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Cours Mathematiques MP*
Marie-Elisabeth Chevallier
Contents
1 SUITES NUMERIQUES 61 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Suites recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Suites verifiant une relation de recurrente lineaire d’ordre un . . . . . . . 72.3 Suites verifiant une relation de recurrente lineaire double . . . . . . . . . 8
3 Comparaison des suites complexes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 SERIES NUMERIQUES 101 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Series telescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Series a termes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Absolue convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Semi convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Comparaison des sommes et des restes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Applications : Constante d’Euler, Formule de Stirling . . . . . . . . . . . 13
4 Famille sommable de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.1 Ensembles denombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Familles sommables de reels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Famille sommable de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Applications des familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 GROUPES 171 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Sous-groupe engendre par une partie, ordre d’un element . . . . . . . . . . . . . 183 Les groupes Z/nZ et Un. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Groupe symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 ANNEAUX, CORPS, POLYNOMES 231 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Ideal d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Divisibilite dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Les anneaux Z et Z/nZ avec n ∈ N∗, le corps Z/pZavec p premier . . . . . . . . 26
1
4.1 L’anneau Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 L’anneau Z/nZ avec n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Le corps Z/pZ avec p premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Arithmerique de K[X],K corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Cryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1 La methode R S A (Rivest, Shamir, Adleman) 1978 . . . . . . . . . . . . 296.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 INTEGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE 301 Integrales generalisees sur un intervalle de la forme [a,+∞[ . . . . . . . . . . . . 302 Integrabilite sur un intervalle de la forme [a,+∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Integrabilite des fonctions positives sur un intervalle de la forme [a,+∞[ . . . . 314 Integration sur un intervalle I quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Intervalle semi-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Intervalle ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Integration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 ESPACES VECTORIELS 341 Espace vectoriel, algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Familles generatrices, libres, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Produit d’une famille finie d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Somme et somme directe d’une famille finie d’espaces vectoriels . . . . . . . . . 37
4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Sous espaces supplementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Formes lineaires et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4 Equations d’un s.e.v., d’un s.e.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 Applications polynomiales sur Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Hors programme : Sous-algebre monogene d’une K−algebre . . . . . . . . . . . 42
7.1 Morphisme d’evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2 Structure d’une sous-algebre monogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 MATRICES SYSTEMES 441 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.1 Matrices equivalentes et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2 Matrices semblables et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.3 Matrices par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Operations elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Systemes d’equations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 FONCTIONS CONVEXES 501 Partie convexe d’un K espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2
9 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES 531 Sous-espaces stables, polynomes d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.1 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.2 Polynome d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Reduction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.1 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2 Polynome caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Reduction d’un endomorphisme en dimension finie n . . . . . . . . . . . 57
10 FONCTIONS A VALEURS VECTORIELLES 591 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.1 Derivation en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.2 Operations sur les fonctions derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Fonctions de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 Integration des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 Integration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Primitives et integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 Arcs parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 Courbes en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
11 SUITES ET SERIES DE FONCTIONS 671 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.1 Differents modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.2 Conservation des proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.3 par convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.4 par convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1 Differents modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2 Conservation des proprietes par convergence uniforme . . . . . . . . . . . 69
3 Interversion limite-integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 Interversion limite-derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 Approximations des fonctions d’une variable reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
12 ESPACES VECTORIELS NORMES 711 Norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.2 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 Suites d’elements dans un evn, normes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 733 Topologie d’un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1 Voisinage, ouvert, ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2 Adherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Interieur, frontiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Etude locale d’une application, continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3
5 Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 Compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807 Espaces vectoriels normes de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2 Connexite par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3 Series d’un espace vectoriel norme de dimension finie . . . . . . . . . . . 827.4 Serie dans une algebre de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
13 Integrale dependant d’un parametre 831 Continuite sous le signe
∫. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2 Derivation sous le signe∫
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.1 Etude de la fonction Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
14 SERIES ENTIERES 851 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 Serie entiere d’une variable reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1 Propriete de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.2 Fonctions developpables en series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.3 Methode de l’equation differentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4 Developpement en serie entiere des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . 88
3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.2 Fonctions circulaires et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3 Theoreme de relevement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
15 PROBABILITES 911 Espace probabilise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.1 Espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.2 Probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 Probabilite conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943 Variables aleatoires discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.2 Couple de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.4 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.5 Loi de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.6 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.7 Loi geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.8 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.9 Loi hypergeometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Esperance, variance, ecart-type et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.1 Esperance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2 Variance, ecart type et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006 Fonctions generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
16 ESPACES PREHILBERTIENS REELS OU COMPLEXES 1021 Espaces prehilbertiens reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022 Espaces prehilbertiens complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033 Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4
4 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065 Espaces hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
17 ENDOMORPHISME D’UN ESPACE EUCLIDIEN 1081 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082 Endomorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083 Endomorphisme autoadjoint ou symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.2 Reduction des endomorphismes symetriques . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 Formes bilineaires symetriques et formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1 Matrice d’une forme bilineaire symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2 Forme bilineaire symetrique et endomorphisme symetrique . . . . . . . . 1124.3 Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Endomorphismes d’un espace hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Endomorphisme autoadjoint ou hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Endomorphisme unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.4 Reduction des endomorphismes hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
18 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES 1161 Equations lineaires d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.1 Theoreme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161.2 Etude des solutions de l’equation homogene . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.3 Methode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2 Equations lineaires a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.1 Cas ou A est diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.2 Cas ou A est trigonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.3 Utilisation d’une exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 Equations differentielles lineaires scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.1 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.2 Equations lineaires scalaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
19 CALCUL DIFFERENTIEL 1221 Etude locale d’une application, continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2 Applications continument differentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.1 Derivee suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.2 Applications differentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.3 Applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3 Fonctions numeriques continument differentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 Derivees partielles d’ordre k≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265 Diffeomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5
Chapitre 1
SUITES NUMERIQUES
1 Generalites
Axiome de la borne superieure : Toute partie non vide majoree de R admet une bornesuperieure.
Definition 1 Une suite u = (un) a valeurs dans R ou C est dite convergente si
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, |un − l| ≤ ε
Theoreme 2 • Toute suite reelle croissante majoree est convergente.
• Une suite reelle monotone admet toujours une limite finie ou infinie.
Definition 3 Deux suites reelles (un) et (vn) sont dites adjacentes si :1. (un) est croissante2. (vn) est decroissante3. lim(vn − un) = 0
Theoreme 4 Deux suites reelles adjacentes (un) et (vn) convergent vers la meme limite et deplus :
∀n ∈ N, un ≤ vn
Definition 5 Une suite (vn) est extraite de la suite (un) si il existe une application strictementcroissante ϕ de N dans N telle que
∀n ∈ N, vn = uϕ(n)
Definition 6 On dit que l est une valeur d’adherence de la suite (un) si il existe une suiteextraite de (un) qui converge vers l.
Exemple 7 un = (−1)n + 1n, un = sin(nπ
3)
Proposition 8 l est une valeur d’adherence de la suite reelle (un) si et seulement si
∀ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n ≥ N, un ∈]l − ε, l + ε[
l est une valeur d’adherence de la suite (un) si et seulement si ∀ε > 0, ]l − ε, l + ε[ contientune infinite de termes de la suite.Dans le cas d’une suite complexe on remplace ]l − ε, l + ε[ par B(l, ε) = z ∈ C ; |z − l| < ε
Theoreme 9 de Bolzano-Weierstrass :De toute suite bornee reelle ou complexe on peut extraire une sous-suite convergente.Ce qui revient a dire que toute suite bornee reelle ou complexe admet au moins une valeurd’adherence.
Proposition 10 Une suite bornee qui n’admet qu’une valeur d’adherence est convergente.
Proposition 11 Moyenne de Cesaro :Soit (un) une suite reelle et (vn) la suite definie par vn = 1
n
∑nk=1 uk appelee suite des moyennes
de Cesaro .
1. Si (un) converge vers l alors (vn) converge vers l . La reciproque est fausse
2. Si (un) est une suite reelle telle que limun = +∞ alors lim vn = +∞ .
6
2 Suites recurrentes
2.1 Generalites
Soit (un) une suite relle definie par ∀n ∈ N, un+1 = f(un).
Proposition 12 Soit I est un intervalle stable par f c’est a dire tel que f(I) ∈ I et u0 ∈ Ion a :
• ∀n ∈ I, un ∈ I,
• si ∀x ∈ I , f(x) ≤ x alors la suite (un) est decroissante,
• si ∀x ∈ I , x ≤ f(x) alors la suite (un) est croissante,
• si f est croissante sur I alors la suite (un) est monotone,
• si f est decroissante sur I alors les suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones de sens contraire.
Proposition 13 Si la suite (un) converge vers l et f est continue en l alors l est un point fixede f , c’est a dire
f(l) = l
Proposition 14 Supposons f derivable sur l’intervalle I, on a :I stable par fu0 ∈ Il ∈ I, f(l) = l∀x ∈ I, |f ′(x)| ≤ k
⇒ ∀n, |un − l| ≤ kn |u0 − l|
2.2 Suites verifiant une relation de recurrente lineaire d’ordre un
Definition 15 Une suite verifiant une relation de recurrence lineaire d’ordre un du type :
• un+1 = un + r est appelee suite arirhmetique de raison r.
• un+1 = aun est appelee suite geometique de raison a.
• un+1 = aun + b est appelee suite arirhmetico-geometrique.
Proposition 16
1 + 2 + ...+ n =n(n+ 1)
2
Si q 6= 1 alors :
1 + q + ...+ qn =1− qn+1
1− q
Proposition 17 Si ∀n, un+1 = aun + b et l = al + b alors la suite vn = un − l est une suitegeometrique de raison a.
7
2.3 Suites verifiant une relation de recurrente lineaire double
K designe R ou C, soient a et b deux elements de K.
S = (un) ∈ KN | ∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0
Proposition 18 1) S est un K espace vectoriel,
2) soitf : S → K2
u 7→ (u0, u1), f est un isomorphisme d’espace vectoriel donc dimS = 2,
3) (qn) ∈ S ⇔ q est solution de l’equation caracteristique q2 + aq + b = 0.
Theoreme 19 Supposons K = C
• si l’equation caracteristique q2 + aq + b = 0 a deux racines distinctes, q1 et q2 alors(qn1 ) et (qn2 ) forment une base de S et :
S = (αqn1 + βqn2 ) | (α, β) ∈ C2
• si l’equation caracteristique q2 + aq + b = 0 a une racine double q alors(qn) et (nqn) forment une base de S et :
S = (αqn + βnqn) | (α, β) ∈ C2
Theoreme 20 Supposons K = R
• si l’equation caracteristique q2 + aq + b = 0 a deux racines distinctes, q1 et q2 alors(qn1 ) et (qn2 ) forment une base de S et :
S = (αqn1 + βqn2 ) | (α, β) ∈ R2
• si l’equation caracteristique q2 + aq + b = 0 a une racine double q alors(qn) et (nqn) forment une base de S et :
S = (αqn + βnqn) | (α, β) ∈ R2
• si l’equation caracteristique q2 + aq + b = 0 n’a pas de racine reelle mais deux racinescomplexes distinctes q = ρeiθ et q = ρe−iθ alors(ρn cosnθ) et (ρn sinnθ) forment une base de S et :
S = (αρn cosnθ + βρn sinnθ) | (α, β) ∈ R2
3 Comparaison des suites complexes:
Definition 21 Soit (un) et (vn) deux suite de nombres complexes
un = O(vn)⇔ ∃A ∃N : ∀n ≥ N, |un| ≤ A |vn|
un = o(vn)⇔ ∀ε ∃N : ∀n ≥ N, |un| ≤ ε |vn|
un ∼ (vn)⇔ ∀ε ∃N : ∀n ≥ N, |un − vn| ≤ ε |vn|
8
Proposition 22 Si (vn) une suite de nombres non nuls . On definit
αn =unvn
un = O(vn) si et seulement si la suite (|αn|) est majoree.un = o(vn) si et seulement si lim(αn) = 0.un ∼ vn si et seulement si lim(αn) = 1.
Proposition 23 un ∼ vn ⇐⇒ un − vn = o(un)
Proposition 24 un ∼ vn et limun = a ∈ R ∪ +∞,−∞ ⇒ lim vn = a
Proposition 25 Comparaison na , (ln n)b , an , n! avec n ∈ N∗ a et b deux reels positifs1. Si 0 < a1 < a2 alors an1 = o(an2 ) 4. an = o(n!)2. Si a1 < a2 alors na1 = o(na2) 5. Si a > 1 alors nb = o(an)3. (lnn)b = o(na)
Proposition 26 :1. un = o(vn) =⇒ un + vn ∼ vn2. un ∼ vn =⇒ |un| ∼ |vn|3. un ∼ vn et wn ∼ tn =⇒ unwn ∼ vntnOn ne peut pas additionner des equivalents
Proposition 27 un ∼ vn n’entraine pas eun ∼ evn
eun ∼ evn ⇐⇒ lim(un − vn) = 0
Proposition 28 Soit (un) une suite telle que limun = 0 et f une fonction derivable en a telleque f ′(a) 6= 0
f(a+ un)− f(a) ∼ f ′(a)un
sinun ∼ un
ln(1 + un) ∼ un
tanun ∼ un
eun − 1 ∼ un
(1 + un)α − 1 ∼ αun
4 Suites de Cauchy
Hors Programme
Definition 29 Une suite u = (un) est dite de Cauchy si
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, ∀p ≥ n0, |un − up| ≤ ε
Proposition 30 Toute suite convergente est de Cauchy .
Theoreme 31 R et C sont complets, c’est a dire toute suite de Cauchy est conver-gente.
9
Chapitre 2
SERIES NUMERIQUES
K designe R ou C.
1 Generalites
Les notions qui vont suivre s’etendent a des series a valeurs dans un espace vectoriel norme dedimension finie.
1.1 Definitions
Definition 1 Soit (un) une suite d’elements de K.On appelle serie numerique de terme general un, la suite (Sn), notee
∑uk, definie par :
Sn =n∑k=0
uk
• On dit que la serie∑uk converge si la suite (Sn) converge, sinon on dit que la serie∑
uk diverge
• Si il y a convergence la limite l est notee∑∞
k=0 uk , on definit alors le reste d’ordre n,Rn = l − Sn =
∑∞k=n+1 uk
• Deux series sont dites de meme nature si elles sont toutes les deux convergentes outoutes les deux divergentes.
Remarque 2 On ne change pas la nature d’une serie en modifiant un nombre fini de termes.
Exemple 3 1. si q 6= 1,∑n
k=0 qk = 1−qn+1
1−q
|q| < 1⇔∑
qk converge
|q| < 1⇒∞∑k=0
qk =1
1− q
2. La serie harmonique∑
1k
diverge.
Proposition 4 Si la serie∑uk converge alors uk tend vers 0, la reciproque est fausse
(∑
1k).
Proposition 5 1. L’ensemble des series convergentes est un K espace vectoriel.
2. Si K = C,∑uk converge si et seulement si
∑Re(uk) et
∑Im(uk) convergent. Dans ce cas,
∑uk
converge.
10
1.2 Series telescopiques
Proposition 6 Soit (un) une suite d’elements de K.∑(uk+1 − uk) converge⇔ (un) converge
La serie∑
(uk+1 − uk) est appelee serie telescopique associee a la suite (un).
Exemple 7∑
1k(k−1)
converge.
2 Series a termes positifs
Definition 8 Une serie∑uk est dite a termes positifs si pour tout k, uk est un reel positif.
Proposition 9 Une serie∑uk a est termes positifs si et seulement si la suite (Sn) est
croissante
Proposition 10 Une serie∑uk a termes positifs est convergente si et seulement si
la suite (Sn) est majoree et dans ce cas
∞∑k=0
uk = limSn = supSn
Proposition 11 Comparaison Soient (un) et (vn) deux suites de nombres reels positifs
• Si ∀n ∈ N, un ≤ vn , ou si un = O(vn):∑vk converge ⇒
∑uk converge∑
uk diverge ⇒∑
vk diverge
• Si un ∼ vn , alors les series sont de meme nature.
Exemple 12∑
1k2
converge.
Proposition 13 Comparaison avec une integraleSoit f est une fonction continue par morceaux et decroissante de R+ dans R+
• la serie de terme general ∫ n
n−1
f(t)dt− f(n)
est convergente.
• la serie∑f(n) converge si et seulement si la suite
(∫ n1f(t)dt
)n
admet une limite
Exemple 14 Series de Riemann :∑ 1
kαconverge⇔ α > 1
Proposition 15 Comparaison avec une serie geometriqueRegle de d’Alembert : supposons que ∀ n ∈ N, un > 0 et que lim un+1
un= l , alors on a
l < 1⇒∑
uk converge
l > 1⇒∑
uk diverge
11
Exemple 16∑
n!nn
Remarque 17 1. Si l = 1 on ne peut rien dire : series de Riemann
2.∑un peut converger sans que un+1
unait une limite (u2n = 1
n2 et u2n+1 = 1n3 ).
Proposition 18 Comparaison avec une serie de Riemann a l’aide de la suite (nγun)Serie de Bertrand (Hors Programme) :∑ 1
nα(lnn)βconverge⇔ (α > 1) ou (α = 1 et β > 1)
3 Series a termes complexes
3.1 Absolue convergence
Definition 19 On dit que la serie∑uk est absolument convergente lorsque
∑|uk| est
convergente.
Theoreme 20 Toute serie absolument convergente est convergente, de plus∣∣∣∣∣∞∑
k=n0
uk
∣∣∣∣∣ ≤∞∑
k=n0
|uk|
Exemple 21 ∑ cosnα
n2,
∑ zn
n!
On definit pour z ∈ C , exp(z) =∑∞
n=0zn
n!
3.2 Semi convergence
Definition 22 Une serie convergente sans etre absolument convergente est dite semi conver-gente.
Definition 23 La serie∑uk a termes reels est dite alternee si ∀k ≥ n0, uk+1uk ≤ 0.
Theoreme 24 Critere special des series alternees :∑uk une serie alternee
(|uk|) decroissantelimuk = 0
⇒
∑uk converge
∀n, |Rn| ≤ |un+1|sgn(Rn) = sgn(un+1)
En particulier, sous les hypotheses, le signe de la somme est le signe du premier terme.
Exemple 25 Serie de Riemann alternee :
0 < α ≤ 1⇒∑ (−1)n
nαest semi convergente
Attention : On peut avoir un ∼ vn sans que les series soient de meme nature.
Exemple 26 un = (−1)n√n
et un = (−1)n√n
+ 1n
12
3.3 Comparaison des sommes et des restes
Theoreme 27 • Soient (un) une suite complexe et (vn) suite de nombres reels positifssi un = O(vn) , alors :
∑vk convergente ⇒
∞∑k=n+1
uk = O
(∞∑
k=n+1
vk
)∑vk diverge ⇒
n∑k=0
uk = O
(n∑k=0
vk
)
• si un = o(vn) , on a les memes resultats en remplacant O par o.
• Soient (un) et (vn) deux suites de nombres reels positifs si un ∼ vn , alors :
en cas de convergence :∞∑
k=n+1
uk ∼∞∑
k=n+1
vk
en cas de divergence :n∑k=0
uk ∼n∑k=0
vk
Exemple 28 1. Si (un+1 − un) tend vers l 6= 0 alors un ∼ nl
2. Theoreme de Cesaro: Si (un) tend vers l alors (u1+..+un)n
tend vers l.
Exemple 29 Estimation du reste d’une serie positive convergenteSoit α > 1 on a
1
nα∼∫ n
n−1
dt
tα
et
un ∼1
nα⇒ Rn ∼
1
(α− 1)nα−1
On a le meme resultat avec les comparaisons O et o
3.4 Applications : Constante d’Euler, Formule de Stirling
Theoreme 30 Il existe une constante C appelee constante d’Euler et une suite (εn) tendantvers 0 telle que :
n∑k=1
1
k= lnn+ C + εn
Theoreme 31 Formule de Stirling :
n! ∼ nne−n√
2πn
4 Famille sommable de nombres complexes
4.1 Ensembles denombrables
Definition 32 1. Un ensemble est dit denombrable s’il est en bijection avec N.
13
2. Un ensemble est fini ou denombrable s’il est en bijection avec une partie de N.
Proposition 33 1. Les parties infinies de N sont denombrables.
2. Un produit cartesien fini d’ensembles denombrables est denombrable.
3. Une reunion finie ou denombrable d’ensembles finis ou denombrables est denombrable.
4. Les ensembles N2, Z, Q sont denombrables.
5. L’ensemble R n’est pas denombrable.
4.2 Familles sommables de reels positifs
Definition 34 Une famille (ui)i∈I de reels positifs indexes par un ensemble denombrableest dite sommable si l’ensemble des sommes∑
i∈F
ui ou F decrit une partie finie de N
est majore. Dans ce cas, la somme de la famille (ui) est la borne superieure de l’ensembleprecedent.Si la famille n’est pas sommable, on dit que sa somme est +∞.Dans tous les cas, la somme est notee ∑
i∈I
ui
Theoreme 35 sommation par paquetsSi (In)n∈N est une partition de I et (ui)i∈I une famille de reels positifs, alors la famille (ui)i∈Iest sommable si et seulement si
• pour tout entier n, la famille (ui)i∈In est sommable.
• la serie∑(∑
i∈In ui)
converge.
Dans ce cas: ∑i∈I
ui =∞∑n=0
(∑i∈In
ui
)
4.3 Famille sommable de nombres complexes
Definition 36 Une famille (ui)i∈I de nombres complexes indexes par un ensemble denombrableest dite sommable si la famille (|ui|)i∈I l’est.
Proposition 37 Soit (ui)i∈I une famille sommable
1. Si la famille est reelle alors les familles(u+i
)i∈I et
(u−i)i∈I sont sommables ou u+
i =
max(ui, 0) et u−i = −min(ui, 0). On appelle somme de la famille le nombre∑i∈I
u+i −
∑i∈I
u−i
14
2. Si la famille est complexe alors les familles (Re(ui)i∈I et (Im(ui)i∈I sont sommables. Onappelle somme de la famille le nombre∑
i∈I
Re(ui) +∑i∈I
Im(ui)
La somme de la famille est notee ∑i∈I
ui
Proposition 38 L’ensemble des familles de nombres complexes sommables indexees par I estun C espace vectoriel. l’application qui a une famille sommable associe sa somme est lineaire.
Proposition 39 Lorsque I = N,
• la famille (ui)i∈I est sommable si et seulement si la serie∑ui est absolument convergente.
• dans ce cas, ∀σ bijection de N dans N, la famille(uσ(i)
)i∈N est sommable et on a :
∑i∈N
ui =∞∑i=0
ui =∞∑i=0
uσ(i)
4.4 Applications des familles sommables
4.4.1 Theoreme de Fubini
Theoreme 40 La famille (up,q)(n,m)∈N2 de reels positifs est sommable si et seulement si
• ∀q ∈ N la serie∑
p up,q converge
• la serie∑
q
∑∞p=0 up,q converge.
Dans ce cas∞∑q=0
∞∑p=0
up,q =∞∑p=0
∞∑q=0
up,q
Remarque 41 On peut intervertir les roles joues par p et q.
Theoreme 42 de Fubini Si la famille (up,q)(n,m)∈N2 de nombre complexe est sommable alorsles series
∑∞p=0 up,q ;
∑∞q=0
∑∞p=0 up,q ;
∑∞q=0 up,q ;
∑∞p=0
∑∞q=0 up,q convergent et
∞∑q=0
∞∑p=0
up,q =∞∑p=0
∞∑q=0
up,q
Exemple 43 On appelle fonction ξ de Riemann la fonction definie sur ]1,+∞[ par :
ξ(x) =∞∑k=1
1
kx
On a :∞∑n=2
(ξ(n)− 1) = 1∞∑n=2
(−1)n (ξ(n)− 1) =1
2
15
4.4.2 Produit de Cauchy
Definition 44 On appelle produit de Cauchy des deux series complexes∑an et
∑bn la
serie de terme general :
cn =∑p+q=n
apbq
Theoreme 45 Si∑an et
∑bn sont deux series absolument convergentes alors le produit de
Cauchy est absolument convergent et on a :
∞∑n=0
cn =
(∞∑n=0
an
)(∞∑n=0
bn
)
Remarque 46 Si les series ne sont pas absolument convergentes on ne peut rien dire.
1. Le produit de Cauchy de la serie semi-convergente∑ (−1)n√
npar elle meme est une serie
divergente.
2. Le produit de Cauchy de la serie semi-convergente∑ (−1)n
npar elle meme est une serie
convergente.
Corollaire 47 Si z ∈ C alors
exp(z + z′) = exp(z) exp(z′)
16
Chapitre 3
GROUPES
1 Rappels
1.1 Groupe
Definition 1 Soit E un ensemble non vide,une loi de composition interne sur E est une application de E × E dans E.
Definition 2 Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne ∗, on dit que (E,*)est un groupe si
1. ∗ est associative,
2. ∗ admet un element neutre : ∃e ∈ E ∀x ∈ E e ∗ x = x ∗ e = x,
3. tout element est inversible (admet un symetrique) : ∀x ∈ E ∃x′ ∈ E x ∗ x′ = x′ ∗ x = e,
Si de plus la loi est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abelien.
Definition 3 Soit E un groupe fini. On appelle ordre de E le cardinal de E.
Proposition 4 Soit (E, ∗) un groupe :
1. l’element neutre est unique,
2. le symetrique de tout element x est unique, on le notera x−1 ou −x,
3. tous les elements de E sont reguliers, (x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z) et (y ∗ x = z ∗ x⇒ y = z),
4. ∀(x, y) ∈ E2 (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1
Definition 5 Soit (E, ∗) un groupe et H une partie de E. On dit que H est un sous groupede E si H est stable pour ∗ c’est a dire ∀(x, y) ∈ H2 x ∗ y ∈ H et H muni de la loi induitepar ∗ est un groupe.
Proposition 6 Si H est un sous groupe de E alors l’element neutre de H est le meme quecelui de E.
Proposition 7 Soit (E, ∗) un groupe et H une partie de E
H est un sous− groupe⇔
1) e ∈ H (H 6= ∅)2) ∀x ∈ H x−1 ∈ H3)∀(x, y) ∈ H2 x ∗ y ∈ H
H est un sous− groupe⇔
1) H 6= ∅2)∀(x, y) ∈ H2 x ∗ y−1 ∈ H
Exemple 8 e et E sont des sous-groupes de E
Proposition 9 L’intersection d’une famille non vide de sous-groupes d’un groupe est un sous-groupe
Proposition 10 Soit H1 et H2 deux sous-groupes d’un groupe E :
H1 ∪H2 sous-groupe de E ⇔ H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1
17
1.2 Morphisme de groupes
Definition 11 Soit (E, ∗) et (F, T ) 2 groupes et f une application de E dans F .On dit que f est un morphisme de groupe si
∀(x, y) ∈ E2 f(x ∗ y) = f(x)Tf(y)
• Si de plus f est bijective on dit que f est un isomorphisme,
• Si de plus E = F on dit que f est un endomorphisme,
• Si de plus f est bijective et E = F on dit que f est un automorphisme.
Exemple 12 Automorphisme interieur : ϕa(g) = aga−1
Proposition 13 Si f est un morphisme de groupe de (E, ∗) vers (F, T ) alors, en notant el’element neutre de E et e′ l’element neutre de F
f(e) = e′
∀x ∈ E f(x−1) = [f(x)]−1
Proposition 14 1. La composee de deux morphismes de groupes est un morphisme degroupe.
2. La reciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.
Proposition 15 L’ensemble des automorphismes d’un groupe E est un groupe note Aut(E).
Proposition 16 Soit (E, ∗) et (F, T ) 2 groupes, e l’element neutre de E et e′ celui de F , soitf est un morphisme de groupes E dans F .
1. L’image par f d’un sous-groupe de E est un sous-groupe de F ,
2. l’image reciproque par f d’un sous-groupe de F est un sous-groupe de E,
3. l’ensemble des antecedents de e′ , f−1(e′) appele noyau de f et note ker f est un sousgroupe de E,
4. l’image de E, f(E) est un sous-groupe de F
5. f est injectif si et seulement si ker f = e.
2 Sous-groupe engendre par une partie, ordre d’un element
Dans tout ce chapitre (G, ∗) designe un groupe, ∗ sera notee soit .(notation multiplicative) soit+ (notation additive)
Theoreme-definition 17 Soit S une partie de G, l’intersection de tous les sous-groupes con-tenant S est un sous-groupe de G appele sous groupe engendre par S, c’est le plus petitsous-groupe de G contenant S, il est note < S >.
Notation 18 Soit x ∈ G et n ∈ N,
• en notation multiplicative, on note :x0 l’element neutre, pour n ∈ N∗ , xn le produit x.x.....x ou x apparaıt n fois, de plus(x−1)n = (xn)−1 , on notera x−n cet element,
18
• en notation additive, on note :0x l’element neutre, pour n ∈ N∗ , nx la somme x + x + ... + x ou x apparaıt n fois, deplus n(−x) = −(nx) , on notera −nx cet element.
Proposition 19 < S > est forme de tous les elements de G qui peuvent s’ecrire comme produitd’elements de S ou d’inverse d’elements de S. Et on a :
< x >= xn, n ∈ Z en notation multiplicative
< x >= nx, n ∈ Z en notation additive
Definition 20 On dit qu’une partie S de G engendre G si le sous groupe engendre par S estG. On dit encore que S est une partie generatrice de G.
Definition 21 G est dit monogene s’il est engendre par un element x.Si de plus G est fini alors on dit que G est cyclique.
Exemple 22 1) (nZ,+) , 2) Un = z ∈ C, zn = 1 , (Un, .)
Theoreme 23 Tout sous-groupe de (Z,+) est monogene, c’est a dire de la forme nZ avecn ∈ N, et n est unique.
Theoreme-definition 24 Soit x un element de G, et soit ϕx l’application definie suivant lanotation par
ϕx : Z → < x >n 7→ xn
ouϕx : Z → < x >
n 7→ nx
ϕx est un morphisme de groupe. Il existe un unique p ∈ N tel que kerϕx = pZ.
1. Si p = 0 alors < x > est infini et on dit que x est d’ordre infini,
2. si p 6= 0 alors < x >= e, x, ..., xp−1 et les elements cites sont distincts, < x > a pelements, on dit que x est d’ordre p et on note o(x) = p
o(x) = card (< x >)
Remarque 25 Supposons x d’ordre fini, o(x) est le plus petit entier n non nul tel que xn = e,
xn = e⇔ o(x)|n
Proposition 26 Tout groupe monogene infini est isomorphe a Z.
Proposition 27 Si G est un groupe commutatif fini alors l’ordre de tout element de G divisel’ordre de G.
3 Les groupes Z/nZ et Un.
Dans toute la suite on supposera n ∈ N∗.
Definition 28 On definit sur Z la relation de congruence modulo n par
x ≡ y [n]⇐⇒ x− y ∈ nZ
19
Proposition 29 La relation de congruence est une relation d’equivalence.L’ensemble des classes d’equivalence est note Z/nZ. Z/nZ = 0, 1, ..., n− 1 et les elementscites sont distincts.On dit que 0, 1, ..., n− 1 sont les representants canoniques des classes modulo n.
Proposition 30 La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition
x ≡ y [n] et x′ ≡ y′ [n] =⇒ x+ x′ ≡ y + y′ [n]
Theoreme 31 On definit sur Z/nZ une loi + par x+ y = x+ y,
1. (Z/nZ,+) est un groupe commutatif.
2. L’application canoniqueπn : Z → Z/nZ
k 7→ kest un morphisme surjectif, de noyau nZ.
Remarque 32 1. 0 est l’element neutre pour +
2. ∀k ∈ Z, −k = −k
3. ∀(k, k′) ∈ Z2, kk′ = kk′.
Proposition 33 (Z/nZ,+) est un groupe cyclique et
k engendre Z/nZ⇔ k ∧ n = 1.
Definition 34 On appelle ϕ(n) le nombre d’elements de Z/nZ qui engendrent Z/nZ.L’application de N dans N, qui a n associe ϕ(n) est appelee indicateur d’Euler.
Proposition 35 Soit (G, .) un groupe et soit x ∈ G d’ordre n,
l’applicationϕ : Z/nZ → < x >
k 7→ xkest bien definie et est un isomorphisme de (Z/nZ,+)
sur (< x >, .).
Corollaire 36 L’applicationϕ : Z/nZ → Un
k 7→ e2ikπn
est un isomorphisme de (Z/nZ,+) sur
Un.
Corollaire 37 Tout groupe cyclique de cardinal n est isomorphe a Z/nZ ainsi qu’aUn.
Corollaire 38 Soit G un groupe cyclique d’ordre n engendre par x, soit k ∈ Z,
xk engendre G ⇔ k ∧ n = 1
e2ikπn engendre Un ⇔ k ∧ n = 1
le nombre de generateurs de G ainsi que de Un est ϕ(n)
20
4 Groupe symetrique
Soit E un ensemble fini et soit n ∈ N∗, la loi o est par abus notee .
Definition 39 L’ensemble des bijections de E dans lui meme est un groupe muni de la loi oappele groupe symetrique, on le note SE.Les bijections de E dans lui meme sont encore appelees permutations.Lorsque E = 1, ....n, on note SE = Sn.
Proposition 40 Si le cardinal de E est n alors (SE, o) et (Sn, o) sont isomorphes.
Proposition 41 Sn a pour cardinal n!.
Definition 42 On appelle p-cycle ou cycle d’ordre p, tout element σ de Sn tel qu’il existedes elements distincts de E : a1, ...ap verifiant :
∀x /∈ a1, ...ap σ(x) = x∀i ∈ 1, .., p− 1 σ(ai) = ai+1
σ(ap) = a1
On note σ = (a1, ...ap). On dit que a1, ...ap est le support de σ.Un cycle d’ordre 2 est appele transposition.
Proposition 43 Si σ = (a1, ...ap) alors o(σ) = p et σ−1 = (ap, ...a1).
Proposition 44 Si σ = (a1, ...ap) et σ′ ∈ Sn alors σ′σσ′−1 = σ′(a1, ...ap)σ′−1 = (σ′(a1), ..., σ′(ap)).
Proposition 45 Si n ≥ 3 alors Sn n’est pas commutatif.
Theoreme 46 Toute permutation est produit de transpositions. Sn est engendre par lestranspositions.
Exemple 47 (a1, ...ap) = (a1, a2)(a2, a3)....(ap−1, ap).
Theoreme 48 Tout element de Sn se decompose de maniere unique a l’ordre des facteurs prescomme produit de cycles a supports deux a deux disjoints.
Definition 49 Soit σ ∈ Sn, on dit que le couple (i, j) presente une inversion si
i < j et σ(i) > σ(j)
On note I(σ) le nombre d’inversion de σ. On appelle signature de σ le nombre ε(σ) = (−1)I(σ)
.On appelle permutation paire une permutation de signature +1 et permutation impaireune permutation de signature −1.
Proposition 50
ε(σ) =∏
1≤i<j≤n
σ(j)− σ(i)
j − i
Proposition 51 ∀(i, j) ∈ 1, ...., n2 avec i 6= j on a ε((i, j)) = −1
Theoreme 52 La signature est un morphisme du groupe (Sn, o) dans (−1, 1,×).
21
Proposition 53 Si σ = τ1...τp produit de transpositions alors ε(σ) = (−1)p.
Exemple 54 ε((a1, ...ap)) = (−1)p−1
Definition 55 On appelle groupe alterne le noyau de la signature et on le note An.
An = ker ε = σ ∈ Sn | ε(σ) = 1
Proposition 56 Soit τ ∈ Sn tel que ε(τ) = −1, l’ensemble des permutations impaires estστ | σ ∈ An = Anτ
Proposition 57 An et l’ensemble des permutations impaires ont meme cardinal n!2
.
22
Chapitre 4
ANNEAUX, CORPS, POLYNOMES
1 Rappels
1.1 Anneaux
Definition 1 Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de compositions internes + et ×,on dit que (A,+,×) est un anneau si
1. (A,+) est un groupe commutatif2. × est associative3. × possede un element neutre 1A4. × est distributive par rapport a +
L’anneau est dit commutatif si × est commutative.
Notation L’element neutre de (A,+) est note 0A ou 0 si il n’y a pas de risque de confusion.
Proposition 2 Soit (A,+,×) un anneau.
1. Pour tout x de A on a 0A × x = x× 0A = 0A.
2. Pour tout x et y de A on a −(x× y) = (−x)× y = x× (−y)
Definition 3 Soit (A,+,×) un anneau et B une partie de A, on dit que B est un sous-anneaude A si
1. B est un sous-groupe de (A,+)2. B est stable pour ×3. 1 ∈ B
Proposition 4 Toute intersection de sous-anneaux est un sous-anneau.
Definition 5 Soit (A,+,×) et (A′,+′,×′) 2 anneaux et f une application de A dans A′.On dit que f est un morphisme d’anneaux si
1. f est un morphisme de groupes2. f(1A) = 1A′3. ∀(x, y) ∈ A2 f(x× y) = f(x)×′ f(y)
Si de plus f est bijective on dit que f est un isomorphismeSi de plus A = A′ on dit que f est un endomorphismeSi de plus f est bijective et A = A′ on dit que f est un automorphisme
Proposition 6 La composee de deux morphismes d’anneaux est un morphisme d’anneaux.La reciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.
Proposition 7 Soit (A,+,×) et (A′,+′,×′) 2 anneaux et f un morphisme d’anneaux de Adans A′
1. l’image par f d’un sous-anneau de A est un sous-anneau de A′.2. l’image reciproque par f d’un sous-anneau de A′ est un sous-anneau de A.
23
Definition 8 Un anneau A est dit integre si
∀(x, y) ∈ A2, xy = 0⇒ x = 0 ou y = 0
Exemple 9 (Mn(K),+,×) , (F(X,R),+,×) ne sont pas integres.
Notation Soit (A,+, .) un anneau, n ∈ N et x ∈ A,on pose nx = 0A si n = 0 et nx = x+ (n− 1)x si n ≥ 1 et (−n)x = −(nx),de meme on pose xn = 1A si n = 0 et xn = xxn−1 si n ≥ 1.
Proposition 10 Si (A,+, .) est un anneau et n ∈ N∗∀(x, y) ∈ A2 tels que xy = yx on a :
(x+ y)n =n∑k=0
(n
k
)xkyn−k.
xn − yn = (x− y)
(n−1∑k=0
xkyn−1−k
)
1.2 Corps
Definition 11 Soit K un ensemble muni de deux lois de compositions internes + et . ,on dit que (K,+, .) est un corps si :
1. (K,+, .) est un anneau,2. tout element non nul de K est inversible.
Si de plus la loi × est commutative on dit que le corps est commutatif.
Definition 12 Soit (K,+,×) un corps et K1 une partie de K , on dit que K1 est un sous-corpsde K si :
1. (K1,+) est un sous-groupe de (K,+),2. (K∗1 ,×) est un sous-groupe de (K∗,×).
Definition 13 Soit (K,+,×) et (K ′,+′,×′) deux corps,une application f de K dans K ′ est appelee morphisme de corps si f est un morphismed’anneaux.
Proposition 14 Tout anneau fini integre est un corps.
2 Ideal d’un anneau commutatif
Definition 15 On appelle ideal I d’un anneau commutatif A toute partie de A verifiant :
1. I est un sous-groupe additif de A2. ∀(a, i) ∈ A× I, ai ∈ I
Proposition 16 Toute intersection d’une famille d’ideaux est un ideal.
Exemple 17 A = suites reelles bornees et B = suites reellesI = suites ayant pour limite 0 est un ideal de A mais pas de B.
24
Proposition 18 La somme
I + J = i+ j | (i, j) ∈ I × J
de deux ideaux I et J est un ideal. C’est le plus petit ideal contenant I et J .
Proposition 19 L’image reciproque par un morphisme d’anneau de tout ideal de l′ensembled’arrivee est un ideal de l′ensemble de depart.
Proposition 20 Le noyau d’un morphisme d’anneau est un ideal.
Proposition 21 Soit a un element de A. L’ensemble
aA = au | u ∈ A
est le plus petit ideal de A contenant a on l’appelle ideal engendre par a, on le note aussi(a).
Definition 22 On appelle ideal principal de A tout ideal de la forme aA ou a ∈ A.
Remarque 23 Soit (a, b) ∈ A2, le plus petit ideal contenant a et b est aA+ bA.
Definition 24 Un anneau commutatif est dit principal si tout ideal est principal.
3 Divisibilite dans un anneau commutatif
Definition 25 1. On pose
A∗ = a ∈ A | ∃b ∈ A ab = 1 = U(A)
On dit qu’un element de A est inversible ou une unite de A s’il est dans A∗.2. On dit que deux elements x et y de A sont associes, si il existe un element u de A∗ tel quey = ux.
Remarque 26 Si x est inversible alors x× y = x× z ⇒ y = z.
Remarque 27 a ∈ A∗ ⇔ aA = A
Proposition 28 (A∗,×) est un groupe .
Definition 29 Soit (a, b) ∈ A2,on dit que a divise b et on note a|b si il existe c ∈ A tel que b = ac.
Proposition 30 Soit (a, b) ∈ A2,a|b⇔ bA ⊂ aA
Remarque 31 Si u ∈ A∗ et a ∈ A alors u|a .
25
4 Les anneaux Z et Z/nZ avec n ∈ N∗, le corps Z/pZavec
p premier
4.1 L’anneau ZTheoreme 32 Z est un anneau principal.Soit I un ideal de Z, il existe un unique n ∈ N tel que I = nZ .
Definition 33 Soit A un anneau commutatif, l’application
ϕ : Z → Ak 7→ k1A
est un morphisme d’anneau, son noyau est un ideal, il existe donc un unique n ∈ N tel quekerϕ = nZ .n est appele caracteristique de A et est note carA.
kerϕ = carA Z
Proposition 34 La caracteristique d’un corps est soit nulle soit un nombre premier.
Theoreme 35 Soient (a, b) ∈ Z2, d = a ∧ b et m = a ∨ b
aZ+bZ = dZaZ∩bZ = mZ
Corollaire 36 Soient (a, b) ∈ Z2, si d = a ∧ b alors ∃(u, v) ∈ Z2 tels que d = au+ bv.
Theoreme 37 de Bezout :Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si ∃(u, v) ∈ Z2 tels que :
1 = au+ bv
Theoreme 38 de Gauss : Soit (a, b, c) ∈ Z3,
(a ∧ b = 1 et a|bc )⇒ a|c
4.2 L’anneau Z/nZ avec n ∈ N∗
Theoreme 39 La relation de congruence modulo n est compatible avec la multiplication dansZ, on peut donc definir sur Z/nZ une loi × par k × k′ = kk′ .(Z/nZ,+,×) est un anneau commutatif de caracteristique n.
Theoreme 40 Le groupe (Z/nZ)∗ multiplicatif des elements inversibles de Z/nZ est :
(Z/nZ)∗ = k | k ∧ n = 1 = generateurs de(Z/nZ,+)
son cardinal est ϕ(n) ou ϕ est l’indicatrice d’Euler et
∀k ∈ (Z/nZ)∗ ,(k)ϕ(n)
= 1
Theoreme 41 Soit (n,m) ∈ (N∗)2,l’ensemble Z/nZ×Z/mZ est naturellement un anneau pour les lois addition et multiplicationproduit.
26
Theoreme 42 Chinois : Soit (n,m) ∈ (N∗)2 tel que n ∧m = 1.Notons πk la projection canonique sur Z/kZ, l’application
ϕ : Z/nmZ → Z/nZ×Z/mZπnm(k) 7→ (πn(k), πm(k))
est bien definie et est un isomorphisme d’anneau.
Corollaire 43 theoreme des restes chinois :
Soient n etm deux entiers positifs premiers entre eux, ∀(a1,a2) ∈ Z2, le systeme de congruence
x ≡ a1 [n]x ≡ a2 [m]
admet une solution particuliere k1 et l’ensemble des solutions est πnm(k1) = k1 +knm | k ∈ Z
Remarque 44 Le resultat se generalise a n1, ..., nr entiers premiers entre eux deux a deux.
Remarque 45 A l’aide de Bezout, on peut trouver une solution particuliere aux systemes :k1 ≡ 0 [n]k1 ≡ 1 [m]
,
k2 ≡ 1 [n]k2 ≡ 0 [m]
, puis au systeme :
k ≡ a1 [n]k ≡ a2 [m]
.
Proposition 46 Proprietes de l’indicatrice d’Euler :1) soient n et m deux entiers positifs premiers entre eux, ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m),
2) soit p un nombre premier, ϕ(pα) = pα − pα−1 = pα(
1− 1p
),
3) si n = pα11 .....p
αrr avec pi premiers deux a deux distincts alors
ϕ(n) = nr∏i=1
(1− 1
pi
)
4.3 Le corps Z/pZ avec p premier
Theoreme 47 Soit n ∈ N∗, on a equivalence entre :
1. n est premier,
2. l’anneau (Z/nZ) est un corps,
3. l’anneau Z/nZ est integre.
Proposition 48 Soit p premier, le corps Z\pZ est de caracteristique p.
Proposition 49 Petit theoreme de Fermat : Soit p premier, on a :
∀α ∈ (Z/pZ) \0, αp−1 = 1
∀α ∈ (Z/pZ) , αp = α
c’est a dire :
∀k ∈ Z\pZ, kp−1 ≡ 1 [p]
∀k ∈ Z, kp ≡ k [p]
27
5 Arithmerique de K[X ],K corps commutatif
Definition 50 Un polynome est dit normalise s’il est nul ou unitaire.
Theoreme 51 K[X] est un anneau principal. Tout ideal admet un unique generateur nor-malise.
Remarque 52 Z[X] n’est pas un anneau principal,I = 2P +XQ, (P,Q) ∈ Z[X]2 = 2Z[X] +XZ[X] n’est pas principal.
Theoreme 53 Soient (P,Q) ∈ (K[X]\0)2,le plus petit commun multiple de P et Q est l’unique generateur normalise de PK[X] ∩QK[X],le plus grand commun diviseur de P et Q est l’unique generateur normalise de PK[X] +QK[X],
M = P ∨Q⇔M normalise et MK[X] = PK[X] ∩QK[X]
D = P ∧Q⇔M normalise et DK[X] = PK[X] +QK[X]
Corollaire 54 Si D = P ∧Q alors si il existe un couple (U, V ) ∈ K[X]2 tel que
D = UP + V Q
Corollaire 55 Theoreme de Bezout :Les polynomes P et Q sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple (U, V ) ∈K[X]2 tel que
UP + V Q = 1
Corollaire 56 Soit (P,Q,R) ∈ K[X]3, Si P et Q sont premiers entre eux et si P divise QRalors P divise R.
Proposition 57 Si les polynomes P etQ sont premiers entre eux et non constants alors il existeun unique couple (U, V ) ∈ K[X]2 tel que UP + V Q = 1 avec degU < degQ et deg V < degP
6 Cryptographie
La cryptographie est l’etude des techniques mathematiques visant a assurer certains aspects dela securite de l’information comme :
• la confidentialite
• l’ integrite des donnees
• l’authentification de l’expediteur
Un message peut etre transforme en une suite de nombres compris entre 0 et n avec n assezgrand.
Le probleme de la cryptographie a clef publique se presente lorsque un individu A veuts’assurer la confidentialite des messages qu’il recoit.
On va chercher a satisfaire les points suivants :
28
• A dispose d’une fonction de cryptage qu’il rend publique :
f : Z/nZ → Z/nZx 7→ y
L’individu B voulant envoyer le message x a A transmettra y
• il doit etre impossible pour le reste de la population de retrouver f−1 c’est a dire deretrouver x en un temps raisonnable en connaissant y et f .
• A dispose d’une fonction de decryptage qu’il garde secrete g = f−1:
g : Z/nZ → Z/nZy 7→ x
6.1 La methode R S A (Rivest, Shamir, Adleman) 1978
C’est le systeme a clef publique le plus utilise.
• A choisit deux grands nombres premiers p et q
• A calcule n = pq puis m = ϕ(n) = ϕ(p)ϕ(q) = (p− 1)(q − 1)
• A choisit un entier e entre 1 et m premier avec m.
• A calcule l’unique entier d compris entre 1 et m tel que ed ≡ 1 [m]
• A publie la clef publique (n, e) et garde sa clef secrete d.
Montrer que les fonctions f et g sont inverses l’une de l’autre
f : Z/nZ → Z/nZx 7→ xe
;g : Z/nZ → Z/nZ
y 7→ yd
f sera la fonction de cryptage et g la fonction de decryptage.
6.2 Algorithmes
• Euclide
• Exponentiation rapide :
• RSA
29
Chapitre 5
INTEGRATION SUR UN INTERVALLE
QUELCONQUE
Les fonctions sont ici continues par morceaux et a valeurs dans K ou K = R ou C
1 Integrales generalisees sur un intervalle de la forme
[a,+∞[
Definition 1 On dit que l’integrale∫ +∞a
f(t)dt est convergente si la fonction
x 7→∫ x
a
f(t)dt
admet une limite finie en +∞. Dans ce cas, on note∫ +∞a
f(t)dt cette limite.
Exemple 2 1. l’integrale∫∞
0t 7→ e−t est convergente et∫ ∞
0
e−t = 1
2. Integrales de Riemann : Soit α un reel strictement positif,∫ ∞1
1
xαest convergente⇔ α > 1
et ∫ ∞1
1
xαdx =
1
α− 1
Proposition 3 Linearite L’ensemble E des applications continues par morceaux sur [a,+∞[telles que l’integrale
∫ +∞a
f(t)dt converge est un espace vectoriel.
L’application de E dans K, f 7→∫ +∞a
f(t)dt est lineaire.
Proposition 4 Positivite Si f ≥ 0 alors∫ +∞a
f(t)dt ≥ 0, et par consequent∣∣∣∣∫ +∞
a
f(t)dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ +∞
a
|f(t)|dt
Proposition 5 Si f est continue et si l’integrale∫ +∞a
f(t)dt converge alors
x 7→∫ +∞
x
f(t)dt
est derivable de derivee −f(x)
30
2 Integrabilite sur un intervalle de la forme [a,+∞[
Definition 6 Une fonction f est dite integrable sur [a,+∞[ si∫ +∞a|f(t)|dt converge. On dit
aussi que l’integrale est absolument convergente.
Theoreme 7 Si f est dite integrable sur [a,+∞[ alors l’integrale∫ +∞a
f(t)dt converge.
Mais attention la reciproque est fausse, exemple : I = [1,+∞[ et f(x) = sinxx
Remarque 8 Il existe des fonctions integrables sur [0,+∞[ et non borneespar exemple l’application f affine par morceaux continue sur [2,+∞[ definie par :f(n− 1
n3 ) = f(n+ 1n3 ) = 0, f(n) = n et affine sur [n− 1
n3 , n], [n, n+ 1n3 ], [n− 1
n3 , n+ 1n3 ] .
3 Integrabilite des fonctions positives sur un intervalle
de la forme [a,+∞[
Proposition 9 Soit f positive sur [a,+∞[,l’integrale
∫ +∞a
f(t)dt converge si et seulement si x 7→∫ xaf(t)dt est majoree.
Proposition 10 Soient f et g deux fonctions positives
• si 0 ≤ f ≤ g alors l’integralite de g sur [a,+∞[ entraıne l’integralite de f sur [a,+∞[.
• si f(x) =x→∞ O(g(x)) alors l’integralite de g sur [a,+∞[ entraıne l’integralite de f sur[a,+∞[.
• si f(x) ∼x→∞ O(g(x)) alors l’integralite de g sur [a,+∞[ equivaut a l’integralite de f sur[a,+∞[.
Exemple 11 1. f(x) = e−x2
est integrable sur [0,+∞[
2. integrales de Bertrand :
x 7→ 1
xα(lnx)βest integrable sur [2,+∞[⇔ α > 1 ou(α = 1 et β > 1)
4 Integration sur un intervalle I quelconque
4.1 Intervalle semi-ouvert
On adapte les paragraphes precedents aux fonctions definies sur un intervalle semi-ouvert deR.
Exemple 12 1. f(x) = ln x est integrable sur I =]0, 1]
2. x 7→ 1xα
est integrable sur ]0, 1]⇔ α < 1
3. x 7→ 1(x−a)α
est integrable sur ]a, b]⇔ α < 1
4. x 7→ 1(b−x)α
est integrable sur [a, b[⇔ α < 1
31
4.2 Intervalle ouvert
On adapte les paragraphes precedents aux fonctions definies sur un intervalle ouvert de R.
4.3 Proprietes
Proposition 13 • L’ensemble des fonctions dont l’integrale sur I converge est un espacevectoriel.
• L’ensemble des fonctions integrables sur I est un espace vectoriel.
• f 7→∫If(t)dt est lineaire.
•∣∣∫If(t)dt
∣∣ ≤ ∫I|f(t)|dt
• Inegalite triangulaire
• Relation de Chasles
• Si f est continue et integrable sur I, positive et si∫If(t)dt = 0 alors f = 0
Proposition 14 Changement de variables :Soient f continue et ϕ :]α, β[7→]a, b[ une application bijective, strictement croissante et de classeC1
Les integrales∫ baf(x)dx et
∫ βαfoϕ(t)ϕ′(t)dt sont de meme nature et egales en cas de conver-
gence.
Proposition 15 Integration par partiesSoientf et g deux fonctions de classe C1 sur I. Soit a = infI et b = supI Si fg admetune limite en a et b alors les integrales de f ′g et de fg′ sont de meme nature et en notant[fg]ba = limbf(t)g(t)− limaf(t)g(t) on a:∫ b
a
f(t)g′(t)dt = [fg]ba −∫ b
a
f ′(t)g(t)dt
4.4 Integration des relations de comparaison
Proposition 16 Soient f et g deux fonctions definies sur [a, b[ telles que g ≥ 0
f = Ob(g)
• si g est integrable sur [a, b[ alors f est integrable sur [a, b[∫ b
x
f(t)dt = Ob
(∫ b
x
g(t)dt
)• si f n’est pas integrable sur [a, b[ alors g n’est pas integrable sur [a, b[∫ x
a
f(t)dt = Ob
(∫ x
a
g(t)dt
)On a les memes resultats en remplacant O par o.On a un resultat analogue si I =]a, b].
32
Proposition 17 Soient f et g continues par morceaux de [a, b[ dans [0,+∞[) telles que
f ∼b g
f est integrable sur [a, b[ si et seulement si g est integrable sur [a, b[
• si f est integrable sur [a, b[ alors∫ b
x
f(t)dt ∼b(∫ b
x
g(t)dt
)• si f n’est pas integrable sur [a, b[ alors∫ x
a
f(t)dt ∼b(∫ x
a
g(t)dt
)On a un resultat analogue si I =]a, b].
Exemple 18 1. si I = [a,+∞[ et lim∞ f = l > 0 alors f n’est pas integrable sur I
2. I = [2,+∞[ et f(x) = 1√x4−1
3. I =]− 1, 1[ et f(x) = 1√1−x4
33
Chapitre 6
ESPACES VECTORIELS
K est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur K
1 Espace vectoriel, algebre
Definition 1 Soit
E un ensemble non vide+ une loi interne sur E c’est a dire une application de E × E dans E. une loi externe sur E c’est a dire une application de K× E dans E
on dit que le triplet (E,+, .) est un K espace vectoriel si
1. (E,+) est un groupe commutatif2. ∀(u, v) ∈ E2 ∀α ∈ K α.(u+ v) = α.u+ α.v3. ∀u ∈ E ∀(α, β) ∈ K2 (α + β).u = α.u+ β.u4. ∀u ∈ E ∀(α, β) ∈ K2 (αβ).u = α.(β.u)5. ∀u ∈ E 1.u = u
Les elements de E sont appeles des vecteurs et ceux de K des scalaires.
Definition 2 On dit que A est un sous-espace vectoriel de E (sev) si
1. A 6= ∅2. ∀(u, v) ∈ A2 u+ v ∈ A3. ∀u ∈ A ∀λ ∈ K λ.u ∈ A
Remarque 3 A est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si
1. 0E ∈ A2. ∀(u, v) ∈ A2 ∀(α, β) ∈ K2 α.u+ β.v ∈ A
Definition 4 Soit A un point d’un espace vectoriel et F un sev de E. On appelle sous-espaceaffine (sea) passant par A de direction F l’ensemble:
A+ u : u ∈ F
Definition 5 Soit f une application de E dans F on dit que f est lineaire si
1. ∀(x, y) ∈ E2 f(x+ y) = f(x) + f(y)2. ∀x ∈ E ∀α ∈ K f(αx) = αf(x)
l’ensemble des applications lineaires de E dans F est note L(E,F ) .L’ensemble des applications lineaires de E dans E, encore appelees endomorphismes est noteL(E)L’ensemble des endomorphismes bijectifs de E encore appeles automorphismes est note GL(E).
Remarque 6 f est une application lineaire si et seulement si:
∀(x, y) ∈ A2 ∀(α, β) ∈ K2 f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y)
34
Proposition 7 1. L’image par une application lineaire d’un sev est un sev.
2. L’image reciproque par une application lineaire d’un sev est un sev.
3. Une application lineaire est injective si et seulement si son noyau est 0
4. GL(E) est un groupe.
Definition 8 On appelle application affine de E dans F une application telle qu’il existe unvecteur b de F et une application l ∈ L(E,F ) tels que
∀x ∈ E, f(x) = b+ l(x)
Proposition 9 1. L’image par une application affine d’un sea est un sea.
2. L’image reciproque par une application affine d’un sea est vide ou un sea.
3. La composee de deux applications affines est affine, d’application lineaire associee lacomposee des applications lineaires associees.
4. Une application affine est bijective si et seulement si application lineaire associee l l’estet dans ce cas f−1 a pour application lineaire associee l−1
Definition 10 Soit K un corps et A un ensemble non vide muni de deux lois de compositioninterne (notees + et × ) et d’une loi externe ( notee . ). On dit que (A,+,×, .) est une Kalgebre si :
1. (A,+, .) est un K espace vectoriel,2. (A,+,×) est un anneau,3. ∀(a, b) ∈ A2, ∀λ ∈ K, (λ.a)× b = a× (λ.b) = λ.(a× b).
Exemple 11 1.K[X] est une K-algebre,2. si E est un K espace vectoriel alors (L(E),+, o, .) est une K algebre,3.F(X,K) ensemble des fonctions d’un ensemble X dans K est une K algebre, en particulierl’ensemble des suites reelles.
Definition 12 Soit (A,+,×, .) une K algebre et B une partie de A, on dit que B est unesous-algebre de A si :
1. 1A ∈ B2. ∀(x, y) ∈ B2 ∀(α, β) ∈ K2 αx+ βy ∈ B3. ∀(x, y) ∈ B2 x× y ∈ B
Definition 13 Soit A et B deux K algebre, on appelle morphisme d’algebres de A dans Btoute application lineaire qui est un morphisme d’anneaux c’est a dire :
1. ∀(x, y) ∈ A2 ∀(α, β) ∈ K2 f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y)2. f(1A) = 1B3. ∀(x, y) ∈ A2 f(x× y) = f(x)× f(y)
35
2 Familles generatrices, libres, bases
Definition 14 Soit A une partie de E. On appelle combinaison lineaire des elements de Atout element de E de la forme
p∑k=1
λkuk; avec p ∈ N∗; λk ∈ K; uk ∈ A
Attention: A peut etre infinie mais le nombre d’elements dans la somme est fini
Proposition 15 Soit A une partie non vide de E , l’ensemble des combinaisons lineaires deselements de A est un sous espace vectoriel de E, on l’appelle espace vectoriel engendre parA et on le note V ect(A).V ect(A) est le plus petit sous espace vectoriel de E contenant A.On definit de meme le sous espace vectoriel engendre par une famille de vecteurs de E.
Definition 16 La famille (ui)i∈I est une famille generatrice de E si E = V ect(ui)i∈I
Definition 17 • On dit que la famille (u1, ..., up) de vecteurs de E est liee ou lineairementdependante si :
∃ (λ1, ...., λn) ∈ Kp; (λ1, ...., λp) 6= (0, .., 0) :
p∑k=1
λkuk = 0
Si la famille (u1, u2) est liee on dit que les vecteurs u1, u2 sont colineaires.
• On dit que la famille (u1, ..., up) de vecteurs de E est libre ou lineairement independantesi elle n’est pas liee.On dit que la famille (xi)i∈I ∈ EI est libre si toute sous-famille finie est libre.
Proposition 18 La famille (u1, ..., up) de vecteurs de E est libre si et seulement si(p∑
k=1
λkuk = 0
)⇒ (λ1 = ... = λp = 0)
Definition 19 On dit que la famille (xi)i∈I ∈ EI est une base si elle est libre et generatrice.
Exemple 20 1. La famille (Xn)n∈N est une base de K[X], appelee base canonique.
2. Toute famille (Pn)n∈N ∈ K[X]N telle que degPn = n est une base de K[X].
3. La famille (fa)a∈R ∈ C(R,R) , definie par fa(x) = eax est une famille libre de C(R,R).
4. Soit [a, b] un segment de R tel que a < b,la famille (fx)x∈[a,b] ∈ C([a, b],R) , definie par fx(t) = |x− t| est une famille libre deC([a, b],R).
Soient E et F deux espaces vectoriels.
Proposition 21 Soit u ∈ L(E,F ), soit (xi)i∈I une famille de vecteurs de E , on a :
u(V ect(xi)i∈I) = V ect(u(xi))i∈I
(u injective et (xi)i∈I libre)⇒ (u(xi))i∈I libre
36
Theoreme 22 Soient (ei)i∈I une base de E et (fi)i∈I une famille de vecteurs de F .Il existe une unique application lineaire u ∈ L(E,F ) telle que ∀i ∈ I, u(ei) = fi, de plus :
u bijective⇔ (fi)i∈I est une base
Remarque 23 Si E et F sont de dimension finie et si dimE = dimF alors :
u surjective⇔ u injective
Definition 24 Soit u ∈ L(E,F ) , on dit que u est de rang fini si Imu est de dimension finie,on appelle alors rang de u la dimension de Imu.
3 Produit d’une famille finie d’espaces vectoriels
Theoreme-definition 25 Soient E1,..., En n espaces vectoriels sur K.L’ensemble produit
∏ni=1Ei muni des lois produits definies par :
(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn) et α(x1, ..., xn) = (αx1, ..., αxn)
est un espace vectoriel appele espace vectoriel produit..Les projections canoniques πi : (x1, ..., xn) 7→ xi de
∏j∈I Ej dans Ei sont lineaires.
Remarque 26 Lorsque ∀i ∈ 1, ..., n, Fi = E , on note le produit En. Il s’identifie naturelle-ment a A(1, ..., n, E).
Proposition 27 Si les espaces vectoriels Ei sont de dimension finie pour tout i alors∏n
i=1 Fiest de dimension finie et
dimn∏i=1
Fi =n∑i=1
dimFi
4 Somme et somme directe d’une famille finie d’espaces
vectoriels
4.1 Definitions
Definition 28 Soient E1,..., Er r sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.On appelle somme des sous-espaces vectoriels (Ei)i∈1,...,r le sous-espace vectoriel :
r∑i=1
Ei =
r∑i=1
xi : ∀i ∈ 1, ..., r, xi ∈ Ei
Proposition 29 Lorsque E est de dimension finie,
dimr∑i=1
Ei ≤r∑i=1
dimEi
Definition 30 On dit que E est somme directe des espaces vectoriels Ei, i ∈ 1, ..r on note
E =r⊕i=1
Ei
si l’une des proprietes equivalentes suivantes est verifiee.
37
1. Tout vecteur de E se decompose de maniere unique comme somme de vecteurs des Ei
2. L’application suivante est un isomorphisme :∏ri=1Ei → E
(x1, ..., xr) 7→∑r
i=1 xi
3. E =
r∑i=1
Ei
∀(x1, ..., xr) ∈r∏i=1
Ei,
(r∑i=1
xi = 0
)⇒ (∀i ∈ 1, ..., r, xi = 0)
4. E =
r∑i=1
Ei
∀j ∈ 1, ..., r, Ej ∩
( ∑1≤i≤r,i 6=j
Ei
)= 0
Proposition 31 Lorsque E est de dimension finie, on a les equivalence :
E =r⊕i=1
Ei ⇔E =
∑ri=1Ei
dimE =∑r
i=1 dimEi
E =r⊕i=1
Ei ⇔
∀j ∈ 1, ..., r, Ej ∩
(∑1≤i≤r,i 6=j Ei
)= 0
dimE =∑r
i=1 dimEi
E =r⊕i=1
Ei ⇔ la concatenation des bases Bi des Ei est une base B de E
Dans ce cas on dit que B est une base adaptee a⊕r
i=1Ei.
Proposition 32 Si E est de dimension finie alors
dim(F +G) = dimF + dimG− dimF ∩G
4.2 Sous espaces supplementaires
Definition 33 Si E est somme directe des sous espaces F et G on dit que F et G sontsupplementaires.
Theoreme 34 du rang Soient u ∈ L(E,F ),L’image de u est isomorphe a tout supplementaire du noyau de uSi E est de dimension finie alors le rang de u est fini, le noyau de u est de codimension finie et :
dimE = keru+ rang u
38
4.3 Projections
Proposition 35 Supposons E =⊕r
i=1 Ei, alors pour tout i ∈ I on a
E = Ei ⊕
( ⊕1≤j≤r,i6=j
Ej
)
on peut definir pi la projection sur Ei parallelement a⊕
1≤j≤r,i 6=j Ei ,on dit que (pi)i∈1,...,r est une famille de projection associees a la decomposition (Ei)i∈1,..,ret
on a : :1.∑r
i=1 pi = id,2. p2
i = pi pour tout i,3. piopj = 0 pour tout (i, j) tel que i 6= j.
Definition 36 Soit p ∈ L(E) on dit que p est un projecteur si p2 = p
Proposition 37 p est un projecteur si et seulement si il existe deux sous espaces vectoriels E1
et E2 supplementaires tels que p soit la projection sur E1 parallelement a E2.
Proposition 38 Soient E = F ⊕G = F ⊕HLa projection sur H parallelement a F induit un isomorphisme de G sur H.
Definition 39 On dit que le sous-espace vectoriel E ′ de E est de codimension fine, s’ilpossede un supplementaire de dimension finie, on note co dimE ′ la dimension commune de sessupplementaires.
5 Dualite
5.1 Definitions
Definition 40 On appelle forme lineaire sur un K espace vectoriel E toute application lineairede E dans K.On appelle dual de E l’ensemble des formes lineaires sur E et on le note E∗.
Exemple 41 1. forme coordonnee sur une base,
2. l’evaluation en un point,
3. Soient a et b deux reels tels que a ≤ b et E =applications continues par morceaux de[a, b] dans C .
L’applicationE → Cf 7→
∫ baf
est une forme lineaire sur E
Proposition 42 E∗ est un K espace vectoriel.
Definition 43 On appelle hyperplan de E tout sev de codimension 1
Theoreme 44 Soit H un sev de E,H est un hyperplan si et seulement si il est le noyau d’une forme lineaire ϕ sur E non nulle.On dit alors que la relation ϕ(x) = 0 est une equation de H .
Proposition 45 Soient ϕ et ψ deux formes lineaires non nulles sur E; On a
kerϕ = kerψ ⇔ ∃α ∈ K∗, ϕ = αψ
39
5.2 Bases duales
Soit E u K espace vectoriel de dimension finie n
Theoreme-definition 46 Soit B = (e1, ....., en) une base de E. On considere pour chaque i laforme lineaire coordonnee e∗i sur E definie par
∀j ∈ 1, ....., n, e∗i (ej) = δi,j
La famille (e∗1, ....., e∗n) forme une base de E∗ appelee base duale de B et est notee B∗
Corollaire 47 E∗ est un espace vectoriel de dimension n
Proposition 48 Soit B = (e1, ....., en) une base de E et B∗ = (e∗1, ....., e∗n) sa base duale. On a
1.
∀x ∈ E, x =n∑i=1
e∗i (x)ei
∀ϕ ∈ E∗, ϕ =n∑i=1
ϕ(ei)e∗i
2. ∀x ∈ E,∀ϕ ∈ E∗ si X = MatB(x) et U = MatB∗(ϕ) alors ϕ(x) =t UX
Proposition 49 Soient B et B′ deux bases de E et P la matrice de passage de B a B′ .La matrice de passage de B∗ a B′∗ est tP−1
Theoreme-definition 50 Pour toute base F de E∗, il existe une unique base B de E telleque F = B∗, B est appellee la base preduale (ou duale) de F , on dit que B et F sont des basesduales l’une de l’autre.
Exemple 51 Soit E = Cn[X].
1. Soit ϕk la forme lineaire definie par ϕk : P 7→ 1k!P (k)(0)
(ϕ0, .., ϕn) est la base duale de (X0, X, ,Xn)
2. Soit a0, ....., an, n+ 1 points distincts de C. Soit ϕk la forme lineaire definie par ϕk : P 7→P (ak)(ϕ0, .., ϕn) est la base duale de la famille des polynomes de Lagrange associee a a0, ....., an
5.3 Formes lineaires et sous-espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Proposition 52 L’ensemble des formes lineaires s’annulant sur un sous-espace F de E dedimension p est un sous-espace vectoriel de E∗ de dimension n− p.
Proposition 53 Si (ϕ1, ..., ϕq) est une famille libre de formes lineaires, alors
F =
q⋂i=1
Kerϕi
est un sous-espace de E de dimension n− q.De plus toute forme lineaire ϕ s’annulant sur F est combinaison lineaire de ϕ1, ..., ϕq , lescoefficients de la combinaison lineaire s’appelle les multiplicateurs de Lagrange de ϕ.
q⋂i=1
Kerϕi ⊂ kerϕ⇔ ϕ ∈ V ect(ϕ1, ..., ϕq)
40
5.4 Equations d’un s.e.v., d’un s.e.a.
Soit E un Ke.v. de dimension n, soit F un sev de E et soit A un sous espace affine
Theoreme 54 Si dimF = p alors F est l’intersection de n− p hyperplans independants, c’esta dire il existe n− p formes lineaires ϕi independantes telles que :
x ∈ F ⇔ ∀i ∈ 1, ..., n− p, ϕi(x) = 0
On dit que le systeme∀i ∈ 1, ..., n− p, ϕi(x) = 0
est un systeme d’equations definissant F .
Remarque 55 Avec les notations precedentes, un hyperplanH contient F ssi il existe (α1, ..., αn−p) ∈Kn−p tels que H a pour eqution :
n−p∑i=1
αiϕi(x) = 0
Theoreme 56 Si dimA = p alors A est l’intersection de n−p hyperplans affines independants,c’est a dire il existe n− p formes lineaires ϕi independantes et n− p scalaires bi tels que :
x ∈ A⇔ ∀i ∈ 1, ..., n− p, ϕi(x) = bi
On dit que le systeme∀i ∈ 1, ..., n− p, ϕi(x) = bi
est un systeme d’equations definissant A.La direction de A est alors le sev defini par le systeme d’equations :
∀i ∈ 1, ..., n− p, ϕi(x) = 0
Corollaire 57 Faisceaux de plans en dimension 3 :Soit D une droite d’equation
a1x+ b1y + c1z = d1
a2x+ b2y + c2z = d2
Un plan P contient la droite D ssi il existe (α1, α2) ∈ K2 tel que P a pour equation :
α1(a1x+ b1y + c1z − d1) + α2(a2x+ b2y + c2z − d2) = 0
6 Applications polynomiales sur Kn
K est un corps infini et n ∈ N∗
Definition 58 On appelle application monome sur Kn, ou monome sur Kn, toute applica-tion f(k1,...kn) de Kn dans K definie par (x1, ..., xn) 7→ xk11 ...x
knn avec (k1, ...kn) ∈ Nn. On notera
f(k1,...kn) par abus xk11 ...xknn .
On appelle application polynomiale sur Kn ou polynome sur Kn, toute combinaison lineaired’applications monomes.On dit que P est une application polynomiale, si il existe un entier naturel n tel que p soitune application polynomiale sur Kn.
41
Theoreme 59 L’ensemble des applications polynomiales sur Kn est une algebre de F(Kn,K)note K[x1, ..., xn].
Theoreme 60 La famille (xk11 ...xknn )(k1,...kn)∈Nn est une base de K[x1, ..., xn].
Definition 61 On appelle degre d’une application polynomiale P , et l’on note degP , le plusgrand entier k1+...+kn tel que xk11 ...x
knn apparaisse dans P . On pose par definition deg 0 = −∞.
Proposition 62 Soient P et Q deux applications polynomiales,
1. deg(P +Q) ≤ max(degP, degQ)
2. deg(PQ) = degP + degQ
Definition 63 On appelle application polynomiale homogene toute application ne contenantque des applications monomes de meme degre.
Proposition 64 Toute application polynomiale P peut s’ecrire de maniere unique sous laforme P =
∑i∈I Pi avec I partie finie de N, Pi application polynomiale homogene de degre i.
7 Hors programme : Sous-algebre monogene d’une K−algebre
E designe une K−algebre non necessairement commutative et a un element de E.
7.1 Morphisme d’evaluation
Theoreme 65 Si P =∑n
i=1 αiXi ∈ K[X] , on appelle valeur de P en a, l’element
∑ni=1 αia
i
note P (a).
L’applicationfa : K[X] → E
P 7→ P (a)est un morphisme d’algebre.
Theoreme-definition 66 L’image de fa est une sous-algebre de E note K[a].C’est la plus petite sous-algebre de E contenant a, on l’appelle la sous-algebre de E en-gendree par a.
Remarque 67 1. Le sous-espace vectoriel K[a] est engendre par ak, ..k ∈ N2. K[a] est une algebre commutative.
Definition 68 On appelle sous-algebre monogene de E toute sous-algebre de E de la formeK[a].
Theoreme-definition 69 Le noyau de fa est un ideal de K[X]. On l’appelle l’ideal annula-teur de a.On appelle polynome annulateur de a tout element de l’ideal annulateur de a.
Definition 70 On dit que a est :
• algebriquement libre si son ideal annulateur est reduit a 0,
• algebriquement lie si son ideal annulateur n’est pas reduit a 0, on appelle alorspolynome minimal de a, et on le note Ma, l’unique polynome unitaire qui engendre cetideal.
42
Exemple 71 • la fonction sin est algebriquement libre dans C(R)
•√
2 est algebriquement lie sur Q de polynome minimal (X2 − 2)
• La limite de la suite(∑n
k=11kk!
)est algebriquement libre sur Q , on dit que c’est un
nombre transcendant sur Q .
7.2 Structure d’une sous-algebre monogene
Theoreme 72 1. Si a est algebriquement libre alors,K[a] est de dimension infinie et fa est un isomorphisme d’algebre.
2. Si a est algebriquement liee alors,K[a] est de dimension finie egale a n = degMa et la famille (1, a, ..., an−1) est une base deK[a].
Supposons a algebriquement lie
Theoreme 73 On a equivalence entre les propositions suivantes :
1. P est premier avec Ma,2. P (a) est inversible dans E,
dans ces conditions, l’inverse de P (a) est U(a) avec UP + VMa = 1.
Theoreme 74 On a equivalence entre les propositions suivantes :
1. le polynome Ma est irreductible sur K[X],2. l’algebre K[a] est un corps,3. l’algebre K[a] est integre.
Corollaire 75 Si E est integre alors K[a] est un corps.
43
Chapitre 7
MATRICES SYSTEMES
K est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur K
1 Matrices
1.1 Matrices equivalentes et rang
Soit E un espace vectoriel de dimension p et F un espace vectoriel de dimension n.
Definition 1 On dit que les deux matrices A et B de Mn,p(K) sont equivalentes si il existeQ ∈ GLn(K) et P ∈ GLp(K) telles que
B = QAP
Remarque 2 Il s’agit donc bien d’une relation d’equivalence.
Proposition 3 Si A est la matrice de u ∈ L(E,F ) dans les bases B de E et C de F alors :B est equivalente a A si et seulement si il existe des bases B′ de E et C ′ de F telles que B estla matrice de u dans les bases B′ et C ′.
Theoreme 4 Une matrice A ∈ Mn,p(K) est de rang r si et seulement si elle est equivalente ala matrice Jr,n,p ∈Mn,p(K) definie par Jr,n,p = (ai,j)
ai,j = 1 si i = j et i ∈ 1, ...rai,j = 0 sin on
Corollaire 5 Deux matrices sont equivalentes si et seulement si elles ont meme rang.
Corollaire 6 Soit A ∈Mn,p(K), rg(A) = rg(tA)
Proposition 7 rg(A) = r si et seulement si :1) il existe une matrice carree de taille r extraite de A inversible,2) toute matrice carree de taille strictement superieure a r extraite de A est non inversible.
1.2 Matrices semblables et trace
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Definition 8 On dit que les deux matrices A et B de Mn(K) sont semblables si il existeP ∈ GLn(K) telle que
B = P−1AP
Remarque 9 Il s’agit bien d’une relation d’equivalence.
Proposition 10 si A est la matrice de u ∈ L(E) dans la base B de E :B est semblable a A si et seulement si il existe des bases B′ de E telle que B est la matrice deu dans la base B′.
44
Definition 11 Une application f : Mn(K)→X est dite invariante par similitude si elleassocie la meme valeur a deux matrices semblables.
Definition 12 On appelle trace de la matrice A = (ai,j) ∈Mn(K) le scalaire :
trA =n∑i=1
ai,i
Proposition 13 L’application tr : Mn(K)→ K est une forme lineaire verifiant :
∀(A,B) ∈ Mn(K)2, tr(AB) = tr(BA)
∀(A,P ) ∈ Mn(K)×GLn(K), tr(P−1AP ) = tr(A)
La trace est donc invariante par similitude.
Definition 14 Soit u ∈ L(E), si B et B′ sont deux bases de E alors
tr(MatBu) = tr(MatB′u)
Ce scalaire est appele trace de u et est note tr(u).
Remarque 15 Si K = Q, R ou C, le rang d’un projecteur est egal a sa trace.
Proposition 16 L’application tr : L(E)→ K est une forme lineaire verifiant :
∀(u, v) ∈ L(E)2, tr(uov) = tr(vou)
1.3 Matrices par blocs
Soit (Ii)i∈1,..,r la partition de 1, .., n definie par :I1 = 1, .., n1, I2 = n1 + 1, .., n1 + n2,..., Ir = n1 + ..+ nr−1 + 1, .., n1 + ..+ nr.
Definition 17 Soit A = (ai,j) ∈Mn(K). On appelle
• bloc d’indice (i, j) ∈ 1, .., r2 de A, la sous-matrice de type ni × nj definie par :
Ai,j = (ak,l)(k,l)∈Ii×Ij
formee des elements de A dont les indices de lignes et de colonnes appartiennent respec-tivement a Ii et Ij.
• representation par blocs de A, l’ecriture de A sous la forme :
A =
A1,1 . . A1,r
. . . .
. . . .Ar,1 . . Ar,r
Remarque 18 On definit de maniere analogue la decomposition par blocs d’une matrice deMn,p(K).
Definition 19 On dit que A ∈Mn(K) est
• diagonale par blocs si il existe une partition de 1, .., n telle que si i 6= j alors Ai,j = 0,
45
• triangulaire superieure par blocs si il existe une partition de 1, .., n telle que sii > j alors Ai,j = 0,
• triangulaire inferieure par blocs si il existe une partition de 1, .., n telle que si i < jalors Ai,j = 0.
Soit (Ii)i∈1,..,r la partition de 1, .., n et soit (A,B) ∈Mn(K)2 de decomposition par blocs(Ai,j) et (Bi,j)
Proposition 20 • Soit (α, β) ∈ K2 et C = αA + βB, si (Ci,j) est la decomposition parblocs de C, on a :
∀(i, j), Ci,j = αAi,j + βBi,j
• Soit D = AB, si (Di,j) est la decomposition par blocs de C, on a :
∀(i, j), Di,j =r∑
k=1
Ai,kBk,j
Remarque 21 Les regles de calcul par blocs restent valables lorsqu’il s’agit de matrices rect-angulaires compatibles.
Proposition 22 .1. L’ensemble des matrices triangulaires par blocs lies a une meme partition est une sous-algebre de Mn(K).2. L’ensemble des matrices diagonales par blocs lies a une meme partition est une sous-algebrede Mn(K).Dans les deux cas les blocs diagonaux des produits sont les produits des blocs diagonaux.
Theoreme 23 Si A ∈Mn(K) est triangulaire par blocs alors
detA =r∏i=1
detAi,i
Remarque 24 Attention : les formules de determinants ne se generalisent pas aux blocs.Pour un partage carre on a en general :
det
(A1,1 A1,2
A2,1 A2,2
)6= detA1,1 detA2,2 − detA2,1 detA1,2
46
2 Operations elementaires
Definition 25 On appelle operation elementaire sur les lignes d’une matrice, l’une des operationssuivantes :
• Li ← Li + λLj , λ ∈ K, la ieme ligne est remplacee par la ieme plus λ fois la jieme,appelee operation elementaire de transvection,
• Li ← λLi, , λ ∈ K∗, la ieme ligne est remplacee par λ fois la iieme, appelee operationelementaire de dilatation,
• Li ↔ Lj, les lignes i et j sont echangees.On definit de meme des operations elementaires sur les colonnes.
Definition 26 On appelle :
• matrice de transvection, toute matrice de la forme Ti,j(λ) = In + λEi,j ou (i, j) ∈1, ..., n2 i 6= j et λ ∈ K.
• matrice de dilatation, toute matrice de la forme Dj(λ) = In+(λ−1)Ej,j ou j ∈ 1, ..., net λ ∈ K∗.
• matrice de transposition, toute matrice de la forme Pi,j = In −Ei,i −Ej,j +Ei,j +Ej,i.
Proposition 27 Les operations elementaires sur les lignes d’une matrice correspondent a lamultiplication a gauche par une matrice elementaire,les operations elementaires sur les colonnes d’une matrice correspondent a la multiplication adroite par une matrice elementaire.
Li ← Li + λLj A← Ti,j(λ)ALi ← λLi A← Di(λ)ALi ↔ Lj A← Pi,jACj ← Cj + λCi A← ATi,j(λ)Cj ← λCj A← ADj(λ)Cj ↔ Ci A← APi,j
Proposition 28 Les operations elementaires sont inversibles, les inverses sont donnes par letableau:
Li ← Li + λLj Li ← Li − λLjLi ← λLi Li ← 1
λLi
Li ↔ Lj Li ↔ Lj
Ti,j(λ)−1 = Ti,j(−λ)
Di(λ)−1 = Di(1
λ)
P−1i,j = Pi,j
Lemme 29 du pivot de GaussSi A = (ai,j) ∈Mn,p(K) est une matrice dont la premiere colonne est non nulle,il existe une suite d’operations elementaires sur les lignes transformant A en une matrice Btriangulaire par blocs de la forme :(
b1,1 ∗0 B1
)avec b1,1 6= 0
On peut si on veut se limiter aux matrices de transvections. De plus
rg(A) = 1 + rg(B1)
47
Remarque 30 En calcul numerique, lorsque K = R ou C, pour limiter les erreurs d’arrondis,on choisit i l’indice du pivot tel que |ai,1| = sup|ak,1| , k ∈ 1, .., n.
Proposition 31 1. Calcul du rang
2. Calcul du determinant
3. Calcul de l’inverse d’une matrice :Soit A ∈ GLn(K),il existe une suite de transformations elementaires sur les lignes transformant A en In,la meme suite de transformations elementaires sur les lignes transforme In en A−1.
Theoreme 32 Soit A ∈ GLn(K),il existe une suite (T1, ...Ts) de matrice de transvection telle que
A = T1...TsDn(detA)
Theoreme 33 L’ensemble des matrices de dilatations et l’ensemble des matrices detransvections engendrent GLn(K).L’ensemble des matrices de transvections engendrent SLn(K).
3 Systemes d’equations lineaires
Soit E = Kp et F = Kn
Notation 34 1. A = (ai,j) ∈Mn,p(K), B = (bi) ∈Mn,1(K), X = (xj) ∈Mp,1(K)
2. f ∈ L(E,F ) de matrice A dans les bases canoniques de E et F ( application lineairecanoniquement associe a A) ,
3. x = (x1, ..., xp) ∈ E, b = (b1, ..., bn) ∈ F
4. ∀j ∈ 1, ..., p, Cj = (ai,j)i ∈Mn,1(K) le jieme vecteur colonne de A
5. ∀i ∈ 1, ..., n, ϕi ∈ E∗ definie par : ϕi(x) =∑p
j=1 ai,jxj
Definition 35 On appelle solution du systeme (S) d’equations lineaires sur K, tout vecteur xde E tel que :
∀i ∈ 1, ..., n,p∑j=1
ai,jxj = bi
On appelle solution du systeme homogene (Sh) associe a (S), tout vecteur x de E tel que :
∀i ∈ 1, ..., n,p∑j=1
ai,jxj = 0
Definition 36 Un systeme est dit compatible s’il possede au moins une solution,deux systemes sont dits equivalents s’ils ont meme ensemble de solutions.
48
Proposition 37
AX = B
f(x) = bp∑j=1
xjCj = B
∀i ∈ 1, ..., n, ϕi(x) = bi
Proposition 38 rg(A) = rg(f) = rg(C1, ..., Cp) = rg(ϕ1, ..., ϕn),ce nombre r est appele rang du systeme (S).
Proposition 39 En notant Solh l’ensemble des solutions du systeme homogene on a :
Solh = ker(f)
Solh = ∩ni=1 kerϕi
dimSolh = p− r
Proposition 40 Le systeme est compatible ssi b ∈ Imf ,dans ce cas si x0 est un antecedent de b on a Sol = x0 + Solh , en notant Sol l’ensemble dessolutions du systeme.
Sol = ∅ ou Sol = x0 + Solh
Theoreme 41 Si r = p = n alors le systeme est toujours compatible, le systeme estdit de Cramer et on a :
Solh = 0Sol = x0
∀j ∈ 1, ..., n, xj =det(C1, ..., Cj−1, B, Cj+1, ..., Cn)
detA
Definition 42 Soit (Sh) un systeme homogene de rang r,quitte a echanger les lignes ou les colonnes supposons que rg(C1, ..., Cr) = rg(ϕ1, ..., ϕr) = rle systeme (Sh) est equivalent au systeme (SP )
∀i ∈ 1, ..., r,p∑j=1
ai,jxj = 0
Les equations de (SP ) sont appelees equations principales et les autres secondaires.Les inconnues (xj)j∈1,..,r sont appelees inconnues principales et les autres secondaires.
49
Chapitre 8
FONCTIONS CONVEXES
K = R ou K = C
1 Partie convexe d’un K espace vectoriel
Soit E un K espace vectoriel. Les elements de E seront appeles vecteur ou point. Si A et B
sont deux elements de E, on notera−→AB = B − A
Definition 1 Etant donnes des points A1, A2, . . . , An et des reels λ1, λ2, . . . , λn de sommenon nulle, il existe un unique point G de E verifiant:
n∑i=1
λi−−→GAi = 0
Ce point est appele barycentre des points A1, A2, . . . , An affecte des coefficients λ1, λ2, . . . , λn,il verifie:
G =
∑ni=1 λiAi∑ni=1 λi
.
Definition 2 On appelle isobarycentre ou centre de gravite des points A1, A2, . . . , An de E lebarycentre de A1, A2, . . . , An affecte des reels 1
n, 1n, . . . , 1
n
Theoreme 3 Associativite barycentriqueSoient A1, A2, . . . , An des points de E, des reels λ1, λ2, . . . , λn de somme non nulle et un entierk tel que 1 ≤ k ≤ n verifiant
∑ki=1 λi 6= 0. Si on pose:
• Gk le barycentre de A1, A2, . . . , Ak affectes des coefficients λ1, λ2, . . . , λk
• G le barycentre de A1, A2, . . . , An affectes des coefficients λ1, λ2, . . . , λn
alors G est le barycentre de Gk, Ak+1, . . . , An affectes des coefficients∑k
i=1 λi, λk+1, . . . , λn
Exercice 4 Dans un triangle les medianes sont concourantes.
Proposition 5 Une partie A de E est affine si et seulement si elle est stable par barycentre.
Definition 6 Soient A et B deux points de E. On appelle segment [A,B] l’ensemble desbarycentres des points A et B affectes de coefficients positifs.
[A,B] = tA+ (1− t)B : t ∈ [0, 1]
Definition 7 Une partie C de E est dite convexe si pour tout couple (A,B) ∈ C2 le segment[A,B] ⊂ C
Definition 8 Soit C une partie de E. On appelle enveloppe convexe de C la plus petite partieconvexe de E contenant C et on la note Conv(C)
Proposition 9 Soit C une partie de E. L’enveloppe convexe Conv(C) est l’ensemble desbarycentres des elements de C affectes de coefficients positifs.
50
2 Fonctions convexes
I designe un intervalle de R contenant au moins deux points et f est une fonction de I dans R
Proposition 10 Soit x1 < x2 deux points de I soit t ∈ [0, 1]. Notons x = tx1 + (1− t)x2,y1 = f(x1), y2 = f(x2), y = f(x), M1 = (x1, y1), M2 = (x2, y2), M = (x, y)On a equivalence entre:
1. f(tx1 + (1− t)x2) ≤ tf(x1) + (1− t)f(x2)
2. pente(M1,M) ≤ pente(M,M2)
3. pente(M1,M) ≤ pente(M1,M2)
4. pente(M1,M2) ≤ pente(M,M2)
Definition 11 On dit que la fonction f est convexe sur I si
∀(x1, x2) ∈ I2 ∀t ∈ [0, 1] f(tx1 + (1− t)x2) ≤ tf(x1) + (1− t)f(x2)
La fonction f est concave sur I si
∀(x1, x2) ∈ I2 ∀t ∈ [0, 1] f(tx1 + (1− t)x2) ≥ tf(x1) + (1− t)f(x2)
Remarque 12 1. f est concave si et seulement si −f est convexe.
2. une fonction affine est convexe et concave.
Theoreme 13 Caracterisation geometrique des fonctions convexes :Soit C la courbe representative de f . On a equivalence entre:
1. f est convexe
2. ∀ (a, b) ∈ I tel que a < b, le graphe de f∣∣[a,b] encore appele arc AB est au dessous de la
corde [A,B]
3. la partie D = (x, y) ∈ R2 |x ∈ I et f(x) ≤ y du plan situee au dessus de C est convexe(D est appelee epigraphe de f )
Proposition 14 f est convexe si et seulement si ∀u ∈ I, Fu : t ∈ I\u → f(t)−f(u)t−u ∈ R est
croissante.
Theoreme 15 Caracterisation des fonctions convexes derivables sur I :Soit f une fonction derivable sur I et soit C sa courbe representative. On a equivalence entre :
1. f est convexe
2. f ′ est croissante
3. C est au dessus de chaque tangente
Corollaire 16 Si f admet une derivee seconde sur I alors
f convexe⇔ ∀t ∈ I f ′′(t) ≥ 0
51
Theoreme 17 Inegalites de convexite : On a equivalence entre f est convexe et
∀n ∈ N∗ ∀(x1, ..., xn) ∈ In, ∀(λ1, ..., λn) ∈ [0, 1]n tels quen∑i=1
λi = 1, f
(n∑i=1
λixi
)≤
n∑i=1
λif(xi)
Corollaire 18 Si f est convexe alors ∀n ∈ N∗ ∀(x1, ..., xn) ∈ In on a f(x1+....+xnn
) ≤ f(x1)+....+.f(xn)n
Corollaire 19 Comparaison des differentes moyennes : ∀(x1, ..., xn) ∈]0,+∞[n
ma =x1 + ....+ xn
nmg =n √x1......xn
n
mh
=1
x1
+ ....+1
xn
mh ≤ mg ≤ ma
52
Chapitre 9
REDUCTION DES ENDOMORPHISMES
K designe un corps commutatif et E un espace vectoriel sur K de dimension quelconqueSoit u un endomorphisme de E
1 Sous-espaces stables, polynomes d’endomorphisme
1.1 Sous-espaces stables
Definition 1 Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u si u(F ) ⊂ F .Si F est un sev deE stable par u, on appelle endomorphisme induit par u sur F l’endomorphismeuF ∈ L(F ) tel que ∀x ∈ F, uF (x) = u(x).On note LF (E) les endomorphismes de E qui laissent F stable. C’est une algebre.
Proposition 2 Si u et v sont deux endomorphismes qui commutent, alors Imu et keru sontstables par v.
Proposition 3 Supposons que E est de dimension finie. Soient F et G deux sev de Esupplementaires.Soit B1 = (e1, .., en1) une base de F et B2 = (en1+1, .., en) une base de G, notons B = (e1, .., en).
F stable par u⇔Mat(u,B) =
(A C0 D
)Theoreme 4 Supposons que E est de dimension finie et est decompose en somme directeE = E1 ⊕ ....⊕ Er.Pour tout i ∈ 1, .., r, notons pi la projection associee sur Ei, ni la dimension de Ei etI1 = 1, .., n1, I2 = n1 + 1, .., n1 + n2....Ir = n1 + ..+ nr−1 + 1, .., n1 + ..+ nr.Soit une base B = (e1, ...en) telle que pour tout i ∈ 1, .., r, Bi = (ej)j∈Ii soit une base de Ei,soit A la matrice de u dans B,
• pour tout (i, j) ∈ 1, .., r2 le bloc Ai,j = (ak,l)(k,l)∈Ii×Ij de A est :
la matrice dans les bases Bj et Bi de l’applicationEj → Eix 7→ pi(u(x))
• A est diagonale par blocs pour cette partition si, et seulement si,pour tout i ∈ 1, .., r, les sous-espaces Ei sont stables par u, et dans ce cas Ai,iest la matrice de l’endomorphisme induit ui par u sur Ei.
• A est triangulaire superieure par blocs pour cette partition si, et seulement si,pour tout i ∈ 1, .., r, Di = E1 ⊕ ....⊕ Ei est stable par u.
• si A diagonale ou triangulaire superieure par blocs pour cette partition alors :
detA =∏
i∈1,..,r
detAi,i , detu =∏
i∈1,..,r
detui
53
1.2 Polynome d’un endomorphisme
Definition 5 Soit P =∑p
k=0 akXk ∈ K[X]
on definit respectivement l’endomorphisme P (u) et si A est une matrice la matrice P (A) par :
P (u) =
p∑k=0
akuk
P (A) =
p∑k=0
akAk
Si A = Mat(u,B) alors P (A) = Mat(P (u),B).
Theoreme 6 L’application ϕu : P 7→ P (u) est un morphisme de K algebre de K[X]vers L(E).
∀(P,Q) ∈ K[X]2, (PQ)(u) = P (u)oQ(u)
Proposition 7 • Son image, notee K[u], est une sous-algebre commutative de L(E),appelee sous-algebre engendree par u. C’est la plus petite sous-algebre de L(E) contenantu.
• Son noyau est un ideal de K[X] appele ideal annulateur de u,ses elements sont appeles polynomes annulateurs de u.S’il n’est pas reduit a 0, il possede un unique generateur unitaire Mu appele polynomeminimal de u.
Remarque 8 On definit de meme le polynome minimal d’une matrice.
Exemple 9 Projecteur, symetrie, endomorphisme nilpotent.
Definition 10 On appelle matrice compagnon du polynome P = Xn +∑n−1
k=0 akXk, la
matrice :
CP =
0 0 . 0 −a0
1 . . . −a1
0 1 . . .. . . 0 .0 . 0 1 −an−1
Proposition 11 Le polynome minimal de la matrice compagnon CP est P .
Proposition 12 u possede un polynome minimal si et seulement si K[u] est de dimension finie.u possede un polynome minimal de degre r si et seulement si (id, u, ...., ur−1) est une base deK[u].
Theoreme 13 Tout endomorphisme d’un e.v. de dimension finie possede un polynomeminimal.Toute matrice admet un polynome minimal et si A = Mat(u,B) alors A et u ont lememe polynome minimal.
Proposition 14 Pour tout polynome P de K[X], les sous-espaces ImP (u) et kerP (u) sontstables par u.
54
Proposition 15 Si F est un sev de E stable par u, alors F est stable par P (u) eten notant uF l’endomorphisme induit, on a P (u)F = P (uF ).Si u possede un polynome minimal Mu alors uF aussi et
MuF |Mu
Theoreme 16 Decomposition des noyaux:Soient (P1, ....Pr) ∈ K[X]r des polynomes deux a deux premiers entre eux et P = P1...Prleur produit. On a :
kerP (u) =r⊕
k=1
kerPk(u)
Soit pk la projection de kerP (u) sur kerPk(u) associee est un endomorphisme induit par unpolynome en u.
Corollaire 17 Si P est un polynome annulateur de u et si P = P1....Pr avec (P1, ....Pr) despolynomes deux a deux premiers entre eux, on a :
E =r⊕
k=1
kerPk(u)
et les projections associees sont des polynomes en u.
2 Reduction d’un endomorphisme
2.1 Valeurs propres, vecteurs propres
Definition 18 On dit qu’un scalaire λ est une valeur propre de u siil existe un vecteur non nul x de E tel que u(x) = λx.Dans ce cas, tout vecteur non nul x de E tel que u(x) = λx s’appelle un vecteur propreassocie a λ.On appelle sous-espace propre associe a une valeur propre λ, le sous-espace Eλ(u) = ker(u−λid).
Proposition 19 Tout sous-espace propre Eλ(u) est stable par u et l’endomrphisme induit estλid
Proposition 20 Si E est de dimension finie,λ est une valeur propre si, et seulement si, u− λid n’est pas inversible.L’ensemble des valeurs propres de u est alors appele spectre de u et est note Sp(u).
Remarque 21 Un vecteur non nul x de E est un vecteur propre de u si, et seulement si, ladroite qu’il engendre est stable par u.
Proposition 22 Si les endomorphismes u et v commutent, les sous-espaces propres Eλ(u) sontstables par v.
Theoreme 23 1. Toute famille de vecteurs propres associes a des valeurs propres distinctesdeux a deux est libre.2. La somme d’une famille finie de sous-espaces propres associes a des valeurspropres distinctes deux a deux est directe.
55
Proposition 24 1. Si λ est une valeur propre de u et si P ∈ K[X] alors P (λ) est valeur proprede P (u)
u(x) = λx⇒ P (u)(x) = P (λ)x
2. L’ensemble des valeurs propres de u est inclus dans l’ensemble des racines de tout polynomeannulateur.
P (u) = 0⇒ Sp(u) ⊂ racines de P.
En particulier si u possede un polynome minimal Mu:
Sp(u) ⊂ racines de Mu
Les definitions et les resultats precedents s’appliquent aux matrices carrees en considerantles endomorphismes canoniquement associes.
2.2 Polynome caracteristique
On suppose que E est de dimension finie n.
Definition 25 Soit A ∈Mn(K). On appelle polynome caracteristique de Ale determinant de la matrice (A−XIn) de Mn(K[X]) et on le notera χA(X).
Theoreme-definition 26 Soient B et B′ deux bases de E,A = Mat(u,B)) et A′ = Mat(u,B′) on a χA(X) = χA′(X).Ce polynome est appele polynome caracteristique de u et on le notera χu(X).
Theoreme 27 Un scalaire λ est valeur propre de u si, et seulement si, c’est une racine dupolynome caracteristique de u.
λ ∈ Sp(u)⇔ χu(λ) = 0
Dans ce cas, on appelle ordre de multiplicite de la valeur propre λ, l’ordre de multiplicitede λ dans le polynome caracteristique de u.
Proposition 28 Soit λ une valeur propre de u et nλ l’ordre de multiplicite de λ dans lepolynome caracteristique de u
dimEλ ≤ nλ
Proposition 29 1.
χA(X) = (−1)n(Xn − tr(A)Xn−1 + ....+ (−1)n detA
)χu(X) = (−1)n
(Xn − tr(u)Xn−1 + ....+ (−1)n detu
)2. Si χu est scinde, alors
tr(u) =∑
λ∈Sp(u)
nλλ, det(u) =∏
λ∈Sp(u)
λnλ
Exemple 30 Le polynome caracteristique1. d’une matrice triangulaire de diagonale (a1, ..., an) est
∏nk=0(ak −X).
2. de la matrice compagnon CP d’un polynome unitaire P de Kn[X] est (−1)nP .
56
Proposition 31 1. Soit F un sev de E stable par u,le polynome caracteristique de uF divise le polynome caracteristique de u.2. Si E = E1 ⊕ ....⊕ Er et si pour tout k, Ek est stable par u, alors
χu(X) = χu1(X)....χur(X)
ou uk est l’endomorphisme induit par u sur Ek.
Theoreme 32 Cayley-Hamilton :Le polynome caracteristique de u est un polynome annulateur de u.Le polynome minimal de u est donc un diviseur du polynome caracteristique de u.
χu(u) = 0, Mu|χu
Corollaire 33 Mu et χu ont le meme ensemble de racines.
2.3 Reduction d’un endomorphisme en dimension finie n
Les definitions et les resultats precedents s’appliquent aux matrices carrees en considerant lesendomorphismes canoniquement associes.
Definition 34 On dit que u est diagonalisable si il existe une base formee de vecteurs propresde u, ou encore si il existe une base dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Proposition 35 u est diagonalisable si et seulement si
E =⊕
λ∈Sp(u)
Eλ(u)
En notant pλ la projection associee a la somme directe sur le sous-espace propre Eλ on a
u =∑
λ∈Sp(u)
λpλ
Proposition 36 u est diagonalisable si et seulement si
n =∑
λ∈Sp(u)
dimEλ(u).
Proposition 37 u est diagonalisable si et seulement si
χu(X) est scinde
∀λ ∈ Sp(u), dimEλ(u) = nλ
Corollaire 38 Si χu(X) est scinde et a toutes ses racines simples alors,u est diagonalisable et tous les sous-espaces propres sont de dimension 1.
Theoreme 39 u est diagonalisable si et seulement siu possede un polynome annulateur scinde a racines simples.
Corollaire 40 u est diagonalisable si et seulement si le polynome minimal de u est scinde aracines simples.
Exercice 41 La matrice compagnon d’un polynome unitaire P est diagonalisable ssi P estscinde a racines simples.
57
Corollaire 42 Si u est diagonalisable et si F est un sev stable par u alors uF est diagonalisable.
Corollaire 43 Si u et v sont deux endomorphismes diagonalisables qui commutent alors Epossede une base commune de vecteurs propres
Definition 44 On dit que u est trigonalisable si :il existe une base dans laquelle la matrice de u est triangulaire superieure.
Proposition 45 u est trigonalisable si et seulement si χu(X) est scinde .
Proposition 46 u est trigonalisable si et seulement si u possede un polynome annu-lateur non nul scinde
Proposition 47 Une matrice A ∈Mn(K) est diagonalisable si et seulement si A est semblablea une matrice diagonale. Dans ce cas
A = PDP−1
D matrice diagonale des valeurs propres [λ1, ..., λn],P matrice de passage de la base canonique de Kn a une base de vecteurs propres (u1, ..., un) (uk associe a la valeur propre λk)
Proposition 48 Une matrice A ∈Mn(K) est trigonalisable si et seulement si A est semblablea une matrice triangulaire . Dans ce cas
A = PTP−1
T matrice triangulaire avec sur la diagonale les racines du polynome caracteristique ecrites avecleur ordre de multiplicite.
58
Chapitre 10
FONCTIONS A VALEURS VECTORIELLES
1 Derivation
Soit I un intervalle contenant au moins deux points. F designe un espace vectoriel de dimensionfinie sur R.
1.1 Derivation en un point
Soit f une application de I dans F et a un point de I.
Definition 1 On dit que l’application f est derivable en a si le taux d’accroissement defini par
τa(x) =f(x)− f(a)
x− a
admet une limite l ∈ F lorsque x tend vers a . Cette limite est appelee derivee de f en a etse note : f ′(a) ou Df(a) ou df
dx(a).
Exemple 2 z ∈ C, f : R→ C definie par f(x) = ezx, f est derivable et f ′(x) = zezx
Proposition 3 f est derivable en a si et seulement si il existe un element l de F tel que l’onait au voisinage de a
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + o(x− a)
Remarque 4 Lorsque f represente le mouvement d’un point materiel, f ′(t0) represente lavitesse a l’instant t0.
Proposition 5 Si f est derivable en a alors elle est continue en a.
Definition 6 On dit que f est derivable a droite (resp a gauche) en a si τa admet une limitea droite en a (resp a gauche) . Cette limite est alors appelee derivee de f a droite (resp agauche) en a et on la note f ′d(a) (resp f ′g(a)) .
Proposition 7 si f est derivable a droite (resp a gauche) en a alors f est continue a droite(resp a gauche) en a.
1.2 Operations sur les fonctions derivables
Definition 8 On dit que l’application f est derivable sur I si elle est derivable en tout pointde I.Sa derivee est alors l’application, notee f ′, Df ou df
dxqui associe a tout point a de I la derivee
de f en a.On dit que f est C1 sur I, si f est derivable sur I et si f ′ est continue sur I. On note C1(I, F )l’ensemble des applications de classe C1 sur I.
Exemple 9 A ∈Mn(K), f : R→Mn(K) definie par f(t) = etA, f est de classe C1 et
f ′(t) = Af(t) = f(t)A
59
Proposition 10 L’ensemble E des applications derivables de I dans F est un espace vectoriel,et la derivation D : E → A(I, F ) est une application lineaire.
Proposition 11 Soit T une application lineaire de F dans un espace vectoriel G de dimensionfinie. Si f ∈ C1(I, F ) alors Tof ∈ C1(I,G).et
(Tof)′ = Tof ′
Proposition 12 Soit B une base de F . Une application f est de classe C1 sur I ssi ses fonctionscomposantes dans B sont de classe C1, et dans ce cas les fonctions composantes de f ′ sont lesderivees des fonctions composantes de f .
f =n∑i=1
fiei ⇒ f ′ =n∑i=1
f ′iei
Corollaire 13 M : I → Mn,p(K), x 7→ (mi,j(x)) est derivable sur I ssi ∀(i, j) mi,j estderivable sur I et
M ′(x) = (m′i,j(x))
Corollaire 14 f : I → C est derivable sur I ssi Ref et Imf sont derivables sur I et
f ′ = (Ref)′ + i (Imf)′
Corollaire 15 Si f ∈ C(I, F ) est derivable sur I
alors f est constante sur I ssi f ′ est nullesur I
Theoreme 16 Soient F,G etH trois espaces vectoriels de dimension finies etB une applicationbilineaire continue de F ×G dans H.Si f ∈ C1(I, F ) et si g ∈ C1(I,G) alors B(f, g) ∈ C1(I,G) et
B(f, g)′ = B(f ′, g) +B(f, g′)
Exemple 17 Si F est un espace vectoriel euclidien et si (f, g) ∈ C1(I, F )2 alors (f |g) et ‖f‖22
sont de classe C1 et
(f |g)′ = (f ′|g) + (f |g′)(‖f‖2
2
)′= 2 (f |f ′)
∀x ∈ I, ‖f(x)‖22 = 1⇒ ∀x ∈ I, (f(x)|f ′(x)) = 0
Proposition 18 Soit ϕ est une application p-lineaire sur E1 × E2 × ....× Ep,si pour tout i, fi ∈ C1(I, Ei) alors ϕ(f1, f2, ..., fp) est de classe C1 sur I et on a :
ϕ(f1, f2, ..., fp)′ = ϕ(f ′1, f2, ..., fp) + ϕ(f1, f
′2, ..., fp) + ....+ ϕ(f1, f2, ..., f
′p)
Exemple 19 Si B est une base d’un espace vectoriel E de dimension p,si pour tout i, fi ∈ C1(I, E) alors detB(f1, f2, ..., fp) est de classe C1 sur I et on a :(
detB
(f1, f2, ..., fp))′
= detB
(f ′1, f2, ..., fp) + detB
(f1, f′2, ..., fp) + .....+ det
B(f1, f2, ..., f
′p)
Proposition 20 Soient I et J deux intervalles,supposons f ∈ C1(I, F ) , g ∈ C1(I, J) et g(J) ⊂ I, l’application fog est alors de classe C1 et ona :
(fog)′ = g′ (f ′og)
Corollaire 21 Si f est paire (resp impaire) et derivable alors f ′ est impaire (resp paire)si f est T−periodique alors f ′ est T−periodique
60
2 Fonctions de classe Ck
Definition 22 On dit qu’une application f est de classe
1. C0 sur I si elle est continue sur I
2. Ck sur I, avec k ∈ N∗, si elle est derivable sur I et sa derivee est de classe Ck−1 sur I
3. C∞ sur I, si elle est de classe Ck, pour tout k ∈ N.On note Ck(I, F ) l’ensemble des fonctions de classe sur I.
Proposition 23 f ∈ Ck(I, F ) ssi Dk(f) existe et est continue sur I . On note Dk(f) = f (k)
Proposition 24 Ck(I, F ) est un espace vectoriel, et la derivation D : Ck(I, F ) → Ck−1(I, F )est une application lineaire.
Exemple 25 Dn(exp) = exp, dneix
dnx= ineix
Dn(cos)(x) = cos(x+ nπ2), Dn(sin)(x) = sin(x+ nπ
2)
Proposition 26 Formule de Leibnitz :Soient F,G et H trois espaces vectoriels et B une application bilineaire continue de F ×G dansH.Si f ∈ Ck(I, F ) et si g ∈ Ck(I,G) alors B(f, g) ∈ Ck(I,G) et pour n ≤ k on a :
B(f, g)(n) =n∑p=0
(n
p
)B(f (p), g(n−p))
Proposition 27 Soient I et J deux intervalles, f et g deux applications telles que f ∈ Ck(I, F ), g ∈ Ck(J, I) et g(J) ⊂ I, l’application fog est alors de classe Ck.
Definition 28 Soit I et J deux intervalles de R, on dit que ϕ est un Ck diffeomorphisme deJ sur I (k ≥ 1) si ϕ est une bijection de J sur I et si ϕ et ϕ−1 sont de classe Ck
Proposition 29 Soit ϕ une fonction de classe Ck sur un intervalle J de R a valeur dans R.ϕ est un Ck diffeomorphisme de J sur I = ϕ(J) si et seulement si
∀t ∈ J, ϕ′(t) 6= 0
3 Integration des fonctions vectorielles
On notera:B(J, F ) l’ensemble des applications bornees de J dans FE(J, F ) l’ensemble des applications en escaliers de J dans FCM(J, F ) l’ensemble des applications continues par morceaux de J dans F .
4 Integration sur un segment
4.1 Definition
Definition 30 Soient ϕ une fonction en escalier sur J et (ai) une subdivision adaptee a ϕ. Onappelle integrale de ϕ sur J , et on note
∫Jϕ l’element de F defini par∫
J
ϕ =∑i
(ai − ai−1)ci
61
ou ci est la valeur constante de ϕ sur ]ci−1, ci[.
Proposition 31 L’integrale ne depend pas de la subdivision adaptee choisie.
Proposition 32 Toute fonction continue par morceaux sur [a, b] est limite uniforme de fonc-tions en escaliers.
Definition 33 Soit f ∈ CM(J, F ), si (ϕn) et (ψn) sont deux suites de fonctions en escalierconvergeant uniformement vers f alors
lim
∫J
ϕn = lim
∫J
ψn
Ce nombre est appele integrale de f sur J .
4.2 Proprietes
Corollaire 34 f ∈ CM(J,C),∫J
f =
∫J
f , Re
(∫J
f
)=
∫J
Re(f), Im
(∫J
f
)=
∫J
Im(f)
Corollaire 35 Supposons que F soit un espace vectoriel de dimension finie de base B =(ei)1≤i≤n, f ∈ CM(J, F ) si et seulement si les applications composantes fi dans la base B sontcontinues par morceaux, on a alors ∫
J
f =n∑i=1
(∫J
fi
)ei
Proposition 36 Soit (ai)0≤i≤n une subdivision de J , soit f ∈ CM(J, F ), on a∫J
f =n∑i=1
∫[ai−1,ai]
f
Proposition 37 Pour toute fonction f ∈ CM(J, F ),∥∥∥∥∫J
ϕ
∥∥∥∥ ≤ ∫J
‖f‖
Definition 38 Soit u = (xi)0≤i≤n une subdivision de [a, b] et v = (yi)1≤i≤n une famille depoints telle que ∀i ∈ 1, .., n, yi ∈ [xi−1, xi]. Soit f ∈ C(J, F ), on appelle somme de Riemannde f associee a la subdivision (xi)0≤i≤n et a la suite (yi)1≤i≤n l’element de F defini par
σ(f, u, v) =n∑i=1
(xi − xi−1)f(yi)
Theoreme 39 Soit f ∈ C(J, F ), pour tout reel ε > 0, il existe un reel η > 0 tel que pour toutesubdivision u = (xi)0≤i≤n de [a, b] et toute famille v = (yi)1≤i≤n telle que ∀i ∈ 1, .., n, yi ∈[xi−1, xi], on ait :
δ(u) ≤ η ⇒∥∥∥∥∫
J
f − σ(f, u, v)
∥∥∥∥ ≤ ε
Les sommes de Riemann d’une fonction continue convergent vers l’integrale lorsque le pas dela subdivision tend vers 0.
62
Remarque 40 Le theoreme precedent se generalise aux fonctions continues par morceaux.
Notation 41 Une application est continue par morceaux sur un intervalle I quelconque si sarestriction a tout segment de I est continue par morceaux.Dans ce cas si a et b sont deux elements de I on note :∫ b
a
f(t)dt =
∫
[a,b]f si a < b
−∫
[b,a]f si a > b
0 si a = b
5 Primitives et integrales
Definition 42 On considere un intervalle I et un espace de dimension finie E. On appelleprimitive d’une fonction f : I → E toute fonction derivable F : I → E telle que F ′ = f .
Remarque 43 Il suffit de travailler composante par composante.
Proposition 44 Toute fonction continue f : I → K admet une primitive F : I → K definiepar
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt
avec a ∈ I. Deux primitives de F different d’une constante.
Remarque 45 Si f est continue par morceaux sans etre continue F n’est pas derivable auxpoints de discontinuite de f et n’est donc pas une primitive de f .
Theoreme 46 Inegalite des accroissements finisSoit f une fonction definie sur un intervalle I de R dans un espace vectoriel de dimension finie.Soit (a, b) ∈ I2 avec a < b. Si:
1. f est continue sur [a, b]
2. f est C1 sur [a, b]
3. ∃k ∈ R, ∀t ∈ [a, b], ‖f ′(t)‖ 6 k
alors on a:‖f(b)− f(a)‖ 6 k|b− a|
6 Formules de Taylor
Theoreme 47 Formule de Taylor avec reste integralSoit p ∈ N et f une fonction de classe Cp+1 sur un intervalle I a valeurs dans un espace vectorielnorme E de dimension finie, et a ∈ I,
∀x ∈ I, f(x) =
p∑k=0
(x− a)k
k!fk(a) +
∫ x
a
(x− t)p
p!f (p+1)(t)dt
Theoreme 48 Inegalite de Taylor-Lagrange a l’ordre p pour une fonction de classe Cp+1
Soit p ∈ N et f une fonction de classe Cp+1 sur un intervalle I a valeurs dans un espace vectorielnorme E de dimension finie. Si, pour tout t ∈ I, ‖f (p+1)(t)‖ 6M alors
∀x ∈ I, ‖f(x)−p∑
k=0
(x− a)k
k!fk(a)‖ 6M
|x− a|+1
(p+ 1)!
63
Theoreme 49 Formule de Taylor-Young a l’ordre p pour une fonction de classe Cp
f(a+ h) =
p−1∑k=0
f (k)(a)
k!hk + o(hp)
7 Arcs parametres
Definition 50 On appelle arc parametre ou courbe parametre de classe Ck (k ≥ 1) , touteapplication γ de classe Ck d’un intervalle I de R vers un evn de dimension finie E.On appelle arc geometrique associe a γ l’image Γ = γ(I)
Definition 51 On dit que ϕ est un changement de parametre si ϕ un diffeomorphisme declasse Ck de J sur I.Le changement de parametre est dit positif si ∀x ∈ J, ϕ′(x) > 0On dit que γoϕ est un nouveau parametrage de l’arc geometrique Γ.
Definition 52 On appelle arc oriente toute classe d’equivalence d’arcs parametres a change-ment de parametre positif.
Definition 53 On dit que γ est regulier en t0 ou encore en γ(t0) est regulier si−−−→γ′(t0) 6= 0.
Definition 54 La tangente a γ en un point regulier t0 est la droite :
γ(t0) + R−−−→γ′(t0)
Dans toute la suite on suppose E = R2.
Proposition 55 Formule de Taylor :Supposons γ de classe C∞ et t0 ∈ I, supposons qu’il existe (p, q) tel que p soit le plus petit
entier tel que−−−−→γ(p)(t0) 6= 0 et q le plus petit entier tel que
(−−−−→γ(p)(t0),
−−−−→γ(q)(t0)
)libre, on a :
γ(t0 + h) = γ(t0) +hp
p!
−−−−→γ(p)(t0)(1 + o(h)) +
hq
q!
−−−−→γ(q)(t0) + o(hq)
Definition 56 Avec les notations precedentes, on definit :la tangente a γ au point t0 par la droite :
γ(t0) + R−−−→γp(t0)
les differentes sortes de point
p impair et q pair γ(t0) est un point ordinairep impair et q impair γ(t0) est un point d’inflexionp pair et q impair γ(t0) est un point de rebroussement de premiere especep pair et q pair γ(t0) est un point de rebroussement de seconde espece
Definition 57 On dit que la courbe γ presente une branche infinie lorsque t→ t0 si limt→t0
∥∥∥−−−→Oγ(t)∥∥∥ =
+∞
64
Proposition 58 Soit R(O,−→i ,−→j ) un repere orthonorme et supposons que
−−−→Oγ(t) = f(t)
−→i +
g(t)−→j ,
limt→t0 f(t) = ±∞ et limt→t0 g(t) = y0 la droite d’equation y = y0 est asymptotelimt→t0 f(t) = x0 et limt→t0 g(t) = ±∞ la droite d’equation x = x0 est asymptote
limt→t0 f(t) = ±∞ et limt→t0 g(t) = ±∞ limt→t0g(t)f(t)
= 0 direction asymptotique Ox
limt→t0g(t)f(t)
= +∞ direction asymptotique Oy
limt→t0g(t)f(t)
= a ∈ R∗ et limt→t0 g(t)− af(t) = b
alors la droite y = ax+ b est asymptote
Definition 59 On dit que M est un point multiple de la courbe parametree si il existe aumoins deux reels distincts t1 et t2 tels que M = γ(t1) = γ(t2)
8 Courbes en polaires
Soit O un point et−→i un vecteur unitaire, (O,
−→i ) est un repere polaire.
Soit θ ∈ R, on definit le vecteur−−→u(θ) par :∥∥∥−−→u(θ)
∥∥∥ = 1
−→i ,−−→u(θ) = θ
Definition 60 On dit que (ρ, θ) est un couple de coordonnees polaires du point M si
−−→OM = ρ
−−→u(θ)
Proposition 61 Si (ρ, θ) est un couple de coordonnees polaires du point M alors l’ensembledes couples de coordonnees polaires de M est :
(ρ, θ + 2kπ) , k ∈ Z(−ρ, θ + (2k + 1)π) , k ∈ Z
Definition 62 Soit ρ une application de classe Ck d’une partie D de R dans R. On appellecourbe en coordonnees polaires l’ensemble des points de coordonnees polaires (ρ(θ), θ) ou θ ∈ D. −−−−→
OM(θ) = ρ(θ)−−→u(θ)
Proposition 63 Avec les notations precedentes et en posant−−→v(θ) =
−−−−−−→u(θ + π
2
)on a :
−−−−−→OM ′(θ) = ρ′(θ)
−−→u(θ) + ρ(θ)
−−→v(θ)
Proposition 64 Supposons limθ→θ0 ρ(θ) = ±∞ , on a :
si limθ→θ0 sin(θ − θ0)ρ(θ) = a alors O + a−−−→v(θ0) + R
−−−→u(θ0) est asymptote
sinon la courbe presente une direction asymptotique−−−→u(θ0)
Plan d’etude d’une courbe en polaire :
• ensemble de definition,
65
• reduction de l’ensemble d’etude (parite, periodicite de ρ),
• etude du signe de ρ avec eventuellement lorsque les calculs sont simples les variationsde ρ,
• etude des asymptotes eventuelles,
• trace de la courbe.
66
Chapitre 11
SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
E designe un espace vectoriel de dimension finie sur K (R ou C), A une partie non vide de E,F un espace vectoriel norme de dimension finie, B(A,F ) l’ensemble des applications borneesde A dans F .
1 Suites de fonctions
Soit (fn) une suite de fonctions de A dans F et f une fonction de A dans F .
1.1 Differents modes de convergence
Definition 1 Une suite (fn) converge simplement sur A vers f si
∀x ∈ A, lim fn(x) = f(x)
∀x ∈ A, ∀ε > 0, ∃nx,ε ∈ N, ∀n ≥ nx,ε ‖fn(x)− f(x)‖ ≤ ε
On dit que f est limite simple sur A de la suite (fn). On notera fn →s f sur A
Definition 2 Une suite (fn) converge uniformement sur A vers f si :
∀ε > 0, ∃nε∈ N, ∀x ∈ A, ∀n ≥ nε ‖fn(x)− f(x)‖≤ ε
On dit que f est limite uniforme sur A de la suite (fn). On notera fn →u f sur A
Remarque 3 La convergence uniforme entraıne la convergence simple.
Proposition 4 En notant µn = supx∈A ‖fn(x)− f(x)‖ ∈ R ∪ +∞
(fn →u f sur A)⇔ limµn = 0
Soit (fn) est une suite de B(A,F ), si (fn) converge uniformement sur A vers f alorsf ∈ B(A,F ).Soit (fn) est une suite de B(A,F ) et f ∈ B(A,F ), on remarque que µn = ‖fn − f‖∞ et donc
(fn →u f sur A)⇔ lim ‖fn − f‖∞ = 0
Exemple 5 1) fn : [0, 1]→ R, fn(x) = xn 2) fn : [0, 1]→ R, fn(x) = xn(1− x)n
1.2 Conservation des proprietes
1.3 par convergence simple
Proposition 6 Soit I un intervalle de R,
1. Toute limite simple de fonctions croissantes (resp decroissantes) de I dans R est croissante(resp decroissante).
2. Toute limite simple de fonctions convexes ( resp concaves) de I dans R est convexe (respconcave)
67
1.4 par convergence uniforme
Theoreme 7 Interversion de limites : Soit a ∈ A.∀n ∈ N, lima fn = ln(fn →u f sur A)
⇒
(ln) admet une limite llima f = l,
La deuxieme partie de l’implication se traduit par l’existence de la deuxieme limite et l’egalite
limx→a
limn→+∞
fn(x) = limn→+∞
limx→a
fn(x)
Remarque 8 Le resultat precedent reste vrai si A ⊂ R et a = +∞ ou a = −∞.
Corollaire 9 Toute limite uniforme de fonctions continues en un point a de A est continue ena.
Theoreme 10 Toute limite uniforme de fonctions continues sur A est continue sur A.
2 Series de fonctions
Soit (fn) une suite de fonctions de A dans F ,(Sn) la suite definie par Sn =∑n
k=0 fn et S unefonction de A dans F
2.1 Differents modes de convergence
Definition 11 On dit que :
• la serie∑fn converge simplement vers S sur A si la suite (Sn) converge simplement
vers S sur A, (S.C.)
• la serie∑fn converge uniformement vers S sur A si la suite (Sn) converge uniformement
vers S sur A, (U.C.)
• la serie∑fn converge absolument S sur A si ∀x ∈ A la serie
∑‖fn(x)‖ converge, (A.C.)
• la serie∑fn converge normalement sur A si
∀n ∈ N, fn ∈ B(A,F )la serie
∑‖fn‖∞ converge
(N.C.)
Theoreme 12 Toute serie normalement convergente sur A est uniformement convergente surA.
Exemple 13 On definit la fonction ζ de Riemann sur ]1,+∞[ par ζ(x) =∑∞
n=11nx
1)∑
n≥11nx
n’est pas CN sur A1 =]1,+∞[ mais CN sur A2 = [a,+∞[ avec a > 1
2)∑
n≥1(−1)n
nxn CU sur A = [0, 1]
3)∑
n≥1einx
n2
68
2.2 Conservation des proprietes par convergence uniforme
Theoreme 14 Interversion limite, serie : Soit a ∈ A.∀n ∈ N, lima fn = ln∑fn C.U. vers S sur A
⇒ ∑
ln convergelima S = l
Remarque 15 Le resultat precedent reste vrai si A ⊂ R et a = +∞ ou a = −∞.
Exemple 16∑
1nx
n’est pas uniformement convergente sur ]1,+∞[.
Theoreme 17 La somme de toute serie de fonctions continues surA qui converge uniformementsur A est continue sur A.
3 Interversion limite-integrale
Theoreme 18 de convergence uniforme sur [a, b]:La convergence uniforme sur [a, b] d’une suite de fonctions continues sur [a, b] entraine laconvergence en moyenne quadratique qui entraine la convergence en moyenne.
((fn)→u f) ⇒ N1(fn − f) = 0
((fn)→u f) ⇒ lim
∫ b
a
fn =
∫ b
a
f
∑fn C.U. sur I ⇒
∞∑n=1
(∫ b
a
fn
)=
∫ b
a
(∞∑n=1
fn
)Theoreme 19 de convergence dominee : soit I un intervalle quelconque de R ,∀n ∈ N, fn ∈ CM(I,C) et integrable sur Ifn → f sur If ∈ CM(I,C)∃ϕ ∈ CM(I,C) integrable sur I ∀n ∈ N, |fn| ≤ ϕ
⇒f ∈ CM(I,C) integrable sur I et
∫I
f = lim
∫I
fn
Remarque 20 Dans le cas ou I est un segment, l’hypothese de domination est equivalente adire que les fonctions fn sont bornees par une meme constante.
Theoreme 21∀n ∈ N, un ∈ CM(I,C) et integrable surI∑un → S sur I
S ∈ CM(I,C)∑(∫I|un|
)converge
⇒
S ∈ CM(I,C) et integrable sur I et
∫I
S =∞∑n=0
(∫I
un
)
Exemple 22 1) lim∫∞
1e−x
ndx 2)
∫∞0
tet−1
dt =∑∞
n=11n2 3)
∫ 1
0
∑∞n=1
(−1)ntn
n+1dt
4 Interversion limite-derivee
Theoreme 23∀n ∈ N, gn ∈ C1(I, F )gn → g sur Ig′n →u f sur tout segment J inclus dans I
⇒
g ∈ C1(I, F )g′ = fgn →u g sur tout segment J inclus dans I
69
Corollaire 24∀n ∈ N, gn ∈ C∞(I, F )gn → g sur I
∀k ∈ N∗, g(k)n →u fk sur tout segment J inclus dans I
⇒g ∈ C∞(I, F )∀k ∈ N∗ g(k) = fk
Corollaire 25∀n ∈ N, fn ∈ C1(I, F )∑fn → f sur I∑f ′n CU sur tout segment J inclus dans I
⇒f ∈ C1(I, F )f ′ =
∑∞n=0 f
′n
∀n ∈ N, fn ∈ C∞(I, F )
∀k ∈ N,∑f
(k)n CU sur sur tout segment J inclus dans I
⇒f =
∑∞n=0 fn ∈ C∞(I, F )
∀k ∈ N, f (k) =∑∞
n=0 f(k)n
Theoreme 26 la fonction ζ de Riemann est C∞ sur ]1,+∞[
ζ(x) =∞∑n=1
1
nx
5 Approximations des fonctions d’une variable reelle
On note CM([a, b], F ) l’ensemble des fonctions continues par morceaux de [a, b] dans F .On note E([a, b], F ) l’ensemble des fonctions en escaliers de [a, b] dans F
Theoreme 27 Toute fonction de CM([a, b], F ) est limite uniforme de fonctions en escaliers.
Theoreme 28 Toute fonction de C([a, b], F ) est limite uniforme de fonctions affines par morceauxet continues.
Proposition 29 Soit f une fonction continue sur [0, 1] a valeurs reelles ou complexes. Ondefinit la suite de polynome (Bn) par
Bn(x) =n∑k=0
Cknx
k(1− x)n−kf
(k
n
)(Bn) converge uniformement vers f sur [0, 1]
Bn est appele neme polynome de Bernstein associe a f .
Theoreme 30 de Weierstrass : Toute fonction continue sur [a, b] a valeurs reelles ou com-plexes est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales.
70
Chapitre 12
ESPACES VECTORIELS NORMES
E designe un espace vectoriel sur K de dimension quelconqueK designe R ou C.
1 Norme et distance
1.1 Norme
Definition 1 On appelle norme sur E toute application N : E → R+ telle que1) ∀x ∈ E,N(x) = 0⇒ x = 0 (separation)2) ∀(α, x) ∈ K× E,N(αx) = |α|N(x) (homogeneite)3) ∀(x, y) ∈ E2, N(x+ y) ≤ N(x) +N(y) (sous-additivite)On appelle espace vectoriel norme tout couple (E,N) forme d’un espace vectoriel E et d’unenorme N
Proposition 2 ∀(x, y) ∈ E2, |N(x)−N(y)| ≤ N(x− y) ≤ N(x) +N(y)
Definition 3 On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme un.
Exemple 4 1. norme sur un espace vectoriel muni d’un produit scalaire E
∀x ∈ E, ‖x‖ =√
(x|x)
2. Soit E un K ev de dimension n, soit B = (e1, ..., en) une base de E, soit x =∑n
k=1 xkek
‖x‖1 =n∑k=1
|xk| , ‖x‖2 =
(n∑k=1
|xk|2) 1
2
, ‖x‖∞ = maxk∈1,...n
|xk| ,
3. E = Mn(K)
N(A) = sup‖X‖∞ 6=0
‖AX‖∞‖X‖∞
4. Norme de la convergence uniforme E = f ∈ B(X,K); f bornee sur X
‖f‖∞ = supx∈X|f(x)|
5. E = f ∈ C([a, b],K); f continue sur [a, b]Norme de la convergence en moyenne:
‖f‖1 =
∫ b
a
|f(t)| dt
Norme de la convergence en moyenne quadratique
‖f‖2 =
(∫ b
a
|f(t)|2 dt) 1
2
71
6. E = f ∈ C(I,K); f integrable sur I ‖f‖1 =∫I|f |
E = f ∈ C(I,K); f 2 integrable sur I ‖f‖1 =(∫
I|f |2) 1
2
7.
l1(N,K) =
u = (un)n∈N | ∀n ∈ N , un ∈ K et
∞∑k=1
|uk| converge
, ‖u‖1 =
∞∑k=1
|uk|
l2(N,K) =
u = (un)n∈N | ∀n ∈ N un ∈ K et
∞∑k=1
|uk|2 converge
, ‖u‖2 =
√√√√ ∞∑k=1
|uk|2
l∞(N,K) = u = (un)n∈N, ∀n ∈ N un ∈ K et u bornee , ‖u‖∞ = supk∈N|uk|
Definition 5 Si E est algebre muni d’une norme N , on dit que N est une norme d’algebresi
1. ∀(u, v) ∈ A2, ‖uv‖ ≤ ‖u‖ ‖v‖2. ‖1A‖ = 1
Exemple 6 1. E = Mn(K), N est une norme d’algebre
2. E = B(X,K) , ‖f‖∞ est une norme d’algebre
Theoreme-definition 7 Soit E un evn muni de la norme N et F un sev de E. L’applicationN ′ : F → R+ definie par ∀x ∈ F N ′(x) = N(x) est une norme sur F appelee norme induitesur F par N .
Theoreme-definition 8 Soient E1, ....En n evn munis des normes respectives N1, ...Nn.L’application N : E1 × ....× En → R+ definie par
∀(x1, ...xn) ∈ E1 × ....× En N(x1, ...xn) = maxi∈1...n
Ni(xi)
est une norme sur E1 × ....× En appelee norme produit.
Remarque 9 Sur Kn la norme produit est la norme infinie.
1.2 Distance
Definition 10 Soit (E,N) un evn, on appelle distance associee a N l’application d : E2 →R+ definie par :
∀(x, y) ∈ E2, d(x, y) = N(x− y)
Si A est une partie de E, on appelle distance induite sur A par (E,N) l’application d : A2 →R+ definie par :
∀(x, y) ∈ A2, d(x, y) = N(x− y)
Proposition 11 Soit d la distance associee a un evn E1) ∀(x, y) ∈ E2, d(x, y) = d(y, x)2) ∀(x, y) ∈ E2, d(x, y) = 0⇔ x = y3) ∀(x, y, z) ∈ E3, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
72
Definition 12 Une partie A de E est dite bornee si il existe un reel M tel que ∀x ∈ A, N(x) ≤M
Definition 13 Une application f d’un ensemble X dans E est dite bornee si f(X) est unepartie bornee de E.
Definition 14 Soit (E,N) un evn et d la distance associee, soit a un point de E et r un reelstrictement positif,on appelle boule ouverte, resp boule fermee, resp sphere de centre a et de rayon r lesensembles
B(a, r) = x ∈ E | d(x, a) < rB′(a, r) = x ∈ E | d(x, a) ≤ r
S(a, r) = x ∈ E | d(x, a) = r
Definition 15 Soit x un point de E et A et B deux parties non vides de E, on appelle distancede x a A , diametre de A, distance de A a B les reels definis par :
d(x,A) = infd(x, y) | y ∈ Adiam(A) = supd(x, y) | (x, y) ∈ A2
d(A,B) = infd(x, y) | (x, y) ∈ A×B
Definition 16 Soit E evn de distance induite d, soit A une partie de E, soit F evn de distanceinduite d′, soit f une application de A dans F .On dit que f est k lipschitzienne sur A si
∃k > 0, ∀(x, y) ∈ A2 d′(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y)
2 Suites d’elements dans un evn, normes equivalentes
Definition 17 1) On dit qu’une suite (un)n∈N dans E converge vers un element l ∈ E si
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ n0 ⇒ ‖un − l‖ ≤ ε
2) On dit qu’une suite (un)n∈N dans E converge si il existe un element l de E tel que (un)n∈Nconverge vers l.3) On dit qu’une suite (un)n∈N dans E diverge si elle ne converge pas.
Proposition 18 Si la suite (un)n∈N dans E converge alors la limite est unique, elle est noteelimn→∞ un
Proposition 19 Soient E1, ...., Ep des evn et soit E = E1× ....×Ep muni de la norme produit.Soit (un)n∈N une suite de E avec ∀n ∈ N un = (u1,n, ....., up,n) et l = (l1, ...., lp)
limn→∞
un = l⇐⇒ ∀k ∈ 1, ....., p limuk,n = lk
Proposition 20 Toute suite convergente est bornee.
Proposition 21 Proprietes algebriques des suites convergentes
73
Definition 22 Soient deux normes N et N ′ sur E.On dit que N est equivalente a N ′si :
∃α > 0, β > 0, ∀x ∈ E, αN(x) ≤ N ′(x) ≤ βN(x)
Proposition 23 La relation ”est equivalente a ” est une relation d’equivalence dans l’ensembledes normes et on dit alors que les normes sont equivalentes.
Proposition 24 Si N et N ′ sont deux normes equivalentes sur E alorsune suite converge vers l au sens de N si et seulement si elle converge vers l au sens de N ′
Remarque 25 Si il existe une suite (xn)n∈N d’elements de E\0 telle que N(xn)N ′(xn)
tende vers 0
ou l’infini alors N et N ′ ne sont pas equivalentes.
Exemple 26 1) les normes 1, 2,∞ sur Kn sont equivalentes: ∀x ∈ Kn,
‖x‖∞ ≤ ‖x‖1 ≤ n ‖x‖∞‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤
√n ‖x‖∞
‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤√n ‖x‖2
2) les normes 1, 2,∞ sur E = C([a, b],K) sont deux a deux non equivalentes mais ∀f ∈ E
‖f‖1 ≤ (b− a)12 ‖f‖2
‖f‖2 ≤ (b− a)12 ‖f‖∞
Definition 27 Soit (xn)n∈N une suite d’elements de E, on dit que la suite (yn)n∈N est extraitede (xn)n∈N si il existe une application ϕ strictement croissante de N dans N telle que ∀n ∈N, yn = xϕ(n)
Definition 28 Soit (xn)n∈N une suite d’elements de E et a un element de E,on dit que a est une valeur d’adherence de (xn)n∈N si il existe une suite extraite de (xn)n∈Nqui converge vers a.
Proposition 29 a est une valeur d’adherence de la suite (xn)n∈N si et seulement si
∀ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n > N, ‖xn − a‖ ≤ ε
Dans ce cas ∀ε > 0, il existe une infinite de n ≥ N tels que ‖xn − a‖ ≤ ε.
Proposition 30 Toute suite ayant au moins deux valeurs d’adherence distinctes est divergente.
Definition 31 Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites d’elements de E et soit (αn)n∈N une suitereelle. On dit que :
un = O(αn) si ∃M > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, ‖un‖ ≤Mαn
un = o(αn) si ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, ‖un‖ ≤ εαn
un ∼ vn si ‖un − vn‖ = o(‖un‖)
Proposition 32 un ∼ vn est une relation d’equivalence sur l’ensemble des suites d’elementsde E.
74
3 Topologie d’un evn
3.1 Voisinage, ouvert, ferme
Definition 33 1) Soit x un element de E et V une partie de E, on dit que V est un voisinagede x si il existe un reel r > 0 tel que B(x, r) ⊂ V . On note V(x) l’ensemble des voisinages dex.2) Une partie U de E est dite ouverte si U est vide ou est voisinage de chacun de ses points.3) Une partie F de E est dite fermee si son complementaire est ouvert.
Remarque 34 Ces notions sont independantes des normes equivalentes choisies.
Exemple 35 Soit a un element de E et r un reel positif :B(a, r) est un ouvert,B′(a, r) et S(a, r) sont des fermes.
Proposition 36 1) Toute reunion d’ouverts est un ouvert.2) Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.3) Toute reunion finie de fermes est un ferme.4) Toute intersection de fermes est un ferme.
Remarque 37 Une intersection quelconque d’ouverts peut ne pas etre un ouvertUne reunion quelconque de fermes peut ne pas etre un ferme.
3.2 Adherence
Definition 38 Soit A une partie de E. On dit que le point x de E est adherent a A si toutvoisinage de x contient un point de A c’est a dire
∀V ∈ V(x), V ∩ A 6= ∅
L’ensemble des points adherents a A est appele l’adherence de A et est note A.
x ∈ A⇔ ∀r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅
Remarque 39
A ⊂ A
A ⊂ B ⇒ A ⊂ B
Proposition 40 1. Soit A une partie de E.
A fermee⇐⇒ A = A
2. Un point x de E est adherent a A si et seulement si il est limite d’une suite de points deA, c’est a dire
x ∈ A⇔ ∃(xn)n∈N ∈ AN | limn→∞
xn = x
3. A est fermee si et seulement si toute suite de points de A convergente, converge vers unpoint de A.
Proposition 41 L’adherence de A est le plus petit ferme contenant A.
75
Exemple 42 B(a, r) = B′(a, r)
Proposition 43 Soient A et B deux parties de E ,
A ∪B = A ∪BA ∩B ⊂ A ∩B
Definition 44 Soit B une partie de E, une partie A de E est dite dense dans B si sonadherence est B, c’est a dire A = B
Exemple 45 1. Q et Qc sont denses dans R.
3.3 Interieur, frontiere
Definition 46 Soit A une partie de E.1) On dit que le point x de E est interieur a A si A est un voisinage de x, c’est a dire
∃r > 0, B(x, r) ⊂ A
L’ensemble des points interieurs a A est appele l’interieur de A et est note A.2) On dit que le point x de E est un point frontiere de A s’il est adherent a A sans etreinterieur a A c’est a dire s’il appartient a A\A. L’ensemble des points frontieres de A estappele frontiere de A et est notee Fr(A).
Remarque 47 Soit A une partie de E,
A est ouverte⇔ A = A
Remarque 48 Fr(A) ∪ A = A
Exemple 49 1. B′(a, r)o = B(a, r), F r(B(a, r)) = Fr(B′(a, r)) = S(a, r),2. L’interieur d’un sous-espace vectoriel de E different de E est vide.
Proposition 50 L’interieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A.
Proposition 51 Soient A et B deux parties de E.
c(A)
= cA
A ⊂ B ⇒ A ⊂ B˚︷ ︸︸ ︷
A ∩B = A ∩ B
A ∪ B ⊂˚︷ ︸︸ ︷
A ∪B
3.4 Topologie induite
Definition 52 Soit A une partie de E.Soit x un element de A et V une partie de A, on dit que V est un voisinage de x relatif a A(ou voisinage de x dans A) si il existe un voisinage V ′de x tel que V = V ′ ∩ A, c’est a dire si
∃r > 0, B(x, r) ∩ A ⊂ V
Proposition 53 1) Soit U une partie de A, U est un ouvert de A si et seulement si il existeun ouvert U ′ de E tel que U = U ′ ∩ A.2) Soit F une partie de A, F est un ferme de A si et seulement si il existe un ferme F ′ de Etel que F = F ′ ∩ A.
76
4 Etude locale d’une application, continuite
Soient (E, ‖.‖E) et (F, ‖.‖F ) deux evn et f une application d’une partie A de E dans F . Soita ∈ A.
4.1 Definitions
Definition 54 1) Soit b un element de F , on dit que f admet comme limite b au point a si
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ A, ‖x− a‖E ≤ α⇒ ‖f(x)− b‖F ≤ ε
2) f admet une limite en a si il existe un element b de F tel que f admette comme limite bau point a.
Remarque 55 1. la notion de limite est independante des normes equivalentes choisies
limaf = b⇔ ∀W ∈ V(b), ∃V ∈ V(a), f(V ∩ A) ⊂ W
limaf = b⇔ ∀W ∈ V(b), f−1(W ) est un voisinage de a relatif a A
Proposition 56 Si f admet une limite en a alors elle est unique et on la note limx→a f(x) oulima f
Remarque 57 lima f ∈ f(A) .
Definition 58 Soit a ∈ A , f est continue en a si f admet une limite en a .
Proposition 59 Supposons a ∈ A, si f est continue en a alors lima f = f(a).
Proposition 60 Supposons a /∈ A, f admet une limite en a si et seulement si f se prolongepar continuite en a.
Definition 61 Soit P ⊂ A, et a ∈ P . On dit que f admet une limite au point a selon P si larestriction de f a P admet une limite en a.
Definition 62 1) Supposons E = R et A une partie de R contenant un intervalle du type[a,∞[, soit b un element de F , on dit que f admet comme limite b en +∞ si
∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x ∈ A, x ≥M ⇒ ‖f(x)− b‖ ≤ ε
On definit de meme la limite en −∞2) Supposons F = R, on dit que f admet comme limite +∞ au point a si
∀M > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ A, ‖x− a‖ ≤ α⇒ f(x) ≥M
On definit de meme la limite −∞
77
4.2 Proprietes
Proposition 63 Operations algebriques sur les limites:
Proposition 64 1) Limite d’une application composee:Soient E, F et G trois evn, f une application d’une partie A de E dans F et g une applicationd’une partie B de F dans G telle que f(A) ⊂ B. Soit a un point adherent a A. Si lima f = bet si limb g = l alors lima gof = l2) la composee de deux applications continues respectivement en a et f(a) est continue en a.
Proposition 65 Supposons F = F1 × ... × Fn muni de la norme produit et ∀x ∈ A, f(x) =(f1(x), ...., fn(x)), on a :
limaf = (l1, ...., ln)⇔ ∀i ∈ 1, ...., n, lim
afi = li
f est continue en a si et seulement si les applications composantes fi sont continues en a
Proposition 66 lima f = l si et seulement si, pour toute suite (xn)n∈N de points de A con-vergeant vers a la suite (f(xn))n∈N converge vers l.
Definition 67 Soient E et F deux evn, soit A une partie de E, soit a ∈ Asoient f et g deux applications de A dans F , soit ϕ une application de A dans R+ . On dit que
f = Oa(ϕ) si ∃M > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ B(a, r) ∩ A ‖f(x)‖ ≤Mϕ(x)
f = oa(ϕ) si ∀ε > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ B(a, r) ∩ A ‖f(x)‖ ≤ εϕ(x)
f ∼ ag si ‖f − g‖ = oa(‖g‖)
Proposition 68 ∼aest une relation d’equivalence sur l’ensemble des applications de A dansF .
4.3 Continuite
Definition 69 On dit que f est continue si elle est continue en tout point de A.
Proposition 70 Toute application lipschitzienne est continue.
Exemple 71 1. les applications coordonnees, la norme sont des applications continues,
2. B est une partie de E, les applications x 7→ d(x,B) , (x, y) 7→ d(x, y) sont continues .
Proposition 72 C(A,F ) l’ensemble des applications continuesA dans F est un espace vectorielet,C(A,K) est une algebre.
Exemple 73 l’application det de Mn(K) muni de la norme produit dans K est continue.
Proposition 74 1) La composee de deux applications continues est continue.2) La restriction d’une application continue est continue.3) Si F est un espace vectoriel produit muni de la norme produit et si f est une application deE dans F alors :f est continue si et seulement si ses composantes sont continues.
Proposition 75 Deux applications continues de A dans F coıncidant sur une partie B de Adense dans A sont egales.
78
Theoreme 76 f est continue si et seulement si l’image reciproque de tout ouvertde F est un ouvert de A.f est continue si et seulement si l’image reciproque de tout ferme de F est un fermede A.C’est en general faux pour les images directes.
Definition 77 Soit f une application de A dans B une partie de F ,on dit que f est un homeomorphisme si f est bijective et si f et f−1sont continues.
Remarque 78 L’application t ∈ [0, 2π[→ eit ∈ U est continue, bijective mais n’est pas unhomeomorphisme.
Exemple 79 1. [a, b] et [c, d] sont homeomorphes .
2. ]a, b] , ]c, d] ,[c, d[ sont homeomorphes .
3. Tous les intervalles ouverts de R sont homeomorphes a R.
4. Une application continue, strictement monotone sur un intervalle I de R a valeurs dansR induit un homeomorphisme de I sur un intervalle J de R .
5 Applications lineaires continues
Soient (E, ‖.‖E), (F, ‖.‖F ), (G, ‖.‖G) trois evn
Theoreme 80 Soit u une application lineaire de E dans F, on a equivalence entre les proprietessuivantes:1) ∃k ≥ 0, ∀x ∈ E, ‖u(x)‖F ≤ k ‖x‖E2) u est lipschitzienne,3) u est continue en 0,4) u est continue,On note LC(E,F ) l’ensemble des applications lineaires continues de E dans F .
Exemple 81 1. f →∫ 1
0f sur C([0, 1],R) muni de ‖.‖∞
2. E = R[X] muni de la norme infinie, D l’operateur de derivation.
Proposition 82 Deux normes N et N ′ sur E sont equivalentes si et seulement si l’applicationidentite est une homeomorphie de (E,N) vers (E,N ′).
Theoreme 83 • Les 3 propositions suivantes sont equivalentes :f ∈ LC(E,F )f est bornee sur B′(0, 1)f est bornee sur S(0, 1)
• LC(E,F ) est un espace vectoriel et l’application de LC(E,F ) dans [0,+∞[ par :
‖f‖ = sup‖x‖E≤1
‖f(x)‖ = sup‖x‖E=1
‖f(x)‖ = sup‖x‖6=0
‖f(x)‖‖x‖
est une norme appelee norme subordonnee.‖f‖ est la plus petite constante k ≥ 0 telle que ∀x ∈ E, ‖u(x)‖F ≤ k ‖x‖E.
∀x ∈ E, ‖u(x)‖F ≤ ‖f‖ ‖x‖E
79
Proposition 84 Si u et v sont des applications continues, uov l’est aussi et ‖uov‖ ≤ ‖u‖ ‖v‖.LC(E) est une algebre et la norme subordonnee est une norme d’algebre.
Definition 85 Soit B une application bilineaire de E × F vers G, on a equivalence entre lesproprietes suivantes :1) ∃k ≥ 0, ∀(x, y) ∈ E × F, ‖B(x, y)‖G ≤ k ‖x‖E ‖y‖F2) B est continue en (0, 0),3) B est continue.
Exemple 86 1) l’application (λ, x)→ λ.x de K× E dans E est continue,2) le produit scalaire sur un espace prehilbertien est continue,3) l’application (u, v)→ uv dans une algebre normee est continue.
6 Compacite
Definition 87 Une partie A d’un espace vectoriel norme E est compacte si toute suite depoints de A admet une valeur d’adherence dans A.
Theoreme 88 L’image par une application continue d’un compact est un compact.
Definition 89 Une application d’une partie A de E vers F est dite uniformement continuesur A si
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀(x, y) ∈ A2, ‖x− y‖ ≤ α⇒ ‖f(x)− f(y)‖ ≤ ε
Exemple 90 Toute application lipschitzienne sur A est uniformement continue sur A,la reciproque est fausse (x→
√x sur [0, 1]).
Theoreme 91 Toute application continue sur une partie compacte est uniformementcontinue sur ce compact.
Proposition 92 Toute partie compacte est fermee bornee.
Proposition 93 Toute partie fermee d’une partie compacte est compacte.
Proposition 94 Si A est une partie compacte de E et B une partie compacte de F alors A×Best une partie compacte de E × F muni de la norme produit.
Theoreme 95 de Bolzano-Weierstrass :De toute suite bornee d’elements de R ou C, on peut extraire une suite convergente.
Theoreme 96 Dans Kn avec n ≥ 1 muni de la norme infinie, les parties compactessont les parties fermees bornees.
Theoreme 97 Toute application continue sur un compact a valeurs dans R est bornee etatteint ses bornes.
Proposition 98 Si f ∈ C([a,+∞[,R) avec lim∞ f = +∞ , alors f est minoree et atteint saborne inferieure.
80
7 Espaces vectoriels normes de dimension finie
7.1 Topologie
Theoreme 99 Dans un espace vectoriel norme de dimension finie toutes les normes sontequivalentes.
Theoreme 100 Soient N et N ′ deux normes sur E.1) les parties bornees pour N et N ′ sont les memes,2) les voisinages d’un point x de E pour N et N ′ sont les memes,2) les parties ouvertes pour N et N ′ sont les memes,3) les parties fermees pour N et N ′ sont les memes.4)Les notions d’applications lipschitziennes, de limites, de continuite, de continuite uniformed’une application, de convergence de suites, de parties compactes, de suites de Cauchy, departies completes dans les evn de dimensions finies ne dependent pas de la norme.
Theoreme 101 Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toute applicationlineaire de E dans F est continue.
Theoreme 102 Tout evn E de dimension finie est un espace de Banach et,les parties completes de E sont les parties fermees.
Proposition 103 Pour qu’une suite d’elements de E converge, il faut et il suffit que ses coor-donnees dans une base de E convergent, les coordonnees de la limite sont alors les limites descoordonnees.
Theoreme 104 de Bolzano-Weierstrass :Dans un evn de dimension finie, les parties compactes sont les parties fermeesbornees.De toute suite bornee, on peut extraire une suite convergente.
Proposition 105 La partie constituee des elements d’une suite convergente et de sa limite estcompacte.
7.2 Connexite par arcs
Theoreme 106 des valeurs intermediaires :Si I est un intervalle de R et si f ∈ C(I,R) alors f(I) est un intervalle de R.
Corollaire 107 Si K est un segment de R et si f ∈ C(K,R) alors f(K) est un segment de R.
Definition 108 Soit E un evn de dimension finie. On appelle arc ou chemin continu touteapplication γ continue d’un segment [a, b] de R non reduit a un point vers E. On appellesupport l’ensemble γ([a, b]), on appelle origine x = γ(a) et extremite x′ = γ(b), on dit alors queγ relie x a x′.Une partie A de E est dite connexe par arcs si pour tout (x, x′) de A2, il existe un arc reliantx a x′ dont le support est dans A.
Theoreme 109 Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles.
Theoreme 110 L’image continue d’un connexe par arcs est connexe par arcs.
81
Theoreme 111 des valeurs intermediaires :Soit f une application continue d’une partie A de E vers R.Si A est connexe par arcs alors f(A) est un intervalle.
Corollaire 112 Le cercle S = eit | t ∈ R n’est pas homeomorphe a R.
Definition 113 Une partie A de E est dite convexe si
∀(x, x′) ∈ A2, ∀t ∈ [0, 1], tx+ (1− t)x′ ∈ A
Theoreme 114 Toute partie convexe est connexe par arcs.
7.3 Series d’un espace vectoriel norme de dimension finie
Dans toute la suite on suppose que E est un espace vectoriel norme de dimension finie.
Definition 115 Soit (un) une suite d’elements de E.On appelle serie de terme general un, la suite (Sn) definie par
Sn =n∑k=0
uk
On la note∑uk.
On dit que la serie∑uk converge si la suite (Sn) converge,
dans ce cas la limite l est notee∑∞
k=0 uk , on definit alors le reste d’ordre n,
Rn = l − Sn =∞∑
k=n+1
uk
On dit que la serie∑uk diverge si la suite (Sn) diverge.
Definition 116 On dit que la serie∑uk est absolument convergente si la serie numerique∑
‖un‖ est convergente.
Theoreme 117 Toute serie∑uk absolument convergente est convergente et on a :∥∥∥∥∥
∞∑n=0
un
∥∥∥∥∥ ≤∞∑n=0
‖un‖
7.4 Serie dans une algebre de dimension finie
Dans toute la suite A designe une algebre de dimension finie muni d’une norme d’algebre.
Proposition 118 Si a ∈ A et si ‖a‖ < 1 alors la serie geometrique∑n
an
est absolument convergente et sa somme est l’inverse de (1A − a).
Proposition 119 Si a ∈ A alors la serie exponentielle :∑n
1
n!an
est absolument convergente et sa somme est appelee exponentielle de a et est notee exp(a).
82
Chapitre 13
Integrale dependant d’un parametre
1 Continuite sous le signe∫
Theoreme 1 Soit A une partie d’un espace vectoriel norme de dimension finie, soit f uneapplication de A× I dans K, ou A est une partie d’un espace vectoriel norme.SI
∀x ∈ A, la fonction t 7→ f(x, t) est continue par morceaux sur I∀t ∈ I, la fonction x 7→ f(x, t) est continue sur A∃ ϕ integrable sur I ∀(x, t) ∈ J × I, |f(x, t)| ≤ ϕ(t)
ALORS
F : x 7→∫I
f(x, t)dt est continue sur A.
Remarque 2 L’hypothese de domination peut n’etre verifiee qu’au voisinage de chaque pointde A.
Exemple 3 1. Transformee de Fourier : soit f : R→ C integrable sur R, sa trans-formee de Fourier
f(x) =
∫Rf(t)eitxdt
est continue sur R.
2. Transformee de Laplace : soit f ∈ CM([0,+∞[,C)si ∃x0 ∈ R tel que t 7→ f(t)e−tx0 soit integrable sur [0,+∞[,alors ∀x ≥ x0 , t 7→ f(t)e−tx est integrable sur [0,+∞[et sa transformee de Laplace L definie par
L(x) =
∫ ∞0
f(t)e−txdt
est continue sur [x0,+∞[.
2 Derivation sous le signe∫
Theoreme 4 Soit f une application de J × I dans K, ou J est un intervalle de R ,SI
∀x ∈ J , la fonction t 7→ f(x, t) est integrable sur I∀t ∈ I, la fonction x 7→ f(x, t) est derivable sur J
∀x ∈ J, t 7→ ∂f∂x
(x, t) est continue par morceaux sur I
∃ ϕ integrable sur I ∀(x, t) ∈ J × I,∣∣∂f∂x
(x, t)∣∣ ≤ ϕ(t)
ALORS l’application F : x 7→∫If(x, t)dt est derivable sur J et l’on a :
∀x ∈ J, F ′(x) =
∫I
∂f
∂x(x, t)dt
83
Corollaire 5 Soit f une application de J × I dans K, ou J est un intervalle de R ,SI
∀i ∈ 0, ..., k, ∂if∂xi
existe et est continue sur J × I∀i ∈ 0, ..., k, ∃ϕi integrable sur I ∀(x, t) ∈ J × I,
∣∣∣∂if∂xi (x, t)∣∣∣ ≤ ϕi(t)
ALORS F est de classe Ck sur J
∀i ∈ 0, ..., k, F (i)(x) =∫I∂if∂xi
(x, t)dt
Corollaire 6 Soit f une application de J × I dans K, ou J est un intervalle de R ,SI
f est C∞ sur J × I∀i ∈ N, ∃ϕi integrable sur I ∀(x, t) ∈ J × I,
∣∣∣∂if∂xi (x, t)∣∣∣ ≤ ϕi(t)
ALORS F est de classe C∞ sur J
∀i ∈ N, F (i)(x) =∫I∂if∂xi
(x, t)dt
Remarque 7 L’hypothese de domination peut n’etre verifiee qu’au voisinage de chaque pointde J .
2.1 Etude de la fonction Γ
Definition 8 Pour x ∈]0,+∞[, la fonction t 7→ tx−1e−t est integrable sur ]0,+∞[. On definitsur ]0,+∞[ la fonction Γ par :
Γ(x) =
∫ ∞0
tx−1e−tdt
Proposition 9 La fonction Γ est de classe C∞ sur ]0,+∞[ et pour tout k ∈ N,
Γ(k)(x) =
∫ ∞0
(ln t)ktx−1e−tdt
1. pour tout x ∈]0,+∞[, on a : Γ(x+ 1) = xΓ(x)
2. pour tout n ∈ N, on a : Γ(n+ 1) = n!
3.
Γ(1
2) = 2
∫ ∞0
e−u2
du =√π
Γ(n+1
2) =
(2n)!
22nn!
√π
Γ(x) ∼ 01
x
84
Chapitre 14
SERIES ENTIERES
1 Rayon de convergence
Definition 1 On appelle serie entiere toute serie d’applications fn ou fn est une applicationde C dans C telle que fn(z) = anz
n avec (an) une suite complexe.
Definition 2 E = ρ ≥ 0, tel que la suite(|an| ρn)n∈N soit bornee est un intervalle.On appelle rayon de convergence de la serie entiere
∑n≥0 anz
n, la borne superieure dans Rde E.
Lemme 3 d’Abel : Supposons que ∀n ∈ N, |an| ρn ≤M ,
∀n ∈ N, ∀z ∈ C, |anzn| ≤M
(|z|ρ
)nTheoreme 4 Soit R le rayon de convergence de
∑n≥0 anz
n et L un reel.
L = R ⇔|z| < L⇒
∑n≥0 anz
n absolument convergente|z| > L ⇒
∑n≥0 anz
n diverge
Exemple 5∑
n≥0 zn,∑
n≥0zn
n2 ,∑
n≥0zn
n,∑
n≥0zn
Rn,∑
n≥0zn
n!,∑
n≥0 nnzn,
∑n≥0 sin(n)zn
Theoreme 6 Soit∑
n≥0 anzn une serie entiere de rayon de convergence R.
La serie∑
n≥0 anzn est absolument convergente sur le disque ouvert de convergence
D = z ∈ C : |z| < R
La serie∑
n≥0 anzn est normalement convergente sur tout disque ferme
Dr = z ∈ C : |z| 6 r
inclus dans le disque ouvert de convergence D.La somme de la serie
∑n≥0 anz
n est continue sur le disque ouvert de convergence D.
Proposition 7 Regle de d’Alembert :
si lim|an+1||an|
= L ∈ R alors R =1
L.
Proposition 8 Soient∑
n≥0 anzn et
∑n≥0 bnz
n deux series entieres de rayon de convergenceRa et Rb.
si ∀n ∈ N, |an| ≤ |bn| alors Ra ≥ Rb
si |an| ∼ |bn| alors Ra = Rb
Proposition 9 Soient∑
n≥0 anzn et
∑n≥0 bnz
n deux series entieres de rayon de convergenceRa et Rb,1) soit cn = an + bn et Rc le rayon de convergence de la serie
∑n≥0 cnz
n, on a :
85
si Ra 6= Rb alors Rc = min(Ra, Rb),si Ra = Rb alors Rc ≥ min(Ra, Rb) et
∀z ∈ C tel que |z| < min(Ra, Rb), on a∞∑n=0
cnzn =
(∞∑n=0
anzn
)+
(∞∑n=0
bnzn
)
2) soit cn =∑
p+q=n apbq et Rc le rayon de convergence de la serie∑
n≥0 cnzn, on a Rc ≥
min(Ra, Rb) et
∀z ∈ C tel que |z| < min(Ra, Rb), on a∞∑n=0
cnzn =
(∞∑n=0
anzn
)(∞∑n=0
bnzn
)Theoreme 10 Soit k ∈ N. Les series entieres
∑n≥0 n
kanzn de
∑n≥0 anz
n ont le meme rayonde convergence .
Corollaire 11 Soit F une fraction rationnelle. Les series entieres∑
n≥0 F (n)anzn de
∑n≥0 anz
n
ont le meme rayon de convergence .
2 Serie entiere d’une variable reelle
2.1 Propriete de la somme
Theoreme 12 Soit f(t) =∑∞
n=0 antn
la somme d’une serie entiere de la variable reelle de rayon de convergence R > 0 :1) f est C∞ sur ]−R,R[ et ses derivees successives sont les sommes des series derivees succes-sives, et on a :
∀n ∈ N, an =1
n!f (n)(0)
2) On peut integrer terme a terme, c’est a dire :
∀x ∈]−R,R[,
∫ x
0
f(t)dt =∞∑n=0
anxn+1
n+ 1
Proposition 13 Pour tout p ≥ 0, la somme f admet un developpement limite a l’ordre p auvoisinage de 0 dont la partie reguliere est
∑pn=0 ant
n.
Exemple 14
∀x ∈ ]− 1, 1[,1
1 + x=∞∑n=0
(−x)n
∀x ∈ ]− 1, 1[, ln(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n−1xn
n
2.2 Fonctions developpables en series entieres
Definition 15 Soit f une application d’une partie X de R dans C.On dit que f est developpable en serie entiere en 0,s’il existe une serie entiere
∑n≥0 ant
n de rayon R > 0 et r ∈]0, R] avec ]− r, r[⊂ X tel que :
∀t ∈]− r, r[, f(t) =∞∑n=0
antn
86
On dit que f est developpable en serie entiere en t0 si l’application t 7−→ f(t0 + t) estdeveloppable en serie entiere en 0.
∀t ∈]− r, r[, f(t0 + t) =∞∑n=0
antn
Proposition 16 Si f est DSE en 0 sur ]− r, r[, alors f est C∞ sur ]− r, r[ et le DSE de f en0 est unique :
∀t ∈]− r, r[, f(t) =∞∑n=0
f (n)(0)
n!tn
Definition 17 Soit f une fonction de classe C∞ sur ] − r, r[ avec r > 0. On appelle serie deTaylor de f en 0, la serie ∑
n
f (n)(0)
n!tn
Remarque 18 La serie de Taylor de f en 0 peut etre de rayon infini, sans que f soit DSE en0.Exemple : f(x) = e−
1x2 si x 6= 0 et f(0) = 0
Proposition 19 Soit f une application DSE en 0, si f est paire alors ∀p ∈ N, a2p+1 = 0 et sif est impaire alors ∀p ∈ N, a2p = 0
Proposition 20 Si f est de classe C∞ sur un intervalle I =] − a, a[ et s’il existe un ρ > 0 etM ∈ R+ tels que
∀x ∈ I, ∀n ∈ N,∣∣f (n)(x)
∣∣ ≤ Mn!
ρn
alors f est DSE en 0 sur ]−R,R[ ou R = min(a, ρ).
Exemple 21 ∀x ∈ R, ex =∑∞
n=0xn
n!, sinx =
∑∞n=0 (−1)n x2n+1
(2n+1)!, cosx =
∑∞n=0 (−1)n x2n
(2n)!
Proposition 22 Soient f et g deux fonctions DSE en 0 de developpement respectifs∑ant
n
et∑bnt
n.1) ∀(α, β) ∈ C2, αf + βg est DSE en 0 et son developpement est
∑(αan + βbn)tn.
2) fg est DSE en 0 et son developpement est le produit de Cauchy des deux series entieres.
Remarque 23 Soit f une fonction DSE en 0 sur ] − r, r[ de developpement∑ant
n alors f ′
est DSE en 0 sur ]− r, r[, et si F est une primitive de f sur ]− r, r[, alors F est DSE en 0
∀t ∈ ]− r, r[, f ′(t) =∑n≥1
nantn−1
∀t ∈ ]− r, r[, F (x) = F (0) +∑ an
n+ 1tn+1
2.3 Methode de l’equation differentielle :
Pour montrer qu’une application est developpable en serie entiere et pour trouver sa serie entiereon peut :1) trouver une equation differentielle lineaire d’ordre un ou deux dont f soit solution, lui associerun probleme de Cauchy P dont f est solution,
87
2) chercher s’il existe une serie entiere de rayon de convergence non nul dont la somme g estsolution du probleme de Cauchy P ,3) conclure par unicite.
Exemple 24 f(x) = (1 + x)α avec α ∈ R.
2.4 Developpement en serie entiere des fonctions usuelles
Proposition 25
∀z ∈ C, |z| < 1 , on a∞∑n=0
zn =1
1− z
Proposition 26 Toute fraction rationnelle F n’admettant pas 0 pour pole est developpableen serie entiere en 0 et le rayon de convergence du DSE en 0 est le minimum des modules despoles complexes de F .
Exemple 27
F (x) =1− x2
1− 2x cosα + x2
Ci-joint un tableau de DSE a connaıtre.
3 Exponentielle complexe
3.1 Exponentielle complexe
Definition 28 On appelle exponentielle complexe la somme de la serie entiere∑
n≥0zn
n!qui est
de rayon infini. On a donc :
∀z ∈ C, exp(z) = ez =∞∑n=0
zn
n!
Proposition 29 La restriction de l’exponentielle complexe a R conduit a l’exponentielle reelle.
Proposition 30
∀(z, z′) ∈ C2 , ez+z′= ezez
′
∀z ∈ C , e−z =1
ez
∀z ∈ C , ez = ez
∀z ∈ C , |ez| = eRe(z)
∀z ∈ C , |ez| = 1⇐⇒ z ∈ iR
Theoreme 31 L’application exponentielle est un morphisme continu surjectif de (C,+) sur(C∗,×).
Theoreme 32 L’application ϕ : t → eit est un morphisme continu surjectif de (R,+) sur(U,×). Il existe un unique reel a > 0 tel que kerϕ = aZ. On note π = a
2.
88
Corollaire 33∀t ∈ R , eit = 1⇔ t ∈ 2πZ
Le sous-groupe des periodes de ϕ est 2πZ.
Proposition 34 Il existe une unique application continue ϕ definie sur le plan complexe privedu demi-axe reel negatif telle que
ϕ(1) = 0
∀z ∈ C, exp(ϕ(z)) = z
Cette fonction est appelee determination principale du logarithme et coıncide avec la fonctionln sur R∗+.
3.2 Fonctions circulaires et hyperboliques
Definition 35 On appelle fonctions cosinus et sinus complexes, les applications de C dans Cdefinies par :
∀z ∈ C , cos z =eiz + e−iz
2=∞∑n=0
(−1)nz2n
(2n)!
∀z ∈ C , sin z =eiz − e−iz
2i=∞∑n=0
(−1)nz2n+1
(2n+ 1)!
On appelle fonctions cosinus et sinus hyperboliques complexes, les applications de C dans Cdefinies par :
∀z ∈ C , ch z =ez + e−z
2=∞∑n=0
z2n
(2n)!
∀z ∈ C , sh z =ez − e−z
2=∞∑n=0
z2n+1
(2n+ 1)!
Proposition 36
∀z ∈ C, cos(iz) = ch z, ch(iz) = cos z
∀z ∈ C, sin(iz) = ish z, sh(iz) = i sin z
∀z ∈ C, ez = ch z + sh z, eiz = cos z + i sin z
∀z ∈ C, ch2z − sh2z = 1, cos2 z + sin2 z = 1
Proposition 37
∀(a, b) ∈ C2 , cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b
∀(a, b) ∈ C2 , sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b
∀(a, b) ∈ C2 , ch(a+ b) = ch a ch b+ sh a sh b
∀(a, b) ∈ C2 , sh(a+ b) = sh a ch b+ ch a sh b
Proposition 38 L’application cos est paire periodique et son groupe des periodes est 2πZ.L’application sin est impaire periodique et son groupe des periodes est 2πZ.L’application ch est paire periodique et son groupe des periodes est 2iπZ.L’application sh est impaire periodique et son groupe des periodes est 2iπZ.
89
Definition 39 Les restrictions des fonctions trigonometriques complexes a R coincident avecles fonctions trigonometriques reelles dont nous avions admis l’existence :
∀t ∈ R, cos t =eit + e−it
2=∞∑n=0
(−1)nt2n
(2n)!, sin t =
eit − e−it
2i=∞∑n=0
(−1)nt2n+1
(2n+ 1)!.
Proposition 40 Les fonctions cos et sin sont de classe C∞ et (cos)′ = − sin, (sin)′ = cos .
3.3 Theoreme de relevement
Theoreme 41 L’application θ 7→ eiθ est une bijection de ]− π, π[ sur U\−1.Son application reciproque u 7→ Arg(u) est continue.sur U\−1 et ne se prolonge pas en uneapplication continue sur U.
(u = x+ iy, x2 + y2 = 1, , x 6= 1)⇒ Arg(u) = 2Arc tany
x+ 1
Theoreme 42 du relevement :Soit f ∈ Ck(I,C) avec k ≥ 1 telle que ∀t ∈ I, |f(t)| = 1. Ilexiste une fonction θ ∈ Ck(I,R) telle que :
∀t ∈ I, f(t) = eiθ(t)
De plus une telle fonction est unique a une constante additive multiple de 2π pres.
Corollaire 43 Soit f ∈ Ck(I,C∗) avec k ≥ 1 . Il existe deux fonctions (ρ, θ) ∈ Ck(I,R)2 telleque :
∀t ∈ I, ρ(t) > 0 et f(t) = ρ(t)eiθ(t)
De plus une telle fonction est unique a une constante additive multiple de 2π pres.
90
Chapitre 15
PROBABILITES
Une experience aleatoire est modelisee par un espace probabilise.Soit Ω un ensemble non vide.
1 Espace probabilise
1.1 Espace probabilisable
Definition 1 On appelle tribu sur Ω un ensemble A de parties de Ω qui verifie:
1. A n’est pas vide
2. A est stable par complementaire, c’est a dire: ∀A ∈ A,cA ∈ A
3. A est stable par union finie ou denombrable, c’est a dire: si ∀n ∈ N, An ∈ A alors⋃n∈NAn ∈ A
Remarque 2 Si A est une tribu alors
• ∅ ∈ A et Ω ∈ A
• A est stable par intersection finie ou denombrable
Notation 3 • Ω est appele l’univers des possibles, le couple (Ω,A) est appele espace prob-abilisable.
• Les elements de A sont appeles des evenements.
• Les singletons sont appeles evenements elementaires.
• ∅ est appele evenement impossible.
• Ω est appele evenement certain.
• Si A est un evenement cA = A est appele l’evenement contraire de A.
• L’evenement A ∩B est appele A et B, l’evenement A ∪B est appele A ou B.
• Deux evenements A et B sont dits incompatibles si ils sont disjoints, c’est a dire siA ∩B = ∅.
Exemple 4 1. La tribu grossiere : A = ∅,Ω
2. La tribu discrete : A = P(Ω)
3. A = A ∈ P(Ω) : A ou cA est fini ou denombrable
Experience 5 1. On jette un de cubique dont les faces sont numerotees de 1 a 6 et on litle numero apparu sur la face superieure. L’espace probabilite est (Ω,A) ou
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, A = P(Ω)
L’evenement A obtenir un nombre pair est A = 2, 4, 6
91
2. On jette deux des cubiques et on lit les numeros apparus sur les faces superieures. L’espaceprobabilite est (Ω,A) ou
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 62, A = P(Ω)
L’evenement A la somme des chiffres vaut 4 est A = (1, 3), (3, 1), (2, 2)
3. On lance une piece de monnaie et on note la face visible. L’espace probabilite est (Ω,A)ou
Ω = P, F, A = P(Ω)
4. On lance n fois de suite une piece de monnaie et on note les faces visibles. L’espaceprobabilisable est (Ω,A) ou
Ω = P, Fn, A = P(Ω)
Lorsque n = 2, l’evenement avoir au moins une face est A = (F, P ), (P, F ), (F, F )
1.2 Probabilite
Definition 6 Si A est une tribu sur Ω, une probabilite sur (Ω,A) est une application P telleque
1. P : A → [0, 1]
2. P (Ω) = 1
3. pour toute suite (An)n d’evenements deux a deux disjoints on ait :
P
(∞⋃n=0
An
)=∞∑n=0
P (An)
Le triplet (Ω,A, P ) est appele espace probabilise.
Proposition 7 Soient A et B deux evenements. On a:
P (A) = 1− P (A)
A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
Corollaire 8
∀A1, A2, . . . , An ∈ A, P
(⋃i≤n
Ai
)≤∑i≤n
P (Ai)
Proposition 9 Formule du crible: Pour toute famille d’evenements (Ai)1≤i≤n on a :
P
( ⋃1≤i≤n
Ai
)=
n∑k=1
((−1)k+1
∑1≤i1≤i2···≤ik≤n
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik)
)
92
Remarque 10 Si Ω est fini ou denombrable et si A = P(Ω), une probabilite P sur (Ω,A)s’identifie, via la formule
P (ω) = pω
a une famille (pω)ω∈Ω de reels positifs sommable de somme 1. Dans ce cas pour tout A ∈ A:
P (A) =∑ω∈A
pω
Experience 11 1. Dans l’experience 1 en supposant que le de est parfaitement equilibre,les evenements elementaires sont equiprobables.
P (i) =1
6
2. Dans l’experience 2 en supposant que les des sont parfaitement equilibres, les evenementselementaires sont equiprobables.
P ((i, j) =1
36
Dans ce cas
P (la somme est 4) =3
36=
1
12
3. Dans l’experience 3 du jeu de pile ou face, soit p ∈ [0, 1],
P (P ) = p P (F ) = 1− p
Theoreme 12 : Theoreme de la limite monotoneSi (An)n∈N est une suite d’evenements croissante pour l’inclusion, alors:
P (An) −−−→n→∞
P
(⋃n∈N
An
)
Proposition 13 Si (An)n∈N est une suite d’evenements decroissante pour l’inclusion, alors:
P (An) −−−→n→∞
P
(⋂n∈N
An
)
Proposition 14 Si (An)n∈N est une suite d’evenements , alors:
P
(⋃n∈N
An
)≤
∞∑n=0
P (An)
Definition 15 Un evenement A est dit negligeable si P (A) = 0, il est dit presque sur siP (A) = 1.
Proposition 16 Une reunion finie ou denombrable d’evenements negligeables est negligeable.
93
2 Probabilite conditionnelle
Definition 17 Soit B un evenement tel que P (B) > 0, la probabilite conditionnelle de Asachant B est definie par
P (A|B) = PBA =P (A ∩B)
P (B)
Proposition 18 L’application PB est une probabilite.
Theoreme 19 Formule des probabilites composeesSoit (A1, ....., An) une famille d’evenements telle que P (
⋂ni=0Ai) > 0, on a
P
(n⋂i=0
Ai
)= P (A1)PA1(A2)...PA1∩...∩An−1(An)
Definition 20 On dit que la famille finie ou denombrable d’evenements (Ai)i∈I est un systemecomplet ou exhaustif si c’est une partition de Ω, c’est a dire si les evenements sont deux adeux disjoints et
Ω =⋃i∈I
Ai
Theoreme 21 Formule des probabilites totalesSoit (Ai)i∈I un systeme complet, pour tout evenement B
P (B) =∑i∈I
P (B|Ai)P (Ai)
Theoreme 22 Formule de Bayes:Si A et B sont des evenements tels que P (A) > 0 et P (B) > 0 alors
P (A|B) =P (B|A)P (A)
P (B)
Definition 23 • Deux evenements A et B sont dits independants si
P (A ∩B) = P (A)P (B)
• La famille (Ai)i∈I d’evenements est dite mutuellement independante si
∀J ∈ I fini, P
(⋂i∈J
Ai
)=∏i∈J
P (Ai)
Proposition 24 SiA etB sont deux evenements independants alors cA etB sont independants.
3 Variables aleatoires discretes
3.1 Definitions
Definition 25 Soit E un ensemble et (Ω,A, P ) un espace probabilise.On appelle variable aleatoire discrete definie sur Ω toute application X de Ω dans E telle
que
94
• X(Ω) est fini ou denombrable
• ∀x ∈ Ω, X−1(x) ∈ A
Lorsque E = R la variable aleatoire est dite reelle, dans ce cas on notera:
X−1(x) = X = x X−1(B) = X ∈ BX−1([x,∞[) = x ≤ X X−1(]x,∞[) = x < X
X−1(]−∞, x]) = X ≤ x X−1(]−∞, x[) = X < x
Exemple 26 Soit A un evenement, la fonction indicatrice 1A definie par:
1A(ω) = 1 si ω ∈ A= 0 sinon
est une variable aleatoire reelle discrete.
Remarque 27 Si X est une variable aleatoire discrete de Ω dans E et si f est une fonctionde E dans E ′ alors foX est aussi une variable aleatoire. On la note f(X).
Definition 28 Soit X une variable aleatoire discrete de Ω dans E. L’ensemble A = P(X(Ω))est une tribu sur l’ensemble denombrable X(Ω). On appelle loi de X l’application notee PX ,
PX : A → [0, 1]
B 7→ P (X−1(B)) = P (X ∈ B)
Si deux variables aleatoires X et Y ont meme loi, on notera X ∼ YSi L est une application de P(E) dans [0, 1] telle que PX = L on notera X ∼ L
Proposition 29 Si X est une variable aleatoire discrete de Ω dans E on a :
∀B ⊂ E, PX(B) =∑
x∈B∩X(Ω)
P (X = x)
La loi de X est entierement determinee par la donnee de P (X = x) pour tout x de X(Ω)
3.2 Couple de variables aleatoires
Soit X une variable aleatoire discrete de Ω sur E1 et Y une variable aleatoire discrete de Ω surE2.
Definition 30 On appelle:
• loi conjointe de X et Y la loi du couple (X, Y )
• loi marginale d les lois de X et de Y
Proposition 31 Lorsque X(Ω) = x1, . . . , xn et Y (Ω) = y1, . . . , yp la loi conjointe de X etY est entierement determinee par
∀(i, j), pi,j = P (X = xi ∩ Y = yj)
elle est representee sous forme d’un tableau.
95
Definition 32 Soit x ∈ X(Ω) tel que P (X = x) 6= 0, on appelle loi conditionnelle de Ysachant X = x la fonction:
PY,X=x : P(E2)→ [0, 1]
B 7→ P (Y −1(B)|X = x) = P (X ∈ B|X = x)
Remarque 33 On peut definir le conditionnement par X¿x ou d’autres inegalites.
Remarque 34 On peut etendre les definitions precedentes aux n-uplet de variables aleatoire.On parle alors de vecteurs aleatoires discrets.
Definition 35 On dit que les variables aleatoires discretes X et Y sont independantes sipour tout B1 ∈ P(E) et B2 ∈ P(E) les evenements X ∈ B1 et Y ∈ B2 sont
independants.
Proposition 36 Les variables aleatoires discretes X et Y sont independantes si et seulementsi
pour tout x ∈ X(Ω) et y ∈ Y (Ω) les evenements X = x et Y = y sont independants.
Definition 37 On dit que la famille (Xi)i∈I de variables aleatoires discretes est mutuellementindependante si
la famille d’evenements (Xi ∈ B)i∈I,B⊂E est mutuellement independante.
Proposition 38 La famille (Xi)i∈I de variables aleatoires est mutuellement independante sila famille d’evenements (Xi = x)i∈I,x∈Xi(Ω) est mutuellement independante.
Proposition 39 Si (X1, . . . , Xn) sont des variables aleatoires discretes mutuellement independantesalors pour toutes fonctions f et g, les variables f(X1, . . . , Xm) et g(Xm+1, . . . , Xn) sont independantes.
3.3 Lois usuelles
3.4 Loi uniforme
Definition 40 si X(Ω) est fini on dit que X suit une loi uniforme si
∀(x, y) ∈ X(Ω)2, P (X = x) = P (X = y)
3.5 Loi de Bernouilli
Definition 41 Soit p ∈ [0, 1], la variable aleatoire X suit une loi de Bernouilli de parametrep notee B(p) si
X(Ω) = 0, 1P (X = 1) = p
P (X = 0) = 1− p
Exemple 42 Une urne contient des boules blanches et des boules noires avec une proportionp de boules blanches. On tire au hasard une boule. On appelle succes le fait de tirer une bouleblanche.
Ω = B,N, X(B) = 1, X(N) = 0
X suit une loi de Bernouilli de parametre p
96
3.6 Loi binomiale
Definition 43 Soit p ∈ [0, 1], et n ∈ N la variable aleatoire X suit une loi binomiale deparametre (n, p) notee B(n, p) si
X(Ω) = 0, . . . , n
∀k ∈ 0, . . . , n, P (X = k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k
Proposition 44 Si (X1, · · · , Xn) forme un n-uplet de variables aleatoires independantes dememe loi B(p) alors
Y = X1 + · · ·+Xn ∼ B(n, p)
Exemple 45 Une urne contient des boules blanches et des boules noires avec une proportionp de boules blanches. On fait n tirages au hasard avec remise. On appelle X le nombre deboules blanches tirees.
Ω = B,Nn. X(b1, . . . , bn) = card(k : bk = B)
X suit une loi de Binomiale de parametre (n, p)
3.7 Loi geometrique
Definition 46 Soit p ∈ [0, 1], la variable aleatoire X suit une loi geometrique de parametrep notee G(p) si
X(Ω) = N∗
∀k ∈ N∗, P (X = k) = (1− p)k−1p
Exemple 47 Une urne contient des boules blanches et des boules noires avec une proportion pde boules blanches. On fait une suite de tirages au hasard avec remise. On appelle X l’indicede la premiere fois ou on tire une boule blanche.
Ω = B,Nn. X(b1, . . . , bn) = inf(k : bk = B)X suit une loi geometrique de parametre p
3.8 Loi de Poisson
Definition 48 Soit λ ∈ R∗+ la variable aleatoire X suit une loi de Poisson de parametre λnotee P(λ) si
X(Ω) = N
∀k ∈ N, P (X = k) = e−λλk
k!
Proposition 49 Si X et Y sont deux variables aleatoire independantes discretes qui suiventdes lois de Poisson de parametre respectivement λ et µ alors X + Y suit une loi de Poissonde parametre λ+ µ.
Proposition 50 Si, pour tout n, Xn ∼ B(n, pn) et si npn converge vers λ alors
∀k ∈ N, P (X = k) −→n→∞
e−λλk
k!
97
3.9 Loi hypergeometrique
Definition 51 Soit p ∈ [0, 1], et (N, n) ∈ N2 tels que n ≤ N la variable aleatoire X suit uneloi hypergeometrique de parametre (N, n, p) notee H(N, n, p) si
X(Ω) = 0, . . . , n
∀k ∈ 0, . . . , n, P (X = k) =
(Npk
)(N−Npn−k
)(Nn
)Exemple 52 Une urne contient N boules blanches et noires avec une proportion p de boulesblanches. On fait n tirages au hasard sans remise. On appelle X le nombre de boules blanchestirees.
X suit une loi de hypergeometrique de parametre (N, n, p)
4 Esperance, variance, ecart-type et covariance
4.1 Esperance
Definition 53 Soit X une variable aleatoire discrete a valeurs dans R+.On appelle esperance de X et que l’on note E(X) l’element de R+ ∪ +∞
E(X) =∑
x∈X(Ω)
xP (X = x)
Definition 54 SoitX une variable aleatoire discrete reelle. On dit queX admet une d’esperancesi
E(|X|) <∞
ce qui equivaut a dire que la famille (xP (X = x))x∈X(Ω) est sommable, et dans ce cas onappelle esperance
E(X) =∑
x∈X(Ω)
xP (X = x)
Definition 55 Une variable est dite centree si son esperance existe et est nulle.
Exemple 56 1. L’esperance d’une loi de Bernouilli B(p) est p
2. L’esperance d’une loi binomiale B(n, p) est np
3. L’esperance d’une loi geometrique G(p) est 1p
4. L’esperance d’une loi de Poisson P(λ) est λ
Proposition 57 Soient X et Y deux variables aleatoires d’esperance finie
∀α ∈ R E(αX) = αE(X)
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
0 ≤ X =⇒ 0 ≤ E(X)
X ≤ Y =⇒ E(X) ≤ E(Y )
Proposition 58 Si |X| ≤ Y et si Y est d’esperance finie alors X est d’esperance finie.
98
Theoreme 59 Formule du transfertSoit X une variable aleatoire discrete, f une fonction definie sur P(Ω) a valeurs dans R;
alorsf(X) est d’esperance finie si et seulement si la famille (f(x)P (X = x))x∈X(Ω) est sommable
et dans ce cas:E(f(X)) =
∑x∈X(Ω)
f(x)P (X = x)
Proposition 60 Inegalite de Markov Soit X une variable aleatoire discrete positive. Alors
∀a > 0 P (a ≤ X) ≤ E(X)
a
Proposition 61 Si X et Y sont deux variables aleatoires independantes d’esperance finie, alorsXY est d’esperance finie et
E(XY ) = E(X)E(Y )
4.2 Variance, ecart type et covariance
Definition 62 On dit que X admet un moment d’ordre deux si E(X2) est fini.
Proposition 63 Si X admet un moment d’ordre deux alors X est d’esperance finie.
Proposition 64 Inegalite de Cauchy-SchwarzSi X et Y admettent chacune un moment d’ordre deux alors XY est d’esperance finie et
E(XY ) ≤√E(X2)E(Y 2)
Proposition 65 L’ensemble des variables aleatoires definies sur Ω admettant un momentd’ordre deux est un espace vectoriel.
Definition 66 Si X admet un moment d’ordre deux, on definit la variance de X :
V (X) = E([X − E(X)]2
)On appelle ecart-type de X la racine carre de la variance.
σ(X) =√V (X)
Proposition 67 Si X admet un moment d’ordre deux alors
V (X) = E(X2)− E(X)2
Proposition 68 Si X admet un moment d’ordre deux et si a ∈ R alors
V (aX + b) = a2V (X)
Proposition 69 Si X admet un moment d’ordre deux alors
Y =X − E(X)
σ(X), verifie E(Y ) = 0 V (Y ) = 1
on dit que c’est une variable centree reduite.
Proposition 70 1. La variance d’une loi de Bernouilli B(p) est pq
99
2. La variance d’une loi binomiale B(n, p) est npq
3. La variance d’une loi geometrique G(p) est qp2
4. La variance d’une loi de Poisson P(λ) est λ
Proposition 71 Inegalite de Bienayme-TchebychevSi X admet un moment d’ordre deux alors
P (α ≤ |X − E(X)|) ≤ σ(X)2
α2
Definition 72 Soient X et Y deux variables aleatoires sur Ω admettant un moment d’ordredeux. On definit la covariance de X et Y par
cov(X, Y ) = E [(E − E(X))(Y − E(Y ))]
Proposition 73cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )
Proposition 74 Si X et Y sont independantes alors cov(X, Y ) = 0. La reciproque est fausse.
Proposition 75V (X + Y ) = V (X) + 2cov(X, Y ) + V (Y )
Proposition 76 Si X et Y sont independantes alors
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
5 Loi faible des grands nombres
Theoreme 77 Si (Xn)n>0 est une suite de variables aleatoires deux a deux independantes, dememe loi et admettant un moment d’ordre deux, alors si
Sn =n∑k=1
Xk, et m = E(X1)
on a:
P
(∣∣∣∣Snn −m∣∣∣∣ ≥ ε
)−−−→n→∞
0
6 Fonctions generatrices
Definition 78 Soit X une variable aleatoire a valeurs dans N, on appelle fonction generatricede X, la serie entiere definie par:
GX(t) = E(tX) =+∞∑k=0
P (X = k)tk
Proposition 79 La serie entiere definissant GX est de rayon superieur ou egal a 1 et convergenormalement sur le disque ferme de centre 0 et de rayon 1. GX est donc continue sur [−1, 1]
100
Proposition 80 1. La loi de X est entierement determinee par GX
P (X = k) =G
(k)X
k!
2. X est d’esperance finie si et seulement si GX est derivable en 1 et alors
E(X) = G′X(1)
3. X admet un moment d’ordre deux si et seulement si GX est deux fois derivable en 1 etalors
E(X2)− E(X) = G′′X(1)
Proposition 81 Si X et Y sont deux variables aleatoires a valeurs dans N independantes alors
GX+Y = GXGY
101
Chapitre 16
ESPACES PREHILBERTIENS REELS OU
COMPLEXES
1 Espaces prehilbertiens reels
E designe un espace vectoriel reel
Definition 1 On appelle produit scalaire sur E toute forme bilineaire symetrique definie pos-itive, c’est a dire toute forme bilineaire ϕ sur E telle que
∀(x, y) ∈ E2, ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
∀x ∈ E, ϕ(x, x) ≥ 0
∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0⇒ x = 0
On appelle espace prehilbertien reel tout couple (E,ϕ) ou E est un espace vectoriel reel et ϕun produit scalaire sur E, par abus on dira que E est un espace prehilbertien.
Exemple 2 1) produit scalaire canonique sur Rn.2) produit scalaire canonique sur Rn[X].3) produit scalaire canonique sur Mn,p(R) : ϕ(A,B) = tr(tAB).4) E = C([a, b],R) ensemble des fonctions continues de [a, b] dans R,
ϕ(f, g) =
∫ b
a
f(t)g(t)p(t)dt, avec p ∈ C([a, b], ]0,+∞[).
5) E = l2(N,R), ϕ(u, v) =∑∞
k=0 unvn
Proposition 3 Soit (.|.) un produit scalaire sur E,on appelle forme quadratique associee l’application de E dans R+ telle que ∀x ∈ E, q(x) =(x|x).1) Inegalite de Cauchy-Schwartz :
∀(x, y) ∈ E2, |(x|y)| ≤√q(x)
√q(y)
il y a egalite si, et seulement si x et y sont lies.2)Inegalite de Minkowski :
∀(x, y) ∈ E2,√q(x+ y) ≤
√q(x) +
√q(y)
il y a egalite si, et seulement si x = 0 ou (∃λ > 0) y = λx
Proposition 4 Soit (.|.) un produit scalaire sur E et q sa forme quadratique associee.L’application x 7→
√q(x) de E dans R+ est une norme appelee norme associee a (.|.), on note
‖x‖ =√q(x).
Definition 5 Le vecteur x de E est dit unitaire si sa norme est 1.
Proposition 6 Soit x ∈ E, l’application ϕx : y ∈ E 7→ (x|y) ∈ R est lineaire continue denorme ‖x‖.
102
Proposition 7 Identite du parallelogramme:
∀(x, y) ∈ E2, ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)
il existe des evn ne verifiant pas l’identite du parallelogramme, la norme ne peut donc pas etreassociee a un produit scalaire.
Proposition 8 Identite de polarisation :
∀(x, y) ∈ E2, (x|y) =1
2
(‖x+ y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2)
∀(x, y) ∈ E2, (x|y) =1
4
(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2)
2 Espaces prehilbertiens complexes
E designe un espace vectoriel complexe
Definition 9 Une application f : E → F est dite semi-lineaire si
∀(α, β) ∈ C2, ∀(x, y) ∈ E2, f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y)
Definition 10 1) On appelle forme sesquilineaire sur E toute application ϕ : E × E → Ctelle que
∀x ∈ E, y 7−→ ϕ(x, y) soit lineaire
∀y ∈ E, x 7−→ ϕ(x, y) soit semi− lineaire
2) On dit qu’une forme sesquilineaire ϕ sur E est hermitienne si l’on a :
∀(x, y) ∈ E2, ϕ(y, x) = ϕ(x, y)
Definition 11 On appelle produit scalaire sur E toute forme sesquilineaire hermitiennedefinie positive,c’est a dire toute forme sesquilineaire hermitienne ϕ sur E telle que
∀x ∈ E, ϕ(x, x) ≥ 0
∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0⇒ x = 0
On appelle espace prehilbertien complexe tout couple (E,ϕ) ou E est un espace vectorielcomplexeet ϕ un produit scalaire sur E, par abus on dira que E est un espace prehilbertien complexe.
Exemple 12 1) produit scalaire canonique sur Cn,
ϕ(x, y) =n∑k=1
xkyk
.2) produit scalaire canonique sur Cn[X], P =∑n
k=1 akXk et Q =
∑nk=1 bkX
k.
ϕ(P,Q) =n∑k=1
akbk
103
3) produit scalaire canonique sur Mn,p(C) :
ϕ(A,B) = tr(tAB)
.4) E = C([a, b],C) ensemble des fonctions continues de [a, b] dans C, p ∈ C([a, b], ]0,+∞[),
ϕ(f, g) =
∫ b
a
f(t)g(t)p(t)dt
5) E = l2(N,C),
ϕ(u, v) =∞∑k=0
unvn
Soit ϕ un produit scalaire sur E, dans toute la suite nous noterons ϕ(x, y) = (x|y)
Proposition 13 1) Inegalite de Cauchy-Schwartz :
∀(x, y) ∈ E2, |Re(x|y)| ≤√
(x|x)√
(y|y)
il y a egalite si, et seulement si x et y sont lies sur R.
∀(x, y) ∈ E2, |(x|y)| ≤√
(x|x)√
(y|y)
il y a egalite si, et seulement si x et y sont lies sur C.2)Inegalite de Minkowski :
∀(x, y) ∈ E2,√
(x+ y|x+ y) ≤√
(x|x) +√
(y|y)
il y a egalite si, et seulement si x = 0 ou (∃λ ≥ 0) y = λx
Proposition 14 L’application x 7→√
(x|x) de E dans R+ est une norme appelee norme
associee a ϕ, on notera ‖x‖ =√
(x|x).
Definition 15 Le vecteur x de E est dit unitaire si sa norme est 1.
Proposition 16 Soit x ∈ E, l’application ϕx : y ∈ E 7→ (x|y) ∈ C est lineaire continue denorme ‖x‖.
Proposition 17
∀(x, y) ∈ E2, ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2Re(x|y)
∀(x, y) ∈ E2, ‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 − 2Re(x|y)
∀(x, y) ∈ E2, ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2) (Identite du parallelogramme)
∀(x, y) ∈ E2, ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 = 4Re(x|y)
∀(x, y) ∈ E2, 4(x|y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i ‖x− iy‖2 − i ‖x+ iy‖2) (Identite de polarisation)
Definition 18 On appelle espace de Hilbert tout espace prehilbertien complet.
Exemple 19 l2(N,C) est un espace de HilbertC([a, b],C) n’est pas un espace de Hilbert.
104
3 Orthogonalite
Soit E un espace prehilbertien
Definition 20 On dit que deux vecteurs x et y sont orthogonaux si (x|y) = 0.
Definition 21 On appelle orthogonal d’une partie A de E l’ensemble
A⊥ = y ∈ E| ∀x ∈ A, (x|y) = 0 = ∩x∈A kerϕx
Proposition 22 Pour toutes parties A et B de E,on a :1) A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥
2) A⊥ = (V ectA)⊥
3) A ⊂ A⊥⊥
4) A⊥ est un sev ferme de E pour la norme associee au produit scalaire.5) si A et B sont des sev (A+B)⊥ = A⊥ ∩B⊥ et A⊥ +B⊥ ⊂ (A ∩B)⊥
Exemple 23 E = l2(N,R), en = (δn, k)k∈N, F = vect(en, n ∈ N), F⊥ = 0, (F⊥)⊥ = E 6= F
Definition 24 Une famille de vecteur est dite orthogonale si elle est formee de vecteurs deuxa deux orthogonaux.Une famille de vecteur est dite orthonormee ou orthonormale si elle est formee de vecteursunitaires deux a deux orthogonaux.
Proposition 25 Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Theoreme 26 de Pythagore :Si (x1, ...., xp) est une famille orthogonale de E, on a
‖x1 + ....+ xp‖2 = ‖x1‖2 + ....+ ‖xp‖2
Definition 27 1) On dit que deux sev E1 et E2 de E sont orthogonaux si tout vecteur de E1
est orthogonal a tout vecteur de E2.2) On dit qu’une famille de sev de E, (E1, ..., Ep) est orthogonale si elle est formee de sev deuxa deux orthogonaux.
Proposition 28 Toute famille orthogonale de sev est en somme directe.
Proposition 29 Soit F un sev de E1) F et F⊥ sont des sev orthogonaux,2) si F possede un supplementaire G orthogonal alors G = F⊥. Dans ce cas (F⊥)⊥ = F et Fest ferme.
Corollaire 30 Un sev n’a pas toujours de supplementaire orthogonal.Dans E = l2(N,R) , l’ensemble des suites presque nulle (ayant un nombre fini de termes nonnuls) n’admet pas de supplementaire orthogonal.
Definition 31 1) Supposons E = F ⊕ F⊥,on appelle projecteur orthogonal de E sur F la projection sur F parallelement a F⊥, on lenotera pF2) On appelle famille de projecteurs orthogonaux associes a une decomposition de E en sommedirecte orthogonale la famille des projecteurs de cette decomposition.
105
Theoreme 32 d’orthonormalisation de Schmidt :Si (un)n∈N est une famille libre de E, il existe une unique famille orthonormee (en)n∈N telle que
∀k ∈ N∗, V ect(u1, ..., uk) = V ect(e1, ..., ek)
∀k ∈ N∗, (ek|uk) > 0
On dit que (e1, ..., en) est l’orthonormalisee de (un)n∈N.
Exemple 33 Polynomes orthogonaux
Theoreme 34 Tout espace prehilbertien de dimension finie possede un base orthonormee.
Theoreme 35 Si F est un sev de dimension finie muni d’une base orthonormale (e1, ..., ep),alors F admet un supplementaire orthogonal et on a :
∀x ∈ E, pF (x) =
p∑k=1
(ek|x)ek
∀x ∈ E,
p∑k=1
|(ek|x)|2 ≤ ‖x‖2 (inegalite de Bessel)
de plus pF (x) est l’unique point z ∈ F tel que d(x, F ) = d(x, z) et on a :
‖x‖2 = ‖pF (x)‖2 + d(x, F )2
4 Espaces euclidiens
Definition 36 On appelle espace euclidien un espace prehilbertien reel de dimension finie
Dans toute la suite E designe un espace euclidien.
Theoreme 37 Tout espace euclidien possede une base orthonormee.
Corollaire 38 Toute famille orthonormee d’un espace euclidien peut etre completee en unebase orthonormee.
Corollaire 39 Tout sev F de E admet un supplementaire orthogonal.
Proposition 40 Soit B = (e1, ..., en) une base orthonormee de E,1) si les vecteurs x et y de E s’ecrivent x =
∑nk=1 xkek et y =
∑nk=1 ykek, en notant X et Y
leurs matrices dans la base B on a :
xk = (ek|x)
(x|y) =n∑k=1
xkyk =t XY
‖x‖2 =n∑k=1
x2k =t XX
2) Si u ∈ L(E), on a :
tr(u) =n∑k=1
(ei|u(ei))
Proposition 41 Pour tout x de E, notons ϕx : y ∈ E 7→ (x|y).L’application x 7→ ϕx est un isomorphisme de E sur E∗.
106
5 Espaces hermitiens
Definition 42 On appelle espace hermitien un espace prehilbertien complexe de dimensionfinie
Dans toute la suite E designe un espace hermitien.
Proposition 43 Tout espace hermitien possede une base orthonormee.
Corollaire 44 Tout sev F de E admet un supplementaire orthogonal.
Proposition 45 Soit B = (e1, ..., en) une base orthonormee de E,1) si les vecteurs x et y de E s’ecrivent x =
∑nk=1 xkek et y =
∑nk=1 ykek, et en notant X et Y
leur matrice dans la base B on a :
xk = (ek|x)
(x|y) =n∑k=1
xkyk =t XY
‖x‖2 =n∑k=1
x2k =t XX
2) Si u ∈ L(E), on a :
tr(u) =n∑k=1
(ei|u(ei))
Proposition 46 Pour tout x de E, notons ϕx la forme lineaire y 7→ (x|y) sur E.L’application x 7→ ϕx est un isomorphisme de E sur E∗.
107
Chapitre 17
ENDOMORPHISME D’UN ESPACE EUCLIDIEN
1 Adjoint d’un endomorphisme
Theoreme-definition 1 Soit u un endomorphisme de E, il existe un unique endomorphisme,appele adjoint de u et note u∗ tel que,
∀(x, y) ∈ E2, (x|u(y)) = (u∗(x)|y)
Proposition 2 L’application u −→ u∗ est un automorphisme de L(E) verifiant :
∀u ∈ L(E), (u∗)∗ = u
(id)∗ = id
∀(u, v) ∈ L(E)2, (vou)∗ = u∗ov∗
∀u ∈ Gl(E), (u∗)−1 = (u−1)∗
Proposition 3 Soit u ∈ L(E) et B une base orthonormee de E, on a :
Mat(u∗,B) = tMat(u,B)
tr(u) = tr(u∗) , det(u) = det(u∗) , rg(u) = rg(u∗)
ker(u∗) = (Imu)⊥ et Imu∗ = (keru)⊥
‖u‖ = ‖u∗‖ et ‖u∗ou‖ = ‖u‖2
Proposition 4 Un sev F de E est stable par u si, et seulement si, F⊥ est stable par u∗.
2 Endomorphisme orthogonal
Definition 5 Un endomorphisme u de E est dit orthogonal si u∗u = id, c’est a dire
∀(x, y) ∈ E2, (u(x)|u(y)) = (x|y)
On note O(E) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E.
Remarque 6 Soit u ∈ L(E) et (e1, ..., en) une base orthonormee de E,
u ∈ O(E)⇐⇒ uu∗ = id
u ∈ O(E)⇐⇒ ∀x ∈ E, ‖u(x)‖ = ‖x‖u ∈ O(E)⇐⇒ (f(e1), ..., f(en)) est une base orthonormee de E
u ∈ O(E) =⇒ ‖u‖ = 1
Exemple 7 Les symetries orthogonales sont des elements de O(E).
Proposition 8 Si u ∈ O(E) alors detu = ±1 .
Proposition 9 1) O(E) est un sous-groupe de GL(E) appele groupe orthogonal.2) SO(E) = u ∈ O(E) detu = 1 est un sous-groupe de O(E) appele groupe special orthog-onal.Ses elements sont appeles rotations de E.
108
Definition 10 On appelle reflexion toute symetrie orthogonale par rapport a un hyperplan.
Proposition 11 Soient a et b deux vecteurs unitaires distincts deE,soit e = 1
‖b−a‖(b− a) et soit D = V ect(e), D⊥ est l’hyperplan mediateur de a et b
il existe une unique reflexion sa,b echangeant a et b,.celle par rapport a D⊥,
∀x ∈ E, sa,b(x) = x− 2(e|x)e
Proposition 12 Les reflexions engendrent O(E). (demo en dim 2 et 3)
Definition 13 Une matrice A de Mn(R) est dite orthogonale si tAA = I. On note O(n)l’ensemble des matrices de Mn(R) orthogonales.
Proposition 14 1) Si A ∈ O(n) alors detA = ±1.2) O(n) est un sous-groupe de GLn(R) .3) SO(n) = A ∈ O(n) detA = 1 est un sous-groupe de O(n)
Exercice 15 O(n) et SO(n) sont des parties compactes de Mn(R).
Proposition 16 Soit B une base orthonormee de E ,
u ∈ O(E)⇔Mat(u,B) ∈ O(n)
C est une base orthonormee ⇔ P = MatBC ∈ O(n)
Proposition 17 Les matrices de SO(2) sont les matrices de la forme(cos θ − sin θsin θ cos θ
), θ ∈ R : matrice de la rotation d’angle θ
Les matrices de O(2) de determinant negatif sont les matrices orthosemblables (tPA′P ) a
A′ =
(1 00 −1
), θ ∈ R : matrice d’une symetrie orthogonale
Theoreme 18 Soit A ∈ O(3), A est orthosemblable a l’une des matrices suivantes : 11−1
cos θ -sin θ 0sin θ cos θ 00 0 −1
avec θ ∈ R
cos θ -sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1
avec θ ∈ R
3 Endomorphisme autoadjoint ou symetrique
3.1 Definition
Definition 19 On dit qu’un endomorphisme u de E est autoadjoint, ou symetrique siu = u∗, c’est a dire
∀(x, y) ∈ E2, (x|u(y)) = (u(x)|y)
On notera S(E) l’espace vectoriel des endomorphismes symetriques de E.
109
Proposition 20 Soit B une base orthonormee de E.Un endomorphisme u est symetrique si, et seulement si, la matrice de u dans la base B estsymetrique.
Proposition 21 S(E) est un sev de L(E) de dimension n(n+1)2
Definition 22 On dit qu’un endomorphisme symetrique u de E est :
positif si ∀x ∈ E, (x|u(x)) ≥ 0
defini positif si de plus ∀x ∈ E, (x|u(x) = 0⇒ x = 0
On notera S+(E) l’ensemble des endomorphisme symetriques positifs et S++(E) l’ensemble desendomorphismes symetriques definis positifs.
Exemple 23 1) Si u ∈ L(E), alors u∗u et uu∗ sont symetriques positifs.2) Si u ∈ GL(E), alors u∗u et uu∗ sont symetriques definis positifs.
Definition 24 On dit qu’une matrice symetrique A est :
positive si ∀X ∈ M1,n(R), tXAX ≥ 0
definie positive si de plus ∀X ∈ M1,n(R), tXAX = 0⇒ X = 0.
On notera S+n (R) l’ensemble des matrices positives et S++
n (R) l’ensemble des matrices definiespositives.
Exemple 25 1) Si A ∈Mn(R) alors tAA et AtA appartiennent a S+n (R).
2) Si A ∈ GLn(R) alors tAA et AtA appartiennent a S++n (R).
Proposition 26 Soit B une base orthonormee de E, soit u un endomorphisme symetrique.Un endomorphisme u est positif si, et seulement si, la matrice de u dans la base B est positive.Un endomorphisme u est defini positif si, et seulement si, la matrice de u dans la base B estdefinie positive.
3.2 Reduction des endomorphismes symetriques
Theoreme 27 Spectral :Tout endomorphisme symetrique d’un espace euclidien possede une base orthonormeede vecteurs propres.
Corollaire 28 Soit A ∈ Sn(R)
∃P ∈ O(n), ∃D diagonale : A = PDtP
Corollaire 29 Soit u ∈ S(E),u est positif si, et seulement si, ses valeurs propres sont positives ,u est defini positif si, et seulement si, ses valeurs propres sont strictement positives ,
Corollaire 30
u ∈ S(E) =⇒ ‖u‖ = maxλ∈sp(u)
|λ|
u ∈ S+(E) =⇒ ‖u‖ = max‖x‖≤1
(u(x)|x)
u ∈ L(E) =⇒ ‖u‖ = maxµ∈sp(u∗ou)
õ
110
4 Formes bilineaires symetriques et formes quadratiques
Definition 31 On appelle forme quadratique q sur E toute application de E dans R tellequ’il existe une forme bilineaire symetrique ϕ sur E telle que
∀x ∈ E, q(x) = ϕ(x, x)
On note Q(E) l’espace vectoriel des formes quadratiques sur E.
Exemple 32 q1(x1, .., xn) =∑n
i=1 λix2i , q2(f) =
∫ baf 2(t)p(t)dt
Proposition 33 Identites de polarisation:Soit q une forme quadratique sur E.Il existe une unique forme bilineaire symetrique sur E, ϕ appelee forme polaire de q telle que
∀x ∈ E, q(x) = ϕ(x, x)
Elle est donnee par l’une des identites de polarisation suivantes:
ϕ(x, y) =1
2(q(x+ y)− q(x)− q(y))
ϕ(x, y) =1
2(q(x) + q(y)− q(x− y))
ϕ(x, y) =1
4(q(x+ y)− q(x− y))
Exemple 34 1. La forme polaire de la forme quadratique nulle est la forme bilineairesymetrique nulle
2. Soient (ϕ1, ϕ2) ∈ (E∗)2, l’application ϕ1.ϕ2 est une forme quadratique de forme polaire
(x, y) 7→ 1
2(ϕ1(x)ϕ2(y) + ϕ1(y)ϕ2(x))
3. Soient ϕ ∈ E∗, l’application ϕ2. est une forme quadratique de forme polaire (x, y) 7→ϕ(x)ϕ(y)
4.1 Matrice d’une forme bilineaire symetrique
On suppose que E est de dimension finie n, soit B une base de E.Soit ϕ ∈ BS(E) et q sa forme quadratique asociee.
Definition 35 On appelle matrice de ϕ ou de q dans la base B la matrice symetrique:
Mat(ϕ,B) = (ϕ(ei, ej)) ∈Mn(K)
Proposition 36 Soit A = Mat(ϕ,B) = (ai,j),soient (x, y) ∈ E2 , X = Mat(x,B) = (xi)i et Y = Mat(y,B) = (yi)i ,
ϕ(x, y) =∑(i,j)
ai,jxiyj =t XAY
q(x) =∑i
ai,ix2i + 2
∑i<j
ai,jxixj =t XAX
111
Corollaire 37 Toute forme quadratique sur Rn est du type q(x1, ..., xn) =∑
i ai,ix2i+2
∑i<j ai,jxixj,
et reciproquement tout polynome homogene de drege deux est une forme quadratique.en particulier toute forme quadratique sur R2 est du type q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 etreciproquement.
Proposition 38 L’application ϕ 7→ Mat(ϕ,B) de BS(E) dans Sn(R) ensemble des matricessymetriques, est un isomorphisme.
Corollaire 39 dimBS(E) = dimQ(E) = n(n+1)2
.
Proposition 40 Soit C =(f1, ..., fn) une base de E et P la matrice de passage de B a C
Mat(ϕ, C) =tPMat(ϕ,B)P
4.2 Forme bilineaire symetrique et endomorphisme symetrique
Theoreme 41 Soit u ∈ S(E), l’application ϕu : (x, y) 7→ (x|u(y)) est une forme bilineairesymetrique sur E.L’application u 7→ ϕu est un isomorphisme de S(E) sur l’ensemble des formes bilineairessymetriques BS(E).Si B = (e1, ..., en) est une base orthonormee de E, on a :
Mat(u,B) = (ei|u(ej)) = Mat(ϕu,B)
Definition 42 ϕ est une forme bilineaire symetrique de E est dite non degeneree si le rangde sa matrice est n.Une forme quadratique q est dite non degeneree si son rang est n.
Theoreme 43 Si ϕ est une forme bilineaire symetrique de E, il existe une base orthonormeeC = (e′1, ..., e
′n) de E dans laquelle la matrice de ϕ est diagonale, c’est a dire ∃(λ1, .., λn) ∈ Rn
ϕ
(n∑i=1
x′ie′i,
n∑i=1
y′ie′i
)=
n∑i=1
λix′iy′i =t X ′DY ′ =t Y ′DX ′
q(n∑i=1
x′ie′i) =
n∑i=1
λix′2i =t X ′DX ′
4.3 Decompositions
Exercice 44 1) decomposition d’Iwasawa :
∀A ∈ GLn(R), ∃!O ∈ O+n (R), ∃!T ∈ triangulaire sup erieure avec ∀i, ti,i > 0 telle que A = OT
Inegalite d’Hadamard
|detA| ≤n∏j=1
‖Cj‖ =n∏j=1
(n∑i=1
a2i,j
) 12
2) decomposition de Cholevski
∀A ∈ S++n (R), ∃!T triangulaire sup erieure avec ∀i, ti,i > 0 telle que A =t TT
112
3) racine carree d’une matrice symetrique
∀A ∈ S+n (R), ∃!S ∈ S+
n (R) telle que A = S2
4) decomposition de Cartan :
∀A ∈ GLn(R), ∃!S ∈ S+n (R), ∃!O ∈ On(R) telle que A = OS
5 Endomorphismes d’un espace hermitien
5.1 Adjoint d’un endomorphisme
Theoreme-definition 45 Soit u un endomorphisme de E, il existe un unique endomorphisme,appele adjoint de u et note u∗ tel que,
∀(x, y) ∈ E2, (x|u(y)) = (u∗(x)|y)
Proposition 46 L’application u −→ u∗ est une application semi-lineaire bijective de L(E)verifiant :
∀u ∈ L(E), (u∗)∗ = u
(id)∗ = id
∀(u, v) ∈ L(E)2, (vou)∗ = u∗ov∗
∀u ∈ Gl(E), (u∗)−1 = (u−1)∗
Definition 47 Soit A ∈Mn,m(C), on appelle adjointe de A la matrice A∗ =t A = tA
Proposition 48 Soit u ∈ L(E) et B une base orthonormee de E, on a :
Mat(u∗,B) = Mat(u,B)∗
tr(u∗) = tr(u) , det(u∗) = det(u) , rg(u) = rg(u∗)
ker(u∗) = (Imu)⊥ et Imu∗ = (keru)⊥
‖u‖ = ‖u∗‖ et ‖u∗ou‖ = ‖u‖2
Proposition 49 Un sev F de E est stable par u si, et seulement si, F⊥ est stable par u∗.
5.2 Endomorphisme autoadjoint ou hermitien
Definition 50 On dit qu’un endomorphisme u de E est autoadjoint, ou hermitien si u = u∗,c’est a dire
∀(x, y) ∈ E2, (x|u(y)) = (u(x)|y)
On notera H(E) l’espace vectoriel des endomorphismes hermitiens de E.
Definition 51 On dit qu’une matrice A ∈Mn,m(C) est hermitienne si A = A∗
Proposition 52 Soit B une base orthonormee de E.Un endomorphisme u est hermitien si, et seulement si, la matrice de u dans la base B esthermitienne.
113
Proposition 53 H(E) est un sev de L(E) de dimension n(n+1)2
Definition 54 On dit qu’un endomorphisme hermitien u de E est :
positif si ∀x ∈ E, (x|u(x) ≥ 0
defini positif si ∀x ∈ E\0, (x|u(x) > 0
Remarque 55 L’endomorphisme hermitien u est defini positif si, et seulement si
u est positif
∀x ∈ E, (x|u(x) = 0⇒ x = 0
Exemple 56 1) Si u ∈ L(E), alors u∗u et uu∗ sont hermitiens positifs.2) Si u ∈ GL(E), alors u∗u et uu∗ sont hermitiens definis positifs.
Definition 57 On dit qu’une matrice hermitienne A est :
positive si ∀X ∈ M1,n(R), tXAX ≥ 0
definie positive si ∀X ∈ M1,n(R)\0, tXAX > 0.
On notera H+n (R) l’ensemble des matrices positives et H++
n (R) l’ensemble des matrices definiespositives.
Exemple 58 1) Si A ∈Mn(R) alors tAA et AtA appartiennent a H+n (R).
2) Si A ∈ GLn(R) alors tAA et AtA appartiennent a H++n (R).
Proposition 59 Soit B une base orthonormee de E, soit u un endomorphisme hermitien.Un endomorphisme u est positif si, et seulement si, la matrice de u dans la base B est positive.Un endomorphisme u est defini positif si, et seulement si, la matrice de u dans la base B estdefinie positive.
5.3 Endomorphisme unitaire
Definition 60 Un endomorphisme u de E est dit unitaire si u∗u = id, c’est a dire
∀(x, y) ∈ E2, (u(x)|u(y)) = (x|y)
On note U(E) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E.
Remarque 61 Soit u ∈ L(E) et (e1, ..., en) une base orthonormee de E,
u ∈ U(E)⇐⇒ uu∗ = id
u ∈ U(E)⇐⇒ ∀x ∈ E, ‖u(x)‖ = ‖x‖u ∈ U(E)⇐⇒ (f(e1), ..., f(en)) est une base orthonormee de E
u ∈ U(E) =⇒ ‖u‖ = 1
Proposition 62 Si u ∈ U(E) alors |detu| = 1 .
114
Proposition 63 1) U(E) est un sous-groupe de GL(E) appele groupe orthogonal.2) SU(E) = u ∈ O(E) detu = 1 est un sous-groupe de O(E) appele groupe special unitaire.
Proposition 64 U(E) et SU(E) sont des parties compactes de L(E).
Definition 65 Une matrice A de Mn(R) est dite unitaire si A∗A = I. On note U(n) l’ensembledes matrices de Mn(C) unitaires.
Remarque 66 Soit A ∈Mn(C), A ∈ U(n)⇔ AA∗ = I .
Proposition 67 Si A ∈ U(n) alors |detA| = 1.
Proposition 68 1) U(n) est un sous-groupe de GLn(R) .2) SU(E) = A ∈ O(n) detA = 1 est un sous-groupe de U(E) .
Proposition 69 Soit B une base orthonormee de E.Un endomorphisme u est unitaire si, et seulement si, la matrice de u dans la base B est unitaire.
Proposition 70 Soit B une base orthonormee de E.
C est une base orthonormee⇐⇒ P = MatBC ∈ U(n)
5.4 Reduction des endomorphismes hermitiens
Theoreme 71 Spectral :Tout endomorphisme hermitien d’un espace euclidien est diagonalisable dans une base or-thonormee de vecteurs propres.
Corollaire 72 1) Un endomorphisme u de E est hermitien si, et seulement si, il existe unebase orthonormee de E dans laquelle sa matrice est diagonale.2) Une matrice A ∈Mn(C) est hermitienne si, et seulement si, il existe une matrice unitaire Ptelle que P−1AP soit diagonale.
Corollaire 73 Soit u ∈ H(E),u est positif si, et seulement si, ses valeurs propres sont positives ,u est defini positif si, et seulement si, ses valeurs propres sont strictement positives ,
Corollaire 74
u ∈ S(E) =⇒ ‖u‖ = maxλ∈sp(u)
|λ|
u ∈ L(E) =⇒ ‖u‖ = maxµ∈sp(u∗ou)
õ
115
Chapitre 18
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES
K designe R ou C, I un intervalle de R non reduit a un point, F un K espace vectoriel normede dimension n et B une base de E.Si u ∈ L(F ) et x ∈ F on notera u.x = u(x)
1 Equations lineaires d’ordre un
1.1 Theoreme de Cauchy-Lipschitz
Definition 1 1) Soit a une application continue de I dans L(F ) et b une application continue deI dans F , on appelle solution de l’equation differentielle (E): x′ = a(t)x+b(t) toute applicationϕ de I dans F derivable telle que
∀t ∈ I, ϕ′(t) = a(t)ϕ(t) + b(t)
2) On appelle equation homogene associe a (E), l’equation differentielle x′ = a(t)x (Eh)
Definition 2 En posant pour tout t ∈ I, A(t) = Mat(a(t),B), B(t) = Mat(b(t),B), X(t) =Mat(ϕ(t),B), (E) peut s’ecrire :
X ′ = A(t)X +B(t)
On dit alors que l’on a un systeme differentiel lineaire.
Proposition 3 Toute solution de (E) est de classe C1. Elle est de classe Ck+1 lorsque a et bsont de classe Ck.
Definition 4 On dit qu’une solution ϕ de (E) verifie la condition de Cauchy (t0, x0) ∈ I×F(condition initiale) si on a :
ϕ(t0) = x0
On appelle probleme de Cauchy en (t0, x0) l’etude des solutions de (E) verifiant la conditioninitiale (t0, x0).
Theoreme 5 de Cauchy-Lipschitz :Pour tout (t0, x0) ∈ I × F ,il existe une unique solution ϕ a l’equation (E) verifiant la condition initiale (t0, x0).
Proposition 6 L’ensemble S0 des solutions de (Eh) est un sous-espace vectoriel de C1(I, F ).L’ensemble S des solutions de (E) est un sous-espace affine de C1(I, F ) de direction S0.
Proposition 7 Principe de superposition :Soient (α1, α2) ∈ K2 et (b1, b2) ∈ C(I, F )2 tels que b = α1b1 + α2b2.Si ϕ1 et ϕ2 sont des solutions des equations x′ = a(t)x+ b1 et x′ = a(t)x+ b2 alors α1ϕ1 +α2ϕ2
est solution de (E).
116
1.2 Etude des solutions de l’equation homogene
Proposition 8 Soit t0 ∈ I. L’application
S0 → Fϕ 7→ ϕ(t0)
est un isomorphisme d’espaces vectoriels et donc dimS0 = n = dimF .
Definition 9 On appelle systeme fondamental de solutions de (Eh) toute base (ϕ1, ..., ϕn)de S0.
Proposition 10 Soit t0 ∈ I,
(ϕ1, ..., ϕn) base de S0 ⇔ (ϕ1(t0), ..., ϕn(t0)) base de F
Definition 11 On appelle wronskien dans B de la famille (ϕ1, ..., ϕn) de S0 l’applicationdefinie par
∀t ∈ I, W (t) = detB
(ϕ1(t), ..., ϕn(t))
Proposition 12 Soit u ∈ L(F ). Pour tout (x1, ...., xn) ∈ F n on a :
n∑i=1
detB
(x1, ., u.xi, .., xn) = tr(u) detB
(x1, ..., xn)
Proposition 13 1)∀t ∈ I, W ′(t) = tr(a(t))W (t)
2) Soit t0 ∈ I,
∀t ∈ I, W (t) = W (t0) exp
(∫ t
t0
tr(a(s))ds
)Corollaire 14 On a equivalence entre :1) (ϕ1, ..., ϕn) est un systeme fondamental de solutions de (Eh);2) ∃t ∈ I : W (t) 6= 0;3) ∀t ∈ I, W (t) 6= 0.
1.3 Methode de variation des constantes
Soit (ϕ1, ..., ϕn) est un systeme fondamental de solutions de (Eh);
Proposition 15 ∀ϕ ∈ C1(I, F ), il existe une et une seule famille (λ1, ..., λn) de C1(I, F ) telleque
ϕ =n∑i=1
λiϕi
Proposition 16
ϕ =n∑i=1
λiϕi ∈ S ⇔n∑i=1
λ′iϕi = b
117
2 Equations lineaires a coefficients constants
On identifira les vecteurs de Kn avec les matrices colonnes de Mn,1(K)Soit A ∈Mn(K) une matrice constante et B est une application continue de R dans Mn,1(K)
, notons :(E) l’equation X ′ = AX +B et S son ensemble de solutions, (Eh) l’equation X ′ = AX et S0
son ensemble de solutions.
2.1 Cas ou A est diagonalisable
Proposition 17 Si Vi est un vecteur propre de A associe a la valeur propre λi, alors
ϕi : t→ eλitVi
de R dans Kn est dans S0.
Theoreme 18 Avec les notation precedentes, si A est diagonalisable etsi (V1, ..., Vn) est une base de vecteur propre de A, alors
(eλ1.V1, ...., eλn.Vn) est une base du K ev S0.
X ∈ S0 ⇔ ∃(α1, ....., αn) ∈ Kn, ∀t ∈ R, X(t) =n∑i=1
αieλitVi
Proposition 19 Supposons A ∈ Mn(R) et A est diagonalisable dans C mais pas dansR.Si Vi est un vecteur propre de Cn associe a la valeur propre λi non reelle,alors Vi est un vecteur propre associe a la valeur propre λi, de plus les sous-espaces propressont de meme dimension et on a :
V ectC(ϕi, ϕi) = V ectC(Re(ϕi), Im(ϕi))
Soit λ1, ..., λp+2q les valeurs propres de A associees aux vecteurs de la base V1, ..., Vp+2q (n =p+ 2q)tel que λ1, ..., λp soient les valeurs propres reelles de A et ∀j ∈ [1, q], λp+q+j = λp+j
(eλ1.V1, ..., eλp.Vp, Re(e
λp+1.Vp+1), Im(eλp+1.Vp+1), ...., Re(eλp+q .Vp+q), Im(eλp+q .Vp+q)) est une base du R ev S0
X ∈ S0 ⇔ ∃(α1, .., αp) ∈ Rp, ∃(β1, .., βq) ∈ Rq , ∃(γ1, .., γq) ∈ Rq
∀t ∈ R, X(t) =
p∑i=1
αieλitVi +
p+q∑i=p+1
βiRe(eλitVi) + γiIm(eλitVi)
2.2 Cas ou A est trigonalisable
Proposition 20 Si le polynome caracteristique de a est scinde alors on peut trigonaliser tousles endomorphismes induits par a sur les Fλi . En posant T = P−1AP la matrice triangulaireobtenue, on peut faire un changement de variable Y = P−1X et on resout de proche en prochele systeme obtenu.
118
2.3 Utilisation d’une exponentielle
Theoreme 21 Pour tout (t0, X0) ∈ R × Kn, l’unique solution ϕ de l’equation (Eh) verifiantla condition initiale (t0, X0) est l’application de R dans Kn definie par :
t 7→ e(t−t0)AX0.
Proposition 22 Soit (X1, ..., Xn) ∈ (Kn)n
(e.AX1, ..., e.AXn) est un systeme fondamental de solutions de (Eh)⇔ (X1, ..., Xn) base de Kn
Le wronskien de la famille (e.AX1, ..., e.AXn) dans B est donne par :
∀t ∈ R, W (t) = detB
(X1, ..., Xn)et(tr(A))
Corollaire 23 det eA = etr(A)
Theoreme 24 Soit t0 ∈ I, l’application t 7→ etA∫ tt0e−sAB(s)ds est une solution de (E).
Theoreme 25 Pour tout (t0, X0) ∈ R×Kn, l’ unique solution ϕ a l’equation (E) verifiant lacondition initiale (t0, X0) est
t 7→ e(t−t0)AX0 + etA∫ t
t0
e−sAB(s)ds
3 Equations differentielles lineaires scalaires
3.1 Cas general
Soit (ai)i∈0,..,n une famille de C(I,K) et b un element de C(I,K) et l’equation differentiellelineaire scalaire d’ordre n :
anx(n) + ..+ a0x = b (E)
Definition 26 On appelle solution de (E) toute application n fois derivable de I dans Kverifiant :
∀t ∈ I, an(t)ϕ(n) + ..+ a0(t)ϕ(t) = b(t)
Definition 27 On dit que l’equation (E) est reguliere si an ne s’annule pas sur I et singulieresinon.
Dans toute la suite nous suposerons (E) reguliere.
Proposition 28 Toute solution de (E) est de classe Cn.Elle est de classe Cn+psi les applications (ai) et b sont de classe Cp.
Definition 29 On dit qu’une solution ϕ de (E) verifiela condition de Cauchy, ou condition initiale (t0, x0, ...xn−1) ∈ I ×Kn si on a
∀k ∈ 0, ..., n− 1, ϕ(k)(t0) = xk
119
Definition 30 On appelle :espace des phases de (E), l’espace E = Kn,application des phases les applications t 7→ A(t) de I dans Mn(K) et t 7→ B(t) de I dansMn,1(K) definie par
∀t ∈ I, A(t) =
0 1 0 . 0. . . . .. . . . 00 . . 0 1
− a0(t)an(t)
− a1(t)an(t)
. . −an−1(t)an(t)
, B(t) =
0...b(t)an(t)
equation des phases, l’equation differentielle lineaire du premier ordre :X ′ = AX +B (P )
Proposition 31 ϕ est solution de (E)⇔
ϕϕ′
.ϕ(n−1)
est solution de (P ).
Theoreme 32 de Cauchy-Lipschitz :Pour tout (t0, x0, ...xn−1) ∈ I ×Kn, il existe une unique solution ϕ a l’equation (E) verifiant lacondition initiale (t0, x0, ...xn).
Proposition 33 L’ensemble S0 des solutions de (Eh) est un sous-espace vectoriel de Cn(I,Kn)de dimension n et l’application ϕ 7→ (ϕ(t0), ϕ′(t0), .., ϕ(n−1)(t0)) de S0 dans Kn est un isomor-phisme.L’ensemble S des solutions de (E) est un sous-espace affine de Cn(I,Kn) de direction S0.
Proposition 34 Si ∀i ∈ 0, .., n ai est constante et si P =∑n
i=0 aiXi admet n racines
distinctes λ1, ..., λn alors(eλ1., ...., eλn.) est une base de S0
3.2 Equations lineaires scalaires d’ordre 2
Soient a0, a1, b trois applications continues de I dans K, soit l’equation differentielle
x′′ + a1x′ + a0x = b
l’equation des phases est l’equation differentielle lineaire du premier ordre :X ′ =
(0 1−a0 −a1
)X+(
0b
)(P )
Theoreme 35 de Cauchy-Lipschitz :Pour tout (t0, x0, x1) ∈ I × K2, il existe une unique solution ϕ a l’equation (E) verifiant lacondition initiale ϕ(t0) = x0 et ϕ′(t0) = x1
Proposition 36 L’ensemble S0 des solutions de (Eh) est un sous-espace vectoriel de C2(I,K2)de dimension 2 et l’application ϕ 7→ (ϕ(t0), ϕ′(t0)) de S0 dans Kn est un isomorphisme.L’ensemble S des solutions de (E) est un sous-espace affine de Cn(I,K2) de direction S0.
Definition 37 Soient (ϕ1, ϕ2) deux solutions de (Eh), on appelle wronskien de (ϕ1, ϕ2)l’application definie sur I par
∀t ∈ I, W (t) =
∣∣∣∣ ϕ1(t) ϕ2(t)ϕ′1(t) ϕ′2(t)
∣∣∣∣120
Proposition 38 1) Soient (ϕ1, ϕ2) deux solutions de (Eh), on a :
∀t ∈ I, W ′(t) = −a1(t)W (t)
2) Soit t0 ∈ I,
∀t ∈ I, W (t) = W (t0) exp
(∫ t
t0
−a1(s)ds
)Corollaire 39 On a equivalence entre :1) (ϕ1, ..., ϕn) est un systeme fondamental de solutions de (Eh);2) ∃t ∈ I : W (t) 6= 0;3) ∀t ∈ I, W (t) 6= 0.
• Methode de la variation des constantes : On utilisera cette methode lorsque l’on connaıtun systeme fondamental de solutions (ϕ1, ϕ2) de (Eh) pour chercher une solution partic-uliere de (E).On cherchera une solution ϕ de (E) sous la forme ϕ = λ1ϕ1 + λ2ϕ2 avec la conditionλ′1ϕ1 + λ′2ϕ2 = 0.
• Methode de la variation de la constante : On utilisera cette methode lorsque l’on connaıtune solution ϕ1 de (Eh) ne s’annulant pas sur I.On cherchera une solution ϕ de (Eh) en posant ϕ = λϕ1
ϕ solution de (E)⇔ ϕ1λ′′ + (2ϕ′1 + a1ϕ1)λ′ = 0
que l’on resoudra en calculant λ′ puis λ.
• On pourra rechercher des solutions particulieres :
– simples,
– ou sous formes polynomiales,
– ou developpables en series entieres.
121
Chapitre 19
CALCUL DIFFERENTIEL
E et F designent des espaces vectoriels reels de dimension finie. Toutes les normes etantequivalentes, on peut dans les definitions suivantes prendre n’importe quelle norme.
On utilisera les bases B = (e1, ..ep) et C = (e′1, ..., e′n) de E et F .
Si f est une application a valeurs dans F , on notera fi = v∗i of ou v∗i designe la ieme formecoordonnee dans la base C.
1 Etude locale d’une application, continuite
1.1 Definitions
Soient f une application d’une partie A de E dans F . Soit a un point adherent a A.
Definition 1 Soit b un element de F , on dit que f admet comme limite b au point a si
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ A, ‖x− a‖E ≤ α⇒ ‖f(x)− b‖F ≤ ε
Definition 2 Si a ∈ A et si f admet une limite en a on dit que f est continue en a.
Proposition 3 Supposons a ∈ A, si f est continue en a alors lima f = f(a)
Definition 4 On dit que f est continue si elle est continue en tout point de A.
1.2 Proprietes
Proposition 5 Operations, structures.
Proposition 6 1) lima f = l si et seulement si, pour toute suite (xn)n∈N de points deA convergeant vers a la suite (f(xn))n∈N converge vers l.2) f admet une limite en a si et seulement si, pour toute suite (xn)n∈N de points deA convergeant vers a la suite (f(xn))n∈N converge.
Exemple 7 Toute application lipschitzienne est continue.
Definition 8 Soit f une application de A dans B une partie de F , on dit que f est unehomeomorphie si f est bijective et si f et f−1sont continues.
Definition 9 Si A = [α1, β1]× ...× [αn, βn] et soit a = (a1, .., an) ∈ A ,
on appelle ieme application partielle de f en a, l’applicationfi,a : [αi, βi] → F
x 7→ f(a1, ..ai−1, x, ai+1, .., an)
Proposition 10 Si f est continue en a alors les applications partielles de f en a sont continues,mais la reciproque est fausse.
Exemple 11 l’application f(x, y) = xyx2+y2
si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0 a ses applicationspartielles continues en 0 mais n’est pas continue en 0
122
2 Applications continument differentiables
Soit U un ouvert de E et f une application de U dans F .
2.1 Derivee suivant un vecteur
Definition 12 Soit a ∈ U et h un vecteur de E. Soit l’application ϕa,h : t 7→ f(a+ th) definiesurIa,h = t ∈ R tels que a+ th ∈ U. Cet ensemble est un ouvert de R contenant 0.On dit que f est derivable en a suivant le vecteur h si ϕa,h est derivable en 0.On appelle alors derivee de f en a suivant h le vecteur ϕ′a,h(0), et on note Dhf(a), cette derivee.
Dhf(a) = limt→0
f(a+ th)− f(a)
t
Remarque 13 La derivation suivant un vecteur est independante des normes choisies. Enparticulier f est derivable en a suivant le vecteur h si et seulement si, ses composantes dans Csont derivables en a suivant h et on a
Dhf(a) =n∑i=1
Dhfi(a)e′i
Remarque 14 Une application peut posseder des derivees suivant tout vecteur en un pointsans etre continue.
Exemple 15 f(x, y) = x2yx4+y2
si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0
Definition 16 On dit que f possede une derivee partielle d’indice j dans la base B de E en asi elle est derivable en a suivant le vecteur ej. On appelle alors derivee partielle d’indice j ena, et on note Djf(a) ou ∂f
∂xj(a) cette derivee.
∂f
∂xj(a) = lim
t→0
f(a+ tej)− f(a)
t
Remarque 17 Si E = Rp alors les derivees partielles sont :
∂f
∂xj(a) = lim
t→0
f(a1, ..., aj + t, .., an)− f(a1, ..., aj, .., an)
t
Definition 18 Si f possede des derivees partielles en a, on appelle matrice jacobienne dansles bases B et C de f en a, et on note Jf (a), la matrice :
Jf (a) =
(∂fi∂xj
(a)
)= (Djfi(a)) ∈Mn,p(R)
Exemple 19 (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ)
2.2 Applications differentiables
Definition 20 Soit a ∈ U . L’application h 7→ f(a + h) est definie sur U − a = h ∈E tel que a+ h ∈ U. Cet ensemble translate de U par −a est un ouvert de E.On dit que f est differentiable en a ou admet un developpement limite a l’ordre 1, si il existeu ∈ L(E,F ) tel que
∀h ∈ U − a, f(a+ h) = f(a) + u(h) + o(‖h‖)On dit alors que u est tangente a f en a.
123
Proposition 21 Si l’application lineaire u est tangente a f en a, alors f est continue en a etderivable suivant tout vecteur h =
∑pj=1 hjej en a et
Dhf(a) = u(h)
Mat(u,B, C) = Jf (a)
Dhf(a) =
p∑j=1
hjDjf(a) =
p∑j=1
hj∂f
∂xj(a)
f(a+ h) = f(a) +
p∑j=1
hj∂f
∂xj(a) + o(‖h‖)
Remarque 22 l’application lineaire tangente est unique, on l’appelle differentielle de f ena, et on la note df(a) ou dfa.
Proposition 23 f est differentiable en a si et seulement si ses composantes sont differentiableset on a pour tout vecteur h de E :
df(a)(h) =n∑i=1
dfi(a)(h)e′i
Definition 24 On dit que f est differentiable sur U si elle est differentiable en tout point deU . On appelle alors differentielle de f et on note df l’application x 7→ df(x) de U vers L(E,F ).
2.3 Applications de classe C1
Definition 25 On dit que f est de classe C1 sur U , si est differentiable sur U et pour tout hde E l’application Dhf est continue sur U . On note C1(U, F ) l’ensemble des applications C1
sur U .
Proposition 26 f est de classe C1 sur U , si et seulement si, ses composantes fi sont de classeC1 sur U .
Theoreme 27 f est de classe C1 sur U , si et seulement si, les derivees partielles existent etsont continues sur U .
Proposition 28 1. Si f est une application lineaire de E dans F alors f est de classe C1
sur E, et en tout point a de E on a:
df(a) = f
Les formes lineaires e∗j sont de classe C1 on note de∗j(a) = dxj, c’est a dire dxj = e∗j .
2. Si f est une application affine de E dans F d’application lineaire associe l alors f est declasse C1 sur E, et en tout point a de E on a:
df(a) = l
Proposition 29 Soit E1 et E2 sont deux espaces vectoriels reels de dimension finie.Toute application bilineaire B : E1 × E2 → F est de classe C1 sur E1 × E2,et en tout point a de E1 × E2 on a df(a) est une application de E1 × E2 dans F definie par :
dB(a) : (h1, h2) 7→ B(h1, a2) +B(a1, h2)
124
Proposition 30 C1(U, F ) est un espace vectoriel reel et ∀(f, g) ∈ C1(U, F )2, ∀(α, β) ∈ R2
d(αf + βg) = αdf + βdg
Proposition 31 Si f et g sont de classe C1 alors gof est aussi de classe C1 et ∀a ∈ U,
d(gof)(a) = dg(f(a))odf(a)
Jgof (a) = Jgf(a).Jf (a)
∂(gof)i∂xj
(x) =n∑k=1
∂gi∂yk
(f(x))∂fk(x)
∂xj
Exemple 32 f ∈ C1(R2,R2), F : (r, θ) 7→ f(r cos θ, r sin θ)
Proposition 33 Soit I un intervalle ouvert, soit ϕ ∈ C1(I, E)
∀x ∈ I, ∀h ∈ R, dϕ(x)(h) = hϕ′(x)
Proposition 34 Soit I un intervalle ouvert, soit ϕ ∈ C1(I, E) avec ϕ(I) ⊂ U et f ∈ C1(U, F ),on a
∀x ∈ I, (foϕ)′(x) = df(ϕ(x)) [ϕ′(x)]
Exemple 35 g ∈ C1(R2,R2) , f ∈ C1(R,R2) , f = (f1, f2) et h = gof
h′(t) = f ′1(t)∂g
∂x(f1(t), f2(t)) + f ′2(t)
∂g
∂y(f1(t), f2(t))
3 Fonctions numeriques continument differentiables
Proposition 36 Si f ∈ C1(U,R) on a pour tout a de U :
df(a) =
p∑j=1
∂f
∂xj(a)e∗j =
p∑j=1
∂f
∂xj(a)dxj
df =
p∑j=1
∂f
∂xje∗j =
p∑j=1
∂f
∂xjdxj
Proposition 37 C1(U,R) est une algebre.
Definition 38 Supposons E est euclidien et B base orthonormee.Si f ∈ C1(U,R), on appelle gradient de f en a, et on note grad f(a) l’unique vecteur de E telque
∀h ∈ E, (grad f(a)|h) = df(a)(h)
On a donc
grad f(a) =
p∑j=1
∂f
∂xj(a)ej
Theoreme 39 Inegalite des accroissement finis :Si E est euclidien et f ∈ C1(U,R), si [a, b] ⊂ U on a :
f(b)− f(a) =
∫ 1
0
(gradf(tb+ (1− t)a)|b− a) dt
|f(b)− f(a)| ≤ ‖b− a‖ supx∈]a,b[
‖gradf(x)‖
125
Theoreme 40 Soit U un convexe et f ∈ C1(U,R).
f est constante sur U ⇔ ∀j ∈ 1, .., p, ∀x ∈ U, ∂f
∂xj(x) = 0
Definition 41 On dit qu’un point x de U est un point critique de f si df(x) = 0
Theoreme 42 Tout extremum local de f est un point critique.
4 Derivees partielles d’ordre k≥ 2
Definition 43 On dit qu’une application est de classe C0 sur U si elle est continue sur U .On dit qu’une application est de classe Ck sur U , pour k ∈ N\0 si pour tout vecteur h,l’application Dhf est de classe Ck−1sur U .On dit qu’une application est de classe C∞ sur U si elle est de classe Ck sur U , pour k ∈ N.On note Ck(U, F ) l’ensemble des applications de classe Ck de U dans F , et
Dj1(Dj2 ...(Djrf)) est note∂r
∂xj1∂xj2 ....∂xjr
Proposition 44 Pour tout vecteur h, l’operateur differentiel Dh est une application lineairede Ck(U, F ) dans Ck−1(U, F )
Proposition 45 f est de classe Ck sur U si, et seulement si, ses composantes sont de classeCksur U .
Proposition 46 f est de classe Cksur U si, et seulement si, les derivees partielles existent etsont de classe Ck−1sur U .
Theoreme 47 de Schwarz (admis) :Si f ∈ C2(U, F ) alors pour tout (i, j) ∈ 1, ..., p2 :
∂2f
∂xj∂xi=
∂2f
∂xi∂xj
Exemple 48 f(x, y) = xy(x2−y2)x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0
Proposition 49 L’ensemble Ck(U, F ) des applications de classe Ck de U vers F est un espacevectoriel.
Proposition 50 Soit B ∈ B(F1 × F2, G) une application entre espaces vectoriels reels dedimension finie,si f1 ∈ Ck(U, F1) et f2 ∈ Ck(U, F2) alors B(f1, f2) est de classe Ck.
Proposition 51 L’ensemble Ck(U,K) est une algebre
Proposition 52 La composee de deux applications de classe Ck est de classe Ck.
Exemple 53 Les applications polynomiales sont de classe C∞ sur Rn,Les applications rationnelles sont de classe C∞ sur U ou U est un ouvert ne contenent pas depole.
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Theoreme 54 formule de Taylor-Young :Si f ∈ C2(U,R) alors pour tout a de U ,f admet un developpement limite a l’ordre 2 en a :
∀h ∈ U − a, f(a+ h) = f(a) +
p∑j=1
hj∂f
∂xj(a) +
1
2
∑(j,k)
hjhk∂2f
∂xj∂xk(a) + o(‖h‖2)
Remarque 55 L’application h 7→∑
(j,k) hjhk∂2f
∂xj∂xk(a) est une forme quadratique sur E .
Remarque 56 Cas particulier : U ouvert de R2, f ∈ C2(U,R), ∀(a, b) ∈ U ,notons
p =∂f
∂x(a, b), q =
∂f
∂y(a, b), r =
∂2f
∂2x(a, b), s =
∂2f
∂x∂y(a, b), t =
∂2f
∂2y(a, b)
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) + hp+ kq +1
2
(h2r + 2hks+ k2t
)+ o(‖(h, k‖2)
Proposition 57 Supposons U ouvert de R2 et f ∈ C2(U,R), soit (a, b) ∈ U .Si (a, b) est un point critique de f , alors :si rt− s2 > 0 et r > 0, alors f presente un minimum local strict en (a, b).si rt− s2 > 0 et r < 0, alors f presente un maximum local strict en (a, b).
5 Diffeomorphismes
Definition 58 Soit k ≥ 1. On dit que f est un Ck−diffeomorphisme si :1) f est de classe Ck sur U ,2) f est injective, f(U) = V est un ouvert de F ,3) f−1 : V → U est de classe Ck sur V .On dit aussi que f est un Ck−diffeomorphisme de U sur V .
Proposition 59 Si f est un Ck−diffeomorphisme de U sur V alors pour tout x de U ,df(x) est un isomorphisme de E sur F et
(df(x))−1 = d(f−1)(f(x))
(Jf (a))−1 = Jf−1(f(a))
de plus dimE = dimF .
Definition 60 Si E = F et si f est de classe C1 sur U , on appelle jacobien de f en un pointa de U ,le determinant de la matrice jacobienne de f en a.
Theoreme 61 d’inversion globale :Si f est injective, de classe Ck sur U et si ∀a ∈ U , df(a) est un isomorphisme alorsf est un Ck−diffeomorphisme.En particulier son image f(U) est un ouvert de F et :
(Jf (a))−1 = Jf−1(f(a))
Proposition 62 L’application polaire P : (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ) de R2 dans lui-meme est declasse C∞ sa matrice jacobienne est (
cos θ −r sin θsin θ r cos θ
)son jacobien est r.
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![La mss-an, s'inscrivanr r]ans c conforme aux textes rég ementaires de référence mentionnés en page de cauverlure du présent rapport. 3.2.3 L 'objectif de la mission Fbc—,](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/60c1297a783a68139b218f7e/-la-mss-an-sinscrivanr-rans-c-conforme-aux-textes-rg-ementaires-de-rfrence.jpg)
