Cours de Modélisation Moléculaire :

IntroductionModélisation moléculaire = Description des molécules et de leurs interactions.Expériences in vivo, in vitro et in silico.BioInformatique (il n’existe pas de termes pour physico-informatique)En fait, BioInformatique == biologie in silicoChamp d’applications : Analyse de séquence, Modélisation moléculaire.Cherche à connaître la structure 3D des molécules et leurs interactions.Le point de vue est ici « atomique ».Chimie quantique :C’est la théorie qui explique la liaison chimique et la réactivité chimique.C’est seulement dans les années 1960 que la molécule d’hydrogène a été calculéecomplètement (précision de 6 chiffres).Mais les calculs de mécanique quantique sont applicables seulement sur dessystèmes de quelques dizaines d’atomes.(Analogie avec le début du siècle : on ne peut résoudre des systèmes à grandnombre de variables : thermodynamique statistique)Mécanique moléculaire :Utilisation de la mécanique newtonienne pour approcher les structures desmolécules. On va modifier les coordonnées des atomes afin d’avoir laconformation de la molécule à l’état d’énergie minimum (en fait, un cliché de lamolécule dans des conditions statiques à 0°K). Le modèle représente les atomesdans les molécules par des « boules de mousse électrifiées et reliées par desressorts ». L’ensemble des constantes de force et coefficients d’interactions pourles forces s’exerçant est appelé champ de force : ses paramètres sont basés surdes calculs de spectroscopies, de mécanique quantique et optimisés sur desstructures connues.Pour trouver la géométrie optimum d’un ensemble d’atomes, il faut minimiser 3coordonnées cartésiennes par atome (pour une protéine de 1000 atomes = 3000coordonnées cartésiennes). Donc il faut trouver le minimum d’une fonction(l’énergie) dans un espace à quelques milliers de variables. Toutes les méthodesd’optimisation connues ne peuvent trouver qu’un minimum local (cf. “plateaud’oeufs”). On ne sait pas trouver un minimum global d’énergie  : donc on n’estjamais sur de trouver ce minimum global de l’énergie pour une molécule. Ilexiste des méthodes (ex : Monte-Carlo) qui permettent d’approcher ce minimumglobal.Enfin, la modélisation moléculaire est utilisée pour le raffinement des structuresobtenues par diffraction des rayons X et RMNDynamique moléculaire :On sait que les structures ne sont pas figées aux températures auxquelles on veutles étudier. On va simuler le mouvement des atomes d'une molécule en intégrantles équations de Newton F = ma (F vecteur force, a : vecteur accélération). Lesatomes sont alors modélisés par des « boules de mousse en mouvementélectrifiées et reliées par des ressorts ». Pour un système de milliers d’atomes, oncalcule les forces sur chaque atome, puis leur accélération, et enfin leur vitesse,leurs nouvelles positions, et donc les nouvelles forces. Vu que les forces changentsuivant les positions des atomes, il faut calculer avec des pas petits (pasd’intégration) : on prend des pas de 1 femtoseconde (10-15 seconde), si on prenaitdes pas plus grands, la simulation serait plus fausse, car les forces auraient

réellement changé pendant le pas d’intégration, et ce changement n’aurait pasété pris en compte. Exemple : modèle de Karplus : Hémoglobine, l’atomesd’oxygène est piégé et ne peut pas sortir ou entrer dans le site de l’hème. Karplusa trouvé par des calculs de dynamique moléculaire un canal par lequel l’oxygènepeut passer, ce canal est ouvert ou fermé.Applications : Pharmacologie (drug design), enzymologie.

Considération préliminaires - Chimie quantiqueInteractions, force et énergies.Il est conventionnel de parler de classes différentes d'interactions agissant entreles atomes comme des "forces" (exemple, force de van der Waals, donner uneéquation pour l'énergie potentielle d’une interaction particulière. Les interactionsélectromagnétiques dominent à l'échelle moléculaire (les interactionsgravitationnelles et nucléaires étant complètement négligeables à l'échelle de lachimie). Le comportement d'une molécule peut être décrit complètement parl'équation de Schrödinger : ˆ H Ψ(x1, x2, .. .) = EΨ(x1, x2, .. .)où x sont les positions du noyau et des électrons de la molécule, Ψ est la fonctiond'onde qui contient toute l'information sur les propriétés dynamiques dusystème et E est l'énergie pour l'état. L'opérateur Hamiltonien est donné par :

ˆ H =−h

2mi=1

n

∑ pi2 +

ziz je2

4πε0 xi − x jj=i+1

n

∑i=1

n

∑• où n est le nombre de particules, mi est la masse de la particule i, zi sa charge

et les autres symboles ont leur signification conventionnelle (p : quantité demouvement, ε0 permittivité du vide, h constante de Planck / 2π). Le premierterme correspond à l'énergie cinétique classique et le deuxième à l'énergieélectrostatique (Coulomb). Les propriétés de toutes les molécules sontgouvernées par cette équation (en excluant les petits effets dus à desconsidérations relativistes). La chimie quantique peut (théoriquement) traitertoutes interactions moléculaires. Malencontreusement, la solution de cetteéquation n'est pas possible analytiquement même pour la molécule la plussimple H2+ (cad. deux protons et un électron), sans faire une approximation.

L'approximation de Born-OppenheimerBorn et Oppenheimer (Ann. Phys. 84 :457-484, 1927) ont montré qu'une bonneapproximation était de traiter isolément les distributions nucléaires etélectroniques d'une molécule. La diffusion électronique peut être considéréepour un certain ensemble de positions nucléaires fixées. L'approximations'appuie sur la grande différence de masse entre noyaux et électrons (unélectron voit un noyau « immobile »). Cette approximation permet la descriptiond'une configuration structurale moléculaire en termes de position nucléaire dechaque atome : la description empirique - utilisée en mécanique moléculaire -d'une molécule dans des termes d'angles ou de longueurs de liaison s'appuie surla validité de l'approximation de Born-Oppenheimer.

Sujette à cette approximation, l'énergie pour une molécule de N noyaux et nélectrons est donnée par :

où R sont les vecteurs de position du noyau et le Zi les charges. Le premierterme représente la contribution à l'énergie potentielle due à des interactionsentraînant les électrons, le second est simplement un terme classiqueCoulombien donnant l'interaction répulsive entre les noyaux chargés de lamolécule. La fonction d'onde électronique et l'énergie potentielle sont donnéespar :ˆ H électronsΨ(r1,r2,. ..) = EélectronsΨ(r1,r2, .. .)

L'opérateur Hamiltonien pour la contribution des électrons à l'énergie estdonnée par :

ˆ H electrons = {−h

2mi=1

n_ elec

∑ pi2 −

zje2

4πε0 ri − Rj

}j=1

n_elec

∑ +e2

4πε0 ri − rjj= i+1

n _elec

∑i=1

n_ elec

∑où m est la masse de l'électron ri et rj sont les vecteurs de position pour lesélectrons, Ri et Rj pour les protons. Le premier terme de la somme correspond àl’énergie cinétique des électrons, le second à l'interaction entre les électrons et lesnoyaux et le troisième les interactions électrons-électrons.La solution des équations ci-dessus est la base du domaine d'étude de la chimiequantique.L'idée fondamentale des méthodes de chimie quantique est de trouver ladistribution des électrons pour un ensemble fixé de positions nucléairesdécrivant la molécule (voir ci-dessus l'approximation de Born-Oppenheimer). Parl'application d'une procédure de minimisation d'énergie, la géométrie de lamolécule peut être optimisée. La chimie quantique ab initio part des principesfondamentaux en n'utilisant rien d'autre. Cela permet la considération d'espèces"exotiques" ainsi que de molécules plus conventionnelles. Les réactions chimiquespeuvent être suivies et ces méthodes sont très utiles dans la chimie organique.

La méthode LCAOLa méthode LCAO, communément employée, exprime une orbitale moléculaire(MO) comme une Combinaison Linéaire des Orbitales individuelles Atomiquespour la molécule :

Ψmoléculaire = CkΦkk=1

atomes

∑Le principe de variation peut être exploité pour trouver des valeurs descoefficients Ck. Le principe énonce que la valeur attendue <E(ρ)> del'Hamiltonien H calculé avec toute fonction ρ :

E ρ( ) =ρ * ˆ H ρdτ∫ρ*ρdτ∫

doit se trouver au-dessus de l'énergie vraie d'état fondamental (l'intégration estsur tout espace). Autrement dit, si nous avons une fonction d'onde pour lamolécule et que nous faisons un changement qui abaisse l'énergie alors lanouvelle fonction est une meilleure approximation de la vraie fonction d'onde dusystème. Ainsi, la valeur optimale pour les coefficients Ck peut être trouvée en

ajustant les coefficients afin de minimiser l’énergie moyenne de la fonctiond’onde moléculaire E(Ψmoléculaire)Une complication supplémentaire survient à cause du dernier terme del’Hamiltonien qui décrit la répulsion électron-électron. Sans ce terme, il seraitpossible d'employer la méthode de séparation de variables pour résoudrel'équation de Schrödinger indépendamment pour chaque électron, mais ce n'estpas possible quand ce terme est pris en considération.L'approximation standard, développée par Hartree et Fock, permet d'éviter ceproblème en supposant que chaque électron se déplace dans le champ moyen dunoyau et des autres électrons. Un ensemble initial de fonctions d'onde estapproché pour la molécule. Dans l'approche LCAO, une série de fonctions fixées,appelée l'ensemble de base (basis set), est choisi (cet ensemble doit au moinsdonner une représentation de chaque orbitale atomique de chaque atome) et laconfiguration initiale est un ensemble de coefficients Ck (n.b. celui-ci doitsatisfaire le principe de Pauli et être antisymétrique). Le coefficient optimal pourchaque orbitale atomique est trouvé chacun son tour tandis que les autresorbitales sont figées. La procédure continue jusqu'à ce que tous les coefficients nevarient plus et devient « self-consistent ». La méthode est connue sous le nom deSCF (« self-consistent fields » ou « champs auto-consistant ».Elle est connue sous le nom de calcul ab initio et a le grand avantage qu'unemolécule peut être traitée sans utiliser de paramètres dérivés empiriquement. Laprécision est raisonnable - pourvu qu'une base de fonction d'une tailleraisonnable soit employée - et des méthodes existent pour réduire les erreurs del'approximation des SCF, en considérant la corrélation des électrons dans lecalcul. La géométrie d'un modèle peut être améliorée en calculant l'énergie pourune série de positions nucléaires, et en utilisant une procédure de minimisationd'énergie (par exemple, en variant Ri afin de minimiser l'énergie potentielle). Songrand problème est dans son coût de calcul - proportionnel à n3.5 où n est lenombre de fonctions de base employées pour le calcul. Donc, il est très coûteux àaméliorer l'exactitude d'une simulation pour une petite molécule, ou demodéliser une molécule plus grande. La limite pratique du calcul est à peu prèsde dix d'atomes (Weiner et al., 1984; Singh et Kollman, 1984). Des simulationsquantiques semi-empiriques (telles Qu’AMI : Dewar et al., 1985), dans lequel desapproximations et des données empiriques sont introduites des les calculs de SCFpermettent de pousser cette limite. Cependant les techniques sont de loin tropcoûteuses pour être appliquées à la plus petite protéine.Supposons qu'on puisse résoudre les équations de Schrödinger pour tous lesnoyaux et électrons dans le système d'intérêt (cad., un enzyme, son substrat etun ensemble de molécules d'eau) pour toutes les positions nucléaires dans untemps raisonnablement court : cette méthode alliée alors avec la dynamiquemoléculaire (et d'autres techniques) rendrait possible la compréhension de ladynamique structurale et des propriétés et réactions chimiques d'une protéine àpartir des principes de bases.

Il est impossible d'appliquer ces méthodes aux molécules de la taille d'uneprotéine (même pour les méthodes quantiques semi-empiriques qui sont limitéesà la considération de systèmes de la taille de quelques aminoacides). Cependant,malgré le problème de coût en temps calcul, la chimie quantique peut êtreextrêmement utile :1°) pour fournir des paramètres pour les fonctions énergétiques potentiellesutilisée dans les méthodes de mécanique moléculaire. Par exemple, des chargesatomiques partielles peuvent être ajustées pour reproduire le potentiel

électrostatique produit par des calculs ab initio sur des parties de la moléculed'intérêt [Singh, 1984 #2144].2°) pour suivre des réactions chimiques dans des protéines. Bash, Domaine etKarplus (1987) ont combiné le traitement semi-empirique de mécaniquequantique (AM1) d'une petite partie d'une molécule (environ 20 atomes (nonhydrogènes)) avec une approche de mécanique moléculaire pour le restant de lamolécule, adaptant une méthode employée en premier par Warshel&Levitt[Warshel, 1976 #6678]. Cela permet le traitement de réactions chimiques ensolution, et la méthode a depuis été appliquée à la réaction enzymatique de latriose phosphate isomérase (Karplus et al. , 1992). Warshel et ses collègues (1991)ont fait l'emploi extensif d'une procédure qui combine une méthode calculant lesliaisons de valence par mécanique quantique avec la mécanique moléculaire.Les simulations de mécanique quantique peuvent aussi être faites sur une petitepartie de la protéine seulement. Cela permet la représentation de processus quine pourraient pas être représentés par un potentiel de mécanique moléculaire,tels que : réactions chimiques ou transitions spectroscopiques. Arad et coll.(1990) emploient AM1 (un programme de mécanique quantique semi-empirique,voir Dewar et coll., 1985) pour simuler un chemin de réaction pour l'attaque dusoufre dans le mécanisme de réaction de la papaïne. Le système est composé de111 atomes, autour du site actif, pris à partir de conformations dérivées deminimisation d'énergie avec un potentiel moléculaire de mécanique. Penfield etcoll. (1985) emploient des méthodes ab initio pour examiner la structureélectronique du site bleu de cuivre dans la plastocyanine et la structure hyperfinedu spectre de cuivre. Ils miment le site du métal en remplaçant l'histidine parl'ammoniaque, la cystéine avec le methanethiolate et la méthionine avec ledimethyl thioéther-- afin de représenter le site de coordination par 7 atomes (nonhydrogène).Bajorath et coll. (1991) a montré comment une enzyme (dihydrofolateréductase) perturbe la distribution spatiale électronique du substrat (le folate)lors de la fixation. Une méthode de calcul ab initio de la structure électronique aété employée qui permet de traiter par mécanique quantique les 49 atomes dusubstrat dans le champ Coulombien du aux charges partielles attribuées à chaqueposition atomique de l'enzyme, du coenzyme et des molécules du solvant.

Mécanique moléculaire

Modèle d’énergieLes premiers logiciels de modélisation [Allinger, 1977 #1402; Ermer, 1973#1614] traitaient des petites molécules et ont été utilisés en cristallographie pourle raffinement de structures plus importantes comme celles des oligonucléotides("linked-atom least squares method" [Arnott, 1969 #1413; Arnott, 1972 #1414;Arnott, 1973 #1415; Arnott, 1973 #1416]). Le fondement de la mécanique et de ladynamique moléculaire repose sur la prémisse qu'on peut approcher la surfaced'énergie de Born-Oppenheimer d'une molécule par une fonctionanalytique [Weiner, 1981 #2230]. Cette fonction est de la forme  :ENERGIE TOTALE =

Kr (r − req)2

liaisons∑

+ Kθ (θ − θeq )2

angles_valences∑

+ n=1

3

∑ Kn

2(1 + cos(nφ − ϕn )

angles_dièdres∑

+ qiqj

4πε 0εrrijatomes∑

+ AijRij12 −

atomes_non_liés∑

BijRij6

+ Cij

Rij12 −

liaisons_hydrogènes∑

Dij

Rij10

Les trois premiers termes de cette équation interviennent entre atomes liés plusou moins directement le long de la molécule.Les énergies d'élongations de liaison et de variations d'angle de valence sontquadratiques (premier et deuxième termes de la fonction).

Energies de liaison :Kr (r − req)

2

liaisons∑

Pour l'énergie de liaison, Kr est analogue à une constante de raideur de ressort(la liaison est assimilée à un ressort, énergie -k x2, si x est le déplacement parrapport à l’équilibre). La forme de la fonction est quadratique car :1) si on trace l'énergie de liaison entre deux atomes en fonction de la distance, laposition d'équilibre de la liaison se trouve évidemment au minimum énergétiquede la vraie fonction énergie de liaison, quelle que soit la forme de celle-ci.

.

longueur de liaisonvaleur d'équilibre

coût

én

ergé

tique

2) et toute fonction ayant un minimum peut être assez bien approché par uneparabole près du minimum (développement limité). En effet, soit f la fonctionpotentielle ci-dessus, alors on peut l'exprimer en x0 en série de Taylor :

f (x0 + ∂x) = f (x0 ) + ∂xdfdx(x0 ) +

∂x2

2d2 fdx2

(x0 ) +∂x3

3!d3 fdx3

(x0 )+...

Si le minimum est x0, dfdx(x0 ) = 0 , de plus , ∂x est petit, donc ∂x2 est encore plus

petit, et les puissances suivantes encore plus. Donc on peut négliger les termes enpuissances supérieures à 2 devant ∂x2. On a finalement :

f (x0 + ∂x) ≅ f (x0 ) +∂x 2

2d2 fdx2

(x0 )

et on peut donc considérer que la fonction f est une fonction quadratique de δx(parabole) près du minimum, de la formef (x0 + ∂x) ≅ A + B∂x

2 , avec A et B constantes.

Pour une fonction potentielle, on n'est pas intéressé par sa valeur dans l’absolu,et donc on n'a pas besoin de la constante A, et on peut modéliser f comme f(r) =Kr (r-req)2.Exemples :Atom pair req in Å Kr in kcal/(molÅ^2)C = O 1.229 570C - C2 1.522 317C - N 1.335 490C2 - N 1.449 337N - H 1.010 434

Explication des types d'atomes :O oxygène de type carbonyleC carbone sp2N azote sp2H hydrogène lié à un NC2 "united atom" group (CH2)

Cette expression simple ne demande qu'une constante par type de liaison, maisce n'est qu'une approximation : si on veut plus de précision, on peut prendre lespuissances supérieures de l'expression, ou bien un potentiel de Morse.Potentiel de Morse :Le potentiel de Morse est un modèle convenable pour l'énergie potentielle d'unemolécule diatomique. La forme de ce potentiel est : V = Deq(1− e

− a( r− req ))2

où req est l'énergie potentielle pour la formation d'une liaison et "a" unparamètre contrôlant la largeur du puits.

Son tracé est de la forme :

Le minimum de ce potentiel est à req. La dérivée seconde du potentiel à

l'équilibre est : d2Vdr2

(req) = 2a2Deq

Angles de liaison :Kθ (θ − θeq )

2

angles_valences∑

On trouve expérimentalement qu'ils varient autour d'une position d'équilibre eton approche aussi leur potentiel par une fonction quadratique.Angle θeq in degrees Keq in kcal/(mol.degré2)C-N-H 119.8 35.0C2-N-C 121.9 50.0C2-N-H 118.4 38.0C-C2-N 110.3 80.0C2-C-O 120.4 80.0C2-C-N 116.6 70.0O-C-N 122.9 80.0

Energies de torsion :

n=1

3

∑ Kn

2(1 + cos(nφ − ϕn )

angles_dièdres∑ )

Le troisième terme approche d'une manière plus précise l'énergie de torsion d'unangle dièdre avec plusieurs valeurs de n [Allinger, 1977 #1402; Weiner, 1984#2233] (série de Fourier, généralement limitée à 3). Cette valeur est indiquéepour chaque type d'angle dièdre dans le champ de force. Par exemple, unepériodicité "mélangée" de n = 2 et n = 3 (resp. 180° et 120°) avec des phases et desconstantes Kn appropriées permet de favoriser une - ou deux - conformationsparmi les trois conformations minimales en énergie des angles dièdres ("gaucheplus","trans","gauche moins"). Si la périodicité était uniquement de 3 (120°), lestrois minimums seraient à la même énergie (figure 7). Cette périodicité"mélangée" permet de simuler, par exemple, la tendance du groupe R-O-P-O àadopter une conformation gauche plutôt que trans. A noter que les anglesdièdres sont aussi corrigés par les interactions de type "non bond" (non lié) desatomes formant l'angle dièdre.

-2

-1

0

1

2

3

0 90 180 270 360

Energie

Potentiel crée par périodicité 3Potentiel crée par périodicité 2

Angle dièdre

Potentiel crée par périodicité 2 et 3 (somme)

Figure 7 : Exemple de simulation de la préférence pour uneconformation donnée d'un angle dièdre par le choix de deux

périodicités (2 et 3) et phases (ici 0,0) dans l'expression de l'énergie decet angle.

Interaction électrostatiques :qiqj

4πε 0εrrijatomes∑ε0 permittivité du vide, et pour simuler l'effet d'écran des charges par le solvant,on prend une "constante diélectrique", εr, proportionnelle à rij, distance entre lescharges (souvent εr = 4 * rij). On peut aussi adopter pour la constante diélectriqueplus une fonction sigmoïde de rij  [Lavery, 1986 #1842]. On a là encore uneapproximation, car l'interaction électrostatique ne dépend pas seulement de laposition des charges considérées mais aussi de leurs positions dans la molécule eton ne prend pas en compte la polarisabilité des atomes (déformation du nuageélectronique et induction de dipôle induit par un dipôle permanent ou induit).Des essais pour inclure dans le champ de force une simulation plus détaillée desinteractions électrostatiques ont été tentés [Sklenar et coll., 1990] et qui permettentde simuler, par exemple, la transition B-Z de manière plus réaliste [Klement et coll.,1990].

On peut simuler les effets des ions sur l'interaction électrostatique entre deux

charges qi et qj avec la relation

€

qiq jeκrij

rijavec κ inverse de la longueur de Debye-

Hückel pour les ions considérés.En fait, le seul vrai" moyen de bien traiter l'énergie électrostatique serait deconsidérer les électrons et les noyaux séparément, de les rentrer dans l'équationde Schrödinger et d'appliquer les méthodes de la mécanique quantique pour laconfiguration spatiale donnée. Comme on l'a déjà dit, c'est impossible. Laméthode la plus simple serait de placer des charges entières sur les atomeschargés, en fait, on utilise des charges partielles donnant le même potentiel àdistance que le potentiel de mécanique quantique précalculé sur des petitesmolécules (par exemple, un acide aminé ou un nucléotide).

Liaisons de van der Waals :

€

Aij

Rij12 −

atomes_ non _ liés∑

Bij

Rij6

Les interactions van der Waals sont des interactions de type dipôle induit-dipôleinduit. Tant que la distance interatomique n'est pas inférieure au rayon devan der Waals, la fonction en 6-12 simule de manière correcte l'interaction entreatomes non liés ("non bonded").

potentiel 12-6 avec A=10,B=10 :

minimum à x= 2AB

6 (valeur de la fonction B2

4A)

Liaisons hydrogène :Cij

Rij12 −

liaisons_hydrogènes∑

Dij

Rij10

potentiel 12-10 avec C=1, D=1 :

minimum à x= 6C5D

(valeur de la fonction −3125* B6

46656 * A5)

Assomptions de la mécanique moléculaire :Une autre prémisse de la simulation moléculaire est qu'on cherche les propriétésd'une molécule dans sa conformation la plus stable. Cependant, il est possible,sans même parler d'entropie, qu'un ligand par exemple, ne soit pas à sonminimum d'énergie lors d'une réaction intermoléculaire, ni même que lecomplexe formé soit d'énergie minimum pour peu qu'il s'agisse d'un complexede transition. Il suffit en fait que les produits de la réaction aient une énergie plusbasse que les réactifs.De plus, la mécanique moléculaire permet seulement d'évaluer l'enthalpie.L'entropie elle, peut être calculée par la dynamique moléculaire via l'énergie libre("free energy perturbation", cf plus loin).En fait, les résultats les plus probants de la MM sont des différences d’énergieentre conformères.

Variantes sur les coordonnées :Le choix des coordonnées - cartésiennes ou internes - à modifier pour minimiserl'énergie est variable. Les coordonnées internes [Lavery, 1987; Noguti & Go, 1983a;Noguti & Go, 1983b] sont plus parlantes quant aux paramètres moléculairespertinents. Par contre, pour éviter des calculs plus complexes qui peuvent limiterla méthode, on supprime les variations de certains angles de valence. Lescoordonnées cartésiennes sont le plus généralement utilisées [Brooks et coll., 1983;Weiner et coll., 1984].

Champs de Force :Les champs de force sont un des ingrédients des logiciels de modélisationmoléculaire les plus délicats à mettre en oeuvre [Pearlman & Kollman, 1991b]. Eneffet, ils contiennent tous les paramètres qui entrent en jeu dans la simulation

(minimisation d'énergie ou dynamique). Celle-ci utilise ces paramètres pourcalculer l'énergie moléculaire et les forces qui s’exercent sur chacun des atomes.Les champs de force contiennent les valeurs d'équilibre pour les longueurs deliaisons atomiques, les angles de liaison, les angles dièdres, les torsions hors duplan ("improper torsions") pour des atomes liés à un cycle aromatique.Dans les champs de force coexistent plusieurs types d'atomes pour chaqueélément de la table de Mendeleev, et d'autant plus que l'on retrouve l'atome enquestion dans des configurations différentes en géométrie ou en énergie. Parexemple, plusieurs types d'"atomes" sont nécessaires pour simuler un atome decarbone dans ses états de liaisons sp1, sp2 ou sp3, de même qu'un carbone sp3engagé dans un cycle à 3,4,5 ou 6 carbones ne peut pas être représenté par lemême atome dans le champ de force vu que ces différentes conformations n'ontpas les mêmes caractéristiques structurales. Le but du jeu est évidemment dedécrire avec le moins de types d'"atomes" possibles toutes les configurationspossibles. Les premiers champs de force étaient plus spécifiques de certainesclasses de molécules (oléfines ou plus tard ADN [Levitt, 1978] et protéines [Gelin &Karplus, 1979]…). Les champs de force actuels décrivent aussi bien les protéinesque les acides nucléiques [Brooks et coll., 1983; Weiner et coll., 1984; Weiner et coll., 1982].L'optimisation d'un champ de force peut être accomplie en ajustant lesparamètres du potentiel de telle sorte que les fréquences de vibrations, laconformation et les données thermodynamiques (enthalpie) calculées soient enaccord avec celles observées expérimentalement (optimisation par la méthodedes moindres carrés) [Dillen, 1992; Ermer & Lifson, 1973]. Lors de cette optimisation,les paramètres superflus ou redondants sont éliminés ou confondus. Les champsde force sont calculés, testés et affinés à partir  :

• de bases de données cristallographiques [Momany et coll., 1975;

Némethy et coll., 1983; Weiner et coll., 1984], et d'énergie d'empilementdans les cristaux ("crystal packing" [Sippl et coll., 1984]),

• de calculs de chimie théorique [Allinger, 1977]   : rayons devan der Waals, paramètres de barrières de rotation [Brunck &

Weinhold, 1979], stabilité des nucléotides cycliques [Marsh et coll., 1980],calculs ab initio ou empiriques pour les charges [Momany et coll., 1975]

ou pour les champs de force de valence [Palmö et coll., 1991],

• de la comparaison énergétique des différentes conformations d'unepetite molécule [Allinger, 1977]  :énergie de transition chaise-bateaudu méthyl-cyclohexane, n-alcanes…,

• de différence d'énergie libre [Cieplak & Kollman, 1991; Pearlman &

Kollman, 1991b],

• de thermodynamique  : chaleurs de sublimation, chaleurs deformation [Allinger, 1977], chaleurs d'hydrogénation [Ermer & Lifson,

1973]…,

• de données spectroscopiques [Ermer & Lifson, 1973]  : vibrations dansl'infrarouge, vibrations Raman…

Les premiers calculs ont aussi montré [Allinger, 1977] que les forces devan der Waals sont des quantités importantes pour des simulations moléculairescorrectes.Les paramètres des champs de force sont aussi testés, par exemple en contrôlantle comportement d'une macromolécule en simulation de dynamique moléculairedans le champ de force [Nilsson & Karplus, 1986].D'autre part, les calculs peuvent inclure le solvant, sa polarisabilité ou son rôled'écran. Le rôle électrique du solvant est mimé par la constante diélectriqueincluse dans la fonction énergie (voir plus haut).Roterman et coll. [Roterman et coll., 1989a] ont effectué une comparaison des troischamps de force utilisés dans les logiciels CHARMM [Brooks et coll., 1983],AMBER [Weiner & Kollman, 1981] et ECEPP [Momany et coll., 1975; Némethy et coll., 1983;Sippl et coll., 1984]. Pour ces trois potentiels, les trois conformations de plus basseénergie d'un peptide de 36 acides aminés diffèrent d'un RMS de seulement1,0-1,3 Å au niveau des Cα, bien que les trois structures initiales qui mènent à cesconformations soit différentes. Sur un échantillon suffisamment large destructures de départ, les auteurs considèrent que ces trois potentiels donnent desstructures semblables. Par contre, les trois potentiels divergent généralementpour une structure donnée. D'autre part, des calculs effectués pour retrouver lacarte Φ−Ψ expérimentale de la poly-L-alanine montrent qu'aucun des troischamps de force ne fait des prédictions complètement compatibles avecl'expérience [Roterman et coll., 1989b], ce qui amène ces auteurs à penser qu'ilfaudrait développer un champ de force plus précis pour les grosses protéines.United atom model ≠ all atom modelUn champ de force peut être paramétrisé pour prédire les mouvementsvibrationnels ou les forces intermoléculaires.AMBER : paramétrisé pour protéines et acides nucléiques – 5 bonding and non-bonding + electrostatiqueCHARMM : protéines et acides nucléiquesCFF : consistent force field : spectres vibrationnels, conformations protéinesEFF : empirical force field : modélisation des carbohydrates (sucres)GROMOS : force field+program : populaire pour la dynamique moléculaireMM1,MM2,MM3 et MM4 : successifs (nouvelles versions). Champs de forcegénéraux pour les molécules organiques. MM3 : un des plus adéquat pour lessucres.TRIPOS : (fait par une entreprise, Tripos) utilisé par Alchemy et SYBYL (appeléquelquefois le champ de force de SYBYL).La mécanique moléculaire est largement employée dans le domaine des acidesnucléiques classiques [Baleja et coll., 1990a; Keepers et coll., 1982; Kitzing & Diekmann,1987; Kollman et coll., 1981; Lavery et coll., 1991; Suzuki et coll., 1986; Zhou et coll., 1987],modifiés [Cognet et coll., 1990; Keepers et coll., 1984; Lancelot et coll., 1989; Pearlman et coll.,1985] ou dans le champ des interactions drogues-ADN [Herman et coll., 1990; Lybrandet coll., 1986a; Maroun et coll., 1989; Maroun & Gresh, 1989; Maroun & Roques, 1991; Rao &Kollman, 1987].

Charges électrostatiques fixesLa distribution de charge d'une molécule est simulée par des charges ponctuellesplacées à l'endroit des noyaux atomiques. Ces charges atomiques, qui

interviennent dans le calcul des forces électrostatiques, sont évaluées à partir decalculs de chimie quantique - calculs ab initio [Singh & Kollman, 1984] ou calculs semi-empiriques - sur de petites structures de moins d'une centaine d'atomes.(optionnel)Les calculs ab initio donnent une approximation de la densité électronique de lamolécule. Dans l'approximation orbitale, chaque électron d'une molécule estdéfini par une fonction ayant les mêmes caractéristiques de symétrie que lesfonctions d'onde de la molécule à un électron correspondante. On approche lafonction d'onde multi-électronique (déterminant de Slater) de la molécule parcalcul itératif d'un ensemble de fonctions (spinorbitales), jusqu'à cohérenceinterne du système (méthode du champ auto cohérent ou "self consistentfield"(SCF)). La structure mathématique des intégrales de répulsion entreélectrons (partie exponentielle en e-ζr) rend difficile la réduction des quantitésmulti-centriques en termes à un ou deux centres. On contourne la difficulté endéveloppant ces intégrales sur une base de fonctions gaussiennes (e-ar2 )("gaussian basis sets") qui peuvent, elles, facilement se réduire en gaussiennes surun centre [Binkley et coll., 1980]. La précision obtenue est fonction du nombre degaussiennes utilisées. Par exemple, la base dite STO-3G utilise une réduction desintégrales sur 3 gaussiennes. Cette base STO-3G fournit des approximationssuffisamment précises [Chirlian & Francl, 1987].D'un autre côté, les méthodes semi-empiriques (CNDO  : Completely NeglectedDifferential Overlap [Pople & Beveridge, 1970], INDO, MINDO, MNDO [Dewar &Thiel, 1977a; Dewar & Thiel, 1977b; Dewar et coll., 1985]…) réduisent le nombred'intégrales en les négligeant (intégrales de recouvrement, intégrales bi-électroniques à plus de deux centres…). De plus, elles estiment les intégralesmono- et bi-électronique à un centre à partir des données expérimentales desspectres électroniques des atomes considérés, d'où la qualification de méthodessemi-empiriques. La méthode CNDO qui est la plus simple des méthodes semi-empiriques donne néanmoins de bons résultats sur les longueurs de liaisons, lesangles de valence et la répartition des charges dans la molécule, mais les énergiescalculées reproduisent mal les données expérimentales [Rivail, 1989]. Besler etcoll. [Besler et coll., 1990] montrent que les méthodes MNDO peuvent donner uneaussi bonne approximation pour les charges dérivées du potentiel électrostatique("ESP") que les méthodes ab initio.Tous ces calculs demandent une énorme capacité de stockage (mémoire vive etmémoire disque) et des temps de calcul prohibitifs pour plus d'une cinquantained'atomes. Le temps de calcul (relié au nombre d'intégrales à calculer) croîtcomme la puissance quatrième du nombre d'orbitales atomiques. D'autresméthodes basées sur les électronégativités atomiques ont été proposées pour lesnucléotides et les acides aminés [Mullay, 1988].On essaie ensuite de reproduire le potentiel électrostatique calculé par ajustementd'une répartition de charges partielles électrostatiques sur des pointsreprésentant les noyaux des atomes de la structure.

MinimiseursLa mécanique moléculaire a pour but de trouver le minimum de la fonctionénergie E(x) décrite au dessus (x  : vecteur des coordonnées du système parrapport auxquelles est définie l'énergie). Pour avoir un minimum global del'énergie, il serait nécessaire de parcourir tout l'espace des variablesindépendantes, ce qui est impossible vu leur nombre. Toutes les méthodes deminimisation ne permettent de trouver que des minimums locaux et la surface

d'énergie pour un tel nombre de variables est très accidentée. Les structurestrouvées par minimisation d'énergie sont donc toujours relativement proches dela structure de départ.Les méthodes de minimisation utilisées en simulation moléculaire sont dites "degradients", c'est à dire que la recherche du minimum en un point est faite dans ladirection opposée au gradient (− dE

dx) de la fonction énergie par rapport aux

coordonnées, c-à-d. dans le sens de la plus grande pente.

Méthodes de plus grande penteDans cette méthode, qui est utilisée dans les premiers pas du minimiseur MINMd'AMBER, on part de x0 (vecteur des variables de la structure initiale).

on calcule le vecteur gradient

€

gi =dE(xi)dx

au point xi,

on effectue la recherche linéaire du scalaire t rendant E minimum dansla direction -gi ("linear search"), soit  : xi+1 = xi-tigi

et on réitère en recalculant le gradient en ce point. On remarque quela nouvelle direction de descente est perpendiculaire à laprécédente.

On peut arrêter les itérations arbitrairement dès que l'on atteint une valeur dugradient suffisamment petite ("vallée" de la fonction énergie), que le nombre decycles est jugé assez grand, que les paramètres varient trop faiblement ou… quele temps alloué pour le calcul est dépassé !

Newton-RaphsonLa méthode de Newton-Raphson permet de trouver le minimum d'une fonctionen l'approchant par son développement de Taylor au deuxième degré(approximation quadratique). On évalue alors non seulement le gradient, mais

aussi la dérivée seconde (ou Hessien) de la fonction énergie, H(x) = d2E(x)dx2

, parrapport aux coordonnées. Si O est l’origine, on a (développement de Taylor) :

f (x) = f (O) + ∂f∂xii

∑ xi +12

∂ 2 f∂xi∂xjij

∑ xixj +...

Si on prend c=f(O), b=−∇f (gradient), A[ ]ij =∂ f

∂xi∂xj(Hessien), avec le gradient et

le Hessien calculé au point O. La fonction s’écrit alors : f (x) = c + b. x + 12xT Ax+.. .

Si la fonction est effectivement quadratique, on a :f (x) = c + b. x + 1

2xT Ax

et :∂ f∂x(x) = −b + A.x = −∇f (x) , qui est nul à x=xmin donc −b + A. xmin = 0⇒ b = A.xmin

et :

∂ f∂x(x) = −A. xmin + A.x = −∇f (x)⇒ x − xmin = A−1∇f (x)

x-xmin est le pas Δx à faire à partir de x pour arriver au minimum en un coup.Dans le cas général d'une fonction non quadratique, on peut réitérer le calculsuivant  :

calcul du gradient gi et du Hessien H(xi) au point xi,

évaluation du pas à faire ∆xi = -H(xi)-1 gi

nouveau point xi+1 = xi + ∆xi,

itération jusqu'au point d'arrêt (voir plus haut). Cette méthode est plus rapide que celle du gradient mais le calcul du Hessiendemande une capacité de stockage de N(N-1)/2 termes et le temps nécessaire àla résolution du système d'équation varie en N3 (N  : nombre de variables àminimiser). De plus, la méthode peut ne pas converger si le point de départ estmauvais. On peut l'améliorer en chargeant la diagonale du Hessien si celui cin'est pas défini positif ou en effectuant une recherche linéaire (algorithme deMarquardt). Comme dans le cas des méthodes de plus grande pente, on peututiliser ∆x non comme "pas" à faire, mais comme direction de recherche(méthodes dites de quasi-Newton) [Adby & Dempster, 1974] soit  : ∆xi  = -ti  H(xi)-1 gi.

Gradients conjuguésDans les méthodes de gradients conjugués [Hestenes & Stiefel, 1952] (méthode deFletcher-Reeves [Fletcher & Reeves, 1964]), les directions de recherche successivessont mutuellement conjuguées par rapport au Hessien (c-à-d. ∆xiT.H(x).∆xj = 0).Ces directions sont par construction orthogonales à l'ensemble des différencesdes gradients aux itérations successives. Ces méthodes convergent mieux que lesméthodes de plus grande pente et ne nécessitent pas le calcul du Hessien. Lesdirections successives sont obtenues en conservant seulement les gradients desdeux itérations précédentes d'où une économie de stockage par rapport auHessien. On calcule la nouvelle direction (conjuguée) de recherche  :

Δxi = −gi−1 + Δxi−1gi−1T gi−1

gi− 2T gi−2

Le minimiseur MINM d'AMBER est un minimiseur à gradients conjugués.

Minimiseurs à métrique variableCes méthodes tirent leurs noms du fait qu'on peut considérer la direction-H(x)-1g(x) (Newton-Raphson) comme incorporant une correction du secondordre du système de coordonnées. En effet, en multipliant -g(x) par H(x)-1, oncorrige la métrique de l'espace à N dimension (x est de dimension N) de manièreà ce que le gradient négatif -g(x) soit converti en l'incrément ∆x. Ainsi, le terme "àmétrique variable" qualifie les méthodes qui utilisent un incrément de la forme  :∆xi  = - ti  Si  g(x)

et mettent à jour la transformation de "correction de la métrique" Si à chaqueitération. Si doit converger vers H-1 (inverse du Hessien). Ces méthodes sontdonc des méthodes quasi-Newton. La plus utilisée est dite de Davidon-Fletcher-Powell [Fletcher & Powell, 1963]. La formule  :

Si+1 = Si −SiSiSi

T SiSiTSiSi

+ΔxiΔxi

T

ΔxiT Si

avec si  = gi+1-gisert à la mise à jour de H-1 (inverse du Hessien). La valeur de λi est fixée parrecherche linéaire.On a donc ici non le Hessien (lourd à calculer) mais une estimation de celui-ci (enfait de son inverse H-1) continûment tenue à jour à partir de l'information tiréedes variations successives ∆g(xi) du gradient g(x). La matrice S0 de départ est engénéral la matrice identité, donc le premier incrément est fait dans la direction deplus grande pente.Les minimiseurs utilisés dans le présent travail sont de ce type [Le Bret et coll., 1991;Zimmermann, 1991].

Recherche linéaire approchée :A ce niveau, il était sous entendu que la recherche linéaire du ti devait êtreexacte. En fait, un grand progrès en vitesse d'exécution a été fait quand on s'estaperçu qu'une recherche linéaire approximative suffisait. Les formules doiventêtre légèrement modifiées. Le point xt  :xt = xi + t ∆xiest accepté pour la valeur t si  :E(xt) < E(xi) + r1 t gi  ∆xigt∆xi > r2 gi  ∆xiLes paramètres r1 et r2 peuvent être ajustés. r1 = 0,999 et r2 = 0,00001 semblentêtre un bon choix.

Dynamique moléculaireUne autre méthode très utilisée est la dynamique moléculaire. Il s'agit deretrouver les paramètres de mouvements des atomes en simulant ceux-ci parune intégration des équations du mouvement de Newton, F = mγ ou, plusexplicitement, pour chaque atome, dvi/dt = mi-1 Fi. Les forces appliquées Fi auxatomes sont évidemment les dérivées du potentiel moléculaire, décrit auparagraphe précédent, par rapport aux coordonnées cartésiennes [Ciccotti et coll.,1982; Ryckaert et coll., 1977], éventuellement avec des contraintes en coordonnéesinternes [Tobias & Brooks III, 1988].

Vitesses initialesOn donne à tous les atomes de la molécule une vitesse initiale calculée par unerépartition de Maxwell. Selon la température, le nombre moyen F(v)dv demolécules par unité de volume ayant une vitesse comprise entre v et v+dv est :

F(v)dv = 4πn( m2πkT

)3/ 2e−mv2

2kT v2dv )

avec v : module de la vitesse, n : nombre moyen de molécules par unité devolume, m masse d’une molécule.F(v)

1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

vLa moyenne des vitesses est supérieure à la vitesse la plus probable (la courben’est pas symétrique).Si on considère les vitesses selon les trois axes, la probabilité est :

f (v)dvxdvydvz = n(m

2πkT)3/ 2e

−mv 2

2 kT dvxdvydvzEt pour un axe :

g(v)dvx = Ce−mvx 2

2 kT dvxce qui représente une gaussienne centrée sur vx = 0.Après cette répartition des vitesses sur les molécules, à intervalles de tempsréguliers (typiquement 1 à 10 femtosecondes), on calcule l'accélération dechaque atome due aux forces, sa nouvelle vitesse et sa nouvelle position, et onpoursuit ces calculs jusqu'à des temps de l'ordre de plusieurs centaines depicosecondes voire de la nanoseconde [van Gunsteren & Berendsen, 1990].

€

r(t + ∂t) = r(t) + ∂tv(t) + 12∂t

2a(t) + 16∂t

3b(t) + 124 ∂t

4c(t) + ...

€

v(t + ∂t) = v(t) + ∂ta(t) + 12∂t

2b(t) + 16∂t

3c(t) + ...

€

a(t + ∂t) = a(t) + ∂tb(t) + 12∂t

2c(t) + ...

€

b(t + ∂t) = b(t) + ∂tc(t) + ...où v est la vitesse (1ère dérivée de la position par rapport au temps), a estl’accélération (2nde dérivée), b est la troisième dérivée, etc…L’accélération et la vitesse sont supposées constantes pendant le pasd’intégration.

Algorithme Verlet (1967):

€

r(t + ∂t) = r(t) + ∂tv(t) + 12∂t

2a(t) + ...

€

r(t −∂t) = r(t) −∂tv(t) + 12∂t

2a(t) + ...En additionnant ces deux équations, on obtient :

€

r(t + ∂t) = 2r(t) − r(t −∂t) + ∂t 2a(t)Les vitesses n’apparaissent pas explicitement dans l’algorithme d’intégration deVerlet. Elles peuvent être estimées facilement par

€

v(t) = [r(t + ∂t) − r(t −∂t)]/2∂tL’algorithme est simple et la quantité de mémoire demandée est modeste (ilsuffit de stocker 2 ensembles de positions et les accélérations). Une descontreparties négatives est que les positions sont obtenues en ajoutant un termepetit ∂t2a(t) à la différence de 2 grands termes

€

r(t + ∂t) et

€

r(t −∂t).

Vu la puissance de calcul et la quantité de données stockées nécessaires, lespremiers calculs ont été réalisés sur de petites molécules organiques [Ryckaert etcoll., 1977], avec des contraintes qui réduisent le nombre de variablesinintéressantes en "gelant" ces dernières [van Gunsteren, 1980]. Les mouvements degrande amplitude - les plus intéressants pour le biochimiste - se déroulent sur degrandes échelles de temps (nanoseconde ou milliseconde) et sont donc les plusdifficiles à obtenir par la dynamique moléculaire à cause de temps de calcul d'unelongueur prohibitive. On cherche donc à limiter les mouvements rapides et àavantager les mouvements lents. Ainsi, l'analyse des calculs par filtrage permetd'éliminer les mouvements rapides [Levitt, 1991; Sessions et coll., 1988] et on essaie detrouver le moyen de faire de la dynamique à une échelle de temps supérieure enfixant ces mouvements rapides [Durup, 1991] ou en fixant certainescoordonnées [Noguti & Go, 1983a; Noguti & Go, 1983b]. Pour accélérer les calculs, leparallélisme a été appliqué aux algorithmes de dynamique moléculaire en vue deleur implémentation sur des machines multiprocesseurs [Mertz et coll., 1991].On peut aussi intégrer l'équation du mouvement de Langevin - dynamiquestochastique - càd. qu'on ajoute deux termes à l'équation Newtonienne dumouvement  : une force stochastique (apport d'énergie) et un terme de friction(perte d'énergie) [Levy et coll., 1981b]. On peut ainsi simuler une dynamiquecouplée à un "bain" externe [Berendsen et coll., 1984].Pour des revues sur le sujet, voir [Durup, 1990; Karplus & Petsko, 1990; Scheek et coll.,1989; van Gunsteren & Berendsen, 1990]. La dynamique moléculaire, ainsi que laméthode de Monte Carlo-Metropolis (voir plus loin) permettent aussi de calculerl'énergie libre [Bash et coll., 1987a; Bash et coll., 1987b; Beveridge & DiCapua, 1990;Cieplak et coll., 1987; Cieplak et coll., 1990; Lybrand et coll., 1986b; Pearlman & Kollman,1989; Pearlman & Kollman, 1991b; Pearlman & Kollman, 1991c; Singh et coll., 1987; Torrie &Valleau, 1977; van Gunsteren, 1990]. Néanmoins, la dynamique moléculaire n'est pasune technique de routine. Des ajustements fins doivent être appliqués aux diversparamètres et les phases de préparation sont délicates à mettre en oeuvre(contraintes pour ne pas trop s'éloigner de la structure initiale, etc.…). Il fautnoter d'autre part que la longueur des calculs ne permet pas d'explorer d'autresrégions de l'espace conformationnel que les environs du minimum initial.

Dynamique moléculaire et RMN (optionnel)La dynamique moléculaire est utile entre autre pour la modélisation desmouvements qui influencent l'effet NOE (voir le paragraphe effet Overhausernucléaire) [Olejniczak et coll., 1984; Withka et coll., 1991]. Les dynamiques sontréalisées sous les contraintes des distances interprotons extrapolées des NOEsgrâce à un potentiel supplémentaire de type K(r-r0)2, où r est la distanceinstantanée et r0 la contrainte de distance. Vu que l'effet NOE est proportionnel àr-6, la distance "NOE" moyenne est estimée à <r-6>-1/6 sur les conformationsobtenues à partir d'un calcul de dynamique moléculaire, ou à <r-3>-1/3 quand lamoyenne est faite sur un intervalle de temps plus petit que le temps decorrélation de toute la molécule [Kessler et coll., 1988b; Tropp, 1980]. On peut noterque ce type de moyenne en <r-6>-1/6 est aussi utilisé en mécanique moléculairedans le cas où l'on a plusieurs modèles ou dans le cas des méthyles, où la distanceNOE est comparée à cette moyenne pour les trois protons. Cette moyenne a eneffet été utilisée ici pour les protons des méthyles dans le complexe ActD-d(CGCG)2.

Pour éviter un blocage des mouvements lors d'un calcul de dynamique souscontrainte de distances, Torda et coll. [Torda et coll., 1989; Torda et coll., 1990] ontproposé que le potentiel de contrainte soit de la forme K(−,r -r0)2 où −,r est unemoyenne de type <r-3>-1/3 mais pondérée en fonction du temps. Donc plus ons'éloigne de l'instant calculé, moins la distance compte dans la moyenne (ladistance est multipliée par une exponentielle décroissante dans le temps passé).La contrainte n'est plus "instantanée", mais devient plus souple, car ceci permet àla distance de satisfaire la contrainte non à chaque instant mais sur un certaintemps, laissant les mouvements se développer [Pearlman & Kollman, 1991a]. Denombreux auteurs ont utilisé la dynamique moléculaire sous contrainte dedistances NOE pour affiner la structure d'acides nucléiques standards [Baleja etcoll., 1990b; Clore et coll., 1985; Gochin & James, 1990; Kessler et coll., 1988b; Koning et coll.,1991; Metzler et coll., 1990; Nilges et coll., 1987a; Nilges et coll., 1987b; Nilsson et coll., 1986;Schmitz et coll., 1991] ou modifiés (mésappariements,etc…) [Cognet et coll., 1990;Kerwood et coll., 1991; Nikonowicz & Gorenstein, 1990; Nikonowicz et coll., 1990; Nikonowiczet coll., 1989; Powers & Gorenstein, 1990; Powers et coll., 1990; Roongta et coll., 1990], et encomplexes avec des drogues [Creighton et coll., 1989; Langley et coll., 1991; Liu et coll.,1991; Zhang & Patel, 1990]. Aucun consensus n'existe encore vraiment pour traiterces contraintes de distances RMN.

Autres méthodes

Monte CarloUne autre méthode permettant d'échantillonner l'espace des conformationsmoléculaires est l'algorithme de Monte Carlo-Metropolis [Metropolis et coll., 1953].On part d'une configuration moléculaire donnée et une nouvelle configurationest générée par des déplacements aléatoires des atomes (contenu dans unecertaine limite). La nouvelle conformation est acceptée si la différence d'énergie,

∆E, entre cette conformation et la précédente est négative, ou si e−ΔEikT est

supérieure à un nombre aléatoire pris dans l'intervalle [0,1]. Dans ce cas lanouvelle conformation sert de point de départ pour le prochain déplacementaléatoire des atomes, sinon on reprend la première. Cet algorithme fournit unepopulation de molécules suivant une répartition de Maxwell-Boltzmann avecdifférentes conformations moléculaires d'énergie Ei dont les proportions sont

e−ΔEikT . La méthode de Monte Carlo est utilisée  :

• pour la simulation de la fluctuation thermique des protéines [Noguti

& Go, 1985] et le calcul des fonctions d'autocorrélation desmouvements internes [Genest, 1989],

• pour la recherche de minimum global d'énergie dans les protéinespar "sauts" par dessus les barrières des cols des minimumslocaux [Zhenqin & Sheraga, 1987],

• pour la recherche de l'emplacement des minimums d'énergie dansles protéines qui seraient disposés en amas dans l'espace des

conformations [Noguti & Go, 1989a; Noguti & Go, 1989b; Noguti & Go, 1989c;

Noguti & Go, 1989d; Noguti & Go, 1989e]

• pour des modélisations de polypeptides [von Freyberg & Braun, 1991],

• pour la simulation de l'hydratation des protéines [Kweon et coll., 1991],

• pour l'évaluation de la distribution des ions autour de l'ADN [Le Bret

& Zimm, 1984] ou pour les estimations de paramètres de l'ADN [Le

Bret, 1980],• pour la méthode de recuit simulé ("simulated annealing") [Kirkpatrick et coll.,1983; Wilson et coll., 1991], utilisée avec la RMN dans la résolution destructures [Driscoll et coll., 1989; Nilges et coll., 1988].

Méthode de "géométrie de distance" (optionnel)Cette méthode s'applique à déterminer une structure moléculaire à partir d'unsous ensemble de distances de cette structure, ce qui est le cas pour les distancesdéterminées par effet NOE [Braun et coll., 1981; Crippen, 1977; Crippen, 1978; Crippen &Havel, 1978; Havel et coll., 1979; Havel et coll., 1983; Havel & Wüthrich, 1984; Havel &Wüthrich, 1985; Kuntz et coll., 1989; Nilges et coll., 1988; Oshiro et coll., 1991; Purisima &Sheraga, 1987]. L'essentiel de cette méthode peut se résumer au calcul des valeurset vecteurs propres d'une matrice G, dite matrice métrique. Cette matrice estconstruite à partir de la matrice initiale des distances D et ses éléments sontcalculés comme suit  :

Gii =1N

Dij2

j=1

N

∑ −1N 2 Djk

2

j, k≠1

N

∑ ,

Gij =12(Gii +Gjj − Dij

2 )

Une fois la matrice G diagonalisée, la racine carrée d'une valeur propremultipliée par son vecteur propre associé donne le vecteur projection des atomes(points) sur l'axe du vecteur propre. Ces projections sont calculées sur les troisaxes des vecteurs propres associés aux trois plus grandes valeurs propres. Cestrois axes sont donc ceux sur lesquels on a la conservation maximale desdistances, donc la reproduction la plus juste de la structure en terme de distances.Connaissant leurs projections, on en déduit la position des atomes. En RMNstructurale, les méthodes basées sur la distance géométrie sont utilisées surtoutdans le domaine des protéines [Braun & Go, 1985; Driscoll et coll., 1989; Kline et coll.,1986; Nilges et coll., 1988; Wagner et coll., 1987; Williamson et coll., 1985], mais onl'emploie aussi pour les acides nucléiques [Banks et coll., 1989; Driscoll et coll., 1989;Hare et coll., 1986a; Hare et coll., 1986b; Metzler et coll., 1990; Pardi et coll., 1988; Patel etcoll., 1987a; Patel et coll., 1987b].

RMN et modélisation

Couplages scalaires  :La comparaison des couplages scalaires du modèle et des couplagesexpérimentaux a été effectuée pour tous les modèles. Le calcul des couplages surle modèle a été programmé en se servant de l'équation de Haasnoot, De Leeuwet Altona [Haasnoot et coll., 1980; Haasnoot et coll., 1981]. Cette équation affine laformule de Karplus par la prise en compte de l'électronégativité des substituantsvoisins immédiats et seconds voisins des hydrogènes couplés (H-C-C-H).Comme on l'a vu plus haut, la formule de Karplus [Karplus, 1959] qui rapporte lecouplage en fonction de l'angle de torsion entre les deux hydrogènes est  :3J = A cos2θ + B cos θ + C,

où θ est l'angle de torsion.Haasnoot et coll. [Haasnoot et coll., 1980] montrent que la corrélation s'améliorequand on prend l'équation;3J = P1 cos2θ + P2 cos θ + P3 + - P7] [ P4 + P5 cos (θ + SiP6)2])

• les coefficients P1 à P7 ont été affinés par Haasnoot et coll. pour lescas à 1, 2, 3 ou 4 substituants (non hydrogène) portés par les deuxcarbones portant les hydrogènes couplés. Il y a donc quatre sériesde coefficients P1 à P7,

• ∆Xi est la différence d'électronégativité du substituant i avecl'hydrogène (échelle de Huggins [Huggins, 1953]), elle est corrigée parP7 ∑∆Yj, ∆Yj est la somme des différences d'électronégativité(toujours avec l'hydrogène) des voisins du substituant i, et Si lesigne du substituant i (+1 ou -1) attribué selon une convention desens par rapport à l'hydrogène voisin donnée par la figure 29.

Evidemment cette équation de Karplus améliorée n'est plus solubleanalytiquement. Dans le module, elle est résolue par la méthode de ladichotomie, et cette équation fournit, comme l'ancienne, en général quatrevaleurs d'angle de torsion pour un couplage donné.Les couplages existants dans l'ActD et dans d(CGCG)2 ont été mesurés. Cescouplages sont de deux types  : couplages 3J 1H-1H et couplages 3J 31P-1H. Lescouplages 3J 1H-1H sont déterminés expérimentalement  :

• entre les Hα et Hβ des acides aminés des pentapeptides, ce quipermet théoriquement de calculer l'angle χ1,

• et entre les protons H1', H2', H2" et H3' des désoxyriboses, ce quidonne les informations sur la pseudorotation des sucres.

Les valeurs des couplages 3J 31P-1H sont déterminées entre les phosphores de lachaîne phosphodiester et les H3' des désoxyriboses, ce qui permet d'accéder àl'angle de torsion H3'-C3'-O-P de la chaîne sucre-phosphate, ε, qui est déphaséde 120° par rapport à l'angle déterminé par le couplage.L'interprétation en terme de torsion par l'équation de Karplus généralisée esttoutefois à prendre avec précaution, car à l'échelle de temps de la RMN (≈ms) lesmouvements des atomes (≈picoseconde) donnent à ces mesures des valeursmoyennes. De plus, l'équation de Karplus - même généralisée - donne enmoyenne quatre solutions par couplage.

Figure 29  : Règle pour les signes appliqués aux substituants del'hydrogène dans l'équation de Haasnoot  [Haasnoot et coll., 1980]. Les

hydrogènes sont marqués 1 et 2, on attribue aux substituants lessignes indiqués. Cette règle revient à prendre le signe du cosinus de

l'angle entre  :

le vecteur défini entre le carbone porteur de l'hydrogène concerné etle substituant

et le produit vectoriel  :

du vecteur défini entre le carbone porteur de l'hydrogène concernéet le carbone porteur de l'hydrogène couplé

par le vecteur défini entre le carbone porteur de l'hydrogèneconcerné et le carbone porteur de l'hydrogène couplé.

La variation théorique des couplages en fonction de l'angle de torsion χ1 (entreHα-Hβ) des acides aminés non standards de l'ActD est donnée sur la figure 30.Les couplages pour la proline sont représentés figure 31 en fonction de l'angle detorsion Hα-Cα-Cβ-Hβ1. Pour les prolines, le couplage de Hα-Hβ1 et celui deHα-Hβ2 sont liés puisque le dièdre Hα-Cα-Cβ-Hβ1 fait 120° de plus queHα-Cα-Cβ-Hβ2 à cause de l'angle de valence Hβ1-Hβ2. En outre, le domaine devariation de Hβ1 est limité à environ [-60, +60] car la proline est un cycle.

0

2

4

6

8

10

12

0 90 180 270 360

Thréonine N-Méthyl-valine

Degrés

D-valine

Hertz

Figure 30  : Evolution des couplages entre Hα et Hβ pour les acidesaminés non standards de l'Actinomycine D, en fonction de χ1, calculée

selon l'équation de Haasnott et coll. [Haasnoot et coll., 1980; Haasnoot et

coll., 1981].

0

2

4

6

8

10

12

-180

-90

0 90 180

Hertz

χ1 Degrésα αβ1couplage H -H couplage H -H β2

Figure 31  : Couplages entre Hα et Hβ1 et Hα et Hβ2 dans la prolinecalculés en fonction de l'angle de torsion Hα-Hβ1. Seule la région entreenviron -60° et 60° est accessible puisque la proline est un cycle, et par

conséquent la variation de l'angle de torsion entre Hα et Hβ1Hα estlimitée.

Effet Overhauser nucléaire ( NOE )

Mécanismes de relaxation et NOELa relaxation provient des variations locales du champ magnétique. Si lafréquence d'oscillation d'un champ magnétique local est égale à la fréquence derésonance d'un spin dans le champ de l'aimant, celui ci est perturbé et unéchange d'énergie peut intervenir (relaxation). La variation locale du champmagnétique peut être due aux noyaux voisins (mouvements moléculairesinternes), à des ions paramagnétiques, aux moments magnétiques induits desliaisons chimiques. On estime que la relaxation d'un proton dans unemacromolécule est essentiellement d'origine dipolaire homonucléaire (c-à-d. dueaux protons voisins).

Densités spectralesL'amplitude du champ local Hloc(t) n'étant pas constante, on évalue sapersistance par une fonction d'autocorrélation <Hloc(t).Hloc(t+τ)> généralement

estimée par une exponentielle en -ττc  , τc étant le temps de corrélation du

mouvement du vecteur joignant les différents spins. Seule donc les fluctuations àune fréquence proche de la fréquence de Larmor ω0 du spin considéré peuventprovoquer sa relaxation par résonance. La contribution du champ local variant àune fréquence ω est obtenue par la transformée de Fourier J(ω) de la fonctiond'autocorrélation de ce champ local, et qu'on appelle densité spectrale. Dans le

cas où la fonction d'autocorrélation est une exponentielle en -ττc , on a

J(ω) = 

€

2τ c1+ω 2τ

c 2 [Solomon, 1955]. Les temps de relaxation T1 et T2 peuvent être

décrits par une relation entre les distances des spins et les fonctions de densitésspectrales.

Temps de corrélation des mouvements internesNéanmoins, il faut garder à l'esprit que la forme exacte des densités spectralesdépend du modèle du mouvement du vecteur inter-spins. Les densités spectralesdans le cas d'un ellipsoïde possédant des temps de corrélation de rotationdifférents pour les trois axes (ou pour deux seulement) ont été données parWoessner [Woessner, 1962a; Woessner, 1962b]. De même, Tropp a évalué la relaxationdans un modèle où les distances interprotons sautent aléatoirement entreplusieurs états [Tropp, 1980] (cas de la relaxation entre un proton et un méthyle).Howarth a de même explicité les densités spectrales avec un formalismes'appliquant à des mouvements internes [Howarth, 1979].King et coll. [King & Jardetzky, 1978; King et coll., 1978] ont développé un formalisme,basé sur la théorie des processus de Markov (processus probabilistes sansmémoire), qui permet de calculer les densités spectrales dans un système oùsiègent des mouvements moléculaires arbitraires. Ce formalisme a été appliqué àl'analyse de la relaxation du 13C dans une petite protéine (BPTI) [Ribeiro et coll.,1980]. Lipari et Szabo [Lipari & Szabo, 1981; Lipari & Szabo, 1982a] ont étendu etsimplifié ce formalisme, dans le cas des mouvements internes rapides. Ilsmontrent que les densités spectrales peuvent être estimées à partir d'unparamètre d'ordre généralisé, S, et d'un temps de corrélation effectif, τe, parl'équation suivante  :

J(ω) = 

€

25( S2τM1+ (τMω)

2 +(1− S2)τ1+ (τω)2

)

où τ-1 = τM-1 + τ e-1, et τM est le temps de corrélation moléculaireglobal.

La chose intéressante est que τe et S sont définis indépendamment du modèle demouvement ("model free") et peuvent toujours être obtenus des expériences derelaxation. On peut, par surcroît, les associer subséquemment à un modèle demouvement. S mesure en fait le degré de restriction spatiale du mouvement et τemesure la vitesse de ce mouvement. Ce paramètre d'ordre généralisé a été utilisédans plusieurs études expérimentales [Baleja & Sykes, 1991; Koehl & Lefèvre, 1990;Lipari & Szabo, 1982b].

Analyses basées sur la dynamique moléculaireD'autres auteurs ont utilisé la dynamique moléculaire [Levy et coll., 1982; Levy etcoll., 1981a; Levy et coll., 1981b; Withka et coll., 1991] ou le Monte Carlo [Genest, 1989]pour évaluer les fonctions d'autocorrélation des mouvements internes desmacromolécules et calculer les coefficients de relaxation obtenusexpérimentalement.

Orientation des vecteurs interprotonsDans le domaine des acides nucléiques, Keepers et James ont développé unmodèle pour les mouvements du squelette sucres-phosphates d'une l'héliced'oligonucléotide afin d'interpréter les données de relaxation du 13C et 31P grâceaux densités spectrales tirées des fonctions d'autocorrélation de cesmouvements [Keepers & James, 1982]. Withka et coll. [Withka et coll., 1990] ont évaluél'erreur faite sur le temps de corrélation effectif en supposant qu'unoligonucléotide n'a qu'un temps de corrélation de rotation. Ils ont montré qu'àpartir de dix paires de bases, il faut tenir compte de deux temps de corrélation,correspondant aux vecteurs inter-spins parallèle et perpendiculaire à l'axehélicoïdal. Les temps de corrélation des paires de protons dans l'ADN ont étéestimés expérimentalement [Baleja & Sykes, 1991; Clore & Gronenborn, 1984a; Koehl &Lefèvre, 1990]. Les temps de corrélation semblent plus faibles pour les pairesH2'-H2" que pour H5(CH3)-H6, et pour H1'-H2' que pour H2'-H2".

Effet Overhauser nucléaire (NOE)L'effet NOE ("Nuclear Overhauser Enhancement") est dû à la relaxation dipolaireentre spins. Pour deux spins, les équations de Solomon [Solomon, 1955] décrivent lacontribution de la relaxation croisée sur la variation de la magnétisationlongitudinale Mi du spin i "relaxé" par le spin j  :dMi

dt = -ρi (Mi-Mi0) - σij(Mj-Mj0)

où  :

• Mi0 et Mj0 sont les magnétisations des spins i et j à l'équilibre

• σij = w2(ij) - w0(ij)

• ρi  =w0(ij) - 2w1(i) + w2(ij) (même chose pour j)

• w0, w1, w2 sont les probabilités de transitions zéro, un et deuxquanta dues à l'interaction dipôle-dipôle des deux spins étudiés, w0est indépendant de la fréquence (il dépend de la différence defréquence des deux spins), alors que w1 et w2 en dépendentfortement.

Les probabilités de transitions wi peuvent être exprimés en fonction des densitésspectrales et donc les coefficients σ et ρ aussi [Noggle & Schirmer, 1971; Solomon, 1955] :

ρi =

€

γ 4h2

4π 2 [ 1rij 6(0,1J(ω i) + 0,3J(ω i −ω j ) + 0,6J(ω i +ω j ))]j=1,i= j

N• ,

σij =

€

γ 4h2

4Π21rij 6(0,1J(ω i) + 0,3J(ω i −ω j ) + 0,6J(ω i +ω j )) .

Dans le cas de plusieurs spins, on a [Kalk & Berendsen, 1976]  :

€

dMi

dt= −ρi(Mi −Mi0) − σ ij (M j −M j0

j /i∑ ).

Cette dernière relation est une approximation dans laquelle on néglige les effetsdus à la corrélation des mouvements de paires de protons différentes ("crosscorrelation"). Elle est à la base des calculs de la matrice dite de relaxation, qui estla matrice des coefficients de relaxation ρ et σ de tous les systèmes despins [Johnson, 1965].

PratiqueKumar et coll. [Kumar et coll., 1981] ont montré qu'on pouvait mesurer l'effet NOEpar RMN bidimensionnelle (expérience NOESY).

Mesure des volumesLes volumes des pics croisés dans les expériences bidimensionnelles NOESYpeuvent être mesurés de plusieurs manières. On peut sommer directement leshauteurs de tous les points du pic. L'estimation du volume des pics peut aussiêtre améliorée en approchant le pic expérimental par une fonctionLorentzienne [Ferretti & Weiss, 1989]. La carte NOESY est en général plus précisedans la dimension d'acquisition (F2) que dans la dimension des spectres (F1). Lamesure et le calibrage des NOEs pose quelques problèmes, à cause par exemple,des variations des lignes de base du spectre 2D, et des stratégies existent pours'affranchir partiellement du problème [Marion & Bax, 1988a; Marion & Bax, 1988b].Les NOESY effectuées ici sur les complexes du ditercalinium et de l'analogueétaient de 2048 points (F2) sur 256 points (F1).

Méthodes d'analyse des NOEsApproximation pour deux spins

L'approximation dite "à deux spins" [Clore & Gronenborn, 1985; Dobson et coll., 1982;Landy & Rao, 1989b; Olejniczak et coll., 1986; Saulitis & Liepins, 1990] est utilisée en raisonde sa simplicité [Clore & Gronenborn, 1984b]. Le développement en série de TaylorNOEij(t) = σijt + 

€

σ ikt2

k∑  + … donne, pour t petit, NOE(t) ≈ σijt. Dans ce cas, on

essaie de négliger la diffusion de spin en tirant le coefficient de relaxation σ del'approximation linéaire de la courbe du NOE en fonction du temps de mélangeaux temps de mélange faibles. Le problème est qu'aux temps de mélangesfaibles, les NOEs sont faibles aussi, d'où de grandes erreurs relatives.

Estimation par rapport à des distances de référencesDans le cas précédent, on cherche une distance entre deux protons connue et fixe(rref) dans la structure et qui se manifeste par un NOE bien visible (H5-H6 ouH2'-H2" généralement pour les oligonucléotides) et on tire la distance rijcherchée de l'approximation  :

€

rij 6

rref 6

=σ ref

σ ij

 

où  :

• σij6  : constante de relaxation du couple de protons i,j;

• σref6  : constante de relaxation du couple de protons i,jOn suppose ici  :

• que le temps de corrélation τc du vecteur interproton est le mêmeque celui de la distance de référence

• que la diffusion de spin n'est pas suffisamment développée autemps de mélange faibles et qu'elle peut être négligée.

Calcul de la matrice des NOEs

Nécessité d'une structure initiale La matrice de relaxation peut être calculée à partir d'une structure dont onconnaît les coordonnées. En effet, les densités spectrales, comme nous l'avonsdéjà vu, peuvent être calculées si on connait le temps de corrélation du vecteurinterproton. Les coefficients de relaxation sont calculés à partir de ces densitésspectrales et des distances inter-spins. Et l'équation de Solomon généralisée àplusieurs spins [Kalk & Berendsen, 1976] donne la matrice des NOE à partir de celledes coefficients de relaxation en fonction du temps de mélange par la relation := C(0)e-Γt,

où  :

• C(t) est la matrice des NOEs calculés au temps de mélange t,

• Γ est la matrice de relaxation.On peut résoudre cette équation spin par spin par intégration numérique [Forster,1991; Marion et coll., 1987]. On peut aussi la résoudre de manière matricielle. C'est laméthode de la matrice de relaxation [Borgias & James, 1988a; Borgias & James, 1988b;Borgias & James, 1989]. Pour calculer l'exponentielle de Γ, on doit diagonaliser cettedernière. En effet, si Λ est la matrice des valeurs propres de Γ, et P la matrice deses vecteurs propres, on a e-Γ = P e-Λ P-1, et Λ étant diagonale, on peut calculerdirectement son exponentielle.Yip a aussi utilisé le calcul par perturbations pour calculer la matrice desNOEs [Yip, 1989]. La méthode du calcul de la matrice de relaxation est largementutilisée dans le champ de la RMN des acides nucléiques [Broido et coll., 1985; Gochin& James, 1990; Kessler et coll., 1988b; Lancelot et coll., 1989; Massefki & Bolton, 1990;Nikonowicz et coll., 1990; Powers et coll., 1990; Schmitz et coll., 1991; Suzuki et coll., 1986; Zhouet coll., 1987]. On a aussi tenté de formaliser l'approche de la matrice de relaxationpar l'adjonction d'une matrice cinétique dans les systèmes sujets à des échangeschimiques [Landy & Rao, 1989a]. L'échange et la relaxation sont intriqués dans l'effet

NOE et les études à ce sujet sont nombreuses [Lane, 1990; Lane, 1988; Lane & Forster,1989; Lane et coll., 1986; Olejniczak et coll., 1984].

Méthode de la matrice "hybride"La méthode de la matrice "hybride" [Bremer et coll., 1984; Olejniczak et coll., 1986; Perrin& Gipe, 1984] est basée sur l'équation de Solomon généralisée à plusieurs spins. Ils'agit d'utiliser la relation  :

Γ = -1tm  Ln[ 

€

A(tm )A(0)

 ],

où  :

• A(tm) est la matrice des NOEs au temps de mélange tm,

• Γ est la matrice de relaxation.Cette méthode est largement utilisée [Boelens et coll., 1988; Boelens et coll., 1989;Borgias & James, 1988b; Gochin & James, 1990; Kaluarachchi et coll., 1991; Nikonowicz et coll.,1990; Powers & Gorenstein, 1990; Powers et coll., 1990]. Il faudrait connaître la matricecomplète des NOEs pour résoudre cette équation. Etant donné qu'on ne connaîtjamais (dans le cas des macromolécules) la matrice complète, mais seulement unepartie de celle-ci, on complète les pics manquants par un calcul de matrice derelaxation sur une structure de départ qu'on suppose être relativement voisinede celle cherchée. La matrice est alors dite "hybride", puisqu'elle contient desNOEs calculés (sur la structure de départ) et des NOEs expérimentaux. Pourcalculer son logarithme, on doit diagonaliser cette matrice. Dans cettediagonalisation, des problèmes de valeurs propres négatives, dont on ne peutcalculer le logarithme, surgissent, auxquels chacun apporte une correctiondifférente  : augmentation de toutes les valeurs propres pour les rendrepositives [Borgias & James, 1988b], changement graduel dans la matrice "hybride"des NOEs calculés en NOEs observés en ajoutant une petite fraction de ladifférence NOE calculé - NOE observé au NOE calculé [Boelens et coll., 1989]. Dansl'article III, nous montrons que, dans notre cas, les valeurs propres négativesempêchent tout calcul dès que les NOEs expérimentaux sont un peu bruités.

Minimisation des NOEs par rapport aux coordonnées cartésiennesPour se débarrasser des problèmes liés à la matrice "hybride", on peut essayer deminimiser l'écart entre les NOEs observés et les NOEs calculés sur une structurede départ. Il faut pour utiliser cette méthode avoir le gradient de cet écart parrapport aux coordonnées de la structure. Un minimiseur à métrique variableutilise ce gradient dans la recherche du minimum de l'écart NOEs observés -NOEs calculés (voir chapitre minimiseurs). Différentes études, basées sur le calculintermédiaire de la matrice de relaxation, calculent ce gradientnumériquement [Baleja, 1992; Baleja et coll., 1990a], ou analytiquement, par uneapproximation [Koehl & Lefèvre, 1990] ou exactement [Yip & Case, 1989].L'approximation dite à deux spins peut aussi être utilisé à la place de la matrice derelaxation pour calculer ce gradient [Bonvin & Kaptein, 1991]. Une approche itérativebasée sur une minimisation par les gradients conjugués de la différence entre les

NOEs observés et les NOEs calculés sur un modèle, avec une estimation dupremier ordre pour le gradient, a été récemment publiée [Robinson & Wang, 1992].Dans la méthode utilisée ici, il faut connaître analytiquement la dérivée de lamatrice des NOEs par rapport aux coefficients de relaxation de la matrice derelaxation, puis la dérivée de cette matrice par rapport aux coordonnées. Il fautdonc calculer la dérivée de l'exponentielle d'une matrice par rapport à unematrice. C'est un résultat connu [Graham, 1981], et on a ainsi  :∂Cab∂Γij  = Σ,

mn PamPbnPimPjn f[t])

où  :

• f[t] = 

€

eγ nt − eγ mt

γ n − γm, si m ≠ n, sinon f(t) = t e

€

γ mt

• C est la matrice des NOEs calculés sur la structure,

• γn, γm sont les nième et mième valeurs propres de Γ,

• P est la matrice des vecteurs propres de Γ.Il suffit de dériver les Γij (qui ne sont rien d'autre que les coefficients derelaxation ρ et σ) par rapport aux coordonnées pour avoir la dérivée complètecherchée. Comme il est montré dans l'article III, il faut choisir le facteur d'échelleentre NOEs observés et NOEs calculés avec soin pour que le minimiseursubséquemment utilisé ne s'exerce pas sur lui en le rendant nul.Des calculs théoriques extensifs sur un octanucléotide sont développés dansl'article III. Ainsi, la méthode semble beaucoup plus stable que la méthode de lamatrice "hybride" et elle donne des estimations meilleures au point de vue desdistances (voir article III). Il faut noter à ce point que les temps de corrélationutilisés sont arbitraires, ils peuvent être différents pour différents vecteursinterprotons ou bien avoir tous la même valeur. Le problème des mouvementsinternes reste entier et une approche pour en tenir compte est donnée dans leparagraphe suivant.

Minimisation des NOEs par rapport aux temps de corrélationEn effet, on peut aussi minimiser l'écart NOEs observés - NOEs calculés parrapport aux temps de corrélation dont les coefficients de relaxation dépendentaussi. La procédure est la même qu'au dessus pour la minimisation par rapportaux coordonnées cartésiennes, sauf qu'on dérive cette fois les coefficients derelaxation par rapport à des temps de diffusion atomiques τi . Les temps dediffusion atomiques des protons i et j, τi et τj, sont définis par :

€

1τ ij

=1τ i

+1τ j

τij étant le temps de corrélation du vecteur interproton entre i et j.Cette minimisation par rapport aux temps de diffusion a été tentée dans l'articleIII. La procédure semble plus "fragile" que la minimisation par rapport auxcoordonnées cartésiennes, et il semble qu'elle devrait être appliquée après laprocédure de minimisation par rapport aux coordonnées cartésiennes et après

minimisation d'énergie de la structure, afin de résoudre les écarts encoreobservés sur une structure jugée valide.

Minimisation généralisée des NOEs et de l'énergieOn peut évidemment minimiser à la fois les NOEs et l'énergie [article III]. Cetteprocédure est toutefois complexe dans la mesure où il faut fixer les prioritésrespectives des potentiels NOE et énergétique, et que les résultats obtenus endépendent évidemment.

Références bibliographiques

Adby, P. R. et Dempster, M. A. H. (1974). "Introduction to optimization methods". Chapmanand Hall Ltd, London.Allinger, N. (1977). "Conformational Analysis. 130. MM2. A hydrocarbone force field utilizingV1 and V2 torsional terms". J. Amer. Chem. Soc., 99 (25), 8127-8134.Angerman, N. S., Victor, T. A., Bell, C. L. et Danyluk, S. S. (1972). "A proton magnetic resonancestudy of the aggregation of Actinomycin D in D2O". Biochemistry, 11 (13), 2402-2411.Arnott, S., Dover, S. D. et Wonacott, A. J. (1969). "Least-squares refinement of the crystal andmolecular structure of DNA and RNA from X-ray data and bond length and angles". ActaCryst., 25 , 2192-2206.Arnott, S. et Hukins, D. W. L. (1972). "Optimized parameters for A-DNA and B-DNA".Biochem. Biophys. Res. Commun., 47 (6), 1504-1509.Arnott, S. et Hukins, D. W. L. (1973). "Refinement of the structure of B-DNA and implicationsfor the analysis of X-ray diffraction data from fibers of biopolymers". J. Mol. Biol., 81 , 93-105.Arnott, S., Hukins, D. W. L., Dover, S. D., Fuller, W. et Hodgson, A. R. (1973). "Structures ofsynthetic polynucleotides in the A-RNA and A' -RNA conformations: X-ray diffractionanaluyses of the molecular conformations of polyadenylic acid.Polyuridylic acid andPolyinosinic acid.Polycytidylic acid". J. Mol. Biol., 81 , 107-122.Aue, W. P., Bartholdi, E. et Ernst, R. R. (1976). "Two-dimensional spectroscopy. Application tonuclear magnetic resonance". J. Chem. Phys., 64 (5), 2229-2246.Baleja, J. D. (1992). "NOE-based structure determination without the use of NMR derivedinterproton distances". J. Magn. Reson., 96 , 619-623.Baleja, J. D., Moult, J. et Sykes, B. D. (1990a). "Distance measurement and structure refinementwith NOE data". J. Magn. Reson., 87 , 375-384.Baleja, J. D., Pon, R. T. et Sykes, B. D. (1990b). "Solution structure of phage λ half-operatorDNA by use of NMR, restrained molecular dynamics, and NOE based refinement".Biochemistry, 29 , 4828-4839.Baleja, J. D. et Sykes, B. D. (1991). "Correlation time adjustement factors for NOE-basedstructure refinement". J. Magn. Reson., 91 , 624-629.Banks, K. M., Hare, D. R. et Reid, B. R. (1989). "Three-dimensional solution structure of a DNAduplex containing the BclI restriction sequence: Two-dimensional NMR studies, distancegeometry calculations, and refinement by back-calculation of the NOESY spectrum".Biochemistry, 28 , 6996-7010.Banville, D. L., Feuerstein, B. G. et Shafer, R. H. (1991). "1H and 31P nuclear magneticresonance studies of spermine binding to the Z-DNA form of d(m5CGm5CGm5CG)2 - evidencefor decreased spermine mobility". J. Mol. Biol., 219 , 585-590.Bash, P. A., Field, M. J. et Karplus, M. (1987a). "Free energy perturbation method for chemicalreactions in the condensed phase: A dynamical approach based on a combined quantum andmolecular mechanics potential". J. Am. Chem. Soc., 109 , 8092-8094.Bash, P. A., Singh, U. C., Landridge, R. et Kollman, P. A. (1987b). "Free energy calculations bycomputer simulation". Science, 236 , 564-568.

Bax, A. et Davis, D. G. (1985). "MLEV-17-based two-dimensional homonuclear magnetizationtransfer spectroscopy". J. Magn. Reson., 65 , 355-360.Bendirdjian, J. P., Delaporte, C., Roques, B. P. et Jacquemin-Sablon, A. (1984). "Effect of 7H-pyridocarbazole mono- and bifunctional DNA intercalators on Chinese hamster lung cells invitro". Biochem. Pharmacol., 33 , 3681-3688.Berendsen, H. C. J., Postma, J. P. M., van Gunsteren, W. F., DiNola, A. et Haak, J. R. (1984)."Molecular dynamics with coupling to an external bath". J. Chem. Phys., 81 (8), 3684-3690.Besler, B., Mertz Jr, K. M. et Kollman, P. A. (1990). "Atomic charges derived fromsemiempirical methods". J. Comp. Chem., 11 (4), 431-439.Beveridge, D. L. et DiCapua, F. M. (1990). "Free energy via molecular simulations: A primer".dans Computer Simulation of Biomolecular Systems: Theoretical and experimentalapplications , pp. 1-26, .Binkley, J. S., Pople, J. A. et Hehre, W. J. (1980). "Self consistent molecular orbital methods. 21.Small split-valence basis sets for first-row elements". J. Amer. Chem. Soc., 102 , 939-947.Birdsall, B. B., Birdsall, N. J. M., Feeney, J. et Thornton, J. (1975). "A nuclear magneticresonance investigation of the conformation of Nicotinamide mononucleotide in aqueoussolution". J. Amer. Chem. Soc., 97 (10), 2845-2850.Bodenhausen, G., Freeman, R. et Turner, D. L. (1977). "Suppression of artifact in two-dimensional J spectroscopy". J. Magn. Reson., 27 , 511-514.Boelens, R., Koning, T. M. G. et Kaptein, R. (1988). "Determination of biomolecular structuresfrom proton-proton NOE's using a relaxation matrix approach". J. Mol. Struct., 173 , 299-311.Boelens, R., Koning, T. M. G., Van der Marel, G. A., van Boom, J. H. et Kaptein, R. (1989)."Iterative procedure for structure determination from proton-proton NOEs using a fullrelaxation matrix approach. Application to a DNA octamer". J. Magn. Reson., 82 , 290-308.Bonvin, A. M. J. J. et Kaptein, R. (1991). "Direct NOE refinement of biomolecular structures using2D NMR data". J. Biomol. NMR, 1 , 305-309.Borgias, B. A. et James, T. L. (1988a). "COMATOSE: A method for constrained refinement ofmacromolecular structure based on 2D NOE spectra". J. Magn. Reson., 79 , 493-512.Borgias, B. A. et James, T. L. (1988b). "MARDIGRAS: A procedure for Matrix Analysis ofRelaxation for Discerning Geometry of an Aqueous Structure". J. Magn. Reson., 87 , 475-487.Borgias, B. A. et James, T. L. (1989). "Two-dimensional nuclear Overhauser effects: Completerelaxation matrix analysis". Meth. Enzym., 176 , 169-183.Braun, W., Bösch, C., Brown, L. R., Go, N. et Wüthrich, K. (1981). "Combined use of proton-proton Overhauser enhancements and a distance geometry algorithm for determination ofpolypeptide conformations: Application to micelle-bound glucagon". Bioch. Biophys. Acta, 667 ,377-396.Braun, W. et Go, N. (1985). "Calculation of Protein Conformations by proton-proton distanceconstraint: A new efficient algorithm". J. Mol. Biol., 186 , 611-626.Bremer, J., Mendz, G. L. et Moore, W. J. (1984). "Skewed Exchange Spectroscopy. Two-Dimensional Method for the Measurement of Cross Relaxation in 1H NMR Spectroscopy". J.Am. Chem. Soc., 106 , 4691-4696.Broido, M. S., James, T. L., Zon, G. et Keepers, J. W. (1985). "Investigation of the solutionstructure of a DNA octamer [d(GGAATTCC)]2 using two-dimensional nuclear Overhauserenhancement spectroscopy.". Eur. J. Biochem., 150 , 117-128.Brooks, B. R., Bruccoleri, R. E., Olafson, B. D., States, D. J., Swaminathan, S. et Karplus, M.(1983). "CHARMM: A program for macromolecular energy, minimisation, and dynamicscalculations.". J. Comp. Chem., 4 (2), 187-217.Brown, S. C., Mullis, K., Levenson, C. et Shafer, R. H. (1984). "Aqueous solution structure on anintercalated actinomycin D-dATGCAT complex by two-dimensional and one-dimensionalproton NMR". Biochemistry, 23 , 403-498.Brunck, T. K. et Weinhold, F. (1979). "Quantum-mechanical studies on the origin of barriers tointernal rotation about single bonds". J. Amer. Chem. Soc., 101 (7), 1660-1665.Bunte, T., Novak, U., Friedrich, R. et Moelling, K. (1980). "Effect of actinomycin D on nucleicacid hybridization: The cause of erroneous DNA elongation during DNA synthesis of RNAviruses in vitro.". Bioch. Bioph. Acta., 610 , 241-247.Capelle, N., Barbet, J., Dessen, P., Blanquet, S., Roques, B. P. et Le Pecq, J. B. (1979)."Deoxyribonucleic acid bifunctional intercalators: Kinetic investigation of the binding ofseveral acridine dimers to deoxyribonucleic acid". Biochemistry, 18 , 3354-3362.

Cavanagh, J., Chazin, W. J. et Rance, M. (1990). "The time dependence of coherence transfer inhomonuclear isotropic mixing experiments". J. Magn. Reson., 87 , 110-131.Chen, F. M. (1988a). "Binding specificities of actinomycin D to self-complementarytetranucleotide sequences -XGCY-". Biochemistry, 27 , 6393-6397.Chen, F. M. (1988b). "Kinetic and equilibrium binding studies of actinomycin D with somed(TGCA)-containing dodecamers". Biochemistry, 27 , 1843-1848.Chirlian, L. E. et Francl, M. M. (1987). "Atomic charges derived from electrostatic potentials: Adetailed study". J. Comp. Chem., 8 (6), 894-905.Ciccotti, G., Ferrario, M. et Ryckaert, J.-P. (1982). "Molecular dynamics of rigid systems incartesian coordinates. A general formulation". Mol. Phys., 47 , 1253-1264.Cieplak, P., Bash, P., Singh, U. C. et Kollman, P. A. (1987). "A theoretical study oftautomerism in the gas phase abd aqueous solution: A combined use of the "state-of-the-art" abinitio quantum mechanics and free energy perturbation methods". J. Am. Chem. Soc., 109 , 6283-6289.Cieplak, P. et Kollman, P. A. (1991). "On the use of electrostatic potential derived charges inmolecular mechanics force fields. The relative solvation free energy of cis- and trans-N-Methyl-Acetamide". J. Comp. Chem., 12 (10), 1232-1236.Cieplak, P., Rao, S. N., Grootenhuis, P. D. J. et Kollman, P. A. (1990). "Free energy calculationon base specificity of drug-DNA interactions: Application to daunomycine and acridineintercalation into DNA". Biopolymers, 29 , 717-727.Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1981). "A nuclear-Overhauser-enhancement study of thesolution structure of a double-stranded DNA undecamer comprising a portion of the specifictarget site for the cyclic-AMP-receptor protein in the gal operon. Sequential resonanceassignment.". Eur. J. Biochem., 14 , 9-136.Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1984a). "Internal mobility in a double-stranded B DNAhexamer and undecamer . A time-dependent proton-proton nuclear Overhauser enhancementstudy.". FEBS Lett., 172 (2), 219-226.Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1984b). "Interproton distance measurements in solution for adouble-stranded DNA undecamer comprising a porton of the specific target site for the cyclicAMP receptor protein in the gal-operon. A nuclear Overhauser enhancement study.". FEBSLett., 175 (1), 117-123.Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1985). "Assessment of errors involved in determination ofinterproton distances ratios and distances by means of one- and two-dimensional NOEmeasurements". J. Magn. Res., 61 , 158-164.Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1991). "Two-, three-, and four-dimensional NMR methods forobtaining larger and more precise three-dimensional structures of proteins in solution". Ann.Rev. Biophysics Biophys. Chem., 20 , 29-63.Clore, G. M., Gronenborn, A. M., Brünger, A. T. et Karplus, M. (1985). "Solution conformation of aheptadecapeptide comprising the DNA binding helix F of the cyclic AMP receptor protein ofEscherishia coli. Combined use of 1H nuclear magnetic resonance and restrained moleculardynamics.". J. Mol. Biol., 186 , 435-455.Cognet, J. A. H., Gabarro-Arpa, J., Cuniasse, P., Fazakerley, G. V. et Le Bret, M. (1990)."Molecular mechanics and dynamics of an abasic frameshift and comparison to NMR data". J.Biomol. Struct. Dyn., 7 (5), 1095-1115.Cohen, G. et Eisenberg, H. (1969). "Viscosity and Sedimentation Study of Sonicated DNA-Proflavine Complexes". Biopolymers, 8 , 45-55.Creighton, S., Rudolph, B., Lybrand, T. P., Singh, U. C., Shafer, R. H., Brown, S., Kollman, P.A., Case, D. A. et Andrea, T. (1989). "A combined 2D-NMR and molecular dynamics analysis ofthe structure of the Actinomycin D: d(ATGCAT)2 complex". J. Biomol. Struct. Dyn., 6 (5), 929-969.Crippen, G. M. (1977). "A novel approach to the calculation of conformation: Distancegeometry". J. Comp. Phys., 24 , 96-107.Crippen, G. M. (1978). "Rapid calculation of coordinates from distance matrices". J. Comp.Phys., 26 , 449-452.Crippen, G. M. et Havel, T. F. (1978). "Stable circulation of coordinates from distanceinformation.". Acta Cryst., 34 , 282-284.

Crothers, D. M. (1971). "Statistical thermodynamics of nucleic acid melting transitions withcoupled binding equilibria". Biopolymers, 10 , 2147-2160.Crothers, D. M., Sabol, S. L., Ratner, D. I. et Müller, W. (1968). "Studies concerning thebehavior of actinomycin in solution". Biochemistry, 5 , 1817-1823.Cuniasse, P., Sowers, L. C., Eritja, R., Kaplan, B., Goodman, M. F., Cognet, J. A. H., Le Bret, M.,Guschlhauer, W. et Fazakerley, G. V. (1987). "An abasic site in DNA. Solution conformationdetermined by proton NMR and molecular mechanics calculations.". Nucleic Acids Res., 15 (19),8003- 8022.Davies, D. B. et Danyluk, S. (1974). "Nuclear magnetic resonance studies of 5'-ribo- anddeoxyribonucleotide structures in solution". Biochemistry, 13 (21), 4417-4434.De Leeuw, F. et Altona, C. (1982). "Component vicinal coupling constants for calculating sidechain conformations in amino acids". Int. J. Peptide Protein Res., 20 , 120-125.De Leeuw, F. A. A. M. et Altona, C. (1983). "Computer-assisted pseudorotation analysis of five-membered rings by means of proton spin-spin coupling constants: Program PSEUROT". J. Comp.Chem., 4 (3), 428-437.De Leeuw, F. A. A. M., Haasnoot, C. A. G. et Altona, C. (1984). "Calculation of NMR spin-spincoupling constants using the extended Hückel molecular orbital method". J. Amer. Chem. Soc.,106 (8), 2299-2306.Dewar, M. J. S. et Thiel, W. (1977a). "Ground states of molecules. 38. The MNDO method.Approximations and parameters". J. Amer. Chem. Soc., 99 , 4899-4906.Dewar, M. J. S. et Thiel, W. (1977b). "Ground states of molecules. 39. MNDO results formolecules containing hydrogen, carbon, nitrogen, and oxygen". J. Amer. Chem. Soc., 99 , 4907-4917.Dewar, M. J. S., Zoebisch, E. G., Healy, E. F. et Stewart, J. J. P. (1985). "AM1: A new generalpurpose quantum mechanical molecular model". J. Amer. Chem. Soc., 107 , 3902-3909.Dickerson, R. E., Bansal, M., Calladine, C. R., Diekman, S., Hunter, W. N., Lavery, R., Nelson,H. C. M., Olson, W. K., Saenger, W., Shakked, Z., Sklenar, H., Soumpasis, D. M., Tung, C.-S.,Kitzing, E. V., Wang, A. H.-J. et Zhurkin, V. B. (1989). "Definitions and nomenclature of nucleicacid structure parameters". J. Biomol. Struct. Dyn., 6 (4), 627-634.Dillen, J. L. M. (1992). "PEFF: A program for the development of empirical force field". J. Comp.Chem., 13 (3), 257-267.Dobson, C. M., Lian, L.-Y., Redfield, C. et Topping, K. D. (1986). "Measurement of hydrogenexchange rate using 2D NMR spectroscopy". J. Magn. Reson., 69 , 201-209.Dobson, C. M., Olejnicjak, E. T., Pulsen, F. M. et Ratcliffe, R. G. (1982). "Time development ofproton nuclear Overhauser effects in proteins". J. Magn. Reson., 48 , 97-110.Durup, J. (1990). "Les méthodes de trajectoires classiques pour l' étude des systèmesmacromoléculaires". J. Chim. Phys., 87 , 647-682.Durup, J. (1991). "Protein molecular dynamics constrained to slow modes. Theoretical approachbased on a hierarchy of local modes with a set of holonomic constraints: The method and itstests on citrate synthase". J. Phys. Chem., 95 , 1817-1829.Emsley, L. et Bodenhausen, G. (1990). "Volume-selective NMR spectroscopy with self-refocusing pulses". J. Magn. Reson., 87 , 1-17.Ermer, O. et Lifson, S. (1973). "Consistent force field calculations. III. Vibrations,conformations, and heats of hydrogenation of nonconjugated olefins". J. Amer. Chem. Soc., 95 ,4121-4132.Ernst, R. R., Bodenhausen, G. et Wokaun, A. (1987). "Principles of Nuclear Magnetic Resonancein One and Two Dimensions". Clarendon Press, Oxford.Esnault, C., Brown, S. C., Segal-Bendirdjian, E., Coulaud, D., Mishal, Z., Roques, B. P. et LePecq, J. B. (1990). "Selective alteration of mitochondrial function by ditercalinium (NSC335153), a DNA bisintercalating agent". Biochem. Pharm., 39 (1), 109-122.Fletcher, R. et Powell, M. J. D. (1963). "A rapidly convergent descent method for minimization".Computer J., 6 , 163-168.Fletcher, R. et Reeves, C. M. (1964). "Function minimization by conjuguate gradients". ComputerJ., 7 , 149-154.Forster, M. J. (1991). "Comparison of computational methods for simulating NOE in NMRspectroscopy". J. Comp. Chem., 12 (3), 292-300.

Gabarro-Arpa, J., Cognet, J. A. H. C. et Le Bret, M. (1992). "Object Command Language: Aformalism to build molecular models and to analyze structural parameters in macromolecules".J. Mol. Graph., in press .Gelin, B. et Karplus, M. (1979). "Side-chain torsional potentials: Effect of dipeptide, protein,and solvent environnement". Biochemistry, 18 , 1256-1268.Genest, D. (1989). "A Monte-Carlo simulation study of the influence of internal motions on themolecular conformation deduced from 2D experiments". Biopolymers, 28 , 1903-1911.Giessner-Prettre, C. (1984). "Ab initio quantum mechanical calculations of NMR chemicalshifts in nucleic acids constituents. I. The Watson-Crick base pairs". J. Biomol. Struct. Dyn., 2 ,233-248.Giessner-Prettre, C. (1985). "Ab initio quantum mechanical calculations of NMR chemicalshifts in nucleic acids constituents. II. Conformational dependence of the 1H and 13C chemicalshifts in the ribose". J. Biomol. Struct. Dyn., 3 , 145-160.Giessner-Prettre, C. (1986). "Ab initio quantum mechanical calculations of NMR chemicalshifts in nucleic acids constituents. III. Chemical shift variations due to base stacking". J.Biomol. Struct. Dyn., 4 , 99-110.Giessner-Prettre, C. et Pullman, B. (1970). "Intermolecular Nuclear Shielding Values forProtons of Purines and Flavins". J. Theor. Biol., 27 , 87-95.Giessner-Prettre, C. et Pullman, B. (1976). "BIOPHYSIQUE MOLECULAIRE. Sur les courbesd'isoécran des protons dans quelques agents s'intercalant dans les acides nucleiques". C. R. Acad.Sc. PARIS, 283 (D), 675-677.Giessner-Prettre, C. et Pullman, B. (1987). "Quantum mechanical calculations of NMR chemicalshifts in nucleic acids". Q. Rev. Biophys., 20 (3/4), 113 - 172.Giessner-Prettre, C., Pullman, B., Ribas-Prado, F., Cheng, D., Iuorno, V. et Ts'o, P. O. P. (1984)."Contributions of the PO Ester and CO torsion Angles of the Phosphate Group to 31P-NuclearMagnetic Shielding Constant in Nucleic Acids: Theoretical and Experimental Study of ModelCompounds". Biopolymers, 23 , 377-388.Gochin, M., Zon, G. et James, T. L. (1990). "Two-dimensional COSY and NOE and two-dimensional NOE spectroscopy of d(AC)4.d(GT)4 : Extraction of structural constraints".Biochemistry, 29 , 11161-11171.Gorenstein, D. G. (1975). "Dependence of 31P chemical shifts on oxygen-phosphorus-oxygen bondangles in phosphate esters". J. Amer. Chem. Soc., 97 , 898-900.Gorenstein, D. G. (1984a). "Phosphorus 31 NMR: Principles and Applications". Academic Press,New York.Gorenstein, D. G. (1984b). "Phosphorus-31 spin-spin coupling constants: Principles andApplications". dans Phosphorus 31 NMR: Principles and Applications , pp. 37-53, AcademicPress, New York.Gorenstein, D. G. et Kar, D. (1975). "31P chemical shifts in phosphate diesters monoanoins.Bond angle and torsional angle effects.". Biochem. Biophys. Res. Com., 65 (3), 1073-1080.Graham, A. (1981). "Kronecker products and matrix calculus with applications". John Wiley &Sons Ltd, New York.Griesinger, C., Sorensen, O. W. et Ernst, R. R. (1987). "Novel three-dimensional NMRtechniques for studies of peptides and biological macromolecules". J. Amer. Chem. Soc., 109 ,7227-7228.Griesinger, C., Sorensen, O. W. et Ernst, R. R. (1989). "Three-dimensional fourier spectroscopy.Application to high-resolution NMR". J. Magn. Res., 84 , 14-63.Gronenborn, A. M. et Clore, G. M. (1984). "Investigation of the solution structures of short nucleicacid fragments by means of nuclear Overhauser enhancement measurements". Prog. NMRSpectrosc., 17 , 1-32.Haasnoot, C. A. G., De Leeuw, F. et Altona, C. (1980). "The relationship between proton-protonNMR coupling constants and substituent electronegativities. An empirical generalization of theKarplus equation.". Tetrahedron, 36 , 2783-2792.Haasnoot, C. A. G., De Leeuw, F. A. A. M., De Leeuw, H. P. M. et Altona, C. (1981)."Relationship between proton-proton NMR coupling constants and substitutentelectronegativities. III. Conformational analysis of proline rings in solution using a generalizedKarplus equation". Biopolymers, 20 , 1211-1245.

Havel, T. F., Krippen, G. M. et Kuntz, I. D. (1979). "Effects of distance constraints onMacromolecular Conformation. II. Simulation of experimental results and theoreticalpredictions". Biopolymers, 18 , 73-81.Havel, T. F., Kuntz, I. D. et Krippen, G. M. (1983). "The theory and practice of distancegeometry". Bull. Math. Biol., 45 (5), 665-720.Havel, T. F. et Wüthrich, K. (1984). "A distance geometry program for determining thestructures of small proteins and other macromolecules from nuclear magnetic resonancemeasurement of 1H -1H proximities in solution". Bull. Math. Biol., 46 (4), 673-698.Havel, T. F. et Wüthrich, K. (1985). "An evaluation of the combined use of Nuclear Magneticresonance and distance geometry for the determination of protein conformations in solution". J.Mol. Biol., 182 , 281-294.Hosur, R. V., Govil, G. et Miles, H. T. (1988). "Application of two-dimensional NMRspectroscopy in the determination of solution conformation of nucleic acids". Magn. Res. Chem.,26 , 927-944.Hosur, R. V., Kumar, M. R. et Sheth, A. (1985). "Resolution enhancement by ω1 chemical-shiftscaling in two-dimensional homonuclear correlated spectroscopy". J. Magn. Reson., 65 , 375-381.Howarth, O. W. (1979). "Effect of internal librational motions on the 13C nuclear magneticresonance relaxation times of polymers and peptides". J. Chem. Soc., Faraday Trans. 2, 75 , 863-873.Huggins, M. L. (1953). "Bond energies and polarities". J. Amer. Chem. Soc., 75 (17), 4123-4126.Jardetzky, O. (1980). "On the nature of molecular conformations inferred from high-resolutionNMR". Bioch. Bioph. Acta, 621 , 227-232.Johnson, C. S. J. (1965). "Chemical rate processes and magnetic resonance". Adv. Magn. Res., 1 ,33-102.Kalk, A. et Berendsen, H. J. C. (1976). "Proton magnetic relaxation and spin diffusion inproteins". J. Magn. Reson., 24 , 343-366.Kaluarachchi, K., Meadows, R. P. et Gorenstein, D. G. (1991). "How accurately canoligonucleotide structures be determined from the hybrid relaxation rate matrix/ NOESYdistance restrained molecular dynamics approach ?". Biochemistry, 30 , 8785-8797.Karplus, M. (1959). "Contact electron-spin coupling of nuclear magnetic moments". J. Chem.Phys., 30 (1), 11-15.Karplus, M. (1963). "Vicinal proton coupling in nuclear magnetic resonance". J. Amer. Chem.Soc., 85 , 2870-2871.Karplus, M. et Petsko, G. A. (1990). "Molecular Dynamics simulations in biology". Nature, 347 ,631-639.Kay, L. E., Marion, D. et Bax, A. (1989). "Practical aspects of 3D heteronuclear NMR ofproteins". J. Magn. Res., 84 , 74-84.Keepers, J. W. et James, T. L. (1982). "Models for DNA backbone motions: an interpretation ofNMR relaxation experiments". J. Am. Chem. Soc., 104 , 929-939.Keepers, J. W., Kollman, P., Weiner, P. K. et James, T. L. (1982). "Molecular-mechanical studiesof DNA flexibility: coupled backbone torsion angles and base-pair openings". Proc. Natl. Acad.Sci. USA, 79 , 5537-5541.Kemmink, J., Boelens, R., Koning, T. M. G., Kaptein, R., van der Marel, G. A. et van Boom, J. H.(1987). "Conformational changes in the oligonucleotide duplex d(GCGTTGCG)•d(CGCAACGC)induced by formation of a cis-syn thymine dimer". Eur. J. Biochem., 162 , 37-43.Kerwood, D. J., Zon, G. et James, T. L. (1991). "Structure determination of [d(atatatauat)]2 viatwo-dimensional NOE spectroscopy and molecular dynamics calculations". Eur. J. Biochem.,197 , 583-595.Kessler, H., Gehrke, M. et Griesinger, C. (1988a). "Two-dimensional NMR spectroscopy:Background and overview of the experiments". Ang. Chem., 27 (4), 490-536.Kessler, H., Griesinger, C., Lautz, J., Müller, A., van Gunsteren, W. F. et Berendsen, H. J. C.(1988b). "Conformational dynamics detected by NMR NOE values and J coupling constants". J.Am. Chem. Soc., 110 , 3393-3396.King, R. et Jardetzky, O. (1978). "A general formalism for the analysis of NMR relaxationmeasurements on systems with multiple degrees of freedom". Chem. Phys. Lett., 55 (1), 15-18.

King, R., Maas, R., Gassner, M., Nanda, R. K. et Conover, W. W. (1978). "Magnetic Relaxationanalysis of Dynamic Processes in Macromolecules in the Pico- to Microsecond range". Biophy. J.,6 , 103-114.Kirkpatrick, S., Gelatt Jr, C. D. et Vecchi, M. P. (1983). "Optimization by simulatedannealing". Science, 220 (4598), 671-680.Kline, A. D., Braun, W. et Wüthrich, K. (1986). "Studies by 1H nuclear magnetic resonance anddistance geometry of the solution conformation of the α-amylase inhibitor tendamistat". J. Mol.Biol., 189 , 377-382.Koehl, P. et Lefèvre, J.-F. (1990). "The reconstruction of the relaxation matrix from anincomplete set of NOE". J. Magn. Reson., 86 , 565-583.Kollman, P. A., Weiner, P. K. et Dearing, A. (1981). "Studies of nucleotide conformations andinteractions. The relative stabilities of double-helical B-DNA sequence isomers".Biopolymers, 20 , 2583-2621.Kumar, A., Wagner, G., Ernst, R. R. et Wüthrich, K. (1981). "Buildup rates of the NOEmeasured by 2D Proton Magnetic Resonance Spectroscopy: Implication for studies of proteinconformation". J. Am. Chem. Soc., 103 , 3654-3658.Kweon, G. Y., Sheraga, H. A. et Jhon, M. S. (1991). "Monte Carlo treatment of hydration ofmodels for side chains of proteins". J. Phys. Chem., 95 , 8964-8968.Lancelot, G., Guesnet, J.-L. et Vovelle, F. (1989). "Solution structure of the parallel-strandedduplex oligonucleotide α-d(TCTAAAC)-β-d(AGATTTG) via complete relaxation matrixanalysis of the NOE effects and molecular mechanics calculations". Biochemistry, 28 , 7871-7878.Landy, S. B. et Rao, B. D. N. (1989a). "Dynamical NOE in multiple-spin systems undergoingchemical exchange". J. Magn. Reson., 81 , 371-377.Landy, S. B. et Rao, B. D. N. (1989b). "Influence of molecular geometry on uncertainty indistances determined from NOE". J. Magn. Reson., 83 , 29-43.Lane, A. (1990). "The determination of the conformational properties of nucleic acids in solutionfrom NMR data". Biochim. Biophys. Acta, 1049 , 189-204.Lane, A. N. (1988). "The influence of spin diffusion and internal motions on NOE intensities inproteins". J. Magn. Reson., 78 , 425-439.Lane, A. N. et Forster, M. J. (1989). "Determination of internal dynamics deoxyriboses in theDNA hexamer d(CGTACG)2 by 1H NMR". J. Eur. Biophys., 17 , 221-232.Lane, A. N., Jenkins, T. C., Brown, T. et Neidle, S. (1991). "Interaction of berenil with the Ecoridodecamer d(CGCGAATTCGCG)2 in solution studied by NMR". Biochemistry, 30 , 1372-1385.Lane, A. N., Lefèvre, J.-F. et Jardetzky, O. (1986). "A method for evaluationg correlation timesfor tumbling and internal motion in macromolecules using cross-relaxation rate constants fromproton NMR spectra". J. Magn. Reson., 66 , 201-218.Lankhorst, P. P., Haasnoot, C. A. G., Erkelens, C. et Altona, C. (1984). "Carbon-13 NMR inconformational analysis of nucleic acid fragments. 2. A reparametrization of the Karplusequation for vicinal NMR coupling constants in CCOP and HCOP fragments". J. Biomol. Struct.Dyn., 1 (VI), 1387-1405.Laue, E. D., Mayger, M. R., Skilling, J. et Staunton, J. (1986). "Reconstruction of phase-sensitive2D NMR spectra by maximum entropy". J. Magn. Reson., 68 , 14-29.Lavery, R. (1987). "DNA flexibility under control: The Jumna algorithm and its applications toB-Z junctions". dans Unusual Structures of DNA , pp. 189-206, Springer-Verlag, .Lavery, R., Poncin, M. et Sklenar, H. (1991). "Modelling base sequence effects and transitions inDNA". J. Mol. Biol., in press.Lavery, R. et Sklenar, H. (1988). "The definition of generalised helicoidal parameters and axiscurvature for Irregular Nucleic Acids". J. Biomol. Struct. Dyn., 6 , 63-91.Lavery, R. et Sklenar, H. (1989). "Defining the structure of irregular Nucleic Acids: Conventionand principles". J. Biomol. Struct. Dyn., 6 (4), 655-667.Lavery, R., Sklenar, H., Zakrzewska, K. et Pullman, B. (1986). "The flexibility of the nucleicacids: (II) The calculation of internal energy and applications to mononucleotide repeat DNA".J. Biomol. Struct. Dyn., 3 (5), 989-1014.Le Bret, M. (1980). "Monte Carlo computation of the supercoiling energy, the sedimentationconstant, and the radius of gyration of unknotted and knotted circular DNA". Biopolymers, 19 ,619-637.

Le Bret, M., Gabarro-Arpa, J., Gilbert, J. C. et Lemarechal, C. (1991). "MORCAD, an objectoriented molecular modelling package running on IBM/RS6000 and SGI 4Dxxx workstations". J.Chim. Phys., 88 , 2489-2496.Le Bret, M. et Zimm, B. H. (1984). "Monte Carlo determination of the distribution of ions abouta cylindrical polyelectrolyte". Biopolymers, 23 , 271-285.Leroy, J. L., Charretier, E., Kochoyan, M. et Guéron, M. (1988a). "Evidence from base pairkinetics for two types of adenine tract structures in solution: Their relation to DNA curvature".Biochelistry, 27 , 8894-8898.Leroy, J. L., Kochoyan, M., Huynh-Dinh, T. et Guéron, M. (1988b). "Characterisation of basepair opening in deoxynucleotide duplexes using catalysed exchange of the imino proton". J. Mol.Biol, 200 , 223-238.Levitt, M. (1978). "How many base-pairs per turn does DNA have in solution and in chromatin ?Some theoretical calculations". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 75 (2), 640-644.Levitt, M. (1991). "Real-time interactive frequency filtering of molecular dynamicstrajectories". J. Mol. Biol., 209 , 617-633.Levy, G. C., Wang, S., Kumar, P. et Borer, P. (1991). "Multidimensional nuclear magneticresonance spectroscopy and modeling of complex molecular structures: A challenge to today'scomputer methods". Spectr. Intern., 3 (4), 22-34.Levy, R. M., Dobson, C. M. et Karplus, M. (1982). "Dipolar NMR Relaxation of nonprotonatedaromatic carbons in proteins: structural and dynamical effects". Biophys. J., 39 , 107-113.Levy, R. M., Karplus, M. et McCammon, J. A. (1981a). "Increase of 13C NMR Relaxation Timesin Proteins due to picosecond motional averaging". J. Am. Chem. Soc., 103 , 994-996.Levy, R. M., Karplus, M. et Wolynes, P. G. (1981b). "NMR Relaxation Parameters in Moleculeswith Internal motion: Exact Langevin Trajectory Results Compared with Simplified RelaxationModels". J. Am. Chem. Soc., 103 , 5998-6011.Lin, J. J. et Sancar, A. (1989). "A new mechanism for repairing oxidative damage to DNA: ABCexcinuclease removes AP sites and thymin glycols from DNA". Biochemistry, 28 , 7979-7984.Lipari, C. et Szabo, A. (1981). "Nuclear magnetic resonance relaxation in nucleic acid fragments:Models for internal motion". Biochemistry, 20 , 6250-6256.Lipari, G. et Szabo, A. (1982a). "Model-free approach to the interpretation of NMR resonancerelaxation in macromolecules.1.Theory and range of validity". J. Am. Chem. Soc., 104 , 4546-4559.Lipari, G. et Szabo, A. (1982b). "Model-free approach to the interpretation of NMR resonancerelaxation in macromolecules.2.Analysis of experimental results". J. Am. Chem. Soc., 104 , 4559-4570.Macura, S. et Ernst, R. R. (1980). "Elucidation of cross relaxation in liquids by two dimensionalN.M.R. spectroscopy". Mol. Phys., 41 , 95-117.Marion, D. et Bax, A. (1988a). "Baseline correction of 2D FT NMR spectra using a simple linearprediction extrapolation of the time-domain data". J. Magn. Reson., 83 , 205-211.Marion, D. et Bax, A. (1988b). "Baseline distortion in real-fourier transform NMR spectra". J.Magn. Reson., 79 , 352-356.Marion, D. et Bax, A. (1988c). "P.COSY, a sensitive alternative for double-quantum-filteredCOSY". J. Magn. Reson., 80 , 528-533.Marion, D., Genest, M. et Ptak, M. (1987). "Reconstruction of NOESY maps. A requirement for areliable conformational analysis of biomolecules using 2D NMR". Biophys. Chem., 28 , 235-244.Marion, D. et Wüthrich, K. (1983). "Application of phase sensitive two-dimensional correlatedspectroscopy (COSY) for measurements of 1H -1H spin-spin coupling constants in proteins".Biochem. Biophys. Res. Commun., 113 (3), 967-974.Markovits, J., Pommier, Y., Mattern, M. R., Esnault, C. et Roques, B. P. (1986). "Effect of theBifunctional Antitumour Intercalator Ditercalinium on DNA in Mouse Leukemia L1210 Cellsand DNA Topoisomerase II". Canc.Res., 46 , 1-6.Marsh, F. J., Weiner, P., Douglas, J. E., Kollman, P. A., Kenyon, G. L. et Gerlt, J. A. (1980)."Theoretical calculations on the geometric destabilization of 3',5'- and 2',3'-cyclic nucleotides".J. Amer. Chem. Soc., 102 (5), 1660-1665.Massefki, W. J. et Bolton, P. H. (1990). "Quantitative analysis of nuclear Overhauser effects". J.Magn. Reson., 65 , 526-530.

Mertz, J. E., Tobias, D. J., Brooks, C. L. et Singh, U. C. (1991). "Vector and parallel algorithmsfor the molecular dynamics simulation of macromolecules on shared-memory computers". J.Comp. Chem., 12 (10), 1270-1277.Metropolis, N., Rosenbluth, A. W., Rosenbluth, M. N., Teller, A. H. et Teller, E. J. (1953)."Equation of state calculations by fast computing machine". J. Chem. Phys., 21 (6), 1087-1092.Metzler, W. J., Wang, C., Kitchen, D. B., Levy, R. M. et Pardi, A. (1990). "Determining LocalConformational Variations in DNA: Nuclear Magnetic resonances structures of the DNAduplexes d(CGCGTAATCG) and d(CGTCACGCGC) generated using back-calculation of theNOE spectra, a distance geometry algorithm and constrained molecular dynamics". J. Mol.Biol., 214 , 711-736.Mirau, P. A. (1992). "A strategy for NMR structure determination". J. Magn. Reson., 96 , 480-490.Momany, F. A., McGuire, R. F., Burgess, A. W. et Sheraga, H. A. (1975). "Energy parameters inpolypeptides. VII. Geometric parameters, partial atomic charges, nonbonded interactions,hydrogen bond interactions, and intrinsic torsional potentials for the naturally occuring aminoacids". J. Phys. Chem., 79 (22), 2361-2381.Mooren, M. M. W., Hilbers, C. W., Van der Marel, G. A., Van Boom, J. H. et Wijmenga, S. S.(1991). "Three-dimensional homonuclear TOCSY-NOESY of nucleic acids. Possibilities forimproved assignments". J. Magn. Res., 94 , 101-111.Mullay, J. (1988). "A method for calculating atomic charges in large molecules". J. Comp.Chem., 9 (4), 399-405.Némethy, G., Pottle, M. S. et Sheraga, H. A. (1983). "Energy parameters in polypeptides. 9.Updating of geometrical parameters, nonbonded interactions, and hydrogen bond interactionsfor the naturally occuring amino acids". J. Phys. Chem., 87 , 1883-1887.Nikonowicz, E. P. et Gorenstein, D. G. (1990). "Two-dimensional 1H and 31P NMR spectra andrestrained molecular dynamics: Structure of a mismatched GA decameroligodeoxyribonucleotide duplex". Biochemistry, 29 , 8845-8858.Nikonowicz, E. P., Meadows, R. P. et Gorenstein, D. G. (1990). "NMR refinement of anextrahelical adenosine tridecamer d(CGCAGAATTCGCG)2 via a hybrid relaxation matrixprocedure". Biochemistry, 29 , 4193-4204.Nikonowicz, E. P., Roongta, V., Jones, C. R. et Gorenstein, D. G. (1989). "Two-dimensional 1Hand 31P NMR spectra and restrained molecular dynamics: Structure of an extrahelicaladenosine tridecamer oligodeoxyribonucleotide duplex". Biochemistry, 28 , 8714-8725.Nilges, M., Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1988). "Determination of three-dimensionalstructures of proteins from interproton distance data by hybrid distance geometry-dynamicalsimulated annealing calculations". FEBS Lett., 239 , 317-324.Nilges, M., Clore, G. M., Gronenborn, A. M., Brunger, A. T., Karplus, M. et Nilsson, L. (1987a)."Refinement of the solution structure of the DNA hexamer 5'd(CTGGATCCAG)2 : combined useof nuclear magnetic resonance and restrained molecular dynamics". Biochemistry, 26 , 3718-3733.Nilges, M., Clore, G. M., Gronenborn, A. M., Piel, N. et McLaughlin, L. W. (1987b). "Refinementof the solution structure of the DNA decamer 5'd(CTGGATCCAG)2 : combined use of nuclearmagnetic resonance and restrained molecular dynamics". Biochemistry, 26 , 3734-3744.Nilsson, L., Clore, G. M., Gronenborn, A. M., Brunger, A. T. et Karplus, M. (1986). "Structurerefinement of oligonucleotides by molecular mechanics with nuclear Overhauser effectinterproton distance restraints: Application to 5' d(CGTACG)2". J. Mol. Biol., 188 , 455-475.Nilsson, R. et Karplus, M. (1986). "Empirical energy functions for energy minimisation anddynamics of nucleic acids.". J. Comp. Chem., 7 (5), 591-616.Noggle, J. H. et Schirmer, R. E. (1971). "The nuclear Overhauser effect". Academic Press, NewYork and London.Noguti, T. et Go, N. (1983a). "Dynamics of native globular proteins in terms of dihedralangles". J. Phys. Soc. Japan, 52 (9), 3283-3288.Noguti, T. et Go, N. (1983b). "A method of rapid calculation of a second derivative matrix ofconformational energy for large molecules". J. Phys. Soc. Japan, 52 (10), 3685-3990.Noguti, T. et Go, N. (1985). "Efficient Monte Carlo method for simulation of fluctuatingconformations of native proteins". Biopolymers, 24 , 527-546.Noguti, T. et Go, N. (1989a). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein. I.Introduction". Proteins, 5 , 97-103.

Noguti, T. et Go, N. (1989b). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein. II.Monte Carlo simulation of native thermal fluctuations and energy minimization". Proteins, 5 ,104-112.Noguti, T. et Go, N. (1989c). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein.III. Side chain and main chain local conformations". Proteins, 5 , 113-124.Noguti, T. et Go, N. (1989d). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein.IV: Rearrangements in atom packing and local deformations". Proteins, 5 , 125-131.Noguti, T. et Go, N. (1989e). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein. V:Nonlocal deformations". Proteins, 5 , 132-138.Olejniczak, E. T., Dobson, C. M., Karplus, M. et Levy, R. M. (1984). "Motional averaging ofproton NOE in proteins. Predictions from a molecular dynamics simulation of lysozyme". J. Am.Chem. Soc., 106 , 1923-1930.Olejniczak, E. T., Gampe, R. T. et Fesik, S. W. (1986). "Accounting for spin diffusion of 2D NOEdata". J. Magn. Reson., 67 , 28-41.Oschkinat, H., Cieslar, C. et Griesinger, C. (1990). "Recognition of secondary-structure elementsin 3D TOCSYY-NOESY spectra of proteins. Interpretation of 3D cross-peaks amplitudes". J.Magn. Res., 86 , 453-469.Oschkinat, H., Cieslar, C., Holak, T. A., Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1989). "Practicaland theoretical aspects of three-dimensional homonuclear Hartmann-Hahn-nuclearOverhauser enhancement spectroscopy of proteins". J. Magn. Res., 83 , 450-472.Oshiro, C. M., Thomason, J. et Kuntz, I. D. (1991). "Effects of limited input distance constraintsupon the distance geometry algorithm". Biopolymers, 31 , 1049-1064.Otting, G. (1990). "Zero-quantum suppression in NOESY and experiments with a z-filter". J.Magn. Reson., 86 , 496-508.Palmö, K., Pietilä, L. O. et Krimm, S. (1991). "Construction of molecular mechanics energyfunctions by mathematical transformation of Ab Initio forces fields and structures". J. Comp.Chem., 12 (3), 385-390.Paoletti, J. et Le Pecq, J.-B. (1971). "The change of the torsion of the DNA helix caused byintercalation I A discussion of the two different possibilities, winding or unwinding.".Biochimie, 53 , 969-972.Pardi, A., Hare, D. R. et Wang, C. (1988). "Determination of DNA Structures by NMR anddistance geometry techniques: a computer simulation". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 85 , 8785-8789.Pardi, A., Morden, K. M., Patel, D. J. et Tinoco Jr, I. (1982). "Kinetics for exchange of iminoprotons in the d(CGCGAATTCGCG) double helix and in two similar helices that contain a G-Tbase pair, d(CGTGAATTCGCG), and an extra adenine, d(CGCAGAATTCGCG)". Biochemistry,21 , 6567-6574.Pardi, A., Morden, K. M., Patel, D. J. et Tinoco Jr, I. (1983). "Kinetics for exchange of iminoprotons in the d(CGCGAATTCGCG) double helix in complexes with the antibiotics netropsinand/or actinomycin". Biochemistry, 22 , 1107—1113.Patel, D. J., Shapiro, L. et Hare, D. (1987a). "DNA and RNA: NMR studies of conformationsand dynamics in solution". Q. Rev. Biophys., 20 , 35-112.Patel, D. J., Shapiro, L. et Hare, D. (1987b). "Nuclear magnetic resonance and distance geometrystudies of DNA structures in solution". Annu. Rev. Biophys. Biophys. Chem., 16 , 423-454.Pearlman, D. A., Holbrook, S. R., Pirkle, D. H. et Kim, S. (1985). "Molecular models for DNAdamaged by photoreaction". Science, 227 , 13041308.Pearlman, D. A. et Kollman, P. A. (1989). "A new method for carrying out free energyperturbation calculations: Dynamically modified windows". J. Chem. Phys., 90 (4), 2460-2470.Pearlman, D. A. et Kollman, P. A. (1991a). "Are Time-averaged restraints necessary for NMRrefinement? A model study for DNA". J. Mol. Biol., 220 , 457-479.Pearlman, D. A. et Kollman, P. A. (1991b). "Evaluating the assumptions underlying force fielddevelopment and application using free energy conformational maps for nucleosides". J. Amer.Chem. Soc., 113 , 7167-7177.Pearlman, D. A. et Kollman, P. A. (1991c). "The overlooked bond-streching contribution in freeenergy perturbation calculations". J. Chem. Phys., 94 (6), 4532-4545.Perrin, C. L. et Gipe, R. K. (1984). "Multisite kinetics by quantitative two-dimensional NMR".J. Am. Chem. Soc., 106 , 4036-4038.

Pfändler, P. et Bodenhausen, G. (1990). "Automated analysis of two-dimensional correlationspectra. Assembly of fragments into networks of coupled spins". J. Magn. Reson., 87 , 26-45.Piveteau, D., Delsuc, M. A. et Lallemand, J.-Y. (1985). "A new approach to phase-cyclingschemes: The "Screw-Pulse" concept". J. Magn. Reson., 63 , 255-270.Pople, J. A. et Beveridge, D. L. (1970). "Approximate molecular orbital theory". J. Wiley, NewYork.Powers, R. et Gorenstein, D. G. (1990). "Two-dimensional 1H and 31P-1H NMR spectra andrestrained molecular dynamics: Structure of a covalent CPI-CDPI2-oligonucleotide decamercomplex". Biochemistry, 29 , 9994-10008.Powers, R., Jones, C. R. et Gorenstein, D. G. (1990). "Two-dimensional 1H and 31P-1H NMRspectra and restrained molecular dynamics structure of an oligonucleotide duplex refined via ahybrid relaxation matrix procedure". J. Biomol. Struct. Dyn., 8 (2), 253-293.Prabhakaran, M. et Harvey, S. C. (1988). "Molecular dynamics of structural transitions andintercalation in DNA". Biopolymers, 27 , 1239-1248.Purisima, E. O. et Sheraga, H. A. (1987). "An approach to the multiple-minima problem inprotein folding by relaxing dimensionality". J. Mol. Biol., 196 , 697-709.Rao, S. N., Keepers, J. W. et Kollman, P. (1984). "The structure ofd(CGCGAAT[]TCGCG).d(CGCGAATTCGCG): the incorporation of a thymine photodimer intoa B-DNA helix". Nucl. Acids Res., 12 , 4789-4807.Rao, S. N. et Kollman, P. (1987). "Molecular mechanical simulations on double intercalation of9-amino acridine into d(CGCGCGC)2

.d(GCGCGCG)2: Analysis of the physical basis for theneighbor-exclusion principle". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 84 , 5735-5739.Rao, S. N. et Kollman, P. (1990). "Simulations of the B-DNA molecular dynamics ofd(CGCGAATTCGCG)2 and d(GCGCGCGCGC)2: An analysis of the role of initial geometry anda comparison of united and all-atom models". Biopolymers, 29 , 517-532.Ravishanker, G., Swaminathan, S., Beveridge, D. L., Lavery, R. et Sklenar, H. (1989)."Conformational and helicoidal analysis of 30 ps of molecular dynamics on thed(CGCGAATTCGCG) double helix:"Curves",Dials and Windows". J. Biomol. Struct. Dyn., 6 (4),669-699.Ribeiro, A. A., King, R., Restivo, C. et Jardetzky, O. (1980). "An approach to the mapping ofinternal motions in proteins. Analysis of 13C NMR relaxation in the bovine pancreatic trypsininhibitor". J. Amer. Chem. Soc., 102 (12), 4040-4051.Rinkel, L. J. et Altona, C. (1987). "Conformational analysis of the deoxyribofuranose ring inDNA by means of sums of proton-proton coupling constants: A graphical method". J. Biomol.Struct. Dyn., 4 (4), 621-649.Rivail, J.-L. (1989). "Eléments de chimie quantique à l'usage des chimistes".Intereditions/Editions du CNRS, Paris.Robinson, H. et Wang, H.-J. (1992). "A simple spectral-driven procedure for the refinement ofDNA structures by NMR spectroscopy". Biochemistry, 31 , 3524-3533.Roterman, I. K., Gibson, K. D. et Sheraga, H. A. (1989a). "A comparison of the CHARMM,AMBER and ECEPP potentials for peptides.I. Conformational predictions for the tandemlyrepeated peptide (Asn-Ala-Asn-Pro)9". J. Biomol. Struct. Dyn., 7 (3), 391-419.Roterman, I. K., Lambert, M. H., Gibson, K. D. et Sheraga, H. A. (1989b). "A comparison of theCHARMM, AMBER and ECEPP potentials for peptides.II.Φ-ψ maps for N-acetyl alanine N'-methyl amide: Comparisons, contrasts and simple experimental tests". J. Biomol. Struct. Dyn.,7 (3), 421-453.Ryckaert, J.-P., Ciccotti, G. et Berendsen, H. J. C. (1977). "Numerical integration of thecartesian equations of motion of a system with constraints: Molecular dynamics of n-Alkanes". J.Comp. Phys., 23 , 327-341.Saucier, J. M., Festy, B. et Le Pecq, J. B. (1971). "The change of the torsion of the DNA helixcaused by intercalation II Measurement of the relative change of torsion induced by variousintercalating drugs". Biochimie, 53 , 973-980.Saulitis, J. et Liepins, E. (1990). "Quantitative evaluation of interproton distances in peptidesby two-dimensional Overhauser effect spectroscopy". J. Magn. Reson., 87 , 80-91.

Scheek, R. M., van Gunsteren, W. F. et Kaptein, R. (1989). "Molecular dynamics simulationtechniques for determination of molecular structures from nuclear magnetic resonance data".Meth. Enzym., 177 , 204-219.Schmitz, U., Pearlman, D. A. et James, T. (1991). "Solution structure of [d(GTATATAC)]2 v i arestrained molecular dynamics simulations with nuclear magnetic resonance constraints derivedfrom relaxation matrix analysis of two-dimensional nuclear Overhauser effect experiments". J.Mol. Biol., 221 , 271-292.Scott, E. V. et Jones, R. L. (1988). "1H and 31P NMR investigations of actinomycin D bindingselectivity with oligodeoxynucleotides containing multiple adjacent d(CG) sites.".Biochemistry, 27 , 915-923.Scott, E. V., Zon, G., Marzilli, L. G. et Wilson, W. D. (1988). "2D NMR investigation of thebinding of the anticancer drug actinomycin D to the duplexed dATGCGCAT: Conformationalfeatures of the unique 2:1 adduct.". Biochemistry, 27 , 7940-7951.Segal-Bendirdjian, E., Coulaud, D., Roques, B. P. et Le Pecq, J. B. (1988). "Selective loss ofmitochondrial DNA after treatment of cells with ditercalinium (NSC 335153), an antitumorbis-intercalating agent". Cancer Res., 48 , 4982-4992.Seibel, G. L., Singh, U. C. et Kollman, P. A. (1985). "A molecular dynamics simulation ofdouble-helical B-DNA including couterions and water". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 82 , 6537-6540.Selby, C. P. et Sancar, A. (1991). "Noncovalent drug-DNA binding interactions that inhibit andstimulate (A)BC excinuclease". Biochemistry, 30 , 3841-3849.Sessions, R. B., Dauber-Osguthorpe, P. et Dauber-Osguthorpe, D. (1988). "Filtering moleculardynamics trajectories to reveal low-frequency collective motions: Phospholipase A2". J. Mol.Biol., 209 , 617-633.Shindo, H., Okhubo, S., Matsumoto, U., Giessner-Prettre, C. et Zon, G. (1988). "Nuclearmagnetic spectra of self complementary decanucleotides in solution; Base sequence effects onchemical shifts of nonexchangeable protons". J. Biomol. Struct. Dynam., 5 (4), 913-931.Singh, U. C., Brown, F. K., Bash, P. A. et Kollman, P. A. (1987). "An approach to theapplication of free energy perturbation methods using molecular dynamics: Applications to thetransformations of CH3OH->CH3CH3, H3O+->NH4

+, Glycine->Alanine, and Alanine-

>Phenylalanine in aqueous solution and to H3O+( H2O)3->NH4+( H2O)3 in the gas phase". J.

Amer. Chem. Soc., 109 , 1607-1614.Singh, U. C. et Kollman, P. A. (1984). "An Approach to Computing Electrostatic Charges forMolecules". J. Comp. Chem., 5 (2), 129-145.Singh, U. C., Weiner, P., Caldwell, J. C. et Kollman, P. A. (1986) "Amber 3.0". University ofCalifornia, San Francisco.Sippl, M. J., Némethy, G. et Sheraga, H. A. (1984). "Intermolecular potentials from crystaldata. 6. Determination of empirical potentials for O-H…O=C hydrogen bonds from packingconfigurations". J. Phys. Chem., 88 , 6231-6233.Sklenar, H., Eisenhaber, F., Poncin, M. et Lavery, R. (1990). "Including solvent and counterioneffects in the force fields of macromolecular mechanics: The field integrated electrostaticapproach (FIESTA)". dans Theoretical biochemistry and molecular biophysics , pp. 317-335,Adenine Press, .Sklenar, V. et Bax, A. (1987). "Spin-echo water supression for the generation of pure-phasetwo-dimensional NMR spectra". J. Magn. Reson., 74 , 469-479.Sobell, H. M. et Jain, S. C. (1972). "Stereochemistry of Actinomycin binding to DNA: I.Refinement and further structural details of the actinomycin-deoxyguanosine cristallinecomplexe". J. Mol. Biol., 68 , 21-34.Sobell, H. M., Tsai, C., Jain, S. C. et Gilbert, S. G. (1977). "Visualisation of drug-nucleic acidinteractions at atomic resolution. III. Unifying structural concepts in understanding drug-DNAinteractions and their broader implications in understanding protein-DNA interactions". J. Mol.Biol., 114 , 333-365.Solomon, I. (1955). "Relaxation processes in a system of two spins". Phys. Rev., 99 (2), 559-565.Srinisavan, J., Withka, J. M. et Beveridge, D. L. (1990). "Molecular Dynamics of an in vacuomodel of duplex d(CGCGAATTCGCG) in the B-form based on the Amber 3.0 force field".Biophys. J., 58 , 533-547.

States, D. J., Haberkorn, R. A. et Ruben, D. J. (1982). "A two dimensional nuclear Overhauserexperiment with pure absorption phase in four quadrants". J. Magn. Reson., 48 , 286-292.Suzuki, E., Pattabiraman, N., Zon, G. et James, T. L. (1986). "Solution Structure of [d(A-T)5]2 viaComplete Relaxation Analysis of Two-Dimensional Nuclear Overhauser Effect Spectra andMolecular Mechanics Calculations: Evidence for Hydration Tunnel". Biochemistry, 25 (22),6854-6865.Swaminathan, S., Ravishanker, G. et Beveridge, D. L. (1991). "Molecular dynamics of B-DNAincluding water and counterions: A 140-ps trajectory for d(CGCGAATTCGCG) based on theGROMOS force field". J. Am. Chem. Soc., 113 , 5027-5040.Takegoshi, K., Tsuda, S. et Hikichi, K. (1989). "Self-refocused binomial pulse sequence forsolvent suppression". J. Magn. Reson., 85 , 198-202.Tobias, D. J. et Brooks III, C. L. (1988). "Molecular dynamics with internal coordinateconstraints". J. Chem. Phys., 89 (8), 5115-5127.Torda, A. E., Scheek, R. M. et van Gunsteren, W. F. (1989). "Time-dependent distance restraintsin molecular dynamics simulations". Chem. Phys. Lett., 157 (4), 289- 294.Torda, A. E., Scheek, R. M. et van Gunsteren, W. F. (1990). "Time-averaged NOE Effect distancerestraints aplied to Tendamistat". J. Mol. Biol., 214 , 223-235.Torrie, G. M. et Valleau, J. P. (1977). "Nonphysical sampling distributions in Monte Carlo free-energy estimation: Umbrella sampling". J. Comp. Phys., 23 , 187-199.Tropp, J. (1980). "Dipolar relaxation and NOEs in nonrigid molecules: The effect of fluctuatinginternuclear distances". J. Chem. Phys., 72 , 6035-6043.van de Ven, F. H. M. et Hilbers, C. W. (1988a). "Resonance assignments of non-exhangeableprotons in B types DNA oligomers, an overview". Nucleic Acids Res., 16 , 5713-5726.van de Ven, F. J. M. et Hilbers, C. (1988b). "Nucleic acids and nuclear magnetic resonance". Eur.J. Biochem., 178 , 1-38.van Gunsteren, W. F. (1980). "Constrained dynamics of flexible molecules". Mol. Phys., 40 (4),1015-1019.van Gunsteren, W. F. (1990). "Methods for calculation of free energies and binding constants:Successes and problems". dans Computer Simulation of Biomolecular Systems: Theoretical andexperimental applications , pp. 27-59, .van Gunsteren, W. F. et Berendsen, H. J. C. (1990). "Computer simulation of molecular dynamics:Methodology, applications, and perspectives in chemistry". Angew. Chem. Int. Ed. Engel., 29 ,992-1023.von Freyberg, B. et Braun, W. (1991). "Efficient search for all low energy conformations ofpolypeptides by Monte Carlo methods". J. Comp. Chem., 12 (9), 1065-1076.Wagner, G., Braun, W., Havel, T. F., Shaumann, T., Go, N. et Wüthrich, K. (1987). "Proteinstructures in solution by nuclear magnetic resonance and distance geometry. The polypeptidefold of the basic pancreatic trypsin inhibitor determined using two differend algorithms,DISGEO and DISMAN". J. Mol. Biol., 196 , 611-639.Wang, A. H., Liaw, Y.-C., Robinson, H. et Gao, Y.-G. (1990). "Mutual conformationaladaptation of both ligand and receptor in antitumor drug-DNA complexes". dans Molecularbasis of specificity in nucleic acid-drug interactions , pp. 1-21, Kluwer Academic Publishers,Netherland.Weiner, P. K. et Kollman, P. A. (1981). " AMBER: Assisted Model Building with EnergyRefinement. A general program for modeling molecules and their interactions". J. Comp.Chem.,2 (3), 287-303.Weiner, S. J., Kollman, P. A., Case, D. A., Singh, C., Ghio, C., Alagona, G., Profeta, S. etWeiner, P. (1984). "A new force field for molecular mechanical simulation of Nucleic acids andProteins.". J. Amer. Chem. Soc., 106 , 765-784.Weiner, S. J., Kollman, P. A., Nguyen, D. T. et Case, D. A. (1982). "An all atom force field forsimulations of proteins and nucleic acids.". J. Comp. Chem., 7 (2), 230-252.Widmer, H. et Wüthrich, K. (1986). "Simulation of two-dimensional NMR experiments usingnumerical density matrix calculations". J. Magn. Reson., 70 , 270-279.Williamson, M. P., Havel, T. F. et Wüthrich, K. (1985). "Solution conformation of proteinaseinhibitor IIA from bull seminal plasma by 1H nuclear magnetic resonance and distancegeometry". J. Mol. Biol., 182 , 295-315.

Wilson, S. R., Cui, W., Moskowitz, J. W. et Schmidt, K. E. (1991). "Applications of simulatedannealing to the conformation analysis of flexible molecules". J. Comp. Chem., 12 (3), 342-349.oligonucleotides containing normal and G.T base pairs". Biopolymers, 25 , 1997-2015.Wimperis, S. (1990). "Correlation of connected double-quantum and single quantum transitions.Two-dimensional double-quantum spectroscopy with simplified in-phase direct connectivitymultiplets". J. Magn. Reson., 87 , 174-182.Withka, J. M., Swaminathan, S., Beveridge, D. L. et Bolton, P. H. (1991). "Time dependence ofnuclear Overhauser effects of duplex DNA from Molecular Dynamics trajectories". J. Amer.Chem. Soc., 113 , 5041-5049.Withka, J. M., Swaminathan, S. et Bolton, P. (1990). "NOEs in duplex DNA depend onorientations of internuclear vectors to the symmetry axis". J. Magn. Reson., 89 , 386-390.Woessner, D. E. (1962a). "Nuclear spin relaxation in ellipsoids undergoing rotational brownianmotion". J. Chem. Phys., 37 (3), 647-654.Woessner, D. E. (1962b). "Spin relaxation process in a two-proton system undergoing anisotropicreorientation". J. Chem. Phys., 36 (1), 1-4.Xu, P. et Freeman, R. (1990). "Edited correlation spectroscopy ( e-COSY)". J. Magn. Reson., 86 ,426-434.Yip, P. et Case, D. A. (1989). "A New Method for Refinement of Macromolecular StructuresBased on Nuclear Overhauser Effect Spectra". J. Magn. Reson., 83 , 643-648.Yip, P. F. (1989). "Calculating noesy intensities by perturbation expansion". Chem. Phys. Lett.,161 (1), 50-54.Yip, P. F. (1990). "Scaling NOESY Cross peaks involving methyl protons". J. Magn. Reson., 90 ,382-383.Zagorski, M. G. (1990). "Improved frequency selectivity for presaturation of H2O in 2D NMRspectra of proteins". J. Magn. Reson., 86 , 400-405.Zhenqin, L. et Sheraga, H. A. (1987). "Monte Carlo-minimization approach to the multipleminima problem in protein folding". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 84 , 6611-6615.Zhou, N., Bianucci, A. M., Pattabiraman, N. et James, T. L. (1987). "Solution structure of[d(CGTATACC)]2: Wrinkled D structure of the TATA moiety". Biochemistry, 26 , 7905-7913.Zimmermann, K. (1991). "ORAL: All purpose molecular mechanics simulator and energyminimiser". J. Comp. Chem., 12 (3), 310-319.