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Equation de la chaleur, approches elementaires
Thierry [email protected]
21 decembre 2013
Disponible sur http://www.univenligne.fr sous le nom Chaleur.pdf
Table des matieres
1 Introduction 2
2 Lois de conservation et phenomenes de diffusion 32.1 Lois de conservation, equation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Equations de diffusion, loi de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Marches aleatoires et equations de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Equation de la chaleur et series de Fourier 63.1 Separation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Les demonstrations sous forme d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Les corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Equation de la chaleur et transformee de Fourier 164.1 Transformee de Fourier : point de vue elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Produit de convolution (fonctions integrables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Transformee de Fourier et convolution : formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Les corriges et demonstrations des sous-sections (4.1) et (4.2) . . . . . . . . . . 214.5 L’equation de la chaleur, le premier retour : solutions sur R et R+ . . . . . . . . 254.6 Les corriges et demonstrations de la sous-section 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Equation de la chaleur et transformee de Laplace 415.1 Transformee de Laplace, point de vue elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 L’equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Equation de la chaleur et differences finies 46
1
1 Introduction
Nous etudions ici les equations de diffusion avec les outils elementaires du niveau 1 d’un cours deL2/MP, a savoir les series de Fourier, la transformation de Fourier, la convolution des fonctions,la methode des differences finies. Ce qui ne fait pas explicitement partie du cursus a ce niveau estdefini et les proprietes que nous utilisons sont demontrees sous forme d’exercices (tous corriges,afin de rendre ce document auto-suffisant).Bien des elements de ce polycopie ont leur origine dans des TD, des fiches de complementspour les TIPE... Il devrait garder sa fonction initiale qui est de prouver que les mathematiqueselementaires sont deja efficientes. Mais il pourrait aussi etre utile pour l’agregation, les proprietesde la transformation de Fourier, de la convolution, pouvant alors etre enoncees dans le cadre de latheorie de l’integration de Lebesgue sans changement notoire (je renvoie pour cela a l’ouvrage deGasquet et Witomski [7] ou au cours d’Analyse de L. Schwartz [16] ).Il me semble par ailleurs que la confrontation, avec les moyens du bord, aux problemes qui sontevoques ici devrait etre un prealable a toute rencontre avec la theorie des distributions contraire-ment a ce qui se faisait encore il y a peu dans les formations universitaires (et plus paradoxalementencore dans quelques ecoles d’ingenieurs).
Quelques indications pour la lecture
1. La section 2 (lois de conservation et modelisation des phenomenes de diffusion) est essen-tielle et doit etre lue avant toute chose. Idealement elle devrait faire partie du cours de mathsdans toutes les formations (au meme titre que la cinematique ou que les rudiments de lamecanique).
2. Cela vu, on peut commencer la lecture en plusieurs points, chaque section etant a peu presindependante des autres sur le plan de la demarche logique.
3. On aura l’occasion, surtout en (4.5), de pratiquer un raisonnement par analyse-synthese,clarifions en la demarche logique :– nous cherchons a resoudre un probleme dont S est l’ensemble des solutions. Les elements
de S sont des objets mathematiques ayant certaines proprietes (ici, ce seront typiquementles solutions d’une EDP avec des conditions initiales, des conditions aux bords...) ;
– nous commencerons par elaguer le probleme en recherchant les proprietes que verifieraitnecessairement une eventuelle solution. C’est la phase d’analyse de la recherche.
– Les conditions necessaires obtenues dans la phase d’analyse determinent un ensemble S ′qui contient S. Elles doivent evidemment etre suffisamment riches et S ′ suffisammentrestreint pour que S ′ = S.
– La phase d’analyse est achevee lorsqu’on est a meme de prouver que les conditionsnecessaires obtenues sont aussi suffisantes et que S ′ = S. C’est la phase de synthese(de verification).
4. Signalons que, dans la version electronique, pour retourner a la table des matieres il suffitde cliquer sur l’hyperlien : 1
1. ce qui n’est pas necessairement le programme
2
2 Lois de conservation et phenomenes de diffusion
Nos proposons avant tout quelques exemples de problemes de diffusion. Sans pratique de cettephase de modelisation, on risque fort de rester perplexe devant certains des resultats mathematiquesqui suivront.
2.1 Lois de conservation, equation de Burgers
Quelques exemples de lois de conservation :
1. Demographie de baseDans tous les exemples qui suivent, la meme idee est a l’œuvre, formulee ici dans un cadrediscret : dans un territoire donne l’evolution d’une population, entre deux dates est
(immigration - emigration) + (naissances - deces).
Ce que l’on exprimera encore, ∂Γ representant l’ensemble des postes frontieres et Γ l’en-semble des bureaux d’etat-civil du territoire, par la formule∑x∈∂Γ
(entrees(x, t1, t2)− sorties(x, t1, t2)) +∑x∈Γ
(naissances(x, t1, t2)− deces(x, t1, t2))
2. Concentration d’une espece chimique (1D)On considere ici un tube mince, de section constante s, contenant une espece chimique dontla concentration est fonction de x, variable d’espace, et du temps t. Nous nous interessonsa l’evolution de la concentration C = c(x, t).
Nous noterons :– c(x, t) la concentration en x a l’instant t en [M/L3];– J(x, t) quantite de matiere traversant la section du tube en x par unite de surface et
par unite de temps a l’instant t en [M/(L2T )] (debit par unite de surface ou densite decourant, dans le sens des x croissants, que l’on pourra interpreter comme ) ;
– f(x, t, c) l’apport de matiere par unite de temps et de volume en (x, t) en [M/(L3× T )].La difference entre les quantites de matiere (pour l’espece concernee) contenues aux instantst1 et t2, dans la portion [x1, x2] du tube, est∫ x2
x1
s c(x, t2) dx−∫ x2
x1
s c(x, t1) dx
=
∫ t2
t1
s(J(x1, t)− J(x2, t)) dt +
∫t2
t1
(∫x2
x1sf(x, t, c(x, t)) dx
)dt (2.1)
Ce qui donne, t = t2 etant arbitraire :∫ x2
x1
∂c(x, t)
∂tdx = (J(x1, t)− J(x2, t)) +
∫ x2
x1
f(x, t, c(x, t)) dx,
ou encore : ∫ x2
x1
∂c(x, t)
∂tdx = −
∫ x2
x1
∂J(x, t)
∂xdx+
∫ x2
x1
f(x, t, c(x, t)) dx,
d’ou enfin, puisque x = x2 est tout autant arbitraire :
3
∂c(x, t)
∂t+∂J(x, t)
∂x= f(x, t, c(x, t)) (2.2)
3. Trafic routierNous considerons ici une portion de route sur laquelle circulent des vehicules. Les grandeursetudiees sont fonctions de x, variable d’espace, et du temps t.Nous noterons :– c(x, t) le nombre de vehicules par unite de longueur au voisinage de x a l’instant t, de
dimension [1/L];– v(x, t) la vitesse moyenne (orientee) des vehicules a l’instant t au point x, de dimension
[L/T ];– le nombre de vehicules passant en x par unite de temps, de dimension [1/T ], est donne
parJ(x, t) = c(x, t)× v(x, t);
on supposera que la vitesse moyenne est fonction de l’intensite du trafic seule, ce quis’exprime
J(x, t) = c(x, t)× v(x, t) = Φ(c(x, t));
– on note enfin f(x, t, c) le nombre de vehicules qui entrent ou sortent de la route par unitede temps en x a l’instant t, de dimension [1/T ]. f(x, t, c) est nul si aucune entree ousortie n’est possible au point considere.
Peu de choses changent par rapport a l’exemple precedent, et le meme raisonnement sur laconservation du nombre de vehicules conduit a la meme equation qui devient
∂c(x, t)
∂t= Φ′(c(x, t))
∂c(x, t)
∂x+ f(x, t, c(x, t)) (2.3)
1
2.2 Equations de diffusion, loi de Fick
1. Retour sur la concentration d’une espece chimique (1D), loi de FickOn considere ici le tube mince du paragraphe (2) et l’equation de conservation
∂c(x, t)
∂t+∂J(x, t)
∂x= f(x, t, c(x, t)). (2.4)
Si nous supposons qu’entre deux points x1 et x2 la quantite de matiere qui diffuse, parunite de temps, des plus fortes vers les plus faibles concentrations est proportionnelle a ladifference des concentrations entre ces points (loi de Fick) , la densite de courant J verifie
J(x, t) = −D∂c(x, t)∂x
,
4
et l’equation (2.4) devient,
∂c(x, t)
∂t− ∂
∂x
(D(x, t)
∂c(x, t)
∂x
)= f(x, t, c(x, t)). (2.5)
et lorsque D est constant :
∂c(x, t)
∂t−D∂
2c(x, t)
∂x2= f(x, t, c(x, t)). (2.6)
Sur ces questions je conseille la lecture de [4] qui est a la fois d’un niveau mathematiqueelementaire et riche en exemples de modelisations.
2. equation de la chaleur
2.3 Marches aleatoires et equations de diffusion
Viendra avec le programme 2014-2015 en deuxieme annee...
5
3 Equation de la chaleur et series de Fourier
Pre-requis : un cours elementaire sur les series de Fourier (voir le polycopie donnant le coursde MP-programme 2013-2014 sur univenligne.fr). Les series de Fourier disparaissent duprogramme en 2014, des fois que ca servirait a quelque chose ! 1
3.1 Separation des variables
On considere ici le probleme
∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = 0
u(x, 0) = h(x) pour tout x > 0
u(0, t) = u(L, t) = 0 pour tout t > 0
(3.1)
dans lequel u(x, t) est definie sur [0, L]× [0,∞[ et h sur [0, L].Le theoreme 4 donne des conditions suffisantes sur h pour que ce probleme admette une solution.
Theoreme 1Avec les notations de (3.1) on suppose que h est de classe C3 sur [0, L] et prolongeable en unefonction de de classe C2 et de classe C3 par morceaux, impaire et 2L periodique. Alors, leprobleme (3.1) admet une solution et une seule qui est donnee par
u(x, t) =∞∑k=1
hke−( kπL )
2D t sin
(kπ
Lx
)les hk etant les coefficients de Fourier du prolongement de h.
DemonstrationL’exercice 2 deroule une demonstration selon deux idees directrices : faire apparaıtre des solutionsa variables separables du sous-probleme obtenu en omettant la condition initiale et developper enserie de Fourier le prolongement impair et 2L periodique de la fonction h(x).L’unicite de la solution est l’objet de l’exercice 3.
ObservationsLes conditions sur la fonction h apparaitront peu realistes pour des applications reelles. On peutainsi se demander ce qu’il advient de l’expression formelle de la solution u(x, t) lorsque h estsimplement continue par morceaux sur [0, L]. Nous allons tenter, avec l’exercice (simpliste) 1,de repondre a cette question en representant les fonctions u(x, t) lorsque h verifie les proprietesde notre theoreme, puis lorsqu’elle est seulement de classe C1 par morceaux. Ce sont la desobservations importantes qu’eclaire la notion de solution faible indispensable pour justifier lesmethodes numeriques.
6
Representations de x→ u(x, t) avec D = 1 et pour plusieurs valeurs de t.On a represente ici les sommes partielles
u7(x, t) =7∑
k=1
hke−( kπL )
2D t sin
(kπ
Lx
)• A gauche, la fonction h verifie les hypotheses du theoreme.• A droite, h est egale a 1 sur [0, 1] ce qui met a mal la continuite aux bords lorsque t = 0. Lapremiere fonction qui oscille autour de la valeur 1, est u7(x, 0), c’est la 7ieme somme de Fourierde h.
Exercice 1 Le but est de tracer certaines des fonctions donnees par le theoreme 4 en sortant,comme il se doit dans la vraie vie, des hypothese du theoreme pour voir ce qui en reste. Ontravaillera sous Maple ou Scilab,
1. On suppose f definie sur [0, L]. Tracer son prolongement impair et de periode 2L.2. Ecrire une fonction b(h, n, L) qui prend en argument une fonction f definie sur [0, L], un
entier n ≥ 1, un reel L et retourne le coefficient de Fourier bn de son prolongement impairde periode 2L.Ecrire de la meme facon une fonction Fourier(h, n, L, x) retournant sa nieme somme deFourier (au point x).
Tester avec les exemples de la question 4. Interpretez a la lumiere des theoremes fondamen-taux sur la convergence des series de Fourier.
3. Construire enfin une fonction U(f, nL, x, t) qui retourne l’expression de la fonction
u(x, t) =∞∑k=0
hke−( kπL )
2D t sin
(kπ
Lx
)4. Realiser des traces lorsque L = 1, h(x) = 64x3 (1− x)3 (les hypotheses du theoreme sont
alors verifiees) et h(x) = 1 sur [0, 1] (elles ne le sont plus).Discuter.
corrige en 3.3.1
7
3.2 Les demonstrations sous forme d’exercices
Exercice 2 equation de la chaleur, probleme (3.1) : existence
On note ici D =1
C...
1. Rechercher les solutions de la forme F (x) × G(t) verifiant les conditions conditions auxlimites (1). Ceci conduit a un probleme
F”(x)− λF (x) = 0 avec F (0) = F (L) = 0
(il s’agit d’un probleme de Sturm-Liouville), qui n’admet des solutions non nulles que pourcertaines valeurs de λ que l’on precisera.
2. On suppose que h(x) est un polynome trigonometrique de periode 2L :
h(x) =n∑k=1
hk sin
(kπx
L
).
Le systeme (E), (1), (2) admet-il une solution ?
3. On suppose que h est de classe C3 sur [0, L] et prolongeable en une fonction de de classeC2 et de classe C3 par morceaux, impaire et 2L periodique que l’on notera h. On notera saserie de Fourier ∑
hk sin
(kπ
Lx
)et on posera
u(x, t) =∞∑k=1
hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)lorsque cela aura un sens.
(a) Que dire des series de coefficients∑
k |hk|,∑
k k|hk| et∑
k k2|hk|?
(b) Montrer que la somme des fonctions de la variable x :
x→ um(x, t) = hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)
est une fonction de classe C2 et preciser∂2
∂x2u(x, t).
(c) Montrer que la somme des fonctions de la variable t,
t→ um(x, t) = hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)
est une fonction de classe C1 et preciser∂
∂tu(x, t).
(d) Montrer qu’il existe une solution u(x, t) du probleme que l’on exprimera en fonctiondes coefficients de Fourier de h.
corrige en 3.3.2
8
Exercice 3 probleme (3.1), uniciteSoient u1 et u2 deux solutions du probleme (3.1). On note u0 = u2 − u1 et on veut montrer queu0 = 0.
1. Integrer u0(x, t)×(∂2
∂x2u0(x, t)− 1
c
∂
∂tu0(x, t)
)entre x1 = 0 et x2 = L.
2. En deduire que t→∫
u20(x, s) ds↘ et conclure.
corrige en 3.3.3
1
9
3.3 Les corriges
Corrige n˚ 3.3.1 corrige 1Avec MAPLE
Question 1 : Juste pour le fun, un prolongement impair et de periode 2L a l’aide de la fonctionpartie entiere (floor).
f:= x -> 64*xˆ3*(1-x)ˆ3;H:= (f,x)-> (-1)ˆfloor(x)*f(x-floor(x));plot({f(x),H(f,x)},x=-3..3,-2..1, thickness=2);
x 7→ 64 (−1)floor(x) (x− floor (x))3 (1− x+ floor (x))3
Question 2 : On exprime les coefficients bn(f) pour une fonction impaire. Les sommes de Fouriers’expriment simplement.Lorsque f est le prolongement impair et de periode 2L de h : x → 64 ∗ x3 ∗ (1 − x)3 il y aconvergence normale de la serie de Fourier (f est de classe C1 au moins...) ; lorsque f est leprolongement impair et de periode 2L de 1, elle est de classe C1 par morceaux, non continue, il ya convergence alors simple des sommes de Fourier vers la regularisee de f mais pas convergenceuniforme.
10
b := (f,n,L)-> 2*Int(f(u)*sin(n*u*Pi/L),u=0..L)/L;Fourier:= (f,n,L,x) -> sum(b(f,k,L)*sin(Pi*k*x/L),k= 1..n) ;
F7 := evalf(Fourier(f, 7, 1,x)):plot(%, x=-3..3,thickness=2,color=black);
U7:=evalf(Fourier(1, 7, 1,x)):plot({U7,H(1,x)}, x=-3..3, thickness=2,color=black);
(f, n, L, x) 7→n∑k=1
(2
∫ L
064u3 (1− u)3 sin
(kuπ
L
)du sin
(π kx
L
)L−1
)
(f, n, L) 7→ 2
∫ L
064u3 (1− u)3 sin
(nuπL
)duL−1
11
Question 3 : Pas de mystere pour exprimer les sommes partielles de la serie de somme u(x, t).Pour ce qui est de la syntaxe, on utilise les formes inertes Sum et Int pour choisir la facon d’ef-fectuer les calculs (on choisit ici value car dans les deux cas le logiciel calcule formellement lescoefficients bn(f)).
U:=(h,N,L,D,x,t)->Sum(b(h,m,L)*sin(m*Pi*x/L)*exp(-D*(m*Pi/L)ˆ2*t),m=1..N);
S := unapply(value(U(f,N,1,1,x,t)),(N,x,t));seq(S(10,x,k/50), k=0..20):plot({%}, x=0..2,thickness=2);
T:= unapply(value(U(1,7,1,1,x,t)),(N,x,t)):seq(T(36,x,k/50), k=0..25):plot({%}, x=0..2, thickness=2);
(h,N,L,D, x, t) 7→N∑m=1
(2
∫ L
0h (u) sin
(muπ
L
)du sin
(mπ x
L
)e−
(D)m2π2t
L2 L−1
)
12
Corrige n˚ 3.3.2 corrige 2
1. On considere une fonction de la forme u(x, t) = F (x)×G(t) verifiant l’equation
∂2
∂x2u(x, t) = C
∂
∂tu(x, t)
sur [0, L]× [0,∞[ ainsi que la condition aux bords (1) u(0, t) = u(L, t) = 0.
• Le systeme devient :{F”(x)G(t) = CF (x)G′(t) pour x ∈ [0, L] et t ≥ 0
F (0)G(t) = F (L)G(t) = 0 pour tout t ≥ 0
• On suppose pour la suite que u n’est pas la fonction nulle (F et G ne sont donc pasidentiquement nulles).• Etude de F. Fixons t1 en lequel G(t1) 6= 0, il vient :F”(x) = C
G′(t1)
G(t1)F (x) = λF (x) pour x ∈ [0, L] et t ≥ 0
F (0) = F (L) = 0
Ceci conduit au probleme
F”(x)− λF (x) = 0 avec F (0) = F (L) = 0
(il s’agit d’un probleme de Sturm-Liouville (HP) et pas d’un probleme de Cauchy (in P)).Distinguons selon le parametre λ.
(a) Lorsque λ = 0, F (x) = ax+ b ne verifie les conditions F (0) = F (L) = 0 que si elleest nulle ;
(b) Lorsque λ > 0, ; F (x) = a e√λx + b e−
√λx ne s’annule en 0 et L que si elle est nulle
(ecrire le systeme en a et b).
(c) Lorsque λ = −ω2 < 0, F (x) = α cos(ωx) + β sin(ωx) est nulle en 0 et L ssi α = 0et β sin(ωL) = 0. Pour qu’il existe des solutions non nulles, il faut et il suffit queωL ≡ 0[π], soit
ω =kπ
Let λ =
−k2π2
L2
• Retour a G lorsque λ =−k2π2
L2, k ∈ N
On reprend l’equation F”(x)G(t) = CF (x)G′(t) en un point x1 tel que F (x1) 6= 0. Ilvient
G′(t) =F”(x1)
CF (x1)G(t) =
−k2π2
C L2G(t) et G(t) = γe
−k2π2
C L2t.
• Conclusion : les solutions non nulles a variables separables sont de la forme
u(x, t) = e
−k2π2
C L2tsin
(kπ x
L
)
13
2. Soit h(x) =∑n
k=1 hk sin
(kπx
L
). En posant
u(x, t) =
n∑k=0
uk(x, t) =
n∑k=0
hke
−k2π2
C L2tsin
(kπx
L
),
on a clairement une solution de l’equation qui verifie les conditions u(x, 0) = h(x) etu(0, t) = u(L, t) = 0.
3. Passons aux series : On suppose que h est de classe C3 sur [0, L] et prolongeable en unefonction de classe C2 et de classe C3 par morceaux, impaire et 2L periodique que l’onnotera h.
u(x, t) =∞∑k=1
hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)lorsque cela a un sens.
(a) Comme h est au moins continue et de classe C1 par morceaux, sa serie de Fourierconverge normalement et sa somme est h. On a donc
h(x) =
∞∑k=1
hk sin
(kπ
Lx
)
et∑
k |hk| converge (|hk| = ||x→ hk sin
(kπ
Lx
)||∞).
De la meme facon, la serie de Fourier de h′ converge normalement et les termesgeneraux de cette serie s’obtiennent en derivant ceux de h :
h”(x) =
∞∑k=1
hkkπ
Lcos
(kπ
Lx
)
On en deduit la convergence de∑
k k|hk| pour les memes raisons que precedemment.Enfin, la serie de Fourier de h′ qui est continue et de classe C1 par morceaux convergenormalement et
∑k k
2|hk| est convergente.
(b) On note fk := x→ uk(x, t) = hke−( kπL )
2 tC sin
(kπL x). On a :
f ′k(x) = hkkπ
Le−( kπL )
2 tC cos
(kπ
Lx
)
f”k(x) = −hkk2π2
L2e−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)i. Chaque fonction fk est de classe C2 ;
ii. la serie∑fk(x) converge en un point (0 par exemple) ; il y a meme convergence
normale sur R;
iii. la serie∑f ′k(x) converge en un point ; il y a meme convergence normale sur R;
14
iv. la serie∑f”k(x) converge uniformement sur tout compact de R. Il y a meme
convergence normale sur R;
D’apres le theoreme de derivation d’une serie de fonction∑fk est de classe C2 et on
obtient ses derivees en derivant terme a terme ce qui donne :
u(x, t) =∞∑k=0
hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)∂
∂xu(x, t) =
∞∑k=0
hkkπ
Le−( kπL )
2 tC cos
(kπ
Lx
)∂2
∂x2u(x, t) = −
∞∑k=0
hkk2π2
L2e−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)(c) On demontre de la meme facon que la somme des fonctions de la variable t,
t→ um(x, t) = hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)est une fonction de classe C1 et que la derivee de sa somme est
∂
∂tu(x, t) =
−1
C
∞∑k=0
hkk2π2
L2e−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)
(d) u(x, t) satisfait a l’equation car∂2
∂x2u(x, t) = C
∂
∂tu(x, t) comme on peut le verifier
en regardant les deux series, u(x, t) est nulle si x = 0 ou L; enfin, u(x, 0) = h(x).
L’idee de base etait que l’on peut prolonger une fonction quelconque par imparite et2L periodicite pour l’ecrire comme somme d’une serie trigonometrique.
Corrige n˚ 3.3.3 corrige 3Soient u1 et u2 deux solutions du probleme (3.1) et u0 = u2 − u1.
1. Developpons, integrons par parties, derivons sous le signe somme :∫ L
0u0(x, t)×
(∂2
∂x2u0(x, t)− 1
c
∂
∂tu0(x, t)
)dx
=
∫ L
0u0(x, t)× ∂2
∂x2u0(x, t) dx− 1
c
∫ L
0u0(x, t)
∂
∂tu0(x, t) dx
=
[u0(x, t)
∂
∂xu0(x, t)
]L0
−∫ L
0
(∂
∂xu0(x, t)
)2
dx− 1
2c
∂
∂t
∫ L
0u2
0(x, t) dx
La partie toute integree est donc nulle de par la condition aux bords verifiee par u0.
2. La fonction t →∫
L
0u2
0(x, s) ds a donc une derivee negative sur R+ et↘ . Comme elleest nulle en t = 0 et par ailleurs positive, elle est partout nulle.
1
15
4 Equation de la chaleur et transformee de Fourier
Pre-requis : un cours elementaire sur les fonctions integrables et les integrales dependant d’unparametre (voir polycopies) 1
4.1 Transformee de Fourier : point de vue elementaire
Definition 1 On definit la transformee de Fourier d’une fonction integrable sur R en posant
F(f)(ω) = f(ω) =
∫Re−iωx f(x) dx (4.1)
La definition varie dans la litterature d’un facteur multiplicatif autour de la pulsation et on peutaussi poser
F(f)(ω) = f(ω) =
∫Re−2πiωxf(x) dx.
Exercice 4 existence, premieres proprietesSoit f une fonction integrable sur R.
1. Montrer que sa transformee de Fourier est definie pour tout reel ω.
2. Montrer que f est continue et bornee sur R, donner une majoration de ||f ||∞R.
3. Calculer la transformee de Fourier de la fonction caracteristique de l’intervalle [a, b] :{χ(t) = 1 si a ≤ t ≤ bχ(t) = 0 sinon
Est-elle integrable ?
corrige en 4.4.1
Exercice 5 lemme de Riemann LebesgueSoit f une fonction continue par morceaux sur R. On veut montrer que
limω→+∞
f(ω) = 0;
1. On suppose que f est une fonction en escalier sur [a, b]. Montrer que
limα→+∞
∫ b
aeiαt f(t) dt
a pour limite 0 (α designe un reel).
2. Montrer que le meme resultat est vrai pour toute fonction f, continue par morceaux surl’intervalle [a, b].
3. On considere maintenant f integrable sur R. Montrer que
(a) pour tout ε > 0, il existe un intervalle compact [a, b] tel que∫]−∞,a]
|f | ≤ ε,∫
[b,+∞[|f | ≤ ε,
16
(b) En deduire que
limα→∞
∫ ∞−∞
eiαt f(t) dt = 0.
corrige en 4.4.2
Exercice 6 derivation
1. Donner une CS pour que la transformee de Fourier de f soit derivable. Donner alors uneexpression de sa derivee.
2. Donner une CS pour que la transformee de Fourier de f ′ soit definie. La calculer dans cecas.
corrige en 4.4.3
Exercice 7 transformee de Fourier d’une GaussienneSoit f definie par f(t) = e−at
2, avec a > 0.
1. Montrer que sa transformee de Fourier est de classe C∞.
2. Montrer que f verifie une equation differentielle lineaire et la calculer.
corrige en 4.4.4
4.2 Produit de convolution (fonctions integrables)
1
Definition 2 produit de convolutionSoient f et g deux fonctions continue par morceaux sur R. Lorsque la fonction t→ f(x− t)g(t)est integrable, on pose
f ∗ g(x) =
∫Rf(x− t)g(t) dt (4.2)
On appelle produit de convolution de f et g cette fonction f ∗ g
Exercice 8 existence et proprietes du produit de convolutionSoient f et g continues par morceaux sur R. On suppose f integrable et g bornee.
1. Montrer que f ∗ g et g ∗ f sont definies sur R et que f ∗ g = g ∗ f2. Montrer que si f ou g est continue, le produit de convolution f ∗ g est aussi continu.
3. En admettant au besoin la validite d’une formule du type∫R
(∫Rf(x, t)dt
)dx =
∫R
(∫Rf(x, t)dx
)dt
exprimer une relation entre f ∗ g, f et g.
corrige en 4.4.5
1
17
Exercice 9 convolution par une gaussienneOn note g la fonction definie sur R par g(x) = e−x
2et, pour s > 0, on pose
θs(x) =1
s√πg(xs
).
1. Tracer les fonctions θ1/n, pour n = 1, 2, ..5, et etudier la limite de la suite de fonctions(θ1/n)n.
2. Calculer l’integrale de θs sur R. On rappelle que∫Re−t
2dt =
√π.
3. Pour f continue par morceaux et integrable sur R, on pose
f ? θs(x) =
∫Rf(t)θs(x− t) dt =
∫Rf(x− t)θs(t) dt.
(a) Justifier l’existence et l’egalite de ces expressions.
(b) On suppose que f est, de plus, continue en x0 et bornee sur R. Montrer que
lims→0
f ? θs(x0)− f(x0) = 0.
On pourra observer que
f ? θs(x0)− f(x0) =
∫Rf(x0 − t)θs(t) dt−
∫Rf(x0)θs(t) dt.
(c) Etudier la convergence uniforme.
corrige en 4.4.6
Theoreme 2 formule de Fubini pour les fonctions integrables 2
On suppose f continue et integrable sur I × J. Si– pour tout x, la fonction y → f(x, y) est integrable sur J,– g : x→
∫J f(x, y) dy est continue par morceaux et integrable sur I,
alors, ∫∫I×J
f =
∫Ig.
Remarque : avec les hypotheses symetriques :– pour tout y, la fonction x→ f(x, y) est integrable sur I,– h : y →
∫I f(x, y) dx est continue par morceaux et integrable sur J,
on obtient ∫∫I×J
f =
∫Ig =
∫Jh.
2. On comparera au theoreme de Fubini pour les series numeriques...
18
Exercice 10 transformation de Fourier, formule d’echangeA toute fonction numerique f, continue par morceaux et integrable sur R, on associe sa trans-
formee de Fourier definie par
f(ω) =
∫Rf(t)e−iωt dt.
1. Justifier que f est continue et bornee.
2. Montrer que si f et g sont integrables sur R, il en va de meme pour les fonctions f × g etg × f .
3. On suppose f et g integrables et continues sur R. Montrer que la fonction de deux variables
φ(x, y) = f(x)g(y)e−ixy
est continue et integrable sur R2.
4. Sous ces hypotheses, montrer que ∫Rf × g =
∫Rg × f .
Exercice 11 transformee de Fourier et convolutionOn considere ici deux fonctions numeriques fet g, continues et integrables sur R.
1. On suppose que, de plus, l’une des deux fonctions f ou g est bornee sur R. Montrer que,pour tout x ∈ R, la fonction t→ f(x− t)g(t) est integrable sur R et que la fonction
h : x→∫Rf(x− t)g(t) dt
est continue sur R. On commencera par le cas le plus simple.
2. Montrer que la fonction de deux variables
(x, t)→ f(x− t)g(t)
est integrable sur R2.
3. On definit l’integrale de Fourier d’une fonction integrable θ, en posant
θω) =
∫Re−iωsθ(s) ds.
Montrer que
f(ω)× g(ω) =
∫ ∫R2
φ avec φ(x, t) = f(x− t)e−iω(x−t)g(t)e−iωt.
Peut on etablir la formule h(ω) = f(ω) × g(ω), lorsque h est la fonction definie en 1, enapportant eventuellement des hypotheses supplementaires ?
19
4.3 Transformee de Fourier et convolution : formulaire
• Si f est une fonction integrable sur R, sa transformee de Fourier est definie sur R, continue etbornee sur R sa limite est nulle en ±∞ : limω→+∞ f(ω) = 0 et on a les formules suivantes :
• lorsque la transformee est definie par F(f)(ω) = f(ω) =
∫Re−iωx f(x) dx,
Si f et x→ xf(x) sont integrables,df(ω)
dω= −i
∫Re−iωxx f(x) dx
Si f et f ′ sont integrables, f ′(ω) = i ωf(ω)
Si ga(t) = e−at2, ga(ω) =
√π
ae
−ω2
4a =
√π
ag1/4a(ω)
Si f, g, f ∗ g sont (definies) et integrables, f ∗ g = f × g.
• lorsque la transformee est definie par F(f)(ω) = f(ω) =
∫Re−2πiωxf(x) dx,
Si f et x→ xf(x) sont integrables,df(ω)
dω= −2 i π
∫Re−2 i π ωxx f(x) dx
Si f et f ′ sont integrables, f ′(ω) = 2,i π ωf(ω)
Si ga(t) = e−at2, ga(ω) =
√π
ae
−π2 ω2
a =
√π
agπ2/a(ω)
Si f, g, f ∗ g sont (definies) et integrables, f ∗ g = f × g.
1
20
4.4 Les corriges et demonstrations des sous-sections (4.1) et (4.2)
Corrige n˚ 4.4.1 de l’exercice 4 (integrale de Fourier)
1. Si f est integrable sur R, t→ f(t)e−iωt l’est aussi : elles ont le meme module.
2. Pour tout ω ∈ R,
|f(ω)| =∣∣∣∣∫
Rf(t)e−iωt dt
∣∣∣∣ ≤ ∫R|f(t)| dt
on a donc ||f ||∞ ≤ ||f ||1.3.
χ(ω) =
∫Re−iωtχ(t) dt =
∫ b
ae−iωt dt
=
(b− a) si ω = 0i
ω
[e−iωt
]ba
si ω 6= 0
=
(b− a) si ω = 02
ωsin(b−a
2 ω)e−i
b−a2ω si ω 6= 0
Cette fonction a pour module 2
∣∣∣∣∣sin(b−a
2 w)
w
∣∣∣∣∣ dont on sait qu’elle n’est pas integrable sur R
(mais elle admet une integrale impropre).
Corrige n˚ 4.4.2 corrige 5 (lemme de Riemann Lebesgue)
1. Les fonctions en escalier : si φ est une fonction en escalier attachee a la subdivision (tj)j dusegment [a, b], on a ∣∣∣∣∫ b
aφ(t)eint dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣n−1∑k=0
∫ tk+1
tk
αk eint dt
∣∣∣∣∣≤
n−1∑k=0
∫ tk+1
tk
|αk|∣∣∣∣eintk+1 − eintk
in
∣∣∣∣ dt ≤ 2
nsup |αk||b− a|.
La limite est bien 0 lorsque n→ +∞.2. Considerons maintenant f continue par morceaux sur [a, b] et ε > 0. Il existe une fonction
en escalier qui verifie ||f − φ|| ∞[a,b]≤ ε/|b− a|. Nous avons par ailleurs
∣∣∣∣∫ b
af(t)eint dt
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ b
a(f(t)− φ(t))eint dt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ b
aφ(t)eint dt
∣∣∣∣ .– Le premier terme du membre de droite est majore par ε;– Pour le second, on sait qu’il existe un rang Nε a partir duquel∣∣∣∣∫ b
aφ(t)eint dt
∣∣∣∣ ≤ ε.21
En consequence, pour tout ε > 0 il existe Nε tel que
n ≥ ε⇒∣∣∣∣∫ b
af(t)eint dt
∣∣∣∣ ≤ 2ε.
3. Considerons maintenant une fonction f integrable sur R ou sur un intervalle quelconqueI ⊂ R, et ε > 0. Il existe un segment [a, b] ⊂ I tel que∣∣∣∣∣
∫I|f | −
∫[a,b]|f |
∣∣∣∣∣ ≤ ε.On a : ∣∣∣∣∫
If(t)eint dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∫
[a,b]f(t)eint dt
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∫I\[a,b]
f(t)eint dt
∣∣∣∣∣≤
∣∣∣∣∣∫
[a,b]f(t)eint dt
∣∣∣∣∣+ ε.
Comme dans la demonstration precedente, il existe un rang Nε a partir duquel∣∣∣∣∫ b
af(t)eint dt
∣∣∣∣ ≤ ε,et on conclut de la meme facon.
Corrige n˚ 4.4.3 de l’exercice 6 (derivation et transformation de Fourier)
1. On considere une fonction f integrable sur R de transformee de Fourier definie par f(ω) =∫R f(t)e−iωt dt. La fonction (ω, t) → f(t)e−iωt satisfait clairement au theoreme de conti-
nuite d’une integrale a parametre– g := t→ f(t)e−iωt est integrable sur R;– ω → f(t)e−iωt est continue ;– il existe une majoration uniforme |f(t)e−iωt| ≤ |f(t)| par une fonction integrable sur R.Par contre, pour la derivation sous le signe somme, rien n’assure que
∂
∂ωg(ω) = −iωf(t)e−iωt
verifie les memes hypotheses. On supposera donc pour aller plus loin dans les calculs quede plus, t→ tf(t) est integrable sur R. Alors
– g := t→ ∂
∂ωg(ω) = −i t f(t)e−iωt est integrable sur R;
– ω → ∂
∂ωg(ω)f(t)e−iωt est continue ;
– il existe une majoration uniforme∣∣∣∣ ∂∂ωg(ω)
∣∣∣∣ ≤ |t f(t)| par une fonction integrable sur R.
Donc, si f(t) et tf(t) sont integrables sur R, f est de classe C1 et
df(ω)
dω= −i
∫R
e−iωx x f(x) dx
22
2. On suppose maintenant que f est integrable et derivable sur R et que f ′ est integrable elleaussi. On peut donc definir la transformee de Fourier de f ′ qui est
F(f ′)(ω) = f ′(ω) =
∫Re−iωxf ′(x) dx.
On est alors tente d’integrer par parties. Cela donnerait
F(f ′)(ω) =[e−iωxf(x)
]+∞−∞ + iω
∫Re−iωxf(x) dx.
Dans cette formule les deux integrales sont definies. En consequence la partie toute integreea elle meme un sens lorsque f et f ′ sont toutes deux integrables. Pour se convaincre quecette limite est nulle on integre les memes fonctions sur l’intervalle [0,+∞[ par exemple.Cela montre que∫ +∞
0e−iωxf ′(x) dx =
[e−iωxf(x)
]+∞0
+ iω
∫ ∞0
e−iωxf(x) dx
et la on voit clairement que si la partie toute integree a une limite, lim+∞ f = 0.
3. Le formulaire est en page 20
Corrige n˚ 4.4.4 de l’exercice 7 (transformee d’une gaussienne)
1. f(ω) =∫R e−iωte−at
2dt =
∫R h(ω, t) dt.
La fonction h admet des derivees partielles par rapport a ω a tous les ordres qui sont
∂k
∂ωkh(ω, t) = (−i t)k e−iωte−at2 = hk(ω, t).
Pour tout k ≥ 0, on a– t→ hk(ω, t) integrable sur R;– t→ hk(ω, t) continue sur [−A,A];– il existe φk, integrable sur R telle que pour (ω, t) ∈ [−A,A]×R, |hk(ω, t)| = |t|ke−at
2 ≤Ake−at
2= φk(t).
Ainsi, f est de classe C∞ sur tout [−A,A] et donc sur R et f ′(ω) =∫R h1(ω, t) dt.
2. En derivant, nous avons
f ′(ω) =
∫Rh1(ω, t) dt = −i
∫R
(te−at
2)e−iωt dt
= −i
[e−at
2
−2ae−iω t
]∞−∞
+ i
∫R
e−at2
−2a(−iω)e−iωt dt
ce qui nous donne l’equation differentielle y′(ω) = − ω
−2ay(ω) assortie de la condition
initiale y(0) = f(0) =∫R e−at2 dt, d’ou, apres calcul de l’integrale de Gauss
f(ω) =
√π
ae−
ω2
4a (4.3)
23
Corrige n˚ 4.4.5 de l’exercice 8 (convolution)
1.
2.
Corrige n˚ 4.4.6 de l’exercice 9 (convolution par une gaussienne)
1.
2.
1
24
4.5 L’equation de la chaleur, le premier retour : solutions sur R et R+
On se propose ici d’etudier le probleme∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = g(x, t) pour tout t > 0, x ∈ R
u(x, 0) = f(x) pour tout x ∈ R
(4.4)
On cherchera d’eventuelles solutions de ce systeme en calculant la transformee de Fourier de lafonction
x→ ∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t)
ce qui nous ramene a une equation differentielle ordinaire verifiee par la transformee de Fourierφt : x ∈ R→ u(x, t) pour un parametre t > 0. Cette approche conduit aux theoremes 3 et 4.
Theoreme 3 probleme homogene, solution fondamentale
Soit u la fonction definie sur R×]0,+∞[ par u : (x, t)→ 1
2√πD t
e−x2
4Dt
– u est de classe C∞ sur R×]0,+∞[,
– u est solution de l’equation∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = 0 sur R×]0,+∞[,
– pour tout x ∈ R∗, limt→0+ u(x, t) = 0 et lorsque x = 0, limt→0+ u(0, t) = +∞,
– pour tout x ∈ R∗,
∫Ru(x, t) dx = 1 et, si a > 0, limt→0+
∫[−a,a]
u(x, t) dx = 1
DemonstrationSimple verification.
�
C’est toutefois avec l’exercice 12, ou son role dans la resolution du probleme de Cauchy (qui luivaut le nom de solution fondamentale de l’equation de la chaleur) est mis en evidence, que cettesolution apparait naturellement.
25
pour t de 1 a 10 (D = 1/50)
Solution fondamentale de l’equation en dimension nEn dimension n ≥ 2, ou l’equation de diffusion homogene s’ecrit
∆u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = 0,
une solution est donnee par une formule en tout point analogue a la precedente :
u(x, t) =1
2√πDt
e
−∑n
i=1 x2i
4D t (4.5)
d = 1, t = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3...
26
Theoreme 4 une approche du probleme (4.4)Soit f une fonction bornee et continue sur R. Alors, la fonction u definie sur R×]0,+∞[ par
u(x, t) = f ∗(
1
2√πDt
g1/4Dt
)(x) =
1
2√πDt
∫Rf(s) e
−(x− s)2
4Dt ds (4.6)
est une fonction de classe C∞ telle que∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = 0 pour tout t > 0, x ∈ R
limt→0+ u(x, t) = f(x) pour tout x ∈ R
DemonstrationLa demonstration est detaillee dans l’exercice 12 en meme temps que l’on introduit la solutionfondamentale du theoreme 3. Le calcul de limite lorsque t tend vers 0+, fait appel a l’exercice 9.
Exercice 12 preuves des theoremes 3 et 4
On fait appel ici aux proprietes de la transformation de Fourier enoncees dans la formulaire de lapage 20 et justifiees dans les exercices des sous-sections (4.1) et (4.2).
On considere une fonction (x, t) ∈ R× T → u(x, t) ∈ R.On la supposera au moins de classe C2 par rapport a x et de classe C1 par rapport a t. L’intervalleT sera tantot T =]0,+∞[ tantot T = [0,+∞[ dans les questions qui suivent.
1. Calculer la transformee de Fourier de la fonction
x→ ∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t)
en fonction de celle de φt : x → u(x, t). Expliciter des hypotheses qui garantissent lavalidite des calculs effectues.
2. On suppose que ces hypotheses sont satisfaites et que, de plus, u est solution de l’equationaux derivees partielles
∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = 0
En deduire une equation differentielle verifiee par la fonction de la variable t definie par
αω(t) =
∫Ru(x, t) e−iωx dx .
En deduire une expression de cette fonction (penser que les constantes d’integration dependentdu parametre ω!)
3. On suppose dans cette question que T =]0,+∞[ et que αω(t) = φt(ω) = B e−Dω2t.
Verifier que c’est la transformee de Fourier d’une gaussienne que l’on precisera. En deduireque l’expression de u(x, t) sur l’ouvert R×]0,+∞[ est celle proposee dans le theoreme 3.
27
4. On considere alors la fonction v : (x, t)→ a+b
2√πD t
e−x2
4Dt
Definir de facon pertinente un prolongement de cette fonction a R × [0,+∞[. La fonctionobtenue est elle continue en (x, t) = (0, 0)?Peut on definir, au moins sur une partie de [0,+∞[×[0,+∞[, une solution du probleme
∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = 0
u(x, 0) = a pour tout x > 0
Preciser a et b le cas echeant, etudier la regularite d’une telle solution sur R× [0,+∞[.
5. On suppose maintenant que f est de classe C2 et integrable sur R, (de meme que f ′ et f”).Prouver que le probleme (4.4) admet une solutionIndication :Monter que l’on peut exprimer u(x, t) comme le prolongement d’un produit de convolu-tion de f et d’une gaussienne que l’on precisera. On etudiera a nouveau la regularite de lafonction obtenue (on pourra pour cela jeter un œil a l’exercice 9).
corrige en 4.6.1
28
Theoreme 5 equation avec second membreSoient D > 0, f et g deux fonctions definies respectivement sur R et sur R × [0,+∞[ de telle
sorte que– f est continue et bornee sur R;– g est continue sur R× [0,+∞[;– x→ g(x, t) est continue par morceaux et bornee sur R pour tout t ≥ 0;Alors, la fonction u definie sur R×]0,+∞[ par
u(x, t) =
∫t
0
∫
R
g(y, t− τ)e−(x−y)2
4Dτ
2√πDτ
dy
dτ +
∫R
f(y)e−(x−y)2
4Dt
2√πDt
dy (4.7)
est une fonction deux fois derivable par rapport a x, derivable par rapport a t, telle que∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = g(x, t) pour tout t > 0, x ∈ R
limt→0+ u(x, t) = f(x) pour tout x ∈ R
Demonstration Elle fait l’objet des exercices 13 et 14.
Exercice 13 ** un resultat preliminaire, sans souci de rigueurDans cet exercice on admettra le resultat suivant (qui n’est pas du L2, sinon sous une forme tara-biscotee) :
Theoreme de Fubini : Soit f une fonction definie sur I × J produit de deux intervalles de R. Si fest integrable sur I × J, alors– x ∈ I → f(x, y) est integrable sur I pour presque tout y ∈ J ;– y ∈ J →
∫I f(x, y) dx est (definie presque partout sur J et) integrable sur J ;
– y ∈ J → f(x, y) est integrable pour presque tout x ∈ I;– x ∈ I →
∫J f(x, y) dy est integrable sur I;
– Enfin, ∫J
(∫If(x, y) dx
)dy =
∫I
(∫Jf(x, y) dy
)dx (4.8)
Mode d’emploi : soit ce resultat vous est connu de meme que les notions de presque tout, presquepartout et vous appliquez ce theoreme, soit (ce sera le cas si vous n’avez pas etudie de theorie del’integration -c’est du L3 -) et alors vous admettez sans vergogne la formule (4.8) lorsque le besoins’en fait sentir dans l’exercice.
�
1. Soit h une fonction definie sur R× R+. On suppose que t→ h(x, t) est continue par mor-ceaux (ou localement integrable) pour (presque) tout x ∈ R. On definit alors une fonctionH en posant
H(x, t) =
∫ t
0h(x, s) ds
29
(a) Donner une condition suffisante portant sur h pour que x → H(x, t) admette unetransformee de Fourier.
(b) On suppose h integrable sur R× [0, t] pour tout t ≥ 0. Montrer que la transformee deFourier de x→ H(x, t) est
Ht(ω) =
∫ t
0hs(ω) ds
ou hs est la transformee de Fourier de x→ h(x, s).
2. Montrer que sous certaines conditions a preciser
ω →∫ t
0
(∫Rζ(x, s)e−iωx dx
)e−Dω
2(t−s) ds
est la transformee de Fourier d’une fonction x→ u(x, t) que l’on explicitera.
Indications : outre la question 1, penser a la transformee de Fourier d’un produit de convo-lution, d’une gaussienne. Voir pour cela le formulaire 20.
corrige en 4.6.2
Exercice 14 preuve du theoreme 5Comme dans l’exercice 12, on considere une fonction (x, t) ∈ R × T → u(x, t) ∈ R que l’on
suppose au moins de classe C2 par rapport a x et de classe C1 par rapport a t. On suppose parailleurs que pour tout t ≥ 0, x→ g(x, t) est integrable sur R.
1. Calculer la transformee de Fourier de la fonction
x→ ∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t)− g(x, t)
en fonction de celle de φt : x→ u(x, t) et en explicitant des hypotheses qui garantissent lavalidite des calculs effectues.
2. On suppose que ces hypotheses sont satisfaites et que, de plus, u est solution de l’equationaux derivees partielles
∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = g(x, t)
En deduire une equation differentielle verifiee par la fonction de la variable t definie par
αω(t) =
∫Ru(x, t) e−iωx dx .
3. En deduire αω et montrer qu’elle est transformee de Fourier de la solution annoncee dans letheoreme 5 (utiliser les resultats de l’exercice 13).
4. Ce qui precede fait apparaitre la fonction de la formule (4.7 ). Demontrer qu’il s’agit biend’une solution du probleme avec second membre et condition initiale
corrige en 4.6.3
30
4.6 Les corriges et demonstrations de la sous-section 4.5
Corrige n˚ 4.6.1 de l’exercice 12.
1. Notons φt : x→ u(x, t) et transformons x→ ∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t).
Nous avons bien envie d’ecrire∫R
∂2
∂x2u(x, t)e−iωx dx− 1
D
∫R
∂
∂tu(x, t)e−iωx dx
= −ω2
∫Ru(x, t)e−iωx dx− 1
D
∂
∂t
∫Ru(x, t)e−iωx dx
Pour ce qui est de la premiere integrale, il s’agit de la transformee de Fourier d’une deriveeseconde, les hypotheses ci-dessous justifient l’egalite :
x→ u(x, t), x→ ∂
∂xu(x, t), et x→ ∂2
∂x2u(x, t) sont integrables pour tout t ∈ T.
Pour ce qui est de la seconde integrale, la derivation sous le signe somme derive des hy-potheses :
x→ u(x, t), x→ ∂
∂tu(x, t), sont continues sur R;
t→ u(x, t), t→ ∂
∂tu(x, t), sont continues par morceaux sur T ;
Pour tout segment [t0, t1] ⊂ T, il existe deux fonctions φ0 et φ1 integrables sur R telles que
|u(x, t)| ≤ φ0(x) et∣∣∣∣ ∂∂tu(x, t)
∣∣∣∣ ≤ φ1(x) pour tous x ∈ R, t ∈ [t0, t1].
2. Sous ces (fastidieuses) hypotheses, α(t) = φt(ω) verifie l’equation differentielle
α′(t) +Dω2α(t) = 0
lorsque u est solution de notre probleme. Nous avons donc
α(t) =
∫Ru(x, t) e−iωxdx = B(ω) e−Dω
2t (4.9)
3. Cas ou B est constante. Rappelons que la transformee de Fourier d’une gaussienne est
donnee par la formule ga(ω) =
√π
ag1/4a(ω).
Ainsi, lorsque B(ω) est constante, on reconnait en α(t) la transformee de Fourier d’unefonction Kga, soit :
α(t) = Be−Dω2t = Kga(ω) = K
√π
ag1/4a(ω)
On a donc a =1
4Dtet u(x, t) = K e
−x2
4Dt =B√
4πD te−x2
4Dt .
31
• On montre par un simple calcul que cette fonction est solution de l’equation de la cha-leur sur R×]0,+∞[ et qu’elle verifie les proprietes de regularite et d’integrabilite, que nousavons admises pour faire les calculs de la question 1.
• Il est clair que lorsque x 6= 0, limt→0+ u(x, t) = 0 et que limt→0+ u(0, t) = +∞.La fonction n’est donc pas continue en (0, 0).
• De
∫Re−x
2dx =
√π, on deduit a l’aide d’un changement de variable evident :
1√4πD t
∫Re−x2
4Dt dx = 1 et si a > 0, limt→0+
∫[−a,a]
u(x, t) dx = 1
4. Une fonction v : (x, t)→ a+b
2√πD t
e−x2
4Dt est somme de deux solutions de classe
C∞ sur R×]0,+∞[, c’est donc encore une solution puisque l’equation est lineaire.On observe que lorsque x 6= 0, limt→0+ v(x, t) = a. Prolongeons donc v a R× [0,+∞[ enposant v(x, 0) = a = T0.
• La fonction v(x, t) = a+b
2√πD t
e−x2
4Dt
v(x, 0) = a
est donc une solution de classe C∞ sur R×]0,+∞[.
• Existence des derivees partielles par rapport a x :∂
∂xv(x, t) =
−b4
(x
Dt√πD t
)e−x
2/4Dt
∂
∂xv(x, 0) = 0
∂2
∂x2v(x, t) =
−b8
(2Dt− x2
D2t2√πDt
)e−x
2/4Dt
∂2
∂x2v(x, 0) = 0
• Lorsque x 6= 0, la fonction t→ v(x, t) est de classe C1 sur [0,+∞[:elle est continue par construction et derivable y compris en t = 0 puisque
∂
∂tv(x, t) =
−b8
(2Dt− x2
D t2√πDt
)e−x
2/4Dt
admet 0 pour limite 0 lorsque t tend vers 0 (theoreme limite de la derivee).• Par contre, v n’est pas continue en (0, 0) comme le montre le calcul des limites en 0 det→ v(0, t), x→ v(x, 0)...
lorsque t→ 0, (a = 1, b = 10, D = 50)
32
vision 3d : discontinuite en (0, 0), limite lorsque t→ 0+
5. Revenons a la formule (4.9). Si la fonction u(x, t) est solution sur R × [0,+∞[ et satisfaitles hypotheses retenues dans la premiere question, la formule (4.9) devient
B(ω) =
∫Ru(x, 0) e−iωxdx =
∫Rf(x) e−iωxdx = f(ω)
33
ce qui suppose que f admet une transformee de Fourier.Nous avons alors pour t > 0 et ω ∈ R,
α(t) = φt(ω) = f(ω)× e−Dω2t
D’apres la formule de convolution (formulaire page 20),
φt(ω) = f(ω)× e−Dω2t =
√a
πf ∗ ga(ω)
toujours avec a =1
4Dt(voir question precedente) et par injectivite de la transformation de
Fourier sur les fonctions integrables et continues,
u(x, t) = f ∗(√
a
πga
)(x) =
1
2√πDt
∫Rf(s) e
−(x− s)2
4Dt ds (4.10)
Cette fonction est solution de l’equation sur R×]0,+∞[.
On observe que (voir l’exercice 9),
limt→0+
f ∗(√
a
πga
)(x) = f(x)
SyntheseLa fonction definie par la formule (4.10) sur R×]0,+∞[ et par u(x, 0) = f(x)
• satisfait l’equation sur R×]0,+∞[ par construction ;• verifie limt→0+ u(x, t) = f(x) = u(x, 0);
• x→ u(x, 0) = f(x) est de classe C2;
34
Corrige n˚ 4.6.2 de l’exercice 13.1. Soit H telle que H(x, t) =
∫ t0 h(x, s) ds.
(a) x→ H(x, t) admet une transformee de Fourier si elle est integrable sur R.C’est en particulier le cas pour presque tout t ∈ R+ si h integrable sur R× R+.
(b) Si h est integrable sur R × [0, t] pour tout t ≥ 0, la transformee de Fourier de x →H(x, t) se reecrit (avec la formule de Fubini) :
Ht(ω) =
∫R
(∫ t
0h(x, s) ds
)e−iωx dx
=
∫ t
0
(∫Rh(x, s) e−iωx dx
)ds
=
∫ t
0hs(ω) ds
ou hs est la transformee de Fourier de x→ h(x, s).
2. Considerons alors
ω →∫ t
0
(∫Rζ(x, s)e−iωx dx
)e−Dω
2(t−s) ds (4.11)
Nous reconnaissons alors- en
∫R ζ(x, s)e−iωx dx la transformee de Fourier de ζs : x→ ζ(x, s);
- en e−Dω2(t−s), celle de x→ 1√
4πD(t− s)e−x
2/4D(t−s);
- le produit(∫
R ζ(x, s)e−iωx dx)e−Dω
2(t−s) apparait donc comme la transformee de Fou-rier du produit de convolution ζs ∗ gD(t−s) defini par
ζs ∗ gD(t−s)(x) =
∫Rζ(x− y, s)gD(t−s)(y) dy (4.12)
=1√
4πD(t− s)
∫Rζ(x− y, s)e−y2/4D(t−s) dy (4.13)
Enfin, la question 1 nous suggere que (4.11) est la transformee de Fourier de∫ t
0
(1√
4πD(t− s)
∫Rζ(x− y, s)e−y2/4D(t−s) dy
)ds
35
Corrige n˚ 4.6.3 de l’exercice 14.Soit (x, t) ∈ R × T → u(x, t) ∈ R au moins de classe C2 par rapport a x et de classe C1 par
rapport a t.
1. La transformee de Fourier de la fonction
x→ ∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t)− g(x, t)
est
−ω2
∫Ru(x, t)e−iωx dx− 1
D
∂
∂t
∫Ru(x, t)e−iωx dx−
∫Rg(x, t)e−iωx dx
La validite des calculs effectues est assuree des que la fonction u satisfait les hypothesesenumerees dans l’exercice 12 et que t→ g(x, t) est integrable sur R pour tout t ∈ T.
2. Lorsque u est solution de l’equation aux derivees partielles
∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = g(x, t)
la fonction αω verifie l’equation lineaire a coefficients constants :
α′ω(t) +Dω2αω = −D∫Rg(x, t)e−iωx dx(= −Dgt(ω)).
Le second membre est une fonction continue de la variable t des lors que :– x→ g(x, t) est continue par morceaux (ou localement integrable) sur R pour t ∈ T ;– t→ g(x, t) est continue sur T pour tout x ∈ R;– il existe pour tout intervalle [t0, t1] ⊂ T, une fonction integrable sur R dominant x →g(x, t), ie :∀t ∈ [t0, t1], ∀x ∈ R, |g(x, t)| ≤ φ(x)...
Dans ces conditions, αω s’exprime donc
αω(t) = −D∫ t
0gt(ω)e−D(t−s)ω2
ds+ C0(ω)e−Dtω2
3. • Comme nous le montrons dans l’exercice 13, le premier terme est la transformee de Fou-rier de
x→ −D∫ t
0
(1√
4Dπ(t− s)
∫Rg(x− y, s)e−y2/4D(t−s) dy
)ds
Deux changements de variables successifs permettent de reecrire cette fonction :
x→ D
∫ t
0
(1√
4Dπτ
∫Rg(x− y, t− τ)e−y
2/4Dτ dy
)dτ
x→ D
∫ t
0
(1√
4Dπτ
∫Rg(z, t− τ)e−(x−z)2/4Dτ dz
)dτ
• Le second terme est la transformee de Fourier d’un produit de convolution des lors queC0(ω) est elle meme une transformee de Fourier.
36
Nous voyons alors comment apparait l’expression proposee dans le theoreme (5) : la premiereintegrale (double) donne une solution du probleme avec second membre, nulle en 0, la se-conde est une solution du probleme homogene de limite f(x) lorsque t→ 0+ (et x 6= 0).
Bilan de la phase d’analyse :
4. Une solution : Posons avec k(x, t) =e−x24Dt
2√πDt
=
√a
πga(x) ou a =
1
4Dt
u(x, t) = D
∫t
0
∫
R
g(y, t− τ) k(x− y, τ) dy
dτ +
∫R
f(y) k(x− y, t) dy
(4.14)
= −D
∫t
0
∫
R
g(x− y, s) k(y, t− s) dy
ds+
∫R
f(y) k(x− y, t) dy
(4.15)
• Supposons que f soit continue et integrable sur R, alors, le second terme definit une fonc-tion u0(x, t) qui est de classe C∞ sur R×]0,+∞[, qui est solution du probleme homogeneet telle que pour x 6= 0, limt→0+ u(x, t) = f(x). C’est la une consequence des proprietesd’un produit de convolution etablies dans l’exercice 8 (et deja mises en œuvre dans l’etudedu probleme homogene).• Supposons que g soit bornee et par ailleurs continue.Nous avons garde deux expressions de l’integrale double. Nous deriverons la premiere parrapport a x de telle sorte que les derivees partielles de g n’apparaissent pas et la seconde parrapport a t pour la meme raison.Nous commentons et justifions plus loin les calculs formels effectues sous MAPLE etpresentes ci-dessous.
37
> >
> >
> >
(2)(2)
> >
> >
> >
(5)(5)
(1)(1)
(4)(4)
(3)(3)
Formules générales de dérivation d'une intégale à paramètre
restart;Wd x, t /Int f x, t, s , s = 0 ..t ; diff W x, t , t ; diff W x, t , x, x ;
W := x, t /
0
t
f x, t, s ds
0
tv
vt f x, t, s dsCf x, t, t
0
tv2
vx2 f x, t, s ds
Une solution de l'équation de la chaleur avec second membre; Vérifications (V et U sont identiques par changement de variables)
U d unapply Int Int d$g y, tKtau $k xKy, tau , y =Kinfinity ..infinity , tau = 0 ..t , x, t ;D2xd simplify diff U x, t , x, x ;
U := x, t /
0
t
KN
N
d g y, tKτ k xKy, τ dy dτ
D2x :=0
t
KN
N
d g y, tKτ D1, 1 k xKy, τ dy dτ
V d unapply KInt Int d$g xKy, s $k y, tKs , y =Kinfinity ..infinity , s = 0 ..t , x, t ;D1t d simplify diff V x, t , t ;
V := x, t /K
0
t
KN
N
d g xKy, s k y, tKs dy ds
D1t := K
0
t
KN
N
d g xKy, s D2 k y, tKs dy ds KKN
N
d g xKs, t k s, 0 ds
Noyau de la chaleurrestart;
k d x, t /
exp Kx2
4 $d$t2$sqrt Pi$d$t
;
k := x, t /12
eK
14
x2
d t
π d t
diff k x, t , x, x : normal % ;
38
(8)(8)
(7)(7)
(5)(5)
> >
> >
> >
(6)(6)
> >
K18
eK
14
x2
d t 2 d tKx2
d2 t2 π d t
diff k x, t , t :simplify % ;
K18
eK
14
x2
d t 2 d tKx2
t2 d π d t
Une solution de l'équation de la chaleur avec second membre; Vérifications (V et U sont identiques par changement de variables)
U d unapply Int Int d$g y, tKtau $k xKy, tau , y =Kinfinity ..infinity , tau = 0 ..t , x, t ;D2xd simplify diff U x, t , x, x ;
U := x, t /
0
t
KN
N
12
d g y, tKτ e
K14
xKy 2
d τ
π d τdy dτ
D2x :=0
t
KN
N
K18
g y, tKτ e
K14
xKy 2
d τ 2 d τKx2C2 x yKy2
τ
2 d π d τ
dy dτ
V d unapply KInt Int d$g xKy, s $k y, tKs , y =Kinfinity ..infinity , s = 0 ..t , x, t ;D1t d simplify diff V x, t , t ;
V := x, t /K
0
t
KN
N
12
d g xKy, s e
K14
y2
d tKs
π d tKsdy ds
D1t := K
0
t
KN
N
18
2 d _aCy2
K2 d t g xKy, _a e
14
y2
d KtC_a
KtC_a 2 π Kd KtC_ady d_a K lim
s/t
KN
N
12
d g xK_a, s e
14
_a2
d KtCs
π Kd KtCsd_a
39
Commentaires et justifications des calculs
La numerotation est celle des paragraphes de la feuille de travail.
1. Simple rappel de la formule de derivation lorsque le parametre t apparait a la fois dans lesbornes et dans la fonction a integrer. C’est cette formule qui intervient lorsqu’on derive upar rapport a t.
2. u et sa derivee seconde par rapport a x - premiere expression (4.14) ; k formelle.On justifie tout d’abord que pour tous 0 < τ ≤ t,
x→
∫R
g(y, t− τ) k(x− y, τ) dy
est de classe C2 . Voir les exercices sur la regularisation par convolution. On justifie ensuiteque
x→
∫]0,t]
∫
R
g(y, t− τ) k(x− y, τ) dy
dτ
est aussi de de classe C2 . L’hypothese de domination est la plus delicate, l’hypothese (fortedans les applications) selon laquelle g est bornee permet de se concentrer sur l’allure dek(x, t). A FINIR.
3. u et sa derivee premiere par rapport a t - deuxieme expression (4.15) ; k formelle. Attentionau malencontreux changement du nom de la variable d’integration !
4. Noyau de la chaleur (solution fondamentale) ;
5. noyau de la chaleur, derivee seconde par rapport a x;
6. noyau de la chaleur, derivee premiere par rapport a t;
7. la fonction u et sa derivee seconde par rapport a x; k explicite ;
8. la fonction u et sa derivee premiere par rapport a t; k explicite.
La fonction k verifie donc l’equation de la chaleur sur R×]0,+∞[ et apres changements de va-riables (les memes que precedemment), dans le calcul de
∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t)
les integrales doubles de (3) ou (8) et (2) ou (7) disparaissent et la limite de la formule (8) (donneepar le resultat de l’exercice 9 et un peu de travail supplementaire) est g(x, t) ce qui donne :
∂2
∂x2u(x, t)− 1
D
∂
∂tu(x, t) = g(x, t)
Le theoreme 5 est donc demontre (avec des hypotheses sur f et g plus faibles que dans la phased’analyse).
1
40
5 Equation de la chaleur et transformee de Laplace
Pre-requis : un cours elementaire sur les fonctions integrables et les integrales dependant d’unparametre (voir polycopies)
5.1 Transformee de Laplace, point de vue elementaire
Definition 3 transformee de LaplaceSoit f, une fonction numerique continue par morceaux (ou localement sommable) sur ]0,+∞[.La transformee de Laplace de f est la fonction L(f) definie sur l’ensemble complexes p tels quet→ e−ptf(t) admette une integrale sur ]0,+∞[, par
L(f)(p) =
∫ +∞
0f(t)e−pt dt (5.1)
Theoreme 6 proprietes de la transformee de LaplaceSoit f, continue par morceaux (ou localement integrable) sur ]0,+∞[ et q ∈ C. On suppose queL(f) sa transformee de Laplace est definie pour le complexe q.– L(f) est definie pour tout complexe p tel que <(p) > <(q).– Il existe un reel p0 et un seul tel que t→ e−ptf(t){
est integrable sur ]0,+∞[ si <(p) > p0
n’admet pas d’integrale (meme impropre) si <(p) < p0
On dit alors que p0 est l’abscisse de sommabilite de L(f).– La restriction de L(f) a ]p0,+∞[ est de classe C∞ et l’on a
dm
dpmL(f)(p) = (−1)mL(tmf)(p). (5.2)
Exercice 15 1. Intervalle de definition de L(f).
(a) Montrer que, si pour p = p0 > 0, la fonction t→ f(t)e−pt est integrable sur ]0,+∞[,alors t→ f(t)e−pt est integrable pour tout p > p0.
(b) En deduire que si l’ensemble de definition de Lf n’est pas vide, c’est un intervalle deR+.
(c) Donner des exemples de fonctions f telles queL(f) soit definie exactement sur [0,+∞[,]0,+∞[, [q,+∞[, ]q,+∞[, avec q > 0.
2. On considere les fonctions puissances γk(x) = xk, k entier, et on se propose d’etudier
L(γk)(p) =
∫ +∞
0e−ptγk(t) dt
lorsque p > 0..
(a) Calculer L(γk)(p).
41
(b) En deduire que toute fonction polynome
P (x) =n∑k=0
akxk
admet une transformee de Laplace que l’on exprimera.
(c) Ecrire une relation concise entre la transformee de Laplace d’un polynome nul en 0 etde son polynome derive. Que dire si P (0) est quelconque ?
3. On considere une fonction f definie sur R, telle que– f est de classe Ck sur ]0,+∞[ et admet des derivees successives a droite en 0, noteesf ′d(0+), f ′′d (0+), ...
– f admet une transformee de Laplace p→ L(f)(p) definie dans un voisinage V de +∞– pour tout j = 0, 1, ...k, il existe pj ∈ V tel que t → e−pjtf (j)(t) soit integrable sur
]0,+∞[ et de limite nulle en +∞.
(a) Montrer que f ′ admet, elle aussi une transformee de Laplace definie sur V, et que
L(f ′)(p) = pL(f)(p)− f(0+).
(b) Montrer que les derivees d’ordre inferieur a k admettent des transformees de Laplaceet verifier la formule :
L(f (k))(p) = pkL(f)(p)−k−1∑j=0
pk−1−jf (j)(0+). (5.3)
II. Regularite des transformees de Laplace.
1. On suppose f continue. Montrer queL(f) est continue sur son intervalle ouvert de definition.
2. Donner une condition suffisante sur f pour que L(f) soit de classe Cm et montrer qu’alors :
dm
dpmL(f)(p) = (−1)mL(tmf)(p). (5.4)
III. Convergences des transformees de Laplace.1. On considere l’ensemble F des fonctions continues par morceaux sur ]0,+∞[ pour les-
quelles il existe p > 0 tel que(t→ e−ptf(t))
soit integrable sur ]0,+∞[.
(a) Montrer que F est un espace vectoriel.
(b) On suppose que (fn) est une suite de fonctions de F qui converge uniformement versf continue par morceaux sur ]0,+∞[.– Montrer qu’il existe q ≥ 0 tel que les transformees de Laplace des fonctions fn etf soient definies sur ]q,+∞[.
– Que peut on dire de la convergence de la suite de fonctions L(fn) sur cet intervalle ?
42
2. Soit (ak)k une suite de reels eth(t) =
∑k≥0
aktk.
On suppose que le rayon de convergence de la serie entiere est R = +∞.(a) On suppose que h est bornee et qu’il existe p > 0 tel que la serie∑ akk!
pk+1
converge. Que peut on affirmer ? En deduire une expression des transformees de La-place de cos(
√t) et de sin(t). Pour cette derniere fonction comparer a un calcul direct.
(b) On suppose que ak ≥ 0 pour tout k ∈ N. Montrer que h admet une transformee deLaplace ssi il existe p > 0 tel que la serie∑ akk!
pk+1
converge. Donner alors une expression de L(h).
IV. Usage du dictionnaire, ce que vous faites en SIUne fois la transformee de Laplace definie pour certaines fonctions, on etablit un formulaire (du type decelui qui vous a ete donne en SI), pour des fonctions definies sur [0,∞[. Vous pouvez verifier certaines deces relations formelles n’oubliez pas de determiner des conditions suffisantes d’existence d’une transformeeainsi que l’ensemble des valeurs de p pour lesquelles la transformee est definie.On note H la fonction echelon (fonction de Heaviside).
L(f ′)(p) = L(f)(p)− f(0) (5.5)
L(f (k))(p) = pkL(f)(p)−k−1∑j=0
pk−1−jf (j)(0) (5.6)
dm
dpmL(f)(p) = (−1)mL(tmf)(p) (5.7)
L(tk))(p) =k!
pk+1(5.8)
L(sin(ωt))(p) =ω
p2 + ω2(5.9)
L(cos(ωt))(p) =p
p2 + ω2(5.10)
L(f(t)eαt)(p) = L(f)(p− α) (5.11)
L(f(αt))(p) =1
αL(f)(
p
α) (5.12)
L(f(t− r)H(t− r))(p) = L(f)(p)e−tp (5.13)
L(f(t)
t)(p) =
∫ ∞p
L(f)(x) dx (5.14)
Ce dictionnaire permet alors de transformer des expressions lineaires en les derivees d’une fonction f, endes expressions algebriques de la transformee de Laplace de f. Par exemple, l’expression
a y”(t) + b y′(t) + c y(t) = h(t) (5.15)
43
a pour transformee de Laplace :
aLy”(t) + bLy′(t) + cLy(t) = Lh (5.16)
La resolution de cette equation donne Lf, on retrouve f par lecture du dictionnaire et en sachant que latransformation est injective. En realite la transformation de Laplace devient un outil pratique (theoremes,formules valides) en introduisant des notions (distributions) qui vont bien au dela du niveau de CPGE, dontl’existence a ete pressentie par certains physiciens (Dirac, Heaviside...) avant qu’on ne puisse les definir enmathematiques (Laurent Schwartz,...) et en developper toutes les applications.
Exercice 16 Mettre en œuvre formellement la methode decrite dans les cas suivants, justifiez la ensuite :
1. a y”(t) + b y′(t) + c y(t) = h(t)
2. Resoudre sur [0,∞[, avec les conditions initiales : x(0) = 3, y(0) = 0.{x′(t) = 3x(t) + 2y(t)
y′(t) = x(t) + 2y(t)(5.17)
5.2 L’equation de la chaleur
Exercice 17 mur de chaleurOn se propose ici d’etudier le probleme
∂2
∂x2u(x, t)− 1
c
∂
∂tu(x, t) = 0
u(x, 0) = f(x) pour tout x > 0
u(0, t) = Tw pour tout t > 0
(5.18)
On cherchera d’eventuelles solutions de ce systeme en calculant la transformee de Laplace de lafonction
x→ ∂2
∂x2u(x, t)− 1
c
∂
∂tu(x, t)
ce qui nous ramene a une equation differentielle ordinaire verifiee par la transformee de Laplacede φt : x ∈ [0,+∞[→ u(x, t).
Exercice 18On se propose ici d’etudier le probleme
∂
∂tu(x, t)− α ∂2
∂x2u(x, t) = −β(u(x, t)− u(x, 0))
u(x, 0) = T0 pour tout x ∈]0, x0]
u(0, t) = θ(t) pour tout t > 0∂
∂tu(x0, t) = −γ(u(x0, t)− T0) pour tout t > 0
(5.19)
1. Reecritures...
44
(a) Verifier que u(x, t) est une solution du probleme (5.19) ssi v(x, t) := u(x, t)− T0 estsolution de
∂
∂tv(x, t)− α ∂2
∂x2v(x, t) = −β v(x, t)
v(x, 0) = 0 pour tout x ∈]0, x0]
v(0, t) = θ(t)− T0 pour tout t > 0∂
∂tv(x0, t) = −γ v(x0, t) pour tout t > 0
(5.20)
2. Nous noterons ft la fonction x→ u(x, t) et gt la fonction x→ ∂
∂tu(x, t).
(a) Donner une relation entre L(ft)(p) et L(gt)(p).
(b) Exprimer la transformee de Laplace de chacun des deux membres de l’equation auxderivees partielles.
(c) On note Yp(t) = L(ft)(p). Ecrire et resoudre l’equation differentielle verifiee par Yp.
Corrige en 5.2.1
Corrige n˚ 5.2.1 de l’exercice 18.
45
6 Equation de la chaleur et differences finies
Quiconque aura tente de calculer un grand nombre de valeurs numeriques de u(x, t) avec la for-mule
u(x, t) = f ∗(√
a
πga
)(x) =
1
2√πct
∫Rf(s) e
−(x− s)2
4ct ds
avec quelque logiciel que ce soit aura compris qu’il vaut mieux chercher autre chose, surtout en
dimensions superieures ou la solution de ∆u(x, t)− 1
c
∂
∂tu(x, t) = 0 s’exprime avec une integrale
multiple.Les methodes numeriques s’imposent donc rapidement :– methodes des differences finies (elles sont presentees dans le chapitre 12 du livre [1], Infor-
matique en classes preparatoires scientifiques Programmer avec Python et calcul numerique,publie chez Ellipses ;
– plus proche de l’etat de l’art mais plus difficile a mettre en place (bien qu’il y ait un grandnombre de logiciels specialises), la methode des elements finis ;
46
References
[1] THIERRY AUDIBERT, AMAR OUSSALAH
Informatique, Programmation et Calcul ScientifiqueEllipses, 2013
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Indexabscisse
de sommabilite, 38analyse-synthese, 2, 31
convolution, 17
derivationtransformee de Fourier, 16
equationde la chaleur, 8
fondamentalesolution, 23solution (dim. n ≥ 2, 24
Fouriertransformee de, 16
Fubinitheoreme de, 26
Laplacetransformee de, 38
Lebesguelemme de Riemann-Lebesgue, 16
lemmede Riemann-Lebesgue, 16
produitde convolution, 17
Riemannlemme de Riemann-Lebesgue, 16
solutionfondamentale, 23
Sturm-Liouvilleprobleme de, 8
theoremede Fubini, 26
transformeede Fourier, 16de Laplace, 38
49
