Cours d'électrocinétique – femto-physique

COURS DE PHYSIQUE

EacuteLECTROCINEacuteTIQUE

JIMMY ROUSSEL

femto-physiquefrelectrocinetique

Cours drsquoeacutelectrocineacutetique ndash femto-physiquefrJIMMY ROUSSEL professeur agreacutegeacute agrave lrsquoEcole Nationale Supeacuterieure de Chimie deRennes

Copyright copy 2021 Jimmy Rousselcbn Ce document est sous licence Creative Commons laquo Attribution - Pas drsquoUtilisationCommerciale 30 non transposeacute (CC BY-NC 30) raquoPour plus drsquoinformations creativecommonsorglicensesby-nc30

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1re eacutedition ndash Mars 2016Version en ligne ndash femto-physiquefrelectrocinetique

Preface

Ce cours srsquointeacuteresse agrave lrsquoeacutelectrocineacutetique crsquoest-agrave-dire agrave lrsquoeacutetude de la reacutepartition dupotentiel et du courant eacutelectrique au sein drsquoun circuit eacutelectrique On distinguerales reacutegimes stationnaires des reacutegimes variables que lrsquoon placera dans le cadre delrsquoapproximation des reacutegimes quasi-stationnaires

Ce cours srsquoadresse plus particuliegraverement agrave des eacutetudiants de premier cycle universitaireou eacutelegraveves des CPGE Les candidats au CAPES ou agrave lrsquoAgreacutegation peuvent y trouvereacutegalement matiegravere agrave reacuteflexion

Jrsquoai essayeacute le plus possible drsquoillustrer les diffeacuterentes notions par des exemples ou desimples exercices Mais pour un entraicircnement plus pousseacute jrsquoinvite le lecteur agrave seprocurer lrsquoeBook suivant

bull Eacutelectrocineacutetique ndash 50 exercices et problegravemes corrigeacutes

disponibles agrave lrsquoadresse payhipcomfemto

Remarque ce recueil est en cours drsquoeacutelaboration ce qui explique la preacutesence de certainschapitres encore inactifs

Jimmy Roussel

Table des matiegraveres

Preface iii

Table des matiegraveres v

1 EacuteTUDE DES REacuteSEAUX EacuteLECTRIQUES EN REacuteGIME CONTINU 111 Lois de lrsquoeacutelectrocineacutetique 112 Pheacutenomegravenes reacutesistifs 513 Dipocircles actifs 714 Meacutethodes de reacutesolution 11

2 CONDENSATEURS ET BOBINES 1721 Condensateur eacutelectrique 1722 Bobine drsquoinduction 20

3 REacuteGIMES TRANSITOIRES 2531 Geacuteneacuteraliteacutes 2532 Deacutecharge drsquoun condensateur 2733 Circuit RL 2934 Oscillateur RLC 31

4 REacuteGIME SINUSOIumlDAL FORCEacute 3541 Signaux peacuteriodiques 3542 Impeacutedance et admittance 4043 Puissance en reacutegime forceacute 43

5 FILTRAGE PASSIF 4751 Fonction de transfert 4752 Filtrage passe-haut 5153 Filtrage passe-bas 5554 Filtre passe-bande 5855 Stabiliteacute 61

Reacutefeacuterences 65

Notations 66

Grandeurs et constantes physiques 67

Table des figures

11 Les diffeacuterentes conventions 212 Repreacutesentation drsquoune tension 313 maille drsquoun circuit orienteacutee par le sens de parcours positif indiqueacute 315 Reacuteseau constitueacute de deux reacutesistances 514 Scheacutema et caracteacuteristique drsquoun conducteur ohmique 516 Conducteurs ohmiques en seacuterie 617 Conducteurs ohmiques en parallegravele 618 Pont diviseur de tension 719 Pont diviseur de courant 7112 Puissance produite en fonction du courant deacutebiteacute 8110 Source ideacuteale de tension scheacutema et caracteacuteristique 8111 Source reacuteelle de tension scheacutema et modeacutelisation lineacuteaire 8115 Puissance fournie par une source de courant 9113 Source de courant ideacuteale scheacutema et caracteacuteristique 9114 Source reacuteelle de courant scheacutema et caracteacuteristique 9117 Batterie en charge 10116 Eacutequivalence Theacutevenin-Norton 10118 Moteur agrave courant continu 11119 Charge drsquoune batterie 11120 Circuit eacutetudieacute 12121 Circuit eacutetudieacute 14122 Theacuteoregraveme de Millman 15123 Circuit eacutetudieacute 1521 Scheacutema eacutelectrique du condensateur ideacuteal 17

22 Montage eacutetudieacute 1823 Deux condensateurs associeacutes en parallegravele 1924 Deux condensateurs associeacutes en seacuterie 1925 Fabrication drsquoun condensateur plan reacuteel 2026 Modeacutelisation drsquoun condensateur reacuteel 2027 Induction 2128 Repreacutesentation drsquoune bobine ideacuteale 2229 Joseph Henry (1797 - 1878) 22210 Modeacutelisations drsquoune bobine 2331 Montage eacutetudieacute 2532 Reacutegime transitoire observeacute agrave lrsquoouverture de lrsquointerrupteur 25

33 Montage RC 2734 Eacutevolution de la tension capacitive et du courant de deacutecharge 2835 Montage R-L 2936 Eacutevolution du courant et de la tension inductive 3037 Montage RLC seacuterie 3138 Circuit pour C gt 0 3139 Reacutegime pseudo-peacuteriodique 32310 Reacutegime apeacuteriodique 32

311 Reacutegime critique 3341 Caracteacuteristiques drsquoun signal peacuteriodique 35

42 Signal sinusoiumldal 3643 Deacutephasage 3644 Deux signaux sinusoiumldaux deacutephaseacutes de q en mode XY 3745 Repreacutesentation de Fresnel 3846 Montage RLC 3947 Eacutetablissement du reacutegime sinusoiumldal (paramegravetres l = 035l0 et amp = 10) 3948 Impeacutedances repreacutesentations de Fresnel 4149 Exemple de circuit avec sa repreacutesentation complexe 4251 Filtre 47

52 Quadripocircle eacutelectronique 4853 Filtre RC 4855 Bande passante 4954 Types de filtre souvent rencontreacutes 4956 Diagramme de Bode drsquoun filtre RC Les traits oranges correspondent aux

comportements asymptotiques 5057 Eacutelimination de la composante continue drsquoun signal triangulaire 5258 Diagramme de Bode drsquoun filtre passe-haut du premier ordre avec 0 = 32 5259 Exemples de filtres passe-haut du premier ordre 53511 Diagramme de Bode drsquoun filtre passe-haut de Butterworth drsquoordre 3 54512 Exemple de filtre passe-haut du troisiegraveme ordre 54510 Deacuterivation drsquoun signal triangulaire agrave lrsquoaide drsquoun filtre passe-haut 54513 Exemples de filtres passe-bas du premier ordre 56514 Filtre passe-bas drsquoordre 3 58515 Diagramme de Bode associeacute au filtre passe-bande du second ordre pour

amp = 5 et 0 = 1 59516 Deacutephasage introduit par un filtre passe-bande avec amp = 5 59518 Quadripocircle RLC 60519 Quadripocircle RLC avec un signal de sortie recueillie aux bornes du conden-

sateur 60517 Seacutelection de la seconde harmonique drsquoun signal peacuteriodique 60520 Diagramme de Bode du filtre RLC avec un signal preacuteleveacute aux bornes de C

et amp = 5 61521 Filtre reacutejecteur agrave lrsquoaide drsquoun circuit RLC 63

Liste des tableaux

11 Puissance eacutelectrique quelques ordres de grandeur 5

EacuteTUDEDES REacuteSEAUX EacuteLECTRIQUESEN REacuteGIME CONTINU 1

11 Lois de lrsquoeacutelectrocineacutetique 1Introduction 1Loi des nœuds 2Loi des mailles 3Puissance eacutelectrique 4

12 Pheacutenomegravenes reacutesistifs 5Loi drsquoohm - effet Joule 5Association de reacutesistances 6Ponts diviseurs 7

13 Dipocircles actifs 7Source de tension 8Source de courant 9Sources de Theacutevenin-Norton 9Reacutecepteur actif 10Loi de Pouillet 11

14 Meacutethodes de reacutesolution 11Utilisation de la loi des

mailles 11Eacutequivalence Theacutevenin-

Norton 12Theacuteoregraveme de superposition 13Theacuteoregraveme de Millman 15

Comment courants et potentiels eacutelectriques se reacutepartissent au seindrsquoun circuit eacutelectrique Crsquoest agrave cette question que ce cours entendreacutepondre sachant qursquoon limitera notre propos aux reacuteseaux eacutelectriqueslineacuteaires en reacutegime continu En effet ces reacuteseaux ont le bon goucirct demener agrave des eacutequations simples agrave reacutesoudre

Ce chapitre est accessible en ligne agrave lrsquoadresse

femto minus physiquefrelectromagnetismeetude minus des minus reseaux minuselectriquesphp

11 Lois de lrsquoeacutelectrocineacutetique

Les lois de lrsquoeacutelectrocineacutetique ou lois de Kirchhoff1

1 Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) physicien allemand qui eacutenonccedilales lois relatives au courant eacutelectriquedans les circuits alors qursquoil eacutetait encoreeacutetudiant On lui doit surtout desavanceacutees en spectroscopie

se reacutesument endeux lois la loi des nœuds et la loi des mailles

Introduction

Un reacuteseau eacutelectrique (ou circuit eacutelectrique) est un ensemble drsquoeacuteleacute-ments preacutesentant des proprieacuteteacutes eacutelectriques relieacutes entre eux par desconducteurs que lrsquoon consideacuterera parfaits (conductiviteacute infini) Les loisde lrsquoeacutelectriciteacute permettent de trouver la faccedilon dont les courants et lespotentiels eacutelectriques se reacutepartissent au sein de ce circuit

Lorsque les grandeurs eacutelectriques (tensions et intensiteacutes eacutelectriques)ne varient pas dans le temps on parle de reacutegime continu le reacutegimevariable deacutesigne la situation contraire

En reacutegime variable les fluctuations de courant se propagent agrave unevitesse proche de la vitesse de la lumiegravere Pour des circuits de tailleraisonnable la dureacutee de propagation g est tregraves petite devant le tempscaracteacuteristique) des fluctuations (peacuteriode du signal srsquoil est peacuteriodique)Il est alors leacutegitime de neacutegliger g devant ) crsquoest ce qursquoon appellelrsquoapproximation des reacutegimes quasi-stationnaires

Approximation des Reacutegimes Quasi Stationnaires (ARQS)

Nous admettrons que les lois des reacutegimes permanents restent va-lables en reacutegime variable si lrsquoon peut consideacuterer les pheacutenomegravenesde propagation neacutegligeables Notamment dans une branche drsquouncircuit agrave un instant donneacute le courant a la mecircme intensiteacute en toutpoint

2 1 EacuteTUDE DES REacuteSEAUX EacuteLECTRIQUES EN REacuteGIME CONTINU

dipocircle

D = +A minus+B

Convention reacutecepteur

dipocircle

D = +B minus+A

Convention geacuteneacuterateur

FIGURE 11 ndash Les diffeacuterentes conventions

Un dipocircle eacutelectrocineacutetique est une partie drsquoun circuit qui peut ecirctrerelieacutee au reste du circuit par deux fils On deacutecrit le comportement drsquoundipocircle par sa relation courant-tension (8 = 5 (D)) dans une conventionpreacuteciseacutee Il en existe deux

bull dans la convention reacutecepteur si le courant algeacutebrique est orienteacutedans le sens AB alors D = +A minus+B

bull dans la convention geacuteneacuterateur si le courant est orienteacute dans lesens AB alors D = +B minus+A

Dans ce chapitre nous limitons notre propos agrave lrsquoeacutetude de dipocircles eacutelec-trocineacutetiques dont la relation entre D et 8 est soit lineacuteaire soit affine(8 = 0 times D + 1) En effet lrsquoobjectif est avant-tout de se familiariser avecles meacutethodes de reacutesolutions

Loi des nœuds

Dans chaque branche drsquoun reacuteseau eacutelectrique on deacutefinit un sens positif(le choix est arbitraire ) du courant et une intensiteacute algeacutebrique 8 Si8 gt 0 le courant circule dans le sens positif si 8 lt 0 le courant circuledans le sens opposeacute

Un nœud est la rencontre drsquoau moins trois conducteurs eacutelectriquesConsideacuterons = branches de conducteurs lieacutees par un nœud N Deacutefi-nissons 8 lrsquointensiteacute algeacutebrique du courant de la e branche La loides nœuds traduit la conservation de la charge en reacutegime stationnaireet exprime le fait que la charge ne peut pas srsquoaccumuler en N lecourant eacutelectrique qui arrive en N doit ecirctre compenseacute par le courantqui sort Cette loi rigoureusement veacuterifieacutee en reacutegime continu est ad-mise en reacutegime variable dans le cadre de lrsquoapproximation des reacutegimesquasi-stationnaires

Loi des nœuds

En chaque nœud drsquoun circuit on a=sum=1

n 8 = 0 ougrave n = +1 quand le

courant est entrant et ougrave n = minus1 dans le cas contraire

Exemple

On considegravere le scheacutema suivant

la loi des nœuds exprimeacutee en N donne

81 + 82 + 83 minus 84 = 0 soit 84 = 81 + 82 + 83

ce qui traduit bien le fait que le courant qui arrive en N est eacutegale au courantqui en sort

11 Lois de lrsquoeacutelectrocineacutetique 3

dipocircle

DAB = +A minus+B

FIGURE 12 ndash Repreacutesentation drsquoune ten-sion

bullA bullCbullB

DAB DBC

FIGURE 13 ndash maille drsquoun circuit orienteacuteepar le sens de parcours positif indiqueacute

Loi des mailles

Le transport eacutelectrique est assureacute gracircce aux forces eacutelectrostatiques Onpeut degraves lors deacutefinir un potentiel eacutelectrique en chaque point du circuitLorsque le potentiel eacutelectrique est le mecircme partout le reacuteseau est agravelrsquoeacutequilibre et nrsquoest le siegravege drsquoaucun courant eacutelectrique En revanchelorsque le potentiel eacutelectrique nrsquoest plus uniforme le conducteur nrsquoestplus agrave lrsquoeacutequilibre ce qui geacutenegravere un courant eacutelectrique (qui tente dereacutetablir lrsquoeacutequilibre) Aux extreacutemiteacutes drsquoune branche il existe alors unetension qui deacutepend du courant eacutelectrique et de la nature du dipocircletraverseacute par ce courant Il est traditionnel de repreacutesenter une tensionDAB = + minus+ par une flegraveche allant de B vers A

Les tensions qui regravegnent dans un circuit obeacuteissent agrave quelques contraintesphysiques En effet si lrsquoon parcourt un circuit fermeacute (on parle de maille)en partant drsquoun nœud N pour revenir agrave ce mecircme nœud on doit trouverune tension nulle en vertu du caractegravere conservatif du champ eacutelec-

trique (∮ minusrarr middotminusrarrdℓ = 0) Autrement dit si lrsquoon deacutecompose le circuit C en

= branches adjacentes on aura

=sum=1

ougrave D est la tension qui regravegne aux extreacutemiteacutes de la e branche Cetteloi est agrave appliquer si toutes les tensions sont orienteacutees dans le mecircmesens ce qui nrsquoest pas toujours la cas agrave cause des diffeacuterentes conven-tions choisies pour les dipocircles crsquoest pourquoi on retiendra la regraveglesuivante

Loi des mailles

Prenons une maille et choisissons arbitrairement un sens de par-cours Visitons toutes les branches de la maille et associons uncoefficient n = +1 agrave la tension rencontreacutee lorsqursquoelle est orienteacutee(sa flegraveche repreacutesentative) dans le sens de parcours et un coefficientn = minus1 lorsque la tension rencontreacutee est orienteacutee dans lrsquoautre sensLa loi des mailles se traduit alors par

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

Dans le circuit ci-contre appliquons la loi des mailles en parcourant lamaille dans le sens indiqueacute On trouve

1 times DBC + 1 times DAB minus 1 times DAC = 0

soitDAC = DAB + DBC

On retrouve drsquoailleurs une loi identique agrave celle de Chasles propre auxvecteurs

Remarques il existe une indeacutetermination du potentiel ceci reste vraiau sein drsquoun reacuteseau eacutelectrique Cependant une convention souvent ren-contreacutee consiste agrave poser lrsquoorigine du potentiel au niveau du pocircle - delrsquoalimentation Ce potentiel de reacutefeacuterence est appeleacutee masse du circuitUn eacutequipement sous tension preacutesente en geacuteneacuteral une connexion physiqueavec la terre Elle permet de proteacuteger lrsquoutilisateur et eacutegalement drsquoeacutevacuerles courants induits par la foudre Cependant il ne faudrait pas confondreligne de terre et ligne de masse car le potentiel de la terre nrsquoest pasneacutecessairement constant et sa fonction est uniquement lieacutee agrave la seacutecuriteacute

ligne de masse ligne de terre

Puissance reccedilue par un dipocircle eacutelectrocineacutetique

On appelle P(C) la puissance eacutelectrique reccedilue agrave lrsquoinstant C par un dipocircleeacutelectrocineacutetique La puissance eacutelectrique se mesure en watt (symbole W) en hommage agrave James Watt22 James Watt (1736-1819) ingeacutenieur

britannique dont les ameacuteliorations surla machine agrave vapeur furent une eacutetape cleacutedans la reacutevolution industrielle

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

Entre C et C + dC la quantiteacute de charge d = 8(C) dC arrive en une extreacute-miteacute du dipocircle (point A) pendant que la mecircme quantiteacute ndash nous sommesen reacutegime stationnaire ou quasi-stationnaire ndash en sort par lrsquoautre extreacute-miteacute (point B) Cette quantiteacute de charge possegravede une eacutenergie eacutelectriqueEp (A) = d+A en A et Ep (B) = d+B en B Remarquons qursquoentre Aet B lrsquoeacutenergie des charges nrsquoa pas changeacute du fait que la distributiondes charges et du potentiel est la mecircme entre C et C + dC Autrementdit drsquoun point de vue eacutenergeacutetique tout se passe comme si lrsquoon avaittransporteacute la charge d de A en B Pendant ce transport la chargeperd une eacutenergie potentielle d+A minus d+B qursquoelle cegravede inteacutegralementau dipocircle Celui-ci reccediloit donc une quantiteacute drsquoeacutenergie

X = d+A minus d+B = 8(C) D (C) dC (12)

Puissance eacutelectrique reccedilue par un dipocircle

La puissance eacutelectrocineacutetique reccedilue (lrsquoeacutenergie reccedilue par uniteacute detemps) par un dipocircle D agrave lrsquoinstant C soumis agrave une tension D(C) ettraverseacute par un courant drsquointensiteacute 8(C) vaut en convention reacutecepteur

P(C) = D(C) 8(C) (13)

Si P(C) gt 0 le dipocircle absorbe effectivement agrave lrsquoinstant C de lrsquoeacutener-gie eacutelectrique On dit que le dipocircle a un caractegravere reacutecepteur Cetteeacutenergie reccedilue par le dipocircle est soit stockeacutee soit convertie sous uneautre forme (effet Joule dans une reacutesistance eacutenergie meacutecaniquedans un moteur)

Si P(C) lt 0 le dipocircle fournit effectivement de lrsquoeacutenergie eacutelectrique on dit que le dipocircle agrave un caractegravere geacuteneacuterateur (ex batterie)

12 Pheacutenomegravenes reacutesistifs 5

TABLE 11 ndash Puissance eacutelectrique quelques ordres de grandeur

eacutelectronique lampe de poche consommation des franccedilais en hiver centrale eacutelectrique moteur TGV`W-mW W 100 GW GW MW

sens de parcours

FIGURE 15 ndash Reacuteseau constitueacute de deuxreacutesistances

12 Pheacutenomegravenes reacutesistifs

Loi drsquoohm - effet Joule

Comme on lrsquoa vu en eacutelectromagneacutetisme[1] [1] ROUSSEL (2016) Conducteurseacutelectriques

un conducteur ohmiqueobeacuteit agrave la loi drsquoOhm

Loi drsquoOhm

D(C) = 8(C) [Convention reacutecepteur] (14)

ougrave deacutesigne la reacutesistance du conducteur ohmique dont la valeurdeacutepend de la geacuteomeacutetrie et de la conductiviteacute du mateacuteriau conduc-teur

Rappelons que srsquoexprime en ohm (symbole Ω) La caracteacuteristique8 = 5 (D) est donc une droite passant par lrsquoorigine

FIGURE 14 ndash Scheacutema et caracteacuteristiquedrsquoun conducteur ohmique

Un circuit uniquement composeacute de reacutesistances ne peut pas produirede courant On dit que le conducteur ohmique est un dipocircle lineacuteairepassif Par exemple si lrsquoon branche deux reacutesistances ensemble la loides mailles donne

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

Aucun courant ne circule et par conseacutequent tous les conducteurs sontau mecircme potentiel On retrouve une des proprieacuteteacutes des conducteurs agravelrsquoeacutequilibre

La puissance reccedilue par un conducteur ohmique vaut

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

Le conducteur ne peut que recevoir de lrsquoeacutenergie eacutelectrique sans pou-voir en fournir On parle alors de reacutecepteur eacutelectrique En revanchecette eacutenergie eacutelectrique est convertie essentiellement sous forme dechaleur si le conducteur nrsquoest pas thermiquement isoleacute En effet sile conducteur est maintenu agrave tempeacuterature et pression constantes le

premier principe de la thermodynamique donne pendant la dureacuteeg

Δ = amp +elec = ampP +int

82 dC = 0 =rArr amp = minusint

Notez qursquoen geacuteneacuteral le conducteur voitsa tempeacuterature varier ce qui fait aug-menter son enthalpie (Δ =

intlt2 d) )

Dans ce cas une partie de lrsquoeacutenergie eacutelec-trique sert agrave augmenter lrsquoeacutenergie internedu conducteur et agrave le dilater

Cette dissipation de lrsquoeacutenergie eacutelectrique sous forme de chaleur portele nom drsquoeffet Joule Cet effet est mis agrave profit dans les bouilloires eacutelec-triques par exemple

Association de reacutesistances

Tout dipocircle constitueacute uniquement de reacutesistances eacutequivaut agrave une reacutesis-tance eacutequivalente eq Inteacuteressons-nous agrave deux configurations simples

Reacutesistances en seacuterie ndash On dit que des reacutesistances sont en seacuterie lors-qursquoelles sont traverseacutees par le mecircme courant eacutelectrique Appelons 8

FIGURE 16 ndash Conducteurs ohmiques en seacuterie

lrsquointensiteacute du courant On a

D = eq 8 =

Par conseacutequent on obtient

eq =sum

hearts (16)

Reacutesistances en parallegravele ndash On dit que des reacutesistances sont associeacuteesen parallegravele lorsqursquoelles sont soumises agrave la mecircme tension Appelons D

FIGURE 17 ndash Conducteurs ohmiques enparallegravele

la tension commune On a

On trouve donc1eq

hearts (17)

On pourra retenir par exemple que

13 Dipocircles actifs 7

FIGURE 18 ndash Pont diviseur de tension

FIGURE 19 ndash Pont diviseur de courant

bull deux reacutesistances en parallegravele eacutequivalent agrave un conducteur de

reacutesistance eq =12

bull reacutesistances identiques en parallegravele eacutequivalent agrave un conduc-teur de reacutesistance

Ponts diviseurs

Consideacuterons deux reacutesistances 1 et 2 en seacuterie soumises agrave une tensionglobale D

En vertu de la loi des mailles on a D = D1 + D2 = (1 + 2)8 La tensionaux bornes de chaque reacutesistance D = 8 est alors une fraction de latension D

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

On parle alors de montage diviseur de tension

On considegravere maintenant deux reacutesistances 1 et 2 en parallegravele alimen-teacutees par un courant global 8

Deacutefinissons les conductances = 1 exprimeacutees en siemens (sym-bole S) Le courant traversant chacune des reacutesistances a pour intensiteacute8 = D et D = (1 +2)8 En conseacutequence on obtient

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Le courant se reacutepartie au prorata des conductances et lrsquoon parle demontage diviseur de courant

Exercice ndash On considegravere le montage ci-dessous Calculer lrsquointensiteacute ducourant 8

Reacutep 8 = D(3)

13 Modeacutelisation lineacuteaire drsquoun dipocircle actif

Contrairement aux dipocircles passifs les dipocircles actifs produisent unetension en circuit ouvert On distingue les sources (piles alimentationstabiliseacutee batteries en utilisation) et les reacutecepteurs (eacutelectrolyseursbatteries en charge moteurs eacutelectriques)

42A 4A

FIGURE 112 ndash Puissance produite enfonction du courant deacutebiteacute

Source de tension

Une source de tension permet aux charges de laquo remonter raquo le potentielgracircce agrave lrsquoexistence drsquoun champ eacutelectromoteur au sein de la source Cechamp eacutelectromoteur produit une tension dite force eacutelectromotrice(feacutem) que nous noterons 4

La caracteacuteristique drsquoune source de tension ideacuteale srsquoeacutecrit en conventiongeacuteneacuterateur

D = 4 forall8

ougrave 4 est la force eacutelectromotrice (feacutem) de la source de tension

FIGURE 110 ndash Source ideacuteale de tension scheacutema et caracteacuteristique

Pour tenir compte des pertes par effet Joule drsquoune source de tension onmodeacutelise la source par une source ideacuteale en seacuterie avec une reacutesistance Adite reacutesistance interne La caracteacuteristique srsquoeacutecrit alors

D = 4 minus A8 hearts (110)

Il ressort de cette caracteacuteristique que la source de tension acquiert

FIGURE 111 ndash Source reacuteelle de tension scheacutema et modeacutelisation lineacuteaire

un comportement quasi-ideacuteal agrave la condition que A8 4 le courantdeacutebiteacute par la source doit rester faible Crsquoest ce que lrsquoon obtient lorsqueque lrsquoon branche un voltmegravetre aux bornes de la source la reacutesistanceinterne du voltmegravetre eacutetant tregraves grande le courant deacutebiteacutee est quasi-nulde sorte que le voltmegravetre indique la feacutem de la source Par ailleurslorsque lrsquoon court-circuite la source en reliant ses deux bornes (D = 0)on trouve un courant de court-circuit

8cc = 4A

Du point de vue eacutenergeacutetique la puissance deacutelivreacutee par la source detension vaut P = D 8 = 48 minus A82 Ainsi la puissance atteint une valeurmaximale lorsque 8 = 42A Une source reacuteelle de tension deacutelivre doncune puissance maximale

Pmax =42

8026 806

FIGURE 115 ndash Puissance fournie par unesource de courant en fonction de la ten-sion agrave ses bornes

Source de courant

Le rocircle drsquoune source de courant est drsquoimposer un courant constantindeacutependamment de la tension qui regravegne agrave ses bornes Une source de

FIGURE 113 ndash Source de courant ideacuteale scheacutema et caracteacuteristique

courant ideacuteale aura la caracteacuteristique suivante

8 = 80 forallD

ougrave 80 deacutesigne le courant eacutelectromoteur (ceacutem)

Pour tenir compte des pertes par effet Joule drsquoune source de courantreacuteelle on la modeacutelise par une source ideacuteale en parallegravele avec uneconductance interne 6 La caracteacuteristique srsquoeacutecrit alors

FIGURE 114 ndash Source reacuteelle de courant scheacutema et caracteacuteristique

8 = 80 minus 6 D avec 6 =1A

ougrave 6 est la conductance interne (A la reacutesistance interne) On noteraqursquoune source de courant se rapproche drsquoune source de courant ideacutealequand sa conductance interne 6 rarr 0 (A rarrinfin)

La puissance fournie par une source de courant reacuteelle vaut P = D8 =

D80 minus 6D2 Suivant le dipocircle que charge la source de courant la tensionet donc la puissance deacutelivreacutee varie La courbe ci-contre montre quelorsque D = 8026 la puissance atteint une valeur maximale

Pmax =80

Repreacutesentations de Theacutevenin et Norton

Consideacuterons une source de tension reacuteelle dont la modeacutelisation lineacuteaireest donneacutee par D = 4 minus A8 Cette caracteacuteristique peut se reacute-eacutecrire 8 =4A minus 6D avec 6 = 1A En drsquoautres termes une source de tension reacuteellepeut srsquointerpreacuteter comme une source de courant de ceacutem 80 = 4A etde conductance 6 = 1A Ainsi toute source lineacuteaire preacutesente deuxrepreacutesentations possibles

bull la modeacutelisation de Theacutevenin correspondant agrave une source detension ideacuteale en seacuterie avec une reacutesistance

+4 A D equiv

FIGURE 117 ndash Batterie en charge

bull la modeacutelisation de Norton correspondant agrave une source de cou-rant ideacuteale en parallegravele avec une conductance

On passe drsquoune repreacutesentation agrave une autre en retenant lrsquoeacutequivalenceTheacutevenin-Norton suivante

FIGURE 116 ndash Eacutequivalence Theacutevenin-Norton

g6 = 1A

80 = 4A

Reacutecepteur actif

Eacutetudions le cas drsquoune batterie chimique On distingue deux comporte-ments la deacutecharge ou la charge Lorsque la batterie se deacutecharge elleest alors source drsquoeacutenergie et est modeacuteliseacutee par une source de tensionde feacutem 4 et de reacutesistance interne A On a en convention geacuteneacuterateur

D = 4 minus A8 et P = 48 minus A82 gt 0

En fonctionnement geacuteneacuterateur la puissance fournie est positive et lesens du courant est dicteacutee par la polariteacute de la source

En revanche lorsque la batterie est en charge le courant est danslrsquoautre sens Dans ce cas le dipocircle reccediloit de la puissance on dit qursquoilsrsquoagit drsquoun reacutecepteur actif et 4 est deacutesigneacute par le terme force contre-eacutelectromotrice (fceacutem) En convention reacutecepteur on eacutecrira donc

D = 4 + A8

et la puissance fournie agrave la batterie vaut

P = 48 + A82

Une partie de cette puissance (A82) est dissipeacutee par effet joule et lrsquoautrepartie (4 8) est convertie en eacutenergie chimique On peut drsquoailleurs deacutefinirun rendement de conversion

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

Finalement une batterie est une source de tension qui peut fonctionnersoit en geacuteneacuterateur soit en reacutecepteur la polariteacute eacutetant fixeacute par la borne +de la batterie On parle alors de reacutecepteur reacuteversible Les accumulateursles eacutelectrolyseurs ont ce comportement

Il existe cependant des dipocircles actifs dont le comportement est toujoursreacutecepteur quel que soit le sens du courant La polariteacute de la fceacutem esttoujours orienteacutee agrave contre sens du courant On parle de reacutecepteur nonreacuteversibles (ou non polariseacutes) Le moteur agrave courant continu en est unexemple

14 Meacutethodes de reacutesolution 11

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ougrave 8 lt 0 D = minus4 + A8

FIGURE 118 ndash Moteur agrave courant continu

FIGURE 119 ndash Charge drsquoune batterie

Loi de Pouillet

Imaginons une maille constitueacutee de dipocircles actifs (en repreacutesentationde Theacutevenin) et de reacutesistances Appelons la somme de toutes lesreacutesistances (reacutesistances internes inclues) Imposons un sens positifdu courant et notons 8 lrsquointensiteacute algeacutebrique du courant qui circuledans la maille Notons 4 les feacutem (orienteacutees dans le sens positif) et 4prime

les fceacutem (orienteacutes dans le sens contraire) La loi des mailles permetdrsquoeacutecrire sum

4 minussum

4prime minus 8 = 0

Ce qui donne la loi connue sous le nom de loi de Pouillet

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Exercice ndash Une source de tension continue de feacutem 4 = 15 V charge unebatterie de fceacutem 4prime = 12 V Deacuteterminer le courant de charge 8 agrave lrsquoaide dela loi de Pouillet

Reacutep 8 = 50 mA

14 Meacutethodes de reacutesolution

Utilisation de la loi des mailles

Dans un reacuteseau constitueacute de 1 branches et = nœuds il y a = 1 minus= + 1 courants indeacutependants En effet les 1 courants circulant dansles 1 branches veacuterifient = minus 1 relations (lois des nœuds) Il nous fautdonc relations pour deacuteterminer ces inconnues Ces relations sontobtenues en appliquant la loi des mailles dans mailles indeacutependantesassocieacutees aux caracteacuteristiques des dipocircles On obtient alors un systegravemedrsquoeacutequations agrave reacutesoudre

Meacutethodologie

1 Parcourir toutes les branches du reacuteseau en deacutefinissant lescourants algeacutebriques et en appliquant le plus possible la loides nœuds agrave chaque fois que lrsquoon rencontre un nœud

2 Compter le nombre de courants inconnues puis choisir

FIGURE 120 ndash Circuit eacutetudieacute

mailles avec un sens de parcours

3 Eacutecrire lois des mailles en utilisant les caracteacuteristiques desdipocircles Notez que si une branche contient une source decourant lrsquointensiteacute eacutelectrique dans cette branche est alorsdeacutetermineacutee mais la tension aux bornes de la source est alorsune inconnue

4 Reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequations

Cette meacutethode preacutesente lrsquoavantage de deacuteterminer toutes les grandeurseacutelectriques et srsquoapplique agrave tous les reacuteseaux eacutelectriques Si le circuitcontient uniquement des dipocircles lineacuteaires le systegraveme drsquoeacutequationsobtenu est alors lineacuteaire ce qui facilite sa reacutesolution

Exemple

Agrave lrsquoaide des lois de Kirchhoff deacuteterminons lrsquointensiteacute du courant 8 dans lecircuit ci-contre

Commenccedilons par deacutefinir tous les courants Appelons 81 le courant quitraverse le dipocircle (20 V 5Ω) En parcourant tout le reacuteseau on srsquoaperccediloitqursquoil nrsquoy a que deux courants inconnues 8 et 81 (notez qursquoil y a une sourcede courant qui impose la valeur de lrsquointensiteacute du courant dans une branche)Il suffit donc de deux relations pour les deacuteterminer On choisira les maillesrepreacutesenteacutees en couleur sur la figure

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

La loi des mailles donne alors20 minus 581 minus 58 = 05 minus 5(8 minus 81 minus 1) minus 58 = 0

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

En sommant les deux relations on trouve 158 = 30 soit 8 = 2 A

Eacutequivalence Theacutevenin-Norton

Lrsquoinconveacutenient majeur de la meacutethode preacuteceacutedente est qursquoelle neacutecessitede reacutesoudre un systegraveme de eacutequations mecircme si lrsquoon ne chercheqursquoune seule grandeur eacutelectrique le risque drsquoerreur de calcul peutdevenir important

Pour remeacutedier agrave ce deacutefaut on peut utiliser de faccedilon judicieuse lrsquoeacutequi-valence eacutelectrique entre une source de tension reacuteelle et une sourcede courant reacuteelle En associant les reacutesistances quand crsquoest possible eten reacutepeacutetant plusieurs fois la transformation TheacuteveninharrNorton onpeut simplifier une partie du reacuteseau eacutelectrique eacutetudieacute et donc dimi-nuer le nombre de mailles Quand le but est de calculer les grandeurs

eacutelectriques relatives agrave une branche particuliegravere cette meacutethode est agraveenvisager

Exemple

Reprenons lrsquoexemple preacuteceacutedent en remplaccedilant les sources de tension parleur repreacutesentation de Norton

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

En associant les sources de courant ainsi que les reacutesistances on aboutit agraveun simple diviseur de courant La formule du diviseur donne alors

25 + 15 times 6 = 2 A

Theacuteoregraveme de superposition

Imaginons un circuit constitueacute de = sources de tension de feacutem 4 etde lt sources de courant de ceacutem 80 Si les autres dipocircles sont passifsce sont ces sources actives qui sont responsables de lrsquoapparition decourants et tensions eacutelectriques au sein du reacuteseau On peut dire entoute geacuteneacuteraliteacute que lrsquointensiteacute 8 drsquoune branche srsquoeacutecrit

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

Par ailleurs si tous les dipocircles sont lineacuteaires alors la fonction 5 veacuterifiela proprieacuteteacute de lineacuteariteacute suivante

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Autrement dit il suffit drsquoallumer une seule source calculer lrsquoeffetproduit dans la branche eacutetudieacutee puis recommencer en changeant desource etc La somme des effets donne alors lrsquoeffet obtenu lorsquetoutes les sources agissent simultaneacutement

Le theacuteoregraveme de superposition exige depouvoir allumer une seule source ce quisuppose que les sources sont indeacutepen-dantes

Dans un circuit constitueacute de dipocircles lineacuteaires lrsquointensiteacute circulantdans une branche (resp la tension drsquoune branche) est eacutegale agrave lasomme algeacutebrique des intensiteacutes (resp tensions) produites parchaque source supposeacutee seule active les autres eacutetant eacuteteintes

Pour eacuteteindre les sources on proceacutedera ainsi

bull Source de tension eacuteteinte on remplace la source de tensionideacuteale par un fil (4 = 0)

bull Source de courant eacuteteinte on remplace la source de courantideacuteale par un interrupteur ouvert (80 = 0)

Exemple

Reprenons lrsquoexemple qui nous sert de fil rouge dans cette partie et appli-quons le theacuteoregraveme de superposition afin de calculer lrsquointensiteacute 8

Commenccedilons par allumer seulement la source de courant On obtient undiviseur de courant

5Ω 5Ω 5Ω

La formule du diviseur donne immeacutediatement lrsquointensiteacute que lrsquoon re-cherche

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

Eacuteteignons la source de courant et allumons la premiegravere source de tension

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

Les deux reacutesistances en parallegravele eacutetant identiques elles sont traverseacutees parle mecircme courant (noteacute 82) La source deacutebite donc un courant drsquointensiteacute 282et la loi des mailles donne

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

Enfin allumons seulement la derniegravere source Pour les mecircmes raisons quepreacuteceacutedemment la source deacutebite un courant double de celui qui traverseles reacutesistances en parallegravele

5Ω5Ω

La loi des mailles donne

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

Finalement le courant produit lorsque toutes les sources sont allumeacuteesvaut

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

FIGURE 122 ndash Le theacuteoregraveme de Millmanpermet drsquoexprimer le potentiel du nœudN en fonction des potentiels +

Theacuteoregraveme de Millman

Consideacuterons un nœud N auquel sont relieacutes = conducteurs ohmiques dereacutesistances ( = 1 =) On choisit un potentiel de reacutefeacuterence (+ = 0)et lrsquoon note + le potentiel eacutelectrique de lrsquoautre borne de

Deacutemonstration

Le theacuteoregraveme de Millman est en reacutea-liteacute une reacuteeacutecriture de la loi desnœuds en termes de potentielsDrsquoapregraves la loi drsquoohm le courant dela branche entrant en N a pour in-tensiteacute

8 =+ minus+N

La loi des nœudssum 8 = 0 aboutit

au theacuteoregraveme de Millman

Le theacuteoregraveme de Millman exprime le potentiel +N en fonction des+ et des conductances = 1 de chaque branche

sum==1 +sum==1

Si une branche ( = 1 par exemple) est traverseacutee par un courantdrsquointensiteacute 81 connue on eacutecrira

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

Appliquons le theacuteoregraveme de Millman afin de deacuteterminer lrsquointensiteacute 8 de lafigure ci-contre Pour cela fixons la masse (potentiel nul) au niveau de laborne ndash des sources de tension et placcedilons N au nœud commun aux troisreacutesistances

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

Le theacuteoregraveme de Millman donne immeacutediatement

+N =15 times 0 + 15 times 20 + 15 times 5 + 1

15 + 15 + 15 = 10 V

La loi drsquoOhm donne immeacutediatement

8 =+N5= 2 A

Ce theacuteoregraveme que lrsquoon doit agrave Jacob Millman est assez utile dans lescircuits preacutesentant des amplificateurs lineacuteaires inteacutegreacutes

FIGURE 21 ndash Scheacutema eacutelectrique ducondensateur ideacuteal

CONDENSATEURS ETBOBINES 2

21 Condensateur eacutelectrique 17Le condensateur ideacuteal 17Eacutenergie emmagasineacutee 18Association de condensateurs19Condensateur reacuteel 20

22 Bobine drsquoinduction 20Pheacutenomegravene drsquoinduction 20Auto-induction 22Energie magneacutetique 22Bobine reacuteelle 23

Jusqursquoagrave preacutesent pour expliciter les lois de lrsquoeacutelectriciteacute en reacutegime continunous avons introduit des dipocircles lineacuteaires dont la caracteacuteristique est detype affine Il existe drsquoautres dipocircles lineacuteaires dont la caracteacuteristique estde type inteacutegro-diffeacuterentielle le condensateur et la bobine inductiveen sont les repreacutesentants

femto minus physiquefrelectrocinetiquecondensateurs minus et minus bobinesphp

21 Condensateur eacutelectrique

Le condensateur ideacuteal

On a vu en eacutelectromagneacutetisme[1] [1] ROUSSEL (2016) Conducteurseacutelectriques

qursquoun condensateur est lrsquoassociationde deux conducteurs en influence totale appeleacutes armatures Soumisagrave une tension eacutelectrique constante le condensateur accumule auniveau de ses armatures des charges eacutelectriques de signe opposeacute (amp etminusamp) telles que amp = On admettra cette relation eacutegalement veacuterifieacuteeen reacutegime variable

Capaciteacute drsquoun condensateur

Dans le cadre de lrsquoapproximation des reacutegimes quasi-stationnairesun condensateur ideacuteal reacutepond agrave la caracteacuteristique

(C) = D(C) (21)

ougrave est la capaciteacute du condensateur Celle-ci srsquoexprime en farad(F) elle deacutepend de la geacuteomeacutetrie du condensateur et de la nature delrsquoisolant placeacute entre les armatures

On a donc en convention reacutecepteur

8(C) = ddC

= dD(C)

dC[Convention reacutecepteur] hearts (22)

Le comportement du condensateur ideacuteal obeacuteit au principe de superpo-sition En effet si 81 est la reacuteponse agrave la tension D1 et 82 celle agrave la tensionD2 alors 81 + 82 est la reacuteponse agrave la tension D(C) = D1 (C) + D2 (C) En ce sensle condensateur est un dipocircle lineacuteaire

18 2 CONDENSATEURS ET BOBINES

FIGURE 22 ndash Montage eacutetudieacute

Exercice ndash Soit un condensateur avec les conventions eacutelectriques sui-vantes

Donner les relations entre D et 8 et ainsi que D et 8

En reacutegime continu toutes les grandeurs eacutetant stationnaires la loi (22)devient 8 = 0 Par conseacutequent le condensateur se comporte comme uninterrupteur ouvert en reacutegime continu

Exemple

Soit le montage ci-contre Agrave C = 0 on ferme lrsquointerrupteur K pour permettreagrave la source de tension de charger le condensateur Que vaut la chargecapacitive une fois le reacutegime continu eacutetabli Pour reacutepondre agrave la question ilsuffit de remplacer le condensateur par un interrupteur ouvert

On obtient alors un montage diviseur de tension La tension aux bornesdu condensateur vaut

2 = times

2ce qui donne une charge capacitive = 2

Eacutenergie emmagasineacutee dans un condensateur

On rappelle qursquoun condensateur ideacuteal stocke une eacutenergie eacutelectrique

=12 D2 =

2hearts (23)

Le condensateur chargeacute agit comme un reacuteservoir drsquoeacutenergie qursquoil peutfournir au reste du circuit La puissance que reccediloit un condensateurideacuteal srsquoeacutecrit

P = D 8 = DdDdC

dCLorsque lrsquoeacutenergie stockeacutee deacutecroit P lt 0 le condensateur se deacutechargeen fournissant de lrsquoeacutenergie au reste du circuit agissant ainsi commeun geacuteneacuterateur

Exercice ndash Calculer lrsquoeacutenergie emmagasineacutee dans un condensateur de ca-paciteacute = 1 `F chargeacute sous la tension constante = 30 VReacutep = 045 mJ

Le fait que le condensateur stocke une eacutenergie sous forme eacutelectro-magneacutetique a une conseacutequence importante en eacutelectrocineacutetique Vu

21 Condensateur eacutelectrique 19

que lrsquoeacutenergie drsquoun systegraveme ne peut peut pas varier de faccedilon disconti-nue la charge et la tension drsquoun condensateur doivent varier continucirc-ment

Agrave retenir

La charge eacutelectrique drsquoune armature de condensateur eacutevolue defaccedilon continue au cours du temps Cette proprieacuteteacute est aussi veacuterifieacuteepar la tension aux bornes du condensateur

Association de condensateurs

Association en parallegravele ndash Soient deux condensateurs de capaciteacute 1

et 2 monteacutes en parallegravele On suppose que ces condensateurs sont

minus1 minus 2FIGURE 23 ndash Deux condensateurs asso-cieacutes en parallegravele

suffisamment eacuteloigneacutes pour pouvoir neacutegliger toute influence mutuelle(ce qui est freacutequemment reacutealiseacute) Exprimons lrsquoeacutenergie emmagasineacutee

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

Par conseacutequent lrsquoensemble est eacutequivalent agrave un condensateur de ca-paciteacute eq = 1 +2 soumis agrave la tension commune D Cette proprieacuteteacutese geacuteneacuteralise aiseacutement condensateurs monteacutes en parallegravele et sansinfluence mutuelle eacutequivalent agrave un condensateur de capaciteacute

sum8=1

8 hearts (24)

Association en seacuterie ndash Consideacuterons deux condensateurs de capaciteacute1 et 2 monteacutes en seacuterie Appelons 8 lrsquointensiteacute du courant qui les

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

1 minus1FIGURE 24 ndash Deux condensateurs asso-cieacutes en seacuterie

traverse La conservation de la charge implique que

dC=rArr 2 minus 1 = Cte

la quantiteacute de charge 2 minus 1 repreacutesente la charge reacutepartie sur la liaisonconductrice entre les deux condensateurs Supposons la liaison initia-lement neutre 1 = 2 = Dans ce cas lrsquoensemble est eacutequivalent agrave

FIGURE 25 ndash Fabrication drsquoun condensa-teur plan reacuteel

FIGURE 26 ndash Modeacutelisation drsquoun conden-sateur reacuteel

un condensateur portant une charge et une capaciteacute eq En effetlrsquoeacutenergie de lrsquoassociation srsquoeacutecrit

eqavec

=11+ 12

On peut eacutetendre cette deacutemonstration agrave un nombre quelconque decondensateurs Ainsi condensateurs associeacutes en seacuterie sans influencemutuelle et tels que les liaisons inter-armatures soient neutres secomportent comme un condensateur de capaciteacute

sum8=1

hearts (25)

Condensateur reacuteel

Pour reacutealiser un condensateur peu encombrant on enroule geacuteneacutera-lement deux rubans meacutetalliques (aluminium ou eacutetain) jouant le rocircledes armatures que lrsquoon seacutepare par deux rubans isolants (papier pa-raffineacute plastique) La preacutesence de cet isolant dit dieacutelectrique a poureffet drsquoaugmenter la capaciteacute du condensateur formeacute suite au pheacute-nomegravene de polarisation eacutelectrique En revanche le comportementdrsquoun tel condensateur srsquoeacutecarte un peu de lrsquoideacutealiteacute pour deux raisonsessentielles

1 La tension est en geacuteneacuteral limiteacutee En effet il existe un champeacutelectrique qursquoil ne faut pas deacutepasser au risque de deacutetruire le di-eacutelectrique placeacutee entre les armatures du condensateur (existencedrsquoun champ disruptif)

2 Il existe un courant de fuite agrave travers le dieacutelectrique du faitde la conductiviteacute finie de ce dernier Par exemple lorsqursquouncondensateur chargeacute est abandonneacute en circuit ouvert on constateque sa charge diminue au cours du temps

Pour modeacuteliser cette fuite on introduit la notion de reacutesistance de fuiteAussi on repreacutesente un condensateur reacuteel par lrsquoassociation en parallegraveledrsquoun condensateur parfait de capaciteacute avec une reacutesistance de fuitef Son ordre de grandeur varie entre le MΩ et la centaine de MΩ

22 Bobine drsquoinduction

Introduction agrave lrsquoinduction magneacutetique

Le pheacutenomegravene drsquoinduction eacutelectromagneacutetique deacutecouvert par Faradayen 1831 a une grande porteacutee industrielle puisqursquoil permet de convertirune eacutenergie meacutecanique en une eacutenergie eacutelectrique et vice-versa Deacutecri-vons le principe agrave lrsquoaide de lrsquoexpeacuterience suivante

22 Bobine drsquoinduction 21

FIGURE 27 ndash Induction

Expeacuterience

Mettons en mouvement un aimant au voisinage drsquoun cadre conducteurrelieacutee agrave un galvanomegravetre (deacutetecteur de courant) On observe lrsquoexistencedrsquoun courant induit par le mouvement de lrsquoaimant Plus preacuteciseacutement onconstate que lrsquointensiteacute du courant deacutepend de la faccedilon dont on deacuteplacelrsquoaimant

bull Si lrsquoon approche lrsquoaimant de faccedilon agrave ce que le champ magneacutetiqueaugmente au voisinage de la spire le courant eacutelectrique qui apparaicirctcircule dans un sens tel qursquoil produit un champ opposeacute au champmagneacutetique imposeacute par lrsquoaimant

bull agrave lrsquoinverse quand lrsquoaimant srsquoeacuteloigne de faccedilon agrave ce que le champmagneacutetique diminue le courant eacutelectrique induit circule de faccedilon agraverenforcer le champ magneacutetique imposeacute

bull le sens du courant deacutepend du sens de lrsquoaimant et du mouvementmais dans tous les cas le courant induit creacuteeacute un champ magneacutetiquequi srsquooppose agrave la variation du champ magneacutetique imposeacute par lemouvement de lrsquoaimant

bull Ce pheacutenomegravene est amplifieacute par la vitesse du mouvement et par lapuissance de lrsquoaimant

Reacutepeacutetons la mecircme expeacuterience en remplaccedilant lrsquoampegraveremegravetre par un volt-megravetre Dans ce cas on note que le mouvement de lrsquoaimant induit eacutegalementune tension drsquoautant plus importante que le mouvement de lrsquoaimant estrapide La polariteacute de la tension induite deacutepend du sens de lrsquoorientationde lrsquoaimant

La premiegravere expeacuterience montre que la spire se comporte comme unaimant dont lrsquoaction sur lrsquoaimant consiste agrave le freiner dans son mouve-ment On en tire la loi de modeacuteration suivante

Loi de Lenz

Dans un circuit fermeacute la variation de flux magneacutetique produit uncourant induit dont les effets srsquoopposent aux causes qui lui ontdonneacute naissance

Dans la deuxiegraveme expeacuterience le circuit ouvert nrsquoest plus le siegravege drsquouncourant mais voit apparaicirctre agrave ses bornes une tension eacutelectrique Lecircuit se comporte alors comme une source de tension de feacutem 4 diteforce eacutelectromotrice induite Quantitativement on montre que

4 = minusdqdC

hearts (26)

Cette loi dite loi de Faraday fait intervenir le flux magneacutetique q agravetravers le circuit Rappelons que

minusrarr minusrarr= d( [Wb]

Sa valeur exprimeacutee en weber (Wb) deacutepend de la forme du circuit etdu champ magneacutetique mais en aucune maniegravere il ne deacutepend du choixde la surface ( srsquoappuyant sur le circuit Comme drsquohabitude minusrarr= est levecteur unitaire localement normal agrave la surface ( et dont le sens est lieacute

8bull bull

FIGURE 28 ndash Repreacutesentation drsquoune bo-bine ideacuteale

FIGURE 29 ndash Joseph Henry (1797 - 1878)

au sens positif du circuit via la regravegle du tire-bouchon

Auto-induction

On parle drsquoauto-induction quand la source de champ magneacutetique agravelrsquoorigine du pheacutenomegravene drsquoinduction dans un circuit est produit par lecircuit mecircme

Consideacuterons une bobine crsquoest-agrave-dire un enroulement de fil eacutelectriqueLorsque cette bobine est traverseacutee par un courant eacutelectrique celui-ciproduit un champ magneacutetique ainsi qursquoun flux magneacutetique q ditflux propre agrave travers la bobine Eacutetant donneacute que le champ magneacutetiquecreacuteeacute est proportionnel agrave lrsquointensiteacute 8 du courant (drsquoapregraves la loi de Biotet Savart) on peut eacutecrire

ougrave deacutesigne le coefficient drsquoauto-inductance44 On dit aussi inductance propre La grandeur srsquoex-prime en henry (symbole H) en hommage agrave Joseph Henry Lorsquele courant varie au cours du temps la bobine se comporte commeune source de feacutem 4 = minus d8

dC en convention geacuteneacuterateur Ainsi lacaracteacuteristique drsquoune bobine ideacuteale srsquoeacutecrit en convention reacutecepteur

D = 38

3C[convention reacutecepteur] hearts (27)

Pour les mecircmes raisons que le condensateur la bobine inductive res-pecte le principe de superposition et de ce fait est un dipocircle lineacuteaire

Notez qursquoen reacutegime continu le courant eacutetant stationnaire la carac-teacuteristique (27) aboutit agrave D = 0 Autrement-dit la bobine peut ecirctreremplaceacutee par un fil conducteur parfait une fois le reacutegime continuatteint

Remarque rigoureusement tout montage eacutelectrique preacutesente une auto-inductance ne serait-ce que parce qursquoil faut former une boucle pourrefermer le circuit

Eacutenergie emmagasineacutee dans une bobine

La puissance eacutelectrique que reccediloit une bobine parcourue par un cou-rant eacutelectrique srsquoeacutecrit

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

Par deacutefinition lrsquoeacutenergie stockeacutee par une bobine ideacuteale est lrsquoeacutenergieqursquoelle est susceptible de libeacuterer lorsque lrsquoon coupe son alimentation(8 = 0)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

ddC( 128prime2) dC = 1

Cette eacutenergie ne deacutepend pas de la faccedilon dont on coupe lrsquoalimentationAinsi on dira qursquoune bobine ideacuteale alimenteacutee par un courant eacutelectrique

emmagasine une eacutenergie sous forme magneacutetique qui vaut

=1282 hearts (28)

Comme pour le condensateur lrsquoeacutenergie qursquoemmagasine la bobine nepeut pas eacutevoluer par saut Aussi lrsquointensiteacute du courant doit variercontinucircment

Agrave retenir

Lrsquointensiteacute du courant qui traverse une bobine eacutevolue de faccediloncontinue au cours du temps

Bobine reacuteelle

Dans la pratique le fil formant la bobine est reacutesistive Crsquoest pourquoion modeacutelise une bobine reacuteelle en ajoutant en seacuterie une reacutesistance A ap-peleacutee reacutesistance interne de la bobine Geacuteneacuteralement cette repreacutesentationconvient agrave basse freacutequence

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

bobine reacuteelle(basse freacutequence)

8bull bull A

bobine reacuteelle(haute freacutequence)

FIGURE 210 ndash Modeacutelisations drsquoune bobine

Agrave moyenne et haute freacutequence deux pheacutenomegravenes parasites appa-raissent

1 en reacutegime variable le courant ne se distribue plus de faccedilonuniforme dans le conducteur crsquoest lrsquoeffet de peau Ce pheacutenomegraveneproduit une augmentation de la reacutesistance A avec la freacutequence5

5 On peut montrer que A augmenteavec le carreacute de la freacutequence

2 un effet capacitif se produit entre les diffeacuterentes spires de labobine On modeacutelise ce pheacutenomegravene en ajoutant un condensateuren parallegravele (Figure 210)

K 8 (C)

reacutegimetransitoire

FIGURE 32 ndash Reacutegime transitoire observeacuteagrave lrsquoouverture de lrsquointerrupteur

REacuteGIMES TRANSITOIRES 331 Geacuteneacuteraliteacutes 25

Reacutegime transitoire 25Aspects matheacutematiques 26

32 Deacutecharge drsquoun condensateur 27Montage eacutetudieacute 27Reacutegime transitoire 27Bilan drsquoeacutenergie 29

33 Circuit RL 29Montage eacutetudieacute 29Reacutegime transitoire 30Bilan eacutenergeacutetique 30

34 Oscillateur RLC 31Montage RLC seacuterie 31Mise en eacutequation 31Reacutegimes transitoires 32Aspects eacutenergeacutetiques 33

Jusqursquoici nous avons eacutetudieacute des circuits eacutelectriques en reacutegime continupour lesquels toutes les grandeurs eacutelectriques restent stationnairesMais que se passe-t-il lorsque lrsquoon passe drsquoun reacutegime continu agrave unautre Ce chapitre reacutepond agrave la question

I Acceacutedez agrave sa version en ligne

femto minus physiquefrelectrocinetiqueregimes minus transitoiresphp

31 Geacuteneacuteraliteacutes

Reacutegime transitoire

Imaginons par exemple un circuit constitueacute drsquoune source de tensioncontinue et drsquoune reacutesistance Ajoutons un interrupteur Ce derniereacutetant initialement ouvert on deacutecide de le fermer agrave lrsquoinstant C = C0 Quepreacutevoient les lois de Kirchhoff et qursquoobserve-t-on en reacutealiteacute

Lorsque lrsquointerrupteur est ouvert le courant ne peut pas circuler

8 = 0 forallC lt C0

La fermeture de lrsquointerrupteur autorise le courant agrave circuler et les loisde Kirchhoff imposent

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

Le courant passe donc brutalement de la valeur nulle agrave la valeur 4Or une observation attentive montre que la transition entre les deuxreacutegimes continus nrsquoest pas instantaneacutee et suit une certaine eacutevolutionCe reacutegime est appeleacute reacutegime transitoire La dureacutee caracteacuteristique de cereacutegime est appeleacute temps de relaxation et sera noteacute g Dans lrsquoexemplediscuteacute ici lrsquoorigine du reacutegime transitoire est lieacute au fait que le cir-cuit preacutesente une auto-inductance que lrsquoon a neacutegligeacute dans la mise eneacutequation Nous verrons plus loin que lorsque lrsquoon tient compte decette self-inductance les lois de Kirchhoff rendent bien compte delrsquoexistence de ce reacutegime transitoire

En reacutesumeacute

Un reacutegime transitoire est le reacutegime drsquoeacutevolution drsquoun systegraveme quinrsquoa pas encore atteint son reacutegime permanent Il se caracteacuterise parune dureacutee caracteacuteristique g appeleacutee temps de relaxation7 7 On dit aussi constante de temps

26 3 REacuteGIMES TRANSITOIRES

Remarque en eacutelectriciteacute la dureacutee du reacutegime transitoire est en geacuteneacuteraltregraves courte de sorte qursquoagrave peine a-t-on allumeacute les appareils que le reacutegimepermanent est deacutejagrave eacutetabli On doit alors utiliser un appareil de deacutetectionou de visualisation (un oscilloscope par exemple) preacutesentant un temps dereacuteponse plus court que la dureacutee du reacutegime transitoire agrave observer

Aspects matheacutematiques

Consideacuterons un dipocircle eacutelectrique passif et lineacuteaire88 Par exemple constitueacute de conducteursohmiques condensateurs et bobines

alimenteacute par unesource de tension ou de courant variable

Imaginons que lrsquoon suive lrsquoeacutevolution drsquoune grandeur eacutelectrique99 Une tension une intensiteacute une chargeeacutelectrique

quenous deacutecidons de noter H(C) Dans le cadre de lrsquoARQS les lois deKirchhoff permettent drsquoobtenir une eacutequation diffeacuterentielle de la forme

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

ougrave 5 (C) et les coefficients 0 sont connues Cette eacutequation preacutesentedeux termes

bull Le terme de gauche est caracteacuteristique des eacuteleacutements qui com-posent le dipocircle Si 0= ne 0 on dit que le dipocircle est drsquoordre n

bull Le terme de droite est lieacute agrave la preacutesence du geacuteneacuterateur On parlede terme drsquoexcitation

On eacutetablit en matheacutematique que la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielleest la somme

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

bull Hp (C) est une solution particuliegravere de lrsquoeacutequation complegravete1010 Que lrsquoon trouve geacuteneacuteralement enrecherchant une solution de la mecircmeforme que 5 (C)

quirepreacutesente le reacutegime forceacute

bull H0 (C) est la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation homogegravene (32)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

H0 (C) repreacutesente le reacutegime libre crsquoest-agrave-dire la reacuteponse du circuiten lrsquoabsence drsquoexcitation

Le reacutegime libre se met sous la forme H0 (C) = eAC ougrave A est un nombrereacuteel ou complexe solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

Si les = racines sont distinctes1111 Si lrsquoeacutequation caracteacuteristique admetune racine multiple A0 drsquoordre la so-lution contient un terme de la forme (C) eA0C ougrave (C) est un polynocircmedrsquoordre

le reacutegime libre srsquoeacutecrit

H0 (C) ==sum=1

On deacutetermine les = constantes drsquointeacutegration en imposant les condi-tions initiales agrave la solution complegravete H(C) Celles-ci doivent respecterles regravegles de continuiteacute que lrsquoon rappelle

32 Deacutecharge drsquoun condensateur 27

+40 A - (C)

FIGURE 33 ndash Montage RC

Regravegles de continuiteacute

bull Dans une branche contenant un condensateur la tension ca-pacitive est une fonction continue du temps

bull Dans une branche contenant une bobine drsquoinduction lrsquointen-siteacute eacutelectrique est une fonction continue du temps

Du fait des effets dissipatifs toujours preacutesents dans un dipocircle passifreacuteel le reacutegime libre srsquoamortit On deacutefinit alors le temps de reacuteponse)r du dipocircle comme le temps12 12 Sa valeur deacutepend du critegravere que lrsquoon

choisit pour deacutecider que le reacutegime libredevient neacutegligeable

agrave partir duquel le reacutegime forceacute esteacutetabli

|H0 (C) | |Hp (C) | forallC gt )r

Par la suite on illustre avec trois exemples deux dipocircles du premierordre et un du second ordre

32 Deacutecharge drsquoun condensateur

Montage eacutetudieacute

Consideacuterons un circuit constitueacute drsquoune source reacuteelle de feacutem 40 drsquouncondensateur de capaciteacute drsquoun conducteur ohmique de reacutesistance et drsquoun inverseur K On commence par charger le condensateur enbasculant K de maniegravere agrave mettre en contact la source de tension et lecondensateur Le condensateur se trouve alors chargeacute et stocke ainsi laquantiteacute de charge

0 = 40

Agrave C = 0 on bascule K Le condensateur se deacutecharge alors dans la reacutesis-tance Avant drsquoeacutetudier le reacutegime transitoire analysons les conditionsaux limites de ce problegraveme

bull Juste apregraves lrsquoinversion de K il y a continuiteacute de la tension capaci-tive On en deacuteduit

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

bull Une fois le reacutegime forceacute (ici continu) eacutetabli toutes les grandeurssont stationnaires On a donc

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 0 quand C rarrinfin

Cherchons lrsquoeacutevolution de la tension capacitive D (C) et du courant dedeacutecharge 8(C)

Lorsque lrsquoon a basculeacute lrsquointerrupteur le circuit obeacuteit agrave la loi des mailles

D (C) minus 8(C) = 0 avec 8(C) = minusddC

= minusdDdC

La tension D veacuterifie donc lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du premier ordresuivante

dDdC+ Dg= 0 avec g = hearts (33)

On voit immeacutediatement par analyse dimensionnelle de lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle que g repreacutesente une dureacutee Les solutions sont de laforme D (C) = eminusCg On deacutetermine gracircce agrave la condition initialeD (0) = 40 ce qui donne = 40 Finalement la tension D eacutevolue aucours du temps suivant la loi

D (C) = 40 eminusCg et 8(C) = minusdDdC

eminusCg

La tension capacitive deacutecroicirct exponentiellement jusqursquoagrave srsquoannuler aubout drsquoun certain temps conformeacutement agrave ce que lrsquoon avait preacutevu danslrsquoanalyse des conditions aux limites

processus dedeacutecharge

condensateurdeacutechargeacute

FIGURE 34 ndash Eacutevolution de la tension capacitive et du courant de deacutecharge

Le temps caracteacuteristique de cette deacutecharge peut srsquoobtenir en prenantlrsquointersection de la tangente agrave lrsquoorigine avec la valeur finale D = 0Il est facile de montrer que cette intersection a lieu lorsque C = g Ladureacutee g = donne ainsi un ordre de grandeur de la dureacutee de ladeacutecharge

Remarque dans lrsquoindustrie on utilisesouvent le temps de reacuteponse agrave 5 quivaut 3g (eminus3 5)

Agrave retenir

Le temps de relaxation drsquoun dipocircle RC vaut g = On retiendraque la charge (ou la deacutecharge) drsquoun tel dipocircle peut ecirctre consideacutereacutetermineacutee apregraves une dureacutee )r = 5g

On voit donc qursquoune grande reacutesistance ralentit le temps de deacutechargedu condensateur

Le courant de deacutecharge quant agrave lui nrsquoest pas constant lors de ceprocessus Maximum agrave C = 0+ (8max = 40) il deacutecroit avec le mecircmetemps de relaxation que la tension Notez que le courant nrsquoest pasune fonction continue puisqursquoil subit une discontinuiteacute entre C = 0minus etC = 0+ En effet en basculant lrsquointerrupteur K sur la branche contenantla reacutesistance on met brutalement la reacutesistance sous tension (40) ce quiimpose un courant initial 40

33 Circuit RL 29

FIGURE 35 ndash Montage R-L

Bilan drsquoeacutenergie

Drsquoun point de vue eacutenergeacutetique lrsquoeacutenergie stockeacutee sous forme eacutelectrique =

2 deacutecroicirct avec un temps de relaxation g = g2 En effet laconservation de lrsquoeacutenergie se traduit par

d(12D2)dC︸︷︷︸

puissance stockeacutee

︸︷︷︸puissance dissipeacutee

En remplaccedilant D2 par 2 on trouve lrsquoeacutequation donnant lrsquoeacutevolu-tion de lrsquoeacutenergie emmagasineacutee par le condensateur

dC+ 2g = 0 rArr = 8 eminusCg

Lrsquoeacutenergie initialement emmagasineacutee par le condensateur est complegrave-tement dissipeacutee par effet Joule apregraves une dureacutee de lrsquoordre de 5g Onpeut le veacuterifier par un calcul direct de lrsquoeacutenergie dissipeacutee int infin

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

Remarque lrsquoeacutenergie dissipeacutee ne deacutepend pas de la reacutesistance Crsquoest ladureacutee de la dissipation qui en deacutepend

33 Circuit RL

Consideacuterons un circuit constitueacute drsquoune source de feacutem 40 en seacuterie avecune reacutesistance A0 (si la source preacutesente une reacutesistance interne alors celle-ci est incluse dans A0) qui dans un premier temps alimente une bobineideacuteale Au bout drsquoun certain temps un courant permanent srsquoeacutetablitDegraves lors la bobine se comportant comme un fil on voit immeacutediatementque le courant srsquoeacutetablit agrave la valeur 80 = 40A0

Agrave lrsquoinstant C = 0 on bascule un interrupteur K de sorte que la bobinese trouve en contact avec une reacutesistance de charge On oriente lecourant dans le sens qui correspond au sens reacuteel du courant 80

La continuiteacute du courant qui traverse la bobine imposeSi la bobine preacutesente une reacutesistance in-terne A il suffit de remplacer dans lescalculs A0 par A0 + A

8(0+) = 40

A0drsquoougrave D (0+) = minus8(0+) = minus

Lorsque le reacutegime permanent est eacutetabli toutes les grandeurs sontstationnaires et la bobine se comporte comme un fil On a donc

D (C) = 0 et 8(C) = 0 quand C rarrinfin

On preacutevoit donc un reacutegime transitoire durant lequel la tension aug-mente et le courant diminue

Cherchons lrsquoeacutevolution du courant et de la tension inductive D (C) agravepartir de C = 0 La loi des mailles implique

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

ce qui donne en posant g = Si la bobine preacutesente une reacutesistance in-terne A il faut eacutecrire g = (A + )

d8dC+ 8g= 0 pour C gt 0 hearts (34)

Les solutions de cette eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre sont dela forme 8 = eminusCg On deacutetermine la constante drsquointeacutegration agrave lrsquoaidede la condition initiale 8(0+) = 40A0 Il en sort

8(C) = 40

A0eminusCg et D (C) =

d8dC= minus40

A0eminusCg

Tension et courant relaxent exponentiellement avec une constante detemps g = La mesure de ce temps caracteacuteristique peut permettrede mesurer la self-inductance drsquoune bobine par exemple

Agrave retenir

Le dipocircle RL preacutesente un temps de relaxation g =

minus40A0

FIGURE 36 ndash Eacutevolution du courant et de la tension inductive

Contrairement au courant la tension inductive subit une discontinuiteacuteau moment du basculement de lrsquointerrupteur Cette surtension peutdevenir relativement importante si A0Dans les anciens veacutehicules lrsquoallumage

du moteur agrave explosion reposait sur lrsquoam-plification drsquoune telle surtension

Bilan eacutenergeacutetique

Comme pour le dipocircle RC lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee initialementdans la bobine =

2 deacutecroicirct avec un temps de relaxation g = g2La conservation de lrsquoeacutenergie eacutelectrique srsquoeacutecrit

d(1282)dC︸︷︷︸

+ 82︸︷︷︸puissance dissipeacutee

34 Oscillateur RLC 31

FIGURE 37 ndash Montage RLC seacuterie

FIGURE 38 ndash Circuit pour C gt 0

En remplaccedilant 82 par 2 on aboutit agrave lrsquoeacutequation deacutecrivant lrsquoeacutevolu-tion de lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee dans la bobine

Lagrave aussi lrsquoeacutenergie stockeacutee est complegravetement dissipeacutee par effet Joulepuisque int infin

082 (C) dC =

int infin

A02 eminus2Cg dC =12820

34 Oscillateur RLC

Montage RLC seacuterie

Alimentons un circuit constitueacute drsquoune bobine drsquoinduction drsquoauto-inductance en seacuterie avec un condensateur de capaciteacute et drsquounconducteur ohmique de reacutesistance Un interrupteur permet de mettreen contact la source continue de feacutem 40 avec le dipocircle RLC Noussupposons qursquoavant de fermer lrsquointerrupteur le condensateur est deacute-chargeacute

Remarque on inclut dans la reacutesistance interne de la bobine et de lasource ainsi que la reacutesistance des fils

Quelles sont les conditions aux limites du problegraveme

bull Juste apregraves la fermeture de lrsquointerrupteur la continuiteacute de latension capacitive et du courant traversant la bobine impose

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

bull Une fois le reacutegime permanent eacutetabli les grandeurs eacutelectriquessont stationnaires et lrsquoon peut remplacer la bobine par un fil Ona alors pour C rarrinfin

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

Mise en eacutequation

La loi des mailles donne pour C gt 0

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

Choisissons drsquoeacutetudier la tension capacitive D (C) Celle-ci obeacuteit donc agravelrsquoeacutequation-diffeacuterentielle

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

FIGURE 39 ndash Reacutegime pseudo-peacuteriodique

D = 5c

FIGURE 310 ndash Reacutegime apeacuteriodique

eacutequation canonique drsquoun oscillateur harmonique amorti de pulsationpropre l0 et de coefficient drsquoamortissement _ soumis agrave une excitationconstante

Avant drsquoexpliciter la forme des solutions remarquons que le compor-tement de cet oscillateur ne deacutepend que de deux paramegravetres _ et l0

qui sont homogegravenes agrave lrsquoinverse drsquoun temps On peut donc former deuxtemps caracteacuteristiques

g1 =1l0

=radic et g2 =

Une solution particuliegravere est D (C) = 40 et les solutions de lrsquoeacutequationhomogegravene se mettent sous la forme D (C) = eA C avec A solution delrsquoeacutequation caracteacuteristique du second degreacute

A2 + 2_ A +l02 = 0

Le discriminant Δ = 4(_2 minusl0

2) a son signe qui deacutepend de la valeurde la reacutesistance En effet si lrsquoon deacutefinit c = 2

radic on a

Δ le 0 si le c et Δ ge 0 si ge c

c est la reacutesistance critique de lrsquooscillateur RLC seacuterie

Reacutegimes transitoires

Suivant le signe du discriminant et donc la valeur de la reacutesistance ondistingue trois reacutegimes transitoires diffeacuterents

Reacutegime pseudo-peacuteriodique lt c ndash Dans ce cas le discriminant delrsquoeacutequation caracteacuteristique est neacutegatif et les racines sont complexes

A = minus_ plusmn 8l avec l2 = l02 minus _2

La solution reacuteelle est de la forme

D (C) = eminus_ C cos (lC + i) + 40

La tension capacitive oscille donc avant de se stabiliser agrave sa valeurimposeacutee par le geacuteneacuterateur Lrsquoamortissement des oscillations est caracteacute-riseacutee par la constante de temps g2 = 2 Plus la reacutesistance est faibleplus longue est la dureacutee du reacutegime transitoire Dans ce reacutegime crsquoest labobine qui impose son temps de reacuteponse au systegraveme

Les oscillations amorties se caracteacuterisent eacutegalement par une pseudo-peacuteriode ) dureacutee entre deux maxima successifs qui est aussi la peacuteriodede cos(lC + i)

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

Reacutegime apeacuteriodique gt c ndash Le discriminant de lrsquoeacutequation caracteacute-ristique est positif et les solutions sont reacuteelles

Aplusmn = minus_ plusmnradic_2 minusl02

g1 = g2

FIGURE 311 ndash Reacutegime critique

La solution srsquoeacutecrit

D (C) = eA+C + eAminusC + 40 avec Aplusmn lt 0

Les deux racines eacutetant neacutegatives chaque exponentielle tend vers 0lorsque C rarrinfin lrsquooscillateur atteint lrsquoeacutequilibre sans osciller et drsquoautantplus lentement que lrsquoamortissement est fort Lrsquoexponentielle la pluslente impose son temps de relaxation On montre13

13 La constante de temps de lrsquoexponen-tielle la plus lente vaut g = 1 |A+ | avecA+ = minus_ +

radic_2 minus l02 Pour _ l0

un deacuteveloppement limiteacute donne A+ minusl0

22_ soit g

que si lrsquoamortisse-ment est fort crsquoest le condensateur qui impose son temps de reacuteponse

Reacutegime critique = c ndash Le discriminant de lrsquoeacutequation caracteacuteris-tique est nulle et la racine est double A = minusl0 La solution srsquoeacutecritalors

D (C) = ( + C) eminusl0C

Lrsquooscillateur atteint lrsquoeacutequilibre sans osciller (on dit qursquoil nrsquo y a pasdeacutepassement) Dans ce cas les deux constantes de temps g1 et g2 sontidentiques et correspondent au temps de relaxation du dipocircle Onmontre que le reacutegime critique permet drsquoatteindre le reacutegime forceacute leplus rapidement possible sans deacutepassement Autrement dit le tempsde relaxation drsquoun circuit RLC est minimum en reacutegime critique etvaut

gmin =1l0

=radic

Aspects eacutenergeacutetiques

Multiplions par 8(C) la loi des mailles (35)

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

dC8(C) + D8(C) avec 8(C) = dD

Faisons intervenir lrsquoeacutenergie emmagasineacutee sous forme eacutelectromagneacute-tique =

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

eacutequation qui traduit la conservation de lrsquoeacutenergie En effet la puis-sance fournie par la source de tension (408) est pour une part dissipeacuteepar la reacutesistance (82) et pour une autre stockeacutee dans la bobine et lecondensateur (ddC)

Lrsquoeacutenergie totale fournie par la source pendant le reacutegime transitoirevaut

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

agrave la fin une partie de cette eacutenergie se retrouve stockeacutee (notammentdans le condensateur)

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

Autrement dit lrsquoeacutenergie dissipeacutee par effet Joule vaut

diss = f minus =1240

50 de lrsquoeacutenergie fournie par la source est irreacutemeacutediablement perduececi quelle que soit la dureacutee du reacutegime transitoire

FIGURE 41 ndash Caracteacuteristiques drsquoun si-gnal peacuteriodique

REacuteGIME SINUSOIumlDALFORCEacute 4

41 Signaux peacuteriodiques 35Geacuteneacuteraliteacutes 35Le signal sinusoiumldal 36Repreacutesentations drsquoun sinus 37Reacutegime forceacute 38

42 Impeacutedance et admittance 40Deacutefinitions 40Exemples 40Lois drsquoassociation 41Meacutethodes de reacutesolution 42

43 Puissance en reacutegime forceacute 43Puissance active 43Facteur de puissance 43

On eacutetudie dans ce cours les circuits eacutelectriques lineacuteaires en reacutegimesinusoiumldal forceacute Dans ce cas il est inteacuteressant drsquointroduire le conceptdrsquoimpeacutedance complexe Les lois de lrsquoeacutelectriciteacute se transforment alorsen eacutequations algeacutebriques simples agrave reacutesoudre

https femto minus physiquefrelectromagnetismeregime minus sinusoidalphp

41 Signaux peacuteriodiques

Geacuteneacuteraliteacutes sur les signaux peacuteriodiques

Un signal temporel H(C) constitueacute par un motif de dureacutee ) qui se reacutepegraveteagrave lrsquoidentique est dit peacuteriodique et ) repreacutesente la peacuteriode du signalMatheacutematiquement le signal veacuterifie

H(C +)) = H(C) forallC

Il est facile de voir que si ) est une peacuteriode alors 2) lrsquoest eacutegalementCrsquoest pourquoi par convention la peacuteriode est la plus petite valeurpossible de ) telle H(C +)) = H(C) pour tout C

Le nombre a de peacuteriodes dans une seconde srsquoappelle la freacutequence etsrsquoexprime en hertz (Hz) en hommage agrave Hertz15

15 Heinrich Hertz (1857-1894) phy-sicien theacuteoricien il reacuteussit la premiegravereeacutemission et reacuteception drsquoondes radio en1887 sur une distance de 20 megravetres don-nant du mecircme coup une preuve de la va-liditeacute de la theacuteorie eacutelectromagneacutetique deMaxwell Dans les milieux scientifiquesil est consideacutereacute comme le deacutecouvreur dela radio Crsquoest la raison pour laquelle ona donneacute le nom drsquo laquo ondes hertziennes raquoaux signaux radio et pourquoi lrsquouniteacute dela freacutequence vibratoire ndashappeleacutee laquo cycle raquoau deacutepartndash a eacuteteacute remplaceacutee par laquo hertz raquo

hearts (41)

Les appareils de mesure eacutelectrique (voltmegravetre ampegraveremegravetre oscillo-scope etc) permettent drsquoacceacuteder agrave diffeacuterentes grandeurs

bull La valeur continue repreacutesente la grandeur moyenne du signal

0H(C) 3C

bull La valeur crecircte-agrave-crecircte correspond agrave lrsquoeacutecart entre la valeur maxi-mum et la valeur minimum

Hpp = max(H) minusmin(H)

bull La valeur efficace ou valeur RMS1616 Acronyme anglais pour Root MeanSquare

repreacutesente la racine de lamoyenne du carreacute du signal

Hrms =

radicH2

36 4 REacuteGIME SINUSOIumlDAL FORCEacute

FIGURE 42 ndash Signal sinusoiumldal

FIGURE 43 ndash Deacutephasage

Dans la suite on se limite aux signaux sinusoiumldaux En effet le theacuteo-regraveme de Fourier stipule1717 sous certaines conditions matheacutema-

tiques peu restrictives en eacutelectriciteacuteqursquoun signal peacuteriodique de freacutequence a se

deacutecompose en sinus et cosinus de freacutequences multiples de la freacutequencea

H(C) = 00 +infinsum=1

0 cos(2c aC) + 1 sin(2c aC)

ougrave 00 repreacutesente la valeur moyenne (sa composante continue) et0 cos(2c aC) + 1 sin(2c aC) la e harmonique Si lrsquoon connait tousles coefficients 0 et 1 appeleacutes coefficients de Fourier on peut re-construire complegravetement le signal peacuteriodique Or puisque lrsquoon eacutetu-die des reacuteseaux lineacuteaires si lrsquoon connaicirct leur comportement vis agrave visdrsquoun signal sinusoiumldal quelconque on est capable de connaicirctre parcombinaison lineacuteaire la reacuteponse vis agrave vis de nrsquoimporte quelle signalpeacuteriodique ce qui justifie lrsquoeacutetude de la reacuteponse en reacutegime sinusoiumldal

Le signal sinusoiumldal

Un signal sinusoiumldal H(C) srsquoexprime par

H(C) = cos(lC + q)

deacutesigne lrsquoamplitude q la phase (en radian) et l la pulsation (enrads) Le signal est bien peacuteriodique puisque lrsquoeacutequation

cos(lC + q +l)) = cos(lC + q) forallC

admet comme solution

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Par ailleurs on voit sur le graphe qursquoun signal sinusoiumldal ne preacutesentepas de composante continue (H = 0) La valeur crecircte-agrave-crecircte donneimmeacutediatement lrsquoamplitude car Hpp = 2 Enfin on peut calculer lavaleur efficace agrave partir de la deacutefinition Pour tout signal sinusoiumldal ontrouve

Hrms =radic

2hearts (43)

Deacutephasage entre deux signaux sinusoiumldaux ndash La phase est une gran-deur qui deacutepend du choix de lrsquoorigine des temps autrement dit laphase est arbitraire En revanche le deacutephasage entre deux signauxsinusoiumldaux caracteacuterise le deacutecalage entre les deux courbes sinusoiumldaleset ne deacutepend pas du choix de lrsquoorigine des temps Consideacuterons parexemple deux signaux sinusoiumldaux

H1 = cos(lC) et H2 = cos(lC + q)

Les phases respectives de H1 et H2 sont q1 = 0 et q2 = q

Le deacutephasage de H2 par rapport agrave H1 vaut q2 minus q1 = q Si q gt 0 on ditque H2 est en avance sur H1 sinon H2 est en retard sur H1 Pour mesurerq il suffit de deacuteterminer le deacutecalage entre deux sommets par exemple

41 Signaux peacuteriodiques 37

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

FIGURE 44 ndash Deux signaux sinusoiumldaux deacutephaseacutes de q en mode XY

En effet drsquoapregraves lrsquoexpression de H1 on voit que le signal atteint sonmaximum en C = 0 alors que H2 atteint son maximum en C = minus q

l Ainsi

si q gt 0 le signal H2 est deacutecaleacute vers la gauche et atteint son maximumavant le signal H1 il est donc en avance La relation entre le deacutephasageet le deacutecalage temporel est donneacute par

q =2c)times ΔC

Visualisation en mode XY ndash Lorsque lrsquoon injecte un signal sinusoiumldalsur la voie X drsquoun oscilloscope et un autre sur la voie Y puis que lrsquooncommute lrsquooscilloscope en mode XY on obtient une courbe parameacute-trique drsquoeacutequation

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

Il srsquoagit de lrsquoeacutequation parameacutetrique drsquoune ellipse circonscrite dans unrectangle 20 times 21 et dont lrsquoexcentriciteacute 4 varie avec q (Figure 44) Cetterepreacutesentation permet de repeacuterer aiseacutement la situation ougrave les deuxsignaux sont en phase (q = 0) ou en opposition de phase (q = c)

Exercice ndash Un geacuteneacuterateur deacutelivre une tension sinusoiumldale D1 (C) de freacute-quence 100 Hz de valeur efficace 50 V Un autre geacuteneacuterateur deacutelivre unetension sinusoiumldale de mecircme freacutequence de tension crecircte-agrave-crecircte 48 V eten avance de 90 sur D1 (C) En consideacuterant que la phase agrave lrsquoorigine de D1 (C)est nulle donner les expressions matheacutematiques des deux tensions

Reacutep D1 (C) = 71 cos(200c C) et D2 (C) = 24 cos(200c C + c2)

Repreacutesentations drsquoun signal sinusoiumldal

Repreacutesentation de Fresnel ndash Consideacuterons un signal sinusoiumldal H(C) = cos(lC + q) On peut repreacutesenter cette grandeur sous la forme drsquounvecteur dit phaseur ou vecteur de Fresnel Il srsquoagit drsquoun vecteur faisant

un angle lC + q avec lrsquoaxe des abscisses et une longueur Lrsquointeacuterecirct decette repreacutesentation reacuteside dans le fait que la somme de deux signauxsinusoiumldaux srsquoobtient en sommant vectoriellement les vecteurs deFresnel Le deacutephasage entre deux signaux correspond alors agrave lrsquoangleentre les vecteurs de Fresnel

FIGURE 45 ndash Repreacutesentation de Fresneldrsquoun signal sinusoiumldal et drsquoune sommede deux signaux sinusoiumldaux

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

cos(lC + q) + prime cos(lprimeC + qprime)

Repreacutesentation complexe ndash Il existe une autre repreacutesentation tregravesutile on peut consideacuterer que H(C) est la partie reacuteelle drsquoun nombrecomplexe En eacutelectriciteacute on convient de remplacer

le nombre complexe i par j pour eacutevi-ter toute confusion avec lrsquointensiteacute eacutelec-trique

H(C) = Re(y(C)) avec y(C) = e 9 (lC+q) et 92 = minus1

On dira alors que y(C) est le nombre complexe associeacute au signal sinu-soiumldal On peut lrsquoeacutecrire sous la forme

y(C) = A e 9 (lC) avec A = e 9 q hearts (44)

Le nombre complexe A est appeleacute amplitude complexe Lorsque lrsquoonconnaicirct lrsquoamplitude complexe drsquoun signal on peut en deacuteduire lrsquoampli-tude du signal reacuteel ainsi que la phase via les relations

= |A| et q = arg(A)

Pour deux signaux sinusoiumldaux H1 et H2 drsquoamplitude complexe A1 etA2 le deacutephasage de H2 par rapport agrave H1 vaut

q = arg(A2) minus arg(A1) = arg(

)Lrsquointeacuterecirct de la notation complexe reacuteside dans la simplification descalculs diffeacuterentiels Par exemple deacuteriver un sinus revient agrave multiplierpar 9l le nombre complexe

dH(C)dCrarr 9ly

Eacutetablissement du reacutegime sinusoiumldal forceacute

Pour illustrer ce que repreacutesente le reacutegime sinusoiumldal forceacute prenonslrsquoexemple drsquoun circuit RLC seacuterie alimenteacute par un geacuteneacuterateur bassefreacutequence (GBF) deacutelivrant une tension sinusoiumldale de pulsation l Cesignal drsquoexcitation srsquoeacutecrit 4(C) = coslC

(C )4 (C) D (C)

FIGURE 46 ndash Montage RLC

Observons lrsquoeacutevolution du signal drsquoexcitation sur la voie 1 drsquoun oscillo-scope (CH1) et la tension capacitive sur la voie 2 (CH2)

4(C) minus 8(C) minus d8dCminus D (C) = 0 avec 8(C) = dD

ce qui donne apregraves avoir poseacute l0 =1radic

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

2D = l02 cos(lC) pour C gt 0

Du point de vue matheacutematique la solution se compose de deuxtermes

bull Le premier terme correspond agrave la solution de lrsquoeacutequation homo-gegravene et repreacutesente le reacutegime libre drsquoun oscillateur Ce reacutegime esttransitoire puisqursquoil se dissipe au bout drsquoun certain temps

bull Le second est une solution particuliegravere de la forme cos(lC + q)Il repreacutesente le reacutegime sinusoiumldal forceacute Ce reacutegime ne se dissipepas contrairement au reacutegime transitoire il est entretenu par lasource

CH2reacutegime transitoire

FIGURE 47 ndash Eacutetablissement du reacutegimesinusoiumldal (paramegravetres l = 035 l0 etamp = 10)

La Figure 47 montre lrsquoeacutetablissement du reacutegime forceacute crsquoest-agrave-dire ladisparition du reacutegime transitoire au deacutetriment drsquoun reacutegime sinusoiumldalpermanent de mecircme freacutequence que lrsquoexcitation On note la preacutesence dureacutegime transitoire par lrsquoapparition drsquointerfeacuterences entre deux signauxnon synchrones (de freacutequences diffeacuterentes) En effet avec un grandfacteur de qualiteacute le reacutegime transitoire fait apparaicirctre des oscillationsfaiblement amorties de freacutequence voisine de la freacutequence propre quise superpose au reacutegime sinusoiumldal forceacute

Reacutegime sinusoiumldal forceacute

Lorsque le reacutegime transitoire srsquoest dissipeacute toutes les grandeurseacutelectriques oscillent de faccedilon sinusoiumldale agrave la mecircme freacutequence quelrsquoexcitateur (freacutequence imposeacutee par le GBF) On srsquointeacuteresse auxproprieacuteteacutes eacutelectriques des circuits une fois ce reacutegime sinusoiumldalinstalleacute

42 Notion drsquoimpeacutedance et drsquoadmittance

Deacutefinitions

Supposons un reacuteseau lineacuteaire constitueacute de sources sinusoiumldales demecircme freacutequence a Une fois le reacutegime transitoire dissipeacutee un reacutegimesinusoiumldal de freacutequence a srsquoinstalle dans toutes les branches du reacute-seau

On adopte la repreacutesentation complexe notons U lrsquoamplitude complexeassocieacutee agrave la tension et I lrsquoamplitude complexe associeacutee agrave lrsquointensiteacutePar deacutefinition lrsquoimpeacutedance drsquoun dipocircle passif lineacuteaire srsquoeacutecrit

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

ougrave deacutesigne la reacutesistance et - la reacuteactance se mesure en ohm (Ω)Notez que la notion drsquoimpeacutedance nrsquoa de sens que pour un dipocircle passiflineacuteaire en reacutegime sinusoiumldal On deacutefinit eacutegalement lrsquoadmittance dudipocircle qui vaut

1Z= + 9(

ougrave deacutesigne la conductance et ( la susceptance se mesure ensiemens (S ou Ωminus1)

On peut deacuteterminer lrsquoimpeacutedance drsquoun dipocircle passif lineacuteaire en lesoumettant agrave une tension sinusoiumldale puis en effectuant les mesuresde la tension efficace de lrsquointensiteacute efficace ainsi que du deacutephasageentre le courant et la tension eacutelectrique En effet drsquoapregraves la deacutefinitionde lrsquoimpeacutedance on a

rmset arg() = qD minus q8 hearts (46)

Exemples

On retiendra les impeacutedances des trois dipocircles passifs lineacuteaires sui-vants

Conducteur ohmique Bobine Condensateur

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

On remarque que le conducteur ohmique nrsquointroduit pas de deacutephasageentre la tension et le courant puisque lrsquoimpeacutedance drsquoune reacutesistanceest reacuteelle et se confond avec sa reacutesistance En revanche la bobine et lecondensateur introduisent un deacutephasage de c2 on dit que courantet tension eacutevoluent en quadrature de phase Dans le cas de la bobine

42 Impeacutedance et admittance 41

ideacuteale crsquoest la tension inductive qui est en avance de c2 par rapportau courant alors qursquoaux bornes drsquoun condensateur ideacuteal la tensioncapacitive est en retard de c2

rms = rms

minusrarr8minusrarrD

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

FIGURE 48 ndash Impeacutedances repreacutesentations de Fresnel

Lois drsquoassociation

En reacutegime sinusoiumldal forceacute agrave chaque grandeur eacutelectrique (couranttension) correspond une grandeur complexe associeacutee Lrsquoeacutecriture de laloi des mailles et celle des nœuds aboutit agrave des eacutequations algeacutebriquesdans C En conseacutequence les formules drsquoassociation des reacutesistancessrsquoeacutetendent aux impeacutedances complexes

en seacuterie eq =sum8

8 et en parallegravele eq =sum8

8 hearts (47)

Exemple ndash la bobine reacuteelle

On alimente une bobine reacuteelle agrave lrsquoaide drsquoune source de tension sinusoiumldaleD(C) = cos(lC) Cherchons comment srsquoexprime lrsquointensiteacute du couranteacutelectrique en reacutegime forceacute On note A la reacutesistance interne de la bobine et sa self-inductance

Tout drsquoabord la bobine reacuteelle se modeacutelise par une reacutesistance A en seacuterie avecune bobine ideacuteale de self inductance Son impeacutedance srsquoeacutecrit donc

= A + 9 l

La deacutefinition de lrsquoimpeacutedance permet drsquoobtenir lrsquointensiteacute du courant ennotation complexe

= e 9lC

A + 9 lsoit

A2 + (l)2(A minus 9 l)e 9lC

On obtient lrsquointensiteacute en prenant la partie reacuteelle de 8 Sachant que 9 = e 9 c2on a

8(C) =

A2 + (l)2[A cos(lC) + l sin(lC)]

i1 minus i2

FIGURE 49 ndash Exemple de circuit avec sarepreacutesentation complexe

Meacutethodes de reacutesolution drsquoun reacuteseau lineacuteaire en reacutegimesinusoiumldal forceacute

Dans un reacuteseau lineacuteaire en reacutegime sinusoiumldal forceacute toutes les gran-deurs sont sinusoiumldales On peut remplacer chaque dipocircle passif parson impeacutedance et les sources par les grandeurs complexes associeacuteesLes eacutequations de Kirchhoff (loi des noeuds + loi des mailles) expri-meacutees agrave lrsquoaide des grandeurs complexes associeacutees donnent alors deseacutequations algeacutebriques sum

nD = 0 loi des mailles etsum

n8 = 0 loi des nœuds

Les problegravemes sont donc identiques agrave ceux rencontreacutes en reacutegimecontinu agrave ceci pregraves que les grandeurs rechercheacutees sont des nombrescomplexes caracteacuteriseacutees par une amplitude (le module) et une phase(lrsquoargument)

Exemple

Consideacuterons le circuit ci-contre alimenteacute par un geacuteneacuterateur basse freacute-quence reacutegleacute sur 50 Hz La valeur efficace de la tension D(C) appliqueacuteevaut 1000 V Cherchons les valeurs efficaces des courants eacutelectriques danschaque branche sachant que 1 = 40 kΩ 2 = 320 kΩ et = 25 nF

En parcourant toutes les branches et en appliquant systeacutematiquement loides nœuds on srsquoaperccediloit qursquoil y a deux inconnues en courant i1 et i2 Ilsuffit drsquoeacutecrire deux lois des mailles par exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 (i1 minus i2) minus 2i2 = 0soit

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

Sachant que Z2 = 1 9l on trouve

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

On obtient les amplitudes en prenant les modules de ces nombres com-plexes En divisant par

radic2 on trouve les valeurs efficaces On obtient

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

Pour le courant 82 qui traverse le condensateur on a

i2 = i1 minus i2minus =9 2l

(1 + 2) + 9 12lu

Drsquoougrave lrsquoon tire

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

43 Puissance en reacutegime forceacute 43

43 Puissance en reacutegime sinusoiumldal forceacute

Puissance absorbeacutee par un dipocircle lineacuteaire

Alimentons un dipocircle lineacuteaire passif par une tension sinusoiumldale D(C)En reacutegime sinusoiumldal forceacute le courant drsquoalimentation drsquointensiteacute 8(C)est eacutegalement sinusoiumldal Eacutecrivons

D(C) =radic

2rms cos(lC) et 8(C) =radic

2 rms cos(lC minus q)

avec q le deacutephasage de la tension par rapport au courant Exprimonsla puissance P reccedilue par le dipocircle Agrave partir de lrsquoidentiteacute cos 0 cos 1 =12[cos(0 + 1) + cos(0 minus 1)] on obtient

P(C) = D(C) 8(C) = rmsrms [cos q + cos(2lC minus q)]

La puissance instantaneacutee oscille agrave la pulsation 2l autour dermsrms cos qCe terme repreacutesente la puissance moyenne injecteacutee dans le dipocircle oupuissance active

Deacutefinition

La puissance active est la puissance eacutelectrique moyenne reccedilue parle dipocircle

0(C) dC = rmsrms cos q

La puissance active permet drsquoobtenir lrsquoeacutenergie fournie agrave un dipocirclependant la dureacutee ΔC En effet si la dureacutee ΔC est grande devant lapeacuteriode ) du signal eacutelectrique on a

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

En conseacutequence lrsquoeacutenergie se conservant si un circuit alimenteacute par unesource alternative possegravede dipocircles passifs consommant chacun unepuissance active P8 alors la puissance moyenne deacutelivreacutee par la sourcevaut

sum8=1

P8 hearts (48)

Exercice ndash Lrsquoemballage drsquoune ampoule laquo basse consommation raquo indique 230 V ndash 150 mA ndash 20 W ndash 50 Hz En deacuteduire lrsquoexpression de son impeacutedancecomplexe

Reacutep = (889 + 91249)Ω

Facteur de puissance

Par deacutefinition le facteur de puissance drsquoun dipocircle passif est le rapportde la puissance active reccedilue P sur la puissance apparentermsrms (en

VA) En reacutegime sinusoiumldal

Facteur de puissance =P

rmsrms= cos q hearts (49)

Rappelons que le deacutephasage srsquoobtient agrave partir de lrsquoimpeacutedance com-plexe du dipocircle

q = arg()

Ainsi pour un dipocircle dont lrsquoimpeacutedance est reacuteelle1818 Crsquoest le cas drsquoun conducteur oh-mique mais ce nrsquoest pas le seul cas

( = ) on a q = 0soit un facteur de puissance eacutegal agrave 1 Dans ce cas le dipocircle absorbeune puissance moyenne

P = rmsrms = rms2

On peut drsquoailleurs donner un nouveau sens physique agrave lrsquointensiteacuteefficace cela correspond agrave lrsquointensiteacute du courant continu qui produiraitla mecircme dissipation drsquoeacutenergie dans une reacutesistance

Pour un dipocircle purement inductif ou capacitif (on dit reacuteactif) lrsquoim-peacutedance complexe est un nombre imaginaire pur drsquoougrave q = plusmnc2 Parconseacutequent P = 0 le dipocircle nrsquoabsorbe pas de puissance eacutelectrique enmoyenne1919 Bien entendu le dipocircle reccediloit de

lrsquoeacutenergie ou en donne mais comme ilpasse autant de temps agrave recevoir delrsquoeacutenergie qursquoagrave en deacutelivrer en moyennele bilan est nul

Dans le cas drsquoun dipocircle passif lineacuteaire quelconque crsquoest-agrave-dire preacutesen-tant une impeacutedance avec une partie reacuteelle non nulle on a

Z = + 9 - =rArr cos q =

La puissance active srsquoeacutecrit

P = rmsrms

| | = rms2

Finalement en reacutegime sinusoiumldal tout dipocircle passif lineacuteaire reccediloit unepuissance moyenne

P = rms2 ougrave = Re() hearts (410)

Importance du facteur de puissance ndash Le distributeur drsquoeacutelectriciteacutefacture geacuteneacuteralement la puissance eacutelectrique moyenne consommeacuteepar lrsquoinstallation concerneacutee En revanche la puissance gaspilleacutee pareffet joule dans les lignes de transport est factureacutee globalement Crsquoestpourquoi les distributeurs drsquoeacutelectriciteacute appliquent une surfacturationlorsque le facteur de puissance drsquoune installation est trop faible

En effet une installation industrielle preacutesente en geacuteneacuteral un caractegravereinductif important ducirc agrave la preacutesence des moteurs (bobinages) drsquoougrave uncos q qui peut ecirctre faible Si lrsquoinstallation consomme une puissanceactive P alors le courant drsquoalimentation a pour valeur efficace

rms =P

rms cos q

Agrave cette intensiteacute correspond une puissance dissipeacutee par effet joule dansla ligne de transport qui vaut

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

ougrave repreacutesente la reacutesistance des lignes eacutelectriques Ainsi une faiblevaleur du facteur de puissance entraicircne une perte drsquoeacutenergie eacutelectriqueen ligne plus importante ce qui explique pourquoi le distributeurdrsquoeacutelectriciteacute facture le coucirct drsquoeacutelectriciteacute drsquoautant plus cher que le facteurde puissance est faible

Si lrsquoon veut eacuteviter cette surfacturation il faut alors proceacuteder agrave un rele-vage du facteur de puissance En geacuteneacuteral adjoindre un condensateur enparallegravele de lrsquoinstallation permet de remonter la valeur du cos q

4 (C) B (C)Filtre

FIGURE 51 ndash Filtre

FILTRAGE PASSIF 551 Fonction de transfert 47

Geacuteneacuteraliteacutes 47Bande passante 48Diagramme de Bode 50Reacuteponse temporelle 51

52 Filtrage passe-haut 51Filtre du premier ordre 51Comportement deacuterivateur 53Filtres plus performants 54

53 Filtrage passe-bas 55Introduction 55Comportement inteacutegrateur 56Filtre de Butterworth 57

54 Filtre passe-bande 58Introduction 58Filtre RLC 60

55 Stabiliteacute 61Relation diffeacuterentielle 61Condition de stabiliteacute 62

Dans une chaicircne drsquoanalyse et de traitement du signal il arrive freacute-quemment que lrsquoinformation inteacuteressante soit dissimuleacutee au sein drsquounsignal plus complexe voire parasiteacutee par du bruit On peut souventlrsquoextraire par filtrage en agissant dans lrsquoespace des freacutequences Lespremiers filtres eacutetaient de nature analogiques et sont encore couram-ment employeacutes en instrumentation en eacutelectronique de puissance etdans les systegravemes haute freacutequence

Actuellement les filtres numeacuteriques programmables ont tendance agraveremplacer les filtres analogiques mais dans ce chapitre on se concentresur les filtres analogiques passifs

51 Fonction de transfert

Geacuteneacuteraliteacutes

Pour extraire un signal utile on aura en geacuteneacuteral besoin drsquoun systegravemequi transforme un signal drsquoentreacutee 4(C) (de nature eacutelectrique meacutecaniqueacoustique etc) en un signal de sortie B(C) (de nature eacutelectrique meacuteca-nique acoustique etc) On peut penser agrave un capteur un amplificateurun inteacutegrateur un correcteur de phase etc

On appelle filtre un tel systegraveme si

bull ses caracteacuteristiques sont invariantes dans le temps

bull son comportement respecte le principe de superposition2121 Si les signaux drsquoentreacutee 41 et 42 pro-duisent indeacutependamment un signal desortie B1 et B2 alors la combinaison 0 41 +1 42 produit en sortie le signal 0 B1 + 1 B2

La reacuteponse drsquoun filtre peut alors ecirctre modeacuteliseacutee par une eacutequationdiffeacuterentielle lineacuteaire agrave coefficients constants du type

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

Les filtres font jouer un rocircle particulier aux signaux sinusoiumldauxpuisque lorsque lrsquoon envoie un signal sinusoiumldal en entreacutee drsquoun filtreil en ressort un signal sinusoiumldal de mecircme freacutequence22 22 En effet deacuteriver un signal sinusoiumldal

redonne un signal sinusoiumldal deacutephaseacutede minusc2 de sorte que lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielle a pour solution (sauf cas tregraves parti-culiers) en reacutegime permanent un signalsinusoiumldal

Si lrsquoon pose ennotation complexe 4(C) = ejlC et B(C) = ( ejlC la reacuteponse du filtre estentiegraverement deacutetermineacutee par la fonction de transfert

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

La fonction de transfert est une grandeur complexe qui deacutepend dela pulsation l et des caracteacuteristiques du filtre Elle peut toujours semettre sous la forme drsquoun quotient de deux polynocircmes en jl

(jl) = (jl) (jl) (52)

48 5 FILTRAGE PASSIF

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

FIGURE 52 ndash Quadripocircle eacutelectronique

B (C)4 (C)

FIGURE 53 ndash Filtre RC

On appelle ordre du filtre le degreacute du deacutenominateur (jl) situeacute audeacutenominateur de la fonction de transfert

En eacutelectronique dans une chaicircne drsquoanalyse et de traitement du signaleacutelectrique on rencontre couramment des filtres sous la forme de qua-dripocircles crsquoest-agrave-dire drsquoeacuteleacutements posseacutedant deux bornes drsquoentreacutee etdeux bornes de sortie Les grandeurs drsquoentreacutee et de sortie sont lestensions ou les courants Le filtre est passif srsquoil ne possegravede que deseacuteleacutements lineacuteaires passifs (R L C) Dans ce cas la puissance moyenneen sortie est toujours infeacuterieure ou eacutegale agrave la puissance moyenne en en-treacutee car une partie de lrsquoeacutenergie entrante est dissipeacutee par le quadripocircleLe filtre est actif quand il contient au moins un composant eacutelectroniqueactif crsquoest-agrave-dire alimenteacute tel lrsquoamplificateur lineacuteaire inteacutegreacute (ALI) Ilest dans ce cas possible drsquoavoir un gain de puissance

Dans ce cours nous nous limitons agrave la reacuteponse en tension des filtreseacutelectrocineacutetiques Plus preacuteciseacutement la fonction de transfert correspondagrave la reacuteponse en tension en boucle ouverte crsquoest-agrave-dire lorsque la sortie nedeacutebite aucun courant2323 comme crsquoest le cas lorsqursquoon y

branche un voltmegravetre ou un oscilloscopedont les impeacutedances drsquoentreacutee sont suffi-samment grandes pour ecirctre consideacutereacuteesinfinies

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

Eacutetudions le filtre RC formeacute par la mise en seacuterie drsquoun conducteur ohmiquede reacutesistance et drsquoun condensateur de capaciteacute Le signal drsquoentreacutee serala tension aux bornes de lrsquoensemble et le signal de sortie la tension auxbornes du condensateur Nous reconnaissons un diviseur de tension desorte qursquoen reacutegime sinusoiumldal on peut eacutecrire

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

On en deacuteduit la fonction de transfert de ce filtre

=B(C)4(C) =

11 + j l

Il srsquoagit drsquoun filtre du premier ordre

Remarque doreacutenavant nous notons systeacutematiquement 4 et B les tensionsdrsquoentreacutee et de sortie

Bande passante

Le gain en tension drsquoun filtre srsquoobtient en prenant le module de lafonction de transfert

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

51 Fonction de transfert 49

maxradic2

teFIGURE 55 ndash Bande passante

Souvent le filtre preacutesente un gain relativement constant pour un cer-tain intervalle de freacutequences alors qursquoil est quasiment nul pour lesautres freacutequences Le filtre eacutelimine alors certaines harmoniques dusignal

Passe-Bas Passe-Haut Passe-Bande Coupe-Bande

FIGURE 54 ndash Types de filtre souvent rencontreacutes

Suivant lrsquoallure du gain avec la freacutequence on distingue diffeacuterents typesde filtre

bull Le filtre passe-bas laisse passer les basses freacutequences et coupeles hautes freacutequences

bull Le filtre passe-haut laisse passer les hautes freacutequences et coupeles basses freacutequences

bull Le filtre passe-bande laisse passer les harmoniques situeacutees dansune certaine bande de freacutequences

bull Le filtre coupe-bande24 24 On dit aussi reacutejecteur de bandecoupe les harmoniques dans une cer-

taine bande de freacutequences

Par convention on appelle bande passante lrsquointervalle des freacutequences(resp pulsations) pour lequel est compris entre le maximum max

et maxradic

2 Les freacutequences (resp pulsations) qui deacutelimitent la bandepassante sont appeleacutees freacutequences de coupure (resp pulsations decoupure)

Exemple

Le filtre RC eacutetudieacute preacuteceacutedemment preacutesente une fonction de transfert don-neacutee par

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

Le gain diminue avec la freacutequence il srsquoagit donc drsquoun filtre passe-bas Legain est maximum lorsque l = 0 (max = 1) et la pulsation de coupure l2est telle que

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

La bande passante correspond donc agrave lrsquointervalle [0l2] en termes depulsation ou [0l2(2c)] en termes de freacutequence

Un filtre du premier ordre possegravede auplus une freacutequence de coupure alorsqursquoun filtre du second ordre peut preacute-senter deux freacutequences de coupure Onpeut alors rencontrer tous les cas de laFigure 54

Notez que dans lrsquoexemple preacuteceacutedent la bande passante a pour largeur1g ougrave g est le temps de relaxation du circuit RC Un filtre RC degrande bande passante est un systegraveme eacutelectrique de petit temps dereacuteponse On retiendra cette relation assez geacuteneacuterale

RAPIDITEacute hArr LARGE BANDE PASSANTE

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

FIGURE 56 ndash Diagramme de Bode drsquounfiltre RC Les traits oranges corres-pondent aux comportements asympto-tiques

Diagramme de Bode

Afin de pouvoir eacutetudier le comportement drsquoun filtre sur un largedomaine freacutequentiel on eacutetudie le gain en adoptant une eacutechelle loga-rithmique pour la freacutequence Par ailleurs pour visualiser lrsquoefficaciteacutedu filtrage il est plus commode de porter le gain en deacutecibel25

25 Par deacutefinition 1 bel (1 B) correspondagrave un gain de puissance drsquoun facteur 10Autrement dit B = log10 PBP4 ougraveP deacutesigne la puissance Comme 1 B =

10 dB on a dB = 10 log10 PBP4 ce quiredonne (55) car la puissance est propor-tionnelle au carreacute de la tension

deacutefinipar

dB 20 log10 hearts (55)

Le diagramme de Bode26

26 Inventeacute par Hendrik Wade Bode in-geacutenieur ameacutericain chez Bell Laboratory

est constitueacute de deux graphes

bull celui du gain en deacutecibel dB en fonction de la freacutequence eneacutechelle logarithmique

bull celui du deacutephasage sortieentreacutee q = arg() en fonction de lafreacutequence en eacutechelle logarithmique

Lrsquoeacutechelle logarithmique simplifie la lecture du comportement du filtrecar lrsquoessentiel du graphe est constitueacute de tronccedilons lineacuteaires correspon-dants aux comportements asymptotiques

Dans une telle repreacutesentation les freacutequences de coupure correspondentagrave une diminution de 3dB du gain par rapport au maximum puisque

=maxradic

2donne dB = 20 log10 maxminus10 log10 (2) dB maxminus3 dB

Exemple diagramme de Bode du filtre RC

Reprenons la fonction de transfert du filtre passe-bas RC

1 + 9 ll2avec l2 =

Le gain en deacutecibel est alors donneacute par

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

]On peut distinguer deux comportements un agrave basse freacutequence lrsquoautre agravehaute freacutequence

Agrave basse freacutequence (l l2) dB 0 dB le graphe est assimilable agrave uneportion horizontale drsquoordonneacutee 0 dB

Agrave haute freacutequence (l l2)dB minus20 log10 (l) + 20 log10 (l2) le grapheest assimilable agrave une portion de droite deacutecroissante passant par le point (0l2) et de pente -20 dBdeacutecade ou -6 dBoctave a

Quant au deacutephasage sortieentreacutee on a

qB4 = minus arg(1 + 9 l

)= minus arctan

)Ainsi agrave basse freacutequence le deacutephasage tend vers 0 alors qursquoa haute freacute-quence il tend vers minusc2 rad la tension de sortie es alors en quadrature dephase par rapport agrave la tension drsquoentreacutee

a Une deacutecade repreacutesente un intervalle [l 10l ] Sur une eacutechelle logarithmiquecela correspond agrave un intervalle drsquoune uniteacute Une octave deacutesigne lrsquointervalle [l 2l ]

52 Filtrage passe-haut 51

Reacuteponse du filtre soumis agrave une excitation peacuteriodique

Comme on lrsquoa vu un filtre a la particulariteacute de produire un signalsinusoiumldal lorsque lrsquoon injecte en entreacutee un signal sinusoiumldal Certeslrsquoamplitude et la phase agrave lrsquoorigine peuvent diffeacuterer mais pas la formedu signal Ccedila nrsquoest plus le cas lorsque lrsquoon envoie un signal peacuteriodiquenon sinusoiumldal le filtre produit une deacuteformation du signal et crsquoestbien lagrave lrsquointeacuterecirct drsquoun filtre nettoyer un signal du bruit seacutelectionnerune harmonique particuliegravere corriger la phase drsquoun signal enlever lacomposante continue sont autant de possibiliteacutes qui rendent le filtreindispensable dans une chaicircne de traitement du signal

Cette deacuteformation est le reacutesultat drsquoune transformation diffeacuterente desharmoniques par le filtre En effet rappelons qursquoun filtre agit sur uneharmonique en agissant sur lrsquoamplitude et la phase

cos(lC) minusrarrFiltre

(l) times cos(lC + q) avec q = arg

Soumettons le filtre agrave une excitation peacuteriodique de peacuteriode ) = 2clet deacutecomposable en seacuterie de Fourier

4(C) = 00 +infinsum==1

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

En vertu du principe de superposition chaque harmonique subit uneamplification par le gain correspondant agrave la freacutequence de lrsquoharmoniqueet un deacutephasage q = arg Le signal de sortie srsquoeacutecrit alors

B(C) = 0 00 +infinsum==1

[= 0= cos (= lC + q=) += 1= sin (= lC + q=)] hearts

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

52 Filtrage passe-haut

Filtre du premier ordre

Imaginons que lrsquoon souhaite eacuteliminer la composante continue drsquounsignal peacuteriodique Crsquoest par exemple ce que reacutealise un oscilloscope surle signal drsquoentreacutee lorsque qursquoon le place en mode AC Un simple filtrepasse-haut permet drsquoeacuteliminer la composante continue27 27 Composante qui correspond agrave la freacute-

quence nulle Il faut juste

veiller agrave ce que la freacutequence de coupure soit suffisamment basse poureacuteviter drsquoaffecter les harmoniques du signal

Le filtre passe-haut le plus simple est un filtre du premier ordre dontla fonction de transfert prend la forme

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

ougrave l2 est la pulsation de coupure et |0 | le gain agrave haute freacutequenceOn veacuterifie que = 0 pour l = 0 et rarr |0 | pour l rarr infin Dansun oscilloscope un filtre passe-haut de gain 0 = 1 et de freacutequencede coupure a2 sim 10 Hz reacutealise une telle opeacuteration comme lrsquoillustre lasimulation de la Figure 57

FIGURE 57 ndash Eacutelimination de la composante continue drsquoun signal triangulaire agrave lrsquoaide drsquoun filtre passe-haut de freacutequence de coupurefixeacutee agrave 10 Hz (simulation copyJRoussel)

Eacutetablissons le diagramme de Bode drsquoun tel filtre Le gain en deacutecibelvaut

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

Agrave haute freacutequence on a le comportement HFdB 20 log |0 | alors qursquoagrave

basse freacutequence on a le comportement BFdB 20 log |0 | + 20 log

Cela donne deux tronccedilons rectilignes lrsquoun horizontal et lrsquoautre depente +20 dBdeacutecade se coupant au point (log(l2) 20 log |0 |) Onveacuterifie que l2 est bien la pulsation de coupure puisque

(l2) =|0 |radic

2soit dB (l2) = 20 log( |0 |) minus 3 dB

10minus2 01 1 10 102

20 log0

-20 dB +20 dBdeacutecade

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

FIGURE 58 ndash Diagramme de Bode drsquoun filtre passe-haut du premier ordre avec 0 = 32

Quant au deacutephasage introduit par le filtre si 0 gt 0 on a

2minus arg(1 + jll2)

B (C)4 (C)

FIGURE 59 ndash Exemples de filtres passe-haut du premier ordre

ce qui donne les limites suivantes

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

On peut tregraves facilement reacutealiser un filtre passe-haut agrave lrsquoaide drsquounconducteur ohmique et drsquoun condensateur ou drsquoune bobine En guisedrsquoexercice on laisse au lecteur le soin de veacuterifier que les montages dela Figure 59 correspondent agrave des filtres passe-haut de gain 0 = 1 dede pulsation de coupure l2 = 1 pour le montage C-R et l2 = pour le montage L-R

Comportement deacuterivateur

Deacuteriver un signal est une opeacuteration qui se reacutealise aiseacutement agrave lrsquoaidedrsquoun filtre La tension de sortie doit prendre la forme

B(C) = gd4(C)dC

ougrave g est un paramegravetre homogegravene agrave un temps En notation complexecela donne

B(C) = g jl 4(C) soit = jl g

Par exemple si lrsquoon reprend le filtre passe-haut preacuteceacutedent et que lrsquoonregravegle la freacutequence de coupure agrave une valeur tregraves eacuteloigneacutee de la freacutequencedu signal drsquoentreacutee on peut eacutecrire l l2 et

1 +jll2 jll2

ce qui correspond agrave une deacuterivation avec un paramegravetre g = 1(l2) LaFigure 510 illustre le pheacutenomegravene avec un signal triangulaire drsquoampli-tude 1 V et de freacutequence 100 Hz envoyeacute sur un filtre passe-haut dont lafreacutequence de coupure est fixeacutee agrave 1 000 Hz Les premiegraveres harmoniquesndash celles qui ont le plus de poids dans la seacuterie de Fourier ndash se trouventdans un domaine freacutequentiel ougrave jll2 On srsquoattend agrave obtenir unsignal de sortie correspondant agrave la deacuteriveacutee du signal triangulaire agravesavoir

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

On preacutevoit donc un signal carreacute de freacutequence 100 Hz et drsquoamplitudecrecircte agrave crecircte 128 mV ce que confirme la simulation de la Figure 510On note cependant que le signal de sortie nrsquoest pas tout a fait carreacutecar le basculement entre la valeur maximale et la valeur minimale sefait sur une dureacutee finie de lrsquoordre de g Du point de vue de lrsquoanalyse

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

FIGURE 511 ndash Diagramme de Bode drsquounfiltre passe-haut de Butterworth drsquoordre3

B (C)4 (C)

FIGURE 512 ndash Exemple de filtre passe-haut du troisiegraveme ordre

de Fourier cet laquo adoucissement raquo du signal carreacute est lieacute au fait que lesharmoniques haute-freacutequence se retrouvent dans la bande passante dufiltre passe-haut et ne sont pas deacuteriveacutees ( = 1 au lieu de = jlg) Orcrsquoest preacuteciseacutement ces harmoniques qui jouent un rocircle important dansla synthegravese drsquoun carreacute au voisinage des discontinuiteacutes En reacutesumeacute unfiltre passe-haut preacutesente un comportement deacuterivateur drsquoautant plusfidegravele que la freacutequence de coupure est grande

FIGURE 510 ndash Deacuterivation drsquoun signal triangulaire agrave lrsquoaide drsquoun filtre passe-haut de freacutequence de coupure fixeacutee agrave 1000 Hz (simulationcopyJRoussel)

Filtres plus performants

Les harmoniques situeacutees en dehors de la bande passante sont drsquoautantmieux filtreacutees que la pente de la portion rectiligne est importante Siune atteacutenuation de 20 dBdeacutecade nrsquoest pas suffisante il faut se tournervers des filtres drsquoordre supeacuterieur agrave un

Le filtre de Butterworth drsquoordre trois est couramment utiliseacute dans lessytegraveme drsquoamplification audio Sa fonction de transfert se met sous laforme

(jG) =(jG)3

1 + 2jG minus 2G2 minus jG3 avec G =l

l2(58)

Le gain associeacute prend une forme simple

=G3radic

(1 minus 2G2)2 + (2G minus G3)2=

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

La pulsation de coupure correspond agrave G = 1 soit l = l2 Par ailleursle diagramme de Bode comporte dans la partie basse-freacutequence uneportion rectiligne de pente +60 dBdeacutecade (BF

dB = 60 log G)

Une maniegravere de reacutealiser un filtre de Butterworth drsquoordre 3 consiste agravefabriquer un pont en T avec deux condensateurs et une bobine que lrsquoonbranche sur une reacutesistance de charge (Figure 512) En choisissantcorrectement les valeurs de 1 2 et on trouve une fonction de

53 Filtrage passe-bas 55

transfert de la forme (58) Pour le veacuterifier calculons la fonction detransfert de ce filtre

DtimesD

ougrave D est la tension entre le point N et la masse Le premier facteursrsquoobtient par la relation du diviseur de tension

+ 1j2l=

1 + j2l

Le deuxiegraveme facteur srsquoobtient agrave lrsquoaide du theacuteoregraveme de Millman

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

Agrave partir de ces deux relations on peut eacuteliminer D Tout calcul fait onobtient

21 (jl)3

1 + j2l minus (1 +2)l2 minus j12l3

On constate qursquoil srsquoagit drsquoun filtre de Butterworth drsquoordre 3 agrave conditiondrsquoimposer

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Dans une chaicircne de transmission audio la reacutesistance correspond agravela reacutesistance drsquoentreacutee des hauts-parleurs Si lrsquoon fixe la freacutequence decoupure alors les valeurs de 1 2 et sont imposeacutees

53 Filtrage passe-bas

Introduction

Il arrive couramment que lrsquoon veuille lisser un signal pour en eacuteliminerle bruit haute-freacutequence captureacutee lors de lrsquoenregistrement Parfois ondeacutesire simplement calculer la moyenne drsquoun signal peacuteriodique Sou-vent dans une chaicircne de conversion analyse-numeacuterique on eacutelimineles composantes haute-freacutequence pour eacuteviter le pheacutenomegravene de replie-ment de spectre Toutes ces opeacuterations se reacutealisent agrave lrsquoaide drsquoun filtrepasse-bas

Le filtre passe-bas du premier ordre est le plus simple drsquoentre eux Safonction de transfert se met sous la forme

(jl) = 0

1 + jll2[passe-bas ordre 1] hearts (59)

Le gain associeacute srsquoeacutecrit

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

Le gain |0 | est appeleacute gain statique car il correspond au gain agrave freacute-quence nulle La grandeur l2 deacutesigne la pulsation de coupure agrave -3 dBet le comportement agrave haute freacutequence se traduit dans le diagrammede Bode par une droite de pente -20 dBdeacutecade (cf Figure 56)

Le filtre RC vu en exemple preacutesente ce comportement avec 0 = 1 etl2 = 1 On peut aussi reacutealiser un tel filtre agrave lrsquoaide drsquoune bobineet drsquoun conducteur ohmique dans ce cas la pulsation de coupure estdonneacutee par l2 =

FIGURE 513 ndash Exemples de filtres passe-bas du premier ordre

B (C)4 (C)

Si lrsquoon cherche agrave obtenir la valeur moyenne drsquoun signal peacuteriodiqueil suffira drsquoenvoyer le signal agrave traiter sur un filtre passe-bas de gainstatique 0 = 1 et dont la bande passante sera choisie de faccedilon agraveexclure toutes les harmoniques Ainsi seule la composante continuecrsquoest-agrave-dire la valeur moyenne du signal sera transmise

Comportement inteacutegrateur

Expeacuterience

Envoyons un signal carreacute drsquoamplitude = 1 V et de freacutequence a = 100 Hzagrave lrsquoentreacutee drsquoun filtre RC Ajustons la freacutequence de coupure agrave 10 Hz Lasimulation ci-dessous donne le reacutesultat2828 Voir Simuler pour apprendre sur

femto-physiquefr

Comme on peut le voir le filtre se comporte comme un inteacutegrateur puisquele signal de sortie est agrave une constante multiplicative pregraves lrsquointeacutegrale dusignal drsquoentreacutee

Pour interpreacuteter cette expeacuterience adoptons tout drsquoabord un point devue temporel Rappelons [2][2] ROUSSEL (2020) Seacuteries de Fourier que le signal carreacute est constitueacute unique-ment drsquoharmoniques impaires dont les amplitudes deacutecroissent en 1=

Plus preacuteciseacutement on trouve

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

]avecl = 2ca Le gain et le deacutephasage introduits par le filtre srsquoeacutecrivent

(l) = 1radic1 + (ll2)2

et qB4 = minus arctan(l

)avec l2 = 1() la pulsation de coupure ajustable en modifiant lesvaleurs de et En vertu du principe de superposition le signalfiltreacute srsquoeacutecrit

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

cos [=lC minus arctan(=ll2)]

La freacutequence de coupure eacutetant fixeacutee agrave 10 Hz toutes les harmoniquesse trouvent suffisamment loin de la bande passante pour assimiler lareacuteponse du filtre agrave son comportement asymptotique Autrement dit ona l2l et q minusc2 de sorte que la reacuteponse est approximativementdonneacutee par

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

On obtient une seacuterie drsquoharmoniques impaires dont lrsquoamplitude deacutecroiten 1=2 On reconnaicirct ici un signal triangulaire29 29 Un signal triangulaire drsquoamplitude

preacutesente des harmoniques de freacute-quence impaire et drsquoamplitude = =8c2

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

reacutesultat confirmeacutee par la simulation30 30 La simulation donne une tensioncrecircte-agrave-crecircte de 311 mV agrave comparer avec2B = 314 mV La diffeacuterence est due auxapproximations du calcul theacuteorique

On peut aussi adopter un point de vue spectral En effet lorsquel l2 la fonction de transfert est bien approcheacutee par l2jl Latension de sortie srsquoeacutecrit 4(C) 1

l2jl B(C) ce qui signifie en repreacutesenta-

tion reacuteelle 4(C) = 1l2

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

Un filtre passe-bas du premier ordre reacutealise donc une inteacutegrationmatheacutematique du signal drsquoentreacutee si les harmoniques du signal setrouvent suffisamment loin de la bande passante

Filtre passe-bas de Butterworth

Un filtre passe-bas est de type Butterworth quand son gain se met sousla forme

=0radic

1 + G2=avec G =

ougrave = est lrsquoordre du filtre

B (C)4 (C)

FIGURE 514 ndash Filtre passe-bas drsquoordre 3

Ainsi les filtres RC et LR sont des filtres de Butterworth drsquoordre 1On peut reacutealiser des filtres de Butterworth drsquoordre supeacuterieur en as-sociant laquo en eacutechelle raquo des bobines et des condensateurs lrsquoensembleeacutetant fermeacute sur une reacutesistance de charge Illustrons lrsquoexemple drsquounpont en T similaire au montage de la Figure 512 ougrave lrsquoon remplace lescondensateurs par des bobines et vice versa (Figure 514)

Calculons la fonction de transfert

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

En substituant B par D (1 + j2l) on obtient

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

Finalement la fonction de transfert srsquoeacutecrit

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

Pour une reacutesistance de charge donneacutee et une freacutequence de coupurefixeacutee agrave l2 il est possible de choisir correctement les valeurs3131 Il suffit de choisir 2 = (2l2)

1 = 32 et = 2(1l22)

de 12 et pour mettre la fonction de transfert sous la forme

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

Dans ce cas le gain vaut

=1radic

1radic

1 + G6

Il srsquoagit drsquoun filtre passe-bas de Butterworth drsquoordre 3 qui preacutesenteune coupure agrave -60 dBdeacutecade

54 Filtre passe-bande

Introduction

Que lrsquoon cherche agrave isoler une harmonique particuliegravere cacheacutee dans unsignal ou que lrsquoon souhaite ne conserver qursquoune certaine bande de

54 Filtre passe-bande 59

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

-20 dBdeacutecade+20dBdeacutec

dB = 5(ll0

FIGURE 515 ndash Diagramme de Bode asso-cieacute au filtre passe-bande du second ordrepour amp = 5 et 0 = 1

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

FIGURE 516 ndash Deacutephasage introduit parun filtre passe-bande avec amp = 5

freacutequences avant de proceacuteder agrave une deacutemodulation on aura recours agraveun filtre passe-bande

Le filtre passe-bande le plus simple est un filtre drsquoordre deux Safonction de transfert se met sous la forme

1 + jamp(ll0minus l0

) [Passe-Bande 2nd ordre] hearts (510)

ougrave l0 est la pulsation de reacutesonance du filtre pour laquelle le gainest maximum (max = |0 |) Le paramegravetre amp est un nombre positifsans dimension dit facteur de qualiteacute qui permet drsquoajuster la bande-passante Δl

On deacutetermine aiseacutement les comportements asymptotiques du filtre

ampl0l

et HF 0

ampll0

Ce qui se traduit en eacutechelle logarithmique par

maxdB minus 20 logamp + 20 log(ll0)

et HFdB

maxdB minus 20 logamp minus 20 log(ll0)

ce qui donne deux droites de pentes plusmn20 dBdeacutecade qui se coupent agravela freacutequence de reacutesonance agrave la hauteur max

dB minus 20 logamp

Les pulsations de coupure l2 sont deacutefinies par

|0 |radic1 +amp2 (l2l0 minusl0l2)2

=|0 |radic

Apregraves avoir poseacute G = l2l0 on aboutit agrave lrsquoeacutequation amp(G minus 1G) = plusmn1dont les deux seules solutions positives sont

Gplusmn =

radic1 + 4amp2 plusmn 1

2amp=lplusmnl0

Finalement la bande passante vaut

Δl = l+ minuslminus =l0

ampou Δa =

amphearts (511)

Ainsi plus amp est grand plus le filtre est seacutelectif crsquoest-agrave-dire agrave bandepassante-eacutetroite amp est de ce fait aussi appeleacute facteur drsquoacuiteacute agrave lareacutesonance

Quant au deacutephasage entre la sortie et lrsquoentreacutee degraves que lrsquoon srsquoeacuteloignede la bande passante on a q plusmnc2 Les signaux sont en quadraturede phase En revanche agrave la reacutesonance le signal de sortie est en phaseavec le signal drsquoentreacutee

La simulation de la Figure 517 illustre lrsquoeffet drsquoun filtre passe-bandesur un signal en forme de rampe de freacutequence 100 Hz La bande pas-sante est centreacutee sur 200 Hz et le facteur amp est fixeacute agrave 50 pour avoir une

B (C)4 (C)

FIGURE 518 ndash Quadripocircle RLC

B (C)4 (C)

FIGURE 519 ndash Quadripocircle RLC avec unsignal de sortie recueillie aux bornes ducondensateur

bonne seacutelectiviteacute On recueille ainsi en sortie la deuxiegraveme harmoniquedu signal on peut constater qursquoil srsquoagit drsquoun sinus deacutephaseacute de c

FIGURE 517 ndash Seacutelection de la seconde harmonique drsquoun signal peacuteriodique agrave lrsquoaide drsquoun filtre passe-bande (simulation copyJRoussel)

Filtre RLC

Un dipocircle formeacute drsquoune bobine en seacuterie avec un condensateur et unconducteur ohmique preacutesente les proprieacuteteacutes drsquoun filtre passe-bandedu second ordre Si lrsquoon recueille la tension aux bornes du conducteuron obtient un filtre passe-bande du type (510) Si lrsquoon recueille latension aux bornes du condensateur on obtient un filtre passe-bandeagrave condition que la reacutesistance ne soit pas trop importante

Inteacuteressons nous drsquoabord agrave la tension aux bornes du conducteur oh-mique On a

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

Ainsi les valeurs de et commandent la freacutequence de reacutesonancetandis que la valeur de permet drsquoajuster lrsquoacuiteacute de la reacutesonance sansmodifier la freacutequence de reacutesonance

Si lrsquoon recueille la tension aux bornes du condensateur on obtient uncomportement sensiblement diffeacuterent Tout drsquoabord la loi des maillesimpose

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

En divisant par 4(C) on obtient

prime =B(C)4(C) = 1 minus

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

Or le rapport D (C)4(C) est donneacute par la relation (510) On trouvefinalement

prime =minusjamp l0

55 Stabiliteacute 61

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

FIGURE 520 ndash Diagramme de Bode dufiltre RLC avec un signal preacuteleveacute auxbornes de C et amp = 5

Avec amp et l0 deacutefinis comme preacuteceacutedemment Le gain veacuterifie les proprieacute-teacutes suivantes

BF 1 (l0) = amp et HF (l0

On remarque que le filtre laisse passer les basses freacutequences sans lesatteacutenuer En revanche les hautes freacutequences sont plus efficacementatteacutenueacutees que dans le filtre preacuteceacutedent Le diagramme de Bode faitapparaicirctre une asymptote oblique de pente -40 dBdeacutecade Notonseacutegalement que le signal est amplifieacute drsquoun facteur amp lorsque l = l0On peut montrer que la courbe de gain ne preacutesente pas toujours dereacutesonance il faut deacutepasser la valeur amp =

radic22 pour que ce soit le cas

On parlera donc de filtrage passe-bande uniquement si amp est assezgrand

55 Stabiliteacute

Relation entre eacutequation diffeacuterentielle et fonction detransfert

Rappelons que la reacuteponse drsquoun filtre peut ecirctre modeacuteliseacutee par uneeacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire agrave coefficients constants du type

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

Cette eacutequation diffeacuterentielle est eacutetroitement lieacutee agrave la fonction de trans-fert du filtre En effet si lrsquoon adopte la notation complexe et que lrsquoonse place en reacutegime forceacute on a

d4(C)dCrarr jl 4(C) avec l = 2c a

Degraves lors la fonction de transfert srsquoeacutecrit

=U0 + jl U1 + + (jl)= U=V0 + jl V1 + + (jl)lt Vlt

= (jl) (jl)

avec lt lrsquoordre du filtre et = le lt pour des raisons de stabiliteacute commenous allons le voir

Un theacuteoregraveme de matheacutematiques stipule que lrsquoon peut toujours deacutecom-poser un polynocircme agrave coefficients reacuteels en un produit de polynocircmesagrave coefficients reacuteels de degreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 2 Crsquoest pourquoi lafonction de transfert peut toujours srsquoeacutecrire

ougrave 8 est une fonction de transfert drsquoordre 1 ou 2

Condition de stabiliteacute

Pour qursquoun filtre soit stable on doit srsquoassurer qursquoagrave tout signal drsquoentreacuteeborneacute corresponde un signal de sortie eacutegalement borneacutee ceci agrave toutefreacutequence Pour cela il est neacutecessaire que la fonction de transfert restefinie pour toute pulsation l isin R Il est donc impeacuteratif que le degreacute dudeacutenominateur soit supeacuterieure ou eacutegal au degreacute du numeacuterateur sansquoi | | diverge quand lrarrinfin

Eacutetudions plus speacutecifiquement les filtres drsquoordre 2 de la forme

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 + jl V1 + (jl)2 V2avec V2 ne 0

Que dire des coefficients V1 et V0

bull si V1 = 0 il existe une freacutequence qui annule le deacutenominateur etfait diverger la fonction de transfert

bull si V0 = 0 la freacutequence nulle fait diverger la fonction de transfert

Autrement dit les coefficients V0 V1 et V2 sont non nuls Regardonsmaintenant la dynamique de ce filtre lorsque lrsquoentreacutee est nulle Lrsquoeacutequa-tion diffeacuterentielle srsquoeacutecrit

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

Supposons que V2 soit positif3232 Si tel nrsquoest pas le cas il suffit de multi-plier lrsquoeacutequation diffeacuterentielle par -1 pourse ramener agrave ce cas

Deacutemontrons que V1 et V0 ne peuventpas ecirctre neacutegatifs Rappelons que pour trouver les solutions de lrsquoeacutequa-tion diffeacuterentielle il faut reacutesoudre lrsquoeacutequation caracteacuteristique

V0 + V1 A + V2 A2 = 0 de discriminant Δ = V1

2 minus 4V0V2

Si V0 lt 0 le discriminant est positif et les solutions ndash appelons-les A1 etA2 ndash sont reacuteelles Or si V0 lt 0 le produit3333 Rappelons que le produit des racines

est donneacute par V0V2des racines est aussi neacutegatif

ce qui signifie que lrsquoune drsquoentre elles est positive Par conseacutequent lasolution diverge

B(C) = 1eA1 C +2eA2 C minusrarrCrarrinfininfin (512)

Le filtre nrsquoest pas stable si V0 lt 0 Fixons maintenant V0 gt 0 Le produitdes racines est donc positif Deux cas se preacutesentent

bull Le discriminant est positif Les racines sont alors reacuteelles et lasolution srsquoeacutecrit comme (512) Pour que le filtre soit stable ilest neacutecessaire que les racines soient toutes les deux neacutegativescomme leur somme ( = minusV1V2 On en deacuteduit V1 gt 0

bull Le discriminant est neacutegatif Les racines srsquoeacutecrivent A12 = minus V12V2plusmn jΩ

et la solution est de la forme

B(C) = 1eminusV1 C2V2 cos(ΩC + i)

solution qui diverge si V1 lt 0 La stabiliteacute impose alors V1 gt 0

Pour reacutesumer un filtre drsquoordre 2 est stable si tous les coefficients dudeacutenominateur sont de mecircme signe Lrsquoeacutetude du filtre drsquoordre 1 estanalogue et aboutit au mecircme reacutesultat

B (C)4 (C)

FIGURE 521 ndash Filtre reacutejecteur agrave lrsquoaidedrsquoun circuit RLC

Conditions de stabiliteacute

Un filtre drsquoordre 1 ou 2 est stable agrave condition que

1 le degreacute du deacutenominateur soit supeacuterieur ou eacutegal au degreacute dunumeacuterateur

2 les coefficients du deacutenominateur soient tous non nuls et demecircme signe

Exemple

Consideacuterons lrsquoexemple drsquoun circuit RLC seacuterie ougrave la tension de sortie estrecueillie aux bornes de lrsquoensemble LC La fonction de transfert vaut

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

Il srsquoagit donc drsquoun filtre drsquoordre deux Ici le degreacute du numeacuterateur est lemecircme que celui du deacutenominateur et tous les coefficients du deacutenominateursont positifs Par conseacutequent ce filtre est stable On laisse au lecteur le soinde montrer qursquoil srsquoagit ici drsquoun filtre coupe-bande centreacutee en l0 = 1

dont la bande-coupante est de largeur Δl = l0amp avec amp = 1radic

Reacutefeacuterences

Reacutefeacuterences classeacutees par ordre drsquoapparition

[1] J ROUSSEL Conducteurs eacutelectriques https femtominusphysiquefrelectromagnetismeconducteursminuselectriquesphpFeacutev 2016 (cf p 5 17)

[2] J ROUSSEL Seacuteries de Fourier https femtominus physiquefrompserieminus deminus fourierphp Jan 2020 (cf p 5657)

[3] Jean PEacuteRICART Cours drsquoeacutelectriciteacute theacuteorique Tome 1 Electrostatique - Electrocineacutetique 1962

[4] Eacutetienne TISSERAND Jean-Franccedilois PAUTEX et Patrick SCHWEITZER Analyse et traitement des signaux-2e eacuted Meacutethodes et applications au son et agrave lrsquoimage Dunod 2009

NotationsNotations matheacutematiques utiliseacutees dans ce cours

Notation Signification

relation de deacutefinitionsim eacutegal en ordre de grandeur tregraves grand devant tregraves petit devant

5 moyenne temporelle de 5 (C)〈 5 〉 moyenne drsquoensemble de 5

5pp amplitude crecircte-agrave-crecircte du signal 5 (C)5rms valeur efficace du signal 5 (C)d 5dC deacuteriveacutee premiegravere par rapport au tempsd= 5dC= deacuteriveacutee n-iegraveme par rapport au temps

I grandeur complexeI complexe conjugueacuteeRe(I) partie reacuteelle drsquoun nombre complexeIm(I) partie imaginaire drsquoun nombre complexeminusrarrD vecteur unitaire(minusrarrDG minusrarrDH minusrarrDI) base carteacutesienne(A I) coordonneacutees cylindriques(minusrarrDA minusrarrD minusrarrDI) base cylindrique(A i) coordonneacutees spheacuteriques(minusrarrDA minusrarrD minusrarrDi) base spheacuteriqueminusrarr ou norme du vecteur

minusrarr

I composante suivant lrsquoaxe (OI) = I =minusrarr middot minusrarrDIint

Dinteacutegration sur un domaine Dint

Cminusrarr (M) middot dminusrarrℓ circulation de

minusrarr le long du circuit C∬

Sminusrarr (M) middot minusrarr= d( Flux drsquoun champ vectoriel

minusrarr∭

V 5 (M) dg Inteacutegrale de volumeminusminusminusrarrgrad 5 ou

minusrarrnabla 5 gradient drsquoun champ scalairedivminusrarr ou

minusrarrnabla middot minusrarr divergence drsquoun champ vectorielrotminusrarr ou

minusrarrnabla andminusrarr rotationnel drsquoun champ vectorielΔ 5 = nabla2 5 laplacien scalairesumcouples (8 9)

sum9lt8

somme sur les couples (8 9)

Grandeurs et constantes physiques

Grandeurs physiques

Nom Symbole Uniteacute SI

Admittance eacutelectrique SAuto-inductance

Capaciteacute eacutelectrique

Champ eacutelectrique Vmminus1

Champ magneacutetique TCharge eacutelectrique amp CConductiviteacute eacutelectrique W Smminus1

Conductance eacutelectrique 6 SDensiteacute de courant eacutelectrique 9 Amminus2

Densiteacute drsquoeacutenergie F Jmminus3

Deacutephasage q radEnergie E JFlux magneacutetique q WbForce eacutelectromotrice 4 VFreacutequence a HzImpeacutedance eacutelectrique Ω

Intensiteacute eacutelectrique 8 APeacuteriode ) sPermittiviteacute dieacutelectrique relative nA sans uniteacutePotentiel eacutelectrique + VPuissance P WReacutesistance eacutelectrique A Ω

Surface (sa mesure) ( m2

Travail JTempeacuterature ) KTemps C sTension eacutelectrique D ou VVitesse E msminus1

Volume (sa mesure) + m3

Vitesse angulaire pulsation l radsminus1

Quelques constantes physiquesles constantes sont fournies avec tous les chiffres significatifs connus

Nom Symbole ValeurConstante gravitationnelle G 6674 times 10minus11 m3kgminus1sminus2

Permittiviteacute dieacutelectrique du vide n0 8854 187 81 times 10minus12 Fmminus1

Permeacuteabiliteacute magneacutetique du vide `0 1256 637 062 times 10minus6 Hmminus1

Masse de lrsquoeacutelectron au repos lte 9109 383 70 times 10minus31 kgMasse du proton au repos ltp 1672 621 923 times 10minus27 kgMasse du neutron au repos ltn 1674 927 498 times 10minus27 kg

Constantes deacutefinies par le SI (valeurs exactes)

Constante de Planck ℎ 6626 070 15 times 10minus34 JsVitesse de la lumiegravere 2 299 792 458 msminus1

Freacutequence hyperfine du 133Cs ΔaCs 9 192 631 770 HzCharge eacuteleacutementaire 4 1602 176 634 times 10minus19 CConstante de Boltzmann 1380 649 times 10minus23 JKminus1

Constante des gaz parfaits = A 8314 462 618 JKminus1molminus1

Nombre drsquoAvogadro NA 6022 140 76 times 1023 molminus1

Efficaciteacute lumineuse cd 683 lmWminus1

(source 2018 CODATA)

Cours deacutelectrocineacutetique ndash femto-physiquefr

Preface

EacuteTUDE DES REacuteSEAUX EacuteLECTRIQUES EN REacuteGIME CONTINU

Lois de leacutelectrocineacutetique

Pheacutenomegravenes reacutesistifs

Dipocircles actifs

Meacutethodes de reacutesolution

CONDENSATEURS ET BOBINES

Condensateur eacutelectrique

Bobine dinduction

REacuteGIMES TRANSITOIRES


Deacutecharge dun condensateur

Circuit RL

Oscillateur RLC

REacuteGIME SINUSOIumlDAL FORCEacute

Signaux peacuteriodiques

Impeacutedance et admittance

Puissance en reacutegime forceacute

FILTRAGE PASSIF

Fonction de transfert

Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


Cours drsquoeacutelectrocineacutetique ndash femto-physiquefrJIMMY ROUSSEL professeur agreacutegeacute agrave lrsquoEcole Nationale Supeacuterieure de Chimie deRennes

Copyright copy 2021 Jimmy Rousselcbn Ce document est sous licence Creative Commons laquo Attribution - Pas drsquoUtilisationCommerciale 30 non transposeacute (CC BY-NC 30) raquoPour plus drsquoinformations creativecommonsorglicensesby-nc30

Ce document est reacutealiseacute avec lrsquoaide de KOMA-Script et LATEX en utilisant la classekaobook

1re eacutedition ndash Mars 2016Version en ligne ndash femto-physiquefrelectrocinetique

Preface

Jimmy Roussel

Preface iii

Notations 66

Table des figures

Liste des tableaux

Introduction

dipocircle

D = +A minus+B

dipocircle

D = +B minus+A

Loi des nœuds

Exemple

81 + 82 + 83 minus 84 = 0 soit 84 = 81 + 82 + 83

dipocircle

DAB = +A minus+B

bullA bullCbullB

DAB DBC

Loi des mailles

=sum=1

Loi des mailles

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

soitDAC = DAB + DBC

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


Preface

Jimmy Roussel

Preface iii

Notations 66

Table des figures

Liste des tableaux

Introduction

dipocircle

D = +A minus+B

dipocircle

D = +B minus+A

Loi des nœuds

Exemple

81 + 82 + 83 minus 84 = 0 soit 84 = 81 + 82 + 83

dipocircle

DAB = +A minus+B

bullA bullCbullB

DAB DBC

Loi des mailles

=sum=1

Loi des mailles

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

soitDAC = DAB + DBC

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


Preface iii

Notations 66

Table des figures

Liste des tableaux

Introduction

dipocircle

D = +A minus+B

dipocircle

D = +B minus+A

Loi des nœuds

Exemple

81 + 82 + 83 minus 84 = 0 soit 84 = 81 + 82 + 83

dipocircle

DAB = +A minus+B

bullA bullCbullB

DAB DBC

Loi des mailles

=sum=1

Loi des mailles

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

soitDAC = DAB + DBC

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


Table des figures

Liste des tableaux

Introduction

dipocircle

D = +A minus+B

dipocircle

D = +B minus+A

Loi des nœuds

Exemple

81 + 82 + 83 minus 84 = 0 soit 84 = 81 + 82 + 83

dipocircle

DAB = +A minus+B

bullA bullCbullB

DAB DBC

Loi des mailles

=sum=1

Loi des mailles

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

soitDAC = DAB + DBC

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


Liste des tableaux

Introduction

dipocircle

D = +A minus+B

dipocircle

D = +B minus+A

Loi des nœuds

Exemple

81 + 82 + 83 minus 84 = 0 soit 84 = 81 + 82 + 83

dipocircle

DAB = +A minus+B

bullA bullCbullB

DAB DBC

Loi des mailles

=sum=1

Loi des mailles

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

soitDAC = DAB + DBC

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


Introduction

dipocircle

D = +A minus+B

dipocircle

D = +B minus+A

Loi des nœuds

Exemple

81 + 82 + 83 minus 84 = 0 soit 84 = 81 + 82 + 83

dipocircle

DAB = +A minus+B

bullA bullCbullB

DAB DBC

Loi des mailles

=sum=1

Loi des mailles

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

soitDAC = DAB + DBC

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


dipocircle

D = +A minus+B

dipocircle

D = +B minus+A

Loi des nœuds

Exemple

81 + 82 + 83 minus 84 = 0 soit 84 = 81 + 82 + 83

dipocircle

DAB = +A minus+B

bullA bullCbullB

DAB DBC

Loi des mailles

=sum=1

Loi des mailles

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

soitDAC = DAB + DBC

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


dipocircle

DAB = +A minus+B

bullA bullCbullB

DAB DBC

Loi des mailles

=sum=1

Loi des mailles

=sum=1

n D = 0 (11)

Exemple

soitDAC = DAB + DBC

et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


et on rappelle que

1 W 1 Jsminus1

P(C) = D(C) 8(C) (13)

sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


sens de parcours

Loi drsquoOhm

D1 + D2 = 0

soit1 8 + 2 8 = 0 =rArr 8 = 0

P = D 8 = 82 gt 0 hearts (15)

intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


intlt2 d) )

D = eq 8 =

eq =sum

hearts (16)

On trouve donc1eq

hearts (17)

Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


Ponts diviseurs

1 + 2D = 1 ou 2 hearts (18)

1 +28 = 1 ou 2 hearts (19)

Reacutep 8 = D(3)

42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


42A 4A

Source de tension

D = 4 forall8

8cc = 4A

Pmax =42

8026 806

Source de courant

8 = 80 forallD

Pmax =80

+4 A D equiv

g6 = 1A

80 = 4A

D = 4 + A8

P = 48 + A82

[ =Pconvertie

Pfournie=

4 + A8

M4 A D equiv8

Cas ou 8 gt 0 D = 4 + A8

M4 A D equiv8

Loi de Pouillet

4 minussum

4prime minus 8 = 0

sum 4 minus

sumprime 4prime

hearts (111)

Reacutep 8 = 50 mA

Meacutethodologie

Exemple

818 minus 81

8 minus 81 minus 1

581 + 58 = 20minus581 + 108 = 10

Exemple

81 A 1 A

5Ω 5Ω

52 Ω 5Ω

25 + 15 times 6 = 2 A

8 = 5 (41 4= 801 80lt) avec 5 (0 0 0) = 0

5 (41 4= 801 80lt) = 5 (41 0 0 ) + 5 (0 42 0 0 )+ + 5 (0 0 0 80lt)

Exemple

5Ω 5Ω 5Ω

81 =15

15 + 15 + 15 times 1 =13

2828282

5Ω5Ω 5Ω2

2 = 5 minus 5(282) = 582 soit 82 =13

5Ω5Ω

3 = 20 minus 5(283) = 583 soit 83 =43

8 = 81 + 82 + 83 = 2 A

Deacutemonstration

8 =+ minus+N

sum==1 +sum==1

+N =81 +

sum==2 +sum==2

Exemple

5 V 0 V

5 Ω5 Ω

15 + 15 + 15 = 10 V

8 =+N5= 2 A

(C) = D(C) (21)

8(C) = ddC

= dD(C)

Exemple

2 = times

=12 D2 =

2hearts (23)

P = D 8 = DdDdC

Agrave retenir

2 + 122D

2 =12(1 +2)D2

sum8=1

8 hearts (24)

1 minus1 2 minus2

si 1 = 28

eqavec

=11+ 12

sum8=1

hearts (25)

Expeacuterience

Loi de Lenz

4 = minusdqdC

hearts (26)

8bull bull

Auto-induction

D = 38

P = D8 = 8d8dC=

ddC( 1282)

= minusint

PdC = minusint 0

8prime=8

=1282 hearts (28)

Agrave retenir

Bobine reacuteelle

8bull bull

bobine ideacuteale

8bull bull A

K 8 (C)

8 = 0 forallC lt C0

4 minus 8 = 0 soit 8 =4

forallC gt C0

En reacutesumeacute

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 5 (C) (31)

H(C) = H0 (C) + Hp (C)

00H(C) + 01dH(C)

dC+ + 0=

d=H(C)dC

= 0 (32)

00 + 01A + 02A2 + + 0=A= = 0

H0 (C) ==sum=1

+40 A - (C)

0 = 40

D (0+) = D (0minus) = 40 et 8(0+) = D (0+)

= minusdDdC

eminusCg

Agrave retenir

33 Circuit RL 29

d(12D2)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

eminus2Cg dC =

33 Circuit RL

8(0+) = 40

D (C) + 8(C) = 0 avec D (C) = d8dC

8(C) = 40

d8dC= minus40

A0eminusCg

Agrave retenir

minus40A0

d(1282)dC︸︷︷︸

082 (C) dC =

int infin

34 Oscillateur RLC

8(0+) = 0 et D (0+) = 0

(C) = Cte rArr 8(C) = 0 et D (C) = 40

40 = 8 + d8dC+ D avec 8 =

dC2+ 2_

dDdC+l0

2D = l0240 avec

l0 = 1radic

hearts

D = c5

D = 5c

g1 =1l0

=radic et g2 =

A2 + 2_ A +l02 = 0

radic on a

) =2cl=

2cradicl02 minus _2

g1 = g2

22_ soit g

gmin =1l0

=radic

40 8(C) = 8(C)2 + d8(C)

2 + 12D

40 8(C) = 8(C)2 +d

int infin

040 8(C) dC = 40

int infin

d(C)dC

dC = 40 [(infin) minus (0)] = 402

=128(infin)2 + 1

2D (infin)2 =

hearts (41)

0H(C) 3C

Hrms =

radicH2

H(C) = cos(lC + q)

) =2cl

=rArr a =l

2chearts (42)

Hrms =radic

2hearts (43)

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = c4

minus0 0

minus1

q = c2

minus0 0

minus1

q = 3c4

minus0 0

minus1

minus0 0

minus1

q = 5c4

minus0 0

minus1

q = 3c2

minus0 0

minus1

q = 7c4

l Ainsi

q =2c)times ΔC

- (C) = 0 cos(lC) (C) = 1 cos(lC + q)

lC + q

cos(lC + q)

lC + q

lprimeC + qprime

= |A| et q = arg(A)

dH(C)dCrarr 9ly

(C )4 (C) D (C)

et amp = 1

dC2+ l0

dDdC+l0

Deacutefinitions

D(C)8(C) =

= + 9 - hearts (45)

1Z= + 9(

Exemples

D(C) = 8(C) D(C) = d8dC(C) 8(C) = dD

D = 8 D = 9 l 8 8 = 9l D

= = 9 l 2 =19l

rms = rms

lC + q8

rms = l rms

lC + q8

rms =1l

minusrarr8

minusminusrarrD

lC + q8

8 hearts (47)

= A + 9 l

= e 9lC

A + 9 lsoit

8(C) =

i1 minus i2

Exemple

1i1 + 2i2 = u

Z2 + 2

Z2 (1 + 2) + 12u

i2 =Z2

Z2 (1 + 2) + 12u

i1 =1 + 9 2l

(1 + 2) + 9 12lu et i2 =

1(1 + 2) + 9 12l

1 rms =

radic1 + (2l)2

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 72 mA

et2 rms =

1radic(1 + 2)2 + (12l)2

rms = 27 mA

(1 + 2) + 9 12lu

2 rms =2lradic

(1 + 2)2 + (12l)2rms = 67 mA

D(C) =radic

Deacutefinition

int ΔC

C=0PdC =

int ΔC

C=0PdC

)ΔC Ptimes ΔC

sum8=1

P8 hearts (48)

Reacutep = (889 + 91249)Ω

q = arg()

P = rmsrms = rms2

Z = + 9 - =rArr cos q =

P = rmsrms

| | = rms2

rms =P

rms cos q

ligne = rms2 =

rms2 cos2 q

4 (C) B (C)Filtre

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

(jl) B(C)4(C) =

hearts (51)

(jl) = (jl) (jl) (52)

Quadripocircle

Entreacutee Sortie

B (C)4 (C)

(jl) DB (C)D4 (C)

hearts (53)

Exemple filtre RC

B(C) =

+ 4(C) avec = et =

=B(C)4(C) =

11 + j l

Bande passante

(l) | (jl) | = (rms

rmshearts (54)

maxradic2

et maxradic

Exemple

1 + jlsoit =

1radic1 + (l)2

(l2) =1radic

1 + (l2)2=

1radic

2soit l2 =

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

-20 dBdeacutecade

dB = 5 (ll2)

10minus2 10minus1 1 10 100

-45deg

-90deg

qB4 = 5 (ll2)

Diagramme de Bode

deacutefinipar

=maxradic

1 + 9 ll2avec l2 =

dB = minus10 log10

[1 + (ll2)2

)= minus arctan

[0= cos (= lC) + 1= sin (= lC)]

(56)avec = = (=l) et q= = q(=l)

= 0jll2

1 + jll2hearts (57)

dB = 20 log |0 | + 20 log(l

)minus 20 log

radic1 +

(l2) =|0 |radic

10minus2 01 1 10 102

20 log0

20 log0 minus 3 dB

dB = 5 (ll2)

10minus3 10minus2 01 1 10 102 103

qB4 = 5 (ll2)

B (C)4 (C)

qBF c2

q(l2) =c

4et qHF 0

B(C) = gd4(C)dC

1 +jll2 jll2

B(C) = 12ca2

d4(C)dC

2000ctimes plusmn2

0012 = plusmn64 mV

10minus2 01 1 10 102

eacutecad

dB = 5 (ll2)

Ordre 1 Butterworth

B (C)4 (C)

(jG) =(jG)3

l2(58)

=G3radic

G3radic

1 + G6

On voit ainsi que

max = 1 HF = 1 (G = 1) = 1radic

Grarr0G3

dB = 60 log G)

DtimesD

+ 1j2l=

1 + j2l

D =4 j1l + 0(jl) + B j2l

j1l + 1(jl) + j2l

21 (jl)3

12l23 = 1 2l2 = 2 et (1 +2)l22 = 2

Introduction

(jl) = 0

=|0 |radic1 + G2

avec G =l

On voit ainsi que

max = |0 | BF = |0 | (G = 1) = |0 |radic2

et Grarrinfin

B (C)4 (C)

Expeacuterience

femto-physiquefr

4(C) = 4c

[cos(lC) + 1

3cos(3lC) + 1

5cos(5lC) + 1

7cos(7lC) +

(l) = 1radic1 + (ll2)2

B(C) = 4c

sum= impair

1radic1 +

)2times 1=

B(C) = 4l2cl

sum= impair

1=2 sin (=lC)

1=2 [2]

drsquoamplitude

l soit B 157 mV

dB (C)dC soit

B(C) = 2ca2int

4(C) dC

=0radic

1 + G2=avec G =

B (C)4 (C)

DtimesD

D =4j1l + Bj2l + 0

1j1l + 1j2l + jl

+ j(1 + 2)l + 1 (jl)2 + 12 (jl)3

DtimesD

1 + 1+2

jl + 1 (jl)2 + 12(jl)3

1 = 32 et = 2(1l22)

1 + 2(jG) + 2(jG)2 + (jG)3avec G =

=1radic

1radic

1 + G6

Introduction

10minus2 10minus1 1 10 100

-20 dB

-40 dB

bande-passante

dB = 5(ll0

001 01 1 10 100

qB4 = 5 (ll0)

ampl0l

et HF 0

ampll0

et HFdB

dB minus 20 logamp

=|0 |radic

Gplusmn =

2amp=lplusmnl0

ampou Δa =

amphearts (511)

B (C)4 (C)

Filtre RLC

+ j(l minus 1

) avec

1radic

amp =1

4(C) = jl 8(C) + D (C) + B(C)

D (C)4(C) minus j

D (C)4(C)

prime =minusjamp l0

001 01 1 10 100

20 logamp

-40dBdeacutecade

dB = 5(ll0

55 Stabiliteacute

U0 4(C) + U1d4(C)

dC+ + U=

d=4(C)dC=

= V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ + Vlt

dltB(C)dClt

= (jl) (jl)

=U0 + jl U1 + (jl)2 U2

V0 B(C) + V1dB(C)

dC+ V2

d2B(C)dC2

2 minus 4V0V2

B (C)4 (C)

Exemple

1 + (jl)2

1 + jl + (jl)2

minusrarr

minusrarr∭

sum9lt8

Grandeurs physiques

Preface



Dipocircles actifs




Bobine dinduction




Circuit RL

Oscillateur RLC





FILTRAGE PASSIF


Filtrage passe-haut

Filtrage passe-bas

Filtre passe-bande

Stabiliteacute


Notations


Documents

Cours d'électrocinétique – femto-physique