-
c Christophe Bertault - MPSI
Vocabulaire des applications
Dans ce chapitre et tous les suivants, les mots fonction et
application dsigneront un mme objet, conformment auprogramme. Il se
peut cela dit que vous trouviez dans certains ouvrages deux
dfinitions distinctes attaches ces deux noms.Un bon conseil : ny
prtez pas attention sauf si cela vous intresse particulirement. En
toute rigueur, fonction et applicationsont bel et bien deux notions
distinctes, mais les dbutants que vous tes nont nullement besoin de
le savoir.
Dans tout ce chapitre, E, F , G et H sont des ensembles.
1 Dfinitions ensemblistes
Explication Avant de dfinir proprement la notion
dapplication/fonction, commenons par analyser de faoninformelle la
fonction racine carre f : x 7 x.
Cette fonction f prend pour arguments des rels ; cela veutdire
que quand on crit f(x), x est un rel. Mais en ralit fnest pas
dfinie sur R tout entier. Seule la racine carre desrels positifs
est correctement dfinie. On rsume gnrale-ment cette information en
disant que lensemble de dpart(ou domaine de dfinition) de f est
R+.
Par ailleurs f est valeurs dans lensemble des rels ; celaveut
dire que si x appartient au domaine de dfinition R+ def , alors
f(x) =
x est un rel. On dit que R est lensemble
darrive de f .
Graphe
b
x
f(x)
Ensemble de dpart (R+)
Image(R+)
Ensembledarrive
(R)
Mais en ralit f ne prend pas tout rel pour valeur. Lensemble des
valeurs de f , i.e. lensemble des rels de la formef(x), x dcrivant
R+, est lensemble R+ lui-mme : quand x dcrit R+, f(x) =
x dcrit R+ galement. On rsume cela
en disant que limage de f est R+.
Pour finir, on a coutume didentifier une fonction et la courbe
qui la reprsente. La courbe associe la fonction racinecarre f est
lensemble des couples
(x, f(x)
)=(x,x), x dcrivant le domaine de dfinition R+ de f . Plutt que
de la
courbe associe f , on parle gnralement du graphe de f .
Dfinition (Application/fonction, ensemble de dpart/arrive,
graphe, image)
On appelle application (ou fonction) de E dans F tout triplet f
= (E,F,) constitu dun ensemble E appel lensemblede dpart (ou
domaine de dfinition, souvent not Df ) de f , dun ensemble F appel
ensemble darrive de f et dune partie de E F appele le graphe de f ,
soumise la condition suivante :
x E, ! y F/ (x, y) .
La proposition (x, y) , qui signifie (x, y) appartient au graphe
de f , sera toujours note simplement y = f(x) . Dans cette criture,
x est appel un antcdent de y par f et y est appel limage de x par f
.
On peut dcrire facilement le graphe de f avec cette notation :
={(
x, f(x))}
xE.
La fonction f sera gnralement dfinie au moyen des notations f
:{
E Fx 7 f(x) ou plus simplement
f : x 7 f(x). Lensemble des lments de lensemble darrive de f qui
possdent un antcdent par f est appel limage de f et
note Im f . Formellement : Im f ={y F/ x E/ y = f(x)
}={f(x)
}xE
.
Explication
La proposition x E, ! y F/ (x, y) scrit plus simple-ment :
x E, ! y F/ y = f(x)avec la convention de notation donne dans la
dfinition. Nous retrouvonsl lide quune fonction f associe tout
lment x de son domaine dedfinition un unique lment y de son
ensemble darrive.
E
F
x
b
f(x)
bf(x)b
f(x)
Ceci nest pas une fonction de E dans F : un x donn sont
associesplusieurs valeurs de f(x).
1
-
c Christophe Bertault - MPSI
On peut reprsenter une application de deux faons, classiquement
: soit au moyen de patates (figure de gauche), soitau moyen dun
graphe (figure de droite). Remarquez bien quen gnral limage de f
est plus petite que son ensembledarrive, car tout lment larrive ne
possde pas forcment un antcdent.
E
F
Im fb
x
b
f(x)
f
E
F
Im f
={(x, f(x)
)}xE
bc
b
bc
bc
b
Pour dterminer gomtriquement limage dune application,on projette
son graphe sur laxe des ordonnes.
$ $ $ Attention !
Lide selon laquelle il peut y avoir plusieurs antcdents, mais
seulement une seule image doit tre bien comprise. Onparle dun
antcdent et de limage.
Nallez pas croire quune application associe forcment des nombres
dautres nombres. Dans la dfinition que nous avonsdonne, les
ensembles E et F sont quelconques. Par exemple, si E dsigne
lensemble des lves du lyce une date fixeet F lensemble des couleurs
les plus classiques, on peut dfinir une application f de E dans F
qui, chaque lve, associe
la couleur de ses yeux. Limage de cette application sera
vraisemblablement lensemble{Noir,Marron,Bleu,Vert,Gris
}.
Par ailleurs, llment Rouge de F naura pas dantcdent par f car
aucun lve du lyce na les yeux rouges.
Exemple La fonction f :
{R+ Rx 7 (ln x)2 a pour image Im f = [0,[.
Le rel 1 possde deux antcdents par f : e et1
e.
1
1
ee
Dfinition (Ensemble des applications/fonctions dun ensemble dans
un autre) Lensemble des applications de Edans F est not FE ou F(E,F
).
$ $ $ Attention ! Ne confondez pas FE et EF !
Dfinition (Famille) Soit I un ensemble. On appelle famille
(dlments) de E indexe par I toute application de I dans E.Les
familles, au lieu dtre note comme des applications, sont presque
toujours notes sous la forme (xi)iI .
Lensemble des familles de E indexe par I est not EI .
Explication Pourquoi revenir sur la dfinition de la notion de
famille alors que nous lavons dj dfinie dansnotre chapitre
dintroduction ? Nous avons dfini une famille comme une suite, mais
dans la mesure o navons pas dfini lanotion de suite , cest comme si
nous navions rien fait.Avec la dfinition dapplication que nous
avons donne un peu plus haut, une famille (x1, x2, . . . , xn)
dlments de E est pardfinition lapplication f de J1, nK dans E
dfinie par les relations : f(1) = x1, f(2) = x2, . . . , f(n) = xn.
En rsum,f associe chaque position llment qui lui correspond.
2 Composition
Dfinition (Composition) Soient f : E F et g : F G deux
applications.Lapplication
{E Gx 7 g(f(x)) est appele la compose de f suivie de g et note g
f .
2
-
c Christophe Bertault - MPSI
ExplicationE
F
Im f
G
Im g
b
x
b
f(x) bg(f(x)
)f g
g f
$ $ $ Attention ! La composition, en gnral, nest possible que
dans un seul sens. Et quand elle est possible dansles deux sens, on
na aucune raison davoir f g = g f . Par exemple, la compose de x 7
x2 suivie de x 7 sin x est lafonction x 7 sin(x2), alors que la
compose de x 7 sin x suivie de x 7 x2 est la fonction x 7 sin2 x.
Or ces fonctions sontdiffrentes !
Dfinition (Application identique) Lapplication
{E Ex 7 x est appele lapplication identique de E et note IdE
.
Thorme (Proprits de la composition) Soient f : E F , g : F G et
h : G H trois applications. Associativit : h (g f) = (h g) f .
Elment neutre : IdF f = f IdE = f .
Explication Lapplication identique est donc une application
transparente . Quand on la compose avec une autreapplication, cest
comme si on navait rien fait.
Dmonstration Dmontrons seulement lassociativit. Pour tout x E :h
(g f)(x) = h(g f(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = (h g) f(x). Et
voil.
3 Restriction et prolongement
Dfinition (Restriction et prolongement) Soit A une partie de
E.
Si f : E F est une application, on appelle restriction de f A
lapplication note f|A de A dans F dfinie par :
x A, f|A(x) = f(x).
Inversement, si f : A F est une application, on appelle
prolongement de f E toute application g de E dans Ftelle que :
x A, f(x) = g(x).
Explication Restreindre une application, cest diminuer la taille
de son domaine de dfinition. Au contraire, prolongerune
application, cest augmenter la taille de son ensemble de
dfinition.
$ $ $ Attention ! Il existe en gnral beaucoup de prolongements
dune application donne. Du coup, on parledun prolongement et non du
prolongement dune application donne. Les figures ci-dessous sont
trois prolongements delapplication constante gale 1 dfinie sur [1,
2].
b b b b b b
bc
Exemple Lapplication R R, x 7{
1
xsi x 6= 0
0 si x = 0est un prolongement tout R de lapplication
{R Rx 7 1
x
.
On lui a ajout une valeur en 0. Si on avait ajout une autre
valeur, cela nous aurait fait un autre prolongement.
3
-
c Christophe Bertault - MPSI
4 Injectivit, surjectivit, bijectivit
$ $ $ Attention ! Les trois notions dinjection, surjection et
bijection sont absolument fondamentales. Comme elles
sontabstraites, travaillez-les trs soigneusement.
4.1 Injectivit
Dfinition (Injectivit) Soit f : E F une application. On dit que
f est injective ou que cest une injection si :
x, x E, f(x) = f(x) = x = x.
Pour viter toute ambigut, on prcise gnralement lespace de dpart
dune application injective ; on dira ainsi que f estinjective sur
E.
ExplicationPour comprendre la notion dinjectivit, on peut
paraphraser la dfinitionprcdente en disant que lapplication f est
injective si, toutes les fois quona f(x) = f(x), alors forcment x =
x. Ceci signifie, par contraposition, quef ne peut pas prendre la
mme valeur en deux points distincts :
si x 6= x, alors f(x) 6= f(x).
Il est commode de penser la notion dinjectivit au moyen de la
notiondantcdent. Une application injective de E dans F est une
applicationpour laquelle tout lment de F possde au plus un antcdent
soit 0, soit 1 antcdent. Les lments de F ne possdant aucun
antcdentpar f sont les lments de F r Im f .
E
F
Im f
b
x
b
x
b
y
f
f nest pas injective
Pour finir, on peut voir linjectivit dune fonction de R dans R
sur son graphe, car on peut voir facilement si une mmevaleur sur
laxe des ordonnes est prise plusieurs fois.
y b
bc
b
b
b
b
Pas dinjectivit.
Certains y ont plusieurs antcdents.
y
b
bc
b
Injectivit.
Aucun y na plusieurs antcdents.
Exemple Lapplication f :
{R Rx 7 x2 nest pas injective, mais sa restriction R+ lest.
b
b
En effet
f nest pas injective car f(1) = 1 = f(1) par exemple. Au
contraire f|R+ est injective. Pour le comprendre, donnons-nous x, x
R+ tels que f(x) = f(x), i.e.x2 = x2. Il est bien clair, puisque x
et x sont positifs ou nuls, que x = x, comme voulu.
Exemple Lapplication
{C r
{i} C
z 7 z + iz i
est injective.
En effet Nous devons montrer que : z, z C r {i}, z + iz i =
z + i
z i = z = z.
Soient donc z, z C r {i} tels que z + iz i =
z + i
z i .
z + i
z i =z + i
z i (z + i)(z i) = (z + i)(z i) zz iz + iz + 1 = zz iz + iz +
1
2iz = 2iz z = z. Et voil.
4
-
c Christophe Bertault - MPSI
Thorme (Injectivit et composition) Soient f : E F et g : F G
deux applications.Si f et g sont injectives, alors g f lest
aussi.
Dmonstration Soient x, x E tels que g f(x) = g f(x). Nous
voulons montrer que x = x.Or puisquon a g
(f(x)
)= g
(f(x)
), et puisque g est injective, alors f(x) = f(x). Enfin, f tant
son tour injective,
on en tire x = x comme voulu.
4.2 Surjectivit
Dfinition (Surjectivit) Soit f : E F une application. On dit que
f est surjective ou que cest une surjection si :
y F, x E/ y = f(x).
Pour viter toute ambigut, on prcise gnralement les espaces de
dpart et darrive dune application surjective ; on dira ainsique f
est surjective de E sur F .
Explication Par dfinition, f est donc surjective si tout lment
de son ensemble darrive possde au moins unantcdent ; cela signifie
aussi que Im f = F .
En rsum :
f est injective si tout lment de F possde au plus un antcdent
par f ;
f est surjective si tout lment de F possde au moins un antcdent
par f.
Exemple Soit f : E F une application. Alors f est surjective de
E sur son image Im f . Exemple important !En effet Par dfinition,
tout lment de Im f possde un antcdent par f .
Exemple Lapplication f :
{R Rx 7 x2 nest pas surjective ; en revanche, lapplication g
:
{R R+x 7 x2 lest.
En effet Comme f ne prend que des valeurs positives ou nulles,
il est faux que tout lment de lensembledarrive R de f possde un
antcdent ; par exemple, 1 nest le carr daucun rel. En revanche,
tout lmentde R+ possde au moins une racine carre et par consquent g
est surjective.
Thorme (Surjectivit et composition) Soient f : E F et g : F G
deux applications.Si f et g sont surjectives, alors g f lest
aussi.
Dmonstration Soit y G. Nous voulons montrer lexistence dun lment
x E tel que y = g f(x).Or g est surjective, donc il existe t F tel
que y = g(t). Et comme f est elle aussi surjective, il existe x E
telque t = f(x). On obtient donc y = g(t) = g
(f(x)
)= g f(x) comme voulu.
4.3 Bijectivit
Dfinition (Bijectivit) Soit f : E F une application. Les
assertions suivantes sont quivalentes :
(i) f est la fois injective et surjective. (ii) y F, ! x E/ y =
f(x).
Si lune de ces assertions est vraie, on dit que f est bijective
ou que cest une bijection.
Pour viter toute ambigut, on prcise gnralement les espaces de
dpart et darrive dune application bijective ; on dira ainsique f
est bijective de E sur F .
Explication Lquivalence des assertions (i) et (ii) est
intuitivement claire. Dire que f est injective, cest dire quetout
lment de F possde au plus un antcdent ; dire que f est surjective,
cest dire que tout lment de f possdeau moins un antcdent. Par
consquent, dire que f est la fois injective et surjective, cest
dire que tout lment de Fpossde exactement un antcdent par f ; cest
prcisment le sens de lassertion (ii).
5
-
c Christophe Bertault - MPSI
Exemple Lapplication identique IdE est bijective de E sur E.
En effet
Injectivit : Soient x, x E. On suppose que IdE(x) = IdE(x).
Alors x = x par dfinition de IdE et letour est jou.
Surjectivit : Soit y E. On cherche x E tel que y = IdE(x). Or
cest facile, posons x = y. On a bienIdE(x) = IdE(y) = y comme
voulu.
Exemple Soient a R et b R. Lapplication{
R Rx 7 ax+ b est bijective de R sur R.
En effet
Injectivit : Soient x, x R tels que ax+ b = ax + b. Il est bien
clair que x = x.
Surjectivit : Soit y R. On cherche un rel x tel que y = ax + b.
Facile : il suffit de poser x = y ba
,
sachant que a 6= 0.
Thorme (Rciproque dune application bijective) Soit f : E F une
application.(i) f est bijective de E sur F si et seulement sil
existe une application g : F E telle que g f = IdE et f g = IdF
.(ii) Si elle existe, une telle application g est unique ; on
lappelle la rciproque de f et on la note f1. On a alors
lquivalence :
x E, y F,[y = f(x) x = f1(y)
].
(iii) Si f est bijective de E sur F , alors f1 est bijective de
F sur E. De plus :(f1
)1= f .
ExplicationIntuitivement, quest donc la rciproque dune
application bijective f ? Lethorme ci-dessus affirme quon a y =
f(x) si et seulement si x = f1(y) ;en dautres termes, f envoie x
sur y si et seulement si f1 envoie y sur x.En somme, f1 dfait le
travail accompli par f : ce qui est image pourf est antcdent pour
f1 ; ce qui antcdent pour f est image pour f1.
E
f1 f = IdE
F
f f1 = IdF
bx
b y
f
f1
y = f(x) x = f1(y)
y = x
f
f1
x
y b
x
y
b
Travaillons prsent avec des ensembles E et F qui sont des
parties de R. Supposonstoujours f bijective, ici donc de R sur R,
et notons f (resp. f1) le graphe de f(resp. f1). Le thorme prcdent
affirme que :
x E, y F,[y = f(x) x = f1(y)
],
ce qui scrit aussi : x E, y F,[(x, y) f (y, x) f1
].
Ceci signifie que les points de f et les points de f1 sont les
mmes, lordreprs de leurs coordonnes. Finalement, f1 a une
interprtation gomtrique trssimple : f1 est le symtrique de f par
rapport la droite dquation y = x.
$ $ $ Attention ! Ne confondez pas f1 et1
f quand ces deux applications ont un sens. Rien voir !
Dmonstration
(i) Raisonnons en deux temps.
Supposons f bijective de E sur F , i.e. que : y F, ! x E/ y =
f(x).Pour tout y F , notons g(y) lunique lment x de E tel que y =
f(x). On dfinit de cette faon uneapplication g : F E. Nous allons
montrer que g f = IdE et que f g = IdF .Dj, lidentit f g = IdF
rsulte immdiatement de la dfinition de g : y F, f g(y) = y.Quen
est-il de lautre identit ? Soit x E. Par dfinition de g, g(f(x))
est lunique lment t de E telque f(x) = f(t). Comme x est un tel
lment, on a donc g f(x) = g(f(x)) = x. Cela montre bien queg f =
IdE .
6
-
c Christophe Bertault - MPSI
Supposons quil existe une application g : F E telle que g f =
IdE et f g = IdF .Montrons que f est injective sur E. Soient donc
x, x E tels que f(x) = f(x). Alors x = x car :
x = IdE(x) = g f(x) = g(f(x)
)= g
(f(x)
)= g f(x) = IdE(x) = x.
Montrons que f est surjective de E sur F . Soit donc y F .
Posons x = g(y). Alors y = f(x) car :y = IdF (y) = f g(y) = f
(g(y)
)= f(x).
(ii) Plusieurs tapes ici aussi. Supposons f bijective de E sur F
.
Montrons lunicit de sa rciproque f1. Soient donc g1 et g2 deux
applications de F dans E tellesque g1 f = g2 f = IdE et f g1 = f g2
= IdF . Il nous suffit de montrer lgalit g1 = g2, en dautrestermes,
que : y F, g1(y) = g2(y).Soit donc y F . Alors f(g1(y)) = f g1(y) =
f g2(y) = f(g2(y)). Or f est injective, donc g1(y) = g2(y)comme
voulu.
Soient x E et y F . Montrons lquivalence : y = f(x) x =
f1(y).{Si y = f(x), alors f1(y) = f1
(f(x)
), donc f1(y) = IdE(x), et enfin x = f
1(y).Si x = f1(y), alors f(x) = f
(f1(y)
), donc f(x) = IdF (y), et enfin y = f(x).
(iii) Supposons f bijective. Montrons que f1 est bijective et
que(f1
)1= f .
Par dfinition de f1, on a : f f1 = IdF et f1 f = IdE .Posons
donc g = f . Alors g f1 = IdF et f1 g = IdE . Via (i), cela suffit
montrer que f1 est bijectivede F sur E. En outre, via (ii),
lapplication g ainsi obtenue est la rciproque de f1. Nous en
dduisons
lidentit annonce :(f1
)1= g = f .
Exemple
Id1E = IdE . La fonction exponentielle est bijective de
R sur R+, de rciproque la fonction lo-garithme ; la fonction
carre est bijectivede R+ sur R+, de rciproque la fonctionracine
carre. Notez bien la symtrie descourbes par rapport la droite
dquationy = x.
y = ln x
y = ex y = x
b
y = x2
y =x
y = x
En pratique Nous disposons prsent de plusieurs techniques pour
dmontrer quune application f : E F estbijective de E sur F :
Si on a lavance une ide de ce que va valoir f1, on donne un nom
cette application de F dans E, disons g ; il suffitalors de vrifier
que g f = IdE et f g = IdF . On dmontre ainsi que f est bijective
de E sur F et que f1 = g.
Si on na aucune ide de ce quoi peut ressembler f1, mais si tout
de mme f est donne explicitement par une formule,on peut essayer de
dterminer la tte de f1 au moyen de lquivalence y = f(x) x = f1(y) .
Partant dela proposition y = f(x) qui exprime y en fonction de x,
on se dbrouille pour parvenir par quivalence jusqu uneproposition
de la forme x = g(y) qui exprime x en fonction de y. Lapplication g
ainsi dcouverte nest autre que f1.
Enfin, si f nest pas donne explicitement par une formule mais
par certaines de ses proprits, ou bien si on ne se sent pasdu tout
capable de dterminer f1 au moyen de la technique prcdente, on
dmontre en deux temps que f est injectiveet surjective.
Exemple La fonction f :
{C r
{i} C
z 7 z + iz i
ralise une bijection de Cr{i}sur Cr
{1}. Sa rciproque est lapplication
7 i + 1 1 dfinie sur C r
{1}.
En effet Pour tout z C r {i} et pour tout C : = f(z) z + i
z i = z + i = z i i( + 1) = z( 1).
On peut alors exprimer en fonction de z si et seulement si 6= 1.
Par consquent, pour tout z C r {i} et pourtout Cr{1} : = f(z) z = i
+ 1
1 . Cette quivalence montre que f est bijective de C r{i}sur
C r{1}de rciproque lapplication 7 i + 1
1 dfinie sur C r{1}.
7
-
c Christophe Bertault - MPSI
Exemple Soient f : E E une application telle que f f = IdE . On
dit alors que f est une involution. Alors f est unebijection et f1
= f .
En effet Posons g = f . Lgalit f f = IdE montre alors que f g =
IdE et g f = IdE . Par consquent f estune bijection et g = f est sa
rciproque.
Thorme (Bijectivit et composition) Soient f : E F et g : F G
deux applications.Si f et g sont bijectives, alors g f lest aussi.
De plus : (g f)1 = f1 g1.
Dmonstration Nous avons dj montr que g f tait la fois injective
et surjective ; elle est donc bijectivecomme voulu. Mais nous
pouvons redmontrer ce rsultat sans utiliser ce que nous avons
dmontr prcdemment.Posons h = f1 g1, application de G dans E. Alors
:
h (g f) = (f1 g1) (g f) = f1 (g1 g) f = f1 IdF f = f1 f =
IdEet
(g f) h = (g f) (f1 g1) = g (f f1) g1 = g IdF g1 = g g1 =
IdG.
Ceci dmontre dun coup dun seul que g f est bijective de E sur G
de rciproque h = f1 g1.
Explication A titre culturel, on notera que la notion de
bijection est utilise en mathmatiques pour mesurer la taille des
ensembles. En effet, une bijection de E sur F est une manire de
relier tout lment de E un unique lmentde F et tout lment de F un
unique lment de E. En somme, dire quil existe une bijection de E
sur F , cest dire que lesdeux ensembles E et F ont la mme taille,
le mme nombre dlments. Par dfinition, on dit dans ce cas que E et F
sontquipotents.
5 Image directe, image rciproque
5.1 Image directe
Dfinition (Image directe dune partie par une application) Soient
f : E F une application et A une partie de E.On appelle image
(directe) de A par f , note f(A), lensemble f(A) =
{y F/ a A/ y = f(a)
}={f(a)
}aA
.
ExplicationLimage f(A) de A par f est lensemble des images par f
des lments de A. Graphique-ment, pour dterminer f(A), on projette
sur laxe des ordonnes la portion du graphede f qui se situe
au-dessus de A, comme lillustre la figure ci-contre.
E
F
A
f(A)
ExempleTchez de vous convaincre vous-mmes, en faisant des
dessins, que les affirmations sui-vantes sont vraies.
Limage de R+ par lapplication exponentielle est lintervalle [1,[
; limage de R par cette mme application est ]0, 1]. Limage de {pi}
par lapplication sinus est {0} ; limage de [0, pi] est [0, 1] ;
limage de [pi
2,pi
2
]est [1, 1] ; limage de [0, 2pi]
est aussi [1, 1].
5.2 Image rciproque
Dfinition (Image rciproque dune partie par une application)
Soient f : E F une application et B une partiede F . On appelle
image rciproque de B par f , note f1(B), lensemble f1(B) =
{x E/ f(x) B
}.
8
-
c Christophe Bertault - MPSI
Explication
f1(B) est lensemble des lments de E dont limage par f appartient
B. Gomtrique-ment, pour dterminer f1(B), on projette sur laxe des
abscisses la portion du graphe def situe dans le tube horizontal
dfini par B.
On a, pour tout x E : x f1(B) f(x) B. E
F
B
f1(B)
Exemple Tchez de vous convaincre vous-mmes, en faisant des
dessins, que les affirmations suivantes sont vraies.
Limage rciproque de R+ par lapplication exponentielle est R tout
entier ; limage rciproque de [1, 2[ est [0, ln 2[. Limage rciproque
de {0} par lapplication sinus est piZ. Limage rciproque de [4,[ par
lapplication carre est ],2] [2,[.
$$$ Attention ! Nous avons rencontr la notation f1 dans deux
contextes diffrents : le contexte des applicationsrciproques et le
contexte des images rciproques. Cette mme notation recouvre en
gnral des ralits mathmatiques distinctes.
Cas o f est bijective : Alors f1 a un sens en tant quapplication
puisque f1 dsigne la rciproque de f . En outre,si B est une partie
de F , alors f1(B) est une partie de E bien dfinie.En rsum, si f
est bijective, les deux notations base de f1 rencontres jusquici
ont un sens.
Cas o f nest pas bijective : Alors f ne possde pas de rciproque,
et donc la notation f1 ne peut dsigneraucune application. Cela
nempche pas la partie f1(B) de E dtre bien dfinie pour toute partie
B de F . Seulementdans ce cas, f1 nest quune notation sans rapport
aucun avec la notion dapplication rciproque.
Il existe en fait un lien entre les deux notations f1 lorsque f
est bijective, comme laffirme le thorme suivant :
Thorme (Rciproque, image et image rciproque pour les bijections)
Soit f une bijection de E sur F et B unepartie de F . On a :
f1(B) = f1(B)
Image rciproque de B par f Image directe de B par f1
Dmonstration Pour le moment, la notation f1(B) est ambigu.
Dcidons donc provisoirement de noterD limage directe de B par f1 et
R limage rciproque de B par f . Le thorme affirme prcisment queD =
R. Pour commencer, D et R sont deux parties de E par dfinition. Or
pour tout x E :
x D b B/ x = f1(b) b B/ f(x) = b (caractrisation des rciproques)
f(x) B x R. Tout ceci montre bien que D = R.
6 Quelques remarques sur les fonctions de R dans R
Thorme (Rciproque dune fonction impaire bijective) Soient A une
partie de R et f : A R une fonction impaire.Si f est bijective de A
sur son image f(A), alors f(A) est symtrique par rapport 0 et f1
est impaire sur f(A).
$ $ $ Attention ! Ce rsultat na pas dquivalent pour les
fonctions paires car une fonction paire ne peut tre injective,
moins dtre dfinie sur le singleton
{0}: elle prend la mme valeur aux points x et x pour tout x en
lequel elle est dfinie.
Dmonstration Soit y f(A). Alors y = f(x) pour un certain x A. Or
A est symtrique par rapport 0donc x A. Et comme f est impaire : y =
f(x) = f(x) f(A). Ainsi f(A) est lui aussi symtrique parrapport
0.Mais en outre f1(y) = f1( f(x)) = f1(f(x)) = x = f1(y), donc f1
est impaire comme voulu.
9
-
c Christophe Bertault - MPSI
Il nest pas inutile de comprendre le thorme suivant en faisant
un dessin !
Thorme (Stricte monotonie, injectivit et rciproque) Soient A une
partie de R et f : A R une fonctionstrictement monotone.
(i) La fonction f est injective sur A donc bijective de A sur
son image f(A).(ii) Lapplication rciproque f1 : f(A) A est
strictement monotone de mme sens de variation que f .
Dmonstration Traitons seulement le cas o f est strictement
croissante lautre cas se traite de mme.
(i) Montrons que f est injective sur A. Soient x, x A tels que
f(x) = f(x). Peut-on avoir x < x ? Non, caron aurait alors f(x)
< f(x), alors que f(x) = f(x). Peut-on avoir x < x ? Non
plus, car on aurait alorsf(x) < f(x). Du coup x = x comme
voulu.
(ii) Montrons que f1 est strictement croissante sur A. Soient x,
x A tels que x < x. Peut-on avoirf1(x) > f1(x) ? Non, car la
stricte croissance de f montrerait alors que x > x, alors que
justementx < x. Du coup f1(x) < f1(x) comme voulu.
Exemple La fonction sinus est injective sur[pi
2,pi
2
], car elle est strictement croissante sur cet intervalle.
Le fameux corollaire du TVI est un mlange du rsultat prcdent sur
la stricte monotonie et du thorme des valeursintermdiaires
proprement parler. Nous dmontrerons proprement le TVI plus tard
dans lanne.
Thorme (Le fameux corollaire du TVI) Soient a, b R tels que a
< b et f : [a, b] R une application continuestrictement
monotone. Alors f ralise une bijection de [a, b] sur f
([a, b]
), et de plus :
si f est croissante : f([a, b]) = [f(a), f(b)] ; si f est
dcroissante : f([a, b]) = [f(b), f(a)].Si f est dfinie sur un
intervalle ouvert ou semi-ouvert, on a un rsultat analogue avec
ventuellement des limites. Par exemple,
si f est dfinie sur ]a, b] et croissante : f(]a, b]
)=]lima
f, f(b)].
10
