cours8-integ

Mthodes de quadrature

PolytechParis-UPMC

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Prambule Polynme dinterpolatio

L AGRANGE Preuve et polynme de L AGRANGE Exemple

Calcul de lerreur dinte

Prambule

Exemple Exemple Autres mthodes Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

tude de la formule de

Prambule

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Polynme dinterpolation de L AGRANGEThorme (Polynme dinterpolation) Soient les n + 1 points distincts (a0 < a1 < , an ) IRn+1 ,


L AGRANGE Preuve et polynme de L AGRANGE Exemple Exemple Exemple Autres mthodes Introduction


il existe un unique polynme P de degr n qui coupe la fonction f sur ces points i.e. tel que : i {0, . . . , n} P (ai ) = f (ai )


Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

Cest le polynme interpolateur de L AGRANGE de f sur les points ai .

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Preuve et polynme de L AGRANGESoient les n + 1 points distincts (a0 < a1 < , an ) IRn+1 , on appelle base de L AGRANGE les polynmes de la forme :n



Li (x)

=k=0,k=i

x ak ai ak

Calcul de lerreur dinte Exemple Exemple Autres mthodes Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS


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Li (x)

=k=0,k=i

x ak ai ak 1 0 si i = j si i = j



i, j

Li (aj ) =

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Li (x)

=k=0,k=i

x ak ai ak 1 0 si i = j si i = j



i, j Le polynme :

Li (aj ) =

P (x) = f0 L0 (x) + f1 L1 (x) + + fn Ln (x) Convient. On lappelle polynme dinterpolation de L AGRANGE Lunicit est dmontrer en exercice.

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Exemple


L AGRANGE Preuve et polynme de L AGRANGE Exemple Exemple Exemple Autres mthodes Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS



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Exemple


L AGRANGE Preuve et polynme de L AGRANGE Exemple Exemple Exemple Autres mthodes Introduction Mthodes simples de quadrature



a1

Intgration de G AUSS

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Exemple


L AGRANGE Preuve et polynme de L AGRANGE Exemple Exemple Exemple Autres mthodes



a6 a1

Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

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Exemple





a3 a1

a6


- p. 5/48

Exemple


L AGRANGE Preuve et polynme de L AGRANGE Exemple Exemple


a4 a3 a1 a6

tude de la formule de Exemple Autres mthodes Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

- p. 5/48

Exemple


L AGRANGE Preuve et polynme de L AGRANGE Exemple Exemple


a4 a0 a1 a3 a6

tude de la formule de Exemple Autres mthodes Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

- p. 5/48

Exemple




a4 a0 a1 a2 a3

a5 a6



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Calcul de lerreur dinterpolationSi on interpole la fonction f C n+1 sur lintervalle [a, b], par le polynme P (x) de degr n, grce au points dinterpolation a0 < a1 < < an . Thorme x [a, b] il existe [a0 , an ] tel que 1 f (n+1) ()(x) f (x) P (x) = (n + 1)! avec (x) = (x a0 )(x a1 ) (x an )





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Calcul de lerreur dinterpolationSi on interpole la fonction f C n+1 sur lintervalle [a, b], par le polynme P (x) de degr n, grce au points dinterpolation a0 < a1 < < an . Thorme x [a, b] il existe [a0 , an ] tel que 1 f (n+1) ()(x) f (x) P (x) = (n + 1)! avec (x) = (x a0 )(x a1 ) (x an ) Idee de la preuve :(z) On tudie la fonction g(z) = f (z) P (z) (f (x) P (x)) (x)





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g sannule n + 2 fois

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- p. 6/48







...


g (n+1) sannule une fois en

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Or (n+1)

g sannule n + 1 fois ... g (n+1) sannule une fois en = (n + 1)! et P (n+1) = 0.

- p. 6/48

Exemple





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Exemple





- p. 7/48

Exemple





- p. 7/48

Exemple





- p. 7/48

Exemple





f (x) = 0.5 + 2 e10x

2

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tude de la formule derreurf (x) P (x) = avec Lerreur dpend de :1 (n+1) ()(x) (n+1)! f



(x) = (x a0 )(x a1 ) (x an )



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tude de la formule derreurf (x) P (x) = avec1 (n+1) ()(x) (n+1)! f



(x) = (x a0 )(x a1 ) (x an )


Lerreur dpend de : 1 (n+1)! qui tend vers 0 si n .


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(x) = (x a0 )(x a1 ) (x an )




(x) qui tend vers quand x .

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(x) = (x a0 )(x a1 ) (x an )




(x) qui tend vers quand x . problmes quand x

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(x) = (x a0 )(x a1 ) (x an )





f (n+1) () qui dpend de la fonction f et de lintervalle [a0 , an ].

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(x) = (x a0 )(x a1 ) (x an )




f (n+1) () qui dpend de la fonction f et de lintervalle [a0 , an ]. problmes si un point est trs diffrent des autres (f (n+1) >> 1) le polynme a tendance osciller entre les points dinterpolations


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(x) = (x a0 )(x a1 ) (x an )




f (n+1) () qui dpend de la fonction f et de lintervalle [a0 , an ]. problmes si un point est trs diffrent des autres (f (n+1) >> 1) le polynme a tendance osciller entre les points dinterpolations Certaines fonctions simples seront mal interpoles par un polynme.


- p. 8/48

Exemple





- p. 9/48

Exemple





- p. 9/48

Exemple





- p. 9/48

Exemple





- p. 9/48

Exemple





- p. 9/48

Exemple





- p. 9/48

Autres mthodesComment amliorer linterpolation ?





- p. 10/48

Autres mthodesComment amliorer linterpolation ? On dcoupe lintervalle en petits morceaux,





- p. 10/48

Autres mthodesComment amliorer linterpolation ? On dcoupe lintervalle en petits morceaux, On utilise des polynmes de petit degr pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Par exemple :





- p. 10/48

Autres mthodesComment amliorer linterpolation ? On dcoupe lintervalle en petits morceaux, On utilise des polynmes de petit degr pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Par exemple : Fonctions linaires par morceaux





- p. 10/48

Autres mthodesComment amliorer linterpolation ? On dcoupe lintervalle en petits morceaux, On utilise des polynmes de petit degr pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Par exemple : Fonctions linaires par morceaux Fonctions quadratiques par morceaux





- p. 10/48

Autres mthodesComment amliorer linterpolation ? On dcoupe lintervalle en petits morceaux, On utilise des polynmes de petit degr pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Par exemple : Fonctions linaires par morceaux Fonctions quadratiques par morceaux Les splines cubiques (polynme de degr 3 par morceau).





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Prambule Introduction Intgration numrique Principe Principe (suite)

Introduction

Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

Introduction

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Intgration numriqueOn cherche approcher lintgrale dune fonction : Dont on ne connat la valeur quen certains points mesures Dont on peut calculer les valeurs, mais dont on ne peut pas calculer la primitive pas de formule analytique trop complexe Il faut approcherbPrambule Introduction Intgration numrique Principe Principe (suite) Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

I(f ) =a

f (t)dt

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PrincipePrambule Introduction Intgration numrique Principe Principe (suite) Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

- p. 13/48

PrincipeOn dispose de la valeur de f sur des points rgulirement espacs f (y0 ), f (y1 ), . . . , f (ym ) avec y0 = a < y1 < < ym1 < ym = b ba et yi+1 yi = mPrambule Introduction Intgration numrique Principe Principe (suite) Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

- p. 13/48

PrincipeOn dispose de la valeur de f sur des points rgulirement espacs f (y0 ), f (y1 ), . . . , f (ym ) avec y0 = a < y1 < < ym1 < ym = b ba et yi+1 yi = m On spare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points yi par paquets de un, deux ([yi , yi+1 ]) ou trois ([yi , yi+1 , yi+2 ]) points conscutifs.Prambule Introduction Intgration numrique Principe Principe (suite) Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

- p. 13/48

PrincipeOn dispose de la valeur de f sur des points rgulirement espacs f (y0 ), f (y1 ), . . . , f (ym ) avec y0 = a < y1 < < ym1 < ym = b ba et yi+1 yi = m On spare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points yi par paquets de un, deux ([yi , yi+1 ]) ou trois ([yi , yi+1 , yi+2 ]) points conscutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynmes gi (t).Prambule Introduction Intgration numrique Principe Principe (suite) Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

- p. 13/48

PrincipeOn dispose de la valeur de f sur des points rgulirement espacs f (y0 ), f (y1 ), . . . , f (ym ) avec y0 = a < y1 < < ym1 < ym = b ba et yi+1 yi = m On spare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points yi par paquets de un, deux ([yi , yi+1 ]) ou trois ([yi , yi+1 , yi+2 ]) points conscutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynmes gi (t). On calcule lintgrale du polynme dinterpolation de chaque sous intervalle, cela sexprime simplement en fonction des valeurs fi = f (yi ) :Prambule Introduction Intgration numrique Principe Principe (suite) Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

- p. 13/48

PrincipeOn dispose de la valeur de f sur des points rgulirement espacs f (y0 ), f (y1 ), . . . , f (ym ) avec y0 = a < y1 < < ym1 < ym = b ba et yi+1 yi = m On spare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points yi par paquets de un, deux ([yi , yi+1 ]) ou trois ([yi , yi+1 , yi+2 ]) points conscutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynmes gi (t). On calcule lintgrale du polynme dinterpolation de chaque sous intervalle, cela sexprime simplement en fonction des valeurs fi = f (yi ) :yi+k kPrambule Introduction Intgration numrique Principe Principe (suite) Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS

gi (t)dt =yi l=0

l fi+l

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Principe (suite)

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Principe (suite)La somme de ces valeurs est une approximation de lintgrale de f sur [a, b]. Cette somme sexprime aussi simplement en fonction des valeurs fim

I(f )

i fii=0

(1)

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I(f )

i fii=0

(1)

La diffrence entre les mthodes vient du nombre de points dinterpolations dans les paquets : 1 point 2 points 3 points n points

- p. 14/48


I(f )

i fii=0

(1)

La diffrence entre les mthodes vient du nombre de points dinterpolations dans les paquets : 1 point approximation de degr 0 mthode des rectangles 2 points 3 points n points

- p. 14/48


I(f )

i fii=0

(1)

La diffrence entre les mthodes vient du nombre de points dinterpolations dans les paquets : 1 point approximation de degr 0 mthode des rectangles 2 points approximation de degr 1 mthode des trapzes 3 points n points

- p. 14/48


I(f )

i fii=0

(1)

La diffrence entre les mthodes vient du nombre de points dinterpolations dans les paquets : 1 point approximation de degr 0 mthode des rectangles 2 points approximation de degr 1 mthode des trapzes 3 points approximation de degr 2 mthode de S IMPSON n points

- p. 14/48


I(f )

i fii=0

(1)

La diffrence entre les mthodes vient du nombre de points dinterpolations dans les paquets : 1 point approximation de degr 0 mthode des rectangles 2 points approximation de degr 1 mthode des trapzes 3 points approximation de degr 2 mthode de S IMPSON n points approximation de degr n 1 mthode de N EWTON -C TES

- p. 14/48


I(f )

i fii=0

(1)

La diffrence entre les mthodes vient du nombre de points dinterpolations dans les paquets : 1 point approximation de degr 0 mthode des rectangles 2 points approximation de degr 1 mthode des trapzes 3 points approximation de degr 2 mthode de S IMPSON n points approximation de degr n 1 mthode de N EWTON -C TES Pour chaque mthode, il existe des constantes i qui permettent dappliquer la formule (1) et une majoration de lerreur que lon va calculer.

- p. 14/48

Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature

Mthode des rectangles

Mthodes simples de quadrature

Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS

Mthode de S IMPSON (


- p. 15/48

Mthode des rectanglesLes points (yi ) i = 0, ..., m sont pris rgulirement espacs sur [a, b] : yi = a + i ba Sur chaque intervalle Ii = [yi , yi+1 ], la fonction m f est approche par la fonction constante gi tel que gi (t) = f (yi ).yi+1Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple


gi (t)dtyi b

= (yi+1 yi )f (yi )y1 y2

=

ba f (yi ) mym

f (t)dt =a y0 b a

f (t)dt +y1

f (t)dt + ... +ym1

f (t)dt

Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS


Lapproximation de donne par :

f (t)dt par la mthode des rectangles est


- p. 16/48

Mthode des rectanglesLes points (yi ) i = 0, ..., m sont pris rgulirement espacs sur [a, b] : yi = a + i ba Sur chaque intervalle Ii = [yi , yi+1 ], la fonction m f est approche par la fonction constante gi tel que gi (t) = f (yi ).yi+1Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple


gi (t)dtyi b

= (yi+1 yi )f (yi )y1 y2

=

ba f (yi ) mym

f (t)dt =a y0 b a

f (t)dt +y1

f (t)dt + ... +ym1

f (t)dt

Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS


Lapproximation de donne par :

f (t)dt par la mthode des rectangles est

IR

=

ba m

m1

f (yi )i=0


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ExemplePrambule

3 2 1

Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON


1

1 1

2

3

4

5

6

Mthode de S IMPSON ( Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS


- p. 17/48

Erreur commiseOn applique la formule derreur de linterpolation de L AGRANGE : t [yi , yi + 1] il existe (t) [yi , yi + 1] tel quePrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS




- p. 18/48

Erreur commiseOn applique la formule derreur de linterpolation de L AGRANGE : t [yi , yi + 1] il existe (t) [yi , yi + 1] tel que f (t) gi (t) = f ((t))(t yi ) yi+1 yi+1 ba f ((t))(t yi )dt f (yi ) = f (t)dt m yi yiPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS




- p. 18/48

Erreur commiseOn applique la formule derreur de linterpolation de L AGRANGE : t [yi , yi + 1] il existe (t) [yi , yi + 1] tel que f (t) gi (t) = f ((t))(t yi ) yi+1 yi+1 ba f ((t))(t yi )dt f (yi ) = f (t)dt m yi yi Soit M = supt[a,b] |f (t)|Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS




- p. 18/48

Erreur commiseOn applique la formule derreur de linterpolation de L AGRANGE : t [yi , yi + 1] il existe (t) [yi , yi + 1] tel que f (t) gi (t) = f ((t))(t yi ) yi+1 yi+1 ba f ((t))(t yi )dt f (yi ) = f (t)dt m yi yi Soit M = supt[a,b] |f (t)|yi+1 yi Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n)


ba f (yi ) f (t)dt m

yi+1

Mthode de S IMPSON

M

yi

(t yi )dt2


(yi+1 yi ) M 2 (b a)2 M 2m2


- p. 18/48

Erreur commise(suite)FinalementPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS




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Erreur commise(suite)Finalementb aPrambule

f (t)dt IR

(b a)2 M 2m

Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS


Remarques :



- p. 19/48


f (t)dt IR

(b a)2 M 2mb a

Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise


Remarques : Pour trouver une valeur approche de de prendre m plus grand que M(ba)2 2

f (t)dt prs, il suft

Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS



- p. 19/48


f (t)dt IR

(b a)2 M 2mb a



Remarques : Pour trouver une valeur approche de de prendre m plus grand que M Lapproximation est exacte si(ba)2 2





- p. 19/48


f (t)dt IR

(b a)2 M 2mb a



Remarques : Pour trouver une valeur approche de de prendre m plus grand que M(ba)2 2



Lapproximation est exacte si la drive f est nulle cest--dire si la fonction f est constante.



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Mthode des trapzesLes points (yi ) i = 0, ..., m sont pris rgulirement espacs sur [a, b] : yi = a + i ba . m Sur chaque intervalle Ii = [yi , yi+1 ], la fonction f est approche par la fonction afne gi concidant avec f en yi et yi+1 soit : (t yi ) gi (t) = f (yi ) + (f (yi+1 ) f (yi )). (yi+1 yi )Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS


Remarque : gi est la fonction afne par morceaux reliant les points de coordonnes (yi , f (yi )).



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Calcul de la formuleyi+1 gi (t)dt yi y y t = yii+1 [ yi+1 yi (f (yi+1 ) f (yi )) yi+1iyi (f (yi+1 ) f (yi )) + f (yi )]dt yi+1 2 yi 2 = 2(yi+1 yi ) (f (yi+1 ) f (yi )) yi (f (yi+1 ) f (yi )) + (yi+1 yi )f (yi ) = yi+1 +yi (f (yi+1 ) f (yi )) yi f (yi+1 ) + yi+1 f (yi ) 2 yi+1 yi = (f (yi+1 ) + f (yi )) 2 = ba (f (yi+1 ) + f (yi )) 2mPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple


Or

b a

f (t)dt =

y1 y0

f (t)dt +b a

y2 y1

f (t)dt + ... +

ym ym1

f (t)dt

Mthode de S IMPSON ( Erreur commise Explication Intgration de G AUSS

Donc lapproximation de donne par :

f (t)dt par la mthode des trapzes est


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Calcul de la formuleyi+1 gi (t)dt yi y y t = yii+1 [ yi+1 yi (f (yi+1 ) f (yi )) yi+1iyi (f (yi+1 ) f (yi )) + f (yi )]dt yi+1 2 yi 2 = 2(yi+1 yi ) (f (yi+1 ) f (yi )) yi (f (yi+1 ) f (yi )) + (yi+1 yi )f (yi ) = yi+1 +yi (f (yi+1 ) f (yi )) yi f (yi+1 ) + yi+1 f (yi ) 2 yi+1 yi = (f (yi+1 ) + f (yi )) 2 = ba (f (yi+1 ) + f (yi )) 2mPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple


Or

b a

f (t)dt =

y1 y0

f (t)dt +b a

y2 y1

f (t)dt + ... +

ym ym1

f (t)dt

Mthode de S IMPSON ( Erreur commise Explication Intgration de G AUSS

Donc lapproximation de donne par : IT =

f (t)dt par la mthode des trapzes est

ba (f (y0 ) + 2f (y1 ) + .... + 2f (ym1 ) + f (ym )) 2m


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ExemplePrambule

3 2 1



1

1 1

2

3

4

5

6



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Erreur commiseOn applique la formule derreur de linterpolation de L AGRANGE : t [yi , yi + 1] il existe (t) [yi , yi + 1] tel que


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Erreur commiseOn applique la formule derreur de linterpolation de L AGRANGE : t [yi , yi + 1] il existe (t) [yi , yi + 1] tel queyi+1 yi

f (t) gi (t) ba (f (yi+1 ) + f (yi )) f (t)dt 2m

= =

1 f ((t))(t yi )(t yi+1 ) 2 1 yi+1 f ((t))(t yi )(t yi+1 )dt 2 yi

do si M = supt[a,b] |f (t)|yi+1 yi

ba f (t)dt (f (yi+1 ) + f (yi )) M 2m

yi+1 yi

(t yi )(yi+1 t)dt


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Erreur commise (suite)Pour le calcul de yii+1 (t yi )(yi+1 t)dt, on effectue un changement de variable. Soit x = t yi (t = x + yi )yi+1 (t yi yPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS


yi )(yi+1

y y t)dt = 0 i+1 i x(yi+1 yi x)dx y y = 0 i+1 i x2 + x(yi+1 yi )dx (yi+1 yi )2 (yi+1 yi )3 + (yi+1 = 3 2 (yi+1 yi )3 = 6 ba 2m (f (yi+1 )

yi )


Donc

yi+1 yi

f (t)dt

+ f (yi )) M

(yi+1 yi ) 12

3


- p. 24/48

Erreur commise (suite)Pour le calcul de yii+1 (t yi )(yi+1 t)dt, on effectue un changement de variable. Soit x = t yi (t = x + yi )yi+1 (t yi yPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS


yi )(yi+1

y y t)dt = 0 i+1 i x(yi+1 yi x)dx y y = 0 i+1 i x2 + x(yi+1 yi )dx (yi+1 yi )2 (yi+1 yi )3 + (yi+1 = 3 2 (yi+1 yi )3 = 6 ba 2m (f (yi+1 ) b a

yi )


Donc

yi+1 yi

f (t)dt

+ f (yi )) M

(yi+1 yi ) 12

3

f (t)dt IT

(b a)3 M 12m2


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Erreur commise (n)Finalementb aPrambule

f (t)dt IT

(b a)3 M 12m2b a



Remarques : Pour trouver une valeur approche de de prendre m plus grand que M f (t)dt prs, il suft(ba)3 12




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f (t)dt IT

(b a)3 M 12m2b a



Remarques : Pour trouver une valeur approche de de prendre m plus grand que Lapproximation est exacte si M f (t)dt prs, il suft(ba)3 12




- p. 25/48


f (t)dt IT

(b a)3 M 12m2b a



Remarques : Pour trouver une valeur approche de de prendre m plus grand que M f (t)dt prs, il suft (ba)3 12


Lapproximation est exacte si la drive seconde f est nulle cest--dire si la fonction f est afne.



- p. 25/48

Mthode de S IMPSONOn considre les 2n + 1 points zi = a + i ba (i = 0, ..., 2n) 2nPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS




- p. 26/48

Mthode de S IMPSONOn considre les 2n + 1 points zi = a + i ba (i = 0, ..., 2n) 2n Sur chaque intervalle Ii = [z2i , z2i+2 ], la fonction f est approche par la parabole gi passant par les points (z2i , f (z2i )) (z2i+1 , f (z2i+1 )) (z2i+2 , f (z2i+2 )) Donc (t z2i+1 )(t z2i+2 ) gi (t) = f (z2i ). (z2i z2i+1 )(z2i z2i+2 )Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite) Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS


(t z2i )(t z2i+2 ) +f (z2i+1 ). (z2i+1 z2i )(z2i+1 z2i+2 ) (t z2i )(t z2i+1 ) +f (z2i+2 ). (z2i+2 z2i )(z2i+2 z2i+1 )



- p. 26/48

Mthode de S IMPSON (suite)Ce qui donne, tout calcul fait :z2i+2

gi (t)dt =z2i

ba (f (z2i ) + 4f (z2i+1 ) + f (z2i+2 )) 6n

Lapproximation de lintgrale par la mthode de S IMPSON est donc IS avec


- p. 27/48

Mthode de S IMPSON (suite)Ce qui donne, tout calcul fait :z2i+2

gi (t)dt =z2i

ba (f (z2i ) + 4f (z2i+1 ) + f (z2i+2 )) 6n

Lapproximation de lintgrale par la mthode de S IMPSON est donc IS avec IS = ba f (z0 ) + 4f (z1 ) + 2f (z2 ) + 4f (z3 ) + 2f (z4 ) + 6n + 2f (z2n2 ) + 4f (z2n1 ) + f (z2n )


- p. 27/48

ExemplePrambule

3 2 1



1

1 1

2

3

4

5

6



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Erreur commiseSoit M = maxt[a,b] |f (4) (t)|b aPrambule Introduction

f (t)dt IS

M (b a)5 2880n4

Mthodes simples de quadrature Exemple Erreur commise Erreur commise(suite)


Remarques :b Pour trouver une valeur approche de a f (t)dt 5 de prendre m plus grand que 4 M (ba) 2880

Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise

prs, il suft


Lapproximation est exacte si .

Explication Intgration de G AUSS


- p. 29/48


f (t)dt IS

M (b a)5 2880n4



Remarques :b Pour trouver une valeur approche de a f (t)dt 5 de prendre m plus grand que 4 M (ba) 2880 (4)

Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS

prs, il suft


Lapproximation est exacte si la drive f est nulle cest--dire si la fonction f est un polynme de degr infrieur ou gal 3.


- p. 29/48


f (t)dt IS

M (b a)5 2880n4



Remarques :b Pour trouver une valeur approche de a f (t)dt 5 de prendre m plus grand que 4 M (ba) 2880 (4)

Mthode des trapzes Calcul de la formule Exemple Erreur commise Erreur commise (suite) Erreur commise (n) Mthode de S IMPSON Exemple Erreur commise Explication Intgration de G AUSS

prs, il suft


Lapproximation est exacte si la drive f est nulle cest--dire si la fonction f est un polynme de degr infrieur ou gal 3.

!

Lerreur est dordre 4 alors que le polynme est de degr 2


- p. 29/48

ExplicationOn pourrait sattendre ce que lerreur de ma mthode de S IMPSON soit de la forme M (b a)4 M = max |f (3) (t)| et Kn3 t[a,b] or on gagne un facteur(ba) n .


- p. 30/48

ExplicationOn pourrait sattendre ce que lerreur de ma mthode de S IMPSON soit de la forme M (b a)4 M = max |f (3) (t)| et Kn3 t[a,b] or on gagne un facteur Pourquoi ?(ba) n .


- p. 30/48


z2i Prenons le cas ou f est un polynme de degr 3.

z2i+1

z2i+2


- p. 30/48


z2i Prenons le cas ou f est un polynme de degr 3. f (t) gi (t) est donc un polynme de degr 3,

z2i+1

z2i+2


- p. 30/48


z2i Prenons le cas ou f est un polynme de degr 3. f (t) gi (t) est donc un polynme de degr 3, il sannule 3 fois en z2i , z2i+1 et z2i+2 ,

z2i+1

z2i+2


- p. 30/48


z2i Prenons le cas ou f est un polynme de degr 3. f (t) gi (t) est donc un polynme de degr 3, il sannule 3 fois en z2i , z2i+1 et z2i+2 , donc f (t) gi (t) = (t z2i )(t z2i+1 )(t z2i+2 ),

z2i+1

z2i+2


- p. 30/48


z2i Prenons le cas ou f est un polynme de degr 3.

z2i+1

z2i+2

f (t) gi (t) est donc un polynme de degr 3, il sannule 3 fois en z2i , z2i+1 et z2i+2 , donc f (t) gi (t) = (t z2i )(t z2i+1 )(t z2i+2 ), il est symtrique par rapport au milieu du segment [z2i , z2i+2 ],


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A z2i z2i+1 A z2i+2

Prenons le cas ou f est un polynme de degr 3. f (t) gi (t) est donc un polynme de degr 3, il sannule 3 fois en z2i , z2i+1 et z2i+2 , donc f (t) gi (t) = (t z2i )(t z2i+1 )(t z2i+2 ), il est symtrique par rapport au milieu du segment [z2i , z2i+2 ],2i+2 donc z2i f (t) gi (t) = 0 Cela peut se gnraliser aux mthodes de N EWTON -C OTES

z


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Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur

Changement de variabl

Mthode de G AUSS -L E

[1, 1]Exemple - I Exemple - II G AUSS -C HEBYSHEV G AUSS -L AGUERRE

Calcul de lerreur sur [a

Autres familles orthogo

Acclration de la mth Conclusion

Cas des intgrales impr


- p. 31/48

IntroductionJusqu prsent le problme a toujours t pos de la faon suivante : On dispose de la valeur de f sur n + 1 points : y0 , y1 , . . . , yn et on cherche a approcher lintgrale de f par la formule :b nPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme

f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E

(2)

Changement de variabl Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur


ou E est lerreur de la mthode







- p. 32/48


f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E

(2)



ou E est lerreur de la mthode On cherche minimiser lerreur E.







- p. 32/48


f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E

(2)



ou E est lerreur de la mthode On cherche minimiser lerreur E. Chaque mthode correspond un choix de valeurs i .







- p. 32/48


f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E

(2)



ou E est lerreur de la mthode On cherche minimiser lerreur E. Chaque mthode correspond un choix de valeurs i . Au mieux on arrive obtenir une mthode dordre n + 1 cest dire dont le terme derreur dpend de maxatb f (n+1) (t) cela signie quelle est exacte si f est un polynme de degr < n + 1.







- p. 32/48


f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E

(2)



ou E est lerreur de la mthode On cherche minimiser lerreur E. Chaque mthode correspond un choix de valeurs i . Au mieux on arrive obtenir une mthode dordre n + 1 cest dire dont le terme derreur dpend de maxatb f (n+1) (t) cela signie quelle est exacte si f est un polynme de degr < n + 1. Si on est capable de calculer f en nimporte quel point,







- p. 32/48


f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E

(2)



ou E est lerreur de la mthode On cherche minimiser lerreur E. Chaque mthode correspond un choix de valeurs i . Au mieux on arrive obtenir une mthode dordre n + 1 cest dire dont le terme derreur dpend de maxatb f (n+1) (t) cela signie quelle est exacte si f est un polynme de degr < n + 1. Si on est capable de calculer f en nimporte quel point, on peut faire varier les yi de manire ce que la mthode soit dordre suprieure.Intgration de G AUSS






- p. 32/48

Posons le problmeSoit f une fonction que lon peut calculer en nimporte quel pointPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









- p. 33/48

Posons le problmeSoit f une fonction que lon peut calculer en nimporte quel point Soit n le nombre de points de calculPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









- p. 33/48

Posons le problmeSoit f une fonction que lon peut calculer en nimporte quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y1 , y2 , . . ., yn les points et 1 , 2 ,. . .,n les coefcientsPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









- p. 33/48

Posons le problmeSoit f une fonction que lon peut calculer en nimporte quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y1 , y2 , . . ., yn les points et 1 , 2 ,. . .,n les coefcients Soit Pk lensemble des polynmes de degr infrieur k.Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









- p. 33/48

Posons le problmeSoit f une fonction que lon peut calculer en nimporte quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y1 , y2 , . . ., yn les points et 1 , 2 ,. . .,n les coefcients Soit Pk lensemble des polynmes de degr infrieur k. On cherche les meilleures valeurs pour i et yi an de minimiser E dans la formule :b nPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur



f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E







- p. 33/48




f (t)dt =a I(f ) i=1

i f (yi ) + EJ(f )

[1, 1]Exemple - I Exemple - II G AUSS -C HEBYSHEV


Autres familles orthogo G AUSS -L AGUERRE

Il y a 2n degrs de libert, on espre obtenir une mthode dordre




- p. 33/48





i f (yi ) + EJ(f )




Il y a 2n degrs de libert, on espre obtenir une mthode dordre 2n i.e. E = 0 si f est un polynme de degr infrieur 2n.




- p. 33/48





i f (yi ) + EJ(f )




Il y a 2n degrs de libert, on espre obtenir une mthode dordre 2n i.e. E = 0 si f est un polynme de degr infrieur 2n. Comment trouver les valeurs de i et yi ?




- p. 33/48





i f (yi ) + EJ(f )




Il y a 2n degrs de libert, on espre obtenir une mthode dordre 2n i.e. E = 0 si f est un polynme de degr infrieur 2n. Comment trouver les valeurs de i et yi ? Quelle est lerreur si f nest pas un polynme de Pn ?Intgration de G AUSS



- p. 33/48

On cherche les meilleures valeurs pour i et yi an de minimiser E dans la formule :b n


f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E




[1, 1]Exemple - I Exemple - II


Par exemple, si a, b IR, on peut toujours faire une intgration sur lintervalle [1, 1] par le changement de variable t = b+a + ba u 2 2b

Autres familles orthogo G AUSS -C HEBYSHEV G AUSS -L AGUERRE



f (t)dt =a

ba 2

1

f (u)du1


- p. 34/48

On cherche les meilleures valeurs pour i et yi an de minimiser E dans la formule :b n


f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E



Ces valeurs dpendent des bornes de lintgrale a et b




Par exemple, si a, b IR, on peut toujours faire une intgration sur lintervalle [1, 1] par le changement de variable t = b+a + ba u 2 2b




f (t)dt =a

ba 2

1

f (u)du1


- p. 34/48

Changement de variableOn cherche les meilleures valeurs pour i et yi an de minimiser E dans la formule :b nPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature

f (t)dt =a i=1

i f (yi ) + E



Ces valeurs dpendent des bornes de lintgrale a et b on se ramne toujours au mmes bornes grce un changement de variable. Par exemple, si a, b IR, on peut toujours faire une intgration sur lintervalle [1, 1] par le changement de variable t = b+a + ba u 2 2b







f (t)dt =a

ba 2

1

f (u)du1


- p. 34/48

Choix des i et yiNous ntudirons pas ici la faon dont sont trouves ces valeurs, il vous suft de savoir que : Les points dvaluations y1 , y2 , . . . , yn sont les racines dun polynme faisant partie dune famille de polynmes orthogonaux. Il existe plusieurs familles de polynmes, chacune est associe une certaine forme dintgrale. Pour calculer une intgrale de la forme f (u)du, il faut utiliser les racines des polynmes de L EGENDRE, cela sappelle la mthode de G AUSS -L EGENDRE On trouve les i grce la rsolution dun systme linaire qui dpend des yi .1 1Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









- p. 35/48

Mthode de G AUSS -L EGENDREPour calculer une intgrale de la forme :bPrambule Introduction

f (t)dta

Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme

On utilise le changment de variable t =b

b+a 2 1

+

ba 2 u

Changement de variabl Choix des i et yi En pratique

Mthode de G AUSS -L E Lalgorithme Calcul de lerreur sur

f (t)dt =a

ba 2

f (u)du1



On approche lintgrale par :1 1 n


f (t)dt

i f (yi )i=1




- p. 36/48

En pratiqueEn pratique les valeurs des i et des yi sont connues et tabules. Par exemple, en double prcision pour la mthode de G AUSS -L EGENDRE 12 points : y1 = 0.98156063424671925069 y2 = 0.90411725637047485667 y3 = 0.76990267419430468703 y4 = 0.5873179542866174472 y5 = 0.36783149899818019375 y6 = 0.12523340851146891547 y7 = 0.12523340851146891547 y8 = 0.36783149899818019375 y9 = 0.58731795428661744729 y10 = 0.76990267419430468703 y11 = 0.90411725637047485667 y12 = 0.98156063424671925069 1 3 5 7 9 11 = = = = = = 0.04717533638651182 0.16007832854334622 0.23349253653835480 0.249147045813402 0.203167426723065 0.10693932599531 2 4 6 8 10 12 = = = = = = 0.10693932599531843 0.20316742672306592 0.24914704581340278 0.233492536538354 0.16007832854334 0.04717533638651- p. 37/48


LalgorithmebPrambule

Lalgorithme de calcul dea

f (t)dt en tenant compte du


changement de variable pour se ramener [1, 1] est le suivant : Donnees debut

: n, (yi )1in , (i )1in , f , a, b

Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur


som 0 ` pour i = 1 a n faire t ba yi + a+b 2 2 som som +i f (t)n Resultat





: som

ba 2

G AUSS -L AGUERRE




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Calcul de lerreur sur [1, 1]Sur [1, 1] si la fonction f nest pas un polynme, mais quelle est C 2n (sa drive 2ne est continue).Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









- p. 39/48

Calcul de lerreur sur [1, 1]Sur [1, 1] si la fonction f nest pas un polynme, mais quelle est C 2n (sa drive 2ne est continue). Alors, on sait par le dveloppement de TAYLOR que x [1, 1] f (x) x x2n1 (2n1) = f (0) + f (0) + + f (0) 1! (2n 1)!xPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur


+0

(x s) f (2n) (s)ds (2n 1)!

2n1








- p. 39/48

Calcul de lerreur sur [1, 1]Sur [1, 1] si la fonction f nest pas un polynme, mais quelle est C 2n (sa drive 2ne est continue). Alors, on sait par le dveloppement de TAYLOR que x [1, 1] f (x) x x2n1 (2n1) = f (0) + f (0) + + f (0) 1! (2n 1)!xPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur


+0

(x s) f (2n) (s)ds (2n 1)!n 1

2n1


[1, 1]

On peut montrer que lerreur E = formen

i f (yi ) f

1 1 (2n)

f (t)dt est de la

Calcul de lerreur sur [a Exemple - I Exemple - II G AUSS -C HEBYSHEV


E avec [1, 1].

=i=1

2n i yi

2 2n + 1

() (2n)!




- p. 39/48

Calcul de lerreur sur [a, b]Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









- p. 40/48

Calcul de lerreur sur [a, b]Sur [a, b], On effectue le changement de variable :b 1Prambule Introduction

f (t)dt =a 1

f

ba a+b u+ 2 2

dt

Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









- p. 40/48

Calcul de lerreur sur [a, b]Sur [a, b], On effectue le changement de variable :b 1Prambule Introduction

f (t)dt =a 1

f

ba a+b u+ 2 2

dt

Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme

Donc cela donne E = ba 22n+1

Changement de variabl Choix des i et yi


2 2n i yi 2n + 1 i=1

n

f (2n) () (2n)!

En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur

[1, 1]Exemple - I

Calcul de lerreur sur [a Exemple - II G AUSS -C HEBYSHEV G AUSS -L AGUERRE

avec [a, b] La mthode est dordre 2n cest dire quelle est exacte si f est un polynme de degr < 2n.





- p. 40/48

Exemple - ISoit f la fonction : f (x) = En calculant la somme :12Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi

1 1 + cos(x)



i f (yi ) = 1.7340961839255953i=1 1

En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur

[1, 1]


Alors que1

f (t)dt = 1.7340961839256152185433 . . .

Exemple - I Exemple - II G AUSS -C HEBYSHEV G AUSS -L AGUERRE





- p. 41/48

Exemple - IISoit f la fonction : f (x) En calculant la somme :12Prambule

x =

Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme


i f (yi )i=1 2

= 1.8857676976624573

Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur


Alors queO

f (t)dt = 1.88561808316412 . . .







- p. 42/48

Exemple - IISoit f la fonction : f (x) En calculant la somme :12Prambule

x =

Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme


i f (yi )i=1 2

= 1.8857676976624573

Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur


Alors queO

f (t)dt = 1.88561808316412 . . . x nest pas drivable en 0.




La mthode nest pas trs efcace car




- p. 42/48

Autres familles orthogonalesIl est possible dutiliser cette mthode pour dautres formes dintgrales :bPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature

w(t)f (t)dta


o [a, b] est un intervalle quelconque et w(x) une fonction positive sur [a, b] appele poids. Pour chaque forme dintgrale, il existe une famille de polynmes orthogonaux, donc des points dinterpolation et des coefcients qui permettent de calculer lintgrale sur [a, b] avec la formule :b a n






Acclration de la mth


w(t)f (t)dt

i f (yi )i=1

Conclusion


- p. 43/48

G AUSS -C HEBYSHEVLa fonction de poids est w(x) = 1 1x2Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur

Lintervalle considr est ] 1, 1[ Les polynmes orthogonaux sont : T0 (x) = 1 T (x) = x 1 T (x) = 2xT n n1 (x) Tn2 (x) = cos(n arccos(x))1 1



Cette mthode est adapte au calcul des intgrales de la forme f (t) dt = 2 1tn




i f (yi ) + Ei=1

G AUSS -C HEBYSHEV G AUSS -L AGUERRE




- p. 44/48

G AUSS -L AGUERRELa fonction de poids est w(x) = exp(x) Lintervalle considr est [0, ] Les polynmes orthogonaux sont : L0 (x) = 1 L (x) = 1 x 1 L (x) = 2n1x L n1 (x) n n 0 nPrambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi


n1 n Ln2 (x)

Mthode de G AUSS -L E En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur

Cette mthode est adapte au calcul des intgrales de la forme exp(t)f (t)dt =i=1



i f (yi ) + E





- p. 45/48

Acclration de la mthodeIl y a deux mthodes pour obtenir une meilleure approximation : Augmenter le nombre de points de G AUSS


- p. 46/48

Acclration de la mthodeIl y a deux mthodes pour obtenir une meilleure approximation : Augmenter le nombre de points de G AUSS Mais cela nest pas toujours efcace


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Acclration de la mthodeIl y a deux mthodes pour obtenir une meilleure approximation : Augmenter le nombre de points de G AUSS Mais cela nest pas toujours efcace Diviser lintervalle dintgration en petits intervalles Soient a0 = a < a1 < < an = b avec ai+1 ai = ba n Alorsb a1 a2 an

f (t)dt =a a0

f (t)dt +a1

f (t)dt + +

f (t)dtan1

on calcule sparment chaque petite intgrale. la borne derreur sur le calcul est :


- p. 46/48

Acclration de la mthodeIl y a deux mthodes pour obtenir une meilleure approximation : Augmenter le nombre de points de G AUSS Mais cela nest pas toujours efcace Diviser lintervalle dintgration en petits intervalles Soient a0 = a < a1 < < an = b avec ai+1 ai = ba n Alorsb a1 a2 an

f (t)dt =a a0

f (t)dt +a1

f (t)dt + +

f (t)dtan1

on calcule sparment chaque petite intgrale. la borne derreur sur le calcul est : |E| < n ba 2n2n+1 n

i=1

2n i yi

2 2n + 1

atb

max f (2n) (t)


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Cas des intgrales impropresParfois on ne peut pas utiliser directement ces mthodes pour le calcul de lintgrale dune fonction :Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









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Cas des intgrales impropresParfois on ne peut pas utiliser directement ces mthodes pour le calcul de lintgrale dune fonction : 1 dt Si lune des bornes de lintgrale est innie t2 1Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









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Si la fonction nest pas dnie sur lune des bornes0

log(t)dt









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log(t)dt1



Si la fonction nest pas drivable sur lune des bornes0

xdt







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log(t)dt1



Si la fonction nest pas drivable sur lune des bornes0

xdt


Alors, on spare lintgrale en de petites intgrales : 1 1


1 dt = 2 t

k=0 k=0

1+10(k+1) 1+10k 2k

1 dt 2 t




ou0

log(t)dt =

log(t)dt2k1

On calcule chaque petite intgrale sparment et on sarrte quand le reste est ngligeableIntgration de G AUSS - p. 47/48

ConclusionPour le calcul de lintgrale dune fonction, on se ramne au calcul de lintgrale dun polynme. Car cest un ensemble de fonctions trs simple. Il permet dapprocher presque toutes les fonctions intgrables. Mais cela ne fonctionne bien que sur les fonctions trs rgulires. On peut couper lintervalle dintgration en petits morceaux. Pour acclrer la convergence Si lintgrale est impropre Si la fonction nest pas assez rgulire (non drivable)Prambule Introduction Mthodes simples de quadrature Intgration de G AUSS Introduction Posons le problme Choix des i et yi En pratique Lalgorithme Calcul de lerreur sur









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