique drsquoun point

Forces conservatives

Lrsquoopeacuterateurminusrarrnabla est un opeacuterateur diffeacuteren-

tiel lineacuteaire Il srsquoapplique agrave une fonctionscalaire de lrsquoespace (champ scalaire) etretourne une fonction vectorielle de lrsquoes-pace (champ vectoriel) Il se lit gradientou nabla et se note minusminusminusrarrgrad 5 (G H I) ou

minusrarrnabla 5 (G H I)

Lrsquoexpression de lrsquoopeacuterateur gradient deacute-pend du systegraveme de coordonneacutees En co-ordonneacutees carteacutesiennes on retiendra laformule suivante

minusrarrnabla 5 (G H I) = m 5mG

minusrarrDG +m 5

minusrarrDH +m 5

minusrarrDI

Par deacutefinition une force est dite conservative lorsqursquoelle srsquoexprimecomme le gradient drsquoune fonction scalaire de lrsquoespace Ep (G H I) diteeacutenergie potentielle drsquointeraction

minusrarr5 = minusminusrarrnablaEp (G H I) =

copyshyshylaquominusmEpmGminusmEpmHminusmEpmI

ordfregregnot hearts (48)

On remarque immeacutediatement que la fonction Ep a bien la mecircme di-mension qursquoun travail puisque [ 5 ] = [Ep]L ce qui explique son ap-pellation Lrsquoeacutenergie potentielle Ep srsquoexprime donc en joule

Meacutethodologie

Il y a deux faccedilons drsquoobtenir lrsquoeacutenergie potentielle associeacutee agrave uneforce

42 Eacutenergie meacutecanique 43

1 Soit on cherche la fonction scalaire Ep (G H I) qui veacuterifie

minusrarr5 = minusminusrarrnablaEp (G H I)

en reacutesolvant trois eacutequations aux deacuteriveacutees partielles

2 Soit on cherche la fonction scalaire Ep (G H I) agrave partir de larelation

X =minusrarr5 middotminusrarrdℓ = minusdEp

Par exemple cherchons lrsquoeacutenergie potentielle associeacutee agrave la pesanteurminusrarr = ltminusrarr6 Lrsquoespace eacutetant munis drsquoun repegravere carteacutesien drsquoaxe OIvertical ascendant on obtient

minusrarr = minuslt6minusrarrDI =rArr

0 = minusmEpmG0 = minusmEpmHminuslt6 = minusmEpmI

Les deux premiegraveres relations traduisent le fait que lrsquoeacutenergie po-tentielle ne deacutepend que de I Lrsquointeacutegration de la derniegravere relationdonne Ep (I) = lt6 I +Cte

On peut aussi exprimer le laquo travail eacuteleacutementaire raquo

X =minusrarr middotminusrarrdℓ = minuslt6 dI = minusdEp

ce qui donne immeacutediatement Ep (I) = lt6 I +Cte

Calculons le travail drsquoune force conservativeminusrarr5 le long drsquoun trajet

quelconque CAB En coordonneacutees carteacutesiennes le deacuteplacement infini-

teacutesimal srsquoeacutecritminusrarrdℓ = dGminusrarrDG + dHminusrarrDH + dIminusrarrDI et donc le travail

ArarrB = minusintCAB

mGdG +

mHdH +

mIdI = minus

intCAB

dEp = Ep (A) minus Ep (B)

Autrement dit une force conservative produit un travail qui ne deacute-pend pas de la forme du trajet mais uniquement de la position despoints A et B En conseacutequence si le trajet se referme sur lui-mecircme letravail est nul La reacuteciproque est vraie crsquoest-agrave-dire qursquoune force dontle travail deacutepenseacute est nul quel que soit le circuit fermeacute parcouru par lepoint drsquoapplication est forceacutement conservative Pour reacutesumer∮

minusrarr5 middotminusrarrdℓ = 0 forallC lArrrArr minusrarr

5 = minusminusrarrnablaEp

Les forces de frottement sont neacutecessairement non conservatives puis-qursquoelles srsquoopposent par nature au mouvement En effet

minusrarr5 = minusU(E)minusrarrE =rArr

∮ minusrarr5 middotminusrarrdℓ = minus

int C2

U(E)E2 dC lt 0

Un autre proprieacuteteacute de la force conservative est qursquoelle est toujoursdirigeacutee vers les valeurs deacutecroissantes de lrsquoeacutenergie potentielle La forceaura donc tendance agrave amener le point mateacuteriel dans la zone drsquoeacutener-gie potentielle minimale La Table 41 reacutesume quelques eacutenergies

potentielles associeacutees agrave quelques forces

TABLE 41 ndash Caractegravere conservatif ou non de quelques interactions classiques

Force Expression Statut Eacutenergie potentielle

Force de gravitationminusrarr5 = minusGlt1lt2

A2minusrarrD Conservative Ep = minus

Glt1lt2A

Force eacutelectrostatiqueminusrarr5 =

amp1amp2

4cn0A2minusrarrD Conservative Ep =

amp1amp24cn0A

Force magneacutetiqueminusrarr5 = minusrarrE and minusrarr Ne travaille pas

Pesanteur uniformeminusrarr = ltminusrarr6 Conservative Ep = lt6 I +Cte

Frottements solidesolideminusrarr =minusrarr + minusrarr) non conservative

Frottements fluidesolideminusrarr5 = minusU(E)minusrarrE non conservative

Tension eacutelastiqueminusrarr) = minus (ℓ minus ℓ0)minusrarrDG Conservative Ep =

12 (ℓ minus ℓ0)2 +Cte

Remarque La deacutetermination de lrsquoeacutenergie potentielle introduit toujoursune constante scalaire Cette constante nrsquoa aucun sens physique puis-qursquoelle nrsquointervient pas dans les grandeurs que lrsquoon peut mesurer (la forcele travail) Crsquoest pourquoi on peut arbitrairement la poser agrave 0 (ce quirevient agrave poser une origine des eacutenergies potentielles) ou la conserverdans les calculs sachant que les grandeurs physiques mesurables nrsquoendeacutependront pas

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique

Lorsqursquoun systegraveme dynamique est soumis agrave des forces conservativesetou des forces ne travaillant pas on dit que le systegraveme est conservatifNotons Ep lrsquoeacutenergie potentielle associeacutee aux diffeacuterentes forces

minusrarr5 que

subit un point mateacuteriel M et appliquons le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergiecineacutetique entre deux positions quelconques A et B de M On obtient

Ec () minus Ec () =sum

ArarrB = minus

(Ep () minus Ep ()

)drsquoougrave lrsquoon tire Ec (A) +

p (A) = Ec (B) +

Pour tout systegraveme conservatif la quantiteacute appeleacutee eacutenergie meacuteca-nique somme de lrsquoeacutenergie cineacutetique et des eacutenergies potentielles seconserve au cours du mouvement

Em Ec +sum

Ep = constante (49)

Cette relation est appeleacutee inteacutegrale premiegravere du mouvement comme touterelation de conservation ne faisant intervenir que les deacuteriveacutees pre-miegraveres des coordonneacutees par rapport au temps Bien qursquoen geacuteneacuteralcette relation possegravede moins drsquoinformation que le PFD elle preacutesentelrsquointeacuterecirct non neacutegligeable de relier entre elles des grandeurs scalairesce qui eacutevite le formalisme vectoriel Par exemple quand on cherche

une relation entre vitesse et position il peut ecirctre judicieux drsquoeacutecrirela relation de conservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique Enfin dans lessystegravemes conservatifs agrave un degreacute de liberteacute (cf Section 36) elle fournitdirectement lrsquoeacutequation du mouvement En dehors de ce cas particulieril faut chercher des relations suppleacutementaires pour pouvoir espeacutererreacutesoudre le problegraveme34 34 Il existe cependant un formalisme

dit formalisme lagrangien qui permet drsquoob-tenir toutes les eacutequations agrave partir drsquounefonction qui a une interpreacutetation eacutenergeacute-tique

On notera que la relation (49) possegravede la proprieacuteteacute drsquoecirctre invariantepar renversement du temps En effet la transformation C prime = minusC changele signe de la vitesse mais nrsquoaffecte ni lrsquoeacutenergie cineacutetique ni les eacutenergiespotentielles On dit que les systegravemes conservatifs sont reacuteversiblesConcregravetement cela signifie que si un point mateacuteriel M eacutevolue surune trajectoire C entre C = 0 et C = C1 et que lrsquoon inverse la vitessepreacuteciseacutement agrave lrsquoinstant C1 (ce qui revient agrave inverser le sens du temps) lepoint M eacutevoluera en empruntant la trajectoire agrave lrsquoenvers pour retrouverson eacutetat initial agrave lrsquoinstant C = 2C1 Cette proprieacuteteacute est eacutegalement valablepour un systegraveme conservatif de points mateacuteriels et fut agrave la basedrsquoune des critiques formuleacutees agrave Ludwig Boltzmann contre sa tentativedrsquoexpliquer la flegraveche du temps35 35 Certains pheacutenomegravenes spontaneacutes

comme la diffusion de la chaleur ontlieu dans un sens jamais dans le senscontraire

agrave lrsquoaide drsquoune theacuteorie corpusculaire en effet comment concilier la reacuteversibiliteacute des lois de la meacutecaniqueagrave lrsquoœuvre agrave lrsquoeacutechelle des moleacutecules avec lrsquoirreacuteversibiliteacute de certainspheacutenomegravenes observeacutes agrave lrsquoeacutechelle macroscopiques Cette question estconnue sous le nom de paradoxe de Loschmidt

Lorsque lrsquoon met en place une reacutesolution numeacuterique drsquoun problegravemeconservatif on fait appel agrave des meacutethodes numeacuteriques dites symplec-tiques particuliegraverement adapteacutees aux systegravemes conservatifs et supeacute-rieures aux meacutethodes classiques dans le sens ougrave elles conduisent agraveune deacuterive de lrsquoeacutenergie faible aux temps longs Une des raisons delrsquoinefficaciteacute des meacutethodes classiques (Euler Runge-Kutta) est leurcaractegravere non reacuteversible en temps Lrsquoalgorithme de Verlet36 36 cf httpsfemto-physiquefr

analyse_numeriquenumerique_C4php

fait partiede ces meacutethodes symplectiques

Systegravemes non conservatifs

Lorsqursquoune des forces nrsquoest pas conservative comme crsquoest le cas pourles forces de frottement on dit que le systegraveme nrsquoest pas conservatif Letheacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique donne alors

ΔEc =sum

ArarrB +

ncArarrB = minus

ΔEp +ncrarr

ougravencrarr deacutesigne le travail des forces non conservatives Autrement

dit lrsquoeacutenergie meacutecanique ne se conserve pas

ΔEm = Em (B) minus Em (A) = ncArarrB

Dans le cas des forces de frottement le travail est reacutesistant puisquela force est opposeacutee au sens du mouvement nc

ArarrB le 0 et lrsquoeacutenergiemeacutecanique diminue au cours du temps

Systegravemes conservatifs agrave un degreacute de liberteacute

Consideacuterons un point mateacuteriel M soumis agrave un champ de force conser-vatif et dont lrsquoeacutetat est deacutecrit agrave lrsquoaide drsquoun seul degreacute de liberteacute que nousnoterons G Supposons que la conservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique setraduise par une relation de la forme

12lt currenG2 + Ep (G) = Em (410)

ougrave lt est un scalaire positif Ep (G) une fonction de G et Em un scalaireOn constate que cette eacutequation est la mecircme que celle qui reacutegit lemouvement drsquoune particule en mouvement sur un axe (OG) et soumisagrave une force axiale 5G = minus

dG et dont lrsquoeacutenergie meacutecanique vaut EmProfitons de cette analogie pour extraire quelques reacutesultats qualitatifssur le mouvement

Il existe des eacutetats particuliers Geq pour lesquelles lorsque on y placeM sans vitesse il y reste indeacutefiniment Ces positions drsquoeacutequilibressrsquoobtiennent par

5G (Geq) = 0 = minusdEp

dG(Geq)

Autrement dit lrsquoeacutetat G = Geq est un eacutetat drsquoeacutequilibre si Ep est extre-mum en ce point Un eacutequilibre meacutecanique peut ecirctre stable ou in-stable

Stabiliteacute

Placcedilons un point M sur une position drsquoeacutequilibre et eacutecartons leleacutegegraverement de cette position

mdash si les actions qui apparaissent tendent agrave ramener le point Mvers la position drsquoeacutequilibre on dit que lrsquoeacutequilibre est stable

mdash si les actions qui apparaissent tendent agrave lrsquoen eacuteloigner on ditque lrsquoeacutequilibre est instable

Dans la reacutealiteacute seuls les eacutequilibres stables sont observeacutes du fait delrsquoexistence de perturbations (forces perturbatrices agitation thermiquefluctuations quantiques etc) qursquoil est impossible de supprimer com-plegravetement3737 Il arrive que le statut de certains eacutetats

drsquoeacutequilibre deacutepende de la tempeacuteratureEn effet une position drsquoeacutequilibre peutecirctre stable vis agrave vis de petites perturba-tions mais instable vis agrave vis de perturba-tions plus importantes on parle alorsdrsquoeacutetats meacutetastables

Drsquoun point de vue plus formel supposons qursquoune per-turbation deacuteplace le point M de sa position drsquoeacutequilibre drsquoune quantiteacutearbitrairement petite XG La force que ressent le point M peut srsquoappro-cher par le deacuteveloppement de Taylor

5G (Geq + XG) 5G (Geq) + XGd 5GdG(Geq) = minusXG

dG2 (Geq)

Lrsquoeacutequilibre est stable si

XG gt 0 =rArr 5G lt 0 et XG lt 0 =rArr 5G gt 0

Il en deacutecoule la condition de stabiliteacute

dG2 (Geq) gt 0 hearts (411)

Emeacutetats lieacutes eacutetats non lieacutes

G1 G2 G3G

FIGURE 43 ndash Profil eacutenergeacutetique

Par conseacutequent la fonction Ep (G) preacutesente un minimum au pointcorrespondant agrave un eacutequilibre stable A lrsquoinverse la preacutesence drsquounmaximum traduit lrsquoexistence drsquoun eacutequilibre instable

Le profil Ep (G) permet drsquoextraire quelques informations qualitativessur le mouvement Tout drsquoabord la condition currenG2 ge 0 implique que leseacutetats permis sont ceux pour lesquels

Ep (G) le Em

Il est alors judicieux de porter sur un graphe H1 = Em et H2 = Ep (G) pourdeacuteterminer les domaines permis Plusieurs cas peuvent se produireConsideacuterons la situation deacutecrite ci-contre Supposons que M se trouveinitialement en G0 gt G3 avec une laquo vitesse raquo currenG lt 0 Au cours du tempsG diminue et le point M se rapproche de lrsquoeacutetat G3 Il atteint ce pointavec une laquo vitesse raquo nulle drsquoapregraves lrsquoeacutequation (410) et subit une force5G = minusdEpdG gt 0 de sorte que le M repart dans lrsquoautre sens Laposition G = G3 agit ainsi comme une barriegravere infranchissable onparle de barriegravere de potentiel Supposons maintenant la situation ougraveG0 se trouve entre G1 et G2 Le point M va atteindre la barriegravere G1 puisrebrousser chemin pour rencontrer une autre barriegravere en G2 Finalementle point va osciller entre ces deux eacutetats on dit que le M est pieacutegeacute dansun puits de potentiel Sur lrsquoexemple preacuteceacutedent on constate que selonlrsquoeacutetat initial les eacutetats accessibles par M sont soit borneacutes (G isin [G1 G2])soit non borneacutes (G isin [G3infin[) On parle drsquoeacutetats lieacutes (borneacutes) ou non lieacutes(non borneacutes)

La conservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique permet de reacutesoudre complegravete-ment les problegravemes agrave un degreacute de liberteacute tout en eacutevitant le formalismevectoriel En effet si lrsquoon deacuterive par rapport au temps lrsquoeacutequation (410)on trouve lrsquoeacutequation diffeacuterentielle

lt yenG = minusdEp

dont la solution est unique si les conditions initiales G0 et currenG0 sontconnues Par ailleurs on peut obtenir lrsquoeacutequation horaire C = 5 (G) parsimple inteacutegration puisque drsquoapregraves (410) on a

currenG = plusmn

radic2(Em minus Ep (G))

ougrave le signe plusmn deacutepend de lrsquohistoire du mouvement agrave chaque rencontreavec une barriegravere de potentiel currenG change de signe Finalement apregravesseacuteparation des variables on peut eacutecrire

C minus C0 = plusmnint G (C)

radiclt

2(Em minus Ep (G prime))dG prime

(C)ℓ

minusrarrDA

minusrarrDminusrarr)

minusrarr = ltminusrarr6

M(ℓ)

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓElt2

minusrarr598

minusminusminusrarr5 ext8

minusrarr58 9

bull M8 (lt8)

bull M 9 (lt 9 )

FIGURE 44 ndash Systegraveme Sde points mateacute-riels

Exemple le pendule simple ndash Consideacuterons un pendule simple plan rigidede longueur ℓ et de masse lt dont lrsquoeacutetat est deacutecrit agrave lrsquoaide de lrsquoeacutecart angulaire La tension ne travaille pas et la pesanteur est une force conservative lependule simple est donc un systegraveme conservatif agrave un degreacute de liberteacuteLrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur srsquoeacutecrit

Ep = minuslt6ℓ cos

Le profil de lrsquoeacutenergie potentielle montre une position drsquoeacutequilibre stable( = 0) et une position drsquoeacutequilibre instable ( = c) Deux cas de figures sont agraveenvisager

1 Lrsquoeacutenergie meacutecanique Em gt lt6ℓ curren conserve alors le mecircme signe et lependule tourne indeacutefiniment (mouvement reacutevolutif)

2 Lrsquoeacutenergie meacutecanique Em lt lt6ℓ Le pendule oscille entre deux valeurssymeacutetriques plusmnmax veacuterifiant Em = Ep (max)

Dans tous les cas la relation de conservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique donneune eacutequation diffeacuterentielle non lineacuteaire du premier ordre

Em =12lt(ℓ curren)2 minuslt6ℓ cos =

12lt(ℓ curren0)2 minuslt6ℓ cos 0

avec curren0 et 0 les conditions initiales En deacuterivant la relation obtenue parrapport au temps on retrouve lrsquoeacutequation du mouvement auquel aboutitlrsquoapplication directe de la relation fondamentale de la dynamique

yen + 6ℓ

sin = 0

43 Bilan drsquoeacutenergie pour un systegraveme de points

Consideacuterons maintenant un systegraveme Sde points mateacuteriels que nousnoterons M8 avec 8 = (1 ) Ce systegraveme est le siegravege drsquoactions

exteacuterieuresminusminusrarr5 ext8

et drsquoactions internesminusrarr5 98 du point M 9 sur le point M8

dans le reacutefeacuterentiel R supposeacute galileacuteen

Eacutecrivons le principe fondamental pour chaque point mateacuteriel

lt8dminusrarrE8dC

=minusminusrarr5 ext8 +

sum9ne8

minusrarr5 98

Multiplions chaque eacutequation par minusrarrE8 puis sommons les sum8

lt8minusrarrE8 middot

dminusrarrE8dC

minusminusrarr5 ext8 middotminusrarrE8 +

sum8 9ne8

minusrarr5 98 middot minusrarrE8

Le terme de gauche srsquoidentifie avec la variation temporelle de lrsquoeacutenergiecineacutetique du systegraveme

Ec (S) sum 1

43 Systegraveme de points 49

On reconnaicirct agrave droite les puissances des forces exteacuterieures et des forcesinternes On retiendra le theacuteoregraveme suivant

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique pour un systegraveme de points

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen R lrsquoeacutenergie cineacutetique drsquoun systegraveme depoints mateacuteriels M8 vaut par deacutefinition

Ec (S) sum8=1

12ltminusrarrE8 2

avec minusrarrE8 = minusrarrEM8R Elle suit la loi drsquoeacutevolution

Ec (S) = Pext +Pint [Formulation diffeacuterentielle] (412)

ΔEc (S) = ext + int [Formulation inteacutegrale] (413)

avecext =

intPext dC =

int minusminusrarr5 ext8middot minusrarrE8 dC

int = =intPint dC =

sum8 9ne8

int minusrarr5 98 middot minusrarrE8 dC

Ainsi les forces internes jouent un rocircle dans le bilan drsquoeacutenergie bienqursquoelles se compensent deux agrave deux et de ce fait nrsquoaient pas drsquoeffetsur le mouvement du centre drsquoinertie (cf theacuteoregraveme du centre drsquoinertie)Lrsquoeacutenergie cineacutetique drsquoun systegraveme de points varie drsquoune part suite agrave untransfert de travail drsquoorigine externe et drsquoautre part suite agrave un transfertde travail interne

Theacuteoregraveme de Kœnig

Dans le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique nous avons distingueacute lrsquoin-fluence des actions externes et internes ce qui nous a ameneacute agrave deacutefinirdeux termes de transfert On peut poursuivre cette deacutemarche dans lrsquoex-pression de lrsquoeacutenergie cineacutetique Cherchant agrave deacutecoupler le mouvementdrsquoensemble du mouvement interne nous deacutefinissons le reacutefeacuterentiel lieacuteau centre drsquoinertie G dit reacutefeacuterentiel barycentrique et noteacute Rlowast Appe-lons minusrarrEG la vitesse du centre drsquoinertie et minusrarrE8 lowast = minusrarrEM8Rlowast la vitesse de M8

dans le reacutefeacuterentiel barycentrique La loi de composition du mouvementdonne

minusrarrE8 lowast = minusrarrE8 minus minusrarrEG

Lrsquoeacutenergie cineacutetique du systegraveme mateacuteriel Speut srsquoeacutecrire

Ec (S) =sum8=1

12lt8minusrarrE 28 =

sum8=1

12lt8E

sum8=1

12lt8E

lowast28 +

(sum8=1

lt8minusrarrElowast8

)middot minusrarrEG

Or on a montreacute que la quantiteacute de mouvement du systegraveme correspon-dait agrave celle drsquoun point mateacuteriel de masse lt =

sumlt8 situeacute en G

sum8=1

lt8minusrarrE8 = ltminusrarrEG =rArr

sum8=1

lt8minusrarrElowast8 =minusrarr0

Finalement si lrsquoon pose Elowastc lrsquoeacutenergie cineacutetique barycentrique on trouve

Ec (S) =12ltE2

+ Elowastc hearts (414)

Cela constitue le theacuteoregraveme de Kœnig relatif agrave lrsquoeacutenergie cineacutetique Cetheacuteoregraveme exprime simplement que lrsquoeacutenergie cineacutetique drsquoun systegravemepossegravede une contribution collective (mouvement drsquoensemble) et unecontribution interne Le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique se reformuledonc de la faccedilon suivante

ΔElowastc + Δ(12ltE2

) = ext + int hearts (415)

Exemple le systegraveme isoleacute ndash En lrsquoabsence de forces exteacuterieures on dit quele systegraveme est isoleacute Dans ce cas ext = 0 et selon le theacuteoregraveme du centredrsquoinertie le vecteur vitesse du centre drsquoinertie est neacutecessairement constantLe theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique prend alors la forme

ΔElowastc = int

Relation qui exprime le fait qursquoun systegraveme isoleacute peut voir son eacutenergie ci-neacutetique varier du fait des actions internes Par exemple lorsque lrsquoon faittourner un œuf frais comme une toupie sa rotation est tregraves vite ralentiecontrairement au cas de lrsquoœuf dur cela constitue drsquoailleurs un test expeacute-rimental pour distinguer un œuf frais drsquoun œuf dur Dans le cas de lrsquoœuffrais le liquide inteacuterieur est mis en mouvement par les forces de frottementvisqueux qui de part leur travail reacutesistant dissipent lrsquoeacutenergie cineacutetique alorsque dans le cas de lrsquoœuf dur la rotation est solide toutes les parties de lrsquoœuftournent agrave la mecircme vitesse angulaire et les forces internes ne travaillentpas3838 Il faut ajouter cependant que le

contact entre lrsquoœuf dur et le supportnrsquoeacutetant pas absolument ponctuel ilexiste un frottement de contact qui pro-duit un travail exteacuterieur reacutesistant respon-sable du ralentissement qui finit tocirct outard par arrecircter lrsquoœuf

Conservation de lrsquoeacutenergie

Allons plus loin en faisant lrsquohypothegravese que les forces internes sontconservatives Exprimons le travail des forces internes int

int =sum8 9ne8

int CB

minusrarr5 98 middot dminusrarrA8 =

sum8 9ne8

(int CB

minusrarr5 98 middot dminusrarrA8 +

int CB

minusrarr58 9 middot dminusrarrA 9

)Or en vertu de la troisiegraveme loi de Newton les actions reacuteciproques sontopposeacutees et coaxiales de telle sorte que

int =12

sum8 9ne8

int CB

minusrarr5 98 middot dminusrarrA 98 =

int CB

sum8 9ne8

5 98 dA 98

ougrave minusrarrA 98 = minusrarrA8 minus minusrarrA 9 repreacutesente le rayon vecteur dirigeacute du point M 9 versM8 On constate alors que les forces internes ne travaillent que si les

diffeacuterentes parties voient leur distances mutuelles varier crsquoest-agrave-diresi le systegraveme se deacuteforme

Exercice ndash Ecrire le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique pour un solide parfait(systegraveme indeacuteformable)

Reacutep Δ(

2+ Elowastc

)= ext

Dans le cas drsquoun systegraveme deacuteformable le calcul du travail des forcesinternes neacutecessite de connaicirctre la loi de force Traitons le cas particulierimportant ougrave la force inter-particulaire ne deacutepend que de A8 9 (on peutinclure les forces qui ne produisent aucun travail telles que les forcesmagneacutetiques) Dans ce cas lrsquoeacutenergie potentielle drsquointeraction p8 9 esttelle que

5 98 dA 98 = minusdEpij

Ainsi le travail des actions internes srsquoeacutecrit

int = minus12

sum8 9ne8

int CB

dEpij = minusΔEintp

avec Eintp lrsquoeacutenergie potentielle drsquointeraction du systegraveme deacutefinie par

sum8 9ne8

Epij hearts (416)

Exemples ndash Un systegraveme constitueacute de masses ponctuelles en interactiongravitationnelle possegravede une eacutenergie potentielle drsquointeraction

Eintp =

sum8 9ne8minusG

lt8lt 9

Un systegraveme constitueacute de charges ponctuelles en interaction eacutelectrostatiquepossegravede une eacutenergie potentielle drsquointeraction

Eintp =

sum8 9ne8

4cY0A8 9

Finalement le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique se met sous la formegeacuteneacuterale suivante

(12ltE2

+ Elowastc + Eint

)= ext hearts (417)

En conclusion il existe une fonction Edite eacutenergie du systegraveme sommede lrsquoeacutenergie cineacutetique et de lrsquoeacutenergie potentielle interne qui a la pro-prieacuteteacute de se conserver lorsque le systegraveme est isoleacute

ΔE= 0 si ext = 0

Cette loi de conservation est valable pour tout systegraveme de particulessoumises aux interactions fondamentales (eacutelectromagneacutetique gravi-tationnelle forte et faible) et par extension agrave tout systegraveme macrosco-pique

Lorsque le systegraveme nrsquoest pas isoleacute son eacutenergie augmente deext quipeut donc srsquointerpreacuteter comme un transfert drsquoeacutenergie de lrsquoexteacuterieurvers le systegraveme

Lien avec la thermodynamique

Le bilan drsquoeacutenergie (417) est souvent inutilisable pour un systegravememacroscopique quelconque notamment parce qursquoil nrsquoest pas toujourspossible drsquoexpliciter la travail eacutechangeacute en terme macroscopique Crsquoestpourquoi la thermodynamique a chercheacute agrave rendre ce bilan drsquoeacutenergieopeacuteratoire en postulant un principe qui ne trouvera une justificationqursquoapregraves la naissance de la physique statistique Lrsquoapproche de lathermodynamique repose sur lrsquoideacutee qursquoil est possible de deacutecouplerlrsquoeacutechelle microscopique ndasheacutechelle siegravege de fluctuations chaotiques ndashde lrsquoeacutechelle macroscopique Drsquoune part on deacutefinit lrsquoeacutenergie interne comme eacutetant la partie de lrsquoeacutenergie meacutecanique qui deacutecrit les interactionset les mouvements internes

Elowastc + Eintp hearts (418)

Drsquoautre part on considegravere que la travail ext reacuteunit deux modes detransfert drsquoeacutenergie opeacuterant agrave des eacutechelles drsquoespace et de temps diffeacute-rentes

1 Le transfert de travail macroscopique que nous notons Ilsrsquoagit du transfert de travail associeacute agrave des modes macroscopiquesde mouvement Ce terme est donc associeacute agrave la variation drsquounegrandeur drsquoeacutetat macroscopique extensive - en fonction drsquounegrandeur de contrainte exteacuterieure macroscopique intensive ext Defaccedilon geacuteneacuterale srsquoeacutecrit

int CB

ext d-

Par exemple lorsque lrsquoon comprime un gaz le transfert srsquoex-prime simplement en fonction de la pression moyenne exteacuterieureext appliqueacutee en chaque point du systegraveme qui voit alors sonvolume macroscopique + varier

int CB

minusext d+

2 Le transfert thermique amp il srsquoagit drsquoun transfert de travail quine peut pas se deacutecrire en termes macroscopique Autrement ditpar deacutefinition

amp ext minus

Le bilan drsquoeacutenergie srsquoeacutecrira

Δ( + 12ltE2

) = +amp (419)

Insistons sur le fait que cette relation nrsquoest qursquoune simple deacutefinition dutransfert thermique amp Lrsquoapport majeur de la thermodynamique est depostuler un principe qui nrsquoa rien de trivial

Lrsquoeacutenergie interne drsquoun systegraveme macroscopique agrave lrsquoeacutequilibre thermodynamiquene deacutepend que des variables macroscopiques drsquoeacutetat De plus lrsquoeacutenergie interneest une fonction extensive

Ce principe trouve une justification en Physique Statistique moyen-nant quelques hypothegraveses39 39 Il faut notamment supposer drsquoune

part lrsquoergodiciteacute qui pour simplifier si-gnifie lrsquoexistence drsquoun chaos moleacuteculaireet drsquoautre part une porteacutee des inter-actions intermoleacuteculaires petite devantla taille du systegraveme Par exemple uneeacutetoile nrsquoobeacuteit pas au premier principepar le fait que les interactions internessont gravitationnelles et donc de porteacuteeinfinie lrsquoeacutenergie interne gravitationnelleviole en effet le premier principe par soncaractegravere non extensif

Associeacute au second principe il formeune science pheacutenomeacutenologique ndash la Thermodynamique ndash de grandeimportance pour la chimie lrsquoeacutenergeacutetique etc

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

minusrarrDG

FIGURE 51 ndash Pendule eacutelastique

OSCILLATEURSMEacuteCANIQUES 5

51 Oscillateur harmonique 55Pendule eacutelastique non amorti55Pendule eacutelastique amorti 57Reacutegime libre 58

52 Reacutesonances 59Geacuteneacuteraliteacutes 60Solution en reacutegime forceacute 60Reacutesonance drsquoeacutelongation 62Aspects eacutenergeacutetiques 62Facteur de qualiteacute 64

53 Effets anharmoniques 65Approximation harmonique 65Anharmoniciteacutes 66

Si lrsquoon consacre un chapitre agrave eacutetudier un systegraveme aussi simple qursquounemasse accrocheacutee agrave un ressort crsquoest que ce systegraveme meacutecanique permetdrsquointroduire un concept important aussi bien en meacutecanique que dansde nombreux autres domaines de la science (chimie physique desmateacuteriaux eacutelectriciteacute geacutenie civil etc) lrsquooscillateur Lrsquoessentiel de cechapitre est donc consacreacute agrave lrsquoeacutetude de lrsquooscillateur harmonique enreacutegime libre et forceacute on terminera par une introduction aux effets nonlineacuteaires

femto-physiquefrmecaniqueoscillateurs-mecaniquesphp

51 Notion drsquooscillateur harmonique

Pendule eacutelastique non amorti

Le pendule eacutelastique est un systegraveme constitueacute drsquoun ressort de masseneacutegligeable dont une extreacutemiteacute est fixeacutee et auquel on a attacheacute unemasse ponctuelle lt libre de se mouvoir Le ressort a pour constantede raideur et une longueur agrave vide ℓ0 De plus nous supposons quela masse est astreinte agrave se deacuteplacer suivant un axe horizontal sansfrottement On a alors un systegraveme agrave un degreacute de liberteacute qui est ameneacuteagrave osciller comme nous allons le deacutemontrer

Dans le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude consideacutereacute galileacuteen la force de pesanteur estcompenseacutee par la reacuteaction du support puisqursquoil nrsquoy a pas drsquoacceacuteleacuterationverticale Pour le mouvement horizontal la tension du ressort produitune force de rappel

minusrarr) = minus (ℓ minus ℓ0) minusrarrDG

ougrave ℓ deacutesigne la longueur du ressort La position drsquoeacutequilibre corresponddonc agrave une longueur ℓeq = ℓ0 On deacutesigne par G = ℓ minus ℓeq lrsquoallongementdu ressort par rapport agrave la situation au repos Dans ce cas on a

minusrarr) = minusG minusrarrDG

La seconde loi de Newton donne ltd2GdC2 = minusG drsquoougrave lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle

yenG +l02G = 0 avec l0 =

lt[radsminus1] hearts (51)

Il srsquoagit de lrsquoeacutequation caracteacuteristique drsquoun oscillateur harmonique

56 5 OSCILLATEURS MEacuteCANIQUES

FIGURE 52 ndash Oscillations harmoniques

Avant de trouver les solutions de cette eacutequation diffeacuterentielle il estinteacuteressant drsquoen deacutegager quelques proprieacuteteacutes

mdash Lrsquoeacutequation (51) est invariante par la transformation C ↦rarr minusC cequi traduit la reacuteversibiliteacute du pheacutenomegravene

mdash On note eacutegalement une invariance par la transformation G ↦rarr minusGce qui signifie que les oscillations sont symeacutetriques autour de laposition drsquoeacutequilibre

mdash Enfin lrsquoanalyse dimensionnelle de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle montreque [l0] = Tminus1 il existe donc une dureacutee de lrsquoordre de 1l0 quiest caracteacuteristique du pheacutenomegravene drsquooscillation

La solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (51) srsquoeacutecrit

G(C) = cos (l0C + i)

Avec et i deux constantes drsquointeacutegration que lrsquoon obtient gracircce agravedeux conditions initiales Comme lrsquoillustre la Figure 52 le systegraveme semet agrave osciller (si on lrsquoeacutecarte de sa position drsquoeacutequilibre G = 0) avec uneamplitude et agrave une freacutequence dite freacutequence propre

a0 =l0

lthearts (52)

On notera que la freacutequence propre deacutepend des caracteacuteristiques dupendule eacutelastique ( et lt) mais non de lrsquoamplitude des oscillations on parle drsquoisochronisme des oscillations

Exercice ndash Un conducteur de masse lt = 80 kg monte dans sa voiturevide les amortisseurs srsquoenfoncent alors de 4 cm La masse de tout cequi se trouve sur les ressorts est alors de 1000 kg Dans lrsquoapproximationharmonique le systegraveme (voiture-conducteur) se comporte comme unoscillateur Donnez sa freacutequence propreReacutep 07 Hz

Du point de vue eacutenergeacutetique cet oscillateur transforme lrsquoeacutenergie eacutelas-tique en eacutenergie cineacutetique et vice versa Lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastiquevaut

Ep =12G2 =

122 cos2 (l0C + i)

alors que lrsquoeacutenergie cineacutetique srsquoeacutecrit

Ec =12lt currenG2 =

122 sin2 (l0C + i)

On veacuterifie que lrsquoeacutenergie meacutecanique du pendule eacutelastique Em = Ec +Ep =

2 reste constante puisque les forces qui travaillent sont conser-vatives

Agrave retenir

Lrsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun oscillateur harmonique est proportion-nelle au carreacute de lrsquoamplitude

51 Oscillateur harmonique 57

Pendule eacutelastique amorti

En reacutealiteacute la preacutesence des frottements dissipe lrsquoeacutenergie initialementfournie agrave lrsquooscillateur On assiste alors agrave un pheacutenomegravene drsquoamortisse-ment qui se caracteacuterise

1 soit par une diminution de lrsquoamplitude des oscillations au coursdu temps

2 soit par un retour agrave lrsquoeacutequilibre sans oscillation

La modeacutelisation des forces de frottement est plus ou moins com-plexe

mdash Pour des frottements de type visqueux on choisit geacuteneacuteralementen premiegravere approximation un modegravele de frottement lineacuteaire envitesse 5 = minusUE Parfois une modeacutelisation plus reacutealiste exigedrsquoutiliser un modegravele quadratique du type 5 = minusU |E | E ce quipreacutesente lrsquoinconveacutenient de donner une eacutequation diffeacuterentiellenon lineacuteaire

mdash Pour des frottements solides on utilisera les lois drsquoAmontons-Coulomb sur le frottement41

41 cf Chapitre 2

Nous nous contenterons ici de traiter le pendule eacutelastique en preacute-sence de frottements visqueux modeacuteliseacutes par 5 = minusU currenG ougrave U deacutesigne lecoefficient de frottement Lrsquoeacutequation du mouvement srsquoeacutecrit

lt yenG + U currenG + G = 0

et si lrsquoon pose

lt[radsminus1] et 2_ =

lt[sminus1]

elle devientyenG + 2_ currenG +l0

2G = 0 (53)

Crsquoest lrsquoeacutequation caracteacuteristique drsquoun oscillateur harmonique lineacuteaire-ment amorti Par rapport agrave lrsquooscillateur harmonique on note la preacute-sence drsquoun terme suppleacutementaire (2_ currenG) que lrsquoon appelle terme dissi-patif car agrave lrsquoorigine de la dissipation drsquoeacutenergie Le coefficient _ estappeleacute coefficient drsquoamortissement et lrsquoanalyse dimensionnelle delrsquoeacutequation montre que _ est homogegravene agrave lrsquoinverse drsquoun temps Nousverrons ulteacuterieurement que ce temps repreacutesente lrsquoordre de grandeurdu temps drsquoamortissement des oscillations (quand il y en a) In finele comportement drsquoun oscillateur harmonique lineacuteairement amortiest complegravetement deacutecrit par la donneacutee de l0 et _ puisque lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle srsquoeacutecrit

yenG + 2_ currenG +l02G = 0 hearts (54)

Quelques remarques sur lrsquoeacutequation

mdash On retrouve lrsquooscillateur harmonique lorsque _rarr 0 Plus _ estpetit donc moins lrsquooscillateur est amorti

mdash Lrsquoeacutequation (54) nrsquoest plus invariante par la transformation C ↦rarrminusC ce qui traduit un pheacutenomegravene irreacuteversible

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

FIGURE 53 ndash Eacutevolution de G et de lrsquoeacutener-gie meacutecanique au cours du temps pourun pendule eacutelastique en reacutegime pseudo-peacuteriodique Les paramegravetres sont

mdash lt = 1 kg

mdash l0 = 1 radsminus1

mdash _ = l020

Les conditions initiales sont G (0) = 0 etcurrenG (0) = 1 5

mdash La physique de cet oscillateur est caracteacuteriseacutee par deux temps ca-racteacuteristiques 1_ donne lrsquoordre de grandeur de lrsquoamortissementalors que 1l0 donne celui de la dureacutee entre deux oscillations

Reacutegime libre

Lrsquoeacutequation (54) admet des solutions de la forme G(C) = eA C Ensubstituant dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle on trouve que A doit veacuterifierlrsquoeacutequation caracteacuteristique du second degreacute

A2 + 2_ A +l02 = 0

dont le discriminant vaut Δ = 4(_2 minusl0

2) Suivant le signe du discri-minant on distingue trois reacutegimes diffeacuterents

Reacutegime pseudo-peacuteriodique _ lt l0 ndash Dans ce cas le discriminant delrsquoeacutequation caracteacuteristique est neacutegatif et les racines sont complexes

A = minus_ plusmn 8l avec l2 = l02 minus _2

La solution reacuteelle est donc de la forme

G(C) = eminus_ C cos (lC + i)

Lrsquooscillateur oscille avec une amplitude qui srsquoamortie exponentielle-ment au cours du temps (cf Figure 53) Puisque lrsquoamplitude diminueau cours du temps on ne peut plus parler de pheacutenomegravene peacuteriodiqueCependant il est drsquousage de deacutefinir la dureacutee ) entre deux maximasuccessifs qui est aussi la peacuteriode de cos(lC + i) Cette dureacutee ) estappeleacutee pseudo-peacuteriode et vaut

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

Lagrave encore la pseudo-peacuteriode est indeacutependante de lrsquoamplitude initialeToutefois on notera lrsquoinfluence des frottements qui se traduit par uneaugmentation de la pseudo-peacuteriode agrave mesure que _ augmente

La Figure 53 illustre eacutegalement lrsquoeacutevolution de lrsquoeacutenergie meacutecanique delrsquooscillateur au cours du temps La deacutecroissance observeacutee srsquoexpliquepar la dissipation des forces de frottement et veacuterifie lrsquoeacutequation drsquoeacutevolu-tion

dC= minusU currenG2 le 0

Reacutegime critique _ = l0 ndash Le discriminant de lrsquoeacutequation caracteacuteris-tique est nulle et la racine est double A = minusl0 La solution srsquoeacutecritalors

G(C) = ( + C) eminusl0C

Lrsquooscillateur atteint lrsquoeacutequilibre sans osciller (on dit qursquoil nrsquo y a pasdeacutepassement) On peut montrer que le retour agrave lrsquoeacutequilibre est ici leplus rapide sans deacutepassement42

42 Si lrsquoon souhaite que le systegraveme at-teigne lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre le plus vite pos-sible en limitant le deacutepassement agrave plusmn5par exemple il faut se placer en reacutegimepseudo-peacuteriodique avec un amortisse-ment _ 07l0

52 Reacutesonances 59

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

FIGURE 54 ndash Eacutevolution de G et de lrsquoeacutener-gie meacutecanique au cours du temps avec_ = l0 (reacutegime critique) Les conditionsinitiales restent inchangeacutees

Reacutegime apeacuteriodique _ gt l0 ndash Le discriminant de lrsquoeacutequation caracteacute-ristique est positif et les solutions sont reacuteelles

Aplusmn = minus_ plusmnradic_2 minusl02

La solution est donc

G(C) = eA+C + eAminusC avec Aplusmn lt 0

Les deux racines eacutetant neacutegatives les deux exponentielles deacutecroissent lrsquooscillateur atteint lrsquoeacutequilibre sans osciller et drsquoautant plus lentementque lrsquoamortissement est fort Finalement on retiendra les ideacutees simples

10minus1

2 4 6 8 10

10minus1

Em = 12 G

2 + 12ltE

FIGURE 55 ndash Eacutevolution de G et de lrsquoeacutener-gie meacutecanique au cours du temps avec_ = 5l0 (reacutegime apeacuteriodique) Les condi-tions initiales sont identiques

suivantes plus lrsquoamortissement est important et moins il y a drsquooscil-lations Un oscillateur perturbeacute oscillera si le coefficient drsquoamortisse-ment est infeacuterieur agrave un certain seuil (_ lt l0)

Application la suspension automobile

Dans le domaine de lrsquoautomobile le controcircle de la suspension et de lrsquoamor-tissement deacutetermine le confort des passagers Par exemple les automobilesadoptent en geacuteneacuteral des suspensions isochrones crsquoest-agrave-dire agrave freacutequencepropre constante de la pleine charge agrave la charge minimum De plus ongagne en confort en imposant une freacutequence propre de lrsquoordre de 1 Hzce qui correspond agrave la freacutequence de la marche humaine Enfin si lrsquooncherche un retour agrave lrsquoeacutequilibre rapide sans oscillation on aura inteacuterecirct agrave ceque lrsquoamortisseur soit tel que _ 1 sminus1

52 Reacutesonances

Certains systegravemes preacutesentent lorsqursquoils sont soumis agrave une excitation si-nusoiumldale une reacuteponse maximale pour une ou plusieurs freacutequences ca-racteacuteristiques (les modes propres) On parle de reacutesonance et ces systegravemes

ℓ (C)0 cos lC

FIGURE 56 ndash pendule eacutelastique soumisagrave une excitation sinusoiumldale

sont appeleacutes reacutesonateurs Lrsquooscillateur harmonique est un exemple dereacutesonateur agrave un mode propre car il preacutesente un seul degreacute de liberteacute

Reprenons comme exemple le pendule eacutelastique Soumettons lrsquoautreextreacutemiteacute du ressort agrave un deacuteplacement sinusoiumldal 0 cos(lC) de freacute-quence a = l2c connue Supposons la preacutesence de frottements vis-queux que lrsquoon modeacutelisera par une force 5G = minusU currenG

La relation fondamentale de la dynamique projeteacutee suivant lrsquoaxe hori-zontal donne

lt yenG = minus (ℓ minus ℓ0) minus U currenG

Fixons lrsquoorigine des G agrave la position de repos du reacutegime libre On a donc0 coslC + ℓ = ℓ0 + G drsquoougrave lrsquoeacutequation du mouvement

yenG + UltcurrenG +

ltcos(lC)

eacutequation de la forme

yenG + 2_ currenG +l02G︸︷︷︸ = l0

20 cos(lC)︸︷︷︸oscillateur excitation

hearts (55)

avec l0 la pulsation propre et _ le coefficient drsquoamortissement Ilsrsquoagit drsquoune eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire avec un second membresinusoiumldal dont la solution se deacutecompose en deux termes

1 Lrsquoun eacutetant la solution particuliegravere srsquoexprime comme un signalsinusoiumldal de pulsation l crsquoest le reacutegime forceacute

2 Lrsquoautre terme que nous deacutesignons par reacutegime transitoire cor-respond agrave la solution de lrsquoeacutequation homogegravene On a vu qursquoily a trois reacutegimes distincts selon la valeur de _ Dans tous lescas reacutealistes la preacutesence de termes dissipatifs ndash mecircme faiblesndash entraicircne la disparition du reacutegime transitoire (drsquoougrave son nom)Passeacute ce deacutelai seul persiste le reacutegime sinusoiumldal forceacute

Dans toute la suite nous supposons que le reacutegime transitoire est com-plegravetement dissipeacute et que seul persiste le reacutegime forceacute

G(C) = 01 cos(lC) + 02 sin(lC) avec C gamortissement

Solution en reacutegime forceacute

Il srsquoagit ici de deacuteterminer les expressions des amplitudes 01 et 02 enfonction de la pulsation l La meacutethode classique consiste agrave remplacerG(C) par 01 cos(lC) + 02 sin(lC) dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle pour endeacuteduire les valeurs de 01 et 02

cos(lC)[01

2 minusl2)+ 2_l 02

]+ sin(lC)

2 minusl2)minus 2_l 01

20 cos(lC)

drsquoougrave lrsquoon tire deux eacutequations

2 minusl2)+ 2_l 02 = l0

20 et 02

2 minusl2)minus 2_l 01 = 0

Ce systegraveme drsquoeacutequations a pour solution

01 = 0l0

2 (l02 minusl2)(

l02 minusl2)2 + (2_l)2

et 02 = 02_ll0

2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

En geacuteneacuteral on preacutefegravere eacutecrire les solutions harmoniques sous la forme cos(lC + i) En utilisant lrsquoidentiteacute

01 cos(lC) + 02 sin(lC) = cos(lC + i) avec =

radic02

1 + 022

tan i = minus0201

lrsquoeacutelongation srsquoeacutecrit finalement G(C) = cos (lC + i) avec

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2et tan i =

2_ll2 minusl02

Meacutethode des complexes

La repreacutesentation complexe est un outil tregraves pratique lorsqursquoil srsquoagit derechercher le reacutegime forceacute drsquoun systegraveme lineacuteaire soumis agrave une excitationsinusoiumldale Illustrons son emploi dans lrsquoeacutetude de lrsquooscillateur harmoniqueen reacutegime forceacute dont lrsquoeacutequation du mouvement srsquoeacutecrit

yenG + 2_ currenG +l02G = l0

20 coslC

Associons agrave cette eacutequation lrsquoeacutequation similaire

yenH + 2_ currenH +l02H = l0

20 sinlC

La variable complexe G G + 8H veacuterifie donc lrsquoeacutequation diffeacuterentielle

20 e8lC (56)

Ainsi pour obtenir G(C) une meacutethode consiste agrave reacutesoudre lrsquoeacutequation com-plexe 56 puis agrave prendre a partie reacuteelle de G Cette meacutethode facilite grande-ment les calculs lorsqursquoil srsquoagit de rechercher le reacutegime forceacute En effet lasolution particuliegravere est de la forme G = e8lC Or

currenG = 8le8lC = 8lG

Rappels matheacutematiques Soit lenombre complexe I = 0 + 81 avec(0 1) isin R2 I peut srsquoeacutecrire en notationpolaire I = |I |e8i ougrave |I | deacutesigne lemodule et i = arg I lrsquoargument donneacutespar

|I | =radic02 + 12

tan i = 10cos i = 0 |I |

Soient I1 et I2 deux nombres complexesOn a alorsI1I2

= |I1 | |I2 |arg(I1I2) = arg I1 minus arg I2

On voit ici tout lrsquointeacuterecirct de la notation complexe la deacuterivation se ramegraveneagrave une multiplication par 8l Par substitution dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielleon obtient

2 minusl2)+ 28_l

20 drsquoougrave =l0

20(l02 minusl2) + 28_l

Le nombre complexe = e8i est appeleacute amplitude complexe et contientles deux informations que nous recherchons lrsquoamplitude (son module)

_ = _0

_ lt _0

FIGURE 57 ndash Reacuteponse freacutequentielle delrsquoamplitude drsquoun oscillateur vis agrave visdrsquoune excitation sinusoiumldale

minusminusrarr5 op

minusrarr5

Systegraveme

FIGURE 58 ndash Forces exteacuterieures agissantsur le systegraveme masse-ressort

et le deacutephasage i (son argument)

2radic(l02 minusl2)2 + (2_l)2

et tan i =2_l

l2 minusl02 avec i isin [minusc 0]

Reacutesonance drsquoeacutelongation

Eacutetudions maintenant lrsquoeacutevolution de lrsquoamplitude des oscillations enfonction de la freacutequence imposeacutee par lrsquoexcitation Rappelons le reacutesultatpreacuteceacutedent

G(C) = cos (lC + i) avec =0l0

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

La Figure 57 repreacutesente lrsquoeacutevolution de en fonction de la pulsationpour diffeacuterentes valeurs du coefficient drsquoamortissement On constateque si lrsquoamortissement est suffisamment faible lrsquoamplitude des oscil-lations passe par un maximum crsquoest la reacutesonance en eacutelongation Onmontre sans difficulteacute que

mdash la pulsation de reacutesonance vaut lA =radicl02 minus 2_2

mdash la reacutesonance nrsquoa donc lieu que si le coefficient drsquoamortissementest en dessous drsquoun certain seuil _ lt

radic2

2 l0 = _0

mdash si _ _0 la freacutequence de reacutesonance srsquoidentifie avec la freacutequencepropre lA l0

mdash plus lrsquoamortissement est faible plus la reacutesonance est aiguumle

mdash lorsque _ = _0 lrsquoamplitude des oscillations vaut 0 sur une grandeplage de freacutequence (agrave basse freacutequence) ce qui confegravere au ressortun comportement identique agrave celui drsquoune tige rigide

mdash Enfin si _ gt _0 le pheacutenomegravene de reacutesonance disparaicirct

Application

Lrsquoamplification des oscillations drsquoeacutelongation agrave la reacutesonance peut ecirctre agrave lrsquoori-gine drsquoeffets neacutefastes comme la destruction drsquohabitations suite agrave un seacuteismeElle peut aussi ecirctre rechercheacutee pour construire des appareils sensibles agravelrsquoinstar des sismographes

Aspects eacutenergeacutetiques

Pour entretenir les oscillations drsquoun oscillateur harmonique il fautfournir de lrsquoeacutenergie comme nous allons le montrer et ceci drsquoautantplus que les frottements sont importants

Reprenons lrsquoeacutetude du pendule eacutelastique mis en mouvement par uneexcitation harmonique en consideacuterant le systegraveme ressort+masse Cesystegraveme est soumis agrave deux forces exteacuterieures

1 la forceminusminusrarr5op qursquoexerce lrsquoopeacuterateur pour entretenir le forccedilage sinu-

soiumldal

Freacutequence reacuteduite ll0

FIGURE 59 ndash Eacutevolution freacutequentielle dela puissance absorbeacutee par lrsquooscillateur

2 la force de frottementminusrarr5 = minusU currenG minusrarrDG qui agit sur la masse

Les forces de tension eacutelastique sont conservatives et internes au sys-tegraveme En vertu du theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique on a

dC= Pnc = Pop +Pfrottement

Pour un signal peacuteriodique 5 (C) de peacute-riode ) la moyenne vaut

05 (C) dC

Si 6 = d 5dC est la deacuteriveacutee drsquoune grandeur

peacuteriodique alors

6 =1)[ 5 (C) ])0 = 0

ougrave Pop repreacutesente la puissance fournie par lrsquoopeacuterateur et Pfrottement

celle de la force de frottement Prenons la moyenne de cette relationsur une peacuteriode

Pop +Pfrottement =dEm

On obtient donc la relation Pop +Pfrottement = 0 qui traduit le faitqursquoen moyenne lrsquoopeacuterateur doit fournir de lrsquoeacutenergie pour compenserla dissipation drsquoeacutenergie par les frottements

Poursuivons notre calcul La force de frottement deacuteveloppe une puis-sance moyenne La puissance est neacutegative car les forces

de frottement travaillent toujours en reacute-sistance iciPfrottement =

minusrarr5 middot minusrarrE = minusU currenG2

En reacutegime sinusoiumldal forceacute on a trouveacute

G(C) = cos(lC + i) soit currenG = minusl sin(lC + i)

In fine le dispositif excitateur fournit une puissance moyenne

Pop = U2l2 sin2 (lC + i)︸︷︷︸

=12U2l2

Puissance fournie agrave un oscillateur entretenu

En reacutegime sinusoiumldal forceacute la puissance moyenne fournie par ledispositif excitateur est proportionnelle au carreacute de lrsquoamplitude devitesse (+ = l) et au coefficient de frottement

La puissance fournie obeacuteit eacutegalement agrave un pheacutenomegravene de reacutesonanceEn effet en remplaccedilant par son expression on trouve

Pop =12Ul0

402 l2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

En divisant le numeacuterateur et le deacutenominateur par (2_l)2 et en rempla-ccedilant U par 2lt_ on obtient

Pop =Pmax

1 +(l02minusl2

)2 avec Pmax =14ltl0

Cette puissance eacutevolue suivant une courbe en cloche (Figure 59) Onobserve un pheacutenomegravene de reacutesonance lorsque l = l0 et le maximumest drsquoautant plus important que lrsquoamortissement est faible

12 Pmax

FIGURE 510 ndash Bande passante

Reacutesonance de puissance

La puissance absorbeacutee par un oscillateur preacutesente une reacutesonancelorsque la freacutequence excitatrice coiumlncide avec la freacutequence propre delrsquooscillateur Le transfert de puissance est drsquoautant plus importantque le coefficient drsquoamortissement est faible

Facteur de qualiteacute

Le spectre en puissance de lrsquooscillateur preacutesente une largeur agrave mi-hauteur Δl que lrsquoon appelle bande passante43

43 La puissance eacutetant proportionnelleau carreacute de lrsquoamplitude de vitesse labande passante correspond agrave lrsquointervallepour lequel la reacuteponse en vitesse est com-prise entre +max et +max

radic2

Cet intervalle srsquoexprimesoit en rads soit en hertz (Δa = Δl2c)

Les pulsations l1 et l2 qui deacutelimitent la bande passante veacuterifientlrsquoeacutequation

l02 minusl2

2_l= plusmn1 soit l2 plusmn 2_l minusl0

les solutions positives sont

l1 = minus_ +radicl02 + _2 et l2 = _ +

radicl02 + _2

Ainsi la bande passante (en pulsation) est donneacutee par Δl = 2_

On deacutefinit le facteur de qualiteacute amp drsquoun reacutesonateur comme le quotient dela freacutequence de reacutesonance et de la bande passante

amp a0

Δa=l0

Δlhearts (58)

Le facteur de qualiteacute mesure la finesse de la reacutesonance4444 amp est aussi appeleacute facteur drsquoacuiteacute dela reacutesonance

On trouve ici

FIGURE 511 ndash Influence du coefficientdrsquoamortissement sur la bande passante

0 05 1 15 2 25

_prime = 14_ ampprime = 4amp

eacutee

amp = l0(2_) La reacutesonance est donc drsquoautant plus aiguumle que lrsquoamortis-sement est faible comme on peut le voir sur la Figure 511 Autrement

53 Effets anharmoniques 65

TABLE 51 ndash Facteur de qualiteacute dequelques reacutesonateurs

Oscillateur amp

Circuit RLC seacutelectif sim 100Diapason sim 103

Terre (tremblement de terre) sim 103

Corde de guitare sim 103

Oscillateur agrave quartz 104 minus 106

Atome exciteacute sim 107

Epmin + 12 ^ (G minus Geq)2

Approximation harmonique

FIGURE 512 ndash Puits de potentiel appro-cheacute au voisinage du minimum par uneparabole

dit un oscillateur qui possegravede une reacuteponse freacutequentielle tregraves seacutelec-tive est aussi un oscillateur qui possegravede un grand temps de reacuteponse seacutelectiviteacute et inertie vont de paire

Un oscillateur de grand facteur de qualiteacute est un reacutesonateur qui agitcomme un filtre tregraves seacutelectif La Table 51 indique quelques reacutesonateurscourants

Remarque on a choisit dans ce cours de caracteacuteriser un oscillateur har-monique lineacuteairement amorti par sa pulsation propre l0 et son coefficientdrsquoamortissement _ En reacutegime forceacute son comportement est reacutegi par lrsquoeacutequa-tion diffeacuterentielle

yenG + 2_ currenG +l02G = 5 (C)

On peut choisir drsquoautres jeux de paramegravetres comme par exemple (l0Δl)ou (l0amp) ce qui donne les eacutequations diffeacuterentielles eacutequivalentes

yenG + Δl currenG +l02G = 5 (C) ou yenG + l0

ampcurrenG +l0

2G = 5 (C)

53 Effets anharmoniques

Consideacuterons un systegraveme meacutecanique conservatif agrave un degreacute de liberteacuteG dans une situation drsquoeacutequilibre stable Lrsquoeacutenergie potentielle preacutesentedonc un puits de potentiel centreacute sur la position drsquoeacutequilibre Admet-tons que lrsquoeacutenergie meacutecanique se mette sous la forme

12` currenG2 + Ep (G) = Em (59)

Lrsquoapproximation harmonique consiste agrave approcher le puits de potentielpar la parabole45 45 agrave condition que le puits de potentiel

soit de courbure non nulleosculatrice En effet au voisinage drsquoun eacutequilibre un

deacuteveloppement de lrsquoeacutenergie potentielle agrave lrsquoordre deux donne

Ep Ep (Geq) +12^(G minus Geq)2 avec ^ =

dG2 (Geq) gt 0

En traduisant la conservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique par dEmdC = 0on obtient ` yenG + ^

(G minus Geq

)= 0 Si lrsquoon deacutesigne par - = G minus Geq lrsquoeacutecart agrave

lrsquoeacutequilibre on obtient lrsquoeacutequation diffeacuterentielle

yen- + ^`- = 0 (510)

caracteacuteristique drsquoun oscillateur harmonique de pulsation propre

radic^

`hearts (511)

minusc c

minuslt6ℓ

lt6ℓ

approximationharmonique

FIGURE 513 ndash Approximation harmo-nique du pendule simple

Exemple le pendule rigide

Consideacuterons un pendule simple rigide de masse lt et de longueur ℓ astreintagrave eacutevoluer dans un plan vertical Il srsquoagit drsquoun systegraveme agrave un degreacute deliberteacute ( deacutesigne lrsquoeacutecart angulaire) drsquoeacutenergie potentielle de pesanteurEp = minuslt6ℓ cos preacutesentant un puits de potentiel symeacutetrique et centreacuteen = 0 Si lrsquoon communique au pendule une eacutenergie faible celui-cideacuteveloppera un reacutegime drsquooscillations quasi harmoniques puisque lrsquoonpeut approcher le puits de potentiel par une parabole (cos 1 minus 22)

Ep 12lt6ℓ2 +Cte =rArr ^ = lt6ℓ

Alors que lrsquoeacutenergie cineacutetique srsquoeacutecrit

Ec =12ltE2 =

12ltℓ2 curren2 =rArr ` = ltℓ2

Ainsi au voisinage de = 0 on a yen + ^` = 0 Lrsquoangle oscille de faccedilon

harmonique agrave la pulsation propre l0 =radic^` =

radic6ℓ

valeur indeacutependante de

la masse et de lrsquoamplitude des oscillations Cette derniegravere proprieacuteteacute nrsquoestvalable que dans lrsquoapproximation harmonique crsquoest-agrave-dire pour les petitsangles

Ainsi pour de petites eacutelongations autour de lrsquoeacutequilibre un puits depotentiel preacutesentant un courbure ^ positive46

46 Si ^ lt 0 les solutions de lrsquoeacutequation(510) sont divergentes (4AC avec A gt 0)ce qui correspond agrave une position drsquoeacutequi-libre instable On retrouve donc lrsquoideacuteeqursquoun eacutetat drsquoeacutequilibre instable est associeacuteagrave un profil drsquoeacutenergie potentiel preacutesentantun maximum local

donnera lieu agrave un com-portement drsquooscillateur harmonique Cette laquo approximation lineacuteaire raquoest par exemple utiliseacutee pour deacutecrire les vibrations moleacuteculaires

Anharmoniciteacutes

Comme nous venons de le voir lrsquoapproximation harmonique constituesouvent la premiegravere approche lorsque lrsquoon eacutetudie les petits oscillationsautour drsquoun eacutequilibre stable En revanche pour les grandes ampli-tudes on sort du domaine de validiteacute de cette approximation ce quise traduit par lrsquoapparition dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle de termessuppleacutementaires non lineacuteaires dit termes anharmoniques

De maniegravere geacuteneacuterale de tels oscillateurs peuvent se deacutecrire par lrsquoeacutequa-tion diffeacuterentielle suivante

yenG + 2_ currenG + 5 (G) = 0 avec 5 (G) Grarr0minusminusminusminusrarr 0 (512)

ougrave G repreacutesente lrsquoeacutecart agrave la position drsquoeacutequilibre et le terme 2_ currenG modeacuteliselrsquoamortissement Cette eacutequation peut srsquointerpreacuteter comme lrsquoeacutequationdu mouvement drsquoun point mateacuteriel de masse uniteacute et de coordonneacuteeG dans un puits de potentiel

Ep (G) =int G

05 (G prime) dG prime

La stabiliteacute de lrsquooscillateur est garantie si Ep (G) preacutesente un minimumen G = 0

50 100 150

angle max ()

FIGURE 514 ndash Influence de lrsquoamplitudesur la peacuteriode drsquoun pendule simple

0minus0

Ep = 0

(eminus20G minus 2eminus0G

FIGURE 515 ndash Potentiel de Morse

Cas du pendule simple ndash Le pendule simple comme nous lrsquoavons vuest reacutegi par une eacutequation diffeacuterentielle du type (512) avec

5 (G) = sin G

Le puits de potentiel a tendance agrave srsquoeacutevaser par rapport au puits para-bolique associeacute agrave lrsquoapproximation harmonique ce qui signifie que lesoscillations ralentiront par rapport agrave des oscillations harmoniques Endrsquoautres termes la peacuteriode des oscillations contrairement au cas delrsquooscillateur harmonique augmente avec lrsquoamplitude max des oscilla-tions Crsquoest ce qursquoillustre la figure ci-contre en traccedilant lrsquoeacutevolution de lapeacuteriode ) en uniteacute de )0 (peacuteriode dans lrsquoapproximation harmonique)en fonction de lrsquoamplitude des oscillations max

Cas de la liaison moleacuteculaire ndash Consideacuterons une moleacutecule diatomiquecomme H2 O2 CO etc Bien que la stabiliteacute drsquoun tel eacutedifice relegravevede la meacutecanique quantique il est souvent plus simple moyennantquelques approximations de deacutecrire la liaison de faccedilon pheacutenomeacuteno-logique Philip Morse a proposeacute une eacutenergie potentielle qui deacutecrit defaccedilon satisfaisante la structure vibrationnelle drsquoune moleacutecule diato-mique Dans ce modegravele les deux atomes interagissent via une eacutenergiepotentielle drsquointeraction dit potentiel de Morse de la forme

Ep = 0

ougrave G deacutesigne lrsquoeacutecart agrave lrsquoeacutequilibre et 0 lrsquoeacutenergie de dissociation de lamoleacutecule Le profil de ce potentiel (Figure 515) montre clairement unedissymeacutetrie

Lorsque lrsquoon deacuteveloppe Ep (G) au voisinage de 0 on trouve

Ep minus0 +12^G2 minus nG3 avec ^ = 200

2 et n = ^02

ce qui donne une eacutequation du mouvement du type 47 47 Lrsquoeacutenergie cineacutetique srsquoeacutecrit Ec =12 ` currenG

avec ` la masse reacuteduite du systegraveme di-atomique (cf Chapitre 9)

yenG +l02G minus VG2 = 0 avec l0 =

radic^` et V =

En conseacutequence les oscillations ne sont plus symeacutetriques autour deG = 0 et la moyenne temporelle G varie avec lrsquoeacutenergie de lrsquooscillateur Eneffet on peut montrer agrave lrsquoaide drsquoune meacutethode perturbative (cf Annexepage 149) que

G =VG2

2l02 =304G2

En drsquoautres termes la longueur de la liaison moleacuteculaire augmenteavec lrsquoeacutenergie emmagasineacutee dans la liaison48 48 Dans lrsquoapproximation harmonique

lrsquoeacutenergie drsquoun oscillateur varie comme lecarreacute de lrsquoamplitude

Crsquoest ce mecircme pheacuteno-megravene qui explique le pheacutenomegravene de dilatation des cristaux quandla tempeacuterature augmente lrsquoeacutenergie de vibration atomique augmenteeacutegalement ce qui accroit la distance intermoleacuteculaire par effet anhar-monique

minusrarr51

minusrarr52

minusrarr53

FIGURE 61 ndash Forces concourantes

THEacuteOREgraveME DU MOMENTCINEacuteTIQUE 6

61 Moment drsquoune force 69Deacutefinitions 69Notion de bras de levier 70

62 Moment cineacutetique 71Deacutefinitions 71Systegraveme de points 72Importance du moment cineacute-

tique en physique 7363 TMC 73

Cas du point mateacuteriel 74Cas des systegravemes de points 74

64 Applications 75Mouvement agrave forces centrales75Solide en eacutequilibre 76Rotation autour drsquoun axe 77

Le moment cineacutetique est une grandeur fondamentale en meacutecaniqueIl joue un rocircle important notamment dans les systegravemes en rotationLe theacuteoregraveme du moment cineacutetique deacutecoule directement du principefondamental de la dynamique et par conseacutequent ne possegravede pasplus drsquoinformation En revanche il permet de deacutegager rapidement uneinteacutegrale premiegravere du mouvement dans le cas des systegravemes agrave forcecentrale par exemple

httpsfemto-physiquefrmecanique

theoreme-du-moment-cinetiquephp

61 Moment drsquoune force

Deacutefinitions

Consideacuterons une forceminusrarr5 qui srsquoapplique en un point M Par deacutefinition

le momentminusminusrarrMA (minusrarr5 ) de la force

minusrarr5 en un point A est le vecteur

minusminusrarrMA (minusrarr5 ) minusminusminusrarrAMand minusrarr5 hearts (61)

Le moment drsquoune force srsquoexprime en Nm

Supposons un systegraveme soumis agrave forcesminusrarr58 dont les droites drsquoaction

passent par le mecircme point A On dit que les forces sont concourantesen A Dans ce cas le moment des forces en A est neacutecessairement nulpuisque

minusminusminusrarrAM8

minusrarr58 =rArr

minusminusrarrMA (minusrarr58 ) =

minusrarr0

Plus inteacuteressante est la proprieacuteteacute selon laquelle les actions meacutecaniquessont eacutequivalentes dans ce cas agrave une seule force

minusrarr =

summinusrarr58 appliqueacutee

en A En effet les forces eacutetant concourantes en A on peut eacutecrire

minusrarr58 = 8

minusminusminusrarrAM8 avec 8 un reacuteel

Le moment des forces calculeacute en un point O quelconque vaut alors

70 6 THEacuteOREgraveME DU MOMENT CINEacuteTIQUE

minusrarr51

minusminusrarr51FIGURE 62 ndash Couple de forces

sum8=1

minusminusrarrMO (minusrarr58 ) =

minusminusminusrarrOM8 and 8

minusminusrarrOAand 8

=minusminusrarrOAand

8minusminusminusrarrAM8

sum8=1

minusminusrarrOAand

minusrarr58

Moment de deux forces concourantes

forces concourantes en A se comportent comme une seule forceminusrarr =

summinusrarr58 appliqueacutee en A Par conseacutequent le moment de forces

concourantes de reacutesultante nulle est neacutecessairement nul quel quesoit le point ougrave on le calcule

Lorsqursquoun systegraveme est soumis agrave un couple de forces opposeacutees minusrarr51minusminusrarr51appliqueacutees en deux points distincts A et B le moment reacutesultant appeleacutecouple et noteacute

minusrarrΓ est indeacutependant du point ougrave on le calcule

minusrarrΓ =minusminusrarrOAand minusrarr51 +

minusminusrarrOBand (minusminusrarr51) = +

minusminusrarrBAand minusrarr51

Ce couple nrsquoest nul que si le couple de forces est concourant confor-meacutement agrave ce que lrsquoon a vu preacuteceacutedemment De faccedilon geacuteneacuterale on parlede couple pour deacutecrire tout ensemble drsquoactions meacutecaniques dont lareacutesultante des forces est nulle mais dont le moment reacutesultant est nonnul Nous reacuteservons la notation

minusrarrΓ agrave ce type drsquoactions

On obtient le moment en un point A agrave partir de celui calculeacute en unautre point B par la relation

minusminusrarrMA (minusrarr5 ) = minusminusrarrMB (

minusrarr5 ) + minusminusrarrABand minusrarr5 hearts (62)

valable aussi bien pour une force que pour une reacutesultante des forces

Notion de bras de levier

Il arrive souvent que toutes les forces soient dans un mecircme plan Dansce cas si lrsquoon considegravere un point A de ce plan tous les moments deforce en A sont perpendiculaires agrave ce plan il est alors naturel drsquoutiliserdes projections

Soit minusrarrD le vecteur unitaire orientant un axe (Δ) passant par un pointA Par deacutefinition le moment drsquoune force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ) est lescalaire

MΔ (minusrarr5 ) minusminusrarrMA (

minusrarr5 ) middot minusrarrD hearts (63)

62 Moment cineacutetique 71

Ce nombre est indeacutependant de la position de A sur lrsquoaxe En effet pourun autre point Arsquo sur lrsquoaxe on a

minusminusrarrMA (minusrarr5 ) middot minusrarrD = minusminusminusrarrMArsquo (

minusrarr5 ) middot minusrarrD + (minusminusminusrarrAArsquoand minusrarr5 ) middot minusrarrD = minusminusminusrarrMArsquo (

minusrarr5 ) middot minusrarrD

puisqueminusminusminusrarrAArsquo est colineacuteaire agrave minusrarrD

Consideacuterons maintenant une forceminusrarr5 dans un plan P et un axe orienteacute

(Δ) perpendiculaire agrave P Par deacutefinition le bras de levier est la distance3 entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe (Δ) Montrons que le

bull3A

minusrarrDbullM

minusrarr5

FIGURE 63 ndash Notion de bras de levier

moment par rapport agrave lrsquoaxe (Δ) ne deacutepend que de la force et de sonbras de levier

MΔ (minusrarr5 ) = (minusminusminusrarrAMand minusrarr5 ) middot minusrarrD = AM 5 sin(minusminusminusrarrAM

minusrarr5 ) = plusmn 5 times 3

On prendra le signe + lorsque la force tend agrave faire tourner le point Mautour de lrsquoaxe dans le sens positif (associeacute au sens de minusrarrD par la regravegledu tire-bouchon) et - dans le cas contraire

Moment drsquoune force par rapport agrave un axe Δ

Le moment drsquoune forceminusrarr5 par rapport agrave un axe orienteacute (Δ) perpen-

diculaire au plan contenant la force vaut

MΔ (minusrarr5 ) = plusmn 5 times 3

ougrave 3 est le bras de levier Ce moment est positif quand la force tendagrave faire tourner le point M dans le sens positif il est neacutegatif dans lecas contraire

62 Moment cineacutetique

Deacutefinitions

Consideacuterons un point mateacuteriel M de masse lt animeacute drsquoune vitesseminusrarrEMR par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R Par deacutefinition le moment cineacute-tique50 50 Certains auteurs emploient le terme

moment angulairede M en un point A est le vecteur

minusrarrA (M)

minusminusminusrarrAMandltminusrarrEMR =

minusminusminusrarrAMand minusrarr hearts (64)

Ce vecteur comme tous les moments veacuterifie la relation analogue agrave(62)

minusrarrA =

minusrarrB +

minusminusrarrABand minusrarr

valable aussi bien pour un point que pour un systegraveme de points

On deacutefinit eacutegalement le moment cineacutetique par rapport agrave un axe Si minusrarrDdeacutesigne le vecteur unitaire orientant un axe (Δ) le moment cineacutetiquedrsquoun point mateacuteriel par rapport agrave cet axe est la projection

minusrarrA sur lrsquoaxe

Δ (M) =minusrarrA (M) middot minusrarrD avec A isin (Δ) hearts (65)

Moment cineacutetique drsquoun systegraveme de points

Dans un reacutefeacuterentiel R le moment cineacutetique drsquoun systegraveme Sde pointsmateacuteriels M8 est la somme vectorielle des moments cineacutetiques indivi-duels minusrarr

A (S) =sum8

minusminusminusrarrAM8 andlt8minusrarrE8 avec minusrarrE8 = minusrarrEM8R

Eacutenonccedilons quelques proprieacuteteacutes

1 Le moment cineacutetique en A drsquoun systegraveme est relieacute agrave celui en B parune relation torsorielle

minusrarrA (SR) =

minusrarrB (SR) +

minusminusrarrABand minusrarrSR (66)

2 Dans le reacutefeacuterentiel barycentrique Rlowastminusrarrlowast =

minusrarr0 (cf Chapitre 2)

Par conseacutequentminusrarrA (SRlowast) =

minusrarrB (SRlowast) drsquoapregraves lrsquoeacutequation (66)

En drsquoautres termes le moment cineacutetique barycentrique est indeacute-pendant du point ougrave on le calcule Nous le noterons deacutesormaisminusrarr lowast Ce moment cineacutetique est aussi appeleacute moment cineacutetiquepropre

Theacuteoregraveme de Kœnig relatif au moment cineacutetique

Le reacutesultat que nous avons deacutemontreacute au Chapitre 2 sur lrsquoeacutenergie ci-neacutetique (Theacuteoregraveme de Kœonig relatif agrave lrsquoeacutenergie cineacutetique) srsquoappliqueeacutegalement au moment cineacutetique En effet consideacuterons un systegraveme S

de masse lt et de centre drsquoinertie G Son moment cineacutetique srsquoeacutecrit

minusrarrA (S) =

minusminusrarrAGandlt8minusrarrE8 +

minusminusminusrarrGM8 andlt8minusrarrE8

La composition du mouvement indique que

minusrarrEM8R =minusrarrE8 lowast + minusrarrEG avec

minusrarrE8 lowast =minusrarrEM8RlowastminusrarrEG =minusrarrE GR

Il vient alors

minusrarrA (S) =

minusminusrarrAGand

lt8minusrarrE8 +

lt8minusminusminusrarrGM8 and minusrarrE8 lowast +

lt8minusminusminusrarrGM8

)and minusrarrEG

63 TMC 73

Or drsquoune partsumlt8minusminusminusrarrGM8 =

minusrarr0 par deacutefinition de G et drsquoautre partsum

lt8minusrarrE8 = ltminusrarrEG Par conseacutequent

minusrarrA (S) =

minusrarr lowast + minusminusrarrAGandltminusrarrEG hearts (67)

Le moment cineacutetique drsquoun systegraveme de points agrave lrsquoinstar de lrsquoeacutenergie ci-neacutetique se deacutecompose en deux termes le terme barycentrique auquelsrsquoajoute le moment cineacutetique drsquoun point mateacuteriel de masse lt situeacute enG Cela constitue le second theacuteoregraveme de Kœonig

Il vient en conseacutequence que le moment cineacutetique calculeacute en G srsquoidenti-fie avec le moment barycentrique

minusrarrG (S) =

minusrarr lowast

Importance du moment cineacutetique en physique

En meacutecanique classique le moment cineacutetique est une grandeur qui a laparticulariteacute de se conserver lorsqursquoun systegraveme est soumis agrave un champde forces centrales (cf chapitre suivant) Cependant crsquoest en meacutecaniquequantique que le moment cineacutetique joue un rocircle fondamental

mdash Le premier modegravele quantique de lrsquoatome est du au physiciendanois Niels Bohr (1913) qui eut lrsquoideacutee de proposer un modegraveledrsquoatome ougrave le moment cineacutetique de lrsquoeacutelectron est quantifieacute il nepeut prendre que des valeurs des valeurs multiples de

ℎ =ℎ

2c= 105410minus34 Js

mdash Lrsquoexpeacuterience de Stern et Gerlach montra que lrsquoeacutelectron possegravedeun moment cineacutetique propre quantifieacute dit moment de spin Alrsquoheure actuelle dans le modegravele standard de la physique desparticules toutes les particules sont caracteacuteriseacutees par une chargeune masse et un moment de spin

mdash Les proprieacuteteacutes magneacutetiques de la matiegravere ne peuvent srsquoexpliquerque dans le cadre quantique ougrave le moment de spin joue un rocirclecleacute La Reacutesonance magneacutetique nucleacuteaire (RMN) lrsquoImagerie parReacutesonance Magneacutetique nucleacuteaire (IRM) lrsquoeacutelectronique de spinsont quelques exemples drsquoapplications modernes ougrave la notionde moment cineacutetique joue un rocircle central

63 Theacuteoregraveme du moment cineacutetique

Le theacuteoregraveme du moment cineacutetique deacutecoule directement du principefondamental de la dynamique et ne possegravede donc pas plus drsquoinforma-tion Dans le cas des systegravemes conservatifs agrave force centrale il permetde deacutegager une seconde inteacutegrale premiegravere qui srsquointerpregravete de faccedilongeacuteomeacutetrique

Cas du point mateacuteriel

Consideacuterons un point mateacuteriel M de masse lt en mouvement dans unreacutefeacuterentiel galileacuteen R et soumis agrave une force

minusrarr5 Deacuterivons le moment

cineacutetique de M calculeacute en un point quelconque A

dminusrarrA (M)

dminusminusminusrarrAMdCandltminusrarrEMR +

minusminusminusrarrAMandlt

dminusrarrEMRdC

Sachant que drsquoune part dminusminusminusrarrAMdC = minusrarrEMR minus minusrarrEAR et que drsquoautre part

ltdminusrarrEMR

dC =minusrarr5 (PFD) on obtient

dminusrarrA (M)

dC=minusminusminusrarrAMand minusrarr5 +ltminusrarrEMR and minusrarrEAR (68)

Lorsque A est fixe dans R le deuxiegraveme terme se reacutesume au moment dela force

minusrarr5 ce qui constitue le theacuteoregraveme du moment cineacutetique

Theacuteoregraveme du moment cineacutetique (TMC)

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen un point mateacuteriel M soumis agrave unereacutesultante de forces

minusrarr5 voit son moment cineacutetique calculeacute en un

point fixe A eacutevoluer suivant la relation causeeffet

dminusrarrA (M)

dC=minusminusrarrMA (minusrarr5 ) avec A fixe dans R

En projetant cette relation suivant un axe fixe orienteacute (Δ) on obtient

dΔ (M)dC

=MΔ (minusrarr5 )

Cas des systegravemes de points

En appliquant agrave chaque point mateacuteriel M8 drsquoun systegraveme S le theacuteoregravemedu moment cineacutetique en un point fixe A il vient apregraves sommation

dminusrarrA (S)

minusminusminusrarrAM8 and

minusrarr58

ext + minusminusrarrMAint

ougraveminusminusrarrMA

int deacutesigne la somme des moments des forces inteacuterieures cal-culeacutee au point fixe A Le principe des actions reacuteciproques stipulecependant que les forces drsquointeractions sont opposeacutees et coaxiales

minusrarr58 9 = minusminusrarr5 98

minusminusminusminusminusrarrM8M 9 and

minusrarr58 9 =

minusrarr0

En drsquoautres termes les forces internes constituent des couples de forcede moment nul Ainsi la somme des moments de forces internes srsquoan-nule Finalement le theacuteoregraveme du moment cineacutetique pour un systegravemede points prend la forme suivante

64 Applications 75

Theacuteoregraveme du Moment Cineacutetique (TMC)

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen nous avons montreacute que la variationde quantiteacute de mouvement drsquoun systegraveme ne deacutependait que de lareacutesultante des forces exteacuterieures de la mecircme faccedilon la variation dumoment cineacutetique total ne deacutepend que de la somme des momentsassocieacutes aux forces exteacuterieures

dminusrarrA (S)

minusrarr58

ext =minusminusrarrMA

ext avec A point fixe

Si lrsquoon choisit le centre drsquoinertie G comme point A la condition laquo Apoint fixe raquo nrsquoest pas neacutecessaire En effet agrave partir de lrsquoeacutequation (68)on obtient

dminusrarrG (S)

minusminusminusrarrGM8 and

minusrarr58

ext +(sum8

lt8minusrarrE8

)and minusrarrEGR

Sachant quesum8 ltminusrarrE8 = ltminusrarrEGR il vient

dminusrarrG (S)

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

ext hearts (69)

Finalement lrsquoassociation du theacuteoregraveme du centre drsquoinertie et du theacuteo-regraveme du moment cineacutetique permet de deacutecoupler le mouvement de S

en deux mouvements

mdash le mouvement du centre drsquoinertie reacutegi par lrsquoeacutequation

ltdminusrarrEdC

=minusrarr ext

mdash le mouvement barycentrique reacutegi par la relation

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

Ces deux eacutequations vectorielles donnent six relations insuffisantes engeacuteneacuteral pour deacutecrire complegravetement le mouvement de S Cependantlrsquoeacutetude des solides parfaits ndashsystegravemes agrave six degreacutes de liberteacutendash peut ecirctrereacutealiseacute complegravetement agrave lrsquoaide de ces deux eacutequations auxquelles il fauteacuteventuellement ajouter des relations de liaison lieacutees aux contacts

64 Applications

Mouvement agrave forces centrales

Une force est dite centrale de centre O quand agrave chaque instant ladroite support de cette force passe par un point fixe O Si lrsquoon considegravereun systegraveme de coordonneacutees spheacuteriques drsquoorigine O un champ de forcecentrale srsquoeacutecrit minusrarr

5 (M) = 5 (A i)minusrarrDA

FIGURE 64 ndash Loi des aires pour desdureacutees eacutegales lrsquoaire balayeacutee par le rayonvecteur est la mecircme

Par exemple dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique la force de gravitationproduite par la Terre sur un satellite artificiel est une force centrale agravecondition de supposer la Terre agrave symeacutetrie spheacuterique

Que dit le theacuteoregraveme du moment cineacutetique quant au mouvement drsquounpoint mateacuteriel M soumis agrave une force centrale dans un reacutefeacuterentiel gali-leacuteen

dminusrarrO (M)

dC= AminusrarrDA and 5 (A i)minusrarrDA =

minusrarr0 =rArr minusrarr

O (M) =minusminusrarrCte

Ainsi le moment cineacutetique se conserve en norme et en direction drsquoougravelrsquoon tire les trois conseacutequences suivantes

1 Le mouvement est plan En effet agrave chaque instant le vecteurminusminusminusrarrOM est orthogonal au vecteur constant

minusrarrO (M)

2 Le mouvement eacutetant plan on utilise les coordonneacutees polairespour repeacuterer la position de M Le moment cineacutetique srsquoeacutecrit A minusrarrDA andlt( currenA minusrarrDA + A curren minusrarrD ) = ltA2 curren minusrarrDI et sa conservation se traduit par

A2 curren = hearts (610)

ougrave est une constante appeleacutee constante des aires

3 Lrsquoaire balayeacutee par le vecteurminusminusminusrarrOM par uniteacute de temps est constante

et eacutegale agrave 2 (vitesse areacuteolaire) En effet lrsquoaire balayeacutee par le

vecteurminusminusminusrarrOM entre C et C + dC vaut51

51 Rappelons que lrsquoaire drsquoun triangle

(ABC) vaut 12 minusminusrarrABand minusminusrarrAC

dA = 12

131313minusminusminusrarrOM(C + dC) and minusminusminusrarrOM(C)131313

131313(minusminusminusrarrOM(C) + minusrarrEMdC)and minusminusminusrarrOM(C)

131313= 1

2 | | dC

Ainsi lrsquoaire balayeacutee par le vecteurminusminusminusrarrOM augmente agrave une vitesse

dite vitesse areacuteolairedAdC

2On retrouve ici la loi des aires eacutenonceacutee par Kepler au sujet desastres du systegraveme solaire On voit ici que cette proprieacuteteacute nrsquoest paslimiteacutee aux forces de gravitation mais propre agrave toutes les forcescentrales

Solide en eacutequilibre

Consideacuterons un solide Sen eacutequilibre dans un reacutefeacuterentiel R galileacuteenEacutetant au repos le systegraveme ne possegravede ni quantiteacute de mouvement nimoment cineacutetique Par conseacutequent minusrarr

ext =minusrarr0

minusminusrarrMA

ext =minusrarr0 forallA

64 Applications 77

minusrarr6

minusrarr1

minusrarr2

minusrarr3

FIGURE 65 ndash Echelle contre un mur

minusrarrD

H8minusrarrE8

FIGURE 66 ndash Solide en rotation autourdrsquoun axe fixe

Dans le cas ougrave seules deux forces srsquoappliquent en deux points A et Bdrsquoun solide la condition drsquoeacutequilibre traduit le fait que ces deux forcesforment un couple de moment nulle ce qui signifie que ces deux forcessont opposeacutees et coaxiales

Dans le cas drsquoun solide soumis agrave trois forces non parallegraveles (minusrarr51minusrarr52

minusrarr53) deux drsquoentre elles (par exemple

minusrarr51 etminusrarr52) ont neacutecessairement leur

prolongement qui se coupent en un point A Le systegraveme drsquoaction estalors eacutequivalent agrave deux forces

minusrarr512 et

minusrarr53 avec

minusrarr512 =

minusrarr51 +minusrarr52 srsquoappliquant

en A On se ramegravene au cas preacuteceacutedent ougrave lrsquoon a vu que lrsquoeacutequilibreimpliquait que les deux forces sont coaxiales Le prolongement deminusrarr53 passe donc aussi par A En drsquoautres termes les trois forces sontconcourantes en A

Solide soumis agrave trois forces

Lorsqursquoun solide soumis agrave trois forces non parallegraveles est au reposces trois forces sont de reacutesultante nulle et concourantes en un mecircmepoint

Exercice ndash Une eacutechelle de masse lt et de longueur est en eacutequilibre contreun mur et forme un angle U avec la verticale On suppose que le solproduit une force de frottement alors que le mur supposeacute suffisammentlisse nrsquoen produit pas Exprimer les forces de contact en fonction du poids = lt6 de lrsquoeacutechelle et de lrsquoangle UReacutep 1 = lt6 et 2 = 3 =

12lt6 tanU

Solide en rotation autour drsquoun axe fixe

Supposons un solide Sen rotation autour drsquoun axe fixe orienteacute (Δ) agravela vitesse angulaire l (l gt 0 si le solide tourne dans le sens positif)Chaque point M8 de masse lt8 constituant le solide deacutecrit un cerclede rayon H8M8 = A8 ougrave H8 est la projection de M8 sur lrsquoaxe (Δ) Leurmoment cineacutetique par rapport agrave lrsquoaxe vaut donc

Δ (M8) = lt8 E8 A8 = lt8 A28 l car E8 = A8l

Par conseacutequent le solide Spossegravede un moment cineacutetique

Δ (S) = Δ l avec Δ =sum8

lt8 A28

ougrave Δ deacutesigne le moment drsquoinertie du solide par rapport agrave lrsquoaxe Le momentcineacutetique est donc proportionnel agrave la vitesse angulaire et au momentdrsquoinertie qui deacutepend non seulement de la masse totale mais aussi desa reacutepartition autour de lrsquoaxe de rotation Ainsi en vertu du theacuteoregravemedu moment cineacutetique le mouvement de rotation drsquoun solide autourdrsquoun axe fixe est reacutegi par lrsquoeacutequation

ΔdldC

=MextΔ

avec Δ =sum8

lt8 A28 hearts (611)

minusrarr6

minusrarr

FIGURE 67 ndash Le pendule pesant

Exemple le pendule pesant ndash Consideacuterons un pendule pesant de masselt en rotation autour drsquoun axe horizontal gracircce agrave une liaison parfaite en OLe centre de graviteacute est agrave la distance ℓ de O Orientons lrsquoaxe de rotationde telle sorte que le sens positif des angles soit le sens trigonomeacutetrique Lemoment cineacutetique par rapport agrave lrsquoaxe vaut donc Δ = Δ curren Le bilan desactions exteacuterieures donne

appliqueacutee en G

reacutesultanteminusrarr = ltminusrarr6

moment MΔ (minusrarr ) = minuslt6ℓ sin

Contact

appliqueacutee en $

reacutesultanteminusrarr

moment MΔ (minusrarr ) = 0

Le theacuteoregraveme du moment cineacutetique donne donc

ddC(Δ curren) = minuslt6ℓ sin =rArr yen + lt6ℓ

Δsin = 0

On reconnaicirct ici lrsquoeacutequation diffeacuterentielle drsquoun pendule simple de pulsationpropre

radiclt6ℓ

On retrouve bien sucircr le cas particulier du pendule simple ougrave toute la masseest concentreacutee en G

Δ = ltℓ2 =rArr l0 =

radic6

ℓ[pendule simple]

Pour une barre rectiligne homogegravene de masse lt de longueur fixeacutee enlrsquoune de ses extreacutemiteacutes on obtient

Δ =13lt2 et ℓ =

2=rArr l0 =

radic364ℓ

[barre rectiligne]

MOUVEMENTS Agrave FORCECENTRALE 7

71 Lois de conservation 79Geacuteneacuteraliteacutes 79Moment cineacutetique 80Eacutenergie meacutecanique 81Theacuteoregraveme de Bertrand 82

72 Le problegraveme de Kepler 83Lois de Kepler 83Cas du mouvement circulaire84Ensemble des solutions 84Troisiegraveme loi de Keacutepler 86Eacutenergie 86Vitesses cosmiques 88Eacutequation horaire 89

73 Interaction coulombienne 91Cas attractif 91Cas reacutepulsif 92

Ce chapitre preacutesente une application importante des lois vues jus-qursquoici les mouvements agrave force centrale Apregraves quelques geacuteneacuteraliteacuteson aborde le problegraveme de lrsquointeraction newtonienne et notammentcelui du mouvement des planegravetes qui fit le succegraves de la theacuteorie deNewton

httpsfemto-physiquefrmecaniqueforces-centralesphp

71 Lois de conservation

On considegravere un point mateacuteriel M de masse lt soumis agrave une forcecentrale conservative de centre O point fixe drsquoun reacutefeacuterentiel galileacuteenNous allons voir que le problegraveme se reacutesout gracircce agrave deux relations deconservation

Rappelons qursquoune force est dite centrale quand la droite support decette force passe constamment par un point fixe O Si lrsquoon repegraverela position de M agrave lrsquoaide drsquoun systegraveme de coordonneacutees spheacuteriquesdrsquoorigine O on a

minusrarr5 = 5 (A i) minusrarrDA

La force est attractive quand 5 lt 0 reacutepulsive dans lrsquoautre cas Si laforce centrale est conservative alors 5 (A i) ne peut deacutependre que deA En effet son travail eacuteleacutementaire vaut

eth =minusrarr5 middotminusrarrdℓ = 5 (A i) dA

forme diffeacuterentielle qui doit ecirctre diffeacuterentielle totale exacte Ceci nrsquoestpossible que si 5 (A i) ne deacutepend que de A Dans ce cas lrsquoeacutenergiepotentielle associeacutee ne deacutepend que de A et veacuterifie

dEp (A) = minus 5 (A) dA hearts (71)

Interaction gravitationnelle

La force de gravitation entre un astre fixe (massif) situeacute en O agrave symeacutetriespheacuterique de masse lt1 et un astre mobile agrave symeacutetrie spheacuterique de

80 7 MOUVEMENTS Agrave FORCE CENTRALE

masse lt2 vaut drsquoapregraves la loi de gravitation universelle

minusrarr512 = minus

Glt1lt2

A2minusrarrDA =rArr dEp =

Glt1lt2

drsquoougrave lrsquoon tire lrsquoeacutenergie potentielle

Ep = minusGlt1lt2

A+Cte hearts (72)

Interaction coulombienne

La force eacutelectrostatique entre une charge ponctuelle fixe (charge eacutelec-trique 1) et une charge ponctuelle mobile (charge 2) est une forcecentrale et srsquoeacutecrit minusrarr

512 =12

4cn0A2minusrarrDA

Lorsque 1 et 2 sont de mecircme signe la force est reacutepulsive Crsquoest aussiune force conservative drsquoeacutenergie potentielle

Ep =12

4cn0A+Cte hearts (73)

Remarques Ces deux forces centrales varient comme lrsquoinverse du carreacutede la distance elles sont dites newtoniennesPar ailleurs on choisit souvent la convention Ep minusminusminusminusminusrarr

Ararrinfin0 ce qui permet

de poser Cte = 0

Conservation du moment cineacutetique

Comme nous lrsquoavons vu dans le chapitre preacuteceacutedent un point mateacute-riel soumis agrave une force centrale dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen voit sonmoment cineacutetique

minusrarrO se conserver

dminusrarrO (M)

dC= A minusrarrDA and 5 (A) minusrarrDA =

ce qui a trois conseacutequences

1 le mouvement est plan

2 en coordonneacutees polaires la conservation du moment cineacutetiquese traduit par la relation

ougrave est la constante des aires deacutetermineacutee par les conditionsinitiales

3 lrsquoaire balayeacutee par le vecteurminusminusminusrarrOM par uniteacute de temps est constante

et eacutegale agrave 2 (vitesse areacuteolaire)

71 Lois de conservation 81

Ep eff

bullP1

bullP2

FIGURE 72 ndash Exemple de profil eacutenergeacute-tique agrave un puits Suivant la valeur delrsquoeacutenergie meacutecanique les valeurs de Asont borneacutees ou pas

Conservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique

La force eacutetant conservative lrsquoeacutenergie meacutecanique se conserve

12ltE2 + Ep (A) = Em = Cte

En coordonneacutees polaires le carreacute de la vitesse srsquoeacutecrit en utilisantlrsquoeacutequation (74)

E2 = currenA2 + (A curren)2 = currenA2 + 2

ce qui donne une inteacutegrale premiegravere

12lt currenA2 + lt

2A2 + Ep (A) = Em (75)

Formellement le problegraveme est analogue agrave lrsquoeacutetude drsquoun point ma-teacuteriel agrave un degreacute de liberteacute (A) plongeacute dans un champ de forcedrsquoeacutenergie potentielle effective

Ep eff =lt2

2A2 + Ep (A)

Finalement la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (75) donne A (C)puis (C) en utilisant lrsquoeacutequation (74) On peut donc - en principe -trouver la trajectoire de M soit de faccedilon analytique quand lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle est soluble soit de faccedilon numeacuterique Cependant sansreacutesoudre complegravetement le problegraveme on peut faire une analyse qua-litative agrave partir du profil de Ep eff (A) En effet la forme de lrsquoeacutenergiepotentielle effective permet de savoir si la particule restera confineacuteeautour du centre O ou srsquoen eacuteloignera au bout drsquoun certain tempsPar exemple supposons que lrsquoeacutenergie potentielle effective ait lrsquoallurerepreacutesenteacutee sur la Figure 72 Deux cas se preacutesentent alors

1 Si les conditions initiales sont repreacutesenteacutees par un point P1 drsquoeacutener-gie Em situeacute dans un puits alors A (C) oscille entre deux valeurs(cf Chapitre 5) Et comme A2 curren = (C) augmente ou diminuesuivant le signe de Ainsi le point mateacuteriel deacutecrit une orbiteplus ou moins complexe autour du centre drsquoattraction On ditque la particule est dans un eacutetat lieacute Notons que si P1 possegravedeune eacutenergie meacutecanique correspondant agrave la valeur du fond dupuits de potentiel A reste constant au cours du temps ainsi que currenLe mouvement est alors circulaire uniforme

2 Si les conditions initiales sont repreacutesenteacutees par un point P2 situeacuteen dehors du puits de potentiel alors apregraves un eacuteventuel rappro-chement du centre drsquoattraction jusqursquoagrave une distance drsquoapprocheminimale Amin le corps va srsquoeacuteloigner indeacutefiniment du centre deforce on dit que la particule est dans un eacutetat de diffusion oueacutetat non lieacute

Theacuteoregraveme de Bertrand

Lorsque le profil de Ep eff (A) preacutesente un puits de potentiel il existeune valeur A0 de A pour laquelle la trajectoire est circulaire Cettevaleur est donneacutee par le minimum de Ep eff (A) obtenue en annulant lafonction deacuteriveacutee

Eprimep eff (A) = minuslt2

A3 + Eprimep (A) = 0 =rArr lt2 = A3

0 Eprimep (A0) (76)

Le mouvement est uniforme puisque A20curren = et la peacuteriode orbitale

)orb =2ccurren=

Imaginons maintenant que le corps en mouvement reccediloive une petitequantiteacute drsquoeacutenergie de telle sorte que lrsquoorbite circulaire est perturbeacutee ladistance A va osciller autour de A0 avec une peacuteriode drsquooscillation )osc

donneacutee par la formule (cf Chapitre 5)

)osc = 2cradic`

` = lt

^ = Eprimeprimep eff (A0)(77)

Or en geacuteneacuteral )orb et )osc sont dans des rapports quelconques de sorteque la trajectoire bien que lieacutee ne se referme pas sur elle mecircme Lafigure 73 montre quelques exemples drsquoorbites Il existe cependant des

5 (A) =

A2radicA

5 (A) = radicA

FIGURE 73 ndash Simulation numeacuterique exemples drsquoorbite drsquoun corps soumis agrave une force centrale 5 (A ) = A

avec = 2 5 et = minus0 5

cas ougrave quelles que soient les conditions initiales (en restant dans le casougrave la trajectoire est borneacutee) ce rapport est commensurable )osc)orb =

lt= avec (lt =) isin N2 En drsquoautres termes apregraves = reacutevolutions A (C)oscille exactement lt fois la trajectoire se referme alors parfaitementAnalysons par exemple le cas de la force keacutepleacuterienne 5 = minusA2 depotentiel Ep = minusA Lrsquoeacutequation (76) donne

A0 =lt2

et )orb = 2c

De la mecircme maniegravere lrsquoeacutequation (77) donne

)osc = 2cradic

Eprimeprimep eff= 2c

radiclt

3lt2A40 minus 2A3

= 2clt23

72 Le problegraveme de Kepler 83

Ainsi on trouve )osc = )orb En drsquoautres termes faiblement pertur-beacutee lrsquoorbite circulaire devient une orbite qui se referme apregraves unereacutevolution nous verrons qursquoil srsquoagit drsquoune ellipse

Joseph Bertrand se posa la question de la fermeture des trajectoiresdans un cadre beaucoup moins restrictif que le notre 53

53 Notre raisonnement nrsquoest valableque pour de petites perturbations au voi-sinage de A0

et trouva unreacutesultat remarquable qursquoil envoya agrave lrsquoacadeacutemie des sciences Ce courtarticle[7] [7] BERTRAND (1873) ldquoMeacutecanique

analytiquerdquofut publieacute en 1873 et montre le theacuteoregraveme suivant

Il nrsquoy a que deux types de forces centrales conservatives pour les-quelles les eacutetats lieacutes sont fermeacutes crsquoest-agrave-dire peacuteriodiques

mdash la force centrale newtonienne 5 = minusA2 Dans ce cas lesorbites lieacutees sont des ellipses dont lrsquoun des foyers est O

mdash la force eacutelastique isotrope 5 = minus A Les orbites lieacutees sonteacutegalement des ellipses mais cette fois-ci centreacutees en O

72 Le problegraveme de Kepler

Le problegraveme de Kepler fait reacutefeacuterence agrave lrsquoeacutetude du mouvement drsquouneplanegravete spheacuterique de masse lt soumise agrave lrsquoattraction gravitationnellede la part drsquoune eacutetoile de masse lt consideacutereacutee fixe et agrave symeacutetriespheacuterique54

54 Tout eacutecart agrave la spheacutericiteacute induit uneforce non centrale La seule force est centrale newtonienne et attractive

minusrarr5 = minusGltlt

A2minusrarrDA

Bien entendu tout corps de masse lt lieacute gravitationnellement agrave unastre fixe de masse ltprime est soumis aux lois de Kepler il suffit alors deremplacer ltlt par ltltprime

Lois de Kepler

Histoire

Crsquoest en 1609 que lrsquoastronome alle-mand Johannes Kepler (1571ndash1630)publie son ouvrage Astronomia Nova(Astronomie Nouvelle) dans lequelil eacutenonce les deux premiegraveres lois quiportent maintenant son nom Il deacute-couvre ses lois gracircce agrave Tycho Braheacuteexpeacuterimentateur hors pair qui fit desobservations tregraves preacutecises ceci sanslrsquoaide drsquoaucun drsquoinstrument drsquoop-tique En eacutetudiant le mouvement dela Terre autour du Soleil Kepler deacute-couvre drsquoabord la loi des aires Crsquoesten eacutetudiant le mouvement de la pla-negravete Mars autour du Soleil qursquoil deacute-couvre la premiegravere loi Comme sou-vent lors de grandes deacutecouvertesla chance a joueacute un rocircle non neacutegli-geable drsquoune part Kepler fit denombreuses erreurs dans ses raison-nements qui heureusement se sontcompenseacutees drsquoautre part la mise eneacutevidence du mouvement elliptiquea eacuteteacute favoriseacute par la grande excentri-citeacute de lrsquoorbite de Mars (lrsquoorbite deMars est 5 fois plus excentrique quecelle de la Terre) La troisiegraveme loi nefut deacutecouverte qursquoen 1618

Les trois lois sur le mouvement des astres du systegraveme solaire dites loisde Kepler srsquoeacutenoncent ainsi

1 Les planegravetes parcourent des orbites planes elliptiques Le Soleiloccupe lrsquoun des foyers de lrsquoellipse

2 En des dureacutees eacutegales les planegravetes balayent des aires eacutegales

3 Le rapport du carreacute de la peacuteriode de rotation au cube du demi-grand axe est identique pour toutes les planegravetes du systegravemesolaire

Ces trois lois permettront agrave Newton de confirmer sa theacuteorie du mouve-ment des corps (Philosophia naturalis principia mathematica 1687) Nousavons deacutejagrave vu comment la deuxiegraveme loi est une conseacutequence de laconservation du moment cineacutetique voyons comment deacuteriver les deuxautres lois agrave partir des lois de Newton

eacutetats non lieacutes Em gt 0

eacutetats lieacutes Em lt 0

Ep eff

FIGURE 74 ndash Potentiel effectif keacutepleacuterien

Cas du mouvement circulaire

Le profil de lrsquoeacutenergie potentielle effective

Ep eff =lt2

2A2 minusGltlt

montre que les eacutetats lieacutes sont possibles Si lrsquoeacutenergie meacutecanique corres-pond agrave la valeur minimale de Ep eff alors A reste constant au coursdu temps et lrsquoorbite est circulaire On voit de plus que cette orbitecirculaire est stable

Supposons donc que M deacutecrit une orbite circulaire de rayon A0 Envertu de la conservation du moment cineacutetique on a

A02 curren =

ce qui implique que le mouvement est circulaire uniforme (vitesseangulaire constante) La relation fondamentale de la dynamique appli-queacutee agrave M donne

lt0 = ltE2

Il vient alors

radicGlt

A0et Ec = minus

12Ep (78)

la vitesse deacutecroicirct quand A0 croicirct La peacuteriode de reacutevolution est relieacutee aurayon orbital par 2cA0 = E ) puisque le mouvement est uniforme Ilvient en eacutelevant au carreacute

)2 =Glt

4c2 (79)

relation qui donne une version simplifieacutee de la troisiegraveme loi de Ke-pler

Enfin lrsquoeacutenergie meacutecanique est constante et eacutegale agrave

Em = Ec + Ep =Ep

2= minusGltlt

Ensemble des trajectoires solutions

Lrsquoorbite circulaire est donc une solution stable particuliegravere Lrsquoensembledes trajectoires possibles srsquoobtient agrave partir des deux relations de conser-vation

12lt currenA2 + lt

2A2 minusGltlt

A2 curren =

Il est alors judicieux de proceacuteder au changement de variable D = 1Aafin drsquoobtenir lrsquoeacutequation polaire de la trajectoire agrave savoir la relationA () On a

currenA = d (1D)dC

= minus 1D2

dDdcurren = minusdD

Le systegraveme drsquoeacutequations devient

+ lt2D2

2minus GltltD = Em

curren = D2

Si lrsquoon deacuterive la premiegravere relation par rapport agrave il vient

d2 + D =Glt

eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire avec un second membre constant dontla solution srsquoeacutecrit

D() = Glt

2 + cos( minus 0)

crsquoest-agrave-dire

1 + 4 cos( minus 0)avec

Glt4 ge 0

On reconnaicirct lrsquoeacutequation polaire A () drsquoune conique de paramegravetres

axe de symeacutetrie

4 gt 1

4 lt 1 bullFoyer

FIGURE 75 ndash Les diffeacuterentes trajectoireskeacutepleacuteriennes en fonction de lrsquoexcentriciteacute4 On peut noter que les trajectoires secoupent lorsque minus 0 =

c2 dans ce cas

et 4 dont lrsquoorigine O est lrsquoun des foyers et dont lrsquoaxe focal est ladroite = 0 (cf compleacutement sur les coniques page 161) La trajectoireest donc une conique de foyer le centre drsquoattraction et dont la formedeacutepend des conditions initiales puisque et 4 en deacutependent Suivantla valeur de 4 on aura des eacutetats lieacutes (lrsquoellipse pour 4 lt 1) ou des eacutetatsde diffusion (la parabole pour 4 = 1 ou lrsquohyperbole pour 4 gt 1) Lesplanegravetes confineacutees autour du Soleil deacutecrivent ainsi une ellipse defoyer le centre du Soleil

On peut noter que lrsquoeacutequation (710) ne permet pas drsquoavoir lrsquoeacutequationhoraire de lrsquoastre Il faudrait pour cela connaicirctre lrsquoeacutevolution de lrsquoangle au cours du temps Cependant la loi des aires curren = A2 se met sousla forme curren = 5 () ndash eacutequation diffeacuterentielle ordinaire du premier ordre ndashqursquoil est toujours possible de reacutesoudre par une approche numeacuterique

Troisiegraveme loi de Keacutepler

La troisiegraveme loi est une conseacutequence des deux premiegraveres et ne srsquoap-plique que pour les mouvements elliptiques Tout drsquoabord la loi desaires se traduit par

2=rArr A

ougrave ) est la peacuteriode orbitale et A lrsquoaire de lrsquoellipse Les matheacutematiquesdonnent A= c01 ougrave 0 et 1 sont le grand et le petit-axe de lrsquoellipse Deplus 1 =

radic0 (cf compleacutement sur les coniques page 161) de sorte que

si lrsquoon eacutelegraveve au carreacute la loi des aires on obtient

Or selon la solution geacuteneacuterale (710) = 2Glt drsquoougrave lrsquoon deacuteduit lafameuse formule

)2 =Glt

4c2 hearts (711)

En drsquoautres termes le rapport 03)2 est identique pour toutes lesplanegravetes du systegraveme solaire comme lrsquoavait constateacute Kepler La contri-bution de Newton est de relier cette loi agrave la constante de gravitationuniverselle et la masse du Soleil

Deacutetermination de la masse du Soleil ndash La troisiegraveme loi de Kepler relie unedistance un temps et une masse Il est donc possible de laquo peser raquo un astre enmesurant une distance et un temps On peut ainsi laquo peser raquo le Soleil agrave partirde la peacuteriode orbitale de la Terre

) = 1 an = 365 26 jours solaires

et du demi grand-axe de lrsquoorbite terrestre (qursquoil est possible de deacuteterminerpar une mesure de parallaxe) 0 = 149 6106 km La troisiegraveme loi donne donc

lt = 4c2 (149 6106)3

6 6710minus11 times (365 26 times 24 times 3600)2= 2 01030 kg

Remarque Lrsquoeacutetude de la trajectoire des satellites artificiels a permis de me-surer via la troisiegraveme loi de Kepler la constante GltT = 398600 44 km3sminus2

avec ltT masse de la Terre[8][8] RIES et al (1992) ldquoProgress inthe determination of the gravitationalcoefficient of the Earthrdquo

Cependant on ne connaicirct ni G ni ltT avecune telle preacutecision

Eacutenergie

Allons au delagrave des lois de Kepler et montrons que lrsquoeacutenergie meacutecaniquesrsquoexprime simplement en fonction du grand-axe de la conique

Reprenons les expressions de A et de currenA (par souci de simplification on

choisit lrsquoaxe OG de faccedilon agrave ce que 0 = 0)

1 + 4 cos

currenA = minusdDd

=4 sin

pour les substituer dans lrsquoeacutenergie meacutecanique Il vient alors

Em =12lt currenA2 + lt

2A2 minusGltlt

=12lt2

[(1 + 4 cos )2

2 + 42 sin2

]minus Gltlt(1 + 4 cos )

Em =lt2

(1 + 42 + 24 cos

)minus Gltlt(1 + 4 cos )

Or 2 = Glt drsquoougrave

Em = minusGltlt2

(1 minus 42

)(712)

On peut alors distinguer trois cas

1 Pour une hyperbole 4 gt 1 et Em gt 0 Les eacutetats ne sont pas lieacutes etle corps srsquoeacuteloigne indeacutefiniment du centre drsquoattraction avec uneeacutenergie cineacutetique non nulle lorsque A rarrinfin Le grand axe drsquounehyperbole vaut 0 = (42 minus 1) drsquoougrave

Em =Gltlt

20[hyperbole]

2 Pour une parabole 4 = 1 et Em = 0 ce qui signifie que le corpsva srsquoeacuteloigner du centre avec une vitesse qui tend vers 0 lorsqueA rarrinfin

3 Pour une ellipse 4 lt 1 et Em lt 0 le corps est lieacute agrave lrsquoastre centralconformeacutement agrave la Figure 74 Pour une ellipse le grand axe vaut0 = (1 minus 42) ce qui donne

Em = minusGltlt20

[ellipse]

On pourra retenir que dans le cadre du problegraveme de Kepler lrsquoeacutenergiemeacutecanique drsquoune planegravete en orbite autour drsquoune eacutetoile de masse ltvaut

Em = minusGltlt20

hearts (713)

Exercice ndash En 1843 une comegravete est passeacutee extrecircmement pregraves du Soleilpuisque son peacuteriheacutelie (peacutericentre autour du Soleil) se situait agrave 3p =

5 5310minus3 ua En consideacuterant que son orbite est parabolique calculerla vitesse Emax de la comegravete au peacuteriheacutelie On donne la vitesse de la Terre D = 30 kmsminus1Reacutep Emax = D

radic2

3p0 = 570 kmsminus1

Vitesses cosmiques

Supposons que lrsquoon veuille envoyer un satellite S de masse lt en orbiteautour de la Terre Pour cela on utilise un lanceur qui dans une phasepropulsive donne lrsquoeacutenergie suffisante au satellite Lorsque le satellitese deacutetache du lanceur agrave la hauteur ℎ il entre dans la phase balistiqueavec une certaine vitesse E et une eacutenergie Em Si lrsquoon assimile la Terre agraveun astre agrave symeacutetrie spheacuterique de masse ltT et de rayon T on a5555 Lrsquoaltitude ℎ est suffisamment basse

pour avoir ℎ et suffisamment hautepour neacutegliger les frottements dus agrave uneatmosphegravere tregraves rareacutefieacutee Em =

12ltE2 minus GltltT

T + ℎ 1

2ltE2 minus GltltT

Deux cas limites se preacutesentent

Em ge 0 la trajectoire nrsquoest pas lieacutee et le satellite srsquoeacuteloigne indeacutefinimentde la Terre5656 Plus exactement elle quitte lrsquoattrac-

tion de la Terre pour rejoindre la laquo sphegraveredrsquoinfluence raquo drsquoun autre astre

Dans ce cas on a

E ge Elib =radic

26T asymp 11 kmsminus1

Ce qui deacutefinit la vitesse de libeacuteration Elib

Em lt 0 la trajectoire est une ellipse de foyer le centre de la Terre Poureacuteviter une collision avec la terre le peacuterigeacutee de lrsquoorbite doit se situeragrave une distance Amin = 0(1 minus 4) gt T Il faut donc communiquer uneeacutenergie

Em = minusGltltT

20gt minusGltltT

2T(1 minus 4)

Dans le cas drsquoune orbite circulaire - cas ougrave lrsquoeacutenergie minimale est laplus faible - on a

Em gt minusGltltT

Condition qui traduit en termes de vitesse donne

E ge Esat =radic6T asymp 8 kmsminus1

ce qui deacutefinit la vitesse de satellisation Esat

Notez que ces vitesses ne deacutependent pas de la masse Elles concernentaussi bien les astres que les moleacutecules

Exercice ndash On admet qursquoun corps de masse agit comme un trou noirsi la vitesse de libeacuteration agrave sa surface deacutepasse la vitesse de la lumiegraveredans le vide Montrer que cela se produit lorsque le rayon de lrsquoastre estinfeacuterieur agrave un certain rayon critique 2 appeleacute rayon de Schwarzschildque lrsquoon calculera pour la Terre On donne G= 6 6710minus11 m3s2kgminus1 et) = 6 01024 kgReacutep Pour la Terre on trouve lt 2GT

22 = 9 mm

TABLE 71 ndash Quelques eacuteleacutements drsquoorbitesdes principales planegravetes du systegraveme so-laire

Planegravete grand-axe 0 [ua] 4

Mercure 0387 02056Veacutenus 0723 00068Terre 1000 00167Mars 1524 00934Jupiter 5203 00485Saturne 9555 00555Uranus 19218 00463Neptune 30110 00090

Application lrsquoeacutechappement de Jeans ndash Ce pheacutenomegravene est agrave lrsquoorigine delrsquoeacutevaporation thermique des atmosphegraveres planeacutetaires En effet dans uneatmosphegravere agrave la tempeacuterature ) les particules ont une vitesse moyenne delrsquoordre de

radic3)

ougrave est la masse molaire de la moleacutecule et la constante de gaz parfaitsCette vitesse est en geacuteneacuteral infeacuterieure agrave la vitesse de libeacuteration Elib de laplanegravete Cependant la probabiliteacute de trouver une moleacutecule ayant une vi-tesse E gt Elib augmente avec la tempeacuterature Ces moleacutecules rapides sontdonc susceptibles de quitter lrsquoatmosphegravere agrave condition de ne pas rencontrerdrsquoobstacle sur leur chemin qui risquerait de les ramener vers la planegraveteCrsquoest preacuteciseacutement ce qui se produit en haute atmosphegravere (exosphegravere) ougrave latempeacuterature est eacuteleveacutee et les collisions rares Ainsi les moleacutecules les plusleacutegegraveres (Eth prop 1

radic) quittent lrsquoatmosphegravere ceci agrave un rythme drsquoautant plus

important que la graviteacute est faible et que la tempeacuterature est forteCe pheacutenomegravene est par exemple la cause de la pauvreteacute en hydrogegravene desplanegravetes telluriques (Mars Terre Veacutenus) Le composeacute le plus abondantde lrsquounivers H2 bien que produit continuellement par le volcanisme nrsquoestqursquoun composeacute mineur de ces planegravetes Il est aussi agrave lrsquoorigine de la disparitioncomplegravete de lrsquoatmosphegravere sur Mercure et sur la Lune

Eacutequation horaire

Le problegraveme de Kepler nrsquoest pas complegravetement reacutesolu au sens ougrave nousnrsquoavons trouveacute que lrsquoensemble des trajectoires Il nous reste agrave preacuteciserle mouvement de M le long de cette trajectoire crsquoest-agrave-dire agrave trouverla relation entre et le temps C Il est commode de fixer lrsquoorigine destemps lorsque M se situe au peacutericentre ( (0) = 0)

Dans la cas drsquoune orbite fermeacutee de peacuteriode ) on deacutefinit la vitesseangulaire moyenne

l =2c)

relieacutee agrave la loi de Kepler par l203 = Glt

Cas du cercle

Lorsque lrsquoorbite est circulaire de rayon A0 nous avons montreacute queM deacutecrit lrsquoorbite agrave une vitesse angulaire constante curren = l Ainsi lemouvement de lrsquoastre est reacutegi par lrsquoeacutequation horaire

A = A0

= lC + 0

Cas des faibles excentriciteacutes

Comme le montre la Table 71 les planegravetes du systegraveme solaire ontune trajectoire elliptique de faible excentriciteacute On peut dans ce casapprocher lrsquoeacutequation horaire par un deacuteveloppement drsquoordre 1 en 4Pour trouver la relation (C) il faut reacutesoudre lrsquoeacutequation diffeacuterentielledu premier ordre

A2 curren = avec A =

1 + 4 cos et =

ougrave on a pris soin de choisir lrsquoaxe OG de faccedilon agrave avoir 0 = 0 Lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle se reacutesout par la meacutethode de seacuteparation des variables int

(1 + 4 cos prime)2d prime = C (714)

Inteacutegrale que lrsquoon approche agrave lrsquoaide drsquoun deacuteveloppement limiteacute agravelrsquoordre 1 de lrsquointeacutegrant

(1 + 4 cos prime)minus2 1 minus 24 cos prime drsquoougrave 2 ( minus 24 sin ) C

De plus

2 = Glt = l203 =

(1 minus 42)3

Finalement en neacutegligeant 42 devant 1 on trouve 2 l et lrsquoeacutequa-tion horaire srsquoeacutecrit

minus 24 sin = lC (715)

Ainsi le mouvement des planegravetes du systegraveme solaire peut ecirctre deacutecritpar le systegraveme drsquoeacutequations

1 + 4 cos minus 24 sin = lC

On peut poursuivre le deacuteveloppement agrave lrsquoordre 1 en 4 en remarquantque = 24 sin +lC et donc que

24 sin = 24 sin(24 sin +lC) = 24 sin(24 sin ) cos(lC) +24 sin(lC) cos(24 sin )

Si lrsquoon ne garde que les termes drsquoordre 1 on trouve

24 sin = 24 sin(lC)

En conclusion si lrsquoon neacuteglige les termes drsquoordre supeacuterieur ou eacutegal agravedeux on trouve

1 + 4 cos = lC + 24 sin(lC)

Cas elliptique

Sans se restreindre aux petites excentriciteacutes on peut obtenir lrsquoeacutequationhoraire au prix de deacuteveloppements assez calculatoires On obtient

1 + 4 cos

tan 2 =

radic1 + 41 minus 4 tan 2

minus 4 sin = lC

La variable deacutesigne ici lrsquoanomalie excentrique Elle se confond avec lorsque 4 rarr 0 Pour obtenir la position du corps agrave chaque instant ilest neacutecessaire de reacutesoudre lrsquoeacutequation transcendante minus 4 sin = lC cequi peut ecirctre reacutealiseacute gracircce agrave une meacutethode numeacuterique

73 Interaction coulombienne 91

Cas parabolique

Analysons le cas drsquoun astre sur une orbite parabolique arrivant aupeacutericentre agrave la vitesse Emax Dans le cas 4 = 1 et lrsquoeacutequation (714)donne int

(1 + cos prime)2d prime =

4 cos4 prime2d prime = C

Il est facile de veacuterifier que la primitive de 1cos4 G est tan G + 13 tan3 G

drsquoougrave tan 2 + 1

3tan3 2 = 2

Lorsque M atteint le peacutericentre il se trouve agrave une distance minimumAmin = A ( = 0) = 2 avec une vitesse maximum minusrarrE max orthogonal auvecteur position drsquoougrave

= AminEmax =Emax

Finalement lrsquoeacutequation horaire drsquoune orbite parabolique de paramegravetre srsquoeacutecrit

1 + cos

tan 2 + 13

tan3 2 =Emax

73 Interaction coulombienne

On se place maintenant dans le cas ougrave une charge ponctuelle fixe 1

interagit avec une charge mobile 2 via une force centrale attractive oureacutepulsive selon le signe du produit des charges

minusrarr5 =

4cn0A2minusrarrDA

Cas attractif

Consideacuterons dans un premier temps le cas ou les deux charges sontopposeacutees Par exemple le problegraveme de lrsquoeacutelectron lieacute eacutelectriquement agraveun proton 1836 fois plus lourd et donc quasiment fixe peut ecirctre unpoint de deacutepart pour modeacuteliser lrsquoatome drsquohydrogegravene si lrsquoon acceptede le deacutecrire dans un cadre newtonien57 57 Rigoureusement la physique de

lrsquoatome drsquohydrogegravene et des autres eacuteleacute-ments de la classification peacuteriodique re-legraveve de la meacutecanique quantique

Il est clair que le problegraveme matheacutematique est formellement identiqueau problegraveme de Kepler il suffit simplement drsquoopeacuterer le changementsuivant

minusGltltharr12

La particule de charge 2 deacutecrit donc une conique dont un des foyerscoiumlncide avec la charge 1 et dont lrsquoeacutequation est donneacutee par

= minus4cn0lt2

124 ge 0

Cprimeh

bullFoyer

FIGURE 76 ndash Trajectoire hyperboliquedans le cas drsquoune force newtonienne reacute-pulsive

et lrsquoeacutenergie vaut

Em =12

(1 minus 42

Cas reacutepulsif

Placcedilons nous dans le cas ougrave les deux charges sont de mecircme signe 12 gt 0 Lrsquoeacutenergie potentielle effective

Ep eff =lt2

2A2 +12

eacutetant une fonction monotone deacutecroissante montre que les eacutetats lieacutessont impossibles la particule chargeacutee apregraves une eacuteventuelle approchedu centre reacutepulsif va neacutecessairement srsquoen eacuteloigner deacutefinitivement Enreprenant la deacutemarche utiliseacutee pour le problegraveme de Kepler on trouveque la solution geacuteneacuterale srsquoeacutecrit

4 cos( minus 0) minus 1avec

=4cn0lt

124 gt 1

Ici A gt 0 implique 4 gt 1 la trajectoire est donc une branche drsquohyper-bole de paramegravetres drsquoexcentriciteacute 4 et de foyer le centre reacutepulsif = 0 correspond agrave lrsquoaxe focal de la branche drsquohyperbole Si lrsquoon fixelrsquoorigine des angles de telle sorte que 0 = 0 on a

4 cos minus 1

La diffeacuterence essentielle par rapport au cas drsquoun potentiel newtonienattractif est que le point mateacuteriel deacutecrit une branche drsquohyperbole quine contourne pas le centre reacutepulsif

Ainsi une particule chargeacutee drsquoeacutenergie cineacutetique initiale Ec lanceacutee endirection drsquoune charge fixe va subir une deacuteflexion5858 On parle de diffusion de Ruther-

forddu fait de la

reacutepulsion La trajectoire de la particule subit une deacuteviation angulaireΘdev qursquoil est possible drsquoexprimer en fonction de Ec des charges eninteraction et du demi-petit axe 1 que lrsquoon appelle ici le paramegravetredrsquoimpact Tout drsquoabord lrsquoangle Θdev est lieacute agrave lrsquoangle plusmn1 que font lesasymptotes On a

Θdev = c minus 21 =rArr tan 1 =1

tan(Θdev2)

Or on sait (cf compleacutement page 161) que tan 1 =radic42 minus 1 Par ailleurs

la constante des aires vaut

= |minusrarrA and minusrarrE |Ararrinfin = 1 Einfin =rArr =4cn0lt 1

2E2infin

Enfin = 0(42 minus 1) et 1 = 0radic42 minus 1 de telle sorte que

tan 1 =

4cn0lt 1 E2infin

La loi de diffusion de Rutherford est donc donneacutee par

tanΘdev2 =12

8cn0Ec1(716)

Les particules sont drsquoautant plus diffuseacutees que le paramegravetre drsquoimpactest faible Lorsque 1 = 0 la particule arrive de faccedilon frontale et perdtoute son eacutenergie cineacutetique jusqursquoagrave atteindre la distance minimaledrsquoapproche 3min puis rebrousse chemin lrsquoeacutenergie potentielle eacutetantconvertie en eacutenergie cineacutetique On a alors ce que lrsquoon appelle unereacutetrodiffusion La distance minimale drsquoapproche est donneacutee par lrsquoeacutegaliteacuteentre lrsquoeacutenergie cineacutetique initiale et lrsquoeacutenergie potentielle en ce point

Ec =12

4cn03min=rArr 3min =

4cn0Ec

Lrsquoexpeacuterience de Geiger et Marsden ndash En 1911 Hans Geiger et Ernest Mars-den sous la direction de Ernst Rutherford bombardent une mince couchedrsquoor ( = 79) avec un faisceau de particules alpha (noyaux 4

2He2+) puis re-pegraverent la direction des particules U diffuseacutes agrave lrsquoaide drsquoun eacutecran de sulfure dezinc (ZnS) La feuille drsquoor doit ecirctre assez mince drsquoune part pour eacuteviter lesdiffusions multiples et drsquoautre part pour que le ralentissement du faisceausoit neacutegligeable Le faisceau de noyaux U est produit gracircce agrave une sourceradioactive (rappelons que la deacutecouverte de la radioactiviteacute par H Becquereldate de 1896) et possegravede une eacutenergie cineacutetique Ec = 5 Mev ce qui donne unedistance minimale drsquoapproche

3min =242

4cn0Ec= 4510minus15 m

Or agrave lrsquoeacutepoque le modegravele atomique qui preacutevaut dans la communauteacute scienti-fique est le modegravele de Thomson lrsquoatome serait une boule de charge positivedans laquelle seraient confineacutes les eacutelectrons Dans ce cas les calculs montrentque lrsquoeacutenergie du faisceau U est trop grande pour observer une reacutetrodiffusioncrsquoest pourquoi lrsquoeacutequipe de Rutherford srsquoattend agrave observer une faible diffu-sion de lrsquoordre de celle que donne le calcul quand on remplace 1 par la taillede lrsquoatome (Θdev sim 1100deg) Agrave la grande surprise un nombre important departicules fortement diffuseacutees est observeacute ce qui montre que le noyau estconfineacute au centre de lrsquoatome Les mesures permettent drsquoestimer la taille dece noyau de lrsquoordre de 10 fm En drsquoautres termes cette expeacuterience montrela structure composite et lacunaire de lrsquoatome 999999999999 de lrsquoespaceest vide

REacuteFEacuteRENTIELS NONGALILEacuteENS 8

81 Reacutefeacuterentiels en translation 95Position du problegraveme 95Lois de composition 96Notion de force drsquoinertie 97

82 Reacutefeacuterentiels en rotation 98Vecteur rotation 98Formule de deacuterivation 99Lois de composition 100Force centrifuge 101Force drsquoinertie de Coriolis 102

83 Geacuteneacuteralisation 102Composition des vitesses 103

Composition des acceacuteleacutera-tions 103

Relativiteacute galileacuteenne 103Dynamique non galileacuteenne 105

Pour une certaine eacutechelle drsquoobservation et un certain niveau de preacuteci-sion il existe des reacutefeacuterentiels dont le caractegravere galileacuteen est veacuterifieacute Enrevanche ces reacutefeacuterentiels ne correspondent pas toujours aux reacutefeacuteren-tiels dans lesquels on effectue les mesures drsquoougrave la question leacutegitime comment les lois de la meacutecanique srsquoexpriment dans de tels reacutefeacuterentiels Apregraves avoir eacutetabli les relations qui permettent de changer de reacutefeacuterentielnous verrons qursquoil faut introduire de nouvelles forces lorsque lrsquoon veutdeacutecrire des pheacutenomegravenes meacutecaniques dans un reacutefeacuterentiel non galileacuteen la force drsquoinertie drsquoentraicircnement et la force drsquoinertie de Coriolis

referentiels-non-inertielsphp

81 Reacutefeacuterentiels en translation

Position du problegraveme

Consideacuterons deux reacutefeacuterentiels R et Rprime munis respectivement des sys-tegravemes drsquoaxes (OminusrarrD1minusrarrD2minusrarrD3) et (OrsquominusrarrD1

primeminusrarrD2primeminusrarrD3

prime) Par deacutefinition Rprime est entranslation par rapport agrave R si du point de vue drsquoun observateur lieacuteagrave R les axes de Rprime conservent la mecircme direction et le mecircme sens aucours du temps Matheacutematiquement cela signifie qursquoagrave tout instant

dminusrarrD primedC

=minusrarr0 avec isin 1 2 3

ougrave lrsquoindice R indique que la deacuteriveacutee est calculeacutee par un observateurlieacute agrave R

Ici le mouvement de Rprime par rapport agrave R est entiegraverement deacutetermineacutepar celui du point Orsquo On deacutefinit la vitesse et lrsquoacceacuteleacuteration de Rprime

par minusrarrE RprimeR =

minusrarrE OrsquoR et minusrarr0 RprimeR =minusrarr0 OrsquoR

Si Orsquo deacutecrit une droite on dit que le reacutefeacuterentiel Rprime est en translationrectiligne comme crsquoest le cas pour un reacutefeacuterentiel lieacute agrave un ascenseur Si Orsquodeacutecrit un cercle on parle de translation circulaire Crsquoest ce mouvementque lrsquoon observe lors des fecirctes foraines ougrave lrsquoon rencontre freacutequemmentune grande roue constitueacutee de nacelles en translation circulaire parrapport au reacutefeacuterentiel terrestre De maniegravere geacuteneacuterale si Orsquo deacutecrit unecourbe quelconque on parle de translation curviligne Posons nousdeux questions

96 8 REacuteFEacuteRENTIELS NON GALILEacuteENS

FIGURE 81 ndash Exemples de mouvementde translation

Orsquo

Rprime

Orsquo

Rprime

Translation rectiligne

Orsquo

RprimeOrsquo

Rprime

Translation circulaire

1 Un corps en mouvement nrsquoest pas deacutecrit de la mecircme maniegravere parun observateur suivant qursquoil est lieacute agrave R ou agrave Rprime Degraves lors quellessont les relations qui permettent de passer drsquoune observation agraveune autre

2 Si les lois de la meacutecanique sont valides dans R le sont-ellesencore dans Rprime

Composition des vitesses et des acceacuteleacuterations

Un point mateacuteriel M en mouvement dans R est deacutecrit par son vecteurposition minusrarrA = minusminusminusrarrOM fonction du temps C Dans Rprime on deacutefinit le vecteurposition minusrarrA prime = minusminusminusrarrOrsquoM fonction du temps C prime La relation de passage deRprimerarr R est donneacutee par

C = C prime

minusrarrA =minusminusminusrarrOOrsquo + minusrarrA prime

Un observateur lieacute agrave R mesure une vitesse appeleacutee parfois vitesseabsolue

minusrarrE MR =dminusrarrAdC

De la mecircme faccedilon un observateur lieacute agrave Rprime mesure une vitesse appeleacuteearbitrairement vitesse relative

minusrarrE MRprime =dminusrarrA primedC prime

Rprime

ougrave C prime est le temps dans Rprime

Deacuterivons minusrarrA par rapport au temps C dans le reacutefeacuterentiel R

dminusrarrAdC

=dminusrarrA primedC

+ dminusminusminusrarrOOrsquodC

+ minusrarrE RprimeR

Or si lrsquoon note G prime Hprime et Iprime les composantes du vecteur minusrarrA prime dans la base(minusrarrD1primeminusrarrD2

primeminusrarrD3prime) on a

dminusrarrA primedC

=dG prime

dCminusrarrD1prime + dHprime

dCminusrarrD2prime + dIprime

dCminusrarrD3prime + G prime dminusrarrD1

+ Hprime dminusrarrD2prime

+ Iprime dminusrarrD3prime

81 Reacutefeacuterentiels en translation 97

Mais puisque Rprime est en translation par rapport agrave R les trois dernierstermes sont nuls Par ailleurs compte tenu que dG primedC = dG primedC prime onpeut eacutecrire

dminusrarrA primedC

=dG prime

dC primeminusrarrD1prime + dHprime

dC primeminusrarrD2prime + dIprime

dC primeminusrarrD3prime = minusrarrE MRprime

Le terme de droite srsquoidentifie alors avec la vitesse mesureacutee dans lereacutefeacuterentiel Rprime Finalement on trouve la loi de composition suivante

minusrarrE MR =minusrarrE MRprime + minusrarrE RprimeR hearts (82)

La vitesse vue dans R est la somme vectorielle de la vitesse vue dansRprime et de la vitesse de translation de Rprime par rapport agrave R

Poursuivons notre raisonnement et cherchons la relation entre lesacceacuteleacuterations mesureacutees dans R et Rprime Pour cela deacuterivons par rapportagrave C lrsquoeacutequation (82)

minusrarr0MR =dminusrarrE MR

=dminusrarrE MRprime

+ minusrarr0 RprimeR

Pour les mecircmes raisons que preacuteceacutedemment le terme dminusrarrE MRprimedCR

srsquoidentifie avec lrsquoacceacuteleacuteration relative dminusrarrE MRprimedC primeRprime de sorte que

minusrarr0MR =minusrarr0MRprime + minusrarr0 RprimeR hearts (83)

Agrave lrsquoinstar de la vitesse lrsquoacceacuteleacuteration vue dans R est la somme vecto-rielle de lrsquoacceacuteleacuteration vue dans Rprime et de lrsquoacceacuteleacuteration de translationde Rprime par rapport agrave R

Notion de force drsquoinertie

Supposons maintenant que le reacutefeacuterentiel R soit galileacuteen Un pointmateacuteriel M de masse lt soumis agrave une reacutesultante des forces

minusrarr est donc

reacutegi par lrsquoeacutequation du mouvement

ltminusrarr0MR =minusrarr

Qursquoen est-il dans Rprime Tout drsquoabord en meacutecanique newtonienne lamasse est une grandeur invariante par changement de reacutefeacuterentiel ltprime = lt De plus les lois drsquointeraction ne deacutependent que des positionset des vitesses relatives entre le point M et lrsquoenvironnement mateacuteriel ilest alors leacutegitime de postuler lrsquoinvariance de la force par changementde reacutefeacuterentiel

minusrarr prime =

minusrarr Enfin si le reacutefeacuterentiel Rprime est en translation par

rapport agrave R en vertu de (83) on a

minusrarr0MR =minusrarr0MRprime + minusrarr0 RprimeR =

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

ltprimeminusrarr0MRprime =minusrarr prime minusltprimeminusrarr0 RprimeR (ltprime = lt et

minusrarr prime =

minusrarr )

Orsquo

RprimeC

FIGURE 83 ndash Reacutefeacuterentiel en rotation parrapport agrave un axe fixe

Tout se passe comme si lrsquoon pouvait appliquer la relation fondamentalede la dynamique dans Rprime agrave condition drsquoajouter un terme suppleacutemen-taire dans le bilan des forces

minusrarr5i = minusltminusrarr0 RprimeR [translation] hearts (84)

Cette grandeur homogegravene agrave une force est appeleacutee force drsquoinertie Onpeut noter qursquoelle ne deacutepend que du mouvement de Rprime par rapport agraveR et de la masse inerte du point M drsquoougrave son nom Quand le reacutefeacuterentielRprime acceacutelegravere tout se passe comme si le point mateacuteriel subissait une forcesuppleacutementaire opposeacutee agrave lrsquoacceacuteleacuteration

Exemple freinage drsquoun veacutehicule ndash Imaginons la situation du conducteurdrsquoun veacutehicule qui roule sur une route horizontale Brusquement le conduc-teur freine Le reacutefeacuterentiel lieacute agrave lrsquohabitacle est donc en translation rectiligneacceacuteleacutereacute lrsquoacceacuteleacuteration eacutetant opposeacutee agrave la vitesse Dans ce reacutefeacuterentiel leconducteur ressent une force drsquoinertie qui le propulse vers lrsquoavant Si ccedilaceinture de seacutecuriteacute est attacheacutee elle le maintient fixe dans lrsquohabitacle enexerccedilant une tension opposeacutee agrave cette force drsquoinertie

bullminusrarr0

minusrarr5i

FIGURE 82 ndash Le veacutehicule freine Le passager se sent projeteacute vers lrsquoavant

En revanche si le reacutefeacuterentiel Rprime est en translation rectiligne uniformeon a

minusrarr0 RprimeR =minusrarr0 donc ltprimeminusrarr0MRprime =

minusrarr prime

La relation fondamentale de la dynamique est alors valide dans Rprime cequi confegravere agrave Rprime le statut de reacutefeacuterentiel galileacuteen Drsquoores et deacutejagrave on peutretenir que tout reacutefeacuterentiel en translation uniforme par rapport agrave unreacutefeacuterentiel galileacuteen est lui aussi galileacuteen

82 Reacutefeacuterentiels en rotation uniforme autourdrsquoun axe fixe

Vecteur rotation

Supposons maintenant que le reacutefeacuterentiel Rprime ait son origine Orsquo fixe parrapport agrave R mais qursquoen revanche ses axes tournent autour drsquoun axefixe Δ agrave une vitesse angulaire l constante Dans ce cas on caracteacuterisela rotation du reacutefeacuterentiel tournant agrave lrsquoaide du vecteur rotation minusrarr8 dontla direction est donneacutee par celle de lrsquoaxe de rotation la norme parla vitesse angulaire l et le sens par la regravegle du tire-bouchon fairetourner un tire-bouchon autour de lrsquoaxe de rotation le fait deacuteplacerdans le sens rechercheacute

Illustrons cette notion sur lrsquoexemple de la figure ci-contre Ici Rprime esten rotation par rapport agrave R autour drsquoun axe fixe Δ orienteacute suivant minusrarrD3

82 Reacutefeacuterentiels en rotation 99

agrave la vitesse angulaire l On posera donc

minusrarrl = lminusrarrD3

Placcedilons les points A B et C aux extreacutemiteacutes des vecteurs minusrarrD1prime minusrarrD2

prime etminusrarrD3prime Un observateur lieacute agrave R constate que les points A et B deacutecrivent

un cercle de rayon uniteacute et de centre Orsquo agrave la vitesse l tandis que lepoint C reste immobile Compte tenu des reacutesultats sur le mouvementcirculaire on a

dminusrarrD1prime

=minusrarrE AR = 1 timeslminusrarrD2

prime = minusrarrl and minusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

=minusrarrE BR = minus1 timeslminusrarrD1

dminusrarrD3prime

=minusrarrE CR =

minusrarr0 =minusrarrl and minusrarrD3

ce qui se met sous la forme

dminusrarrD primedC

=minusrarrl and minusrarrD prime avec isin 1 2 3 hearts (85)

Cette relation est en fait une deacutefinition geacuteneacuterale du vecteur rotationque lrsquoon admettra Notons qursquoun observateur lieacute agrave Rprime voit le reacutefeacuterentielR tourner agrave la mecircme vitesse angulaire mais dans le sens opposeacute desorte que lrsquoon a

minusrarrlRRprime = minusminusrarrlRprimeR

Formule de deacuterivation vectorielle

En conseacutequence la variation temporelle drsquoune grandeur vectorielledeacutepend du reacutefeacuterentiel En effet consideacuterons un observateur lieacute au reacutefeacute-rentiel Rprime observant les variations drsquoune grandeur

minusrarr (C prime) et cherchons

agrave calculer ce que verrait un observateur lieacute agrave R Appelons 1 2 et 3

les composantes du vecteurminusrarr dans la base (minusrarrD1

prime)

minusrarr = 1

minusrarrD1prime + 2

minusrarrD3prime

Les variations temporelles vues dans R et Rprime srsquoeacutecrivent

dminusrarr

dCminusrarrD1prime + d2

dCminusrarrD3prime + 1

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

dminusrarr

dC prime

Rprime

dC primeminusrarrD1prime + d2

dC primeminusrarrD3prime

Drsquoapregraves la relation (85) et puisque C prime = C en meacutecanique newtonienneon trouve

dminusrarr

=dminusrarr

dC prime

Rprime

+ minusrarrl and minusrarr hearts (86)

axe(Δ)

minusrarrl

Orsquo

minusrarrA prime

A primeperp

A prime

minusrarrl and minusrarrA prime

FIGURE 84 ndash Vitesse drsquoentraicircnement

Cette formule de deacuterivation vectorielle traduit le fait que par exemplesi un vecteur est fixe dans R alors il ne lrsquoest plus dans Rprime degraves lors quele reacutefeacuterentiel tourne autour drsquoun axe non colineacuteaire agrave ce vecteur Finale-ment crsquoest preacuteciseacutement parce que la direction drsquoun vecteur deacutepend dureacutefeacuterentiel que sa variation temporelle est relative agrave un reacutefeacuterentiel

La relation de passage (81) et la formule de deacuterivation vectorielledonnent

=dminusrarrA primedC prime

Rprime+ minusrarrl and minusrarrA prime

Le premier terme est le vecteur vitesse relative minusrarrE MRprime Le dernier termequant agrave lui ne deacutepend que de la distance entre le point M et lrsquoaxe derotation En effet on peut deacutecomposer minusrarrA prime en composantes parallegraveleet perpendiculaire agrave lrsquoaxe minusrarrA prime = minusrarrA primeperp + minusrarrA prime Puisque minusrarrl and minusrarrA prime =

minusrarr0 on

trouveminusrarrE MR =

minusrarrE MRprime + minusrarrl and minusrarrA primeperp hearts (87)

Le terme minusrarrl and minusrarrA primeperp repreacutesente la vitesse du point M srsquoil eacutetait entraicircneacutepar la rotation de Rprime On parle alors de vitesse drsquoentraicircnement

Poursuivons en deacuterivant agrave nouveau par rapport au temps6060 On rappelle que

ddC(minusrarr0 and minusrarr1 ) = dminusrarr0

dCand minusrarr1 + minusrarr0 and d

minusrarr1

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

+minusrarrl andminusrarrE MRprime +dminusrarrldC

andminusrarrA prime+minusrarrl and(minusrarrE MRprime + minusrarrl and minusrarrA prime

)ce qui donne

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

+ 2minusrarrl and minusrarrE MRprime +dminusrarrldC

and minusrarrA prime + minusrarrl and(minusrarrl and minusrarrA prime)

La rotation eacutetant uniforme autour drsquoun axe fixe dminusrarrldC = minusrarr0 Parailleurs si lrsquoon utilise la deacutecomposition minusrarrA prime = minusrarrA primeperp + minusrarrA prime et lrsquoidentiteacuteminusrarr0 and (minusrarr1 and minusrarr2 ) = (minusrarr0 middot minusrarr2 )minusrarr1 minus (minusrarr0 middot minusrarr1 )minusrarr2 on obtient

minusrarrl and(minusrarrl and minusrarrA prime) =

minusrarrl and(minusrarrl and minusrarrA primeperp)

(minusrarrl middot minusrarrA primeperp) minusrarrl minusl2minusrarrA primeperpminusrarrl and

(minusrarrl and minusrarrA prime) = minusl2minusrarrA primeperp

Finalement lrsquoacceacuteleacuteration mesureacute dans R srsquoeacutecrit en fonction de cellemesureacutee dans Rprime via la relation

minusrarr0MR =minusrarr0MRprime minusl2minusrarrA primeperp + 2minusrarrl and minusrarrE MRprime hearts (88)

Force centrifuge

Admettons que le reacutefeacuterentiel R soit galileacuteen et eacutetudions le mouvementdrsquoun point mateacuteriel M dans le reacutefeacuterentiel Rprime Soumis agrave une force

minusrarr

son eacutequation du mouvement dans R est donneacutee par

Compte tenu de la loi (88) et de lrsquoinvariance de la masse et de la forceon a

ltprimeminusrarr0MRprime = ltminusrarr0MRprime =

minusrarr prime +ltl2minusrarrA primeperp minus 2ltminusrarrl and minusrarrE MRprime

Tout se passe comme si vu de Rprime le point M subissait en plus deminusrarr prime =

minusrarr une force drsquoinertie

minusrarr5i = ltl

2minusrarrA primeperp minus 2ltminusrarrl and minusrarrE MRprime (89)

Lorsque le point M est immobile dans Rprime cette force drsquoinertie sereacutesume agrave

minusrarr5ie = ltl

2minusrarrA primeperp hearts (810)

Parce qursquoelle tend agrave eacutecarter la matiegravere de lrsquoaxe de rotation elle est diteforce centrifuge61 61 Le terme axi-fuge serait plus correct Notez que son intensiteacute varie comme le carreacute de lafreacutequence de rotation

Exemple veacutehicule dans un virage ndash Imaginons qursquoun veacutehicule deacutecrive unvirage circulaire horizontal de rayon agrave la vitesse E constante Le passagerlieacute agrave son siegravege par sa ceinture de seacutecuriteacute est fixe dans le reacutefeacuterentiel tournantque repreacutesente la voiture Ainsi en plus des actions de contact (tensionde la ceinture et reacuteaction du siegravege) et de pesanteur il faut ajouter la forcecentrifuge qui srsquoeacutecrit

584 = ltl2 A primeperp = ltl

2 = ltE2

Cette force est compenseacutee par les forces de contact (frottement du siegravege ettension de la ceinture)

Rprime

minusrarrl

A primeperp

minusrarrE

centre du virageminusrarr5ie

FIGURE 85 ndash Le veacutehicule tourne Le passager se sent deacuteporteacute vers lrsquoexteacuterieur duvirage

Enfin cette force drsquoinertie a la particulariteacute drsquoecirctre conservative puisquele travail qursquoelle produit le long drsquoun deacuteplacement infiniteacutesimal srsquoeacutecritcomme une diffeacuterentielle totale exacte

X =minusrarr5ie middotminusrarrdℓ = ltl2A primeperp dA primeperp = minusdEp

ce qui donne une eacutenergie potentielle centrifuge

Ep = minus12ltl2A primeperp

2 hearts (811)

Force drsquoinertie de Coriolis

Le deuxiegraveme terme qui intervient dans lrsquoexpression (89) est la forcede Coriolis6262 Gaspard-Gustave Coriolis (1792-

1843) Matheacutematicien et ingeacutenieur fran-ccedilais (Polytechnicien) qui a contribueacute agravelaquo deacutepoussieacuterer raquo lrsquoenseignement de la meacute-canique geacuteneacuterale En 1835 il publie Surles eacutequations du mouvement relatif des sys-tegravemes de corps ouvrage dans lequel il in-troduit la force qui portera son nom

minusrarr5ic = minus2ltminusrarrl and minusrarrE MRprime hearts (812)

Cette force est lieacutee au mouvement relatif du point M et agrave la rotation dureacutefeacuterentiel tournant Notez qursquoelle est toujours orthogonale agrave la vitesseet ne travaille donc pas Elle peut courber la trajectoire mais ne peutpas faire varier lrsquoeacutenergie cineacutetique

Exemple force de Coriolis sur un plateau tournant ndash

minusrarrl

(a) Vue de profil

minusrarr5ic

(b) Vue de dessus

Imaginons un plateau sur lequel on a fixeacute en peacuteripheacuterie deux robinets dia-meacutetralement opposeacutes Lorsque lrsquoon ouvre les robinets chacun envoie un jetdrsquoeau en direction de lrsquoaxe du plateau Si le plateau est immobile (par rapportagrave la Terre consideacutereacute galileacuteen) les deux jets se croisent Mettons maintenanten rotation le plateau puis ouvrons agrave nouveau les robinets On observe alorsque non seulement les jets ne se croisent plus mais ils srsquoeacutecartent dans unedirection qui deacutefie lrsquointuition Si lrsquoon analyse le mouvement du jet dansle reacutefeacuterentiel tournant on srsquoaperccediloit que crsquoest la force de Coriolis qui estresponsable de la deacuteviation vers la droite En effet un eacuteleacutement de fluide demasse lt subit deux forces drsquoinertie

mdash une force centrifuge qui eacutetant centrifuge ne peut pas expliquer ladeacuteviation observeacutee a

mdash une force de Coriolisminusrarr5ic = minus2ltminusrarrl and minusrarrE MRprime qui est perpendiculaire au

plan formeacute par minusrarrl et minusrarrE MRprime Cette force est orienteacutee vers la droite cequi explique la deacuteviation observeacutee

a En revanche elle explique que la forme du jet nrsquoest plus parabolique

83 Geacuteneacuteralisation

Les lois que lrsquoon vient drsquoeacutetablir se geacuteneacuteralisent Nous donnons ici lesreacutesultats sans deacutemonstration

83 Geacuteneacuteralisation 103

De maniegravere geacuteneacuterale le mouvement drsquoun reacutefeacuterentiel par rapport agrave unautre est la composition drsquoune translation et drsquoune rotation Ce mou-vement est alors complegravetement deacutetermineacute par la vitesse de lrsquoorigineque nous notons minusrarrE RprimeR et par le vecteur rotation instantaneacute minusrarrl deacutefinipar

dminusrarrD primedC

Remarque le vecteur rotation peut varier en norme (rotation fixe avecune vitesse angulaire variable) mais aussi en direction (lrsquoaxe nrsquoest alorsplus fixe)

Loi de composition des vitesses

La loi de composition des vitesses fait apparaicirctre deux termes lavitesse relative et la vitesse drsquoentraicircnement Le mouvement relatifcomme on lrsquoa deacutejagrave expliqueacute repreacutesente le mouvement de M vu par unobservateur lieacute agrave Rprime La vitesse relative srsquoeacutecrit donc

minusrarrEr (M) = minusrarrE MRprime

Le mouvement drsquoentraicircnement quant agrave lui correspond au mouvementdans R drsquoun point fictif M fixe dans Rprime et qui coiumlncide avec M agravelrsquoinstant C ougrave lrsquoon fait lrsquoobservation Ainsi par deacutefinition la vitessedrsquoentraicircnement minusrarrEe (M) srsquoeacutecrit

minusrarrEe (M) = minusrarrE MR

Dans tous les cas la loi de composition des vitesses prend la formesimple suivante

minusrarrE MR =minusrarrEr (M) + minusrarrEe (M) hearts (814)

Loi de composition des acceacuteleacuterations

Contrairement agrave la vitesse lrsquoacceacuteleacuteration vue dans R preacutesente troistermes lrsquoacceacuteleacuteration relative minusrarr0r (M) = minusrarr0MRprime lrsquoacceacuteleacuteration drsquoen-traicircnement63 63 Attention en geacuteneacuteral minusrarr0e (M) ne

dminusrarrEe (M)dC

minusrarr0e (M) = minusrarr0MR et lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis minusrarr0c (M) =2minusrarrl and minusrarrEr (M) On a la loi

minusrarr0MR =minusrarr0r (M) + minusrarr0e (M) + 2minusrarrl and minusrarrEr (M) hearts (815)

Principe de relativiteacute galileacuteenne

Supposons un point mateacuteriel M isoleacute dans un reacutefeacuterentiel R consideacutereacutegalileacuteen et cherchons agrave quelle(s) condition(s) le reacutefeacuterentiel Rprime preacutesenteun caractegravere galileacuteen crsquoest-agrave-dire respecte le principe drsquoinertie

En vertu de la loi de composition des acceacuteleacuterations on a

minusrarr0MR =minusrarr0MRprime + minusrarr0e (M) + 2minusrarrl and minusrarrEr (M)

Or le point M eacutetant isoleacute il vient minusrarr0MR =minusrarr0 Si lrsquoon veut que le

reacutefeacuterentiel Rprime soit eacutegalement galileacuteen il faut minusrarr0MRprime =minusrarr0 en vertu du

principe drsquoinertie soit

2minusrarrl and minusrarrEr (M) + minusrarr0e (M) =minusrarr0 forallminusrarrEr (M)

relation qui implique deux conditions

1 Drsquoune part minusrarrl =minusrarr0 Rprime est neacutecessairement en translation par

rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen

2 Drsquoautre part minusrarrE RprimeR =minusminusrarrCte car minusrarr0e (M) = minusrarr0 RprimeR Le reacutefeacuterentiel est

en translation uniforme

Principe de Relativiteacute

Tout reacutefeacuterentiel en translation uniforme par rapport agrave un reacutefeacuterentielgalileacuteen est galileacuteen Les lois de la meacutecanique dans ces reacutefeacuterentielssont les mecircmes et il est impossible de les distinguer par une expeacute-rience de meacutecanique Il nrsquoexiste donc pas de reacutefeacuterentiel absolu quipermettrait de faire la diffeacuterence entre un reacutefeacuterentiel au repos et unreacutefeacuterentiel en translation uniforme

Notez que le caractegravere galileacuteen drsquoun reacutefeacuterentiel est lieacute agrave la validiteacute duprincipe drsquoinertie Le critegravere de validiteacute deacutepend donc de la preacutecisionque lrsquoon exige Crsquoest pourquoi les reacutefeacuterentiels consideacutereacutes galileacuteens lesont dans un cadre approximatif agrave preacuteciser Citons-en quelques unscouramment utiliseacutes

FIGURE 86 ndash Le reacutefeacuterentiel geacuteocentriqueest en translation elliptique par rapportau reacutefeacuterentiel de Copernic Lrsquoexcentriciteacutede lrsquoorbite terrestre a eacuteteacute exageacutereacutee sur lescheacutema

Soleil

reacutefeacuterentiel de Copernic R2

reacutefeacuterentiel geacuteocentrique R6

bull Eacutequinoxe de Printemps

bullSolstice drsquoEacuteteacute

bull Eacutequinoxe drsquoAutomne

bull Solstice drsquoHiver

bull Peacuterigeacute (4 Janvier)

Reacutefeacuterentiel de Copernic il srsquoagit drsquoun reacutefeacuterentiel lieacute au centre drsquoiner-tie du systegraveme solaire et dont les axes pointent vers trois eacutetoilesdites laquo fixes raquo Il est utiliseacute en tant que reacutefeacuterentiel galileacuteen lorsquelrsquoon considegravere des expeacuteriences terrestres laquo longues raquo ougrave la rota-tion de la Terre autour du Soleil ne peut ecirctre neacutegligeacutee Rigou-reusement ce reacutefeacuterentiel nrsquoest pas galileacuteen car le Soleil est en

mouvement dans notre galaxie la Voie Lacteacutee Il deacutecrit une orbitecirculaire de rayon 30000 al autour du noyau galactique enune peacuteriode )S = 250106 anneacutees On peut donc se contenter dureacutefeacuterentiel de Copernic comme reacutefeacuterentiel galileacuteen tant que la du-reacutee de lrsquoexpeacuterience est tregraves faible devant )S Concregravetement cettederniegravere condition est toujours veacuterifieacutee pour des expeacuterienceshumaines

Reacutefeacuterentiel geacuteocentrique reacutefeacuterentiel lieacute au centre de la Terre et dontles axes conservent la mecircme orientation par rapport au reacutefeacuteren-tiel de Copernic Il est donc en translation quasi circulaire parrapport au reacutefeacuterentiel de Copernic On peut le consideacuterer commegalileacuteen sur des expeacuteriences terrestres laquo peu longues raquo (une jour-neacutee maximum) car dans ce cas le mouvement du centre dela Terre est alors assimilable agrave une trajectoire quasi rectiligneuniforme

Reacutefeacuterentiel terrestre reacutefeacuterentiel lieacute agrave la surface de la Terre et dont lesaxes pointent traditionnellement vers le Sud lrsquoEst et le ZeacutenithPar rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique ce reacutefeacuterentiel est en ro-tation (l = 2c)0 = 7 310minus5 radsminus1 avec )0 = 23h 56min 04s)autour de lrsquoaxe des pocircles Bien que rigoureusement non galileacuteence reacutefeacuterentiel est souvent traiteacute comme tel car les effets de larotation terrestre sont souvent neacutegligeables dans les expeacuteriencescourantes

Lois de la dynamique en reacutefeacuterentiel non galileacuteen

Reprenons le raisonnement du Section 81 dans le cas geacuteneacuteral si lereacutefeacuterentiel R est galileacuteen un point mateacuteriel M de masse lt soumis agraveune reacutesultante des forces

minusrarr est reacutegi par lrsquoeacutequation du mouvement

Dans un reacutefeacuterentiel Rprime acceacuteleacutereacute compte tenu de lrsquoinvariance de lamasse et de la force on a

minusrarr0MR =minusrarr0MRprime + minusrarr0e (M) + minusrarr0c (M) =

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

ltprimeminusrarr0MRprime =minusrarr prime + minusrarr5ie +

minusrarr5ic avec

minusrarr5ie = minusltminusrarr0e (M)minusrarr5ic = minusltminusrarr0c (M) = minus2ltminusrarrl and minusrarrEA (M)

hearts

(816)Finalement dans un reacutefeacuterentiel non galileacuteen tout se passe commesi la relation fondamentale de la dynamique eacutetait valide agrave conditiondrsquoajouter dans le bilan des forces deux forces fictives la force drsquoinertiedrsquoentraicircnement

minusrarr584 et la force drsquoinertie de Coriolis

minusrarr5ic Ces deux forces

drsquoinertie eacutetant lieacutees au mouvement de Rprime par rapport agrave un reacutefeacuteren-tiel galileacuteen R ils apportent des renseignements sur le caractegravere nongalileacuteen de Rprime

En conclusion une expeacuterience de meacutecanique ne permet pas de faire ladiffeacuterence entre deux reacutefeacuterentiels galileacuteens En revanche elle permetde diffeacuterentier un reacutefeacuterentiel galileacuteen drsquoun reacutefeacuterentiel non galileacuteen

Rlowast

minusrarr521

minusrarr512

FIGURE 91 ndash Systegraveme agrave deux corps

PROBLEgraveME Agrave DEUX CORPS 991 Reacuteduction du problegraveme agrave deuxcorps 107

Mobile reacuteduit 107Point de vue eacutenergeacutetique 109

92 Exemples drsquoapplication 110Problegraveme de Keacutepler 110Deacutetection des exoplanegravetes 112Vibrations moleacuteculaires 114

Le problegraveme agrave deux corps deacutesigne la situation ou un systegraveme meacuteca-nique peut se ramener agrave deux corps ponctuels en interaction et isoleacute delrsquoexteacuterieur Crsquoest par exemple la situation rencontreacutee dans les systegravemesplanegravete-eacutetoile On montrera que lrsquoeacutetude de ce problegraveme se reacuteduit agravecelle drsquoun corps soumis agrave une force centrale

femto-physiquefrmecaniqueprobleme-a-deux-corpsphp

91 Reacuteduction du problegraveme agrave deux corps

Mobile reacuteduit et masse reacuteduite

Consideacuterons un systegraveme meacutecanique S formeacute de deux points mateacuterielsM1 et M2 de masse respective lt1 et lt2 On eacutetudie la dynamique dece systegraveme dans un reacutefeacuterentiel R galileacuteen et lrsquoon note minusrarrA1 =

minusminusminusrarrOM1 et

minusrarrA2 =minusminusminusrarrOM2 les vecteurs positions Nous allons montrer que lorsque

le systegraveme est isoleacute le problegraveme se deacutecouple en deux mouvementsindeacutependants

Supposons donc que les deux corps soient en interaction mutuelle maisisoleacutes de lrsquoexteacuterieur On conserve la notation habituelle

minusrarr512 deacutesigne la

force qursquoexerce le point M1 sur M2 etminusrarr521 celle produite par M2 sur M1

Le principe des actions reacuteciproques postule que ces deux forces sontopposeacutees et coaxiales Par ailleurs en vertu du theacuteoregraveme du centredrsquoinertie on a

(lt1 +lt2)dminusrarrEdC

=minusrarrext =

minusrarr0

Ainsi le centre drsquoinertie G deacutecrit une trajectoire rectiligne uniforme Lereacutefeacuterentiel barycentrique Rlowast est donc en translation rectiligne uniformepar rapport agrave R ce qui lui confegravere un caractegravere galileacuteen Analysonsdonc le mouvement dans le reacutefeacuterentiel barycentrique Rlowast

d2minusminusrarrGM1

dC2=minusrarr521 = minus

minusrarr512

lt2d2minusminusrarrGM2

minusrarr512

108 9 PROBLEgraveME Agrave DEUX CORPS

Si lrsquoon divise chaque eacutequation par la masse et que lrsquoon soustraie lrsquouneagrave lrsquoautre on obtient

lt1lt2

lt1 +lt2

d2minusminusminusminusminusrarrM1M2

dC2=minusrarr512 hearts (91)

ce qui srsquointerpregravete comme lrsquoeacutequation du mouvement drsquoun corps fictifM appeleacute mobile reacuteduit de masse ` de vecteur position minusrarrA = minusminusrarrGM etsoumis agrave une force

minusrarr5 tels que

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr5 avec

lt1lt2

lt1 +lt2

minusrarrA =minusminusminusminusminusrarrM1M2minusrarr

5 =minusrarr512

hearts (92)

La masse ` appeleacutee masse reacuteduite est toujours plus petite que la pluspetite des masses lt1 et lt2 En reacutesumeacute le problegraveme agrave deux corps sedeacutecouple en deux mouvements indeacutependants

1 Le mouvement du centre drsquoinertie qui est un simple mouvementrectiligne uniforme

2 Le mouvement relatif qui correspond au mouvement du mobilereacuteduit M de masse ` soumis agrave une force centrale

minusrarr5 En conseacute-

quence le mouvement relatif est plan et on a conservation dumoment cineacutetique de M (A2 curren = Cte)

Retour sur la chute libre ndash Selon le principe drsquoeacutequivalence la chute libre estdans un reacutefeacuterentiel galileacuteen indeacutependante de la masse du corps en chutelibre Cependant un observateur lieacute agrave un astre faisant lrsquoexpeacuterience de lachute libre et disposant drsquoune preacutecision infinie constatera que la chute libredeacutepend de la masse du corps En effet la chute drsquoun corps de masse lt sur unastre de masse ltA peut se voir comme un problegraveme agrave deux corps et commeon vient de le voir lrsquoastre est acceacuteleacutereacute par le corps en chute libre le rendantainsi non galileacuteen On sait que le mouvement relatif est deacutecrit par le mobilereacuteduit de masse

` =ltltAlt +ltA

dont lrsquoeacutequation du mouvement est

`d2minusrarrAdC2

= ltminusrarr6 =rArr d2minusrarrAdC2

=minusrarr6

(1 + lt

)Lrsquoacceacuteleacuteration du corps en chute libre deacutepend donc du rapport ltltA Bienentendu crsquoest la preacutecision limiteacutee qui rend cet effet non mesurable Lameilleure preacutecision obtenue dans les tours agrave vide eacutetant de lrsquoordre de 10minus12 ilfaudrait faire lrsquoexpeacuterience avec une masse lt gt 10minus12ltA pour rendre cet effetmesurable soit pour une expeacuterience terrestre lt gt 10 milliards de tonnes

Reacutesoudre lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (91) permet drsquoobtenir le mouvementde M2 relativement agrave M1 Quant au mouvement drsquoensemble (celui ducentre drsquoinertie) il suffit de connaicirctre la vitesse du centre drsquoinertie agraveun instant quelconque pour connaicirctre le mouvement drsquoensemble Unefois le mouvement relatif connu il est aiseacute drsquoacceacuteder aux mouvements

91 Reacuteduction du problegraveme agrave deux corps 109

de M1 et M2 dans le reacutefeacuterentiel barycentrique En effet on alt1minusminusrarrGM1 +lt2

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

minusminusrarrGM2 minus

minusminusrarrGM1 =

minusminusminusminusminusrarrM1M2 =

minusminusrarrGM

minusminusrarrGM2 =

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

minusminusrarrGM1 = minus lt2

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

On remarque ainsi que le mouvement de M2 (resp M1) se deacuteduit decelui du mobile reacuteduit par une homotheacutetie de centre G et de rapportlt1(lt1 +lt2) (resp minuslt2(lt1 +lt2))

Point de vue eacutenergeacutetique

On peut retrouver les reacutesultats preacuteceacutedents agrave lrsquoaide drsquoune approcheeacutenergeacutetique En vertu du theacuteoregraveme de Kœnig lrsquoeacutenergie cineacutetique dusystegraveme srsquoeacutecrit

Ec (S) =12(lt1 +lt2)EG

2 + Eclowast

ougrave Eclowast deacutesigne lrsquoeacutenergie cineacutetique barycentrique Ici cette quantiteacute

vautEclowast =

(minusrarrE1 minus minusrarrEG

Or selon la deacutefinition du centre drsquoinertie G on a (lt1 +lt2)minusrarrEG = lt1minusrarrE1 +

lt2minusrarrE2 de sorte que

minusrarrE1 minus minusrarrEG =minusrarrE1 minus

lt1minusrarrE1 +lt2

minusrarrE2

lt1 +lt2=

lt1 +lt2

(minusrarrE1 minus minusrarrE2

)= minus lt2

lt1 +lt2

minusrarrEM

puisque minusrarrE2 minus minusrarrE1 vaut dminusminusminusminusminusrarrM1M2dC soit la vitesse du mobile reacuteduit M En

proceacutedant de la mecircme faccedilon on trouve

minusrarrE2 minus minusrarrEG =lt1

lt1 +lt2

minusrarrEM

Lrsquoeacutenergie cineacutetique drsquoun systegraveme agrave deux corps srsquoeacutecrit donc

lt1 +lt2

+ 12lt2

lt1 +lt2

Finalement on trouve

2 + 12`EM

2 hearts (93)

Le travail des forces qui agissent sur le systegraveme se reacutesume au travaildes forces internes puisque le systegraveme est isoleacute On a donc

= int =

minusrarr512 middot d

minusminusminusminusrarrOM2 +

minusminusminusminusrarrOM1

ougrave i et f deacutesignent les eacutetats initial et final Sachant que les forces internessont opposeacutees on trouve

minusrarr5 middot dminusrarrA

Le travail des forces qui agissent sur un systegraveme agrave deux corps cor-respond au travail deacutepenseacute par la force qui agit sur le mobile reacuteduitM

Appliquons maintenant le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique

(12(lt1 +lt2)EG

2 + 12`EM

et nrsquooublions pas que le centre drsquoinertie se deacuteplace agrave une vitesse minusrarrEG

constante de sorte que le theacuteoregraveme preacuteceacutedent prend la forme

(12`EM

minusrarr5 middot dminusrarrA hearts (94)

Il srsquoagit de lrsquoeacutequation du mouvement du mobile reacuteduit eacutecrit sousforme eacutenergeacutetique On retrouve donc le fait que le mouvement relatif

(minusrarrA = minusminusminusminusminusrarrM1M2) se reacuteduit agrave celui du mobile reacuteduit

Remarque Si la force centraleminusrarr5 deacuterive drsquoune eacutenergie potentielle Ep

le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique aboutit agrave la conservation de lrsquoeacutenergiemeacutecanique suivante

2 + Ep = Cte

92 Exemples drsquoapplication

Retour sur le problegraveme de Keacutepler

Dans le chapitre sur les forces centrales nous avons introduit le pro-blegraveme de Kepler en consideacuterant le mouvement drsquoun astre (appelonsle M2) autour drsquoun astre fixe (M1) En reacutealiteacute les deux astres sonten mouvement autour de leur centre drsquoinertie et lrsquoon ne peut neacutegli-ger le mouvement de M1 que si lt1 lt2 Or ce qui se justifie pourle systegraveme Terre-Soleil (lt1lt2 3105) ou le systegraveme Terre-Satellite(lt1lt2 1021) ne se justifie pas neacutecessairement pour un systegravemedrsquoeacutetoiles doubles ougrave les masses sont comparables Le problegraveme deKepler est en fait un problegraveme agrave deux corps Voyons donc quellesmodifications il faut apporter aux reacutesultats du Chapitre 7

En premier lieu le mobile reacuteduit est reacutegi par lrsquoeacutequation

lt1lt2

lt1 +lt2

d2minusrarrAdC2

= minusGlt1lt2minusrarrA

A3 =rArr d2minusrarrAdC2

= minusG(lt1 +lt2)minusrarrAA3 (95)

On obtient la mecircme eacutequation que celle traiteacutee dans le Chapitre 7 agraveune nuance pregraves la masse lt1 est remplaceacutee par lt1 +lt2 En drsquoautrestermes pour le mouvement relatif de M2 par rapport agrave M1 il suffit dereprendre les reacutesultats du Chapitre 7 et de proceacuteder agrave la substitutionsuivante

lt1 minusrarr lt1 +lt2

92 Exemples drsquoapplication 111

Nous savons donc que la solution est une conique de foyer G et drsquoeacutequa-tion

G(lt1 +lt2)4 ge 0

hearts (96)

ougrave lrsquoexcentriciteacute 4 et la constante des aires sont deacutetermineacutees par lesconditions initiales Les mouvements de M1 et M2 se deacuteduisent parlrsquohomotheacutetie deacutecrite au Section 91 Par exemple si dans Rlowast le mobilereacuteduit deacutecrit une ellipse drsquoexcentriciteacute 4 et de grand-axe 0 alors M1

et M2 deacutecrivent des ellipses homotheacutetiques de mecircme excentriciteacute (cfFigure 92)

Rlowast

M1bullG

01 =lt2

lt1 +lt20

02 =lt1

lt1 +lt20

FIGURE 92 ndash Trajectoires de deux corpsen interaction newtonienne dans le reacutefeacute-rentiel barycentrique Ici lt1 = 2lt2 Latrajectoire du mobile reacuteduit est traceacutee enpointilleacutee

Quant agrave la troisiegraveme loi de Kepler 03)2 = Glt14c2 elle devient

)2 =G(lt1 +lt2)

4c2 hearts (97)

Ainsi le rapport du cube du demi-grand axe et du carreacute de la peacuteriodede reacutevolution nous renseigne sur la masse totale du systegraveme

Terminons par les relations eacutenergeacutetiques Dans le reacutefeacuterentiel barycen-trique la conservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique srsquoeacutecrit

2 minus Glt1lt2

lowast

Or le mouvement relatif eacutetant plan on deacutecrit M dans le systegraveme decoordonneacutees polaires (A ) et lrsquoon a minusrarrEM = currenA minusrarrDA + A curren minusrarrD ainsi que A2 curren = par conservation du moment cineacutetique On obtient alors

12` currenA2 + 1

A2 minusGlt1lt2

lowast

Consideacuterons le cas ougrave les deux corps sont lieacutes par gravitation de sorteque leur trajectoire est elliptique Dans ce cas le mobile reacuteduit deacutecriteacutegalement une ellipse de demi-grand axe 0 Lorsque ce mobile atteintson apocentre ou son peacutericentre on a currenA = 0 et la conservation delrsquoeacutenergie srsquoeacutecrit

A2 + Glt1lt2

Emlowast A minus `2

2Emlowast = 0

eacutequation du second degreacute qui admet deux solutions A+ et Aminus dontla somme A+ + Aminus vaut minusGlt1lt2Em

lowast Sachant que A+ + Aminus = 20 onobtient

Emlowast = minusGlt1lt2

20Autrement dit on retrouve le mecircme formule que celle du Chapitre 7 agravececi pregraves qursquoil ne srsquoagit pas de lrsquoeacutenergie meacutecanique du corps M2 maisde lrsquoeacutenergie meacutecanique barycentrique du systegraveme des deux corps Onpeut montrer qursquoon retrouve les mecircmes formules eacutegalement dans lecas drsquoune trajectoire parabolique et hyperbolique On retiendra doncle reacutesultat suivant

Emlowast =

minusGlt1lt2

20dans le cas drsquoune ellipse

+Glt1lt2

20dans le cas drsquoune hyperbole

0 dans le cas drsquoune parabole

hearts (98)

Deacutetection des exoplanegravetes par mesure de vitesse radiale

En lrsquoespace de 20 ans plus de 3 000 planegravetes extrasolaires6565 crsquoest-agrave-dire des planegravetes gravitant au-tour drsquoune autre eacutetoile que le Soleil Onemploi eacutegalement le terme exoplanegravetes

ont eacuteteacutedeacutecouvertes Toutes lrsquoont eacuteteacute de faccedilon indirecte Il faut savoir que lrsquoob-servation directe drsquoune planegravete extra-solaire preacutesente deux difficulteacutesmajeures

1 Drsquoune part la lumiegravere eacutemise par la planegravete est complegravetementmasqueacutee par la luminositeacute de son eacutetoile66

66 Par exemple Jupiter brille 1 milliardde fois moins que le Soleil dans le visibleet 100 000 fois moins dans lrsquoinfrarouge

2 Drsquoautre part le pouvoir de reacutesolution des teacutelescopes ne permetpas de reacutesoudre le diamegravetre angulaire du couple planegravete-eacutetoile

Il y a essentiellement deux techniques utiliseacutees lrsquoune utilisant lamesure photomeacutetrique lrsquoautre la mesure de la vitesse radiale stellaireAgrave lrsquoheure actuelle (sept 2015) 30 des exoplanegravetes ont eacuteteacute deacutecouvertespar cette derniegravere meacutethode Deacutecrivons en le principe

En observant le spectre drsquoune eacutetoile avec un spectromegravetre de tregravesgrande preacutecision on est capable drsquoobserver par effet Doppler67

67 cf httpsfemto-physiquefr

optiquedopplerphp lesoscillations6868 On mesure des variations de lrsquoordre

de 10 msminus1 ce qui compareacute aux vitessescosmiques est extrecircmement faible Onvoit donc que cette meacutethode exige untregraves bon rapport signalbruit

de sa vitesse projeteacutee sur la ligne de viseacutee dite vitesseradiale En effet lrsquoeacutetoile et sa planegravete tournent autour du centre drsquoinertiedu systegraveme planegravete-eacutetoile de sorte que la vitesse radiale oscille avecavec une peacuteriode ) correspondant agrave la peacuteriode orbitale de la planegravete

FIGURE 93 ndash Le mouvement orbitaldrsquoune planegravete induit une variation peacute-riodique de la vitesse de lrsquoeacutetoile selon laligne de viseacutee ligne de viseacutee

EbullGP bull

Elowast =2c0lowast)

0lowast

Prenons lrsquoexemple de la premiegravere exoplanegravete deacutecouverte en 1995 etsitueacutee agrave 51 al dans la constellation de Peacutegase Admettons ndashce qui est

FIGURE 94 ndash Eacutevolution de la vitesse ra-diale de lrsquoeacutetoile 51Pegasi mettant en eacutevi-dence la premiegravere exoplanegravete deacutecouverteen 1995 par lrsquoeacutequipe de Michel Mayor etDidier Queloz (Prix Nobel 2019)

le casndash que son orbite est quasi circulaire De la courbe de vitesse (cfFigure 94) il est alors possible de deacuteduire diffeacuterents paramegravetres

mdash Les oscillations de la vitesse permettent de penser qursquoil existeune planegravete de masse lt qui tourne autour de lrsquoeacutetoile agrave la distance0 La peacuteriode drsquooscillation correspond agrave la peacuteriode orbitale de laplanegravete On trouve ici ) = 4 233 jours

mdash Le demi-grand axe de lrsquoorbite planeacutetaire 0 est obtenu via latroisiegraveme loi de Kepler

)2 =G(lt +lt)

4c2 Glt

4c2 car lt lt

Connaissant la masse de lrsquoeacutetoile agrave partir de sa luminositeacute (modegravelestellaire) il est alors aiseacute de deacuteduire le demi-grand axe 0 delrsquoorbite planeacutetaire Ici lrsquoeacutetoile 51Pegasi preacutesente une masse lt =1 06 drsquoougrave 0 = 0 052 ua soit 78 millions de km

mdash La masse de la planegravete est deacuteduite de lrsquoamplitude de variationde la vitesse En effet lrsquoeacutetoile deacutecrit une orbite circulaire autourde G de rayon

lt +lt0 lt

Ainsi la vitesse projeteacutee dans la ligne de viseacutee oscille entre Emax

et minusEmax avec

Emax =2c0)

ce qui permet de deacuteduire la masse de la planegravete Ici lrsquoamplitudede vitesse vaut Emax = 56 83 msminus1 drsquoougrave

lt= 4 210minus4 =rArr lt = 8 41026 kg

soit environ la moitieacute de la masse de Jupiter

Plusieurs ingreacutedients viennent cependant compliquer lrsquoanalyse de lacourbe de vitesse Tout drsquoabord la trajectoire nrsquoest pas neacutecessairementcirculaire plus souvent elle preacutesente une excentriciteacute qursquoil srsquoagit dedeacuteterminer Dans ce cas la courbe nrsquoest plus sinusoiumldale On peutmontrer que la vitesse radiale eacutevolue au cours du temps suivant laloi

EA (C) = [2gtB( + 0) + 4 cos 0] avec minus 24 sin =2c)(C minus C)

expression dans laquelle 0 repreacutesente la longitude du peacutericentre et C le temps de passage au peacutericentre Lrsquoajustement des donneacutees agrave cette loipermet drsquoextraire 5 paramegravetres lrsquoamplitude de vitesse la peacuteriode ) lrsquoinstant C lrsquoexcentriciteacute 4 et lrsquoargument 0 Agrave partir de lrsquoamplitude ilest alors possible de deacuteduire la masse de la planegravete On peut montrerque pour de petites excentriciteacute (42 neacutegligeable devant 1) la relation(99) reste valide

Une autre complication vient du fait que la ligne de viseacutee nrsquoest pasforceacutement contenue dans le plan de lrsquoorbite Agrave priori on ignore lrsquoin-clinaison 8 que forme le plan de lrsquoorbite avec la voute ceacuteleste (plan

4 = 0 4 = 0 2 et 0 = 0 4 = 0 2 et 0 = 45 4 = 0 2 et 0 = 90

FIGURE 95 ndash Diffeacuterents types de courbe de vitesse en fonction de lrsquoexcentriciteacute et la direction drsquoobservation

minus0

eacutecart agrave lrsquoeacutequilibre G

FIGURE 96 ndash Potentiels de Morse

perpendiculaire agrave la ligne de viseacutee) Il faut alors remplacer dans lescalculs lt2 par lt2 sin 8 de sorte que lrsquoon ne peut deacuteterminer que leproduit lt2 sin 8 Ceci dit cela permet drsquoavoir une borne infeacuterieure dela masse de la planegravete puisque lt2 ge lt2 sin 8

Enfin il se peut eacutegalement que plusieurs planegravetes gravitent autour delrsquoeacutetoile Dans ce cas la mise en eacutevidence nrsquoest pas toujours aiseacutee et faitappel a des techniques plus ou moins sophistiqueacutees

Vibrations moleacuteculaires diatomiques

Consideacuterons une moleacutecule diatomique AndashB isoleacutee ougrave A et B repreacute-sentent deux atomes consideacutereacutes ponctuels de masse ltA et ltB NotonsminusrarrA le vecteur

minusminusrarrAB Bien que la description des eacutedifices moleacuteculaires

relegravevent de la meacutecanique quantique adoptons le point de vue duchapitre 5 en traitant lrsquointeraction inter-atomique de faccedilon pheacutenomeacute-nologique via le potentiel de Morse

Ep = 0

)ougrave 0 deacutesigne lrsquoeacutenergie de dissociation de la moleacutecule et G = A minus Aeq

lrsquoeacutecart agrave lrsquoeacutequilibre Le profil de ce potentiel preacutesente un minimum enG = 0 comme illustreacute sur la figure ci-contre

On sait que le mouvement relatif de B par rapport agrave A se reacuteduit au mou-vement du mobile reacuteduit M de masse ` = ltAltB(ltA +ltB) soumis agravela force central

minusrarr5 = minusmEpmG minusrarrDA

`dminusrarrEM

dC=minusrarr5

On distingue deux cas de figures

La moleacutecule ne tourne pas

Dans ce cas la moleacutecule ne preacutesente pas de moment cineacutetique bary-centrique et lrsquoon peut projeter lrsquoeacutequation du mouvement suivant lrsquoaxefixe de la moleacutecule On obtient

` yenA = ` yenG = minusmEp

Par ailleurs si lrsquoon srsquointeacuteresse aux petits mouvements autour de laposition drsquoeacutequilibre on peut faire lrsquoapproximation

Ep minus0 +12^G2 avec ^ = 200

ce qui donne une eacutequation du mouvement correspondant agrave un oscilla-teur de masse ` et de constante de raideur ^

` yenG + ^G = 0

On peut donc assimiler la liaison moleacuteculaire agrave un oscillateur de freacute-quence propre

radic^

Cette freacutequence se situe dans le domaine infrarouge (a0 sim 1013 minus1014 Hz) et son eacutetude relegraveve de la spectroscopie infrarouge On notelrsquoexistence drsquoeffet isotopiques En effet lorsque que lrsquoon substitue unatome par un autre isotope la constante de force ^ deacutependant desproprieacuteteacutes eacutelectroniques ne change pas alors que la masse reacuteduitevarie

La moleacutecule est en rotation

Dans ce cas la moleacutecule preacutesente un moment cineacutetique barycentriquenon nul et constant On sait alors que le mobile reacuteduit associeacute aumouvement relatif deacutecrit un mouvement plan caracteacuteriseacutee par uneconstante des aires = A2 curren et un moment cineacutetique lowast = ` La forcecentrale eacutetant conservative on a conservation de lrsquoeacutenergie meacutecaniquedans le reacutefeacuterentiel barycentrique

2 + Ep = Emlowast

En coordonneacutees polaires la vitesse du mobile reacuteduit vaut minusrarrEM = currenAminusrarrDA +lowast(` A)minusrarrD ce qui donne

12` currenG2 + lowast2

2` (G + Aeq)2+ Ep (G) = Em

lowast

Ainsi on peut ramener le problegraveme agrave lrsquoeacutetude drsquoun point mateacuterielagrave un degreacute de liberteacute (G) plongeacute dans un champ de force drsquoeacutenergiepotentielle effective

Ep eff =lowast2

2` (G + Aeq)2+ Ep (G)

Enfin si lrsquoon se restreint aux petits mouvements autour de la posi-tion drsquoeacutequilibre on peut drsquoune part approcher Ep (G) par un potentielharmonique drsquoautre part assimiler G + Aeq agrave Aeq

Ep eff lowast2

2` Aeq2 +12^G2 minus 0

On distingue trois termes

mdash lrsquoeacutenergie de liaison minus0

mdash le terme eacutelastique harmonique 12 ^G

2 associeacute aux vibrations moleacute-culaires

mdash le terme drsquoeacutenergie centrifuge lowast2(2` Aeq2) associeacute agrave la rotation

rigide6969 On parle de lrsquoapproximation du ro-tateur rigide

de la moleacutecule

Remarque Dans le cadre de la meacutecanique quantique on peut montrerque le terme eacutelastique donnera lieu agrave une quantification (Evib = (= +12)ℎa) ainsi que le moment cineacutetique lowast2 = ℓ(ℓ + 1) ℎ2 de sorte que lamoleacutecule preacutesente des niveaux drsquoeacutenergie quantifieacutes

E=ℓ = (= + 12)ℎa0 + ℓ(ℓ + 1) ℎ2

2` Aeq2 minus 0 avec (= ) isin N2

Crsquoest ce modegravele qui permet drsquointerpreacuteter les spectres issus de la spectro-scopie infrarouge

bulllt1

minusrarrE1

bulllt2

minusrarrE2

bullltprime1

minusrarrE1prime

bullltprime2 minusrarrE2

Apregraves

FIGURE 101 ndash Collision

PHYSIQUE DES COLLISIONS 10101 Lois de conservation 117

Position du problegraveme 117Grandeurs conserveacutees 118

102 Collisions eacutelastiques 118Deacutefinition 118

Collision unidimension-nelle 119

Collision agrave 3 dimensions 120103 Collisions ineacutelastiques 122

Deacutefinition 122Choc mou 122Coefficient de restitution 123Deacutesinteacutegration 124

Nous abordons dans ce chapitre les processus de collision qui fontintervenir deux particules ou objets macroscopiques Nous verronscomment malgreacute lrsquoabsence drsquoinformation sur lrsquointeraction durant lacollision il nous est possible de deacutecrire complegravetement ou partiellementlrsquoeacutetat du systegraveme apregraves la collision si on le connaicirct avant le choc

femto-physiquefrmecaniquephysique-des-collisionsphp

Il existe des situations dans lesquelles des corps mateacuteriels interagissententre eux seulement lorsqursquoils sont tregraves proches Par ailleurs il arrivesouvent que cette interaction soit difficile agrave expliciter Dans ce cas lepoint de vue le plus simple consiste agrave dire que les particules subissentun choc on suppose alors qursquoils nrsquointeragissent pas avant ni apregraves etque lrsquointeraction se produit sur une dureacutee tregraves courte

Deacutefinition

On dit qursquoil y a collision ou choc entre deux ou plusieurs particulesquand ces objets subissent une interaction mutuelle de courte dureacuteeet de courte porteacutee Le choc est localiseacute dans le temps et lrsquoespace Enregravegle geacuteneacuterale les forces drsquointeraction sont neacutegligeables quand lesparticules sont suffisamment eacuteloigneacutees On peut donc distinguerun laquo avant raquo et un laquo apregraves raquo la collision

Ainsi avant et apregraves la collision les particules se deacuteplacent en lignedroite avec des vitesses uniformes On notera minusrarrE8 la vitesse drsquoune parti-cule avant le choc et minusrarrE8 prime celle apregraves La probleacutematique est la suivante compte tenu de la mesure des vitesses minusrarrE8 peut-on deacuteduire quelquesinformations sur les vitesses minusrarrE8 prime malgreacute lrsquoabsence de deacutetails concernantlrsquointeraction lors du choc Reacuteciproquement quelle information nousapporte la mesure des vitesses finales minusrarrE8 prime

Remarque contrairement agrave lrsquousage courant du terme une collision icinrsquoimplique pas forceacutement qursquoil y ait un impact Ainsi le problegraveme drsquounecomegravete qui passerait au voisinage du Soleil peut ecirctre vu comme unecollision

118 10 PHYSIQUE DES COLLISIONS

Grandeurs conserveacutees

Malgreacute notre connaissance partielle du problegraveme on peut obtenir cer-taines informations gracircce aux lois de conservation etou de symeacutetrieDeacutesignons par S le systegraveme meacutecanique formeacute par lrsquoensemble des parti-cules On considegravere ce systegraveme isoleacute de lrsquoexteacuterieur (

minusrarrext =

minusrarr0 ) Enfin

lrsquoanalyse est effectueacutee dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen

Conservation de la quantiteacute de mouvement du systegraveme

Drsquoapregraves le theacuteoregraveme du centre drsquoinertie on a

dminusrarr S

dC=minusrarrext =

minusrarr0

La quantiteacute de mouvement du systegraveme se conserve donc

minusrarr avantS =

minusrarr apregravesS

hearts (101)

Si les forces drsquointeraction deacuterivent drsquoune eacutenergie potentielle drsquointerac-tion Eint

p alors lrsquoeacutenergie totale du systegraveme srsquoeacutecrit

E= Ec (S) + Eintp (S) +

sumparticules

ougrave Ec (S) repreacutesente lrsquoeacutenergie cineacutetique macroscopique du systegravemeEint

p (S) lrsquoeacutenergie drsquointeraction entre les particules et8 lrsquoeacutenergie internede chaque particule

Le systegraveme eacutetant isoleacute de lrsquoexteacuterieur lrsquoeacutenergie totale se conserve Deplus avant et apregraves le choc on considegravere que les particules nrsquointer-agissent pas entre elles On peut donc eacutecrire si lrsquoon note 1 le nombrede particules avant le choc et 2 celui apregraves le choc

[Ec (S) +

1sum8=1

]avant

[Ec (S) +

2sum8=1

]apregraves

hearts (102)

Dans la suite on se limite aux collisions mobilisant seulement deuxpoints mateacuteriels

102 Collisions eacutelastiques

Deacutefinition

On dit qursquoil y a collision eacutelastique lorsque le nombre de particulesreste constant et que lrsquoeacutenergie interne de chaque particule reste in-changeacutee avant et apregraves le choc En drsquoautres termes les particules ne se

102 Collisions eacutelastiques 119

deacuteforment pas ni ne changent de nature Les lois de conservation sontdonc

lt8 = ltprime8 et minusrarr avant

S =minusrarr apregraves

Set Ec (S)avant = Ec (S)apregraves hearts

(103)Citons quelques exemples

mdash collision entre boules de peacutetanque (boules dures indeacuteformables)

mdash diffusion de Rutherford (diffusion drsquoun noyau 42He2+ par un

noyau positif)

Collision unidimensionnelle

Traitons lrsquoexemple drsquoune collision frontale eacutelastique entre deux corpsassimilables agrave deux points mateacuteriels Notons minusrarrE1 minusrarrE2 les vitesses avantle choc et minusrarrE1

prime minusrarrE2prime les vitesses apregraves le choc On se place dans le cas

ougrave toutes les vitesses sont colineacuteaires Le problegraveme est donc agrave unedimension et preacutesente deux inconnues (E1

prime et E2prime) Ainsi les deux lois

de conservation devraient suffire agrave deacutecrire complegravetement le systegravemeapregraves le choc

bulllt1

minusrarrE1G

bulllt2

minusrarrE2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2

minusrarrE2prime

Apregraves

FIGURE 102 ndash Collision unidirection-nelle

Eacutecrivons les deux relations de conservation (conservation de la quan-titeacute de mouvement et de lrsquoeacutenergie cineacutetique)

lt1E1 +lt2E2 = lt1E1prime +lt2E2

lt1E12 +lt2E2

2 = lt1 (E1prime)2 +lt2 (E2

prime)2

ougrave les vitesses E8 et E8 prime sont des vitesses algeacutebriques Cela donnelt1 (E1

prime minus E1) = lt2 (E2 minus E2prime)

lt1 ((E1prime)2 minus E1

2) = lt2 (E22 minus (E2

prime)2)

En divisant la deuxiegraveme relation par la premiegravere on obtient E1prime + E1 =

E2prime + E2 et par substitution on trouve les vitesses finales en fonction

des vitesses initiales

E1prime =

2lt2E2 + (lt1 minuslt2)E1

lt1 +lt2

E2prime =

(lt2 minuslt1)E2 + 2lt1E1

lt1 +lt2

Notez la symeacutetrie de la solution il y a invariance par eacutechange desindices 1harr 2

FIGURE 103 ndash Pendule de Newton

Inteacuteressons-nous au cas ougrave la cible est immobile Dans ce cas E2 = 0drsquoougrave

E1prime =

(lt1 minuslt2)lt1 +lt2

E2prime =

lt1 +lt2E1

La relation (104) est mise agrave profit enSpectroscopie de Reacutetrodiffusion de Ru-therford (ou RBS pour Rutherford Backs-cattering Spectrometry) Cette techniquedrsquoanalyse utiliseacutee en science des mateacute-riaux consiste agrave envoyer des ions leacutegersmais rapides (des particules alpha 4

2He2+ou des protons en geacuteneacuteral) sur la sur-face drsquoun mateacuteriaux Gracircce agrave lrsquointerac-tion coulombienne les noyaux en sur-face font rebondir agrave 180deg certains noyauxalpha Ce processus srsquoaccompagne drsquouneperte drsquoeacutenergie cineacutetique qui deacutepend desmasses comme le suggegravere la formule(104) La mesure de la perte drsquoeacutenergiepermet donc de deacuteduire la compositionchimique agrave la surface drsquoun mateacuteriau

On note que si la cible est plus lourde que le projectile ce dernierrebondit en changeant de sens (E1

prime lt 0) Dans tous les cas la vitessedu projectile diminue en valeur absolue On peut veacuterifier que lrsquoeacutenergiecineacutetique perdue par le projectile vaut

amp = Eprimec1 minus Ec1 =4lt1lt2

(lt1 +lt2)2Ec1 (104)

Voyons maintenant quelques cas particuliers

1 Si le projectile est beaucoup plus leacuteger que la cible (lt1 lt2 ) ona

Eprime1 minusE1 et Eprime2 0

Il y a rebond avec inversion du sens de la vitesse Ayant unegrande inertie la cible ne bouge pas Crsquoest ce que lrsquoon obtientlorsqursquoon laisse tomber une boule indeacuteformable par terre sur unsol parfaitement rigide

2 Agrave lrsquoinverse si lt1 lt2 on obtient

Eprime1 E1 et Eprime2 2E1

crsquoest ce qui se passe quand on tape dans une balle avec uneraquette par exemple

3 Si projectile et cible ont mecircme masse on obtient

Eprime1 = 0 et Eprime2 = E1

il y a eacutechange des vitesses Crsquoest ce pheacutenomegravene qui est agrave lrsquoori-gine des oscillations du pendule de Newton par exemple (voirFigure 103)

Collision agrave 3 dimensions

Consideacuterons la collision eacutelastique entre un point mateacuteriel de masse lt1

animeacute drsquoune vitesse minusrarrE1 et un point mateacuteriel de masse lt2 initialementau repos

Les lois de conservation donnentlt1minusrarrE1 = lt1

minusrarrE1prime +lt2

minusrarrE2prime

lt1E12 = lt1E1

prime2 +lt2E2prime2

Ce systegraveme preacutesente quatre eacutequations scalaires pour six inconnues (minusrarrE1prime

et minusrarrE2prime) Il reste donc deux paramegravetres indeacutetermineacutes si on se limite aux

lois de conservation Par exemple la premiegravere relation nous dit quele mouvement se fait dans un plan contenant minusrarrE1 Il nous suffit drsquoun

bulllt1

minusrarrE1 bulllt2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2 minusrarrE2

Apregraves

FIGURE 104 ndash Collision entre un projec-tile et une cible fixe

minusrarrE1A

paramegravetre (un angle par exemple) pour fixer ce plan Ensuite si lrsquoonconnait la deacuteviation entre les particules alors les autres paramegravetressont accessibles Notez que seule une eacutetude complegravete faisant intervenirlrsquointeraction permet drsquoacceacuteder agrave toutes les informations

Cas ougrave lt1 = lt2

Cette situation se rencontre par exemple au billard si lrsquoon nrsquooublieles effets produits par la rotation de la bille Le systegraveme drsquoeacutequationspreacuteceacutedent donne minusrarrE1 =

minusrarrE1prime + minusrarrE2

E12 = E1

prime2 + E2prime2

Si on eacutelegraveve la premiegravere eacutequation au carreacute on trouve E12 = E1

prime2 + E2prime2 +

2minusrarrE1prime middot minusrarrE2

prime En la soustrayant agrave la deuxiegraveme on obtient

minusrarrE1prime middot minusrarrE2

prime= 0

Les deux vecteurs vitesses forment un angle droit Autrement dit on a1 minus 2 = c2

Continuons en multipliant la premiegravere relation par minusrarrE1prime

minusrarrE1prime middot minusrarrE1 =

minusrarrE1prime2 + minusrarrE1

prime middot minusrarrE2prime=minusrarrE1prime2

soitE1Eprime1 cos 1 = E

prime21 =rArr Eprime1 = E1 cos 1

De la mecircme faccedilon en multipliant la premiegravere relation par minusrarrE2prime on obtient

Eprime2 = E1 cos 2 En reacutesumeacute on a

Eprime1 = E1 cos 1 et Eprime2 = E1 cos 2 et 1 minus 2 = c2

Par conseacutequent si lrsquoon connait 1 et E1 on peut calculer Eprime1 puis 2 etEprime2 Dans le cas du billard lrsquoangle 1 ne deacutepend que drsquoune grandeur le paramegravetre drsquoimpact 1 On montre que

cos 1 =1

ougrave repreacutesente le rayon des billes En laquo viseacutee pleine bille raquo 1 = 0 et2 = 0 Dans ce cas on obtient Eprime1 = 0 et Eprime2 = E1 on retrouve la collision

directe de deux masses identiques En laquo viseacutee demi-bille raquo 1 = 2drsquoougrave 1 = 60deg 2 = minus30deg Eprime1 = E12 et Eprime2 = E1

radic32 Dans le cas ougrave la

bille frocircle la cible (on parle de laquo viseacutee finesse raquo) on a 1 rarr 2 2 rarr c2et Eprime2 0 la cible est deacutevieacute de 90degpar rapport agrave la ligne de viseacutee avecune vitesse cependant faible

103 Collisions ineacutelastiques

Deacutefinition

On dit qursquoune collision est ineacutelastique lorsqursquoune partie de lrsquoeacutenergie ci-neacutetique initiale du systegraveme srsquoest transformeacutee en drsquoautres formes drsquoeacutener-gie La collision srsquoaccompagne alors drsquoune variation drsquoeacutenergie interneetou drsquoune modification du nombre de particules certaines pouvantecirctre creacuteeacutees par fragmentation ou par eacutequivalence masse-eacutenergie Lesexemples sont nombreux

mdash Lorsqursquoon laisse tomber une boule en pacircte agrave modeler celle-ci nerebondit pas toute lrsquoeacutenergie cineacutetique acquise par la boule avantlrsquoimpact est convertie en eacutenergie interne drsquoougrave une deacuteformationet un eacutechauffement du projectile

mdash Les reacuteactions chimiques sont en fait le reacutesultat drsquoune ou plusieurscollisions ineacutelastiques Par exemple le processus eacuteleacutementaire bi-moleacuteculaire A+B minusrarr C+D est un choc ineacutelastique puisque lesparticules apregraves la collision sont diffeacuterentes des particules avant

mdash Les reacuteactions nucleacuteaires (deacutesinteacutegration fusion et fission) sonteacutegalement des processus ineacutelastiques En geacuteneacuteral ces reacuteactionsdeacutegagent une eacutenergie consideacuterable

Le caractegravere ineacutelastique de la collision est mesureacutee par la quantiteacutedrsquoeacutenergie

amp = Ec (()apregraves minus Ec (()avant =

[ sum8=12

]avant

sum8=11

apregraves

De lrsquoeacutenergie est libeacutereacutee si amp gt 0 et dissipeacutee si amp lt 0

Choc mou

Supposons qursquoune particule de masse lt1 se deacuteplaccedilant agrave la vitesse minusrarrE heurte une cible immobile de masse lt2 puis qursquoelle se lie agrave elle Onparle alors de choc mou Apregraves la collision lrsquoensemble se deacuteplace agrave lavitesse minusrarrE prime Quelle est alors la perte drsquoeacutenergie

Les lois de conservation srsquoeacutecrivent

lt1minusrarrE = (lt1 +lt2)minusrarrE prime et

12lt1E

2 +amp =12(lt1 +lt2)Eprime2

103 Collisions ineacutelastiques 123

minusrarrEG

lt1 +lt2

minusrarrE prime

Apregraves

FIGURE 105 ndash Choc mou

Ainsi minusrarrE prime est colineacuteaire agrave minusrarrE le problegraveme est unidimensionnel Ontrouve

Eprime =lt1

lt1 +lt2E et amp = minus lt1lt2

2(lt1 +lt2)E2

Exercice ndash Retrouver ce dernier reacutesultat en raisonnant dans le reacutefeacuterentielbarycentrique

La proportion drsquoeacutenergie dissipeacutee vaut

|amp |Ec (S)

lt1 +lt2

Autrement dit si lt2 lt1 quasiment toute lrsquoeacutenergie cineacutetique duprojectile est dissipeacutee

Coefficient de restitution

Laissons tomber une balle B sur une surface S rigide on constateqursquoelle rebondit mais la hauteur des rebonds ne cesse de deacutecroicirctre aucours du temps ce qui traduit une dissipation drsquoeacutenergie cineacutetique aumoment de lrsquoimpact En effet lors de lrsquoimpact une partie de lrsquoeacutenergiecineacutetique srsquoest convertie en eacutenergie interne (eacutechauffement et deacutefor-mation) Lrsquoanalyse drsquoun rebond eacutetant tregraves complexe on adopte uneapproche pheacutenomeacutenologique en deacutefinissant un coefficient de restitutionpour exprimer cette perte Ce coefficient noteacute 4 vaut par deacutefinition

apregraves

EBSavant (105)

ougrave laquo avant raquo et laquo apregraves raquo deacutesignent les moments juste avant le choc etjuste apregraves Ce coefficient geacuteneacuteralement compris entre 0 et 1 deacutependde la constitution des corps qui entrent en collision

choc eacutelastique acier-acier balle supereacutelastique bois - bois choc mou4 = 1 095 095 05 0

TABLE 101 ndash Quelques valeurs de coeffi-cients de restitution

Mesure drsquoun coefficient de restitution ndash Lacircchons une balle drsquoune hauteurℎ0 dans le champ de pesanteur 6 La balle arrive au niveau du sol agrave la vitesseE0 =

radic26ℎ0 Juste apregraves le premier choc la balle acquiert une vitesse E1 = 4 E0

Apregraves le ne rebond elle remonte avec une vitesse E= = 4= E0 Or on sait quela dureacutee C= du ne rebond est relieacutee agrave la vitesse drsquoascension via la relationE= =

126C= (notez qursquoun rebond correspond agrave un aller-retour drsquoougrave le facteur

12) Finalement la dureacutee de chaque rebond srsquoeacutecrit C= = 4= C0 Ainsi si lrsquoonporte H = ln C= en fonction de G = = on obtient une droite affine drsquoeacutequationH = 0G + 1 avec un coefficient directeur 0 = ln 4 ce qui permet drsquoobtenir lefacteur de restitution

De maniegravere geacuteneacuterale pour une collision ineacutelastique directe on deacutefinitle coefficient de restitution agrave partir du rapport des vitesses relatives

4 =Eprime2 minus E

prime1

E1 minus E2(106)

Exercice ndash Un point mateacuteriel de masse lt1 animeacute drsquoune vitesse E1 entreen collision avec un point mateacuteriel au repos de masse lt2 Sachant que lacollision est unidimensionnelle et ineacutelastique de coefficient de restitution4 exprimer les vitesses apregraves le chocs

Reacutep E1prime =

lt1 minus 4lt2lt1 +lt2

E1 et E2prime =

lt1 (1 + 4)lt1 +lt2

Deacutesinteacutegration drsquoune particule au repos

Histoire lrsquoinvention du neutrino

Dans les anneacutees 1910 lrsquoeacutetude de laradioactiviteacute Vminus laisse perplexe Cetype de radioactiviteacute se manifestepar la production drsquoeacutelectrons suivantle scheacutema

X minusrarr

+1 X +0minus1 4

Vu le rapport de masse entre lrsquoeacutelec-tron et un nucleacuteon (11836) etdrsquoapregraves la formule (107) on srsquoat-tend agrave ce que les eacutelectrons emportenttoute lrsquoeacutenergie de la reacuteaction Ondoit donc observer des eacutelectrons mo-nocineacutetiques Or en analysant lespectre en eacutenergie de ces eacutelectronson trouve que cette preacutevision est in-compatible avec les faits comme silrsquoeacutenergie nrsquoeacutetait pas conserveacutee Cer-tains physiciens ont bien penseacute re-mettre en cause le principe de conser-vation de lrsquoeacutenergie (Niels Bohr parexemple) mais crsquoest Wolfgang Pauliqui en 1930 eut la lumineuse in-tuition qursquoune particule invisiblepour les deacutetecteurs de lrsquoeacutepoque de-vait emporter une part de lrsquoeacutenergieCette particule devait ecirctre neutre etleacutegegravere initialement baptiseacutee neu-tron par Pauli on lrsquoa finalement ap-peleacutee neutrino Il faudra attendre lrsquoan-neacutee 1956 pour deacutetecter directementcette particule eacuteleacutementaire

Consideacuterons un noyau X au repos qui se deacutesintegravegre spontaneacutement endeux noyaux X1 et X2 de masse lt1 et lt2 Appelons amp lrsquoeacutenergie libeacutereacuteepar la reacuteaction nucleacuteaire Rappelons que dans ces reacuteactions il existeune infime diffeacuterence entre la masse lt du noyau X et celle lt1 + lt2

des produits Cette diffeacuterence Δlt = lt minus (lt1 +lt2) est responsable pareacutequivalence eacutenergie-masse de lrsquoeacutenergie libeacutereacutee amp = Δlt22

Appliquons les lois de conservation

amp = Ec1 + Ec2 et lt1minusrarrE1prime +lt2

minusrarrE2prime=minusrarr0

avec c8 lrsquoeacutenergie cineacutetique des noyaux fils Comme (lt8minusrarrE8prime)2 = 2lt8c8

il vientamp = Ec1 + Ec2 et lt1Ec1 = lt2Ec2

Ec1 =lt2

lt1 +lt2amp et Ec2 =

lt1 +lt2amp (107)

Ainsi la particule la plus leacutegegravere emporte la quasi-totaliteacute de lrsquoeacutenergiede reacuteaction

Exercice ndash Un noyau drsquouranium 238U au repos se deacutesintegravegre en eacutemettantune particule alpha (4

2He2+) et en laissant un noyau reacutesiduel de thorium234Th (lt2 234 uma) Lrsquoeacutenergie produite par cette deacutesinteacutegration vautamp = 4 18 MeV Que vaut lrsquoeacutenergie cineacutetique et la vitesse de la particulealphaReacutep E2 = 411 MeV et E = 141 middot 107 msminus1

EFFETS DUS Agrave LA ROTATIONTERRESTRE 11

111 Effets de la rotation propre 126Hypothegraveses 126Pesanteur terrestre 126Deacuteviation vers lrsquoEst 128Deacuteviation vers la droite 130Le pendule de Foucault 132

112 Effets du mouvement orbi-tal 134

Le reacutefeacuterentiel de Copernic 134Notion de forces de mareacutee 134Mareacutees oceacuteaniques 137Conclusion 139

Pourquoi faire tourner la torche autour de la mouche

Aristarque de Samos (250 av J-C)

La Terre tourne Crsquoest un fait eacutetabli aussi solidement eacutetabli que lrsquoexis-tence des atomes ou la structure en double heacutelice de lrsquoADN Neacutean-moins saviez-vous que la preuve ne nous a eacuteteacute apporteacutee qursquoau XVIIIe

siegravecle

Bien sucircr il y eut la premiegravere eacutetincelle initieacutee par Nicolas Copernicen 1543 Ce chanoine polonais trouvait le systegraveme de Ptoleacutemeacutee etses diffeacuterents rafistolages72 72 Dans ce systegraveme du monde la Terre

est au centre du Cosmos et chaque pla-negravete ainsi que le Soleil tourne autour endeacutecrivant un cercle appeleacute deacutefeacuterent Leseacutetoiles (autre que le Soleil) sont fixeacutees surune sphegravere qui tourne eacutegalement autourde la Terre Pour expliquer le pheacutenomegravenede reacutetrogradation on inventa lrsquoeacutepicyclepetit cercle le long duquel les planegravetesse meuvent et dont le centre deacutecrit le deacute-feacuterent Enfin Ptoleacutemeacutee deacutecentra leacutegegravere-ment le deacutefeacuterent en inventant lrsquoeacutequantpour obtenir un systegraveme plus fidegravele auxobservations astronomiques

bien eacuteloigneacutes de la soi-disante harmoniedu Cosmos procircneacutee par la theacuteorie aristoteacutelicienne Crsquoest en cherchantun systegraveme plus simple que Copernic finit par proposer un systegravemeheacuteliocentrique73

73 Le Soleil est au centre et la Terretourne sur elle mecircme et autour du So-leil comme toutes les planegravetes La sphegraveredes fixes est fixe Le pheacutenomegravene de reacute-trogradation comme le fait que Mercureet Veacutenus sont proches du Soleil sont desconseacutequences directes de lrsquohypothegravese

Certes son modegravele eacutetait moins preacutecis que celui dePtoleacutemeacutee74

74 Copernic refuse le concept drsquoeacutequantet reste fidegravele au dogme aristoteacutelicien dumouvement circulaire uniforme CrsquoestKepler qui verra plus tard que lrsquoellipsereproduit tregraves bien le mouvement desplanegravetes

mais ce deacutecentrage de la Terre ndashet donc de lrsquoHommendashseacuteduit bien des intellectuels agrave lrsquoegravere de la Renaissance Puis Galileacuteeamassa avec sa lunette une moisson drsquoobservations qui ne feront querenforcer la theacuteorie copernicienne

Toutefois aussi seacuteduisant qursquoil soit lrsquoheacuteliocentrisme nrsquoen reste pasmoins une simple hypothegravese La diffusion des Naturalis PhilosophiaeligePrincipia Mathematica lrsquoœuvre magistrale drsquoIsaac Newton dans laquelleil fait table rase du dogme aristoteacutelicien et explique tous les pheacuteno-megravenes ceacutelestes agrave lrsquoaide de sa fameuse loi de gravitation universellefinit de convaincre la communauteacute scientifique sans qursquoon ait trouveacutede preuve deacutefinitive

Il faut attendre lrsquoanneacutee 1728 un an apregraves la mort de Newton pourqursquoun certain James Bradley deacutecouvre le pheacutenomegravene drsquoaberration deseacutetoiles Il srsquoagit drsquoun mouvement apparent annuel identique pour toutesles eacutetoiles qui est directement lieacute agrave la vitesse orbitale de la Terre et agrave lavitesse de la lumiegravere Le doute nrsquoest plus permis la Terre tourne bel etbien autour du Soleil en un an et par conseacutequent eacutegalement sur ellemecircme si lrsquoon veut voir le Soleil se lever chaque matin

Dans ce cours nous nous inteacuteressons agrave lrsquoinfluence de cette rotation surles pheacutenomegravenes meacutecaniques vus par un observateur terrestre Dansun premier temps nous tiendrons compte uniquement de la rotationpropre de la Terre autour de lrsquoaxe des pocircles On pourra ainsi mesurerle caractegravere non galileacuteen du reacutefeacuterentiel terrestre Ensuite nous verronscomment le mouvement orbital de la Terre autour du Soleil permetdrsquoexpliquer le pheacutenomegravene des mareacutees

httpsfemto-physiquefrmecaniquedynamique-terrestrephp

126 11 EFFETS DUS Agrave LA ROTATION TERRESTRE

111 Effets de la rotation propre de la Terre

Hypothegraveses

On appelle reacutefeacuterentiel geacuteocentrique le reacutefeacuterentiel lieacute au centre drsquoinertiede la Terre et dont les axes pointent vers des eacutetoiles suffisammenteacuteloigneacutees pour ecirctre consideacutereacutees comme fixes Nous admettons que cereacutefeacuterentiel est galileacuteen Nous discuterons plus loin de la valeur de cetteapproximation

La Terre est deacutecrite de faccedilon simple On la suppose spheacuterique de rayonT = 6370 km et en rotation uniforme par rapport agrave lrsquoaxe des pocirclesLa peacuteriode de rotation propre de la Terre est appeleacutee jour sideacuteral etvaut

) = 1 jour sideacuteral = 23 h 56 min 4 s = 86164 s

Le reacutefeacuterentiel terrestre R est lieacute agrave la surface de la Terre On le munidrsquoun repegravere drsquoorigine O situeacute agrave la surface de la Terre et de trois axescarteacutesiens On choisit lrsquoaxe OI dirigeacute vers le zeacutenith lrsquoaxe OG vers leSud et lrsquoaxe OH vers lrsquoEst La position du point O est deacutefinie agrave lrsquoaide dedeux angles la latitude _ et la longitude i

FIGURE 111 ndash Le reacutefeacuterentiel terrestre esten rotation par rapport au reacutefeacuterentielgeacuteocentrique

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

parallegravele

eacutequateur

meacuteridien

Le reacutefeacuterentiel terrestre est en rotation uniforme7575 Rigoureusement le vecteur rotationvarie en direction et en norme Drsquounepart lrsquoaxe de rotation deacutecrit un cocircne dereacutevolution en 2600 ans crsquoest le pheacuteno-megravene de preacutecession des eacutequinoxes Drsquoautrepart du fait des effets de mareacutee la du-reacutee du jour augmente drsquoenviron 2 ms parsiegravecle Consideacuterer minusrarrl comme un vecteurconstant reste donc une excellente ap-proximation agrave lrsquoeacutechelle de lrsquoanneacutee[4]

par rapport au reacutefeacute-rentiel geacuteocentrique Il nrsquoest donc pas galileacuteen Son vecteur rotation estsuivant lrsquoaxe Sud-Nord (minusrarrD sn)

minusrarrl = lminusrarrD sn avec l =2c)= 7 2910minus5 radsminus1

Pesanteur terrestre

Deacutefinition de la pesanteur

Dans le vide attachons un point mateacuteriel M agrave un fil puis attendonslrsquoeacutequilibre meacutecanique La pesanteur qui regravegne dans le reacutefeacuterentielconsideacutereacute provoque la tension du fil La direction du fil indiquecelle de la pesanteur et le poids

minusrarr de ce corps est lrsquoopposeacute de la

tension du fil

111 Effets de la rotation propre 127

Eacutetablissons la formule geacuteneacuterale du poidsminusrarr drsquoun corps dans un reacutefeacuteren-

tiel quelconque (a priori non galileacuteen) Dans ce reacutefeacuterentiel lrsquoeacutequilibredrsquoun point mateacuteriel M se traduit par la relation

minusrarr minusltminusrarr0e (M) =

minusrarr0 (111)

ougraveminusrarr deacutesigne les actions autres que les forces drsquoinertie Lrsquoabsence de la

force de Coriolis est justifieacutee par le fait que M est supposeacute fixe dans lereacutefeacuterentiel Si lrsquoon suppose M dans le vide les forces se reacutesument agrave latension du fil

minusrarr) et aux forces de gravitation produites par lrsquoensemble

des astres ce qui donne

minusrarr) +ltminusrarr6A (M) minusltminusrarr0e (M) =

minusrarr0

ougrave minusrarr6 deacutesigne le champ de gravitation exerceacute par tous les astres delrsquoUnivers et minusrarr0e lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement lieacute au mouvement dureacutefeacuterentiel drsquoeacutetude par rapport agrave un reacutefeacuterentiel galileacuteen Le poids vautdonc minusrarr

minusminusrarr) = lt[minusrarr6(M) minus minusrarr0e (M)

]On remarque que le poids est proportionnel agrave la masse76 76 En reacutealiteacute le terme de gravitation

est proportionnel agrave la masse grave alorsque le force drsquoinertie est proportionnelleagrave la masse inerte En vertu du prin-cipe drsquoeacutequivalence ces deux masses sonteacutegales

et deacutepend dureacutefeacuterentiel dans lequel M est au repos Par exemple dans un satellite enorbite autour de la Terre le champ de gravitation minusrarr6A est essentiellementducirc agrave la Terre et lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement du satellite est eacutegale agrave minusrarr6A

puisqursquoil est en laquo chute libre raquo autour de la Terre Par conseacutequent lepoids dans un satellite ndashet dans tout reacutefeacuterentiel en chute librendash est nul on parle drsquoapesanteur

Par deacutefinition le champ de pesanteur minusrarr6 est le poids drsquoune masseuniteacute

minusrarr = ltminusrarr6 (M) avec minusrarr6 (M) = minusrarr6(M) minus minusrarr0e (M) hearts (112)

Ce champ de pesanteur eacutetant homogegravene agrave une acceacuteleacuteration on lrsquoexpri-mera indiffeacuteremment en Nkgminus1 ou en msminus2

Appliquons maintenant ces reacutesultats au reacutefeacuterentiel terrestre le reacutefeacuteren-tiel geacuteocentrique eacutetant consideacutereacute galileacuteen Agrave la surface de la Terre lechamp de gravitation est essentiellement ducirc agrave la Terre De plus si lrsquoonsuppose la Terre agrave symeacutetrie spheacuterique on a

minusrarr6A (M) = minusGT

T2minusrarrDA = minus

minusminusrarrCM

ougrave C est le centre de la Terre et minusrarrDA le vecteur unitaire radial de la basespheacuterique Quant agrave lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement il srsquoagit de lrsquoacceacuteleacutera-tion du point M (supposeacute fixe) par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique(supposeacute galileacuteen) Du fait de la rotation uniforme du reacutefeacuterentiel ter-restre M preacutesente une acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement centripegravete

minusrarr0e (M) = minusl2 minusminusminusrarrHM

avec H le projeteacute de M sur lrsquoaxe des pocircles de la Terre En reacutesumeacute on

Pocircle Nord

Eacutequateur

minusrarrl

minusrarr

otimes minusrarr5ic

FIGURE 112 ndash Deacuteviation vers lrsquoEst forces en preacutesence

peut eacutecrireminusrarr6 (M) = minusG)

minusminusrarrCM +l2minusminusminusrarrHM (113)

Le premier terme est dirigeacute vers le centre de la Terre et vaut environ10 msminus2 Le second terme est axi-fuge (il laquo fuit raquo lrsquoaxe de rotation) etrepreacutesente au maximum 03 du champ de gravitation Ce dernierterme diminue quand la latitude augmente ce qui se traduit par unemoindre pesanteur agrave lrsquoeacutequateur compareacutee agrave celle qui existe aux pocirclesLa formule (113) rend bien compte en tout cas de maniegravere qualitativede lrsquoinfluence de la rotation terrestre Toutefois on peut dire que surTerre la rotation propre influence peu la pesanteur

Exercice ndash Comparer les champs de gravitation qursquoexercent le Soleil laLune et la Terre sur un corps situeacute agrave la surface de la Terre

Astre Terre Soleil Lune

Masse (kg) 61024 2 middot 1030 73 middot 1022

Distance agrave la Terre (km) ndash 150 middot 106 384 middot 103

Rayon (km) 6370

Reacutep On obtient pour respectivement la Terre le Soleil et la Lune

6T 10 msminus2 6S 610minus3 msminus2 et 6L 310minus5 msminus2

Pour terminer preacutecisons que la formule (113) ne rend pas complegravete-ment compte des effets de la rotation terrestre En effet la Terre preacute-sente une forme drsquoeacutequilibre qui nrsquoest pas spheacuterique du fait preacuteciseacutementde cette permanente rotation propre Cela induit un aplatissement despocircles qui fait que le champ de gravitation terrestre nrsquoest pas uniforme aux pocircles lrsquoattraction terrestre est plus importante Finalement lapesanteur deacutepend de la latitude pour deux raisons la non spheacutericiteacutede la Terre et sa rotation propre Pour trouver une valeur preacutecise duchamp de pesanteur moyen7777 moyen parce que le relief joue un

rocircleen un lieu les geacuteophysiciens utilisent la

formule7878 formule accepteacutee depuis 1967 parlrsquoUnion International de Geacuteologie et deGeacuteophysique

6(_) = 9 7803(1 + 5278910minus3 sin2 _ + 23 46210minus6 sin4 _)

Deacuteviation vers lrsquoEst

La deacuteviation vers lrsquoEst deacutesigne la leacutegegravere deacuteflexion que subit un pointmateacuteriel M en chute libre par rapport agrave la verticale Nous allons deacute-montrer que cette deacuteviation est toujours orienteacutee vers lrsquoEst et de faibleampleur en analysant le pheacutenomegravene dans le reacutefeacuterentiel terrestre R

Qualitativement lorsqursquoon lacircche un corps mateacuteriel (vitesse initialenulle) le champ de pesanteur lrsquoacceacutelegravere dans une direction verticaledescendante7979 La verticale est deacutefinie par la direc-

tion de la pesanteur On fait une tregravesfaible erreur en admettant que la ver-ticale du lieu passe par le centre de laTerre

La force de Coriolis

minusrarr5ic = minus2ltminusrarrl and minusrarrE MR

est donc dirigeacutee vers lrsquoEst que lrsquoon soit sur lrsquoheacutemisphegravere nord ou sudEn revanche la force de Coriolis est nulle aux pocircles car le vecteurrotation terrestre et le vecteur vitesse sont colineacuteaires

Avant drsquoeacutecrire les eacutequations faisons quelques calculs drsquoordre de gran-deur en prenant une hauteur de chute ℎ 100 m et une masse lt 1 kg

mdash la vitesse de chute est de lrsquoordre de E radic

26ℎ 45 msminus1

mdash drsquoougrave un temps de chute de lrsquoordre de g E6 5 s

mdash la pesanteur est de lrsquoordre de 10 N

mdash la force de Coriolis 5ic 2ltlE 0 007 N

La force de Coriolis reste donc tregraves faible par rapport au poids cequi justifie qursquoon neacuteglige dans la plupart des cas son effet Ce faibleimpact sur la trajectoire va nous aider agrave traiter le problegraveme de faccedilonapproximative puisque nous allons pouvoir consideacuterer le terme deCoriolis comme une perturbation de la chute libre classique

En premier lieu eacutecrivons la seconde loi de Newton dans le reacutefeacuterentielterrestre

ltminusrarr0MR = ltminusrarr6 minus 2ltminusrarrl and minusrarrE MR (114)

Contrairement aux apparences la force drsquoinertie drsquoentraicircnement estbien preacutesente dans lrsquoeacutequation du mouvement puisque crsquoest une compo-sante de la pesanteur La relation vectorielle (114) donne un systegravemedrsquoeacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires coupleacutees Les eacutequations eacutetant li-neacuteaires on peut eacutevidemment deacuteterminer la solution analytiquementCependant on peut aussi obtenir une excellente approximation dureacutesultat sans trop drsquoeffort Il suffit de traiter lrsquoeacutequation du mouvementpar la meacutethode des perturbations Lrsquoideacutee consiste agrave remplacer dans leterme perturbateur (terme de Coriolis) la vitesse minusrarrE par minusrarr6 C La faibleerreur que lrsquoon commet sur la vitesse est complegravetement atteacutenueacutee parle terme de Coriolis 1000 fois plus petit que le poids Ceci eacutetant fait laprojection de (114) sur les axes carteacutesiens donne

yenG = 0

yenH = 2l cos_ 6C

yenI = minus6

ougrave _ deacutesigne la latitude du lieu Aucune deacuteviation suivant G nrsquoest preacute-vue (en premiegravere approximation) et lrsquoon trouve une eacutequation horairesuivant I analogue agrave la chute libre classique agrave savoir I(C) = ℎ minus 126C2En revanche le mouvement suivant H est donneacute par

yenH = 2l cos_ 6C

ougrave H deacutesigne le deacuteplacement vers lrsquoEst Apregraves une double inteacutegrationon trouve

H(C) = l cos_3

6 C3 (115)

Notons que la deacuteviation H est positive quel que soit le signe de _ autre-ment dit la trajectoire est deacutevieacutee vers lrsquoEst quel que soit lrsquoheacutemisphegravereougrave est reacutealiseacutee lrsquoexpeacuterience et lrsquoeffet est drsquoautant plus important quele temps de chute est important Ce pheacutenomegravene a eacuteteacute veacuterifieacute pour lapremiegravere fois en 1833 par Ferdinand Reich agrave Freiberg en Allemagne(latitude = 51deg) dans un puits de mine de profondeur ℎ = 158 m Ladeacuteviation mesureacutee fut de 28 mm en accord avec la valeur theacuteorique

de 27 4 mm En 1903 Camille Flammarion lacirccha des billes drsquoacier duhaut de la coupole du Pantheacuteon (ℎ = 68 m et _ = 48deg51prime) et mesuraune deacuteviation vers lrsquoest de 7 6 mm lagrave encore en parfait accord avec lavaleur theacuteorique de 8 mm En conclusion le pheacutenomegravene de deacuteviationvers lrsquoEst est un effet ducirc au caractegravere non galileacuteen de la Terre et restedifficile agrave mettre en eacutevidence

Point de vue geacuteocentrique ndash Analysons le pheacutenomegravene dans le reacutefeacuterentielgeacuteocentrique Pour simplifier eacutetudions la chute libre drsquoun point mateacuterielsitueacute agrave lrsquoeacutequateur et lacirccheacute depuis une hauteur ℎ Le corps nrsquoest soumis qursquoagravela gravitation de la Terre (en neacutegligeant les autres forces de gravitation) etpossegravede une vitesse initiale

minusrarrE0 = ( + ℎ)lminusrarrD [coordonneacutees polaires]

dirigeacutee vers lrsquoEst du fait de la rotation terrestre Lrsquoobservateur lieacute au reacutefeacute-rentiel terrestre possegravede une vitesse ortho-radiale

minusminusminusrarrEobs = lminusrarrD

Le corps deacutecrit ndashcomme nous lrsquoavons vu dans le chapitre sur les forcescentralesndash une ellipse de foyer le centre de la Terre situeacutee dans le plan formeacute

parminusminusrarrCM et minusrarrE0 Par conservation du moment cineacutetique on a

A2 curren = ( + ℎ)2l

Au deacutebut le projectile tourne agrave une vitesse angulaire identique agrave celle delrsquoobservateur terrestre (l) mais au fur et agrave mesure que le projectile chute Adiminue et curren augmente Le projectile tournant plus vite que lrsquoobservateuratterrira agrave cocircteacute de lrsquoobservateur en direction de lrsquoEst Pour un temps de chuteg on trouve un deacutecalage vers lrsquoEst eacutegal agrave

(int g

0currendC minuslg

)Vous trouverez dans le recueil drsquoexercices le traitement complet qui aboutitau reacutesultat (115)

Deacuteviation vers la droite

La deacuteviation vers la droite est un pheacutenomegravene ducirc agrave la rotation de laTerre et srsquoexplique facilement agrave lrsquoaide de la force de Coriolis Il estnotamment agrave lrsquoorigine du sens drsquoenroulement des nuages autour desanticyclones et deacutepressions

Consideacuterons un point mateacuteriel M agrave la surface de la Terre en mouve-ment dans un plan horizontal (GOH) Sa vitesse minusrarrE MR observeacutee dans lereacutefeacuterentiel terrestre obeacuteit agrave lrsquoeacutequation

ltdminusrarrE MR

dC= ltminusrarr6 minus 2ltminusrarrl and minusrarrE MR +

minusrarr

ougraveminusrarr repreacutesente les actions autres que les forces de gravitation (in-

cluses dans la pesanteur) Le vecteur rotation se deacutecompose dans labase carteacutesienne comme suit

minusrarrl = minusl cos_minusrarrDG +l sin_minusrarrDI

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

minusrarr5 icbullminusrarr

5 ic bull

minusrarr5 ic

FIGURE 113 ndash Deacuteviation vers la droitepour un corps en mouvement horizontalsur Terre

Isobare

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla

minusrarr5ic

FIGURE 114 ndash Formation drsquoun cyclonedans lrsquoheacutemisphegravere nord

de sorte que la force de Coriolis srsquoeacutecrit

minus2ltminusrarrl and minusrarrE MR = 2ltl cos_minusrarrDG and minusrarrE MR minus 2ltl sin_minusrarrDI and minusrarrE MR

Si le mouvement a lieu dans le plan horizontal le premier terme donnenaissance agrave une force verticale et apporte une tregraves faible contributionagrave la pesanteur En revanche le deuxiegraveme terme est dirigeacute dans leplan horizontal et deacutevie le point mateacuteriel vers la droite lorsque lemouvement a lieu dans lrsquoheacutemisphegravere nord et vers la gauche pourlrsquoheacutemisphegravere sud La force horizontale vaut

5ich = 2ltl sin_ EMR (116)

Cet effet intervient par exemple en balistique pour des vitesses de pro-jectile importantes et des distances de tir suffisamment longues pourque la faible force de Coriolis ait le temps de courber la trajectoire defaccedilon significative Par exemple pendant la Premiegravere Guerre mondialeles obus lanceacutes par la laquo grosse Bertha raquo bombardant Paris agrave plus de 120kilomegravetres de distance subissaient des deacuteviations de lrsquoordre du km agravecause de la rotation terrestre

Mais une des manifestations les plus eacutevidentes est la formation descyclones et anticyclones En effet dans lrsquoheacutemisphegravere nord les massesdrsquoair anticycloniques srsquoenroulent dans le sens horaire alors que lesmasses drsquoair deacutepressionnaires (cycloniques) srsquoenroulent dans le sensanti-horaire La situation inverse est observeacutee dans lrsquoheacutemisphegravere sudCe sens drsquoenroulement est dicteacute par la force de Coriolis Voyons com-ment en analysant le mouvement drsquoune masse drsquoair en direction drsquouncentre deacutepressionnaire situeacutee dans lrsquoheacutemisphegravere nord Supposonspour simplifier que la pression atmospheacuterique ne deacutepend que dela distance compteacutee agrave partir drsquoun centre de basse pression noteacutee DToute particule de fluide est donc attireacutee vers le centre D via une forcevolumique80 80 Voir cours sur les fluides par-

faits agrave lrsquoadresse femto-physique

fluides-parfaitsphp

minusrarr5 = minus

minusrarrnabla (A) = minusddAminusrarrDA

Cette force est bien dirigeacutee vers le centre D lorsque la pression aug-mente avec A On srsquoattend donc agrave ce que le vent soit perpendiculaireaux isobares Or la rotation terrestre vient compliquer les choses cardegraves que le mouvement srsquoamorce la masse drsquoair est deacutevieacutee vers la droiteagrave cause de la force de Coriolis (force volumique pour 1 m3 drsquoair)

5ich = 2d l sin_ E

Mais la force de pression maintient la masse drsquoair agrave proximiteacute de DAgrave la fin lrsquoair tourne autour de D dans le sens anti-horaire (cf Figure114) de sorte que la force de Coriolis compense la force de pressionet lrsquoacceacuteleacuteration centripegravete Pour une deacutepression situeacutee dans lrsquoheacutemi-sphegravere sud la force de Coriolis produit une deacuteviation vers la gauchece qui megravene agrave une circulation de masse drsquoair autour de D dans le senshoraire

Une analyse similaire des mouvements anti-cycloniques aboutit aux

bullbull

preacutec

G (sud)

H (est)

FIGURE 115 ndash Mouvement (tregraves exa-geacutereacute) horizontal du pendule dans lrsquoheacute-misphegravere nord

reacutesultats opposeacutes un anticyclone srsquoenroule dans le sens horaire(anti-horaire) dans lrsquoheacutemisphegravere nord(sud)

Remarque Contrairement agrave une croyance encore tregraves tenace la force deCoriolis due agrave la rotation terrestre nrsquoest en rien responsable du sens derotation du vortex qui se forme lors de la vidange drsquoun lavabo La force deCoriolis est de loin complegravetement neacutegligeable pour ces eacutechelles de tempset drsquoespace Il faut invoquer les conditions initiales et la non reacutegulariteacute dela surface du lavabo pour expliquer le sens de rotation du tourbillon[13]

Le pendule de Foucault

Le 31 mars 1851 agrave Paris Leacuteon Foucault installe sous la coupole duPantheacuteon un long pendule qui oscille suffisamment longtemps pourque les parisiens venus assister agrave cette expeacuterience publique puissentconstater la lente rotation du plan drsquooscillation tout visiteur pouvaitainsi laquo voir la Terre tourner sur elle mecircme raquo

Qualitativement le mouvement du pendule est quasi horizontal (lrsquoam-plitude des oscillations est faible) et comme on lrsquoa vu preacuteceacutedemmentla rotation terrestre produit une deacuteviation vers la droite(gauche) danslrsquoheacutemisphegravere nord(gauche) La force de deacuteviation (116) proportion-nelle agrave la vitesse est maximale lorsque la masse passe par sa positiondrsquoeacutequilibre et srsquoannule lorsqursquoelle rebrousse chemin La trajectoire dela masse projeteacutee dans le plan horizontal preacutesente donc des points derebroussement qui srsquoinscrivent au fur et mesure des oscillations en tour-nant dans le sens horaire(anti-horaire) dans lrsquoheacutemisphegravere nord(sud)comme lrsquoindique la Figure 115

Cherchons agrave quelle vitesse le plan drsquooscillation tourne pour un obser-vateur terrestre Consideacuterons un pendule simple de longueur ℓ fixeacute enun point O1 de lrsquoaxe OI vertical Adoptons le systegraveme de coordonneacuteescylindriques (A I) pour repeacuterer le point mateacuteriel Lrsquoobjectif est dedeacuteterminer lrsquoeacutevolution de lrsquoangle (C) qui deacutecrit le mouvement du plandrsquooscillation

FIGURE 116 ndash Parameacutetrisation du pro-blegraveme de Foucault

minusrarrDA

minusrarrDI

otimes minusrarrD

minusrarr)

minusrarr6

minusrarrDA

minusrarrD

G (sud)

H (est)OI

vue de dessus

Pour simplifier placcedilons nous dans lrsquoapproximation des petites oscilla-tions

I(C) = IO1 minus ℓ cosU(C) IO1 minus ℓ = Cte

Neacutegliger les termes drsquoordre deux revient agrave consideacuterer que le mouve-ment est horizontal La vitesse et lrsquoacceacuteleacuteration srsquoeacutecrivent

minusrarrE MR = currenA minusrarrDA + A curren minusrarrD et minusrarr0MR = ( yenA minus A curren2) minusrarrDA + (2 currenA curren + A yen) minusrarrD

Le point mateacuteriel M subit la pesanteurminusrarr la tension du fil

minusrarr) et la force

de Coriolisminusrarr5ic Lrsquoeacutequation du mouvement srsquoeacutecrit donc

ltminusrarr0MR = lt( yenA minus A curren2) minusrarrDA +lt(2 currenA curren + A yen) minusrarrD = ltminusrarr6 +minusrarr) minus 2ltminusrarrl and minusrarrE MR

La tension du fil eacutetant dans le plan drsquooscillation on peut le faire dispa-raicirctre en projetant lrsquoeacutequation du mouvement suivant minusrarrD On obtient

(2 currenA curren + A yen) = minus2(minusrarrl and minusrarrE MR) middot minusrarrD

Calculons le terme de droite

minus2(minusrarrl and minusrarrE MR) middot minusrarrD = minus2(minusrarrE MR and minusrarrD ) middot minusrarrl

= minus2 currenA (minusrarrDA and minusrarrD ) middot minusrarrl

= minus2 currenAminusrarrDI middot minusrarrl

minus2(minusrarrl and minusrarrE MR) middot minusrarrD = minus2 currenA l sin_

Finalement la direction du plan drsquooscillation veacuterifie lrsquoeacutequation diffeacute-rentielle

2 currenA curren + A yen = minus2 currenA l sin_ (117)

Il srsquoagit drsquoune eacutequation diffeacuterentielle coupleacutee puisque lrsquoeacutevolution de est lieacutee au mouvement radial Toutefois une solution particuliegraveresimple existe si lrsquoon suppose que curren = Cte ce qui signifie que le plandrsquooscillation tourne agrave vitesse constante Dans ce contexte on obtient

curren = minusl sin_

On retrouve le fait que le plan drsquooscillation tourne dans le sens horaire( curren lt 0) dans lrsquoheacutemisphegravere nord (_ gt 0) et dans le sens anti-horaire( curren lt 0) dans lrsquoheacutemisphegravere sud (_ lt 0) Le plan drsquooscillation effectue untour en une dureacutee

)Foucault =2c

l sin_=

sin_(118)

Agrave Paris on obtient environ 32 h et aux pocircles le plan drsquooscillation faitun tour en 24 h

Lrsquoexpeacuterience de 1851 eut un immense succegraves populaire et un fortretentissement dans le monde entier Le caractegravere spectaculaire decette expeacuterience doit beaucoup au fait que les effets de la force deCoriolis sont cumulatifs Il suffit de laisser suffisamment longtemps81

81 Dans lrsquoexpeacuterience publique organi-seacutee au Pantheacuteon en 1851 les oscilla-tions du pendule mettaient plus de cinqheures agrave srsquoamortir

le pendule osciller pour laquo voir la Terre tourner raquo

En pratique lrsquoexpeacuterience de Foucault nrsquoest pas si facile agrave mettre enplace car de nombreux pheacutenomegravenes peuvent parasiter le pheacutenomegravenede preacutecession Un soin tout particulier doit ecirctre apporteacute lors du lacirccheacuteet au niveau du point de suspension[14] [14] MARILLIER (1998) ldquoLrsquoexpeacuterience

du pendule de Foucault au Palais de ladeacutecouverterdquo

Remarque La formule (118) a eacuteteacute obtenue en supposant curren constant Enreacutealiteacute lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (117) srsquointegravegre apregraves multiplication par Aet aboutit agrave

A2 ( curren minusl) = Cte avec l = minusl sin_

ce qui signifie que dans le reacutefeacuterentiel tournant agrave la vitesse de preacutecessionl le moment cineacutetique se conserve En drsquoautres termes le mouvementdu pendule est un mouvement agrave force centrale dans ce reacutefeacuterentiel tournantOn peut montrer qursquoil srsquoagit drsquoune ellipse de centre la position drsquoeacutequilibreFinalement dans le reacutefeacuterentiel terrestre le pendule deacutecrit une ellipse dontle grand axe preacutecessionne agrave la vitesse angulaire l = minusl sin_

112 Effets du mouvement orbitale de la Terre

Le reacutefeacuterentiel de Copernic

Par deacutefinition le reacutefeacuterentiel de Copernic a son origine placeacutee au centredrsquoinertie du systegraveme solaire et ses axes pointent en direction de troiseacutetoiles fixes (comme le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique) Le reacutefeacuterentiel geacuteocen-trique est donc en translation quasi circulaire par rapport au reacutefeacuterentielde Copernic

Crsquoest en supposant le reacutefeacuterentiel de Copernic galileacuteen que lrsquoon peutexpliquer le pheacutenomegravene des mareacutees Les faits srsquoaccordent parfaitementavec cette hypothegravese

Notion de forces de mareacutee

Revenons sur le champ de pesanteur mais cette fois-ci en tenantcompte du mouvement orbital de la Terre Nous avons deacutejagrave eacutetablique le champ de pesanteur sur Terre srsquoeacutecrit

minusrarr6 (M) = minusrarr6A (M) minus minusrarr0e (M) (119)

Le premier terme repreacutesente le champ de gravitation produit partous les astres On sait que lrsquoattraction terrestre preacutedomine mais neneacutegligeons pas lrsquoattraction des astres voisins (Lune Soleil Jupiter etc)Eacutecrivons

minusrarr6A (M) = minusrarr6T (M) + minusrarr6(M)

ougrave minusrarr6(M) deacutesigne le champ drsquoattraction creacuteeacute par tous les astres autresque la Terre On verra plus tard que seul le Soleil et la Lune ont deseffets preacutepondeacuterants pour lrsquoinstant contentons-nous drsquoecirctre tregraves geacuteneacute-ral

Le dernier terme de la relation (119) repreacutesente lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicirc-nement de M par rapport au reacutefeacuterentiel de Copernic Le mouvementdrsquoentraicircnement est la composition drsquoun mouvement de rotation autourde lrsquoaxe des pocircles associeacute agrave un mouvement de translation circulairepar rapport au reacutefeacuterentiel de Copernic Aussi on eacutecrira

minusrarr0e (M) = minusrarr0 (C) minusl2minusminusminusrarrHM

112 Effets du mouvement orbital 135

Ougrave H deacutesigne la projection de M sur lrsquoaxe des pocircles et minusrarr0 (C) lrsquoacceacute-leacuteration du centre drsquoinertie de la Terre par rapport au reacutefeacuterentiel deCopernic Or drsquoapregraves le theacuteoregraveme du centre drsquoinertie eacutecrit dans lereacutefeacuterentiel de Copernic on a (T deacutesigne la masse de la Terre)

Tminusrarr0 (C) = T

minusrarr6(C)

ougrave le deuxiegraveme terme repreacutesente la reacutesultante des forces de gravita-tion82 82 Rigoureusement cette reacutesultante

srsquoapplique au centre de graviteacute pointqui nrsquoest pas agrave confondre avec le centredrsquoinertie Ces deux notions se rejoignentsi le champ de gravitation est uniformesur lrsquoeacutechelle du corps qui subit ces forcesCompte tenu que le rayon de la Terre esttregraves petit devant la distance qui la seacuteparedes autres astres cette approximation estexcellente

que la Terre subit Finalement lrsquoexpression du champ de pesan-teur terrestre en tenant compte de la rotation propre de la Terre et dumouvement orbital srsquoeacutecrit

minusrarr6 (M) = minusrarr6T (M) +l2minusminusminusrarrHM + minusrarr6(M) minus minusrarr6(C) (1110)

Par rapport agrave lrsquoeacutequation (113) on voit apparaicirctre un nouveau terme

minusrarrC =minusrarr6(M) minus minusrarr6(C) hearts (1111)

Il srsquoagit du champ de mareacutee On voit qursquoil ne deacutepend que de la preacute-sence des autres astres et qursquoil est lieacute agrave lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute du champ degravitation sur lrsquoeacutetendue de la Terre ce qui explique pourquoi on ledeacutesigne aussi par le laquo terme diffeacuterentiel de gravitation raquo

minusrarrD

minusrarrE

bullM1

minusrarrC

bullM2

bullM3

bullM4

Terre astre attracteur

FIGURE 117 ndash Repreacutesentation du champ de mareacutee

Repreacutesentons ce champ de mareacutee produit sur Terre par un astre decentre O de masse et situeacute agrave la distance A ) du centre C dela Terre Inteacuteressons-nous au champ de mareacutee qui regravegne aux pointsM1 M2 M3 et M4 situeacutes agrave la surface terrestre comme indiqueacute sur lafigure 117 Pour M1 le champ de mareacutee vaut (minusrarrD est dirigeacute vers lecentre O de lrsquoastre)

minusrarrC(M1) =

(A minus T)2minus G

)minusrarrD 2G)

A3minusrarrD

M1 est en effet plus attireacute par lrsquoastre que ne lrsquoest le centre de la Terredrsquoougrave un terme de mareacutee dirigeacute vers le centre de lrsquoastre attracteur Lepoint diameacutetralement opposeacute M3 subit une attraction moindre que lecentre de la Terre et tend donc agrave srsquoen eacuteloigner drsquoougrave un terme de mareacuteeopposeacute au preacuteceacutedent

Quant au point M2 situeacute agrave la distance A du point O on a

minusrarrC(M2) = minus

minusminusrarrOC = minusG

minusminusminusrarrCM2 minus

A3minusrarrE

On obtient un vecteur opposeacute pour le point M4

Finalement le champ de mareacutee agit comme une force drsquoeacutetirement elle tend agrave allonger la Terre suivant la direction qui joint la Terre etlrsquoastre attracteur et agrave la reacutetreacutecir dans le sens perpendiculaire Pour laTerre le champ de mareacutee est au maximum eacutegal agrave

Cmax =G2)A

Exercice ndash Comparer les effets de mareacutee produit sur Terre par les astresdu systegraveme solaire Le tableau ci-dessous fournit les masses des astres enuniteacute de masse solaire ainsi que la distance minimale qui les seacutepare de laTerre en uniteacute astronomique

Astre Soleil Mercure Venus Lune Mars JupiterMasse 1 1710minus5 2410minus6 3710minus9 3210minus5 1010minus3

Distance 1 053 027 00024 038 40

Reacutep Le terme de mareacutee est proportionnel au rapport A3 Calculonsce rapport pour ces diffeacuterents astres

Astre Soleil Mercure Venus Lune Mars JupiterA3 1 1 110minus6 1 210minus4 27 5 810minus6 1 610minus5

Le Soleil et la Lune sont les deux astres dont les effets de mareacutee sontpreacutepondeacuterants sur Terre

Sur Terre comme le montre lrsquoexercice preacuteceacutedent les forces de mareacuteesont essentiellement dus agrave la Lune et au Soleil Quand ces effets secumulent le champ de mareacutee est de lrsquoordre de 10minus6 Nkgminus1 Chaquem3 de la croucircte terrestre subit donc une force de mareacutee de lrsquoordre de510minus3 Nmminus3 ce qui reste comme on le voit tregraves faible Toutefois dufait de la rotation propre de la Terre chaque parcelle de la croucircte ter-restre est exciteacutee peacuteriodiquement par ces forces de mareacutee produisantainsi de minuscules deacuteformations peacuteriodiques Il faut savoir que cer-taines expeacuteriences scientifiques de haute preacutecision exigent drsquoen tenircompte crsquoest le cas par exemple des expeacuteriences du CERN agrave Genegraveve(LHC)

Agrave peine mesurable sur Terre ce pheacutenomegravene peut devenir beaucoupplus intense dans drsquoautres systegravemes Par exemple Io un des satellitesde Jupiter subit des forces de mareacutee colossales ce qui induit un eacutechauf-fement permanent de son manteau solide drsquoougrave une activiteacute volcaniquetregraves intense

Ces forces drsquoeacutetirement sont aussi responsables de la dislocation depetits asteacuteroiumldes tels que ceux qui composent les anneaux de SaturneEn 1994 on a mecircme assisteacute agrave lrsquoeacuteclatement drsquoune comegravete (Shoemaker-Levy 9) se dirigeant vers Jupiter Les forces de mareacutee induites par cettegrosse planegravete furent suffisantes pour rompre la coheacutesion interne de la

comegravete et provoquer sa dislocation en 21 fragments qui sont entreacutes encollision avec la planegravete

Ces forces de mareacutee jouent un rocircle important dans la dynamiquedes astres Elles sont par exemple agrave lrsquoorigine de la synchronisation dumouvement de rotation propre de la Lune avec son mouvement orbitalLa Lune nrsquoeacutetant pas absolument spheacuterique mais leacutegegraverement allongeacuteesubit de la part de la Terre des forces de mareacutee dont le moment tend agraveorienter le grand-axe de la Lune suivant la direction Terre ndash Lune Crsquoestpourquoi la Lune preacutesente toujours la mecircme face agrave un observateurterrestre

Mareacutees oceacuteaniques

Sur Terre lrsquoeffet le plus visible ducirc aux forces de mareacutee est sans aucundoute le pheacutenomegravene des mareacutees oceacuteaniques terme qui deacutesigne lavariation du niveau des oceacuteans

On preacutesente ici un modegravele simple (dit modegravele statique) qui permetdrsquointerpreacuteter les diffeacuterents aspects des mareacutees oceacuteaniques Supposonsla Terre entiegraverement recouverte par un unique oceacutean qui adopte agravechaque instant sa configuration drsquoeacutequilibre On montre en meacutecaniquedes fluides que la surface libre suit une eacutequipotentielle du champde pesanteur Admettons dans un premier temps que seul le Soleilagit sur la Terre Dans ce cas lrsquooceacutean adopte une forme ellipsoiumldaledont le grand-axe est suivant lrsquoaxe Terre - Soleil La Terre tournant surelle mecircme un observateur visite en une journeacutee les deux extreacutemiteacutesdu bourrelet oceacuteanique il y a deux mareacutees hautes par jour et deuxmareacutees basses par jour Notez que si lrsquoaxe de rotation propre de la Terreest perpendiculaire agrave lrsquoaxe Terre-Soleil (agrave lrsquoeacutequinoxe donc) les deuxmareacutees hautes que lrsquoon preacutevoit sont de mecircme niveau En revanchedans le cas contraire les deux mareacutees hautes ne sont pas de mecircmeniveau

bullminusrarrD MHMH

bullminusrarrD MH

FIGURE 118 ndash Il y a deux mareacutees hauteset deux mareacutees basses par jour Suivantlrsquoorientation de lrsquoaxe des pocircles les deuxmareacutees hautes ne sont pas identiques

Comme on lrsquoa vu les forces de mareacutee varient comme A3 Or ladistance Terre-Soleil varie au cours de lrsquoanneacutee lrsquoorbite terrestre eacutetantelliptique elle est minimale en janvier (peacuteriheacutelie) et maximale enjuillet (apheacutelie) de sorte que le bourrelet oceacuteanique est maximum enjanvier

Cependant la Lune vient compliquer la dynamique des mareacutees oceacutea-niques En effet bien que le champ de gravitation lunaire soit 200 foisplus faible que le champ de gravitation solaire le champ de mareacuteeducirc agrave la Lune est environ deux fois plus important Aussi lrsquointensiteacutedes mareacutees oceacuteaniques deacutepend de la position de la Lune par rapport agravelrsquoaxe Terre - Soleil Lorsque la Lune est aligneacutee avec la Terre et le Soleilles deux astres cumulent leurs effets et donnent lieu a des laquo mareacuteesde vives-eaux raquo (mareacutees hautes importantes) A contrario lorsque laLune est en quadrature avec le Soleil leurs effets se compensent (par-tiellement) et les mareacutees oceacuteaniques preacutesentent une faible amplitude on parle de laquo mareacutees de mortes-eaux raquo

SoleilTerre Lunebull Nord

bull Nord

FIGURE 119 ndash Dans le modegravele statique les mareacutees oceacuteaniques preacutesentent une amplitude maximum durant la pleine ou nouvelle LuneElles sont minimales lors des quarts de Lune

Par ailleurs contrairement au Soleil la Lune ne produit pas deuxmareacutees en 24 h En effet la Lune fait le tour de la Terre en 28 jours desorte que lorsque la Terre effectue un tour sur elle-mecircme la Lune atourneacute de 128e de tour La Lune se retrouve donc au dessus du mecircmepoint de la Terre apregraves une dureacutee

)L = 24 + 128

24 = 24 h50prime

Ainsi la composante lunaire (la plus importante) agrave lrsquoorigine des mareacuteesdeacutecale le cycle des mareacutees de 50 minutes par jour

Pour terminer signalons que ce modegravele nrsquoexplique pas tout car ilrepose sur lrsquoeacutetude de la forme drsquoeacutequilibre drsquoun hypotheacutetique uniqueoceacutean En fait le problegraveme est deacutependant du temps ce qui compliqueeacutenormeacutement les choses Un traitement plus rigoureux fait intervenirla notion drsquoonde de mareacutee ce qui explique qursquoen certains points de laplanegravete des effets de geacuteomeacutetrie etou de reacutesonance puissent amplifierou reacuteduire les effets discuteacutes ici

Conclusion sur la dynamique en reacutefeacuterentiel terrestre

Finalement la dynamique en reacutefeacuterentiel terrestre drsquoun point mateacuterielde masse lt est reacutegie par lrsquoeacutequation

ltminusrarr0MR =minusrarr +ltminusrarr6 (M) minus 2ltminusrarrl and minusrarrE MR

avecminusrarr6 (M) =

minusrarr6T (M) +l2minusminusminusrarrHM + minusrarrC(M)(1112)

ougraveminusrarr est lrsquoaction que subit M autre que les forces de gravitation Ici minusrarrl

est le vecteur rotation du reacutefeacuterentiel terrestre par rapport au reacutefeacuterentielde Copernic Vu que le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique est en translation minusrarrl seconfond avec le vecteur rotation de la Terre par rapport au reacutefeacuterentielgeacuteocentrique

Lorsque lrsquoon applique le principe fondamental dans le reacutefeacuterentielterrestre diffeacuterents degreacutes drsquoapproximation sont possibles

1 Un premier niveau drsquoapproximation consiste agrave oublier lrsquoactiondes autres astres Le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique est alors consideacutereacutegalileacuteen Cela revient agrave neacutegliger lrsquoexistence du champ de mareacutee

2 Un deuxiegraveme niveau drsquoapproximation plus radical consiste agraveadmettre le caractegravere galileacuteen du reacutefeacuterentiel terrestre Ce genredrsquoapproximation convient quand on peut neacutegliger lrsquoacceacuteleacuterationcentrifuge (l2HM) le champ de mareacutee ainsi que lrsquoacceacuteleacuterationde Coriolis Notez qursquoon utilise souvent une approximation mixtequi consiste agrave tenir compte de la force drsquoinertie drsquoentraicircnement(incluse dans le poids) mais agrave neacutegliger la force de Coriolis Celaconvient geacuteneacuteralement pour les pheacutenomegravenes mettant en jeu desmouvements peu rapides et qui durent peu de temps

ANNEXES

AREacuteSOUDRE UNE EacuteQUATION DIFFEacuteRENTIELLE

En physique et particuliegraverement en meacutecanique la modeacutelisation drsquounpheacutenomegravene aboutit souvent agrave une ou des eacutequations diffeacuterentiellesNous abordons ici diffeacuterentes approches analytiques utiliseacutees dans lecadre de leur reacutesolution

femto-physiquefrmecaniqueequations-differentiellesphp

A1 Eacutequation diffeacuterentielle ordinaire

Une eacutequation diffeacuterentielle est une relation entre une fonction et sesdeacuteriveacutees successives Lrsquoordre drsquoune eacutequation diffeacuterentielle correspondau degreacute maximal de deacuterivation de la fonction inconnue Ainsi uneeacutequation diffeacuterentielle drsquoordre 1 est une relation ougrave interviennent unefonction et sa deacuteriveacutee premiegravere Reacutesoudre une eacutequation diffeacuterentiellecrsquoest trouver toutes les fonctions qui veacuterifient la relation sur un inter-valle donneacute

Drsquoun point de vue plus formel appelons H une grandeur physiquetemporelle deacutefinie par

H [0)] rarr R

C ↦rarr H(C)

et notons currenH yenH et H () les deacuteriveacutees temporelles premiegravere seconde etdrsquoordre Dans ce cas toute relation de la forme

(C H(C) currenH(C) H () (C)) = 0 (A1)

est une eacutequation diffeacuterentielle ordinaire drsquoordre En geacuteneacuteral la fonc-tion rechercheacutee H obeacuteit agrave des contraintes sous la forme de conditionsinitiales

H(0) = H0 currenH(0) = H1 yenH(0) = H2 Hminus1 (0) = Hminus1

La donneacutee de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du type (A1) et des conditionsinitiales srsquoappelle un problegraveme de Cauchy

144 A REacuteSOUDRE UNE EacuteQUATION DIFFEacuteRENTIELLE

minusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

La plupart du temps un systegraveme drsquoeacutequations diffeacuterentielles scalairespeut se ramener agrave une eacutequation diffeacuterentielle vectorielle drsquoordre 1 dela forme

curreny = 5 (C y(C)) 0 le C le )y(0) = y0

ougrave y est un vecteur de dimension 3 et 5 une fonction reacuteguliegravere Cetterepreacutesentation se precircte bien agrave la reacutesolution numeacuterique8484 cf le tutoriel sur les meacute-

thodes numeacuteriques agrave lrsquoadresse httpsfemto-physiquefranalyse_

numeriquenumerique_C1php On peut montrer que si la fonction 5 est suffisamment reacuteguliegravere8585 Plus preacuteciseacutement la fonction 5

doit obeacuteir aux conditions de Cauchy-Lipschitz pour tout C isin [0) ] x et yau voisinage de H0 srsquoil existe un reacuteel tel que 5 (C x) minus 5 (C y) lt x minus yalors il existe une unique solution

leproblegraveme de Cauchy admet une unique solution On admettra par lasuite ces conditions de reacutegulariteacute reacuteunies Il nous reste alors agrave deacutetermi-ner la solution de faccedilon analytique

Exemple

Pour illustrer notre propos supposons que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave la chutedrsquoun corps dans un fluide

On lance un point mateacuteriel M avec une vitesse initiale minusrarrE0 dans un fluidevisqueux exerccedilant une force de frottement quadratique en vitesseminusrarrt = minusVEminusrarrE Si lrsquoon tient compte uniquement du poids et de la forcede frottement lrsquoeacutequation du mouvement issue de la seconde loi deNewton donne

ltd2minusminusminusrarrOM

dC2= ltminusrarr6 minus VEminusrarrE

qui apregraves projection dans le plan (G I) se deacutecompose en deux eacutequa-tions coupleacutees

yenI = minus6 minus V

Il srsquoagit drsquoun systegraveme de deux eacutequations diffeacuterentielles drsquoordre deux nonlineacuteaires coupleacutees

Dans lrsquoexemple preacuteceacutedent on peut transformer le systegraveme drsquoeacutequationsen une eacutequation du type (A2) agrave condition de poser

y =copyshyshyshyshylaquoG

currenGcurrenI

ordfregregregregnotet 5 (C y) =

copyshyshyshyshylaquocurrenGcurrenI

minus VltcurrenGradiccurrenG2 + currenI2

minus6 minus V

ordfregregregregnotavec y0 =

copyshyshyshyshylaquo00

E0 cos E0 sin

ordfregregregregnotLe nombre drsquoeacutequations diffeacuterentielles que lrsquoon sait reacutesoudre analytique-ment est tregraves reacuteduit Nous allons eacutetudier les plus utiles en physique

A2 Eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires 145

A2 Eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires

Deacutefinitions

Supposons qursquoune grandeur physique H obeacuteisse agrave une eacutequation diffeacute-rentielle de la forme

L(H) = 5 (C) (A3)

ougrave Ldeacutesigne un opeacuterateur diffeacuterentiel crsquoest-agrave-dire un opeacuterateur construitagrave partir des deacuteriveacutees et de lrsquoidentiteacute Si lrsquoopeacuterateur veacuterifie la proprieacuteteacute

L(UH1 + VH2) = UL(H1) + VL(H2) avec (U V) isin R2

On dit que lrsquoeacutequation diffeacuterentielle est lineacuteaire

Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (A3) se compose de deux termes

1 le terme de gauche est une combinaison de fonctions de H et deses deacuteriveacutees Ce terme est en geacuteneacuteral eacutetroitement lieacute aux proprieacute-teacutes intrinsegraveques du systegraveme physique eacutetudieacute

2 le second membre 5 (C) de lrsquoeacutequation est en geacuteneacuteral lieacute agrave lrsquoac-tion de lrsquoexteacuterieur sur le systegraveme physique On parle du termedrsquoexcitation

Proprieacuteteacutes geacuteneacuterales

Inteacuteressons nous drsquoabord agrave lrsquoeacutequation dite eacutequation homogegravene L(H) = 0Il est facile de voir que si lrsquoon connaicirct deux solutions H1 et H2 de cetteeacutequation alors UH1 + VH2 est aussi solution quelles que soient les reacuteelsU et V

Appelons Hh une solution de lrsquoeacutequation homogegravene L(H) = 0 et Hp

une solution particuliegravere de lrsquoeacutequation (A3) Dans ce cas la lineacuteariteacuteimplique

L(UHh + Hp) = UL(Hh) +L(Hp) = 0 + 5 (C)

Autrement dit UHh + Hp est solution de lrsquoeacutequation L(H) = 5 (C) On endeacuteduit la meacutethode de reacutesolution suivante

Meacutethodologie

Pour reacutesoudre une eacutequation diffeacuterentielle avec conditions initialesde la forme L(H) = 5 (C) ougrave L est un opeacuterateur diffeacuterentiel lineacuteairedrsquoordre on proceacutedera en trois eacutetapes

1 On deacuteterminera toutes les solutions de lrsquoeacutequation homo-gegravene L(H) = 0 Ces solutions noteacutees Hh feront intervenir constantes drsquointeacutegration

2 On recherchera une solution particuliegravere noteacutee Hp de lrsquoeacutequa-tion L(H) = 5 (C)

3 La solution srsquoeacutecrivant H = Hh + Hp on deacuteterminera les constantesdrsquointeacutegration agrave lrsquoaide des conditions initiales sur H et ses minus 1deacuteriveacutees

Enfin tout systegraveme physique reacutegi par une eacutequation diffeacuterentielle li-neacuteaire obeacuteit au principe de superposition En effet supposons que lrsquoonconnaisse la solution H1 de lrsquoeacutequation L(H) = 51 (C) ainsi que la solutionH2 de lrsquoeacutequation L(H) = 52 (C) Dans ce cas H1 + H2 sera solution delrsquoeacutequation L(H) = 51 (C) + 52 (C) Cela signifie que si lrsquoon excite un sys-tegraveme lineacuteaire de maniegravere compliqueacutee mais que lrsquoon peut deacutecomposercette excitation en une somme de termes simples alors il suffit deconnaicirctre la reacuteponse du systegraveme vis agrave vis de ces termes pour deacuteter-miner la reacuteponse complegravete par une simple sommation Cela traduitfinalement le fait que des causes produites simultaneacutement engendrentun effet qui est le reacutesultat de la somme des effets produits par cha-cune des causes appliqueacutees seules Crsquoest cette proprieacuteteacute importantequi permet par exemple de connaicirctre la reacuteponse drsquoun oscillateur li-neacuteaire soumis agrave une force quelconque agrave partir de la reacuteponse de cetoscillateur vis-agrave-vis drsquoune force sinusoiumldale car on sait deacutecomposerune force quelconque en une somme de termes sinusoiumldaux (analysede Fourier)

Eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire agrave coefficients constants

Dans de nombreux cas les problegravemes physiques simples megravenent agrave uneeacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire agrave coefficients constants qui srsquoeacutecrit de lafaccedilon suivante

0H() + + 02 yenH + 01 currenH + 00H = 5 (C) (A4)

ougrave les constantes 0 ainsi que la fonction 5 (C) sont connues Il est facilede voir que lrsquoopeacuterateur diffeacuterentiel est bien lineacuteaire Cette eacutequationest dite lineacuteaire agrave coefficients constants avec second membre Pourreacutesoudre cette eacutequation il suffit donc de trouver les solutions de lrsquoeacutequa-tion homogegravene ainsi qursquoune solution particuliegravere de lrsquoeacutequation (A4)On admettra les reacutesultats suivants

Solution particuliegravere

Il existe une meacutethode geacuteneacuterale pour trouver la solution particuliegraveremais dans la plupart des cas il suffit de chercher une solution ayant lamecircme forme que le second membre 5 (C) On retiendra notamment que

mdash si 5 (C) = 1 avec 1 une constante on cherchera une solutionparticuliegravere de la forme Hp = Cte En remplaccedilant H par cetteconstante dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle on trouve immeacutediate-ment Hp = 100

mdash si 5 (C) est un polynocircme de degreacute on cherchera une solutionparticuliegravere sous la forme drsquoun polynocircme de degreacute Hp (C) =V0 + V1C + + VC On obtient les coefficients V par identificationen remplaccedilant dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (A4) H(C) par Hp (C)

mdash si 5 (C) est sinusoiumldal de pulsation l on cherchera une solutionparticuliegravere sous la forme Hp (C) = cos(lC) + sin(lC) On ob-tiendra et eacutegalement par identification

A3 Eacutequation agrave variables seacuteparables 147

Remarques lors de la recherche de la solution particuliegravere il arrive queles meacutethodes citeacutees plus haut eacutechouent Citons deux exemples

1 Dans le cas ougrave le second membre est un polynocircme de degreacute ilpeut arriver qursquoil nrsquo y ait pas de solution particuliegravere sous la formedrsquoun polynocircme de degreacute Dans ce cas on envisagera un polynocircmede degreacute supeacuterieur

2 Dans le cas ougrave le second membre est sinusoiumldal de pulsation l lameacutethode proposeacutee plus haut eacutechouera si lrsquoeacutequation caracteacuteristiqueadmet comme racine 8l ou minus8l Dans ce cas il faut chercher unesolution particuliegravere de la forme C [ cos(lC) + sin(lC)]

Solutions de lrsquoeacutequation homogegravene

La solution de lrsquoeacutequation sans second membre est de la forme 4AC ougrave Aest un nombre reacuteel ou complexe solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique

0A + + 02A

2 + 01A + 00 = 0

Si les racines sont distinctes la solution est

Hh (C) ==sum=1

ougrave les constantes deacutesignent les constantes drsquointeacutegration

La solution geacuteneacuterale srsquoeacutecrit donc

H(C) ==sum=1

4A C + Hp (C)

Remarques lors de la reacutesolution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique il peutarriver que lrsquoon obtienne des racines multiples Dans ce cas on admettraqursquoil faut remplacer la solution 4

A C par (C)4A C ougrave (C) est un poly-nocircme de degreacute 1 si A est racine double 2 si elle est triple etc On veacuterifieraque le nombre de constantes drsquointeacutegration est eacutegal agrave Lrsquoeacutequation caracteacuteristique peut admettre des racines complexes A =

0 + 81 ce qui produit des solutions du type 40 C 481 C avec = U + 8Vune constante drsquointeacutegration complexe Cependant cherchant des solutionsreacuteelles la partie imaginaire sera neacutecessairement nulle et il ne faut alorsconserver que la partie reacuteelle agrave savoir 40 C [(U cos(1 C) minus V sin(1 C)]

A3 Eacutequation agrave variables seacuteparables

Deacutefinition

Une eacutequation diffeacuterentielle agrave variables seacuteparables est du type

currenH6(H) = 5 (C) (A5)

Si et sont des primitives de 6 et 5 lrsquoeacutequation diffeacuterentielle peutalors srsquoeacutecrire

d (H(C))dC

=d (C)

dC=rArr (H) = (C) +Cte (A6)

ougrave la constante est imposeacutee par la condition initiale Cte = (H0) minus (0)

Exemple Chute libre avec frottement quadratique

Lacircchons un corps de masse lt dans un fluide et supposons que lefrottement fluide est bien modeacuteliseacute par une loi quadratique t = VE

2Le mouvement est rectiligne de vitesse E(C) qursquoil srsquoagit de deacuteterminer Silrsquoon note 6 le champ de pesanteur la relation fondamentale appliqueacuteedans le reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute galileacuteen donne

lt currenE + VE2 = lt6 avec E(0) = 0

Lrsquoeacutequation est non lineacuteaire du fait de la preacutesence du terme quadratiqueEn revanche il est possible de seacuteparer les variables

currenE 1

1 minus V

lt6E2= 6

Or intdG

1 minus (G0)2=0

0 + G0 minus G

Ainsi la solution (A6) srsquoeacutecrit

radiclt6

radiclt6V + Eradiclt6V minus E

= 6C +Cte

La condition initiale impose la nulliteacute de la constante ce qui donnefinalement

E(C) =radiclt6

eCg minus eminusCg

eCg + eminusCgavec g =

radiclt

La vitesse croit (au deacutebut comme 6C) puis atteint une limite asympto-tique Einfin =

radiclt6V

BMEacuteTHODE DES PERTURBATIONS

En meacutecanique les problegravemes que lrsquoon peut reacutesoudre exactement corres-pondent assez souvent agrave des pheacutenomegravenes fortement ideacutealiseacutes Lorsquelrsquoon cherche une description plus reacutealiste on aboutit en geacuteneacuteral agrave unjeu drsquoeacutequations non solubles analytiquement Cependant il nrsquoest pasrare que parmi les effets physiques consideacutereacutes certains soient mineursdevant les autres Crsquoest le cas en meacutecanique ceacuteleste par exemple ougravelrsquoeacutetude de la trajectoire drsquoune planegravete est essentiellement le reacutesultat delrsquoattraction du Soleil les autres astres jouant un rocircle perturbateur Drsquounpoint de vue matheacutematique la formalisation du problegraveme aboutit alorsagrave une eacutequation diffeacuterentielle avec un ou plusieurs termes perturba-teurs Nous proposons ici drsquointroduire une meacutethode dite meacutethode desperturbations qui permet drsquoapprocher analytiquement la solution dansce contexte

femto-physiquefrmecaniquemethode-des-perturbationsphp

B1 Principe geacuteneacuteral

Illustration sur un exemple

Pour illustrer notre propos consideacuterons le problegraveme de la chute avecfrottement quadratique Depuis une hauteur ℎ on lacircche un corpsde masse lt dans le champ de pesanteur 6 ceci dans lrsquoair qui offreune reacutesistance que lrsquoon modeacutelise par une force 5 = VE2 Rappelonslrsquoeacutequation du mouvement

= 6 minus V

ltE2 avec E(0) = 0

ougrave E est la vitesse du corps Supposons de plus que la hauteur de chuteℎ soit suffisamment petite pour que les forces de frottement soientfaibles devant le poids Le principe de la meacutethode consiste drsquoabordagrave neacutegliger la perturbation et reacutesoudre lrsquoeacutequation on obtient une pre-miegravere solution E0 (C) Ensuite on remplace dans le terme perturbateurE par lrsquoapproximation E0 On admet alors que lrsquoerreur produite danscette opeacuteration drsquoune part est atteacutenueacutee car intervenant seulement dansle terme ldquoperturbateurrdquo qui reste petit et drsquoautre part a un effet petit

150 B MEacuteTHODE DES PERTURBATIONS

sur le reacutesultat On reacutesout agrave nouveau lrsquoeacutequation diffeacuterentielle pour ob-tenir E1 solution perturbeacutee drsquoordre 1 On pourrait continuer lrsquoopeacuterationplusieurs fois mais en geacuteneacuteral on srsquoarrecircte agrave lrsquoordre 1 ou 2 Voyons ici ceque donne un deacuteveloppement perturbatif agrave lrsquoordre 1

dC= 6 =rArr E0 (C) = 6C

dC= 6 minus V

lt(E0)2 =rArr E1 (C) = 6C minus

Ici on connaicirct la solution exacte elle srsquoeacutecrit

E(C) =radiclt6

(radicV6

)Rappel matheacutematique

La fonction 5 (G) = e2Gminus1e2G+1 est la fonction

tangente hyperbolique noteacutee tanh(G) Son deacuteveloppement limiteacute agrave lrsquoordre 6srsquoeacutecrit

tanh(G) = G minus G3

15G5 + O(G7)

On remarque que la solution approcheacutee E1 correspond au deacuteveloppe-ment limiteacute de la solution exacte agrave lrsquoordre 4 au voisinage de C = 0

E(C) =radiclt6

(radicV6

)= 6C minus V6

3ltC3 + O(C5)

La solution approcheacutee E1 (C) est donc agrave retenir tant que le terme drsquoordre5 est neacutegligeable devant le terme drsquoordre 3 crsquoest-agrave-dire tant que C2 5lt2V6 En terme de hauteur ce la donne ℎ 1

26C2 5lt

Meacutethode des perturbations agrave lrsquoordre un

La deacutemarche preacuteceacutedente se geacuteneacuteralise agrave lrsquoordre = mais on retiendra lescheacutema geacuteneacuteral de la meacutethode des perturbations agrave lrsquoordre un

Meacutethode des perturbations au premier ordre

Consideacuterons une eacutequation diffeacuterentielle de la forme

currenH = 5 (C H(C)) + n6(C H(C)) avec H(0) = H0

ougrave n est un paramegravetre suffisamment petit pour que lrsquoon puisseconsideacuterer le terme n6(C H(C)) comme une perturbation La meacutethodeconsiste agrave rechercher une solution de la forme H = H0 + n H1 et agraveremplacer H par H0 dans le terme perturbateur On obtient alors

dC+ n dH1

dC= 5 (C H0 + n H1) + n6(C H0) avec H0 (0) + n H1 (0) = H0

Proceacutedant agrave un deacuteveloppement de 5 agrave lrsquoordre 1 au voisinage de H0on obtient

dC+ n dH1

dC= 5 (C H0) + n H1 5

primeH (C H0) + n6(C H0) avec H0 (0) + n H1 (0) = H0

eacutequation qui doit ecirctre valable pour tout n proche de zeacutero On obtient

B2 Cas des oscillateurs 151

alors deux eacutequations diffeacuterentielles

dC= 5 (C H0 (C)) avec H0 (0) = H0

dC= H1 5

primeH (C H0) + 6(C H0) avec H1 (0) = 0

Si lrsquoon sait reacutesoudre la premiegravere eacutequation (solution non perturbeacutee)alors la deuxiegraveme eacutequation est une eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaireavec second membre

La meacutethode des perturbations est agrave utiliser avec preacutecaution

mdash Agrave lrsquoordre 1 elle repose tout drsquoabord sur lrsquohypothegravese n H1 (C) H0 (C) qui nrsquoest en geacuteneacuteral pas veacuterifieacutee pour tout C La solution adonc un domaine de validiteacute restreint que lrsquoon peut estimer agravelrsquoaide drsquoarguments physiques ou matheacutematiques

mdash Le deacuteveloppement perturbatif agrave lrsquoordre = (H = H0 + n H1 + + n=H=)ne converge pas toujours lorsque = rarr infin Cependant mecircmedans ce cas il peut donner drsquoexcellents reacutesultats si lrsquoon se limiteagrave un ordre petit crsquoest ce qui fait toute la puissance de cette meacute-thode Par exemple en theacuteorie quantique des champs le momentmagneacutetique de lrsquoeacutelectron a eacuteteacute deacutetermineacute avec une preacutecision de10minus11 par une meacutethode perturbative agrave lrsquoordre 3 en excellentaccord avec lrsquoexpeacuterience alors mecircme que la seacuterie perturbativediverge

B2 Cas des oscillateurs

Dans le cas des systegravemes oscillants non lineacuteaires il arrive souventque la meacutethode preacuteceacutedente fasse apparaicirctre des pheacutenomegravenes de reacuteso-nance qui nrsquoont aucun sens physique On utilise alors la meacutethode deLindstedt

Meacutethode de Lindstedt

Supposons que nous voulions reacutesoudre analytiquement lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle drsquoun oscillateur non lineacuteaire contenant un terme anhar-monique suffisamment petit pour le traiter comme une perturbationLa meacutethode des perturbations classique a cependant le deacutefaut de pro-duire des solutions divergentes lorsqursquoil nrsquoy a pas de terme dissipatifagrave cause du pheacutenomegravene de reacutesonance

Pour eacuteviter ces divergences sans aucun sens physique Lindstedt aproposeacute la meacutethode perturbative suivante

1 Cherchant des solutions oscillantes on deacutefinit une pulsationl = l0 + nl1 + n2l2 ougrave les l8 sont des paramegravetres agrave trou-ver

2 On remplace le temps C par la nouvelle variable i = lC

3 On cherche la solution sous la forme G(i) = G0 (i) + nG1 (i) +n2G2 (i) + ougrave les G8 (i) sont des fonctions inconnues

4 Par substitution dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle on obtient = + 1eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires si lrsquoon deacutecide de faire undeacuteveloppement perturbatif agrave lrsquoordre =

5 On reacutesout chaque eacutequation de maniegravere iteacuterative en commen-ccedilant par la recherche de G0 (i) Lors de cette reacutesolution les8i sont choisis de faccedilon agrave annuler les pheacutenomegravenes de reacuteso-nance

Illustration avec lrsquooscillateur de Duffing

Prenons lrsquoexemple de lrsquooscillateur de Duffing pour illustrer la meacutethodede Lindstedt Cet oscillateur veacuterifie lrsquoeacutequation diffeacuterentielle

yenG +l20G + nG

3 = 0 avecG(0) =

currenG(0) = 0

ougrave le terme non lineacuteaire nG3 est suffisamment petit pour justifier lrsquoem-ploi drsquoune meacutethode perturbative Contentons nous drsquoun deacuteveloppe-ment perturbatif agrave lrsquoordre un On pose donc

l = l0 + nl1 puis i = lC

Sachant que yenG = l2G primeprime(i) lrsquoeacutequation diffeacuterentielle devient en omettantles termes drsquoordre supeacuterieur agrave un (

l20 + 2nl0l1

)G primeprime(i) +l2

0G(i) + nG3 (i) = 0

Cherchant la solution sous la forme du deacuteveloppement perturbatifG(i) = G0 (i) + nG1 (i) on obtient apregraves substitution deux eacutequationsdiffeacuterentielles

G primeprime0 (i) + G0 (i) = 0 avecG0 (0) =

G prime0 (0) = 0(B1)

l20Gprimeprime1 (i) +l

20G1 (i) + 2l0l1G

primeprime0 (i) + G

30 (i) = 0 avec

G1 (0) = 0G prime1 (0) = 0

Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (B1) est celle drsquoun oscillateur harmonique

G0 (i) = cos i

En utilisant ce reacutesultat et lrsquoidentiteacute cos3 G = 14 cos 3G + 34 cos G lrsquoeacutequa-tion (B2) se reacuteeacutecrit

G primeprime1 (i) + G1 (i) = cos i

l0minus 33

)minus 3

cos 3i

Il srsquoagit ici de lrsquoeacutequation drsquoun oscillateur harmonique soumis agrave une

excitation peacuteriodique Or le terme cos i(2l1l0 minus 334l2

)est res-

ponsable drsquoune reacutesonance qursquoil faut eacuteliminer si lrsquoon veut eacuteviter unesolution divergente On doit donc imposer

l0 minus 33

= 0 =rArr l1 =32

Ainsi une fois les problegravemes de divergence eacutelimineacutes lrsquoeacutequation B2srsquoeacutecrit

G primeprime1 (i) + G1 (i) = minus3

cos 3i avecG1 (0) = 0G prime1 (0) = 0

Eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire qui se reacutesout sans difficulteacute (cf Annexepage 143)

G1 (i) =3

(cos 3i minus cos i)

Finalement la meacutethode des perturbation agrave lrsquoordre un donne commereacutesultat analytique

G(C) ( minus n 3

)cos(l0 + nl1)C +

cos 3(l0 + nl1)C avec l1 =32

(B3)Cette approximation est drsquoautant plus proche de la solution que leterme non lineacuteaire est petit devant le terme harmonique crsquoest-agrave-direlorsque |n |3 l2

0 La Figure B1 compare cette solution avec lasolution numeacuterique obtenue par la meacutethode drsquoEuler on constate undeacutesaccord de plus en plus prononceacute au cours du temps ducirc agrave lrsquoerreurde troncature produite par lrsquoapproximationl l0 + nl1 Ce deacutesaccordse prononce drsquoautant plus vite que n augmente

0 5 10 15 20

minus1

Oscillateur de Duffing n = 0 1

Euler Lindstedt (ordre un)

0 5 10 15 20

minus1

Oscillateur de Duffing n = 1

FIGURE B1 ndash Solution G (C) de lrsquooscillateur de Duffing avec = 1 et l0 = 1 Comparaison entre la solution approximative (B3) et lasolution numeacuterique obtenue par la meacutethode drsquoEuler

Application le pendule simple ndash Une application du calcul preacuteceacutedent estla deacutetermination de la peacuteriode du pendule simple en fonction de lrsquoamplitudemax des oscillations En effet pour les angles suffisamment petits sin() minus 36 de sorte que lrsquoeacutequation du pendule simple se ramegravene agrave lrsquoeacutequationde lrsquooscillateur de Duffing avec n = minusl2

yen +l20 minus

63 = 0

Le reacutesultat de la meacutethode de Lindstedt agrave lrsquoordre un preacutevoit que (C) oscille agravela pulsation

l = l0 + nl1 = l0

(1 minus

2max16

)ce qui donne une peacuteriode des oscillations

2max16

)quand max rarr 0 (B4)

On trouve ici la ceacutelegravebre formule de Borda en lrsquohonneur de Jean-Charlesde Borda (1733ndash1799) qui lrsquoobtint de maniegravere empirique On peut montrerqursquoelle produit une erreur relative infeacuterieure agrave 10minus3 si lrsquoon impose max lt 40deg

(C)ℓ

minusrarrDA

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓ

FIGURE C1 ndash Le pendule et son profileacutenergeacutetique

CPEacuteRIODE DU PENDULE SIMPLE

Comme nous lrsquoavons vu au Chapitre 5 un pendule simple de masselt et de longueur ℓ agrave qui lrsquoon donne une eacutenergie modeacutereacutee (ΔEm lt6ℓ) oscille autour de sa position drsquoeacutequilibre eq = 0 La peacuteriode desoscillations

)0 = 2c

radicℓ

est indeacutependante de lrsquoamplitude des oscillations dans le cadre delrsquoapproximation harmonique crsquoest-agrave-dire pour les petits angles

Lrsquoobjet de ce compleacutement est drsquoeacutetudier un des effets anharmoniquesdu pendule simple agrave savoir la deacutependance de la peacuteriode ) des oscil-lations avec leur amplitude max Nous preacutesentons notamment uneformule baseacutee sur la moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique tregraves efficaceet pourtant assez peu connue

femto-physiquefrmecaniqueperiode-pendule-simplephp

C1 Mise en eacutequation

Consideacuterons un pendule formeacute par une masse ponctuelle lt attacheacute agraveune tige rigide de longueur ℓ et de masse neacutegligeable La conservationde lrsquoeacutenergie meacutecanique se traduit par

12ltℓ2 curren2 minuslt6ℓ cos = minuslt6ℓ cos max

drsquoougrave lrsquoon tire lrsquoeacutequation diffeacuterentielle drsquoordre un

curren = plusmnl0radic

2 (cos minus cos max) avec l0 =

radic6

Seacuteparons les variables puis inteacutegrons entre = 0 et max ( curren gt 0) int max

dradic2 (cos minus cos max)

int ) 4

0l0 dC

156 C PEacuteRIODE DU PENDULE SIMPLE

Faisons intervenir la peacuteriode aux petits angles )0 Sachant que l0)0 =

2c on trouve

) =2)0

int max

Enfin il est judicieux de proceacuteder au changement de variable suivant sin q = sin(2)

sin(max2) On obtient alors

) = )0 E

)avec E(G) = 2

int c2

dqradic1 minus G2 sin2 q

ougrave E(G) deacutesigne lrsquointeacutegrale elliptique de premiegravere espegravece Cette inteacutegralepreacutesente lrsquoinconveacutenient de ne pas srsquoexprimer en termes de fonctionssimples

C2 Formule de Borda

On remarque que E(G) rarr 1 lorsque G rarr 0 de sorte que lrsquoon retrouvela limite harmonique agrave savoir ) rarr )0 quand max rarr 0 On peut allerau delagrave de lrsquoapproximation harmonique en faisant un deacuteveloppementde E(G) au voisinage de G = 0 Eacutecrivons

1radic1 minus G2 sin2 q

= 1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

Ainsi on peut approcher lrsquointeacutegrale elliptique pour les petits G par

E(G) = 2c

int c2

(1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

)dq = 1 + 1

4G2 + O(G4)

ce qui donne pour la peacuteriode drsquooscillation du pendule

) = )0

(1 + 1

4sin2 max

(sin4 max

))Finalement si lrsquoon neacuteglige les termes drsquoordre 4 on a sin2 (max2) 2

max2 et lrsquoon obtient lrsquoapproximation de Borda

)quand max rarr 0 (C3)

La deacutependance de la peacuteriode avec lrsquoamplitude des oscillations est doncquadratique On met ainsi en eacutevidence un effet anharmonique ducirc auprofil non parabolique du puits de potentiel dans lequel est pieacutegeacute lependule Toutefois la formule de Borda produit une erreur supeacuterieureagrave 1 degraves que lrsquoon deacutepasse 74deg

Il existe ndash et crsquoest moins connue ndash une formule approximative reposantsur la moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique qui surpasse et de loin les

C3 Utilisation de la moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique 157

performances de la plupart des autres formules que lrsquoon trouve dansla litteacuterature [15] [15] CARVALHAES et al (2008)

ldquoApproximations for the period ofthe simple pendulum based on thearithmetic-geometric meanrdquo

C3 Utilisation de la moyennearithmeacutetico-geacuteomeacutetrique

Il existe plusieurs meacutethodes numeacuteriques pour approcher la fonctionelliptique Par exemple dans lrsquoesprit de la deacutemarche preacuteceacutedente il estpossible de deacutevelopper E(G) en seacuterie et drsquoen obtenir une approximationen proceacutedant agrave une troncature de la seacuterie agrave partir drsquoun certain rangOn peut aussi utiliser une meacutethode numeacuterique de calcul drsquointeacutegralequi se ramegravene agrave un calcul drsquoaire Nous proposons ici une meacutethodenumeacuterique tregraves simple et drsquoune grande preacutecision qui repose sur le faitque la fonction elliptique est lieacutee agrave la limite commune de deux suitesqui convergent extrecircmement rapidement

Moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique

Consideacuterons les suites reacuteelles (0=) et (1=) deacutefinies par les relations0= = 1

2 (0=minus1 + 1=minus1)

1= =radic0=minus11=minus1

avec00 = 0 gt 0

10 = 1 lt 0

Ces suites comme on le constate sur la Table C1 convergent tregraves vite88

88 On peut montrer que

0=+1 minus 1=+1 le1

81(0= minus 1=)2

drsquoougrave une convergence quadratique versℓ01

vers une limite ℓ01 dite moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique

Moyenne

Iteacuteration Arithmeacutetique (0=) Geacuteomeacutetrique (1=) |0= minus 1= |

= = 1 075 070710678 510minus2

= = 2 072855339 072823765 310minus4

= = 3 072839555 072839550 510minus8

TABLE C1 ndash Moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique pour 0 = 1 et 1 = 05

Consideacuterons maintenant lrsquointeacutegrale suivante

I(0 1) = 2c

int c2

dqradic02 cos2 q + 12 sin2 q

Il est possible de montrer ndash apregraves quelques changements de variables89

89 cf httpmathunicaenfr

~boxallAGMpdf

ndash que I(0 1) est invariante par la transformation 0 ↦rarr (0 + 1)2 et1 ↦rarr

radic01 Par conseacutequent

I(0 1) = I(01 11) = = I(0= 1=) = = I(ℓ01 ℓ01)

cette derniegravere inteacutegrale se calculant sans difficulteacute

I(0 1) = I(ℓ01 ℓ01) =2c

int c2

dqℓ01

=1ℓ01

De plus si lrsquoon pose 0 = 1 et 1 =radic

1 minus G2 on obtient

I(1radic

1 minus G2) = E(G) car cos2 q + (1 minus G2) sin2 q = 1 minus G2 sin2 q

Finalement la fonction elliptique vaut

E(G) = 1ℓ1radic

1minusG2

ougrave ℓ1radic

1minusG2 est la limite de la suite arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique avec 0 = 1

et 1 =radic

1 minus G2

Algorithme de calcul de )

En utilisant les relations (C4) et (C2) la peacuteriode du pendule simplesrsquoexprime simplement en fonction de la moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique

ℓ1cos(max2)(C5)

Degraves lors il est extrecircmement aiseacutee de calculer numeacuteriquement ) demaniegravere tregraves preacutecise agrave lrsquoaide drsquoune meacutethode numeacuterique qui tient enquelques lignes Nous proposons lrsquoalgorithme suivant

Algorithme de calcul de ) (max)

1 Initialisation de 6 ℓ max et de la preacutecision requise n

2 )0 = 2cradicℓ6 et ) = )0

3 0 = 1 et 1 = cos(max 2) 4 Valeur booleacuteenne preacutecision_insuffisante=VRAIE

5 TANT QUE (preacutecision_insuffisante) FAIRE

mdash 2 = (0 + 1)2

mdash 1 =radic01

mdash 0 = 2

mdash )prec = )

mdash ) = )00

mdash SI |) minus)prec | lt n preacutecision_insuffisante=FAUX

6 RETOURNER )

Approximations baseacutees sur la moyennearithmeacutetico-geacuteomeacutetrique

En prime cette convergence extrecircmement rapide nous donne la possi-biliteacute drsquoobtenir une expression analytique approcheacutee de ) ceci pourune grande gamme de valeurs de max et avec preacutecision tout a fait suf-fisante pour des mesures effectueacutees dans le cadre de lrsquoenseignement

0 50 100 1501

angle max ()

calcul laquo exact raquoFormule de Borda (C3)Formule MAG-2 (C6)

FIGURE C2 ndash Evolution de la peacuteriode) du pendule simple en fonction delrsquoamplitude drsquooscillation max On com-pare le calcul laquo exact raquo avec les approxi-mations de Borda et de la moyennearithmeacutetico-geacuteomeacutetrique au rang 2

0 50 100 150

10minus4

10minus2

angle max ()

Formule de BordaFormule MAG-2

FIGURE C3 ndash Evolution de lrsquoerreur re-lative n = Δ) )0 commise par les for-mules approximatives en fonction delrsquoamplitude drsquooscillation max

Si on approche ℓ(0 1) par 0= on obtient lrsquoapproximation

0=[formule MAG-n]

En pratique la formule MAG-2 correspondant agrave = = 2 iteacuterations seratout a fait suffisante comme on peut le constater sur le tableau C1Crsquoest pourquoi nous adoptons lrsquoapproximation suivante

4)0(1 +

radiccos max2

)2 (C6)

On retrouve comme attendu ) rarr )0 quand max rarr 0 et le deacutevelop-pement au voisinage de max = 0 agrave lrsquoordre deux redonne la formulede Borda Par contre quand max rarr c elle donne ) rarr 4)0 au lieu de) rarrinfin

La Figure C2 deacutemontre de faccedilon visuelle la supeacuterioriteacute de la formule(C6) devant celle de Borda La Figure C3 montre que lrsquoerreur commisepar la formule (C6) est infeacuterieure agrave 10minus5 entre 0 et 90deg

M(A )A

bullFrsquo

FIGURE D1 ndash Lrsquoellipse

DLES CONIQUES

httpsfemto-physiquefrmecaniqueconiquesphp

D1 Introduction

Par deacutefinition les coniques sont les sections drsquoun cocircne de reacutevolutionpar un plan ne passant pas par son sommet Il existe trois formesdiffeacuterentes lrsquoellipse la parabole et lrsquohyperbole Une conique possegravedeau moins un foyer F et un axe de symeacutetrie passant par F Lrsquoeacutequationpolaire drsquoune conique avec origine au foyer srsquoeacutecrit

A () =

4 cos( minus 0) plusmn 1avec

gt 04 ge 0

est appeleacute paramegravetre et 4 excentriciteacute de la conique Eacutetant donneacuteque la transformation minus 0 ↦rarr 0 minus laisse invariante la coniquecelle-ci preacutesente donc toujours un axe de symeacutetrie ici lrsquoaxe = 0 Parcommoditeacute nous prendrons lrsquoaxe FG comme axe de symeacutetrie de sorteque 0 = 0

D2 Lrsquoellipse

Proprieacuteteacutes de lrsquoellipse

Par deacutefinition lrsquoellipse est une conique drsquoexcentriciteacute 4 lt 1 Son eacutequa-tion polaire srsquoeacutecrit donc

A () =

4 cos() + 1avec gt 0 et 0 le 4 lt 1 (D1)

On remarque immeacutediatement que lorsque 4 = 0 lrsquoellipse se confondavec le cercle de centre F et de rayon Dans le cas ou 4 ne 0 lrsquoellipsepreacutesente les proprieacuteteacutes suivantes

1 La courbe est borneacutee puisque A est fini pour toute valeur de

2 La fonction A () eacutetant 2c-peacuteriodique il srsquoagit donc drsquoune courbequi se referme apregraves une reacutevolution

162 D LES CONIQUES

3 Le point le plus rapprocheacute de lrsquoorigine F est appeleacute peacutericentre etcorrespond agrave = 0 Il se situe agrave Ap = (1 + 4) du foyer

4 Le point le plus eacuteloigneacute de lrsquoorigine est appeleacute apocentre etcorrespond agrave = c Il se situe agrave la distance Aa = (1 minus 4) dufoyer

5 Par deacutefinition la distance 20 qui seacutepare le peacutericentre de lrsquoapo-centre est le grand-axe de lrsquoellipse on a

20 = Aa + Ap =2

1 minus 42

6 Posons le point C sur lrsquoaxe de symeacutetrie agrave gauche de F de sorteque CF = 2 = 04 et deacutefinissons Frsquo lrsquoimage de F par la symeacutetriecentrale de centre C Calculons la distance FM + FrsquoM

Drsquoapregraves la relation drsquoAl-Kashi on a

FM = A et FrsquoM =radicA2 + 422 + 4A 2 cos

Or on a 2 = 40 et A = 0(1 minus 42)(4 cos + 1) drsquoougrave

422 + 4A 2 cos = 44202 + 4A 4 0 cos

= 402 + 402 (42 minus 1) + 402 (1 minus 42)4 cos 4 cos + 1

= 402 minus 402 (1 minus 42)4 cos + 1

422 + 4A 2 cos = 402 minus 40 A

Finalement FrsquoM =radicA2 + 402 minus 40A = 20 minus A de sorte que lrsquoon

trouveFM + FrsquoM = 20 (D2)

Il srsquoagit de la deacutefinition bifocale de lrsquoellipse

7 Cette derniegravere proprieacuteteacute implique une symeacutetrie par rapport auxaxes (CH) et (CG) et donc une symeacutetrie centrale de centre C Ilexiste donc deux positions de M sur lrsquoaxe CH seacutepareacutees de ladistance 21 appeleacute petit-axe Dans ce cas compte tenu de larelation (D2) on a

FM = FrsquoM = 0 et FM =radic22 + 12

Ainsi petit et grand-axe sont lieacutes agrave la distance focale 2 par larelation

02 = 12 + 22 (D3)

Eacutequation carteacutesienne

Lrsquoeacutequation carteacutesienne est relativement simple si lrsquoorigine du repegravereest placeacutee au centre de lrsquoellipse En effet eacutecrivons lrsquoeacutequation (D1) sousla forme A = minus A4 cos et substituons les coordonneacutees carteacutesiennesG = A cos + 2 et H = A sin

A = minus 4(G minus 2) =rArr A2 = (G minus 2)2 + H2 = 2 + 42 (G minus 2)2 minus 24(G minus 2)

D3 La parabole 163

bullFoyer

FIGURE D2 ndash La parabole

Deacuteveloppons en placcedilant les termes quadratiques agrave gauche

G2 (1 minus 42) + H2 = 2 + 4222 + 242 minus 22 + G(22 minus 2242 minus 24)

Sachant que = 0(1 minus 42) et 2 = 40 la relation devient

G2 (1minus 42) + H2 = 02 (1minus 42)2 + 4402 +20242 (1minus 42) minus 4202 + G(240 minus 2043 minus 204(1 minus 42)

)soit apregraves simplification

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42) (D4)

Le terme de droite repreacutesente 02 minus 22 = 12 de sorte que lrsquoeacutequationcarteacutesienne drsquoune ellipse de demi-grand axe 0 et de demi-petit axe 1srsquoeacutecrit

02 +H2

12 = 1 (D5)

D3 La parabole

Proprieacuteteacutes

Par deacutefinition la parabole est une conique drsquoexcentriciteacute 4 = 1 Soneacutequation polaire avec origine au foyer est donc

A () =

1 + cos (D6)

On est toujours en preacutesence de la symeacutetrie drsquoaxe OG Le peacutericentre estobtenu lorsque = 0 et se situe agrave la distance 2 du foyer appeleacuteedistance focale Par ailleurs lorsque rarr plusmnc la distance FM tend verslrsquoinfini

Placcedilons lrsquoorigine drsquoun repegravere carteacutesien au peacutericentre91 91 appeleacute aussi sommet de la paraboleen orientantlrsquoaxe OG vers la gauche Eacutecrivons lrsquoeacutequation polaire (D6) sous la formeA = minus A cos et substituons les coordonneacutees carteacutesiennes G = 2 minusA cos et H = A sin radic

H2 + (G minus 2)2 = + (G minus

Eacutelevons au carreacute

H2 + (G minus 2)2 = 2 + (G minus

2)2 + 2(G minus

Apregraves simplification on trouve que lrsquoeacutequation carteacutesienne drsquoune para-bole de paramegravetre srsquoeacutecrit

H2 = 2 G (D7)

164 D LES CONIQUES

Remarque Si lrsquoon transforme G rarr H et H rarr minusG cela revient agrave tournerla parabole de minusc2 On obtient dans ce cas lrsquoeacutequation usuelle drsquouneparabole H = 1

D4 Lrsquohyperbole

Par deacutefinition lrsquohyperbole est une conique drsquoexcentriciteacute 4 gt 1 etdrsquoeacutequation polaire

A () =

4 cos plusmn 1avec

gt 04 gt 1

ce qui deacutecrit deux branches drsquohyperbole dont les asymptotes se coupenten un point O

FIGURE D3 ndash Hyperbole drsquoexcentriciteacute4 = 1 6

BminusB+

bullFoyer

M(Aminus )

M(A+ )

Lrsquoeacutequation Aminus () = (4 cos minus 1) deacutecrit une branche Bminus dont lesasymptotes font un angle plusmn1 avec lrsquoaxe des abscisses En effet Adiverge quand cos 1 = 14 ce qui donne la pente des asymptotes

tan 1 = plusmnradic42 minus 1

De la mecircme faccedilon lrsquoeacutequation A+ () = (4 cos +1) deacutecrit une deuxiegravemebranche B+ drsquohyperbole dont les asymptotes font un angle plusmn2 donneacutepar cos 2 = minus14 Ainsi

2 = c minus 1

et les asymptotes preacutesentent une symeacutetrie drsquoaxe OH Finalement lesasymptotes admettent une symeacutetrie centrale de centre O proprieacuteteacutepartageacutee par les branches drsquohyperbole

Soit le rectangle tangent agrave lrsquohyperbole en = 0 et dont les sommetssont sur les asymptotes Par deacutefinition les dimensions de ce rectanglesont appeleacutees grand-axe et petit-axe de lrsquohyperbole et noteacutees respec-tivement 20 et 21 La distance focale 2 est ici la distance qui seacutepare

D4 Lrsquohyperbole 165

O du foyer (comme pour lrsquoellipse) Une simple lecture des distancesdonne

4 minus 1minus

4 + 1= 20

4 minus 1= 2 + 0

= 0(42 minus 1)

Par ailleurs la pente des asymptotes vaut aussi plusmn10 de sorte que10 =

radic42 minus 1 crsquoest-agrave-dire

22 = 02 + 12 (D8)

Reprenons la deacutemarche employeacutee dans le cas de lrsquoellipse sans oublierde proceacuteder aux modifications suivantes

1 lrsquoorigine eacutetant agrave droite du foyer il faut poser G = A cos minus 2

2 le paramegravetre est relieacute agrave lrsquoexcentriciteacute et au demi grand-axe par = 0(42 minus 1)

On retrouve alors lrsquoeacutequation (D4) valable donc aussi bien pour uneellipse que pour une hyperbole

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42)

Ici le terme 02 (1 minus 42) vaut 02 minus 22 = minus12 de sorte que lrsquoeacutequationcarteacutesienne drsquoune hyperbole demi-grand axe 0 et de demi-petit axe 1srsquoeacutecrit

02 minusH2

12 = 1 (D9)

Reacutefeacuterences

Reacutefeacuterences classeacutees par ordre drsquoapparition

[1] Eacute KLEIN Les tactiques de Chronos Paris Flammarion 2004 (cf p 1)

[2] T DAMOUR et S DESER ldquoRelativiteacuterdquo In Encyclopaeligdia Universalis (1995) (cf p 3)

[3] S HACYAN ldquoWhat does it mean to modify or test Newtonrsquos second lawrdquo In Am J Phys 777(Juill 2009) (cf p 18)

[4] M LEBARS P Le GAL et S Le DISES ldquoLes mareacutees en geacuteo- et astrophysiquerdquo In Images de la physique- CNRS (2008) (cf p 20 126)

[5] Pierre LAUGINIE ldquoLa peseacutee de la Terrerdquo In Pour la Science Dossier hors-seacuterie La gravitation 38(2003) (cf p 22)

[6] M M NIETO ldquoActually Eoumltvoumls did publish his results en 1910 itrsquos just that no one knows aboutitrdquo In Am J Phys 575 (Mai 1989) (cf p 32)

[7] J BERTRAND ldquoMeacutecanique analytiquerdquo In CR Acad Sci Paris 77 (1873) p 849-853 (cf p 83)

[8] JC RIES et al ldquoProgress in the determination of the gravitational coefficient of the Earthrdquo In Geophysical research letters 196 (1992) p 529-531 (cf p 86)

[9] H KRIVINE La Terre des mythes au savoir Cassini 2011

[10] A QUEDRAOGO et G CHANUSSOT ldquoGeacuteneacuteralisation de la meacutethode de calcul de lrsquoeacutenergie drsquounsatellite cas hyperbolique et paraboliquerdquo In BUP 764 (Mai 1994)

[11] Y DUPONT ldquoDeacuteviation drsquoun photon dans un champ de gravitationrdquo In BUP 899 (deacutec 2007)

[12] Luc VALENTIN Lrsquounivers meacutecanique introduction agrave la physique et agrave ses meacutethodes Hermann 1983

[13] Ascher H SHAPIRO ldquoBath-tub vortexrdquo In Nature 196 (1962) p 1080-1081 (cf p 132)

[14] A MARILLIER ldquoLrsquoexpeacuterience du pendule de Foucault au Palais de la deacutecouverterdquo In Revue dupalais de la deacutecouverte 26258 (Mai 1998) (cf p 133)

[15] Claudio G CARVALHAES et Patrick SUPPES ldquoApproximations for the period of the simple pendulumbased on the arithmetic-geometric meanrdquo In American Journal of Physics 7612 (2008) p 1150-1154(cf p 157)

Notations

Notations matheacutematiques utiliseacutees dans ce cours

(minusrarrDA minusrarrD minusrarrDi) base spheacuterique

(minusrarrDA minusrarrD minusrarrDI) base cylindrique

(minusrarrDG minusrarrDH minusrarrDI) base carteacutesienne

(A i) coordonneacutees spheacuteriques

(A I) coordonneacutees cylindriques

(G H I) coordonneacutees carteacutesiennes

yenH ou d2H

dC2 deacuteriveacutee seconde par rapport au temps

currenH ou dHdC deacuteriveacutee premiegravere par rapport au temps

mGou 5 primeG deacuteriveacutee partielle

RRlowast reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel barycentrique

(C) moyenne temporelle de (C)minusrarrdℓ vecteur deacuteplacement infiniteacutesimalminusrarr vecteurminusrarrD vecteur unitaire

relation de deacutefinition

I composante suivant lrsquoaxe (OI) = I =minusrarr middot minusrarrDI

Grandeurs et constantes physiques

Quelques constantes physiquesles constantes sont fournies avec tous les chiffres significatifs connus

Nom Symbole ValeurConstante gravitationnelle G 6674 times 10minus11 m3kgminus1sminus2

Permittiviteacute dieacutelectrique du vide n0 8854 187 81 times 10minus12 Fmminus1

Permeacuteabiliteacute magneacutetique du vide `0 1256 637 062 times 10minus6 Hmminus1

Masse de lrsquoeacutelectron au repos lte 9109 383 70 times 10minus31 kgMasse du proton au repos ltp 1672 621 923 times 10minus27 kgMasse du neutron au repos ltn 1674 927 498 times 10minus27 kg

Constantes deacutefinies par le SI (valeurs exactes)

Constante de Planck ℎ 6626 070 15 times 10minus34 JsVitesse de la lumiegravere 2 299 792 458 msminus1

Freacutequence hyperfine du 133Cs ΔaCs 9 192 631 770 HzCharge eacuteleacutementaire 4 1602 176 634 times 10minus19 CConstante de Boltzmann 1380 649 times 10minus23 JKminus1

Constante des gaz parfaits = A 8314 462 618 JKminus1molminus1

Nombre drsquoAvogadro NA 6022 140 76 times 1023 molminus1

Efficaciteacute lumineuse cd 683 lmWminus1

(source 2018 CODATA)

Grandeurs physiques

Nom Symbole Uniteacute

Masse lt kgMasse molaire kgmolminus1

Masse volumique d kgmminus3

Charge eacutelectrique CAire A m2

Volume + m3

Temps C sFreacutequence a HzPeacuteriode ) sVitesse E msminus1

Vitesse angulaire pulsation l radsminus1

Acceacuteleacuteration 0 msminus2

Quantiteacute de mouvement kgmsminus1

Moment drsquoune force M NmMoment cineacutetique JsCouple Γ NmMoment drsquoinertieΔ Δ kgm2

Puissance meacutecanique P WRaideur Nmminus1

Facteur de qualiteacute amp sans dimensionTravail JEacutenergie E J

Cours de meacutecanique classique ndash femto-physiquefr

Preface

CINEacuteMATIQUE DU POINT MATEacuteRIEL

Temps et espace

Repeacuterage dun point

Vitesse dun point

Acceacuteleacuteration dun point

Mouvements simples

POSTULATS DE LA DYNAMIQUE

Lois de Newton

Interactions fondamentales

Lois pheacutenomeacutenologiques

PROBLEgraveMES DE CHUTE

Principe deacutequivalence

Chute libre sans frottement

Chute libre avec frottement

APPROCHES EacuteNERGEacuteTIQUES

Concept deacutenergie

Eacutenergie meacutecanique

Systegraveme de points

OSCILLATEURS MEacuteCANIQUES

Oscillateur harmonique

Reacutesonances

Effets anharmoniques

THEacuteOREgraveME DU MOMENT CINEacuteTIQUE

Moment dune force

Moment cineacutetique

TMC

Applications

MOUVEMENTS Agrave FORCE CENTRALE

Lois de conservation

Le problegraveme de Kepler


REacuteFEacuteRENTIELS NON GALILEacuteENS

Reacutefeacuterentiels en translation

Reacutefeacuterentiels en rotation

Geacuteneacuteralisation

PROBLEgraveME Agrave DEUX CORPS

Reacuteduction du problegraveme agrave deux corps

Exemples dapplication

PHYSIQUE DES COLLISIONS


Collisions eacutelastiques

Collisions ineacutelastiques

EFFETS DUS Agrave LA ROTATION TERRESTRE

Effets de la rotation propre

Effets du mouvement orbital

Annexes

REacuteSOUDRE UNE EacuteQUATION DIFFEacuteRENTIELLE

Eacutequation diffeacuterentielle ordinaire

Eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires

Eacutequation agrave variables seacuteparables

MEacuteTHODE DES PERTURBATIONS

Principe geacuteneacuteral

Cas des oscillateurs

PEacuteRIODE DU PENDULE SIMPLE

Mise en eacutequation

Formule de Borda

Utilisation de la moyenne arithmeacutetico-geacuteomeacutetrique

LES CONIQUES

Introduction

Lellipse

La parabole

Lhyperbole


Notations


Cours de meacutecanique classique ndash femto-physiquefrJIMMY ROUSSEL professeur agreacutegeacute agrave lrsquoEcole Nationale Supeacuterieure de Chimie deRennes

Copyright copy 2020 Jimmy Rousselcbn Ce document est sous licence Creative Commons laquo Attribution - Pas drsquoUtilisationCommerciale 30 non transposeacute (CC BY-NC 30) raquoPour plus drsquoinformations httpscreativecommonsorglicensesby-nc30

Ce document est reacutealiseacute avec lrsquoaide de KOMA-Script et LATEX en utilisant la classekaobook

1re eacutedition ndash Oct 2013Version en ligne ndash femto-physiquefrmecanique

Preface

Jimmy Roussel

Preface iii

ANNEXES 141

Notations 169

Table des figures

Liste des tableaux

11 Temps et espace

Le temps

ΔC = C minus C

Lrsquoespace

= 299 792 458 m

minusrarrDG

minusrarrDH

M(G(C)H(C))bull

Vecteur position

0 si 8 ne 9

1 sinon

avec l = Cte

bullbull

trajectoire

MB(C) =

M0M(C)

minusrarrDG

minusrarrDH

bullbull

trajectoire

Abscisse curviligne

drsquoarc

avec l = Cte

B(C) = (C) = lC

Deacutefinition

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrA (C)

ΔCrarr0

Remarques

dminusrarrDGdC+ dH

dCminusrarrDH + H

dminusrarrDHdC

dminusrarrDHdC =

minusrarr0 Fina-

currenG = dGdC

minusrarrDG

minusrarrDH

M(A (C) (C))bull

avec l = Cte

minusrarrEM =

radicEG

2 + EH2 = l

dminusrarrDAdC

Agrave savoir

dminusrarrDAdC

bullM(C)

minusrarrC

minusrarr= (C)

Trajectoire

avec l = Cte

A (C) =

minusrarrEM =

longueur drsquoarc

= limΔCrarr0

MMrsquoΔC

minusrarrC =

dBdCminusrarrC

minusrarrC

E =dBdC

E(C) dC

Agrave savoir

int C2

Deacutefinition

=dminusrarrEM

d2minusrarrAdC2

minusrarrEM

Mrsquo

minusrarrEMrsquo

ΔminusrarrEΔC

ΔminusrarrE

minusrarrEM =

avec l = Cte

dminusrarrDdC

= curren minusrarrD

minusrarr0M =

minusrarr0M =d2B

dC2minusrarrC + dB

dCdminusrarrCdC

dminusrarrCdC

minusrarr=

131313131313131313131313EC =

0C =dECdC

0= =EC

hearts (18)

Agrave savoir

appelons B(C) =

bullM(C)

minusrarrC

dC2minusrarrC

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrEM

M(C)bull

B(C) = 120C C

2 + E0 C + B0 hearts (110)

E22 minus E

21 = 20 (B2 minus B1)

) =2cl

hearts (111)

(Symbole Hz)

a =1)=l

2chearts (112)

21 Lois de Newton

Deacutefinition

minusrarrS =sum8=1

lt8minusrarrEM8

sum8=1

minusrarr0

sum8=1

dminusrarrM

dC= ltminusrarr0M =

minusrarr5 (23)

(Einstein 1905)

minusrarr5 98

minusrarr58

minusrarr58 9

minusrarr5 9

bullM8 (lt8)

bullM 9 (lt 9 )

bullG =rArrTCI G

lt =sum8

minusrarr ext =

minusrarr58

dminusrarr8dC

=minusrarr58

ext +sum9ne8

minusrarr5 98

dminusrarr8dC

=dminusrarrSdC

minusrarr58

dminusrarrSdC

minusrarr ext

1785Coulomb

1820Biot et Savart

1864Maxwell

Feynman et al

Becquerel

1934Fermi

1935Yukawa

Gravitation

Magneacutetisme

Interaction Faible

Interaction Forte

minusrarr512(lt1)

Gravitation

lt1lt2

Sol terrestre

minusrarr = lt

sum8=1

minusGlt8A28

Agrave retenir

minusrarr512

minusrarr521

minusrarr512

minusrarr521

minusminusrarrD12

(2)(1)

minusrarr512 =

minusrarr = amp

sum8=1

minusrarrD8A28

sum8=1

minusrarr (M)

minusrarr512 = 2

minusrarr1 + 2

minusrarr

minusrarrt

minusrarr

`B 018 004 sim 0 8 065

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

t = 12 df ( G E

p = 12 df ( I E

G 041 12 035 0 1

t = UE avec U = Cte

Loi de Stokes

Tension

) (B)dminusrarr5

dminusrarr

) (B) = ) (B + dB) =rArr ) (B) = Cte

Eacutenonceacute

Cas unidimensionnel

radicE2

Es =radic

26ℎ hearts (32)

fluides-parfaitsphp

Cas bidimensionnel

minusrarrE0

I = minus12

E20 cos2

G2 + G tan

Gmax =E2

0 sin 26

minusrarr6

Cas unidimensionnel

dltminusrarr6

(1 minus df

)minusrarr6

Einfin

[1 minus eminusCg

12df(G

E2infin =

lt6prime

V=rArr Einfin =

radic2lt6prime

ltE2 = 6prime

[1 minus

Einfin

11 minus G2 dG =

eG + eminusG

) (dBdC

E =dE22

dDdB+ 26prime

(minus 2BEinfing

E(B) = Einfinradic

126primeg2

Cas bidimensionnel

currenG = EG

currenI = EIet

radicE2G + E2

omprunge-kuttaphp

frottement nul

quadratique

Mminusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

Ordres de grandeur

minusrarr5

minusrarrdℓ

ArarrB intCAB

minusrarr

minusrarr6

minusrarr6bull

minusrarr)

minusrarr

ArarrB =

intCAB

) dℓ = minus)

P = limXCrarr0

XC= limXCrarr0

ArarrB =

int CB

PdC hearts (44)

ArarrB = Ptimes ΔC

1 W = 1 Jsminus1

minusrarr5

ltdminusrarrEdC

minusrarr5

il vientddC

(12ltE2

ddC(Ec) =

ArarrB

ddC(Ec) =

ΔEc =sum

minusrarrDG +m 5

minusrarrDH +m 5

minusrarrDI

Meacutethodologie

mGdG +

mHdH +

mIdI = minus

intCAB

int C2

U(E)E2 dC lt 0

Glt1lt2A

amp1amp2

amp1amp24cn0A

minusrarr5 que

ArarrB = minus

(Ep () minus Ep ()

p (A) = Ec (B) +

Em Ec +sum

Ep = constante (49)

ΔEc =sum

ArarrB +

ncArarrB = minus

ΔEp +ncrarr

dG(Geq)

Stabiliteacute

dG2 (Geq)

G1 G2 G3G

Ep (G) le Em

lt yenG = minusdEp

currenG = plusmn

radiclt

(C)ℓ

minusrarrDA

M(ℓ)

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓElt2

minusrarr598

minusrarr58 9

bull M8 (lt8)

bull M 9 (lt 9 )

yen + 6ℓ

sin = 0

lt8dminusrarrE8dC

sum9ne8

minusrarr5 98

dminusrarrE8dC

sum8 9ne8

Ec (S) sum 1

Ec (S) sum8=1

12ltminusrarrE8 2

avecext =

intPext dC =

int = =intPint dC =

sum8 9ne8

Ec (S) =sum8=1

sum8=1

12lt8E

sum8=1

12lt8E

lowast28 +

(sum8=1

)middot minusrarrEG

sum8=1

Ec (S) =12ltE2

ΔElowastc = int

int =sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

(int CB

int CB

int =12

sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

5 98 dA 98

Reacutep Δ(

2+ Elowastc

)= ext

int = minus12

sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

Epij hearts (416)

Eintp =

sum8 9ne8minusG

lt8lt 9

Eintp =

sum8 9ne8

4cY0A8 9

(12ltE2

+ Elowastc + Eint

)= ext hearts (417)

ΔE= 0 si ext = 0

int CB

ext d-

int CB

minusext d+

amp ext minus

Δ( + 12ltE2

) = +amp (419)

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

minusrarrDG

a0 =l0

lthearts (52)

Ep =12G2 =

122 cos2 (l0C + i)

Ec =12lt currenG2 =

122 sin2 (l0C + i)

Agrave retenir

41 cf Chapitre 2

et si lrsquoon pose

lt[sminus1]

2G = 0 (53)

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

mdash lt = 1 kg

mdash _ = l020

Reacutegime libre

A2 + 2_ A +l02 = 0

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

10minus1

2 4 6 8 10

10minus1

Em = 12 G

2 + 12ltE

52 Reacutesonances

ℓ (C)0 cos lC

yenG + UltcurrenG +

ltcos(lC)

hearts (55)

cos(lC)[01

2 minusl2)+ 2_l 02

]+ sin(lC)

20 cos(lC)

2 minusl2)+ 2_l 02 = l0

20 et 02

01 = 0l0

2 (l02 minusl2)(

l02 minusl2)2 + (2_l)2

et 02 = 02_ll0

2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

radic02

1 + 022

tan i = minus0201

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2et tan i =

2_ll2 minusl02

20 coslC

20 sinlC

20 e8lC (56)

|I | =radic02 + 12

tan i = 10cos i = 0 |I |

2 minusl2)+ 28_l

20(l02 minusl2) + 28_l

_ = _0

_ lt _0

minusminusrarr5 op

minusrarr5

Systegraveme

et tan i =2_l

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

radic2

2 l0 = _0

Application

soiumldal

05 (C) dC

6 =1)[ 5 (C) ])0 = 0

Pop = U2l2 sin2 (lC + i)︸︷︷︸

=12U2l2

Pop =12Ul0

402 l2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

Pop =Pmax

1 +(l02minusl2

12 Pmax

radic2

l02 minusl2

radicl02 + _2

amp a0

Δa=l0

Δlhearts (58)

On trouve ici

0 05 1 15 2 25

eacutee

Oscillateur amp

ampcurrenG +l0

2G = 5 (C)

12` currenG2 + Ep (G) = Em (59)

dG2 (Geq) gt 0

(G minus Geq

yen- + ^`- = 0 (510)

radic^

`hearts (511)

minusc c

minuslt6ℓ

lt6ℓ

Ec =12ltE2 =

radic6ℓ

Anharmoniciteacutes

Ep (G) =int G

50 100 150

angle max ()

0minus0

Ep = 0

5 (G) = sin G

Ep = 0

2 et n = ^02

radic^` et V =

G =VG2

2l02 =304G2

minusrarr51

minusrarr52

minusrarr53

Deacutefinitions

minusrarr58 =rArr

minusrarr0

minusrarr =

minusrarr58 = 8

minusrarr51

sum8=1

minusminusrarrOAand

minusrarr58

bull3A

minusrarrDbullM

minusrarr5

Deacutefinitions

minusrarrA (M)

minusrarrA =

minusrarrB +

A (S) =sum8

minusrarrA (SR) =

minusrarrB (SR) +

minusrarrA (S) =

Il vient alors

minusrarrA (S) =

minusminusrarrAGand

lt8minusrarrE8 +

)and minusrarrEG

63 TMC 73

minusrarrA (S) =

minusrarrG (S) =

minusrarr lowast

ℎ =ℎ

dminusrarrA (M)

dminusrarrEMRdC

ltdminusrarrEMR

dminusrarrA (M)

dΔ (M)dC

=MΔ (minusrarr5 )

dminusrarrA (S)

minusrarr58

minusrarr58 9 =

minusrarr0

64 Applications 75

dminusrarrA (S)

minusrarr58

dminusrarrG (S)

minusrarr58

ext +(sum8

lt8minusrarrE8

)and minusrarrEGR

dminusrarrG (S)

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

ext hearts (69)

en deux mouvements

ltdminusrarrEdC

=minusrarr ext

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

64 Applications

dminusrarrO (M)

minusrarrO (M)

dA = 12

131313= 1

2 | | dC

ext =minusrarr0

minusminusrarrMA

64 Applications 77

minusrarr6

minusrarr1

minusrarr2

minusrarr3

minusrarrD

H8minusrarrE8

minusrarr512 et

minusrarr53 avec

minusrarr512 =

12lt6 tanU

lt8 A28

ΔdldC

=MextΔ

avec Δ =sum8

minusrarr6

minusrarr

appliqueacutee en G

Contact

appliqueacutee en $

Δsin = 0

radiclt6ℓ

radic6

ℓ[pendule simple]

Δ =13lt2 et ℓ =

2=rArr l0 =

radic364ℓ

[barre rectiligne]

Glt1lt2

Ep = minusGlt1lt2

A+Cte hearts (72)

512 =12

4cn0A2minusrarrDA

Ep =12

de poser Cte = 0

dminusrarrO (M)

Ep eff

bullP1

bullP2

12lt currenA2 + lt

2A2 + Ep (A) = Em (75)

Ep eff =lt2

2A2 + Ep (A)

0 Eprimep (A0) (76)

)orb =2ccurren=

)osc = 2cradic`

` = lt

5 (A) =

A2radicA

5 (A) = radicA

A0 =lt2

et )orb = 2c

)osc = 2cradic

radiclt

3lt2A40 minus 2A3

= 2clt23

A2minusrarrDA

Lois de Kepler

Histoire

Ep eff

Ep eff =lt2

2A2 minusGltlt

A02 curren =

lt0 = ltE2

Il vient alors

radicGlt

A0et Ec = minus

12Ep (78)

)2 =Glt

4c2 (79)

Em = Ec + Ep =Ep

2= minusGltlt

12lt currenA2 + lt

2A2 minusGltlt

A2 curren =

currenA = d (1D)dC

= minus 1D2

dDdcurren = minusdD

+ lt2D2

2minus GltltD = Em

curren = D2

d2 + D =Glt

D() = Glt

2 + cos( minus 0)

Glt4 ge 0

4 gt 1

4 lt 1 bullFoyer

c2 dans ce cas

2=rArr A

)2 =Glt

4c2 hearts (711)

lt = 4c2 (149 6106)3

Eacutenergie

1 + 4 cos

currenA = minusdDd

=4 sin

2A2 minusGltlt

=12lt2

[(1 + 4 cos )2

2 + 42 sin2

Em =lt2

(1 + 42 + 24 cos

Em = minusGltlt2

(1 minus 42

)(712)

Em =Gltlt

20[hyperbole]

Em = minusGltlt20

[ellipse]

Em = minusGltlt20

hearts (713)

radic2

3p0 = 570 kmsminus1

Vitesses cosmiques

12ltE2 minus GltltT

T + ℎ 1

2ltE2 minus GltltT

Dans ce cas on a

E ge Elib =radic

Em = minusGltltT

20gt minusGltltT

2T(1 minus 4)

Em gt minusGltltT

22 = 9 mm

radic3)

l =2c)

Cas du cercle

A = A0

= lC + 0

1 + 4 cos et =

De plus

2 = Glt = l203 =

(1 minus 42)3

24 sin = 24 sin(lC)

1 + 4 cos = lC + 24 sin(lC)

Cas elliptique

1 + 4 cos

tan 2 =

minus 4 sin = lC

Cas parabolique

3tan3 2 = 2

= AminEmax =Emax

1 + cos

tan 2 + 13

tan3 2 =Emax

minusrarr5 =

4cn0A2minusrarrDA

Cas attractif

minusGltltharr12

= minus4cn0lt2

124 ge 0

Cprimeh

bullFoyer

Em =12

(1 minus 42

Cas reacutepulsif

Ep eff =lt2

2A2 +12

=4cn0lt

124 gt 1

4 cos minus 1

forddu fait de la

tan(Θdev2)

2E2infin

tan 1 =

4cn0lt 1 E2infin

tanΘdev2 =12

8cn0Ec1(716)

Ec =12

4cn0Ec

3min =242

dminusrarrD primedC

Orsquo

Rprime

Orsquo

Rprime

Orsquo

RprimeOrsquo

Rprime

C = C prime

Rprime

dminusrarrAdC

dminusrarrA primedC

=dG prime

dminusrarrA primedC

=dG prime

minusrarr est donc

minusrarr prime =

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

minusrarr prime =

minusrarr )

Orsquo

RprimeC

bullminusrarr0

minusrarr5i

minusrarr prime

Vecteur rotation

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

=minusrarrE CR =

dminusrarrD primedC

prime)

minusrarr = 1

minusrarrD3prime

dminusrarr

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

dminusrarr

dC prime

Rprime

dminusrarr

=dminusrarr

dC prime

Rprime

axe(Δ)

minusrarrl

Orsquo

minusrarrA prime

A primeperp

A prime

minusrarr0 on

minusrarr1

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

)ce qui donne

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

Force centrifuge

minusrarr

minusrarr5i = ltl

minusrarr5ie = ltl

2 = ltE2

Rprime

minusrarrl

A primeperp

minusrarrE

2 hearts (811)

minusrarrl

(a) Vue de profil

minusrarr5ic

(b) Vue de dessus

dminusrarrD primedC

dminusrarrEe (M)dC

Soleil

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

minusrarr5ic avec

hearts

Rlowast

minusrarr521

minusrarr512

=minusrarrext =

minusrarr0

d2minusminusrarrGM1

minusrarr512

lt1lt2

lt1 +lt2

minusrarr5 tels que

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr5 avec

lt1lt2

lt1 +lt2

5 =minusrarr512

hearts (92)

` =ltltAlt +ltA

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr6

(1 + lt

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

minusminusrarrGM1 =

minusminusrarrGM

minusminusrarrGM2 =

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

2 + Eclowast

vautEclowast =

lt1minusrarrE1 +lt2

minusrarrE2

lt1 +lt2=

lt1 +lt2

)= minus lt2

lt1 +lt2

minusrarrEM

lt1 +lt2

minusrarrEM

lt1 +lt2

+ 12lt2

lt1 +lt2

2 + 12`EM

2 hearts (93)

= int =

(12(lt1 +lt2)EG

2 + 12`EM

(12`EM

2 + Ep = Cte

lt1lt2

lt1 +lt2

d2minusrarrAdC2

G(lt1 +lt2)4 ge 0

hearts (96)

Rlowast

M1bullG

01 =lt2

lt1 +lt20

02 =lt1

lt1 +lt20

)2 =G(lt1 +lt2)

4c2 hearts (97)

2 minus Glt1lt2

lowast

12` currenA2 + 1

A2 minusGlt1lt2

lowast

A2 + Glt1lt2

Emlowast A minus `2

2Emlowast = 0

Emlowast =

minusGlt1lt2

+Glt1lt2

hearts (98)

EbullGP bull

Elowast =2c0lowast)

0lowast

)2 =G(lt +lt)

4c2 Glt

4c2 car lt lt

lt +lt0 lt

et minusEmax avec

Emax =2c0)

4 = 0 4 = 0 2 et 0 = 0 4 = 0 2 et 0 = 45 4 = 0 2 et 0 = 90

minus0

Ep = 0

`dminusrarrEM

dC=minusrarr5

` yenG + ^G = 0

radic^

2 + Ep = Emlowast

2` (G + Aeq)2+ Ep (G) = Em

lowast

Ep eff =lowast2

2` (G + Aeq)2+ Ep (G)

Ep eff lowast2

de la moleacutecule

E=ℓ = (= + 12)ℎa0 + ℓ(ℓ + 1) ℎ2

bulllt1

minusrarrE1

bulllt2

minusrarrE2

bullltprime1

minusrarrE1prime

Apregraves

Deacutefinition

minusrarrext =

minusrarr0 ) Enfin

dminusrarr S

dC=minusrarrext =

minusrarr0

minusrarr avantS =

hearts (101)

sumparticules

[Ec (S) +

1sum8=1

]avant

[Ec (S) +

2sum8=1

]apregraves

hearts (102)

Deacutefinition

noyau positif)

bulllt1

minusrarrE1G

bulllt2

minusrarrE2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2

minusrarrE2prime

Apregraves

lt1E12 +lt2E2

prime)2

2) = lt2 (E22 minus (E2

prime)2)

E1prime =

lt1 +lt2

E2prime =

lt1 +lt2

E1prime =

E2prime =

lt1 +lt2E1

(lt1 +lt2)2Ec1 (104)

minusrarrE2prime

lt1E12 = lt1E1

prime2 +lt2E2prime2

bulllt1

minusrarrE1 bulllt2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2 minusrarrE2

Apregraves

minusrarrE1A

E12 = E1

prime2 + E2prime2

prime2 + E2prime2 +

prime= 0

cos 1 =1

Deacutefinition

[ sum8=12

]avant

sum8=11

apregraves

Choc mou

12lt1E

minusrarrEG

lt1 +lt2

minusrarrE prime

Apregraves

Eprime =lt1

2(lt1 +lt2)E2

|amp |Ec (S)

lt1 +lt2

apregraves

EBSavant (105)

4 =Eprime2 minus E

prime1

E1 minus E2(106)

Reacutep E1prime =

E1 et E2prime =

lt1 (1 + 4)lt1 +lt2

X minusrarr

+1 X +0minus1 4

Ec1 =lt2

lt1 +lt2amp (107)

siegravecle

Hypothegraveses

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

parallegravele

eacutequateur

meacuteridien

Pesanteur terrestre

tension du fil

minusrarr0 (111)

minusrarr0

minusminusrarrCM

Pocircle Nord

Eacutequateur

minusrarrl

minusrarr

otimes minusrarr5ic

Rayon (km) 6370

26ℎ 45 msminus1

yenG = 0

yenH = 2l cos_ 6C

yenI = minus6

yenH = 2l cos_ 6C

H(C) = l cos_3

6 C3 (115)

(int g

0currendC minuslg

ltdminusrarrE MR

minusrarr

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

5 ic bull

minusrarr5 ic

Isobare

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla

minusrarr5ic

fluides-parfaitsphp

minusrarr5 = minus

5ich = 2d l sin_ E

bullbull

preacutec

G (sud)

H (est)

minusrarrDA

minusrarrDI

otimes minusrarrD

minusrarr)

minusrarr6

minusrarrDA

minusrarrD

G (sud)

H (est)OI

vue de dessus

)Foucault =2c

l sin_=

sin_(118)

Tminusrarr0 (C) = T

minusrarr6(C)

minusrarrD

minusrarrE

bullM1

minusrarrC

bullM2

bullM3

bullM4

minusrarrC(M1) =

(A minus T)2minus G

)minusrarrD 2G)

A3minusrarrD

A3minusrarrE

Cmax =G2)A

Distance 1 053 027 00024 038 40

bullminusrarrD MHMH

bullminusrarrD MH

bull Nord

)L = 24 + 128

24 = 24 h50prime

ANNEXES

H [0)] rarr R

C ↦rarr H(C)

(C H(C) currenH(C) H () (C)) = 0 (A1)

minusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

Exemple

currenGcurrenI

minus6 minus V

E0 cos E0 sin

Deacutefinitions

L(H) = 5 (C) (A3)

L(UHh + Hp) = UL(Hh) +L(Hp) = 0 + 5 (C)

Meacutethodologie

0A + + 02A

2 + 01A + 00 = 0

Hh (C) ==sum=1

H(C) ==sum=1

4A C + Hp (C)

Deacutefinition

d (H(C))dC

=d (C)

currenE 1

1 minus V

lt6E2= 6

Or intdG

1 minus (G0)2=0

0 + G0 minus G

radiclt6

= 6C +Cte

E(C) =radiclt6

eCg minus eminusCg

radiclt

radiclt6V

= 6 minus V

ltE2 avec E(0) = 0

dC= 6 =rArr E0 (C) = 6C

dC= 6 minus V

E(C) =radiclt6

(radicV6

15G5 + O(G7)

E(C) =radiclt6

(radicV6

)= 6C minus V6

3ltC3 + O(C5)

26C2 5lt

dC+ n dH1

dC= 5 (C H0) + n H1 5

dC= 5 (C H0 (C)) avec H0 (0) = H0

dC= H1 5

yenG +l20G + nG

3 = 0 avecG(0) =

currenG(0) = 0

l20 + 2nl0l1

0G(i) + nG3 (i) = 0

G prime0 (0) = 0(B1)

20G1 (i) + 2l0l1G

primeprime0 (i) + G

30 (i) = 0 avec

G1 (0) = 0G prime1 (0) = 0

G0 (i) = cos i

l0minus 33

)minus 3

cos 3i

)est res-

l0 minus 33

= 0 =rArr l1 =32

G1 (i) =3

G(C) ( minus n 3

)cos(l0 + nl1)C +

0 5 10 15 20

minus1

0 5 10 15 20

minus1

yen +l20 minus

63 = 0

l = l0 + nl1 = l0

(1 minus

2max16

(C)ℓ

minusrarrDA

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓ

)0 = 2c

radicℓ

radic6

int ) 4

0l0 dC

2c on trouve

) =2)0

int max

) = )0 E

)avec E(G) = 2

int c2

C2 Formule de Borda

= 1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

E(G) = 2c

int c2

(1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

)dq = 1 + 1

4G2 + O(G4)

) = )0

(1 + 1

4sin2 max

(sin4 max

avec00 = 0 gt 0

10 = 1 lt 0

0=+1 minus 1=+1 le1

81(0= minus 1=)2

Moyenne

= = 1 075 070710678 510minus2

= = 2 072855339 072823765 310minus4

= = 3 072839555 072839550 510minus8

I(0 1) = 2c

int c2

~boxallAGMpdf

I(0 1) = I(01 11) = = I(0= 1=) = = I(ℓ01 ℓ01)

I(0 1) = I(ℓ01 ℓ01) =2c

int c2

dqℓ01

=1ℓ01

I(1radic

E(G) = 1ℓ1radic

1minusG2

ougrave ℓ1radic

et 1 =radic

1 minus G2

ℓ1cos(max2)(C5)

2 )0 = 2cradicℓ6 et ) = )0

mdash 2 = (0 + 1)2

mdash 1 =radic01

mdash 0 = 2

mdash )prec = )

mdash ) = )00

6 RETOURNER )

0 50 100 1501

angle max ()

0 50 100 150

10minus4

10minus2

angle max ()

0=[formule MAG-n]

4)0(1 +

radiccos max2

)2 (C6)

M(A )A

bullFrsquo

DLES CONIQUES

D1 Introduction

A () =

gt 04 ge 0

D2 Lrsquoellipse

A () =

162 D LES CONIQUES

20 = Aa + Ap =2

1 minus 42

422 + 4A 2 cos = 44202 + 4A 4 0 cos

= 402 minus 402 (1 minus 42)4 cos + 1

422 + 4A 2 cos = 402 minus 40 A

02 = 12 + 22 (D3)

D3 La parabole 163

bullFoyer

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42) (D4)

02 +H2

12 = 1 (D5)

D3 La parabole

A () =

1 + cos (D6)

2)2 + 2(G minus

H2 = 2 G (D7)

164 D LES CONIQUES

D4 Lrsquohyperbole

A () =

4 cos plusmn 1avec

gt 04 gt 1

BminusB+

bullFoyer

M(Aminus )

M(A+ )

2 = c minus 1

4 minus 1minus

4 + 1= 20

4 minus 1= 2 + 0

= 0(42 minus 1)

22 = 02 + 12 (D8)

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42)

02 minusH2

12 = 1 (D9)

Notations

yenH ou d2H

Grandeurs physiques

Volume + m3

Preface

Temps et espace


Vitesse dun point


Mouvements simples


Lois de Newton













Reacutesonances



Moment dune force


TMC

Applications



















Annexes










Formule de Borda


LES CONIQUES

Introduction

Lellipse

La parabole

Lhyperbole


Notations


Preface

Jimmy Roussel

Preface iii

ANNEXES 141

Notations 169

Table des figures

Liste des tableaux

11 Temps et espace

Le temps

ΔC = C minus C

Lrsquoespace

= 299 792 458 m

minusrarrDG

minusrarrDH

M(G(C)H(C))bull

Vecteur position

0 si 8 ne 9

1 sinon

avec l = Cte

bullbull

trajectoire

MB(C) =

M0M(C)

minusrarrDG

minusrarrDH

bullbull

trajectoire

Abscisse curviligne

drsquoarc

avec l = Cte

B(C) = (C) = lC

Deacutefinition

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrA (C)

ΔCrarr0

Remarques

dminusrarrDGdC+ dH

dCminusrarrDH + H

dminusrarrDHdC

dminusrarrDHdC =

minusrarr0 Fina-

currenG = dGdC

minusrarrDG

minusrarrDH

M(A (C) (C))bull

avec l = Cte

minusrarrEM =

radicEG

2 + EH2 = l

dminusrarrDAdC

Agrave savoir

dminusrarrDAdC

bullM(C)

minusrarrC

minusrarr= (C)

Trajectoire

avec l = Cte

A (C) =

minusrarrEM =

longueur drsquoarc

= limΔCrarr0

MMrsquoΔC

minusrarrC =

dBdCminusrarrC

minusrarrC

E =dBdC

E(C) dC

Agrave savoir

int C2

Deacutefinition

=dminusrarrEM

d2minusrarrAdC2

minusrarrEM

Mrsquo

minusrarrEMrsquo

ΔminusrarrEΔC

ΔminusrarrE

minusrarrEM =

avec l = Cte

dminusrarrDdC

= curren minusrarrD

minusrarr0M =

minusrarr0M =d2B

dC2minusrarrC + dB

dCdminusrarrCdC

dminusrarrCdC

minusrarr=

131313131313131313131313EC =

0C =dECdC

0= =EC

hearts (18)

Agrave savoir

appelons B(C) =

bullM(C)

minusrarrC

dC2minusrarrC

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrEM

M(C)bull

B(C) = 120C C

2 + E0 C + B0 hearts (110)

E22 minus E

21 = 20 (B2 minus B1)

) =2cl

hearts (111)

(Symbole Hz)

a =1)=l

2chearts (112)

21 Lois de Newton

Deacutefinition

minusrarrS =sum8=1

lt8minusrarrEM8

sum8=1

minusrarr0

sum8=1

dminusrarrM

dC= ltminusrarr0M =

minusrarr5 (23)

(Einstein 1905)

minusrarr5 98

minusrarr58

minusrarr58 9

minusrarr5 9

bullM8 (lt8)

bullM 9 (lt 9 )

bullG =rArrTCI G

lt =sum8

minusrarr ext =

minusrarr58

dminusrarr8dC

=minusrarr58

ext +sum9ne8

minusrarr5 98

dminusrarr8dC

=dminusrarrSdC

minusrarr58

dminusrarrSdC

minusrarr ext

1785Coulomb

1820Biot et Savart

1864Maxwell

Feynman et al

Becquerel

1934Fermi

1935Yukawa

Gravitation

Magneacutetisme

Interaction Faible

Interaction Forte

minusrarr512(lt1)

Gravitation

lt1lt2

Sol terrestre

minusrarr = lt

sum8=1

minusGlt8A28

Agrave retenir

minusrarr512

minusrarr521

minusrarr512

minusrarr521

minusminusrarrD12

(2)(1)

minusrarr512 =

minusrarr = amp

sum8=1

minusrarrD8A28

sum8=1

minusrarr (M)

minusrarr512 = 2

minusrarr1 + 2

minusrarr

minusrarrt

minusrarr

`B 018 004 sim 0 8 065

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

t = 12 df ( G E

p = 12 df ( I E

G 041 12 035 0 1

t = UE avec U = Cte

Loi de Stokes

Tension

) (B)dminusrarr5

dminusrarr

) (B) = ) (B + dB) =rArr ) (B) = Cte

Eacutenonceacute

Cas unidimensionnel

radicE2

Es =radic

26ℎ hearts (32)

fluides-parfaitsphp

Cas bidimensionnel

minusrarrE0

I = minus12

E20 cos2

G2 + G tan

Gmax =E2

0 sin 26

minusrarr6

Cas unidimensionnel

dltminusrarr6

(1 minus df

)minusrarr6

Einfin

[1 minus eminusCg

12df(G

E2infin =

lt6prime

V=rArr Einfin =

radic2lt6prime

ltE2 = 6prime

[1 minus

Einfin

11 minus G2 dG =

eG + eminusG

) (dBdC

E =dE22

dDdB+ 26prime

(minus 2BEinfing

E(B) = Einfinradic

126primeg2

Cas bidimensionnel

currenG = EG

currenI = EIet

radicE2G + E2

omprunge-kuttaphp

frottement nul

quadratique

Mminusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

Ordres de grandeur

minusrarr5

minusrarrdℓ

ArarrB intCAB

minusrarr

minusrarr6

minusrarr6bull

minusrarr)

minusrarr

ArarrB =

intCAB

) dℓ = minus)

P = limXCrarr0

XC= limXCrarr0

ArarrB =

int CB

PdC hearts (44)

ArarrB = Ptimes ΔC

1 W = 1 Jsminus1

minusrarr5

ltdminusrarrEdC

minusrarr5

il vientddC

(12ltE2

ddC(Ec) =

ArarrB

ddC(Ec) =

ΔEc =sum

minusrarrDG +m 5

minusrarrDH +m 5

minusrarrDI

Meacutethodologie

mGdG +

mHdH +

mIdI = minus

intCAB

int C2

U(E)E2 dC lt 0

Glt1lt2A

amp1amp2

amp1amp24cn0A

minusrarr5 que

ArarrB = minus

(Ep () minus Ep ()

p (A) = Ec (B) +

Em Ec +sum

Ep = constante (49)

ΔEc =sum

ArarrB +

ncArarrB = minus

ΔEp +ncrarr

dG(Geq)

Stabiliteacute

dG2 (Geq)

G1 G2 G3G

Ep (G) le Em

lt yenG = minusdEp

currenG = plusmn

radiclt

(C)ℓ

minusrarrDA

M(ℓ)

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓElt2

minusrarr598

minusrarr58 9

bull M8 (lt8)

bull M 9 (lt 9 )

yen + 6ℓ

sin = 0

lt8dminusrarrE8dC

sum9ne8

minusrarr5 98

dminusrarrE8dC

sum8 9ne8

Ec (S) sum 1

Ec (S) sum8=1

12ltminusrarrE8 2

avecext =

intPext dC =

int = =intPint dC =

sum8 9ne8

Ec (S) =sum8=1

sum8=1

12lt8E

sum8=1

12lt8E

lowast28 +

(sum8=1

)middot minusrarrEG

sum8=1

Ec (S) =12ltE2

ΔElowastc = int

int =sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

(int CB

int CB

int =12

sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

5 98 dA 98

Reacutep Δ(

2+ Elowastc

)= ext

int = minus12

sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

Epij hearts (416)

Eintp =

sum8 9ne8minusG

lt8lt 9

Eintp =

sum8 9ne8

4cY0A8 9

(12ltE2

+ Elowastc + Eint

)= ext hearts (417)

ΔE= 0 si ext = 0

int CB

ext d-

int CB

minusext d+

amp ext minus

Δ( + 12ltE2

) = +amp (419)

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

minusrarrDG

a0 =l0

lthearts (52)

Ep =12G2 =

122 cos2 (l0C + i)

Ec =12lt currenG2 =

122 sin2 (l0C + i)

Agrave retenir

41 cf Chapitre 2

et si lrsquoon pose

lt[sminus1]

2G = 0 (53)

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

mdash lt = 1 kg

mdash _ = l020

Reacutegime libre

A2 + 2_ A +l02 = 0

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

10minus1

2 4 6 8 10

10minus1

Em = 12 G

2 + 12ltE

52 Reacutesonances

ℓ (C)0 cos lC

yenG + UltcurrenG +

ltcos(lC)

hearts (55)

cos(lC)[01

2 minusl2)+ 2_l 02

]+ sin(lC)

20 cos(lC)

2 minusl2)+ 2_l 02 = l0

20 et 02

01 = 0l0

2 (l02 minusl2)(

l02 minusl2)2 + (2_l)2

et 02 = 02_ll0

2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

radic02

1 + 022

tan i = minus0201

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2et tan i =

2_ll2 minusl02

20 coslC

20 sinlC

20 e8lC (56)

|I | =radic02 + 12

tan i = 10cos i = 0 |I |

2 minusl2)+ 28_l

20(l02 minusl2) + 28_l

_ = _0

_ lt _0

minusminusrarr5 op

minusrarr5

Systegraveme

et tan i =2_l

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

radic2

2 l0 = _0

Application

soiumldal

05 (C) dC

6 =1)[ 5 (C) ])0 = 0

Pop = U2l2 sin2 (lC + i)︸︷︷︸

=12U2l2

Pop =12Ul0

402 l2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

Pop =Pmax

1 +(l02minusl2

12 Pmax

radic2

l02 minusl2

radicl02 + _2

amp a0

Δa=l0

Δlhearts (58)

On trouve ici

0 05 1 15 2 25

eacutee

Oscillateur amp

ampcurrenG +l0

2G = 5 (C)

12` currenG2 + Ep (G) = Em (59)

dG2 (Geq) gt 0

(G minus Geq

yen- + ^`- = 0 (510)

radic^

`hearts (511)

minusc c

minuslt6ℓ

lt6ℓ

Ec =12ltE2 =

radic6ℓ

Anharmoniciteacutes

Ep (G) =int G

50 100 150

angle max ()

0minus0

Ep = 0

5 (G) = sin G

Ep = 0

2 et n = ^02

radic^` et V =

G =VG2

2l02 =304G2

minusrarr51

minusrarr52

minusrarr53

Deacutefinitions

minusrarr58 =rArr

minusrarr0

minusrarr =

minusrarr58 = 8

minusrarr51

sum8=1

minusminusrarrOAand

minusrarr58

bull3A

minusrarrDbullM

minusrarr5

Deacutefinitions

minusrarrA (M)

minusrarrA =

minusrarrB +

A (S) =sum8

minusrarrA (SR) =

minusrarrB (SR) +

minusrarrA (S) =

Il vient alors

minusrarrA (S) =

minusminusrarrAGand

lt8minusrarrE8 +

)and minusrarrEG

63 TMC 73

minusrarrA (S) =

minusrarrG (S) =

minusrarr lowast

ℎ =ℎ

dminusrarrA (M)

dminusrarrEMRdC

ltdminusrarrEMR

dminusrarrA (M)

dΔ (M)dC

=MΔ (minusrarr5 )

dminusrarrA (S)

minusrarr58

minusrarr58 9 =

minusrarr0

64 Applications 75

dminusrarrA (S)

minusrarr58

dminusrarrG (S)

minusrarr58

ext +(sum8

lt8minusrarrE8

)and minusrarrEGR

dminusrarrG (S)

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

ext hearts (69)

en deux mouvements

ltdminusrarrEdC

=minusrarr ext

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

64 Applications

dminusrarrO (M)

minusrarrO (M)

dA = 12

131313= 1

2 | | dC

ext =minusrarr0

minusminusrarrMA

64 Applications 77

minusrarr6

minusrarr1

minusrarr2

minusrarr3

minusrarrD

H8minusrarrE8

minusrarr512 et

minusrarr53 avec

minusrarr512 =

12lt6 tanU

lt8 A28

ΔdldC

=MextΔ

avec Δ =sum8

minusrarr6

minusrarr

appliqueacutee en G

Contact

appliqueacutee en $

Δsin = 0

radiclt6ℓ

radic6

ℓ[pendule simple]

Δ =13lt2 et ℓ =

2=rArr l0 =

radic364ℓ

[barre rectiligne]

Glt1lt2

Ep = minusGlt1lt2

A+Cte hearts (72)

512 =12

4cn0A2minusrarrDA

Ep =12

de poser Cte = 0

dminusrarrO (M)

Ep eff

bullP1

bullP2

12lt currenA2 + lt

2A2 + Ep (A) = Em (75)

Ep eff =lt2

2A2 + Ep (A)

0 Eprimep (A0) (76)

)orb =2ccurren=

)osc = 2cradic`

` = lt

5 (A) =

A2radicA

5 (A) = radicA

A0 =lt2

et )orb = 2c

)osc = 2cradic

radiclt

3lt2A40 minus 2A3

= 2clt23

A2minusrarrDA

Lois de Kepler

Histoire

Ep eff

Ep eff =lt2

2A2 minusGltlt

A02 curren =

lt0 = ltE2

Il vient alors

radicGlt

A0et Ec = minus

12Ep (78)

)2 =Glt

4c2 (79)

Em = Ec + Ep =Ep

2= minusGltlt

12lt currenA2 + lt

2A2 minusGltlt

A2 curren =

currenA = d (1D)dC

= minus 1D2

dDdcurren = minusdD

+ lt2D2

2minus GltltD = Em

curren = D2

d2 + D =Glt

D() = Glt

2 + cos( minus 0)

Glt4 ge 0

4 gt 1

4 lt 1 bullFoyer

c2 dans ce cas

2=rArr A

)2 =Glt

4c2 hearts (711)

lt = 4c2 (149 6106)3

Eacutenergie

1 + 4 cos

currenA = minusdDd

=4 sin

2A2 minusGltlt

=12lt2

[(1 + 4 cos )2

2 + 42 sin2

Em =lt2

(1 + 42 + 24 cos

Em = minusGltlt2

(1 minus 42

)(712)

Em =Gltlt

20[hyperbole]

Em = minusGltlt20

[ellipse]

Em = minusGltlt20

hearts (713)

radic2

3p0 = 570 kmsminus1

Vitesses cosmiques

12ltE2 minus GltltT

T + ℎ 1

2ltE2 minus GltltT

Dans ce cas on a

E ge Elib =radic

Em = minusGltltT

20gt minusGltltT

2T(1 minus 4)

Em gt minusGltltT

22 = 9 mm

radic3)

l =2c)

Cas du cercle

A = A0

= lC + 0

1 + 4 cos et =

De plus

2 = Glt = l203 =

(1 minus 42)3

24 sin = 24 sin(lC)

1 + 4 cos = lC + 24 sin(lC)

Cas elliptique

1 + 4 cos

tan 2 =

minus 4 sin = lC

Cas parabolique

3tan3 2 = 2

= AminEmax =Emax

1 + cos

tan 2 + 13

tan3 2 =Emax

minusrarr5 =

4cn0A2minusrarrDA

Cas attractif

minusGltltharr12

= minus4cn0lt2

124 ge 0

Cprimeh

bullFoyer

Em =12

(1 minus 42

Cas reacutepulsif

Ep eff =lt2

2A2 +12

=4cn0lt

124 gt 1

4 cos minus 1

forddu fait de la

tan(Θdev2)

2E2infin

tan 1 =

4cn0lt 1 E2infin

tanΘdev2 =12

8cn0Ec1(716)

Ec =12

4cn0Ec

3min =242

dminusrarrD primedC

Orsquo

Rprime

Orsquo

Rprime

Orsquo

RprimeOrsquo

Rprime

C = C prime

Rprime

dminusrarrAdC

dminusrarrA primedC

=dG prime

dminusrarrA primedC

=dG prime

minusrarr est donc

minusrarr prime =

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

minusrarr prime =

minusrarr )

Orsquo

RprimeC

bullminusrarr0

minusrarr5i

minusrarr prime

Vecteur rotation

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

=minusrarrE CR =

dminusrarrD primedC

prime)

minusrarr = 1

minusrarrD3prime

dminusrarr

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

dminusrarr

dC prime

Rprime

dminusrarr

=dminusrarr

dC prime

Rprime

axe(Δ)

minusrarrl

Orsquo

minusrarrA prime

A primeperp

A prime

minusrarr0 on

minusrarr1

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

)ce qui donne

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

Force centrifuge

minusrarr

minusrarr5i = ltl

minusrarr5ie = ltl

2 = ltE2

Rprime

minusrarrl

A primeperp

minusrarrE

2 hearts (811)

minusrarrl

(a) Vue de profil

minusrarr5ic

(b) Vue de dessus

dminusrarrD primedC

dminusrarrEe (M)dC

Soleil

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

minusrarr5ic avec

hearts

Rlowast

minusrarr521

minusrarr512

=minusrarrext =

minusrarr0

d2minusminusrarrGM1

minusrarr512

lt1lt2

lt1 +lt2

minusrarr5 tels que

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr5 avec

lt1lt2

lt1 +lt2

5 =minusrarr512

hearts (92)

` =ltltAlt +ltA

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr6

(1 + lt

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

minusminusrarrGM1 =

minusminusrarrGM

minusminusrarrGM2 =

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

2 + Eclowast

vautEclowast =

lt1minusrarrE1 +lt2

minusrarrE2

lt1 +lt2=

lt1 +lt2

)= minus lt2

lt1 +lt2

minusrarrEM

lt1 +lt2

minusrarrEM

lt1 +lt2

+ 12lt2

lt1 +lt2

2 + 12`EM

2 hearts (93)

= int =

(12(lt1 +lt2)EG

2 + 12`EM

(12`EM

2 + Ep = Cte

lt1lt2

lt1 +lt2

d2minusrarrAdC2

G(lt1 +lt2)4 ge 0

hearts (96)

Rlowast

M1bullG

01 =lt2

lt1 +lt20

02 =lt1

lt1 +lt20

)2 =G(lt1 +lt2)

4c2 hearts (97)

2 minus Glt1lt2

lowast

12` currenA2 + 1

A2 minusGlt1lt2

lowast

A2 + Glt1lt2

Emlowast A minus `2

2Emlowast = 0

Emlowast =

minusGlt1lt2

+Glt1lt2

hearts (98)

EbullGP bull

Elowast =2c0lowast)

0lowast

)2 =G(lt +lt)

4c2 Glt

4c2 car lt lt

lt +lt0 lt

et minusEmax avec

Emax =2c0)

4 = 0 4 = 0 2 et 0 = 0 4 = 0 2 et 0 = 45 4 = 0 2 et 0 = 90

minus0

Ep = 0

`dminusrarrEM

dC=minusrarr5

` yenG + ^G = 0

radic^

2 + Ep = Emlowast

2` (G + Aeq)2+ Ep (G) = Em

lowast

Ep eff =lowast2

2` (G + Aeq)2+ Ep (G)

Ep eff lowast2

de la moleacutecule

E=ℓ = (= + 12)ℎa0 + ℓ(ℓ + 1) ℎ2

bulllt1

minusrarrE1

bulllt2

minusrarrE2

bullltprime1

minusrarrE1prime

Apregraves

Deacutefinition

minusrarrext =

minusrarr0 ) Enfin

dminusrarr S

dC=minusrarrext =

minusrarr0

minusrarr avantS =

hearts (101)

sumparticules

[Ec (S) +

1sum8=1

]avant

[Ec (S) +

2sum8=1

]apregraves

hearts (102)

Deacutefinition

noyau positif)

bulllt1

minusrarrE1G

bulllt2

minusrarrE2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2

minusrarrE2prime

Apregraves

lt1E12 +lt2E2

prime)2

2) = lt2 (E22 minus (E2

prime)2)

E1prime =

lt1 +lt2

E2prime =

lt1 +lt2

E1prime =

E2prime =

lt1 +lt2E1

(lt1 +lt2)2Ec1 (104)

minusrarrE2prime

lt1E12 = lt1E1

prime2 +lt2E2prime2

bulllt1

minusrarrE1 bulllt2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2 minusrarrE2

Apregraves

minusrarrE1A

E12 = E1

prime2 + E2prime2

prime2 + E2prime2 +

prime= 0

cos 1 =1

Deacutefinition

[ sum8=12

]avant

sum8=11

apregraves

Choc mou

12lt1E

minusrarrEG

lt1 +lt2

minusrarrE prime

Apregraves

Eprime =lt1

2(lt1 +lt2)E2

|amp |Ec (S)

lt1 +lt2

apregraves

EBSavant (105)

4 =Eprime2 minus E

prime1

E1 minus E2(106)

Reacutep E1prime =

E1 et E2prime =

lt1 (1 + 4)lt1 +lt2

X minusrarr

+1 X +0minus1 4

Ec1 =lt2

lt1 +lt2amp (107)

siegravecle

Hypothegraveses

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

parallegravele

eacutequateur

meacuteridien

Pesanteur terrestre

tension du fil

minusrarr0 (111)

minusrarr0

minusminusrarrCM

Pocircle Nord

Eacutequateur

minusrarrl

minusrarr

otimes minusrarr5ic

Rayon (km) 6370

26ℎ 45 msminus1

yenG = 0

yenH = 2l cos_ 6C

yenI = minus6

yenH = 2l cos_ 6C

H(C) = l cos_3

6 C3 (115)

(int g

0currendC minuslg

ltdminusrarrE MR

minusrarr

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

5 ic bull

minusrarr5 ic

Isobare

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla

minusrarr5ic

fluides-parfaitsphp

minusrarr5 = minus

5ich = 2d l sin_ E

bullbull

preacutec

G (sud)

H (est)

minusrarrDA

minusrarrDI

otimes minusrarrD

minusrarr)

minusrarr6

minusrarrDA

minusrarrD

G (sud)

H (est)OI

vue de dessus

)Foucault =2c

l sin_=

sin_(118)

Tminusrarr0 (C) = T

minusrarr6(C)

minusrarrD

minusrarrE

bullM1

minusrarrC

bullM2

bullM3

bullM4

minusrarrC(M1) =

(A minus T)2minus G

)minusrarrD 2G)

A3minusrarrD

A3minusrarrE

Cmax =G2)A

Distance 1 053 027 00024 038 40

bullminusrarrD MHMH

bullminusrarrD MH

bull Nord

)L = 24 + 128

24 = 24 h50prime

ANNEXES

H [0)] rarr R

C ↦rarr H(C)

(C H(C) currenH(C) H () (C)) = 0 (A1)

minusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

Exemple

currenGcurrenI

minus6 minus V

E0 cos E0 sin

Deacutefinitions

L(H) = 5 (C) (A3)

L(UHh + Hp) = UL(Hh) +L(Hp) = 0 + 5 (C)

Meacutethodologie

0A + + 02A

2 + 01A + 00 = 0

Hh (C) ==sum=1

H(C) ==sum=1

4A C + Hp (C)

Deacutefinition

d (H(C))dC

=d (C)

currenE 1

1 minus V

lt6E2= 6

Or intdG

1 minus (G0)2=0

0 + G0 minus G

radiclt6

= 6C +Cte

E(C) =radiclt6

eCg minus eminusCg

radiclt

radiclt6V

= 6 minus V

ltE2 avec E(0) = 0

dC= 6 =rArr E0 (C) = 6C

dC= 6 minus V

E(C) =radiclt6

(radicV6

15G5 + O(G7)

E(C) =radiclt6

(radicV6

)= 6C minus V6

3ltC3 + O(C5)

26C2 5lt

dC+ n dH1

dC= 5 (C H0) + n H1 5

dC= 5 (C H0 (C)) avec H0 (0) = H0

dC= H1 5

yenG +l20G + nG

3 = 0 avecG(0) =

currenG(0) = 0

l20 + 2nl0l1

0G(i) + nG3 (i) = 0

G prime0 (0) = 0(B1)

20G1 (i) + 2l0l1G

primeprime0 (i) + G

30 (i) = 0 avec

G1 (0) = 0G prime1 (0) = 0

G0 (i) = cos i

l0minus 33

)minus 3

cos 3i

)est res-

l0 minus 33

= 0 =rArr l1 =32

G1 (i) =3

G(C) ( minus n 3

)cos(l0 + nl1)C +

0 5 10 15 20

minus1

0 5 10 15 20

minus1

yen +l20 minus

63 = 0

l = l0 + nl1 = l0

(1 minus

2max16

(C)ℓ

minusrarrDA

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓ

)0 = 2c

radicℓ

radic6

int ) 4

0l0 dC

2c on trouve

) =2)0

int max

) = )0 E

)avec E(G) = 2

int c2

C2 Formule de Borda

= 1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

E(G) = 2c

int c2

(1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

)dq = 1 + 1

4G2 + O(G4)

) = )0

(1 + 1

4sin2 max

(sin4 max

avec00 = 0 gt 0

10 = 1 lt 0

0=+1 minus 1=+1 le1

81(0= minus 1=)2

Moyenne

= = 1 075 070710678 510minus2

= = 2 072855339 072823765 310minus4

= = 3 072839555 072839550 510minus8

I(0 1) = 2c

int c2

~boxallAGMpdf

I(0 1) = I(01 11) = = I(0= 1=) = = I(ℓ01 ℓ01)

I(0 1) = I(ℓ01 ℓ01) =2c

int c2

dqℓ01

=1ℓ01

I(1radic

E(G) = 1ℓ1radic

1minusG2

ougrave ℓ1radic

et 1 =radic

1 minus G2

ℓ1cos(max2)(C5)

2 )0 = 2cradicℓ6 et ) = )0

mdash 2 = (0 + 1)2

mdash 1 =radic01

mdash 0 = 2

mdash )prec = )

mdash ) = )00

6 RETOURNER )

0 50 100 1501

angle max ()

0 50 100 150

10minus4

10minus2

angle max ()

0=[formule MAG-n]

4)0(1 +

radiccos max2

)2 (C6)

M(A )A

bullFrsquo

DLES CONIQUES

D1 Introduction

A () =

gt 04 ge 0

D2 Lrsquoellipse

A () =

162 D LES CONIQUES

20 = Aa + Ap =2

1 minus 42

422 + 4A 2 cos = 44202 + 4A 4 0 cos

= 402 minus 402 (1 minus 42)4 cos + 1

422 + 4A 2 cos = 402 minus 40 A

02 = 12 + 22 (D3)

D3 La parabole 163

bullFoyer

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42) (D4)

02 +H2

12 = 1 (D5)

D3 La parabole

A () =

1 + cos (D6)

2)2 + 2(G minus

H2 = 2 G (D7)

164 D LES CONIQUES

D4 Lrsquohyperbole

A () =

4 cos plusmn 1avec

gt 04 gt 1

BminusB+

bullFoyer

M(Aminus )

M(A+ )

2 = c minus 1

4 minus 1minus

4 + 1= 20

4 minus 1= 2 + 0

= 0(42 minus 1)

22 = 02 + 12 (D8)

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42)

02 minusH2

12 = 1 (D9)

Notations

yenH ou d2H

Grandeurs physiques

Volume + m3

Preface

Temps et espace


Vitesse dun point


Mouvements simples


Lois de Newton













Reacutesonances



Moment dune force


TMC

Applications



















Annexes










Formule de Borda


LES CONIQUES

Introduction

Lellipse

La parabole

Lhyperbole


Notations


Preface iii

ANNEXES 141

Notations 169

Table des figures

Liste des tableaux

11 Temps et espace

Le temps

ΔC = C minus C

Lrsquoespace

= 299 792 458 m

minusrarrDG

minusrarrDH

M(G(C)H(C))bull

Vecteur position

0 si 8 ne 9

1 sinon

avec l = Cte

bullbull

trajectoire

MB(C) =

M0M(C)

minusrarrDG

minusrarrDH

bullbull

trajectoire

Abscisse curviligne

drsquoarc

avec l = Cte

B(C) = (C) = lC

Deacutefinition

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrA (C)

ΔCrarr0

Remarques

dminusrarrDGdC+ dH

dCminusrarrDH + H

dminusrarrDHdC

dminusrarrDHdC =

minusrarr0 Fina-

currenG = dGdC

minusrarrDG

minusrarrDH

M(A (C) (C))bull

avec l = Cte

minusrarrEM =

radicEG

2 + EH2 = l

dminusrarrDAdC

Agrave savoir

dminusrarrDAdC

bullM(C)

minusrarrC

minusrarr= (C)

Trajectoire

avec l = Cte

A (C) =

minusrarrEM =

longueur drsquoarc

= limΔCrarr0

MMrsquoΔC

minusrarrC =

dBdCminusrarrC

minusrarrC

E =dBdC

E(C) dC

Agrave savoir

int C2

Deacutefinition

=dminusrarrEM

d2minusrarrAdC2

minusrarrEM

Mrsquo

minusrarrEMrsquo

ΔminusrarrEΔC

ΔminusrarrE

minusrarrEM =

avec l = Cte

dminusrarrDdC

= curren minusrarrD

minusrarr0M =

minusrarr0M =d2B

dC2minusrarrC + dB

dCdminusrarrCdC

dminusrarrCdC

minusrarr=

131313131313131313131313EC =

0C =dECdC

0= =EC

hearts (18)

Agrave savoir

appelons B(C) =

bullM(C)

minusrarrC

dC2minusrarrC

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrEM

M(C)bull

B(C) = 120C C

2 + E0 C + B0 hearts (110)

E22 minus E

21 = 20 (B2 minus B1)

) =2cl

hearts (111)

(Symbole Hz)

a =1)=l

2chearts (112)

21 Lois de Newton

Deacutefinition

minusrarrS =sum8=1

lt8minusrarrEM8

sum8=1

minusrarr0

sum8=1

dminusrarrM

dC= ltminusrarr0M =

minusrarr5 (23)

(Einstein 1905)

minusrarr5 98

minusrarr58

minusrarr58 9

minusrarr5 9

bullM8 (lt8)

bullM 9 (lt 9 )

bullG =rArrTCI G

lt =sum8

minusrarr ext =

minusrarr58

dminusrarr8dC

=minusrarr58

ext +sum9ne8

minusrarr5 98

dminusrarr8dC

=dminusrarrSdC

minusrarr58

dminusrarrSdC

minusrarr ext

1785Coulomb

1820Biot et Savart

1864Maxwell

Feynman et al

Becquerel

1934Fermi

1935Yukawa

Gravitation

Magneacutetisme

Interaction Faible

Interaction Forte

minusrarr512(lt1)

Gravitation

lt1lt2

Sol terrestre

minusrarr = lt

sum8=1

minusGlt8A28

Agrave retenir

minusrarr512

minusrarr521

minusrarr512

minusrarr521

minusminusrarrD12

(2)(1)

minusrarr512 =

minusrarr = amp

sum8=1

minusrarrD8A28

sum8=1

minusrarr (M)

minusrarr512 = 2

minusrarr1 + 2

minusrarr

minusrarrt

minusrarr

`B 018 004 sim 0 8 065

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

t = 12 df ( G E

p = 12 df ( I E

G 041 12 035 0 1

t = UE avec U = Cte

Loi de Stokes

Tension

) (B)dminusrarr5

dminusrarr

) (B) = ) (B + dB) =rArr ) (B) = Cte

Eacutenonceacute

Cas unidimensionnel

radicE2

Es =radic

26ℎ hearts (32)

fluides-parfaitsphp

Cas bidimensionnel

minusrarrE0

I = minus12

E20 cos2

G2 + G tan

Gmax =E2

0 sin 26

minusrarr6

Cas unidimensionnel

dltminusrarr6

(1 minus df

)minusrarr6

Einfin

[1 minus eminusCg

12df(G

E2infin =

lt6prime

V=rArr Einfin =

radic2lt6prime

ltE2 = 6prime

[1 minus

Einfin

11 minus G2 dG =

eG + eminusG

) (dBdC

E =dE22

dDdB+ 26prime

(minus 2BEinfing

E(B) = Einfinradic

126primeg2

Cas bidimensionnel

currenG = EG

currenI = EIet

radicE2G + E2

omprunge-kuttaphp

frottement nul

quadratique

Mminusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

Ordres de grandeur

minusrarr5

minusrarrdℓ

ArarrB intCAB

minusrarr

minusrarr6

minusrarr6bull

minusrarr)

minusrarr

ArarrB =

intCAB

) dℓ = minus)

P = limXCrarr0

XC= limXCrarr0

ArarrB =

int CB

PdC hearts (44)

ArarrB = Ptimes ΔC

1 W = 1 Jsminus1

minusrarr5

ltdminusrarrEdC

minusrarr5

il vientddC

(12ltE2

ddC(Ec) =

ArarrB

ddC(Ec) =

ΔEc =sum

minusrarrDG +m 5

minusrarrDH +m 5

minusrarrDI

Meacutethodologie

mGdG +

mHdH +

mIdI = minus

intCAB

int C2

U(E)E2 dC lt 0

Glt1lt2A

amp1amp2

amp1amp24cn0A

minusrarr5 que

ArarrB = minus

(Ep () minus Ep ()

p (A) = Ec (B) +

Em Ec +sum

Ep = constante (49)

ΔEc =sum

ArarrB +

ncArarrB = minus

ΔEp +ncrarr

dG(Geq)

Stabiliteacute

dG2 (Geq)

G1 G2 G3G

Ep (G) le Em

lt yenG = minusdEp

currenG = plusmn

radiclt

(C)ℓ

minusrarrDA

M(ℓ)

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓElt2

minusrarr598

minusrarr58 9

bull M8 (lt8)

bull M 9 (lt 9 )

yen + 6ℓ

sin = 0

lt8dminusrarrE8dC

sum9ne8

minusrarr5 98

dminusrarrE8dC

sum8 9ne8

Ec (S) sum 1

Ec (S) sum8=1

12ltminusrarrE8 2

avecext =

intPext dC =

int = =intPint dC =

sum8 9ne8

Ec (S) =sum8=1

sum8=1

12lt8E

sum8=1

12lt8E

lowast28 +

(sum8=1

)middot minusrarrEG

sum8=1

Ec (S) =12ltE2

ΔElowastc = int

int =sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

(int CB

int CB

int =12

sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

5 98 dA 98

Reacutep Δ(

2+ Elowastc

)= ext

int = minus12

sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

Epij hearts (416)

Eintp =

sum8 9ne8minusG

lt8lt 9

Eintp =

sum8 9ne8

4cY0A8 9

(12ltE2

+ Elowastc + Eint

)= ext hearts (417)

ΔE= 0 si ext = 0

int CB

ext d-

int CB

minusext d+

amp ext minus

Δ( + 12ltE2

) = +amp (419)

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

minusrarrDG

a0 =l0

lthearts (52)

Ep =12G2 =

122 cos2 (l0C + i)

Ec =12lt currenG2 =

122 sin2 (l0C + i)

Agrave retenir

41 cf Chapitre 2

et si lrsquoon pose

lt[sminus1]

2G = 0 (53)

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

mdash lt = 1 kg

mdash _ = l020

Reacutegime libre

A2 + 2_ A +l02 = 0

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

10minus1

2 4 6 8 10

10minus1

Em = 12 G

2 + 12ltE

52 Reacutesonances

ℓ (C)0 cos lC

yenG + UltcurrenG +

ltcos(lC)

hearts (55)

cos(lC)[01

2 minusl2)+ 2_l 02

]+ sin(lC)

20 cos(lC)

2 minusl2)+ 2_l 02 = l0

20 et 02

01 = 0l0

2 (l02 minusl2)(

l02 minusl2)2 + (2_l)2

et 02 = 02_ll0

2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

radic02

1 + 022

tan i = minus0201

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2et tan i =

2_ll2 minusl02

20 coslC

20 sinlC

20 e8lC (56)

|I | =radic02 + 12

tan i = 10cos i = 0 |I |

2 minusl2)+ 28_l

20(l02 minusl2) + 28_l

_ = _0

_ lt _0

minusminusrarr5 op

minusrarr5

Systegraveme

et tan i =2_l

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

radic2

2 l0 = _0

Application

soiumldal

05 (C) dC

6 =1)[ 5 (C) ])0 = 0

Pop = U2l2 sin2 (lC + i)︸︷︷︸

=12U2l2

Pop =12Ul0

402 l2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

Pop =Pmax

1 +(l02minusl2

12 Pmax

radic2

l02 minusl2

radicl02 + _2

amp a0

Δa=l0

Δlhearts (58)

On trouve ici

0 05 1 15 2 25

eacutee

Oscillateur amp

ampcurrenG +l0

2G = 5 (C)

12` currenG2 + Ep (G) = Em (59)

dG2 (Geq) gt 0

(G minus Geq

yen- + ^`- = 0 (510)

radic^

`hearts (511)

minusc c

minuslt6ℓ

lt6ℓ

Ec =12ltE2 =

radic6ℓ

Anharmoniciteacutes

Ep (G) =int G

50 100 150

angle max ()

0minus0

Ep = 0

5 (G) = sin G

Ep = 0

2 et n = ^02

radic^` et V =

G =VG2

2l02 =304G2

minusrarr51

minusrarr52

minusrarr53

Deacutefinitions

minusrarr58 =rArr

minusrarr0

minusrarr =

minusrarr58 = 8

minusrarr51

sum8=1

minusminusrarrOAand

minusrarr58

bull3A

minusrarrDbullM

minusrarr5

Deacutefinitions

minusrarrA (M)

minusrarrA =

minusrarrB +

A (S) =sum8

minusrarrA (SR) =

minusrarrB (SR) +

minusrarrA (S) =

Il vient alors

minusrarrA (S) =

minusminusrarrAGand

lt8minusrarrE8 +

)and minusrarrEG

63 TMC 73

minusrarrA (S) =

minusrarrG (S) =

minusrarr lowast

ℎ =ℎ

dminusrarrA (M)

dminusrarrEMRdC

ltdminusrarrEMR

dminusrarrA (M)

dΔ (M)dC

=MΔ (minusrarr5 )

dminusrarrA (S)

minusrarr58

minusrarr58 9 =

minusrarr0

64 Applications 75

dminusrarrA (S)

minusrarr58

dminusrarrG (S)

minusrarr58

ext +(sum8

lt8minusrarrE8

)and minusrarrEGR

dminusrarrG (S)

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

ext hearts (69)

en deux mouvements

ltdminusrarrEdC

=minusrarr ext

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

64 Applications

dminusrarrO (M)

minusrarrO (M)

dA = 12

131313= 1

2 | | dC

ext =minusrarr0

minusminusrarrMA

64 Applications 77

minusrarr6

minusrarr1

minusrarr2

minusrarr3

minusrarrD

H8minusrarrE8

minusrarr512 et

minusrarr53 avec

minusrarr512 =

12lt6 tanU

lt8 A28

ΔdldC

=MextΔ

avec Δ =sum8

minusrarr6

minusrarr

appliqueacutee en G

Contact

appliqueacutee en $

Δsin = 0

radiclt6ℓ

radic6

ℓ[pendule simple]

Δ =13lt2 et ℓ =

2=rArr l0 =

radic364ℓ

[barre rectiligne]

Glt1lt2

Ep = minusGlt1lt2

A+Cte hearts (72)

512 =12

4cn0A2minusrarrDA

Ep =12

de poser Cte = 0

dminusrarrO (M)

Ep eff

bullP1

bullP2

12lt currenA2 + lt

2A2 + Ep (A) = Em (75)

Ep eff =lt2

2A2 + Ep (A)

0 Eprimep (A0) (76)

)orb =2ccurren=

)osc = 2cradic`

` = lt

5 (A) =

A2radicA

5 (A) = radicA

A0 =lt2

et )orb = 2c

)osc = 2cradic

radiclt

3lt2A40 minus 2A3

= 2clt23

A2minusrarrDA

Lois de Kepler

Histoire

Ep eff

Ep eff =lt2

2A2 minusGltlt

A02 curren =

lt0 = ltE2

Il vient alors

radicGlt

A0et Ec = minus

12Ep (78)

)2 =Glt

4c2 (79)

Em = Ec + Ep =Ep

2= minusGltlt

12lt currenA2 + lt

2A2 minusGltlt

A2 curren =

currenA = d (1D)dC

= minus 1D2

dDdcurren = minusdD

+ lt2D2

2minus GltltD = Em

curren = D2

d2 + D =Glt

D() = Glt

2 + cos( minus 0)

Glt4 ge 0

4 gt 1

4 lt 1 bullFoyer

c2 dans ce cas

2=rArr A

)2 =Glt

4c2 hearts (711)

lt = 4c2 (149 6106)3

Eacutenergie

1 + 4 cos

currenA = minusdDd

=4 sin

2A2 minusGltlt

=12lt2

[(1 + 4 cos )2

2 + 42 sin2

Em =lt2

(1 + 42 + 24 cos

Em = minusGltlt2

(1 minus 42

)(712)

Em =Gltlt

20[hyperbole]

Em = minusGltlt20

[ellipse]

Em = minusGltlt20

hearts (713)

radic2

3p0 = 570 kmsminus1

Vitesses cosmiques

12ltE2 minus GltltT

T + ℎ 1

2ltE2 minus GltltT

Dans ce cas on a

E ge Elib =radic

Em = minusGltltT

20gt minusGltltT

2T(1 minus 4)

Em gt minusGltltT

22 = 9 mm

radic3)

l =2c)

Cas du cercle

A = A0

= lC + 0

1 + 4 cos et =

De plus

2 = Glt = l203 =

(1 minus 42)3

24 sin = 24 sin(lC)

1 + 4 cos = lC + 24 sin(lC)

Cas elliptique

1 + 4 cos

tan 2 =

minus 4 sin = lC

Cas parabolique

3tan3 2 = 2

= AminEmax =Emax

1 + cos

tan 2 + 13

tan3 2 =Emax

minusrarr5 =

4cn0A2minusrarrDA

Cas attractif

minusGltltharr12

= minus4cn0lt2

124 ge 0

Cprimeh

bullFoyer

Em =12

(1 minus 42

Cas reacutepulsif

Ep eff =lt2

2A2 +12

=4cn0lt

124 gt 1

4 cos minus 1

forddu fait de la

tan(Θdev2)

2E2infin

tan 1 =

4cn0lt 1 E2infin

tanΘdev2 =12

8cn0Ec1(716)

Ec =12

4cn0Ec

3min =242

dminusrarrD primedC

Orsquo

Rprime

Orsquo

Rprime

Orsquo

RprimeOrsquo

Rprime

C = C prime

Rprime

dminusrarrAdC

dminusrarrA primedC

=dG prime

dminusrarrA primedC

=dG prime

minusrarr est donc

minusrarr prime =

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

minusrarr prime =

minusrarr )

Orsquo

RprimeC

bullminusrarr0

minusrarr5i

minusrarr prime

Vecteur rotation

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

=minusrarrE CR =

dminusrarrD primedC

prime)

minusrarr = 1

minusrarrD3prime

dminusrarr

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

dminusrarr

dC prime

Rprime

dminusrarr

=dminusrarr

dC prime

Rprime

axe(Δ)

minusrarrl

Orsquo

minusrarrA prime

A primeperp

A prime

minusrarr0 on

minusrarr1

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

)ce qui donne

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

Force centrifuge

minusrarr

minusrarr5i = ltl

minusrarr5ie = ltl

2 = ltE2

Rprime

minusrarrl

A primeperp

minusrarrE

2 hearts (811)

minusrarrl

(a) Vue de profil

minusrarr5ic

(b) Vue de dessus

dminusrarrD primedC

dminusrarrEe (M)dC

Soleil

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

minusrarr5ic avec

hearts

Rlowast

minusrarr521

minusrarr512

=minusrarrext =

minusrarr0

d2minusminusrarrGM1

minusrarr512

lt1lt2

lt1 +lt2

minusrarr5 tels que

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr5 avec

lt1lt2

lt1 +lt2

5 =minusrarr512

hearts (92)

` =ltltAlt +ltA

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr6

(1 + lt

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

minusminusrarrGM1 =

minusminusrarrGM

minusminusrarrGM2 =

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

2 + Eclowast

vautEclowast =

lt1minusrarrE1 +lt2

minusrarrE2

lt1 +lt2=

lt1 +lt2

)= minus lt2

lt1 +lt2

minusrarrEM

lt1 +lt2

minusrarrEM

lt1 +lt2

+ 12lt2

lt1 +lt2

2 + 12`EM

2 hearts (93)

= int =

(12(lt1 +lt2)EG

2 + 12`EM

(12`EM

2 + Ep = Cte

lt1lt2

lt1 +lt2

d2minusrarrAdC2

G(lt1 +lt2)4 ge 0

hearts (96)

Rlowast

M1bullG

01 =lt2

lt1 +lt20

02 =lt1

lt1 +lt20

)2 =G(lt1 +lt2)

4c2 hearts (97)

2 minus Glt1lt2

lowast

12` currenA2 + 1

A2 minusGlt1lt2

lowast

A2 + Glt1lt2

Emlowast A minus `2

2Emlowast = 0

Emlowast =

minusGlt1lt2

+Glt1lt2

hearts (98)

EbullGP bull

Elowast =2c0lowast)

0lowast

)2 =G(lt +lt)

4c2 Glt

4c2 car lt lt

lt +lt0 lt

et minusEmax avec

Emax =2c0)

4 = 0 4 = 0 2 et 0 = 0 4 = 0 2 et 0 = 45 4 = 0 2 et 0 = 90

minus0

Ep = 0

`dminusrarrEM

dC=minusrarr5

` yenG + ^G = 0

radic^

2 + Ep = Emlowast

2` (G + Aeq)2+ Ep (G) = Em

lowast

Ep eff =lowast2

2` (G + Aeq)2+ Ep (G)

Ep eff lowast2

de la moleacutecule

E=ℓ = (= + 12)ℎa0 + ℓ(ℓ + 1) ℎ2

bulllt1

minusrarrE1

bulllt2

minusrarrE2

bullltprime1

minusrarrE1prime

Apregraves

Deacutefinition

minusrarrext =

minusrarr0 ) Enfin

dminusrarr S

dC=minusrarrext =

minusrarr0

minusrarr avantS =

hearts (101)

sumparticules

[Ec (S) +

1sum8=1

]avant

[Ec (S) +

2sum8=1

]apregraves

hearts (102)

Deacutefinition

noyau positif)

bulllt1

minusrarrE1G

bulllt2

minusrarrE2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2

minusrarrE2prime

Apregraves

lt1E12 +lt2E2

prime)2

2) = lt2 (E22 minus (E2

prime)2)

E1prime =

lt1 +lt2

E2prime =

lt1 +lt2

E1prime =

E2prime =

lt1 +lt2E1

(lt1 +lt2)2Ec1 (104)

minusrarrE2prime

lt1E12 = lt1E1

prime2 +lt2E2prime2

bulllt1

minusrarrE1 bulllt2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2 minusrarrE2

Apregraves

minusrarrE1A

E12 = E1

prime2 + E2prime2

prime2 + E2prime2 +

prime= 0

cos 1 =1

Deacutefinition

[ sum8=12

]avant

sum8=11

apregraves

Choc mou

12lt1E

minusrarrEG

lt1 +lt2

minusrarrE prime

Apregraves

Eprime =lt1

2(lt1 +lt2)E2

|amp |Ec (S)

lt1 +lt2

apregraves

EBSavant (105)

4 =Eprime2 minus E

prime1

E1 minus E2(106)

Reacutep E1prime =

E1 et E2prime =

lt1 (1 + 4)lt1 +lt2

X minusrarr

+1 X +0minus1 4

Ec1 =lt2

lt1 +lt2amp (107)

siegravecle

Hypothegraveses

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

parallegravele

eacutequateur

meacuteridien

Pesanteur terrestre

tension du fil

minusrarr0 (111)

minusrarr0

minusminusrarrCM

Pocircle Nord

Eacutequateur

minusrarrl

minusrarr

otimes minusrarr5ic

Rayon (km) 6370

26ℎ 45 msminus1

yenG = 0

yenH = 2l cos_ 6C

yenI = minus6

yenH = 2l cos_ 6C

H(C) = l cos_3

6 C3 (115)

(int g

0currendC minuslg

ltdminusrarrE MR

minusrarr

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

5 ic bull

minusrarr5 ic

Isobare

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla

minusrarr5ic

fluides-parfaitsphp

minusrarr5 = minus

5ich = 2d l sin_ E

bullbull

preacutec

G (sud)

H (est)

minusrarrDA

minusrarrDI

otimes minusrarrD

minusrarr)

minusrarr6

minusrarrDA

minusrarrD

G (sud)

H (est)OI

vue de dessus

)Foucault =2c

l sin_=

sin_(118)

Tminusrarr0 (C) = T

minusrarr6(C)

minusrarrD

minusrarrE

bullM1

minusrarrC

bullM2

bullM3

bullM4

minusrarrC(M1) =

(A minus T)2minus G

)minusrarrD 2G)

A3minusrarrD

A3minusrarrE

Cmax =G2)A

Distance 1 053 027 00024 038 40

bullminusrarrD MHMH

bullminusrarrD MH

bull Nord

)L = 24 + 128

24 = 24 h50prime

ANNEXES

H [0)] rarr R

C ↦rarr H(C)

(C H(C) currenH(C) H () (C)) = 0 (A1)

minusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

Exemple

currenGcurrenI

minus6 minus V

E0 cos E0 sin

Deacutefinitions

L(H) = 5 (C) (A3)

L(UHh + Hp) = UL(Hh) +L(Hp) = 0 + 5 (C)

Meacutethodologie

0A + + 02A

2 + 01A + 00 = 0

Hh (C) ==sum=1

H(C) ==sum=1

4A C + Hp (C)

Deacutefinition

d (H(C))dC

=d (C)

currenE 1

1 minus V

lt6E2= 6

Or intdG

1 minus (G0)2=0

0 + G0 minus G

radiclt6

= 6C +Cte

E(C) =radiclt6

eCg minus eminusCg

radiclt

radiclt6V

= 6 minus V

ltE2 avec E(0) = 0

dC= 6 =rArr E0 (C) = 6C

dC= 6 minus V

E(C) =radiclt6

(radicV6

15G5 + O(G7)

E(C) =radiclt6

(radicV6

)= 6C minus V6

3ltC3 + O(C5)

26C2 5lt

dC+ n dH1

dC= 5 (C H0) + n H1 5

dC= 5 (C H0 (C)) avec H0 (0) = H0

dC= H1 5

yenG +l20G + nG

3 = 0 avecG(0) =

currenG(0) = 0

l20 + 2nl0l1

0G(i) + nG3 (i) = 0

G prime0 (0) = 0(B1)

20G1 (i) + 2l0l1G

primeprime0 (i) + G

30 (i) = 0 avec

G1 (0) = 0G prime1 (0) = 0

G0 (i) = cos i

l0minus 33

)minus 3

cos 3i

)est res-

l0 minus 33

= 0 =rArr l1 =32

G1 (i) =3

G(C) ( minus n 3

)cos(l0 + nl1)C +

0 5 10 15 20

minus1

0 5 10 15 20

minus1

yen +l20 minus

63 = 0

l = l0 + nl1 = l0

(1 minus

2max16

(C)ℓ

minusrarrDA

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓ

)0 = 2c

radicℓ

radic6

int ) 4

0l0 dC

2c on trouve

) =2)0

int max

) = )0 E

)avec E(G) = 2

int c2

C2 Formule de Borda

= 1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

E(G) = 2c

int c2

(1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

)dq = 1 + 1

4G2 + O(G4)

) = )0

(1 + 1

4sin2 max

(sin4 max

avec00 = 0 gt 0

10 = 1 lt 0

0=+1 minus 1=+1 le1

81(0= minus 1=)2

Moyenne

= = 1 075 070710678 510minus2

= = 2 072855339 072823765 310minus4

= = 3 072839555 072839550 510minus8

I(0 1) = 2c

int c2

~boxallAGMpdf

I(0 1) = I(01 11) = = I(0= 1=) = = I(ℓ01 ℓ01)

I(0 1) = I(ℓ01 ℓ01) =2c

int c2

dqℓ01

=1ℓ01

I(1radic

E(G) = 1ℓ1radic

1minusG2

ougrave ℓ1radic

et 1 =radic

1 minus G2

ℓ1cos(max2)(C5)

2 )0 = 2cradicℓ6 et ) = )0

mdash 2 = (0 + 1)2

mdash 1 =radic01

mdash 0 = 2

mdash )prec = )

mdash ) = )00

6 RETOURNER )

0 50 100 1501

angle max ()

0 50 100 150

10minus4

10minus2

angle max ()

0=[formule MAG-n]

4)0(1 +

radiccos max2

)2 (C6)

M(A )A

bullFrsquo

DLES CONIQUES

D1 Introduction

A () =

gt 04 ge 0

D2 Lrsquoellipse

A () =

162 D LES CONIQUES

20 = Aa + Ap =2

1 minus 42

422 + 4A 2 cos = 44202 + 4A 4 0 cos

= 402 minus 402 (1 minus 42)4 cos + 1

422 + 4A 2 cos = 402 minus 40 A

02 = 12 + 22 (D3)

D3 La parabole 163

bullFoyer

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42) (D4)

02 +H2

12 = 1 (D5)

D3 La parabole

A () =

1 + cos (D6)

2)2 + 2(G minus

H2 = 2 G (D7)

164 D LES CONIQUES

D4 Lrsquohyperbole

A () =

4 cos plusmn 1avec

gt 04 gt 1

BminusB+

bullFoyer

M(Aminus )

M(A+ )

2 = c minus 1

4 minus 1minus

4 + 1= 20

4 minus 1= 2 + 0

= 0(42 minus 1)

22 = 02 + 12 (D8)

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42)

02 minusH2

12 = 1 (D9)

Notations

yenH ou d2H

Grandeurs physiques

Volume + m3

Preface

Temps et espace


Vitesse dun point


Mouvements simples


Lois de Newton













Reacutesonances



Moment dune force


TMC

Applications



















Annexes










Formule de Borda


LES CONIQUES

Introduction

Lellipse

La parabole

Lhyperbole


Notations


ANNEXES 141

Notations 169

Table des figures

Liste des tableaux

11 Temps et espace

Le temps

ΔC = C minus C

Lrsquoespace

= 299 792 458 m

minusrarrDG

minusrarrDH

M(G(C)H(C))bull

Vecteur position

0 si 8 ne 9

1 sinon

avec l = Cte

bullbull

trajectoire

MB(C) =

M0M(C)

minusrarrDG

minusrarrDH

bullbull

trajectoire

Abscisse curviligne

drsquoarc

avec l = Cte

B(C) = (C) = lC

Deacutefinition

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrA (C)

ΔCrarr0

Remarques

dminusrarrDGdC+ dH

dCminusrarrDH + H

dminusrarrDHdC

dminusrarrDHdC =

minusrarr0 Fina-

currenG = dGdC

minusrarrDG

minusrarrDH

M(A (C) (C))bull

avec l = Cte

minusrarrEM =

radicEG

2 + EH2 = l

dminusrarrDAdC

Agrave savoir

dminusrarrDAdC

bullM(C)

minusrarrC

minusrarr= (C)

Trajectoire

avec l = Cte

A (C) =

minusrarrEM =

longueur drsquoarc

= limΔCrarr0

MMrsquoΔC

minusrarrC =

dBdCminusrarrC

minusrarrC

E =dBdC

E(C) dC

Agrave savoir

int C2

Deacutefinition

=dminusrarrEM

d2minusrarrAdC2

minusrarrEM

Mrsquo

minusrarrEMrsquo

ΔminusrarrEΔC

ΔminusrarrE

minusrarrEM =

avec l = Cte

dminusrarrDdC

= curren minusrarrD

minusrarr0M =

minusrarr0M =d2B

dC2minusrarrC + dB

dCdminusrarrCdC

dminusrarrCdC

minusrarr=

131313131313131313131313EC =

0C =dECdC

0= =EC

hearts (18)

Agrave savoir

appelons B(C) =

bullM(C)

minusrarrC

dC2minusrarrC

minusrarrDG

minusrarrDH

minusrarrEM

M(C)bull

B(C) = 120C C

2 + E0 C + B0 hearts (110)

E22 minus E

21 = 20 (B2 minus B1)

) =2cl

hearts (111)

(Symbole Hz)

a =1)=l

2chearts (112)

21 Lois de Newton

Deacutefinition

minusrarrS =sum8=1

lt8minusrarrEM8

sum8=1

minusrarr0

sum8=1

dminusrarrM

dC= ltminusrarr0M =

minusrarr5 (23)

(Einstein 1905)

minusrarr5 98

minusrarr58

minusrarr58 9

minusrarr5 9

bullM8 (lt8)

bullM 9 (lt 9 )

bullG =rArrTCI G

lt =sum8

minusrarr ext =

minusrarr58

dminusrarr8dC

=minusrarr58

ext +sum9ne8

minusrarr5 98

dminusrarr8dC

=dminusrarrSdC

minusrarr58

dminusrarrSdC

minusrarr ext

1785Coulomb

1820Biot et Savart

1864Maxwell

Feynman et al

Becquerel

1934Fermi

1935Yukawa

Gravitation

Magneacutetisme

Interaction Faible

Interaction Forte

minusrarr512(lt1)

Gravitation

lt1lt2

Sol terrestre

minusrarr = lt

sum8=1

minusGlt8A28

Agrave retenir

minusrarr512

minusrarr521

minusrarr512

minusrarr521

minusminusrarrD12

(2)(1)

minusrarr512 =

minusrarr = amp

sum8=1

minusrarrD8A28

sum8=1

minusrarr (M)

minusrarr512 = 2

minusrarr1 + 2

minusrarr

minusrarrt

minusrarr

`B 018 004 sim 0 8 065

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

t = 12 df ( G E

p = 12 df ( I E

G 041 12 035 0 1

t = UE avec U = Cte

Loi de Stokes

Tension

) (B)dminusrarr5

dminusrarr

) (B) = ) (B + dB) =rArr ) (B) = Cte

Eacutenonceacute

Cas unidimensionnel

radicE2

Es =radic

26ℎ hearts (32)

fluides-parfaitsphp

Cas bidimensionnel

minusrarrE0

I = minus12

E20 cos2

G2 + G tan

Gmax =E2

0 sin 26

minusrarr6

Cas unidimensionnel

dltminusrarr6

(1 minus df

)minusrarr6

Einfin

[1 minus eminusCg

12df(G

E2infin =

lt6prime

V=rArr Einfin =

radic2lt6prime

ltE2 = 6prime

[1 minus

Einfin

11 minus G2 dG =

eG + eminusG

) (dBdC

E =dE22

dDdB+ 26prime

(minus 2BEinfing

E(B) = Einfinradic

126primeg2

Cas bidimensionnel

currenG = EG

currenI = EIet

radicE2G + E2

omprunge-kuttaphp

frottement nul

quadratique

Mminusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

Ordres de grandeur

minusrarr5

minusrarrdℓ

ArarrB intCAB

minusrarr

minusrarr6

minusrarr6bull

minusrarr)

minusrarr

ArarrB =

intCAB

) dℓ = minus)

P = limXCrarr0

XC= limXCrarr0

ArarrB =

int CB

PdC hearts (44)

ArarrB = Ptimes ΔC

1 W = 1 Jsminus1

minusrarr5

ltdminusrarrEdC

minusrarr5

il vientddC

(12ltE2

ddC(Ec) =

ArarrB

ddC(Ec) =

ΔEc =sum

minusrarrDG +m 5

minusrarrDH +m 5

minusrarrDI

Meacutethodologie

mGdG +

mHdH +

mIdI = minus

intCAB

int C2

U(E)E2 dC lt 0

Glt1lt2A

amp1amp2

amp1amp24cn0A

minusrarr5 que

ArarrB = minus

(Ep () minus Ep ()

p (A) = Ec (B) +

Em Ec +sum

Ep = constante (49)

ΔEc =sum

ArarrB +

ncArarrB = minus

ΔEp +ncrarr

dG(Geq)

Stabiliteacute

dG2 (Geq)

G1 G2 G3G

Ep (G) le Em

lt yenG = minusdEp

currenG = plusmn

radiclt

(C)ℓ

minusrarrDA

M(ℓ)

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓElt2

minusrarr598

minusrarr58 9

bull M8 (lt8)

bull M 9 (lt 9 )

yen + 6ℓ

sin = 0

lt8dminusrarrE8dC

sum9ne8

minusrarr5 98

dminusrarrE8dC

sum8 9ne8

Ec (S) sum 1

Ec (S) sum8=1

12ltminusrarrE8 2

avecext =

intPext dC =

int = =intPint dC =

sum8 9ne8

Ec (S) =sum8=1

sum8=1

12lt8E

sum8=1

12lt8E

lowast28 +

(sum8=1

)middot minusrarrEG

sum8=1

Ec (S) =12ltE2

ΔElowastc = int

int =sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

(int CB

int CB

int =12

sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

5 98 dA 98

Reacutep Δ(

2+ Elowastc

)= ext

int = minus12

sum8 9ne8

int CB

sum8 9ne8

Epij hearts (416)

Eintp =

sum8 9ne8minusG

lt8lt 9

Eintp =

sum8 9ne8

4cY0A8 9

(12ltE2

+ Elowastc + Eint

)= ext hearts (417)

ΔE= 0 si ext = 0

int CB

ext d-

int CB

minusext d+

amp ext minus

Δ( + 12ltE2

) = +amp (419)

minusrarr)

ℓ0ℓ0 + G

minusrarrDG

a0 =l0

lthearts (52)

Ep =12G2 =

122 cos2 (l0C + i)

Ec =12lt currenG2 =

122 sin2 (l0C + i)

Agrave retenir

41 cf Chapitre 2

et si lrsquoon pose

lt[sminus1]

2G = 0 (53)

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

mdash lt = 1 kg

mdash _ = l020

Reacutegime libre

A2 + 2_ A +l02 = 0

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

10 20 30 40

Em = 12 G

2 + 12ltE

10minus1

2 4 6 8 10

10minus1

Em = 12 G

2 + 12ltE

52 Reacutesonances

ℓ (C)0 cos lC

yenG + UltcurrenG +

ltcos(lC)

hearts (55)

cos(lC)[01

2 minusl2)+ 2_l 02

]+ sin(lC)

20 cos(lC)

2 minusl2)+ 2_l 02 = l0

20 et 02

01 = 0l0

2 (l02 minusl2)(

l02 minusl2)2 + (2_l)2

et 02 = 02_ll0

2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

radic02

1 + 022

tan i = minus0201

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2et tan i =

2_ll2 minusl02

20 coslC

20 sinlC

20 e8lC (56)

|I | =radic02 + 12

tan i = 10cos i = 0 |I |

2 minusl2)+ 28_l

20(l02 minusl2) + 28_l

_ = _0

_ lt _0

minusminusrarr5 op

minusrarr5

Systegraveme

et tan i =2_l

2radic(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

radic2

2 l0 = _0

Application

soiumldal

05 (C) dC

6 =1)[ 5 (C) ])0 = 0

Pop = U2l2 sin2 (lC + i)︸︷︷︸

=12U2l2

Pop =12Ul0

402 l2(l02 minusl2

)2 + (2_l)2

Pop =Pmax

1 +(l02minusl2

12 Pmax

radic2

l02 minusl2

radicl02 + _2

amp a0

Δa=l0

Δlhearts (58)

On trouve ici

0 05 1 15 2 25

eacutee

Oscillateur amp

ampcurrenG +l0

2G = 5 (C)

12` currenG2 + Ep (G) = Em (59)

dG2 (Geq) gt 0

(G minus Geq

yen- + ^`- = 0 (510)

radic^

`hearts (511)

minusc c

minuslt6ℓ

lt6ℓ

Ec =12ltE2 =

radic6ℓ

Anharmoniciteacutes

Ep (G) =int G

50 100 150

angle max ()

0minus0

Ep = 0

5 (G) = sin G

Ep = 0

2 et n = ^02

radic^` et V =

G =VG2

2l02 =304G2

minusrarr51

minusrarr52

minusrarr53

Deacutefinitions

minusrarr58 =rArr

minusrarr0

minusrarr =

minusrarr58 = 8

minusrarr51

sum8=1

minusminusrarrOAand

minusrarr58

bull3A

minusrarrDbullM

minusrarr5

Deacutefinitions

minusrarrA (M)

minusrarrA =

minusrarrB +

A (S) =sum8

minusrarrA (SR) =

minusrarrB (SR) +

minusrarrA (S) =

Il vient alors

minusrarrA (S) =

minusminusrarrAGand

lt8minusrarrE8 +

)and minusrarrEG

63 TMC 73

minusrarrA (S) =

minusrarrG (S) =

minusrarr lowast

ℎ =ℎ

dminusrarrA (M)

dminusrarrEMRdC

ltdminusrarrEMR

dminusrarrA (M)

dΔ (M)dC

=MΔ (minusrarr5 )

dminusrarrA (S)

minusrarr58

minusrarr58 9 =

minusrarr0

64 Applications 75

dminusrarrA (S)

minusrarr58

dminusrarrG (S)

minusrarr58

ext +(sum8

lt8minusrarrE8

)and minusrarrEGR

dminusrarrG (S)

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

ext hearts (69)

en deux mouvements

ltdminusrarrEdC

=minusrarr ext

dminusrarr lowast

dC=minusminusrarrMG

64 Applications

dminusrarrO (M)

minusrarrO (M)

dA = 12

131313= 1

2 | | dC

ext =minusrarr0

minusminusrarrMA

64 Applications 77

minusrarr6

minusrarr1

minusrarr2

minusrarr3

minusrarrD

H8minusrarrE8

minusrarr512 et

minusrarr53 avec

minusrarr512 =

12lt6 tanU

lt8 A28

ΔdldC

=MextΔ

avec Δ =sum8

minusrarr6

minusrarr

appliqueacutee en G

Contact

appliqueacutee en $

Δsin = 0

radiclt6ℓ

radic6

ℓ[pendule simple]

Δ =13lt2 et ℓ =

2=rArr l0 =

radic364ℓ

[barre rectiligne]

Glt1lt2

Ep = minusGlt1lt2

A+Cte hearts (72)

512 =12

4cn0A2minusrarrDA

Ep =12

de poser Cte = 0

dminusrarrO (M)

Ep eff

bullP1

bullP2

12lt currenA2 + lt

2A2 + Ep (A) = Em (75)

Ep eff =lt2

2A2 + Ep (A)

0 Eprimep (A0) (76)

)orb =2ccurren=

)osc = 2cradic`

` = lt

5 (A) =

A2radicA

5 (A) = radicA

A0 =lt2

et )orb = 2c

)osc = 2cradic

radiclt

3lt2A40 minus 2A3

= 2clt23

A2minusrarrDA

Lois de Kepler

Histoire

Ep eff

Ep eff =lt2

2A2 minusGltlt

A02 curren =

lt0 = ltE2

Il vient alors

radicGlt

A0et Ec = minus

12Ep (78)

)2 =Glt

4c2 (79)

Em = Ec + Ep =Ep

2= minusGltlt

12lt currenA2 + lt

2A2 minusGltlt

A2 curren =

currenA = d (1D)dC

= minus 1D2

dDdcurren = minusdD

+ lt2D2

2minus GltltD = Em

curren = D2

d2 + D =Glt

D() = Glt

2 + cos( minus 0)

Glt4 ge 0

4 gt 1

4 lt 1 bullFoyer

c2 dans ce cas

2=rArr A

)2 =Glt

4c2 hearts (711)

lt = 4c2 (149 6106)3

Eacutenergie

1 + 4 cos

currenA = minusdDd

=4 sin

2A2 minusGltlt

=12lt2

[(1 + 4 cos )2

2 + 42 sin2

Em =lt2

(1 + 42 + 24 cos

Em = minusGltlt2

(1 minus 42

)(712)

Em =Gltlt

20[hyperbole]

Em = minusGltlt20

[ellipse]

Em = minusGltlt20

hearts (713)

radic2

3p0 = 570 kmsminus1

Vitesses cosmiques

12ltE2 minus GltltT

T + ℎ 1

2ltE2 minus GltltT

Dans ce cas on a

E ge Elib =radic

Em = minusGltltT

20gt minusGltltT

2T(1 minus 4)

Em gt minusGltltT

22 = 9 mm

radic3)

l =2c)

Cas du cercle

A = A0

= lC + 0

1 + 4 cos et =

De plus

2 = Glt = l203 =

(1 minus 42)3

24 sin = 24 sin(lC)

1 + 4 cos = lC + 24 sin(lC)

Cas elliptique

1 + 4 cos

tan 2 =

minus 4 sin = lC

Cas parabolique

3tan3 2 = 2

= AminEmax =Emax

1 + cos

tan 2 + 13

tan3 2 =Emax

minusrarr5 =

4cn0A2minusrarrDA

Cas attractif

minusGltltharr12

= minus4cn0lt2

124 ge 0

Cprimeh

bullFoyer

Em =12

(1 minus 42

Cas reacutepulsif

Ep eff =lt2

2A2 +12

=4cn0lt

124 gt 1

4 cos minus 1

forddu fait de la

tan(Θdev2)

2E2infin

tan 1 =

4cn0lt 1 E2infin

tanΘdev2 =12

8cn0Ec1(716)

Ec =12

4cn0Ec

3min =242

dminusrarrD primedC

Orsquo

Rprime

Orsquo

Rprime

Orsquo

RprimeOrsquo

Rprime

C = C prime

Rprime

dminusrarrAdC

dminusrarrA primedC

=dG prime

dminusrarrA primedC

=dG prime

minusrarr est donc

minusrarr prime =

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

minusrarr prime =

minusrarr )

Orsquo

RprimeC

bullminusrarr0

minusrarr5i

minusrarr prime

Vecteur rotation

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

=minusrarrE CR =

dminusrarrD primedC

prime)

minusrarr = 1

minusrarrD3prime

dminusrarr

dminusrarrD1prime

dminusrarrD2prime

dminusrarrD3prime

dminusrarr

dC prime

Rprime

dminusrarr

=dminusrarr

dC prime

Rprime

axe(Δ)

minusrarrl

Orsquo

minusrarrA prime

A primeperp

A prime

minusrarr0 on

minusrarr1

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

)ce qui donne

dminusrarrE MRdC

dC prime

Rprime

Force centrifuge

minusrarr

minusrarr5i = ltl

minusrarr5ie = ltl

2 = ltE2

Rprime

minusrarrl

A primeperp

minusrarrE

2 hearts (811)

minusrarrl

(a) Vue de profil

minusrarr5ic

(b) Vue de dessus

dminusrarrD primedC

dminusrarrEe (M)dC

Soleil

minusrarr

minusrarr prime

ltprime

de sorte que

minusrarr5ic avec

hearts

Rlowast

minusrarr521

minusrarr512

=minusrarrext =

minusrarr0

d2minusminusrarrGM1

minusrarr512

lt1lt2

lt1 +lt2

minusrarr5 tels que

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr5 avec

lt1lt2

lt1 +lt2

5 =minusrarr512

hearts (92)

` =ltltAlt +ltA

`d2minusrarrAdC2

=minusrarr6

(1 + lt

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

minusminusrarrGM1 =

minusminusrarrGM

minusminusrarrGM2 =

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

lt1 +lt2

minusminusrarrGM

2 + Eclowast

vautEclowast =

lt1minusrarrE1 +lt2

minusrarrE2

lt1 +lt2=

lt1 +lt2

)= minus lt2

lt1 +lt2

minusrarrEM

lt1 +lt2

minusrarrEM

lt1 +lt2

+ 12lt2

lt1 +lt2

2 + 12`EM

2 hearts (93)

= int =

(12(lt1 +lt2)EG

2 + 12`EM

(12`EM

2 + Ep = Cte

lt1lt2

lt1 +lt2

d2minusrarrAdC2

G(lt1 +lt2)4 ge 0

hearts (96)

Rlowast

M1bullG

01 =lt2

lt1 +lt20

02 =lt1

lt1 +lt20

)2 =G(lt1 +lt2)

4c2 hearts (97)

2 minus Glt1lt2

lowast

12` currenA2 + 1

A2 minusGlt1lt2

lowast

A2 + Glt1lt2

Emlowast A minus `2

2Emlowast = 0

Emlowast =

minusGlt1lt2

+Glt1lt2

hearts (98)

EbullGP bull

Elowast =2c0lowast)

0lowast

)2 =G(lt +lt)

4c2 Glt

4c2 car lt lt

lt +lt0 lt

et minusEmax avec

Emax =2c0)

4 = 0 4 = 0 2 et 0 = 0 4 = 0 2 et 0 = 45 4 = 0 2 et 0 = 90

minus0

Ep = 0

`dminusrarrEM

dC=minusrarr5

` yenG + ^G = 0

radic^

2 + Ep = Emlowast

2` (G + Aeq)2+ Ep (G) = Em

lowast

Ep eff =lowast2

2` (G + Aeq)2+ Ep (G)

Ep eff lowast2

de la moleacutecule

E=ℓ = (= + 12)ℎa0 + ℓ(ℓ + 1) ℎ2

bulllt1

minusrarrE1

bulllt2

minusrarrE2

bullltprime1

minusrarrE1prime

Apregraves

Deacutefinition

minusrarrext =

minusrarr0 ) Enfin

dminusrarr S

dC=minusrarrext =

minusrarr0

minusrarr avantS =

hearts (101)

sumparticules

[Ec (S) +

1sum8=1

]avant

[Ec (S) +

2sum8=1

]apregraves

hearts (102)

Deacutefinition

noyau positif)

bulllt1

minusrarrE1G

bulllt2

minusrarrE2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2

minusrarrE2prime

Apregraves

lt1E12 +lt2E2

prime)2

2) = lt2 (E22 minus (E2

prime)2)

E1prime =

lt1 +lt2

E2prime =

lt1 +lt2

E1prime =

E2prime =

lt1 +lt2E1

(lt1 +lt2)2Ec1 (104)

minusrarrE2prime

lt1E12 = lt1E1

prime2 +lt2E2prime2

bulllt1

minusrarrE1 bulllt2

bulllt1

minusrarrE1prime

bulllt2 minusrarrE2

Apregraves

minusrarrE1A

E12 = E1

prime2 + E2prime2

prime2 + E2prime2 +

prime= 0

cos 1 =1

Deacutefinition

[ sum8=12

]avant

sum8=11

apregraves

Choc mou

12lt1E

minusrarrEG

lt1 +lt2

minusrarrE prime

Apregraves

Eprime =lt1

2(lt1 +lt2)E2

|amp |Ec (S)

lt1 +lt2

apregraves

EBSavant (105)

4 =Eprime2 minus E

prime1

E1 minus E2(106)

Reacutep E1prime =

E1 et E2prime =

lt1 (1 + 4)lt1 +lt2

X minusrarr

+1 X +0minus1 4

Ec1 =lt2

lt1 +lt2amp (107)

siegravecle

Hypothegraveses

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

parallegravele

eacutequateur

meacuteridien

Pesanteur terrestre

tension du fil

minusrarr0 (111)

minusrarr0

minusminusrarrCM

Pocircle Nord

Eacutequateur

minusrarrl

minusrarr

otimes minusrarr5ic

Rayon (km) 6370

26ℎ 45 msminus1

yenG = 0

yenH = 2l cos_ 6C

yenI = minus6

yenH = 2l cos_ 6C

H(C) = l cos_3

6 C3 (115)

(int g

0currendC minuslg

ltdminusrarrE MR

minusrarr

Rgeacuteo

bullPocircle Sud

bullPocircle Nordl

5 ic bull

minusrarr5 ic

Isobare

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla -

minusrarrnabla

-minusrarrnabla

minusrarr5ic

fluides-parfaitsphp

minusrarr5 = minus

5ich = 2d l sin_ E

bullbull

preacutec

G (sud)

H (est)

minusrarrDA

minusrarrDI

otimes minusrarrD

minusrarr)

minusrarr6

minusrarrDA

minusrarrD

G (sud)

H (est)OI

vue de dessus

)Foucault =2c

l sin_=

sin_(118)

Tminusrarr0 (C) = T

minusrarr6(C)

minusrarrD

minusrarrE

bullM1

minusrarrC

bullM2

bullM3

bullM4

minusrarrC(M1) =

(A minus T)2minus G

)minusrarrD 2G)

A3minusrarrD

A3minusrarrE

Cmax =G2)A

Distance 1 053 027 00024 038 40

bullminusrarrD MHMH

bullminusrarrD MH

bull Nord

)L = 24 + 128

24 = 24 h50prime

ANNEXES

H [0)] rarr R

C ↦rarr H(C)

(C H(C) currenH(C) H () (C)) = 0 (A1)

minusrarr6

minusrarrE

minusrarrE0

Exemple

currenGcurrenI

minus6 minus V

E0 cos E0 sin

Deacutefinitions

L(H) = 5 (C) (A3)

L(UHh + Hp) = UL(Hh) +L(Hp) = 0 + 5 (C)

Meacutethodologie

0A + + 02A

2 + 01A + 00 = 0

Hh (C) ==sum=1

H(C) ==sum=1

4A C + Hp (C)

Deacutefinition

d (H(C))dC

=d (C)

currenE 1

1 minus V

lt6E2= 6

Or intdG

1 minus (G0)2=0

0 + G0 minus G

radiclt6

= 6C +Cte

E(C) =radiclt6

eCg minus eminusCg

radiclt

radiclt6V

= 6 minus V

ltE2 avec E(0) = 0

dC= 6 =rArr E0 (C) = 6C

dC= 6 minus V

E(C) =radiclt6

(radicV6

15G5 + O(G7)

E(C) =radiclt6

(radicV6

)= 6C minus V6

3ltC3 + O(C5)

26C2 5lt

dC+ n dH1

dC= 5 (C H0) + n H1 5

dC= 5 (C H0 (C)) avec H0 (0) = H0

dC= H1 5

yenG +l20G + nG

3 = 0 avecG(0) =

currenG(0) = 0

l20 + 2nl0l1

0G(i) + nG3 (i) = 0

G prime0 (0) = 0(B1)

20G1 (i) + 2l0l1G

primeprime0 (i) + G

30 (i) = 0 avec

G1 (0) = 0G prime1 (0) = 0

G0 (i) = cos i

l0minus 33

)minus 3

cos 3i

)est res-

l0 minus 33

= 0 =rArr l1 =32

G1 (i) =3

G(C) ( minus n 3

)cos(l0 + nl1)C +

0 5 10 15 20

minus1

0 5 10 15 20

minus1

yen +l20 minus

63 = 0

l = l0 + nl1 = l0

(1 minus

2max16

(C)ℓ

minusrarrDA

minusrarr6

minusc c

minusmax max

minuslt6ℓ

lt6ℓ

)0 = 2c

radicℓ

radic6

int ) 4

0l0 dC

2c on trouve

) =2)0

int max

) = )0 E

)avec E(G) = 2

int c2

C2 Formule de Borda

= 1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

E(G) = 2c

int c2

(1 + sin2 q

2G2 + O(G4 sin4 q)

)dq = 1 + 1

4G2 + O(G4)

) = )0

(1 + 1

4sin2 max

(sin4 max

avec00 = 0 gt 0

10 = 1 lt 0

0=+1 minus 1=+1 le1

81(0= minus 1=)2

Moyenne

= = 1 075 070710678 510minus2

= = 2 072855339 072823765 310minus4

= = 3 072839555 072839550 510minus8

I(0 1) = 2c

int c2

~boxallAGMpdf

I(0 1) = I(01 11) = = I(0= 1=) = = I(ℓ01 ℓ01)

I(0 1) = I(ℓ01 ℓ01) =2c

int c2

dqℓ01

=1ℓ01

I(1radic

E(G) = 1ℓ1radic

1minusG2

ougrave ℓ1radic

et 1 =radic

1 minus G2

ℓ1cos(max2)(C5)

2 )0 = 2cradicℓ6 et ) = )0

mdash 2 = (0 + 1)2

mdash 1 =radic01

mdash 0 = 2

mdash )prec = )

mdash ) = )00

6 RETOURNER )

0 50 100 1501

angle max ()

0 50 100 150

10minus4

10minus2

angle max ()

0=[formule MAG-n]

4)0(1 +

radiccos max2

)2 (C6)

M(A )A

bullFrsquo

DLES CONIQUES

D1 Introduction

A () =

gt 04 ge 0

D2 Lrsquoellipse

A () =

162 D LES CONIQUES

20 = Aa + Ap =2

1 minus 42

422 + 4A 2 cos = 44202 + 4A 4 0 cos

= 402 minus 402 (1 minus 42)4 cos + 1

422 + 4A 2 cos = 402 minus 40 A

02 = 12 + 22 (D3)

D3 La parabole 163

bullFoyer

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42) (D4)

02 +H2

12 = 1 (D5)

D3 La parabole

A () =

1 + cos (D6)

2)2 + 2(G minus

H2 = 2 G (D7)

164 D LES CONIQUES

D4 Lrsquohyperbole

A () =

4 cos plusmn 1avec

gt 04 gt 1

BminusB+

bullFoyer

M(Aminus )

M(A+ )

2 = c minus 1

4 minus 1minus

4 + 1= 20

4 minus 1= 2 + 0

= 0(42 minus 1)

22 = 02 + 12 (D8)

G2 (1 minus 42) + H2 = 02 (1 minus 42)

02 minusH2

12 = 1 (D9)

Notations

yenH ou d2H

Grandeurs physiques

Volume + m3

Preface

Temps et espace


Vitesse dun point


Mouvements simples


Lois de Newton













Reacutesonances



Moment dune force


TMC

Applications



















Annexes










Formule de Borda


LES CONIQUES

Introduction

Lellipse

La parabole

Lhyperbole


Notations


Documents

Cours de mécanique classique – femto-physique...11.1 Le référentiel terrestre est en rotation par rapport au référentiel géocentrique.126 11.2 Déviation vers l’Est : forces