Upload
taha-can
View
238
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 1/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 2/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 3/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 4/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 5/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 6/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 7/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 8/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 9/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 10/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 11/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 12/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 13/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 14/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 15/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 16/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 17/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 18/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 19/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 20/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 21/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 22/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 23/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 24/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 25/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 26/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 27/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 28/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 29/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 30/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 31/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 32/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 33/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 34/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 35/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 36/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 37/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 38/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 39/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 40/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 41/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 42/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 43/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 44/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 45/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 46/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 47/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 48/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 49/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 50/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 51/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 52/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 53/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 54/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 55/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 56/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 57/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 58/274
injaz-education.com
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 59/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 60/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 61/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 62/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 63/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 64/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 65/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 66/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 67/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 68/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 69/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 70/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 71/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 72/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 73/274
Chapitre 3 : Les matrices
Sandrine CHARLES : [email protected]
Introduction ............................................................................................................................21 Définitions ......................................................................................................................22 Opérations sur les matrices.............................................................................................3
2.1 Addition de deux matrices......................................................................................32.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire..........................................................4
2.3 Multiplication de matrices......................................................................................52.4 Transposition de matrice ........................................................................................7
3 Matrices carrées, matrices élémentaires .........................................................................83.1 Matrices carrées......................................................................................................83.2 Matrices diagonales ................................................................................................83.3 Matrice Identité.......................................................................................................93.4 Matrices Inversibles..............................................................................................10
3.5 Matrices symétriques............................................................................................103.6 Matrices triangulaires ...........................................................................................113.7 Matrices orthogonales...........................................................................................113.8 Matrices normales.................................................................................................12
4 Déterminant d’une matrice carrée ................................................................................124.1 Formes multilinéaires alternées............................................................................124.2 Déterminant d’un système de vecteurs.................................................................13
4.3 Déterminant d’une matrice carrée ........................................................................134.4 Déterminant et volume .........................................................................................18
5 Inversion de matrices....................................................................................................185.1 Matrice adjointe....................................................................................................185.2 Théorèmes ............................................................................................................195.3 Cas d’une matrice d’ordre 2 .................................................................................195.4 Cas d’une matrice d’ordre 3 .................................................................................205.5 Cas particulier : inverse d’une matrice diagonale ................................................20
6 Exemples d’utilisation en Biologie...............................................................................20
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 74/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Introduction
Historiquement c’estCayley , parallèlement aux travaux deGrassmann , qui dégage la notiond'espace vectoriel de dimensionn, et introduit, avecSylvester , la notion de matrice (le termesera introduit par ce dernier en 1850) et en expose l'usage en faisant emploi des déterminants(dont l'initiateur futCauchy ) dans une théorie plus large dite des invariants (1858) : onentend là des propriétés matricielles invariantes par transformation linéaire comme, parexemple, le déterminant et la trace (somme des éléments diagonaux).
1 Définitions
Définition 1
Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelématrice . p colonnes
11 12 1
21 22 2
1 2
p
p
n n np
a a a
a a a
a a a
=
A
n lignes
L’élémenta de la matrice se trouve à l’intersection de laiij ème
ligne et de la jème
colonne.La matriceA s’écrit également sous la forme ija = A avec i n et1,= 1, j p= .
Une matrice ayantn lignes et p colonnes est appelée matrice( ou n p .),n p ×
Définition 2
Le couple est appelé( ,n p ) dimension de la matrice.
Définitions 3
Une matrice de dimension( est une),1n matrice colonne .
Une matrice de dimension( )1, p est unematrice ligne .
Notation : L’ensemble des matrices de dimension est noté( ,n p ) ( ),n p M .
Chapitre 3 : Les matrices - page 2/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 75/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Exemple
2 34 21 0
=
A
A a pour dimension( ) 3,2 12 3a = 31 1a =
Définition 4
Soient { }1 2, , , ne e e′ ′ ′ ′= …B la base canonique de etn { }1 2, , , pe e e= …B la base canonique de
p . Soit une matrice de dimension . Alors :ija = A ( ,n p )
• est le j-ième1
n
j k k
c a=
′= ∑ j k e vecteur colonne extrait deA ; c’est un vecteur de dont lesn
coordonnées sont( ).1 2, , , j j nja a a…
• est le i-ième1
p
i ih
a e=
= ∑ h h vecteur ligne extrait deA ; c’est un vecteur de dont les p
coordonnées sont( ).1 2, , ,i i ipa a a…
Exemple
2 34 21 0
=
A { }1 2 3, ,e e e′ ′ ′ ′= B base de 3 { }1 2,e e= B base de .2
1 1 22 4c e e′ ′= + + 3e′ 2
2 2
2 13 2c e e′ ′= +
1 12 3e e= + 2 14 2e e= + 3 1e=
2 Opérations sur les matrices
2.1 Addition de deux matrices
Définition
Soient deux matrices etija = A ijb = B toutes deux de dimension ;( ),n p
On additionne terme à terme pour obtenir : ij ija b + = + A B de dimension .( ),n p
Chapitre 3 : Les matrices - page 3/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 76/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Exemple 1
Soient etB . Calculer .2 34 21 0
=
A
1 20 11 4
=
A + B Réponse.
Propriétés
SoientA, B et C trois matrices de dimension et0 la matrice dont les éléments( ,n p ) )( ,n p
sont tous égaux à 0.
(i) (associativité)( ) (+ + = + +A B C A B C )
(ii) (élément neutre)+ =A 0 A
(iii) (opposé)( )+ − =A A 0
(iv) (commutativité)+ = +A B B A
Remarque : ija − = − A
Par exemple, si , alors .a b
c d
=
A
a b
c d
− − − = − −
A
2.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire
Définition
Soient une matrice de dimension etija = A ( ,n p ) λ . On définit la matriceλ A
comme matrice dont tous les coefficients sont multipliés parλ : .ijaλ λ = A
λ A est aussi de dimension .( ),n p
Exemple 2
Soient et2 34 21 0
=
A 3λ = . Calculerλ A . Réponse.
Remarque : ( )1− = −A A
Chapitre 3 : Les matrices - page 4/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 77/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Propriétés
SoientA et B deux matrices de dimension( ) et,n p ,λ µ deux réels.
(i) ( )λ λ λ + = +A B A B
(ii) ( )λ µ λ µ + = +A A A
(iii) ( ) ( )λµ λ µ =A A
(iv) et (ne pas confondre 0 scalaire et0 matrice)1× =A A 0× =A 0
Conséquence
Compte tenu des propriétés ci-dessus, l’ensemble des matrices de dimension( , muni des
deux lois précédemment définies, est un espace vectoriel.
),n p
2.3 Multiplication de matrices
Définition
Soient [ ]ik a=A une matrice ( ),n p et une matricekjb = B ( , ) p q le produit des deux
matrices a pour dimension et s’écrit :=C AB ( ,n q )
ijc = C avec c , pour i n et1
p
ij ik kjk
a=
= ∑ b 1,= 1, j q=
RemarqueLe produitAB n’est donc possible que si le nombre de colonnes deA est égal au nombre delignes deB ( p).
Application au cas de deux matr ices (2,2)
A= et B=11 12
21 22
a a
a a 11 12
21 22
b b
b b
C= soitC=
11 12
21 22
a a
a a 11 12
21 22
b b
b b
11 11 12 21 11 12 12 22
21 11 22 21 21 12 22 22
a b a b a b a b
a b a b a b a b
+ +
+ +
Chapitre 3 : Les matrices - page 5/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 78/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
M oyen mnémotechnique
Exemple 3
SoientA= et B= . CalculerAB .2 11 4 4 20 2
−
Réponse.
RemarquesEn général, la multiplication de deux matrices n’est pas commutative :• Si AB existe,BA n’existe pas forcément.• Si BA existe, alors généralement .≠AB BA
Exemple 3 (suite)Vérifier avec les matricesA et B précédentes que .≠AB BA Réponse.
Propriétés
Soient ,( ),n pA ( ), p qB , ,( ),C q s ( ), p qD et E : ( ),q n
(i) → associativité [matrice de dimension ]( ) (=AB C A BC ) ( ),n s
(ii) → distributivité à gauche [matrice de dimension( )]( )+ = +A B D AB AD ,n q
(iii) → distributivité à droite [matrice de dimension( )( )+ = +B D E BE DE , p n ]
Chapitre 3 : Les matrices - page 6/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 79/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
2.4 Transposition de matrice
Définition
Soit , la11 12 121 22 2
1 2
p
p
n n np
a a a
a a a
a a a
=
A
matrice transposée de A notée ou t est la matrice′A A
obtenue en écrivant les lignes deA en colonnes :t
11 21 1
12 22 2
1 2
n
n
p p
a a a
a a a
a a a
=
A
pn
Si A a pour dimension alorst a pour dimension( ,n p ) A ( ), p n .
Exemple 4
Soit . Calculer t .
2 34 21 0
=
A
A Réponse.
Propriétés
Soient , , trois matrices et soit( ),n pA ( ),n pB ( ,C p q ) λ :
(i) ( )t t t + = +A B A B
(ii) ( )t t =A A
(iii) ( )t t λ λ =A A
(iv) ( )t t t =AC C A
Exemple 5 (propriété (i))
Soient etB . Vérifier quet .2 34 21 0
=
A
3 11 21 1
= −
− ( ) t t + = +A B A B Réponse.
Chapitre 3 : Les matrices - page 7/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 80/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Exemple 6 (propriété (iv))
Soient etC . Vérifier quet .2 34 21 0
=
A1 1 02 0 3
− =
( ) t t =AC C A Réponse.
3 Matrices carrées, matrices élémentaires
3.1 Matrices carrées
Définition
Une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes est appeléematrice
carrée . Si elle a pour dimension( , on dit alors qu’elle estd’ordre n .),n n
Rappelons que l’addition et la multiplication de matrices ne sont pas définies pour desmatrices quelconques. Cependant, si on considère uniquement des matrices carrées d’ordren donné, alors les opérations d’addition, de multiplication, de multiplication par un scalaire, etde transposition sont définies et leurs résultats sont encore des matrices carrées d’ordren.
Exemple
Soient etB . A et B sont des matrices carrées d’ordre 3.1 2 34 4 4
5 6 7
= − − −
A
2 5 10 3 21 2 4
− =
−
−
Vérifier que , ,t et sont également des matrices carrées d’ordre 3.+A B 2A A AB Réponse.
3.2 Matrices diagonales
Définition 1
On appellediagonale (ou diagonale principale) d’une matrice carrée d’ordren, les éléments
11 22, , , nna a a… de la matrice.
Exemple
12 13
21 2331 32
a a
a a
a a
=
11
22
33
a
A a
a
sont les éléments de la diagonale deA11 22 33
, ,a a a
Chapitre 3 : Les matrices - page 8/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 81/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 82/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Propriété2
La matrice nλ I , pour tout λ , est appeléematri ce scalair e . C’est la matrice diagonale
dont les éléments diagonaux sont tous égaux àλ .
Exemple
3
0 00 00 0
λ λ = λ λ
I
Remarque
On parle de « matrice scalaire » car elle joue le même rôle que celui d’un scalaire dans lamultiplication d’une matrice par un scalaire :( ) ( ) p nλ λ λ = =A I I A A .
3.4 Matrices Inversibles
Définition
Une matrice carréeA, d’ordren, est diteinversible ou non singulière , s’il existe une matrice
carrée B d’ordren telle que , Une telle matriceB est unique , d’ordre n ; onn= =AB BA I
l’appellematrice inverse de A et on la note .1−A
RemarqueLa relation précédente est symétrique, c’est-à-dire que siB est l’inverse deA, alors A estl’inverse deB.
3.5 Matrices symétriques
Définition
Une matrice carrée est ditesymétrique si et seulement sit . Autrement dit si ≠ ,=A A i j
ij jia a= .
Chapitre 3 : Les matrices - page 10/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 83/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Exemple
99
14
0
22
3
3
=
−
−
A
3.6 Matrices triangulaires
Définition
Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont les éléments au-dessous (ou au-dessus)de la diagonale principale sont tous nuls.
Exemples
1 2 340 9
20 0
−
: Matrice triangulairesupérieure
12 3
0 00
4 8 2
: Matrice triangulaireinférieure
3.7 Matrices orthogonales
Définition
Une matrice carrée d’ordren est diteorthogonale si .t t n
= =A A AA I
Exemple
1 8 49 9 94 4 79 9 98 1 49 9 9
−
− − =
A
Pr opriété
Si A est une matrice orthogonale, alors elle est inversible et .1 t − =A A
Chapitre 3 : Les matrices - page 11/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 84/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
3.8 Matrices normales
Définition
Une matrice carrée d’ordren est dite normale si , autrement dit siA et sat t =A A AA
transposéet commutent.A
RemarqueIl est clair que siA est symétrique ou orthogonale, alors elle est normale. Mais il existed’autres matrices normales.
Exemple
6 33 6
− =
A
4 Déterminant d’une matrice carrée
E
4.1 Formes multilinéaires alternées
On rappelle que .n
n fois
E E E −
= × × ×…
Définition 1
• Soit E un espace vectoriel. Une application de est uneapplication : n D E F →
multilinéaire oun -linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables :
(i) Soit( )1 2, , , nn x x x E
… tel que i i i x u v= + . Alors :
( ) ( ) (1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i in nu v D x x D x x D x xu+ = + … … … … … … )nv
(ii) Soit( )1 2, , , nn x x x E
… tel que i i x uλ = avec λ . Alors :
( ) (1 1, , , , , , , ,n i ni D x x Du )u xλ λ = … … … …
• Si , on dit que D est uneforme n -linéaire .= F
Définition 2
Soit E un espace vectoriel et une formen-linéaire. On dit que D est alternée si: n D E →
( 1, , , , , ,i j n D x x x x = … … … ) 0 chaque fois que deux desi x sont identiques :
dès que( 1, , , , , , 0i j n D x x x x = … … … ) ji x x= pour i j ≠
Chapitre 3 : Les matrices - page 12/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 85/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
4.2 Déterminant d’un système de vecteurs
ThéorèmeIl existe uneunique application telle que :( ):
nn D →
(i) D est une formen-linéaire ;(ii) D est alternée ;
(iii) où lese( 1, , , ,i n D e e e = … … ) 1 i sont les vecteurs de la base canonique de .n
Définition
Cette application n-linéaire alternée et telle que( ): nn D → ( )1, , , , 1i n D e e e = … … est
appeléedéterminant . On la note généralementdet .
Remarque
Soit une famille de vecteurs ,V jv 1, j n= . Alors V v( ) ( )1 2, , , nn
nv v= … et
( )det , , nv 1 2,v v … .
4.3 Déterminant d’une matrice carrée
Soit A une matrice carrée d’ordren. Soit ija = A . Chaque colonne deA peut alors être
considérée comme un vecteur de :n
1 2 pv v v = A
… avec ( )1 2, , , j j j nv a a a= j… pour 1, j n=
Ainsi, la définition de la notion de déterminant d’une matrice carrée est étroitement liée à ladéfinition du déterminant d’un système de vecteurs :
( ) ( )1 2det det , , , nv v v=A …
On note alors ( )11 1
1
detn
n n
a a
a a
=A
…
n
, et on par le de déterminant d’ordren.
La suite du chapitre traite du calcul pratique des déterminants.
Chapitre 3 : Les matrices - page 13/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 86/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
4.3.1 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2
Définition
Soit . Alorsa c
b d
=
A ( )det a c
a d b cb d = = × −A × .
M oyen mnémotechnique
Exemple 8
Soit . Calculer .2 53 7
=
A ( )det A Réponse.
4.3.2 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3
Règle de Sar rus
Cette règle n’ est valable que pour des matrices carrées d’ ordre 3, et n’ est absolument
pas généralisable. M ieux vaut donc l ui préférer la r ègle générale énoncée dans le
paragraphe suivant.
Soit M .
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b ca b c
=
( ) 2 3 1 3 1 2 3det = + + −a b ca b c aM 31 1 21 2 3 2 32 1− −ca b c a ab c bb c
Chapitre 3 : Les matrices - page 14/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 87/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Exemple 9
Soit M . Calculer par la règle de Sarrus.2 1 01 4 23 1 1
=
)(det M Réponse.
4.3.3 Généralisation : Déterminant d’ordre n
Méthode des cofacteurs
L’astuce consiste à se ramener à des déterminants d’ordre inférieur jusqu’à obtenir desdéterminants d’ordre 2. Pour cela, on développe le déterminant par rapport à une ligne ou unecolonne.
Soit
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n n
a a a
a a a
a a a
∆ =
n
un déterminant d’ordren.
1
n
ij ij j
a X =
∆ = ∑ , développement par rapport à la lignei
1
n
ij iji
a X =
∆ = ∑ , développement par rapport à la colonne j
où ij X est lecofacteur de l’élément :ija ( )1 i j
ij ij X +
= − ∆
ij∆ est lemineur de c’est-à-dire le déterminant d’ordre( extrait de en enlevant la
i
ija )1n − ∆
ème ligne et la jème colonne.
Application :
11 11 12 12 1 1 pa X a X a X ∆ = + + +… p (ligne 1)
11 11 21 21 1 1 p pa X a X a X ∆ = + + +… (colonne 1)
22 2
11 11
2
p
p p
a a
X
a a
= +∆ =
…
… p
21 2
12 12
1
p
p p
a a
X
a a
= −∆ =
…
… p
Chapitre 3 : Les matrices - page 15/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 88/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Remarque
La répartition des signes à prendre devant les mineurs( ) , est alternée à partir du signe +
pour l’élément .
1 i j+−
11a
Par exemple, pour un déterminant d’ordre 5 :
+ - + - +- + - + -+ - + - +- + - + -+ - + - +
Application au déterminant d’ordre 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
∆ =
1 11 2 21 3 31a X a X a X ∆ = + + (colonne 1)
1 11 2 21 3 31a a a∆ = ∆ − ∆ + ∆
2 2 1 1 1 11 2 3
3 3 3 3 2 2
b c b c b ca a a
b c b c b c∆ = − +
( ) ( ) (1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1a b c b c a b c b c a b c b c∆ = − − − + − )
Exemple 10
Calculer le déterminant suivant1 1 42 12 4 3
∆ = −
−
3 , avec la méthode des cofacteurs.Réponse.
Propositions
a) → Si A a une ligne (ou une colonne) de zéros alors ( )det 0=A
→ Si A a deux lignes (ou deux colonnes) identiques alors( )det 0=A
b) Si on échange deux lignes (deux colonnes) d’un déterminant alors on obtient( )det− A
Chapitre 3 : Les matrices - page 16/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 89/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 90/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
4.4 Déterminant et volume
Les déterminants sont liés aux aires et aux volumes. Soientu u1 2, , , nu … des vecteurs de .n
SoitS le parallélépipède (solide) déterminé par ces vecteurs :
[ ]{ }1 1 2 2 0;1 pour 1,n n iS u u u iα α α α = + + + = n …
Lorsque ,S est un parallélogramme.2n =
Soit V S le volume deS (ou la surface deS dans le casn ). Alors :( ) 2=
( ) ( )1 2det , , , nV S u u u= …
Si on appelleA la matrice dont les colonnes correspondent aux vecteurs , alors :1 2, , , nu u u …
( ) ( )detV S = A
Proposition
( ) ( )1 2det , , , 0= … nV S u u u = si et seulement si les vecteursu u sont linéairement1 2, , , nu …
dépendants.
Vérification dans le cas : voir2n = chapitre 5, paragraphe 7.
5 Inversion de matrices
5.1 Matrice adjointe
Définition
Considérons une matrice carréeA d’ordren, la matrice des cofacteurs ij X des éléments deija
A notée est appeléeadj A matrice adjointe de A ou co-matrice de A.
( )1 i j
ij ijadj com X + = = = − ∆ A A
Exemple 12
11 12
21 22
a a
a a
=
A
. Calculer .adj A Réponse.
Chapitre 3 : Les matrices - page 18/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 91/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
5.2 Théorèmes
Théorème 1Soit A une matrice carrée d’ordren. Alors A est une matrice inversible si et seulement si
( )det 0≠A .
Théorème 2SoitA une matrice carrée quelconque d’ordren. Alors :
où I est la matrice identité d’ordren.( ) ( ) ( )det× = × =t t
nadj adjA A A A A × I n
Théorème 3
SoitA une matrice carrée quelconque d’ordren. Si , alors A est inversible et :( )det 0≠A
( ) ( )1 1
dett
adj− =A AA
5.3 Cas d’une matrice d’ordre 2
SoitA= . On sait que|A| = det(A) = (ac-bd ).a b
d c
La matrice adjointe deA est adj A = :c d
b a
− −
1 1( )
c b
d aac bd − −
= −− A .
Exemple 13
Soit . Calculer .2 53 7
=
A 1−A Réponse.
Chapitre 3 : Les matrices - page 19/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 92/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
5.4 Cas d’une matrice d’ordre 3
5.5 Cas particulier : inverse d’une matrice diagonale
DéfinitionSi [ ]iidiag a=A est une matrice diagonale inversible d’ordren :
(i) ( )1
det 0 1, 0n
ii iii
a i n a=
= ≠ = ≠∏A
(ii) 1 1ii
diag a
− =
A
11
22 0
0 pp
a
a
a
=
A
11
221
1
1 0
01 pp
a
a
a
−
=
A
6 Exemples d’utilisation en Biologie
D’un point de vue général, on peut dire que l’on utilise les matrices pour stocker des données
expérimentales. Mais nous allons voir que l’on utilise aussi les matrices pour décrire ladynamique de certaines populations animales.
6.1 Surface foliaire
Si chaque jour de l’année, on mesure la surface foliaire den plantes, on peutmettre ces données sous la forme :
1 365 (jours)1
ij
j p
i a
n
=
… …
… …
où représente la surface folière de la plantei au jour j, aveci variant de 1 à
n et j variant de 1 à 365 jours.
ija
Chapitre 3 : Les matrices - page 20/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 93/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
6.2 L’ombre commun
L'ombre commun est un poisson de rivière froide, pure et à cours
relativement lent que l’on trouve généralement plus en aval queles truites. La période de reproduction se situe au printemps.
Les jeunes d'un an mesurent en moyenne 15 cm et sont tous immatures. Les poissons de 2 ansmesurent 27 cm et la moitié d'entre eux sont adultes (i.e. sexuellement matures). À 3 ans tousles poissons sont adultes et mesurent en moyenne 35 cm.On admettra dans la suite que la sex-ratio est 1.Une femelle fournit chaque année 200 alevins, 90 % d'entre eux meurent avant 1 an. 50 % des jeunes d'un an meurent avant l'âge de 2 ans. A partir de l'âge de 2 ans, 40% des poissonsmeurent par an.
On représente la population, au printemps de l'annéen, par le vecteur :
1 1
2 2
3 3
: nombre d'alevins: nombre de poissons d'un an: nombre de poissons de 2ans: nombre de poissons de 3ans et plus
a a
n
n
N N
N N P
N N
N N
=
Compte tenu des informations sur l’espèce, on peut alors écrire :
( )
, 1 2, 3,ˆ% matures
1, 1 ,
2, 1 1,
3, 1 3, 2,
200 0.5 0.5 0.6
0.10.50.6
a n n n sex ratio survie
n a n
n n
n n n
N N
N N
N N
N N N
+−
+
+
++
= × + ×
=
=
=
N
Ce qui peut bien sûr se réécrire en notation matricielle :
Chapitre 3 : Les matrices - page 21/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 94/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
1 1
0 0 30 600.1 0 0 00 0.5 0 00 0 0.6 0.6
n n P P + +
=
An n P P =
0 P
1 P
0 P
La matriceA permet de décrire l’évolution d’année en année de l’effectif des quatre classesd’âge de la population.Ainsi, si on suppose que l’on lâche dans une rivière dépeuplée 100 ombres adultes (de 3 ans)après leur période de reproduction, on peut alors étudier l’évolution du repeuplement de larivière au cours du temps :
• A (le moment de la réintroduction des ombres), on a0n = ( )0 0,0,0,100 P =
• L’année suivante, à , on a , soit :1n = 1 P = A 1
0 0 30 60 0 60000.1 0 0 0 0 00 0.5 0 0 0 00 0 0.6 0.6 100 60
P
= =
• A , on a , c’est-à-dire .2n = 2 P = A 2
0 0 30 60 6000 36000.1 0 0 0 0 600 0.5 0 0 0 00 0 0.6 0.6 60 36
P
= =
• Et ainsi de suite…On peut remarquer que ; dans le cas général, on peut connaître les
effectifs des quatre classes d’âge pour n’importe quelle annéen par la relation :
22 1 0 P P P = = =A AA A
0n
n P P = A .
On comprend alors tout l’intérêt de savoir calculer simplement .nA
Voir chapitre 4
Heureusement des logiciels existent pour palier « ce problème », et en particulier la boîte àoutilsPopTools qui fonctionne sous Excel.Voici la simulation que l’on obtient avec PopTools :
Chapitre 3 : Les matrices - page 22/22 -
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 95/274
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....
Chapitre 3 : Les matrices - page 23/22 -
Evolution des classes d'âge au cours du temps
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
0 5 10 15 20Temps (années)
E f f e
c t i f
Na 1 an 2 ans 3 ans et plus
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 96/274
MAT RI C E S ( I NT R O
D U C T I O N )
Mi c h el R i
g o
P r emi er s
b a c h el i er s en s c i en
c e s m a t h é m a t i q u e s
O c t o b er 7 ,
2 0 0 9
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 97/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 98/274
S oi t A
Kmn
,m e s t l ah a u t e ur d eA e t n s al ar g e ur .
L am a t r i c eA e s t
h or i z on t al e s i m
<n ,
v er t i c al e s i m >
n ,
c ar r é e s i m=n ,
r e
c t an
g ul ai r e s i
m =n.
A =
( ai j ) e t B =
( b i j )
d ef or m em×n s on t é g al e s
s i ai j = b i j
p o ur t o u s i { 1 ,... ,
m } e t j { 1 ,... ,n
} .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 99/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 100/274
E XE MP L E
( MAT RI C E DE HI L BE RT
)
H=
( h i j ) d eR
nn d é n
i e p ar h i j
=
1
i + j −1
.
S i n=
4 , al or s
H=
1
1 / 2
1 / 3
1 / 4
1 / 2
1 / 3
1 / 4
1 / 5
1 / 3
1 / 4
1 / 5
1 / 6
1 / 4
1 / 5
1 / 6
1 / 7
.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 101/274
S i A =
( ai j ) e s t un em a t r i c e c ar r é e
D i a
g on al e pr i n c i p al e
ai ,i – d i a
g on al e s e c on d ai r e
ai ,n−i +1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 102/274
On d i t
q u eA e s t d i a
g on al e s i ai j =
0 d è s q u ei
=
j .
A =
d i a g ( λ 1 ,... , λ n ) .
L am a t r i c eA e s t t r i an
g ul ai r e s u p é r i e ur e s i ai j = 0 d è s q u ei >
j
0 0
0
0
0
0
( r e s p.
t r i an
g ul ai r ei nf é r i e ur e
)
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 103/274
E XE MP L E
C on s i d é r on s l am a t r i c e c ar r é eA Rnn d é ni e
p ar
ai j =i δ i j .
C ’ e s t un em a t r i c e d i a
g on al e d el af or m e
1
0
· · · 0
0
2
...
...
...
...
...
0
0
· · ·
0
n
=
d i a g ( 1 ,2 ,... ,n ) .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 104/274
L am a t r i c en ul l em×n e s t l am a t r i c e d on t t o u s l e s é l é m en t s
s on t n ul s . Onl an o t e 0 m
,n o um ê m e 0 s i m e t n s on t
s o u s - en t en d u s .
L am a t r i c ei d en t i t é d e d i m en s i onn e s t l am a t r i c e
d i a g on al e
I n=
d i a g ( 1 ,... ,1 ) =
( δ i j ) 1 ≤i ,
j ≤n.
U n em
a t r i c em×1 e
s t a p p el é ev e c t e ur c ol onn e.L ’ en s em b l e d e
c e s v e
c t e ur s s en o t e
Km.
D em ê m e , un em a t r i c e1 ×n e s t a p p el é ev e c t e ur l i gn e.
L ’ en s em b l e d e c e s v e c t e ur s s en o t eKn.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 105/274
OP E R A T I ON S S U R L E S MA T R I C E S
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 106/274
M UL T I P L I C A
T I O N S C AL AI RE
S oi en t λ K e t A K
mn.
K×K
mn
→Kmn
λ A =
( λ ai j ) 1
≤i ≤m
,
1 ≤ j ≤n
.
S i λ
, µ
K e t s i A K
mn , al or s 1
A =A
,
λ ( µA
) =
( λ
µ ) A .
E XE MP L E
3 1
0
3
2
π
0
0
0
−1
=
3 0
9
6 3 π
0
0 0
− 3
.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 107/274
ADDI T I O N
S oi en t A ,B K
mn. +: K
mn
×K
mn
→K
mn
A +B =
( ai j + b i j ) 1
≤i ≤m
,
1 ≤ j ≤n
.
E XE MP L E
1
2
3
4 +
−1
3
0
2
=
0
5
3
6 .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 108/274
S i A
,B , C K
mn , al or s
( A +B ) + C =A + ( B + C )
A +B =B +A
A + 0 = 0 +
A =A .
( Kmn
, +
) e s t un
gr o u p e c omm u t a t i f .
S i λ
, µ
K e t s i A ,B , C K
mn , al or s
( λ + µ ) A = λ A + µA
,
λ ( A +B
) = λ
A + λ B
Kmn
e s t un e s p a c ev e c t or i el s ur K.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 109/274
S oi en t A 1
,... ,A r K
mn e t λ 1 ,... , λ r K. U n e ex pr e s s i on d el a
f or m e
r j =1
λ i A
i = λ 1 A
1 +
· · · + λ r A r
e s t a p p el é e un e c om
b i n ai s onl i n é ai r e d e s m a t r i c e s A 1 ,... ,A r .
L e s s c
al ai r e s λ 1 ,... , λ r s on t l e s c o
ef c i en t s d e c e t t e
c om b i n ai s on.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 110/274
M UL T I P L I C A
T I O N
L e pr o d ui t d e d e ux m
a t r i c e s A e t B n’ e s t d é ni q u e s i
l en om
b r e d e c ol onn e s d eA e s t é g
al a un om b r e d el i gn e s d eB .
S oi en t A K
mn e t B K
n ℓ
.
A B =
n k
=1
ai k b k
j 1 ≤i ≤m
,
1 ≤ j ≤
ℓ
.
E XE MP L E 1
0
−1
2 2
0
1
0
0
1
−1
3
0
0
0
2
1
−1
=
1
−2
−1
2
0
6
0
2
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 111/274
I ) S i λ e s t un s c al ai r e e t s i A K
mn ,B K
n ℓ
, al or s
( λ A
) B =A
( λ B
) = λ ( A B
) .
I I ) L e pr o d ui t m a t r i c i el e s t b i l i n é ai r e ,i . e. , s i A ,B e t C s on t d e s
m a t r i c e s e t λ , µ
d e s s c al ai r e s , al or s
( λ A + µB
) . C =
λ A C + µB C
A . ( λ B + µ C ) =
λ A B + µA C
o ù l ’ on s u p p o s e
q u el e s pr o d u
i t s m a t r i c i el s on t un s en s .
I I I ) L e pr o d ui t m a t r i c i el e s t a s s o c i a t i f : A K
m q ,B K q p
,
C
K pn
A ( B C ) =
( A B ) C .
I V ) S i A K
mn , al or s
0 ℓ ,mA = 0 ,
A 0 n , ℓ
= 0
e t I mA =A
,
A I n=A .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 112/274
[ ( A B ) C
] i j
=
p k =
1 ( A B
) i k C k j
=
p k =
1 q ℓ
=1
A i ℓ
B ℓ
k
C k j =
p k =1
q ℓ
=1
A i ℓ
B ℓ
k C k j .
D e pl u
s , [
A ( B C ) ] i j
=
q ℓ
=1 A
i ℓ
( B C ) ℓ
j
=
q ℓ
=1 A
i ℓ
p k =1
B ℓ
k C k j =
q ℓ
=1
p k =1
A i ℓ B ℓ
k C k j .
On c on c l u t en
p er m u t an t l e s s omm
e s .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 113/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 114/274
RE MA
R Q UE
V é r i er
q u el e
pr o d ui t d e d e ux m a t r i c e s c ar r é e s d em ê m e
d i m en s i on e t d i a
g on al e s
( r e s p. t r i an
g ul ai r e s s u p é r i e ur e s ,
t r i an
g ul ai r e s i nf é r i e ur e s ) e s t en c or e un em a t r i c e d i a g on al e
( r e s p.
t r i an
g ul ai r e s u
p é r i e ur e , t r i an
g ul ai r ei nf é r i e ur e ) .
RE MA
R Q UE
L e pr o d ui t d em a t r i c e s c ar r é e s n’ e s t en
g é n é r al p a s c omm u t a t i f
0
1
1
0 0
1
0
0
= 0
0
0
1
e t
0
1
0
0 0
1
1
0
= 1
0
0
0
D e ux m a t r i c e s c ar r é e s A e t B c omm u t en t s i A B =
B A
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 115/274
P ui s q u el e pr o d ui t m
a t r i c i el e s t a s s o c i a t i f , on
p e u t d é ni r l a
p ui s s a
n c en-i è m e d ’ un em a t r i c e c ar r é eA d e d i m en s i onk ,
n > 0 , p ar
A n
=A ...A
nf oi s
.
S i n=
0 , on
p o s eA 0
=I k .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 116/274
S i l e s m a t r i c e s A e t B s on t c ar r é e s d em ê m e d i m
en s i on e t
c omm u t en t al or s ,
( A +B ) n=
n k = 0
C k nA k
B n−k
.
P ar c on t r e , s i A e t B
n e c omm u t en t p a s
( A +B
) n
=
A n
+
A n−1
B +A
n−2
B A +
· · · +A B A n−
2 +B A
n−1
+A
n−2
B 2 +
· · · +B
n.
P ar ex em
pl e , s i A e t
B n e c omm u t en t
p a s , al or s
( A +B
) 3 =A
3 +A
2 B +A B A +B A
2 +B
2 A +B A
B +A B
2 +B
3
e t ( A
+B
) 4
=
A 4
+
A 3 B +A
2 B A +A B A
2 +B A
3
+A
2 B
2
+A B A B +B A
2 B +
A B 2 A +B A B A +B
2 A
2 +
· · ·
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 117/274
T o u t em a t r i c e c ar r é eA c omm u t e av e c 0 e t I .E n ef f e t ,
A 0 = 0 A = 0 e t
A I =I A =A .
L e s p ui s s an c e s
d ’ un em ê m em a t r i c e c ar r é e
A c omm u t en t .
S oi en t p , q N.I l v i en t A
pA q=
A qA p.
P ar c on s é q u en t , s i λ
0 , λ 1 ,... , λ r e t µ 0 , µ1 ,... , µ s s on t d e s
s c al ai r e s e t s i A
e t un em a t r i c e c ar r é e , al or
λ 0 I + λ 1 A +
· · · + λ r A
r
e t µ 0 I + µ1 A +
· · · + µ s A s
c omm u t en t .
D e ux m a t r i c e s d i a g on al e s ( d e
m ê m e d i m en s i on
)
c omm u t en t e t
d i a g ( λ 1 ,... , λ r ) d i a g ( µ1 ,... , µr ) =
d i a g ( λ 1 µ1 ,... , λ r µr ) .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 118/274
I l ex i s t e d e s m a t r i c e s A
,B t el l e s q u eB A =
−A B
( d an s c e
c a s , on d i t
q u el e s m a t r i c e s s on t an t i c omm u t a t i v e s ) .P ar
ex em pl e , 1
0
0
−1
0
−1
1
0
=
− 0
−1
1
0
1
0
0
−1
.
L e pr o d ui t d e d e ux m a t r i c e s p e u t ê t r en ul s an s q u’ a u c un
d e s f a c t e ur s n e s oi t n ul .P ar ex em pl e ,
1
i
i −1
2 =
0 ,
0
1
−1
−1
0
1
1
−1 0
1
1 1
1
1 1
1
1 1
= 0 .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 119/274
T RA N S P O S I T I O N
L a t r an s p o s é e d el am a t r i c eA =
( ai j ) K
mn e s t l am a t r i c e
A K
nm
d on t l e s l i gn e s s on t l e s c ol onn e s d eA ,
( A
) i j = a
j i .
˜ ˜ A =A
,
( λ A + µB
) = λ
A + µ
B ,
( A B
) =
B
A .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 120/274
E XE MP L E
A =
1
2
3
4 ,
A =
1
3
2
4 .
S i A e s t un em a t r i c e
c ar r é e t el l e
q u e A =A , al or s on d i t
q u eA
e s t s y m é t r i q u e.E n d
’ a u t r e s t er m e s ,A e s t s y m é t r i q u e s i ai j = a j i
p o ur t o u s i , j .
S i A
=
−A , al or s A e
s t d i t e an t i s y m
é t r i q u e.D an s
c e c a s ,
ai j =
− a j i p o ur t o u s i ,
j .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 121/274
OP É RAT I O N S S P É C I F I Q UE S A UXMAT RI C E S C OMP L E XE S
On
p e u t a s s o c i er à l am a t r i c e c om
pl ex eA =
( ai j )
,l e s m a t r i c e s
s ui v an
t e s
l a
p ar t i er é el l e d
eA :
( R e A ) i j = R e ai j ,
l a
p ar t i ei m a gi n ai r e d eA :
( I m
A ) i j = I m ai j ,
l a
m a t r i c e c on
j u g u é e d eA :
( A ) i j = ai j ,
l a
m a t r i c e a d j oi n t e d eA : A
=˜ ¯ A
=¯ ˜ A
,
a u t r em en t d i t ,
( A ) i j = a j i .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 122/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 123/274
A = R e A +i I mA
A = R e A −i I mA
R e A =
1 2 ( A +
A )
I mA =
1 2 i (
A −A
)
A =A
( A ) =
A
λ A + µB = λ A +
µB
( λ A + µB
) = λ
A + µB
U n em
a t r i c e c ar r é eA e s t h er mi t i enn e s i A =A .
E l l e e s t an t i h er mi t i enn e s i A =
−A .
S i A e s t h er mi t i enn e
( r e s p. an t i h er mi t i enn e ) , al or s s e s
é l é m en t s d i a
g on a ux
s on t r é el s
( r e s p.i m a gi n ai r e s p ur s ) .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 124/274
S O U S -MAT RI C E S
C on s i d é r on s l e s en t i er s i 1
,... ,i r e t j 1 ,... , j s t el s
q u e
1 ≤i 1 <
· · · <
i r ≤m
,
1 ≤ j 1 <
· · · <
j s ≤n.
A ( i 1 ,
..
. ,i r ; j 1 ,
.
.
. , j s )
= (
ai k j ℓ
) 1 ≤k
≤r
1 ≤
ℓ
≤ s
.
On d i t
q u e c e t t em a t r i c e e s t un e s o u s -m a t r i c e d e
A .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 125/274
E XE MP L E
A =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1 1 2
.
On a p ar ex em
pl e ,
A ( 1 ,2 ; 1 , 3 )
=
1
3
5
7 ,
A ( 1 ; 1 ,
2 , 3 ,4
) =
1
2
3
4
A ( 1 ,2 , 3 ; 3 )
=
3 7 1 1
.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 126/274
on a p p el l e s o u s -m a t r i c e d i a
g on al e
d eA , un e s o u
s -m a t r i c e d eA
p o ur l a
q u el l e on a s é l e c t i onn é d e s
l i gn e s e t d e s c ol onn e s d e
m ê m e
i n d i c e d an s A .
A ( i 1 ,
.
.
. ,i k ; i 1 ,
.
.
. ,
i k )
.
l e s é l é
m en t s d el a d i a g on al e
pr i n c i p al e d eA
( i 1 ,
.
.
. ,i k ; i 1 ,
.
.
. ,i k
) s on t
d e s é l é m en t s d el a d i a g on al e
pr i n c i p al e d eA .
1
3
9
1 1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 127/274
MAT RI C E S C
OMP O S É E S
S i L 1
,... ,L m
Kn ( r e s p. C 1 ,... , C n K
m ) s on t l e s l i gn e s
( r e s p.
c ol onn e s ) d eA K
mn al or s
A =
L 1 ...L m
=
C 1
· · · C n
.
C on s i d é r on s l e s m a t r i c e s A
i j ,1 ≤i ≤r ,1 ≤ j ≤ s , o ù A
i j e s t
un em a t r i c em
i ×n j .
A 1 1
· · · A
1 s
...
...
A r 1
· · · A r s
= ( A
i j ) 1 ≤i ≤r ,
1 ≤ j ≤ s
L e s m a t r i c e s A
i j s on t l e s m a t r i c e s p ar t i el l e s d el a
m a t r i c e
c om
p o s é e.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 128/274
E XE MP L E
C 1 =
1 2 3
,
C 2 =
4 5 6
,
C 3 =
7 8 9
.
L am a t r i c e c om
p o s é e ( C 1
C 2
C 3 ) e s t
1
4
7
2
5
8
3
6
9
.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 129/274
E XE MP L E
A 1 1 =
1
2
3
4 ,
A 1 2 =
5 6 ,
A 2 1 =
7
8 ,
A 2 2 =
9 .
L am a t r i c e c om
p o s é e ( A i j ) 1
≤i ,
j ≤2 e s t l am a t r i c e
1
2
5
3
4
6
7
8
9
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 130/274
S oi en t A 1
,... ,A r d e s m a t r i c e s c ar r é e s d e d i m en s i on s
r e s p e c t i v e s n1
,... ,nr . On
p e u t c on s t r ui r el am a t r i c e c om
p o s é e
d i a
g on al e d i a g ( A
1 ,... ,A r ) =
A 1
...
A r
=
( A i δ i j ) 1 ≤i ,
j ≤r .
C e t t em a t r i c e e s t un em a t r i c e c ar r é e d e d i m en s i on r j =
1 n j .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 131/274
E XE MP L E
A 1 =
1
2
3
4 ,
A 2
=
5
6
7
8 .
L am a t r i c e c om
p o s é e d i a
g on al e d i a g ( A 1 ,A 2 ) e s t l am a t r i c e
1
2
0
0
3
4
0
0
0
0
5
6
0
0
7
8
.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 132/274
L e s o p é r a t i on s s ur l e s m a t r i c e s c om
p o s é e s p e uv en t s ’ ex pr i m er
en t er m e s d el e ur s m
a t r i c e s p ar t i el l e s
S i A e t B s on t d e s m
a t r i c e s c om
p o
s é e s
A =
( A i j ) 1
≤i ≤r ,
1 ≤ j ≤ s
,
B =
( B i j ) 1
≤i ≤ t ,
1 ≤ j ≤ u
t el l e s q u er = t , s =
u e t p o ur t o u s
i , j ,A
i j e t B
i j o
n t m ê m e
f or m e , al or s
λ A + µB =
( λ A
i j +
µB i j ) 1
≤i ≤r ,
1 ≤ j ≤ s
.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 133/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 134/274
E XE MP L E
a1 1
a1 2
a1 3
a2 1
a2 2
a2 3
a 3 1
a 3 2
a 3 3
b 1
1
b 1 2
b 2 1
b 2 2
b 3 1
b 3 2
=
a1 1
a1 2
a2 1
a2 2
b 1 1
b 1 2
b 2 1
b 2 2
+
a1 3
a2 3
b 3 1
b 3 2
a 3 1
a 3 2
b 1 1
b 1 2
b 2 1
b 2 2
+
a 3 3
b 3 1
b 3 2
=
a1 1 b 1 1 + a1 2 b 2 1 + a1 3 b 3 1
a1 1 b 1 2 + a1 2 b 2 2
+ a1 3 b 3 2
a2 1 b 1 1 + a2 2 b 2 1 + a2 3 b 3 1
a2 1 b 1 2 + a2 2 b 2 2
+ a2 3 b 3 2
a 3 1 b 1 1 + a 3 2 b 2 1 + a 3 3 b 3 1
a 3 1 b 1 2 + a 3 2 b 2 2
+ a 3 3 b 3 2
.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 135/274
D an s l e c a s p ar t i c ul i er o ù L 1
,... ,L m s on t l e s l i gn
e s d eA K
mn
e t C 1 ,... , C r l e s c ol onn e s d eB K
nr , al or s
A B =
( L i C j ) 1
≤i ≤m
,
1 ≤ j ≤r
.
E n n , s i
A =
( A i
j ) 1 ≤i ≤r ,
1 ≤ j ≤ s
, al or s
A = ( A j i ) 1 ≤i ≤ s ,
1 ≤ j ≤r
.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 136/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 137/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 138/274
A propos de matrices Page 3 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
La seconde est la matrice identité d'ordre 3 aussi notée 3Id . Tous ses coefficients sont
nuls sauf ceux de sa diagonale qui sont égaux à 1. Bref 3
1 0 0Id 0 1 0
0 0 1
=
.
Ces deux matrices particulières existent pour tous les ordres possibles. Mêmes les plus
absurdes !Maintenant que nous avons une idée de ce que sont les matrices, nous allons pouvoir lesopérer. Sortez les bistouris, nous arrivons !
Somme de deux matrices et produit par un réelIl en va des matrices comme des vecteurs : on peut les additionner entre elles ou les multiplierpar un réel. D'ailleurs n'écrit-on pas les coordonnées de ceux-ci sous la forme de vecteurslignes ou colonnes.
L'addition matricielleOn additionne deux matrices en additionnant leurs coefficients respectifs. Pour quel'opération soit possible, les deux termes matriciels doivent avoir les mêmes dimensions.
Définition : ( )i, j A a= et ( )i, jB b= sont deux matrices de dimension n p × .
La somme des matrices A et B est la matrice de même dimension notée A B + et définie par :
1,1 1,2 1,p 1,1 1,2 1,p 1,1 1,1 1,2 1,2 1,p 1,p
2,1 2,2 2,p 2,1 2,2 2,p
n,1 n,2 n,p n,1 n,2 n,p
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a
a a a b b b
+ + + + =
Matrice A Matrice B
2,1 2,1 2,2 2,2 2,p 2,p
n,1 n,1 n,2 n,2 n,p n,p
b a b a b
a b a b a b
+ + + + + +
Matrice A+B
Une fort belle et bien lourde définition dont on ne retiendra que le principe général : onadditionne leurs coefficients respectifs. A ce propos, mettons-là en application sur quelquesexemples.
• Commençons par additionner deux vecteurs lignes !( ) ( ) ( ) ( )4 1 2 1 3 7 4 ( 1) 1 ( 3) 2 7 3 4 9− + − − = + − − + − + = −
Tout cela n'est pas sans rappeler les calculs sur les coordonnées de vecteurs !• A présent, procédons à la somme de deux matrices 3 2× !
4 3 3 1 4 3 3 1 7 25 8 2 7 5 2 8 7 3 15
7 9 1 9 7 ( 1) 9 ( 9) 6 0
− + − + − − + = − + + = − − − + − + −
• 5 1 7 6 8 5 6 1 8 7 ???Mais il manque une colonne !
2 3 4 9 1 2 9 3 1 4 ???
+ + + + = = + + +
Tout cela car ces deux matrices n'ont pas les mêmes dimensions ! L'opération s'avère
donc impossible !
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 139/274
A propos de matrices Page 4 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
• Enfin, achevons ce tour d'horizon en additionnant deux matrices 2 3× !5 7 1 0 0 0 5 0 7 0 1 0 5 7 13 3 3 0 0 0 3 0 3 0 3 0 3 3 3
− + − + + − + = = + + +
Cet exemple illustre le fait que l'addition matricielle admet un "zéro" en la personne dela matrice nulle (celle qui a des 0 partout). On dit qu'elle est l'élément neutre del'addition. N'importe quelle matrice ajoutée à la matrice nulle reste elle-même !
Les propriétés de la somme A l'instar de ses aînées réelle ou vectorielle, l'addition matricielle est commutative. Comprenezpar là que la somme A B+ est égale à la somme B A + . Les deux termes peuvent êtrecommutés. En effet, nous avons :
1,1 1,1 1,p 1,p 1,1 1,1 1,p 1,p
n,1 n,1 n,p n,p n,1 n,1 n,p n,p
a b a b b a b a
A Ba b a b b a b a
+ + + +
+ = + + + + +
Matrice A+B A la ligne i et à la colonne j,on commute les deux termes r
B A = +
i, j i, j éels a et b
Car l'addition réelle est commutative !
En fait, l'addition matricielle hérite sa commutativité de sa consoeur réelle.Cette propriété peut s'avérer fort utile dés lors qu'il s'agit d'enchaîner une série de sommesmatricielles. C'est par exemple le cas avec ce qui suit !
4 3 7 11 4 3 4 3 4 3 7 111 2 8 15 1 2 1 2 1 2 8 152 5 12 8 2 5 2 5 2 5 1
− − − − + − + − − = + − − + − − − − −
Commutons ces deux matrices Additionnons ces deux matrices
2 8
0 0 7 11 7 11
0 0 8 15 8 150 0 12 8 12 8
= + − = −
Matrice nulle
Dans l'exemple précédent, les première et troisième matrices sont les opposées l'une del'autre. Comprenez que leurs somme est la matrice nulle qui est l'élément neutre de l'additionmatricielle. La notion d'opposé d'une matrice se définit comme celles des nombres ou des vecteurs.
Définition : dire que A est l'opposé de B signifie que A B 0+ =
Pratiquement, l'opposé de la matrice A est une matrice de même dimension et dont lescoefficients sont les opposés de ceux de A.
Produit d'une matrice par un réelCette opération est l'extension de celle existant pour les vecteurs de l'espace ou du plan.
En effet, si on appellex y z
les coordonnées d'un vecteur u de l'espace dans un quelconque
repère
( )O;i, j,k
alors le vecteur .uk y a pour coordonnées
.x
.y .z
kkk
.
C'est là le produit d'un vecteur colonne par un réel ! On étend cette opération a toutes lesautres matrices en multipliant chacun de ses coefficients par le nombre réel k .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 140/274
A propos de matrices Page 5 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
Définition : ( )i, j A a= est une matrice de dimension n p × et k est un réel.
Le produit du réel k par la matrice A est la matrice de même dimension notée .A k et définiepar :
1,1 1,2 1,p 1,1 1,2 1,p
2,1 2,2 2,p 2,1 2,2 2,p
n,1 n,2 n,p n,1 n,2 n,p
a a a .a .a .a
a a a .a .a .a.
a a a .a .a .a
=
k
k k k
k k kk
k k k
Matrice A Matrice .A
A l'instar de ce qui se passe pour les vecteurs, cette multiplication matricielle/réelle estprioritaire par rapport à l'addition vectorielle. C'est un choix comme la priorité de lamultiplication réelle par rapport à l'addition réelle. Ainsi, par exemple :
2 1 1 7 8 4 3 21 8 3 4 ( 21)4. 3.
7 3 0 3 28 12 0 9 28
− − − − − + − − − = − = + Prioritaire... Prioritaire... Il ne reste plus qu'à faire la somme...différence = somme avec l'opposé
5 250 12 9 28 3
− = −
Les aficionados de calcul vectoriel ne seront pas trop dépaysés !
Une des conséquences de cette priorité de la multiplication sur l'addition est que cettepremière devient distributive par rapport à cette seconde. En effet, si ( )i, j A a= et ( )i, jB b=
sont deux matrices de dimension n p × et k est un réel alors :
[ ]1,1 1,1 1,p 1,p 1,1 1,1 1,p 1,p
n,1 n,1 n,p n,p n,1 n,1 n,p n,p
a b a b .a .b .a .b
. A B .
a b a b .a .b .a .b
+ + + +
+ = =
+ + + + k
k k k k
k k
k k k k
Matrice A+B La matrice A+B a été multipliée par
1,1 1,p 1,1 1,p
n,1 n,p n,1 n,p
.a .a .b .b
.A .B.a .a .b .b
= + = +
k k
k k k k
k kk k k k
Matrice .A Matrice .A
Dans le même esprit, nous pourrions dire que la multiplication réel/matrice est distributivepar rapport à l'addition des nombres. En effet, si k et l sont deux réels et ( )i, j A a= une
matrice de dimension n p× alors :1,1 1,p 1,1 1,p 1,1 1,p
n,1 n,p n,1 n,p n,1 n,p
( ).A
( ).a ( ).a .a .a .a .a
( ).A ( ).a ( ).a .a .a .a .a
+
+ +
+ = = + + +
k l
k l k l k k l l
k l k l k l k k l l
Matrice ... ...qui est auss
.A .A = +k l i la somme de deux autres matrices
Cette dernière propriété s'emploie généralement de la droite vers la gauche, à savoir dans lesens de la réduction des sommes : 2.A 6.A 8.A + = . C'est comme avec les x et les vecteurs !
Les esprits chagrins et les vieilles filles me feront remarquer que les deux propriétésprécédentes étaient assez évidentes et donc qu'il était inutile de rentrer dans les détails et ainside les établir. L'interrogation qui me vient est alors de savoir ce qu'ils diront de l'exercicesuivant.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 141/274
A propos de matrices Page 6 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
L'impossible résolution d'une équation matricielle linéairePour conclure ce paragraphe, nous allons nous lancer dans la résolution de l'équation suivanted'inconnue matricielle X :
1 4 2 0 1 0 4 6 33. X 5.X
7 3 5 7 0 2 1 2 0
− − − + = + −
Ce genre d'équation n'est pas sans rappeler les traditionnelles équations du premier degré àcoefficients réels. Nous inspirant de ces dernières, nous allons pour la résoudre mettre les Xd'un côté et les "sans X" de l'autre. Petite différence tout de même : nous allons travailler avecdes matrices 2 3×
1 4 2 0 1 0 4 6 33. X 5.X
7 3 5 7 0 2 1 2 0
3 12 6 0 1 0 4 6 33.X 5.X
21 9 15 7 0 2 1 2 0
4 6 3 3 13.X 5.X 1 2 0
− − − + = + −
− − − + = + − −
− = + −
On commence par distribuer 3
Les X d'un côté...
2 6 0 1 021 9 15 7 0 2
1 19 92.X
13 11 13
1 19 9 0,5 9,5 4,51X .2 13 11 13 6,5 5,5 6,5
− −
− =
− − − = − = − − −
Les "sans X" de l'autre !
Conclusion : l'unique solution de l'équation est la matrice 2 3× 0,5 9,5 4,5
X6,5 5,5 6,5
− − − = − − − .
Les préceptes introduits en quatrième restent valables même avec les matrices. Ainsi :• On ne change pas une égalité si on ajoute ou retranche la même chose aux deux
membres.• On ne change pas une égalité si on multiplie ou divise ses deux membres par le même
nombre réel non nul !Ils sont valables pour les réels, les vecteurs et les matrices ! En fait, ils sont valables partout oùune addition et une multiplication par un réel existe !
Le produit matricielSi on peut considérer que la somme matricielle et le produit d'une matrice par un réel sont lesextensions de leurs confrères vectoriels, il ne peut en aller de même pour le produit de deuxmatrices. Car le produit de deux vecteurs n'existe pas !Ou plutôt si, il existe ! Mais son résultat est un nombre réel ! C'est à partir de ce produit quel'on dit scalaire que nous allons définir le produit de deux matrices.Pour bien comprendre la chose, plaçons dans l'espace que nous supposons muni d'un repèreorthonormé ( )O;i , j,k
. Le produit scalaire des vecteurs ( )u 1; 2;3− et ( ) v 7;4; 1− est donné par
( )7
u.v 1 2 3 . 4 1 7 ( 2) 4 3 ( 1) 4
1
= − = × + − × + × − = − −
Somme des produits dans chaque coordonnée Déjà le produit matriciel point...
On divise par -2
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 142/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 143/274
A propos de matrices Page 8 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
Par exemple, multiplions les matrices1 2 12 0 4
− −
et0 2 31 3 46 1 0
− − −
.
On écrit ces deux matrices dans un tableau : le premier facteur sur la gauche et le second surle haut. Puis, on calcule chaque coefficient de la matrice produit en "emboîtant" la ligne
correspondante du premier facteur et la colonne correspondante de la seconde matricefacteur.
Seconde matrice facteur
0 -2 3
1 -3 4
Premier facteur 6 -1 0
1 -2 1 1 0 ( 2) 1 1 64
× + − × + ×= 1 ( 2) ( 2) ( 3) 1 ( 1)3
× − + − × − + × −= 1 3 ( 2) 4 1 05
× + − × + ×= −
2 0 -42 0 0 1 ( 4) 6
24
× + × + − ×= −
2 ( 2) 0 ( 3) ( 4) ( 1)
0
× − + × − + − × −=
2 3 0 4 ( 4) 06
× + × + − ×=
Matrice produit
Cette présentation a le gros avantage de structurer les calculs : elle limite le risque de prendrela mauvaise ligne ou la mauvaise colonne. Reste alors à éviter l'écueil des erreurs de calculs. Ayant posé et effectué la multiplication, nous pouvons conclure que :
0 2 31 2 1 4 3 5
1 3 43 0 4 24 0 6
6 1 0
− − − × − = − − −
Tous les produits ne sont pas possibles !
Tous les produits de matrices ne sont pas possibles. Elles doivent avoir des dimensionscompatibles. Plus exactement, le premier facteur doit avoir autant de colonnes que le second ade lignes. Cela afin que les lignes de la première matrice s'emboîtent bien avec les colonnes de
la seconde. Il est par exemple impossible de faire le produit suivant1 2 3 5 31 0 7 6 4
× − Trois colonnes Deux lignes
Seconde matrice facteur
5 3
Première matrice 6 4
1 2 3 1 5 2 6 3 ???× + × + × 1 3 2 4 3 ???× + × + ×
-1 0 7 ( 1) 5 0 6 7 ???− × + × + × ( 1) 3 0 4 7 ???− × + × + ×
M a t ri c e
pr
o d ui t
Il manque une ligne à la seconde matrice. Par contre, le produit dans l'autre sens est possible !
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 144/274
A propos de matrices Page 9 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
La multiplication matricielle n'est pas commutative !La multiplication réelle est commutative. En effet, les calculs 2 3× et 3 2× aboutissent aumême résultat. Les facteurs 2 et 3 peuvent être commutés.Pour la multiplication matricielle, les choses sont différentes : elle n'est pas commutative.C'est-à-dire que prenant deux matrices A et B, il n'est pas sûr que le produit A B × soit égal auproduit B A × .
S'il en est ainsi, c'est déjà parce que ces deux multiplications peuvent aboutir à deux matricesn'ayant pas les mêmes dimensions.
Par exemple, si l'on effectue les deux produits avec les matrices ( ) A 1 2= et1
B5
− =
alors :
( )
( ) ( )
1 A B 1 2
5
1 ( 1) 2 5 9×
− × = ×
= × − + × = Matrice 1 1
( )
1B A 1 2
5
1 1 1 2 1 25 1 5 2 5 10
×
− × = × − × − × − − = = × ×
Matrice 2 2
Et puis, même lorsque l'on travaille avec des matrices sympas comme des matrices carréesd'ordre 2, la plupart du temps, les choses se passent mal : ça ne commute pas !
Par exemple, voyons ce qu'il en est avec les matrices carrées1 2
A 6 1
− =
et2 3
B7 1
− =
.
1 2 2 3 16 1 A B
6 1 7 1 5 19
− − − × = × = −
2 3 1 2 16 7B A
7 1 6 1 13 13
− − × = × = −
Les deux multiplications aboutissent à des résultats différents. Donc A et B ne commutentpas.
Alors bien sûr, il peut arriver que deux matrices commutent. Mais c'est l'exception ! C'est loind'être une généralité. Nous devons le dire :
La multiplication matricielle n'est pas commutative !
Une précision : même s'il n'y avait qu'un seul couple de matrices A et B pour lequel le produit A B× serait différent du produit B A × , cela ferait quand même de la multiplicationmatricielle une opération non commutative.
Par contre, elle est associativeL'associativité est la propriété qui permet de faire les produits de trois facteurs ou plus dansl'ordre où l'on veut. La multiplication réelle étant associative, le produit 2 3 5× × de plusieursfaçons suivant l'association retenue c'est-à-dire la première multiplication choisie.
2 3 5 6 5 30× × = × =On peut commencer
par ce produit
2 3 5 2 15 30× × = × =On peut commencer
par ce produit
Dans l'exemple précédent, à aucun moment la commutativité de la multiplication réelle n'estintervenue. Sinon il y aurait une troisième voie en commençant par la multiplication de 2 et 5.La multiplication n'est pas commutative. Cependant elle est associative. Démontrons celapour les matrices carrées.
Nous considérons trois matrices carrées d'ordre n notées ( )i, j A a= , ( )i, jB b= et ( )i, jC c= .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 145/274
A propos de matrices Page 10 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
Pour prouver que le produit matriciel est associatif, Nous devons prouver que les calculs( ) A B C× × Preum's
et ( ) A B C× × Preum's
conduisent au même résultat. Quelque soit la multiplication par
laquelle on commence, on arrive à la même matrice.Pour y parvenir, nous allons nous concentrer sur le coefficient d'indices i,j de la matrice A B C× × .
La démonstration qui suit, est assez difficile à suivre et exige de l'attention et quelquesprécisions. Le symbole Σ (prononcer "sigma") dont nous allons faire usage, est là pourindiquer une somme. Ainsi par exemple
n
k 1 2 k nk 1
a a a a a=
= + + + + +∑k Somme des a
avec k allant de 1 à n
… …
Le coefficient de la matrice ( ) A B C× × se trouvant à la ligne i et à la colonne j est donné par :
( ) [ ]
n
k,j i,l l,k i,k i, jk 1 l 1
A B C A B .c a .b= =
×× ××
× × = × = ∑Coefficient d'indice i,kCoefficient d'indice i, j
de la matrice A Bde la matrice (A B) C
La ligne i de A Bavec la colonne j de C
n n n n
k,j i,l l,k k,jk 1 k 1 l 1
.c a .b .c= = =
= ∑ ∑ ∑∑
Globalement, une somme La ligne de i de Ade sommeavec
la colonne j de B
Le coefficient de la matrice ( ) A B C× × se trouvant à la ligne i et à la colonne j est donné par :
( ) [ ]n
i,l i,l l,k k,l, ji, jl 1
(
A B C a B C a . b .c=
×× ×
×
× × = × = ∑Coefficient d'indice l, j Coefficient d'indice i, j
de la matrice B C de la matrice A B C)
La ligne i de Aavec la colonne j de B C
n n n n
j i,l l,k k, jl 1 k 1 l 1 k 1
a .b .c= = = =
=
∑ ∑ ∑∑Globalement, une somme La ligne de l de B
de sommeavecla colonne j de C
Les deux signes sommes (l'un en variable k et l'autre en l) ne dépendant pas l'un de l'autre, ilssont donc permutables. Par suite, pour tous entiers i et j compris entre 1 et n, avons-nous :
( ) ( )n n
i,l l,k k,ji,j i,jk 1 l 1
A B C a .b .c A B X= =
× × = = × × ∑∑
Leurs coefficients respectifs étant égaux, il en va donc de même pour les matrices carréed'ordre n que sont ( ) A B C× × et ( ) A B C× × .La propriété que nous venons d'établir pour les matrices carrées, s'étend à toutes les autres
matrices pour peu qu'elles aient des dimensions compatibles. Ainsi avons-nous :Définition : la multiplication matricielle est associative. Pour toutes matrices A, B et C auxdimensions compatibles :
( ) ( ) A B C A B C A B C× × = × × = × ×On commence par la multiplication que l'on veut !
Cette propriété de la multiplication matricielle permet de simplifier certains calculs. Parexemple :
− − − − + − − × × = × = = + +
2 1 2 7 6 7 2 1 26 0 52 0 0 13 52 13
4 1 1 3 2 2 4 1 0 13 104 0 0 13 1Commençons par Ce dernier produit se faitcette multiplication assez facilement !
04 13
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 146/274
A propos de matrices Page 11 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
Classiquement, nous aurions pu commencer nos calculs en multipliant les deux premièresmatrices. Mais il est probable que les calculs auraient été un petit peu plus compliqués...
Priorité opératoire et distributivité A l'instar de leurs consoeurs réelles, la multiplication matricielle est prioritaire par rapport àl'addition. S'il en est ainsi, c'est parce que l'on a décrété. Les priorités opératoires restent doncles mêmes que pour les nombres réels.Par exemple, effectuons le calcul suivant :
( )3 1 3 3 1 12 15 9 16
4 50 7 2 0 7 8 10 8 17
− − + × = + =
Multiplication prioritaire Il ne reste plus qu'à additionner
Même en additionnant ou multipliant des matrices de dimensions différentes, un calcul peutavoir un sens. Cela dit, au cours de celui-ci, il faut toujours s'assurer que l'opération que l'on va faire est possible. Cela évite de faire des bêtises !
La conséquence de cette priorité de la multiplication sur l'addition est que cette premièredevient distributive par rapport à cette seconde. Mais attention car la multiplication n'est pascommutative. Cela signifie donc que le sens dans lequel se fait la distribution a sonimportance. Elle peut se faire par :
Distribution à gauche
( ) A B C A B A C× + = × + ×On multiplie à gauche par AOn distribue de la gauche
Distribution à droite
( )B C A B A C A + × = × + ×On multiplie à droite par AOn distribue de la droite
Une telle propriété se démontre assez facilement : tout repose sur le fait que la colonne j (ouligne i) de la matrice B C+ est la somme des lignes colonnes j (ou des lignes i) des matrices Bet C.
Un produit nul de facteur non nulsDepuis toujours, on vous a demandé de considérer comme un acquis qu'un produit était nul siet seulement si au moins l'un de ses facteurs l'était. Cette réalité permet en outre de résoudredes équations du second degré, voire mieux.Mais il s'agit là d'une vérité réelle voire complexe. Car la réalité matricielle est tout autre : unproduit peut être nul sans pour autant que l'un de ses facteurs le soit. C'est par exemple le casdes produits suivants :
• ( ) ( ) ( )4
6 3 2 . 6 6 4 ( 3) 6 2 ( 3) 03
− = × + − × + × − = −
Matrice nulle 1 1× !
• 1 2 10 8 1 10 ( 2) 5 1 8 ( 2) 4 0 03 6 5 4 ( 3) 10 6 5 ( 3) 8 6 4 0 0
− × + − × × + − × × = = − − × + × − × + × Matrice nulle 2 2×
• 21 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0 0
− − − × + × − × − + − × − = × = = − − − × + × − × − + − × − Le carré est un
produit par soi-même
On dit que les matrices précédentes sont des éléments irréguliers : un produit dont elles sontfacteurs peut donner une matrice nulle. A leur sujet, on parle également de diviseurs de 0.C'est à cause d'elle que le monde des matrices n'est pas intègre.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 147/274
A propos de matrices Page 12 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
Le monde merveilleux des matrices carrées d'ordre nUne matrice carrée d'ordre n est un matrice de dimension n n × , c'est-à-dire qu'elle a autantde lignes que de colonnes. C'est d'ailleurs pour cela qu'elle est carrée.L'ensemble des matrices carrées d'ordre n se note ( )n M . Le symbole est là pour indiquerque ces matrices sont à coefficients réels.L'ensemble
( )n M est un monde merveilleux pour les raisons que voici :
• D'abord la somme de deux matrices carrées d'ordre n est une autre matrice carréed'ordre n. A cela, rien d'extraordinaire car il en va ainsi de toutes les sommes de matrices : lesdimensions sont conservées.
La matrice nulle0 0
0 0
n lignes et n colonnes
est l'élément neutre de cette addition dans ( )n M .
Cette matrice nulle est à ( )n M ce qu'est 0 à l'ensemble des réels. La somme de toutematrice carrée A et de cette matrice nulle donne la matrice A.Enfin, toute matrice carrée A d'ordre n admet dans ( )n M un opposé, c'est-à-dire unematrice B telle que A B Matrice nulle+ = .Les coefficients de cette matrice B sont les opposés de ceux de A.Tout cela fait de l'ensemble ( )n M muni de l'addition matricielle un groupe .
Avec le produit par un réel, l'ensemble ( )n M devient un espace vectoriel.
• Et puis, il y a le produit de deux matrices carrées d'ordre n dont le résultat est uneautre matrice carrée d'ordre n. Et là, c'est une spécificité des matrices carrées !
La matrice identité n
1 0Id
0 1
=
Des 1 sur la diagonale,des 0 partout ailleurs
est l'élément neutre de cette
multiplication matricielle : pour toute matrice ( )n A M , n n A Id Id A A × = × = .
Rappelez- vous de ce qui se passe dans : il y a la multiplication, son élément neutre 1,puis vient la question inverse.Dire qu'un nombre b est l'inverse d'un nombre a signifie que 1× =a b .Depuis la quatrième, nous savons que tout nombre réel a un inverse. Pour les matrices,les choses sont différentes. Toute matrice carrée A n'a pas nécessairement d'inverse. Iln'existe pas forcément de matrice B telle que n A B Id× = .
Ainsi, ( )n M muni de la multiplication matricielle n'est pas un groupe . Par contre,
( )n M avec ses addition et multiplication matricielles est un anneau qui n'est pasintègre .
La question de l'inverse (à gauche ou à droite)Le produit réel a ceci d'avantageux sur son petit frère matriciel qu'il est commutatif. La
définition de l'inverse d'un nombre réel s'en trouve donc simplifiée.
Dire qu'un nombre b est l'inverse d'un nombre a signifie que 1× =a b .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 148/274
A propos de matrices Page 13 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
Pour les matrices, les choses sont différentes car les produits A B × et B A × ne sont pastoujours égaux. Si l'on veut définir cette notion d'inverse pour les matrices, où doit-onmultiplier : à gauche ou à droite ? Pour solutionner le problème, il est possible de définir deuxtypes d'inverse : l'un à gauche, l'autre à droite.
Définition : A, B et C sont trois matrices carrées d'ordre n.La matrice B est l'inverse à gauche de la matrice A
nB A Id× =
Produit à gauche
La matrice C est l'inverse à droite de la matrice A n A C Id× = Produit à droite
Et là, les choses se compliquent car une matrice A pourrait très bien avoir un inverse à gaucheB sans pour autant avoir un inverse à droite C. L'existence de l'un n'implique pasnécessairement l'existence de l'autre.Par contre, si on sait qu'une matrice A admet un inverse à gauche B et un inverse à droite Calors ces deux inverses sont égaux. Pour le prouver, on utilise l'associativité du produitmatriciel sur le produit B A C× × .
nB A C Id C C× × = × =On commence par ce produit B est l'inverse à gauche de A
nB A C B Id B× × = × =On commence par ce produit
C est l'inverse à droite de A
d'où C B A C B= × × = Mais encore faut-il que les existences d'un inverse à gauche B et d'un autre à droite C aient étéétablies !On pourrait croire que cette situation des inverses de matrices est inextricable, balancéequ'elle est entre la gauche et la droite. La réalité est en fait moins indécise car, en recourant àl'algèbre linéaire, on montre que si que si une matrice est inversible à gauche (ou à droite)alors elle est de l'autre côté et donc quelle l'est tout court. L'inverse d'une matrice lorsqu'il
existe, est une chose unique qui ne dépend pas du sens dans lequel le produit est fait. Ainsipouvons-nous le définir en disant :
Définition : A et B sont deux matrices carrées d'ordre n.Dire que la matrice B est l'inverse de la matrice A signifie que n A B B A Id× = × =
Un seul produit suffit à définir...
Autrement dit, le produit des deux est égal à l'élément neutre de la multiplication matricielle.
La question qui se pose à présent est de savoir à quelle condition une matrice est inversible etalors de déterminer son inverse. C'est l'objet de ce qui arrive...
L'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2 Ayant une matrice carrée A d'ordre n, existe-t-il une matrice B de même dimension telle quele produit de deux donne la matrice identité nId ? Et si oui, comment la trouver ?Loin de nous lancer dans de grandes chevauchées aux résultats incertains, regardons ce qui sepasse pour les matrices carrées d'ordre 2. Cela nous donnera peut-être une idée de ce qui estpour les autres.
Soit A =
a bc d
une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients a ; b; c et d sont des
nombres réels fixés.
Existe-t-il une matricex y
Bz t
=
qui serait son inverse, c'est-à-dire telle que n A B Id× = ?
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 149/274
A propos de matrices Page 14 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
Bien sûr, x, y, z et t sont quatre réels qu'il faut déterminer. De leurs existences dépend celle del'inverse de A.
nx y .x .z .y .t 1 0
B est l'inverse de A Idz t .x .z .y .t 0 1
+ + × = = + + Matrice A Matrice B
a b a b a bc d c d c d
Or deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients respectifs le sont. Cela nous
conduit à un système linéaire 4 4× qui est en fait un double système 2 2× :.x .z 1
(S).x .z 0
+ =+ =
Egalité des premières colonnes Les inconnues sont x et z
a bc d
.y .t 0
(S').y .t 1
+ =+ =
Egalité des secondes colonnes Les inconnues sont y et t
a bc d
Ces deux systèmes ont les mêmes coefficients du point de vue de leurs inconnues. Et ces deuxsystèmes admettront deux solutions uniques si leur déterminant . . −a d b c (au singulier carc'est le même) est non nul.Cela nous permet de dire à quelle condition une matrice carrée d'ordre 2 admet un inverse.
Une matrice A est inversible Son déterminant . - . est non nul = a b a d b cc d
L'objectif suivant est l'obtention de la matrice inverse B. Nous supposons donc que ledéterminant de la matrice A est non nul.
Résolvons le premier système.x .z 1
(S).x .z 0
+ =+ =
a bc d
(1)(2)
par combinaisons linéaires.
Pour déterminer x, nous éliminons z
( )
. .x . .z
. .x . .z 0
. . .x d
x. . det(A)
×
×
→ + =
→ + =− =
= =−
d
b
a d b d d
c b b d
a d b c
d d a d b c
(1)
(2)
Pour déterminer z, nous éliminons x.
( )
. .x . .z
. .x . .z 0
. . .z
z. . det(A)
×
×
→ + =
→ + =− = −
− −= =−
c
a
a c b c c
a c a d
b c a d c
c ca d b c
(1)
(2)
Pour obtenir la seconde colonne de B, on résout le second système.y .t 0
(S').y .t 1
+ =+ =
a bc d
(1)(2)
.
Pour déterminer y, nous éliminons t
( )
. .y . .t 0
. .y . .t b
. . .y b
y . . det(A)
×
×
→ + =
→ + =
− = −− −= =−
d
b
a d b d
c b b d
a d b c
b ba d b c
(1)
(2)
Pour déterminer t, nous éliminons y.
( )
. .y . .t 0
. .y . .t
. . .t
t. . det(A)
×
×
→ + =
→ + =
− = −
= =−
c
a
a c b c
a c a d a
b c a d a
a aa d b c
(1)
(2)
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 150/274
A propos de matrices Page 15 sur 16
Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)
Conclusion : la matrice carrée A =
a bc d
d'ordre 2 est inversible si et seulement si son
déterminant det(A) . .= −a d b c est non nul.
Dans un tel cas, son inverse est la matrice carréedet( A) det( A)
det( A) det( A)
−
−
d b
c a.
Mettons ces formules en application sur la matrice carrée d'ordre 2 qu'est3 7
A 2 5
=
.
Commençons par calculer son déterminant : ( )3 7
det A 3 5 2 7 12 5
= = × − × = .
Comme il est non nul la matrice A est inversible et son inverse est la matrice5 7
B2 3
− = − .
Pour vérifier le résultat, calculons le produit de la matrice A et de son inverse supposé :
23 7 5 7 3 5 7 ( 2) 3 ( 7) 7 3 1 0
A B Id2 5 2 3 2 5 5 ( 2) 2 ( 7) 5 3 0 1
− × + × − × − + × × = × = = = − × + × − × − + ×
Donc la matrice B est bien l'inverse de la matrice A et réciproquement.
L'inverse pour les ordres supérieurs A l'instar de ce que nous venons de voir avec des matrices carrées d'ordre, seules les matricescarrées dont le déterminant est non nul, sont inversibles. La formule du déterminant d'unematrice carrée d'ordre quelconque faisant appel à des notions assez complexes comme cellesdes permutations et de leurs signatures, nous ne nous aventurerons pas sur ce terrain.Pour déterminer l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2, nous avons été amené à résoudre unfaux système ×4 4 qui était en fait un double système ×2 2 . Si nous cherchions l'inverse d'unematrice carrée d'ordre 3, nous nous lancerions dans la résolution d'un triple système ×3 3 .Pour l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 4, ce serait un quadruple système ×4 4 .Bref, que des choses sympathiquement de plus en plus compliquées. Alors bien sûr, il existedes formules permettant de calculer l'inverse d'une matrice. Elles s'appuient sur lescomatrices et sont utilisées par vos calculatrices. Mais elles se situent bien au-delà de notremodeste horizon.
L'inverse dans la résolution d'un systèmeLa question que certains n'auront déjà pas manqué de se poser est de savoir à quoi l'inverse
d'une matrice peut-il bien servir ?Une des utilisations possibles de l'inverse est la résolution d'un système linéaire. Prenons
l'exemple du système 3 3× qu'estx 4.y z 49
(S) x 3.y 3.z 60x 4.y 2.z 58
+ + =+ + =+ + =
.
Sous forme matricielle, ce système peut s'écrire :x 4.y z 49 x 4.y z 49 1 4 1
x 3.y 3.z 60 x 3.y 3.z 60 1 3 3x 4.y 2.z 58 x 4.y 2.z 58 1 4 2
× ×
+ + = + + + + = + + = + + = + +
Cette matrice peut être vue comme étant le produit
d'une matrice 3 3 et d'une 3 1
x 49. y 60
z 58
=
Appelons cettematrice A
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 151/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 152/274
Calcul matriciel
Denitions
Une matrice n x m est un tableau de nombres a n lignes et m colonnes.
Exemple de matrice avec n = 2 et m = 3 :
M = 1 2 0
4 3 −1n et m sont les dimensions de la matrice M .
Un matrice est symbolisee par une lettre en caractere gras. On note M ij l’element situe ` al’intersection de la ligne i et de la colonne j :
M =
M 11 M 12 ... M 1 m
M 21 M 22 ... M 2 m
... ... ... ...M n 1 M n 2 ... M nm
Si m = 1, la matrice est appelee vecteur (ou, plus precisement vecteur-colonne ) :
x =
x1
x2
...xn
Si n = m la matrice est dite matrice carree .
Quelques matrices carrees particulieres
Matrice unite (ou matrice identite) :
I =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
Matrice diagonale :
D =
D11 0 0 00 D22 0 00 0 D33 00 0 0 D44
1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 153/274
Matrice triangulaire :
T =
T 11 T 12 T 13 T 14
0 T 22 T 23 T 240 0 T 33 T 34
0 0 0 T 44
Une matrice carree S est dite symetrique si S ij = S ji :
S =
S 11 S 12 S 13 S 14
S 12 S 22 S 23 S 24
S 13 S 23 S 33 S 34
S 14 S 24 S 34 S 44
Operations sur les matrices
Egalite de deux matrices
Deux matrices A et B sont egales si elles ont les memes dimensions et si A ij = Bij i, j .
Addition et soustractionL’addition et la soustraction des matrices se font terme par terme. Les matrices doiventavoir les memes dimensions.
Exemples : 1 2 04 3 −1 + 5 2 3
1 3 4 = 6 4 35 6 3
1 2 04 3 −1 −
5 2 31 3 4 = −4 0 −3
3 0 −5
Multiplication par un nombre
Lorsqu’une matrice est multipliee par un nombre, chaque terme de la matrice est mutlipliepar ce nombre :
Exemple :
2 1 2 04 3 −1 = 2 4 0
8 6 −2
2
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 154/274
Transposition
La transposee A T d’une matrice A (aussi notee A ) est la matrice obtenue en echangeantlignes et colonnes de A .
A = 1 2 04 3 −1 A T =
1 42 30 −1
La transposee d’un vecteur-colonne est un vecteur-ligne.
x =
x1
x2
...
xn
x T = x1 x2 ... xn
Multiplication matricielle
Produit scalaire
Le produit scalaire d’un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y est deni par :
x T y = x1 x2 ... xn
y1
y2
...
yn
= x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn =n
i=1
xi yi
Ce produit, appele produit scalaire , est note x ·y . Les vecteurs doivent avoir la memedimension. Le resultat de cette operation est un scalaire. On peut noter que le produitscalaire est commutatif : x ·y = y ·x .
Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, les vecteurs sont dits orthogonaux . Adeux dimensions, cela correspond a deux vecteurs perpendiculaires. Par exemple, les vec-teurs x = ( 1 3 ) et y = ( 6 −2 ) ont un produit scalaire nul et on veriera facilementqu’ils sont perpendiculaires.
Produit matriciel
Le produit matriciel se deduit du produit scalaire : le produit de la matrice A (n x m) parla matrice B ( p x m) est la matrice C (n x p) telle que l’element C ij est egal au produitscalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B :
C ij =m
k=1
Aik Bkj avec i = 1,...n et j = 1,...p
Ce produit matriciel est note AB = C
Exemple 1 2 04 3 −1 .
5 12 33 4
= 9 723 9
3
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 155/274
Proprietes
Le produit matriciel est
• associatif : ABC = ( AB )C = A (BC )
• distributif par rapport ` a l’addition : A (B + C ) = AB + AC
• non-commutatif : (en general) AB = BA
La matrice unite I est l’element neutre pour la multiplication : AI = IA = A
Transposee d’une somme : ( A + B )T = A T + B T
Transposee d’un produit : ( AB )T = B T A T
Quelques produits particuliers
Carre scalaire :
x T x =
n
i=1x
2i
Sa racine carree ( x T x )1 / 2 est appelee norme du vecteur x et est notee ||x ||. Lorsque lanorme d’un vecteur est egale a 1, le vecteur est dit norme . Tout vecteur peut etre normeen le divisant par la racine carree de sa norme.
Deux vecteurs qui sont simultanement normes et orthogonaux sont dit orthonormes :
a a = b b = 1 et a b = b a = 0 a et b sont orthonormes
Une matrice dont toutes les colonnes prises deux a deux sont des vecteurs orthogonaux
est dite matrice matrice orthogonale . Si, de plus ces vecteurs sont normes, la matrice estdite matrice orthonormee .
Forme quadratique :
x T Ax =n
i=1
n
j =1
Aij xi x j
Forme bilineaire :
x T Ay =n
i=1
n
j =1
Aij xi y j
Inversion
Une matrice carree A est dite inversible s’il existe une matrice carree A − 1 (appelee matriceinverse) telle que
AA − 1 = A − 1 A = I
Proprietes
(A − 1 )− 1 = A
(A− 1
)T
= ( AT
)− 1
(AB )− 1 = B − 1 A − 1
Si la matrice A est orthogonale , alors A − 1 = A T .
4
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 156/274
Determinant d’une matrice carree
Pour une matrice 2 x 2, on peut montrer que la matrice inverse est donnee par
A = a bc d A − 1 = 1
ab −bc d −b−c a
Le nombre ad −bc est appele determinant de la matice A . On le note
|A | = det( A ) = a bc d
La matrice inverse A − 1 n’existe donc que si det(A ) est different de 0.
Le determinant peut se calculer de maniere recursive. Par exemple pour n = 3, on a, en
developpant la premiere ligne :
A =a b cd e f g h i
= a e f h i −b d f
g i + c d eg h
= a(ei −fh ) −b(di −fg ) + c(dh −eg)= aei −afh −bdi + bfg + cdh −ceg
Dans ce developpement, chaque determinant d’ordre 2 est appele mineur du terme qui leprecede. Le mineur de l’element xij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i
et la colonne j . Par exemple, le mineur de a est :
mineur( a) = e f h i = ei −fh
Le cofacteur de l’element xij est donne par l’expression :
cofacteur( xij ) = ( −1)i+ j mineur( xij )
Le cofacteur est donc le mineur precede d’un signe donne par le tableau suivant :
+ − + ...− + − ...+ − + ...... ... ...
On peut developper le determiant par rapport ` a n’importe quelle ligne ou colonne. Enpratique, quand faciliter les calculs, on choisira la ligne (ou colonne) qui contient le plusde 0. Pour chaque element aij de la ligne ou colonne choisie,
Cette methode est valable pour un determinant de taille quelconque. En pratique pourn > 3, il vaut mieux recourir a un algorithme specique.
Proprietesdet( A T ) = det( A )
det( AB ) = det( A )det( B )
5
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 157/274
Le determinant d’une matrice triangulaire ou diagonale est egal au produit des elementsdiagonaux. En particulier, det( I ) = 1.
Si A est inversible, alors det( A − 1 ) = 1
det( A )Si A est orthogonale, alors det( A ) = ±1
Quelques operations elementaires sur les matrices
Multiplication d’une ligne d’une matrice pas un scalaire α
Pour multiplier tous les elements d’une ligne i de A par une valeur α sans modier lesautres lignes, on peut multiplier A par une matrice Iα identique a la matrice identite
excepte l’element ii qui est remplace par α .Exemple :
1 0 00 α 00 0 1
a b cd e f g h i
=a b c
αd αe αf g h i
Lorsque α = 0, il existe toujours une matrice I − 1α qui effectue l’operation inverse. La
matrice I − 1α est simplement la matrice Iα dans laquelle α est remplace par 1 /α .
Echange de deux lignes d’une matrice
Une autre operation elementaire est celle qui consiste ` a permuter deux lignes d’une ma-trice. Cela est effectue par la multiplication par une matrice I P qui est la matrice identiteI dans laquelle les lignes correspondantes ont ete permutees. De fa¸ con generale, on peutpermuter les lignes k et l d’une matrice A (n × p) en la multipliant par une matrice Ip
dont les elements sont I pij = 0 pour tout i = j sauf I pkl = I plk = 1 et I pii = 1 pour tout isauf I pkk = I pll = 0.
Exemple :0 1 01 0 00 0 1
a b cd e f g h i
=d e f a b cg h i
On s’apercoit rapidement que multiplier deux fois A par Ip nous ramene a la situationde depart.
Addition de deux lignes d’une matrice
Une troisieme operation elementaire sur les lignes d’une matrices A consiste a additionnera une ligne de A une autre ligne, eventuellement multipliee par une scalaire α. Par exempleajouter α fois la ligne k a la ligne l peut se faire en multipliant A par une matrice I a , qui
est un matrice identite I dans laquelle l’element lk est remplace par α .
6
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 158/274
Exemple :
1 0 α0 1 00 0 1
a b cd e f g h i
=a + αg b + αh c + αi
d e f g h i
L’operation inverse est assuree par la soustraction de ces elements, c’est-` a-dire par lamultiplication de la matrice A par la matrice I − a , cette derniere etant I a dans laquelle ona remplace l’element lk par −α.
Application aux systemes d’equations lineaires
Formulation matricielle
Un systeme de n equations lineaires `a n inconnues est de la forme
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1 n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2
...an 1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
ou les xi sont les inconnues du systeme, les aij sont les coefficients et les bi sont les termesconstants
Un tel systeme peut s’ecrire sous la forme matricielle :
Ax = b
avec
A =
a11 a12 ... a1 n
a21 a22 ... a2 n
... ... ... ...
an 1 an 1 ... ann
x =
x1
x2
...
xn
b =
b1
b2
...
bn
Resolution d’equations lineaires
Si la matrice est inversible (c’est- a-dire si son determinant est non-nul), on a, en multi-pliant a gauche par A − 1
A − 1 Ax = A − 1 b
soitx = A − 1 b
Un simple produit matriciel et le systeme est resolu !
7
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 159/274
Exemple :
Considerons le systeme de deux equations ` a deux inconnues suivant :
2x1 + 3 x2 = 9x1 −x2 = 2
On aA = 2 3
1 −1 b = 92
det( A ) = 2 .(−1) −3.1 = −5
A− 1
= −15 −
1
−3
−1 2
Et doncx = −
15
−1 −3
−1 2 92 = −
15
−15
−5 = 31
On verira que x1 = 3 et x2 = 1 est bien solution du systeme d’equations.
Lorsque la matrice n’est pas inversible, c’est- a-dire quand son determinant est nul, deuxcas sont a envisager :
• soit le systeme est indetermine : c’est le cas lorsqu’une des equations est une combinaisonlineaire des autres equations du systeme.Exemple :
x1 + x2 = 32x1 + 2 x2 = 6
• soit le systeme est impossible : c’est le cas lorsqu’aucune equation est une combinaisonlineaire des autres equations du systeme.Exemple :
x1 + x2 = 32x1 + 2 x2 = 8
Enn, on remarquera que le systeme d’equations homogenes
Ax = 0
ne possede des solutions non triviales (c’est- a-dire autres que x = 0) que si det( A ) = 0.
8
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 160/274
Valeurs propres et vecteurs propres
Denitions
On dit qu’une matrice carree A possede une valeur propre λ et un vecteur propre v si
Av = λv
En general une matrice de dimension n x n possede n valeurs propres reelles. A chaquevaleur propre est associe un vecteur propre (ou, plus precisement, une famille de vecteurspropres).
Calcul des valeurs propres et vecteurs propres
L’equation ci-dessus peut se reecrire
Av −λv = ( A −λI )v = 0
C’est-a-dire
a11 −λ a 12 ... a1 n
a21 a22 −λ ... a 2 n
... ... ... ...an 1 an 2 ... ann −λ
x1
x2
...xn
= 0
Ce systeme aura des solutions autres que la solution triviale si et seulement si
det( A −λI ) =
a11 −λ a 12 ... a1 n
a21 a22 −λ ... a 2 n
... ... ... ...an 1 an 2 ... ann −λ
= 0
L’expression de ce determinant est un polynˆ ome de degre n en λ qui est appele po-lynome caracteristique de la matrice A et l’equation correspondante est dite equation caracteristique .
En particulier, pour la matrice 2 x 2
a11 a12
a21 a22
l’equation caracteristique s’ecrit
a11 −λ a 12
a21 a22 −λ = λ2
−(a11 + a22 )λ + ( a11 a22 −a12 a21 ) = 0
Les valeurs propres sont donc
λ1 ,2 = (a11 + a22 ) ± (a11 + a22 )2 −4(a11 a22 −a12 a21 )2
9
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 161/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 162/274
L’equation caracteristique est
7 −λ −2 1
−2 10−λ −2
1 −2 7−λ
= λ3
−24λ2 + 180λ
−432 = 0
Les solutions de cette equation sont 6, 6, et 12 :
Pour λ = 6, nous avons
−1 2 −12 −4 2
−1 2 −1
x1
x2
x3
= 0
c’est-a-direx1 −2x2 + x3 = 0
Comme vecteurs propres, nous choisirons deux vecteurs orthogonaux, par exemple :
10
−1 et
111
De meme, pour λ = 12, on choisira par exemple le vecteur
1
−21
En normant ces trois vecteurs, nous obtenons la matrice
A =1/ √ 2 1/ √ 3 1/ √ 60 1/ √ 3 −2/ √ 6−1/ √ 2 1/ √ 3 1/ √ 6
Et on veriera que A diagonalise S, c’est-a-dire D = A − 1 SA est diagonale, et que seselements sont bien les valeurs propres de S . Notons que la matrice A ne doit pas forcementetre normee.
Une matrice carree X (n x n) est diagonalisable si elle possede n valeurs propres distinctes(condition suffisante mais pas necessaire).
Exemple :
Considerons la matrice
X =1 2 00 3 02 −4 2
Les valeurs propres de cette matrice sont 3, 2 et 1. Ces trois valeurs etant distinctes, lamatrice X est diagonalisable et la matrice A qui diagonalise X est composee des vecteurspropres de X :
A = −1 0 −1
−1 0 0
2 1 2On veriera que D = A − 1 XA est une matrice diagonale dont les elements sont les valeurspropres de X .
11
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 163/274
References
• Ayres F (1978) Matrices : Cours et problemes, Serie Schaum.
• Depiereux E (2000) Note de cours, DEA en Bioinformatique.
12
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 164/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 165/274
Agben
re
C
cM
rce
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 166/274
E x er c i c e
3
P ar t i e1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 167/274
E x e r c i c e 3
L ’ e s p a c ev e c t or i el c on s i d é r é d an s c e t
ex e
r c i c e e s t : E
=
I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 168/274
E x e r c i c e 3
1 ) S
oi t u unv e c t e ur d e
,u
e s t d el a
f or m e:
av e c :
1 F ) z , y ,x ( u
0 z
yx2
yx2 z
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 169/274
E x e r c i c e 3
1 ) U
nv e c t e ur u d e
p e u t d on c s ’ é c r i r e:
On
p e u t d é c om p o s er u d el am ani è r e
s u
i v an t e:
1 F
) yx2 ,
y ,x ( u
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 170/274
) y , y , 0 ( ) x2 , 0 ,x (
u
D on c :
2
1
y V
x V
) 1 ,1 , 0 ( y ) 2 , 0 ,1 ( x u
) 2 , 0 ,1 ( V1
A v e c :
) 1 ,1 , 0 (
V2
e t
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 171/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 172/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 173/274
E x e r c i c e 3
2 ) S
oi t u unv e c t e ur d e
,u
e s t d el a
f or m e:
av e c :
e t
2 F ) z , y ,x ( u
0 x2
y 3
z
0
x
0 z
y 3
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 174/274
E x e r c i c e 3
2 ) U
nv e c t e ur u d e
p e u t d on c s ’ é c r i r e:
av e c
2 F
) 3 ,1 , 0 ( y )
y 3 , y , 0 (
u
y V
u
) 3 ,1 , 0 (
V
)
V (
V e c t
F 2
A i n s i
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 175/274
C on c l u s i on:
e s t d on c un s o u s - e s p a c ev e c t or i el
d e
2 F
3 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 176/274
E x e r c i c e 3
3 ) S
oi t u unv e c t e ur d e
,u
e s t d el a
f or m e:
av e c :
e t
3 F ) z , y ,x ( u
0 z x
y 3 z x
y 3 z
z x
0 z
y 3
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 177/274
E x e r c i c e 3
3 ) U
nv e c t e ur u d e
p e u t d on c s ’ é c r i r e:
av e c
3 F
) 3 ,1 , 3 ( y ) y 3 , y , y 3 (
u
y W
u
) 3 ,1 , 3 (
W
)
W (
V e c t
F 3
A i n s i
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 178/274
C on c l u s i on:
e s t d on c un s o u s - e s p a c ev e c t or i el
d e
3 F
3 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 179/274
E x e r c i c e 3
4 ) S
oi t u unv e c t e ur d e
,u
e s t d el a
f or m e:
av e c :
e t 4 F ) z ,
y ,x ( u
0 z y
x
0 y4 x 3
yxz
0 ) yx ( 5 yx2
yxz
0
z 5 y
x2
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 180/274
x4 3
y
x4 1
z
x4 3
y
yx
z
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 181/274
4 ) U
nv e c t e ur u d e
p e u t d on c s ’ é c r i r e:
av e c
4 F
) 4 1 ,4 3 ,1 ( x ) x4 1 ,x
4 3 ,x ( u
x U
u
) 4 1 ,4 3
,1 (
U ) U (
V e c t
F 4
A i n s i
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 182/274
4 ) O
u en c or e
( a u t r em ani è r e
) :
av e c
) 1 , 3 ,4 ( x4 1 ) 4 1 ,4 3 ,1 ( x u
'
x U u
U4
) 1 , 3 ,4 ( ' U
) ' U (
V e c t
F 4
A i n s i
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 183/274
C on c l u s i on:
e s t d on c un s o u s - e s p a c ev e c t or i el
d e
4 F
3 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 184/274
E x e r c i c e 3
5 ) S
oi t u unv e c t e ur d e
,u
e s t d el a
f or m e:
av e c :
5 F ) z , y ,x ( u
x 5 y4 z 3 x2
yx
z
3 4
3 7
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 185/274
5 ) U
nv e c t e ur u d e
p e u t d on c s ’ é c r i r e:
On
p e u t d é c om p o s er u d el am ani è r e
s u
i v an t e:
5 F
) yx
, y ,x ( u
3 4
3 7
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 186/274
) y
, y , 0 ( ) x , 0 ,x ( u
3 4
3 7
D on c :
2
1
yT
xT
) ,1 , 0 ( y ) , 0 ,1 ( x u
3 4
3 7
) , 0 ,1 (
T
3 7
1
A v e c :
) ,1 , 0 (
T
3 4
2
e t
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 187/274
5 ) A
i n s i , unv e c t e ur
q u el c on
q
u e d e
e s t c om b i n ai s onl i n é ai r e d e s v e c t e ur s
e t
e s t en
g en d r é
p a
r c e s d e ux v e c t e ur s .
On a al or s
:
5 F
1 T
2 T
5 F
) 2 T ,1 T (
V e c t
5 F
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 188/274
5 ) O
u en c or e
( a u t r em ani è r e
) :
A v e c :
) 4 , 3 , 0 ( ) 7 , 0 , 3 (
u
3 y
3 x
' T
' T
u
2 3 y
1 3 x
1
1
T 3
) 7 , 0 , 3 ( ' T
) ' T ,' T (
V e c t
F
2 1
5
A i n s i
e t
2
2
T 3
) 4 , 3 , 0 ( ' T
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 189/274
C on c l u s i on:
e s t d on c un s o u s - e s p a c ev e c t or i el
d e
5 F
3 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 190/274
E x e r c i c e 3
6 ) S
oi t u unv e c t e ur d e
,u
e s t d el a
f or m e:
av e c :
e t 6 F ) z ,
y ,x ( u
z 6 y y2 x
x2
z 3 z 6
y
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 191/274
) z 6
y ( 2 z 3
z 6 y
z 6 yx
z 3 y
z 6 yx
z 3 y
z 3 x
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 192/274
6 ) U
nv e c t e u
r u d e
p e u t d o
n c s ’ é c r i r e:
On
p e u t d é
c om p o s er u d el am ani è r e
s ui v an t e:
A v e c
.A i n s i
6 F
) z ,z 3 ,z 3
( u
z V
) 1 , 3 , 3 ( z u
) 1 , 3 , 3
( V
) V (
V e c t
F 6
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 193/274
C on c l u s i on:
e s t d on c un s o u s - e s p a c ev e c t or i el
d e
6 F
3 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 194/274
T h é or è m e:
S oi t E un e s p a c ev e c t or i el r é el
F e t G s on t d e ux s o u s - e s
p a c e s v e c t or i el s
d eE
al or s :
e s t un s o u s - e s p a c ev e c t or i el d
eE
G
F
Eecce3
Q
o2
Ine
se
o
do
ep
e
veoes
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 195/274
e t
s on t d e ux s o u s - e s
p a c e s v e c t or i el s
d e
al or s
e s t un s o u s - e s p a c e
v e c t or i el d e
2
1
F F
Eecce3
Q
o2
Ine
se
o
do
ep
e
veoes
1 F
2 F 3 I R
3 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 196/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 197/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 198/274
e t
s on t d e ux s o u s - e s
p a c e s v e c t or i el s
d e
al or s
e s t un s o u s - e s p a c e
v e c t or i el d e
4
3
F F D
m
m
3 F
4 F 3 I R
3 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 199/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 200/274
0
z
0
y
0
x
/
F
F
0
z 5 z
z2
0 zz
zz
y
z
x ) z , y ,x (
3 1 3 1 3 1
4
3 A i n s i :
) 0 , 0 , 0 ( F
F
4
3
( V e c t e ur n ul )
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 201/274
Dm
m
) 0 , 0 , 0 (
F F
6
5
, ,
) 0 , 0 , 0 ( ) 0 , 0 , 0 (
F 1
6
5
1
6
5
1
F
F
F F
F F
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 202/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 203/274
T h é or è m e1 :
S oi t E un e s p a c ev e c t or i el r é el
F e t G s on t d e ux s o u s - e s
p a c e s v e c t or i el s
d eE
al or s :
e s t un s o u s - e s p a c ev e c t or i el d eE
G v ; F u / v u GF
Ee
cce3 Q
o3
S
m
d
o
epeveoes
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 204/274
T h é or è m e2 :
) G
F d i m (
) G d i m (
) F
d i m (
) GF
d i m ( S
m
d
o
epeveoes
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 205/274
av e c
C omm
e
e t
f or m en t un ef ami l l e
g é n é r a t r i c e d e
, p o ur s av oi r s ’ i l s f or m e
n t un eb
e d e
o u
n on ,i l s uf f i t d ev oi r s ’ i l s s on t l i n é ai r em
en t
i n d é p en d an t s o u
n on.
2
1
F F ) 2
V ,1 V (
V e c t
1 F
) 1 ,1 , 0 (
V
) 2 , 0 ,1 (
V2 1
1 V
2 V
1 F
1 F
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 206/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 207/274
e t
s on t l i n é ai r em en t i n d é p en d an t s
e t c om
m ei l s en
g en d r en t
( c ’ e s t - à - d i r e
f or m en t un ef am
i l l e g é n é r a t r i c e d e
) al or s i l s
f or m en t un eb
e d e
1 V
2 V
1 F
1 F
1 F
2 ) F d i m ( 1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 208/274
1 ) F d i m ( 2
Un eB
e d e
e s t f or m é e p ar l ev e c t e ur
( v oi r c i - d e s s u s )
2 F ) 3 ,1 , 0 (
V
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 209/274
C omm e:
A l or s
:
e t c omm e
On o b t i en t :
A i n s i :
) F
F d i m (
) F d i m (
) F
d i m (
) F F
d i m (
2
1
2
1
2
1
) F F
d i m (
1 2
) F F
d i m (
2
1
2
1
0 ) 0 , 0 , 0 (
d i m )
F
F
d i m (
2
1
3 0
1 2
) F F
d i m (
2
1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 210/274
E t c omm e
e s t un s o u s - e s p a c e d e
A l or s
:
R em ar q u e: S i F e s t un s o u s - e s p a c ev e c t or i el d eE
t el q u e
al or s
f i n al em
en t :
3
2
1
I R
d i m 3
) F F
d i m (
2
1
F
F
3 I R
3
2
1
I R
F F
) E
d i m (
) F
d i m (
E F
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 211/274
M ê m em é
t h o d e p
o ur
3
6
5
I R
F F
6
5
F
F
2
) F
d i m (
5
Un eB
e d e
e s t f or m é e p ar l e s d e ux v e c t e ur s
e
t
( v oi r c i - d e s s u s )
5 F
1 T
2 T
Un eB
e d e
e s t f or m é e p ar l ev e c t e ur
( v oi r c i - d e s s u s )
6 F ) 1 , 3 , 3 (
V
1 ) F
d i m (
6
F i n al em en t on
t r o uv e:
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 212/274
4 .
O
ui
e t
s on t s u p pl é m en t ai r e s c ar
:
E x er c i c e 3 - Q u e s t i on s 4 & 5
5 F
6 F
3
6
5
I R
F F
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 213/274
5 .
O
ui
e s t un e s omm e d i r e c t e c ar
:
e t
D a
n s c e c a s on é c r i t :
E x er c i c e 3 - Q u e s t i on s 4 & 5
3
2
1
I R
F F
) 0 , 0 , 0 (
F F
2
1
2
1
F F
3
2
1
I R
F F
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 214/274
21/10/2010
1
Algèbre linéaireAlgèbre linéaire
Contenu du cours :Contenu du cours :A. Espaces vectoriels de dimension finie,
sous-espaces vectoriels, bases, dimension
B. Applications linéaires, noyau, rang, image
C. Matrice d’une application linéaire,Opérations sur les matrices, changementde base, matrices particulières,Diagonalisation
Partie 1Partie 1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 215/274
21/10/2010
2
Introduction : RappelsIntroduction : Rappels
Systèmes d’équations linéairesSystèmes d’équations linéaires
Un système d’équations linéaires (ou systèmelinéaire ) de n équations et à p inconnus (noustraitons ici le cas général ) est de la forme :
=++++
=++++
=++++
pbpxnpa3xn3a2xn2a1xn1a
2bpx2pa3x23a2x22a1x21a1bpx1pa3x13a2x12a1x11a
...
...
...
..
.: S
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 216/274
21/10/2010
3
, , …, sont les inconnus ( à chercherdans IR )
: coefficient dans la i èmeèmeèmeème équation del’inconnu ( ; )
1x 2x px
ija
jx ni1 ≤≤ p j1 ≤≤
...xa... jij ++
coefficient inconnu
ièmeèmeèmeème équation
Exemple 1 : :: : ( (( ( 2 22 2 équations & 4 inconnus) ) ) )
=+++=++
530044x36x27x13x280049x-35x23x12x:S
Exemple 2 : :: : ( (( ( 4 44 4 équations & 2 inconnus) ) ) )
=−=+−
=−=+
1y3x74yx
0y2x52yx
:S Notés x et y
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 217/274
21/10/2010
4
Exemple 3 : :: : ( (( ( 3 équations & 3 inconnus) ) ) )
=++−
=+−
=++
05z4yx
4zy2x
23z2yx
:S Notés x, y et z
=+−+−=++
=+++
103t5zyx82tzy-2x
22t6z12y5x:S
Exemple 4 : :: : ( (( ( 3 équations & 4 inconnus) ) ) )
Cas particulier de systèmes linéaires systèmes linéaires de n équations et à n inconnus
=++++
=++++=++++
nbnxnna3xn3a2xn2a1xn1a
2bnx2na3x23a2x22a1x21a1bnx1na3x13a2x12a1x11a
...
...
...
...
.:
On parle dans ce cas de système linéairecarré
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 218/274
21/10/2010
5
Exemple 1 : :: : ( (( ( 2 22 2 équations & 2 inconnus) ) ) )
=++−=−+
=++
3zyx4z2y2x
2z5yx:S
==+3y-2x
133y5x:S
Exemple 2 : :: : ( (( ( 3333 équations & 3 inconnus) ) ) )
Algorithme de Gauss
« C’est la Méthode d’élimination »
L’algorithme de Gauss (ou la Méthode de Gauss ),plus connu sous le nom de : La méthode de Pivot de Gauss, est la méthode la plus rapide pour résoudre un système linéaire
Résolution des systèmes linéaires(Partie 1)
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 219/274
21/10/2010
6
Pour résoudre un système linéaire, nous utilisons :
La méthode du Pivot Partiel
Ou
La méthode du Pivot Total
La méthode du pivot partiel
Se compose de 2 étapes :
1. La descente : consiste à créer des « 0 »
sous la diagonale principale, en effectuantdes opérations élémentaires sur les lignes(c’est-à-dire les équations)du système
2. La remontée : pour extraire les solutions(une à une) du système
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 220/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 221/274
21/10/2010
8
Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente
3L
2L
1L
83
14
143112321
S−
−↔
13L
3L
3L
12L
2L
2L
1L
1L
34-25-14
102-05-50321
−←−←
←
−−
22L
35L
3L
2L
2L
1L
1L
120-25-14
40-005-5-0321
−←←←
Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée
=−=−−=−−=++
3z12040z255z5y143z2yx
==−=×−−
=++
3z2y25355y
143z2yx
==
==×+×+
3z2y
1x143322x
Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant :
Le systèmeLe systèmeLe systèmeLe système S SS S admet donc uneadmet donc uneadmet donc uneadmet donc une solution uniquesolution uniquesolution uniquesolution unique« «« « dans l’ordre dans l’ordre dans l’ordre dans l’ordre » »» » ::::(1 , 2 , 3)(1 , 2 , 3)(1 , 2 , 3)(1 , 2 , 3)
L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : = 1,2,3)(S
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 222/274
21/10/2010
9
Exemples
2. Résoudre le système linéaire suivant, en utilisant un pivot partiel :
S :=++−
=+−=++
0z5y4x4zyx22z3y2x
Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente
3L
2L
1L
042
541-112321
S −↔
1L
3L
3L
12L2L2L1
L1
L
20
2
8605-50
321
+←−←
←
−
26L
35L
3L
2L
2L
1L
1L
1002
10005-5-0321
+←←←
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 223/274
21/10/2010
10
Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée
===−−
=++
1z1010z05z5y
23z2yx
===×−−
=++
1z-1y0155y
23z2yx
=−=
==×+×+
1z1y
1x213-12x
Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant :
Le systèmeLe systèmeLe systèmeLe système S SS S admet donc uneadmet donc uneadmet donc uneadmet donc une solution uniquesolution uniquesolution uniquesolution unique« «« « dans l’ordre dans l’ordre dans l’ordre dans l’ordre » »» » ::::(1 ,(1 ,(1 ,(1 , - -- -1 , 1)1 , 1)1 , 1)1 , 1)
L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : = 1,-1,1)(S
Exercice 1
Résoudre les deux systèmes linéaires suivants,en utilisant un pivot partiel :
S 1 : S 2 :=+−=+−
=++
3zy2x9z2yx2
6zyx
=++−=+−−=++
7z5yx10zy2x24zy4x
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 224/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 225/274
21/10/2010
12
Un espace vectoriels sur IR est un ensemble E
; non vide ; muni d’une structure algébriqueparticulière . Les éléments de E sont appelésvecteurs .
Cette structure algébrique est dueessentiellement aux deux propriétés suivantes :
; on a :
; on a :
IRα Eu Euα
Eu Ev Evu +Loi de composition externe
Loi de composition interne
scalaire vecteur
Exemple fondamental
Considérons l’ensemble suivant :
E = IRnnnn
= IRx,...,x,x / )x,...,x,x( nn 2121
nIR
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 226/274
21/10/2010
13
n = 2 :
Ensemble des couples
n=3 :
Ensemble des triplets
= IRx,x,x / )x,x,x( 321321
3
IR
= IRx,x / )x,x(2121
2IR
−−= );...7,6,8();9,3,0();5,1,4();0,0,0(...;IR3
Ensemble des triplets : ensemble infiniinfiniinfiniinfinireprésente l’espace de dimension 3
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 227/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 228/274
21/10/2010
15
La loi de composition externe est définie de la manière suivante :
=α )x,...,x,x( n21 )x,...,x,x( n21 ααα
u uα
La loi de composition interne est définie de la manière suivante :
+)x,...,x,x( n21 )y,...,y,y( n21
u v
)yx,...,yx,yx( nn2211 +++=
vu+
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 229/274
21/10/2010
16
Exemple 1
L’espace vectoriel considéré est :
E = IR2222
)0,0()1,5()1,5( =+−−)4,8()1,2(4 −=−
Exemple 2
L’espace vectoriel considéré est :
E=
IR3333
)10,1,6()12,1,5()2,0,1( −=−+)30,10,20()3,1,2(10 −=−
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 230/274
21/10/2010
17
1. Notion de combinaison linéaire
Soit E EE E un espace vectoriel sur IR .
, , … , sont nnnn vecteurs de Eest un vecteur de E
est combinaison linéaire de , , … ,
, , … , tels que :
u
uv
u
v
u
u
u
α
α
α Inn2211 uuu ...v ααα +++=
Définition
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 231/274
21/10/2010
18
On considère dans les 3 vecteurssuivants :
, et
Soit un vecteur quelconque deTrouver une condition nécessaire
et suffisante sur a, b et c pour que le vecteursoit combinaison linéaire de , et
)3,1,2(u =
)c,b,a(U
u
u
u
Exemple (voir Exercice 1, TD)
)2,5,3(u −=
)12,13,5(u −−=
3IR
3
IR
U
est combinaison linéaire de , et
, ,
tels que :
)c,b,a(U
u
u
u
α β I
321 uuuU βα ++=
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 232/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 233/274
21/10/2010
20
Si le système SSSS admet des solutions dansIR (c’est-à-dire , et existent )
alors le vecteur est combinaisonlinéaire des vecteurs , et
Sinon, c’est-à-dire si le système SSSS n’admetpas de solutions dans IR, alors le vecteurn’est pas combinaison linéaire des vecteurs
, et
)c,b,a(U
u
u
α β
u
U
u
u
u
=γ +β−α =γ −β+α
=−β+α
c1223 b135
a532 Ligne 1
Ligne 2
Ligne 3
Système linéaire à 3333 équations et 3333 inconnues
S :
Résolution du système S
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 234/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 235/274
21/10/2010
22
Deux cas se présentent :
1111 erererer cascascascas ::::
Dans ce cas :
0a34b26c14 =−+
0a17b13c7 =−+
Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Le dernier tableau correspond au systèmesuivant :
γ =γ
γ +−=β−=γ +β−
γ −−=α
=γ −γ +−+α=γ −β+α
quelconqueIR00
3)ab2(7
1b2a217
2)b3a5(71
a5)21ab2(7
32a532
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 236/274
21/10/2010
23
Le système SSSS admet donc une infinité de solutions :
L’ensemble solution est :
γ γ γ +γ = IR)/ ,3a)-(2b71,2-3b)-(5a
71(S
γ
γ +−=β
γ −−=α
quelconqueIR
3)ab2(7
1
2)b3a5(71
Le système SSSS admet des solutions dans IR(une infinité de solutions) .
Le vecteur est combinaison linéairedes vecteurs , et .
)c,b,a(U
u
u
u
0a17b13c7 =−+1èr cas1èr cas1èr cas1èr cas :
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 237/274
21/10/2010
24
Nous avons en particulier :
Ceci
0a17b13c7 =−+1èr cas1èr cas1èr cas1èr cas :
321 uuu]2)b3a5(7
1 ]3)ab2(7
1[[U γ γ −− +γ +−+=
IR
2ème cas :2ème cas :2ème cas :2ème cas : 0a17b13c7 ≠−+Dans ce cas le système SSSS présente une
contradiction. Le système SSSS n’admet doncpas de solution dans IR.
Le vecteur n’est pas combinaisonlinéaire des vecteurs , et
)c,b,a(U
u
u
u
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 238/274
21/10/2010
25
Application 1
, ,6a)17,17,6(v −=−−= 17b −= 17c=
0)6(17)17(13177 =−×−−×+×Le vecteur est combinaison linéaire desvecteurs , et .
v
u
u
u
Nous avons en particulier :
C’est-à-dire :
CeciCeciCeciCeci
321 uuu]2)b3a5(71 ]3)ab2(
71[[v γ γ −− +γ +−+=
321 uuu )43()23(v +−+−=
IR
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 239/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 240/274
21/10/2010
27
Nous avons en particulier :
C’est-à-dire :
CeciCeciCeciCeci
321 uuu]2)b3a5(71 ]3)ab2(
71[[0 γ γ −− +γ +−+=
321 uu3u20 − ++=
IR
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 241/274
T r av a ux Di r i g
é s
M a t h ém a t i q u e s – S 3
www. S em e s t r e1 2 3 4 5 6 .m ei l l e ur f or um. c om
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 242/274
A l g è b r el i n é ai r e
&
C al c ul M a t r i c i el
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 243/274
E x
e
r c i c e s
4 & 5
& 6
P ar t i e1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 244/274
E x
er c i
c e4
R a p p el :
S oi t E un e s p a c ev e c t or i el s ur I R d e
d i m en s i onn
e s t l af ami l l e c on s t i t u é e d e s pv e c t e
ur s
,
,… ,
d eE
e s t un ef am
i l l e g é n é r a t r i c e d eE
s i t o u t v e c t e ur
d eE
e s t c om b i n ai s onl i n é ai r e d e
, ,… ,
n
) E
d i m (
1 u2 u
p u
1 u
2 u
p u
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 245/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 246/274
E x
er c i
c e4
T h é or è m e:
S oi t E un e s p a c ev e c t or i el s ur I R d e
d i m en s i onn
Un ef ami l l e
g é n é r a t r i c e d eE c on t i en t a um oi n s n
v e c t e ur s
Un ef ami l l el i b r e d eE c on t i en t a u
pl u s nv e c t e ur s
Un e b a s e d eE
c on t i en t n
v e c t e ur s
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 247/274
E x
er c i
c e4
T h é or è m e:
S oi t E un e s p a c ev e c t or i el s ur I R d e
d i m en s i onn
T o u t ef ami l l e
g é n é r a t r i c e d eE c on t en an t n
v e c t e ur s e s t un e b a s e d eE
T o u t ef ami l l el i b r e c on t en an t nv e c t e ur s e s t un e
b a s e d eE
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 248/274
E x
er c i
c e4
T h é or è m e:
S oi t E un e s p a c ev e c t or i el s ur I R d e
d i m en s i onn
e s t un ef ami l l e c on t en an t nv e c t e ur s . On a:
e s t l i b r e
e s t g é n é r a t r i c e
e s t un e b a s e
d é t er mi n an t (
)
0
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 249/274
E x
er c i
c e4
1 ) L ’ e s p a c e c on s i d é r é e s t
.
e s t
l af ami l l e c o
n s t i t u é e p ar :
;
.
c on t i en t 2v e c t e ur s ,
d e t (
)
d on
c
e s t un e
f ami l l el i b r e
e t g é n é r a t r i c e d e
.
e s t un e b a s e d e
2 I R
) 2 ,1 ( u1
) 1 ,1 (
u2
2 ) 2
I R
d i m (
0 3
2 1
1
2
1
1
2 I R
2 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 250/274
E x
er c i
c e4
L af ami l l e
e s t c on s t i t u é e d e:
.
c on t i en t 1v e c t e ur ,
n e p e u t p a s ê t r e
g é
n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l el i b r e.
S oi t
d on c
e s t un ef ami l l el i b r em ai s n on
g é
n é r a t r i c e.
n’ e s t p a s un e
b a s e d e
) 4 ,1 (
u1
0
) 0 , 0 ( ) 4 ,
(
) 0 , 0 ( ) 4 ,1 (
0
u1
2
I R
I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 251/274
E x
er c i
c e4
L af a
mi l l e
e s t c on s t i t u é e d u
v e c t e ur n ul :
. c on t i en t 1v e c t e ur ,
n e p e u t p a s
ê t r e
g é n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l el i b r e.
S oi t
p ar ex em
pl e:
:
p o ur t an t
n’ e
s t p a s un ef ami l l el i b r e.E l l en’ e s t p a
s g é n é r a t r i c e.
n
’ e s t p a s un e b a s e d e
) 0 , 0 ( 0
u1
0
) 0 , 0 (
) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 (
0 u1
2 I R
I R
5
) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( 5
u1
0
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 252/274
E x
er c i
c e4
L af ami l l e
e s t c on s t i t u é e d e s v e c t e ur s :
,
,
n e
p e u t p a s ê t r el i b r e ,v é r i f i on s s i el l e e s t g é n é r a t r i c e.
Onr em ar q u e q u’ on p e u t ex t r ai r e d e
un e b a s e d e
P r en on s
p ar ex em
pl e
e t
:
e s t un e b a s e d e
… d on c
e s t un ef ami l l e
g é n é
r a t r i c e d e
.
n’ e s t
p a s un e b a s e d e
) 2 ,1 ( u1
2 I R
) 3 ,2 (
u2
) 0 ,1 (
u 3
1 u
3 u
0
2
2 0
0
2
1
1
) u , u
d e t (
3
1
) u , u (
3
1
2 I R
2 I R
2 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 253/274
E x
er c i
c e4
2 ) L ’ e s p a c e c on s i d é r é e s t
.
e s t
l af ami l l e c o
n s t i t u é e p ar :
;
.
c on t i en t 2v e c t e ur s ,
d on c
n e p e u t p a s ê t r e g é n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l e
e s t l i b r e.
e s t un ef ami l l e
l i b r e. n’ e s t p a s un e b a s e d e
3 I R
) 1 ,2 ,1 (
u1
) 1 , 0 ,1 (
u2
3 )
3 I R
d i m (
3 I R
) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 ,1 (
) 1 ,2 ,1 (
0
u
u
2
1
0 0
) 0 , 0 , 0 ( ) , 0 , ( ) ,2 ,
(
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 254/274
E x
er c i
c e4
L af ami l l e
e s t c on s t i t u é e p ar :
;
e t
c on t i en t 3v e c t e ur s , on c al c ul e s on d é t er mi n an t :
e s t un ef ami l l el i b r e e t g é n é r a t r i c e d e
.
e s t un e b a s e d
e
) 9 , 6 , 7 (
u1
) 6 ,4 ,1 (
u2
3 I R
) 2 , 6 , 3 (
u 3
6
9
4
6 3
2
9
6
6
2
6
6
4 7
2 6
9
6 4
6
3 1
7 ) F d e t (
0
1 5 4
0 3
4 2
2 8
7 ) F
d e t (
3 I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 255/274
E x
er c i
c e4
L af ami l l e
e s t c on s t i t u é e p ar :
;
.
c on t i en t 2v e c t e ur s ,
d on c n e p e u t p a s ê t r e g é n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l e
e s t l i b r e.
e s t un ef ami l l el i b
r e. n’ e s t p a s un e b a s e
d e
) 2 , 6 , 3 (
u1
) 4 ,1 2
, 6 (
u2
3 I R
) 0 , 0 , 0 ( ) 4 ,
1 2
, 6 (
) 2 , 6 , 3 (
0
u
u
2
1
) 0 , 0 , 0 ( ) 4
,
1 2 , 6 ( ) 2 , 6 , 3 (
0 0
0
2
0
2
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 256/274
E x
er c i
c e4
L af ami l l e
e s t c on s t i t u é e p ar :
;
.
c on t i en t 2v e c t e ur s ,
d on c n e p e u t p a s ê t r e g é n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l e
e s t l i b r e.
n’ e s t p a s un ef am
i l l el i b r e. n’ e s t p a s un e b a s e d e
) 6 ,4 ,2 (
u1
) 9 , 6 , 3 (
u2
3
I R
) 0 , 0 , 0 ( ) 9 , 6 , 3 (
) 6 ,4 ,2 (
0
u
u
2
1
) 0 , 0 , 0 ( ) 9 , 6 , 3
( ) 6 ,
4 ,2 (
2
1
u
u
0 3
2
3 2
3 2
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 257/274
E x
er c i
c e4
L af ami l l e
e s t c on s t i t u é e p ar :
;
e t
c on t i en t 3v e
c t e ur s , on c al c ul e s on d é t er mi n an t :
S i
e s t un e b a s e d e
S i
n’ e s t ni l i b r e ,ni
g é n é r a t r i c e.
) 2 , 6 , 3 (
u1
) 3 , 0 ,1 (
u2
3 I R
) c , b , a (
u 3
3
2
0
6 a
c
2
b
6
c
3
b
0 3
c 3
2
b 0
6
a 1
3 ) F d e t (
c 6 b 7 a
1 8
) F d e t (
0 c 6 b 7 a 1 8
0 c 6 b 7 a 1 8
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 258/274
E x
er c i
c e 5
S oi t
,
e t
t r oi s n om
b r e s r é el s
( s c al ai r e s ) :
c ar
(
,
,
)
e s t un ef ami l l el i b r e.
N o u s al l on s u t i l i s er unP i v o t p ar t i el p o ur r é s o u d r e c e
s y s t è m el i n é ai r e
:
0 ) u
u (
) u u (
) u
u
1
3
3
2
2
1 (
0 0 0
0
) (
)
(
)
3
2
1
u
u
u
(
1 u
2 u
3 u
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 259/274
E x
er c i
c e 5
0 0 0
3 2 1 L L L
0 0 0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
2 L
L
L L
L L L
3
2 1
3 2 1
0 0 0
2
0
0
1 -
1
0
1
0
1
0 0 0
0
2
0 0
3
1
2
1
3 2 1
L L
L L
L L L
0 0 0
1
1
0
1 -
1
0
1
0
1
L af ami l l e
e s t d on c un e
f ami l l e
l i b r e
) u u ,
u
u , u
u (
1
3
3
2
2
1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 260/274
E x
er c i
c e 5
S oi t
,
,
e t
q u a t r e
n om b r e s r é
el s ( s c al ai r e
s ) :
c ar
(
,
,
,
) e s t un ef ami l l el i b
r e.
0 ) u
u (
) u u (
) u
u (
) u
u
1
4
4
3
3
2
2
1 (
0 0 0 0
0
u )
(
)
(
)
(
)
4
3
2
1
u
u
u
(
1 u
2 u
3 u
4 u
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 261/274
E x
er c i
c e 5
0 0 0 0
4 3 2 1 L L L L
0 0 0 0
1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
4
4
3
3
1
2
2
1
1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
0 0 0 0
1 0 1 - 1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
4
4
2
3
3
2
2
1
1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
0 0 0 0
1 1 1 - 1
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
4
4
3
3
2
2
1
1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
0 0 0 0
0 1 1 - 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 262/274
L e d er ni er t a b l e a u c or r e s p on d a u s y s t è m e s ui v an t :
L e s y s t è m e a d m e t d on c un ei nf i ni t é d e
s ol u t i on:
l af ami l l e
n
’ e s t p a s l i b r e ,
el l e e s t l i é e.
E x
er c i
c e 5
q u e l c on q u e
;
0 0 0
) u
u , u
u , u
u , u
u (
1
4 4
3
3
2
2
1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 263/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 264/274
E x
er c i
c e 6
S oi t
l a b a s e c an oni q u e d e
.
L ev e c t e ur t s
’ é c r i t d an s
l a b a s e c a
n oni q u e:
L ev e c t e ur t s ’ é c r i t d an s
l a b a s eB:
N o u s v o ul on s ex
pr i m er x ’ ;
y ’ ; z ’ enf on c t i on d ex ; y e t z
, , onr em
pl a c e d an s ( 2 ) :
) e , e , e (
3
2
1
3 I R
( 1 )
3
2
1
z e
y e
x e
t
( 2 )
w' z v' y u'
x t
2
1
e
e u
) 0 ,1 ,1 ( u
3
2
e
e v
) 1 ,1 , 0 ( v
3
1
e
e
w
) 1 , 0 ,1 (
w
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 265/274
On
o b t i en t :
E t eni d en t i f i an t av e c ( 1 ) , on o b t i en t :
) e
e ( ' z ) e
e ( ' y ) e
e ( ' x w' z v' y u' x t
3
1
3
2
2
1
3
2
1
e ) ' z ' y (
e ) ' y' x (
e ) ' z ' x ( t
) z y
x (
' z
) z
y
x (
' y
) z
y
x (
' x
z ' z ' y
y' y' x
x' z ' x
2 1 2 1 2 1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 266/274
A i n s i ,l e s c o or d onn é e s d uv e c t e ur
d an s l a b a s e
B s on t d onn é e s p ar :
P ar ex em
pl e , s i l e s c o or d onn é e s d uv e c t e ur
d an
s l a b a s e c an oni q u e s on t ( 1 ,2 , 3 ) , al or s s e s
c o o
r d onn é e s d an s l a b a s eB s on t ( 0 ,2 ,1
)
) z
y
x (
' z ) ,z
yx
(
' y ) ,z
y
x ( ' x
2 1
2 1
2 1
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 267/274
E x
er c i
c e 6
3 ) L af ami l l eB e s t c on s t i t u é e p ar :
;
e t
B c on t i en t 3v e c
t e ur s , on c al c ul e s on d é t er mi n an t :
P o ur
q u el l e s v al e ur s d em a
- t - on:
?
) 3 ,1 ,m ( u
) 1 ,m , 0 ( v
) m , 0 ,1 (
w
1
m 3
m
1
3
m
1
m
1
0
m
mm
1
3
0
m
1
1
0
m ) B
d e t (
3
0 1
m 3
m 3
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 268/274
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 269/274
A i n s i :
,
e t
t el s q u e:
P o ur c e s t r oi s
v al e ur s d e
m on a:
e t d
on c Bn’ e s t p a s un e b a s e d e
[ 1
,
]
m1
0 )
m ( f ) m ( f
) m ( f
3
2
1 E x
er c i
c e 6
[ 1 ,1 ]
m2
[
,1 ]
m 3
0 ) B
d e t ( 3
I R
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 270/274
Université Mohammed V – AgdalFaculté des Sciences Juridiques,
Economiques et socialesRABA
http://www.fsjesr.ac.ma
–
!
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre ! S " Module ! M #$ %Méthodes &uantitatives 'V(Mati)re : Algèbre IIRes*onsa+le de la mati)re ! Salma ASSER
Professeure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été1111
C C C H H H AAA P P P I I I T T T R R R E E E 2 2 2 : : : PPP RRR OOO DDDUUUIII TTT SSSCCC AAALLL AAAIII RRR EEE ---OOO RRRTTT HHH OOO GGG OOO NNNAAALLL III TTT ÉÉÉ
11.. P P r r ood d uui i t t ssc c aa l l aa i i r r ee E E x x ee r r c c ii c c ee 11 . . 11
1) Parmi les applications suivantes définies de vers , lesquelles sont des formes bilinéaires ? des produitsscalaires ?, , , , , 4 9 2 2 2, , , , , 3 4 2, , , , , 3 4 5, , , , , 13 6 2 2, , , , , 2 5 2 3
, , , , , 2
2) Pour les formes bilinéaires, écrire la matrice dans la base canonique de et retrouver les produits scalaires.
E E x x ee r r c c ii c c ee 11 . . 2 2
1) Ecrire l’expression analytique de la forme bilinéaire associée à chacune des matrices suivantes :1 0 20 5 01 0 4,1 0 20 5 02 0 3,
1 0 20 5 02 0 4,1 0 20 5 02 0 5,1 1 11 1 11 1 1,
2 1 11 2 11 1 2,2 1 11 2 11 1 2,
1 1 11 1 01 0 0
2) Parmi ces matrices, lesquelles définissent un produit scalaire ?
E E x x ee r r c c ii c c ee 11 . . 3 3 1) Pour chacune des formes bilinéaires ci-dessous, écrire la matrice dans la base canonique de : , 2 2 2,, 2 2 2, 2 2 2
2) Parmi ces formes bilinéaires, lesquelles sont-elles des produits scalaires sur ? E E x x ee r r c c ii c c ee 11 . . 4 4
Pour quelles valeurs du réel , la matrice définit-elle un produit scalaire ?
1 2 21 3 00 2 1, 1 11 11 1 , 1 11 01 0
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 271/274
-S4, Module M 1 : M! I", Matière : Algèbre II . #$ercices du c%a&itre ' : Produit scalaire(ort%ogonalit)
Professeure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été2 22 2
'' .. ** r r t t %%ooggoonnaa l l i i t t ))
E E x x ee r r c c ii c c ee 2 2 . . 11
1) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2, 1,1 et 0,3,1, 1.a. Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel
!"#$, %.
b. Déterminer le sous espace vectoriel &.
2) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 3,1, 1,3, 5,1,5, ' et1,1, 2,(.a. Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel !"#$, %.b. Déterminer le sous espace vectoriel &.
E E x x ee r r c c ii c c ee 2 2 . . 2 2
1) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2, 1, 2, 2,3,0,,5, 2, 5, 2 et (,10, 10,4.a. Vérifier que
) $, , , % est une base de .
b. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base ) pour construire une base orthonormée de .
2) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2,2, 1,3,1, et 0,12,6.a. Vérifier que ) $, , % est une base de .b. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base ) pour construire une base orthonormée de .
E E x x ee r r c c ii c c ee 2 2 . . 3 3
1) Soit le sous espace vectoriel de engendré par les vecteurs : 1,0,2 et 4, 1,0.a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de &.b. En déduire une base orthonormée de .
2) Soit le sous espace vectoriel de engendré par les vecteurs :
1,0,1 et
1, 1,2.
a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de &.b. En déduire une base orthonormée de .
E E x x ee r r c c ii c c ee 2 2 . . 4 4
1) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :$, ,*,#+ * # 0 !# 2 3* 4# 0% a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de &.b. En déduire une base orthonormée de .
2) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :
$, ,*,#+ * # 0 !# * 0%
a. Déterminer une base orthonormée de et de &.b. En déduire une base orthonormée de .
3) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :$, ,*,#+ * # 0 !# 2* 3# 0% a. Déterminer une base orthonormée de et de &.b. En déduire une base orthonormée de .
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 272/274
-S4, Module M 1 : M! I", Matière : Algèbre II . #$ercices du c%a&itre ' : Produit scalaire(ort%ogonalit)
Professeure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été3333
++.. r r ooi i t t eess - - & &l l aa nnss
E E x x ee r r c c ii c c ee 3 3 . . 11
Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation
-. 3 2* 0 et les droites
d’équations / . * 02 * 0 et . 6 2 3*.
1) Les droites / et sont-elles contenues dans le plan -?2) Déterminer
a. l’intersection de chacune des deux droites avec le plan -.b. l’intersection des deux droites.c. -&, /& et &.
E E x x ee r r c c ii c c ee 3 3 . . 2 2
Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation -. * 0 et les droites
d’équations
/ .2 3 4* 02 3* 0 et
. *.
Reprendre les questions de l’exercice précédent.
E E x x ee r r c c ii c c ee 3 3 . . 3 3
Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation -. 2* 0 1) Déterminer -&.2) Déterminer une base orthonormée de - et de -&.
E E x x ee r r c c ii c c ee 3 3 . . 4 4
On considère les deux plans de : -. 2 3* 0 !#- . * 0. Déterminer :1) l’intersection des deux plans et .2) une base orthonormée de et de .3) & et &.4) une base orthonormée de et une base orthonormée de &.
E E x x ee r r c c ii c c ee 3 3 . . 5 5
On considère les deux plans de : -. 2 3* 0 !#- . 2 3 4* 0 Reprendre les questions de l’exercice précédent.
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 273/274
-S4, Module M 1 : M! I", Matière : Algèbre II . #$ercices du c%a&itre ' : Produit scalaire(ort%ogonalit)
Professeure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été4 44 4
44.. I I mmaa ggee eet t nnoo aa uu d d / / uunnee mmaa t t r r i i c c ee
E E x x ee r r c c ii c c ee 4 4 . . 11
Pour chacune des matrices :
1 0 20 5 02 0 4,1 1 11 1 11 1 1,
3 1 01 2 10 1 3,1 1 11 1 01 0 0,
1 2 12 1 11 1 2,3 1 11 3 11 1 3
1) Déterminer une base de 78 et une base de :;8 . 2) Vérifier que <= >?@!A >B& .
E E x x ee r r c c ii c c ee 4 4 . . 2 2
Parmi les systèmes linéaires >CD E et >CD E, lesquels sont compatibles ?
(1) >1 0 20 1 02 0 4 ,EF112G !# EF101G
(2) >1 1 11 1 11 1 1 ,EF111G !# EF222G
(3) >1 1 11 1 01 0 0 ,EF111G !# EF101G
(4) > 3 1 11 3 11 1 3 ,EF112G !# EF111G
(5) > 2 1 11 2 11 1 2 ,EF112G !# EF111G
(6) >1 1 11 0 11 1 3 ,EF210G !# EF101G
(7)
>1 1 11 1 11 1 1 ,EF
111G !# EF
222G
8/12/2019 Cours Écrit Algèbre
http://slidepdf.com/reader/full/cours-ecrit-algebre 274/274