1Automatique

Introduction à la représentation d'état

UV Automatique

ASI 3

Cours 8

2Automatique

Contenu

! Notion de variables d'état" Exemples

" Définitions

! Représentation d'état d'un système continu LTI" Structure d'un modèle d'état

" Représentation schématique d'un modèle d'état

" Représentations d'état équivalentes

! Linéarisation d'un modèle d'état" Modèle d'état d'un système non-linéaire

" Linéarisation autout d'un point de fonctionnement

3Automatique

Introduction à la notion d'état

! Exemple 1 : circuit RC

! Modélisation du circuit RC

# (I) : équation dynamique du 1er ordre fonction de x(t)

# (II) : relation statique reliant la sortie y(t) et la variable x(t)

Le modèle est de la forme

R i(t)

C Vc(t) u(t)

∫=

=+

τidC

tx

tutxtRi1)(

)()()(

Entrée : u(t)

Sortie : y(t) = i(t)

Posons x(t)=Vc(t)

)(1)(1)(

)()()(

tuR

txR

ti

tutxtxRC

+−=

=+&

)(1)(1)(

)(1)(1)(

tuR

txR

ty

tuRC

txRC

tx

+−=

+−=&

(II))()()((I))()()(

tdutcxtytbutaxtx

+=+=&

Pour établir une relation entre y(t) et u(t), on passe par la variable intermédiaire x(t) (tension aux bornes du condensateur)

4Automatique

Introduction à la notion d'état : exemple 1

! Réponse à une entrée échelon

Solution des équations

# A l'instant t0, on ferme l'interrupteur

# Tension initiale aux bornes du condensateur : 00 )()( tttUtu >Γ=

)()( 00 tVtx c=

00

001)()( Uetxetx RC

ttRC

tt

−+=

−−−−

Réponse temporelle

)(1)(1)( tuR

txR

ty +−=

t0 t

x

x∞

t0 t

y

5Automatique

Introduction à la notion d'état : exemple 1

! Remarques

! Définitions

# La connaissance de x(t) (et donc de y(t)) sur l'intervalle de temps [t0, t]ne dépend que de la condition initiale x(t0) et des équations (I) et (II)

# La connaissance de x sur l'intervalle de temps ]-∞, t0] n'est pas nécessaire pour déterminer x sur [t0, t]

# Si à l'instant t1, on applique un nouveau signal d'entrée u1(t), l'évolution de x (t) et y (t) dans l'intervalle [t1, t] ne dépendra que de x(t1) et de u1(t)

# x(t) est appelé l'état du circuit électrique

# L'état d'un système à un instant t représente la mémoire minimaledu passé nécessaire à la détermination du futur

# Les équations (I) et (II) définissent entièrement le comportement dynamique du circuit électrique

6Automatique

Introduction à la notion d'état : exemple 2

! Exemple 2 : système mécanique (masse en translation)

! Modélisation dynamique : équation différentielle et FT

! Représentation d'état

Etats du système

m F

z

Fr=f z .Entrée : u(t) = F

Sortie : y(t) = z(t)

γrr

mF =∑

zfzmF &&& +=)(

1)()()(

fmsssFsZsH

+==

)()(1 tztx =

)()(2 tztx &=)1()()()( 21 txtztx == &&

zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += &

)2()()( 22 txmf

mFtx −=&

(1) et (2) sous forme matricielle

[ ]

=

+

−=

)(

)(01)(

10

)(

)(0

10

)(

)(

2

1

2

1

2

1

tx

txty

Fmtx

tx

mf

tx

tx&

&

Système d'ordre 2

7Automatique

Introduction à la notion d'état : exemple 2

! Représentation d'état

! Remarques

[ ]

=

+

−=

)(

)(01)(

10

)(

)(0

10

)(

)(

2

1

2

1

2

1

tx

txty

Fmtx

tx

mf

tx

tx&

&

avec

=

)(

)()(

2

1

tx

txtX

+=

+=

DuCXty

BuAXX

)(

&

[ ] 0,01,10

,0

10==

=

−= DCm

BmfA

# X(t) est appelé vecteur d'état du système

#Par rapport à la fonction de transfert, le modèle d'état donne des informations sur la représentation interne du système (ici ) qui n'apparaissent pas explicitement dans la fonction de transfert

# Le système d'ordre 2 est converti dans la représentation d'état en une équation différentielle matricielle d'ordre 1 et une équation statique matricielle

z&

8Automatique

Représentation d'état d'un système

! Généralisation à un système multi-entrée, multi-sortie

" Variables

+=

+=

)II(

)I(

DUCXY

BUAXX&

=

)(

)()(

1

tx

txtX

n

M

# X(t) : vecteur d'état

(n : nombre d'états)

(I) : équation d'état ou équation de commande

(II) : équation de sortie ou équation d'observation

ntX R∈)(

=

)(

)()(

1

tu

tutU

m

M

# U(t) : vecteur des entrées

(m : nombre d'entrées)mtU R∈)(

=)(

)()(

1

ty

tytY

p

M

# Y(t) : vecteur des sorties

(p : nombre de sorties)ptY R∈)(

9Automatique

Représentation d'état d'un système

" Matrices de la représentation d'état

" Remarques$

$

# A : matrice d'étatnnA ×∈ R (matrice carrée)

# B : matrice d'entréemnB ×∈ R

# C : matrice de sortienpC ×∈ R

# D : matrice de couplagempD ×∈ R

(I) : l'équation d'état est une équation dynamique d'ordre 1(II) : l'équation de sortie est une équation statique linéairereliant les sorties aux entrées et aux états

Toute la dynamique interne du système est résumée dans l'équation d'état, notamment dans la matrice A. En effet, si U=0, on a le système libre caractérisé par .AXX =&

Souvent 0=D

Les valeurs propres de A sont les pôles du système

10Automatique

Représentation schématique du modèle d'état

! Interprétation du schéma" Equation d'état = vue interne du système

" A représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du système

" B représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système

" C indique les capteurs permettent d'obtenir les sorties

" D indique le couplage direct entre les entrées et les sorties

B U

D

A

∫++++

C

Y

X X&Equation d'état (partie dynamique)

Equation de sortie (partie statique)

11Automatique

Représentations d'état équivalentes! Unicité de la représentation d'état ?

! Exemple : circuit RLC

La représentation d'état d'un système est-elle unique ? Non !!

Le modèle d'état obtenu dépend du choix des états. On peut associer à un même système, plusieurs vecteurs d'état conduisant ainsi à différentes représentations d'états équivalentes

R

u(t)

i(t)

C Vc(t)

L

)()()()( tutVdttdiLtRi c =++

CtqtVc)()( =

Entrée : u(t)

Sorties :

=

)()(

)(titV

tY c

Etats : énergie stockée dans le circuit)()(1 tqtx =

)()(2 ttx φ=: charge du condensateur

: flux dans l'inductance

Lois de l'électricité

∫= t ditq 0 )()( ττCharge :

Flux : )()( tLit =φ

12Automatique

Représentations d'état équivalentes

! Circuit RLC

! Remarques

avec

)()()(1)()( dtutqCttLR =++φφ &

)()(1)( atqCtVc =

∫= t ditq 0 )()( ττ

)()( tLit =φ )()(1)( btLti φ=

)()(1)()( ctLtitq φ==&

)()()()( tutVdttdiLtRi c =++

Modèle d'état(c) et (d)

+=+=DuCXYBuAXX&

=

−−

=10

,1

10B

LRCL

A

0,1001

=

= D

LC

C(a) et (b)

=

)()(

)(ttq

tXφ

# Pour avoir les sorties du système à partir des états, il faut disposer de capteurs permettant de mesurer le flux et la charge

# N'ayant pas ces capteurs, changeons de variables d'état

13Automatique

Représentations d'état équivalentes

! Circuit RLC : autre modèle d'état

Nouveaux états :

=

)()(

)(titV

tX cT

∫= tc diCtV 0 )(1)( ττ )(1)( tiCtVc =&

)()()()( tutVdttdiLtRi c =++ )(1)()(1)( tuLtiL

RtVLdttdi

c +−−=

avec

Nouveau modèle d'état

+=+=

uDXCYuBXAX

TTT

TTTT&

=

−−

=L

BLRL

CA TT 1

0,

110

0,1001

=

= TT DC

# Est-il possible d'établir une relation entre la réalisation et la réalisation ?

),,,( DCBA),,,( TTTT DCBA

14Automatique

Représentations d'état équivalentes

! Changement de variables

=

)()(

)(ttq

tXφ

=

=

LtCtq

titV

tX cT )(

)()()(

)(φ )(

1001

)( tXL

CtXT

= avec

Matrice de transformation T )()( 1 tXTtXT−=

=−

LC

T10011

XTXT&& 1−=

avec

( )BuAXTXT += −1& BuTATXTX TT11 −− +=&

DuCXY += DuCTXY T +=

uL

CX

LC

LRCL

LC

X TT

+

−−

=

10

1001

00

110

1001&

uL

XLRL

CX TT

+

−−

=10

110&

uXL

CL

CY T .0

00

1001

+

= TXIY 2=

On retrouve le résultat précédent

15Automatique

Représentations d'état équivalentes

! Cas général

" Changement de vecteur d'état

" Représentation d'état équivalente

" Remarque# Les matrices A et AT sont semblables (A et AT ont les mêmes

valeurs propres) % la dynamique du système est préservée

Soit

+=+=DUCXYBUAXX& une représentation d'état d'un systèmentX R∈)(

Transformation linéaire : )()( tTXtX T=

T : matrice de transformation nnT ×∈ R

T est une matrice carrée d'ordre n régulière

avec

+=+=

UDXCYUBXAX

TTT

TTTT& ATTAT

1−= CTCT =

BTBT1−= DDT =

16Automatique

Choix des variables d'état

! Préliminaires et définitions# L'état d'un système à l'instant t0 est un n-uplet X(t0) d'un espace E

dont la connaissance associée à celle de l'entrée u(t) dans l'intervalle [t0, t] permet de connaître la sortie y(t).

# E est appelé espace d'état. E est un sous-espace de Rn.

# Le nombre minimal d'état correspond à l'ordre du système

# Le concept d'état découle donc d'une suite de grandeurs physiques (courant, vitesse, …) ou non suffisantes pour caractériser le fonctionnement d'un système. Le choix des états est laissé au libre arbitre du concepteur

#Par une transformation linéaire, il est possible de passer d'unereprésentation d'état à une autre équivalente

# Un système admet donc une infinité de représentation d'état

#Par la transformation linéaire , on peut avoir des variables d'état qui physiquement ne correspondent à rien

)()( tTXtX T=

17Automatique

Choix des variables d'état

! Quelques éléments pour la sélection des variables d'étatOn choisit souvent comme variables d'états, des éléments du système susceptibles d'être des réservoirs d'énergie

Masse m

Ressort k

Inductance

Condensateur

EtatEnergieElément

Colonne de fluide de pression p

Moment d'inertie J

Colonne de fluide de hauteur h

EtatEnergieElément

221

cCV cV

221 Li i

221 mv

221 kx

dtdxv =

x

2)/(21 pV β

221 ωm

x

dtdθω =θ

p

221 Ahρ h

18Automatique

Linéarisation du modèle d'état

! Un peu d'humour

! Modèle d'état d'un système non-linéaire stationnaire

# Définition d'un automaticien heureux : c'est celui qui travaille sur des systèmes linéaires !!

# Mais le monde réel est non-linéaire. Comment faire ? Prolonger le bonheur par linéarisation

==

))(),(())(),((

tUtXgYtUtXfX& ntX R∈)( mtU R∈)( ptY R∈)(avec

f et g sont des champs de fonctions non-linéaires

La courbe est une trajectoire dans l'espace d'état))(),(),(( 0tXtUtXfX =&

# Forme matricielle

))(,),(),(,),((

))(,),(),(,),((

11

1111

tUtUtXtXfX

tUtUtXtXfX

mnnn

mn

LL&M

LL&

=

=

))(,),(),(,),((

))(,),(),(,),((

11

1111

tUtUtXtXgY

tUtUtXtXgY

mnnp

mn

LL

M

LL

=

=

# Equation d'état # Equation de sortie

19Automatique

Linéarisation du modèle d'état

! Point nominal ou point de fonctionnement

! Perturbations

Soit , une entrée nominale et soit l'état correspondant càd

# Soient des perturbations faibles u(t) affectant

défini une trajectoire dans l'espace d'état qui peut se réduire à un point de fonctionnement

))(),(( tUtXfX =&

U X

))(),(( tUtX),( UX

U )()()( tutUtU +=

)()()( txtXtX +=# Ces perturbations affectent le vecteur d'état

)()()( tytYtY +=

)()()( txtXtX &&& += ))()(),()(())(),(( tutUtxtXftUtXfX ++==&

))(),(()( tUtXgtY =Soit la sortie correspondanteY

# Les perturbations affectent les sorties

))()(),()(())(),(()( tutUtxtXgtUtXgtY ++==

20Automatique

Linéarisation du modèle d'état

! Linéarisation autour du point ),( UX

On réalise un développement de Taylor au 1er ordre de f et g

∂∂

++∂∂

+∂∂

++∂∂

+≈++=

∂∂++∂

∂+∂∂++∂

∂+≈++=

mUXm

p

UX

pn

UXn

p

UX

pppp

mUXmUX

nUXnUX

uUg

uUg

xXg

xXg

UXgtuUtxXgY

uUguU

gxXgxX

gUXgtuUtxXgY

,1

,1,1

,1

,

11

,11

,

11

,11

111

),())(),((

),())(),((

LL

M

LL

# Equations d'état

# Equations de sortie

∂∂++∂

∂+∂∂++∂

∂+≈++=

∂∂++∂

∂+∂∂++∂

∂+≈++=

mUXm

n

UX

nn

UXnn

UX

nnnn

mUXmUX

nUXnUX

uUfuU

fxXfxX

fUXftuUtxXfX

uUfuU

fxXfxX

fUXftuUtxXfX

,1

,1,1

,1

,

11

,11

,

11

,11

111

),())(),((

),())(),((

LL&M

LL&

21Automatique

Linéarisation du modèle d'état

# Forme matricielle

++≈+=

++≈+=

)()(),()()()(

)()(),()()()(

tuGtxGUXgtytYtY

tuFtxFUXftxtXtX

UX

UX&&&

+=

+=

)()()(

)()()(

tuGtxGty

tuFtxFtx

UX

UX&

Modèle d'état linéarisé

UXnnn

n

UXTX

Xf

Xf

Xf

Xf

XfF

,1

111

,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂=

L

MM

L

UXnnn

m

UXTU

Uf

Uf

Uf

Uf

UfF

,1

11

1

,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂=

L

MM

L

UXnpp

n

UXTX

Xg

Xg

Xg

Xg

XgG

,1

111

,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂=

L

MM

L

UXmpp

m

UXTU

Ug

Ug

Ug

Ug

UgG

,1

111

,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂=

L

MM

L

FX, FU, GX et GU sont les matrices jacobiennes des dérivées partielles de f et g respectivement par rapport à X et U et évaluées au point ),( UX

UXUX GDGCFBFA ==== ,,,Matrices du modèle :

22Automatique

Linéarisation d'un modèle d'état

! Exemple : ressort à comportement non-linéaire

m

z

ress

ort

F Equation différentielle3

21 zkzkFzm ++=&&

Modèle d'état

# Modèle non-linéaire

# Etats du système )()(1 tztx = )()(2 tztx &=

)()(1 tztx = )()()( 21 txtztx == &&

Fzkzkzm ++= 321&&

mFxm

kxmktx ++= 3

12

11

2 )(&

( )

++==

mtutxm

ktxmk

txtutxtxf

tx

tx)()()(

)()(),(),(

)(

)(3

12

11

221

2

1&

&

# Entrée Ftu =)( # Sortie )()( tzty =

)())(),(),(()( 121 txtutxtxhty ==

23Automatique

Linéarisation d'un modèle d'état

! Exemple# Détermination du point de fonctionnement ),( UX

On choisit comme point de fonctionnement, un point stationnaire c'est-à-dire tel que

( ) 0)(),(),( 21 =tutxtxf

0))(),(( == tUtXfX&

=

++ 0

031

21

12

muxm

kxmk

x

02 =x

031

21

1 =+ xmkxm

k

De plus, on prendra .0=u On a alors

01 =x 211 kkx −±=ou

Points de fonctionnement :

0,

0

0ou

−±0,

0

21 kk),( UX

24Automatique

Linéarisation d'un modèle d'état : exemple

# Premier point :

0,

0

0

UXUX

mxkkxf

xf

xf

xf

A,

2121

,22

12

21

11

0)3(

10

+=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

∂∂∂∂

=m

ufuf

B

UX1

0

,2

1

]01[,21

=

∂∂

∂∂=

UXxh

xhC

=

0

10

1 mkA

0,

=

∂∂=

UXuhD

# Matrices

# Deuxième point :

−±0,

0

21 kk

−=

02

10

1 mkA

Seule la matrice de commande A change selon les points de fonctionnement