Exercices de Mathématiques UE : L2-M …mizrahi.u-cergy.fr/fichier a telecharger/approfondissements vieux.pdf · du cours ils sont repérables par le sigle C, ... Ramis, Warusfell,

Exercices de Mathématiques

UE : L2-M Approfondissements

Licence de sciences 2ème annéeParcours Mathématiques

17 septembre 2008

Alexandre MIZRAHI

Table des matières

1 Il existe des irrationnels (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Écriture des réels dans une base donnée (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Les fractions continues (2 semaines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Dénombrabilité (2 semaines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Relation d'ordre, intervalle (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Points d'accumulation, ensemble dérivé, ensemble parfait (1 semaine) . . . . . . . . 167 Sous groupes additifs de R (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Nombres constructibles (2 semaines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Ensemble de Cantor (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210 Exemples de fonctions 'curieuses' de R dans R (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . 24

Présentation de l'enseignementCet enseignement se présente essentiellement sous forme d'exercices, certains correspondent à

du cours ils sont repérables par le sigleC, et sont à connaître. Certains exercices sont plus diciles

ils sont siglésD, d'autres sont particulièrement facile ils sont marqués d'un

F. Cet enseignement

est l'occasion de revoir un nombre important de théorèmes déjà vu durant vos études, ils sontmarqués d'un

Ret sont aussi à connaître avec précision. Un des objectifs de cet enseignement est

d'habituer l'étudiant à la résolution de problèmes, de façon général le choix pédagogique de toutprésenter sous forme d'exercice est une façon de mettre en exergue l'importance de chercher

Évaluation de l'enseignementL'évaluation se fait à l'aide de 10 CC, un par semaine durant les 10 premières semaines, si on

classe ces 10 notes x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ x10, la note de CC est donnée par∑10i=1 ixi∑10i=1 i

La note nale de l'enseignement est donnée à l'aide de cette note CC et de la note d'examen Epar

max(1

3(CC + 2E), E)

Bibliographie légère

a. La planète R, voyage au pays des nombres réels. H. Boualem & R. Brouzet. (Dunod)

b. Mathématiques tout en 1 pour la licence Niveau L2. Ramis, Warusfell, ... (Dunod)

c. Théorie des corps, la règle et le compas. Carrega (Hermann)

d. fr.wikipedia.org

2

2008 S4-M-Approfondissements

1 Il existe des irrationnels

ExerciceF1 : Rappeler la dénition de "Deux entiers naturels m et n sont premiers entre

eux".Montrer par l'absurde que

√2 est irrationnel , on pourra commencer par écrire

√2 comme le

rapport de deux entiers premiers entre eux.De même montrer que

√3 puis 3

√2 sont irrationnels.

ExerciceF2 : Montrer que

√6 est irrationnel en déduire que

√2 +√

3 est irrationnel.

Exercice 3 : Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel, et donner un exemplede couple d'irrationnels dont la somme est rationnel.

Exercice 4 : Soit e le réel déni par la somme de la série∞∑n=0

1

n!. On va montrer qu'il est

irrationnel.

a. On pose Nn = n!

(e−

n∑k=0

1

k!

), montrer que Nn ≤

∞∑t=n+1

1

(n+ 1)t≤ 1

n.

b. Supposons que e = pqavec p et q premiers entre eux, montrer que pour n ≥ q, Nn est un

entier.

c. Montrer que Nn = 0 et conclure.

Exercice 5 : Soit r un entier supérieur à 2.

a. Montrer que la série de terme général1

r(k2)est convergenteR , on note α sa somme.

b. On pose Nn = r(n2)(α−

∑nk=0

1

r(k2)

), montrer que Nn =

∑∞t=1 r

−t(t+2n) ≤ 1r2n−1

.

c. Supposons que α = pqavec p et q premiers entre eux, montrer que qNn est un entier.

d. Montrer que qNn = 0, en déduire que α est irrationnel.

Exercice 6 : Appliquer une méthode similaire aux deux précédentes pour montrer que le nombre

de Liouville λ =∞∑k=0

1

10k!est irrationnel.

Exercice 7 : Montrons que π2 est irrationnel, on suppose que π2 = pqou p et q sont deux

entiers naturels premiers entre eux.On pose

Pn(X) =1

n!Xn(1−X)n et Nn = πpn

∫ 1

0

Pn(x) sinπxdx

a. Montrer que 0 < Nn ≤πpn

n!

∫ 1

0

sin(πx)dx ≤ 2pn

n!.

b. Montrer que les dérivées successives de Pn prennent des valeurs entières en 0 et en 1, onpourra commencer par regarder les dérivées d'ordre inférieur à n, puis étudier lescoecients de n!Pn pour les ordres supérieurs.

c. Montrer à l'aide d'intégrations par partie successives que Nn ∈ N.d. En déduire que π2 est irrationnel, puis qu π est irrationnel.

ExerciceD8 : On dit qu'un réel est algébrique si il existe un polynôme non nul, à coecient

entier dont il est racine.

a. Montrer que 13et√

3 sont algébriques.

b. Soient n ∈ N∗, p un nombre premier, P (X) = 1(p−1)!

Xp−1(X − 1)p(X − 2)p . . . (X − n)p et dle degré de P . Montrer que

3

S4-M-Approfondissements 2008

(1) Pour tout entier k supérieur à p, le polynôme P (k) est à coecient entier, divisiblepar p.

(2) ∀k ∈ 0, 1, . . . , p− 1,∀j ∈ 1, . . . , n, P (k)(j) = 0.

(3) ∀k ∈ 0, 1, . . . , p− 2, P (k)(0) = 0.

(4) Montrer que P (p−1)(0) = (−1)np(n!)p.

(5) ∀x ∈ [0, n], |Pn(x)| ≤ nnp+p−1

(p−1)!.

(6) Soient α un nombre complexe, Q = P + P ′ + P (2) + . . .+ P (d) et

Iα(P ) =

∫ 1

0

αe−αuP (αu)du

i. Montrer que Iα(P ) = [−e−αxQ(αx)]10.

ii. Montrer que eαQ(0) = Q(α) + eαIα(P ).

c. Supposons que e soit algébrique il existe alors des entiers a0, a1, . . . , an tels que∑ni=0 aie

i = 0

(1) On pose Np =∑n

k=0 akQ(k), montrer que Np = −∑n

k=1 akekIk(P ).

(2) Montrer ∃j ∈ Z, Q(0) = a0(−1)np(n!)p + jp.

(3) Montrer ∃m ∈ Z, Np = a0(−1)np(n!)p +mp.

(4) Montrer qu'il existe p0 tel que pour tout nombre premier p supérieur à p0 on ait,a0(−1)np(n!)p n'est pas un multiple de p. En déduire que pour de tels p, Np est unentier non nul.

(5) Montrer que

|Np| ≤ en∫ n

0

e−t|P (t)|dtn∑k=1

|ak| ≤ enn∑k=1

|ak|nnp+p−1

(p− 1)!

(6) Montrer que limp→∞Np = 0.

d. En déduire que e est transcendant , c'est à dire qu'il n'est pas algèbrique.

Exercice 9 : Soit P un polynôme à coecient entier de degré n ne possédant pas de racinerationnelle, et α une racine de P .

a. Montrer que pour tout rationnel pq, on a |P (p

q)| ≥ 1

qn .

b. En appliquant le théorème des accroissements nis à P entre α et pq∈ [α− 1;α + 1],

montrer qu'il existe une constante C telle que ∀pq∈ Q, |α− p

q| ≥ C

qn .

c. En déduire que le nombre de Liouville λ(cf exercice 6) est transcendant. On pourracommencer par montrer que :∣∣∣∣∣λ−

m∑k=0

1

10k!

∣∣∣∣∣ ≤ 1

10(m+1)!

∞∑t=0

1

10t

4


2 Écriture des réels dans une base donnée

Écriture des entiers dans une base b

ExerciceF10 : Écrire dans un tableau les 15 premiers entiers en base 10 ;2 ;3 ;5 ; 12.

ExerciceF11 : Écrire l'entier 100 en base 2, en base 3, en base 6, et en base 12.

Écrire l'entier 1582 en base 12.

ExerciceF12 : Écrire la table d'addition en base 6, eectuer sans passer par l'écriture

décimale l'addition des entiers suivants écrit en base 6. 1035 + 543.Même question avec 1035421032 + 423512.

ExerciceF13 : Écrire la table de multiplication en base 6, eectuer sans passer par l'écriture

décimale le produit des entiers suivants écrit en base 6. 135× 43.Même question avec 1235× 543.Eectuer la division euclidienne de 345 par 25.

ExerciceC14 : Soit b un entier naturel supérieur à 2 appelé base, on appelle alors les entiers

naturel strictement inférieur à b les chires.

a. Montrer à l'aide de divisions euclidiennes successives que pour tout entier m ∈ N∗ il existeun entier p et une (p+ 1)-liste de chire (a0, a1, . . . , ap) telle que ap 6= 0 et

m =

p∑k=0

akbk

b. Montrer que bp ≤ m < bp+1 en déduire que l'entier p de la question a. est unique.

c. Montrer que la (p+ 1)-liste de chires (a0, a1, . . . , ap) de la question a. est unique. On notealors :

m = apap−1 . . . a1a0

ExerciceC15 : Utilisation de la base 2 pour l'exponentiation rapide . Le calcul classique de

x32 demande le calcul de 31 produits mais on peut remarquer que c'est aussi ((((x2)2)2)2)2, quine fait intervenir que 5 produits. Écrire 21 en base 2, en déduire une méthode pour le calcul dex21 avec un nombre réduit de multiplications. Même question avec x149.

ExerciceF16 : Commençons par quelques rappels sur l'anneau Z/nZ . a et b deux entiers, on

dit que a congrue à b modulo n (noté a ≡ b[n]), si ils ont même reste par la division euclidiennepar n. On note a l'ensemble des entiers qui congruent à a modulo n, et Z/nZ l'ensemble des a.On peut dénir deux opérations sur Z/nZ par

a+ b = a+ b

a× b = ab

a. (1) Montrer que a = b ssi a ∈ b ssi a ≡ b[n].

(2) Dans le cas où n = 6, calculer 5 + 5 et 5× 5.

(3) Montrer que a = 0 ssi a est un multiple de n.

b. Soit n un entier, dont l'écriture en base 10 est : bkbk−1 . . . b2b1b0.

(1) Montrer que si n est un multiple de 3 alors∑bi aussi.

(2) Montrer que si n est un multiple de 9 alors∑bi aussi.

(3) Montrer que si n est un multiple de 5 alors b0 aussi.

5


(4) Montrer que si n est un multiple de 2 alors b0 aussi.

(5) Démontrer la méthode dite de la preuve par 9.

(6) En analysant les résultats précédent, déterminer des résultats analogue pour uneécriture en base 7, puis une écriture en base 12.

Écriture des réels dans une base b

ExerciceF17 : Quelle est l'écriture décimale de 7

125; 10

3et 1

7?

ExerciceF18 : Soit x le réel qui s'écrit en base 10 : 0, 9999999 . . ..

a. Calculer 10x− x, en déduire la valeur de x.

b. Calculer x3et retrouvé une fraction bien connue.

c. Pour plus de rigueur vérier que x =∞∑k=1

9.10−k, calculer la somme de cette série.

ExerciceF19 :

a. Écrire le développement en base 10 de 17puis de 13

6

b. Écrire le développement en base 6 de 136puis de 1

7, ces fractions étant ici écrites en base 10.

ExerciceC20 : On note [x] la partie entière d'un réel x, elle peut s'écrire dans une base b, x

s'écrit alors x = [x] + (x− [x]) avec x = x− [x] ∈ [0; 1[ appelée partie fractionnaire de x.

a. Soit (xn)n∈N∗ une suite de chires, montrer que la série∑xnb

−n converge, et que sasomme est comprise entre 0 et 1.

b. Soit y ∈ [0; 1[, on pose yn = [ybn]b−n. Montrer que la suite (yn) converge vers y.

c. Supposons dans cette question que b = 3, découper [0; 1[ en b segments de même longueur,puis redécouper chacun des segments en b, donner une interprétation graphique des y1,y2

et y3.

d. Soit x ∈ R, montrer que [bx] ≥ b[x].

e. Montrer que la suite yn est croissante.

f. Montrer que pour tout n, bn+1(yn+1 − yn) est un chire.

g. En déduire que tout réel compris entre 0 et 1 est la somme d'une série de la forme de laquestion a, on appelle la suite (xn) un développement en base b de y.

h. Notons b′ = b− 1 calculer∞∑k=K

b′b−k, montrer que le développement en base b d'un réel

n'est pas unique.

i. Montrer que 1 possède exactement deux développements en base b.

j. Montrer que le développement en base b d'un réel x ∈ [0; 1[ n'est pas unique ssi il existem ∈ N, xbm ∈ Z.

k. Pour avoir l'unicité du développement en base b, on appelle impropre tout développementqui ne contient que des b′ à partir d'un certain rang.

Exercice 21 :

a. Montrer à l'aide de divisions euclidiennes successives que tout rationnel a undéveloppement en base b qui est périodique à partir d'un certain rang. on pourra montrerque lors des divisions euclidiennes successives la suite des restes ne peut prendre qu'unnombre ni de valeur.

6


b. Montrer que tout réel ayant un développement en base b périodique à partir d'un certainrang est un rationnel.

ExerciceD22 : Soit k un entier et ak la fonction de [0; 1[ dans 0, 1, . . . , 9, qui a x associe la

kième décimale du développements décimal propre de x.

a. Représenter a1, représenter a2 entre 0 et 110.

b. Montrer que la fonction ak est continue à droite.

c. Montrer que la fonction ak est continue en tout point non décimal de [0; 1[. (Un nombredécimal est un rationnel qui s'écrit m

10k avec m et k entiers).

ExerciceD23 : Soit f la fonction dénie sur [0; 1[ de la façon suivante, pour tout élément x

de [0; 1[ dont le développement décimal propre est (xn)n, on a

f(x) =∞∑k=1

( xk10k

)2

a. Montrer que f est bien dénie.

b. Calculer f(12); f( 15

100) et f(1

3).

c. Montrer que f est strictement croissante.

d. En utilisant l'exercice 22 montrer que f est limite uniforme d'une série de fonctionscontinue à droite et continue en tout point non décimal de [0; 1[. En déduire que f estcontinue à droite et continue en tout point non décimal de [0; 1[

e. Montrer que f n'est pas continue à gauche en tout point décimal de ]0; 1[, on pourraconsidérer un décimal a = 0, a1a2a3 . . . as0 . . ., avec as 6= 0, poser a′ = as − 1 et dénir unesuite (an)n par :

an = 0, a1a2a3 . . . as−1a′ 999 . . . 9︸︷︷︸n chires

0 . . .

(1) Montrer que lim an = a.

(2) Montrer que an < a.

(3) Montrer que f(a)− f(an) ≥ 2

11.100s.

(4) Conclure.

3 Les fractions continues

ExerciceF24 : Étudier le calcul suivant :

137

10= 13 +

7

10= 13 +

1107

= 13 +1

1 + 37

= 13 +1

1 + 173

= 13 +1

1 + 12+ 1

3

Essayer de faire des calculs similaires pour30

11,210

77,−30

11.

ExerciceC25 : On note [x] la partie entière d'un réel x, x s'écrit alors x = [x] + (x− [x]). On

pose : x0 = x, q0 = [x] et x = x− [x] ∈ [0; 1[ appelée partie fractionnaire de x. Si x est non nul, on pose x1 = 1

x , donc x1 ≥ 1. On pose q1 = [x1], on a x1 = q1 + x1. Si x1 est non nul, on pose x2 = 1

x1 , donc x2 ≥ 1. On pose q2 = [x2], on a x2 = q2 + x2. On peut ainsi construire une suite de xi tant que xi 6= 0.

7


a. Écrire qn et xn+1 en fonction de xn.

b. Montrer que s'il existe un n tel que xn = 0, alors x est un rationnel.

c. On suppose dans cette question que x = pq∈ Q, montrer à l'aide de divisions euclidiennes

successives qu'il existe un n tel que xn = qn. Montrer que l'on a alors

x = [x] +1

[x1] + 1[x2]+ 1

... + 1[xn]

= q0 +1

q1 + 1q2+ 1

... + 1qn

Cette écriture s'appelle le développement en fraction continue du rationnel x.

ExerciceF26 : Déterminer le développement en fraction continue de 13

5, puis de 30

11. On expli-

citera bien la suite (qn) ainsi trouvée.

ExerciceC27 : Pour n0 ∈ Z, n1, n2, . . . , nk ∈ N∗ et x ∈ R∗+. On note alors

Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK = n0 +1

Jn1, n2, . . . , nk, xKavec ∀y ∈ R, JyK = y

a. Calculer J1, 2K puis J2, 1, 3, 2K.b. Montrer que si n0, n1, . . . , nk ∈ N∗ alors Jn0, n1, n2, . . . , nkK est un rationnel.

c. Montrer que ∀n0 ∈ Z, ∀n1, n2, . . . , nk ∈ N∗, et ∀x ∈ R∗+

Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK = Jn0, n1, . . . , nk +1

xK

d. En reprenant les notations de l'exercice 25, montrer que ∀k < n, x = Jq0, q1, . . . , qk, xk+1K.En particulier x = Jq0, q1, . . . , qnK.

e. Montrer que ∀n0 ∈ Z, ∀n1, n2, . . . , nk ∈ N∗, ∀x ∈ R∗+, et i < k

Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK =qn0, n1, . . . , ni, Jni+1, . . . , nk, xK

y

f. Montrer que Jn0, n1, n2, . . . , nk, 1K = Jn0, n1, n2, . . . , nk + 1K.g. Montrer que si Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK = Jn0, n1, n2, . . . , nk, yK alors x = y.

h. Montrer que siJn0, n1, n2, . . . , nkK = Jm0,m1,m2, . . . ,mlK

avec n0,m0 ∈ Z, n1, n2, . . . , nk,m1,m2, . . . ,ml ∈ N∗, avec ml > 1 et nk > 1,alors l = m, et ∀i, ni = mi.

i. Montrer que le développement en fraction continue de Jn0, n1, n2, . . . , nkK est

n0 +1

n1 + 1n2+ 1

... + 1nk

ExerciceF28 : Pour calculer la fraction continue du rationnel x = p

q, on considère un

rectangle de longueur p et de largeur q, et on le pave par des carrés de côté q. Si x est entieralors le pavage comporte exactement x carrés. Sinon, si a0 désigne le nombre de carrés insérésdans le rectangle, il s'agit du premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavéede dimension q × b1 avec b1 égal à p− a0.q ; on pave cette bande avec des carrés de dimensionmaximale, c'est-à-dire de côté x1. Le nombre de carrés est égal au deuxième terme a1 de lafraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l'intégralité des coecients. Dans l'image

ci-contre, on illustre30

13= J2, 3, 4K.

8


Faites de même pour le rationnel22

9.

En utilisant cet outil géométrique déterminer le rationnel : J1, 1, 2, 3K.

Exercice 29 : Nous allons maintenant chercher des développements en fractions continues denombres irrationnels, en reprenant les notations de l'exercice 25

a. Déterminer la suite (qn) pour x =√

2.

b. On pose un = [1, 2, 2, . . . , 2︸︷︷︸n fois

]. Montrer que

un+1 − 1 =1

un + 1

c. En supposant que (un) converge vers un réel l, déterminer l.

d. On pose alors vn = un−lun+l

, montrer que (vn) est une suite géométrique . En déduire la limitede la suite (un).

e. Donner le développement en fractions continues de√

2.

Exercice 30 : En s'inspirant de l'exercice 29, déterminer le développement en fractioncontinue de

√5.

De même déterminer le développement en fraction continue de√

7.

ExerciceC31 : Les fonctions homographiques .

On note R1 l'ensemble R ∪ ∞, on appelle fonctions homographiques les fonctions de R1 dansR1 de la forme

f(x) =

∞ si cx+ d = 0ac

si x =∞ax+bcx+d

sinon

Avec ad− bc 6= 0.

a. Montrer qu'une fonction homographique est une bijectionR , et que sa réciproque est unefonction homographique.

b. Montrer que la composé de deux fonctions homographiques est une fonctionhomographique.

c. On note Ψ l'application qui associe à la matrice

(a bc d

)la fonction homographique

dénie ci dessus. Déterminer Ψ

((1 10 1

))et Ψ

((1 11 0

))d. Montrer que Ψ est une surjectionR de l'ensemble des matrice 2×2 inversibles, dans

l'ensemble des fonctions homographiques.

e. Montrer que Ψ est non injectiveR .

f. Montrer que Ψ transforme le produit matriciel en composéeR d'applications . On notera

dorénavant

[a bc d

]la fonction homographique. Ψ

((a bc d

)).

g. Calculer

[2 13 1

](5)

9


h. Montrer que si λ 6= 0 alors Ψ(λM) = Ψ(M).

i. Déterminer toutes les fonctions homographiques f telle que f(0) = 1, f(∞) = 2, etf(1) = 3.

j. Soit α, β et γ des éléments distincts de R1, montrer qu'il existe une unique fonction fhomographique telle que f(α) = 0, f(β) = 1 et f(γ) =∞. On pourra étudier quatre cas,suivant que α, β ou γ sont égaux à ∞.

k. En déduire que pour deux triplés de points de R1, (α, β, γ) et (α′, β′, γ′) avecα 6= β 6= γ 6= α et α′ 6= β′ 6= γ′ 6= α′, il existe une unique fonction homographique telle quef(α) = α′, f(β) = β′ et f(γ) = γ′.

Exercice 32 : Soit (un) une suite vériant la relation de récurrence un+1 =

[a bc d

](un). On

suppose juste que la fonction homographique

[a bc d

]n'est pas l'identité.

a. Montrer que x est un point xeR de

[a bc d

]ssi

(α1

)est un vecteur propreR associé à

la valeur propreR cα + d de la matrice

(a bc d

).

b. Montrer que la matrice

(a bc d

)a au plus deux valeurs propres réelles, en déduire que la

fonction homographique

[a bc d

]a moins de deux points xes.

c. On suppose dans la suite que

[a bc d

]a deux points xes réels distincts, α et β. On pose

P =

(α β1 1

), calculer P−1.

d. Déterminer P−1

(a bc d

)P .

e. Montrer que

[1 −β−1 α

] [a bc d

]=

[cα + d 0

0 cβ + d

] [1 −β−1 α

].

f. En déduire queun+1 − βun+1 − α

= kun − βun − α

avec k = cα+dcβ+d

.

g. En déduire que ∀n, un =knαu− βknu− 1

, avec u = u0−βu0−α .

h. Application : Soient f(x) = 4x−6x−1

, u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un).

(1) Étudier et représenter la fonction f .

(2) Représenter sur le graphe de f , les premiers termes de la suite : u0, u1, u2, u3, u4.

(3) Calculer u0, u1, u2, u3, u4.

(4) En utilisant le début de l'exercice, déterminer un en fonction de n, et étudier la limitede la suite (un).

ExerciceC33 : Suite de Fibonacci

Notons E l'ensemble des suites réelles vériant la relation de récurrence∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un. On appelle suite de Fibonacci l'élément de E vériant F0 = 0 etF1 = 1.

a. Calculer les 10 premiers termes de la suite de Fibonacci.

b. Montrer que si une suite (un) de E convergeR alors limun = 0.

10


c. Montrer que Fn ≥ n, en déduire que limFn =∞.

d. Montrer que E est un sous espace vectorielR de l'espace des suites réelles.

e. Soit ϕ l'application de E dans R2 telle que ϕ((un)

)= (u0, u1). Montrer que ϕ est une

application linéaireR . Montrer que ϕ est injective, surjective.

f. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension R 2.

g. Déterminer r tel que la suite (rn)n appartienne à E.

h. Montrer qu'il existe r1 et r2 telle que((rn1 )n, (r

n2 )n)soit une base de E.

i. Montrer que ∀n ∈ N, Fn =1√5

(1 +√

5

2

)n

− 1√5

(1−√

5

2

)n

.

j. En déduire un équivalentR simple de Fi.

ExerciceF34 : Soit rn = J1, 1, . . . , 1︸︷︷︸

n fois

K.

a. Montrer que rn =

[1 11 0

](rn−1). On pourrait utiliser la méthode de l'exercice 32, pour

étudier la suite (rn), on utilise ici une autre méthode.

b. Montrer que rn =

[1 11 0

] [1 11 0

]. . .

[1 11 0

]︸︷︷︸

n fois

(∞).

c. On note dorénavant (un u′nvn v′n

)=

(1 11 0

)(1 11 0

). . .

(1 11 0

)︸︷︷︸

n fois

Montrer que rn =

[un u′nvn v′n

](∞)

d. Montrer que u′i = ui−1, v′i = vi−1, vi = ui−1 et ui = ui−1 + vi−1 avec v−1 = 0 et u−1 = 1.

e. Montrer que ∀n, rn = un

vn.

f. Montrer que ∀n ≥ 1, vi+1 = vi + vi−1, en déduire que ∀n ∈ N, vn = Fn+1, ou (Fn) est lasuite de Fibonacci (cf exo 33).

g. Déterminer la limite de la suite (rn).

Exercice 35 : Nous avons vu dans l'exercice 25 qu'un réel x était irrationnel ssi la suite (qn)associée était innie. On va maintenant partir d'une suite d'entiers. Soit q0 ∈ Z et (qn)n≥1 unesuite d'entiers strictement positifs, on pose rn = Jq0, q1, . . . qnK.

a. Montrer que Jq0, q1, . . . qnK =

[q0 11 0

](Jq1, q2, . . . qnK)

b. Montrer que Jq0, q1, . . . qnK =

[q0 11 0

] [q1 11 0

]. . .

[qn 11 0

](∞).

c. On note dorénavant(un u′nvn v′n

)=

(q0 11 0

)(q1 11 0

). . .

(qn 11 0

)

Montrer que rn =

[un u′nvn v′n

](∞)

d. Montrer que u′n = un−1 et v′i = vi−1 avec v−1 = 0 et u−1 = 1.

11


e. Montrer que ∀n, rn = un

vn.

f. En utilisant des déterminants , montrer que rn − rn−1 =(−1)n+1

vnvn−1

.

g. Montrer que u0 = q0, v0 = 1 puis que ∀n ≥ 2, vn = qnvn−1 + vn−2 et un = qnun−1 + un−2.

h. En déduire que ∀n ∈ N, vn ≥ Fn+1, ou (Fn) est la suite de Fibonacci (cf exo 33).

i. Posons wn = rn − rn−1 pour créer un télescopage .

(1) Montrer que wn =(−1)n−1

vnvn−1

.

(2) Montrer que limwn = 0.

(3) Montrer que la suite (|wn|) est décroissante.(4) Énoncer le théorème des séries alternéesR , en particulier la majoration du reste.

Peut-on l'appliquer à la série∑wn ?

j. Conclure sur la convergence de la suite (rn), vers un réel r noté Jq0, q1, . . . , qn, . . .K.k. Montrer que la suite (qn) de l'exercice 25 associé au réel Jt0, t1, . . . , tn, . . .K est la suite (tn).

l. Donner une majoration de |r − rn|.m. Donner une bijection entre les suites d'entiers strictement positifs et les irrationnels

positifs.

ExerciceF36 : On admet que π = J3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, . . .K.

a. Calculer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4, r1, r2, r3, r4.

b. Montrer que |π − 355113| ≤ 1

292.1132 .

ExerciceF37 :

a. Calculer Jq, q, . . . , q . . .K.b. Calculer J1, 2, 1, 2 . . . , 1, 2 . . .K.c. A titre d'information e = J2, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, . . .K.

4 Dénombrabilité

ExerciceC38 : Rappeler les dénitions d'injection, surjection, bijection. Illustrer à l'aide de

dessins.

Exercice 39 : Soient f : E → F , et g : F → G.

a. Montrer que si f et g sont injectives alors g f est injective.

b. Montrer que si f et g sont surjectives alors g f est surjective.

c. Montrer que si f est injective, il existe h : F → E surjective tel que h f soit l'identité deE.

d. Montrer que si g f est injective alors f est injective.

e. Montrer que si g f est surjective alors g est surjective.

Exercice 40 : Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?

f1 : R → Rx 7→ sinx

f2 : R → R+

x 7→ x2

f3 : R+ → R+

x 7→ x2

12


f4 : R → Rx 7→ x3+1

x2+1

f5 : R → Rx 7→ x3 − x

f6 : ]− π2; π

2[ → R

x 7→ tanx

f7 : R → [0; 1]x 7→ cosx

f8 : R → Rx 7→ [x]− x

f9 : R2 → R3

(x, y) 7→ (x; y;x+ y)

f10 : R2 → R2

(x, y) 7→ (3x− 6y;−4x+ 8y)

f11 : R2 → R2

(x, y) 7→ (xy,√x2 + y2)

ExerciceF41 :

a. Déterminer toutes les injections de N dans N qui vérient ∀n ∈ N, f(n) ≤ n.

b. Déterminer toutes les surjections de N dans N qui sont strictement croissantes.

ExerciceC42 : On appelle relation d'équivalence sur un ensemble E une relation binaire,

réexive , symétrique et transitive . Réexive : ∀x ∈ E, xRx. symétrique : ∀x, y ∈ E, xRy =⇒ yRx. Transitive : ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz =⇒ xRz.On appelle classe d'équivalence de l'élément a, l'ensemble des éléments de E en relation avec A.Les relations suivantes sont-elles des relations d'équivalence ? Si oui décrire rapidement lesclasses d'équivalence, ainsi qu'un ensemble de représentants des diérentes classes.

a. E = R, xRy si x2 ≤ y2.

b. E = R, xRy si [x] = [y].

c. E = R, xRy si x = y.d. E est l'ensemble des applications de R dans R. fRg si ∀x ∈ R, f(0) = g(0).

e. E = C, zRz′ si |z| = |z′|.f. E est l'ensemble des triangles du plan euclidien. TRT ′ si l'aire de T est égale à l'aire de T ′.

g. E est l'ensemble des parties de R et ARB si A ∩B = ∅.

h. E = N, nRm si n−m est pair.

ExerciceC43 : Soit E un ensemble et R une relation d'équivalence, montrer que les classes

d'équivalences forment une partition de E, c'est à dire que E est la réunion disjointe de ses classesd'équivalences.

Exercice 44 : Soit Ω l'ensemble de tous les ensembles. Considérons la partie de Ω suivante∆ = A ∈ Ω, A 6∈ A, ∆ appartient-il à ∆ ? Que pouvons nous faire ? Dire que Ω n'existe pas.

ExerciceC45 : Deux ensembles sont dit équipotents si il existe une bijection entre eux. Montrer

que la propriété "être équipotent" a les propriétés d'une relation d'équivalence, toutefois l'exercice44, nous met en garde contre cette dénomination.

ExerciceC46 : Quelques dénitions pour commencer

Un ensemble A est ni si il existe un entier n tel que A soit en bijection avec 1, 2, . . . , n, onécrit alors card(A) = n.

Un ensemble A est dénombrable si il est équipotent à N, on écrit card(A) = card(N). Un ensemble et "au plus dénombrable " si il est ni ou dénombrable. Si il existe une injection de A dans B on écrit que card(A) ≤ card(B).Quelques questions pour continuer

a. Déterminer le cardinal de l'ensemble des applications de 0, 1, 2 dans lui même.

b. Montrer que N∗,N ∪ −2,−4, 2N et Z sont dénombrables.

c. Soit A une partie de N qui n'est pas nie, on pose ϕ(0) = minA, ϕ(1) = min(A \ ϕ(0)

),

ϕ(2) = min(A \ ϕ(0), ϕ(1)

), etc... Justier le fait que la fonction ainsi dénie est

bijective de N dans A.

13


d. Montrer que si card(A) ≤ card(N), alors A est soit ni soit dénombrable. On peut dire quele dénombrable est le plus petit inni.

Exercice 47 : Soit E un ensemble, on note P(E) l'ensemble de ses parties.

a. On suppose dans cette question que E = 0, 1, 2, déterminer P(E).

b. On suppose dans cette question que E = ∅, déterminer P(E).

c. Déterminer le cardinal de P(E) dans le cas ou E est de cardinal ni.

d. Montrer que card(E) ≤ cardP(E).

e. Supposons qu'il existe une surjection ϕ de E dans P(E). ConsidéronsA = a ∈ E, a 6∈ ϕ(a).(1) Montrer qu'il existe a tel que ϕ(a) = A.

(2) a appartient-il à A ?

(3) Montrer qu'il n'existe jamais de bijection entre E et E .(4) Utiliser ce résultat pour montrer qu'il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles.

Exercice 48 : Soit E un ensemble ni de cardinal n, K une partie de E à p éléments.Déterminer le cardinal des ensembles suivants : F = (A,B) ∈ P(E)× P(E);A ∪B = E et A ∩B = ∅. G = B ∈ P(E);K ∪B = E. H = (A,B) ∈ P(E)× P(E);A ∪B = E. On pourra utiliser la formule du binôme deNewton R .

Exercice 49 : Montrer à l'aide d'un dessin que N×N est dénombrable. De même montrer queN∗ × Z, en déduire que Q est dénombrable.

ExerciceC50 :

a. En utilisant le fait que N et N× N sont équipotents, montrer que le produit cartésien dedeux ensembles dénombrables est dénombrable.

b. En déduire qu'un produit cartésienR d'un nombre ni d'ensembles dénombrables estdénombrable.

c. Montrer qu'une réunion dénombrable ∪n∈NAn d'ensembles dénombrables est dénombrable,on pourra remarquer que pour chaque An il existe une suite (Akn) telle queAkn, k ∈ N = An.

Exercice 51 :

a. Déterminer une bijection entre S = 1n/n ∈ N \ 0, 1 et S ∪ 0.

b. En déduire une bijection entre [0, 1[ et ]0, 1[.

c. En déduire une bijection entre R et R \ N.d. En déduire que si A a la puissance du continue (c'est à dire équipotent à R) et B ⊂ A est

dénombrable alors A \B a la puissance du continue.

Exercice 52 : Montrer que l'ensemble des polynômes à coecients entiers de degré k est dé-nombrable, en déduire que l'ensemble des nombres transcendants est dénombrable.

ExerciceD53 : Montrer que l'ensemble des points de discontinuités d'une fonction monotone

f de R dans R est au plus dénombrable. On pourra utiliser le fait qu'en tout point f possèdeune limite à gauche et une limite à droite, et qu'aux points de discontinuité on peut placer unrationnel entre les deux limites.

14


5 Relation d'ordre, intervalle

ExerciceC54 : On appelle relation d'ordre sur un ensemble E une relation binaire, réexive,

antisymétrique et transitive. Réexive : ∀x ∈ E, xRx. Antisymétrique : ∀x, y ∈ E, xRy et yRx =⇒ x = y. Transitive : ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz =⇒ xRz.De plus on dit que l'ordre est total si ∀x, y ∈ E, xRy ou yRx, sinon on dit que l'ordre estpartiel . Les relations suivantes sont-elles des relations d'ordres, des relations d'ordres totales ?

a. E = R, xRy si x ≤ y.

b. E = R, xRy si x ≥ y.

c. E = R, xRy si x < y.

d. E est l'ensemble des applications de R dans R. fRg si ∀x ∈ R, f(x) ≤ g(x).

e. E = C, zRz′ si (Re (z) < Re (z′)) ou (Re (z) = Re (z′) et Im z ≤ Im (z′)).

f. E est l'ensemble des triangles du plan euclidien. TRT ′ si l'aire de T est inférieur à l'airede T ′.

g. E est l'ensemble des parties de R et ARB si A ⊂ B.

h. E = N, nRm si m est un multiple de n.

ExerciceC55 : Rappeler les dénitions pour une partie A d'un ensemble muni d'une relation

d'ordre totale de : Maximum , minimum , majorant , minorant , borné , borne supérieure ,borne inférieure .Donner un exemple de partie de :

a. R non majorée.

b. R majorée mais sans maximum.

c. R, n'ayant pas de maximum, dont la borne supérieur est 1, et dont le minimum vaut -1.Donner deux exemples diérents.

d. R n'ayant pas de borne inférieure.

e. Q non vide, majorée et ne possédant pas de borne supérieur dans Q.

Exercice 56 : Soit A une partie non vide majorée de R, on pose B = x ∈ R,−x ∈ A. Montrerque B est minorée et que inf B = − supA.

ExerciceC57 : On dénit un intervalle de R ainsi, c'est une partie I de R, ayant la propriété

suivante : tout élément compris entre deux éléments de I appartient encore à I.

∀x, y ∈ I,∀z ∈ R, x < z < y =⇒ z ∈ I

On n'utilisera dans cet exercice que cette dénition :

a. Montrer que l'intersection de deux intervalles est un intervalle.

b. Montrer que la réunion de deux intervalles d'intersections non vide est un intervalle.

c. Montrer que la reunion d'une famille d'intervalle ayant un point commun est un intervalle.

d. Montrer qu'il y a dix sortes d'intervalles, par exemple les intervalles bornés ayant un plusgrand élément mais pas de plus petit élément sont de la forme ]a, b].

e. Donner un exemple de partie de R qui n'est pas un intervalle. On appellehoméomorphisme une application bijective continue dont la réciproque est continue.Déterminer pour chacun des intervalles précédents un homéomorphisme entre lui et l'undes 5 intervalles suivants : ∅, 0, [0, 1], [0, 1[ et R.

15


ExerciceC58 : Une partie A de R est un ouvert si ∀x ∈ A,∃ε > 0, ]x− ε, x+ ε[⊂ A.

a. Parmi les intervalles de R quel sont ceux qui sont ouverts ?

b. Montrer qu'une réunion d'ouverts de R est un ouvert de R.c. Montrer que Q n'est pas ouvert.

d. Soit A = x ∈ [0, 1[, la dixième décimale de x vaut 2, A est-il un intervalle ? un ouvert ?

e. Déterminer⋂n∈N∗

]− 1− 1

n; 1 +

1

n[. Une intersection d'ouverts est-elle toujours ouverte ?

Exercice 59 : Soit A un ouvert de R, pour x ∈ A on pose Ux la réunion des intervalles ouvertscontenant x et inclus dans A.

a. Montrer que pour tout x de A, Ux est un intervalle ouvert.

b. Montrer que pour tout x, y de A, Ux = Uy ou Ux ∩ Uy = ∅.

c. Montrer que chaque Ux contient un rationnel.

d. Montrer que tout ouvert de R est une réunion au plus dénombrable d'intervalles ouvertsde R.

Exercice 60 : Soit E une partie de R et D une partie de E. On dit que D est dense dans E pour la relation d'ordre si :

∀x, y ∈ E,∃z ∈ D, x < y ⇒ x < z < y

D est topologiquement dense dans E si

∀x ∈ E,∀ε ∈ R∗+,∃z ∈ D, |x− z| ≤ ε

a. Pour chacun des cas suivants, étudier si D est dense dans E pour la relation d'ordre ? Si Dest topologiquement dense dans E ?

E1 = R, D1 = R∗E2 = Z, D2 = ZE3 = R, D3 = Z

E4 = 0, D4 = ∅E5 = Q, D5 = QE6 = R, D6 = Q

E7 = R, D7 = R \QE8 = −1∪]0, 1], D8 =]0, 1]

b. Montrer que si D est dense pour la relation d'ordre dans E, alors D est dense pour larelation d'ordre dans D.

c. Soit I un intervalle de R et D une partie de I, montrer que D est topologiquement densedans I si et seulement si D est dense pour la relation d'ordre dans I.

Exercice 61 : Soit (E,) un ensemble totalement ordonné dénombrable, alors il existe unebijection croissante de E dans une partie de Q. On construira cette bijection de façons récurrente.

6 Points d'accumulation, ensemble dérivé, ensemble parfait

ExerciceC62 : Commençons par des dénitions : Soit A une partie de R,

L'adhérence de A noté A = x ∈ R/∀ε > 0,∃y ∈ A, |x− y| ≤ ε x ∈ R est un point d'accumulation de A si ∀ε > 0,

(A∩]x− ε, x+ ε[

)\ x 6= ∅.

L'ensemble des points d'accumulations de A est appelé ensemble dérivé de A, on le note A′. x ∈ R est un point isolé de A si ∃ε > 0, A∩]x− ε, x+ ε[= x. A est un ensemble parfait si A′ = A.

16


a. Montrer que x ∈ A si et seulement si il existe une suite d'éléments de A qui converge versx.

b. Montrer que x ∈ A′ si et seulement si il existe une suite d'éléments de A, distincts deux àdeux, qui converge vers x.

c. Montrer que A ⊂ A et que A′ ⊂ A.

d. Soit x ∈ A, montrer que x est soit isolé, soit est un point d'accumulation.

e. Pour chacun des ensembles suivants déterminer A et A′, A est-il parfait ?

A1 = 0A2 = [0, 1]

A3 =]0, 1]A4 = 0 ∪ [1, 2]

A5 = ZA6 = Q

f. Soit B =

1

p/p ∈ N∗

, déterminer B, puis déterminer B′ et B′′.

g. Soit C =

1

p+

1

q/p, q ∈ N∗

, déterminer C, puis déterminer C ′ et C ′′.

h. Montrer que A = A.

i. Montrer que A ∪ A′ = A.

j. Montrer que A \ A′ est l'ensemble des points isolés de A.

k. Montrer que⋃i

A′i ⊂

(⋃i

Ai

)′.

Exercice 63 : Soit P un ensemble parfait de R, non vide.

a. Montrer que P possède deux points distincts a et b.

b. Montrer qu'il existe deux segments disjoints, tel que a appartienne à l'intérieur du premierIa et que b appartienne à l'intérieur du second Ib.

c. Montrer que Ia ∩ P est un parfait non vide. On pourra montrer que c'est l'adhérence d'unensemble qui n'a pas de point isolé.

d. Conclure : Tout parfait non vide de R contient deux parfaits, non vide, disjoint.

e. En utilisant le résultat précédent montrer qu'un parfait P non vide de R a la puissance ducontinue. On pourra

(1) Montrer qu'une suite décroissantes de compactsR de R est toujours non vide.

(2) Montrer que P contient deux parfaits compacts non vides disjoints P0 et P1.

(3) Montrer que chacun d'eux contient deux parfaits compacts distincts et ainsi desuite... P00 et P01 P10 et P11, montrer que l'on construit ainsi une fonction des suitesde 0, 1 dans P injective.

(4) Conclure.

7 Sous groupes additifs de RExercice

F64 : Un sous groupe additif de R est une partie A de R, ayant les propriétés

suivantes :P1) A 6= ∅P2) ∀x, y ∈ A, x+ y ∈ A.P3) ∀x ∈ A, −x ∈ A.

17


a. Parmi les parties de R suivantes, quelles sont celles qui sont des sous groupes additifs deR ? N, Z, 2Z, [−1, 1], Q, a+ b

√2/a, b ∈ Z.

b. Soit A un sous groupe additif de R, montrer que 0 ∈ A.c. Montrer qu'il n'existe qu'un seul sous groupe additif de R de cardinal ni.

d. Montrer que R \Q n'est pas un sous groupe additif de R.

e. Soient A et B deux sous groupes additifs de R, montrer que A+B déni para+ b/a ∈ A, b ∈ B est un sous groupe additif de R. Déterminer 2Z + 3Z

f. En considérant 2Z et 3Z, montrer que la réunion de deux sous groupes additifs de R n'estpas forcément un sous groupe additif de R.

ExerciceC65 : Soit G un sous groupe additif de R non réduit à 0.

a. Montrer que G ∩ R∗+ 6= ∅.

b. Montrer que G ∩ R∗+ possède une borne inférieure que l'on note a.

c. Supposons que a > 0.

(1) Montrer que a ∈ G, On pourra raisonner par l'absurde et montrer qu'il existex, y ∈]a, 2a[∩G distincts, puis considérer y − x.

(2) Montrer que aZ ⊂ G.

(3) Soit x ∈ G, montrer qu'il existe n ∈ Z tel que na ≤ |x| < (n+ 1)a.

(4) Montrer que |x| − na ∈ G, en déduire que |x| = na.

(5) Montrer que G ⊂ aZ.d. Supposons que a = 0.

(1) Soit α, β ∈ R avec α < β. Montrer que ∃x ∈ G, 0 < x < β − α.(2) Montrer qu'il existe m ∈ Z tel que α < mx ≤ β.

(3) Montrer que G est dense dans R.e. Énoncer un résultat général sur les sous groupes de R.

Exercice 66 : On rappelle que deux entiers relatifs sont premiers entre eux si leurs seulsdiviseurs communs sont 1 et -1. D'autre part le théorème de Bezout donne l'équivalence entre aet b sont premiers entre eux et

∃u, v ∈ Z, au+ bv = 1

On note Ωa,b = ma+ nb/m, n ∈ Z.a. Déterminer Ω2, 1

3.

b. Montrer que Ωa,b est un sous groupe additif de R.c. Si a

b∈ Q, montrer qu'il existe c tel que Ωa,b = cZ. On pourra écrire a

b, comme le rapport

de deux entiers premier entre eux pq, et poser c = b

q..

d. Réciproquement montrer que si Ωa,b = cZ, alors b = 0 ou ab∈ Q.

e. Déterminer Ω 23, 47.

f. Montrer que Ω1,π est dense dans R.g. Notons Sa = sin(an)/n ∈ N, en étudiant Ωa,2π, montrer que SA est soit dense dans

[−1; 1], soit de cardinal ni.

Exercice 67 : Soit f : R→ R une application. On note P l'ensemble des périodes de f ,c'est-à-dire :

P = T ∈ R/∀x ∈ R, f(x+ T ) = f(x)

a. Si f est constante, déterminer P .

18


b. Si ∀x ∈ R, f(x) = x2, déterminer P .

c. Si ∀x ∈ R, f(x) = sinx, déterminer P .

d. Montrer que P est un sous groupe additif de R.e. Si f est la fonction indicatrice de Q, déterminer P .

f. Montrer que si f est continue, non constante, il existe a tel que P = aZ. On dit que |a| estla plus petite période de f .

8 Nombres constructibles

ExerciceC68 : Commençons par des dénitions :

Soit P le plan euclidien R2 et B = (0, 0), (1, 0) , un point M du plan est constructible à larègle et au compas si il existe des points du plan M1,M2, . . . ,Mn = M tels que pour tout i, enposant Ei = B ∪ M1,M2, . . . ,Mi−1, Mi est un point d'intersection soit :*) De deux droites passant chacune par deux points distincts de Ei.*) De deux cercles chacun centré en un point de Ei, et de rayon égal à la distance entre deuxpoints de Ei.

*) D'un cercle centré en un point de Ei, et de rayon égal à la distance entre deux points de Eiet d'une droite passant par deux points distincts de Ei.

Une droite est constructible si elle passe par deux points constructibles. Un cercle est constructible si son centre est constructible et son rayon est la distance entredeux points constructibles.

Un réel x est constructible si (x, 0) est constructible. On note C , l'ensemble des réelsconstructibles.

Des applications immédiates, montrer que

a. (−1, 0) est constructible.

b. (0, 1) est constructible.

c. (0, y) est constructible ssi y est constructible.

d. La droite orthogonale à une droite constructible et passant par un point constructible estconstructible.

e. La droite parallèle à une droite constructible et passant par un point constructible estconstructible.

f. Le milieu de deux points constructibles est constructible.

ExerciceC69 : Une partie K de R, contenant 0 et 1 est un sous corps de R si :

1) a, b ∈ K ⇒ a+ b ∈ K.

2) a ∈ K ⇒ −a ∈ K.

3) a, b ∈ K ⇒ ab ∈ K.

4) a ∈ K \ 0 ⇒ 1a∈ K.

a. Montrer que C est un sous corps de R.b. Montrer qu'un sous corps de R est un sous groupe additif de R.c. Soit K un sous corps de R, montrer que K contient Z, puis Q.

d. Z est-il un sous corps de R ? Q est-il un sous corps de R ?

ExerciceC70 :

a. Soit a un réel supérieur à −12, constructible, en considérant le cercle de diamètre

[(0, 0), (a+ 1, 0)], montrer que√

2a+ 1 est constructible.

19


b. Montrer que C est stable par passage à la racine carrée, c'est-à-dire que :

a ∈ C ∩ R+ ⇒√a ∈ C

c. Soient a, b, c trois réels constructibles, a étant non nul. Montrer que si α est une racineréelle de ax2 + bx+ c, alors α ∈ C .

Exercice 71 : Soit K un sous corps de R, R est un espace vectoriel sur le corps K (on parlealors de K−espace vectoriel , c'est à dire que les scalaires sont les éléments de K et les vecteurssont les réels. Supposons que K = Q, montrer que 3

7et 6

5sont deux vecteurs liés, puis que

√2− 1

et 37sont deux vecteurs libres. Que pensez vous de la famille (π, 5

7π) ?

Exercice 72 :

a. Montrer que (1,√

3,√

6) est une Q-famille libre. Puis que (1,√

3,√

6) est uneQ(√

2)-famille liée.

ExerciceF C

73 : Soit L un sous corps de R et K un sous corps de R contenant L, montrer queK est un sous L−espace vectoriel de R. Si K est un espace vectoriel de dimension ni sur L, onnote [K : L]la dimension de K vu comme L espace vectoriel.

ExerciceC74 : Soit K un sous corps de R, et a un réel, on note K(a) le plus petit sous corps

de R tel que K ⊂ K(a) et a ∈ K(a). On pose E = Q(√

2), etL = vectQ(1,

√2) = a+ b

√2/a, b ∈ Q.

a. Montrer que L ⊂ Q(√

2).

b. Montrer que L est un sous corps de R.c. Montrer que L = Q(

√2).

d. Montrer que [Q(√

2) : Q] = 2.

e. On note K(a1, a2, . . . , an), le plus petit sous corps de R, qui contient K ∪ a1, a2, . . . , an,montrer que

(K(a1)

)(a2) = K(a1, a2).

ExerciceC75 : Soit K un sous corps de R et α un réel n'appartenant pas à K tel que α2 ∈ K,

montrer en vous inspirant de l'exercice précédent que [K(α) : K] = 2. En déduire que si β est unréel n'appartenant pas à K, solution d'une équation du second degré à coecient dans K, alors[K(β) : K] = 2.

Exercice 76 : Soit L = vectQ(1, 3√

2, 3√

4) = a+ b 3√

2 + c 3√

4/a, b, c ∈ Q.a. Montrer que L ⊂ Q( 3

√2).

b. Montrer que L est stable pour la multiplication (∀x, y ∈ L, xy ∈ L).c. Soit x ∈ L \ 0, posons

ϕx : L → Ly 7→ xy

(1) Montrer que ϕx est Q-linéaire.

(2) Montrer que ϕx est injective.

(3) Montrer qu'il existe y ∈ L tel que xy = 1.

d. Déduire de la question précédente que L est un sous corps de R.e. Montrer que L = Q( 3

√2). En déduire [Q( 3

√2) : Q].

Exercice 77 : Montrer que Q(e) est un Q-espace vectoriel de dimension inni.

Exercice 78 : Soit K un sous corps de R, P un polynôme à coecient dans K, et a une racineréelle de P . On pose n = deg(P ) et L = vectK(1, a, a2, . . . , an−1).

20


a. Rappeler le théorème de division euclidienneR des polynômes à coecients réels. Eectuerla division euclidienne de X4 + 4X3 − 1 par (X + 1)2.

b. Montrer que L est stable par multiplication.

c. Soit x ∈ L \ 0, posonsϕx : L → L

y 7→ xy

(1) Montrer que ϕx est K-linéaire.

(2) Montrer que ϕx est injective.

(3) Montrer qu'il existe y ∈ L tel que xy = 1.

d. Montrer que L est un sous corps de R.e. Montrer que K(a) = L.

Exercice 79 : Montrer que [Q(√

2 +√

3) : Q] = 4, on pourra commencer par chercher uneQ−base de Q(

√2 +√

3), et on s'inspirera des exercices précédents.

Exercice 80 : Soit K un sous corps de R, a un nombre algébrique sur K. On dit que a est dedegré n sur K, si il existe P ∈ L[X] de degré n tel que P (a) = 0 et

∀Q ∈ L[X], Q(a) = 0⇒ Q = 0 ou deg(Q) ≥ n

a. Exemple K = Q quel sont les degrés de√

2, 3√

2.

b. Soit a un nombre algébrique de degré n sur K, montrer que (1, a,2 , . . . , an−1) est une basede K(a) vu comme K espace vectoriel.

c. Montrer que√

2 +√

3 est de degré 4.

ExerciceC81 : Soient M,N,L trois sous corps de R tels que L ⊂M ⊂ N et N est de

dimension nie sur le corps M , M est de dimension nie sur le corps L. (e1, . . . , en) une base deN comme M espace vectoriel, et (f1, . . . , fm) une base de M comme L espace vectoriel.

a. Montrer que la famille de mn vecteurs : (eifj)i,j est une famille génératrice de N commeL-espace vectoriel.

b. Montrer que la famille de mn vecteurs : (eifj)i,j est une famille libre comme L-espacevectoriel.

c. En déduire que [N : L] = [N : M ][M : L].

Exercice 82 : Soient L et K deux sous corps de R tels que [L : K] = 2, et a un élément de Lqui n'appartient pas à K.

a. Montrer que (1, a) est une K-base de L.

b. Montrer que a est racine d'un polynôme de degré 2 à coecient dans K.

c. Soit L0, L1, . . . , Ln une suite de sous corps de R tels que [Li : Li−1] = 2 pour tout i, etL0 = Q. Montrer par récurrence que Ln ⊂ C (On pourra utiliser l'exercice 70).

Exercice 83 : Soient K un sous corps de R, xA, yA, xB, yB, xC , yC , xD, yD, xE, yE, xF , yF ∈ KA = (xA, yA), B = (xB, yB), C = (xC , yC), D = (xD, yD), E = (xE, yE), des points distincts deuxà deux, tels que les droites (AB) et (CD) ne soient pas parallèles.

a. Montrer que la droite (AB) possède une équation de la forme αx+ βy + γ = 0 avecα, β, γ ∈ K.

b. Montrer que le cercle de centre A et de rayon BC, possède une équation de la formex2 + y2 + ρx+ σy + τ = 0 avec ρ, σ, τ ∈ K.

21


c. Montrer que les coordonnées du point d'intersection de la droite (AB) et de la droite(CD) appartiennent à K.

d. En supposant qu'il existe, notons G = (xG, yG) un point d'intersection de la droite (AB)et du cercle de centre C et de rayon DE, montrer que si xG ou yG n'appartient pas à Kalors [K(xG, yG) : K] = 2 (on pourra utiliser l'exercice 75).

e. En supposant qu'il existe, notons H = (xH , yH) un point d'intersection du cercle de centreA et de rayon BC, et du cercle de centre D et de rayon EF , montrer que si xH ou yHn'appartient pas à K alors [K(xH , yH) : K] = 2 (on pourra se ramener à la questionprécédente).

f. Déduire des questions précédentes que si t ∈ C il existe une suite de sous corps de R :L0, L1, . . . , Ln tels que [Li : Li−1] = 2 pour tout i, et t ∈ Ln.

g. On a donc montré le théorème de Wandzel : Soit t ∈ R, t est constructible ssi il existe unesuite de sous corps de R, L0, L1, . . . , Ln tels que L0 = Q, [Li : Li−1] = 2 pour tout i, ett ∈ Ln.

Exercice 84 : Soit t ∈ R, montrer que si t est constructible alors il existe m ∈ N tel que[Q(t) : Q] = 2m.

Exercice 85 : En admettant que π est transcendant montrer que la quadrature du cercle n'apas de solution. C'est à dire que l'on ne peut pas construire à la règle et au compas un carré dontl'aire est égale à l'aire d'un cercle de rayon 1.

Exercice 86 : Montrer que le problème de la duplication du cube n'a pas de solution à la règleet au compas. C'est à dire qu'étant donné un cube de coté 1, il n'est pas possible de construire àla règle et au compas le coté d'un cube dont le volume est double du cube de départ.

9 Ensemble de Cantor

Exercice 87 : On note I l'ensemble des réunions nies de segments de R, T une fonction deI dans I , qui à une réunion ni d'intervalles retire le tiers central de chacun des intervalles.Par exemple

T ([0, 3]) = [0, 1] ∪ [2, 3]

T(T ([0, 3])

)= [0,

1

3] ∪ [

2

3, 1] ∪ [

6

3,7

3] ∪ [

8

3,9

3]

On note A0 = [0, 1], et on dénit par récurrence une suite de parties de [0,1] par la relation :∀n ∈ N, An+1 = T (An).

a. Déterminer et représenter A1, A2, A3.

b. Montrer que la suite (An) est décroissante.

c. On dénit l'ensemble de Cantor par

K =⋂n∈N

An

Montrer que 0 ∈ K .

d. Dénombrer le nombre d'extrémités de Ai, montrer qu'elles appartiennent à K , en déduireque K est inni.

e. Dénombrer le nombre d'intervalles disjoints qui constitue An, et déterminer leur longueur.

f. Montrer que le complémentaire de Ai dans R est un ouvert, en déduire en utilisantl'exercice 58 que le complémentaireR T de K est ouvert. En déduire que K est uncompactR de R.

22


g. Montrer que T le complémentaire de K est dense dans [0, 1]. On pourra montrer que si]a, b[ n'est pas inclus dans T alors ]a, b[ contient un intervalle d'un An.

h. Soit h l'homothétie de centre 0 et de rapport 13. Montrer que

K = h(K )⊔(

h(K ) +2

3

)où⊔

représente la réunion disjointe, cette propriété est une des propriétés des fractales :l'auto-similarité .

Exercice 88 :

a. Montrer que x appartient à A1 ssi il existe un développement (propre ou impropre) de xen base 3 : 0, a1a2a3 . . . tel que a1 6= 1.

b. En vous inspirant de la question précédente, déterminer une condition nécessaire etsusante sur un développement de x en base 3 pour que x appartienne à A3.

c. En vous inspirant de ce qui précède, déterminer une condition nécessaire et susante surun développement de x en base 3 pour que x appartienne à A2.

d. Déterminer une condition nécessaire et susante sur un développement en base 3 de x,pour que x appartienne à K . On appelle développement cantorien de x ∈ K ledéveloppement en base 3 de x ne contenant aucun 1. Vérier que le développementcantorien est unique.

e. Déterminer le développement en base 3 propre, impropre et cantorien de 13, 7

9, et 20

27.

f. On appelle nombre triadique un réel de la forme k3n , où k ∈ Z et n ∈ N. A quelle condition

sur le développement en base 3 un nombre est-il triadique ? Montrer que les extrémités deAn sont triadiques. Montrer que l'ensemble des nombre triadique est dénombrable.Comment pourrait-on dénir un nombre diadique ?

g. Montrer que K est un ensemble parfait.

Exercice 89 : Nous avons vu à l'exercice 59 qu'un ouvert de R était une réunion au plusdénombrable d'intervalles ouverts disjoints, on peut dénir la longueur d'un intervalle, et doncla longueur d'un ouvert comme étant la somme (au sens des séries) des longueurs des intervallesouverts qui le compose. On dit qu'une partie A de R est négligeable si pour tout ε > 0 il existeun ouvert de longueur inférieur à ε contenant A. Montrer que K est négligeable.

Exercice 90 : Montrer que :

a. ∀x ∈ [0, 1], x ∈ K ⇐⇒ 1− x ∈ K

b. 12K + frac12K = [0, 1].

c. K + K = [0, 2].

Exercice 91 : Soit ψ l'application de K dans [0, 1] qui au développement cantorien de x,0, b1b2b3 . . . associe l'élément de [0, 1] dont un développement en base 2 est 0, a1a2a3 . . . oùai = 1

2bi.

a. Calculer ψ(13), ψ(2

9), et ψ( 8

27.

b. Montrer que ψ est surjective de K dans [0, 1].

c. Montrer que ψ est croissante, et continue.

d. Déterminer ψ(0, 022222 . . .) et ψ(0, 2000000 . . .), ψ est-elle injective ?

e. Soient a, b ∈ K , tels que ]a, b[∩K = ∅. Montrer que a et b sont triadiques et qu'il existen tel que b− a = 1

3n . Montrer que ψ(a) = ψ(b), montrer que l'on peut en déduire un

prolongement naturel ψ de ψ à [0, 1].

23


f. Montrer que sur [0, 1] \K , ψ est dérivable de dérivée nulle, on en déduit que

0 =

∫ 1

0

ψ′(t)dt 6= ψ(1)− ψ(0) = 1

Exercice 92 : Dénissons une suite de fonction (fn) par :fn(0) = 0(fn|An)′ = (3

2)n

fn est constante sur chaque intervalle qui compose le complémentaire de An.fn est continue.

a. Représenter f0, f1, et f2.

b. Montrer que fn(1) = 1.

c. Montrer que supx∈[0,1] |fn+1(x)− fn(x)| ≤ 12n+1 .

d. En déduire que la série de fonctions∑

(fn+1 − fn) converge normalementR sur [0, 1].

e. Montrer que la suite de fonctions (fn) converge uniformémentR vers une fonction f .

10 Exemples de fonctions 'curieuses' de R dans R

Construction de R.

24

Index

+ (no64), 18K−espace vectoriel (no71), 20Jn0, n1, . . . , ni, xK (no27), 8P(E) (no47), 14C (no68), 19K (no87), 22T (no87), 22apap−1 . . . a1a0 (no14), 5π (no7), 3card (no46), 13e (no4), 3Z/nZ (no16), 5

majorant (no55), 15

adhérence (no62), 16algébrique (no8), 3antisymétrique (no54), 15application linéaire (no33), 11au plus dénombrable (no46), 13auto-similarité (no87), 23

base (no10), 5Bezout (no66), 18bijection (no31), 9borne

inférieure (no55), 15supérieure (no55), 15

borné (no55), 15

classe d'équivalence (no42), 13compacts (no63), 17composée d'applications (no31), 9constructible (no68), 19continue

à droite (no23), 7à gauche (no23), 7

convergenormalement (no92), 24uniformément (no92), 24

dense (no60), 16dimension (no33), 11division euclidienne (no13), 5division euclidienne des polynômes (no78), 21

duplication du cube (no86), 22dénombrable (no46), 13déterminants (no35), 12développement

cantorien (no88), 23décimal (no23), 7en base b (no20), 6en fraction continue (no25), 8impropre (no20), 6périodique (no21), 6

écriture décimale (no17), 6ensemble

de Cantor (no87), 22dérivé (no62), 16parfait (no62), 16

équipotent (no45), 13équivalent (no33), 11exponentiation rapide (no15), 5

fonctions homographiques (no31), 9

homothétie (no87), 23homéomorphisme (no57), 15

injective (no31), 9intervalle (no57), 15irrationnel (no1), 3

limite uniforme (no23), 7Liouville (no6), 3Liouville (no9), 4

maximum (no55), 15minimum (no55), 15minorant (no55), 15

Newton (no48), 14nombre

diadique (no88), 23décimal (no23), 7triadique (no88), 23

négligeable (no89), 23

ordrepartiel (no54), 15

25


total (no54), 15ouvert (no58), 16

partie entière (no20), 6partie fractionnaire (no20), 6partition (no43), 13point

d'accumulation (no62), 16xe (no32), 10isolé (no62), 16

premiers (no1), 3produit cartésien (no50), 14puissance du continue (no51), 14périodes (no67), 18

quadrature du cercle (no85), 22

rationnels (no3), 3relation

d'ordre (no54), 15d'équivalence (no42), 13

représentants (no42), 13réciproque (no31), 9réexive (no42), 13

sous corps (no69), 19sous espace vectoriel (no33), 11sous groupe additif (no64), 17suite

convergente (no5), 3de Fibonacci (no33), 10géométrique (no29), 9

surjection (no31), 9symétrique (no42), 13série

alternée (no35), 12de fonctions (no92), 24

topologiquement dense (no60), 16transcendant (no8), 4transitive (no42), 13télescopage (no35), 12

valeur propre (no32), 10vecteur propre (no32), 10

26

Documents

Exercices de Mathématiques UE : L2-M …mizrahi.u-cergy.fr/fichier a telecharger/approfondissements vieux.pdf · du cours ils sont repérables par le sigle C, ... Ramis, Warusfell,