Cours de physique 1

1ére année AGRONOMIE

Enseignant :

Dr. MELLOUL Ahlem

Département des sciences agronomiques, université

Ferhat ABBAS Setif1.

Chapitres I : Rappels mathématiques

I.1 Analyse dimensionnelle

I.2 Erreurs et incertitudes

I.3 les vecteurs

I.1 Analyse dimensionnelle

Toute grandeur physique est caractérisée par sa dimension, cette dernière est une propriété

associée à une unité de symbole [A] ou dim A.

1. Grandeur physique

En physique, il existe deux types de grandeurs, scalaires et vectorielles.

Une grandeur physique scalaire est une quantité définie par un nombre et une unité

appropriée. On peut citer comme exemples ; la masse d’un corps m, la charge électrique q, …

Une grandeur physique vectorielle est une quantité spécifié par un nombre, une unité et par

une direction et un sens.

Il existe 07 grandeurs physiques fondamentales, résumés dans le tableau suivant :

Grandeurs fondamentales Symbole de dimension

La longueur L

La masse M

Le temps T

La température Θ

L’intensité du courant électrique I

L’intensité lumineuse J

La quantité de la matière N

Toutes les autres grandeurs physiques sont liées à ces grandeurs fondamentales.

2. Système des unités

Il existe deux systèmes de mesures, le système international (SI) ou (MKS) et le système cgs

(centimètre gramme seconde).

Grandeurs

fondamentales

unité Symbole d’unité

La longueur Le mètre M

La masse Le kilogramme Kg

Le temps La seconde S

La température Le Kelvin K

L’intensité du

courant électrique

L’ampère A

L’intensité

lumineuse

Le Candela Cd

La quantité de la

matière

Le mole mol

3. Homogénéité

On peut utiliser les équations aux dimensions pour vérifier l’homogénéité d’une formule.

Exemple : soient les deux formules suivantes ;𝑇 = √𝑙/𝑔 et 𝑇 = √𝑔/𝑙

Ces deux expressions donnent la période d’oscillation d’un pendule simple de longueur l et g

est l’accélération de la pesanteur. Le premier membre a la dimension d’un temps ; il faut que

le deuxième membre ait la même dimension, sinon la formule est fausse.

[𝑙/𝑔]1/2= [𝑔]−1/2 ∙ [𝑙]1/2 = (𝐿𝑇−2)−1/2 ∙ 𝐿1/2 = 𝑇 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔è𝑛𝑒 (juste)

[𝑔/𝑙]1/2= [𝑙]−1/2 ∙ [g]1/2 = (𝐿𝑇−2)1/2 ∙ 𝐿−1/2 = 𝑇-1 non homogène (faux)

Donc : les équations aux dimensions permet de :

Déterminer l’unité composée d’une grandeur en fonction des grandeurs

fondamentales.

Tester si une formule est homogène

Faire de conversations des unités.

I.2 Erreurs et incertitudes

En physique, dans toute expérience, il n’existe pas de mesures exactes. Celles-ci

sont toujours entachées d’erreurs plus ou moins importantes, selon la méthode de

mesure adoptée, selon les instruments utilisés et de ne pas négliger le rôle le plus

important du l’opérateur.

1. Erreur absolue et erreur relative

1.1 Erreur absolue : c’est l’écart qui s’épare la valeur expérimentale de la valeur

référentielle, considérer comme vraie valeur c'est-à-dire exacte.

δG = │Gmes - Gréf│

Exemple : la vitesse de la lumière (Célérité) C dans le vide est C= 299 792 km/s

cette valeur est considérer comme vraie actuellement.

Si un expérimentateur trouve lors d’une mesure que Cmes = 305 000 km/s

δC =│Cmes - Créf│= 52008 km/s

1.2 Erreur relative : c’est le quotient de l’erreur absolue à la valeur de référence.

Cette erreur est sans dimension, elle nous indique la qualité du résultat obtenu.

Elle s’exprime généralement en terme pourcentage (%).

Erreur relative = 𝛅𝐆

𝐆𝐫é𝐟

Exemple : δC/ Créf = 52008 km.s-1/299 792 km.s-1= 0.0017 ≈ 1.7

2. Incertitude absolue et incertitude relative

2.1 Incertitude absolue : c’est la plus haute limite d’une erreur.

ΔG =𝐆𝐦𝐚𝐱−𝐆𝐦𝐢𝐧

𝟐

Exemple : les mesures de l’intensité du courant sont ; 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 6, 6.5

ΔI= 6.5 – 5.5 /2 = 0.5A

2.2 Incertitude relative : c’est le rapport de l’incertitude absolue par rapport à la

valeur moyenne mesurée.

Si Gmoy = x1+x2+x3+………+xn / n

Incertitude relative = ΔG/xmoy

La valeur finale d’une grandeur physique est donnée par ; (G0 ±ΔG)

Exemple : ΔI=0.5A et I0 = Imax+Imin/2= 6 A

La précision de mesure est : I = (6 ± 0.5) A

3. Calcul d’incertitude

3.1 Addition et soustraction

Supposons que la grandeur cherchée G soit la somme de deux mesures A et B :

G = A+B, dans ce cas l’incertitude sur le résultat est ΔG = ΔA+ΔB

La même chose pour la soustraction G= A-B , ΔG = ΔA-ΔB

3.2 Multiplication et division

Supposons maintenant que la grandeur cherchée G soit le résultat de calcul

suivant ; G= A*B/C

Où A, B, C sont des grandeurs mesurées.

ΔG = ΔA/A+ΔB/B+ ΔC/C

Donc l’incertitude absolue sur une somme ou sur une différence est la somme des

incertitudes absolues de chaque terme, et l’incertitude relative sur un produit ou

sur un quotient est la somme des incertitudes relative de chaque terme.

4. La formule générale

G = an*bm *cp

ΔG/G= │n│. Δa/a+ │m│. Δb/b+ │p│. Δc/c

Exemple : G = x/y

G=x*y-1

ΔG/G= Δx /x+ │-1│. Δy/y = Δx/x + Δy/y

I. 3 Les vecteurs

En physiques, plusieurs quantités sont déterminées par leur grandeur, exprimée

dans une unité convenable. Ces quantités sont appelées scalaires tel que la

température, le temps, la masse, la charge,……………etc.

D’autres grandeurs physiques, comme la force �⃗� , la vitesse �⃗⃗� , l’accélération �⃗�

…, exigent pour leur caractérisation la direction, le sens et le module (les

vecteurs).

1. Définition d’un vecteur : un vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , est un segment orienté qui

possède :

Une origine A

Un module │ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ │qui représente la longueur 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

Une direction ; celle de la droite

Un sens de A vers B

2. Composantes d’un vecteur

Dans un espace orthonormé (O, x, y, z). A1, A2 et A3 sont les composantes du

vecteur 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ suivant les axes ox, oy, et oz, respectivement. 𝑖, 𝑗 et �⃗⃗� sont les

vecteurs unitaires.

Le vecteur 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ s’écrit comme suit ; 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = A1. 𝑖 + A2. 𝑗+ A3. �⃗⃗�

Le module du vecteur 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ est : │ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ │= √𝐴12 + 𝐴22 + 𝐴322

3. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs �⃗⃗� et �⃗� est ;

�⃗⃗⃗� . �⃗⃗⃗� = │�⃗⃗⃗� │ . │�⃗⃗⃗� │. cos (�⃗⃗⃗� ,�⃗⃗⃗� ) (Forme géométrique) �⃗⃗� . �⃗� = (ux. 𝑖 + uy. 𝑗+ uz. �⃗⃗� ) (vx. 𝑖 + vy. 𝑗+ vz. �⃗⃗� )

𝒖⃗⃗⃗⃗ . �⃗⃗⃗� = ux . vx+ uy. vy+ uz . vz (Forme analytique)

Remarque : 𝑖. 𝑖 = 𝑗 . 𝑗 = �⃗⃗� . �⃗⃗� = 1 et 𝑖. 𝑗 =𝑗. �⃗⃗� = �⃗⃗� . 𝑖 = 0

A

B

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Le produit scalaire est donc positif pour un angle aigu et négatif pour un angle

obtus.

Propriétés :

1. Commutativité : �⃗⃗� . �⃗� =�⃗� . �⃗⃗�

Distributivité par rapport à l’addition (�⃗⃗� + �⃗� ). �⃗⃗⃗�=�⃗⃗� . �⃗⃗⃗�+�⃗�. �⃗⃗⃗�

Linéarité : (α. �⃗⃗�)(β. �⃗�) = (α.β) (�⃗⃗� . �⃗�)

Condition d’orthogonalité de deux vecteurs :

�⃗⃗� ┴ �⃗� ⟹ cos (�⃗⃗� , �⃗�) = 0 ⟹ �⃗⃗� . �⃗� =0 ⟹ ux .vx+uy . vy+uz .vz =0

4. Produit vectoriel C’est un vecteur �⃗⃗⃗� noté �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� ^ �⃗� De module :│ �⃗⃗⃗�│= │ �⃗⃗� │. │ �⃗� │sin (�⃗⃗� , �⃗�)

Forme analytique : �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� ^ �⃗� = 𝑖 𝑗⃗⃗⃗ ⃗ �⃗⃗� ux uy uz =(uy .vk - uk . vy) 𝑖 - (ux .vk - uk . vx) �⃗⃗⃗�

vx vy vz + (ux .vy – uy . vy) �⃗⃗�⃗⃗

Remarque : 𝑖 ^ 𝑗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗⃗� ; �⃗⃗⃗� ^ �⃗⃗� = 𝑖 et �⃗⃗� ^ 𝑖 = 𝑗

𝑖 ^ 𝑖 = 𝑗⃗⃗⃗ ⃗ ^ 𝑗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗⃗� ^�⃗⃗� = 0

Propriétés :

2. Non Commutativité : �⃗⃗� ^ �⃗� =−�⃗� ^ �⃗⃗�

Distributivité par rapport à l’addition

Linéarité

Condition pour que deux vecteurs soient parallèles :

�⃗⃗� ⁄ ⁄ �⃗� ⟹ │ �⃗⃗� │. │ �⃗� │sin (�⃗⃗� , �⃗�) ⟹ soit �⃗⃗� ^ �⃗� = 0

Exercices :

Exercice 1 :

1. Etablir les équations aux dimensions des grandeurs physiques suivantes :

La vitesse v, l’accélération a .

La force F= m.a.

Les énergies cinétique et potentielle EC= ½ m v2 et Ep= m g h.

Le moment cinétique L=m v r.

La constante de raideur k telle que F= k.x

Le travail W= F. x

La pression

EC/V= 1/2 ρ v2, EP/V= ρ.g.h, avec ρ est la masse volumique.

2. Déduire les unités correspondantes dans le système S.I et C.G.S.

3. Donner les relations entre les unités S.I et C.G.S.

Exercice 2 : Vérifier l’homogénéité des expressions suivantes :

Le volume V= s+d

d= 9 a t2+ v t+10

On donne ; v c’est la vitesse et a représente l’accélération, t le temps

Exercice 03 : la mesure du diamètre d’une balle est :

d= 20,00 ± 0,02 [mm]

a. Calculer le volume de la balle et donner c son incertitude relative

b. Calculer la masse volumique de la balle avec son incertitude relative

Exercice 4 : Soit les vecteurs suivants :

V1 = 2 i+ 3 j- k V2 = 3 i- 2 j+ k

1. Dans un repère orthonormé (O,x,y,z), représenter les vecteurs ci-dessus

2. Calculer leurs normes

3. Calculer V1+V2 et V1-V2

4. Calculer le produit scalaire V1*V2

5. Calculer le produit vectoriel V1 V2

Chapitre II : mécanique des fluides

II. 1 Statique des fluides

II. 2 Dynamique des fluides incompressibles (fluides parfaits)

II. 3 Dynamique des fluides compressibles (fluides réels)

II. 1 STATIQUE DES FLUIDES (HYDROSTATIQUE)

Introduction

La mécanique des fluids représente la science des lois de l’écoulement des fluides

c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des

contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches :

La statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos.

La dynamique des fluides, ou hydrodynamique qui étudie les fluides en

mouvement.

1. Définitions

Un fluide peut être considéré comme étant une substance formé d'un grand

nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par

rapport aux autres. C’est donc un milieu matériel continu, déformable, sans

rigidité et qui peut s'écouler. C’est un corps sans forme propre qui prend la forme

du récipient qui le contient.

Les fluides peuvent se classer en deux familles relativement par leur viscosité :

les fluides newtoniens (l’eau, l’air et la plus part des gaz) et les fluides non

newtoniens (le sang, les gels, les suspensions, …). On va s’intéressé dans notre

cours que par les fluides newtoniens parfait et réels.

2. Caractéristiques physiques

2. 1 la masse volumique

ρ = m / V

où :

ρ : Masse volumique en (kg/m3)

m : masse en (kg),

V : volume en (m3)

2. 2 la densité

La densité représente le quotient de la masse volumique du fluide par rapport à

la masse volumique d’un fluide de référence.

d= ρ/ ρref

Dans le cas des liquides en prendra l’eau comme fluide de référence : d = ρ/

ρeau

deau = 1

d > 1 : tendence à couler dans l’eau ( exp ; le biton)

d < 1 ( exp ; l’huile)

Dans le cas des gaz on prendra l’air comme fluide de référence : d = ρ/ ρair

dair = 1

d > 1 : Cas des gaz plus lourds que l’air (exp CO2)

d < 1 : Cas des gaz plus léger que l’air ( exp He)

2. 3 la pression

La pression c’est le fait d’une force qui s’exerce sur une surface, pour que la

force soit orthogonale à la surface.

p = F / S

La pression p est donnée par le Pascal (Pa) dans le système international (SI) ; 1

Pa= 1 N/m2

Il existe aussi plusieurs unités pour exprimer la pression résumées dans le

tableau suivant :

atm Pa (N/m2) bar torr cmHg

1 1.013 .105 1.013 760 76

2. 3 la viscosité

La viscosité caractérise la résistance d'un fluide à son écoulement lorsqu'il est

soumis à l’application d'une force. C’est à dire, les fluides de grande viscosité

résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent facilement.

3. Principe fondamental de la statique des fluides (PFS)

Dans un fluide, la pression est la même en tout point situé sur un plan horizontal.

On parle de plan isobare. Par contre sur un plan vertical la pression se change.

FB = p+FA où ; p représente le poids

FA et FB représente respectivement la force par liquide bleu et marron.

Puisque la pression est PB = FB/S donc FB = PB . S

Ce qui implique : PB . S= m.g+PA.S / P= m.g et m= ρ. V car ρ =m/V

Où ; ρ est la masse volumique (kg/m3), V est le volume (m3) et m c’est la masse

(kg)

PB . S - PA.S= ρ. V. g

PB - PA = ρ. g. h PFS

Remarque : en mécanique des fluides on utilise la masse volumique au lieu de

la masse

S

A

h

B

𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

→

𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗

→

S

4. Appareil de mesure de la pression

L’appareil utilisé pour mesurer la pression dans les liquides est le manomètre

qu’est un tube en U ou L inversée, qui sert à déterminer la différence de pression

par rapport à celle atmosphérique, de telle sorte que l’une des branches est

introduite dans un fluide et l’autre est à l’air libre, le manomètre ne contient pas

forcement du mercure.

L’appareil utilisé pour mesurer la pression dans les gaz est le baromètre, Il sert à

mesurer la pression atmosphérique, le premier baromètre construit c’est celui du

mercure (expérience de Torricelli) Dans le schéma : 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑃0 = 𝜌𝑔ℎ

Un manomètre

Un baromètre

5. Théorème de Pascal

Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point

entraine la même variation de pression en tout autre point.

Application1 : la presse hydraulique

Lorsqu’on exerce une force f sur le petit piston (f,s). En A, l’augmentation de

pression est P𝐴 =𝑓. 𝑠 …….(1)

D’où une surpression en B (grand piston « F,S ») : PB = 𝐹.𝑆……..(2)

D’après le théorème de Pascal, P𝐴 = P𝐵 d’où 𝐹.𝑆= 𝑓.𝑠

Le liquide exerce sur le grand piston une force 𝐹 d’intensité : 𝐹 = 𝑓 × 𝑆/s

Où ; S = 𝜋.R2 (R=D/2) et s = 𝜋.r2 (r=d/2)

Application 2: Vases communicants

Dans des vases communicants contenant plusieurs non miscible, la pression aux

surfaces libres des différents liquides est la même.

P𝐵 − P𝐴 = 𝜌1.𝑔.ℎ1

P𝐵 – PC = 𝜌2.𝑔.ℎ2

Or :

P𝐵 = P𝐴 = P0 donc : 𝜌1𝑔ℎ1 = 𝜌2𝑔ℎ2

Si : 𝜌2 = 𝜌1

Un fluide a la même hauteur dans deux vases communicants

Exemple ; Château d’eau pour approvisionnement dans la ville.

A B

f

F

h2

A

B

A

h1

C

A

6. Poussée d’Archimed

Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force

(poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume

de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps).

PARCH = ρfluide. Vimm. g

II. DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

1. Introduction

Dans cette section, nous allons étudier les fluides en mouvement. Contrairement

aux solides, les éléments d’un fluide en mouvement peuvent se déplacer à des

vitesses différentes. L’écoulement des fluides est un phénomène complexe. On

s’intéresse aux équations fondamentales qui régissent la dynamique des fluides

incompressibles parfaits, en particulier l’équation de continuité (conservation de

la masse) et le théorème de Bernoulli (conservation de l’énergie).

2. Définitions

2.1 Ligne de courant : c’est la trajectoire suivi par une molécule de fluide.

2.2 tube de courant : c’est la somme des lignes de courant

3. débit volumique

Le débit volumique QV représente la quantité d’écoulement (le volume d’un

fluide en mouvement ΔV) qui traverse une section s pendant un intervalle de

temps Δt.

QV = ΔV/ΔT

QV =S. U

où ; U c’est la vitesse de l’écoulement (m/s)

Et S représente une section de tube (m2)

4. Débit massique

C’est la masse d’un fluide qui traverse une section s pendant un intervalle de

temps Δt.

Qm = Δm/ Δt ou Qm = ρ. Qv

[Qm]= kg/s

5. Conservation du débit (équation de continuité)

Pour une conduite de section variable S1 et S2, et on appliquant la loi de

conservation de la matière :

𝑄1 = 𝑄2 ⟹𝑑𝑉1/𝑑𝑡 =𝑑𝑉2 /𝑑𝑡 ⇒ 𝑑(𝑆1.𝑙1)/𝑑𝑡 = 𝑑(𝑆2.𝑙2)/𝑑𝑡

𝑆1.𝑑𝑙1/𝑑𝑡= 𝑆2.𝑑𝑙2 /𝑑𝑡

⇒ 𝑆1.U1 = 𝑆2.U2 c’est l’équation de continuité

S U

ΔT

U2

S1

S2

U1

6. Théorème de Bernoulli (conservation d’énergie)

L’énergie mécanique totale du fluide est la somme de trois énergies ; l’énergie

potentielle liée à la pression (Ep1=P), l’énergie potentielle liée à l’altitude (Ep2=

ρ.g.z) et l’énergie cinétique volumique (Ecv= ½ ρ. u2).

L’énergie mécanique totale du fluide est alors la somme de ces trois termes :

E = P+ ρ.g.z+½ ρ. u2

Le théorème de Bernoulli est comme suit :

P1+ ρ.g.z1+½ ρ. u12= P2+ ρ.g.z2+½ ρ. u22

7. Applications

7.1 Théorème de TORCELLI (vidange d’une cuve)

La figure ci-contre représente un récipient qui contient deux sections S1 très

grande devant la section S2.

S1 >> S2 ⟹ u1≈0 et h=z1-z2

Bernoulli entre 1 et 2 pour trouver u2 :

P1+ ρ.g.z1+½ ρ. u12 = P2+ ρ.g.z2+½ ρ. u2

2

On aussi P1=P2=P0 ⟹ ρ.g.z1- ρ.g.z2= ½ ρ. u22

⟹ z1- z1 = h ⟹ u2 = √𝟐𝒈𝒉

S2

S1

u2

h

z1

z2

u1

7.2 Effet Venturi

C’est un instrument de mesure qui permet la mesure de la vitesse du fluide en

fonction de la différence de pression.

En appliquant le théorème de Bernoulli entre les deux points 1 et 2 :

P1+ ρ.g.z1+½ ρ. u12= P2+ ρ.g.z2+½ ρ. u22

Puisque z1 = z2 ⟹ P2-P1 = ΔP = 1/2 . ρ. (u12- u22)

En régime permanant et pendant un intervalle du temps Δt, toute la matière

(débit) qui passe en 1 est égale à celle qui passe en 2.

Q1= Q2 ⟹ u1.s1= u2.s2 ⟹ u2= u1.s1/s2

⟹ P2 - P1 = ΔP = 1/2 . ρ.( u12- u12.s12/s22) ⟹ P2 - P1 = ΔP = 1/2 . ρ. u12

(1- s12/s22) c’est l’effet venture.

II. 3 Dynamique des fluides réels

1. Introduction

Dans la section précédente nous avons supposé que le fluide était parfait pour

appliquer l’équation de conservation de l’énergie. L’écoulement d’un fluide réel

est plus complexe que celui d’un fluide idéal. En effet, il existe des forces de

frottement, dues à la viscosité du fluide, qui s’exercent entre les particules de

fluide et les parois, ainsi qu’entre les particules elles-mêmes.

S1

S2

S1

2. Définitions

2.1 Un fluide réel

Un fluide est dit réel si, pendant son mouvement, les forces de contact ne sont pas

perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s’exercent (elles

possèdent donc des composante tangentielles qui s’opposent au glissement des

couches fluides les unes sur les autres). Cette résistance est caractérisée par la

viscosité.

2.1 Les pertes de charge

Les pertes de charge (pertes d’énergie) sont des chutes de pression dues à la

résistance que rencontrent les fluides en écoulement soit avec la conduite, soit au

sein de lui-même (viscosité).

2.2 La viscosité

C’est la résistance à l’écoulement uniforme qui se produit dans la masse d’une

matière. Autrement dit, la viscosité est l’expression mécanique des liaisons

intermoléculaires qu’il faut rompre pour mobiliser les molécules d’un liquide en

écoulement les unes par rapport aux autres.

Fvis = η . s. u/d ⟹ η = Fvis . d / s. u

Où ;

Fvis : c’est les forces de viscosités, η représente le coefficient de viscosité

dynamique, u c’est la vitesse du fluide et d représente la distance

[η]= N. m / m2.m/s= N. s/m2= Pa.s ⟹ 01 Pa. s = 10 poises

corps T (°C) Viscosité ( Pa.s)

Air 27 1.8 10-5

Eau 0 1.8 10-3

Huile d’olive 20 Entre 0.8 et 01

sang 37 Entre 4 10-3 et 25 10-3

3. Écoulement laminaire et turbulents (expérience de Reynolds)

3.1 Ecoulement laminaire

Les tubes de courant ne se mélangent pas ; les couches fluides glissent les unes

sur les autres sans se mélanger et les échanges d’énergie entre elles sont réduits.

3.2 Ecoulement turbulents

Les petits éléments d’un fluide sont animés d’un mouvement désordonnés où les

tubes de courants ne se conserve pas au long de l’écoulement ; les couches de

fluide se mélangent et les échangent d’énergie entre elles soient importants.

Contrairement aux fluides parfaits la vitesse varie suivant la position sur l’axe. Il

faut différencier la vitesse moyenne et la vitesse maximale obtenue sur l’axe. La

formule Q= s. u reste valable si on considère la vitesse moyenne.

3.3 Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds représente le quotient des forces d’inerties qui

favorisent l’écoulement turbulent par rapport aux forces visqueuses qui

favorisent l’écoulement laminaire.

Re = ρ. �̅�. D/η

Où ;

Re : nombre de Reynolds

ρ : la masse volumique du fluide

�̅� : vitesse moyenne de l’écoulement

D : diamètre de canalisation

η : la viscosité du fluide

4. Loi de Poiseuille ( écoulement dans un tube capillaire)

Dans un tuyau cylindrique étroit de rayon R, le débit d'écoulement d'un fluide

visqueux varie en fonction de la distance parcourus à travers le tuyau par la

relation de Poiseuille :

Q = 𝜋 ∙ Δ𝑃 ∙R4/ 8.𝜂.𝑙

Δ𝑃 = P1-P2 (c‘est les pertes de charge) et 𝑙 représente la longueur de canalisation.

5. Loi de Stockes (Résistance opposée par un liquide)

C’est la force de la résistance d’une petite bille lors d son chute dans un fluide

avec une vitesse constante.

F = 6. 𝜋. 𝜂. R. v c’est la loi de Stockes

P1 P2

𝑙

R

Si la force motrice est la pesanteur, la vitesse de la chute devient constante quand

cette force motrice est équilibrée par la force de frottement ; par simplification,

on trouve :

𝑚𝑔 − 𝑚0𝑔 – 6.𝜋.𝜂.R.𝑣 = 𝑚. 𝑑𝑣/dt

Lorsque le régime soit stationnaire 𝑑𝑣/dt =0

Donc : 𝑚𝑔 − m0𝑔 – 6.𝜋.𝜂.R.𝑣 = 4/3. 𝜋. R3.ρ.g-4/3. 𝜋. R3.ρ0.g- 6.𝜋.𝜂.R.𝑣=0

4/3. 𝜋. R3.𝑔. (𝜌 − 𝜌0) = 6.𝜋.𝜂.R.𝑣

Avec (ρ) et (ρ0) désignent les masses volumiques du solide et du liquide, et (g)

l’intensité de la pesanteur. En simplifiant, on trouve :

𝑣 = 2. g. R2. (𝜌 − 𝜌0)/9.

Exercices :(hydrostatique)

Exercice 1 : - Quelle est la pression dans l’océan à une profondeur H= 1500 m ?

On prendra ρ = 1005 kg-3 (eau salée).

Exercice 2 : - Le tube en U contient du mercure (densité 13.57) et de l’huile de densité 0.75 figure (exo2). - Quelle est la pression au manomètre ?

Exercice 3 : Dans le circuit ci-dessous. Calculer la pression en A.

On donne H = 34.3 cm, h = 53 cm, ρeau= 1,05 . 103 kg.m-3 et ρmercure = 13,57 . 10

3 kg.m-3.

Exercice 4 : - Un iceberg de volume V flotte à la surface de l’eau. Déterminer son volume v immergé en fonction de V, de la masse volumique de la glace ρg et de la masse

volumique de l’eau ρe.

Exercice 5 : Dans le baromètre schématisé ci-dessous, déterminer la relation entre la pression absolue du vide (p) et l’hauteur H. Quelle est la valeur maximale de H ?

On a : patm = 1.013 bar g = 9.81 m/s ρ = 13600 kg/m3

air

eau A

h

air

mercure

atmosphère H

Figure (exo 3)

C

D 23 cm

air

Huile 3 m

B

A

Manomètre

Figure (exo 2)

Figure (exo 5)

Vide partiel (pression p)

H

mercure

(atm)

Exercices :(hydrodynamique)

Exercice 1 :

Une quantité d’eau est située à une altitude de 40m au-dessus du niveau de la mer et s’écoule avec

une vitesse de 20 m/s et une pression de 250 KN/m2. Déterminer l’énergie totale de l’eau par unité de

masse.

Exercice 2 :

L’écoulement de l’eau s’effectue dans une conduite circulaire formée de deux tronçons de diamètres D1

et D2. Calculer la pression au point B dans les deux cas suivants :

1- Conduite horizontale. 2- Conduite verticale avec écoulement vers le bas.

D1= 180mm D2=80mm V1=5m/s L=12m P1=20bar

Exercice 3 :

La figure suivante montre un réservoir muni d’un orifice à travers lequel l’eau se décharge

verticalement.

- Déterminer la vitesse de sortie de l’eau et son débit si :

h1 = 2m = h2 d2 = 50mm

Exercice 4 :

Un réservoir muni de 2 orifices déchargent de l’eau librement dans l’atmosphère.

Les 2 jets se rencontrent au point M.

-Montrer que : h1+ y1 = h2+ y2

L

A B V1 V2

A V1

V2

B

L

Z2

Z1

Axe de référence

h1

h2 d2

1

2 Axe de référence

y1

0

1

2

h1

h2

y2

Plan de référence M