Cours Master2 Traitement de Signale

7/31/2019 Cours Master2 Traitement de Signale

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Universite de Picardie Jules Verne

Master-II de PhysiqueAnnee Academique : 2008-2009

Cours de Traitement du Signal

Responsable du Cours : Y. Gagou

Contact : [email protected]

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Contents

1 Definition du signal 6

1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Liens entre les deux types de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Signaux deterministes 7

2.1 Signaux analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Signaux a temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Principaux signaux 7

3.1 Fonction porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Fonction echelon unite de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Fonction Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Fonction Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5 Fonction Sinus Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.6 Fonction Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.7 Fonction periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.7.1 Valeur moyenne de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.7.2 Puissance Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Signaux aleatoires 94.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Rappels sur les notions de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Serie de Fourier 10

5.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Representation Complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3 Representation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3.1 Harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3.2 Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3.3 Symetrie et Changement de lorigine des temps . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Integrale et Tranformee de Fourier 11

6.1 Signaux non periodiques ou a T + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Definition de la Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3.1 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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6.3.2 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3.3 Parite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3.4 Conjugue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3.5 Decalage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3.6 Dilatation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Convolution 12

7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.3 Convolution de fonctions T0-periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.4 Theoreme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

8 Transformee de Laplace 14

8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9 Proprietes energetiques 14

9.1 Puissance instantanee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9.2 Puissance moyenne sur un duree T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9.3 Energie dans un intervalle T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9.4 Energie totale du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9.5 Puissance moyenne dinteraction entre deux signaux . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9.6 Puissance frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

10 Correlation et densite spectrale 15

10.1 Intercorrelation entre deux signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

10.2 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

10.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

10.2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

10.3 Densite spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11 Proprietes spectrales 1611.1 S pectre du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11.2 Theoreme de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11.3 Theoreme de Wiener-Khinchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12 Signaux aleatoires 17

12.1 Theorie des probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

12.1.1 Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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12.1.2 Distribution de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

12.1.3 Distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

12.1.4 Cas de 2 variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

12.2 Principales lois de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

12.2.1 Proprietes des signaux aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

12.2.2 Caracteristique dun signal aleatoire stationnaire et ergodique . . . . . . 18

12.3 Le Bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

12.3.1 Bruit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

12.3.2 Bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

12.3.3 Bruit rose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

12.3.4 Bruit de Grenaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

12.3.5 Autres bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

12.3.6 Proprietes et Traitement de Bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012.3.7 Detection par correlation dun signal periodique noye dans du bruit . . . 20

13 Numerisation des Signaux 22

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13.1.1 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13.1.2 Traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13.1.3 Probleme rencontre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13.2 Echantillonnage ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.2.2 Transformee de Fourier du peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

13.2.3 Formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

13.2.4 Transformee de Fourier du signal echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . 23

13.2.5 Theoreme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

13.2.6 Extraction du signal initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

13.2.7 Effet du repliement de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

13.2.8 Echantillonnage reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

13.3 Q uantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

13.3.1 Puissance moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

13.3.2 Valeur moyenne quadratique (moment dordre 2) . . . . . . . . . . . . . 27

14 Systemes de Transmission et Filtres 28

14.1 Definitions et Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

14.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

14.1.2 Bande Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

14.2 Filtres analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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14.2.1 Filtre frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

14.2.2 Relation Filtrage-Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

14.2.3 Filtres lineaires physiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

15 Filtres Analogiques 3015.1 Filtres analogiques continus realisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

15.2 Fonction de tranfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

15.3 Filtres a dephasage lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

15.4 Filtres Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

15.5 Modelisation des filtres analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

16 Filtres Numeriques 31

16.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

16.2 Filtrage lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.2.1 Transformee en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

16.2.2 TZ et Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

16.3 Classification des filtres numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

16.3.1 Filtres non recursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

16.3.2 Filtres recursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

16.3.3 Filtres MA ou RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

16.3.4 Filtres AR ou RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

16.3.5 Filtres numeriques elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

16.4 Conception dun filtre numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

16.5 Restitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

December 26, 2008

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SIGNAUX ET DEFINITIONS

1 Definition du signal

On appelle signal toute grandeur physique tensorielle qui varie soit continument (signaux

analogiques) soit discretement (signaux numeriques) au cours du temps. Levolution dans

le temps de la grandeur consideree est regie par la dynamique specifique du signal. Quelque

fois la loi temporelle regissant le phenomene est bien connue (signaux deterministes) et dautrefois il est difficile, voir impossible de le decrire (signaux aleatoire).

1.1 Exemple

OEM dynamique regie par les lois de MaxwellSon dynamique regie par la theorie des ondes stationnairesSignaux electriques courant, tensionInflux nerveux electrophysiologique (transmission dinfos sensorielles)

1.2 Processus

Le traitement du Signal suit le cheminement suivant :

* Analyse et diagnostique

* Codage

* Quantification et Compression

* Transmission et archivage

* Synthese et restauration

1.3 Liens entre les deux types de signaux

Il existe une correspondance etroite entre signal analogique et signal discret :

Signal analogique Echantillonnage Signal discret.Lechantillonnage consiste a mesurer (a decouper) a intervalle de temps regulier un signal

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analogique. Cest un des outils souvent utilises en traitement du signal.

Lobjet du traitement du signal est donc danalyser avec soin, de coder, de transmettre

integralement ou une partie specifique du signal ou de reconstruire a sa reception toutes ses

proprietes afin den tirer les maximum dinfos quil contient.

2 Signaux deterministes

2.1 Signaux analogiques

Ce sont des signaux a temps continu, cest a dire definis pour toute valeur de t. On sappuie sur

les modeles mathematiques pour les decrire. Lallure de la fonction peut presenter des sauts.

2.2 Signaux a temps discret

La variable de la fonction consideree ne peut prendre que des valeurs entieres k Z.Pour la variable temps, k represente le coefficient mutiplicateur dune duree t0 qui permet

dechantillonner le signal.

3 Principaux signaux

3.1 Fonction porte

2T(t) =

1 pour |t| T0 pour |t| > T

3.2 Fonction echelon unite de Heaviside

u(t) =

1 pour t 00 pour t < 0

Cette fonction est interessante dans la description des regimes continus; moyen commode

dexprimer la discontinute de premiere espece.

3.3 Fonction Impulsion de Dirac

Si on prend une fonction porte damplitude 1T

, de largeur T et si on suppose que la duree

temporelle T est breve, on retrouve la definition de la fonction de Dirac. Elle presente les

proprietes suivantes :

+ T(t)dt = 1, avec T(t) =

1T

pour |t| T2

0 pour |t| > T2

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limT0

T(t) =

0 pour t = 0 pour t = 0

La limite de cette fonction lorsque T l donne limpulsion de Dirac :(t) = lim

T0T(t) et

+

(t)dt = 1.

La distribution de Dirac est definie en t0 comme suit :

(t t0) =

0 si t = t0 si t = t0

, avec+ (t t0)dt = 1.

3.4 Fonction Triangle

(t) = 1-|t| pour |t| 1

0 pour |t| > 13.5 Fonction Sinus Cardinal

sinc(t) = sin(t)t

t R

3.6 Fonction Peigne de Dirac

T =+

n=(t nT)

3.7 Fonction periodique

f(t) = f(t + T), tT est la periode du signal. =

1

Test la frequence du signal.

3.7.1 Valeur moyenne de f

f(t) = 1T

t0+Tt0

f(t)dt

3.7.2 Puissance Moyenne

P = f2(t) = 1T

t0+Tt0

f2(t)dt

(dans cette definition, on a pris pour resistance de charge la valeur 1)

Le RMS (valeur efficace) de cette fonction est donnee par :

f2eff =1T

t0+Tt0

|f(t)|2 dt. Remarque : |f(t)|2 = f(t).f(t)

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4 Signaux aleatoires

4.1 Definition

Un signal est dit aleatoire lorquon est incapable de le decrire par une loi mathematique simple.

Exemple : le bruit, leclair, certains ecoulements...

Un signal aleatoire peut etre de type transitoire ou permanent.

Dans le cas permanent : on peut le decrire par les lois de probabilites.

4.2 Rappels sur les notions de probabilite

La probabilite est un nombre reel, p [0, 1]Variable aleatoire xa tel que p(xa = xi) = a [0, 1] et on a :

aa = 1

Le signal aleatoire continu etant decrit par la fonction x(t) qui evolue dans le temps de faconincertaine, on sappuye sur les notions de statistiques de donnees pour le decrire.

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MATHEMATIQUE DU SIGNAL

5 Serie de Fourier

5.1 Definitions

Soit un signal x(t) periodique de periode T admettant un nombre fini de discontinuites;

on a :

x(t) = a0 ++n=1

[an cos(nt) + bn sin(nt)]

a0 =1T

t0+Tt0

x(t)dt

an =2T

t0+Tt0

x(t). cos(nt)dt

bn =2T

t0+Tt0

x(t). sin(nt)dt

5.2 Representation Complexe

x(t) =+

n=Cne

jnt =+n=0

anejnt+ejnt

2+

n=+n=1

bnejntejnt

2j

soit,

x(t) = a0 +12

n=1

[(an jbn)ejnt + (an + jbn)ejnt]

Les coefficients Cn sont calcules par lintegrale :

Cn =1T

t0+T

t0x(t).ejntdt = Cn =

12

(an jbn)

5.3 Representation spectrale

5.3.1 Harmoniques

Posons tan n = bnan .On a : x(t) = a0 +

+n=1

a2n + b

2n

ana2n+b

2n

cos(nt) bna2n+b

2n

sin(nt)

cos(n) =1

1 + tan2 n

=an

a2n + b

2n

et sin(n)=bn

a2n + b

2n

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x(t) = a0 ++n=1

Sn cos(nt + n) avec Sn =

a2n + b2n

x(t) = somme dun signal continue et dun infinite de signaux sinusodaux de pulsation , 2,

3, 4,.....n,.....

Le terme de pulsation est appele la fondamentale ou le premier harmonique. Les autrestermes sappellent respectivement harmoniques dordre 2, 3, 4,......n,.......

5.3.2 Spectre

On porte sur laxe des abscisses la pulsation et en ordonnee les raies traduisant les modules

des Sn correspondants.

De meme, on represente le spectre en puissace (S2n) et puis le spectre en phase (n).

5.3.3 Symetrie et Changement de lorigine des temps

Fonction paire

an =4T

T2t0

x(t) cos(nt)dt, bn = 0, on en deduit que Cn = Cn =an

2Fonction Impaire

bn =4T

T2

t0x(t) sin(nt)dt, an = 0, on en deduit que Cn = Cn = bn

2j

6 Integrale et Tranformee de Fourier

6.1 Signaux non periodiques ou a T +x(t) =

+n=

Cnejn0t avec Cn =

1T

t0+Tt0

x(t).ejn0tdt

0 =2T

= 20 [t0, t0 + T]T

2, T2

Il est plus commode decrire :

x(t) =n=+n=

1T

+T2T2

x(t).ejn0tdt

ejn0t

Si T alors 0 spectre continue.En posant = n0 abscisse de la raie de rang n (frequence courante), alors n sera remplaceepar

dn = 10

d avec 0 = 02 = 1T et par consequent :

x(t) =+

+ x(t).e

j2tdt

ej2td

6.2 Definition de la Transformee de Fourier

On appelle Transformee de Fourier de la fonction f(t) la fonction F() definie par :

X() = + x(t).e

j2tdt et x(t) = + X()e

j2td

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La reciprocite secrit : x(t)TF X()

6.3 Proprietes

6.3.1 Linearite

x(t) = ax1(t) + bx2(t) alors X() = aX1() + bX2()

6.3.2 Derivation

T F[x(t)] = j2 X()

6.3.3 Parite

x(t) X()

reelle paire reelle paire

reelle impaire imaginaire impaire

reelle complexe (Re paire, Im impaire)

6.3.4 Conjugue

Etant donnee x(t)TF X() alors x(t) TF X() ; x est le complexe conjugue de x

Cest a dire : T F[x(t)] = X()

6.3.5 Decalage temporel

T F[x(t t0)] = ej2t0X()Par symetrie on a :

T F[e+j20tx(t)] = X( 0)

6.3.6 Dilatation temporelle

T F[x(t)] = 1||X(

)

pour = 1 alors T F[x(t)] = X()

7 Convolution

7.1 Definition

z(t) = x(t) y(t) = + x()y(t ) dLa convolution exprime generalement la reponse a un signal quelconque a partir de celle dun

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signal type (impulsionnelle) caracterise par y(t). exprime le retard temporel entre les deux

signaux.

Les filtres definis comme STLCS (Systeme de Transmission Lineaire Continue et Stationnaire)

sont des systemes de convolution.

7.2 Proprietes

x y = y x, x (y + z) = x y + x z, x = x = x

7.3 Convolution de fonctions T0-periodiques

z(t) = 1T

T00

x()y(t )d

7.4 Theoreme de Plancherel

La TF du produit dune convolution est un produit simple et reciproquement.

x(t) y(t) TF X() Y() et reciproquement x(t) y(t) TF X() Y()Demonstration :

x(t)TF X() et y(t) TF Y();

Soit z(t) le signal tel que : z(t) = x(t) y(t) = + x()y(t ) dCalculons Z() = T F{z(t)} :Z() =

+ z(t) ej2t dt =

+ [x(t) y(t)] ej2t dt

soit, Z() =+

+ x()y(t ) d

ej2t dtou encore,

Z() =+

+ x()y(t ) ej2t d

dt.

En ecrivant ej2t = ej2.ej2(t), il vient :

Z() =+

+ [x() ej2]

y(t ) ej2(t) ddt et en separant les deux integrales

alors,

Z() =+ [x() ej2]

+ y(t ) ej2(t) dt

d Posons = t , on d = dt

( est considere comme parametre constant si on raisonne par rapport a la variable t).

On a :Z() =

+ x() ej2

+ y() ej2 d

d

Puisque la deuxieme integrale est independante de , on peut ecrire Z() sous la forme :

Z() =+

x() ej2d+

y() ej2 d

soit, le resultat attendu :

T F{x(t) y(t)} = X()()

13


14/35

8 Transformee de Laplace

Pour un signal continu transitoire, afin dassurer la convergence de lintegrale de Fourier (signal

causal ie t > 0), on multiplie x(t) par ept.

8.1 Definition

On definit alors la transformee de Laplace de la maniere suivante :

Lx(p)={x(t)}L = X(p) =+0

x(t)eptdt

8.2 Proprietes

ax1(t) + bx2(t)TL aX1(p) + bX2(p)

x(

at)

TL

1

|a|X

(

p

a)x(t a) TL X(p) ea.px(t) y(t) TL X(p) Y(p)et reciproquement,

x(t) x(t) TL X(p) Y(p)

9 Proprietes energetiques

Transmission dinformation

Transmission denergie

9.1 Puissance instantanee

p(t) = |x(t)|2 = x(t) x(t)

9.2 Puissance moyenne sur un duree T

pT

(t) = 1T

t+Tt

p(t) dt

9.3 Energie dans un intervalle T

ET(t) =t+Tt

p(t) dt

9.4 Energie totale du signal

E =+ p(t) dt

14


15/35

9.5 Puissance moyenne dinteraction entre deux signaux

pxy(t, T) =1T

t+Tt

x(t) y(t) dt et pyx(t, T) = 1Tt+Tt

y(t) x(t) dt

9.6 Puissance frequentielleSoit f(t)

TF F(); nous definissons les grandeurs ci-apres :Spectre de puissance ou densite spectrale :

Sxx() = X()() = |X()|2

Energie contenue dans une bande de frequences de largeur autour dune frequence F0

secrit : Ex(, F0) =F0+2F02

Sxx()d

Lenergie totale dans le spectre X() sexprime sous la forme :

Ex = + Sxx().d =

+ |X()|2 d

10 Correlation et densite spectrale

10.1 Intercorrelation entre deux signaux

Cxy() =+ x(t)y

(t ) dt = + x(t + )y(t) dtAttention aux notations, on peut aussi definir sous la forme :

Cxy(t) =+ x()y

( t) d = + x(t + )y() d10.2 Autocorrelation

10.2.1 Definition

Cxx() =+ x(t)x

(t ) dt = + x(t + )x(t) dt10.2.2 Proprietes

Pour les signaux reels la fonction Cxx est paire, Cxx(t) = Cxx(t)t on a : Cxx(t) Cxx(0) (valeur maximale a t = 0)

10.3 Densite spectrale

T F1 {Sxx()} = T F1{|X()|2} = T F1 {X().X()}T F1 {Sxx()} = x(t) x(t) =

+ x(t).x

(t ).dt = Cxx()dou la relation : Cxx()

TF Sxx()et pour deux signaux x(t) et y(t) : Cxy(t)

TF Sxy() ou Cyx(t) TF Syx()

15


16/35

Remarque :

Pour les fonctions reelles, |X()|2 = X()X() = X()X() et Sxx() = |X()|2

11 Proprietes spectrales11.1 Spectre du signal

X() = T F{x(t)} = + x(t)ej2tdtx(t) reelle X() = X() = X()

11.2 Theoreme de Parseval

Lenergie totale dun signal ne depend pas de la representation choisie.

Ex =+ |x(t)|2 dt =

+ |X()|2 d, cest une evidence logique.

Exy =+ |x(t)| . |y(t)| dt =

+ |X()| |Y()| d

Remarque :

Pour un signal localise

E =+ p(t) dt =

+ Sxx() d

11.3 Theoreme de Wiener-Khinchine

Enonce :

La densite spectrale du signal Sxx() est la transformee de Fourier de la fonction dautocorrection

Cxx(). On ecrit cette propriete sous la forme :

Sxx() = T F{Cxx()} = Cxx()e

j2 d et reciproquement :

Cxx() = T F1 {Sxx()} =

+ Sxx()e

j2d

Demonstration :

Faisons le changement de variable t = t Sxx() = X()X

() = X()X()=

x(t)e

j2t dt x(t

)ej2t

dt =

+

+ x(t)x(t

)ej2(tt) dtdt

=+ + x(t)x(t )ej2 ddt = + Cxx()ej2d = T F{Cxx()}

Reciproquement,

Cxx() =+ x(t)x(t )dt =

+

+ X()e

j2td + X()ej2(t)d dt=+

+

+ X()X(

)ej2(+)tej2

dddt

=+

+ X()X(

)( + )ej2dd

=+ X()X()ej2d

16


17/35

=+ Sxx()e

j2d

12 Signaux aleatoires12.1 Theorie des probabilites

12.1.1 Variables aleatoires

Fonction de repartition-densite de probabilite :

Supposons quon mesure lamplitude de N signaux au cours N processus identiques;

si on trouve xa = n pour les N mesures avec xa < x, on ecrit :F(x) = p(xa < x) =

n

NF(x) est la fonction de repartition de la variable aleatoire xa.La densite de probabilite relative pour que xa [x1, x2] est :f(x) = lim

x2x1p(x1 < xa < x2)

x2 x1 =p(x < xa < x + dx)

dxf(x) est la derivee de la fonction F(x) =

x f(u)du

Axiome : F() = + f(x)dx = 1Valeur moyenne dun signal aleatoire discret

xmoy = x =1N

i

nixi aveci

ni = N

(on suppose ici que chaque evenement X = xa se realise ni fois),

ou dans le cas continue, la valeur moyenne secrit :x =< x >=

xf(x)dx et est encore appele lesperance mathematique de x ou moment dordre

1 de x.

Esperance mathematique :

E(x) = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn = x =+ x.dF(x) =

+ x.p(x)dx

Moment dordre n : E(xn) =+ x

n.p(x)dx.

Moment dordre 2 ou moment quadratique :

Elle mesure la dispersion dune variable aleatoire autour de sa valeur moyenne.

E(x2) = + x2.p(x)dx est lie a lenergie transportee par le signal.Moyenne quadratique dun signal centre :

V ar(x) = 2x = E

(x x)2 = + (x x)2 .p(x)dx = E(x2) [E(x)]2Ecart type :

x =

V ar(x).

12.1.2 Distribution de Gauss

f(x) = 12

e12(

xx )

2

17


18/35

12.1.3 Distribution de Poisson

f(x) = x

x!e = x

12.1.4 Cas de 2 variables aleatoiresOn definit la covariance et la correlation de la facon suivante :

2xixj =< (xi xi)(xj xj) > et xy =2xyxy

12.2 Principales lois de probabilite

- Loi exponentielle : f(x) = ex avec [0, +]- Loi de Rayleigh : f(x) =

x

2e

x2

2a avec a [0, +]- Loi de poisson : p(x = k) =

k

k!e

- Loi de Gauss : f(x) = p(x) = 12

e(xx0)2

22

12.2.1 Proprietes des signaux aleatoires

On considere un processus decrit par la variable aleatoire x(t)

Stationnarite et Ergodicite

Processus stationnaire caracteristiques statistiques (moyenne, ecart type, etc..) independantesdu choix de lorigine du temps

Processus ergodique

moyennes sur plusieurs epreuves sont equivalentes aux moyennes tem-

porelles correspondant a une seule epreuve

Signal stationnaire xT = xT+

exemple : signal non ergodique

Signal ergodique xe = xt

exemple : non stationnaire, signal de Wiener

12.2.2 Caracteristique dun signal aleatoire stationnaire et ergodique

Si la variable aleatoire stationnaire est aussi ergodique il y a equivalence avec les caracteristiques

temporelles.

Moyenne temporelle

xe = limN

1N

i xi(t) et x(t) = limT

xT = limT

1T

+T2T2

x(t)dt

Puissance du signal

Px = x2(t) = limT

1T

+T2T2

x2(t)dt < x2(t) >Fonction dautocorrelation temporelle

Cxx() = limT

1T

+T2T2

x(t)x(t )dt

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12.3 Le Bruit

On appelle bruit tout signal indesirable, limitant lintelligibilite dun signal utile.

Le bruit peut avoir avoir plusieurs sources :

- sources externe (independant du signal propre) localise a lexterieur du systeme- source internes (perturbation impulsionnelle, bruit de fond) lie a lelectronique du systeme.

12.3.1 Bruit thermique

Effet Johnson b2eff = 4.k.T.R.

avec

k la const de Boltzmann

T temperature (en K)

R resis tan ce (en ) bande passante du systeme (en Hz)

La puissance totale du bruit thermique (dans resistance constante) est :

Pth = k.T. exprimee en W

12.3.2 Bruit blanc

Le bruit blanc est un signal de valeur moyenne nulle. Son spectre en amplitude est constant.

La densite spectrale du bruit blanc est constante dans la bande de frequence consideree.

B() = B0 =12

kT.

La fonction dautocorrelation temporelle du bruit blanc est une impulsion de Dirac :

Cbb() = B0.()

Pratiquement, un tel bruit nexiste pas, mais parlera du bruit blanc a chaque fois que le spectre

de densite de puissance est constante a linterieur de la bande passante.

12.3.3 Bruit rose

Un bruit rose est un bruit dont le spectre en amplitude est inversement proportionnel a la

frequence (le spectre en amplitude varie en 1

).

En realite, il sagit dun bruit blanc dont la densite spectrale de puissance est modelisee par

une fonction porte de largeur 2b ; b est la frequence maximale du bruit rose.

La fonction dautocorrelation impulsionnelle du bruit rose est tres etroite et centree sur = 0

(fonction sinc dans le cas reel)

B() = B0 2b()

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20/35

Sa fonction dautocorrelation est : Cbb() = B0 (2b) sin(2b)2bDans le cas ou b tres grand, la fonction dautocorrelation du bruit du bruit rose est nulle pour

( > lim).

12.3.4 Bruit de Grenaille

Fluctuations statistiques du nombre de porteurs de charges traversant la barriere de potentiel,

qui participe a la reation de courant (jonction PN dun semi-conducteur).

12.3.5 Autres bruits

Bruit dit gaussien (caracterise valeur moyenne et un ecart-type)

Bruit dit periodique (somme de signaux sinusoidaux sans reference de base)

Bruit brownien (le spectre en amplitude varie en 1

2

12.3.6 Proprietes et Traitement de Bruit

Rapport S/B (signal/bruit) :

Ce rapport caracterise la qualite du signal. On compare le S/B dentree et le S/B a la sortie.

Soit un signal x(t) de puissance moyenne Px, melange avec du bruit blanc b(t).

Sa puissance moyenne resultante est :

Ps = Px+b = limT+

1T

T

0[x(t) + b(t)]2 dt

Comme ce bruit est independant du signal, on a :

Ps = limT+

1T

T0

[x(t)]2dt + limT+

1T

T0

[b(t)]2dt = Px + Pb

Pour un bruit blanc stationnaire, ergodique et centre, on a:

Ps = Px + 2b

Le rapport signal/bruit se defini sous la forme : = Px2b

Si on prend un signal informatif de type cosinusodal x(t) = Acos(t) , le rapport signal/bruit

se definit sous la forme : = 12 A22b

Exemples de signaux bruites

- signal peu predictible

- signal lent assez predictible- signal rapide peu predictible

- signal presentant une bande de frequences dominante

- signal sinusoidal perturbe par un bruit a large bande

12.3.7 Detection par correlation dun signal periodique noye dans du bruit

Soit un signal x(t),

soit un bruit b(t), bruit sans memoire (Cbb() = 0) et independants de x(t).

20


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22/35

ECHANTILLONNAGE

13 Numerisation des Signaux

13.1 Introduction

s(t) signal analogique s(nTe) avec n entier, Te periode dechantillonnage.Cette operation est realisee par des circuits : preleveurs ou echantillonnneurs

13.1.1 Processus

Filtrage analogique V(t) Echantillonnage Ve(nTe) Quantification (codage Ve(n))Traitement (systeme numerique) Restitution Vs(nTs) Filtrage analogique Vs.

13.1.2 Traitement

Filtrage numerique, Stockage, Transmission, Codage, Compression....

Sans traitement le signal final reste fidele au signal analogique : Ve(n) = Vs(n)

13.1.3 Probleme rencontre

- la periode dechantillonnage

- le pas de quantification

- le temps de reponse du systeme.

13.2 Echantillonnage ideal

13.2.1 Definition

Operation mathematique simple : multiplier un signal analogique par des impulsions unites

regulieres dans lespace temporel.

On utilise la fonction Peigne de Dirac :

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23/35

Te(t) =+

k=(t k.Te)

On obtient, a partir dun signal x(t), le signal echantillonne xe(t) , suite de pics de Dirac dont

les poids statistiques sont les valeurs du signal x(t) aux instants kTe , cest a dire les valeurs

xk = x(kTe).x(t) xe(t) = x(t)

+k=

(t kTe) =+

k=x(t) (t kTe)

xe(t) =+

k=x(kTe) (t kTe) =

+k=

xk (t kTe) ou xk = x(kTe) (1)xe(t) : signal discret a spectre non borne (periodisation infinie).

13.2.2 Transformee de Fourier du peigne de Dirac

T F+

k=

(t

kTe)

= e+

k=

(

ke)

13.2.3 Formule de Poisson+

k=(t kTe) = e

+k=

ej2ket

+k=

x(t kTe) = e+

k=X(ke)e

j2ekt

13.2.4 Transformee de Fourier du signal echantillonne

Soit X() = T F{x(t)} et Xe() = T F{xe(t)}On a : Xe() = {xe(t)} = T F

+

k=xk(t kTe)

Or dapres Plancherel, Xe() = {xe(t)} =TF

+k=

(t kTe)

X()

Xe() = e+

n=( ne) X() = e

+n=

X( ne) (2)dou, le spectre de lechantillonne Xe() sobtient en periodisant avec une periode de e sur

laxe des frequences, la transformee de Fourier X() du signal x(t) multiplie par e

13.2.5 Theoreme de Shannon

Soit un signal a spectre a support borne (max < < max)Posons, e =

e2

= 1Te

;

pour que Xe() X() il faut et il suffit que e 2max (theoreme de Shannon).Enonce du theoreme dechantil lonnage :

Un signal continu de spectre borne dans [max, +max] est completement deternime par lesvaleurs quil prend a des instants regulierement espaces de 1

2maxau minimum.

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13.2.6 Extraction du signal initial

On suppose la condition du theoreme de lechantillonnage respectee et que le signal initial est

a spectre borne par max.

On peut ecrire dapres la relation (2), le spectre de base sous la forme :Xe0() = e X() (3)En appliquant la T F1 on obtient le signal temporel correspondant au spectre de base Ue0(),

soit :

Xe0(t) = e.x(t) (4)

De facon rigoureuse on utilise le Filtrage : avec un filtre passe-bas ideal de frequence de coupuree2

, caracterise par la fonction porte on peut ecrire :

Xe0() = Xe() e()En prenant la T F1 et en appliqant le theoreme de Plancherel, on a :

xe0(t) = xe(t) [e sin c(et)] = e xe(t) sin(et)et xe0(t) = e

k=+k=

x(kTe) (t kTe) sin(et)

et, dapres la relation (1)

et donc, ue0(t) = e +

k= x(kTe) sin(e(tkTe))e(tkTe)

Par identification, avec ce qui precede (relation (4)), on peut ecrire :

x(t) =+

k=x(kTe) sin(e(t kTe))

e(t kTe) (5)

13.2.7 Effet du repliement de spectre

Lorsque le theoreme de Shannon nest pas respecte on observe des phenomenes de recouvrement

(ou repliement) des spectres .

13.2.8 Echantillonnage reel

Le signal echantillonne reel est constitue dimpulsions distantes de Te et de largeur .

Lamplitude de ces impulsions sera fonction du procede dechantillonnage utilise :

- naturel : amplitude egale x(t) pendant lintervalle (irrealisable)

- regulier : amplitude constante et egale a x(nTe) pendant la duree

- moyenneur : amplitude egale a la moyenne de x(t) sur lintervalle

Lechantillonnage reel se fait en prenant une fonction porte de largeur et periodisee avec une

periode Te.

Mathematiquement on a :

iTe,(t) =k=+k=

(t kTe)En utilisant le peigne de Dirac et le produit de convolution on a :

iTe,(t) = (t) Te(t) = (t) k=+

k=(t kTe)

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Le pectre de ce signal sexprime :

ITe,() =

sin()

[e e()] = sin() e

k=+k=

( ke) soit,

ITe,(t) =

e

k=+

k=

sin(ke)ke

(

ke) (6)

Echantillonnage naturel

Lamplitude de chaque echantillon suit la valeur de la fonction pendant lintervalle .

On a :

xe (t) = x(t) iTe,(t) = x(t) [(t) Te(t)] (7)on en deduit le spectre, dapres la relation (6);

Xe () = X() ITe,() = X()

e k=+k=

sin(ke)ke

( ke)

,

ou encore :

Xe () =

e

k=+

k=

sin(ke)ke

X(

ke) (8)

En utilisant la relation (8) on deduit la relation liant le spectre de base du signal echantillonne

et celui du spectre reel :

Xe0 () = e X()Cette relation exprime une proportionnalite donc une conservation de linformation (pas de

deviation).

Echantillonnage regulier ou bloqueur

Chaque impulsion est constante = x(nTe) (pratique et le plus souvent mis en oeuvre).

Mathematiquement, il sagit dune suite de fonctions portes damplitudes egales aux echantillons

du signal :

xe(t) =k=+k=

x(kTe) (t kTe) = [x(t) Te(t)] (t) =

x(t) k=+k=

(t kTe)(t)

on en deduit :

Xe() = [X() (e e())]

sin()

Xe() = e sin()

k=+k=

X( kTe) (9)De la meme maniere le signal initial est extrait par un filtre passe-bas de largeur e.

La relation liant le spectre de base et celui du signal echantillonne (en sappuyant sur la relation

(9)) est :Xe0 = e sin() X()Echantillonnage moyenneur

On considere ici les echantillons xe(kTe) correspondant a la valeur moyenne de x(t) prise sur la

duree de limpulsion .

Ainsi lechantillon xk sexprime sous la forme:

xk =1

kTe+/2kTe/2

x(t)dt

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En utilisant la fonction porte, la relation precedente peut secrire :

xe(kTe) =1kTe+/2kTe/2

(t kTe) x(t) dtCette expression represente le produit de convolution de x(t) et (t) au temps kTe,

dou :xe(kTe) =

1 [(t) x(t)] (t kTe)

Le signal echantillone complet a pour expression :

xe(t) =1

+k=

[(t) x(t)] (t kTe)soit:

xe(t) =1 [(t) x(t)] Te(t)

Par TF et utilisant le th de Plancherel, on peut deduire le spectre Xe() = T F{x(t)} :Xe() =

1

sin()

X() [e e()]soit :Xe() = e +

k=

sin((ke))(ke) X( ke) (10)

De la meme maniere en sappuyant sur la relation (10), on a :

Xe0 = e sin() X(),resultat tres proche de celui de lechantillonnage regulier. Lamplidute de X() est modulee

par la fonction sinc( ) = deformation par rapport a echantillonnage naturel.

Remarque : plus la duree de limpulsion dechantillonage est faible devant la periode du signal

echantillonne, plus le bloqueur et le moyenneur sont plus proche de lideal (naturel).

13.3 Quantification

Choisir et remplacer par la valeur arrondie au plus proche voisin ou par defaut les echantillons

utiles.

Pour un echantillonnage uniforme on choisit N intervalles identiques de valeur q. On utilise un

convertisseur numerique-analogique. Ce processus introduit toujours une erreur appelee bruit

de quantification sauf si le signal est de la forme : xe(kTe) = N qLerreur de quantification est un bruit blanc. Cette erreur provient de la compression ou de

lexpansion lineaire et non-lineaire des donnees.

Soit une erreur que quantification (t), pendant un temps tres long , on suppose que lamplitudedu signal varie dans une plage plus large que q (pas de quantification) et peut etre approximee

par une droite :

(t) = q t

pour 2 t

2.

La valeur moyenne est nulle sur cet intervalle.

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13.3.1 Puissance moyenne

P =1

+ 2

22(t) dt = 1

+ 2

2

qt

2 dt = q212

Variable aleatoire, densite de probabilite p() constante egale a1

q sur lintervalle q2 , + q2.

13.3.2 Valeur moyenne quadratique (moment dordre 2)

Esp[2] =

+

2 p() d = 1q

+ q2 q2

2 d = q212

= P

Ce bruit de quantification est une variable stationnaire et ergodique.

Remarque : Processus de quantification = signal + bruit uniforme.

Cest un bruit blanc de largeur spectrale

0, e

2 .

La densite spectrale est donc : q2

6eExemple : Systeme de codage sur n bits (valeur maximale de codage 2n 1)s(t) = Vmax sin(2T t) avec Vmax = 2

n12

q

La puissance moyenne de ce signal est :

Ps =1T

+T2

T2s2(t)dt = V

2max

2. En supposant n tres grand (2n 1) alors, Ps 22n3 q2.

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FILTRAGE

14 Systemes de Transmission et Filtres

14.1 Definitions et Proprietes

Un systeme de transmission (ST) fait correspondre a un signal dentree e(t) un signal de sortie

s(t) reponse du systeme de transmission.

14.1.1 Definitions

Le bel est le logarithme decimal du rapport s(t)e(t)

. Dans la pratique, on utilise le decibel :

Adb = 10 logs(t)e(t)

.

Pour un appareil Hi-Fi (un amplificateur par exemple), on utilse la meme expression, mais,

avec les puissances dentree et de sortie :

Adb = 10 logPsPe

= 10 log

V2sRs

V2eRe

si Rs = Re, on a :

Adb = 10 log

VsVe

2= 20 log

VsVe

, ce qui correspond aussi au gain en puissance de lappareil.

14.1.2 Bande Passante

Letude de la fonction Ps = Ps() sur une resistance de charge constante permet de passer par

sa valeur maximale Psmax a une frequence donnee.On appelle bande passante dun systeme de Transmission, la zone de frequences pour lesquelles

on a : PsPsmax

0.5 ou Adb 3db.

14.2 Filtres analogiques

filtrage domaine frequentiel.fenetrage domaine temporel.Le fenetrage consiste a prelever, interrompre ou seulement attenuer un signal.

28


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Un filtre est defini comme la reponse impulsionnelle notee h(t), et par sa fonction transfert

notee H(f) (ou H(p) resp.) transformee de (Fourier ou Laplace resp.) de h(t).

14.2.1 Filtre frequentiel

Cas classique :

Filtre passe-bande : seules sont transmises les frequences comprises dans lintervalle [0 , 0 + ]Filtre coupe-bande : on arrete les frequences comprises dans lintervalle [0 , 0 + ]En pratique :

Pour un x(t) donne, on peut representer X() qui est la TF du signal x(t) et on filtre en mul-

tipliant X() par H().

En vertu du theoreme de Plancherel, on passe du produit simple dans lespace des frequences

au produit de convolution dans lespace temporel et inversement.

Xs() = X(). H() ou Xs() est le signal filtre. On a :xs(t) = x(t) h(t) =

+ x()h(t )d.

h(t) est la reponse impulsionnelle du filtre.

14.2.2 Relation Filtrage-Convolution

Filtrage temporel = convolution frequencielle

Filtrage frequentiel = convolution temporelle

Lappareil le plus perfectionne va transmettre les frequences comprise dans la bande [0, FM] et

arretera les frequences superieures a FM en un laps de temps.

14.2.3 Filtres lineaires physiquement

La causalite

Leffet (sortie du filtre) ne peut preceder la cause (entree du filtre).

La reponse impulsionnelle dun filtre est la reponse a une impulsion de Dirac appliquee a t = 0;

elle doit etre nulle pour t < 0.

Tout systeme physique doit avoir : h(t) = 0 pour t < 0.

Pour un filtre causal : xs(t) =+ h()x(t )d = +0 h()x(t )d. Un filtre non causal

devra utiliser des valeurs futures de signaux dentree ce qui nest pas evident, ou soit ceci est

possible en travaillant en temps differe.

Dephasage des filtres

Soit h(t) la reponse implusionnelle dun filtre, son gain complexe est :

H() = T F [h(t)] = ReH() + jImH()=|H()| ej()La relation sortie-entree du filtre secrit, en frequence, sous la forme : Xs() = |H()| ej()X(),et le dephasage de la sortie par rapport a lentree est la phase ou largument () du filtre.

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Remarque : Si () = 0 (gain reel), la reponse implusionnelle est paire.

Pour un filtre causal, on a : () = 0.

15 Filtres Analogiques15.1 Filtres analogiques continus realisables

Les filtres realises et appliques sur des signaux a temps continu (non echantillonnes) sont

constitues par des composants electroniques (Resistances, Capacites et Self, Amplificateurs

Operationnels, niodes ...).

Le spectre S() du signal de sortie s(t) est le produit du spectre E() du signal de dentree

e(t) avec la fonction de transfert frequentielle du filtre H() :

S() = E()

H()

15.2 Fonction de tranfert

Par application du theoreme de Plancherel, on passe a la representation temporelle :

S() = E().H()TF s(t) = e(t) h(t)

h(t) est la reponse impulsionnelle du filtre, H() ou H(p) (TF ou TL) est sa fonction de

transfert.

on peut remplacer n filtres en serie par un seul filtre de reponse impulsionnelle h(t) qui sexprime

sous la forme : h(t) = h1(t) h2(t) ... hn(t).La fonction de transfert equivalente secrit :H() = H1() H2() ... Hn().Lentree et la sortie sont des signaux temporels. Le signal dentree e(t) et de sortie s(t) sont

relies par des relations integro-differentielles lineaires a coefficients constants.

En utilisant la Transformee de Laplace, cette relation conduit a une fonction de transfert ou

au gain complexe ; quotient de 2 polynomes en p : H(p) = N(p)D(p)

La fonction de transfert du filtre analogique continue est definie a partir dune association des

4 fonctions de transfert suivantes :

H1() = 11+2j filtre passe-bas du premier ordre ou H1(p) = 11+pH2() =

2j1+2j

filtre passe-haut du premier ordre ou H2(p) =p

1+p

H3() =1

1+4j4222 filtre passe-bas du deuxieme ordre ou H3(p) =1

1+2p+(p)2

H4() =4222

1+4j4222 filtre passe-haut du deuxieme ordre ou H4(p) =(p)2

1+2p+(p)2 est le coefficient damortissement, est le temps de reponse.

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15.3 Filtres a dephasage lineaire

Filtre a reponse non causal h1(t) sans dephasage; h1(t) est lineaire symetrique par rapport a

lorigine.

Supposons que h1(t) est aussi a support borne[0, 0], considerons alors le filtre dont la reponseimpulsionnelle serait deduite de h1(t) par translation ; on a :

h(t) = h1(t 0) et H() = H1()e2j0.Puisque h1(t) est reel paire alors H1() est aussi reel paire. Le dephasage de H() est alors

() = 2 0 (fonction lineaire de la frequence).

15.4 Filtres Particuliers

Filtre de Butterworth :

|H()| =1

1+2()2nFiltre de Tchebychev :

|H()| = 11+2C2n()

avec Cn() tel que :

C0(1) = 1, C1() = et Cn+1() = 2 Cn() Cn1()Filtre de Legendre :

|H()| = 11+2Ln(2)

ou Ln() designe le polynome de Legendre en .

15.5 Modelisation des filtres analogiques

La tension aux bornes de chaque element du circuit et sa TL secrivent :u(t) = Ri(t) ZR(p) = Ru(t) = 1

C

ti(t)dt Zc(p) = 1pC

u(t) = L ddt

i(t) ZL(p) = pLen associant ces dipoles dans la realisation du filtre, et en posant = RC, on obtient pour

les fonctions de transfert, les relations ci-dessus ou leurs combinaisons. Pour les montages

specifiques, veuillez consulter le formulaire.

16 Filtres Numeriques

16.1 Definition

On appelle filtre numerique un systeme utilise pour modifier la distribution frequentielle dun

signal numerique dentree en le transformant en un signal numerique desire en sortie.

Avec le progres en informatique les filtres numeriques sont caracterises par leur : precision,

fiabilite, stabilite, adaptabilite et facilite de commande.

En fait, ce filtre relie la sortie y(kT e) = yk a lentree x(kT e) = xk a chaque instant kT e, Te

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etant la periode dechantillonnage.

yk = Fonction(xk, xk1,...,yk1, yk2,...)

16.2 Filtrage lineaire

Considerons un filtre numerique excite par une entree x(n), et soit y(n), la sortie. Lequation

aux differences reliant la sortie et lentree est :

y(n) +P

k=1

aky(n k) =Mk=0

bkx(n k) (11)x(n) Filtre Numerique y(n)Le filtre presente ici est causal : il construit a linstant n, le signal y(n), a partir des P sorties

passees et des M+1 entrees contemporaines et passees. Comme pour les filtres analogiques, la

sortie dun filtre numerique est le produit de convolution de lentree par sa reponse impulsion-

nelleh

(n

).y(n) = h(n) x(n)y(n) =

p

h(np)x(p) = p

h(p)x(np)La representation frequentielle est donnee pour les signaux echantillonnes, par la transforma-

tion en Z.

16.2.1 Transformee en Z

DefinitionLa transforme en Z peut etre considere comme une generalisation de la transformation de

Fourier a laquelle elle peut sidentifier dans des cas particuliers. La transformee en Z constitue

loutil privilegie pour letude des systemes discrets. Elle joue un role equivalent a celui de la

transformee de Laplace et permet de representer un signal possedant une infinite dechantillons

par un ensemble fini de nombres. Elle est definie pour un signal echantillonne x(n) par :

X(z)=TZ[x(n)]=+

n=x(n)zn

Lien avec la transformee de Fourier

Si on pose z= re

j2

, on a :X(z)=X(rej2)=

+n=

x(n)(rej2)n =+

n=x(n)rnej2n

Pour |r| = 1, on a : X(z) = X()=+

n=x(n)ej2n, qui est la definition de la transformee de

Fourier discrete.

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16.2.2 TZ et Plancherel

H(z) = T Z{h(n)}X(z) = T Z{x(n)}

Y(z) = T Z{y(n)}La relation entree-sortie va secrire alors :

Y(z) = H(z) X(z)en prenant la TZ de la relation (11) on a:

H(z) = Y(z)X(z)

=

M

0bkz

k

1+P

1akzk

= N(z)D(z)

Le gain complexe en Z dun filtre numerique est une fraction rationnelle en z (ou z1).

Les zeros de N(z) sont les zeros du filtre, les zeros de D(z) sont les poles du filtre.

En appelant zoj les zeros et zpi les poles, on a :

H(z) = K zPM Mj=1

(zz0j)P

i=1

(zzpi), zPM est un retard pur, K est un facteur dechelle.

Un filtre numerique est donc decrit a un retard et a un facteur dechelle pres, par la connaissance

de ses zeros et ses poles.

16.3 Classification des filtres numeriques

On les classe en fonction des zeros et des poles.

16.3.1 Filtres non recursifs

yk =Mi=0

aixki Tous les bi sont nuls

16.3.2 Filtres recursifs

yk =Mi=0

aixki M

j=1

bjykj au moins un des bi est non nul (filtre possedant une boucle de

contre-reaction).

16.3.3 Filtres MA ou RIF

Les filtres a moyenne ajustee (MA) ou filtre a reponse impulsionnelle finie (RIF) ne possedent

que des zeros (et un pole multiple en z = 0). La relation dentree-sortie est :

yn =Mk=0

bkx(n k).Ces filtres realisent une moyenne (lissage) de M+1 entrees. Leur reponse implusionnelle est

telle que :

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h(n) =

0 si n < 0

bk si 0 n M0si n > M

; dou la denomination de filtre a reponse impulsionnelle finie. Le

gain complexe en Z est :

H(z) =M0

bkzk =

M

0bkzMk

zM= N(z)

zM. Les zeros sont les M racines de N(z).

16.3.4 Filtres AR ou RII

Les filtres autoregressifs (AR) ou les filtres a reponse impulsionnelle infinie (RII) ne possedent

que des poles, et un zero multiple en z = 0. La relation sortie-entree de ces filtres est :

y(n) = P1

aky(n k) + x(n).La sortie a linstant n est une combinaison lineaire des sorties precedentes (dou leur denomination

de filtres autoregressifs) a laquelle sajoute lentree a linstant n. Ce sont des filtres predicteurs.Le gain complexe de ces filtres sexprime sous la forme :

H(z) = zP

zP+P

1akzPk

= zP

D(z).

Les poles zpj sont les zeros de D(z).

La reponse impulsionnelle de ces filtres est une combinaison lineaire de termes de la forme :

hj(n) = u(n) znpj avec u(n) =

0 n < 0

1 n > 1

Cette reponse impulsionnelle est de duree infinie. On voit egalement que le filtre est stable si

le module de tous les poles est inferieur a lunite.

16.3.5 Filtres numeriques elementaires

Le gain complexe en Z dun filtre numerique est une fraction rationnelle que lon peut decomposer

en element simples qui sont, comme pour les filtres analogiques : Les filtre du 1er ordre:

H1(z) =1

1az1Filtre AR1 :

y(n) ay(n 1) = x(n)Cest un filtre passe-bas pour : 0 a < 1; sa reponse impulsionnelle est de la forme :h(n) = u(n)an.

Il est donc equivalent a un filtre integrateur (filtre RC) de constante de temps R =TE lna .

Cest un filtre passe-haut pour : 1 a 0.Filtre du 2eme ordre :

H2(z) =1

12z1+2z2 =z2

z22z+2Le discriminant du denominateur est : = 2(2 1).Les poles sont alors :

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z1 =

+

2 1 z2 = 2 1Pour 0 < < 1, > 1, |z1| < 1 et |z2| < 1, filtre passe-bas du 2eme ordre.Pour 1 < < 0, > 1, |z1| < 1 et |z2| < 1, filtre passe-haut du 2eme ordre.Pour 0 < < 1 et

|

|< 1, en posant = cos ,les poles sont : z1,2 = e

j donnant un filtre

resonnant.

Ce sont des filtre AR2 definis par la relation dentree-sortie sous la forme :

y(n) = 2y(n 1) 2y(n 2) + x(n)

16.4 Conception dun filtre numerique

Pour construire un filtre numerique, il suffit de determiner les coefficients ak et bk intervenant

dans les equations aux difference reliant lentree et la sortie. On peut dans des cas simples

utiliser les filtres elementaires decrits precedemment, en adaptant les parametres selon le but

desire.

16.5 Restitution

{xk} x(t) =+

k=xk(tkTe) Interpolation lineaire-Restitution par bloqueur-Transformation

H(p) ou H(z) en inverse. Blocage impulsionnel + integrateur dentree

FIN

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Cours Master2 Traitement de Signale