Cours de Stat Donné Etudiants

COURS DE STATISTIQUE

INFÉRENTIELLE

E.N.A.CFrançoise SEYTE

Maître de Conférence

Université Montpellier 1

2014 - 20151

MCU F. Seyte, Université Montpellier 1- ENAC- Statistique

OBJECTIFS DU COURS

Le cours a pour objectif d'acquérir et de maîtriser les outils dela statistique mathématique nécessaires à la constructiond'intervalles de confiance et de tests indispensables à la prisede décision pour un futur ingénieur.

2


OBJECTIFS DU COURS

Le cours de statistique probabiliste donne les basesnécessaires pour savoir prendre des décisions utilesdans le futur métier d'ingénieur.

Il essaie de répondre aux questions suivantes :

comment sont construits les échantillons?

Comment déterminer leurs tailles?

Les échantillons sont ils représentatifs de la population?

Peut-on comparer par exemple les moyennes de ces deuxéchantillons?

Peut-on faire des prévisions? …

Autant de questions auxquelles doivent savoir répondre unfutur ingénieur.

3


PROGRAMME

1 - Construction théorique des lois statistiques et lecturedes tables statistiques

2 - Echantillonnage

3 - Estimation ponctuelle

4 - Estimation par intervalles de confiance

5 - Tests non paramétriques (test d'adéquation et testd'indépendance) et paramétriques (tests de significationd'un paramètre et tests de comparaison de paramètres)

4


CHAPITRE 1 ECHANTILLONNAGE

Les lois d’échantillonnage et les variablesd’échantillonnage définies dans ce chapitre vont nousservir dans les chapitres 3 et 5 pour établir les intervallesde confiance (c’est à dire encadrer les paramètresinconnus d’une population : moyenne, variance,proportion) et faire des tests d’hypothèse (c’est-à-diretester les paramètres d’une population à partir desdonnées d’échantillonnage).


5

Notion de base en statistique : celle de population

Population : ensemble d’individus (ou objets ou unitésstatistiques) pouvant être décrits par un ensemble de variables(ou propriétés ou caractéristiques) communes.

Impossible d’étudier tous les individus d’une population

un sondage un échantillon représentatif.

La théorie de l’échantillonnage permet de passer descaractéristiques de la population aux caractéristiques d’unéchantillon représentatif

6


La question essentielle que l’on peut se poser est la suivante :

Pourquoi s’intéresser à l’échantillon, pourquoi ne pas effectuer les calculs nécessaires directement sur la population ?

Pour deux raisons au moins :

- il n’est pas certain que les statistiques désirées soient disponibles sur l’ensemble de la population,

- et d’autre part, il est beaucoup moins coûteux et aussi plus rapide de rassembler des informations sur mille individus plutôt que sur un million.

7


1. DÉFINITIONS

1.1 Echantillons?

Soit X, une variable aléatoire définie dans une

population :

Caractérisée par sa densité de probabilité f(x), dans

le cas d’une variable aléatoire continue,

ou par sa probabilité élémentaire p(x), dans le cas

d’une variable aléatoire discrète.

8


échantillon théorique aléatoire probabilisé

échantillon empirique ou observé

9


Echantillon théorique aléatoire probabilisé :

Echantillon de taille n issu de X, ou n-échantillon de X, le vecteur aléatoire où et indépendants .

L’échantillon est dit IID c'est-à-dire identiquement indépendamment distribué.

10

ni XXXX ,,..., 21 iXX i ji XX ,

ji


Echantillon empirique ou observé :

L’ ensemble des n valeurs images indépendantes de X estconstitué des n images de l’épreuve associée à Xindépendantes

11

n21 x,,x,x


La dernière précision que nous devons apporter avant d’aborder les variables d’échantillonnage est de bien comprendre que les échantillons ne sont pas uniques :

il est en effet possible de prendre plusieurs échantillons de la population mère.

Par conséquent, il est toujours possible de considérer que les échantillons sont choisis de manière aléatoire.

12


1. 2. Vraisemblance d’un échantillon

→ X : variable aléatoire continue caractérisée par

son ensemble de définition f(x) densité de probabilité

→ X: variable aléatoire discrète caractérisée par :son ensemble de définition

p(x) probabilités élémentaires

13

n1 x,,xL

)x(p)x(px,,xL n1n1

)x(f)x(fx,,xL n1n1

)(; xp

)(; xf


SYNTHESE

Caractéristiques de la population

Caractéristiques correspondantes dans l’échantillon

théorique

Caractéristiques correspondantes dans l’échantillon

empiriqueLa moyenne : m

La variance :

ou s² ou La proportion p F f

14

X x

2S 2S ]X[V2

iX

nX

1 22 )(

1XX

nS i

n

XF

s²

^

dxxxfXEm

x

xpxXEm

cas continu

dx)x(fmx)X(EXE]X[V222

x

222 pxmx)X(EXE]X[V


cas discret

les échantillons ne sont pas uniques : il est en effet possiblede prendre plusieurs échantillons de la population mère.

Par conséquent, il est toujours possible de considérer que leséchantillons sont choisis de manière aléatoire.

Ainsi, théoriquement on peut associer à chaque échantillonune statistique comme la moyenne et une probabilitéd’occurrence associée à .

La moyenne de l’échantillon est donc une variable aléatoireque l’on notera , celle-ci rassemble toutes les valeurs prisespar l’ensemble des mesurées sur chaque échantillon.

Il en va de même pour l’écart-type S, la variance S², laproportion F, la caractéristique de l’individu i, …

15


x

X

x

x

2 . VARIABLES D’ÉCHANTILLONNAGE

2.1. Etude de 𝑿

Ex : un chef d’entreprise s’intéresse au diamètre moyen despièces métalliques qu’il fabriqueLa population : ici : les pièces métalliquesLa variable aléatoire X : « diamètre des pièces »Il prélève un échantillon de n pièces. Il mesure le diamètre deces pièces. Il peut calculer le diamètre moyen de ces pièces.C’est une statistiquePar contre la variable aléatoire : « diamètre moyen despièces ». celle-ci rassemble toutes les valeurs prises parl’ensemble des mesurées sur chaque échantillon.

16


Objectifs : calculer pour chacune des variables d’échantillonnage précédentes leurs espérance et variance qui serviront dans la détermination de leurs lois de probabilités.

X

x

x

moyenne de l’échantillon théorique

Les sont des variables aléatoires est une variable

aléatoire.

Calcul de l’espérance de la moyenne de l’échantillon théorique

Calcul de sa variance

17

n

1i

iXn

1X

iX X

mXE

n

XV2


n

1i

i

n

1i

i XEn

1X

n

1EXE mXEXE i )( XX i

n

i

mn

XE1

1

.

²²

²

1XV

²

1V

²

1

11 nn

nnX

n

n

i

n

i

i

ind

XV

2.2. ETUDE DE S²

Les sont des variables aléatoires, donc S² est une

variable aléatoire.

18

n

1i

2i

2 XXn

1S

s

iX

22 1

n

nSE

On recherche 2S 22 ]ˆ[ SEtel que

estimateur sans biais de (Cf. chapitre 2). 2


1

1

11ˆ

2

222

n

XXXX

nn

nS

n

nS

i

i

2.3 ETUDE DE LA PROPORTION D’ÉCHANTILLON FSoit Y une variable aléatoire définie dans une population.

Y présente deux modalités : évènement A évènement

La variable aléatoire Y est donc associée au tirage d’un

individu. Y est une variable de Bernoulli.

Maintenant, soit la variable X associée au tirage de n individus

de manière indépendante (c’est-à-dire au nombre de fois où A

se produit).

Considérons F la proportion dans l’échantillon théorique issude la population. obéit elle aussi à une loi binomiale :

19

A

n

1i

iYX )p,n(BX

n

XF

pFE

n

pqFV


p

n

npXE

n

1

n

XEFE

n

pq

n

npqXV

n

1

n

XVFV

22


20

POPULATION :

Moyenne : m= E[X]

Ecart-type : σ

Variance : σ ² =V[X]

Proportion : p

ECHANTILLON :

Moyenne :

Ecart-type (empirique) : s [ S ]

Variance (empirique) : s² [ S² ]

Proportion : f [ F ]

Taille : n

Caractéristique de l’individu i : xi [Xi]

x [ X ]

3 . LOIS DE PROBABILITÉS DES VARIABLES

D’ÉCHANTILLONNAGE FONDÉES SUR L’HYPOTHÈSE DE

NORMALITÉ : CAS D’UN ÉCHANTILLON TIRÉ D’UNE

POPULATION NORMALE.

21

3.1 Loi de

Quelle est l’utilité de cette loi? Prenons un ex

Une étude statistique effectuée à l’Arena de Montpellier montre que l’affluence des spectateurs est une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne 13500.

Si on choisit aléatoirement un échantillon de 50 spectacles sur ces vingt dernières années, quelle est la probabilité pour que l’affluence moyenne soit strictement supérieure à 13500 spectateurs sachant que l’écart-type de la population s’élève à 1000 ?

X


La variable aléatoire X : « Affluence hebdomadaire des spectateurs ». Il est indiqué dans l’énoncé que X suit une loi normale de moyenne m = 13500 et d’écart-type σ = 1000 :

Epreuve aléatoire : « Choisir un échantillon au hasard de 50 spectacles ».

Ensuite, essayons de bien distinguer les informations relatives à l’échantillon de celles issues de la population :

Taille de l’échantillon : n = 50

22


La question posée dans l’énoncé est relative à « l’affluence moyenne dans l’échantillon ». Il faut donc définir une nouvelle variable aléatoire :

La variable aléatoire : « Affluence moyenne des spectateurs dans l’échantillon ».

La question est précisément « quelle est la probabilité … ». Pour mesurer une probabilité, il nous faut connaître la loi suivie par la variable aléatoire qui nous intéresse. Nous devons donc déterminer la loi suivie par .

23


X

X

3 . LOIS DE PROBABILITÉS DES VARIABLES

D’ÉCHANTILLONNAGE FONDÉES SUR L’HYPOTHÈSE

DE NORMALITÉ : CAS D’UN ÉCHANTILLON TIRÉ

D’UNE POPULATION NORMALE.

3.1 Loi de

Hyp :

24


,mNX

X

Rappels sur la loi normale

RAPPEL LOI NORMALE

25

La variable aléatoire normale X est une variable continue

pouvant prendre n’importe quelle valeur entre et avec ladensité de probabilité :

avec : m l’espérance mathématiquel’écart-type de la distribution.

La variable normale centrée réduite :

avec

Toutes les tables statistiques utilisent la variable normalecentrée réduite

2mx

2

1

e2

1xf

mXU

2

2

2

1u

euf


,mNX

10,NU

26


Cette table donne la densité de probabilité f(u) correspondant aux valeurs de la variable normale centrée réduite.En raison de la symétrie de la courbe de densité, la table permet de déterminer les densités correspondantes à des valeurs négatives de u : f(-u)=f(u)Ex pour f(-2,8)=0,0079=f(2,8)

Table de la densité de probabilité

Le changement de variable permet de déterminer à l’aide de la table, la densité de probabilité correspondant à une valeur quelconque de la variable normale X de moyenne m et d’écart type .

Il existe donc entre les densités de probabilité de x et de u la relation :

Ex :

27


)u(f)x(f

)2,5(NX la densité de probabilité pour x=8 ?

10,NU

512

58,

mxu

064750

2

129501295051 ,

,)x(f,)u(f,u La lecture de la table donne

Table de la fonction de répartition

Cette table donne, pour toute valeur positive u0 de lavariable normale centrée réduite, la valeurcorrespondante de la fonction de répartition F(u0)représentée par l’aire hachurée.

28


f(u)

0 u0

F(u0)

0

2

200

2

1Pr)(

u t

dteuuobuF

)u(FuUobPruUobPr 000 11

29


Supposons que Déterminons la probabilité pour que X soit compris entre deux valeurs a et b :

,mNX

mbmXmaobPrbXaobPr

maF

mbF

mbU

maobPrbXaobPr

)1,0(NmX

U

Exemple : Soit X une variable normale de moyenne 5 et d’écart type 2 : Calculer la probabilité pour que X soit compris entre 1 et 7.

25,NX

8185097720184130

21121121

12

2

57

2

5

2

5171

,,.

)(F)(F)(F)(F)(F)(F

UobPr

XobPrXobPr

30

MCU F. Seyte, Université Montpellier 1- EM Alès - Statistique 1A

Table de la loi normale centrée réduite Cette table permet de trouver la valeur d’une variable normaleen fonction de la probabilité P de dépassement ou de laprobabilité Q complémentaire (Q=1-P). C'est-à-dire que dans cecas, est connue et on cherche à déterminer

Si > 0,5 alors on lira directement dans la table la valeur de u0.Si < 0,5 alors on lira dans la table la valeur de -u0.

0uF 0u

0uF

0uF

f(u)

0

u0

u

P

Q

00

0

uFuUobPrQ

uUobPrP

Exemple : On cherche tel que

31


0u P,uUobPr 7500

f(u)

0

u0

u

P

Q

75%

250

250

7501

0

0

0

,uF

,uUobPr

,uUobPr

500 ,uF

on lira donc -u0

La lecture de la table donne 0,6745 donc 674500 ,u

Soit u0 la valeur telle que

32


%uuobPr 50

f(u)

0

u0

u

P

5%

95%

950

950

0501

5

0

0

0

0

,uF

,uUobPr

,uUobPr

%uuobPr

95.u remplace la valeur de la variable centrée réduite ayant comme fonction de répartition 95% et/ou ayant comme probabilité de dépassement 5%

On lit cette valeur dans la table 6449,1%95 %5 95. uQP

95.0 uu

CONDITIONS D’APPLICATION

1) Somme de variables normales indépendantes

Ce résultat s’étend à un nombre quelconque de variables normalesindépendantes.

2) Le théorème central limite

si les variables suivent des lois de même nature de moyenne m et d’écart type , si les sont indépendants

* est asymptotiquement normale de moyenne mn et d’écart type

*

3) Approximation de la loi binomiale par la loi normale

33


22

212121

222

111,mmNXX

,mNX

,mNX

iX

n

n,nmNXni

n,mN

n

XX

i

nn

nXV

nXV

mnmn

XEn

XE

i

i

2

2

2

2

1

11

iX

18

50

np

nnpq,npNp,nBX

L

34


nmNX ;

D’après le théorème central limite: NX

mXE n

XV2

Loi de X

SUITE EX DIAPO 22

Il y a donc une probabilité de 50% que l’affluence moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 13500 personnes.

35


)0001 ; 13500(),(~X NmN

nmNX

;~ 50/1000 ; 13500~ NX

)1 ; 0(~U N

n

mX

501000

13500U

X

.5,0)0(1)0U(P

501000

1350013500P)13500(P

UF

n

mXX

3.2 LOI DE LA VARIANCE S²


La politique de cohésion sociale d’un pays a, selon legouvernement en place, besoin de tenir compte desinégalités de revenu entre les salariés du secteur privé. Afind’y parvenir, le gouvernement prélève un échantillon de 30salariés du secteur privé, la moyenne étant de 1700€ et lavariance empirique de 1000€ (la variance de la populationétant de 1517.47€). Le gouvernement décidera de rehausserles bas salaires de 5% si la probabilité que la varianceempirique dépassant 1000€ est au moins de 20%. Legouvernement interviendra-t-il en faveur des bas salaires ?

Afin de résoudre le problème, traduisons la question poséeen langage statistique : 36


?1000S²P

Loi de la variance S²Théorème de Fisher

Soit un échantillon IID issu de la loi Normale de moyenne m et d’écart type (notée : N(m,)), alors :

les grandeurs aléatoires sont indépendantes.

ou car

37


n

mXet

S1n

2

2

)1n(

S1n 2

2

2

)1n(nS 2

2

2

22 S1n

nS

)1(2

2

2

nnS

LOI DU KHI DEUX

1) DéfinitionLoi du à un degré de liberté

Loi du à n degrés de liberté :

Soient avec i=1, …n les Ui sont indépendantes

pour a >0

38


2

2

22

1

2

1

01

x

ex

)x(f

,X)(XUX

10,NU

2 12

2 n2

10,NUi

)n(U...UUUU ni222

322

21

2

)(2 nX ,X 0

122

22

2

1

nx

nxe

n

)x(f

0

1dttea at !1 nn

2

1

39


n=2

n=4

n=15

2

2f

La distribution du est dissymétrique avec étalement vers la droite

Elle se rapproche de la distribution normale à laquelle elle peut être assimiléelorsque n>30

2

n)x(V

n)X(E

2

2 )TABLE STATISTIQUE

40


1-P

n2

2f

20

P

La distribution du ne dépendant que d’un seul paramètre n, le nombre de degrés de liberté, la table est à double entrée.Elle donne pour , la valeur de ayant la probabilité P d’être dépassée.

2

30n 2

20 2

0

2PrP que est tel nob np21

20

3) LECTURES DANS LA TABLE

41


95%

n2

2f

202

95.

5% 41.31202

95.

97.5%

n2

2f

152

025.

2.5% 26.6152

025.

lorsque n>30 on admet que : 10122 2 ,Nn

67.22 2/)²1-50*2(1.6449 )²/21-DDL *2.952

95. u(50

4) SOMME DE VARIABLES DE INDÉPENDANTES

42


2

1X 12 n

2X 22 n

et indépendantes 1X 2X

21

2

21 nnXX

n

i

i

n

i

nii nn...n...nnX

1

2

1

222

21

2

)n(X ii2 iX indépendantes

Théorème d’additivité de indépendants 2

SUITE EX DIAPO 36

43


. 77.19KP1517.45

100003

²

S²P1000S²P

n

Dans la table du à la ligne v = 29, on constate que le fractile 19.77 correspond à une probabilité de 0,9. D’où :

. 0,91000S²P

Le gouvernement interviendra en faveur des bas salaires si cette probabilité dépasse 20%, ce qui est le cas.

2

3.3 LOI DE INDÉPENDANTE DE (DE LA VARIANCE

DE LA POPULATION)


A la suite d’une étude statistique effectuée par le CROUS surces 15 dernières années, on estime que l’affluencehebdomadaire des étudiants au restaurant universitaire estune variable aléatoire que nous noterons X qui suit une loinormale de moyenne 2000. On choisit aléatoirement unéchantillon de 52 semaines sur ces 15 dernières années.L’écart-type de l’affluence hebdomadaire mesurée surl’échantillon est de 500. Quelle est la probabilité pour quel’affluence moyenne hebdomadaire soit strictementsupérieure à 2050 étudiants ?

44


X 2

La variable aléatoire X : « Affluence hebdomadaire desétudiants au restaurant universitaire »

« Affluence hebdomadaire moyenne des étudiants aurestaurant universitaire issus de l’échantillon »

L’épreuve aléatoire : « Choisir un échantillon au hasard de 52semaines »

45


) ; 2000(),(~X NmN

X

)/;(~ nmNX

Distinguons les informations relatives à l’échantillon de celles issuesde la population :

Taille de l’échantillon : n = 52

Ecart-type de l’échantillon : s = 500. Notons qu’il s’agit bien de s etnon de S puisque nous prenons la mesure de l’écart-type sur unéchantillon particulier.

L’écart-type de la population σ : inconnu

?

La technique consiste à faire « disparaître » σ, on l’appelleratechnique de « Studentisation ».

46


52

20002050P)2050(P

n

mXX

un échantillon IID

studentisation

La loi de Student est le rapport entre une variablealéatoire obéissant à une loi normale centrée réduite etla racine carrée d’une variable aléatoire suivant une loide rapporté à son degré

47


ni1 XXX

);m(NXi

n

;mNX

Ici INCONNU

2

LOI DE STUDENT 1)DÉFINITION

2 variables aléatoires X et Y indépendantes

48


10,NX nY 2

nY

XnT

10,NnTalorsnsi

n

n

,NnT

2

10

En pratique, lorsque n > à 30

2 )TABLE STATISTIQUE

donne la probabilité P d’être dépassée en valeur absolue

49


f(t)

0

t0

t

P/2

P/2

1-P

-t0

000 tTobPrettTobPrtTobPrP

Notation : t0 =t1-p/2 -t0 = tp/2 = - t1-p/2

3 )LECTURES DANS LA TABLE

50


f(t)

0

t0=t.95

t(20)

5%

5%

1-P=90%

-t0= t.05

725.1

%10

200

t

p

n

IBS

1.372 (10)T.80

IBS

1.725 (20)T.90

2ème exemple

POUR TROUVER LA LOI DE INDÉPENDANTE DE

51


)1n(T1nS

mX

)1n(

nS

n

mX

2

2

nn

NnT

)(

)1,0()(

2

)1(2

2

2

nnS

nmNX ;

X

SUITE EX DIAPO 44

Convergence : d’où FT = FU. On obtient :

52


51500

20002050TP

51500

20002050

1P)2050(P

nS

mXX

)71,0(1)71,0T(P TF

)1;0(T N

C

.2389,07611,01)71,0(1)71.0(1)71,0)51(P(T UT FF

Il y a donc une probabilité de 23.89% que l’affluence moyennedans l’échantillon soit supérieure à 2050 personnes.

3.4 LOI DE F


Deux usines A et B fabriquent des avions de même marque.L’usine A produit 4% d’avions ayant des problèmes la premièreannée. Une compagnie reçoit 600 avions en provenance de A.

Quelle est la probabilité pour que la compagnie trouve moinsde 1% d’avions défectueux ?

53


Soit X la variable aléatoire : « Nombre d’avions défectueux enprovenance de l’usine A »

Epreuves aléatoires : « Choisir un avion au hasard dansl’échantillon nA »,

F : « l’avion provenant de A est défectueux » avec pA = 4%.

« l’avion provenant de A n’est pas défectueux » avec qA =96%.

XA() = {0,1,2,…, 600} et nA = 600

Convergence : La loi binomiale converge vers la loi normale (les deux conditions nApA > 18 et nA > 50 D’où :

54


),(~XA AA pnB

qpnpnNAAAAA

C

A ;X

,84 ; 42XA NC

?)01,0F(P A

F

LOI DE F

Supposons ( en pratique n > 50) et np > 18.

Soit

F converge alors vers une loi normale. On a montré dans le paragraphe 2.3 (diapo 19) que et .

55


)p,n(BX

n

npq,npN)p,n(BX

L

n

XF

pFE

n

pqFV

n

pqpNF

L

,

SUITE EX DIAPO 54

56


.099991,01)75,3(175,3UP1

75,3UP0,008

04,001,0FP)01,0F(P

U

A

AA

AAA

F

n

qp

p

;~ X

FA

AA

A

A

AA

n

qppN

n 008,0 ; 04,0~

XF

A

AA N

n

4 LOIS DE PROBABILITÉ DE VARIABLES D’ÉCHANTILLONNAGE

À PARTIR DE DEUX ÉCHANTILLONS TIRÉS DANS DEUX

POPULATIONS NORMALES.

Soient deux populations dans lesquelles nous définissons deux variables aléatoires et .

Dans ces deux populations, nous prélevons deux échantillons IID de taille respective n1 et n2.

HYPS :

57


1X 2X

),m(NX 111

),m(NX 222

4.1 LOI DE LA DIFFÉRENCE DES MOYENNES

D’ÉCHANTILLONS LORSQUE ET SONT CONNUS


Les mécaniciens d’une compagnie A ont un revenu moyen de2500 euros avec un écart-type de 1100 euros. La compagnie Benregistre un revenu moyen de 3200 euros avec un écart-typede 1000 euros. Les revenus sont indépendants etidentiquement distribués.

Déterminez la probabilité pour que le revenu moyen d’unéchantillon de 62 personnes choisies de manière aléatoiredans la compagnie A soit inférieur d’au moins 900 euros àcelui d’un échantillon de même effectif tiré au hasard dans lacompagnie B.

58


21

22

Xi la variable aléatoire : « Revenu des mécaniciens de lacompagnie i », i ∈{A,B}

Epreuves aléatoires : « Choisir un salarié au hasard dansl’échantillon ni = 62 de la compagnie i », i ∈{A,B}. Les deuxéchantillons sont de même taille nA = nB = 62.

Loi de probabilité : celle-ci n’est pas fournie mais la conditionspécifiée dans l’énoncé « revenus indépendants etidentiquement distribués » permet l’utilisation du théorèmede la limite centrale. On considère pour cela que deséchantillons de taille 62 permettent de garantir une conditionnécessaire du théorème : n → ∞. On en déduit alors soushypothèse de revenus indépendants et identiquementdistribués que : i∈{A,B}

59


iii m ; ~X

: « Revenu moyen des mécaniciens de l’échantillon prélevé dans la compagnie i », i ∈{A,B}

60


1100 ; 2500~XA N .1000 ; 3200~XB N

iX

?900P AB XX

)/;(~ AA AA nmNX )/; (~ BB BB nmNX

?~AB XX

LOI DE

avec X1 et X2 indépendantes

D’après le théorème central limite :

61


2

222

1

22

2

1

111

1

11

1

,1

,1

nmNXX

nX

nmNXX

nX

n

i

i

n

i

i

2

2

2

1

2

12121 ;

nnmmNXX

21 XX

SUITE EX DIAPO 59

La probabilité pour que le revenu moyen dans l’échantillon Asoit inférieur d’au moins 900€ de celui de l’échantillon B est de14,66%.

62


.1466,08554,01)06,1(106,1UP

8,188

700900P900P

U

B

2

B

A

2

A

ABABAB

F

nn

mmXXXX

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Cours de Stat Donné Etudiants