Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Cours de statistiques pour biologistesIntroduction aux tests

Alexandre MIZRAHI

Département de MathématiquesUniversité de Cergy Pontoise.

17 mars 2010

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Plan

1 Rappels

2 Student

3 Définitions

4 Différents tests statistiques

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Plan

1 Rappels

2 Student

3 Définitions

4 Différents tests statistiques

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Un exemple : Le juge statisticien.

Pièce non truquée Pièce truquéeAcquittement du joueur Bien MauvaisCondamnation du joueur Très mauvais Bien

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Un exemple : Le juge statisticien.

Pièce non truquée Pièce truquéeAcquittement du joueur Bien MauvaisCondamnation du joueur Très mauvais Bien

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Un exemple : Le juge statisticien.

Pièce non truquée Pièce truquéeAcquittement du joueur Bien MauvaisCondamnation du joueur Très mauvais Bien

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Un exemple : Le juge statisticien.

Pièce non truquée Pièce truquéeAcquittement du joueur Bien MauvaisCondamnation du joueur Très mauvais Bien

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Un exemple : Le juge statisticien.

Pièce non truquée Pièce truquéeAcquittement du joueur Bien MauvaisCondamnation du joueur Très mauvais Bien

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Un exemple : Le juge statisticien.

Pièce non truquée Pièce truquéeAcquittement du joueur Bien MauvaisCondamnation du joueur Très mauvais Bien

H0 est vrai H1 est vraiOn conclut H0 Bon E. deuxième espèceOn conclut H1 E. première espèce Bon

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Plan

1 Rappels

2 Student

3 Définitions

4 Différents tests statistiques

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Test de Student

Loi Moyenne Variance EffectifPopulation 1 Normale µ1 σ2

Population 2 Normale µ2 σ2

Échantillon 1 m1 (X 1) s2

1 (S21 ) n1

Échantillon 2 m2 (X 2) s2

2 (S22 ) n2

Statistique du test de Student

T =X 1 − X 2√

1n1 + 1

n2

√(n1−1)bS2

1+(n2−1)bS22

n1+n2−2

1 Si µ1 = µ2 alors T suit une loi de Student à n1 + n2 − 2degrés de liberté.

2 Si les loi sont proches de lois normale et si les ni sont grandsalors T suit une loi proche d’une loi normale centrée réduite.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Test de Student

Loi Moyenne Variance EffectifPopulation 1 Normale µ1 σ2

Population 2 Normale µ2 σ2

Échantillon 1 m1 (X 1) s2

1 (S21 ) n1

Échantillon 2 m2 (X 2) s2

2 (S22 ) n2

Statistique du test de Student

T =X 1 − X 2√

1n1 + 1

n2

√(n1−1)bS2

1+(n2−1)bS22

n1+n2−2

1 Si µ1 = µ2 alors T suit une loi de Student à n1 + n2 − 2degrés de liberté.

2 Si les loi sont proches de lois normale et si les ni sont grandsalors T suit une loi proche d’une loi normale centrée réduite.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Test de Student

Loi Moyenne Variance EffectifPopulation 1 Normale µ1 σ2

Population 2 Normale µ2 σ2

Échantillon 1 m1 (X 1) s2

1 (S21 ) n1

Échantillon 2 m2 (X 2) s2

2 (S22 ) n2

Statistique du test de Student

T =X 1 − X 2√

1n1 + 1

n2

√(n1−1)bS2

1+(n2−1)bS22

n1+n2−2

1 Si µ1 = µ2 alors T suit une loi de Student à n1 + n2 − 2degrés de liberté.

2 Si les loi sont proches de lois normale et si les ni sont grandsalors T suit une loi proche d’une loi normale centrée réduite.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Test de Student

Loi Moyenne Variance EffectifPopulation 1 Normale µ1 σ2

Population 2 Normale µ2 σ2

Échantillon 1 m1 (X 1) s2

1 (S21 ) n1

Échantillon 2 m2 (X 2) s2

2 (S22 ) n2

Statistique du test de Student

T =X 1 − X 2√

1n1 + 1

n2

√(n1−1)bS2

1+(n2−1)bS22

n1+n2−2

1 Si µ1 = µ2 alors T suit une loi de Student à n1 + n2 − 2degrés de liberté.

2 Si les loi sont proches de lois normale et si les ni sont grandsalors T suit une loi proche d’une loi normale centrée réduite.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Déroulement d’un test

Déroulement d’un test

1 Choix des 2 hypothèses : H0 et H1.2 Choix du risque de première espèce du test.3 Choix de la statistique du test T .4 Choix de la forme du test.5 Construction du test : calcul de la région critique.6 Expérimentation et confrontation des résultats avec le seuil.7 Décision : H0 ou H1.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Déroulement d’un test

Déroulement d’un test1 Choix des 2 hypothèses : H0 et H1.

2 Choix du risque de première espèce du test.3 Choix de la statistique du test T .4 Choix de la forme du test.5 Construction du test : calcul de la région critique.6 Expérimentation et confrontation des résultats avec le seuil.7 Décision : H0 ou H1.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Déroulement d’un test

Déroulement d’un test1 Choix des 2 hypothèses : H0 et H1.2 Choix du risque de première espèce du test.

3 Choix de la statistique du test T .4 Choix de la forme du test.5 Construction du test : calcul de la région critique.6 Expérimentation et confrontation des résultats avec le seuil.7 Décision : H0 ou H1.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Déroulement d’un test

Déroulement d’un test1 Choix des 2 hypothèses : H0 et H1.2 Choix du risque de première espèce du test.3 Choix de la statistique du test T .

4 Choix de la forme du test.5 Construction du test : calcul de la région critique.6 Expérimentation et confrontation des résultats avec le seuil.7 Décision : H0 ou H1.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Déroulement d’un test

Déroulement d’un test1 Choix des 2 hypothèses : H0 et H1.2 Choix du risque de première espèce du test.3 Choix de la statistique du test T .4 Choix de la forme du test.

5 Construction du test : calcul de la région critique.6 Expérimentation et confrontation des résultats avec le seuil.7 Décision : H0 ou H1.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Déroulement d’un test

Déroulement d’un test1 Choix des 2 hypothèses : H0 et H1.2 Choix du risque de première espèce du test.3 Choix de la statistique du test T .4 Choix de la forme du test.5 Construction du test : calcul de la région critique.

6 Expérimentation et confrontation des résultats avec le seuil.7 Décision : H0 ou H1.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Déroulement d’un test

Déroulement d’un test1 Choix des 2 hypothèses : H0 et H1.2 Choix du risque de première espèce du test.3 Choix de la statistique du test T .4 Choix de la forme du test.5 Construction du test : calcul de la région critique.6 Expérimentation et confrontation des résultats avec le seuil.

7 Décision : H0 ou H1.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Déroulement d’un test

Déroulement d’un test1 Choix des 2 hypothèses : H0 et H1.2 Choix du risque de première espèce du test.3 Choix de la statistique du test T .4 Choix de la forme du test.5 Construction du test : calcul de la région critique.6 Expérimentation et confrontation des résultats avec le seuil.7 Décision : H0 ou H1.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Plan

1 Rappels

2 Student

3 Définitions

4 Différents tests statistiques

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Définitions.

DéfinitionsOn appelle risque de première espèce un réel α tel que si H0 estvrai la probabilité de conclure H1 est égale (ou inférieure) à α.

La p-valeur (en anglais p-value) d’un test d’hypothèse est laprobabilité sous H0, qu’une réalisation de la statistique de testT soit plus "extraordinaire" (c’est-à-dire plus en extrémité dedistribution) que la valeur observée tobs .On appelle puissance du test la probabilité de rejeter H0lorsque H0 est faux (courbe de puissance).La taille d’effet d est déterminée à partir d’une valeur donnéepar le praticien µ1 qui permet de décider à partir de quellevaleur on est significativement différent de µ0. On a alorsd = µ1−µ0

σ

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Définitions.

DéfinitionsOn appelle risque de première espèce un réel α tel que si H0 estvrai la probabilité de conclure H1 est égale (ou inférieure) à α.La p-valeur (en anglais p-value) d’un test d’hypothèse est laprobabilité sous H0, qu’une réalisation de la statistique de testT soit plus "extraordinaire" (c’est-à-dire plus en extrémité dedistribution) que la valeur observée tobs .

On appelle puissance du test la probabilité de rejeter H0lorsque H0 est faux (courbe de puissance).La taille d’effet d est déterminée à partir d’une valeur donnéepar le praticien µ1 qui permet de décider à partir de quellevaleur on est significativement différent de µ0. On a alorsd = µ1−µ0

σ

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Définitions.

DéfinitionsOn appelle risque de première espèce un réel α tel que si H0 estvrai la probabilité de conclure H1 est égale (ou inférieure) à α.La p-valeur (en anglais p-value) d’un test d’hypothèse est laprobabilité sous H0, qu’une réalisation de la statistique de testT soit plus "extraordinaire" (c’est-à-dire plus en extrémité dedistribution) que la valeur observée tobs .On appelle puissance du test la probabilité de rejeter H0lorsque H0 est faux (courbe de puissance).

La taille d’effet d est déterminée à partir d’une valeur donnéepar le praticien µ1 qui permet de décider à partir de quellevaleur on est significativement différent de µ0. On a alorsd = µ1−µ0

σ

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Définitions.

DéfinitionsOn appelle risque de première espèce un réel α tel que si H0 estvrai la probabilité de conclure H1 est égale (ou inférieure) à α.La p-valeur (en anglais p-value) d’un test d’hypothèse est laprobabilité sous H0, qu’une réalisation de la statistique de testT soit plus "extraordinaire" (c’est-à-dire plus en extrémité dedistribution) que la valeur observée tobs .On appelle puissance du test la probabilité de rejeter H0lorsque H0 est faux (courbe de puissance).La taille d’effet d est déterminée à partir d’une valeur donnéepar le praticien µ1 qui permet de décider à partir de quellevaleur on est significativement différent de µ0. On a alorsd = µ1−µ0

σ

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Fig.: Courbe de puissance du test du juge statisticien

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Plan

1 Rappels

2 Student

3 Définitions

4 Différents tests statistiques

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Différents tests

Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée.

T =√

nX − µ

S

Comparaison de deux moyennes.Comparaison de deux moyennes, avec des échantillonsappariés.Comparaison de deux proportions.Comparaison du coefficient de corrélation avec 0.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Différents tests

Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée.Comparaison d’une proportion à une valeur donnée.

T =√

nX − p

S

Comparaison de deux moyennes.Comparaison de deux moyennes, avec des échantillonsappariés.Comparaison de deux proportions.Comparaison du coefficient de corrélation avec 0.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Différents tests

Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée.Comparaison d’une proportion à une valeur donnée.Comparaison de deux moyennes.

Comparaison de deux moyennes, avec des échantillonsappariés.Comparaison de deux proportions.Comparaison du coefficient de corrélation avec 0.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Différents tests

Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée.Comparaison d’une proportion à une valeur donnée.Comparaison de deux moyennes.Comparaison de deux moyennes, avec des échantillonsappariés.

Comparaison de deux proportions.Comparaison du coefficient de corrélation avec 0.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Différents tests

Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée.Comparaison d’une proportion à une valeur donnée.Comparaison de deux moyennes.Comparaison de deux moyennes, avec des échantillonsappariés.Comparaison de deux proportions.

T =F1 − F2

S√

1n1 + 1

n2

avec S2 =

(n1F1 + n2F2

n1 + n2

)(1− n1F1 + n2F2

n1 + n2

)

Comparaison du coefficient de corrélation avec 0.

Rappels Student Définitions Différents tests statistiques

Différents tests

Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée.Comparaison d’une proportion à une valeur donnée.Comparaison de deux moyennes.Comparaison de deux moyennes, avec des échantillonsappariés.Comparaison de deux proportions.Comparaison du coefficient de corrélation avec 0.

T =rxy (n − 2)√

1− rxy

où rxy est le coefficient de corrélation linéaire de l’échantillon,sous H0, T ∼ S(n − 2)