Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
COURS DE MÉCANIQUE DU
SOLIDEPar
I.Mrani
Année 2018-2019
Plan du cours
■ Géométrie vectorielle
■ Les torseurs
■ Cinématique du solide
■ Cinématique de contact de deux solides
■ Cinétique du solide
■ Principe fondamentale de la dynamique
■ Puissance - Travail
Chap I. Géométrie vectorielle
■ I Les vecteurs
– I.1 Définitions
a) Les vecteurs liés
Composantes de A dans le repère R : 𝑨 ቮ
𝒙𝑨𝒚𝑨𝒛𝑨
Composantes de B dans le repère R : Bቮ
𝒙𝑩𝒚𝑩𝒛𝑩
Composantes de 𝐴𝐵 dans le repère R : 𝑨𝑩 ቮ
𝒙𝑨𝑩 = 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨𝒚𝑨𝑩 = 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨𝒛𝑨𝑩 = 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨
Un vecteur lié est un couple de deux points (A,B) noté AB
Ce couple ordonné de deux points est défini par :
• son support (droite )
• son point d’application A
• son sens (de A vers B)
• son module (distance de A à B)
Chap I. Géométrie vectorielle
Propriétés :
– Deux vecteurs liés sont équipollents s’ils ont même sens et même module.
– Un vecteur nul est un vecteur dont toutes les composantes sont nulles.
– Remarque : l’équipollence est une relation d’équivalence.
– Réflexivité : 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
– Symétrie : 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 ⇒ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵
– Transitivité : ቋ𝐴𝐵 = 𝐶𝐷
𝐶𝐷 = 𝐸𝐹⟹ 𝐴𝐵 = 𝐸𝐹
a) Les vecteurs libres
– L’ensemble des vecteurs liés équipollents à un vecteur lié, c’est à dire la classe
d’équivalence définie par un de ces vecteurs liés constitue un vecteur libre 𝑉. Un
représentant est défini par :
o Son support,
o Son sens
o Son module 𝑉
Expression du vecteur libre dans le repère 𝑅 : 𝑉 ቮ𝑎𝑏𝑐⇒ 𝑉 = 𝑎 Ԧ𝑥 + 𝑏 Ԧ𝑦 + 𝑐 Ԧ𝑧
Chap I. Géométrie vectorielle
a) 𝐿es vecteurs glissants
Un vecteur glissant est défini par :
- Un vecteur libre 𝑉
- Un point du support P
On le note Ԧ𝐺(𝑃, 𝑉)
– I.2 calcul vectoriel (Porte sur les vecteurs libres)
a) Addition
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 avec 𝑉1 ቮ
𝑥1𝑦1𝑧1
et 𝑉2 ቮ
𝑥2𝑦2𝑧2
⟹𝑉 ቮ
𝑥1 + 𝑥2𝑦1 + 𝑦2𝑧1 + 𝑧2
Propriétés de l’addition :
- Commutativité : V1 + V2 = V2 + V1
- Associativité : V1 + V2 + V3 = V1 + V2 + V3
- Elément symétrique : ∀ V , ∃ −V tel que : V + −V = 0
- Elément neutre : ∀ V , ∃ 0 tel que : V + 0 = V
Chap I. Géométrie vectorielle
L’addition donne à l’ensemble des vecteurs libres une structure de groupe
commutatif.
b) Multiplication par un scalaire
Etant donné un vecteur libre V = xx + yy + zԦz et un scalaire λ , le produit du vecteur
V par λ est un vecteur libre V′ = 𝜆𝑥 Ԧ𝑥 + 𝜆𝑦 Ԧ𝑦+𝜆𝑧 Ԧ𝑧.
Propriétés de la multiplication par un scalaire :
- Associativité : α 𝛽𝑉 = α𝛽 𝑉
- Elément neutre : ∀ V , ∃ 1tel que : 1V = V
- Distributivité par rapport à la somme vectorielle : α 𝑉1 + 𝑉2 = α𝑉1 + 𝛼𝑉2
- Distributivité par rapport à la somme scalaire : α + 𝛽 𝑉 = α𝑉 + 𝛽𝑉
Applications géométriques :
- Conditions d’alignement : 𝐴, 𝐵, 𝐶 alignés ⇔ ∃ 𝑘 ∈ ℝ ; 𝐴𝐵 = 𝑘𝐴𝐶
- Conditions de parallélisme : 𝑉 et 𝑉′ sont // ⇔ ∃k ∈ ℝ ; 𝑉 = 𝑘𝑉′
Chap I. Géométrie vectorielle
c) Produit scalaire
Définition :
Etant donné deux vecteurs libres 𝑉 ቮ𝑥𝑦𝑧
et 𝑉′ ቮ𝑥′𝑦′
𝑧′
définis dans la base orthonormée
Ԧ𝑖, Ԧ𝑗, 𝑘 , on appelle produit scalaire de 𝑉 par 𝑉′ le réél : 𝑉. 𝑉′ = 𝑥𝑥′ + 𝑦𝑦′ + 𝑧𝑧′
Propriétés de la multiplication par un scalaire :
- Commutativité : 𝑉. 𝑉′ = 𝑉′. 𝑉
- Distributivité : 𝑉. 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉. 𝑉1 + 𝑉. 𝑉2
- Le produit scalaire n’est pas associatif : 𝑉. 𝑉1. 𝑉2 ≠ 𝑉. 𝑉1 . 𝑉2
- Associativité quand à la multiplication par un scalaire : α𝑉 . 𝑉′ = 𝑉. α𝑉′
- Carré scalaire : 𝑉𝑉′ = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
- On appelle longueur ou norme d’un vecteur le nombre 𝑉 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Applications :
– Deux vecteurs non nuls 𝑉1 et 𝑉2 sont ⊥ si 𝑉1. 𝑉2 = 0
– Cosinus de deux vecteurs : 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑂𝐴.𝑂𝐵
𝑂𝐴 𝑂𝐵
Chap I. Géométrie vectorielle
d) Produit vectoriel
On appelle produit vectoriel de 𝑉 et 𝑉′ le vecteur libre Ԧ𝐺 = 𝑉 ∧ 𝑉′ . Le vecteur Ԧ𝐺 est tel que:
- Direction de Ԧ𝐺 est ⊥ à 𝑉 et à 𝑉′
- Le sens de Ԧ𝐺 est tel que le trièdre Ԧ𝐺, 𝑉, 𝑉′ est direct.
- Le module de Ԧ𝐺 : = 𝑉 𝑉′ 𝑠𝑖𝑛𝛼 avec 𝛼 = 𝑉, 𝑉′
Propriétés du produit vectoriel
- Le produit vectoriel n’est pas commutatif : 𝑉 ∧ 𝑉′ = −𝑉′ ∧ 𝑉
- Multiplication par un scalaire : 𝜆𝑉 ∧ 𝑉′ = 𝜆 𝑉 ∧ 𝑉′
- Le produit vectoriel nul : 𝑉 ∧ 𝑉′ = 0 ⇔ ൝𝑠𝑖 𝑉 = 0 𝑜𝑢 𝑉′ = 0
ΤΤ𝑉 𝑉′ ⟹ 𝑉 = 𝑘𝑉′
- Double Produit vectoriel : 𝑉1 ∧ 𝑉2 ∧ 𝑉3 = 𝑉2. 𝑉1. 𝑉3 − 𝑉3. 𝑉1. 𝑉2
- Distributivité par rapport à la somme vectorielle :
𝑉1 ∧ 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑉1 ∧ 𝑉2 + 𝑉1 ∧ 𝑉3
- Composantes du produit vectoriel : 𝑉 ∧ 𝑉′ = 𝑦𝑧′ − 𝑧𝑦′ Ԧ𝑖 + 𝑧𝑥′ − 𝑥𝑧′ Ԧ𝑗 + (
)
𝑥𝑦′ −
𝑦𝑥′ 𝑘
Application géométrique : sin𝛼 =𝑂𝐴.∧𝑂𝐵
𝑂𝐴 𝑂𝐵
Chap I. Géométrie vectorielle
Aire du parallélogramme :
Air du parallélogramme 𝑂𝐴𝐵𝐷 = 𝑂𝐴⋀𝑂𝐵
d) Produit mixte
Définition : On appelle produit mixte de trois vecteurs 𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 le nombre réel défini par :
𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 = 𝑉1. 𝑉2 ∧ 𝑉3
Propriétés :
- Si le trièdre 𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 est direct, le produit mixte est positif,
- Le produit mixte est invariant par permutation circulaire :
𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 = 𝑉3, 𝑉1 , 𝑉2
- Le produit mixte change de signe si on échange deux vecteurs :
𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 = − 𝑉1, 𝑉3 , 𝑉2
- Le produit mixte est nul si :
o Les trois vecteurs son coplanaire
o Deux vecteur sont parallèles.
Interprétation géométrique :
Le module de 𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 représente le volume du Parallélogramme.
Chap I. Géométrie vectorielle
f) Division vectorielle
Objectif : résoudre l’équation : Ԧ𝐴 ∧ 𝑋 = 𝐵 (1)
1. Si Ԧ𝐴 et 𝐵 ne sont pas perpendiculaires : pas de solution
2. Si Ԧ𝐴. 𝐵 = 0 et Ԧ𝐴 ≠ 0 , 𝐵 ≠ 0
a) Soit 𝑋0 ⊥ Ԧ𝐴 tel que Ԧ𝐴 ∧ 𝑋0 = 𝐵 ⇒ Ԧ𝐴 ∧ Ԧ𝐴 ∧ 𝑋0 = Ԧ𝐴 ∧ 𝐵
Ԧ𝐴. Ԧ𝐴. 𝑋0 − 𝑋0. Ԧ𝐴. Ԧ𝐴 = Ԧ𝐴 ∧ 𝐵 ⟹ 𝑋0 = −Ԧ𝐴∧𝐵
Ԧ𝐴2
b) Soit 𝑋 quelconque solution de (1) ⇒ Ԧ𝐴 ∧ 𝑋 − 𝑋0 = 0 (2)
Ԧ𝐴 ≠ 0 , 𝑋 ≠ 𝑋0 , l’équation (2) a une solution si : 𝑋 − 𝑋0 = 𝜆 Ԧ𝐴 avec 𝜆 ∈ ℝ
Donc la solution générale de (1) est :
𝑋 = −Ԧ𝐴 ∧ 𝐵
Ԧ𝐴2 + 𝜆
Ԧ𝐴
1. Résumé des solutions :
Ԧ𝐴. 𝐵 ≠ 0 ⟶ pas de solution
Ԧ𝐴. 𝐵 = 0 ⟶ Ԧ𝐴 = 0 ∶ ൝𝐵 = 0 ⟶ 𝑡𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸3 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
𝐵 ≠ 0 ⟶ 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
Chap I. Géométrie vectorielle
Ԧ𝐴. 𝐵 = 0 ⟶ Ԧ𝐴 ≠ 0 ∶ ൝𝐵 ≠ 0 ⟶ Ԧ𝑋 = Ԧ𝑋0 + 𝜆 Ԧ𝐴
𝐵 = 0 ⟶ Ԧ𝑋0 = 0, Ԧ𝑋 = 𝜆 Ԧ𝐴
Interprétation géométrique
𝐵
Ԧ𝐴
𝑋0𝑋
𝜆 Ԧ𝐴Δ
𝑂
Chap I. Géométrie vectorielle
g) Moment d’un vecteur glissant
𝑃𝑀1 ∧ 𝑉 = 𝑃𝑀2 ∧ 𝑉
Le produit : 𝑃𝑀 ∧ 𝑉 est un vecteur libre indépendant de 𝑀 ∈ Δ
(support de 𝑉)
Définition :
Le champs de vecteurs qui à tout point 𝑀 de 𝐸3 fait correspondre le
Vecteur 𝑃𝑀 ∧ 𝑉 est le moment en 𝑃 du vecteur glissant 𝑉,𝑀
𝑀 𝑃, 𝑉 = 𝑃𝑀 ∧ 𝑉
Propriété :
𝑀 𝑃,𝑉 = 0 ⇔ 𝑃 ∈ (Δ)
Automoment d’un vecteur glissant :
𝑉.𝑀 𝑃, 𝑉 = 0 ∀𝑃
𝑉
𝑃𝑀2
𝑀1
(Δ)
Chap I. Géométrie vectorielle
g) Coordonnée vectorielle d’un vecteur glissant
Définition :
A tout vecteur glissant ቤ𝑉Δ
et un point 𝐴 on associe les vecteurs
อ𝑉
𝑀(𝐴, 𝑉)tels que : 𝑀 𝐴, 𝑉 = 𝐴𝑀 ∧ 𝑉 avec 𝑉.𝑀 𝐴, 𝑉 = 0
𝑀 𝑃, 𝑉 = 0 ⇔ 𝑃 ∈ (Δ)
Réciproque :
Soit Ԧ𝛾 = 𝐴𝐻 ∧ 𝑉 ⟹ 𝐴𝐻 =𝑉∧𝛾
𝑉2
𝑉
𝐴
(Δ)
𝑉
𝐴
(Δ)
Ԧ𝛾
Chapitre II. Les Torseurs
■ II.1 Définition
Un torseur
Tel que :
•
•
On note :
=)( vecteursde champ Un -
)( librer Un vecteu-
M
R
)()()( RABMM BA +=
de générale résultante laest )(R
Apoint au derésultant moment leest )( AM
A
AA
M
R
=)(
)(
II.2 Les invariantsa) Est indépendant du point ou sont pris les éléments de
réduction.
b) est un invariant appelé automoment
c) La projection de sur est constante.
)(R
teCIAMR ==),().(
)(R ),( AM
Remarque :
La donné des éléments de réduction
de au point permet de définir
ces éléments en tout point de l’espace.
A
■ II.3 Point central, axe central, moment central
Définitions :On appelle point central, un point M où
Ensemble des points centraux : axe centrala)
b)
)(
3E espacel' )( central axel' 0)( ==R
0)( R
❑ L’ensemble des points centraux d’un torseur à résultante non nulle est
une droite appelée axe central. Cette droite est parallèle à la résultante
générale.
A
H
M
)(
)(R ),( AM+
=
; )(
)(
),()( /
23
HM
AH
RR
AMRAMEM
❑ Détermination de l’axe central :
++=
++==
zNyMxLOM
zZyYxXRO
),(
)(
Soit le torseur :
ChapII. Les torseurs
• L’axe central () est l’intersection du plan P1 et du plan P2 :
• Moment central
Par définition c’est le moment en un point de l’axe central.
Remarque : l’axe central est le lieu des points ou le moment est minimum.
• Propriétés de l’axe central
➢ Le moment est indépendant du choix de M sur (D), on dit que le champ de
moment est de translation le long de () .
➢ Le champ de moment est de rotation autour de ().
L +Yz- Zy
X=
M + Zx- Xz
Yéquation du plan P1
=N + Xy-Yx
Zéquation du plan P2
)//()( , )('et ),(),'( = DDMMMMMM
■ II.3 Opérations sur les torseurs
a) Égalité de deux torseurs
Deux torseurs sont équivalents s’ils ont même éléments de réduction en tout
point de l’espace :
=
==
),(),(
)()( :
21
21321
PMPM
RREP
ChapII. Les torseurs
b) Addition de deux torseursOn peut définir le torseur :
tel que :
Propriétés de l’addition :
c) Multiplication par un réel
On peut définir le torseur :
Propriétés de la multiplication par un réel :
Associativité et distributivité.
21 +=
+=
+==
),(),(),(
)()()(
21
21
AMAMAM
RRRA
abélien additif groupe
unest torseursdes ensemblel'
opposéElément -
neutreElément -
itéAssociativ -
itéCommutativ -
−− MR
=
===
),(),(
)()(
1
1
1
AMAM
RR
ChapII. Les torseurs
Remarque :
Les deux opérations précédentes confèrent à l’ensemble des torseurs
une structure d’espace vectoriel.
d) Produit scalaire de deux torseurs :
Le produit scalaire de deux torseurs est définit par : 21 et
),()(),()(. 122121 AMRAMRAA +=
La quantité précédente est appelée : Comoment
Le produit scalaire est indépendant du point A.
e) Produit vectoriel de deux torseurs
L’ensemble constitué par :
- Le vecteur libre :
- Le champ :
Vérifie la définition d’un torseur appelé produit vectoriel des torseurs
On note :
)()()( 21 RRR =
),()()(),(),( 2121 AMRRAMAM +=
21 et
21 =
■ II.4 Torseurs élémentaires
a) Définition : Soit le torseur , s’il existe un ensemble finit de
vecteurs glissants dont le torseur associé soit on dit que cet
ensemble est un représentant de .
ChapII. Les torseurs
b) Couple : Un couple est un torseur dont la résultante générale est nulle.
On le note :
Conséquence :
Le champ des moments d’un couple est uniforme.
Réciproque : Tout torseur de champ uniforme est un couple.
c) Glisseurs ou torseurs univectoriels :
On appelle glisseur un torseur dont le moment central est nul :
BABMAMR , ),(),(0)( ==
=0
: central Axe R
GA A
Théorème 1 : Tout glisseur peut être représenté par un vecteur glissant unique et
réciproquement.
Théorème 2 : Pour qu’un torseur à résultante générale non nulle soit un glisseur il
faut et il suffit qu’il existe un point en lequel la résultante générale soit
perpendiculaire au moment résultant.
ChapII. Les torseurs
=)(
0
AMC A
Remarques :
Il y a une infinité de décompositions possibles qui dépendent du choix du point A.
On peut choisir A de sorte que soient colinéaires. Il suffit pour cela
que A appartient à () l’axe central du torseur .
est alors le support du glisseur et le moment du couple est égal au moment central
du torseur. D’où :
Tout torseur qui n’est pas un couple peut être décomposé d’une manière unique en un
glisseur et un couple colinéaires.
)(et ),( RAM
ChapII. Les torseurs
d) Décomposition d’un torseur
Quel que soit le torseur et quel que soit le point A il existe : Un couple et un
seul. Un glisseur et un seul dont le point A est central tel que : AGC +=
AG
C
Chapitre III : Cinématique du solide
I. Définition d’un solide :
Un solide est un ensemble lié à un repère :
fini ou infini de points dont les distances mutuelles sont indépendantes du
temps.
I.1 Conséquences :
- Tout ensemble de points liés à un repère (R) est un solide.
- A tout solide (S) on peut associer un repère (R) / les points de (S) sont
liés à ceux de (R) .
- On peut « prolonger » (S) à tout l’espace
de (R) : (S) est identifié à (R)
- On peut parler de points appartenant à (S)
mais n’ont pas d’existence matérielle.
0x
0y
0z(S)
0O
A
0R
B
0x
0y
0z
M
),( 0RM
),( 0RMV
x
z
0O
O
0R
R
(R) Est lié à (S)
(S) En mouvement dans (R0)
Mouvement de (S)/(R0) = Mouvement
de (R)/(R0)
I.3 Vecteur vitesse d’un point d’un solide
Définition : Le vecteur vitesse du point M du solide (S) par rapport au repère R0
, à la date t, est la dérivée par rapport à t du vecteur position
On note aussi :
0
00)/(
Rdt
MOdRMV
=
),(),()/( 000 RRMVRSMVRMV ==
Chapitre III : Cinématique du solide
I.2 Mouvement d’un solide par rapport à un repère :
Le mouvement de (R)/(R0) est défini si :
sont connues.
Interprétation géométrique :
I.4 Vecteur accélération d’un point d’un solide.
Définition : Le vecteur accélération de par rapport à R0, à la date
t, est la dérivée par rapport à t de
On note :
II Champ des vitesses d’un solide
II.1 Dérivations
Ct)(tM(t)Mt ànt est tangea ,0 quand +→
0x
0y
0z),( 0RMV
0O0R
)(tM
)( ttM +
C
)(SM
0
)/()/( 00
Rdt
RMVdRM
=
Chapitre III : Cinématique du solide
Soit (R) mobile / (R0) , on montre que :
Remarque : Le vecteur rotation de R/R0 est unique.
b) Formule du repère mobile :
Soit le vecteur appartenant au repère R :
on montre que :
c) Formule de dérivation composée :
Soit en mouvement par rapport à R et à R0 :
On montre que :
a) Définition du vecteur rotation :
xzqyrdtxd
R
=−=
0
yzpxrdtyd
R
=+=−
0
zypxqdtzd
R
=−=
0
)/( :où 0 zryqxpRR ++==
U )()()( ztzytyxtxU ++=
Chapitre III : Cinématique du solide
Remarque : Le vecteur rotation de S/R0 est indépendant de R (lié à S) :
Propriétés :
- Transport des moments :
II.2 Champ des vitesses :
Soit : après dérivation on a :
Le champ des vitesses d’un solide est le champ des moments du torseur
appelé torseur cinématique de S/R0 dont les éléments de réduction en O sont
:
)( )/()/()/( 000 SMOMRRROVRMV +=
OMRS)(O,S/RV)(M,S/RVSM += )/( 000
Chapitre III : Cinématique du solide
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0y
0z
0O 0R
x
y
z
R
La rotation de R/R0 est définie par :
Le vecteur rotation de R/R0 est :
- Le champ des vitesses est équiprojectif :
III. Calcul du vecteur rotation :
On montre que :
Cas particulier : Mouvement de rotation autour d’un axe
Chapitre III : Cinématique du solide
II.3. Champ des accélérations :
nous savons que :"O, M Î R
000
)/()/(')/,()/,(
0000
RRRdtOMdRROMRR
dtRROVd
dtRRMVd
++
=
OMOMOMRRRRORRM .) . .()/(')/,()/,( 2000 −++=
Remarque :
Le champ des accélération d’un solide n’est pas un champ de
moments d’un torseur.
Chapitre III : Cinématique du solide
III. Applications : mouvements élémentaires
III.1 Mouvement de translation :
◦ Définition : Un solide (S) est animé d’un mouvement de translation par
rapport à R0 si le torseur cinématique se réduit à un couple :
◦ Conséquences :
Tous les points de S ont la même vitesse.
Tout vecteur appartenant au solide S reste équipollent à un vecteur
fixe.
Connaissant la trajectoire de on peut en déduire la
trajectoire de tous les points du solide.
Le champs des accélérations est uniforme.
O
RSRSOV
tRS
=
=)/,(
0)/(
0
0/ 0
A Î (S)
◦ Conséquences :
Trajectoire : La trajectoire des points de (S) sont des cercles d’axe ().
Chapitre III : Cinématique du solide
IIII.2 Mouvement de rotation :
◦ Définition : Un solide (S) est animé d’un mouvement de rotation par rapport à R0 si le torseur cinématique est un glisseur :
() est l’axe de rotation de S/R0
0x
0y
0z
0O 0R
x
y
z
R
HM
A
l1
l2(S)
➢ Champ des vitesses : soit :
La répartition des vitesses est
Triangulaire :
➢ Champ des accélérations :
Chapitre III : Cinématique du solide
III.2 Mouvement de rotation :
)/( 0RSM
H )/,( 0RSMV
()z
0x
0y
t
n
x
y
M
Hr
Chapitre III : Cinématique du solide
IV. Composition de mouvement.
IV.1 Hypothèses. Définitions :
soit mobile par rapport à R1. De même R1 mobile / R0. On peut définir
les mouvements suivants :
◦ Le mouvement de P/R0 appelé mouvement absolu.
◦ Le ,, de P/R1 ,, mouvement relatif.
◦ Le ,, de R1/R0 ,, mouvement d’entraînement.
– Trajectoire absolue : Ca (fixe dans R0)
Ca est le lieu des positions de P dans R0 :
A P on affecte deux grandeurs
– Trajectoire relative : Cr (fixe dans R1)
Cr est le lieu des positions de P dans R1 :
A P on affecte deux grandeurs
P Î (S)
0
00)/(
R
adt
POdRPVV
==
0
)/()/( 00
R
adt
RPVdRP
==
1
11)/(
R
rdt
POdRPVV
==
1
)/()/( 11
R
rdt
RPVdRP
==
Chapitre III : Cinématique du solide
IV.1 Hypothèses. Définitions :
– Trajectoire d’entrainement : Ce ( )
Soit / p coïncide à l’instant t avec P. Le lieu des positions de p dans R0 est la trajectoire d’entraînement de P à t.
IV.2 Composition des vitesses : (voir cinématique du point)
VI.2 Composition des accélérations :
res trajectoide infinité une
p Î R1
A p on affecte deux grandeurs
Chapitre III : Cinématique du solide
IV.3 Composition des rotations :
R1
R3
D’où : Formule de composition des rotations
Généralement :
Si on a n repères en mouvement :
V Paramétrage d’un solide dans l’espace. Angles d’Euler
V.1 Généralités
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0y
0z
M3
x
z
0O
O
0R
R
(S)
M2M1
La position de R c-a-d (S) est entièrement
Déterminée par la position de M1, M2, M3.
La position de (S) est déterminé par :
M1
R0
x1
y1
z1
M2
R0
x2
y2
z2
M3
R0
x3
y3
z3
Les neufs coordonnées sont liés par les relation de distances :
x2- x
1( )2
+ y2- y
1( )2
+ z2- z
1( )2
= L21
2
x3- x
1( )2
+ y3- y
1( )2
+ z3- z
1( )2
= L31
2
x3- x
2( )2
+ y3- y
2( )2
+ z3- z
2( )2
= L32
2
ü
ý
ïïï
þ
ïïï
Þ
La position de (S) est
Déterminée par 6
Paramètres
Cas particuliers :
• Solide rectiligne : Sa position est déterminée par 5 paramètres.
• Point ponctuel : Sa position est déterminée par 3 paramètres
(coordonnées du point).
Exemple : La position d’un ensemble matériel composé de s solides, de r solides
rectilignes et de p solides ponctuels est définie par :
V.2 Mouvement d’un solide admettant un point fixe.
Définition.
(S) Animé d’un mouvement à point invariant (ou à point fixe) par rapport à R0
Champ de vitesses
Champ des accélérations :
Chapitre III : Cinématique du solide
N = 6s+5r +3p
Û$O Î (S) tel que O soit fixe dans R0
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0y
0z
0O 0R
OR
(S)
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0y
0z
0O 0R
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0y
0z
0O 0R
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0y
0z
0O 0R
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0y
0z
0O 0R
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0y
0z
0O 0R
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0y
0z
0O 0R
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
V.3 Angles d’Euler
1ère rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
R'
0R
V.3 Angles d’Euler
2ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
V.3 Angles d’Euler
2ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
V.3 Angles d’Euler
2ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
V.3 Angles d’Euler
2ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
V.3 Angles d’Euler
2ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
V.3 Angles d’Euler
2ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
V.3 Angles d’Euler
2ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
La position de O est connue "t
La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j
0x
0z
0O 0R
y
V.3 Angles d’Euler
2ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
q
q
R"
R'
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
q
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
qR
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
O
R
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
O
R
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
R
O
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
O
R
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
O
R
V.3 Angles d’Euler
3ème rotation
Chapitre III : Cinématique du solide
0x
0z
0O 0R
y
O
Rj
R
R"
Disposition géométrique
Chapitre III : Cinématique du solide
V.4 Vecteur rotation
D’après la composition des rotations :
Exemple dans Dans
: angle de précession
: angle de nutation
: angle de rotation propre
Trois angles correspondants à 3
Rotations Planes successives .
'
0R
0R
0R
0
"R
0
"R
'
0R
"
0R
Chapitre III : Cinématique du solide
V.5 Mouvement général d’un solide
La position de (S)/R0 dépend de 6
Paramètres. Soit tel que : AÎ (S)
0x
0y
0z
0O
xA y
z
0R
1R
(S)
A
R0
xy
z
Soit R1 tel que son origine coïncide
Avec A et ses axes soient // à R0.
- La position de R1par rapport à R0 est entièrement définie par la donnée des coordonnées
de A.
- La position de (S) par rapport à R1est définie par les 3 angles d’Euler (,,).
- Le vecteur rotation de (S/R0) :
- Interprétation cinématique : Le mouvement de (S) par rapport à R0 résulte :
- D’une translation du vecteur qui dépend de A,
- D’une rotation autour de A du vecteur indépendamment de A.
V.4 Cinématique de contact de deux solides
V.4.1 Définition
Chapitre III : Cinématique du solide
I
S2
p
S1
I
Soient deux solides S1 et S2 mobiles l’un par
rapport à l ’ autre de telle sorte que les
surfaces qui les limitent restent en contact.
Le contact est : ponctuel, linéaire ou
surfacique.
1
2
matérialisés par des paricules des deux solidesI S
I S
point géométrique coincidant avec le point de contact.I t
Remarque : Les 3 points sont confondus à l’instant t ne le sont plus à t+t.
Les vitesses sont différentes donc les 3 points en I sont cinématiquement distincts.
V.4.1 Vitesse de glissement
Chapitre III : Cinématique du solide
La vitesse de glissement de S2 par rapport à S1 est par définition :
Propriétés : a) La vitesse de glissement est contenue dans le plan tangent commun
en I aux deux solides :
- Le point I géométrique décrit une courbe (C1) sur (S1)
- Le point I géométrique décrit une courbe (C2) sur (S2)
b) La vitesse de glissement est indépendante du repère choisi.
(C1)(C2)
(S2)(S1)
p
Chapitre III : Cinématique du solide
a) Le torseur cinématique est tel que :
Le vecteur peut être décomposé :
V.4.2 Roulement sans glissement :
Par définition il y a roulement sans glissement si :
I
S1p
S2
Chapitre III : Cinématique du solide
VI. Mouvement plan sur plan
VI.1 Définition
On dit que (S) est animé d’un mouvement parallèle à un plan (P0) si / (P)
glisse sur (P0).
Remarque : Pour étudier (S)/(P0), on étudie (P)/(P0).
VI.2 Centre instantané de rotation
On montre qu’il existe
$ (P) Î (S)
P0
O0 x0
y0
x
y
O
Chapitre III : Cinématique du solide
Conséquences :
Théorème :
Le champs des vitesses est identique au champ des moments du glisseur
La distribution des vitesses est la même que dans une rotation de centre I appelé
centre instantané de rotation (CIR) et la droite D support du glisseur est l’axe
instantané de rotation.
VI.3 Propriétés du C.I.R
■ Le C.I.R est sur la normale aux trajectoires :
Le point géométrique I :
• décrit dans (P0) une courbe C0 appelée base.
• Décrit dans (P) une courbe C appelée roulante.
Théorème : La base et la roulante sont tangentes en I.
Au cours du mouvement, la roulante roule sans glisser
sur la base.
Chapitre III : Cinématique du solide
VI.3 Propriétés du C.I.R
■ Base et roulante :
En I on distingue 3 pts qui coïncident à l’instant t :
Matérialisés par des particules
des deux plans
P0
O0 x0
y0
x
OC
C0
I
Chap. IV : Lois de Coulomb, Modélisation des liaisons
I. Torseur d’action mécanique de contact.
- L’action mécanique de (S1) sur (S2) est représentée par le torseur d’actions
mécaniques de contact :
I
dsP
(S2)
(S1)
(S)
Soit (S) la surface de contact entre (S1) et
(S2) et ds un élément de surface pris dans
(S) qui entoure le point P.
L’action mécanique de contact de (S1) sur
(S2) est caractérisée au point P par la
densité surfacique de forces :
Remarque : si (S) est petite, est négligeable. C’est le cas du contact ponctuel.
Chapitre IV : Lois de Coulomb
II. Lois de Coulomb
Soient deux solides (S1) et (S2) en contact suivant une surface (S).
Soit (p) le plan tangent commun à (S1) et (S2).
I
(S2)
(S1)
p(S)dsP
(S2)
p
Avec :
: Projection de
Sur la normale à (p)
: Projection de
Sur le plan (p)
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Définitions
■ est appelée densité surfacique
normale ou pression au point P des forces de
contact de (S1) sur (S2).
■ est appelée densité surfacique de contact tangentielle au point P des
forces de contact de (S1) sur (S2).
Enoncé des lois de Coulomb
Soit la vitesse de glissement au point p de (S2) sur (S1).
■ Premier cas :
- Lorsqu’il y a glissement est opposée à
- et sont proportionnels :
p
Où f est le coefficient de frottement en p de (S2) sur (S1)
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Soit :
■ Deuxième cas : (R.S.G de S1 sur S2 en p)
La densité surfacique de force est à l’intérieur du cône de frottement :
Remarque :
f tg=
se trouve sur un cône de sommet p
d’axe perpendiculaire à (p) et de demi-angle au
sommet .
Le cône est appelé angle de frottement.
Chapitre IV : Lois de Coulomb
III. Liaison sans frottement
Pour toutes le liaison théoriques de références entre deux solides (S1) et (S2)
nous supposons qu’il n’y a pas de frottement. On va déterminer les
caractéristiques du torseur d’action mécanique de contact de (S1) sur (S2).
- Le torseur d’action mécanique de contact s’écrit dans :
- Le torseur cinématique de mouvement de (S2)/(S1) autorisé par la liaison
- Pour chaque liaison élémentaire on donne :
z{ }O
=X LY MZ N
ì
íï
îï
ü
ýï
þïO
Le torseur transmissible associé
v{ }O
=a ub v
g w
ì
íï
îï
ü
ýï
þïO
Le torseur cinématique associé
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
q
O
G
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
q
O
G
P0
P
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
q
O
G
I
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
O
G
I
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
O
G
I
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
O
G
I
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
O
G
I
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
O
G
I
Chapitre IV : Lois de Coulomb
Exemple
A
B
O
G
I
Chapitre V. Cinétique du solide
I. Définitions
I.1 La masse : A tout système matériel E, on associe un nombre positif m(E)
appelé masse de E qui satisfait les axiomes suivants :
- la masse m(E) reste constante au cours de toute évolution de E
- la masse d’un système matériel est la somme des masses des différents
sous-systèmes qui le composent :
I.2 Centre d’inertie
Le centre d’inertie G d’un système E est par définition :
1 2
1
si ( ) ( )n
n i
i
E E E E m E m E=
= =
Dans le repère les coordonnées de G sont :
Propriétés du centre d’inertie :
- Si E admet un plan de symétrie alors G appartient à ce plan,
- Si E admet un axe de symétrie alors G appartient à cet axe,
- Si E admet un centre de symétrie alors G est ce point.
I.3 Moments d’inertie
a) Définition : Le moment d’inertie d’un solide S par rapport à un plan P, à une
droite ou un point O est l’intégrale :
Chapitre V Cinétique du solide
xG
=1
mx.dm
E
ò ; yG =1
my.dm
E
ò ; zG =1
mz.dm
E
ò
H
M
P(S)
H
M
()
(S)H
M
(S)
b) Calcul du moment d’inertie par rapport à un axe :
Chapitre V Cinétique du solide
M
H
(S)
()
O
I (S/ D) =a2A+ b 2B+g 2C- 2bgD- 2agE- 2abF
Propriétés :
- Le moment d’inertie par rapport à une droite est égal à la somme des moments
d’inertie par rapport à deux plans perpendiculaires passant par cette droite :
- Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un point est égal à la somme des
moments d’inertie par rapport à 3 plan perpendiculaires passant par ce point :
c) Théorèmes de Huygens :
Chapitre V Cinétique du solide
I (S / O) = I (S / yoz)+ I (S / xoz) + I (S / xoy)
H
G
r
()xM y
z
aA b
c
(S)
- Soit G le centre de gravité de S,
- Soit () une droite parallèle à
qui perce le plan xGy en A.
2 2 2 2( / ) ( ) ( )S S
I S x y dm a b dm = + + +
1er Théorème : Le moment d’inertie d’un solide par rapport à une droite () est égal
au moment d’inertie du solide par rapport à la droite parallèle
augmenté du moment d’inertie qu’aurait toute la masse m si elle était
concentrée en G.
2eme Théorème : Produit d’inertie par rapport aux deux axes et
Chapitre V Cinétique du solide
IXY
= Ixy
+ mabx
M yz
Gab
O
II. Opérateur d’inertie – Matrice d’inertie
II.1 Définitions :
Soit l’opérateur tel que :
avec :
Soit l’opérateur :
On vérifie que K est une application linéaire représentée par une matrice qu’on
appelle matrice d’inertie.
II.2 Matrice d’inertie :
La matrice d’inertie du solide (S) au point O relativement à la base est définie
de la façon suivante :
Chapitre V Cinétique du solide
On a :
II.3 Axes principaux d’inertie :
Il existe une base, appelée base principale d’inertie, dans laquelle la matrice est
diagonale :
Chapitre V Cinétique du solide
I0
(S) =A -F -E
-F B -D-E -D C
0 ( )SI
A1 , B1 , C1 sont les moments principaux
d’inertie (valeurs propres).
sont les vecteurs propres, sont
Parallèles aux axes principaux d’inertie.
Définitions :
1) Tout trièdre dont les axes sont respectivement parallèles aux 3 vecteurs
propres est appelé trièdre principal d’inertie en O.
2) Les produits d’inertie son nuls (D=E=F=0) par rapport aux axes principaux
d’inertie.
3) Tout trièdre principal dont l’origine est G le centre d’inertie du solide est
appelé trièdre central d’inertie.
Théorèmes :
1) Si S admet un plan de symétrie, alors tout axe perpendiculaire à ce plan
est principal d’inertie pour le point ou il perce le plan.
2) Tout axe de symétrie de S est axe principal d’inertie et même central
d’inertie.
3) Si S admet un centre de symétrie, alors tout axe passant par ce centre est
principal d’inertie.
Chapitre V Cinétique du solide
II.4 Matrice d’inertie dans une autre base.
Soit M la matrice de changement de base :
Il résulte de l’algèbre linéaire :
Chapitre V Cinétique du solide
I0
(S)/ R
1
= M -1.IO
(S)/ R
.M
III. Torseurs associés aux vitesses et aux accélérations
III.1 Définitions pour le point matériel :
Soit le point M de masse m mobile dans R, on définie :
- La quantité de mouvement de M dans son mouvement / R :
- Le moment cinétique en A de M dans son mvt / R :
- La quantité d’accélération de M dans son mvt / R :
- Le moment dynamique en A de M dans son mvt / R :
III.2 Torseur cinétique pour le solide S :
a) Définition : Pour le solide S en mouvement dans le repère R. on définit le torseur
cinétique tel que :
On note :
Chapitre V Cinétique du solide
est la résultante cinétique
est le moment cinétique au point A
b) Calcul de la résultante cinétique :
où M est la masse de S et G son centre d’inertie
b) Calcul du moment cinétique en un point A :
Cas particulier : soit
Remarque :
Chapitre V Cinétique du solide
Cas général : Théorème de Koenig
A l’instant t, il n’existe pas de point de S ayant la vitesse nulle.
Soit le repère tel que :
- le mouvement de RG/R est une translation :
- le mouvement de S/RG est le mouvement autour de G .
On montre que :
Chapitre V Cinétique du solide
OR
GR
(S)
G
Théorème de Koenig
Le moment cinétique en un pt A d’un solide S en mouvement par rapport à un repère
R est la somme du moment cinétique en G dans le mouvement de S autour de G et
du moment cinétique en A du point G affecté de la masse totale du solide.
Remarque : En utilisant la relation de transport de moment d’un torseur on a :
Chapitre V Cinétique du solide
III.2 Torseur dynamique pour le solide S :
a) Définition : Pour le point associé à la masse dm, la quantité d’accélération
est :
Pour l’ensemble des points qui constituent S on définit :
On note :
a) Calcul de la résultante dynamique :
Soit M la masse de S, on a :
Chapitre V Cinétique du solide
M Î S
est la résultante dynamique
est le moment dynamique au point A
a) Calcul du moment dynamique :
Cas particuliers :
- Le point A est fixe dans R :
- Le point A est confondu avec G :
Chapitre V Cinétique du solide
III.3 Énergie cinétique :
a) Définition : L’énergie cinétique de l’ensemble matériel (E) dans son mouvement
par rapport à R est la quantité scalaire toujours positive T(E/R) définie par :
Remarque : Si E est constitué de n sous-systèmes :
Alors :
b) Expression de l’énergie cinétique :
- Solide présentant un point fixe :
Chapitre V Cinétique du solide
1 2... nE E E E=
1( / ) ( / ) ... ( / )nT E R T E R T E R= + +
c) Cas général. Théorème de Koenig :
A l’instant t, il n’existe pas de point de S ayant la vitesse nulle.
Soit le repère tel que :
- le mouvement de RG/R est une translation :
- le mouvement de S/RG est le mouvement autour de G .
D’après la décomposition des mouvements on a :
Expression de l’énergie cinétique :
Théorème :
L’énergie cinétique d’un solide S de centre de gravité G est la somme de l’énergie
cinétique de S dans son mouvement autour de G et de l’énergie cinétique du point G
affecté de la masse totale de S :
Chapitre V Cinétique du solide
V M /R =V M /RG
+V (M ÎRG
/R) et V (M ÎRG
/R) =VG/R
TS/R
= TS/R
G
+1
2MVG/R
2
TS/R
= TS/R
G
+1
2MVG/R
2
d) Autre expression de l’énergie cinétique :
Dans le mouvement de S/RG, G est un point fixe on a :
Comme on a :
Chapitre V Cinétique du solide
TS/R
G
=1
2W(S/R
G). I
G(S).W(S/R
G)
éë
ùû
W(S/RG
) = W(S/R)
TS/R
=1
2W(S/R). I
G(S).W(S/R)
éë
ùû+
1
2MVG/R
2
Chap VI : Principe fondamental de la dynamique. Théorèmes généraux
I. Définitions, rappels.
I.1 Ensemble matériel
Un ensemble matériel est constitué de un ou plusieurs solides indéformables
pouvant présenter des liaisons entre eux.
Soit un ensemble matériel E constitué de n solides.
I.2 Torseur cinétique
Les éléments de réduction du torseur cinétique sont :
Avec :
On montre que :/ /
1i
n
E R S R
i=
= C C
I.3 Torseur dynamique
De même on montre que :
I.4 Énoncé du PFD
Il existe au moins un repère Rg, appelé repère galiléen, et au moins une
chronologie appelée chronologie galiléenne, tels que pour tout
ensemble matériel (E), le torseur dynamique de (E) dans son
mouvement par rapport à Rg soit égal au torseur des actions
mécaniques extérieurs.
Chapitre VI Théorèmes généraux
DE/R
= DS
i/R
i=1
n
å
I.5 Théorèmes généraux
Théorème de la résultante dynamique
La résultante générale du torseur des actions extérieures appliqués à tout ensemble
(E) est égale à la résultante dynamique de (E) dans son mouvement par rapport à (Rg)
:
Théorème du moment dynamique
Le moment dynamique du torseur des actions extérieures appliquées à tout
ensemble matériel (E) est égale au moment dynamique de (E) dans son mouvement
par rapport à (Rg).
Chapitre VI Théorèmes généraux
Equations du mouvement
La projection sur un axe du repère d’une équation traduisant l’un des théorèmes
généraux donne une équation scalaire différentielle de second ordre et non linaire en
générale. Dans cette équation on trouve :
❑ Les paramètres de position de (E) dans (Rg),
❑ Les dérivées premières et secondes par rapport au temps des paramètres de
position
❑ La variable temps
❑ Des donnés du problème (géométrie, inertie, ..)
❑ Des composantes inconnues des actions mécaniques.
❑ L’ensemble des équations du mouvement et la donnée des conditions initiales
constitue le système d’équations différentielles du mouvement de E dans (Rg).
Chapitre VI Théorèmes généraux
I.5 Théorème des actions mutuelles
Soit une partition de (E) :
- PDF appliqué à : avec
De même :
- PDF appliqué à
(a) + (b) + (c) :
Chapitre VI Théorèmes généraux
E = E1È E
2 E
1Ç E
2= Æ
D(E1/ R
g) =z (E
1® E
1) E
1E1 = EÈ E
2
D(E1/ R
g) =z (E® E
1)+z (E
2® E
1) (a)
D(E2
/ Rg) =z (E® E
2)+z (E
1® E
2) (b)
E = E1È E
2D(E / R
g) =z (E® E)
D(E1/ R
g)+ D(E
2/ R
g) =z (E® E
1)+z (E® E
2) (c)
z (E® E1)+z (E
2® E
1)+z (E® E
2)+z (E
1® E
2) =z (E® E
1)+z (E® E
2)
z (E2® E
1) = -z (E
1® E
2)
L’action mécanique du sous ensemble (E2) sur le sous ensemble (E1) est opposée à
L’action mécanique de (E1) sur (E2)
I.6 Notion de transmetteurs d’efforts
Soit un système de 3 solides
- PDF appliqué à :
:
:
- Soit le solide de masse négligeable et soumis uniquement aux efforts de et
Chapitre VI Théorèmes généraux
S1 S
2 et S
3
D(S1
/ Rg) =z (S
2®S
1)+z (S
3®S
1)+z (S®S
1) (a)S1
Le solide (S1) sur (S2) les mêmes actions que (S3) exerce sur lui. On dit que (S1) est
Un transmetteur d’effort : ce que S1 reçoit de S3 est intégralement transmis à S2.
Les ressorts, les fils, les tiges de masse négligeables sont des transmetteurs d’effort.
D(S2
/ Rg) =z (S
1®S
2)+z (S
3®S
2)+z (S®S
2) (b)
D(S3
/ Rg) =z (S
1®S
3)+z (S
2®S
3)+z (S®S
3) (c)
S2
S3
S1
S2
S3
D(S1
/ Rg) = 0 et z (S®S
1) = 0 0 =z (S
2®S
1)+z (S
3®S
1)
z (S1®S
2) =z (S
3®S
1)
Chap VII : Puissance - Travail
I. Définition de la puissance.
I.1 Puissance développée par une action mécanique extérieure à un
ensemble matériel.
- (E) et (S) deux système matériels mobiles
Par rapport à .
- (E) Exerce sur (S) une action mécanique
Représentée par la densité de force
Définition :
La puissance développée à la date t, par l’action
mécanique de (E) sur (S) dans le mouvement de
(S) par apport à est :
OR
0
(S)
M
(E)
R0
R0
Remarques :
- Lors que l’action mécanique de (E) sur (S) est représentée par la force
la puissance développée est :
I.2 Puissance développée par une action mécanique extérieure à un
solide.
Le torseur des vitesses de (S) est :
La puissance développée par l’action mécanique de (E) sur (S), dans le mouvement
de (S) par apport à , est égale au produit du torseur d’actions mécaniques de (E)
sur (S) par le torseur cinématique du mouvement de S par apport à .
Chapitre VII Puissance - Travail
P(E®S/ R0) = z (E®S){ }. VS/R
0{ }
R0
R0
Remarques :
- La notion de puissance n’a de sens que dans un repère.
I.3 Puissance développée par les actions mutuelles entre deux ensembles
matériels.
Définition : La puissance développée à la date t, par les actions mutuelles entre (E) et
(S), dans leurs mouvements par rapport à est :
Propriété : La puissance développée par les actions mutuelles entre (E) et (S) est
independente du repère R.
Chapitre VII Puissance - Travail
P(E«S) = P(E®S/ R)+ P(S®E / R)
R
I.4 Puissance des actions de contact entre deux solides.
Soient (S1) et (S2) deux solides en contact ponctuel avec frottement en un point I.
: Coefficient de frottement
: est le plan tangent en I à (S1) et (S2)
Le torseur des actions mécaniques de (S1) sur
(S2) au point I :
Avec :
Le torseur cinématique de mouvement de (S2)/(S1) :
Puissance développée par les actions mutuelles entre (S1) et (S2) :
Chapitre VII Puissance - Travail
P(S1«S
2) = P(S
1®S
2/ R
0)+ P(S
2®S
1/ R
0)
f = tgj
p
I
S1
pI
S2
La puissance est indépendante du repère :
Remarques :
• La puissance dépend du mouvement relatif des deux solides.
•
(car est opposé )
• Conditions pour que
a) roulement sans glissement de (S1) sur (S2) : ;
b) alors
P(S1«S
2) = P(S
1®S
2/ R
0)+ P(S
2®S
1/ R
0)
Si R0
º S1Þ P(S
1«S
2) = P(S
1®S
2/ S
1)
Chapitre VII Puissance - Travail
R0
P(S1«S
2) = 0
f ¹ 0
f = 0
I.5 Liaison parfaite entre deux solides.
Définition :
Deux solides (S1) et (S2) ont une liaison parfaite si, quel que soit le mouvement de
(S2) par rapport à (S1) autorisé par la liaison. La puissance développée par les actions
mutuelles entre (S1) et (S2) est nulle.
Conséquences :
Chapitre VII Puissance - Travail
P(S1«S
2) = 0
P(S1«S
2) = P(S
1®S
2/ R
0)+ P(S
2®S
1/ R
0)
Si R0
º S1Þ P(S
1«S
2) = P(S
1®S
2/ S
1)
z(S
1«S
2){ }. u(S
2/S
1){ } = 0
II Définition du travail
Définition :
Le travail entre les dates t1 et t2 de l’action mécanique de l’ensemble matériel (S) sur
l’ensemble matériel (E) dans le mouvement de (E) par apport à R0 est :
Unités :
L’unité du travail est le Joule
L’unité de la puissance est le Watt
III Champs de force – fonction de force
III.1 Définition : Soit une force , il y a champ de force si est fonction des
coordonnées de son point d’application.
• Si : sont constantes, le champ est uniforme
Chapitre VI Théorèmes généraux
2
2
1
1
0 0( / ) ( / )
t
t
t
t
W E R P E R dtS → = S →
X ,Y et Z
III.2 Fonction de force :
La force dérive d’une fonction de force U (fonction scalaire) lorsqu’on peut écrire :
Condition d’existence de U :
étant donnée, il existe U telle que lorsque :
Remarques :
• La quantité V=-U est appelée le potentiel (Energie potentielle)
• Lorsque U=Cte on se trouve sur une surface équipotentielle.
Chapitre VI Théorèmes généraux
¶X
¶y=
¶Y
¶x
¶X
¶z=
¶Z
¶x¶Y
¶z=
¶Z
¶y
IV Puissance d’une force dérivant d’une fonction de force:
Soit M soumis à une force et animé d’une vitesse
La puissance développée par :
Avec :
Si :
Cas particulier :
• Si U est indépendante du temps :
• Méthode de calcul d’une fonction de force indépendante du temps:
Exemple : Fonction de force pour une masse
La force dérive d’une fonction de force U (fonction scalaire) lorsqu’on peut écrire :
Chapitre VII Puissance - Travail
P =dU
dt-
¶U
¶t
¶U
¶t= 0 Þ P =
dU
dt
U = Pdtò +U0
Exemple :
- Fonction de force pour une masse
Soit M de masse m.
Calcul de la fonction de force :
• Si la verticale est ascendante :
• Si la verticale est descendante :
Chapitre VII Puissance - Travail
U = Pdtò +U0U = -mgz+U
0
U = +mgz+U0
0x
0y
0z
0O
Mxyz
0R
Exemple :
- Fonction de force pour un ressort
Soit un ressort de longueur libre et de raideur k reliant les solides S1 et S2.
La puissance développée par le ressort :
Avec :
- Fonction de force pour un couple constant
La puissance développée par un couple de moment :
Chapitre VII Puissance - Travail
U = -k
2L- L
0( )2
+U0
L0
0x
0y
0z
0O
A
0R
B
L
U = Cq +U0
V. Théorème de l’énergie cinétique
Le théorème de l’énergie cinétique est une des traductions énergétique du PFD
V.1 Pour le point matériel
Soit M en mouvement / (galiléen)
la résultante des efforts sur M
PFD :
Théorème : la dérivée de l’énergie cinétique du point M est égale à la puissance
des forces appliquée sur ce point.
Si on intègre entre les instants t1 et t2 :
Théorème : la variation de l’énergie cinétique du point M entre les instants t1 et t2 est
égale au travail des forces appliquées au point M entre les instants t1 et t2 .
Chapitre VII Puissance - Travail
R0
P(F) =d
dtT
M /R0
éë
ùû
0x
0y
0z
0O
M (m)
0R
P(F)t1
t2
ò dt = d TM /R0
éë
ùû
t1
t2
ò Þ T2 -T1 =W12
V.1 Pour un solide
L’énergie cinétique de S / :
D ’après le PFD :
Théorème : La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un
solide (S) est égale à la puissances des efforts extérieurs agissant sur S dans son
mouvement par rapport à un repère galiléen.
Chapitre VII Puissance - Travail
R0
0x
0y
0z
0O
M
0R
A
(S)
dT
dt
é
ëê
ù
ûú
R0
= uS/R
0{ }
AD
S/R0
{ }A
dT
dt
é
ëê
ù
ûú
R0
= P(S® S / R0)