DYNAMIQUE

I - Généralités

1°) Définition de la dynamique

La dynamique est l'étude des mouvements d'un mobile considéré dans ces rapports avec les forces qui en sont la cause.

La dynamique se distingue de la statique qui étudie un solide en équilibre (qui ne bouge pas) et les conditions d'équilibre sur les forces exercées sur le solide.

La dynamique se distingue aussi de la cinématique qui étudie le mouvement d'un mobile indépendamment des forces qui le produisent.

2°) Rappels sur les forces

On sait qu’il y a une ou des forces qui s’exercent sur un objet quand l’objet est déformé ou son mouvement varie ( trajectoire, vitesse)

Une force se mesure en Newton avec un dynamomètre .

Elle a quatre caractéristiques ( point d’application , sens , droite d’action , intensité) qui se résume dans un tableau

Elle se représente sur un schéma par un vecteur.

3°)Moments d'une force

Le moment d’une force par rapport à un point est un nombre ( positif ou négatif ).

Ce moment est la multiplication de la distance du point à la droite d’action par l’intensité de la force. Le moment se mesure en Newton mètre ( N.m)

La droite d’action est la droite qui porte le vecteur

Pour trouver la distance d entre O et la droite D,il faut tracer la droite orthogonale à D passant par O

On choisit un sens de rotation positif.

Lorsque la force fait tourner l’objet autour de l’axe dans le sens de rotation positif, le moment est positif Lorsque la force fait tourner l’objet autour de l’axe dans le sens de rotation négatif, le moment est négatif

II – Principe Fondamentale de la Dynamique

1°) Enoncé du principe fondamentale de la Dynamique

Dans un référentiel galiléen , la formule suivante permet de connaître l’accélération du solide

F1 + F2 + …….. + Fn = m a = md vdt

La somme vectorielle des forces extérieures exercées sur l’objet est égale à la multiplication de la masse par l’accélération vectorielle.

F1 , F2 ,…….. , Fn : Forces exercées sur le solide en Newton (N)

a : Accélération en mètre par seconde au carré (m/s²)

m : Masse en kilogramme (kg)

2°) Etude d'un mouvement

On peut connaître le mouvement d’un objet si on connaît la position initiale , la vitesse initiale et les forces qui s’exercent sur un objet.

La méthode qui permet de connaître le mouvement de l'objet est le suivant:

- Identifier l’objet

- Faire l’inventaire des forces extérieures qui s’exercent sur l’objet

- Ecrire la relation fondamentale de la dynamique

- Choisir un repère et projeter la relation dans ce repère.

- Trouvez la vitesse et la position de l’objet en effectuant les calculs nécessaires

3°) Application :étude d'un objet en chute libre

Objet : La pierre qui tombe

Forces exercées sur la pierre :

Il y a une seule force son poids P car on néglige les frottements de l'air sur la pierre

Relation Fondamentale de la Dynamique :

P=ma

Choix du repère :

On choisit un repère vertical (Oz) dirigé dans le sens du mouvement de la pierre (vers le bas).

Comme P et a sont verticales, on peut et on le même sens, on peut écrire :

P = m×am × g = m×a

g = aEquations du mouvement :

En prenant g = 10 N/kg, on obtient

a ( t ) = 10 v ( t ) = 10 × t + 0 ( la vitesse au départ est nulle)

x ( t ) = 10 × t²2 ( la position au départ est nulle)

4°)Autre application

Inversement en connaissant le mouvement et la masse d'un objet il est possible de connaître les forces qui s'applique sur lui.

Une voiture ( 950 kg) démarre avec un mouvement uniformément accéléré d’accélération 5m/s²Objet : La voiture

Forces exercées sur la voiture :

* son poids P

* les réactions du sol sur les roues R

* la force motrice F

Relation Fondamentale de la Dynamique :

PRF=ma

Choix du repère :

On choisit un repère (Oxy).

Sur l'axe (Oy) , nous avons R – P = 0 (la réaction du sol compense le poids de la voiture

Sur l'axe (Ox) , nous avons: F = m a

D'après l'énoncé , m = 950 kg et a = 5 m/s² d'où

F = 950 × 5 = 4750 N

III – Mouvement de rotation

1°) Généralités sur le mouvement en rotation

Un objet ou solide peut tourner autour d’un axe fixe ( le rotor d’un moteur, la roue d’une voiture , la terre autour de l’axe polaire ,…….. )

Rotor Terre Roue

2°) Moment d'inertie

Quand un solide se met à tourner autour d’un axe fixe, il oppose une résistance à bouger.C’est le moment d’inertie J par rapport à l’axe D qui caractérise cette résistance au mouvement.

Ce moment d’inertie J dépend de la forme de l’objet , de la position par rapport à l’axe de rotation ∆ et de sa masse

Le moment d’inertie J se mesure en kilogramme mètre carré ( kg.m²)

Exemple 1: Cylindre Plein par rapport à son axe

J = M R²

M: Masse en kilogramme (kg)R: Rayon en mètre (m)

Application : Un rotor de rayon 0,30 m et de masse 5 kg a pour moment d'inertie J = 5×(0,30)2 = 0,45 kg.m²

Exemple 2: Shère par rapport à son axe

J = ²R M52

M: Masse en kilogramme (kg)R: Rayon en mètre (m)

Application : Une boule de pétanque de rayon 0,05 m et de masse 0,8kg a pour moment

d'inertie J = 25 ×0,8×(0,05)2 = 0,0008 kg.m²

3°) Relation fondamentale de la rotation d'un solide autour d'un axe

Dans le cas d’un objet qui tourne autour d’un axe fixe, la somme des moments des forces est la multiplication du moment d’inertie par l’accélération angulaire

M 1 + M 2 + …….. + M n = J α

M 1 , M 2 , …….. , M n : Moment des forces exercées sur le solide en Newton mètre ( N.m)

J : Moment d'inertie en kilogramme metre carré ( kg.m²)

α : Accélération en mètre par seconde carré ( m/s²)

4°) Application

En connaisssant l'accélération angulaire, on peut calculer le couple au démarrage du moteur.

Le rotor d'un moteur dont le moment d'inertie vaut 2000 kg.m² subit au démarrage une accélération constante qui permet au moteur de passer de la vitesse nulle à 1500 tours par minute en 10 secondes.

=1500−0×2

6010

=15,7m/ s² ( les tr/mn doivent etre exprimés en rad/s)

On obtient C = 2000 × 15,7 = 31400 N.m

Inversement, il est possible de calculer l'accélération angulaire du moteur si on connait le couple au démarrage du moteur