Mecanique des fluidesVersion mise a jour le 17 septembre 2014

Table des matieres

1 Objectifs et plan du cours 2

2 Generalites sur les fluides 2

2.1 Notion de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Forces dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Forces de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Forces de surface, tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . 32.2.3 Lois de comportement, fluides newtoniens . . . . . . . . . . . 32.2.4 Tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Proprietes mecaniques macroscopiques dun fluide . . . . . . . . . . 42.3.1 Masse volumique, densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.2 Viscosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Cinematique des fluides 5

3.1 Description lagrangienne, eulerienne ; derivee particulaire dun champ 53.2 Lignes et surfaces particulieres dun ecoulement . . . . . . . . . . . . 63.3 Evolution dune particule fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Flux, debits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Ecoulements particuliers (mais frequents) . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Elements de dynamique des fluides 8

4.1 Theoremes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.1 Variables intensives et extensives . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.2 Volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.3 Theoremes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Conservation de la quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.1 Forme integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3.2 Forme locale : loi fondamentale de la dynamique des fluides . 11

5 Le fluide newtonien 11

5.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Cas du fluide newtonien incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3 Conditions auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3.1 Paroi solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3.2 Interface entre deux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.4 Exemples de solutions exactes des equations de Navier-Stokes . . . . 13

1

6 Ecoulements de fluide parfait 13

6.1 Equation dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Theoreme de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Analyse dimensionnelle et similitude 14

7.1 Analyse dimensionnelle des equations de Navier-Stokes incompressibles 147.2 Theoreme de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3 Exemples dapplication du theoreme de Vaschy-Buckingham . . . . . 14

8 Formulaire 15

8.1 Operateurs differentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.1.1 Coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.1.2 Coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8.2 Identites vectorielles, tensorielles, et integrales . . . . . . . . . . . . . 17

2

1 Objectifs et plan du cours

Ce cours introduit les concepts les plus elementaires de la mecanique des fluides,et la facon dutiliser ces concepts pour resoudre des problemes de mecanique desfluides simples. Cela passe par :- lintroduction de definitions elementaires : Quest-ce quun fluide ? Un debit ? Uneviscosite ? Etc ;- lintroduction des outils mathematiques de la mecanique des fluides : ApprochesLagrangienne ou Eulerienne, equations de base, Analyse dimensionnelle, etc ;- la formulation de problemes, et lanalyse qui conduit au choix de la methode deresolution.

Le cours se compose de 7 sections autres que cette introduction. Certaines partiespeuvent etre incompletes : Elles seront traitees lors du cours oral.

La section 2 est (elle aussi) introductive : Nous definissons ce quest un fluide, sesproprietes mecaniques, les grandeurs qui le caracterisent. Nous definissons egalementles grandeurs qui caracterisent son ecoulement. Nous en profitons aussi pour fairequelques rappels de calcul vectoriel.

La section 3 traite de la cinematique des fluides : comment decrire le mouvementdun fluide. Ici, nous ne parlons pas encore des forces qui generent ce mouvement.

La section 4 pose les bases mathematiques pour letude de la dynamique des

fluides. Il y a donc des forces. Brievement, il sagit de reecrire la loi

F = ma ,bien connue pour les points materiels, dans le cas dun fluide, afin de diagnostiquerson mouvement (quand nous connaissons les forces en jeu) ou bien les forces (quandnous connaissons le mouvement du fluide).

Les sections 5 et 6 examinent les lois etablies precedemment dans les cas parti-culiers des fluides newtoniens et parfaits. Dans le cas du fluide parfait, lequation deBernouilli, apercue en 2eme annee de licence, est re-derivee.

La section 7 traite de lanalyse dimensionnelle et des similitudes, theorie tresutilisee pour etudier des ecoulements sur des modeles reduits. Nous abordons aussile theoreme de Vaschy-Buckingham. Ce theoreme est un outil tres puissant, quipermet de resoudre simplement certains problemes physiquement tres complexes.Mais cette approche requiert du bon sens et de la pratique ; lerreur nest jamaisbien loin pour le neophyte...

Enfin, la section 8 fournit un formulaire daide au calcul differentiel et vectoriel.

2 Generalites sur les fluides

2.1 Notion de fluide

Un solide possede la propriete de pouvoir se maintenir au repos meme soumisa certains efforts de cisaillement. Ce nest pas le cas dun fluide, qui ne peut pasetre maintenu au repos quand des efforts de cisaillement lui sont appliques. Cestla definition intuitive. Plus formellement, un fluide est un milieu continu tel quevous lavez defini en Licence 2. La difference entre un milieu continu solide et unmilieu continu fluide se fait par la loi de comportement.

La famille des fluides se composent des liquides et des gaz. La premiere difference

3

entre un liquide et un gaz, pour la mecanique, est la compressibilite. Alors quunliquide est souvent peu compressible (voire incompressible), les gaz le sont fortement.Souvent dautres elements distinguent nettement les liquides des gaz : la capacitecalorifique, la densite, par exemple. Mais les mouvements des liquides et des gaz sontregis par les memes lois physiques.

2.2 Forces dans un fluide

2.2.1 Forces de volume

Les forces de volume sont les forces exterieures au milieu fluide auquel on sinteresse,hormis les forces de contact. Il sagit donc des forces de gravite, electriques, electromagnetiquesen general, mais aussi les forces dinertie dans des referentiels non-galileens. Nousnotons la force de volume elementaire

dFv(x) = fvd, (1)

(x) etant la masse volumique du fluide (qui peut varier spatialement, voire tempo-rellement) en kg.m3, g le vecteur gravite en N.kg1, et d un element de volume.

2.2.2 Forces de surface, tenseur des contraintes

Les efforts interieurs dans un milieu continu sont representes par le tenseur descontraintes, que lon notera (x). La force elementaire qui sexerce sur un elementde surface ds orientee par le vecteur unitaire n(x) dun element de volume de fluidesecrit :

dFs = (x).n(x)ds (2)

ou le point denote le produit tensoriel. Lunite dune contrainte est le N.m2. Levecteur (x).n(x), qui est la derivee de la force par rapport a la surface, est appelele vecteur contrainte.

La contrainte la plus simple a apprehender est celle de pression, dune part parcequelle existe meme lorsque le fluide est au repos (on se souviendra a cet egard la loimathematique de lequilibre hydrostatique), dautre part parce quelle ne contientpas de composantes de cisaillement. Le tenseur est diagonal, represente par :

(x) = p(x)1, (3)

ou 1 represente le tenseur identite.

2.2.3 Lois de comportement, fluides newtoniens

Dune facon plus generale, nous ecrirons le tenseur des contraintes dans un fluideen mouvement sous la forme :

(x) = p(x)1 + (x), (4)

ou (x) represente le tenseur des contraintes dorigine visqueuse. Pour les fluidesnewtoniens, cest-a-dire les fluides usuels, comme leau, lair, lhuile, etc, est unefonction lineaire du gradient de la vitesse du fluide. Il secrit :

= (div u)1 + 2d, (5)

4

ou et sont les coefficients de viscosite de Lame, u le champ de vitesse du fluide,et d le tenseur de taux de deformation du fluide, d = (grad u + (grad u)T )/2, sur

lequel nous reviendrons plus en detail dans la section 3. est appele la viscosite devolume du fluide, est la viscosite dynamique. Pour certains fluides simples,ils sont lies par la relation de Stokes :

3+ 2 = 0. (6)

2.2.4 Tension superficielle

Les forces de tension superficielle se retrouvent a linterface entre 2 fluides. Onles classe un peu a part car dans la plupart des cas de fluide en mouvement, ellessont negligeables devant les autres forces. Mais elles sont tres importantes dansdautres situations : equilibre dune goutte deau, effets de capillarite, etc. La tensionsuperficielle est due aux forces intermoleculaires dans un liquide. Chez les gaz, cesforces sont si faibles quil ny a pas de consequence en terme de tension superficielle.

La tension superficielle se caracterise mathematiquement par un coefficient detension superficielle pour une certaine interface gaz/liquide. Imaginons un seg-ment trace sur la surface du liquide (une goutte deau par exemple). Sur la pressiondevient trop forte dans la goutte deau (on peut aussi imaginer un ballon de bau-druche), celle-ci peut se dechirer le long du segment. La force qui maintient cesegment en place et empeche son dechirement (jusqua un certain point) est la forcede tension superficielle, qui sapplique, donc, perpendiculairement au segment. Sonamplitude est proportionnelle a la longueur du segment, ainsi quau coefficient detension superficielle :

df = dl, (7)

avec df dl. Quelques exemples de valeur pour : air/eau : 72 103N m1 ; air/mercure : 487 103N m1 ; air/huile : 30 103N m1 ; air/alcool ethylique : 22 103N m1

Dun point de vue macroscopique, on note que : les forces de tension superficielle sont nulles si la surface du liquide est plane

(car il ny a pas dautre force a equilibrer) ; Il existe une discontinuite (saut) de pression au passage dune interface soumise

a de la tension superficielle ; Il y a de la tension superficielle en presence dun troisieme milieu. Par exemple,

une goutte posee sur une surface. Langle de contact de leau avec la surfacerenseigne sur la mouillabilite de la surface par le liquide.

2.3 Proprietes mecaniques macroscopiques dun fluide

2.3.1 Masse volumique, densite

Masse volumique : , en kg m3.Densite : d = /w, ou w est la masse volumique de leau (1000).

5

2.3.2 Viscosite

La viscosite est due a linteraction des molecules du fluide entre elles et traduitla resistance du fluide a une force de cisaillement. La viscosite dynamique estnotee , exprimee en Pa.s. Elle lie la contrainte tangentielle (cisaillement) au tauxde cisaillement du fluide, comme cela a ete evoque en section 2.2.3. Dans le casdun fluide newtonien, la viscosite ne depend pas elle-meme du taux de cisaillement.Enfin, on utilise souvent la viscosite cinematique, = /.

3 Cinematique des fluides

Dans cette section et les suivantes, il est souvent fait mention de particulesfluides ou de parcelles de fluide. Il est entendu, par ces denominations, unvolume elementaire de fluide (mais malgre tout macroscopique) soumis au transportet aux contraintes presentes au sein du fluide. Mais ce volume reste indivisible.

3.1 Description lagrangienne, eulerienne ; derivee particulaire dunchamp

Dans la description dun mouvement fluide, lapproche lagrangienne se concentresur les particules fluides. Soit M une particule initialement (a linstant t = t0) situeea la position X0 dans le volume de fluide. Il sagit de determiner la position X(t) decette meme particule a un autre instant t ulterieur, donc de determiner la fonction

X(t) = (X0, t). (8)

Dune facon plus generale, toute grandeur caracteristique de la particule (temperature,masse volumique, etc) secrit sous une forme similaire. En particulier, la vitesserepresente la vitesse de la particule qui peut etre considere comme un point materiel.Elle secrit donc :

U(X, t) =

t(X0, t). (9)

Mais en mecanique des fluides, la description eulerienne est nettement plusrepandue. Plutot que de se concentrer sur des trajectoires de particules, lapprocheeulerienne decrit les quantites comme des champs tridimensionnels variant dans les-pace et dans le temps. Par exemple, a un instant t donne, le champ de vitesse variedune parcelle a une autre ; on traduit cette dependance en ecrivant :

u = u(x, t). (10)

Alors que dans la description lagrangienne, X est une variable et represente la po-sition dune particule, ici x est une simple coordonnee de lespace.

Un petit inconvenient de la description eulerienne est son application pour la

loi fondamentale de la dynamique (

F = ma ) puisque celle-ci sapplique auxparticules materielles, donc correspond mieux a lapproche lagrangienne. Cela estfacilement corrige par lintroduction de la derivee particulaire.

6

Soit N(x, t) une grandeur scalaire de lecoulement (en description eulerienne). Silon considere simplement la derivee partielle par rapport au temps,

N

t= lim

dt0

N(x, t+ dt)N(x, t)

dt, (11)

nous soustrayons 2 quantites, dans le numerateur, qui ne se referent pas au memepoint materiel. Pour corriger cela, il faut tenir compte du deplacement de la parcelleentre les instants t et t+ dt. Ecrivons qua linstant t+ dt, la parcelle initialement a(x, t) se retrouve a x+ dx = x+ dX. La variations de N pour cette parcelle entre tet t+ dt est :

dN = N(x+ dx, t+ dt)N(x, t) =N

tdt+ grad N.dX, (12)

dont on tire la definition de la derivee particulaire pour N :

dN

dt=

N

t+ grad N.u . (13)

En particulier, si N prend successivement les valeurs de 3 composantes de lavitesse, nous obtenons lacceleration de la parcelle fluide :

du

dt=

u

t+ grad u.u . (14)

3.2 Lignes et surfaces particulieres dun ecoulement

Les lignes de courant sont les lignes qui, en tout point et a un instant donne,sont localement paralleles au champ de vitesse de lecoulement : dx u = 0. Ellessont donc solutions du systeme dequations

dx

u(x, t)=

dy

v(x, t)=

dz

w(x, t). (15)

Les lignes de courant varient dans le temps en general, mais elles sont determineesa partir dun snapshot du champ de vitesse. Cest donc tres different de la tra-jectoire dune particule, qui represente lensemble des lieux geometriques visitespar cette particule au cours de son deplacement au sein du fluide. Lequation dunetrajectoire est obtenue en resolvant lequation

X

t= u(X, t), (16)

avec une condition initiale propre a la particule etudiee : X(t = 0) = X0.Une ligne demission est lensemble de lieux geometriques visites par les par-

ticules qui sont passees par un certain point donnes en amont. Cest tres facile aobserver experimentalement, il suffit de placer une source de traceur colore au pointvoulu.

Dans le cas dun ecoulement permanent (stationnaire), les lignes de courant, tra-jectoires et lignes demission concident.

Soit une courbe geometrique au sein dun ecoulement. Lensemble des lignesde courant qui sappuient cette courbe definissent une surface de courant. Si lacourbe est fermee, cest un tube de courant.

7

x

y

A B

CD

x

y

A

B

C

D

Figure 1 Evolution dune particule de fluide en 2 dimensions.

3.3 Evolution dune particule fluide

Une particule fluide peut subir, en un temps elementaire dt, 4 types de transfor-mation elementaires :

une translation u(x, t)dt ; une rotation, de tenseur taux de rotation = 12(grad u grad u

T ) ;

des deformations de tenseur taux de deformation d = 12(grad u+grad uT ) ;

une dilatation, de taux de dilatation volumique div u = tr d.La superposition de ces 4 transformations est illustree sur la figure 1. A linstant t(figure de gauche), le point A est en (x, y), le point C en (x+dx, y+dy). A linstantt + dt (figure de droite), A a subi une translation de u(x, y)dt ; le point C sestdeplace en :

x = x+ dx+ u(x+ dx, y + dy)dt (17)

= (x+ dx) + u(x, y)dt+u

xdxdt+

1

2

(

u

y+

v

x

)

dydt+1

2

(

u

y

v

x

)

dydt.(18)

y = y + dy + v(x+ dx, y + dy)dt (19)

= (y + dy) + v(x, y)dt+v

ydydt+

1

2

(

v

x+

u

y

)

dxdt+1

2

(

v

x

u

y

)

dxdt.(20)

(21)

On remarque que le taux de rotation est symetrique et de diagonale nulle. Ilsuffit donc de 3 parametres seulement pour le caracteriser, que lon rassemble dansle vecteur rotation ou vorticite, = rot u. On definit parfois le vecteur tour-billon comme la moitie de la vorticite. La vorticite est une grandeur tres importantepour certaines theories de la mecanique des fluides, comme la turbulence, la dyna-mique des fluides geophysique, par exemple. En particulier, elle obeit a des lois deconservation comme la vitesse. Mais dans le cadre de ce cours, nous nexplorons pasces aspects.

Pourquoi est-ce interessant de distinguer les transformations elementaires ? Nousverrons par la suite que 2 des 4 transformations interviennent directement dans laloi de comportement du fluide newtonien. Il faut donc les connatre.

8

3.4 Flux, debits

Soit a(x, t) un champ de vecteurs, on appelle flux de a a travers la surface S laquantite :

=

S

a(x).n(x)ds, (22)

ou n(x) represente le vecteur normal a lelement de surface ds. Soit k(x) une gran-deur scalaire volumique (par exemple, une concentration de traceurs) distribuee dansun ecoulement caracterise par une vitesse u(x). On appelle debit de k a travers lafrontiere S le flux du vecteur ku :

=

S

k(x)u(x).n(x)ds. (23)

Ce debit represente la quantite totale de la grandeur scalaire qui traverse la surfaceS par unite de temps. Si par exemple k est en kg m3, est en kg s1.

3.5 Ecoulements particuliers (mais frequents)

On parle decoulement permanent ou stationnaire lorsque le champ de vitesseeulerien est independant du temps :

u

t= 0. (24)

Dans ce cas, les lignes de courant, trajectoires et lignes demission sont identiques.Un ecoulement est dit incompressible aucune parcelle fluide ne peut subir de

dilatation. Il en resulte :div u = 0. (25)

Un ecoulement est tourbillonnaire lorsque le vecteur tourbillon nest pas nulpartout dans lecoulement.

4 Elements de dynamique des fluides

4.1 Theoremes de transport

Pour etablir les equations de la dynamique, nous allons proceder par des bi-lans, engageant les derivees temporelles de lintegrale des quantites extensives dunsysteme sur un volume (volume de controle). Les theoremes de transport permettentune ecriture de ces derivees qui facilite la derivation des lois fondamentales de la dy-namique.

4.1.1 Variables intensives et extensives

Une variable F est extensive lorsque sa valeur pour un domaine ou elle est uni-formement distribuee est proportionnelle au volume du domaine. Elle est spatiale-ment additive et peut etre definie par une densite volumique f :

F =

fd. (26)

9

Quelques exemples de grandeurs extensives (densite volumique) : volume (1), masse(masse volumique ), energie cinetique (u2/2), quantite de mouvement (u).

Une variable est intensive lorsquelle nest pas spatialement additive (vitesse,pression, temperature, masse volumique).

Le produit dune variable intensive et dune variable extensive est une variableextensive.

4.1.2 Volume de controle

Un objectif de la mecanique des fluides est de lier la nature dun ecoulementdun fluide aux forces exterieures qui sexercent sur lui. Il faut donc definir ce termedexterieures, ce qui se fait en identifiant un systeme. Pour les fluides on parleplutot de volume de controle et de surface de controle pour le delimiter. Cevolume de controle peut prendre differentes formes.

Dans une approche lagrangienne, le volume considere est un volume materielqui est defini comme contenant un ensemble continu de particules, invariantes aucours du temps. Il sagit donc dun systeme ferme.

Dans une approche eulerienne, le volume est un volume geometrique, pasnecessairement immobile mais dont les frontieres ne sont pas materialisees par desparticules fluides ; ces frontieres sont donc traversees par les particules du fluide enecoulement.

4.1.3 Theoremes de transport

Soit lintegrale de la quantite q(x, t), champ tensoriel dordre quelconque, sur unvolume (t) :

J(t) =

(t)q(x, t)d(t). (27)

Il sagit de determiner dJdt.

Volume de controle geometrique fixe Cest le cas (eulerien) le plus simple,mais pas le plus pertinent pour la suite. Ici, ne depend pas du temps. Le resultatsecrit donc simplement :

dJ

dt=

q

td. (28)

Volume materiel Il faut tenir compte des variations temporelles du volume decontrole :

dJ

dt=

(t)

q

td(t) +

(t)q(u.n)ds(t), (29)

ce qui constitue la forme generale du theoreme de transport (en milieu continu, sanssurface de discontinuite).

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4.2 Conservation de la masse

Pour la loi de conservation de la masse, la variable extensive choisie est evidemmentla masse. Pour un volume materiel (t),

m(t) =

(t)(x, t)d(t), (30)

Puisque le volume est materiel, sa masse ne change pas au cours du temps, donc

dm

dt= 0. (31)

Cette equation represente la forme integrale de la loi de conservation de la masse.En appliquant la formule de Green-Ostrogradsky a lequation 29 avec q = , onobtient

dm

dt=

(t)

t+ div (u)d(t). (32)

Cependant, ceci est vrai quelque soit le volume materiel considere. Lintegrande doitdonc etre identiquement nul, ce qui signifie :

t+ div (u) = 0. (33)

En utilisant la definition de la derivee particulaire pour et lidentite vectoriellediv (u) = div u+ u.grad , on obtient une autre equation equivalente :

d

dt+ div u = 0. (34)

Ces 2 equations constituent les formes locales de la loi de conservation de la masse,ou equations de continuite.

4.3 Conservation de la quantite de mouvement

Nous prenons maintenant comme variable extensives la quantite de mouvement.Pour un volume materiel (t),

Q(t) =

(t)(x, t)u(x, t)d(t). (35)

4.3.1 Forme integrale

Dapres la loi fondamentale de la dynamique, qui sapplique pour un volumemateriel tel quil est defini ici, la derivee temporelle de cette quantite est egale a lasomme des efforts exterieurs qui agissent sur lui, en volume ou en contact :

dQ

dt= Fext. (36)

Comme deja presente dans la section 2, les efforts se distinguent entre forces devolume et de surface :

Fext =

(t)dFv(x) +

(t)dFs (37)

=

(t)fvd+

(t)(x).n(x)ds. (38)

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La derivee temporelle de la quantite de mouvement peut aussi etre decomposee, parapplication du theoreme de transport :

dQ

dt=

(t)

u

td(t) +

(t)u(u.n)ds(t). (39)

Selon le probleme a resoudre, il est alors possible dutiliser la forme integrale delequation de conservation en introduisant lequation 38 et/ou lequation 39.

Dans le cas dun fluide parfait en ecoulement permanent, cette formulation sedecline par le theoreme dEuler : Pour un tube de courant de debit volumique qv,de vitesse dentree ue et de vitesse de sortie us,

Fext = qv(us ue). (40)

4.3.2 Forme locale : loi fondamentale de la dynamique des fluides

Theoreme de Reynolds Un dernier resultat theorique est necessaire afin dederiver succinctement la loi fondamentale de la dynamique : le theoreme de Reynolds.Celui-ci simplifie lexpression de la derivee temporelle de la quantite de mouvement :

dQ

dt=

(t)du

dtd. (41)

Loi fondamentale En introduisant la loi de comportement pour les fluides (sec-tion 2), les equations 36 et 38 conduisent a :

dQ

dt=

(t)fvd

(t)pn(x)ds +

(t)(x).n(x)ds. (42)

Lapplication du theoreme de Reynolds pour le terme de gauche, et des formulesdu gradient et de Green-Ostrogradsky pour les termes de droite, conduisent a lex-pression :

(t)du

dtd(t) =

(t)fv grad p+ div d (43)

Comme ceci est vrai pour tout volume materiel, cest vrai pour lintegrande, ce quidonne la loi fondamentale de la dynamique :

du

dt= fv grad p+ div . (44)

5 Le fluide newtonien

Le fluide newtonien, particulierement repandu, merite une attention particuliere.Celui-ci se distingue des autres fluides par sa loi de comportement, donnee parlequation 5.

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5.1 Equations de Navier-Stokes

Il sagit dintroduire le tenseur des contraintes dorigine visqueuse pour le fluidenewtonien dans lequation 44. Il faut pour cela calculer sa divergence. En sappuyantsur les identites vectorielles et tensorielles donnees en annexe, puis sur la relation deStokes (Eq. 6), on obtient :

div () = (+ )grad (div u) + u =

3grad (div u) + u. (45)

La loi fondamentale devient :

du

dt= fv grad p+

3grad (div u) + u. (46)

La loi de conservation de la masse (Eq. 34) reste inchangee.

5.2 Cas du fluide newtonien incompressible

Le terme incompressible se dit pour un fluide dont la masse volumique nevarie localement pas au cours du temps par effet mecanique (des variations liees ala temperature par exemple restent possibles). Mathematiquement, cela se traduitpar la nullite de la derivee temporelle (particulaire !) de , donc, dapres lequation34, par :

div u = 0. (47)

La loi fondamentale 46 sen trouve aussi simplifee :

du

dt= fv grad p+ u. (48)

5.3 Conditions auxiliaires

On appelle conditions auxiliaires les conditions initiales et aux limites dunprobleme. Celles-ci concernent tous les types de fluide, pas seulement newtonien.Cependant, par souci de concision, nous limitons leur description au fluide newto-nien.

Les conditions initiales sont les champs en jeu dans la loi fondamentale au debutde lintervalle de temps detude : (x, 0), u(x, 0), p(x, 0). Les conditions aux limitespeuvent prendre des formes diverses selon le probleme. Ici, on se restreint aux 2cas les plus frequents : le fluide en contact avec une paroi solide de deplacementconnu, et le fluide en contact avec un autre fluide, les 2 etant non miscibles entreeux (typiquement, lair et leau).

5.3.1 Paroi solide

La paroi solide avec laquelle le fluide est en contact se deplace avec une vitesseup(x, t) connue. Si la paroi est impermeable et que le contact entre la paroi et le fluideest ininterrompu dans le temps, on parle de condition dimpermeabilite. Lesparticules au contact de la paroi la suivent dans son mouvement perpendiculairementa la surface :

u(x, t).n = up(x, t).n , (49)

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ou n represente le vecteur unitaire normal a la surface. Dans le plan parallele a lasurface de contact, on distingue generalement 2 types de conditions aux limites : lacondition dadherence, qui fait lhypothese que les particules au contact collenta la paroi. Cela concerne notamment tous les fluides visqueux. Dans ce cas, la relationgeneralise la precedente :

u(x, t) = up(x, t) . (50)

Le deuxieme type est la condition de glissement, qui suppose au contraire queles particules ne sont pas affectees dans leur mouvement le long de la surface decontact. Cela concerne le fluide parfait. Au point de contact :

u

n.t = 0 , (51)

ou n represente la coordonnee spatiale le long de n.

5.3.2 Interface entre deux fluides

Du fait de leur non-miscibilite et de leur viscosite, les 2 fluides en contactadherent lun a lautre et sont donc soumis a la relation :

u1 = u2. (52)

Pour les fluides parfaits, seule la composante normale a la surface de contact respectecette relation :

u1.n = u2.n, (53)

qui doit etre completee par une equation de continuite de la surface, de positionS(x, t) :

dS

dt= 0 , (54)

qui peut etre calculee identiquement avec u1 ou u2.Sur le plan dynamique, les 2 fluides verifient une continuite des contraintes tan-

gentielles :(n)1.t = (n)2.t , (55)

t representant un vecteur unitaire tangent quelconque, tandis que les contraintesnormales sont differenciees par la tension superficielle :

(n)1.n = (n)2.n+

(

1

R+

1

R

)

, (56)

R et R etant les rayons de courbures de la surface dans 2 plans perpendiculaires.

5.4 Exemples de solutions exactes des equations de Navier-Stokes

6 Ecoulements de fluide parfait

6.1 Equation dEuler

Le fluide parfait est defini par un tenseur des contraintes visqueuses identique-ment nuls : = 0. La loi fondamentale se reduit a :

du

dt= fv grad p. (57)

14

Lequation de conservation de la masse est, elle, inchangee. Un fluide parfait nestpas forcement incompressible.

6.2 Theoreme de Bernouilli

7 Analyse dimensionnelle et similitude

7.1 Analyse dimensionnelle des equations de Navier-Stokes incom-pressibles

7.2 Theoreme de Vaschy-Buckingham

Lanalyse dimensionnelle est un outil puissant, car il fournit des informations surdes phenomenes physiques sans gros calcul, mais limite, car il produit rarement uneinformation complete. Comme son nom lindique, lanalyse dimensionnelle examineles dimensions des parametres en jeu dans le processus pour en extraire des informa-tions. Lanalyse dimensionnelle peut sappliquer a tous les domaines de la science.Elle lest neanmoins particulierement en mecanique des fluides, raison pour laquelleelle fait traditionnellement part des cours de mecanique des fluides.

Lanalyse dimensionnelle est formalisee par le theoreme ou theoreme deVaschy-Buckingham dont les deux principales applications sont :

La reduction du nombre de variables et la simplification des problemes ; la resolution des problemes de similitude entre un prototype et un modele aechelle reduite.

Theoreme :Soit un phenomene physique dont la nature depend de n parametres independantsb1, . . . , bn et decrit par une relation de la forme :

f(b1, . . . , bn) = 0. (58)

Soit k le nombre dunites fondamentales necessaires pour definir les dimensions desparametres bi. En mecanique des fluides, ces unites sont souvent au nombre de 4(masse, longueur, temps, temperature) mais cela peut varier (pas de temperaturedans le probleme, ou bien presence de champs electromagnetiques). Le theoreme deVaschy-Buckingham dit que les jeu de n variables initiales peut etre reduit a unjeu de n k variables sans dimension, notees i, produits des variables initiales. Larelation ci-dessus prend alors une forme :

(1, . . . , nk) = 0 (59)

Il existe des methodes systematiques pour construire les variables adimensionnelles,mais on prefere generalement faire apparatre des variables classiques en se basantsur le bon sens.

Letape la plus delicate de lapplication du theoreme de Vaschy-Buckingham estprobablement lidentification des grandeurs physiques initiales. Lanalyse dimension-nelle sapprend surtout par la pratique, ce qui est laisse pour les seances de cours.

7.3 Exemples dapplication du theoreme de Vaschy-Buckingham

15

8 Formulaire

8.1 Operateurs differentiels

8.1.1 Coordonnees cartesiennes

La base canonique est notee (ex, ey, ez) ou (e1, e2, e3). Un vecteur position x sedecompose (en introduisant la convention des indices repetes) comme :

x = xiei = xex + yey + zez

Le vecteur vitesse est noteu = uex + vey + wez

Pour un champ scalaire N(x, t) (gradient, laplacien, derivee particulaire) :

grad N = Nx

ex +Ny

ey +Nz

ez

N = 2Nx2

+ 2Ny2

+ 2Nz2

dNdt

= Nt

+ grad N.u

= Nt

+ uNx

+ v Ny

+ w Nz

Pour un champ de vecteur a(x, t) (divergence, laplacien, rotationnel, tenseur degradient, derivee particulaire) :

div a = axx

+ayy

+ azz

a = div (grad a) = 2a

x2+

2a

y2+

2a

z2

rot a =(

azy

ayz

)

ex +(

axz

azx

)

ey +(

ayx

axy

)

ez

grad a =

axx

axy

axz

ayx

ayy

ayz

azx

azy

azz

dadt

= at

+ grad a.u

=(

t

+ u x

+ v y

+ w z

)

axex

+(

t

+ u x

+ v y

+ w z

)

ayey

+(

t

+ u x

+ v y

+ w z

)

azez

Pour un tenseur a(x, t) :

a(x, t) = aijei ej

div a =aijxj

ej

16

8.1.2 Coordonnees cylindriques

La base canonique est notee (er, e, ez). Un vecteur position x se decompose (enintroduisant la convention des indices repetes) comme :

x = rer + zez.

Le deplacement elementaire :

dx = drer + rde + dzez.

Le vecteur vitesse est note

u = urer + ue + uzez.

Pour un champ scalaire N(x, t) (gradient, laplacien, derivee particulaire) :

grad N = Nr

er +1rN

e +Nz

ez

N = 1r

r

(

r Nr

)

+ 1r2

2N2

+ 2Nz2

dNdt

= Nt

+ grad N.u = Nt

+ urNr

+ ur

N

+ uzNz

Pour un champ de vecteur a(x, t) (divergence, laplacien, rotationnel, tenseur degradient, derivee particulaire) :

div a = 1r

r(rar) +

1ra

+ azz

a = div (grad a)

=[

r

(

1r

r(rar)

)

+ 1r2

2ar2

2r2

a

+ 2arz2

]

er

+[

r

(

1r

r(ra)

)

+ 1r2

2a2

+ 2r2

ar

+ 2az2

]

e

+ azez

rot a =(

1raz

az

)

er

+(

arz

azr

)

e+

(

1r

r(ra)

1rar

)

ez

grad a =

arr

1r

(

ar

a)

arz

ar

1r

(

a

+ ar

)

az

azr

1raz

azz

dadt

= at

+ grad a.u

=(

art

+ urarr

+ ur

ar

uar

+ uzarz

)

er

+(

at

+ urar

+ ur

a

+ uarr

+ uzaz

)

e

+(

azt

+ urazr

+ ur

az

+ uzazz

)

ez

17

Pour un tenseur a(x, t) :

div a =(

arrr

+ 1rar

+ arzz

+ arrar

)

er

+(

arr

+ 1ra

+ azz

+ 2arr

)

e

+(

azrr

+ 1raz

+ azzz

+ azrr

)

ez

8.2 Identites vectorielles, tensorielles, et integrales

div (rot a) = 0

div (Na) = Ndiv a+ a.grad N

div (grad a) = a

div (grad aT ) = grad (div a)

div (Na) = Ndiv a+ a.grad N

div (a b) = b.rot a a.rot b

rot (grad N) = 0

rot (rot a) = grad (div a)a

rot (Na) = rot a+ grad N a

grad (NS) = Ngrad S + Sgrad N

grad a.a = grad a.a2 + (rot a) a

Formule de Green-Ostrogradsky :

div a d =

a.n ds

Formule du gradient (sobtient par application de la precedente) :

grad N d =

N.n ds

Formule de Stokes :

Ca.dl =

Srot a.n ds

18