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Ecrit 2 CAPES Mathématiques
G. Julia, 2019/2020 1
Eléments inversibles d’un anneau, deux hyperboles, deux équations de Pell-Fermat et
des aiguilles dans une botte de foin
On se propose d’aborder dans ce sujet les thèmes suivants :
Thème initial. On considère l’anneau 5ZZ , ensemble des nombres réels de la forme 5yx , où x et y sont deux entiers relatifs. Quels sont les éléments 5yxu de cet anneau qui sont, dans cet anneau, inversibles pour la multiplication ?
Deux autres thèmes vont se greffer à ce thème initial, deux autres façons de formuler le même problème dans des cadres différents :
Thème 2 (cadre géométrique) : Dans un plan P rapporté à un repère orthonormé d’origine O on considère l’hyperbole 1H d’équation 15 22 yx ainsi que l’hyperbole 1H d’équation 15 22 yx . Quels sont les points du plan situés sur l’une ou sur l’autre de ces hyperboles qui sont des points à coordonnées entières ?
Thème 3 (cadre numérique). On considère l’équation 1E : 15 22 yx et l’équation 1E : 15 22 yx
et l’on se propose de les résoudre dans l’ensemble ZZ. Quels sont les couples de nombres entiers relatifs
qui vérifient l’une ou bien l’autre de ces équations ?
On rappelle d’autre part quelques résultats utiles issus du problème sur l’ensemble pQQ (une extension de Q) où p est un nombre premier (en l’occurrence p est égal à 5 aujourd’hui) et en particulier sur son sous-ensemble pZZ , problème que l’on trouvera sur ce site (et qu’il est mieux de traiter avant celui-ci).
Notamment :
00 yxpyx
pxyyxyypxxpyxpyx ''''''
Tout élément non nul pyx de pQQ admet un inverse multiplicatif dans ce même ensemble
qui est pypx
yypx
x2222
.
NB. L’usage d’un logiciel de calcul formel est plus que conseillé.
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1. Le sujet Partie A Le lien entre le thème 1 et les deux autres Soit u un nombre réel de la forme 5yx où x et y sont deux entiers relatifs. On suppose qu’il est inversible pour la multiplication dans l’anneau 5ZZ , c'est-à-dire qu’il existe 5'' yxv dans cet ensemble (c'est-à-dire que x’ et y’ sont des entiers relatifs) tel que 1vu . 1. Montrer que, nécessairement, x et y sont premiers entre eux. 2. Montrer que, nécessairement, ou bien : 15 22 yx ou bien : 15 22 yx 3. Réciproquement, soit u un nombre réel de la forme 5yx où x et y sont deux entiers relatifs et tel que ou bien : 15 22 yx ou bien : 15 22 yx . Montrer qu’alors u est inversible pour la multiplication dans
5ZZ . 4. Justifier qu’un élément 5yx de 5ZZ ( où ,x y est un couple d’entiers relatifs) est inversible
dans cet anneau si et seulement si l’élément 5x y de 5ZZ est inversible dans cet anneau. NB. Désormais, on pourra se contenter de rechercher les éléments inversibles 5yx tels que x et y sont des entiers naturels. Les éléments inversibles 5yx où ,x y est un couple d’entiers relatifs s’en déduiront.
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Partie B Les tracés des deux hyperboles
L’hyperbole 1H L’hyperbole 1H
1. Vérifier que
2
2 2
2
15
5 1 ou bien
15
xy
x y
xy
Vérifier que :
2
2 2
2
15
5 1 ou bien
15
xy
x y
xy
2. En déduire que 1H est la réunion de la courbe
1hC représentative de la fonction
2
11
5xx h x
que l’on étudiera sur 1,
et de la courbe représentative de la fonction 1h
En déduire que 1H est la réunion de la courbe
1hC
représentative de la fonction
2
11
5xx h x
que l’on étudiera sur 0,
et de la courbe représentative de la fonction 1h
3. Montrer que 1lim 05x
xh x
. En déduire
que la droite d’équation 5
xy est asymptote à la
courbe 1hC . Justifier que
1hC possède une deuxième asymptote que l’on précisera.
Montrer que 1hC
possède les deux mêmes asymptotes que sa collègue.
Tracer les deux hyperboles dans un même repère orthonormé d’origine O (unité graphique : 1 cm). Préciser leurs éléments de symétrie (axes, centre). NB. Cette partie de l’exercice a été rédigé à l’intention de ceux et celles qui ne connaissent pas les propriétés générales des coniques, notamment les propriétés les plus usuelles des hyperboles dont l’équation est réduite.
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Partie C Trois solutions particulières de l’équation 1E : 15 22 yx et deux solutions particulières de l’équation 1E : 15 22 yx
On se propose de rechercher des couples solutions particuliers de ces deux équations. Le couple 0;1 00 yx est un couple solution évident de l’équation 1E . On va en chercher deux autres. On va aussi en chercher deux pour l’équation 1E .
L’équation 1E L’équation 1E
Proposer un algorithme permettant de déterminer toutes les solutions yx, dans l’ensemble NN de l’équation 1E telles que 1 1000x
Proposer un algorithme permettant de déterminer toutes les solutions yx, dans l’ensemble NN de l’équation 1E telles que 1 100x .
En déduire qu’il existe deux couples solutions, et deux seulement, 11, yx et 22 , yx de NN tels que 1 22 1000x x qui sont solutions de 1E .
En déduire qu’il existe aussi exactement deux couples 1 1' , 'x y et 2 2' , 'x y de NN qui sont solutions de 1E et tels que 1 20 ' ' 100x x
Partie D Une application affine. Dans le plan P, on considère le point A0 de coordonnées 0,1 ainsi que les deux points A1 et A2 de coordonnées respectives 11, yx et 22 , yx (les deux couples solutions particuliers de l’équation 1E définis ci-dessus) 1. Justifier qu’il existe une application affine f et une seule du plan P qui laisse le point O invariant, qui transforme A0 en A1 et A1 en A2. 2. Déterminer analytiquement cette application f, c'est-à-dire déterminer, pour tout point M du plan de coordonnées yx, , les coordonnées ',' yx de son image par f notée M’. 3. Justifier que f est une application affine bijective et déterminer les formules analytiques de son application réciproque. 4. Montrer qu’un point M du plan a des coordonnées entières relatives si et seulement si son image par f a des coordonnées entières relatives. 5. Montrer que pour tout point M du plan de coordonnées yx, , d’image par f le point M’ de coordonnées ',' yx : 2 2 2 2' 5 ' 5x y x y . Que dire de l’image par f de l’hyperbole 1H ? De l’image par f de l’hyperbole 1H ?
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Partie E Deux suites de points. Les points 0 1, 0A ; 1 0 2 1;A f A A f A on déjà été définis. Plus généralement, on considère la suite de points Nn n
A
définie par ces premiers points et la relation de récurrence : 1n nA f A .
On notera ,n nx y les coordonnées du point An. De même, on note B1 le point : 1 2, 1B et on considère la suite de points N*n nB
définie par ce premier
point et la relation de récurrence : 1n nB f B . On notera ' , 'n nx y les coordonnées du point Bn. 1. Montrer que tous les points de la suite de points Nn n
A
sont des points à coordonnées entières naturelles
situés sur 1H et que tous les points de la suite de points N*n nB
sont des points à coordonnées entières
naturelles situés sur 1H . Déterminer les coordonnées des points A3, A4 et A5 ainsi que celles des points B3, B4 et B5. 2.1. Justifier que l’image par f de l’arc de l’hyperbole 1H : 1n nA A est l’arc d’hyperbole 1n nA A et que de même l’image par f de l’arc de l’hyperbole 1H : 1n nB B [est l’arc d’hyperbole 1n nB B 2.2. Montrer que, hormis les points de la suite Nn n
A
, il n’y a pas d’autres points à coordonnées entières
naturelles situés sur 1H et que, hormis les points de la suite N*n nB
, il n’y a pas d’autres points à
coordonnées entières naturelles situés sur 1H .
Partie F : pour aller plus loin (c’est le cas de le dire) Hypathie est une candidate à l’étrange CAPES 2020. Elle vient de traiter ce problème. Confinée dans son appartement en ces temps sombres de mars/avril 2020 au goût amer, elle laisse vagabonder son imagination. 1. Elle imagine qu’elle trace les hyperboles sur une immense feuille de papier (fictive on espère), une asymptote pointée vers la Lune, qu’elle estime située à 400000 km de son appartement (l’unité graphique étant toujours le centimètre). Elle se demande combien de points à coordonnées entières elle rencontrerait si elle pouvait suivre ce chemin jusqu’à décroisser la Lune. Elle se demande aussi combien de points à coordonnées entières relatives sont contenus dans le disque situé dans le plan de la feuille, de centre son appartement et de rayon la distance appartement-Lune. Après quelques investigations à l’aide de ses logiciels préférés, elle est étonnée du résultat qu’elle obtient.
2. Hypathie pousse alors le bouchon plus loin. Sirius est l’étoile la plus brillante du ciel, cette étoile est située à exactement 8,6 années-lumière de son appartement. Hypathie se pose les mêmes questions à propos de Sirius qu’à propos de la Lune, pensant qu’elle obtiendra beaucoup plus de points.
Après quelques investigations à l’aide de ses logiciels préférés, elle est étonnée du résultat qu’elle obtient.
Qu’en dites-vous ?
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2. Eléments de correction
Partie A Le lien entre le thème 1 et les deux autres 1. Soit u un nombre réel de la forme 5yx où x et y sont deux entiers relatifs. Il est inversible pour la multiplication dans 5ZZ si et seulement s’il existe deux entiers relatifs x’ et y’ tels que : 15'''5'5''5 xyyxyyxxyxyx . D’après les relations d’égalité de deux nombres dans 5ZZ , une condition équivalente est que
simultanément :
0''1'5'
xyyxyyxx
.
La première des deux relations : 1'5' yyxx est une relation de Bézout portant sur les deux entiers x et y, relation qui caractérise deux entiers premiers entre eux. Une condition nécessaire pour qu’il puisse y avoir inversibilité est que x et y soient premiers entre eux. 2. L’inverse multiplicatif d’un élément non nul 5x y de 5ZZ dans Q Q 5 est le nombre rationnel
2 2 2 2 55 5
x yx y x y
. Pour que les deux coefficients soient deux entiers, il est nécessaire que 2 25x y
divise à la fois x et y.
Ces deux entiers étant premiers entre eux, 2 25x y doit être un diviseur de leur PGCD, donc être égal à 1 ou à 1 . Ou bien : 15 22 yx ou bien : 15 22 yx .
3. Si, réciproquement, 15 22 yx ou bien : 15 22 yx , les deux rationnels 2 2 2 2,5 5
x yx y x y
sont
deux entiers, égaux à x et à y ou à leurs opposés, et l’inverse multiplicatif 2 2 2 2 55 5
x yx y x y
appartient
à 5ZZ . C’est, selon le cas, ou bien 5x y ou bien 5x y .
En conclusion, un élément non nul 5x y de 5ZZ est inversible pour la multiplication dans cet ensemble si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :
Le couple d’entiers relatifs ,x y est solution ou bien de l’équation 1E : 15 22 yx ou bien de
l’équation 1E : 15 22 yx (ce qui fait le lien avec le thème 3).
Le couple d’entiers relatifs ,x y sont les coordonnées d’un point M situé sur 1H ou sur 1H , hyperboles dont les équations cartésiennes réduites sont, respectivement, 1E et 1E (ce qui fait le lien avec le thème 2).
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4. Les équations 1E et 1E sont invariantes par changements de signes puisque les inconnues x et y n’y interviennent qu’avec leur second degré. Les quatre couples d’entiers relatifs , ; , ; , ; ,x y x y x y x y sont quatre solutions de l’équation 1E [respectivement de l’équation 1E ] si et seulement si un seul des quatre est solution de 1E [respectivement de 1E ].
Parmi ces quatre couples un au moins coïncide avec ,x y , celui des quatre dont les deux coordonnées sont toutes deux positives (il peut y en avoir deux au cas où l’une des coordonnées serait nulle : dans ce cas, les quatre couples sont deux à deux confondus).
Un élément 5yx de 5ZZ ( où ,x y est un couple d’entiers relatifs) est donc inversible dans cet
anneau si et seulement si l’élément 5x y de 5ZZ est inversible dans cet anneau.
Désormais, on pourra se contenter de rechercher les éléments inversibles 5yx tels que x et y sont des entiers naturels. Les éléments inversibles 5yx où ,x y est un couple d’entiers relatifs s’en déduiront
par combinaisons de signes, genre 5x y .
Partie B Les tracés des deux hyperboles
L’hyperbole 1H L’hyperbole 1H
1 2
2 2 2 15 15
xx y y ce qui conduit à
l’alternative de l’énoncé. Cette alternative impose que : 1x
2
2 2 2 15 15
xx y y ce qui conduit à
l’alternative de l’énoncé.
2. Conséquente immédiate de l’alternative. La
fonction 2
11
5xx h x
est une fonction paire
définie sur la réunion d’intervalles , 1 1, que l’on peut étudier sur un seul des deux intervalles
Conséquente immédiate de l’alternative. La fonction
2
11
5xx h x
est une fonction paire définie
sur R en entier que l’on peut étudier sur R+.
La fonction est h1 continue sur son ensemble de définition, dérivable sur , 1 1, , de fonction
dérivée la fonction : 1 2
'5 1
xh xx
, dont le signe est celui de x.
Sur l’intervalle 1, , la fonction h1 est continue et strictement croissante, sa restriction à cet intervalle réalise une bijection de 1, sur l’intervalle image qui est 0, .
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3. 2
1 2
1 15 5 5 1
x x xh xx x
. Du fait que 2lim 1
xx x
, on déduit que
1 2
1lim lim 05 5 1x x
xh xx x
.
Une interprétation géométrique de ce résultat est que la droite d’équation 5
xy est asymptote à la courbe
1hC . Le signe de la différence montre que la courbe 1hC est au dessous de son asymptote.
Par parité de la fonction h1, la courbe 1hC possède une deuxième asymptote, au voisinage de moins l’infini,
la droite d’équation 5
xy , symétrique de la précédente par rapport à Oy.
De façon analogue : 2
1 2
1 15 5 5 1
x x xh xx x
, ce qui amène aux mêmes conclusions, la
droite d’équation 5
xy est asymptote, sauf que la courbe est cette fois au dessus de l’asymptote. La
deuxième asymptote s’en déduit aussi par parité.
Un point ,M x y appartient à 1H si et seulement si il appartient à la réunion de la courbe représentative de la fonction h1, et de celle de la fonction 1h qui s’en déduit par symétrie par rapport à l’axe Ox.
L’origine O du repère est un centre de symétrie de 1H , et les axes de coordonnées en sont des axes de symétrie.
Le tracé de la courbe représentative de la fonction 1h , de son opposée et de l’hyperbole 1H qui
possède les mêmes éléments de symétrie que 1H .
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Partie C Trois solutions particulières de l’équation 1E : 15 22 yx et trois solutions particulières de l’équation 1E : 15 22 yx ,
L’algorithme ci-contre recherche de façon systématique et exhaustive toutes les solutions de l’équation 1E dont la première coordonnée est comprise entre 1 et un entier donné n. On l’a exécuté pour 1000n puis pour 5000n . Ceci à l’aide d’une boucle For…EndFor. Nous trouvons exactement deux couples solutions satisfaisant, pour l’équation 1E , les conditions requises : 1 1, 9, 4x y et 2 2, 161, 72x y . La recherche étant exhaustive, nous pouvons affirmer qu’il s’agit des seules solutions de NN que l’on peut trouver entre 2 et 1000. Nous obtenons ainsi en tout trois couples solutions dont la première coordonnée est un entier naturel plus petit que 1000.
L’algorithme pellcinq modifié pour donner les points à coordonnées entières naturelles de l’hyperbole 1H . Nous avons recherché « par curiosité » jusqu’à l’entier 1000 et même 5000. Nous obtenons trois couples solution de l’équation 1E , mais deux seulement d’entre eux ont une première coordonnée plus petite que 100.
Les divers points utiles pour la partie D sont : 0 1 2 1 21, 0 ; 9, 4 ; 161, 72 ; 2, 1 ; 38, 17A A A B B .
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Partie D Une application affine. 1. Une application affine d’un plan affine est entièrement déterminée par la donnée des images de trois points non alignés : il existe une et une seule application affine du plan transformant trois points non alignés donnés en trois points donnés (quelconques quant à eux) du plan. La seule vérification que nous devons faire pour justifier l’existence et l’unicité de f est de s’assurer que les points O, A0 et A1 ne sont pas alignés. Ils ne le sont pas car les points O et A0 appartiennent à l’axe Ox alors que l’ordonnée de A1 étant non nulle, ce point n’est pas sur Ox. 2. De façon générale les formules analytiques d’une application affine du plan ','', yxMyxM f
sont de la forme :
ydxcyyybxaxx
0
0
''
où 00 , yx sont les coordonnées de l’image de l’origine et où
dcba
est la matrice de l’application linéaire qui lui est associée. Ici : 0,0 00 yx puisque le point O est invariant. Il reste à déterminer les quatre autres paramètres, sachant que f transforme A0 en A1 et A1 en A2. Pour qu’il en soit ainsi :
f transformant A0 en A1 : 94
ac
f transformant A1 en A2 : 161 9 9 472 4 9 4
bd
ce qui donne : 4 804 36
bd
puis
209
bd
.
Les formules analytiques de f sont : ' 9 20' 4 9
x x yy x y
3. Le déterminant de la matrice T de l’application linéaire associée à f est non nul (il est égal à 1), donc f est une application affine bijective du plan. La matrice inverse de M est la matrice
1 9 204 9
T
. Les formules
analytiques de f-1 sont : '' 9 20'' 4 9
x x yy x y
,
4. Puisque les coefficients figurant dans les formules analytiques de f sont tous des nombres entiers, relatifs
notamment ceux de la matrice 9 204 9
T
de l’application linéaire associée, si un point est à coordonnées
entières relatives, alors les coordonnées de son image sont aussi des entiers relatifs (cocktails d’additions et /ou multiplications d’entiers relatifs).
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Réciproquement, la matrice inverse 1 9 204 9
T
est aussi à coefficients entiers. Dans les formules
analytiques de f-1 sont : '' 9 20'' 4 9
x x yy x y
, tous les coefficients sont des entiers relatifs. Si un point est à
coordonnées entières relatives, son image réciproque par f est aussi un point à coordonnées entières relatives. Donc, un point est à coordonnées entières relatives si et seulement si son image par f est à coordonnées entières relatives. En ce qui concerne l’ensemble des points à coordonnées entières naturelles, nous pouvons affirmer que son image par f est incluse dans cet ensemble car dans les formules analytiques de f tous les coefficients sont positifs, cela va nous servir dans la partie suivante du problème. En revanche, nous ne pouvons pas garantir qu’il y a réciprocité : en raison de la présence de signes négatifs dans les formules analytiques de f-1, nous n’avons aucune précision sur le signe des coordonnées d’une image réciproque. Par exemple, le point A0 a pour antécédent le point de coordonnées 9, 4 dont l’ordonnée est négative ; l’inclusion est stricte. 5. La même copie d’écran reproduite ci-dessus justifie que pour tout point M du plan de coordonnées yx, , d’image par f le point M’ de coordonnées ',' yx : 2 2 2 2' 5 ' 5x y x y . Cette quantité est donc invariante par f. On a posé pour faire effectuer automatiquement les calculs : yxvyyxux ,';,' . Il s’ensuit que un point M de coordonnées yx, appartient à l’hyperbole 1H si et seulement si son image M’ de coordonnées ',' yx appartient à l’hyperbole 1H car dans ce cas : 2 2 2 2' 5 ' 5 1x y x y De même à propos de la deuxième hyperbole. L’application f laisse globalement invariante chacune des deux hyperboles. Partie E Deux suites de points. 1. Nous avons vu que l’image par f de l’ensemble des points à coordonnées entières naturelles était incluse strictement dans ce même ensemble. Dès lors qu’un point à coordonnées entières naturelles est sur 1H , son image par f est aussi un point à coordonnées entières naturelles sur 1H : l’image par f d’un point hérite de ces propriétés De même, dès qu’un point à coordonnées entières naturelles est sur 1H , son image par f est aussi un point à coordonnées entières naturelles sur 1H . L’image par f d’un point hérite de ces propriétés Par récurrence immédiate, puisque le premier point A0 de la suite Nn nA
est un point à coordonnées entières
naturelles tous les points An sont des points à coordonnées entières naturelles de 1H . De même , tous les points de la suite de points N*n n
B
sont des points à coordonnées entières naturelles
situés sur 1H car le premier d’entre eux a ces propriétés.
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Voici les coordonnées des premiers points
de cette suite Nn nA
depuis celles de A1
jusqu’à celles de A5.
Voici les coordonnées des premiers points
de cette suite N*n nB
depuis celles de B2
jusqu’à celles de B6.
2.1. Considérons de façon générale deux points distincts 1 1 1 2 2 2, ; ,C u v C u v situés sur 1H et à
coordonnées entières naturelles c'est-à-dire tels que : 1 21 u u et 1 20 v v .
Leurs images par f sont les points 1f C et 2f C de 1H d’abscisses respectives
21
1 1 1
19 20 9 20
5u
u v u
et 2
22 2 2
19 20 9 20
5u
u v u
et d’ordonnées positives.
Or, la fonction 2 19 205
xx x est une fonction continue et strictement croissante (car somme de deux
fonctions strictement croissantes) sur l’intervalle 1, . Sa restriction à l’intervalle 1 2,u u réalise une
bijection de cet intervalle sur l’intervalle 2 2
1 21 2
1 19 20 , 9 20
5 5u u
u u
: si un point est sur 1H et
décrit l’arc d’hyperbole 1 2C C , son image par f décrit exactement l’arc d’hyperbole entre 1f C et 2f C .
En appliquant cette propriété aux points 1 1 2;n nC A C A , nous obtenons le résultat escompté.
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Il en est de même si nous supposons que 1 1 1 2 2 2, ; ,C u v C u v sont situés sur 1H en envisageant la
fonction 2 19 205
xx x . On applique alors la propriété aux points 1 1 2;n nC B C B .
2.2. Supposons qu’il existe un autre point que ceux de la suite des points An dont les coordonnées sont un couple d’entiers naturels solution de l’équation 1E . Alors, il s’agit des coordonnées d’un point qui appartient, strictement, à l’un des arcs 1nn AA de l’hyperbole, avec de plus 2n (sinon, l’algorithme l’aurait détecté). Il est l’image par f d’un point dont les coordonnées sont un couple d’entiers naturels solution et qui appartient strictement à l’arc précédent nn AA 1 . Ce point est lui-même l’image d’un point dont les coordonnées sont un couple d’entiers naturels solution appartenant strictement à l’arc précédent … etc. De proche en proche, on remonterait jusqu’à un point dont les coordonnées sont un couple d’entiers naturels solution et qui appartiendrait strictement à l’arc 1 2A A et l’algorithme aurait détecté ce point. Or, il n’en a détecté aucun. La supposition est à rejeter. Les coordonnées des points An constituent les seules solutions dans NN de l’équation 1E . Le même raisonnement vaut pour l’équation 1E avec cette fois la suite des points Bn. Les coordonnées des points Bn constituent les seules solutions dans NN de l’équation 1E . Donc, nous avons là toutes les solutions. Il en résulte que les éléments inversibles dans 5ZZ sont ceux qui s’écrivent 5n nx y ou
' ' 5n nx y avec les quatre combinaisons de signes possibles.
Partie F : pour aller plus loin (c’est le cas de le dire)
1. L’algorithme pellfermat a été modifié de façon à donner le nombre de points à coordonnées entières naturelles de l’hyperbole 1H qui sont à une distance inférieure à un nombre d donné. Il affiche aussi le dernier d’entre eux. Nous l’avons exécuté pour 1000 à titre de test. 400000 km, c’est 40000000000 cm. Nous l’avons donc exécuté pour cette valeur. L’algorithme trouve 9 points à coordonnées entières naturelles, il y en a donc 17 dont l’abscisse est positive (puisque le point A0 compte double) et 34 dont les coordonnées sont de signes quelconques. Le dernier point avant la Lune est affiché.
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L’algorithme pellfermat a été modifié de façon à donner le nombre de points à coordonnées entières naturelles de l’hyperbole 1H qui sont à une distance inférieure à un nombre d donné. Lorsque d est égal à 40000000000, l’algorithme trouve 9 points à coordonnées entières naturelles. Il y a donc 36 points à coordonnées entières relatives. En tout, nous obtenons 70 points répartis sur les deux hyperboles.
2. Cherchons d’abord combien (à peu près) une année lumière représente de centimètres. La lumière parcourt environ 300000 km par seconde. Ci-contre nous avons calculé en centimètres la distance parcourue par la lumière en une heure, puis un jour, puis une année. Nous avons ensuite calculé la distance exprimée en centimètres qui sépare Sirius de l’appartement d’Hypathie. Arrondissons cette distance à 188,14 10
L’algorithme exécuté pour cette valeur trouve 16 points à coordonnées entières naturelles qui appartiennent à l’hyperbole 1H , il y en a donc 31 dont l’abscisse est positive (puisque le point A0 compte double) et 62 dont les coordonnées sont de signes quelconques et qui sont plus près de l’appartement d’Hypathie que ne l’est Sirius.
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G. Julia, 2019/2020 15
L’algorithme modifié pour donner les coordonnées des points à coordonnées entières naturelles qui sont sur 1H donne 15 points. Il y a 60 points à coordonnées entières relatives situés sur 1H et qui sont plus près de l’appartement d’Hypathie que ne l’est Sirius. En tout, 122 points répartis sur les deux hyperboles.
Il n’y a pourtant rien d’étonnant à tout cela. Nous pourrions démontrer par récurrence que pour tout entier
2n , nnx 10 et pour tout entier 4n , n
nx 10' (on pourrait faire mieux mais ce n’est pas la peine). Ainsi pour tout entier 19n , la distance aux points An et Bn est à coup sûr supérieure à la distance Terre-Sirius. Hypathie ne pouvait pas trouver « beaucoup plus » de points. Si elle laissait vagabonder son imagination jusqu’aux confins de notre Univers (15000000000 d’années lumière), elle trouverait tout au plus une quarantaine de points supplémentaires. Nous venons de construire un objet mathématique, l’ensemble des points à coordonnées entières de deux hyperboles, qui contient une infinité d’éléments mais dont moins de 200 à peine appartiendraient à notre Univers. C’est dire combien ce dernier est riquiqui…
