Ecole national dElectronique et de Anne universitaireCommunication de Sfax 2014-2015ENETCOM

Cours de Probabilit-Statistiqueslabor par les enseignants de lENETCOM

Filires 1ING

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Chapitre 1

Rappel de combinatoire - Langage desprobabilits

I Dnombrement

1.1 La rgle de multiplicationExemple 1 On jette deux ds non truqus numrots de 1 6. On sintresse aux rsultatsamens par les deux ds. Donner le nombre des rsultats possibles.

Thorme 1 Si une premire opration peut se raliser de n1 faons, une deuxime de n2faons, une keme de nk faons, alors la squence des k oprations peut se raliser de n1n2 nkfaons.

1.2 Les combinaisons

1.2.1 Combinaison sans rptition

Dfinition 1 Soit un ensemble n lments distincts, A = {a1, ,an}. On appelle combi-naison sans rptition de p lments choisis parmi les n lments de A, une disposition nonordonne de ces p lments dans laquelle chaque lment figure une seule fois.

Exemple 2 On tire dune urne, contenant 5 boules, 3 boules simultanment. Dnombrer cettesituation.

Thorme 2 Le nombre de combinaisons sans rptition possibles de p lments parmi nlments distincts est donn par :

Cpn =n!

(n p)!p!, p n, avec n! = n(n 1) 1, 0! = 1.

Proprit 1 1. C0n = 12. Cnn = 13. C1n = n4. Cpn =

nnpC

pn1

5. Cpn =npCp1n1

6. Cpn = Cpn1 + C

p1n1

7. Binme de Newton: a,b IR, n IN, (a + b)n =n

k=0 Ckna

kbnk

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1.2.2 Combinaison avec rptition

Dfinition 2 Soit un ensemble n lments distincts, A = {a1, ,an}. On appelle combi-naison avec rptition de p lments choisis parmi les n lments de A, une disposition nonordonne de ces p lments dans laquelle chaque lment peut figurer plus quune fois.

Exemple 3 Dterminer de combien de faons diffrentes peut-on ranger 5 cahiers indiscer-nables dans 2 tiroirs discernables, o chaque tiroir peut recevoir un nombre quelconque decahiers : 0,1, ,5.

Thorme 3 Le nombre de combinaisons possibles, avec rptition ventuelle, de p lmentsparmi n lments distincts est donn par :

Cpn+p1 =(n + p 1)!(n 1)!p!

1.3 Les arrangements

1.3.1 Arrangements sans rptition

Dfinition 3 Soit un ensemble n lments distincts, A = {a1, ,an}. On appelle arrange-ment sans rptition de p lments choisis parmi les n lments de A, une disposition ordonne(p-uplet) de ces p lments dans laquelle chaque lment peut figurer une seule fois.

Exemple 4 Cinq quipes de mme niveau e1, ,e5, participent un tournoi de football. Decombien de faons diffrentes peut-on avoir le classement des trois premires quipes?

Exemple 5 On considre une urne contenant 10 boules. On tire de cette urne 3 boules suc-cessivement et sans remise. Dterminer le nombre des rsultats possibles.

Thorme 4 Le nombre darrangements sans rptition de p lments parmi n lments dis-tincts est donn par :

Apn =n!

(n p)!,p n.

Proprit 2 Apn = (n (p 1))Ap1n

1.3.2 Arrangements avec rptition

Dfinition 4 Soit un ensemble de n lments distincts, A = {a1, ,an}. On appelle arrange-ment avec rptition de p lments choisis parmi les n lments de A, une disposition ordonne(p-uplet) de ces p lments dans laquelle chaque lment peut figurer plus quune fois.

Exemple 6 On tire dune urne, contenant 5 boules, 3 boules successivement avec remise.Dnombrer cette situation.

Thorme 5 Le nombre darrangements avec rptition de p lments parmi n lments dis-tincts est donn par : np

1.4 Les permutationsDfinition 5 Soit un ensemble n lments distincts ou non, A = {a1, ,an}. On appellepermutation des n lments de A une disposition ordonne de ces n lments.

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1.4.1 Permutations sans rptition

Exemple 7 Cinq quipes de mme niveau, e1, ,e5, participent un tournoi de football.Dterminer le nombre de classements possibles la fin du tournoi.

Thorme 6 Le nombre de permutations (sans rptition) possibles de n lments distinctsA = {a1, ,an} est donn par

Pn = Ann = n! = n(n 1)(n 2) (2)(1) avec 1! = 1, 0! = 1.

1.4.2 Permutations avec rptition

Exemple 8 Cinq tudiants tunisiens, trois tudiants franais et deux tudiants marocainspassent un concours de statistique. Le classement final sera tabli selon la nationalit et in-dpendamment de tout autre critre. Dterminer le nombre de classements possibles ceconcours.

Thorme 7 Le nombre de permutations, avec rptition, possibles de n lments non tousdistincts est donn par :

P n1nkn =n!

n1! nk!, avec

ki=1

ni = n.

II Langage des probabilits

1.5 Notions de base: Exprience alatoire, ensemble fon-damental, vnement

Dfinition 6 Une exprience E est dite alatoire si le rsultat nest pas prvisible aveccertitude. (on dit aussi preuve alatoire)

Lensemble des rsultats possibles associs une exprience alatoire est appel ensemblefondamental ou univers, on le note .

Un vnement A est un sous ensemble de cest dire un ensemble de rsultats possiblesde lexprience alatoire.

Lvnement {a}, constitu par un seul lment de est appel vnement lmentaire. Lensemble vide (aucun rsultat) est appel vnement impossible. Lensemble est appel vnement certain.

Exemple 9 1. E1 : Jet dun d numrot de 1 6. 1 =?A1 : " Obtenir un nombre pair en lanant un d "

2. E2 : Jet dune pice de monnaie 2 =?3. E3 : note obtenue dans une matire 3 =?

1.5.1 Relations entre vnements

Soient A et B deux vnements,

Exemple 10 E: jet dun d, A: obtenir un nombre pair, B : obtenir un nombre premier

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1. Runion : A B est lvnement qui se produit si A ou B ou les deux est ralis.

A B = {w ,w A ou w B}

2. Intersection : A B est lvnement qui se produit si A et B sont raliss les deux lafois.

A B = {w , w A et w B}

3. Complmentaire ou contraire : A est lvnement qui se produit quand A nest pas ralis(on dit aussi non A)

A = \A = {w , w / A}.

4. Incompatibles: A et B sont dits incompatibles ou disjoints si AB = Il est vident queA et A sont incompatibles. Les vnements lmentaires dun espace fondamental sontaussi incompatibles deux deux.

5. Systme complet dvnements: soit un espace fondamental. On dit que A1, ,Ak estun systme complet (ou une partition) de si:

Ai Aj = , i, j {1, ,k} avec i 6= j. A1 Ak = ki=1Ai =

1.6 Espace probabilisable et probabilitExemple 11 Vous faites un pari avec une pice de monnaie: vous jetez la pice, vous gagnezsi cest Pile, vous perdez si cest Face.La connaissance des rsultats possibles de lexprience : = {P,F} nest pas suffisante. Onaimerait savoir quelles sont les chances davoir Pile cest dire de gagner: pour dcrire uneexprience alatoire on aimerait associer chaque vnement sa frquence dapparition.

1.6.1 Espace probabilisable

Dfinition 7 Soit lespace fondamental associ une exprience alatoire et soit P()lensemble des vnements quon peut former partir de . Le couple (,P()) est appelespace probabilisable.

Exemple 12 Exprience E: jet dune pice, P()?

Dfinition 8 Soit (,P()) un espace probabilisable. On appelle probabilit sur (,P()),lapplication P dfinie par:

P : P() [0,1]A P (A)

vrifiant les proprits suivantes: P () = 1 P (iAi) =

i P (Ai) pour toute runion finie ou dnombrable dlments de P() deux

deux incompatiblesOn appelle alors espace probabilis le triplet (,P(),P )

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Equiprobabilit Soit un univers fini = {w1,w2, ,wn}. Si tous les vnements lmentairesont la mme probabilit, on dit quil y a quiprobabilit. Lespace probabilis est alors uniforme.Dans ce cas pour tout vnement A,

P (A) =card(A)

card().

Exemple 13 Calculer la probabilit des vnements lmentaires dans les expriences E1 etE2. Calculer P (A1) et P (A1).

Proprit 3 Soit (,P(),P ) un espace probabilis, A et B deux vnements.1. P (A) = 1 P (A).2. si A B alors P (A) P (B) et P (B\A) = P (B) P (A)3. P () = 04. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)5. P (A B) = P (B) P (A B)6. soit A1,A2, ,Ak un systme complet dvnements et soit B alors

ki=1

P (Ai) = 1 et P (B) =k

i=1

P (Ai B)

7. 0 P (A) 1.

1.7 Probabilit conditionnelleDfinition 9 Soit (,P(),P ) un espace probabilis et soit A, B deux vnements de avecP (B) 6= 0. On appelle probabilit conditionnelle de A sachant B, et on note P (A/B) , laprobabilit de ralisation de lvnement A sachant que lvnement B sest ralis.

P (A/B) =P (A B)

P (B).

Remarque 1 1. Dans le cas o A et B sont incompatibles, P (A/B) = P (B/A) = 02. Si B A, P (A/B) = 13. A/B est un vnement, son complmentaire est A/B do P (A/B) = 1 P (A/B).

Proprit 4 1. P (/B) = 12. Formule des probabilits composes: si P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0 alors,

P (A B) = P (A/B)P (B) = P (B/A)P (A)

3. gnralisation: P (A B C) = P (A/B C)P (B C) = P (A/B C)P (B/C)P (C)4. Formule des probabilits totales: si A1, ,Ak est un systme complet dvnements de

avec P (Ai) 6= 0, i alors B ,

P (B) =k

i=1

P (B Ai) =k

i=1

P (B/Ai)P (Ai)

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5. Thorme de Bayes

P (Ai/B) =P (B/Ai)P (Ai)k

j=1 P (B/Aj)P (Aj), i = 1, ,k

6. Un cas particulier:

P (B) = P (B/A)P (A) + P (B/A)P (A), P (A/B) =P (B/A)P (A)

P (B)

7. Si A1 et A2 sont incompatibles alors P (A1 A2/B) = P (A1/B) + P (A2/B)

Exemple 14 Trois urnes identiques contiennent respectivement:U1: 20 boules blanches et 5 boules rougesU2: 2 boules blanches et 98 boules rougesU3: 4 boules blanches et 6 boules rougesOn tire au hasard une boule, elle est blanche. Quelle est la probabilit pour quelle proviennede U1.

1.8 Indpendance dvnementsDfinition 10 Soit A et B deux vnements tels que P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0. A et B sont ditsindpendants si la connaissance du fait que B sest ralis na pas dinfluence sur les chancesdapparition de A c..d

P (A/B) = P (A) et P (B/A) = P (B)

ou encoreA et B sont indpendants ssi P (A B) = P (A)P (B)

Exemple 15 On lance en mme temps deux ds cubiques non truqus. On note les chiffresqui apparaissent sur les deux ds. soit les vnements A:on trouve 2 en lancant le 1er d etB: on trouve 5 en lancant le 2eme d.A et B sont-ils indpendants?

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