Cours-Dynamique des Systèmes Mécaniques

ENIM : ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE MONASTIR LGM : LABORATOIRE DE GENIE MECANIQUE

Dynamique des Systèmes

Mécaniques Master systèmes mécaniques

Tarek Hassine

2010-2011

Département de Génie Mécanique de Monastir Tarek Hassine __________________________________________________________________________________

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Sommaire 1 Systèmes Discrets ............................................................................................................................ 4

1.1 Description d'un système discret ............................................................................................. 41.1.1 Les coordonnées généralisées .......................................................................................... 41.1.2 Les contraintes sur un système ........................................................................................ 51.1.3 Coordonnées généralisées indépendantes ........................................................................ 7

2 Le formalisme lagrangien ................................................................................................................ 82.1 Le principe de Hamilton .......................................................................................................... 82.2 Détermination du lagrangien ................................................................................................. 10

2.2.1 Pincipe des travaux virtuels ........................................................................................... 102.2.2 Le principe de d’Alembert ............................................................................................. 122.2.3 Equations de Lagrange de première espèce ................................................................... 122.2.4 Moments conjugués ....................................................................................................... 14

2.3 Le principe de Hamilton pour des liaisons non-holonômes .................................................. 162.3.1 Equations de Lagrange de seconde espèce .................................................................... 17

3 Les systèmes continus ................................................................................................................... 193.1 Introduction ........................................................................................................................... 193.2 Un modèle de chaîne élastique .............................................................................................. 193.3 Formulation lagrangienne pour les systèmes continus .......................................................... 213.4 Rappels de mécanique des milieux continus ......................................................................... 23

3.4.1 Problème mécanique en élasticité linéaire (H.P.P) ........................................................ 233.5 Résolution d'un problème en élasto-dynamique .................................................................... 26

4 Dynamique des poutres droites ..................................................................................................... 294.1 Schématisation d'une poutre .................................................................................................. 294.2 Hypothèses cinématiques de la théorie des poutres (Timoshenko) ....................................... 294.3 Puissance virtuelle de déformation ........................................................................................ 304.4 Hypothèses cinématiques de la théorie des poutres (Bernoulli) ............................................ 364.5 Puissance virtuelle de déformation ........................................................................................ 364.6 Vibrations libres longitudinales (membrane) ........................................................................ 41

4.6.1 Modes propres de vibrations longitudinales .................................................................. 414.7 Vibrations libres transversales (flexion) ................................................................................ 43

4.7.1 Modes propres de vibrations transversales .................................................................... 434.8 Propriétés d'orthogonalité des modes propres ....................................................................... 52

4.8.1 Propriétés d'orthogonalité des modes propres transversaux .......................................... 524.8.2 Propriétés d'orthogonalité des modes propres longitudinaux ........................................ 55

5 Dynamique des plaques minces ..................................................................................................... 585.1 Théorie de flexion des plaques minces .................................................................................. 58

5.1.1 Hypothèses .................................................................................................................... 585.1.2 Champs de déplacement et déformations ...................................................................... 585.1.3 Tenseur de contraintes ................................................................................................... 605.1.4 Application du principe de Hamilton ............................................................................ 61

5.2 Vibrations libres transversales (flexion) ................................................................................ 645.2.1 Plaque rectangulaire ...................................................................................................... 64

5.3 Vibration de membrane (Flexion) ......................................................................................... 665.3.1 Membrane rectangulaire ................................................................................................ 665.3.2 Membrane circulaire ...................................................................................................... 685.3.3 Vibrations libres d'une coque cylindrique en flexion .................................................... 70

6 Dynamique des poutres droites par éléments finis ........................................................................ 726.1 Vibrations libres membranaires ............................................................................................. 73

6.1.1 Elément poutre (Cas 1D) ............................................................................................... 746.2 Vibrations libres transversales (flexion) ................................................................................ 78

6.2.1 Elément poutre (Cas 1D) ............................................................................................... 786.2.2 Calcul avec le logiciel Abaqus ...................................................................................... 82


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1 Systèmes Discrets 1.1 Description d'un système discret 1.1.1 Les coordonnées généralisées

Si on considère qu'on a un système composé de N points (ou particules) dans l'espace de dimension d. Pour décrire la position de ces N points, il nous faut m=d*N coordonnées.

𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑒𝑒1 + 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑒𝑒2 + 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑒𝑒3 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁 , 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑑𝑑 = 3 → 𝑚𝑚 = 3.𝑁𝑁

La description du système ne nécessite pas m coordonnées. On peut avoir des contraintes sur le système qui lient les coordonnées entre elles. Un nombre 𝑛𝑛 ≤ 𝑚𝑚 de coordonnées suffira, en général, pour bien définir le système. Ces nouvelles coordonnées, 𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,𝑛𝑛, sont indépendantes entre elles et leur nombre, n, correspond au degré de liberté du système. On appelle ces coordonnées les coordonnées généralisées indépendantes. La position de chaque point sera décrite de la manière suivante :

𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑖𝑖(𝑞𝑞1, … . , 𝑞𝑞𝑛𝑛 , 𝑡𝑡) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁 Exemple d'un double pendule (d=2):

On a deux particules, N=2, et on travaille en 2D. Donc, on aura m= 2x2=4 coordonnées cartésiennes. 𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑒𝑒1 + 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑒𝑒2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑖𝑖 = 1,2

On a, en plus, deux contraintes: 𝑥𝑥1

2 + 𝑦𝑦12 = 𝑙𝑙12 𝑒𝑒𝑡𝑡 (𝑥𝑥2

2 − 𝑥𝑥12) + (𝑦𝑦2

2 − 𝑦𝑦12) = 𝑙𝑙22

Si on utilise les coordonnées généralisées 𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,2 , on aura :

𝑥1 = 𝑙𝑙1𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑞𝑞1)

𝑙𝑙1𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑞𝑞1) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑥2 = 𝑙𝑙1𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑞𝑞1) + 𝑙𝑙2𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑞𝑞2)

𝑙𝑙1𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑞𝑞1) + 𝑙𝑙2𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑞𝑞2)

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑒𝑒3

𝑂𝑂

x2 xN-1

xN

x1

𝑒𝑒2

𝑒𝑒1

𝑚𝑚1

𝑚𝑚2

𝑙𝑙2

𝑙𝑙1 𝑂𝑂

𝑞𝑞1

𝑞𝑞2


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1.1.2 Les contraintes sur un système

Considérant un système formé de N particules de masse 𝑚𝑚𝑖𝑖 et de positions 𝑥𝑖𝑖 . L'application du principe fondamental de la dynamique (PFD) sur chaque masse 𝑚𝑚𝑖𝑖 , pour décrire son équilibre, nous donne un ensemble d'équations différentielles de type:

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑥𝑖𝑖 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒𝑥𝑥𝑡𝑡 + 𝐹𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡𝑖𝑖≠𝑗𝑗

𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒𝑥𝑥𝑡𝑡 : Force extérieure appliquée par l'extérieur sur la particule i. 𝐹𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡 : Force intérieure appliquée par la particule j sur la particule i. 𝐹𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡 + 𝐹𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡 = 0: Principe d'action réaction. En plus on a des contraintes entre particules : la distance entre particules. Pour le cas précédent du double pendule on a :

𝑥𝑥12 + 𝑦𝑦1

2 = 𝑙𝑙12 𝑒𝑒𝑡𝑡 (𝑥𝑥22 − 𝑥𝑥1

2) + (𝑦𝑦22 − 𝑦𝑦1

2) = 𝑙𝑙22

Les contraintes expriment des conditions que le système doit respecter. On classifiera dans ce qui suit les différentes contraintes possibles.

1.1.2.1 Contraintes holonômes

Un système est soumis à une contrainte holonôme si la contrainte vérifie une équation de la forme suivante :

𝑓𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) = 0

Ce type de contrainte est différentiable en tout point. Si les contraintes sont holonômes, alors on peut exprimer une ou plusieurs coordonnées en fonction des autres.

Les contraintes sont dites scléronômes si elles ne dépendent pas explicitement du temps, rhéonômes dans le cas contraire.

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 𝑙𝑙2 = 0

Pendule simple définissant une contrainte holonôme scléronôme.

𝑥𝑥𝐵𝐵(𝑡𝑡) − 𝑎𝑎. cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) = 0

Ressort excité définissant une contrainte holonôme rhéonôme

Une contrainte différentielle est de la forme :

𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

+ 𝑏𝑏(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0

𝑒𝑒2

𝑒𝑒1 𝑚𝑚

𝑙𝑙

𝑂𝑂

𝑞𝑞

xA

xB(t)

𝑎𝑎. cos(𝜔𝜔𝑡𝑡)


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Une contrainte différentielle est dite intégrable s'il existe une fonction 𝑓𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) telle que :

𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) =𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 ∀𝑖𝑖 = 1, … ,𝑁𝑁 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑏𝑏(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) =

𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡

• Il y a équivalence entre les notions de contrainte holonôme et de contrainte différentielle intégrable.

Remarques :

• Les problèmes holonômes ont toujours (au moins formellement) une solution. Par contre, il n’existe pas de méthode générale pour traiter les problèmes non-holonômes.

• Pour résumer, si on a C=m-n contraintes :

𝑓𝑓𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) = 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑗𝑗 = 1,𝐶𝐶

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

+ 𝑏𝑏𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) =𝜕𝜕𝑓𝑓𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 ∀𝑖𝑖 = 1, … ,𝑁𝑁 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) =

𝜕𝜕𝑓𝑓𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡

1.1.2.2 Contraintes non-holonômes

Une contrainte est non-holonôme si la forme différentielle est non intégrable, soit elle s’exprime par une inégalité, soit elle fait intervenir les vitesses.

Une contrainte est appelée non-holonôme bilatérale si elle de la forme :

𝑓𝑓𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡 = 0

𝑥 = −𝑟𝑟𝜃𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑦 = −𝑟𝑟𝜃𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐 Ou

𝑥 + 𝑟𝑟𝜃𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑦 + 𝑟𝑟𝜃𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐 = 0 Les différentielles des contraintes : 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝜃𝜃 = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐𝑑𝑑𝜃𝜃 = 0

Ces contraintes sont non-holonômes.

Une contrainte est appelée non-holonôme unilatérale si elle de la forme d'une inégalité:

𝑓𝑓𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡 ≥ 0

Une contrainte non-holonôme est dite semi-holonômes si elle de la forme:

𝑓𝑓𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 = 0

Une contrainte semi-holonôme est une contrainte bilatérale scléronôme.

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2 𝑒𝑒3

𝑂𝑂 𝑐𝑐

∆ 𝜃𝜃 𝑟𝑟

𝑀𝑀

𝑽𝑽


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1.1.3 Coordonnées généralisées indépendantes

Soit un système composé de N particules dans l'espace de dimension d. Ce système peut être décrit par m=d*N coordonnées. S'il existe 𝐶𝐶 ≤ 𝑚𝑚 contraintes holonômes𝑓𝑓𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) = 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑗𝑗 = 1,𝐶𝐶, alors on peut décrire le système avec 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 − 𝐶𝐶 coordonnées généralisées indépendantes, ou appelées aussi degrés de liberté : 𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,𝑛𝑛.

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧𝑥1 = 𝑥1(𝑞𝑞1, … . , 𝑞𝑞𝑛𝑛 , 𝑡𝑡)

.

.𝑥𝑁𝑁 = 𝑥𝑁𝑁(𝑞𝑞1, … . , 𝑞𝑞𝑛𝑛 , 𝑡𝑡) 𝑓𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) = 0

.

.𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡) = 0

: Ce système est holonôme à n degrés de liberté;

Les formes différentielles sont alors:

𝜕𝜕𝑓𝑓𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

+𝜕𝜕𝑓𝑓𝑗𝑗 (𝑥1, … , 𝑥𝑁𝑁 , 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑗𝑗 = 1,𝐶𝐶

Remarques :

• Si les contraintes sont non-holonômes, alors on ne peut pas avoir un système de coordonnées généralisées indépendantes.

• Pour traiter un problème non-holonôme, il faudra recourir à la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Exemple d'un disque (roulement sans glissement)

On travaille dans espace de dimension d=2. Les coordonnées généralisées sont 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜃𝜃.

Condition de roulement sans glissement → 𝑥 = 𝑟𝑟𝜃Forme différentielle est → dx = rdθ

L′ intégration entre t et t0 → x(t) − x(t0) = r(θ(t) − θ(t0))

Le problème est donc holonôme à 1 degré de liberté.

.

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝜃𝜃 𝑀𝑀 𝑟𝑟

𝑥𝑥 𝑂𝑂


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2 Le formalisme lagrangien 2.1 Le principe de Hamilton

Soit un système mécanique décrit par des coordonnées généralisées indépendantes :

𝑞𝑞 = (𝑞𝑞1, … . , 𝑞𝑞𝑛𝑛) 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑗𝑗 = 1,𝑛𝑛

Avec les conditions suivantes :

𝑞𝑞(𝑡𝑡1) = 𝑞𝑞(1) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑞𝑞(𝑡𝑡2) = 𝑞𝑞(2)

On considère toutes les trajectoires possibles 𝛾𝛾(𝑡𝑡) passants par 𝑞𝑞(1) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑞𝑞(2) aux instants 𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑡2 :

𝛾𝛾(𝑡𝑡1) = 𝑞𝑞(1) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛾𝛾(𝑡𝑡2) = 𝑞𝑞(2)

Cet ensemble de trajectoires, 𝛾𝛾(𝑡𝑡), est appelé l'ensemble de trajectoires virtuelles.

On définit l'action 𝑆𝑆(𝛾𝛾) par la fonctionnelle :

𝑆𝑆(𝛾𝛾) = 𝐿𝐿(𝛾𝛾(𝑡𝑡), 𝛾(𝑡𝑡), 𝑡𝑡).𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

𝐿𝐿(𝛾𝛾(𝑡𝑡), 𝛾(𝑡𝑡), 𝑡𝑡) : est appelée fonction lagrangienne du système ou le Lagrangien du système. Remarque : On verra plus tard la signification physique de 𝐿𝐿(𝛾𝛾(𝑡𝑡), 𝛾(𝑡𝑡), 𝑡𝑡)

On peut toujours définir :

𝛾𝛾(𝑡𝑡) = 𝑞𝑞(𝑡𝑡) + 𝜆𝜆. 𝜂𝜂(𝑡𝑡) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜂𝜂(𝑡𝑡1) = 𝜂𝜂(𝑡𝑡2) = 0 Avec 𝜆𝜆. 𝜂𝜂(𝑡𝑡): correspond à la déviation du mouvement virtuel 𝛾𝛾(𝑡𝑡) par rapport à mouvement réel 𝑞𝑞(𝑡𝑡).

Enoncé du Principe de Hamilton

Le mouvement réel effectué par le système est celui qui rend l’action 𝑆𝑆(𝛾𝛾) extrémale (extremum absolu).

Remarques :

• Le principe de Hamilton est appelé aussi le principe de "moindre action"; • Chaque système mécanique peut il être caractérisé par une action 𝑆𝑆(𝛾𝛾) ?. Dans le cas positif

quel est le lagrangien correspondant à ce système?

𝑡𝑡

𝑞𝑞

𝑂𝑂 𝑡𝑡2

𝑞𝑞(2)

𝑞𝑞(1)

𝛾𝛾(𝑡𝑡)

𝑞𝑞(𝑡𝑡)

𝑡𝑡1 𝑡𝑡

𝜆𝜆. 𝜂𝜂(𝑡𝑡)


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Théorème :

Soient 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑥𝑥), 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁 des fonctions dérivables, indépendantes et telles que 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑥𝑥) soit bornées en 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 ∀𝑖𝑖. Soit 𝑦𝑦′𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥⁄ . Soit, aussi, la fonctionnelle 𝐼𝐼(𝑦𝑦1, … ,𝑦𝑦𝑁𝑁) dérivable en chacune de ses variables et définie par :

𝐼𝐼(𝑦𝑦1, … ,𝑦𝑦𝑁𝑁) = 𝐹𝐹(𝑦𝑦1(𝑥𝑥), … ,𝑦𝑦𝑁𝑁(𝑥𝑥),𝑦𝑦′1(𝑥𝑥), … ,𝑦𝑦′𝑁𝑁(𝑥𝑥),𝑥𝑥).𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

La condition nécessaire pour que I soit stationnaire est que F satisfasse les équations d'Euler :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑦𝑦′𝑖𝑖

−𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑦𝑦𝑖𝑖

= 0, ∀𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

Remarque :

En remplaçant les variables 𝑥𝑥,𝑦𝑦𝑖𝑖 , 𝑦𝑦′𝑖𝑖 par les variables 𝑡𝑡, 𝑞𝑞𝑖𝑖 , 𝑞𝑖𝑖, on obtient les équations de Euler-Lagrange (ou simplement les équations de Lagrange) :

Soit un système décrit par des coordonnées généralisées indépendantes 𝑞 = (𝑞𝑞1, … . , 𝑞𝑞𝑛𝑛) et leurs dérivées par rapport au temps 𝑞 = (𝑞1, … . , 𝑞𝑛𝑛). Les équations de lagrange sont définies ainsi :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖−𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖= 0, ∀𝑖𝑖 = 1,𝑛𝑛

La condition nécessaire pour que le mouvement 𝑞𝑞(𝑡𝑡) satisfasse le principe de Hamilton est qu'il soit solution des équations d'Euler-Lagrange.

Exemple d'illustration du théorème :

Plus petite distance dans le plan

On cherche à trouver la courbe 𝑦𝑦(𝑥𝑥) qui minimise la distance entre deux points, A et B, du plan.

L'élément infinitésimal de distance est 𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑑𝑑𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑𝑦𝑦2 = 1 + 𝑦𝑦′2𝑑𝑑𝑥𝑥. La grandeur (ou l'action) à minimiser est alors :

𝑆𝑆 = 𝑑𝑑𝑐𝑐𝐵𝐵

𝐴𝐴= 1 + 𝑦𝑦′2𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥𝐵𝐵

𝑥𝑥𝐴𝐴

𝑥𝑥

𝑦𝑦(𝑥𝑥)

𝑂𝑂 𝑥𝑥𝐵𝐵

𝑦𝑦(𝑥𝑥𝐵𝐵)

𝑦𝑦(𝑥𝑥𝐴𝐴)

𝑥𝑥𝐴𝐴

𝐵𝐵

𝐴𝐴

𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦


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Dans ce cas le Lagrangien est 𝐿𝐿(𝑦𝑦′) = 1 + 𝑦𝑦′2 avec la variable x qui joue le rôle du temps t.

Les équations d'Euler-Lagrange nous donnent :


𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑦𝑦′𝑖𝑖

−𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑦𝑦𝑖𝑖

= 0, ∀𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁


𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑦𝑦′)𝜕𝜕𝑦𝑦′

−𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑦𝑦′)𝜕𝜕𝑦𝑦

=0

=𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦′

1 + 𝑦𝑦′2= 0 →

𝑦𝑦′

1 + 𝑦𝑦′2= 𝐾𝐾 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒

𝑦𝑦′2 =𝐾𝐾2

(1 − 𝐾𝐾2) → 𝑦𝑦′ =𝑑𝑑𝑦𝑦(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡 → 𝑎𝑎′𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑐𝑐𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒

2.2 Détermination du lagrangien

Pour l'instant, on a vu l'équation aux dérivées partielles que doit vérifier le mouvement 𝑞𝑞(𝑡𝑡) pour que l'action 𝑆𝑆 soit extrémale. On n'a pas encore déterminé la forme du Lagrangien L.

2.2.1 Pincipe des travaux virtuels

Définition :

Soit un système décrit par N points (ou particules). La position de chaque particule est repérée par sa position dans l'espace de dimension d par : 𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,𝑑𝑑. Ce système doit satisfaire 𝐶𝐶 contraintes holonômes. Donc, on peut le décrire par 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 − 𝐶𝐶 coordonnées généralisées indépendantes 𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 =1,𝑛𝑛. Chaque point du système est alors décrit par :

𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑖𝑖(𝑞, 𝑡𝑡) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑞 = 𝑞(𝑞𝑞1, … . , 𝑞𝑞𝑛𝑛)

On appelle déplacement virtuel compatible avec les liaisons tout déplacement 𝛿𝛿𝑥 que l'on pourrait imposer au système en tenant compte des liaisons telles qu'elles existent à l'instant t :

𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

Explication : Le déplacement virtuel compatible avec les liaisons est différent du déplacement réel du système. Le déplacement virtuel compatible avec les liaisons est un déplacement à temps fixé en tenant compte des liaisons. Le mouvement infinitésimal réel s'écrit sous la forme suivante :

𝑑𝑑𝑥𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑑𝑑𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

+𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑡𝑡, 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

Pour le déplacement virtuel 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0, donc on retrouve l'expression 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 → 𝑑𝑑𝑥𝑖𝑖 ≠ 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 en général.

On dit que le déplacement est virtuel puisque on fait varier les coordonnées des points à temps fixé et donc ce n'est pas la trajectoire réelle du système.

On dit aussi que le déplacement est compatible avec les liaisons car les contraintes sont holonômes ce qui signifie que les contraintes sont implicitement incluses dans l'éxpression des coordonnées 𝑥𝑖𝑖 . Ainsi, toute variation des 𝑥𝑖𝑖 respectera les liaisons définies par les contraintes holonômes.


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Définition :

Soit un système soumis à des contraintes. On peut considérer ce système sans contraintes et on les remplace par des forces de liaisons correspondantes aux forces que l'on devrait appliquer pour remplacer l'effet de ces contraintes. Ces forces de liaisons s'adaptent à tout instant pour que les conditions imposées au système soient satisfaites.

On décompose la résultante des forces 𝐹 en deux parties (ou contributions) :

𝐹 = 𝐹𝑒𝑒 + 𝐹𝑎𝑎

𝐹𝑒𝑒 : représente la résultante des forces extérieures appliquées; 𝐹𝑎𝑎 : représente la résultante des forces dues aux contraintes : les forces de liaisons; Pour un système en équilibre : 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒 + 𝐹𝑖𝑖𝑎𝑎 = 0 , 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

Définition :

On dit que les liaisons 𝐹𝑖𝑖𝑎𝑎 sont parfaites si la somme des travaux virtuels effectués par les forces de liaisons est nulle.

𝐹𝑖𝑖𝑎𝑎𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 0,∀ 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖

Enoncé du principe des travaux virtuels :

Soit un système à l’équilibre soumis à des liaisons parfaites, le principe des travaux virtuels : la somme des travaux des forces appliquées sur un système en équilibre est nulle pour tout déplacement virtuel compatible :

𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 0

Si le système est holonômes à n degrés de liberté alors le principe des travaux virtuels devient :

𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

.𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


𝑄𝑄𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 = 𝑄𝑄𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 = 0

On définit alors les forces généralisées :

𝑄𝑄𝑗𝑗 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


→ 𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝑄𝑄𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 = 0

Les quantités 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 étant indépendantes implique que 𝑄𝑄𝑗𝑗 = 0,∀𝑗𝑗 = 1,𝑛𝑛. Ce qui nous donne un système de n équations pour les n coordonnées 𝑞𝑞𝑗𝑗 . La résolution de ce système nous donne la position d'équilibre du système. Remarque :

On note que 𝑞𝑞𝑗𝑗 n’a pas forcément la dimension d’une longueur et que 𝑄𝑄𝑗𝑗 n’a pas forcément la dimension d’une force.


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2.2.2 Le principe de d’Alembert

Le principe des travaux virtuels est une condition qui caractérise la statique. En dynamique en a :

𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒 + 𝐹𝑖𝑖𝑎𝑎 = 𝑝𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

𝑝𝑖𝑖 : est appelée une impulsion.

Par conséquent, on peut définir pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons 𝛿𝛿𝑥:

𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒 + 𝐹𝑖𝑖𝑎𝑎 − 𝑝𝑖𝑖𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 0

Le principe de d’Alembert dit que, pour des liaisons parfaites, le principe des travaux virtuels reste valable pour la dynamique. C'est une généralisation du principe des travaux virtuels.

𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒 − 𝑝𝑖𝑖𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 0 ∶ 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅′𝑨𝑨𝑨𝑨𝒅𝒅𝑨𝑨𝑨𝑨𝒅𝒅𝑨𝑨𝑬𝑬

Remarque : L'équation de d'Alembert va nous permettre d'établir la forme du lagrangien ainsi que les équations de Lagrange de première espèce.

2.2.3 Equations de Lagrange de première espèce

Soit un système décrit par N points (ou particules). La position de chaque particule est repérée par sa position dans l'espace de dimension d par : 𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,𝑑𝑑. Ce système doit satisfaire 𝐶𝐶 contraintes holonômes. Donc, on peut le décrire par 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 − 𝐶𝐶 coordonnées généralisées indépendantes 𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 =1,𝑛𝑛. On définit les vitesses généralisées par :

𝑞𝑖𝑖 =𝑑𝑑𝑞𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡

Alors on aura :

𝑎𝑖𝑖 =𝑑𝑑𝑥𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑞𝑗𝑗 +𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡

, 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

Le déplacement virtuel à temps fixé est alors :

𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

Puisque les liaisons sont prises parfaites, on notera (ou confondra) dans la suite 𝐹 = 𝐹𝑒𝑒 . L'équation de d'Alembert s'écrit alors :

𝐹𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝑝𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖

A l'aide des coordonnées généralisées on a :

𝐹𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝐹𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 = 𝐹𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


𝑄𝑄𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1


𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗

En posant 𝑝𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑥𝑖𝑖 on aura (en coordonnées cartésiennes):


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𝑝𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑥𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑥𝑖𝑖 .𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


On a bien : 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑥𝑖𝑖 .𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

= 𝑥𝑖𝑖 .𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

+ 𝑥𝑖𝑖 .𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

→ 𝑥𝑖𝑖 .𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡


− 𝑥𝑖𝑖 .𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝑎𝑎 𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝑎𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

=𝜕𝜕𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑘𝑘

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

𝑞𝑘𝑘 +𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡 =

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑘𝑘

𝑞𝑘𝑘𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

+𝜕𝜕𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡

= 𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑘𝑘

𝛿𝛿𝑗𝑗𝑘𝑘

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

+𝜕𝜕𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡

=0

→ 𝜕𝜕𝑎𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

= 𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑘𝑘

𝛿𝛿𝑗𝑗𝑘𝑘

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

=𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑝𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡


− 𝑥𝑖𝑖 .𝜕𝜕𝑎𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 = 𝑚𝑚𝑖𝑖

⎝

⎜⎜⎛𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

⎝

⎜⎜⎛𝑥𝑖𝑖⏟𝑎𝑎 𝑖𝑖

.𝜕𝜕𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗𝜕𝜕𝑎𝑎 𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗 ⎠

⎟⎟⎞− 𝑥𝑖𝑖⏟

𝑎𝑎 𝑖𝑖

.𝜕𝜕𝑎𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

⎠

⎟⎟⎞𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


𝑝𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 =

⎝

⎜⎜⎛𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑎𝑖𝑖 .𝜕𝜕𝑎𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡


12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖

2

− 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑎𝑖𝑖 .𝜕𝜕𝑎𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖

2⎠

⎟⎟⎞𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


𝑝𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 =

⎝

⎜⎛𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡


12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑎𝑖𝑖

2𝑁𝑁

𝑖𝑖=1𝑇𝑇

−𝜕𝜕𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑎𝑖𝑖

2𝑁𝑁

𝑖𝑖=1𝑇𝑇 ⎠

⎟⎞

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1


𝑝𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

−𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1


Avec 𝑇𝑇 = ∑ 12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑎𝑖𝑖

2𝑁𝑁𝑖𝑖=1 : L'énergie cinétique totale.

L'équation de d'Alembert prend la forme suivante :


𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

−𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1


𝑛𝑛

𝑗𝑗=1


Comme les 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 sont indépendantes, donc la relation précédente est vraie pour ∀𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 : 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

−𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

= 𝑄𝑄𝑖𝑖 ,∀𝑖𝑖 = 1,𝑛𝑛

𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑞, 𝑞, 𝑡𝑡 et 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 𝐹𝑗𝑗𝑒𝑒𝑁𝑁

𝑗𝑗=1

.𝜕𝜕𝑥𝑗𝑗𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

Cet ensemble d'équations est aussi appelées équations de Lagrange de première espèce.

Si on suppose que les forces extérieures 𝐹 sont égales à la somme de forces conservatives et forces non-conservatives.

𝐹i = −grad iV(𝑥, t) + F i(𝑥, 𝑥, t)


14

−grad V(𝑥, t): Forces conservatives dérivant d'un potentiel (V: est l'énergie potentielle);

F (𝑥, 𝑥, t): Forces non-conservatives ne dérivant de l'énergie potentielle (par exemple forces de frottement);

−grad iV(𝑥, t) = −𝜕𝜕V(𝑥, t)𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑄𝑄𝑗𝑗 = 𝐹i

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


= −𝜕𝜕V(𝑥, t)𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

+ F i(𝑥, 𝑥, t)𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


𝑄𝑄𝑗𝑗 = −𝜕𝜕V(𝑥, t)𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1



𝑖𝑖=1


𝑄𝑄𝑗𝑗 = −𝜕𝜕V(𝑥, t)𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1


−𝜕𝜕V(𝑞𝑞 ,t)𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗


𝑖𝑖=1


𝑄𝑄𝑗𝑗

Ce qui donne : 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡


−𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

= 𝑄𝑄𝑖𝑖 = −𝜕𝜕V(𝑞, t)𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

+ 𝑄𝑄𝑖𝑖

→ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡


−𝜕𝜕(𝑇𝑇 − 𝑉𝑉)𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

= 𝑄𝑄𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

= 0 → 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕(𝑇𝑇 − 𝑉𝑉)𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

−𝜕𝜕(𝑇𝑇 − 𝑉𝑉)𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

= 𝑄𝑄𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,𝑛𝑛

On définit le Lagrangien L par :

𝐿𝐿𝑞, 𝑞, 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇𝑞, 𝑞, 𝑡𝑡 − 𝑉𝑉(𝑞, 𝑡𝑡) On aura :


𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

−𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

= 𝑄𝑄𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,𝑛𝑛,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑖𝑖 = F j(𝑥, 𝑥, t)𝑁𝑁

𝑗𝑗=1


Pour résumer:

𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝐹𝑖𝑖𝑒𝑒 − 𝑝𝑖𝑖𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

. 𝛿𝛿𝑥𝑖𝑖 = 0 ∶ 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅′𝑨𝑨𝑨𝑨𝒅𝒅𝑨𝑨𝑨𝑨𝒅𝒅𝑨𝑨𝑬𝑬




= 𝑄𝑄𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,𝑛𝑛 ∶ 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳𝑬𝑬𝑳𝑳𝑨𝑨𝑬𝑬𝑬𝑬𝑳𝑳𝒅𝒅 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑔𝑔é𝑛𝑛é𝑟𝑟𝑎𝑎𝑙𝑙)




= 0, ∀𝑖𝑖 = 1,𝑛𝑛 ∶ 𝑷𝑷𝑨𝑨𝑬𝑬𝑬𝑬𝑷𝑷𝑬𝑬𝑷𝑷𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑯𝑯𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 0

2.2.4 Moments conjugués

Soit 𝐿𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡𝑡) le lagrangien du système, alors le moment conjugué 𝑝𝑝𝑖𝑖 à la variable 𝑞𝑞𝑖𝑖 est définit par :

𝑝𝑝𝑖𝑖 =𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

𝑝𝑝𝑖𝑖 : est appelée une impulsion.


15

Si on considère un système constitué de N particules ponctuelles de masse 𝑚𝑚𝑖𝑖 avec un potentiel 𝑉𝑉(𝑞, 𝑡𝑡) on a alors :

𝐿𝐿𝑞, 𝑞, 𝑡𝑡 = 12

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑞𝑖𝑖2 − 𝑉𝑉(𝑞, 𝑡𝑡) → 𝑝𝑝𝑖𝑖 =𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

= 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑞𝑖𝑖

Exemple : Pendule harmonique

Soit un pendule formé d’un ressort harmonique de constante de raideur k et d’une masse m fixée à son extrémité. Le système est soumis à la gravitation, et on impose un mouvement plan. Soit l la longueur au repos du ressort avec la masse, et r(t) son élongation. Dans cet exemple N=1 car on a une seule particule (la masse m).

Les coordonnées généralisées sont : 𝑞𝑞1 = 𝑟𝑟(𝑡𝑡) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑞𝑞2 = 𝜃𝜃(𝑡𝑡)

Le système est conservatif, donc 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 0, i = 1,2

𝑥 = (𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃−(𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝑥 = 𝑎 = (𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝜃𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 + 𝑟𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃(𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝜃𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 − 𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝑇𝑇 =12𝑚𝑚𝑥. 𝑥 =

12𝑚𝑚𝑥2 =

12𝑚𝑚 (𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝜃𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 + 𝑟𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃

2+ (𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝜃𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 − 𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

2

𝑇𝑇 =12𝑚𝑚𝑟2 + (𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)2𝜃2

𝑉𝑉 = −𝑚𝑚𝑔𝑔(𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 +12𝑘𝑘𝑟𝑟2

𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉 =12𝑚𝑚𝑟2 + (𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)2𝜃2+ 𝑚𝑚𝑔𝑔(𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 −

12𝑘𝑘𝑟𝑟2

Les équations de Lagrange donnent :

𝑞𝑞1 = 𝑟𝑟 ∶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑟

−𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑟𝑟

= m𝑟 − 𝑚𝑚(𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝜃2 −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 + 𝑘𝑘𝑟𝑟 = 0

𝑞𝑞2 = 𝜃𝜃 ∶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝜃

−𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝜃𝜃

= 𝑚𝑚(𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)2𝜃 + 2𝑚𝑚(𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝑟𝜃 + 𝑚𝑚𝑔𝑔(𝑙𝑙 + 𝑟𝑟)𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 = 0

Le problème de Stokes

Une partie des forces extérieures ne découlent pas d'un potentiel. C'est les forces non-conservatives. Par exemple les forces de frottement. La modélisation fréquente de ce type de force est qu'est soit proportionnelle à la vitesse.

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑚𝑚

𝑘𝑘

𝑂𝑂

𝜃𝜃 𝑙𝑙 + 𝑟𝑟 𝑔


16

𝐹𝐹𝑗𝑗 = −𝑘𝑘𝑗𝑗𝑎𝑎𝑗𝑗𝛾𝛾 , 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

𝑘𝑘𝑗𝑗 > 0: Coefficient de proportionnalité positif; 𝛾𝛾 : Exposant positif qui définit le régime de frottement. 𝛾𝛾 = 𝛾𝛾(𝑎𝑎) → 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑖𝑖𝑏𝑏𝑙𝑙𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝛾𝛾 = 1;

On rappelle (ou on donne) la fonction de dissipation de Rayleigh R :

𝑅𝑅 =12𝑘𝑘𝑗𝑗𝑎𝑎𝑗𝑗2𝑁𝑁

𝑗𝑗=1

On utilise la forme générale des équations de Lagrange pour traiter le problème de Stokes.

𝐹𝐹𝑗𝑗 = −𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑎𝑎𝑗𝑗

𝑄𝑄𝑖𝑖 = F j

𝑁𝑁

𝑗𝑗=1


= −𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑎𝑎𝑗𝑗

𝑁𝑁

𝑗𝑗=1

.𝜕𝜕𝑥𝑗𝑗𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖𝜕𝜕𝑎𝑎 𝑗𝑗𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

= −𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑎𝑎𝑗𝑗

𝑁𝑁

𝑗𝑗=1

.𝜕𝜕𝑎𝑗𝑗𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

= −𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

𝑄𝑄𝑖𝑖 = −𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

, i = 1, n

Les équations d'Euler-Lagrange deviennent :




+𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

= 0, 𝑖𝑖 = 1,𝑛𝑛

Problème de Stokes : Soit une bille de rayon r se déplaçant sous l'influence de la gravité à une vitesse 𝑎 dans un liquide visqueux homogène isotrope de viscosité 𝜂𝜂. La bille subit une force de frottement :

𝐹 = −6𝜋𝜋𝑟𝑟𝜂𝜂𝑎

Principe d'Archimède masse effective de la bille 𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝑏𝑏𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒 − 𝜌𝜌𝑙𝑙𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑉𝑉 Le Lagrangien : 𝐿𝐿 = 1

2𝑚𝑚𝑧2 + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑧𝑧

Viscosité isotrope : 𝑘𝑘 = 6𝜋𝜋𝑟𝑟𝜂𝜂 > 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑅𝑅 = 12𝑘𝑘𝑧2

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑧

−𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑧𝑧

+𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑧

= 0 → 𝑚𝑚𝑧 + 𝑘𝑘𝑧 = 𝑚𝑚𝑔𝑔 Condition initiale z(0) = v(0) = 0

v(t) = z(t) = v∞1 − et τ⁄

𝑎𝑎∞ =𝑚𝑚𝑔𝑔

6𝜋𝜋𝑟𝑟𝜂𝜂 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜏𝜏 =

𝑎𝑎∞𝑔𝑔

=𝑚𝑚

6𝜋𝜋𝑟𝑟𝜂𝜂

2.3 Le principe de Hamilton pour des liaisons non-holonômes Quand on a des contraintes non-holonômes, on ne peut pas intégrer les formes différentielles et passer des coordonnées dépendantes 𝑥𝑖𝑖 aux 𝑛𝑛 coordonnées généralisées indépendantes 𝑞𝑞𝑖𝑖 . On ne peut pas procéder de la même manière que pour l'établissement des équations de Lagrange de première espèce puisque les déplacements virtuels 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑖𝑖 ne seraient plus indépendants si les contraintes ne sont pas holonômes. Si les contraintes (ou liaisons) sont semi-holonômes un traitement est possible. La méthode de traitement fait appel aux multiplicateurs de Lagrange.

𝑒𝑒𝑧𝑧

𝑭𝑭

𝑨𝑨𝑳𝑳

𝑟𝑟


17

2.3.1 Equations de Lagrange de seconde espèce

Si on a C contraintes semi-holonômes exprimées en fonction de N coordonnées généralisées dépendantes 𝑞𝑞𝑖𝑖 :

𝑓𝑓𝜇𝜇 (𝑞𝑞1, … , 𝑞𝑞𝑁𝑁 , 𝑞1, … , 𝑞𝑁𝑁) = 0, 𝜇𝜇 = 1,𝐶𝐶

Les équations de Lagrange de seconde espèce (Sans démonstrations):




= 𝜙𝜙𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

𝜙𝜙𝑖𝑖 = Λμ 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜇𝜇𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕𝑓𝑓𝜇𝜇𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

−𝑑𝑑Λμ𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑓𝑓𝜇𝜇𝜕𝜕𝑞𝑖𝑖

𝐶𝐶

𝜇𝜇=1

𝑓𝑓𝜇𝜇𝑞, 𝑞 = 0, 𝜇𝜇 = 1,𝐶𝐶

Λμ: Les multiplicateurs de Lagrange.

Remarque importante :

Les équations de Lagrange de seconde espèce peuvent être utiles pour résoudre un problème dont les contraintes sont holonômes. Les raisons sont les suivantes :

1. Il n'est pas pratique ou difficile de trouver les coordonnées généralisées indépendantes; 2. Si on veut calculer les forces de liaisons du système qui correspondent aux quantités 𝜙𝜙𝑖𝑖 ;

Quant on a des contraintes holonômes scléronômes : 𝑓𝑓𝜇𝜇 (𝑞) = 0, 𝜇𝜇 = 1,𝐶𝐶, on aura :

𝜙𝜙𝑖𝑖 = Λμ𝜕𝜕𝑓𝑓𝜇𝜇𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖

𝐶𝐶

𝜇𝜇=1

, 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

Exemple: pendule simple oscillant dans le plan

On prend deux coordonnées généralisées pour définir la position de la masse m.

𝑞 = 𝑟𝑟,𝜃𝜃 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒 ℎ𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐𝑛𝑛ô𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑙𝑙é𝑟𝑟𝑐𝑐𝑛𝑛ô𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑓𝑓(𝑟𝑟) = 𝑟𝑟 − 𝑙𝑙 = 0

1. Equations de Lagrange de première espèce. Si on utilise la contrainte 𝑓𝑓(𝑟𝑟) on aura un problème holonôme à 1 degré de liberté 𝜃𝜃.

𝑇𝑇 =12𝑚𝑚𝑙𝑙2𝜃2 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑉𝑉 = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 → 𝐿𝐿𝜃𝜃, 𝜃 = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉 =

12𝑚𝑚𝑙𝑙2𝜃2 + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝑔

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑚𝑚

𝑂𝑂

𝜃𝜃 𝑟𝑟 = 𝑙𝑙


18

L'équation de Lagrange de première espèce donne :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝜃


= 0,→ 𝑚𝑚𝑙𝑙2𝜃 + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 = 0

2. Equations de Lagrange de seconde espèce. 𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜃𝜃 sont utilisées comme contraintes généralisées. Elles sont soumises à la contrainte 𝑓𝑓(𝑟𝑟) = 𝑟𝑟 − 𝑙𝑙 = 0.

𝑇𝑇 =12𝑚𝑚𝑟𝑟2𝜃2 +

12𝑚𝑚𝑟2 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑉𝑉 = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 → 𝐿𝐿𝑟𝑟,𝜃𝜃, 𝑟, 𝜃 = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉 =

12𝑚𝑚𝑟𝑟2𝜃2 +

12𝑚𝑚𝑟2 + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜙𝜙𝑟𝑟 = Λ𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑟𝑟

= Λ et 𝜙𝜙𝜃𝜃 = Λ𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜃𝜃

= 0 Les équations de Lagrange de seconde espèce donnent :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑟

−𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑟𝑟

= Λ

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝜃


= 0

𝑚𝑚𝑟 − 𝑚𝑚𝑟𝑟𝜃2 −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = Λ

𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑟𝑟2𝜃+ 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 = 0

Si on utilise la contrainte 𝑟𝑟 = 𝑙𝑙 → 𝑟 = 𝑟 = 0 on aura :

Λ = −𝑚𝑚𝑙𝑙𝜃2 −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑚𝑚𝑙𝑙2𝜃 + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 = 0

𝑔

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑚𝑚

𝑂𝑂

𝜃𝜃 𝑙𝑙

𝑚𝑚𝑔 𝜃𝜃 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝑚𝑚𝑙𝑙𝜃2

−𝚲𝚲


19

3 Les systèmes continus 3.1 Introduction

Pour les systèmes discrets, on considère les éléments de masse, de rigidité et d’amortissement sont distincts. Dans le cas des systèmes continus, tels que les cordes, les poutres, les membranes et les plaques, ces trois propriétés sont confondues dans l’espace. Elles font partie du matériau et sont indissociables l’une de l’autre. Le système continu peut être considéré comme un système possédant une infinité de degrés de liberté. Il possède donc une multitude de fréquences naturelles.

Jusqu'à maintenant, nous avons traité que la dynamique de systèmes discrets composés de N particules rigides et non déformables 𝑚𝑚𝑖𝑖 . Dans ce qui suit, on s'intéressera aux systèmes constitués d'un grand nombre de particules interagissant fortement appelés les systèmes continus : les solides ou les fluides.

Ce qui nous intéresse, pour les systèmes continus, est la description macroscopique de l'état du système plutôt que la dynamique de chacun de ses constituants. La physique de tels systèmes sera décrite en termes de champs continues 𝑞𝑞(𝑥, 𝑡𝑡) 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑜𝑜 (𝑥, 𝑡𝑡) (scalaires, vectoriels ou tensoriels).

3.2 Un modèle de chaîne élastique

On utilisera, dans cette partie, le modèle de chaîne continue pour montrer quels sont les concepts qu'il faut introduire pour décrire la mécanique d'un milieu continu.

Soit une chaîne unidimensionnelle (1D) composée de masses ponctuelles reliées par des ressorts harmoniques.

On considère (𝑁𝑁 + 2) particules de masse m reliées par des ressorts harmoniques de constante de raideur k et de longueur au repos a. On considère 𝑥𝑥𝑖𝑖0 la position à l'équilibre de la particule i et 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡) sa position à l'instant t. On note le déplacement de la particule 𝑞𝑞𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡) − 𝑥𝑥𝑖𝑖0. La chaîne est supposée fixée aux extrémités 𝑞𝑞0(𝑡𝑡) = 𝑞𝑞𝑁𝑁+1(𝑡𝑡) = 0

Les déplacements 𝑞𝑞𝑖𝑖(𝑡𝑡) sont pris petits par rapport à a. L’énergie cinétique du système est alors :

𝑇𝑇 =12𝑚𝑚𝑞𝑖𝑖2(𝑡𝑡)

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

L'allongement de chaque ressort :

a

𝑞𝑞𝑖𝑖−1 𝑞𝑞𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑖𝑖+1

𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝑨𝑨 à l'équilibre

hors l'équilibre

k k k k

0 1 2 N-1 N N+1


20

Δ𝑙𝑙𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖+1(𝑡𝑡) − 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑙𝑙𝑖𝑖(𝑡𝑡)

− 𝑥𝑥𝑖𝑖+10 − 𝑥𝑥𝑖𝑖0𝑙𝑙0=𝑎𝑎

= 𝑥𝑥𝑖𝑖+1(𝑡𝑡) − 𝑥𝑥𝑖𝑖+10 − 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡) − 𝑥𝑥𝑖𝑖0 = 𝑞𝑞𝑖𝑖+1(𝑡𝑡) − 𝑞𝑞𝑖𝑖(𝑡𝑡)

L’énergie potentielle du système est alors :

𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=0

= 12𝑘𝑘𝑞𝑞𝑖𝑖+1(𝑡𝑡)− 𝑞𝑞𝑖𝑖(𝑡𝑡)

2𝑁𝑁

𝑖𝑖=0

Le Lagrangien du système est alors:

𝐿𝐿(𝑞𝑞, 𝑞) = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉 =12𝑚𝑚𝑞𝑖𝑖2

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

−12𝑘𝑘(𝑞𝑞𝑖𝑖+1 − 𝑞𝑞𝑖𝑖)2

𝑁𝑁

𝑖𝑖=0

Les équations de Lagrange s'écrivent donc :


𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

−𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

= 0, 𝑗𝑗 = 1,𝑁𝑁


𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑞𝑗𝑗

= 𝑚𝑚𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

= −𝑘𝑘𝑞𝑞𝑗𝑗+1 − 𝑞𝑞𝑗𝑗 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

(𝑞𝑞𝑖𝑖+1 − 𝑞𝑞𝑖𝑖)

𝛿𝛿𝑗𝑗 ,𝑖𝑖+1−𝛿𝛿𝑗𝑗 ,𝑖𝑖

𝑁𝑁

𝑖𝑖=0

= −𝑘𝑘𝑞𝑞𝑗𝑗 − 𝑞𝑞𝑗𝑗−1 + 𝑘𝑘𝑞𝑞𝑗𝑗+1 − 𝑞𝑞𝑗𝑗

𝜕𝜕𝐿𝐿𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗

= 𝑘𝑘𝑞𝑞𝑗𝑗−1 − 2𝑞𝑞𝑗𝑗 + 𝑞𝑞𝑗𝑗+1

𝑚𝑚𝑞𝑖𝑖 − 𝑘𝑘(𝑞𝑞𝑖𝑖−1 − 2𝑞𝑞𝑖𝑖 + 𝑞𝑞𝑖𝑖+1) = 0, 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

Pour passer du modèle de la chaîne à un système continu, on a besoin de définir des limites macroscopiques. Pour se ramener à l'espace (3D) on définit une surface de la chaîne :

• La distance de séparation des particules soit suffisamment faible a petit. • La densité de masse par unité de volume 𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑆𝑆⁄ doit tendre vers ρ la masse volumique.

𝜌𝜌 = lim𝑚𝑚→0𝑎𝑎→0

𝑚𝑚𝑎𝑎𝑆𝑆

• Le module d'élasticité E (loi de Hooke) correspond à :

𝐸𝐸 = lim𝑘𝑘→∞𝑎𝑎→0

𝑘𝑘𝑎𝑎𝑆𝑆

Si on divise Les équations de Lagrange par 𝑎𝑎𝑆𝑆 on aura : 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑆𝑆

𝑞𝑖𝑖 −𝑘𝑘𝑎𝑎𝑆𝑆

(𝑞𝑞𝑖𝑖−1 − 2𝑞𝑞𝑖𝑖 + 𝑞𝑞𝑖𝑖+1)𝑎𝑎2 = 0, 𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁

On définit le champ de déplacement continu 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = lim𝑎𝑎→0 𝑞𝑞𝑖𝑖 on a enfin :

0 1 2 N-1 N N+1 S


21

lim𝑎𝑎→0𝑚𝑚→0𝑘𝑘→∞

𝑚𝑚𝑎𝑎𝑆𝑆

𝑞𝑖𝑖 −𝑘𝑘𝑎𝑎𝑆𝑆

(𝑞𝑞𝑖𝑖−1 − 2𝑞𝑞𝑖𝑖 + 𝑞𝑞𝑖𝑖+1)𝑎𝑎2 = 𝜌𝜌

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝐸𝐸𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 0

𝜌𝜌𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝐸𝐸𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 0

Si on introduit le paramètre 𝑜𝑜 = 𝐸𝐸𝜌𝜌 : vitesse. L'équation précédente devient :

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑜𝑜2 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 0 → 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒅𝒅′𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝒅𝒅

Cette équation d'onde peut être généralisée en trois dimensions (3D) :

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑜𝑜2Δ𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 0

Δ𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡): le Laplacien de 𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡);Δ𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑦𝑦2 𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑧𝑧2 𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑞,𝑖𝑖𝑖𝑖

Il est possible de développer une formulation lagrangienne pour les systèmes continus.

𝐿𝐿 = ℒ𝑞, 𝑞, 𝑞,𝑥𝑥 , 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑡𝑡 é 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑔𝑔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑔𝑔𝑖𝑖𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑥𝑥

Pour le cas (1D): ℒ = 12𝜌𝜌 𝜕𝜕𝑞𝑞

𝜕𝜕𝑡𝑡

2− 1

2𝜌𝜌𝑜𝑜2 𝜕𝜕𝑞𝑞

𝜕𝜕𝑥𝑥

2

3.3 Formulation lagrangienne pour les systèmes continus

On va essayer dans cette section de montrer que le formalisme lagrangien se transpose naturellement à un système continu.

On considère un système à une dimension. On a bien la densité lagrangienne ℒ𝑞𝑞, 𝑞,𝑞𝑞,𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 qui dépend des dérivées temporelles, des dérivées spatiales de plus elle dépend de 𝑥𝑥 et du temps t qui jouent un rôle équivalent.

ℒ = ℒ𝑞𝑞, 𝑞,𝑞𝑞,𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 : Densité lagrangienne du système.

Pour obtenir le Lagrangien on intègre la densité lagrangienne sur l'ensemble des positions x du système. La forme généralisée du principe de Hamilton pour un système continu est :

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿 ℒ𝑞𝑞, 𝑞, 𝑞𝑞,𝑥𝑥 , 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0

On procéde à un calcul en choisissant un champ virtuel :

𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡, 𝜆𝜆) = 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝜆𝜆𝜂𝜂(𝑥𝑥, 𝑡𝑡), 𝜆𝜆 ∈ ℝ

𝜂𝜂(𝑥𝑥, 𝑡𝑡): Une perturbation régulière; 𝜆𝜆: Un paramètre continu qui caractérise l'amplitude de la perturbation; On a comme condtions sur la perturbation :


22

𝜂𝜂(𝑥𝑥, 𝑡𝑡1) = 𝜂𝜂(𝑥𝑥, 𝑡𝑡2) = 0 ∀𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜂𝜂(𝑥𝑥1, 𝑡𝑡) = 𝜂𝜂(𝑥𝑥2, 𝑡𝑡) = 0 ∀𝑡𝑡

Les extrémums de l'action I sont données par :

𝑑𝑑𝐼𝐼𝑑𝑑𝜆𝜆𝜆𝜆=0

= 0

Ce qui donnne: 𝑑𝑑𝐼𝐼𝑑𝑑𝜆𝜆

= 𝑑𝑑ℒ𝑑𝑑𝜆𝜆

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2

𝑥𝑥1


𝑡𝑡1

𝑑𝑑𝐼𝐼𝑑𝑑𝜆𝜆

= 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞

𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝜆𝜆

+𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞

𝜕𝜕𝑞𝜕𝜕𝜆𝜆

+𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞,𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑞𝑞,𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2

𝑥𝑥1


𝑡𝑡1

Les domaines et le Lagrangien étant bornés, on peut échanger l'ordre des intégrations sur x et t.


= 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞



𝑡𝑡1


𝑥𝑥1

+ 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞



𝑡𝑡1


𝑥𝑥1

+ 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞,𝑥𝑥


𝜕𝜕𝜆𝜆𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2

𝑥𝑥1


𝑡𝑡1

Si on procéde à un calcul par parties :

𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞



𝑡𝑡1

= 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞

𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝜆𝜆𝜂𝜂

𝑡𝑡1

𝑡𝑡2

=0

−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝜆𝜆


𝑡𝑡1

= −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝜆𝜆


𝑡𝑡1

𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞,𝑥𝑥


𝜕𝜕𝜆𝜆𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

= 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞,𝑥𝑥


𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

=0

−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥




𝑥𝑥1

= −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥




𝑥𝑥1

Enfin on aura : 𝑑𝑑𝐼𝐼𝑑𝑑𝜆𝜆

= 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞



𝑡𝑡1


𝑥𝑥1

− 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝜆𝜆


𝑡𝑡1


𝑥𝑥1

− 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥




𝑥𝑥1


𝑡𝑡1


= 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞

−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞 −




𝑑𝑑𝑥𝑥.𝑑𝑑𝑡𝑡𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

𝑑𝑑𝐼𝐼𝑑𝑑𝜆𝜆𝜆𝜆=0

= 𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞

−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞 −




𝜆𝜆=0

𝑑𝑑𝑥𝑥.𝑑𝑑𝑡𝑡𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0

Cette dernière relation est vraie quelque soit la perturbation, donc on aura les équations de Lagrange pour un système continu :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞 +



−𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞

= 0

Pour le cas (1D): ℒ = 12𝜌𝜌(𝑞)2 − 1

2𝜌𝜌𝑜𝑜2𝑞𝑞,𝑥𝑥

2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞 = 𝜌𝜌𝑞,



= −𝜌𝜌𝑜𝑜2𝑞𝑞,𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝜕𝜕ℒ𝜕𝜕𝑞𝑞

= 0 → 𝑞 − 𝑜𝑜2𝑞𝑞,𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 → é𝑞𝑞𝑜𝑜𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑑𝑑′𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒


23

3.4 Rappels de mécanique des milieux continus 3.4.1 Problème mécanique en élasticité linéaire (H.P.P)

On considère un solide élastique S occupant un domaine Ω de frontière 𝜕𝜕Ω.

Ce solide est soumis à :

• Chargement mécanique : 1. Des actions à distances 𝑓𝑓(𝑥, 𝑡𝑡) : une densité massique de force; 2. Les actions de contact 𝜎𝜎𝑑𝑑 : densité surfacique de force appliquée par l'extérieur sur le

domaine Ω à travers sa frontière δΩf; (𝜎𝜎𝑑𝑑 = 𝝈𝝈.𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟 𝜕𝜕Ωf) 3. Les conditions cinématiques, en déplacement 𝑜𝑜𝑑𝑑 ou vitesse 𝑜𝑑𝑑 , imposées sur une

partie de la frontière 𝜕𝜕Ωu; 𝑜𝑑𝑑 = 𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑑𝑑 = 𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟 𝜕𝜕Ωu

𝝈𝝈: Tenseur des contraintes de Cauchy.

3.4.1.1 Principe de Hamilton

Pour aboutir à la formulation locale (équations de mouvement) on a besoin de rappeler quelques notions de la mécanique des milieux continus sous l'hypothèse de petites perturbations (H.P.P).

• Principe fondamental de la dynamique PFD:

Le principe fondamental de la dynamique exprime la conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétique.

𝑑𝑑ℂ𝑑𝑑𝑡𝑡

= ℱ𝑒𝑒𝑥𝑥𝑡𝑡

"Il existe un référentiel (𝑂𝑂, 𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3) (dit galiléen) tel que, pour tout système matériel, la dérivée particulaire du torseur cinétique est égale au torseur des efforts extérieurs appliqués au système".

Le torseur des efforts extérieurs sur tout le domaine 𝛺𝛺 est:

ℱ𝑒𝑒𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑂𝑂 =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

𝜌𝜌𝑓𝑓𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝜎𝜎𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

𝜌𝜌𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝜎𝜎𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf ⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎫

𝑂𝑂

𝝈𝝈𝒅𝒅 Ω

𝜕𝜕Ω 𝑓𝑓

𝜕𝜕Ωf

𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑐𝑐

𝜕𝜕Ωu 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝒅𝒅


24

ℂ𝑂𝑂:

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

𝜌𝜌𝑜 (𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

𝜌𝜌𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝑜 (𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑉𝑉Ω ⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎫

𝑂𝑂

La puissance des efforts extérieurs est 𝑃𝑃𝑚𝑚 :

𝑃𝑃𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝑓𝑓. 𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝜎𝜎𝑑𝑑 . 𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf


= ℱ𝑒𝑒𝑥𝑥𝑡𝑡 →

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑜 (𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

= 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑑𝑑𝑉𝑉Ω


𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝑜 (𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

= 𝜌𝜌𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝜎𝜎𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf


= ℱ𝑒𝑒𝑥𝑥𝑡𝑡 →

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

𝜌𝜌𝑑𝑑𝑜 (𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑜 (𝑥𝑥 ,𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

= 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑑𝑑𝑉𝑉Ω


𝜌𝜌𝑑𝑑𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝑜 (𝑥, 𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑉𝑉

Ω

= 𝜌𝜌𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝑂𝑂𝑀𝑀 ∧ 𝜎𝜎𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

𝜎𝜎𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

= 𝝈𝝈.𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

=⏟𝑇𝑇ℎé𝑐𝑐𝑟𝑟è𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑟𝑟𝑔𝑔𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 (𝝈𝝈)𝑑𝑑𝑉𝑉𝜕𝜕Ω

La résultante des forces donne : ∫ 𝜌𝜌𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω = ∫ 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑑𝑑𝑉𝑉Ω + ∫ 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 (𝝈𝝈)𝑑𝑑𝑉𝑉𝜕𝜕Ω

𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 (𝝈𝝈) + 𝜌𝜌𝑓𝑓 − 𝜌𝜌𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 0Ω

Le domaine Ω pouvant être quelconque, donc on a:

𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 (𝝈𝝈) + 𝜌𝜌𝑓𝑓 = 𝜌𝜌𝑜 → 𝒇𝒇𝑬𝑬𝑨𝑨𝑨𝑨𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑨𝑨𝑬𝑬𝑷𝑷𝑬𝑬𝑨𝑨𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑬𝑬 𝑷𝑷𝑭𝑭𝑷𝑷

On peut appliquer aussi le principe de Hamilton sur un corps élastique, on définie:

𝑇𝑇 =12 𝜌𝜌𝑜 . 𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

:𝐸𝐸𝑛𝑛𝑒𝑒𝑟𝑟𝑔𝑔𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛é𝑡𝑡𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒

𝑉𝑉 = 𝝈𝝈: 𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

𝑈𝑈: é𝑛𝑛𝑒𝑒𝑟𝑟𝑔𝑔𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑é𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛

− 𝜌𝜌𝑓𝑓.𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝜎𝜎𝑑𝑑 .𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

𝛿𝛿: 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐

:𝐸𝐸𝑛𝑛𝑒𝑒𝑟𝑟𝑔𝑔𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒

On nomme le Lagrangien:

𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉 =12 𝜌𝜌𝑜 . 𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

− 𝝈𝝈: 𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝜌𝜌𝑓𝑓.𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω



25

La forme généralisée du principe de Hamilton pour un système continu est :

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 𝛿𝛿 12 𝜌𝜌𝑜 . 𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

− 𝝈𝝈: 𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝜌𝜌𝑓𝑓.𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω



𝑡𝑡1

= 0

Les conditions sur la perturbation : 𝛿𝛿𝑜𝑜 (𝑡𝑡1) = 𝛿𝛿𝑜𝑜 (𝑡𝑡2) = 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝜌𝜌𝛿𝛿 12𝑜 . 𝑜

𝑜 .𝛿𝛿𝑜

𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

− 𝝈𝝈:𝛿𝛿𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝜌𝜌𝑓𝑓.𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ 𝜎𝜎𝑑𝑑 .𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf


𝑡𝑡1

= 0

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 → 𝜌𝜌𝑜 . 𝛿𝛿𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

= 𝜌𝜌𝑜 . 𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑡𝑡1

𝑡𝑡2

=0

− 𝜌𝜌𝑜 . 𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

𝛿𝛿𝐼𝐼 = − 𝜌𝜌𝑜 . 𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

− 𝝈𝝈:𝛿𝛿𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω




𝑡𝑡1

= 0

𝝈𝝈:𝛿𝛿𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

= 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑖𝑖 ,𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

= 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑖𝑖,𝑗𝑗− 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 ,𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑉𝑉

Ω

= 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑑𝑑𝑉𝑉

Ω

− 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 ,𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑖𝑖𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑑𝑑𝑉𝑉

Ω

=⏟Ostrogradsky

𝝈𝝈.𝑛𝑛 .𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

𝝈𝝈:𝛿𝛿𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

= 𝝈𝝈.𝑛𝑛 .𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

− 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 𝝈𝝈. 𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

𝛿𝛿𝐼𝐼 = − 𝜌𝜌𝑜 . 𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

− 𝝈𝝈.𝑛𝑛 .𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

+ 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 𝝈𝝈.𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω




𝑡𝑡1

= 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 𝝈𝝈 + 𝜌𝜌𝑓𝑓 − 𝜌𝜌𝑜 . 𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

+ (𝜎𝜎𝑑𝑑 − 𝝈𝝈.𝑛𝑛 ).𝛿𝛿𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf


𝑡𝑡1

= 0

∀𝛿𝛿𝑜𝑜 → 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 𝝈𝝈 + 𝜌𝜌𝑓𝑓 = 𝜌𝜌𝑜 → 𝒇𝒇𝑬𝑬𝑨𝑨𝑨𝑨𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑨𝑨𝑬𝑬𝑷𝑷𝑬𝑬𝑨𝑨𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑬𝑬 𝑷𝑷𝑭𝑭𝑷𝑷𝜎𝜎𝑑𝑑 = 𝝈𝝈.𝑛𝑛 → 𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒂𝒂 𝑨𝑨𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬𝒅𝒅𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑨𝑨 𝝏𝝏𝛀𝛀𝐟𝐟

3.4.1.2 Lois de comportement (élasticité linéaire)

On rappelle les équations physiques : Principe de conservation de la masse PCM : 𝜌 + 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎𝑜 = 0 Principe fondamental de la dynamique PFD : 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 (𝝈𝝈) + 𝜌𝜌𝑓𝑓 = 𝜌𝜌. 𝑜 𝜌𝜌 ∶ 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑙𝑙𝑜𝑜𝑚𝑚𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑜 :𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑓𝑓:𝑑𝑑𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑡𝑡é 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 𝝈𝝈 ∶ 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎ℎ𝑦𝑦 𝑷𝑷 ∶ 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑜𝑜𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑é𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐


26

Loi d'élasticité linéaire pour un matériau homogène isotrope (cas isotherme) : Loi de Hooke: 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 = 2𝜇𝜇. 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗 + 𝜆𝜆. 𝑡𝑡𝑟𝑟(𝝐𝝐). 𝕝𝕝 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗 = 1+𝜈𝜈

𝐸𝐸𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 −

𝜈𝜈𝐸𝐸𝑡𝑡𝑟𝑟(𝝈𝝈). 𝕝𝕝

µ et λ : les coefficients de Lamé E, ν : Module d'élasticité d'Young et coefficient de Poisson 3K : module de rigidité à la compression

3𝐾𝐾 = 3𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇 = 𝐸𝐸1−2𝜈𝜈

et 𝜆𝜆 = 𝜈𝜈𝐸𝐸(1+𝜈𝜈)(1−2𝜈𝜈) , 𝜇𝜇 = 𝐸𝐸

2(1+𝜈𝜈) = 𝐺𝐺 • Equation de Navier-Lamé (PFD+Loi de Hooke):

(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝛻𝛻 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑜𝑜 ) + 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑜𝑜 + 𝜌𝜌𝑓𝑓 = 𝜌𝜌𝑜 Ou

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝛻𝛻 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑜𝑜 ) − 𝜇𝜇𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑜𝑜 + 𝜌𝜌𝑓𝑓 = 𝜌𝜌𝑜

3.5 Résolution d'un problème en élasto-dynamique

Pour résoudre un problème dynamique, avec l'hypothèse H.P.P et pour un solide incompressible (ρ=Cste) constitué d'un matériau dont le comportement est élastique isotrope, il faut respecter :

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎 (𝝈𝝈) + 𝜌𝜌.𝑓𝑓 = 𝜌𝜌𝑜

𝝈𝝈 = 2𝜇𝜇𝜺𝜺 + 𝜆𝜆. 𝑡𝑡𝑟𝑟(𝜺𝜺). 𝕝𝕝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜺𝜺 = 12𝛻𝛻 𝑜𝑜 + 𝛻𝛻 𝑇𝑇𝑜𝑜

𝜎𝜎𝑑𝑑 = 𝝈𝝈.𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟 𝛿𝛿Ωf

𝑜𝑑𝑑 = 𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑑𝑑 = 𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟 𝛿𝛿Ωu

𝑜𝑜 (𝑥𝑥, 0) = 𝑜𝑜 0(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜 (𝑥𝑥, 0) = 𝑜0 (𝑥𝑥) à 𝑡𝑡 = 0

𝑐𝑐𝑜𝑜

⎩⎪⎨

⎪⎧ (𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝛻𝛻 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑜𝑜 ) + 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑜𝑜 + 𝜌𝜌𝑓𝑓 = 𝜌𝜌𝑜

𝜎𝜎𝑑𝑑 = 𝝈𝝈.𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟 𝛿𝛿Ωf

𝑜𝑑𝑑 = 𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑑𝑑 = 𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟 𝛿𝛿Ωu

𝑜𝑜 (𝑥𝑥, 0) = 𝑜𝑜 0(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜 (𝑥𝑥, 0) = 𝑜0 (𝑥𝑥) à 𝑡𝑡 = 0

𝑜𝑜 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑜𝑜1(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2,𝑥𝑥3, 𝑡𝑡)𝑜𝑜2(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, 𝑡𝑡)𝑜𝑜3(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, 𝑡𝑡)

?

On décompose le champ de déplacement en un champ irrotationnel et un champ de divergence nulle :

𝑜𝑜 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑜𝑜 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝑜𝑜 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡(𝑜𝑜 𝐿𝐿) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑜𝑜 𝑇𝑇) = 0

𝑜𝑜 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) : Champ de déplacement correspondant aux ondes longitudinales.

C'est un mouvement alternatif de traction et compression. Ce mouvement est parallèle à la direction de propagation.

𝑜𝑜 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) : Champ de déplacement correspondant aux ondes transversales

C'est un mouvement alternatif de cisaillement. Ce mouvement est perpendiculaire à la direction de propagation. On n'aura aucun changement de volume.

x1 x2

x3

x1 x2

x3

Direction de propagation Direction de propagation

Mouvement des particules (Ondes longitudinales)

Mouvement des particules (Ondes transversales)


27

Exemple : vibrations libres d'une sphère pleine

On se propose de résoudre le problème de vibrations libres radiales d'une sphère pleine de rayon R. On suppose que le champ de déplacements est purement radial 𝑜𝑜(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) qui vérifie l'équation de Navier-Lamé et ne tiendra pas compte des forces volumiques:

(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝛻𝛻 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑜𝑜 ) + 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑜𝑜 = 𝜌𝜌𝑜 ≡ (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝛻𝛻 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑜𝑜 ) − 𝜇𝜇𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑜𝑜 = 𝜌𝜌𝑜

On suppose que, en coordonnées sphériques (𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜙𝜙), 𝑜𝑜 s'écrit sous la forme suivante:

𝑜𝑜 = 𝑜𝑜(𝑟𝑟, 𝑡𝑡)𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝑜𝑜(𝑟𝑟, 𝑡𝑡)

00

On aura :

𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑉𝑉 =

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑉𝑉𝜙𝜙 ,𝜃𝜃

𝑟𝑟−

𝑉𝑉𝜃𝜃 ,𝜙𝜙

𝑟𝑟𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃+𝑉𝑉𝜙𝜙𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔𝜃𝜃

𝑟𝑟𝑉𝑉𝑟𝑟,𝜙𝜙

𝑟𝑟𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃− 𝑉𝑉𝜙𝜙 ,𝑟𝑟 −

𝑉𝑉𝜙𝜙𝑟𝑟

(𝑟𝑟𝑉𝑉𝜃𝜃),𝑟𝑟 − 𝑉𝑉𝑟𝑟 ,𝜃𝜃

𝑟𝑟 ⎭⎪⎬

⎪⎫

→ 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑜𝑜 = 0 → (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝛻𝛻 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑜𝑜 ) = 𝜌𝜌𝑜

On cherchera le champ 𝑜𝑜 sous forme d'un gradient :

𝑜𝑜 = 𝛻𝛻 𝜓𝜓 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎𝛻𝛻 = Δ → (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝛻𝛻 Δ𝜓𝜓 = 𝜌𝜌𝛻𝛻 𝜓 → (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)

𝜌𝜌Δ𝜓𝜓 = 𝜓

On pose 𝑎𝑎2 = (𝜆𝜆+2𝜇𝜇)𝜌𝜌

on aura :

Δ𝜓𝜓 −1𝑎𝑎2 𝜓 = 0 → é𝑞𝑞𝑜𝑜𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐 é𝑙𝑙𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒𝑐𝑐

ΔF = 𝐹𝐹,𝑟𝑟𝑟𝑟 +𝐹𝐹,𝜃𝜃𝜃𝜃

𝑟𝑟2 +𝐹𝐹,𝜙𝜙𝜙𝜙

𝑟𝑟2𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃+

2𝐹𝐹,𝑟𝑟

𝑟𝑟+𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝐹𝐹,𝜃𝜃

𝑟𝑟2𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃→ Δ𝜓𝜓 = 𝜓𝜓,𝑟𝑟𝑟𝑟 +

2𝜓𝜓,𝑟𝑟

𝑟𝑟

→ 𝜓𝜓,𝑟𝑟𝑟𝑟 +2𝜓𝜓,𝑟𝑟

𝑟𝑟−

1𝑎𝑎2 𝜓 = 0

𝜓𝜓(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝐹𝐹(𝑟𝑟).𝐺𝐺(𝑡𝑡) 𝑑𝑑é𝑎𝑎𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝𝑙𝑙𝑎𝑎𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑚𝑚𝑝𝑝𝑐𝑐 − 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒

→ G.𝐹𝐹,𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝐺𝐺.2𝐹𝐹,𝑟𝑟

𝑟𝑟− 𝐹𝐹

1𝑎𝑎2 𝐺 = 0

𝑎𝑎2𝐹𝐹,𝑟𝑟𝑟𝑟 +

2𝐹𝐹,𝑟𝑟𝑟𝑟

𝐹𝐹=𝐺𝐺𝐺

= −𝜔𝜔2 = 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒

→ 𝐺 + 𝜔𝜔2𝐺𝐺 = 0 → 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐺𝐺(𝑡𝑡) = 𝐺𝐺𝑎𝑎 . 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑐𝑐)

𝐹𝐹,𝑟𝑟𝑟𝑟 +2𝐹𝐹,𝑟𝑟

𝑟𝑟1𝑟𝑟(𝑟𝑟𝐹𝐹),𝑟𝑟

+𝜔𝜔2

𝑎𝑎2 𝐹𝐹 = 0 → (𝑟𝑟𝐹𝐹),𝑟𝑟 +𝜔𝜔2

𝑎𝑎2 (𝑟𝑟𝐹𝐹) = 0


28

→ 𝑟𝑟𝐹𝐹 = 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎

+ 𝐵𝐵𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎→ 𝐴𝐴 = 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑟𝑟 = 0 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒 𝐴𝐴 = 0

→ 𝐹𝐹 =1𝑟𝑟𝐵𝐵𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛

𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎

Recherchons 𝑜𝑜(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑟𝑟).𝑔𝑔(𝑡𝑡) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑟𝑟) = 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 𝐹𝐹(𝑟𝑟) = 𝐹𝐹,𝑟𝑟

𝑓𝑓(𝑟𝑟) =1𝑟𝑟2 𝐵𝐵

𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐

𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎− 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛

𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎 → 𝑜𝑜(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) =

1𝑟𝑟2 𝐵𝐵′

𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐

𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎− 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛

𝜔𝜔𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑐𝑐)


29

4 Dynamique des poutres droites

On se limite aussi ici à l'étude des poutres droites en mouvement plan. Ce qui simplifie fortement les expressions mais masque certaines difficultés existants en (3D), lors de l'étude des grandes perturbations. Dans ce cas, la description de la rotation finie est non triviale.

4.1 Schématisation d'une poutre

𝐿𝐿𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑆𝑆 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑦𝑦𝑚𝑚é𝑡𝑡𝑟𝑟𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥, 𝑦)

𝑅𝑅é𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑛𝑛é𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐: 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑦𝑦(𝑥𝑥)

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑙𝑙𝑒𝑒𝑥𝑥𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 ∶ 𝑀𝑀1 = 𝑀𝑀1𝑒𝑒3𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀2𝑒𝑒3,𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑛𝑛é𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒: 𝑚𝑚𝑧𝑧 = 𝑚𝑚𝑧𝑧(𝑥𝑥)𝑒𝑒3

𝐿𝐿𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 𝐹1 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝐹𝐹𝑦𝑦10 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜é𝑒𝑒 à 𝑥𝑥 = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 𝐹2

𝐹𝐹𝑥𝑥2𝐹𝐹𝑦𝑦20 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜é𝑒𝑒 à 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙

4.2 Hypothèses cinématiques de la théorie des poutres (Timoshenko)

L'hypothèse cinématique fondamentale de la théorie des poutres est l'hypothèse de Navier –Timoshenko :

• "toute section droite de la configuration de référence est supposée rester plane et inaltérée au cours du mouvement".

Ou d'une manière équivalente:

𝑚𝑚𝑧𝑧 𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑒𝑒3 𝑆𝑆

𝑙𝑙

𝑀𝑀

𝑃𝑃

𝑥𝑥

𝑦𝑦 𝑭𝑭𝒚𝒚𝒚𝒚 𝑭𝑭𝒚𝒚𝒚𝒚 𝑴𝑴𝒚𝒚 𝑝𝑝𝑦𝑦

𝑭𝑭𝒂𝒂𝒚𝒚 𝑭𝑭𝒂𝒂𝒚𝒚 𝑝𝑝𝑥𝑥

𝑴𝑴𝒚𝒚

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑃𝑃

𝑥𝑥

𝑦𝑦 𝑀𝑀

𝑎𝑎

𝑜𝑜

𝑃𝑃′

𝑀𝑀′ 𝜃𝜃

𝑎𝑎,𝑥𝑥


30

• "toute section droite est considérée comme un solide rigide d'épaisseur infinitésimale".

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑀𝑀𝑀𝑀′ = 𝑃𝑃𝑃𝑃′ + Θ ∧ PMΘ = 𝜃𝜃𝑒𝑒3

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑜𝑜𝑎𝑎0 +

00𝜃𝜃 ∧

0𝑦𝑦0

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑒𝑒2

→ 𝑜𝑜 (𝑀𝑀) 𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝜃𝜃𝑎𝑎0

→ ∇𝑜𝑜 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥 −𝜃𝜃 0

𝑎𝑎,𝑥𝑥 0 00 0 0

𝛆𝛆

⎣⎢⎢⎢⎡ 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥

12 𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝜃𝜃 0

12 𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝜃𝜃 0 0

0 0 0⎦⎥⎥⎥⎤

=12 ∇𝑜𝑜 + ∇T𝑜𝑜 :𝑇𝑇𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑑𝑑é𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐

𝛆𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 0𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 =12 𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝜃𝜃

𝛀𝛀0 −𝜃𝜃 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥 0

𝜃𝜃 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥 0 00 0 0

=12 ∇𝑜𝑜 − ∇T𝑜𝑜 :𝑇𝑇𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛

On appelle :

𝜀𝜀 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 ∶ 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝐝𝐝é𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐥𝐥𝐟𝐟 𝐥𝐥𝐟𝐟𝐥𝐥𝐟𝐟𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐦𝐦𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟𝐝𝐝

𝜒𝜒 = 𝜃𝜃,𝑥𝑥 ∶ 𝐥𝐥𝐟𝐟 𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐜𝐜𝐟𝐟𝐝𝐝 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐥𝐥𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟

𝛾𝛾 = 2𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝜃𝜃: 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝐝𝐝é𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐟𝐟𝐟𝐟𝐥𝐥𝐥𝐥𝐝𝐝𝐟𝐟𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟

→ 𝛆𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 0𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒𝜒 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 =𝛾𝛾2

Sous l'hypothèse HPP on a :

𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥 𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦 0𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥 = 𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦 =𝛾2

4.3 Puissance virtuelle de déformation

On définie un tenseur de déformations virtuel :

𝛆∗ 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ 𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦∗ 0𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦∗ 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ = 𝜀𝜀∗ − 𝑦𝑦𝜒∗ 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦∗ =𝛾∗

2

La puissance virtuelle de déformation sur une section est définie par :

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝝈𝝈: 𝛆∗𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝝈𝝈: 𝛆∗ = tr(𝝈𝝈. 𝛆∗) = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑦𝑦𝑦∗=0

𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧∗=0

𝜎𝜎𝑧𝑧𝑧𝑧 + 2𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2 𝜀𝜀𝑦𝑧𝑧∗=0

𝜎𝜎𝑦𝑦𝑧𝑧 + 2 𝜀𝜀𝑧𝑥𝑥∗=0

𝜎𝜎𝑧𝑧𝑥𝑥


31

𝝈𝝈: 𝛆∗ = tr(𝝈𝝈. 𝛆∗) = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

= (𝜀𝜀∗ − 𝑦𝑦𝜒∗)𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝛾∗𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝜀𝜀∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝑁𝑁

+ 𝛾∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝑇𝑇

+ 𝜒∗ (−𝑦𝑦𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝑀𝑀

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝜀𝜀∗𝑁𝑁 + 𝛾∗𝑇𝑇 + 𝜒∗𝑀𝑀

On définit:

𝑁𝑁 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

∶ 𝑨𝑨′𝒅𝒅𝒇𝒇𝒇𝒇𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑨𝑨𝑨𝑨𝑬𝑬𝑨𝑨 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑬𝑬𝒅𝒅𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 (𝑒𝑒𝑛𝑛𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝜀𝜀)

𝑇𝑇 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

∶ 𝑨𝑨′𝒅𝒅𝒇𝒇𝒇𝒇𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬𝑬𝑬𝑷𝑷𝒕𝒕𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑬𝑬𝒅𝒅𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 (𝑒𝑒𝑛𝑛𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝛾𝛾)

𝑀𝑀 = (−𝑦𝑦𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

∶ 𝑨𝑨𝒅𝒅 𝑨𝑨𝑬𝑬𝑨𝑨𝒅𝒅𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒇𝒇𝑨𝑨é𝑷𝑷𝒕𝒕𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑬𝑬𝒅𝒅𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 (𝑒𝑒𝑛𝑛𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝜒𝜒)

Si on utilise des vecteurs généralisés de déformations, de contraintes et de déplacements:

𝜺𝜺 = 𝜀𝜀𝛾𝛾𝜒𝜒 ,𝝈𝝈 =

𝑁𝑁𝑇𝑇𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜𝑜 =

𝑜𝑜𝑎𝑎𝜃𝜃

De telle sorte qu'on peut écrire 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ de la manière suivante: 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝜺𝜺 .𝝈𝝈

La puissance virtuelle de déformation sur toute la poutre est alors :

𝑃𝑃𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

La loi de Hooke nous donne :

𝛔𝛔 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 0𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 0 0

0 0 0 =

𝐸𝐸𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝜇𝜇𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 02𝜇𝜇𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 0 0

0 0 0 =

𝐸𝐸(𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒𝜒 ) 𝐺𝐺𝛾𝛾 0𝐺𝐺𝛾𝛾 0 00 0 0

𝑵𝑵 = 𝐸𝐸𝜀𝜀𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

= 𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀,𝑻𝑻 = 𝐺𝐺𝛾𝛾𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

= 𝐺𝐺𝑆𝑆′𝛾𝛾,𝑴𝑴 = 𝐸𝐸𝜒𝜒 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝐽𝐽

= 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒

𝐽𝐽 = 𝑦𝑦2

𝑆𝑆𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 ∶ 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑜𝑜𝑎𝑎𝑑𝑑𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒

Valeurs du rapport S'/S (d'après J. COURBON)

La loi de Hooke peut s'écrire aussi avec les vecteurs 𝜺𝜺 et 𝝈𝝈 de la manière suivante :

𝝈𝝈 = 𝑁𝑁𝑇𝑇𝑀𝑀 = 𝑷𝑷 . 𝜺𝜺 =

𝐸𝐸𝑆𝑆 0 00 𝐺𝐺𝑆𝑆′ 00 0 𝐸𝐸𝐽𝐽

𝑷𝑷

𝜀𝜀𝛾𝛾𝜒𝜒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑷𝑷 =

𝐸𝐸𝑆𝑆 0 00 𝐺𝐺𝑆𝑆′ 00 0 𝐸𝐸𝐽𝐽

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑙𝑙′â𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎𝑖𝑖𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑙𝑙𝑒𝑒

12

3031

9

10

56


32

L'énergie cinétique T est égale à:


=12𝜌𝜌

𝑜 − 𝑦𝑦𝜃𝑎0

𝑜 − 𝑦𝑦𝜃𝑎0

𝑑𝑑𝑉𝑉0

Ω

=12𝜌𝜌𝑜2 + 𝑎2 + 𝑦𝑦2𝜃2 − 2𝑦𝑦𝑜𝜃𝑑𝑑𝑉𝑉

0

Ω

𝑇𝑇 =12⎝

⎛𝑜2 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆𝜌𝜌𝑆𝑆

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑎2 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆𝜌𝜌𝑆𝑆


0

+ 𝜃2 𝜌𝜌𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

𝜌𝜌𝐽𝐽


0

− 2𝑜𝜃𝜃𝜌 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

=0 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡 ℎ𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑔𝑔 è𝑛𝑛𝑒𝑒


0 ⎠

⎞

𝑇𝑇 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝜃2𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

=12𝑜 .𝑨𝑨 . 𝑜 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

Avec 𝑨𝑨 = 𝜌𝜌𝑆𝑆 0 00 𝜌𝜌𝑆𝑆 00 0 𝜌𝜌𝐽𝐽

𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜 𝑜𝑎𝜃

𝑉𝑉 =12 𝝈𝝈: 𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω






L'énergie de déformation élastique U est égale à:

𝑈𝑈 =12 𝝈𝝈: 𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

=12(𝑁𝑁𝜀𝜀 + 𝑇𝑇𝛾𝛾 + 𝑀𝑀𝜒𝜒)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

=12(𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀2 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′𝛾𝛾2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒2)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

=12𝝈𝝈 . 𝜺𝜺 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝜌𝜌𝑓𝑓.𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

= 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

Les forces sont appliquées sur les centres des sections extrêmes x=0 et x=l.

𝜎𝜎𝑑𝑑 .𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐𝜕𝜕Ωf

= 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝐹𝐹𝑦𝑦10 .

𝑜𝑜(0)𝑎𝑎(0)

0 +

𝐹𝐹𝑥𝑥2𝐹𝐹𝑦𝑦20 .

𝑜𝑜(𝑙𝑙)𝑎𝑎(𝑙𝑙)

0 + 𝜃𝜃(0)𝑀𝑀1 + 𝜃𝜃(𝑙𝑙)𝑀𝑀2


= 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝜃𝜃(0)𝑀𝑀1 + 𝜃𝜃(𝑙𝑙)𝑀𝑀2

𝑉𝑉 =12(𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀2 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′𝛾𝛾2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒2)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

− 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

− 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝜃𝜃(0)𝑀𝑀1 + 𝜃𝜃(𝑙𝑙)𝑀𝑀2

𝑇𝑇 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝜃2𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

Enfin on peut écrire le Lagrangien 𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉:

𝐿𝐿 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝜃2𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12(𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀2 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′𝛾𝛾2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒2)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝜃𝜃(0)𝑀𝑀1 + 𝜃𝜃(𝑙𝑙)𝑀𝑀2


33

𝛿𝛿𝐿𝐿 =12𝛿𝛿𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝛿𝛿𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝛿𝛿𝜃2𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12(𝐸𝐸𝑆𝑆𝛿𝛿𝜀𝜀2 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′𝛿𝛿𝛾𝛾2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝛿𝛿𝜒𝜒2)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝛿𝛿𝜃𝜃𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝛿𝛿𝜃𝜃(0)𝑀𝑀1 + 𝛿𝛿𝜃𝜃(𝑙𝑙)𝑀𝑀2

𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒𝑛𝑛 ∶ 𝛿𝛿 12𝑜. 𝑜 = 𝑜. 𝛿𝛿𝑜, 𝛿𝛿

12𝑎. 𝑎 = 𝑎. 𝛿𝛿𝑎, 𝛿𝛿

12𝜃. 𝜃 = 𝜃.𝛿𝛿𝜃

𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒𝑛𝑛 ∶ 𝛿𝛿 12𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀. 𝛿𝛿𝜀𝜀, 𝛿𝛿

12𝛾𝛾2 = 𝛾𝛾. 𝛿𝛿𝛾𝛾, 𝛿𝛿

12𝜒𝜒2 = 𝜒𝜒. 𝛿𝛿𝜒𝜒

𝛿𝛿𝐿𝐿 = 𝑜𝛿𝛿𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝛿𝛿𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝜃𝛿𝛿𝜃𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀𝑁𝑁

. 𝛿𝛿𝜀𝜀 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′𝛾𝛾𝑇𝑇

. 𝛿𝛿𝛾𝛾 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒𝑀𝑀

. 𝛿𝛿𝜒𝜒 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


0+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝛿𝛿𝜃𝜃(0)𝑀𝑀1 + 𝛿𝛿𝜃𝜃(𝑙𝑙)𝑀𝑀2

On applique le principe de Hamilton (𝛿𝛿𝑜𝑜 (𝑡𝑡1) = 𝛿𝛿𝑜𝑜 (𝑡𝑡2) = 0): → 𝛿𝛿𝐼𝐼 = ∫ 𝛿𝛿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2𝑡𝑡1

= 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝑜𝛿𝛿𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝛿𝛿𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝜃𝛿𝛿𝜃𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−(𝑁𝑁𝛿𝛿𝜀𝜀 + 𝑇𝑇𝛿𝛿𝛾𝛾 + 𝑀𝑀𝛿𝛿𝜒𝜒)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1


0

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝛿𝛿𝜃𝜃(0)𝑀𝑀1 + 𝛿𝛿𝜃𝜃(𝑙𝑙)𝑀𝑀2𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0

Calculs intermédiaires: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 → 𝑜. 𝛿𝛿𝑜𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= [𝑜. 𝛿𝛿𝑜𝑜]𝑡𝑡1𝑡𝑡2

=0

− 𝑜. 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 → 𝑎.𝛿𝛿𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= [𝑎.𝛿𝛿𝑎𝑎]𝑡𝑡1𝑡𝑡2

=0

− 𝑎.𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 → 𝜃.𝛿𝛿𝜃𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 𝜃.𝛿𝛿𝜃𝜃𝑡𝑡1

𝑡𝑡2

=0

− 𝜃.𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

(𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜),𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑁𝑁𝛿𝛿𝜀𝜀𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

→ 𝑁𝑁𝛿𝛿𝜀𝜀𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= (𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜),𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑁𝑁𝛿𝛿𝜀𝜀𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= [𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜]0𝑙𝑙 − 𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 𝑁𝑁(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) −𝑁𝑁(0)𝛿𝛿𝑜𝑜(0) −𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

(𝑀𝑀𝛿𝛿𝜃𝜃),𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑀𝑀𝛿𝛿𝜒𝜒𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

→ 𝑀𝑀𝛿𝛿𝜒𝜒𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= (𝑀𝑀𝛿𝛿𝜃𝜃),𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


34

𝑀𝑀𝛿𝛿𝜒𝜒𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= [𝑀𝑀𝛿𝛿𝜃𝜃]0𝑙𝑙 − 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝜃𝜃(𝑙𝑙) −𝑀𝑀(0)𝛿𝛿𝜃𝜃(0) −𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑇𝑇𝛿𝛿𝛾𝛾 = 𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝑇𝑇𝛿𝛿𝜃𝜃

(𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎),𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑇𝑇,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

→ 𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= (𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎),𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑇𝑇,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑇𝑇𝛿𝛿𝛾𝛾𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= [𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎]0𝑙𝑙 − 𝑇𝑇,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎 + 𝑇𝑇𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 𝑇𝑇(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) − 𝑇𝑇(0)𝛿𝛿𝑎𝑎(0) −𝑇𝑇,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎 + 𝑇𝑇𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝛿𝛿𝐼𝐼 = −𝑜. 𝛿𝛿𝑜𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎. 𝛿𝛿𝑎𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝜃.𝛿𝛿𝜃𝜃𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜 + 𝑇𝑇,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎 + 𝑇𝑇𝛿𝛿𝜃𝜃 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

+ 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑚𝑚𝑧𝑧𝛿𝛿𝜃𝜃𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1 + 𝑁𝑁(0)𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1 + 𝑇𝑇(0) 𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2 −𝑁𝑁(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙)

+ 𝐹𝐹𝑦𝑦2 − 𝑇𝑇(𝑙𝑙) 𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝛿𝛿𝜃𝜃(0)(𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀(0)) + 𝛿𝛿𝜃𝜃(𝑙𝑙)(𝑀𝑀2 −𝑀𝑀(𝑙𝑙))𝑑𝑑𝑡𝑡

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿𝑜𝑜−𝑜.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑁𝑁,𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝛿𝛿𝑎𝑎−𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑇𝑇,𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑦𝑦𝑙𝑙

0

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

+ 𝛿𝛿𝜃𝜃−𝜃.𝜌𝜌𝐽𝐽 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 + 𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1 + 𝑁𝑁(0)𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1 + 𝑇𝑇(0) 𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2 −𝑁𝑁(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙)

+ 𝐹𝐹𝑦𝑦2 − 𝑇𝑇(𝑙𝑙) 𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝛿𝛿𝜃𝜃(0)(𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀(0)) + 𝛿𝛿𝜃𝜃(𝑙𝑙)(𝑀𝑀2 −𝑀𝑀(𝑙𝑙))𝑑𝑑𝑡𝑡

∀𝛿𝛿𝑜𝑜, 𝛿𝛿𝑎𝑎, 𝛿𝛿𝜃𝜃 on aura alors:

−𝑜.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑁𝑁,𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0−𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑇𝑇,𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 0

−𝜃.𝜌𝜌𝐽𝐽 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 + 𝑚𝑚𝑧𝑧 = 0

Avec les conditions aux limites suivantes:

𝐹𝐹𝑥𝑥1 = −𝑁𝑁(0)𝐹𝐹𝑥𝑥2 = 𝑁𝑁(𝑙𝑙)

, 𝐹𝐹𝑦𝑦1 = −𝑇𝑇,𝑥𝑥(0)𝐹𝐹𝑦𝑦2 = 𝑇𝑇,𝑥𝑥(𝑙𝑙)

, 𝑀𝑀1 = −𝑀𝑀(0)𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀(𝑙𝑙)

−𝑜.𝜌𝜌𝑆𝑆 +𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0

−𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 +𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐺𝐺𝑆𝑆′ 𝜕𝜕𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥

− 𝜃𝜃 + 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 0

−𝜃.𝜌𝜌𝐽𝐽 +𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥+ 𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥

− 𝜃𝜃 + 𝑚𝑚𝑧𝑧 = 0 Si S, S' et J sont constants, on aura :

−𝑜.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝐸𝐸𝑆𝑆 𝜕𝜕2𝑜𝑜

𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0 (𝐼𝐼)


35

−𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′ 𝜕𝜕2𝑎𝑎

𝜕𝜕𝑥𝑥2 − 𝐺𝐺𝑆𝑆′ 𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥

+ 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 0 (𝐼𝐼𝐼𝐼)

−𝜃.𝜌𝜌𝐽𝐽 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′


− 𝜃𝜃 + 𝑚𝑚𝑧𝑧 = 0 (𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼) L'équation (II) donne :

𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥

= −𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝑎 +𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 +

1𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝑝𝑝𝑦𝑦 → 𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥2 = −

𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥

+𝜕𝜕3𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥3 +


𝜕𝜕𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥

On reporte dans l'équation (III) :

−𝜌𝜌𝐽𝐽𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽 −

𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥

+𝜕𝜕3𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥3 +



+ 𝐺𝐺𝑆𝑆′ 𝜕𝜕𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥

− 𝜃𝜃 + 𝑚𝑚𝑧𝑧 = 0

−𝜌𝜌𝐽𝐽𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′


− 𝜃𝜃 −𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕3𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽

𝜕𝜕3𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥3 +

𝐸𝐸𝐽𝐽𝐺𝐺𝑆𝑆′


+ 𝑚𝑚𝑧𝑧 = 0 Pour illiminer 𝜃𝜃 on dérive encore une fois par rapport à x on obtient alors :

−𝜌𝜌𝐽𝐽𝜕𝜕3𝜃𝜃𝜕𝜕𝑡𝑡2𝜕𝜕𝑥𝑥

+ 𝐺𝐺𝑆𝑆′ 𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 −


−𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥4 +


𝜕𝜕2𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥2 +

𝜕𝜕𝑚𝑚𝑧𝑧

𝜕𝜕𝑥𝑥= 0

On a bien:

−𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 .𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 − 𝐺𝐺𝑆𝑆′


+ 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 0 (𝐼𝐼𝐼𝐼) → 𝐺𝐺𝑆𝑆′ 𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 −


= 𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝜌𝜌𝑆𝑆 − 𝑝𝑝𝑦𝑦

−𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 .𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 − 𝐺𝐺𝑆𝑆′


+ 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 0 (𝐼𝐼𝐼𝐼) → 𝜌𝜌𝐽𝐽𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥

= −𝜌𝜌𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝜌𝜌𝐽𝐽

𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 +

𝜌𝜌𝐽𝐽𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝑝𝑝𝑦𝑦

−𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑡𝑡2 → −𝜌𝜌𝐽𝐽𝜕𝜕3𝜃𝜃𝜕𝜕𝑡𝑡2𝜕𝜕𝑥𝑥

=𝜌𝜌𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡4 − 𝜌𝜌𝐽𝐽

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2𝜕𝜕𝑥𝑥2 −


𝜕𝜕2𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑡𝑡2

Alors :

𝜌𝜌𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡4 + 𝜌𝜌𝑆𝑆


𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2𝜕𝜕𝑥𝑥2 −

𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥4 +


𝜕𝜕2𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥2 −


𝜕𝜕2𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 +


𝜕𝜕𝑥𝑥= 0

𝜌𝜌𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡4 + 𝜌𝜌𝑆𝑆


𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2𝜕𝜕𝑥𝑥2 1 +

𝐸𝐸𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

+ 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥4 +


𝜕𝜕2𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥2 −


𝜕𝜕2𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 +


𝜕𝜕𝑥𝑥= 0

Equation du mouvement transversal pour le modèle de poutre de TIMOSHENKO

−𝜌𝜌𝑆𝑆𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝐸𝐸𝑆𝑆

𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0

Equation du mouvement longitudinal pour le modèle de poutre de TIMOSHENKO En statique on a :

𝐸𝐸𝐽𝐽 𝜕𝜕4𝑎𝑎

𝜕𝜕𝑥𝑥4 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕2𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥2 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝜕𝜕𝑚𝑚𝑧𝑧

𝜕𝜕𝑥𝑥= 0 TIMOSHENKO


𝜕𝜕𝑥𝑥4 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝜕𝜕𝑚𝑚𝑧𝑧𝜕𝜕𝑥𝑥

= 0 BERNOULLI

𝐸𝐸𝑆𝑆 𝜕𝜕2𝑜𝑜

𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0 𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓 et BERNOULLI Hypothèse : Densité d'énergie cinétique de rotation de section 1

2𝜌𝜌𝑆𝑆𝜃2 négligée devant la densité d'énergie cinétique

12𝜌𝜌𝑆𝑆𝑎2

𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥4 + 𝜌𝜌𝑆𝑆

𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 −

𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆𝐺𝐺𝑆𝑆′

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2𝜕𝜕𝑥𝑥2 +


𝜕𝜕2𝑝𝑝𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥2 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 +


𝜕𝜕𝑥𝑥= 0

Equation du mouvement transversal pour le modèle de poutre de TIMOSHENKO


𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 +


𝜕𝜕𝑥𝑥= 0

Equation du mouvement transversal pour le modèle de poutre de BERNOULLI


36


𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0

Equation du mouvement longitudinal pour le modèle de poutre de TIMOSHENKO et BERNOULLI

4.4 Hypothèses cinématiques de la théorie des poutres (Bernoulli)

L'hypothèse d'Euler-Bernouilli : Toute section droite reste perpendiculaire à la fibre moyenne 𝑎𝑎,𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑀𝑀𝑀𝑀′ = 𝑃𝑃𝑃𝑃′ + Ω ∧ PM

Ω = 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑒𝑒3

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑜𝑜𝑎𝑎0+

00𝑎𝑎,𝑥𝑥

∧ 0𝑦𝑦0

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑒𝑒2

→ 𝑜𝑜 (𝑀𝑀) 𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥

𝑎𝑎0

→ ∇𝑜𝑜 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥 −𝑎𝑎,𝑥𝑥 0

𝑎𝑎,𝑥𝑥 0 00 0 0

𝛆𝛆 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥 0 0

0 0 00 0 0

=12 ∇𝑜𝑜 + ∇T𝑜𝑜 :𝑇𝑇𝑒𝑒𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑑𝑑é𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐

𝛆𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥

On appelle :

𝜀𝜀 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 ∶ 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝐝𝐝é𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐥𝐥𝐟𝐟 𝐥𝐥𝐟𝐟𝐥𝐥𝐟𝐟𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐦𝐦𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟𝐝𝐝

𝜒𝜒 = 𝜃𝜃,𝑥𝑥 ∶ 𝐥𝐥𝐟𝐟 𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐜𝐜𝐟𝐟𝐝𝐝 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐥𝐥𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟

𝛾𝛾 = 0: 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝐝𝐝é𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐟𝐟𝐟𝐟𝐥𝐥𝐥𝐥𝐝𝐝𝐟𝐟𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟

→ 𝛆𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒𝜒

Sous l'hypothèse HPP on a :

𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥 = 𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒

4.5 Puissance virtuelle de déformation

On définie un tenseur de déformations virtuel :

𝛆∗ 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ 0 00 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ = 𝜀𝜀∗ − 𝑦𝑦𝜒∗

La puissance virtuelle de déformation sur une section est définie par :

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝝈𝝈: 𝛆∗𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝝈𝝈: 𝛆∗ = tr(𝝈𝝈. 𝛆∗) = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑦𝑦𝑦∗=0

𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧∗=0

𝜎𝜎𝑧𝑧𝑧𝑧 + 2𝜀𝜀𝑥𝑦𝑦∗=0

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2 𝜀𝜀𝑦𝑧𝑧∗=0

𝜎𝜎𝑦𝑦𝑧𝑧 + 2 𝜀𝜀𝑧𝑥𝑥∗=0

𝜎𝜎𝑧𝑧𝑥𝑥

𝝈𝝈: 𝛆∗ = tr(𝝈𝝈. 𝛆∗) = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥


37

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

= (𝜀𝜀∗ − 𝑦𝑦𝜒∗)𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝜀𝜀∗ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝑁𝑁

+ 𝜒∗ (−𝑦𝑦𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝑀𝑀

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝜀𝜀∗𝑁𝑁 + 𝜒∗𝑀𝑀 On définit:

𝑁𝑁 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

∶ 𝑨𝑨′𝒅𝒅𝒇𝒇𝒇𝒇𝑬𝑬𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑨𝑨𝑨𝑨𝑬𝑬𝑨𝑨 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑬𝑬𝒅𝒅𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 (𝑒𝑒𝑛𝑛𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝜀𝜀)

𝑀𝑀 = (−𝑦𝑦𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

∶ 𝑨𝑨𝒅𝒅 𝑨𝑨𝑬𝑬𝑨𝑨𝒅𝒅𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒇𝒇𝑨𝑨é𝑷𝑷𝒕𝒕𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑬𝑬𝒅𝒅𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 (𝑒𝑒𝑛𝑛𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝜒𝜒)

Si on utilise des vecteurs généralisés de déformations, de contraintes et de déplacements:

𝜺𝜺 = 𝜀𝜀0𝜒𝜒 ,𝝈𝝈 =

𝑁𝑁0𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜𝑜 =

𝑜𝑜𝑎𝑎𝑎𝑎,𝑥𝑥

De telle sorte qu'on peut écrire 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ de la manière suivante: 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝜺𝜺 .𝝈𝝈

La puissance virtuelle de déformation sur toute la poutre est alors :

𝑃𝑃𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ = 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓∗ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

La loi de Hooke nous donne :

𝛔𝛔 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

= 𝐸𝐸𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 0 0

0 0 00 0 0

= 𝐸𝐸(𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒𝜒 ) 0 0

0 0 00 0 0

𝑵𝑵 = 𝐸𝐸𝜀𝜀𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

= 𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀, 𝑴𝑴 = 𝐸𝐸𝜒𝜒 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

𝐽𝐽

= 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒



La loi de Hooke peut s'écrire avec les vecteurs 𝜺𝜺 et 𝝈𝝈 de la manière suivante :

𝝈𝝈 = 𝑁𝑁0𝑀𝑀 = 𝑷𝑷 . 𝜺𝜺 =

𝐸𝐸𝑆𝑆 0 00 0 00 0 𝐸𝐸𝐽𝐽

𝑷𝑷

𝜀𝜀0𝜒𝜒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑷𝑷 =

𝐸𝐸𝑆𝑆 0 00 0 00 0 𝐸𝐸𝐽𝐽



=12𝜌𝜌

𝑜 − 𝑦𝑦𝑎,𝑥𝑥𝑎0

𝑜 − 𝑦𝑦𝑎,𝑥𝑥

𝑎0

𝑑𝑑𝑉𝑉0

Ω

=12𝜌𝜌𝑜2 + 𝑎2 + 𝑦𝑦2𝑎,𝑥𝑥

2 − 2𝑦𝑦𝑜𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑉𝑉0

Ω

𝑇𝑇 =12⎝

⎛𝑜2 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆𝜌𝜌𝑆𝑆


0

+ 𝑎2 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆𝜌𝜌𝑆𝑆


0

+ 𝑎,𝑥𝑥2 𝜌𝜌𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆𝜌𝜌𝐽𝐽


0

− 2 𝑜𝑎,𝑥𝑥𝜌𝜌 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆

=0


0 ⎠

⎞


38

𝑇𝑇 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎,𝑥𝑥

2𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

=12𝑜 .𝑨𝑨 . 𝑜 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

Avec 𝑨𝑨 = 𝜌𝜌𝑆𝑆 0 00 𝜌𝜌𝑆𝑆 00 0 𝜌𝜌𝐽𝐽

𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜 𝑜𝑎𝑎𝑎,𝑥








𝑈𝑈 =12 𝝈𝝈: 𝜺𝜺𝑑𝑑𝑉𝑉Ω

=12(𝑁𝑁𝜀𝜀 + 𝑀𝑀𝜒𝜒)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

=12(𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒2)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝝈𝝈 . 𝜺𝜺 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


= 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

Les forces sont appliquées sur les centres des sections extrêmes x=0 et x=l.


= 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝐹𝐹𝑦𝑦10 .

𝑜𝑜(0)𝑎𝑎(0)

0 +

𝐹𝐹𝑥𝑥2𝐹𝐹𝑦𝑦20 .

𝑜𝑜(𝑙𝑙)𝑎𝑎(𝑙𝑙)

0 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)𝑀𝑀1 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)𝑀𝑀2


= 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)𝑀𝑀1 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)𝑀𝑀2

𝑉𝑉 =12(𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒2)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

− 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

− 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)𝑀𝑀1 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)𝑀𝑀2

𝑇𝑇 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝑎,𝑥


0


𝐿𝐿 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝑎,𝑥


0

−12(𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒2)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)𝑀𝑀1 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)𝑀𝑀2

𝛿𝛿𝐿𝐿 =12𝛿𝛿𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝛿𝛿𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥


0

−12(𝐸𝐸𝑆𝑆𝛿𝛿𝜀𝜀2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝛿𝛿𝜒𝜒2)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)𝑀𝑀1 + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)𝑀𝑀2


12𝑎. 𝑎 = 𝑎. 𝛿𝛿𝑎, 𝛿𝛿

12𝑎𝑎,𝑥 .𝑎𝑎,𝑥 = 𝑎𝑎,𝑥 .𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥

𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒𝑛𝑛 ∶ 𝛿𝛿 12𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀. 𝛿𝛿𝜀𝜀, 𝛿𝛿

12𝜒𝜒2 = 𝜒𝜒. 𝛿𝛿𝜒𝜒


39

𝛿𝛿𝐿𝐿 = 𝑜𝛿𝛿𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝛿𝛿𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝑎,𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀𝑁𝑁

. 𝛿𝛿𝜀𝜀 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒𝑀𝑀

. 𝛿𝛿𝜒𝜒 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


0+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)𝑀𝑀1 + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)𝑀𝑀2


= 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝑜𝛿𝛿𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝛿𝛿𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝑎,𝑥 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−(𝑁𝑁𝛿𝛿𝜀𝜀 + 𝑀𝑀𝛿𝛿𝜒𝜒)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


0

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)𝑀𝑀1 + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)𝑀𝑀2𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0



𝑡𝑡1


=0


𝑡𝑡1


𝑡𝑡1


=0


𝑡𝑡1

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 → 𝑎𝑎,𝑥 .𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 𝑎𝑎,𝑥 . 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥 𝑡𝑡1

𝑡𝑡2

=0

− 𝑎𝑎,𝑥 .𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

(𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜),𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑁𝑁𝛿𝛿𝜀𝜀𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

→ 𝑁𝑁𝛿𝛿𝜀𝜀𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= (𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜),𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑁𝑁𝛿𝛿𝜀𝜀𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= [𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜]0𝑙𝑙 − 𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 𝑁𝑁(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) −𝑁𝑁(0)𝛿𝛿𝑜𝑜(0) −𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑀𝑀𝛿𝛿𝜒𝜒𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

→ 𝑀𝑀𝛿𝛿𝜒𝜒𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑀𝑀𝛿𝛿𝜒𝜒𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥 0𝑙𝑙 − 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)−𝑀𝑀(0)𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)−𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝛿𝛿𝐼𝐼 = −𝑜. 𝛿𝛿𝑜𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎. 𝛿𝛿𝑎𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎𝑎,𝑥 .𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝜌𝜌𝐽𝐽𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑁𝑁,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑜𝑜 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

+ 𝛿𝛿𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑚𝑚𝑧𝑧𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1 + 𝑁𝑁(0)𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2 −𝑁𝑁(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(𝑙𝑙)

+ 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)(𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀(0)) + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑀𝑀2 −𝑀𝑀(𝑙𝑙))𝑑𝑑𝑡𝑡


40

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿𝑜𝑜−𝑜.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑁𝑁,𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝛿𝛿𝑎𝑎−𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥−𝑎𝑎,𝑥 .𝜌𝜌𝐽𝐽 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1 + 𝑁𝑁(0)𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2 −𝑁𝑁(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(0)

+ 𝛿𝛿𝜃𝜃(0)(𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀(0)) + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑀𝑀2 −𝑀𝑀(𝑙𝑙))𝑑𝑑𝑡𝑡

𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥−𝑎𝑎,𝑥 .𝜌𝜌𝐽𝐽 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝛿𝛿𝑎𝑎−𝑎𝑎,𝑥 .𝜌𝜌𝐽𝐽 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑧𝑧0𝑙𝑙

=0

−𝛿𝛿𝑎𝑎−𝑎𝑎,𝑥 .𝜌𝜌𝐽𝐽 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑧𝑧,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿𝑜𝑜−𝑜.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑁𝑁,𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝛿𝛿𝑎𝑎 −𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑝𝑝𝑦𝑦 − −𝑎𝑎,𝑥 .𝜌𝜌𝐽𝐽 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑧𝑧,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

+ 𝐹𝐹𝑥𝑥1 +𝑁𝑁(0)𝛿𝛿𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝛿𝛿𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2 −𝑁𝑁(𝑙𝑙)𝛿𝛿𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑎𝑎(0)

+ 𝛿𝛿𝜃𝜃(0)(𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀(0)) + 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑀𝑀2 −𝑀𝑀(𝑙𝑙))𝑑𝑑𝑡𝑡

∀𝛿𝛿𝑜𝑜, 𝛿𝛿𝑎𝑎 on aura :

−𝑜.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑁𝑁,𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0−𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 .𝜌𝜌𝐽𝐽 −𝑀𝑀,𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑧𝑧 ,𝑥𝑥 = 0

Les conditions aux limites :

𝐹𝐹𝑥𝑥1 = −𝑁𝑁(0)𝐹𝐹𝑥𝑥2 = 𝑁𝑁(𝑙𝑙)

, 𝐹𝐹𝑦𝑦1 = 0𝐹𝐹𝑦𝑦2 = 0

, 𝑀𝑀1 = −𝑀𝑀(0)𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀(𝑙𝑙)

−𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝜌𝜌𝑆𝑆 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0

𝜌𝜌𝑆𝑆𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 −

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕3𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜌𝜌𝐽𝐽+𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕3𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥3+


𝜕𝜕𝑥𝑥= 0

Si S, S' et J sont constants, on aura :


𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0

𝜌𝜌𝑆𝑆𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 − 𝜌𝜌𝐽𝐽

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽

𝜕𝜕4𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥4 +


𝜕𝜕𝑥𝑥= 0

En statique on a :


𝜕𝜕𝑥𝑥4 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝜕𝜕𝑚𝑚𝑧𝑧𝜕𝜕𝑥𝑥

= 0 BERNOULLI

𝐸𝐸𝑆𝑆 𝜕𝜕2𝑜𝑜

𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0 BERNOULLI Hypothèse :


41

Densité d'énergie cinétique de rotation de section 12𝜌𝜌𝑆𝑆𝑎𝑎,𝑥

2 négligée devant la densité d'énergie

cinétique 12𝜌𝜌𝑆𝑆𝑎2. L'effort tranchant est calculé par :𝑇𝑇 = 𝜃.𝜌𝜌𝐽𝐽 − 𝑀𝑀,𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑧𝑧


𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 𝑝𝑝𝑦𝑦 +


𝜕𝜕𝑥𝑥= 0

Equation du mouvement transversal pour le modèle de poutre de BERNOULLI


𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0

Equation du mouvement longitudinal pour le modèle de poutre de BERNOULLI

4.6 Vibrations libres longitudinales (membrane)

On prend comme hypothèse simplificatrice 𝐸𝐸𝑆𝑆 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑆𝑆 constantes. On essayea de chercher les mouvements vibratoires libres (pas de forces extérieures). Donc on aura à résoudre : pas de forces extérieures :

𝑝𝑝𝑥𝑥 = 0,𝐹𝐹𝑥𝑥1 = 𝐹𝐹𝑥𝑥2 = 0


𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥2 = 0

4.6.1 Modes propres de vibrations longitudinales

Les solutions à chercher sont de la forme suivante (découplage temps-espace) :

𝑜𝑜(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = f(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑡𝑡)


𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥2 = 0 → −𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓

𝜕𝜕2𝑔𝑔𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝐸𝐸𝑆𝑆𝑔𝑔

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 = 0

1𝑓𝑓𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 =

𝜌𝜌𝐸𝐸

1𝑔𝑔𝜕𝜕2𝑔𝑔𝜕𝜕𝑡𝑡2 = 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒 = −

𝛼𝛼2

𝑙𝑙2

⎩⎪⎨

⎪⎧ 𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 +

𝛼𝛼2

𝑙𝑙2𝑓𝑓 = 0

𝜕𝜕2𝑔𝑔𝜕𝜕𝑡𝑡2 +

𝛼𝛼2

𝑙𝑙2𝐸𝐸𝜌𝜌𝑔𝑔 = 0

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 +

𝛼𝛼2

𝑙𝑙2𝑓𝑓 = 0 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 𝛼𝛼

𝑥𝑥𝑙𝑙 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼

𝑥𝑥𝑙𝑙

𝜕𝜕2𝑔𝑔𝜕𝜕𝑡𝑡2 +

𝛼𝛼2

𝑙𝑙2𝐸𝐸𝜌𝜌𝑔𝑔 = 0 → 𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼𝜔𝜔𝐿𝐿𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼𝜔𝜔𝐿𝐿𝑡𝑡),𝜔𝜔𝐿𝐿 =

1𝑙𝑙𝐸𝐸𝜌𝜌

Remarques :

• 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐵𝐵𝑥𝑥 sont des constantes à déterminer à partir des conditions de liaisons des extrémités; • 𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐵𝐵𝑡𝑡 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales et de 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐵𝐵𝑥𝑥 ; • 𝛼𝛼 est la solution d'une "équation aux fréquences" en écrivant les conditions aux limites sur 𝑓𝑓; • Il existe plusieurs solutions 𝛼𝛼𝑖𝑖 chaque solution correspond à un mode propre 𝜔𝜔𝑖𝑖 = 𝛼𝛼𝑖𝑖𝜔𝜔𝐿𝐿;


42

4.6.1.1 vibrations longitudinales : poutre encastrée-libre

𝑁𝑁(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 → 𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀 = 𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0

Ces conditions aux limites deviennent sur f :

𝑜𝑜(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = f(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑡𝑡)

f(0) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

(𝑙𝑙) = 0 𝑓𝑓(0) = 𝐴𝐴𝑥𝑥 . 0 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 . 1 = 0

𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

=𝛼𝛼𝑙𝑙𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼

𝑥𝑥𝑙𝑙 −

𝛼𝛼𝑙𝑙𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 𝛼𝛼

𝑥𝑥𝑙𝑙 →


(𝑙𝑙) =𝛼𝛼𝑙𝑙𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) −

𝛼𝛼𝑙𝑙𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) = 0

Ce qui nous donne le système suivant:

0 1𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼)

𝐴𝐴𝑥𝑥𝐵𝐵𝑥𝑥 = 00

C'est un système homogène il n'admettra de solution que si son déterminant est aussi nul.

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 1 0−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) = 0 → é𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒂𝒂 𝒇𝒇𝑨𝑨é𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝑬𝑬𝑷𝑷𝒅𝒅𝑬𝑬 ∶ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) = 0 → 𝛼𝛼𝑛𝑛 =

2𝑛𝑛 − 12

𝜋𝜋,

𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0 → 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 2𝑛𝑛 − 1

2𝜋𝜋𝑥𝑥𝑙𝑙 ,𝐴𝐴𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑏𝑏𝑖𝑖𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑟𝑟𝑒𝑒

𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡),𝜔𝜔𝑛𝑛 =2𝑛𝑛 − 1

2𝜋𝜋

1𝑙𝑙𝐸𝐸𝜌𝜌

𝑬𝑬(𝒂𝒂, 𝑬𝑬) = 𝑨𝑨𝒂𝒂𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝒚𝒚𝑬𝑬 − 𝒚𝒚𝒚𝒚

𝝅𝝅𝒂𝒂𝑨𝑨 . 𝑨𝑨𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬(𝝎𝝎𝑬𝑬𝑬𝑬) + 𝑩𝑩𝑬𝑬𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬(𝝎𝝎𝑬𝑬𝑬𝑬), 𝝎𝝎𝑬𝑬 =

(𝒚𝒚𝑬𝑬 − 𝒚𝒚)𝝅𝝅𝒚𝒚𝑨𝑨

𝑬𝑬𝝆𝝆

4.6.1.2 vibrations longitudinales : poutre libre-libre

𝑁𝑁(0, 𝑡𝑡) = 0 → 𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀 = 𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥(0, 𝑡𝑡) = 0 et 𝑁𝑁(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 → 𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀 = 𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0


𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑙𝑙

𝑜𝑜(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑁𝑁(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑙𝑙

𝑁𝑁(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑁𝑁(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0


43

𝑜𝑜(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = f(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑡𝑡) 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

(0) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

(𝑙𝑙) = 0 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

(0) =𝛼𝛼𝑙𝑙𝐴𝐴𝑥𝑥 . 1 −

𝛼𝛼𝑙𝑙𝐵𝐵𝑥𝑥 . 0 = 0


(𝑙𝑙) =𝛼𝛼𝑙𝑙𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) −

𝛼𝛼𝑙𝑙𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) = 0

Ce qui nous donne le système suivant:

1 0𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼)


C'est un système homogène il n'admettra de solution que si son déterminant est aussi nul.

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 1 0𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) = 0 → é𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒂𝒂 𝒇𝒇𝑨𝑨é𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝑬𝑬𝑷𝑷𝒅𝒅𝑬𝑬 ∶ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) = 0 → 𝛼𝛼𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝜋𝜋,

𝐴𝐴𝑥𝑥 = 0 → 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑛𝑛𝜋𝜋𝑥𝑥𝑙𝑙 ,𝐵𝐵𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑏𝑏𝑖𝑖𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑟𝑟𝑒𝑒

𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡),𝜔𝜔𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝜋𝜋1𝑙𝑙𝐸𝐸𝜌𝜌

𝑬𝑬(𝒂𝒂, 𝑬𝑬) = 𝑩𝑩𝒂𝒂𝑬𝑬𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝝅𝝅𝒂𝒂𝑨𝑨 . 𝑨𝑨𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬(𝝎𝝎𝑬𝑬𝑬𝑬) + 𝑩𝑩𝑬𝑬𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬(𝝎𝝎𝑬𝑬𝑬𝑬), 𝝎𝝎𝑬𝑬 =

𝑬𝑬𝝅𝝅𝑨𝑨𝑬𝑬𝝆𝝆

Remarque :

On remarque quant n=0 on retrouve le mode rigide : mouvement libre de translation.

𝑜𝑜(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑛𝑛𝐵𝐵𝑡𝑡 = 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒, 𝜔𝜔𝑛𝑛 = 0

4.7 Vibrations libres transversales (flexion)

On prend comme hypothèse simplificatrice 𝐸𝐸𝑆𝑆 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑆𝑆 constantes. On travaille avec le modèle poutre de Bernoulli en négligeant les termes d'inerties de rotation . On essayea de chercher les mouvements vibratoires libres (pas de forces extérieures). Donc on aura à résoudre : pas de forces extérieures :

𝑀𝑀1 = 𝑀𝑀2 = 𝑚𝑚𝑧𝑧 = 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 0


𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 = 0

4.7.1 Modes propres de vibrations transversales

Les solutions à chercher sont de la forme suivante (découplage temps-espace) :

𝑎𝑎(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = f(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑡𝑡)


𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 = 0 → 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑔𝑔

𝜕𝜕4𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥4 + 𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓

𝜕𝜕2𝑔𝑔𝜕𝜕𝑡𝑡2 = 0

1𝑓𝑓𝜕𝜕4𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥4 = −

𝜌𝜌𝑆𝑆𝐸𝐸𝐽𝐽

1𝑔𝑔𝜕𝜕2𝑔𝑔𝜕𝜕𝑡𝑡2 = 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒 =

𝛼𝛼4

𝑙𝑙4


44

⎩⎪⎨

⎪⎧ 𝜕𝜕4𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑥𝑥4 −𝛼𝛼4


𝜕𝜕2𝑔𝑔𝜕𝜕𝑡𝑡2 +

𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆

𝛼𝛼4

𝑙𝑙4𝑔𝑔 = 0

𝜕𝜕2𝑔𝑔𝜕𝜕𝑡𝑡2 +


𝛼𝛼4

𝑙𝑙4𝑔𝑔 = 0 → 𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼2𝜔𝜔𝐹𝐹𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼2𝜔𝜔𝐹𝐹𝑡𝑡),𝜔𝜔𝐹𝐹 =

1𝑙𝑙2𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆

𝜕𝜕4𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥4 −

𝛼𝛼4


On cherche une solution d la forme :

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑟𝑟𝑥𝑥 (𝑟𝑟 ∈ ℂ) → 𝜕𝜕4𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥4 = 𝐴𝐴𝑟𝑟4𝑒𝑒𝑟𝑟𝑥𝑥

𝜕𝜕4𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥4 −

𝛼𝛼4

𝑙𝑙4𝑓𝑓 = 0 → 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑟𝑟𝑥𝑥

≠0𝑟𝑟4 −

𝛼𝛼4

𝑙𝑙4 =0 ∀𝑥𝑥

= 0

𝑟𝑟4 −𝛼𝛼4

𝑙𝑙4= 0 → 𝑟𝑟4 =

𝛼𝛼4

𝑙𝑙4→ 𝑟𝑟2 = ∓

𝛼𝛼4

𝑙𝑙4

→ 𝑟𝑟1 = −𝑟𝑟2 = 𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙

𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑟𝑟3 = −𝑟𝑟4 =𝛼𝛼𝑙𝑙

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑘𝑘1𝑒𝑒𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘2𝑒𝑒

−𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘3𝑒𝑒𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘4𝑒𝑒

−𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 On a une solution réelle, on peut choisit :

𝑘𝑘1 =𝐵𝐵𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝐴𝐴𝑥𝑥

2,𝑘𝑘2 =

𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝐴𝐴𝑥𝑥2

,𝑘𝑘3 =𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑥𝑥

2,𝑘𝑘4 =

𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝐶𝐶𝑥𝑥2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝐵𝐵𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝐴𝐴𝑥𝑥

2𝑒𝑒𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 +

𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝐴𝐴𝑥𝑥2

𝑒𝑒−𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 +

𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑥𝑥2

𝑒𝑒𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 +

𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝐶𝐶𝑥𝑥2

𝑒𝑒−𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒−𝑖𝑖

𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥

2𝑖𝑖

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥

+ 𝐵𝐵𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒−𝑖𝑖


2𝑖𝑖

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥

+ 𝐶𝐶𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒−𝑖𝑖


2

𝑐𝑐ℎ𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥

+ 𝐷𝐷𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑖𝑖𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒−𝑖𝑖


2

𝑎𝑎ℎ𝛼𝛼𝑙𝑙 𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥

Remarques :

• 𝐴𝐴𝑥𝑥 ,𝐵𝐵𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐷𝐷𝑥𝑥 sont des constantes à déterminer à partir des conditions de liaisons des extrémités;

• 𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐵𝐵𝑡𝑡 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales et de 𝐴𝐴𝑥𝑥 ,𝐵𝐵𝑥𝑥 ,𝐶𝐶𝑥𝑥𝑒𝑒𝑡𝑡𝐷𝐷𝑥𝑥 • 𝛼𝛼 est la solution d'une "équation aux fréquences" en écrivant les conditions aux limites sur 𝑓𝑓; • Il existe plusieurs solutions 𝛼𝛼𝑖𝑖 chaque solution correspond à un mode propre 𝜔𝜔𝑖𝑖 = 𝛼𝛼𝑖𝑖𝜔𝜔𝐹𝐹;

4.7.1.1 vibrations transversales : poutre articulée- articulée (biarticulée)

𝑀𝑀(0, 𝑡𝑡) = 0 → 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒 = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜃𝜃,𝑥𝑥(0, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 (0, 𝑡𝑡) = 0

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑙𝑙

𝑎𝑎(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑀𝑀(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑎𝑎(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑀𝑀(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0


45

𝑀𝑀(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 → 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒 = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜃𝜃,𝑥𝑥(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0


𝑎𝑎(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑡𝑡)

𝑓𝑓(0) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (0) = 0

𝑓𝑓(𝑙𝑙) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑙𝑙) = 0





𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑥𝑥) =

𝛼𝛼2

𝑙𝑙2 −𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 − 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐




𝐴𝐴𝑥𝑥 . 0 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 . 1 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 . 0 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 . 1 = 0𝐴𝐴𝑥𝑥 . 0 − 𝐵𝐵𝑥𝑥 . 1 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 . 0 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 . 1 = 0

𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝐶𝐶𝑥𝑥 . 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) + 𝐷𝐷𝑥𝑥 . 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0−𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) − 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0

Ecriture matricielle :

0 1 0 10 −1 0 1

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) −𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)

𝐴𝐴𝑥𝑥𝐵𝐵𝑥𝑥𝐶𝐶𝑥𝑥𝐷𝐷𝑥𝑥

=

0000

C'est un système homogène il n'admettra de solution que si son déterminant est aussi nul. Comme 𝐵𝐵𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐷𝐷𝑥𝑥 sont évidemment nulles, on peut simplifier le système :

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)

𝐴𝐴𝑥𝑥𝐶𝐶𝑥𝑥 = 00

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) = 0 → é𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒂𝒂 𝒇𝒇𝑨𝑨é𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝑬𝑬𝑷𝑷𝒅𝒅𝑬𝑬 ∶ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼). 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) = 0

𝛼𝛼 = 0 est une solution sans intérêt, donc 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) est non nul. Par conséquent, 𝐶𝐶𝑥𝑥 = 0.

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) = 0 → 𝛼𝛼𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝜋𝜋

𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑛𝑛𝜋𝜋𝑥𝑥𝑙𝑙 ,𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑏𝑏𝑖𝑖𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑟𝑟𝑒𝑒

𝑎𝑎(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑛𝑛𝜋𝜋𝑥𝑥𝑙𝑙 . 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝝎𝝎𝑬𝑬𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝝎𝝎𝑬𝑬𝑡𝑡),𝝎𝝎𝑬𝑬 =

𝑬𝑬𝝅𝝅𝑨𝑨𝒚𝒚𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆


46

4.7.1.2 vibrations transversales : poutre encastrée- libre


𝑇𝑇(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = −𝑀𝑀,𝑥𝑥(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 → 𝑇𝑇(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜃𝜃,𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0



𝑓𝑓(0) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

(0) = 0 𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑙𝑙) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡

𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3 (𝑙𝑙) = 0






(𝑥𝑥) =𝛼𝛼𝑙𝑙 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 − 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥+ 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ


𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑥𝑥) =

𝛼𝛼2






𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑙𝑙

𝑎𝑎(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜃𝜃(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑇𝑇(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑀𝑀(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0


47

𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3 (𝑥𝑥) =

𝛼𝛼3

𝑙𝑙3 −𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛


𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ



−𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) − 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0−𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) = 0


0 1 0 11 0 1 0

−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) −𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)−𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)


=

0000

C'est un système homogène il n'admettra de solution que si son déterminant est aussi nul. Comme 𝐴𝐴𝑥𝑥 = −𝐶𝐶𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐵𝐵𝑥𝑥 = −𝐷𝐷𝑥𝑥 on peut simplifier le système :

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)


𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) = −21 + 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼). 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0

→ é𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒂𝒂 𝒇𝒇𝑨𝑨é𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝑬𝑬𝑷𝑷𝒅𝒅𝑬𝑬 ∶ 1 + 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼). 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0

Cette équation n'a pas de solution analytique et ses solutions sont recherchées numériquement :

𝛼𝛼1 ≈ 1.875,𝛼𝛼2 ≈ 4.694,𝛼𝛼3 ≈ 7.855 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛼𝛼𝑛𝑛 ≈2𝑛𝑛 − 1

2𝜋𝜋 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑛𝑛 ≥ 4

𝐵𝐵𝑥𝑥 = −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)𝐴𝐴𝑥𝑥

𝒇𝒇𝑬𝑬(𝒂𝒂) = 𝑨𝑨𝒂𝒂 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 − 𝑬𝑬𝒕𝒕

𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 +

𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬(𝜶𝜶𝑬𝑬) + 𝑬𝑬𝒕𝒕(𝜶𝜶𝑬𝑬)𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬(𝜶𝜶𝑬𝑬) + 𝑷𝑷𝒕𝒕(𝜶𝜶𝑬𝑬)𝑷𝑷𝒕𝒕

𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 − 𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬

𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂

Les pulsations propres sont :

𝜔𝜔𝑛𝑛 = 𝛼𝛼𝑛𝑛2.𝜔𝜔𝐹𝐹 , 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜔𝜔𝐹𝐹 =1𝑙𝑙2𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆

Mode 𝜶𝜶𝑬𝑬 1 1.875 2 4.694 3 7.855

>4 2𝑛𝑛 − 12

𝜋𝜋


48

4.7.1.3 vibrations transversales : poutre libre- libre

𝑀𝑀(0, 𝑡𝑡) = 0 → 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒 = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜃𝜃,𝑥𝑥(0, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 (0, 𝑡𝑡) = 0

𝑇𝑇(0, 𝑡𝑡) = −𝑀𝑀,𝑥𝑥(0, 𝑡𝑡) = 0 → 𝑇𝑇(0, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜃𝜃,𝑥𝑥𝑥𝑥 (0, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 (0, 𝑡𝑡) = 0


𝑇𝑇(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = −𝑀𝑀,𝑥𝑥(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 → 𝑇𝑇(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜃𝜃,𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0


𝑎𝑎(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑡𝑡) 𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (0) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡

𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3 (0) = 0

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑙𝑙) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡

𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3 (𝑙𝑙) = 0











𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑙𝑙

𝑇𝑇(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑀𝑀(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑇𝑇(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑀𝑀(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0


49

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑥𝑥) =

𝛼𝛼2






𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3 (𝑥𝑥) =

𝛼𝛼3

𝑙𝑙3 −𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐

𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛


𝛼𝛼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ


−𝐴𝐴𝑥𝑥 . 0 − 𝐵𝐵𝑥𝑥 . 1 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 . 0 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 . 1 = 0−𝐴𝐴𝑥𝑥 . 1 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 . 0 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 . 1 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 . 0 = 0

−𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) − 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0−𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) = 0


0 −1 0 1−1 0 1 0

−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) −𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)−𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)


=

0000

C'est un système homogène il n'admettra de solution que si son déterminant est aussi nul. Comme 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝐶𝐶𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐵𝐵𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝑥𝑥 on peut simplifier le système :

−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) −𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)−𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝐴𝐴𝑥𝑥𝐵𝐵𝑥𝑥

= 00

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) −𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)−𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) = −21− 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼). 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0

→ é𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒂𝒂 𝒇𝒇𝑨𝑨é𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝑬𝑬𝑷𝑷𝒅𝒅𝑬𝑬 ∶ 1 − 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼). 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0

Cette équation n'a pas de solution analytique et ses solutions sont recherchées numériquement.

La première solution 𝛼𝛼 = 0 est évidente, elle correspond à deux modes de déplacements en solide rigide de la poutre.

𝜕𝜕4𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥4 −

𝛼𝛼4

𝑙𝑙4𝑓𝑓 = 0 →

𝜕𝜕4𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥4 = 0 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴′1𝑥𝑥3 + 𝐴𝐴′2𝑥𝑥2 + 𝐴𝐴′3𝑥𝑥 + 𝐴𝐴′4

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑥𝑥) = 6𝐴𝐴′1𝑥𝑥 + 2𝐴𝐴′2 𝑒𝑒𝑡𝑡

𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3 (𝑥𝑥) = 6𝐴𝐴′1

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (0) = 0 → 𝐴𝐴′2 = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡

𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3 (0) = 0 → 𝐴𝐴′1 = 0

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑙𝑙) = 0 𝑎𝑎é𝑟𝑟𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖é𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑡𝑡

𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3 (𝑙𝑙) = 0 𝑎𝑎é𝑟𝑟𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖é𝑒𝑒

→ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑏𝑏 sont arbitraires, donc le sous espace associé à 𝛼𝛼 est de dimension 2. On verra plus tard comment on va obtenir ces deux modes rigides orthogonaux:

𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 −𝑙𝑙2 ,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑏𝑏𝑖𝑖𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐

On trouve pour les autres modes:

𝛼𝛼3 ≈ 4.730,𝛼𝛼4 ≈ 7.853,𝛼𝛼5 ≈ 10.995 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛼𝛼𝑛𝑛 ≈2𝑛𝑛 − 3


𝐵𝐵𝑥𝑥 = −−𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)−𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)𝐴𝐴𝑥𝑥


50

𝒇𝒇𝑬𝑬(𝒂𝒂) = 𝑨𝑨𝒂𝒂 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 + 𝑬𝑬𝒕𝒕

𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 +

𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬(𝜶𝜶𝑬𝑬)− 𝑬𝑬𝒕𝒕(𝜶𝜶𝑬𝑬)−𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬(𝜶𝜶𝑬𝑬) + 𝑷𝑷𝒕𝒕(𝜶𝜶𝑬𝑬)𝑷𝑷𝒕𝒕

𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 + 𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬




Mode 𝜶𝜶𝑬𝑬 3 4.730 4 7.853 5 10.995

>6 2𝑛𝑛 − 32

𝜋𝜋

4.7.1.4 vibrations transversales : poutre encastrée-encastrée



𝑓𝑓(0) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

(0) = 0

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑙𝑙

𝑎𝑎(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜃𝜃(0, 𝑡𝑡) = 0 𝑎𝑎(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜃𝜃(𝑙𝑙, 𝑡𝑡) = 0


51

𝑓𝑓(𝑙𝑙) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

(𝑙𝑙) = 0












𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0𝐴𝐴𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) − 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) + 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) + 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) = 0


0 1 0 11 0 1 0

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)


=

0000

C'est un système homogène il n'admettra de solution que si son déterminant est aussi nul. Comme 𝐴𝐴𝑥𝑥 = −𝐶𝐶𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐵𝐵𝑥𝑥 = −𝐷𝐷𝑥𝑥 on peut simplifier le système :

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) − 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) − 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) − 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) − 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)


𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) − 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) − 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) − 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) − 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼) = −21− 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼). 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0

→ é𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑬𝑬𝑬𝑬𝒂𝒂 𝒇𝒇𝑨𝑨é𝑬𝑬𝑬𝑬𝒅𝒅𝑬𝑬𝑷𝑷𝒅𝒅𝑬𝑬 ∶ 1 − 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼). 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼) = 0

Cette équation n'a pas de solution analytique et ses solutions sont recherchées numériquement.

𝛼𝛼1 ≈ 4.730,𝛼𝛼2 ≈ 7.853,𝛼𝛼3 ≈ 10.995 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛼𝛼𝑛𝑛 ≈2𝑛𝑛 + 1


𝐵𝐵𝑥𝑥 = −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼) − 𝑐𝑐ℎ(𝛼𝛼)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼) − 𝑎𝑎ℎ(𝛼𝛼)𝐴𝐴𝑥𝑥

𝒇𝒇𝑬𝑬(𝒂𝒂) = 𝑨𝑨𝒂𝒂 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 − 𝑬𝑬𝒕𝒕

𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 −

𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬(𝜶𝜶𝑬𝑬)− 𝑬𝑬𝒕𝒕(𝜶𝜶𝑬𝑬)𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬(𝜶𝜶𝑬𝑬) − 𝑷𝑷𝒕𝒕(𝜶𝜶𝑬𝑬)𝑷𝑷𝑬𝑬𝑬𝑬

𝜶𝜶𝑬𝑬𝑨𝑨𝒂𝒂 − 𝑷𝑷𝒕𝒕




Mode 𝜶𝜶𝑬𝑬 1 4.730 2 7.853 3 10.995

>3 2𝑛𝑛 + 12

𝜋𝜋


52

4.8 Propriétés d'orthogonalité des modes propres

Pour simplifier, on travaillera dans cette partie avec le modèle de Bernoulli en négligeant les termes d'inertie de rotation. On prendra le cas où les caractéristiques mécaniques de la section droite ne sont pas constants suivant 𝑥𝑥. Les conditions aux limites sur les extrémités sont des combinaisons quelconques d'encastrements, d'articulations et de bords libres et on n'a pas de chargements extérieurs.

4.8.1 Propriétés d'orthogonalité des modes propres transversaux

On rappelle, dans le cas général vu précédemment:

𝑜𝑜 = 𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝜃𝜃𝑎𝑎0

𝜀𝜀 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 ,𝜒𝜒 = 𝜃𝜃,𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛾𝛾 = 2𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝜃𝜃

→ 𝛆𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 0𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒𝜒 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 =𝛾𝛾2

Donc pour la flexion avec l'hypothèse du modèle de Bernoulli on a:

𝑎𝑎,𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜𝑜 = 0 → 𝑜𝑜 = −𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑎𝑎0

→ 𝛆𝛆 −𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 0 0

0 0 00 0 0

On applique le principe de Hamilton :



53


=12𝜌𝜌

−𝑦𝑦𝑎,𝑥𝑥𝑎0

−𝑦𝑦𝑎,𝑥𝑥𝑎0

𝑑𝑑𝑉𝑉0

Ω

=12𝜌𝜌𝑎2 + 𝑦𝑦2𝑎,𝑥𝑥

2𝑑𝑑𝑉𝑉0

Ω

𝑇𝑇 =12⎝

⎛ 𝑎2 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆𝜌𝜌𝑆𝑆


0

+ 𝑎,𝑥𝑥2 𝜌𝜌𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆𝜌𝜌𝐽𝐽


0 ⎠

⎞

𝑇𝑇 =12𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎,𝑥𝑥

2𝜌𝜌𝐽𝐽𝑛𝑛é𝑔𝑔𝑙𝑙𝑖𝑖𝑔𝑔 é𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑥𝑥 ≈12𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑙𝑙

0





Les conditions aux limites sur les bords libres donnent : 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 = −[𝑇𝑇𝑎𝑎]0

𝑙𝑙 − 𝑀𝑀𝑎𝑎,𝑥𝑥0𝑙𝑙



+ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 =12𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

− [𝑇𝑇𝑎𝑎]0𝑙𝑙 − 𝑀𝑀𝑎𝑎,𝑥𝑥 0

𝑙𝑙


𝐿𝐿 =12𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ [𝑇𝑇𝑎𝑎]0𝑙𝑙 + 𝑀𝑀𝑎𝑎,𝑥𝑥0

𝑙𝑙

𝛿𝛿𝐿𝐿 =12𝛿𝛿 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

−12𝐸𝐸𝐽𝐽𝛿𝛿𝜒𝜒2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ [𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎]0𝑙𝑙 + 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥0

𝑙𝑙

𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒𝑛𝑛 ∶ 𝛿𝛿 12𝑎. 𝑎 = 𝑎. 𝛿𝛿𝑎, 𝛿𝛿

12𝜒𝜒2 = 𝜒𝜒. 𝛿𝛿𝜒𝜒 = 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 .𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥

𝛿𝛿𝐿𝐿 = 𝑎𝛿𝛿𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒𝑀𝑀

𝛿𝛿 𝜒𝜒⏞𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥


0


𝑙𝑙


= 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝑎𝛿𝛿𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0



𝑡𝑡1


=0


𝑡𝑡1

𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


0

+ 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

→ 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥0𝑙𝑙 − 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

→ 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


0

−𝑀𝑀,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


54

𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎0𝑙𝑙 − 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0


0

= 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥0𝑙𝑙 − 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎0

𝑙𝑙 − 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


0

= 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥0𝑙𝑙 − 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎0

𝑙𝑙 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝛿𝛿𝐼𝐼 = −𝑎.𝛿𝛿𝑎𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


0

− 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥 0𝑙𝑙 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎0

𝑙𝑙 + [𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎]0𝑙𝑙 + 𝑀𝑀𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥0


𝑡𝑡1

𝛿𝛿𝐼𝐼 = −𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆. 𝛿𝛿𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


0

+ 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝛿𝛿𝑎𝑎0𝑙𝑙 + [𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎]0


𝑡𝑡1

𝛿𝛿𝐼𝐼 = −𝛿𝛿𝑎𝑎𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 +𝑀𝑀,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ 𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑇𝑇𝛿𝛿𝑎𝑎0𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

∀𝛿𝛿𝑜𝑜, 𝛿𝛿𝑎𝑎 on aura :

𝑎.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑀𝑀,𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 → 𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 .𝜌𝜌𝑆𝑆 +

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 = 0

𝑀𝑀,𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 = 0 Prenons la solution :


𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝜔𝜔𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑐𝑐),𝜔𝜔 = 𝛼𝛼2𝜔𝜔𝐹𝐹 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜔𝜔𝐹𝐹 =1𝑙𝑙2𝐸𝐸𝐽𝐽𝜌𝜌𝑆𝑆

𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 = −𝜔𝜔2𝑓𝑓.𝑔𝑔 𝑒𝑒𝑡𝑡

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 = 𝑔𝑔

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2

−𝜔𝜔2𝑓𝑓.𝑔𝑔.𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑔𝑔𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 = 0

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 = 𝜔𝜔2𝑓𝑓.𝜌𝜌𝑆𝑆

Pour une forme propre i, on a :

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥2 = 𝜔𝜔𝑖𝑖

2𝑓𝑓𝑖𝑖𝜌𝜌𝑆𝑆

On considère deux modes propres 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑓𝑓𝑗𝑗 . On applique le principe de Hamilton en considérant 𝛿𝛿𝑎𝑎 = 𝑓𝑓𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖 on aura:

𝛿𝛿𝐼𝐼 =

⎝

⎜⎛− 𝑎⏟

𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2

. 𝛿𝛿𝑎𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

− 𝑀𝑀⏟𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕

2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2

𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝜕𝜕2𝛿𝛿𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2


0

+

⎣⎢⎢⎡

𝑇𝑇⏟𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝐸𝐸𝐽𝐽

𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2

𝛿𝛿𝑎𝑎

⎦⎥⎥⎤

0

𝑙𝑙

+ 𝑀𝑀⏟𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕

2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2

𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥

0

𝑙𝑙

⎠

⎟⎞𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0


55

Ou encore :

𝛿𝛿𝐼𝐼 =

⎝

⎛−𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑡𝑡2 . 𝛿𝛿𝑎𝑎𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

−𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2

𝜕𝜕2𝛿𝛿𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

+ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2𝛿𝛿𝑎𝑎

0

𝑙𝑙

𝑇𝑇𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒 1

+ 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2

𝜕𝜕𝛿𝛿𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥

0

𝑙𝑙

𝑇𝑇𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒 2 ⎠

⎞𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0

Le Treme 1 est nul : la poutre aux extrémités est soit appuiée soit libre 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑡𝑡 𝛿𝛿𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑙𝑙𝑐𝑐

Le Treme 2 est nul : la poutre aux extrémités est soit encastrée soit libre 𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑙𝑙𝑐𝑐

𝛿𝛿𝐼𝐼 Devient:

𝛿𝛿𝐼𝐼 = −𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡2 .𝑓𝑓𝑗𝑗𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

−𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥2

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0


𝑡𝑡1

= 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝑔𝑔𝑖𝑖 𝜔𝜔𝑖𝑖2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

−𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥2


𝑙𝑙

0


𝑡𝑡1

= 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝜔𝜔𝑖𝑖2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

−𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥2


𝑙𝑙

0

𝑔𝑔𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0

→ 𝜔𝜔𝑖𝑖2 𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥2


𝑙𝑙

0

Si on intervertie les i et j on aura :

→ 𝜔𝜔𝑗𝑗2 𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑗𝑗𝑓𝑓𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥2

𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

En faisant la soutraction des ces deux dernières relations, on aura :

𝜔𝜔𝑖𝑖2 −𝜔𝜔𝑗𝑗2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 0

Si 𝜔𝜔𝑖𝑖 ≠ 𝜔𝜔𝑗𝑗 on obtient les relations d'orthogonalités :

𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 0 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝜔𝜔𝑖𝑖 ≠ 𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑙𝑙𝑖𝑖𝑡𝑡é 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡 à 𝑙𝑙′𝑐𝑐𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝜌𝜌𝑆𝑆

𝐸𝐸𝐽𝐽𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥2


𝑙𝑙

0

= 0 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝜔𝜔𝑖𝑖 ≠ 𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑙𝑙𝑖𝑖𝑡𝑡é 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡 à 𝑙𝑙′𝑐𝑐𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝐸𝐸𝐽𝐽

4.8.2 Propriétés d'orthogonalité des modes propres longitudinaux

Donc pour la traction avec l'hypothèse du modèle de Bernoulli on a:

→ 𝑜𝑜 = 𝑜𝑜00

→ 𝛆𝛆 𝑜𝑜,𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

On applique le principe de Hamilton :


56



=12𝜌𝜌

𝑜00 𝑜00 𝑑𝑑𝑉𝑉

0

Ω

=12𝜌𝜌𝑜2𝑑𝑑𝑉𝑉

0

Ω

𝑇𝑇 =12𝑜2 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆𝜌𝜌𝑆𝑆


0





Les conditions aux limites sur les bords libres donnent : 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 = −[𝑁𝑁𝑜𝑜]0

𝑙𝑙 L'énergie de déformation élastique U est égale à:


+ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 =12𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥

2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

− [𝑁𝑁𝑜𝑜]0𝑙𝑙


𝐿𝐿 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥


0

+ [𝑁𝑁𝑜𝑜]0𝑙𝑙

𝛿𝛿𝐿𝐿 =12𝛿𝛿 𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

−12𝛿𝛿𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥


0

+ [𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜]0𝑙𝑙


12𝑜𝑜,𝑥𝑥

2 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 .𝛿𝛿𝑜𝑜,𝑥𝑥

𝛿𝛿𝐿𝐿 = 𝑜. 𝛿𝛿𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥𝑁𝑁

𝛿𝛿𝑜𝑜,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ [𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜]0𝑙𝑙


= 0

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝑜. 𝛿𝛿𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ [𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜]0𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0



𝑡𝑡1


=0


𝑡𝑡1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝛿𝛿𝐼𝐼 = − 𝑜. 𝛿𝛿𝑜𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

+ [𝑁𝑁𝛿𝛿𝑜𝑜]0𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

∀𝛿𝛿𝑜𝑜 et sachant 𝑁𝑁 = 𝐸𝐸𝑆𝑆 𝜕𝜕𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥

on aura :

𝛿𝛿𝐼𝐼 = −𝛿𝛿𝑜𝑜𝜌𝜌𝑆𝑆𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

−𝜕𝜕𝛿𝛿𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥


0

+ 𝛿𝛿𝑜𝑜𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥0

𝑙𝑙


𝑡𝑡1

Prenons la solution :

𝑜𝑜(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑡𝑡)


57

𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝜔𝜔𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑐𝑐),𝜔𝜔 = 𝛼𝛼𝜔𝜔𝐿𝐿 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜔𝜔𝐿𝐿 =1𝑙𝑙𝐸𝐸𝜌𝜌

𝜕𝜕2𝑜𝑜𝜕𝜕𝑡𝑡2 = −𝜔𝜔2𝑓𝑓.𝑔𝑔 𝑒𝑒𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥

= 𝑔𝑔𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

On considère deux modes propres 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑓𝑓𝑗𝑗 . On applique le principe de Hamilton en considérant 𝛿𝛿𝑜𝑜 = 𝑓𝑓𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜𝑜 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖 on aura:

𝛿𝛿𝐼𝐼 = −𝑓𝑓𝑗𝑗𝜌𝜌𝑆𝑆𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡2 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

−𝜕𝜕𝑓𝑓𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥


0

+ 𝑓𝑓𝑗𝑗𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥

0

𝑙𝑙


𝑡𝑡1

𝛿𝛿𝐼𝐼 Devient:

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝜔𝜔𝑖𝑖2 𝑓𝑓𝑗𝑗𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0


𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥


0

+ 𝑓𝑓𝑗𝑗𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥0

𝑙𝑙


𝑡𝑡1

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝜔𝜔𝑖𝑖2 𝑓𝑓𝑗𝑗𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0




0

+ 𝑓𝑓𝑗𝑗𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥0

𝑙𝑙


𝑡𝑡1

→ 𝜔𝜔𝑖𝑖2 𝑓𝑓𝑗𝑗𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 𝜕𝜕𝑓𝑓𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥



0

− 𝑓𝑓𝑗𝑗𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥0

𝑙𝑙

=0 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑟𝑟 é𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑜𝑜𝑖𝑖 é𝑒𝑒

Si on intervertie les i et j on aura :

→ 𝜔𝜔𝑗𝑗2 𝑓𝑓𝑖𝑖𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑓𝑓𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥


0

En faisant la soutraction des ces deux dernières relations, on aura :

𝜔𝜔𝑖𝑖2 −𝜔𝜔𝑗𝑗2𝑓𝑓𝑖𝑖𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

= 0

Si 𝜔𝜔𝑖𝑖 ≠ 𝜔𝜔𝑗𝑗 on obtient les relations d'orthogonalités :

𝑓𝑓𝑖𝑖𝜌𝜌𝑆𝑆𝑓𝑓𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

= 0 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝜔𝜔𝑖𝑖 ≠ 𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑙𝑙𝑖𝑖𝑡𝑡é 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡 à 𝑙𝑙′𝑐𝑐𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝜌𝜌𝑆𝑆

→ 𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥

𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕𝑓𝑓𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥


0

= 0 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝜔𝜔𝑖𝑖 ≠ 𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑙𝑙𝑖𝑖𝑡𝑡é 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡 à 𝑙𝑙′𝑐𝑐𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜𝑟𝑟 𝐸𝐸𝑆𝑆


58

5 Dynamique des plaques minces 5.1 Théorie de flexion des plaques minces

Base orthonormée : (𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 ) ω : est la surface moyenne et dans le plan (𝑂𝑂, 𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 ) On considère une plaque mince, d'épaisseur h, de surface moyenne ω, occupant un domaine Ω0 dans sa configuration initiale. Un point M de la plaque est repéré par:

𝑂𝑂𝑀𝑀 = 𝑂𝑂𝑚𝑚 + 𝑧𝑧𝑒𝑒3 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑂𝑂𝑚𝑚 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 + 𝑦𝑦𝑒𝑒2

Le point m est la projection orthogonale de M sur la surface moyenne.

5.1.1 Hypothèses

On adopte les hypothèses prises par Kirchhoff-Love pour les plaques minces :

• La plaque à une épaisseur faible par rapport aux autres dimensions. On lui définit un plan moyen appelé aussi surface moyenne ou plan moyen.

• Les sections droites, initialement normales à la surface moyenne restent planes et normales à celle-ci. La déformation en cisaillement transverse est donc négligée.

• Les termes non linéaires du déplacement sont négligés. On néglige les énergies cinétiques de rotations des sections.

• On considère qu'on a un état de contraintes planes σz nulle.

5.1.2 Champs de déplacement et déformations

Sous les hypothèses citées précédemment, le déplacement d'un point M est schématisé comme suit :

𝑒𝑒1

𝑒𝑒3

m

m'

M

M'

𝝏𝝏𝝏𝝏𝝏𝝏𝒂𝒂

m'

ut

w

𝑒𝑒2

𝑒𝑒3

𝑒𝑒1 𝑂𝑂

𝝎𝝎: 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑦𝑦𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒

h/2 h/2

z m

M

f(x,y)

Charge répartie sur la face supérieure


59

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑀𝑀𝑀𝑀′ = 𝑚𝑚𝑚𝑚′ + Θ ∧ mM 𝑚𝑚𝑚𝑚′ = 𝑜𝑜𝑡𝑡 + 𝑤𝑤𝑒𝑒3

𝑜𝑜𝑡𝑡 (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑜𝑜(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑒𝑒2

𝑜𝑜𝑡𝑡 (𝑥𝑥,𝑦𝑦): est le déplacement tangentiel de m dans le plan de la surface moyenne; 𝑤𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦) : est la flèche par rapport à l'état initial. Si on désigne la rotation de la section par :

Θ =

⎩⎪⎨

⎪⎧𝜕𝜕𝑤𝑤𝜕𝜕𝑦𝑦

−𝜕𝜕𝑤𝑤𝜕𝜕𝑥𝑥0 ⎭

⎪⎬

⎪⎫

= 𝑤𝑤,𝑦𝑦−𝑤𝑤,𝑥𝑥

0

On aura :

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑀𝑀𝑀𝑀′ = 𝑚𝑚𝑚𝑚′ + Θ ∧ mM

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑜𝑜𝑡𝑡 (𝑥𝑥,𝑦𝑦) + 𝑤𝑤𝑒𝑒3 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦−𝑤𝑤,𝑥𝑥

0 ∧

00𝑧𝑧 → 𝑜𝑜 (𝑀𝑀) =

𝑜𝑜𝑎𝑎𝑤𝑤+

−𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥−𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑦𝑦

0

Enfin on a :

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) = 𝑜𝑜 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑎𝑎 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑦𝑦

𝑤𝑤 → ∇𝑜𝑜

𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑜𝑜,𝑦𝑦 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 −𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑥𝑥 𝑎𝑎,𝑦𝑦 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 −𝑤𝑤,𝑦𝑦

𝑤𝑤,𝑥𝑥 𝑤𝑤,𝑦𝑦 0

𝛆𝛆

⎣⎢⎢⎢⎡ 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥

12 𝑜𝑜,𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 0

12 𝑜𝑜,𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑎𝑎,𝑦𝑦 − 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 0

0 0 0⎦⎥⎥⎥⎤

=12 ∇𝑜𝑜 + ∇T𝑜𝑜

𝛆𝛆 =

⎣⎢⎢⎢⎡ 𝑜𝑜,𝑥𝑥

12 𝑜𝑜,𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥 0

12 𝑜𝑜,𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥 𝑎𝑎,𝑦𝑦 0

0 0 0⎦⎥⎥⎥⎤

𝐝𝐝𝐟𝐟

+ 𝑧𝑧 −𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 −𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 0−𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 −𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 0

0 0 0

𝛒𝛒

= 𝐝𝐝𝐟𝐟 + z𝛒𝛒

𝐝𝐝𝐟𝐟: tenseur de déformations membranaire; 𝛒𝛒: tenseur de variations de courbure; Dans le plan (𝑂𝑂, 𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 ) :

𝐝𝐝𝐟𝐟 =12 ∇𝑜𝑜𝑡𝑡 + ∇T𝑜𝑜𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛒𝛒 = −∇(∇𝑤𝑤)

Remarque: Pour simplifier la suite, on va s'intéresser qu'à la flexion. Donc, supposera que les déplacements tangentiels, 𝑜𝑜𝑡𝑡 (𝑥𝑥,𝑦𝑦), du point m est négligé. On aura avec cette simplification:

𝛆𝛆 = 𝑧𝑧 −𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 −𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 0−𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 −𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 0

0 0 0 = z𝛒𝛒 et 𝑜𝑜 (𝑀𝑀) =

−𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥−𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑤𝑤

, 𝑡𝑡𝑟𝑟(𝜺𝜺) = 𝑧𝑧. 𝑡𝑡𝑟𝑟(𝝆𝝆) = −𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

−𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 : courbure du plan moyen suivant x notée parfois 𝜒𝜒𝑥𝑥 ; −𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 : courbure du plan moyen suivant y notée parfois 𝜒𝜒𝑦𝑦 ; −𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 : courbure du plan moyen dans le plan (x,y) notée parfois 𝜒𝜒𝑥𝑥𝑦𝑦 ;

𝛆𝛆 = 𝜀𝜀𝑥𝑥 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 0𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑥𝑥 00 0 0

, 𝜀𝜀𝑥𝑥 = 𝑧𝑧𝜒𝜒𝑥𝑥 , 𝜀𝜀𝑦𝑦 = 𝑧𝑧𝜒𝜒𝑦𝑦 , 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 = 2𝑧𝑧𝜒𝜒𝑥𝑥𝑦𝑦


60

5.1.3 Tenseur de contraintes Loi d'élasticité linéaire pour un matériau homogène isotrope (cas isotherme) :

Loi de Hooke: 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 = 2𝜇𝜇. 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑗𝑗 + 𝜆𝜆. 𝑡𝑡𝑟𝑟(𝜺𝜺) 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 = −2𝜇𝜇𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜆𝜆. 𝑡𝑡𝑟𝑟(𝜺𝜺) = −𝑧𝑧 (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 = −2𝜇𝜇𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝜆𝜆. 𝑡𝑡𝑟𝑟(𝜺𝜺) = −𝑧𝑧𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝜆𝜆. 𝑡𝑡𝑟𝑟(𝜺𝜺) = −𝑧𝑧𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 = −2𝜇𝜇𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑧𝑧 = 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0

Si on prend l'hypothèse de contraintes planes, on doit avoir une déformation 𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧 ≠ 0 Ce qui donne :

𝜎𝜎𝑧𝑧𝑧𝑧 = (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0

→ 𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝜆𝜆

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝜈𝜈

(1−𝜈𝜈)

𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

→ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑧𝑧 (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 +𝜆𝜆2

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

→ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑧𝑧2𝜇𝜇

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 2(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

→ 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑧𝑧2𝜇𝜇

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 = −2𝜇𝜇𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 Ou en fonction de 𝜈𝜈 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐸𝐸 :

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑧𝑧4𝜇𝜇(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 +

𝜆𝜆2(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑧𝑧

𝐸𝐸(1 − 𝜈𝜈2) 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜈𝜈𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 =

𝐸𝐸(1 − 𝜈𝜈2) 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜈𝜈𝜀𝜀𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑧𝑧𝐸𝐸

(1 − 𝜈𝜈2) 𝜈𝜈𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 =𝐸𝐸

(1 − 𝜈𝜈2) 𝜈𝜈𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 = −2𝜇𝜇𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 =𝐸𝐸

2(1 + 𝜈𝜈)𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝐺𝐺𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦

On définit comme pour les poutres des efforts tranchants et des moments fléchissants :

𝑀𝑀𝑥𝑥𝑀𝑀𝑦𝑦𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦

= 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑧𝑧𝑑𝑑𝑧𝑧

ℎ2

−ℎ2

𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑄𝑄𝑥𝑥𝑄𝑄𝑦𝑦 =

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑧𝑧𝜎𝜎𝑦𝑦𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧

ℎ2

−ℎ2

On aura comme expressions des moments fléchissants :

𝑀𝑀𝑥𝑥 = −𝑧𝑧𝐸𝐸

(1 − 𝜈𝜈2) 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜈𝜈𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑧𝑧𝑑𝑑𝑧𝑧

ℎ2

−ℎ2

= 𝐷𝐷𝜒𝜒𝑥𝑥 + 𝜈𝜈𝜒𝜒𝑦𝑦 = −𝐷𝐷𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜈𝜈𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

𝑀𝑀𝑦𝑦 = 𝐷𝐷𝜈𝜈𝜒𝜒𝑥𝑥 + 𝜒𝜒𝑦𝑦 = −𝐷𝐷𝜈𝜈𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝐷𝐷(1 − 𝜈𝜈)𝜒𝜒𝑥𝑥𝑦𝑦 = −𝐷𝐷(1 − 𝜈𝜈)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦

Avec :

𝐷𝐷 =𝐸𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈𝜈2) ∶ 𝐥𝐥𝐟𝐟 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐥𝐥𝐟𝐟𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟é 𝐝𝐝𝐟𝐟 𝐟𝐟𝐥𝐥𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟

→ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 = −12𝑀𝑀𝑥𝑥

ℎ3 𝑧𝑧,𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 = −12𝑀𝑀𝑦𝑦

ℎ3 𝑧𝑧,𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 = −12𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦

ℎ3 𝑧𝑧


61

5.1.4 Application du principe de Hamilton

On doit déterminer avant tout le Lagrangien de la plaque.

𝑇𝑇 =𝜌𝜌ℎ2 𝑤2𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

L'énergie cinétique de la plaque :

𝑇𝑇 =12 𝜌𝜌𝑜Ω

. 𝑜 𝑑𝑑𝑉𝑉 =12 𝜌𝜌

−𝑧𝑧𝑤,𝑥𝑥−𝑧𝑧𝑤,𝑦𝑦𝑤

Ω

. −𝑧𝑧𝑤,𝑥𝑥−𝑧𝑧𝑤,𝑦𝑦𝑤

𝑑𝑑𝑉𝑉

𝑇𝑇 =12 𝜌𝜌𝑤2 + 𝑧𝑧2𝑤,𝑥𝑥

2 + 𝑤,𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑉𝑉

Ω

𝑇𝑇 =12

⎣⎢⎢⎢⎡ 𝜌𝜌 𝑤2 + 𝑧𝑧2𝑤,𝑥𝑥

2 + 𝑤,𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑧𝑧

ℎ2

−ℎ2 ⎦⎥⎥⎥⎤𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆

𝑇𝑇 =12 𝜌𝜌𝑤2 𝑑𝑑𝑧𝑧

ℎ2

−ℎ2ℎ

𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

+12 𝜌𝜌𝑤,𝑥𝑥

2 + 𝑤,𝑦𝑦2 𝑧𝑧2𝑑𝑑𝑧𝑧

ℎ2

−ℎ2ℎ3

12


𝑇𝑇 =𝜌𝜌ℎ2⎣⎢⎢⎢⎡

𝑤2𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

+ℎ2

12𝑤,𝑥𝑥

2 + 𝑤,𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆é𝑛𝑛𝑒𝑒𝑟𝑟𝑔𝑔𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛 ⎦

⎥⎥⎥⎤

Sin on néglige les énergies cinétiques dues à la rotation des sections, on aura :

L'énergie potentielle de la plaque :

Pour simplifier, on a considéré que la plaque est encastrée sur ses bords et on a que la répartition de forces f(x,y) sur sa face supérieure.





𝛿𝛿: 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐



12𝝈𝝈: 𝜺𝜺 =

𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 0𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑦𝑦𝑦𝑦 00 0 𝜀𝜀𝑧𝑧𝑧𝑧

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 0𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 0

0 0 0 =

12 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑧𝑧2𝜇𝜇

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 2(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑧𝑧2𝜇𝜇

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 = −2𝜇𝜇𝑧𝑧𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦


62

12𝝈𝝈: 𝜺𝜺 =

𝜇𝜇𝑧𝑧2

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 2(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 +𝜇𝜇𝑧𝑧2

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

+ 𝜇𝜇𝑧𝑧2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 12𝝈𝝈: 𝜺𝜺 = 𝜇𝜇𝑧𝑧2

1(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) 2(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝜆𝜆𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦

12𝝈𝝈: 𝜺𝜺 = 𝜇𝜇𝑧𝑧2

2(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)

(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑈𝑈 = 2𝜇𝜇 1

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇) (𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 +𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

2 − (𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 +𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑧𝑧2𝑑𝑑𝑧𝑧

ℎ2

−ℎ2ℎ3

12


𝑈𝑈 =ℎ3

244𝜇𝜇(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇)(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)

𝐸𝐸(1−𝜈𝜈2)

𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 +𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 2 −

(𝜆𝜆 + 2𝜇𝜇)(𝜆𝜆 + 𝜇𝜇) 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆

𝑈𝑈 =𝐸𝐸ℎ3

24(1 − 𝜈𝜈2)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 2(1 − 𝜈𝜈)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦

2 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

On désigne par D la rigidité en flexion :

𝐷𝐷 =𝐸𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈𝜈2)

𝑈𝑈 =𝐷𝐷2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

2 − 2(1 − 𝜈𝜈)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆

Le travail des forces extérieures:


= 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆s

𝑉𝑉 =𝐷𝐷2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 +𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

2 − 2(1 − 𝜈𝜈)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆

− 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆s

𝑇𝑇 =𝜌𝜌ℎ2 𝑤2𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆


𝐿𝐿 =𝜌𝜌ℎ2 𝑤2𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

−𝐷𝐷2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

2 − 2(1− 𝜈𝜈)𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆

+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆s

𝛿𝛿𝐿𝐿 =𝜌𝜌ℎ2 𝛿𝛿𝑤2𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

−𝐷𝐷2 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦

2 − 2(1 − 𝜈𝜈)𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆

+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆s


63

𝛿𝛿𝐿𝐿 = 𝜌𝜌ℎ 𝑤𝛿𝛿𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

−𝐷𝐷2 2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑆𝑆

− 2(1 − 𝜈𝜈)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑆𝑆 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆s

𝛿𝛿𝐿𝐿 = 𝜌𝜌ℎ 𝑤𝛿𝛿𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

− 𝐷𝐷 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝜈𝜈𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2(1 − 𝜈𝜈)𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆s

On procède deux fois par parties:

𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

= 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 − 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

= 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

= 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

= 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 − 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

= 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

𝛿𝛿𝐿𝐿 = 𝜌𝜌ℎ𝑤𝛿𝛿𝑤 + −𝐷𝐷𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆

Remarque :

Pour simplifier, on enlève les autres termes qui correspondent aux conditions limites en forces sur les bords de la plaque (efforts tranchants et moments aux bords).


64

Si on applique Hamilton :

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 𝜌𝜌ℎ𝑤𝛿𝛿𝑤 −𝐷𝐷𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆


𝑡𝑡1

= 0

Sachant que :

𝑤𝛿𝛿𝑤𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= [𝑤𝛿𝛿𝑤𝑤]=0

− 𝑤𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿𝐿𝐿𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= − 𝜌𝜌ℎ𝑤 + 𝐷𝐷𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝛿𝛿𝑤𝑤𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆


𝑡𝑡1

= 0

Quelque soit 𝛿𝛿𝑤𝑤 on aura enfin:

𝜌𝜌ℎ𝑤 + 𝐷𝐷𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦∇4w

− 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 0

𝐷𝐷∇4w + 𝜌𝜌ℎ𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)

5.2 Vibrations libres transversales (flexion) 5.2.1 Plaque rectangulaire

On considère une plaque rectangulaire dont on doit déterminer les modes propres pour certaines conditions limites en déplacement sur les bords.

Sin on va étudier les vibrations libres, donc on aura à chercher la solution de :

𝐷𝐷∇4w(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) + 𝜌𝜌ℎ𝑤(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 0

Les conditions initiales sont, généralement, prise sous cette forme:

à 𝑡𝑡 = 0 ∶ 𝑤𝑤 = w0(𝑥𝑥,𝑦𝑦), 𝑤 = 𝑎𝑎0(𝑥𝑥,𝑦𝑦)

L'équation à résoudre est une équation différentielle homogène de quatrième ordre. Ce qui est plus important est de déterminer les pulsations naturelles et les modes vibratoires de la plaque. C'est un problème de valeurs propres. Les valeurs propres sont les pulsations propres et les fonctions de formes associées sont les modes propres.

On va appliquer une méthode analytique générale (la méthode de Fourier) pour la détermination des pulsations propres. On appliquera la séparation de l'espace-temps :

w(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = (𝐴𝐴𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡). W(𝑥𝑥,𝑦𝑦)

W(𝑥𝑥,𝑦𝑦): fonctions de formes décrient les modes de vibrations.

On aura donc:

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2 𝑒𝑒3

𝑎𝑎

𝑏𝑏


65

𝐷𝐷∇4W− 𝜌𝜌ℎ𝜔𝜔2𝛿𝛿 = 0

Applications des conditions limites sur les bords:

Encastrement: Déplacement et pente nuls

𝛿𝛿(𝑎𝑎,𝑦𝑦) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛿𝛿,𝑦𝑦(𝑎𝑎,𝑦𝑦) = 0 → 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑏𝑏) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛿𝛿,𝑥𝑥(𝑥𝑥, 𝑏𝑏) = 0 → 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏

Appui simple: Déplacement et moment nuls

𝛿𝛿(𝑎𝑎,𝑦𝑦) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑎𝑎,𝑦𝑦) + 𝜈𝜈𝛿𝛿,𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑎𝑎,𝑦𝑦) = 0 → 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑏𝑏) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜈𝜈𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝑏𝑏) + 𝛿𝛿,𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑏𝑏) = 0 → 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏

Bord libre: Effort tranchant et moment nuls

𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑎𝑎,𝑦𝑦) + (2 − 𝜈𝜈)𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑎𝑎,𝑦𝑦) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑎𝑎,𝑦𝑦) + 𝜈𝜈𝛿𝛿,𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑎𝑎,𝑦𝑦) = 0 → 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝛿𝛿,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑏𝑏) + (2 − 𝜈𝜈)𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑏𝑏) = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜈𝜈𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝑏𝑏) + 𝛿𝛿,𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑏𝑏) = 0 → 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏

Pour une plaque avec appuis simples sur les bords, on prend une solution de cette équation sous la forme de séries de Fourier:

𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝜋𝜋𝑥𝑥𝑎𝑎

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝜋𝜋𝑦𝑦𝑏𝑏

∞

𝑛𝑛=1

∞

𝑚𝑚=1

∇4W = 𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝛿𝛿,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝛿𝛿,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦

Pour chaque valeur de m et n:

𝐶𝐶𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝜋𝜋𝑥𝑥𝑎𝑎


,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥=

𝑚𝑚𝜋𝜋𝑎𝑎

4𝐶𝐶𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑛𝑛𝜋𝜋𝑥𝑥𝑎𝑎




,𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦=

𝑛𝑛𝜋𝜋𝑏𝑏






,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦=


2𝑛𝑛𝜋𝜋𝑏𝑏




→ 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝜋𝜋𝑥𝑥𝑎𝑎



4+


4+ 2



2−𝜌𝜌ℎ𝐷𝐷𝜔𝜔2 = 0

→ 𝑚𝑚𝜋𝜋𝑎𝑎

4+


4+ 2



2−𝜌𝜌ℎ𝐷𝐷𝜔𝜔2 = 0 → 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝜋𝜋2

𝑚𝑚𝑎𝑎

2+

𝑛𝑛𝑏𝑏

2

𝐷𝐷𝜌𝜌ℎ

Pour une plaque carrée:

𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛 =𝜋𝜋2

𝑎𝑎2 𝐷𝐷𝜌𝜌ℎ

(𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜔𝜔11 =2𝜋𝜋2

𝑎𝑎2 𝐷𝐷𝜌𝜌ℎ

:𝑝𝑝𝑜𝑜𝑙𝑙𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑎𝑎𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑎𝑎𝑙𝑙𝑒𝑒


66

5.3 Vibration de membrane (Flexion)

L'équation de mouvement de la membrane en flexion est :

𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 ∇2w

−1𝑎𝑎2 𝑤 = 0, 𝑎𝑎 =

𝜌𝜌𝑇𝑇

La membrane a une résistance en flexion négligeable. On a négligé aussi les forces gravitationnelles. Une tension constante T est appliquée uniformément dans la membrane dans toutes les directions.

5.3.1 Membrane rectangulaire

x

y

x

y

x

y

𝝎𝝎𝒚𝒚𝒚𝒚 𝝎𝝎𝒚𝒚𝒚𝒚

𝝎𝝎𝒚𝒚𝒚𝒚

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑒𝑒3

T T

T

T

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2 (0, 𝑏𝑏)

(𝑎𝑎, 0)


67

Conditions aux limites:

𝑤𝑤(0,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤(𝑎𝑎,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 0 𝑤𝑤(𝑥𝑥, 0, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤(𝑥𝑥, 𝑏𝑏, 𝑡𝑡) = 0 𝑤𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 0) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 0) = 0 On utilise la séparation des variables :

𝑤𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑥𝑥).𝑌𝑌(𝑦𝑦).𝑇𝑇(𝑡𝑡) 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑋𝑋,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑌𝑌𝑇𝑇,𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑋𝑋𝑌𝑌,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑇𝑇, 𝑤 = 𝑋𝑋𝑌𝑌𝑇

→ 𝑋𝑋,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑌𝑌 + 𝑋𝑋𝑌𝑌,𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑇𝑇 −1𝑎𝑎2 𝑋𝑋𝑌𝑌𝑇 = 0

→𝑋𝑋,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑌𝑌 + 𝑋𝑋𝑌𝑌,𝑦𝑦𝑦𝑦

𝑋𝑋𝑌𝑌=

1𝑎𝑎2𝑇𝑇𝑇

= − (𝛼𝛼2 + 𝛽𝛽2)𝐶𝐶𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒

→𝑋𝑋,𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑋𝑋+𝑌𝑌,𝑦𝑦𝑦𝑦

𝑌𝑌= −(𝛼𝛼2 + 𝛽𝛽2) → 𝑋𝑋,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝛼𝛼2𝑋𝑋 = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑌𝑌,𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝛽𝛽2𝑌𝑌 = 0

𝑇 + (𝛼𝛼2 + 𝛽𝛽2)𝑎𝑎2𝑇𝑇 = 0 Les solutions de ces équations sont :

𝑋𝑋 = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑥𝑥𝑌𝑌 = 𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽𝑦𝑦 + 𝐵𝐵𝑦𝑦𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛽𝛽𝑦𝑦

𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝜔𝜔𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝛼𝛼2 + 𝛽𝛽2

𝑤𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = (𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑥𝑥)𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽𝑦𝑦+ 𝐵𝐵𝑦𝑦𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛽𝛽𝑦𝑦(𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡)

Si on tient compte des conditions aux limites, on aura:

𝑤𝑤(0, 𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = (𝐴𝐴𝑥𝑥 . 0 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 . 1)𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽𝑦𝑦 + 𝐵𝐵𝑦𝑦𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛽𝛽𝑦𝑦(𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 → 𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0

𝑤𝑤(𝑎𝑎,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = (𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑎𝑎 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑎𝑎)𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽𝑦𝑦 + 𝐵𝐵𝑦𝑦𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛽𝛽𝑦𝑦(𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 → 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑎𝑎 = 0

𝑤𝑤(𝑥𝑥, 0, 𝑡𝑡) = (𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑥𝑥)𝐴𝐴𝑦𝑦 . 0 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 . 1(𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 → 𝐵𝐵𝑦𝑦 = 0

𝑤𝑤(𝑥𝑥, 𝑏𝑏, 𝑡𝑡) = (𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑥𝑥)𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽𝑏𝑏 + 𝐵𝐵𝑦𝑦𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛽𝛽𝑏𝑏(𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡) = 0 → 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑏𝑏 = 0

𝑤𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 0) = (𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑥𝑥)𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽𝑦𝑦 + 𝐵𝐵𝑦𝑦𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛽𝛽𝑦𝑦(𝐴𝐴𝑡𝑡 . 0 + 𝐵𝐵𝑡𝑡 . 1) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)

𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 0) = (𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼𝑥𝑥)𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽𝑦𝑦 + 𝐵𝐵𝑦𝑦𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝛽𝛽𝑦𝑦(𝜔𝜔𝑡𝑡𝐴𝐴𝑡𝑡 . 1 −𝜔𝜔𝑡𝑡𝐵𝐵𝑡𝑡 . 0) = 0 → 𝐴𝐴𝑡𝑡 = 0

Ce qui donne :

𝛼𝛼 =𝑚𝑚𝜋𝜋𝑎𝑎

𝑚𝑚 = 1,2, … 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝛽𝛽 =𝑛𝑛𝜋𝜋𝑏𝑏

𝑛𝑛 = 1,2, …

On a 𝜔𝜔𝑡𝑡 → 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝛼𝛼2 + 𝛽𝛽2 = 𝑎𝑎𝜋𝜋𝑚𝑚𝑎𝑎

2+ 𝑛𝑛

𝑏𝑏

2

𝑤𝑤𝑚𝑚𝑛𝑛 (𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝐴𝐴𝑦𝑦 .𝐵𝐵𝑡𝑡 .𝐴𝐴𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝜋𝜋𝑎𝑎𝑥𝑥. 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑛𝑛𝜋𝜋𝑏𝑏𝑦𝑦. 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑡𝑡

Par conséquent et en appliquant les superpositions de toutes les solutions, on aura:


68

𝑤𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝜋𝜋𝑥𝑥𝑎𝑎

. 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝜋𝜋𝑦𝑦𝑏𝑏

. 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑡𝑡∞

𝑛𝑛=1

∞

𝑚𝑚=1

,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝜋𝜋𝑚𝑚𝑎𝑎

2+

𝑛𝑛𝑏𝑏

2

𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝜋𝜋𝑥𝑥𝑎𝑎


∞

𝑛𝑛=1

∞

𝑚𝑚=1

∶ 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑜𝑜𝑏𝑏𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑐𝑐é𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐹𝐹𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟

𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚 =4𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑓𝑓(𝜉𝜉, 𝜂𝜂)𝑏𝑏

0

𝑎𝑎

0𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑚𝑚𝜋𝜋𝜉𝜉𝑎𝑎

. 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝜋𝜋𝜂𝜂𝑏𝑏

.𝑑𝑑𝜉𝜉𝑑𝑑𝜂𝜂

Pour trouver les pulsations propres:

𝑤𝑤(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝜋𝜋𝑥𝑥𝑎𝑎


∞

𝑛𝑛=1

∞

𝑚𝑚=1𝛿𝛿(𝑥𝑥 ,𝑦𝑦):𝑓𝑓𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑐𝑐

. 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑡𝑡

𝑤 = 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛2 𝑤𝑤 → 𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 −1𝑎𝑎2 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛

2 𝑤𝑤 = 0

𝑤𝑤,𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝜋𝜋𝑎𝑎

2𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛



𝑤𝑤,𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝜋𝜋𝑏𝑏

2𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛




2+


2 −

1𝑎𝑎2 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛

2 = 0 → 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝜋𝜋𝑚𝑚𝑎𝑎

2+

𝑛𝑛𝑏𝑏

2

5.3.2 Membrane circulaire

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑟𝑟 𝜃𝜃

𝑀𝑀

𝑂𝑂

R


69

L'équation de mouvement de la membrane en flexion est en coordonnées polaires:

𝑤𝑤,𝑟𝑟𝑟𝑟 +1𝑟𝑟𝑤𝑤,𝑟𝑟 +

1𝑟𝑟2 𝑤𝑤,𝜃𝜃𝜃𝜃 −

1𝑎𝑎2 𝑤 = 0, 𝑎𝑎 =

𝜌𝜌𝑇𝑇

La membrane a une résistance en flexion négligeable. On a négligé aussi les forces gravitationnelles. Une tension constante T est appliquée uniformément dans la membrane dans toutes les directions.

Conditions aux limites:

𝑤𝑤(𝑟𝑟 = 𝑅𝑅,𝜃𝜃, 𝑡𝑡) = 0 𝑤𝑤(𝑟𝑟,𝜃𝜃, 0) = 𝑓𝑓(𝑟𝑟,𝜃𝜃) 𝑤(𝑟𝑟,𝜃𝜃, 0) = 0 On utilise la séparation des variables :

𝑤𝑤(𝑟𝑟,𝜃𝜃, 𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑟𝑟).𝑌𝑌(𝜃𝜃).𝑇𝑇(𝑡𝑡) 𝑤𝑤,𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑟𝑟𝑌𝑌𝑇𝑇,𝑤𝑤,𝑟𝑟 = 𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑌𝑌𝑇𝑇,𝑤𝑤,𝜃𝜃𝜃𝜃 = 𝑋𝑋𝑌𝑌,𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇, 𝑤 = 𝑋𝑋𝑌𝑌𝑇

→ 𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑟𝑟𝑌𝑌𝑇𝑇 +1𝑟𝑟𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑌𝑌𝑇𝑇 +

1𝑟𝑟2 𝑋𝑋𝑌𝑌,𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑇𝑇 −

1𝑎𝑎2 𝑋𝑋𝑌𝑌𝑇 = 0

→ 𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑟𝑟𝑌𝑌 + 1

𝑟𝑟 𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑌𝑌 + 1𝑟𝑟2 𝑋𝑋𝑌𝑌,𝜃𝜃𝜃𝜃

𝑋𝑋𝑌𝑌𝑇𝑇 −

1𝑎𝑎2 𝑇 = 0 →

𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑟𝑟 + 1𝑟𝑟 𝑋𝑋,𝑟𝑟

𝑋𝑋+

1𝑟𝑟2𝑌𝑌,𝜃𝜃𝜃𝜃

𝑌𝑌=

1𝑎𝑎2𝑇𝑇𝑇

= −𝑘𝑘2

→ 𝑇 + 𝑎𝑎2𝑘𝑘2𝑇𝑇 = 0 → 𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝜔𝜔𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑟𝑟2𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝑟𝑟𝑋𝑋,𝑟𝑟

𝑋𝑋+ 𝑟𝑟2𝑘𝑘2 = −

𝑌𝑌,𝜃𝜃𝜃𝜃

𝑌𝑌= 𝜂𝜂2

𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑟𝑟 +1𝑟𝑟𝑋𝑋,𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2 −

𝜂𝜂2

𝑟𝑟2𝑋𝑋 = 0

𝑌𝑌,𝜃𝜃𝜃𝜃 + 𝜂𝜂2𝑌𝑌 = 0 → 𝑌𝑌(𝜃𝜃) = 𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜂𝜂𝜃𝜃 + 𝐵𝐵𝜃𝜃𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜂𝜂𝜃𝜃 Remarque:

Comme on n'a pas de conditions sur 𝜃𝜃, la condition implicite est 𝑌𝑌(𝜃𝜃 + 2𝜋𝜋) = 𝑌𝑌(𝜃𝜃) donc:

𝑌𝑌(𝜃𝜃 + 2𝜋𝜋) = 𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜂𝜂(𝜃𝜃 + 2𝜋𝜋) + 𝐵𝐵𝜃𝜃𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜂𝜂(𝜃𝜃 + 2𝜋𝜋) = 𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜂𝜂𝜃𝜃 + 𝐵𝐵𝜃𝜃𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝜂𝜂𝜃𝜃 → 𝜂𝜂 = 𝑛𝑛

→ 𝑌𝑌𝑛𝑛(𝜃𝜃) = 𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝐵𝐵𝜃𝜃𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝜃𝜃 = 𝐶𝐶𝜃𝜃cos(𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝑐𝑐𝑛𝑛)

Les fonctions de formes auront cette forme:

𝛿𝛿(𝑟𝑟,𝜃𝜃) = 𝑋𝑋(𝑟𝑟). cos(𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝑐𝑐𝑛𝑛)

On aura alors à résoudre:

→ 𝑋𝑋,𝑟𝑟𝑟𝑟 +1𝑟𝑟𝑋𝑋,𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2 −

𝑛𝑛2

𝑟𝑟2𝑋𝑋 = 0

𝑋𝑋(𝑅𝑅) = 0

La solution de cette équation est l'équation de Bessel:

𝑋𝑋(𝑟𝑟) = 𝛼𝛼𝑛𝑛 . 𝐽𝐽𝑛𝑛(𝑘𝑘𝑟𝑟) + 𝛽𝛽𝑛𝑛 .𝑌𝑌𝑛𝑛(𝑘𝑘𝑟𝑟)


70

𝐽𝐽𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2𝑛𝑛

(−𝑥𝑥2 4⁄ )𝑚𝑚

𝑚𝑚!Γ(𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 + 1)

∞

𝑚𝑚=0

∶ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑒𝑒𝑚𝑚𝑖𝑖è𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝è𝑎𝑎𝑒𝑒 (𝑑𝑑é𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑛𝑛 0)

𝑌𝑌𝑛𝑛(𝑥𝑥) =𝐽𝐽𝑛𝑛(𝑥𝑥)𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑛𝑛𝜋𝜋) − 𝐽𝐽−𝑛𝑛(𝑥𝑥)

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑛𝑛𝜋𝜋) :𝑓𝑓𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝è𝑎𝑎𝑒𝑒 (𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑑𝑑é𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑛𝑛 0)

Γ(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥𝑥−1𝑑𝑑𝑡𝑡∞

0

5.3.3 Vibrations libres d'une coque cylindrique en flexion

L'équation de mouvement de la coque cylindrique en flexion est:

𝜕𝜕4𝑤𝑤𝜕𝜕𝑥𝑥4 + 4𝛽𝛽4𝑤𝑤 +

𝜌𝜌ℎ𝐷𝐷𝑤 = 0,𝛽𝛽4 =

𝐸𝐸ℎ4𝑅𝑅2𝐷𝐷

𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐷𝐷 =𝐸𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈𝜈2)

𝑱𝑱𝟎𝟎(𝒂𝒂)

𝒀𝒀𝟎𝟎(𝒂𝒂)

𝒚𝒚

𝟎𝟎

−𝒚𝒚 𝒚𝒚𝟎𝟎 𝒚𝒚𝟎𝟎 𝟎𝟎

𝒂𝒂 = 𝒌𝒌𝑨𝑨

Mode (01) Mode (13)

𝑒𝑒1

𝐿𝐿

2𝑅𝑅


71

La solution de cette équation de mouvement pour une coque cylindrique simplement supportée sur les extrémités est prise harmonique :

𝑤𝑤(𝑥𝑥, , 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑛𝑛 . 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝜋𝜋𝑥𝑥𝐿𝐿

∞

𝑛𝑛=1𝛿𝛿(𝑥𝑥):𝑓𝑓𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒

. 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝜔𝜔𝑡𝑡𝑇𝑇(𝑡𝑡)

Où 𝜔𝜔 est la pulsation des vibrations naturelles.

𝑤𝑤(𝑥𝑥, , 𝑡𝑡) = 𝛿𝛿(𝑥𝑥).𝑇𝑇(𝑡𝑡)

𝜕𝜕4𝑤𝑤𝜕𝜕𝑥𝑥4 =

𝑛𝑛𝜋𝜋𝐿𝐿

4𝛿𝛿𝑇𝑇 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑤 = 𝛿𝛿𝑇 = −𝛿𝛿𝜔𝜔2𝑇𝑇

On a alors:

𝑛𝑛𝜋𝜋𝐿𝐿

4𝛿𝛿𝑇𝑇 + 4𝛽𝛽4𝛿𝛿𝑇𝑇 =

𝜌𝜌ℎ𝐷𝐷𝜔𝜔2𝛿𝛿𝑇𝑇

𝐷𝐷 𝑛𝑛𝜋𝜋𝐿𝐿

4+𝐸𝐸ℎ𝑅𝑅2 = 𝜌𝜌ℎ𝜔𝜔2

Ce qui donne les pulsations naturelles:

𝜔𝜔𝑛𝑛2 =𝐸𝐸𝜌𝜌𝑅𝑅2 (1 + 𝜇𝜇𝜆𝜆4)

𝜇𝜇 =ℎ2

12𝑅𝑅2(1− 𝜈𝜈2) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜆𝜆 =𝑛𝑛𝜋𝜋𝑅𝑅𝐿𝐿

La valeur 𝜇𝜇, pour les coques minces, est très petite comparée à l'unité. Pour les coques cylindriques de longueur importante 𝜇𝜇𝜆𝜆4 ≪ 1. Alors, la pulsation naturelle coïncide avec celle d'un anneau ou avec une coque de longueur infinie.


72

6 Dynamique des poutres droites par éléments finis

Dans cette partie du cours on va voir comment déterminer les valeurs propres et les modes propres des poutres par une méthode approchée : Méthode des éléments finis.

Pour simplifier, on ne prendra que les poutres droites avec l'hypothèse de Bernouilli.

Rappel (voir paragraphe (5.4)) :

𝐿𝐿𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑆𝑆 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑦𝑦𝑚𝑚é𝑡𝑡𝑟𝑟𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑥, 𝑦) 𝑅𝑅é𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑛𝑛é𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐: 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑦𝑦(𝑥𝑥) 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑙𝑙𝑒𝑒𝑥𝑥𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 ∶ 𝑀𝑀1 = 𝑀𝑀1𝑒𝑒3𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀2𝑒𝑒3,𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑛𝑛é𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜𝑒𝑒: 𝑚𝑚𝑧𝑧 = 𝑚𝑚𝑧𝑧(𝑥𝑥)𝑒𝑒3

𝐿𝐿𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 𝐹1 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝐹𝐹𝑦𝑦10 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜é𝑒𝑒 à 𝑥𝑥 = 0 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 𝐹2

𝐹𝐹𝑥𝑥2𝐹𝐹𝑦𝑦20 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑖𝑖𝑞𝑞𝑜𝑜é𝑒𝑒 à 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙

L'hypothèse d'Euler-Bernouilli : Toute section droite reste droite et perpendiculaire à la fibre moyenne 𝑎𝑎,𝑥𝑥 = 𝜃𝜃

𝑜𝑜 (𝑀𝑀) 𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥

𝑎𝑎0

→ 𝛆𝛆 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥 0 0

0 0 00 0 0

, 𝛆𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥

On rappelle :

𝜀𝜀 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 ∶ 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝐝𝐝é𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐥𝐥𝐟𝐟 𝐥𝐥𝐟𝐟𝐥𝐥𝐟𝐟𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐦𝐦𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟𝐝𝐝 𝜒𝜒 = 𝜃𝜃,𝑥𝑥 ∶ 𝐥𝐥𝐟𝐟 𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐜𝐜𝐟𝐟𝐝𝐝 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐥𝐥𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟

𝛾𝛾 = 0: 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝐝𝐝é𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐜𝐜𝐟𝐟𝐜𝐜𝐟𝐟𝐟𝐟𝐥𝐥𝐥𝐥𝐝𝐝𝐟𝐟𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟

→ 𝛆𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒𝜒

𝑚𝑚𝑧𝑧 𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑒𝑒3 𝑆𝑆

𝑙𝑙

𝑀𝑀

𝑃𝑃

𝑥𝑥

𝑦𝑦 𝑭𝑭𝒚𝒚𝒚𝒚 𝑭𝑭𝒚𝒚𝒚𝒚 𝑴𝑴𝒚𝒚 𝑝𝑝𝑦𝑦

𝑭𝑭𝒂𝒂𝒚𝒚 𝑭𝑭𝒂𝒂𝒚𝒚 𝑝𝑝𝑥𝑥

𝑴𝑴𝒚𝒚

𝑒𝑒1

𝑒𝑒2

𝑃𝑃

𝑥𝑥

𝑦𝑦 𝑀𝑀

𝑎𝑎

𝑜𝑜

𝑃𝑃′

𝑀𝑀′ 𝜃𝜃

𝑎𝑎,𝑥𝑥


73

La loi de Hooke nous a donné :

𝛔𝛔 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

= 𝐸𝐸𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 0 0

0 0 00 0 0

= 𝐸𝐸(𝜀𝜀 − 𝑦𝑦𝜒𝜒 ) 0 0

0 0 00 0 0

𝑵𝑵 = ∫ 𝐸𝐸𝜀𝜀𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆 = 𝐸𝐸𝑆𝑆𝜀𝜀, 𝑴𝑴 = 𝐸𝐸𝜒𝜒∫ 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧𝑆𝑆𝐽𝐽

= 𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑻𝑻 = −𝑀𝑀,𝑥𝑥 = −𝐸𝐸𝐽𝐽𝜒𝜒,𝑥𝑥



𝑵𝑵 = 𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥 , 𝑴𝑴 = 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑻𝑻 = −𝑀𝑀,𝑥𝑥 = −𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

Energie cinétique :

On va négliger l'énergie de rotation des sections par rapports aux autres énergies cinétiques.

𝑇𝑇 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎,𝑥𝑥

2𝜌𝜌𝐽𝐽𝑛𝑛é𝑔𝑔𝑙𝑙𝑖𝑖𝑔𝑔 é𝑒𝑒


0

=12(𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

Energie potentielle :

Comme on va traiter que les mouvements vibratoires libres, on annule tous les chargements extérieurs.


0

− 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑚𝑚𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0=0

− 𝐹𝐹𝑥𝑥1𝑜𝑜(0) + 𝐹𝐹𝑦𝑦1𝑎𝑎(0) + 𝐹𝐹𝑥𝑥2𝑜𝑜(𝑙𝑙) + 𝐹𝐹𝑦𝑦2𝑎𝑎(𝑙𝑙) + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(0)𝑀𝑀1 + 𝑎𝑎,𝑥𝑥(𝑙𝑙)𝑀𝑀2=0


0

=12𝐸𝐸𝑆𝑆𝑜𝑜,𝑥𝑥

2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0


𝐿𝐿 =12(𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆 + 𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0


2 + 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑙𝑙

0

Pour traiter séparément les vibrations membranaires et celles de flexion, on adoptera les notations suivantes:

𝐿𝐿 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0



0𝐿𝐿𝑚𝑚 : 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚𝑏𝑏𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒

+12𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥


0𝐿𝐿𝑓𝑓 :𝑓𝑓𝑙𝑙𝑒𝑒𝑥𝑥𝑖𝑖𝑐𝑐𝑛𝑛

= 𝐿𝐿𝑚𝑚 + 𝐿𝐿𝑓𝑓

𝐿𝐿𝑚𝑚 =12𝑜2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0



0

𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐿𝐿𝑓𝑓 =12𝑎2𝜌𝜌𝑆𝑆𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝐸𝐸𝐽𝐽𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥


0

6.1 Vibrations libres membranaires

Pour le cas des vibrations membranaires, on a une seule variable de déplacement u suivant l'axe de la poutre. On va introduire les notations suivantes:

𝐻𝐻𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝑆𝑆 et 𝜌𝜌𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝑆𝑆 𝐻𝐻𝑚𝑚 : rigidité membranaire; 𝜌𝜌𝑚𝑚 : masse d'une section;


74

Le Lagrangien 𝐿𝐿𝑚𝑚 s'écrit alors :

𝐿𝐿𝑚𝑚 =12𝑜𝜌𝜌𝑚𝑚𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝑜𝑜,𝑥𝑥𝐻𝐻𝑚𝑚𝑜𝑜,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

Les variations du Lagrangien sont alors:

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑚𝑚 =12𝛿𝛿𝑜𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝛿𝛿𝑜𝑜,𝑥𝑥𝐻𝐻𝑚𝑚𝑜𝑜,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

6.1.1 Elément poutre (Cas 1D)

6.1.1.1 Elément réel

Si on considère un élément finis, de section S, dans sa configuration réelle, les nœuds définissants cet élément ont pour coordonnées réelles: 𝑥𝑥1 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑥𝑥2.

On définit les vecteurs coordonnées nodaux et déplacements nodaux comme suit:

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑜𝑜 =

𝑜𝑜1𝑜𝑜2

6.1.1.2 Elément de référence

On prend comme fonctions d'interpolations pour le passage des coordonnées de références aux coordonnées réelles :

⟨𝑁𝑁⟩ = ⟨𝑁𝑁1 𝑁𝑁2⟩ = ⟨1 − 𝜁𝜁2

1 + 𝜁𝜁2

⟩

Un point de l'élément réel est repéré par sa position x:

𝑥𝑥 = ⟨𝑁𝑁⟩𝑥𝑥 = ⟨𝑁𝑁1 𝑁𝑁2⟩ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ⟨1 − 𝜁𝜁

21 + 𝜁𝜁

2⟩ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =

1 − 𝜁𝜁2

𝑥𝑥1 +1 + 𝜁𝜁

2𝑥𝑥2

Ce qui donne :

𝑑𝑑𝑥𝑥 = ⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁 ⟩𝑥𝑥𝑑𝑑𝜁𝜁 = ⟨𝑁𝑁1,𝜁𝜁 𝑁𝑁2,𝜁𝜁 ⟩ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝜁𝜁 = ⟨−1

2+12⟩ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝜁𝜁 =

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

2𝑑𝑑𝜁𝜁 =

𝑥𝑥21

2𝑑𝑑𝜁𝜁 =

𝐿𝐿2𝑑𝑑𝜁𝜁

𝜁𝜁 1 0 −1

𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝒚𝒚 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝒚𝒚

𝑬𝑬𝒚𝒚 𝑬𝑬𝒚𝒚

𝑥𝑥 𝑥𝑥2 0 𝑥𝑥1

𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝒚𝒚 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝒚𝒚 𝐿𝐿



75

𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝐿𝐿2𝑑𝑑𝜁𝜁 𝑐𝑐𝑜𝑜

𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜁𝜁

=𝐿𝐿2

On prendra les mêmes fonctions d'interpolations pour les déplacements:

𝑜𝑜 = ⟨𝑁𝑁⟩𝑜𝑜 = ⟨𝑁𝑁1 𝑁𝑁2⟩ 𝑜𝑜1𝑜𝑜2 = ⟨1 − 𝜁𝜁

21 + 𝜁𝜁

2⟩ 𝑜𝑜1𝑜𝑜2 =

1 − 𝜁𝜁2

𝑜𝑜1 +1 + 𝜁𝜁

2𝑜𝑜2

Pour exprimer les déformations 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑜𝑜,𝑥𝑥 , on aura:

𝑜𝑜,𝑥𝑥 =𝜕𝜕𝑜𝑜𝜕𝜕𝑥𝑥

=𝜕𝜕𝑜𝑜𝜕𝜕𝜁𝜁

𝜕𝜕𝜁𝜁𝜕𝜕𝑥𝑥

=2𝐿𝐿⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁 ⟩𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 ⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁 ⟩ = ⟨−1

212⟩

La variation du Lagrangien pour un élément s'écrit:

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑒𝑒 =12𝛿𝛿𝑜𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑜𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝛿𝛿𝑜𝑜,𝑥𝑥𝐻𝐻𝑚𝑚𝑜𝑜,𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑒𝑒 =12

⎝

⎜⎛⟨𝛿𝛿𝑜⟩

𝐿𝐿2𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑁𝑁⟨𝑁𝑁⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1[𝑚𝑚𝑒𝑒 ]

𝑜 − ⟨𝛿𝛿𝑜𝑜⟩2𝐿𝐿𝐻𝐻𝑚𝑚 𝑁𝑁,𝜁𝜁 ⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁 ⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1[𝑘𝑘𝑒𝑒 ]

𝑜𝑜

⎠

⎟⎞

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑒𝑒 =12

(⟨𝛿𝛿𝑜⟩[𝑚𝑚𝑒𝑒]𝑜 − ⟨𝛿𝛿𝑜𝑜⟩[𝑘𝑘𝑒𝑒]𝑜𝑜)

[𝑚𝑚𝑒𝑒] =𝐿𝐿2𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑁𝑁⟨𝑁𝑁⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1

=𝐿𝐿8𝜌𝜌𝑚𝑚

(1 − 𝜁𝜁)2 1 − 𝜁𝜁2

1 − 𝜁𝜁2 (1 + 𝜁𝜁)2 𝑑𝑑𝜁𝜁 1

−1

[𝑚𝑚𝑒𝑒] =𝐿𝐿8𝜌𝜌𝑚𝑚

⎣⎢⎢⎡−

(1 − 𝜁𝜁)3

3𝜁𝜁 −

𝜁𝜁3

3

𝜁𝜁 −𝜁𝜁3

3(1 + 𝜁𝜁)3

3 ⎦⎥⎥⎤

−1

1

=𝐿𝐿6𝜌𝜌𝑚𝑚 2 1

1 2

[𝑘𝑘𝑒𝑒] =2𝐿𝐿𝐻𝐻𝑚𝑚 𝑁𝑁,𝜁𝜁 ⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁 ⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1

=𝐻𝐻𝑚𝑚2𝐿𝐿

1 −1−1 1 𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1

[𝑘𝑘𝑒𝑒] =𝐻𝐻𝑚𝑚2𝐿𝐿

𝜁𝜁 −𝜁𝜁−𝜁𝜁 𝜁𝜁 −1

1=𝐻𝐻𝑚𝑚𝐿𝐿 1 −1

−1 1

Si on prend une solution de la forme 𝑜𝑜 = 𝑜𝑜(𝑥𝑥)𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡 → 𝑜 = 𝜔𝜔𝑜𝑜

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑒𝑒 =12⟨𝛿𝛿𝑜𝑜⟩(𝜔𝜔2[𝑚𝑚𝑒𝑒]𝑜𝑜 − [𝑘𝑘𝑒𝑒]𝑜𝑜)

Pour ontenir le Lagrangien de toute la poutre, on doit assembler tous les éléments de la poutre.

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑚𝑚 = 𝛿𝛿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑒𝑒 =12⟨𝛿𝛿𝑈𝑈⟩(𝜔𝜔2[𝑀𝑀]𝑈𝑈 − [𝐾𝐾]𝑈𝑈)

[𝑀𝑀]: matrice de masse globale; [𝐾𝐾]: matrice de rigidité globale;


76

Quant on applique le principe de Hamilton:

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿𝐿𝐿𝑚𝑚𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 12⟨𝛿𝛿𝑈𝑈⟩(𝜔𝜔2[𝑀𝑀]𝑈𝑈 − [𝐾𝐾]𝑈𝑈)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0

∀⟨𝛿𝛿𝑈𝑈⟩ → 𝜔𝜔2[𝑀𝑀]𝑈𝑈 = [𝐾𝐾]𝑈𝑈

La recherche des pulsations propres et de modes propres revient à résoudre un problème de valeurs propres.

([𝐾𝐾] −𝜔𝜔2[𝑀𝑀])𝑈𝑈 = 0 → 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡|[𝐾𝐾] −𝜔𝜔2[𝑀𝑀]| = 0

Exemple d'application:

Poutre a deux éléments dont les extrémités sont libres.

[𝑀𝑀] =𝐿𝐿6𝜌𝜌𝑚𝑚

2 1 01 2 + 2 10 1 2

=𝐿𝐿6𝜌𝜌𝑚𝑚

2 1 01 4 10 1 2

[𝐾𝐾] =𝐻𝐻𝑚𝑚𝐿𝐿

1 −1 0−1 1 + 1 −10 −1 1

=𝐻𝐻𝑚𝑚𝐿𝐿

1 −1 0−1 2 −10 −1 1

[𝐾𝐾] −𝜔𝜔2[𝑀𝑀] =𝐻𝐻𝑚𝑚𝐿𝐿

1 −1 0−1 2 −10 −1 1

− 𝜔𝜔2 𝐿𝐿6𝜌𝜌𝑚𝑚

2 1 01 4 10 1 2

→ 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡|[𝐾𝐾] −𝜔𝜔2[𝑀𝑀]| = 0 → 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 1 − 2𝜆𝜆 −1 − 𝜆𝜆 0−1 − 𝜆𝜆 2 − 4𝜆𝜆 −1 − 𝜆𝜆

0 −1 − 𝜆𝜆 1 − 2𝜆𝜆 = 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜆𝜆 = 𝜔𝜔2 𝜌𝜌𝐿𝐿

2

6𝐸𝐸

6𝜆𝜆(1 − 2𝜆𝜆)(𝜆𝜆 − 2) = 0 → 𝜆𝜆1 = 0, 𝜆𝜆2 =12

, 𝜆𝜆3 = 2

→ 𝜔𝜔0 = 0,𝜔𝜔1 =√3𝐿𝐿𝐸𝐸𝜌𝜌

,𝜔𝜔2 =2√3𝐿𝐿

𝐸𝐸𝜌𝜌

⟨𝑈𝑈0⟩ =1√3

⟨1 1 1⟩, ⟨𝑈𝑈1⟩ =1√2

⟨1 0 −1⟩, ⟨𝑈𝑈2⟩ =1√3

⟨−1 1 −1⟩

Les valeurs exactes ont été déterminées, pour une poutre continue de longueur 2L, au paragraphe (5.6.1.2) et sont:

𝑜𝑜(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑛𝑛𝜋𝜋𝑥𝑥

2𝐿𝐿 . 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡), 𝜔𝜔𝑛𝑛 =

𝑛𝑛𝜋𝜋2𝐿𝐿

𝐸𝐸𝜌𝜌

𝜔𝜔𝑛𝑛 =𝑛𝑛𝜋𝜋2𝐿𝐿

𝐸𝐸𝜌𝜌→ 𝜔𝜔0 = 0 (𝑚𝑚𝑐𝑐𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒),𝜔𝜔1 =

𝜋𝜋2𝐿𝐿

𝐸𝐸𝜌𝜌

,𝜔𝜔2 =𝜋𝜋𝐿𝐿𝐸𝐸𝜌𝜌

1 2 3 x L L 0



77

mode analytique E.F 0 (rigide) 0 0

1

1.571𝐿𝐿𝐸𝐸𝜌𝜌


2



Poutre a deux éléments encastrée au nœud 1.

[𝐾𝐾] −𝜔𝜔2[𝑀𝑀] = 𝐻𝐻𝑚𝑚𝐿𝐿

1 −1 0−1 2 −10 −1 1


2 1 01 4 10 1 2

𝐻𝐻𝑚𝑚𝐿𝐿

1 −1 0−1 2 −10 −1 1


2 1 01 4 10 1 2

𝑜𝑜1𝑜𝑜2𝑜𝑜3 =

000

𝐻𝐻𝑚𝑚𝐿𝐿 2 −1

−1 1 − 𝜔𝜔2 𝐿𝐿6𝜌𝜌𝑚𝑚 4 1

1 2 𝑜𝑜2𝑜𝑜3 = 00

→ 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡|[𝐾𝐾] −𝜔𝜔2[𝑀𝑀]| = 0 → 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 2 − 4𝜆𝜆 −1− 𝜆𝜆−1− 𝜆𝜆 1 − 2𝜆𝜆 = 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜆𝜆 = 𝜔𝜔2 𝜌𝜌𝐿𝐿

2

6𝐸𝐸

7𝜆𝜆2 − 10𝜆𝜆 + 1 = 0 → √Δ = 6√2, 𝜆𝜆1 =5 − 3√2

7≈ 0.1082,𝜆𝜆2 =

5 + 3√27

≈ 1.320

𝜔𝜔1 ≈ 0.8061𝐿𝐿𝐸𝐸𝜌𝜌

,𝜔𝜔2 ≈ 2.8151𝐿𝐿𝐸𝐸𝜌𝜌

⟨𝑈𝑈1⟩ = ⟨0 −0.842 0.5387⟩, ⟨𝑈𝑈2⟩ = ⟨0 −0.412 0.9112⟩ Les valeurs exactes ont été déterminées, pour une poutre continue de longueur 2L, au paragraphe (5.6.1.1) et sont:

𝑜𝑜(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 2𝑛𝑛 − 1

2𝜋𝜋𝑥𝑥

2𝐿𝐿 . 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡), 𝜔𝜔𝑛𝑛 =

(2𝑛𝑛 − 1)𝜋𝜋4𝐿𝐿

𝐸𝐸𝜌𝜌

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3 x L L 0



78

𝜔𝜔𝑛𝑛 =(2𝑛𝑛 − 1)𝜋𝜋

4𝐿𝐿𝐸𝐸𝜌𝜌→ 𝜔𝜔1 =

𝜋𝜋4𝐿𝐿

𝐸𝐸𝜌𝜌

,𝜔𝜔2 =3𝜋𝜋4𝐿𝐿

𝐸𝐸𝜌𝜌

mode analytique E.F 1



2 2.356

1𝐿𝐿𝐸𝐸𝜌𝜌


6.2 Vibrations libres transversales (flexion)

Pour le cas des vibrations membranaires, on va introduire les notations suivantes: 𝐻𝐻𝑓𝑓 = 𝐸𝐸𝑆𝑆 et 𝜌𝜌𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝑆𝑆

𝐻𝐻𝑓𝑓 : rigidité de flexion; 𝜌𝜌𝑚𝑚 : masse d'une section; Le Lagrangien 𝐿𝐿𝑓𝑓 s'écrit alors :

𝐿𝐿𝑓𝑓 =12𝑎2𝜌𝜌𝑚𝑚𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝐻𝐻𝑓𝑓𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥


0

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑓𝑓 =12𝛿𝛿𝑎𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝐻𝐻𝑓𝑓𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

6.2.1 Elément poutre (Cas 1D)

6.2.1.1 Elément réel

Si on considère un élément finis, de section S, dans sa configuration réelle, les nœuds définissants cet élément ont pour coordonnées réelles: 𝑥𝑥1 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑥𝑥2.

Les déplacements suivant 𝑦 et les rotations autour de 𝑧𝑧 sont 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑎𝑎,𝑥𝑥 .

𝑎𝑎 =

𝑎𝑎1𝜃𝜃1𝑎𝑎2𝜃𝜃2

6.2.1.2 Elément de référence

𝜁𝜁 1 0 −1

𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝒚𝒚 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝒚𝒚

𝑎𝑎1 𝜃𝜃1

𝑎𝑎2 𝜃𝜃2

𝑎𝑎1 𝜃𝜃1 𝜃𝜃2

𝑥𝑥 𝑥𝑥2 0 𝑥𝑥1

𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝒚𝒚 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝒚𝒚 𝐿𝐿

𝑎𝑎2 𝑦𝑦


79

On prend comme fonctions d'interpolations pour le passage des coordonnées de références aux coordonnées réelles :

⟨𝑁𝑁𝑥𝑥⟩ = ⟨𝑁𝑁1𝑥𝑥 𝑁𝑁2

𝑥𝑥 ⟩ = ⟨1 − 𝜁𝜁2

1 + 𝜁𝜁2

⟩

Un point de l'élément réel est repéré par sa position x:

𝑥𝑥 = ⟨𝑁𝑁𝑥𝑥⟩𝑥𝑥 = ⟨𝑁𝑁1𝑥𝑥 𝑁𝑁2

𝑥𝑥 ⟩ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ⟨1 − 𝜁𝜁

21 + 𝜁𝜁

2⟩ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =

1 − 𝜁𝜁2

𝑥𝑥1 +1 + 𝜁𝜁

2𝑥𝑥2

Ce qui donne :

𝑑𝑑𝑥𝑥 = ⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁𝑥𝑥 ⟩𝑥𝑥𝑑𝑑𝜁𝜁 = ⟨𝑁𝑁1,𝜁𝜁

𝑥𝑥 𝑁𝑁2,𝜁𝜁𝑥𝑥 ⟩

𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝜁𝜁 = ⟨−1

2+12⟩ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝜁𝜁 =

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

2𝑑𝑑𝜁𝜁 =

𝑥𝑥21

2𝑑𝑑𝜁𝜁 =

𝐿𝐿2𝑑𝑑𝜁𝜁

𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝐿𝐿2𝑑𝑑𝜁𝜁 𝑐𝑐𝑜𝑜

𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜁𝜁

=𝐿𝐿2

On prend des fonctions d'interpolations de type Hermite (des cubiques) pour les déplacements:

𝑎𝑎 = ⟨𝑁𝑁𝑎𝑎⟩𝑎𝑎 = ⟨𝑁𝑁1𝑎𝑎 𝑁𝑁2

𝑎𝑎 𝑁𝑁3𝑎𝑎 𝑁𝑁4

𝑎𝑎⟩

𝑎𝑎1𝜃𝜃1𝑎𝑎2𝜃𝜃2

𝑁𝑁1𝑎𝑎(𝜁𝜁) =

14

(1 − 𝜁𝜁)2(2 + 𝜁𝜁) =14

(2 − 3𝜁𝜁 + 𝜁𝜁3)


𝐿𝐿8

(1 − 𝜁𝜁2)(1− 𝜁𝜁) =𝐿𝐿8

(1 − 𝜁𝜁 − 𝜁𝜁2 + 𝜁𝜁3)


14

(1 + 𝜁𝜁)2(2− 𝜁𝜁) =14

(2 + 3𝜁𝜁 − 𝜁𝜁3)


𝐿𝐿8

(−1 + 𝜁𝜁2)(1 + 𝜁𝜁) =𝐿𝐿8

(−1− 𝜁𝜁 + 𝜁𝜁2 + 𝜁𝜁3)

6.2.1.3 Tenseur des déformations (H.P.P)

On rappelle le tenseur de déformation avec les hypothèses de Bernouilli et en négligeant les déplacements membranaires :

𝛆𝛆 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 0 00 0 00 0 0

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑦𝑦𝜃𝜃,𝑥𝑥 = −𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥

𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑦𝑦𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝑥𝑥2 = −𝑦𝑦

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑎𝑎𝜕𝜕𝜁𝜁

𝜕𝜕𝜁𝜁𝜕𝜕𝑥𝑥 = −𝑦𝑦

2𝐿𝐿𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑎𝑎𝜕𝜕𝜁𝜁 = −𝑦𝑦

2𝐿𝐿𝜕𝜕2𝑎𝑎𝜕𝜕𝜁𝜁2

𝜕𝜕𝜁𝜁𝜕𝜕𝑥𝑥

= −𝑦𝑦4𝐿𝐿2 ⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁𝜁𝜁

𝑎𝑎 ⟩𝑎𝑎

→ 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑦𝑦𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑦𝑦⟨𝐵𝐵⟩𝑎𝑎

⟨𝐵𝐵⟩ =4𝐿𝐿2 ⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁𝜁𝜁

𝑎𝑎 ⟩ 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 = ⟨𝐵𝐵⟩𝑎𝑎


80

⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁𝜁𝜁𝑎𝑎 ⟩ = ⟨3

2𝜁𝜁

𝐿𝐿4

(−1 + 3𝜁𝜁) −32𝜁𝜁

𝐿𝐿4

(1 + 3𝜁𝜁)⟩

La variation du Lagrangien pour un élément s'écrit:

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑓𝑓𝑒𝑒 =12𝛿𝛿𝑎𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

−12𝛿𝛿𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥𝐻𝐻𝑓𝑓𝑎𝑎,𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

0

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑓𝑓𝑒𝑒 =12

⎝

⎜⎛⟨𝛿𝛿𝑎⟩

𝐿𝐿2𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑎𝑎⟨𝑁𝑁𝑎𝑎⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1[𝑚𝑚𝑒𝑒 ]

𝑎 − ⟨𝛿𝛿𝑎𝑎⟩𝐻𝐻𝑓𝑓𝐿𝐿2𝐵𝐵⟨𝐵𝐵⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1[𝑘𝑘𝑒𝑒 ]

𝑎𝑎

⎠

⎟⎞

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑓𝑓𝑒𝑒 =12

(⟨𝛿𝛿𝑎⟩[𝑚𝑚𝑒𝑒]𝑎 − ⟨𝛿𝛿𝑎𝑎⟩[𝑘𝑘𝑒𝑒]𝑎𝑎)

[𝑚𝑚𝑒𝑒] =𝐿𝐿2𝜌𝜌𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑎𝑎⟨𝑁𝑁𝑎𝑎⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1

→ [𝑚𝑚𝑒𝑒] = 𝜌𝜌𝑚𝑚𝐿𝐿

420

156 22𝐿𝐿 54 −13𝐿𝐿22𝐿𝐿 4𝐿𝐿2 13𝐿𝐿 −3𝐿𝐿2

54 13𝐿𝐿 156 −22𝐿𝐿−13𝐿𝐿 −3𝐿𝐿2 −22𝐿𝐿 4𝐿𝐿2

[𝑘𝑘𝑒𝑒] = 𝐻𝐻𝑓𝑓𝐿𝐿2𝐵𝐵⟨𝐵𝐵⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1

=8𝐻𝐻𝑓𝑓𝐿𝐿3 𝑁𝑁,𝜁𝜁𝜁𝜁

𝑎𝑎 𝐵𝐵⟨𝑁𝑁,𝜁𝜁𝜁𝜁𝑎𝑎 ⟩𝑑𝑑𝜁𝜁

1

−1

[𝑘𝑘𝑒𝑒] =𝐻𝐻𝑓𝑓𝐿𝐿3

12 6𝐿𝐿 −12 6𝐿𝐿6𝐿𝐿 4𝐿𝐿2 −6𝐿𝐿 2𝐿𝐿2

−12 −6𝐿𝐿 12 −6𝐿𝐿6𝐿𝐿 2𝐿𝐿2 −6𝐿𝐿 4𝐿𝐿2

Si on prend une solution de la forme 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥)𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡 → 𝑎 = 𝜔𝜔𝑎𝑎

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑓𝑓𝑒𝑒 =12⟨𝛿𝛿𝑎𝑎⟩(𝜔𝜔2[𝑚𝑚𝑒𝑒]𝑎𝑎 − [𝑘𝑘𝑒𝑒]𝑎𝑎)

Pour ontenir le Lagrangien de toute la poutre, on doit assembler tous les éléments de la poutre.

𝛿𝛿𝐿𝐿𝑓𝑓 = 𝛿𝛿𝐿𝐿𝑓𝑓𝑒𝑒 =12⟨𝛿𝛿𝑉𝑉⟩𝜔𝜔2[𝑀𝑀]𝑉𝑉 − 𝐾𝐾𝑓𝑓𝑉𝑉

[𝑀𝑀]: matrice de masse globale; 𝐾𝐾𝑓𝑓: matrice de rigidité de flexion globale; Quant on applique le principe de Hamilton:

𝛿𝛿𝐼𝐼 = 𝛿𝛿𝐿𝐿𝑓𝑓𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 12⟨𝛿𝛿𝑉𝑉⟩𝜔𝜔2[𝑀𝑀]𝑉𝑉 − 𝐾𝐾𝑓𝑓𝑉𝑉𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= 0

∀⟨𝛿𝛿𝑉𝑉⟩ → 𝜔𝜔2[𝑀𝑀]𝑉𝑉 = 𝐾𝐾𝑓𝑓𝑉𝑉

La recherche des pulsations propres et de modes propres revient à résoudre un problème de valeurs propres.


81

𝐾𝐾𝑓𝑓 − 𝜔𝜔2[𝑀𝑀]𝑉𝑉 = 0 → 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡𝐾𝐾𝑓𝑓 − 𝜔𝜔2[𝑀𝑀] = 0

Exemple d'application:

Poutre a un élément encastrée au nœud 1.

𝐾𝐾𝑓𝑓 = 𝐻𝐻𝑓𝑓𝐿𝐿3

12 6𝐿𝐿 −12 6𝐿𝐿6𝐿𝐿 4𝐿𝐿2 −6𝐿𝐿 2𝐿𝐿2

−12 −6𝐿𝐿 12 −6𝐿𝐿6𝐿𝐿 2𝐿𝐿2 −6𝐿𝐿 4𝐿𝐿2

−𝜔𝜔2[𝑀𝑀] = −𝜔𝜔2𝜌𝜌𝑚𝑚𝐿𝐿

420

156 22𝐿𝐿 54 −13𝐿𝐿22𝐿𝐿 4𝐿𝐿2 13𝐿𝐿 −3𝐿𝐿2

54 13𝐿𝐿 156 −22𝐿𝐿−13𝐿𝐿 −3𝐿𝐿2 −22𝐿𝐿 4𝐿𝐿2

𝐾𝐾𝑓𝑓 − 𝜔𝜔2[𝑀𝑀] =𝐻𝐻𝑓𝑓𝐿𝐿3

12 −6𝐿𝐿−6𝐿𝐿 4𝐿𝐿2 − 𝜔𝜔2𝜌𝜌𝑚𝑚

𝐿𝐿420

156 −22𝐿𝐿−22𝐿𝐿 4𝐿𝐿2

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 12(1 − 13𝜆𝜆) −2𝐿𝐿(3 − 11𝜆𝜆)−2𝐿𝐿(3 − 11𝜆𝜆) 4𝐿𝐿2(1 − 𝜆𝜆) = 0, 𝜆𝜆 = 𝜔𝜔2 𝐿𝐿4𝜌𝜌𝑆𝑆

420𝐸𝐸𝐽𝐽

→ 35𝜆𝜆2 − 102𝜆𝜆 + 3 = 0 → λ1 ≈ 0.0297 et λ2 ≈ 2.884

𝜔𝜔1 = 3.5331𝐿𝐿2


𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜔𝜔2 = 34.811𝐿𝐿2


La solution analytique nous a donné pour une poutre de longueur L encastrée-libre:

𝛼𝛼1 ≈ 1.875,𝛼𝛼2 ≈ 4.694

𝜔𝜔𝑛𝑛 = 𝛼𝛼𝑛𝑛2 1𝐿𝐿2


→ 𝜔𝜔1 = 3.3311𝐿𝐿2


𝑒𝑒𝑡𝑡 𝜔𝜔2 = 22.0331𝐿𝐿2


Remarque:

On remarque que le deuxième mode n'a pas pu être déterminé correctement.

1 2 x

L 0

𝑬𝑬𝒚𝒚


82

6.2.2 Calcul avec le logiciel Abaqus

6.2.2.1 Poutre bi-encastrée

On réalise un calcul sur le logiciel de calcul par éléments finis Abaqus. Le but du calcul est la détermination des pulsations propres d'une poutre bi-encastrée de longueur totale 600 mm de se section rectangulaire (b*h=30*3 mm²). La poutre est en acier (E=200 GPa et ρ=7800kg/m3)

La poutre est discrétisée en 20 éléments poutres. La comparaison des résultats est résumée dans le tableau suivant :

Théor EF Err (%)

I 272.53 272.54 0.003 II 751.22 751.27 0.007 III 1472.61 1472.90 0.020 IV 2434.56 2435.00 0.018 V 3636.81 3638.20 0.038

L=600 mm

h=3 mm b=30 mm


83

6.2.2.2 Structure à barres

Mode1 mode 2


84

mode 3 mode 4

mode 5 mode 11


85

mode 15 mode 16

mode 21 mode 31

Documents

Cours-Dynamique des Systèmes Mécaniques