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Cours Paris 13 1
Introductionau traitement du signal
Ivan Magrin-Chagnolleau, CNRS
[email protected]://www.ddl.ish-lyon.cnrs.fr/membres/imc/index-fr.html
Cours Paris 13 2
Plan du cours
• Introduction
• Caractériser un signal
Cours Paris 13 3
Introduction
Traitement du signal
=
Ensemble des connaissances scientifiques et technologiques permettant la
réalisation d’une chaîne d’acquisition et de traitement de l’information
Cours Paris 13 4
Introduction : un domaine pluridisciplinaire
Traitementdu
Signal
mathématiques
électronique
informatique
statistiques
Cours Paris 13 5
Introduction : domaines d’applications
mécanique
génie électrique
biomédical
optique
acoustique
radar
sonar
technologies vocales
Cours Paris 13 6
Plan du cours
• Introduction
• Caractériser un signal
Cours Paris 13 7
Caractériser un signal
• Théorie des distributions
• Signaux et systèmes
• Transformation de Fourier
• Cas des signaux discrets
Cours Paris 13 8
Introduction : problème du condensateur
• Condensateur initialement déchargé, branché à t = 0.
• v(t) = 0 pour t < 0, v(t) = E pour t > 0 et v(t) non définie pour t = 0.
• i(t) = C.dv/dt nulle partout sauf en t = 0 où v(t) est non définie.
• q(t) = 0 pour t < 0 et q(t) = C.E pour t > 0.• q(t) est l’intégrale de - à t de i(t).• i(t) est donc identiquement nulle sauf en
t = 0 et pourtant d’intégrale non nulle pas une fonction au sens classique.
E C
i
v
Cours Paris 13 9
Solution du problème du condensateur
• On rajoute une résistance R très faible en série avec le condensateur.
• La solution est une fonction exponentielle.
• Si R tend vers 0, i(t) devient de plus en plus bref et de plus en plus intense à l’origine, son intégrale demeurant égale à C.E.
E C
i
R
v )()(1
)(,0 tdt
dvti
Ct
dt
diRt
0pour
0pour0)(
teR
Et
tiRC
t
Cours Paris 13 10
Exercice
E C
i
R
v
)()(1
)(,0 tdt
dvti
Ct
dt
diRt
0pour
0pour0)(
teR
Et
tiRC
t
• E = 10 V
• C = 10 mF
• R = 10 , 5 , 2.5
Cours Paris 13 11
Solution
t=0:0.00005:0.5; % tempsC=10e-03; % en faradsR1=10; % en ohmsR2=5;R3=2.5;E=10; % en volts
i1=E/R1*exp(-t/(R1*C));i2=E/R2*exp(-t/(R2*C));i3=E/R3*exp(-t/(R3*C));plot(t,i1)holdplot(t,i2)plot(t,i3)title('Courant de charge d''un condensateur')xlabel('Temps (ms)')ylabel('i(t)')print -djpeg condens.jpg
Cours Paris 13 12
Définition
• La théorie des distributions a été développée par Laurent Schwartz.• Une distribution est une fonctionnelle linéaire continue qui fait
correspondre à toute fonction f de l’ensemble C des fonctions infiniment continues et dérivables le nombre réel T(f) tel que :
)()()(,),( 212121 fTfTffTCCff
)()(,, fTfTRCf
)()(limlim,, fTfTffNnf nn
nn
n
Cours Paris 13 13
Exemple
• Soit g une fonction localement intégrable.
Montrer que c’est bien une distribution.
dttftgfTg )().()(
Cours Paris 13 14
Solution (1)
dttftftgffTg )()().()( 2121
dttftgtftg )().()().( 21
)()( 21 fTfT gg
dttftgdttftg )().()().( 21
Cours Paris 13 15
Solution (2)
dttftg )().(.
dttftgfTg )(.).()(
)(. fTg
Cours Paris 13 16
Solution (3)
)()(lim tftfnn
)().()().(lim tftgtftg nn
dttftgdttftg nn
)().()().(lim
)()(lim fTfT nn
Cours Paris 13 17
Distribution de Dirac
• Distribution qui fait correspondre à toute fonction sa valeur à l’origine :
• On définit alors l’impulsion de Dirac (improprement appelée fonction de Dirac) :
)0()(, ffTCf
)0()().()(, fdttftfTCf
Cours Paris 13 18
Propriétés (1)
• Les versions translatées de cette fonction de Dirac permettent d’atteindre toutes les autres valeurs de f :
• L’impulsion de Dirac est une « fonction » paire.• Elle est infiniment dérivable au sens des distributions :
)()(,, affTRaCfa
)0()1()().(,,n
nn
n
n
dt
fddttft
dt
dNnCf
Cours Paris 13 19
Exercice
• Montrer que :
)()(,, affTRaCfa
Cours Paris 13 20
Solution
)()().()().()( afdtatftdttfatfTa
Cours Paris 13 21
Exercice
• Montrer que l’impulsion de Dirac est une« fonction » paire.
Cours Paris 13 22
Solution
dttft
f
dttft
dttft
)().(
)0(
)().(
)().(
Cours Paris 13 23
Exercice
• Montrer que :
)0()1()().(,,n
nn
n
n
dt
fddttft
dt
dNnCf
Cours Paris 13 24
Solution
)0()1(
)().()1(
)(').(
)(').()().(
)().(
1
1
1
1
1
1
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
dt
fd
dttdt
fdt
dttftdt
d
dttftdt
dtft
dt
d
dttftdt
d
Cours Paris 13 25
Exercice
• Calculer l’expression :
pour
dttttdt
dn
n
)235).(( 2
.3,2,1,0n
Cours Paris 13 26
Solution
2)0()().(
fdttft
3)0(')().(
fdttftdt
d
10)0('')().(2
2
fdttftdt
d
0)0(''')().(3
3
fdttftdt
d
Cours Paris 13 27
Propriétés (2)
• Les distributions construites à partir de et de sont égales.
• La fonction de Dirac peut être définie comme le passage à la limite de fonctions continues par morceaux, d’intégrale unité, et de plus en plus brèves et intenses :
)()( ttg )()0( tg
L
trect
Lt
L
1lim)(
0
L
Ltrect
Lt
L
21lim)(
0
2
2
2
20 2
1lim)(
t
et
nt
ntnt
n
)sin(lim)(
Cours Paris 13 28
Exercice
• Montrer que les distributions construites à partir de et de sont égales.)()( ttg )()0( tg
Cours Paris 13 29
Solution
)0()0()()()()()()( fgdttftgtdttfttg
)0()0()()()0()()()0( fgdttftgdttftg
Cours Paris 13 30
Echelon de Heaviside ou échelon unité
• Il s’agit de la primitive de l’impulsion de Dirac :
• Distribution correspondante : somme des valeurs aux instants positifs.
0si0
0si1)()(
t
tdt
t
0
)()()()(, dttfdttftfTCf
Cours Paris 13 31
Solution du problème du condensateur
• La tension aux bornes du condensateur et le courant qui le traverse sont alors décrits par :
)()( tEtv
)()()( tECtdt
dvCti
)()( tECtq
Cours Paris 13 32
Caractériser un signal
• Théorie des distributions
• Signaux et systèmes
• Transformation de Fourier
• Cas des signaux discrets
Cours Paris 13 33
Définition d’un signal
Signal=
Fonction d’une ou plusieurs variablesengendrée par un phénomène physique
• La variable d’évolution est le temps, et la notion de signal se rapporte davantage à un transfert d’information qu’à un transfert d’énergie.
Cours Paris 13 34
Temps continu / temps discret
• Un signal à temps continu correspond à une grandeur dont la valeur existe à chaque instant t. Un tel signal est dit analogique.
• Un signal à temps discret correspond à une grandeur dont la valeur n’est disponible qu’à certains instants .
• Un signal échantillonné est un cas particulier de signal discret, obtenu en effectuant une mesure à intervalles de temps réguliers d’une grandeur analogique, .
nt
][nx
)(tx
)(][ enTxnx
Cours Paris 13 35
Energie finie / puissance finie
• Un signal est dit d’énergie finie si
est convergente.• Un signal est dit de puissance finie si
est bornée.• Si un signal est d’énergie finie, alors sa
puissance est nulle.
dttxxE
2)()(
dttxT
xPT
TT
2
2
2)(
1lim)(
Cours Paris 13 36
Signal déterministe / signal aléatoire
• Un signal est dit déterministe si ses valeurs peuvent être prédites de façon exacte par un modèle mathématique.
• Un signal aléatoire (ou stochastique) n’est pas entièrement prédictibles, et ses valeurs sont considérées comme dépendant en partie du hasard.
• Les signaux exponentiels constituent des exemples de signaux analogiques déterministes.
RAeeAtx tjt ),,(avec)( 00
Cours Paris 13 37
Quantité d’information
• Un signal déterministe dont le modèle est bien connu ne véhicule aucune information, car un signal parfaitement prédictible n’apporte rien qu’on ne sache déjà.
• Si une partie des paramètres de ce modèle est inconnue, alors ce signal déterministe véhicule une information constituée de ces paramètres inconnus à estimer.
Cours Paris 13 38
Signal causal / signal stationnaire
• Un système est dit causal s’il est identiquement nul pour tous les instants négatifs. Un tel signal véhicule une information qui résulte d’une action apparue à la date .
• Un système est dit stationnaire si sa caractérisation ne privilégie aucun instant particulier.
0t
Cours Paris 13 39
Définition d’un système
• Un système est un ensemble isolé de dispositifs orientés, qui établit un lien de cause à effet entre des signaux d’entrée (appelés excitations) et des signaux de sortie (appelés réponses ou mesures).
• On distingue les excitations sur lesquelles un manipulateur peut agir, appelées commandes, de celles qui ne peuvent être maîtrisées, appelées perturbations.
Cours Paris 13 40
Description schématique d’un système
Systèmecommandes réponses
perturbations
Cours Paris 13 41
Systèmes dynamiques et monovariables
• Dans la suite, on n’étudiera que les systèmes dynamiques, c’est-à-dire correspondant à tous les phénomènes qui font intervenir le stockage ou la dissipation d’une énergie.
• On se limitera aussi essentiellement aux systèmes monovariables, c’est-à-dire pour lesquels l’observateur n’accède qu’à une seule grandeur de commande et n’observe qu’une seule grandeur de sortie.
Cours Paris 13 42
Notation
• On notera la relation de cause à effet qui lie la commande et la mesure (ou réponse) d’un système de la façon suivante :
)(tx)(ty
);()( txSty
Cours Paris 13 43
Système linéaire
• Un système est linéaire si il vérifie le principe de superposition :
• Un tel système est parfaitement caractérisé par ses réponses impulsionnelles. En effet, si un système linéaire est excité par la somme de deux impulsions, sa réponse s’exprimera en finction des réponses de ce système à ces deux impulsions.
);();();(,, 221122112121 txStxStxxSxx
Cours Paris 13 44
Réponses impulsionnelles
où correspond à la réponse du système à une impulsion produite à l’instant .
),(),(
));(());(()(alors
),()()(Si
2211
2211
2211
ttkAttkA
tttSAtttSAty
ttAttAtx
),( 1ttk
1t
Cours Paris 13 45
Système intemporel
• Un système est dit intemporel (ou stationnaire, ou invariant par translation temporelle) si sa réponse à une excitation décalée est la version décalée de la réponse correspondante .
• Pour un système linéaire intemporel, la réponse à une impulsion produite à l’instant est égale à la version décalée de de la réponse du système à une impulsion produite à l’instant :
)( 0ttx
)( 0tty
1t1t
0
)0,());0(());((),( 1111 ttktttStttSttk
Cours Paris 13 46
Caractérisation d’un système linéaire intemporel
• Un système linéaire intemporel est parfaitement caractérisé par sa réponse impulsionnelle :
• La réponse du système à une excitation quelconque est alors le produit de convolution entre l’excitation et la réponse impulsionnelle :
)0,()( tkth
dvvtxvhdxthty )()()()()(
Cours Paris 13 47
Produit de convolution
• Le produit de convolution est une opération commutative, associative et distributive par rapport à l’addition, admettant l’impulsion de Dirac comme élément neutre :
dtxxtxtxtx )()()()()( 21213
)()()(
)()()()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
11
3121321
321321
1221
txttx
txtxtxtxtxtxtx
txtxtxtxtxtx
txtxtxtx
Cours Paris 13 48
Exercice
• Montrer que le produit de convolution est une opération commutative, associative et distributive par rapport à l’addition, admettant l’impulsion de Dirac comme élément neutre :
)()()(
)()()()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
11
3121321
321321
1221
txttx
txtxtxtxtxtxtx
txtxtxtxtxtx
txtxtxtx
Cours Paris 13 49
Gain statique
• L’intégrale de la réponse impulsionnelle, qui constitue le facteur de proportionnalité entre des excitations et des réponses constantes, est appelé le gain statique du système.
dvvhxtyxtx )()(alors,)(Si 00
Cours Paris 13 50
Système causal
• Un système est causal si sa réponse ne précède jamais l’excitation qui lui correspond.
• La réponse d’un tel système à une excitation causale est également un signal causal.
Cours Paris 13 51
Système réel
• Un système est dit réel si sa réponse à une excitation réelle quelconque est un signal réel :
RtyRtRtxRt )(,)(,
Cours Paris 13 52
Système stable
• Un système est dit stable si sa réponse à une excitation bornée quelconque est un signal borné :
yyxx BtyRtBBtxRtB )(,/)(,/
Cours Paris 13 53
Caractériser un signal
• Théorie des distributions
• Signaux et systèmes
• Transformation de Fourier
• Cas des signaux discrets
Cours Paris 13 54
Notion de représentation d’un signal
• Energie :
• Puissance :
Certains signaux (sinusoïdaux par ex.) ne sont pas d’énergie finie mais de puissance finie.
dttxxE
2)()(
dttxT
xPT
TT
2
2
2)(
1lim)(
Cours Paris 13 55
Ressemblance entre signaux
• Peut être évaluée par leur produit scalaire :
qui vérifie l’inégalité de Schwartz :
dttytxyx )()(, *
)()(,),(),(2
yExEyxtytx
Cours Paris 13 56
Espace euclidien et base orthonormée
• L’ensemble des signaux continus et d’énergie finie, muni de ce produit scalaire, peut donc être considéré comme un espace euclidien.
• Base orthonormée naturelle : la famille des versions translatées de l’impulsion de Dirac.
• Il existe d’autres bases pour cet espace.• Les coordonnées du signal dans ces bases
fournissent autant de mode de représentation possibles d’un signal.
• On choisira donc la représentation en fonction des caractéristiques auxquelles on s’intéresse.
Cours Paris 13 57
La transformation de Fourier
• Mode de représentation d’un signal utilisant la famille des exponentielles complexes :
• Deux résultats fondamentaux :
• Transformée de Fourier :
Rfe tfj ,2
dexexfX fjtfj 22 )(,)(
)(et)( 22 tdfefdte tfjtfj
Cours Paris 13 58
Transformée de Fourier inverse
• Démonstration :
)ébijectivit()()( 2
dfefXtx tfj
dfedexdfefX tfjfjtfj 222 )()(
ddfex tfj )(2)(
)()()( txdtx
Cours Paris 13 59
Exemple : un signal sinusoïdal
tfjtfj eeA
tfAtx 00 220 2)2cos()(
)()(2
)( 00 ffffA
fX
Cours Paris 13 60
Propriété de linéarité
)()()(
)()()(),(),(,,
2211
22112121
fXfXfY
txtxtytxtx
Cours Paris 13 61
Propriétés structurelles : symétries (1)
La transformée de Fourier d’un signal réel est une fonction hermitienne :
Sa partie réelle et son module sont donc pairs, tandis que sa partie imaginaire et son argument sont impairs :
)()(,)(, * fXfXRfRtxt
)()( fXRfXR )()( fXfX
)()( fXIfXΙ
)(arg
)(
)(arctan)(arg fX
fXR
fXIfX
Cours Paris 13 62
Propriétés structurelles : symétries (2)
La transformée de Fourier d’un signal pair est une fonction paire et la transformée de Fourier d’un signal impair est impaire :
)()(,)()(, fXfXftxtxt
)()(,)()(, fXfXftxtxt
Cours Paris 13 63
Propriétés structurelles : réversibilité
Le retournement de l’axe temporel conduit au retournement de l’axe fréquentiel.
)()(),()(Si fXfYalorstxty
Cours Paris 13 64
Propriétés structurelles : translations
La translation temporelle d’un signal ne modifie que la phase de sa transformée de Fourier :
La modulation d’un signal par une exponentielle complexe conduit à un décalage de sa transformée de Fourier :
020 )()(),()(,Si tfjefXfYalorsttxtyt
)()(,)()(,Si 02 0 ffXfYalorsetxtyt tfj
Cours Paris 13 65
Propriétés de compatibilité : conv. et modul.
• La transformée de Fourier du produit de convolution de deux signaux est le produit de leur transformée de Fourier :
L’effet d’un produit de convolution peut donc être facilement examiné dans le domaine fréquentiel, alors qu’il est moins intuitif dans le domaine temporel.
• La transformée de Fourier du produit d’un signal par une fonction modulante est égale au produit de convolution fréquentiel de leurs transformées de Fourier :
)()()(,)()()(,Si fXfHfYalorsdtxhtyt
dfXMfYalorstxtmtyt )()()(),()()(,Si
Cours Paris 13 66
Propriétés de localisation (1)
• Théorème de Parseval :
L’énergie d’un signal peut donc être mesurée aussi bien dans le domaine fréquentiel que dans le domaine temporel :
C’est pour cette raison que la représentation graphique du module carré de , appelé spectre d’énergie ou densité spectrale d’énergie, fournit une description pertinente d’un signal.
Cette représentation est souvent complétée par la représentation de la phase de , appelée spectre de phase.
dffYfXdttytxyx )()()()(, **
dffXdttxxEtx
22)()()(),(
)( fX
)( fX
Cours Paris 13 67
Propriété de localisation (2)
• Instant moyen et fréquence moyenne (moments du premier ordre) :
• Les moments du second ordre traduisent alors la concentration d’un signal autour de ses valeurs moyennes :
dt
xE
txtxtm )(
)()(
2
df
xE
fXfxfm )(
)()(
2
dt
xE
txxttx mt
)(
)())(()(
2
22
df
xE
fXxffx mf
)(
)())(()(
2
22
Cours Paris 13 68
Propriété de localisation (3)
• Pour un signal gaussien :
Les localisations temporelles et fréquentielles sont antagonistes.
2
2
2)( T
t
etx
2
42
22
2)(Tf
eTfX
0)( xtm 0)( xfm
2)(
22 T
xt 22
2
8
1)(
Txf
Cours Paris 13 69
Propriété de localisation (4)
• Reste vrai pour tout signal puisque la contraction d’un signal conduit à la dilatation de sa représentation fréquentielle :
• En particulier :
• L’inégalité de Heisenberg-Gabor montre qu’il n’existe pas de signal qui soit à la fois concentré en temps et en fréquence autour de ses instants et fréquences moyennes.
)()(alors,1
)(Si afXafXa
tx
aty
a
xyetxay f
ftt
)()()()(
Cours Paris 13 70
Transformée de Fourier d’une gaussienne
Montrez que si , alors
On montrera d’abord que
en calculant l’intégrale double suivante en coordonnées cartésiennes et polaires :
2
2
2)( T
t
etx
2
42
22
2)(Tf
eTfX
dxe x2
dydxeI yx
)( 22
Cours Paris 13 71
Caractériser un signal
• Théorie des distributions
• Signaux et systèmes
• Transformation de Fourier
• Cas des signaux discrets
Cours Paris 13 72
La transformée de Fourier discrète
• Mode de représentation d’un signal discret utilisant la famille des exponentielles complexes :
• Transformée de Fourier discrète(périodique de période 1) :
• Transformée de Fourier discrète inverse :
5.0,5.0,2 nje
5.0,5.0,,)( 22
nj
n
nj enxexX
deXnx nj25.0
5.0)(
Cours Paris 13 73
Propriétés (1)
• Linéarité
• Symétries La transformée de Fourier discrète d’un signal réel est
une fonction hermitienne :
La TF discrète d’une séquence paire est paire.La TF discrète d’une séquence impaire est impaire.
)()()(
,,,,
2211
22112121
XXY
kxkxkykxkx
)()(,, * XXRRkxk
)()(,, XXRkxkxk
)()(,, XXRkxkxk
Cours Paris 13 74
Propriétés (2)
• Réversibilité : Le retournement de l’axe temporel conduit au retournement de l’axe
fréquentiel, c’est-à-dire à la transformation des fréquences positives en fréquences négatives et réciproquement :
• Translations temporelles et fréquentielles : La translation temporelle d’un signal ne modifie que la phase de sa
TF.
La modulation d’un signal par une exponentielle complexe conduit à un décalage de sa TF.
)()(alors,Si XYkxky
020 )()(alors,,Si kjeXYkkxkyk
)()(alors,,Si 02 0 XYekxkyk kj
Cours Paris 13 75
Propriétés (3)
• Produit de convolution et modulation : La TFD du produit de convolution de deux signaux discrets est le
produit de leurs TFD :
La TFD du produit d’un signal par une fonction modulante est égale au produit de convolution fréquentiel de leurs TFD :
)()()(,alors,,Si XHYRnkxnhkyRkn
dXMYalorskxkmkykSi )()()(,,5.0
5.0
Cours Paris 13 76
Bibliographie
• Introduction à la théorie du signal et de l’information, François Auger, Editions Technip.
