7/22/2019 Cours - Le test du khi deux

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COURS N 7: Le test du Khi-deux

Soit un tableau de contingence d'effectifs observs avec deux variables qualitatives (Sexe etTabac) qui se distribuent ainsi :

I) Tableau d'effectifs observs :

Fumeurs Non fumeurs

Hommes 17 8 25Femmes 9 14 23

26 22 48

Nous pouvons identifier ces diffrentes valeurs par des symboles (a, b, c, d), symboles ayantleurs homologues correspondants (a', b', c', d') dans le tableau des effectifs thoriques que nouscalculerons ultrieurement :

X a X b X a X bY a a b L1 Y a a b L1

Y b c d L2 Y b c d L2C1 C2 N C1 C2 N

L1 est la somme des effectifs marginaux pour la premire ligne,L2 est la somme des effectifs marginaux pour la deuxime ligne,C1 est la somme des effectifs marginaux pour la premire colonne,C2 est la somme des effectifs marginaux pour la deuxime colonne.

N correspond l'ensemble des effectifs de l'enqute.

Calcul des valeurs thoriques de chaque case (a', b', c' et d') :

a' :N

1Lx1C b' =N

1LxC2 c' =N

2Lx1C d' =N

2Lx2C

Dans le tableau des effectifs thoriques, il faut conserver des chiffres dcimaux. crivons letableau des effectifs thoriques :

II) Tableau d'effectifs thoriques :

Fumeurs Non fumeursHommes 13.54 11.46 25

Femmes 12.46 10.54 2326 22 48On notera le fait que les valeurs marginales (L1, L2, C1 et C2) sont identiques pour les deuxtableaux (observs et thoriques).

Formule du X : Somme (Observs - Thoriques)Thoriques

Attention : On ne divise chaque qu'aprs avoir lev chaque diffrence au carr.

cad : X =a'a')-(a

+b'b')-(b

+c'c')-(c

+d'd')-(d

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X =13,54

13,54)-(17+

11,4611,46)-(8

+12,4612,46)-(9

+10,54

10,54)-(14

d'o un khi-deux ==> X = 4.02 (avec une probabilit de p = 0.0415)

Conditions de validit : Dans le cas d'un tableau 4 cases, tous les effectifs thoriques doiventtre suprieurs ou gaux 5.

Degrs de libert :d.d.l. = (nombre de lignes - 1) x (nombre de colonnes - 1)ici, d.d.l. = (2 - 1) x (2 - 1) = 1

On lit sur la table du X la valeur attendue pour 1 d.d.l. au seuil de 0.05 (cad avec un risque de 5chances sur 100 de se tromper. La valeur lue est 3.841. Notre X tant > 3.841 (4.02 > 3.841),nous pouvons conclure qu'il existe une liaison statistiquement significative entre ces deuxvariables.

III) Tableau des signes : Lorsque la liaison est statistiquement significative, le tableau dessignes permet de dterminer le sens de cette liaison entre les 2 variables.Pour chaque case, on note le signe de la diffrence entre leffectif observ moins leffectifthorique. Par exemple, pour la case a, nous lisons : 17 - 13.54 = +3.46. Cela signifie que leshommes fument davantage que les femmes).

Fumeurs Non fumeursHommes + -Femmes - +

Remarque : Si cette lecture est ici quasiment directe (intuitive) pour un tableau 4 cases, parcontre, elle est plus complexe pour un tableau plus de 4 cases. Le tableau des signes est alorsncessaire

N.B. : Il existe 3 signes possibles : + , - et 0 (lorsque les chiffres observs et attendus d'unemme case sont identiques).

Remarques importantes :

1) On ne calcule jamais un X avec les pourcentages mais toujours avec des effectifs relsobservs. En effet, des pourcentages "gonfleraient" des effectifs de dpart infrieurs 100 (etdonc "gonfleraient" le khi-deux) ou diminueraient des effectifs suprieurs 100 (et

diminueraient le khi-deux).

2) Les effectifs influent directement sur la valeur du X. Lorsque les effectifs doublent, lavaleur du khi-deux double. Si l'on multipliait par 2 les effectifs de l'exemple de dpart (34, 16,18 et 28 au lieu de 17, 8, 9 et 14), le khi-deux serait de {4.02 * 2}, soit 8.04 (avec une probabilitde p = 0.0046).

===> Un khi-deux non significatif ne signifie surtout pas que les deux variables sontindpendantes car dans le cas d'un X non significatif, avec des effectifs plus importants, onaurait peut-tre pu observer un X significatif. On se contentera de conclure qu'il n'y a pas deliaison statistiquement significative.

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3) Attention l'utilisation. Le X donne la probabilit pour que la distribution observe soit

lie au hasard. Il n'indique pas directement la force de la liaison. Il existe des tests spcifiquespermettant de mesure la force de la liaison. La probabilit n'est pas un indicateur de cette force.

Les difficults d'interprtation d'un khi-deux plus de 4 cases :

n.b.: L'exemple est tir d'une enqute relle portant sur lhoroscope :

Question n1 : "en gnral, vous fiez-vous vote intuition ?" [ OUI ; NON ; non rponse ].Question n2 : "quel est votre diplme le plus lev ? [ aucun certificat dtudes CAP/BEP

Bac et + ]

Vous fiez-vous votre intuition

==>

Diplme

OUI NON non rponses

Aucun 14 15 15 44Certificat d'tudes 14 9 31 54CAP/BEP 36 14 127 177BAC et plus 14 6 64 84

78 44 237 359

1er commentaire : ce tableau est totalement htrogne, un khi-deux n'aurait aucun sens car ilmlangerait des non rponses avec des rponses effectives. Avant d'liminer les non rponses, ilconvient donc de voir si elles sont lies au diplme. Ainsi, on regroupe les rponses oui et non eton les oppose aux non rponses. D'o le tableau suivant :

Rponses ( oui ou non ) non rponses

Aucun 29 + 15 -Certificat

d'tudes

23 + 31 -

CAP/BEP 50 - 127 +BAC et plus 20 - 64 +

Le khi-deux de ce tableau et de 28,24 (pour un khi-deux attendu de 7,81 avec ddl =3).Cela signifie que plus les gens ont de diplmes, moins ils avouent quils se fient leur intuition.

2me commentaire : Une fois analyses ces non-rponses, nous pouvons les exclure. Cela

donne :

OUI NON Aucun 14 15 29Certificat

d'tudes

14 9 23

CAP/BEP 36 14 50BAC et plus 14 6 20

78 44 122

Le khi-deux de ce tableau est de 4,91 (pour un khi-deux attendu de 7,81 avec ddl =3).donc 4,91 < 7,81. Pour linstant, on ne peut rien dire.

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Cel ne veut pas dire pour autant que nous sommes dans une impasse car il est possible deregrouper les niveaux de diplmes. Trois coupures peuvent tre effectues :

a) Aucun diplme + Certificat d'tudes / CAP-BEP + Bac et plus :

OUI NON

aucun diplme + certificat d'tudes 28 - 24 + 52

CAP/BEP + Bac et plus 50 + 20 - 7078 44 122

Khi-deux = 4,00 donc > 3,841 Cela signifie qu'en regroupant ainsi nous pouvons conclure queles gens les plus diplms se fient davantage leur intuition que les gens les moins diplms.

b) Aucun diplme / Certificat d'tudes + CAP-BEP + Bac et plus :

OUI NON

aucun diplme 14 - 15 + 29

certificat d'tudes + CAP/BEP + Bac et plus 64 + 29 - 9378 44 122

Khi-deux = 4,05 avec ddl = 1, donc > 3,841Mme interprtation que ci-dessus : les gens les plus diplms se fient davantage leur intuitionque les gens les moins diplms.

b) Aucun diplme + Certificat d'tudes + CAP-BEP / Bac et plus :

OUI NON

aucun diplme + certificat d'tudes + CAP/BEP 64 38 102Bac et plus 14 6 20

78 44 122

Khi-deux= 0,38 avec ddl = 1, donc < 3,841 (je ne peux rien dire)

Conclusion :dans le cas d'un khi-deux non significatif, il est toujours intressant d'essayer deregrouper des modalits si cela a un sens bien videmment.

* * *

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Table du khi-deux ( )

pour valeur de valeur de valeur de valeur de valeur de valeur de valeur de valeur de valeur de

d.d.l. X 0,90 X 0,50 X 0,30 X 0,20 X 0,10 X 0,05 X 0,02 X 0,01 X 0,001

1 0,0158 0,455 1,074 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 10,827

2 0,211 1,386 2,408 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815

3 0,584 2,366 3,665 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 16,266

4 1,064 3,357 4,878 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 18,467

5 1,610 4,351 6,064 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 20,515

6 2,204 5,348 7,231 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 22,457

7 2,833 6,346 8,383 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 24,322

8 3,490 7,344 9,524 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090 26,125

9 4,168 8,343 10,656 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 27,877

10 4,865 9,342 11,781 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 29,588

11 5,578 10,341 12,899 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264

12 6,304 11,340 14,011 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 32,909

13 7,042 12,340 15,119 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 34,528

14 7,790 13,339 16,222 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141 36,123

15 8,547 14,339 17,322 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 37,697

16 9,312 15,338 18,418 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000 39,252

17 10,085 16,338 19,511 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 40,790

18 10,865 17,338 20,601 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805 42,312

19 11,651 18,338 21,689 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 43,820

20 12,443 19,337 22,775 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566 45,315

21 13,240 20,337 23,858 26,171 29,615 32,671 36,343 38,932 46,797

22 14,041 21,337 24,939 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289 48,268

23 14,848 22,337 26,018 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 49,728

24 15,659 23,337 27,096 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 51,179

25 16,473 24,337 28,172 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314 52,620

26 17,292 25,336 29,246 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642 54,052

27 18,114 26,336 30,319 32,912 36,741 40,113 44,140 46,963 55,47628 18,939 27,336 31,391 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278 56,893

29 19,768 28,336 32,461 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588 58,302

30 20,599 29,336 33,530 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892 59,703

Quand le nombre de degrs de libert est lev , 2 est peu prs distribu normalement autour de1-(d.d.l.)2 avec une variance gale 1.