CRPE – Mathématiques et sciences

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Sujet de concours blanc

Note à l’attention des étudiants

Vous avez téléchargé ce sujet sur la plateforme de l’Afadec.

La partie mathématiques a été rédigée par Mme Aguillon,

la partie sciences par M. Matagne.

Vous disposez de 5 heures pour faire ce sujet et le rendre : 4 heures comme au concours + 1 h pour gérer les aléas techniques.

Votre copie doit être rédigée en Word (ou open office) et renvoyée au correcteur par le biais de la plateforme en utilisant la fonction « Rendre un devoir ».

Vous devez indiquer clairement votre nom sur la copie. Vous devez faire une seule copie (un seul fichier) pour mathématiques et sciences.

Pour intégrer les formules mathématiques, utilisez l'éditeur d'équation de word. Pour faire le ou les schémas en sciences, faites-les soit sous word, soit à la main puis scannez-les ou photographiez-les

Le nom du fichier doit clairement indiquer votre nom et la discipline. Ne mettez ni espace, ni accent dans le nom de votre fichier.

Ex : C.Dupont_MathsSc

Bon courage !

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PREMIERE PARTIE

Mathématiques (12 points)

EXERCICE 1 (3 points)

Dans cet exercice, 5 affirmations sont proposées. Pour chacune, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n’enlève aucun point. 1. On augmente la largeur d’un rectangle de 20% et on diminue sa longueur de 20%.

Affirmation 1 : L’aire du rectangle est identique avant et après transformation.

2. Un automobiliste va d’une ville A à une ville B. Il parcourt la moitié du trajet à 40 km/h puis la deuxième moitié à 60km/h.

Affirmation 2 : La vitesse moyenne de l’automobiliste entre la ville A et la ville B est de 50km/h.

3. Soit a un nombre entier naturel.

Affirmation 3 : Le nombre 3!3 est divisible par 9 seulement si a est un multiple de 3.

4. Soit ABCD un carré de côté x. Soient E, F, G et H les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].

Affirmation 4 : L’aire du carré EFGH est égale à la moitié de l’aire du carré ABCD.

5. Une élève de troisième a 10/20 de moyenne grâce à deux évaluations (non coefficientées).

Affirmation 5 : Si elle obtient 14/20 à la prochaine évaluation, sa moyenne sera de 12/20.

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EXERCICE 2 (6 points)

On justifiera toutes les réponses.

On appelle « fraction égyptienne » toute fraction de la forme !!, n désignant un nombre entier

naturel non nul. Dans l’Egypte ancienne, on n’écrivait les nombres rationnels positifs inférieurs à 1 que sous forme de « fractions égyptiennes » toutes différentes.

Par exemple, !"!"

peut s’écrire !!+ !

!+ !

!.

Le but du problème est de présenter quelques méthodes de décomposition de nombres rationnels en somme de « fractions égyptiennes » toutes différentes.

Partie A : Exemples

1. Calculer la somme des six « fractions égyptiennes » !!, !!, !!   , !!"   , !!"   , !"   !

!".

2. Décomposer !! en somme de « fractions égyptiennes » toutes différentes, dont les

dénominateurs sont tous des puissances de 2.

Partie B : Présentation d’une méthode de décomposition dans un cas particulier

On s’intéresse au cas où la fraction à décomposer a un numérateur égal à 2 et un dénominateur égal au produit de deux nombres entiers naturels impairs p et q.

1. Démontrer la formule !!"= !

!(!!!! )+ !

!(!!!! )

2. Justifier que les dénominateurs des fractions précédentes sont des nombres entiers naturels.

3. En utilisant la formule établie à la question 1), trouver deux décompositions différentes de !

!" en somme de « fractions égyptiennes » différentes.

4. Soit n un nombre entier naturel non nul. Donner une décomposition de la fraction !!!!!

en somme de deux « fractions égyptiennes » différentes.

Partie C : « Algorithme glouton » de Fibonacci

En 1201, Léonard de Pise (1175-1250), dit « Fibonacci », prouva que tout nombre rationnel compris entre 0 et 1 peut s’écrire sous la forme de « fractions égyptiennes » toutes différentes et proposa la méthode suivante pour obtenir une telle décomposition :

« Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction égyptienne possible qui lui est inférieure, répéter l’opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on obtienne 0. »

1. Appliquer cet algorithme à !"!"

et donner une décomposition de la fraction !"!"

en somme de trois « fractions égyptiennes » toutes différentes.

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2. Dans le papyrus Rhind (1650 av JC.), exposé au British Museum, figure une des plus anciennes approximations du nombre ! égale à !"#

!" (écriture moderne).

a. Ecrire !"#!"

sous la forme d’une somme d’un entier naturel et d’une fraction comprise entre 0 et 1.

b. Proposer une écriture de l’approximation de ! donnée dans le papyrus de Rhind sous forme d’une somme d’un entier naturel et de « fractions égyptiennes » toutes différentes.

EXERCICE 3 (3 points)

L'unité de longueur est le centimètre.

Le rectangle ci-contre représente une table de billard.

Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 90 ; NC = 25 ; BD = 35.

Les angles !"#  !"  !"# sont droits.

Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet BEN, E étant entre C et D, et tel que : !"# = !"#.

On pose ED = x.

1. a - Donner un encadrement de x.

b - Exprimer CE en fonction de x.

2. a - Dans le triangle BED, exprimer tan!"# en fonction de x.

b - Dans le triangle NEC, exprimer tan !"# en fonction de x.

3. a - D’après la question 2), montrez que : 35 90 − ! = 25!

b- Résoudre cette équation.

4. En déduire la valeur commune des angles !"!  !"  !"# arrondie au degré.

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SECONDE PARTIE

Sciences de la vie et de la terre (8 points)

QUESTIONS

Question 1

Titrez le document 1.

Identifiez et définissez les notions scientifiques mobilisées pour construire ce schéma.

Construisez un schéma du même type avec les êtres vivants représentés sur le document 2

Question 2

Titrez le document 3. Que représente-t-il ?

Question 3

En vous appuyant sur le document 2 et le texte du document 4, vous indiquerez ce qu'a découvert Gilbert White sur les vers de terre.

DOCUMENTS

Document 1

source : http://www.ac-nice.fr/svt/productions/ticexao/chouette/r%E9seau%20marin.jpg

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Document 2

source : http://biologie.wikispaces.com/file/view/bioaccumulation.JPG/30144972/bioaccumulation.JPG

Document 3

source : http://biologie.wikispaces.com/file/view/bioaccumulation.JPG/30144972/bioaccumulation.JPG

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Document 4

Gilbert White (18 juillet 1720, Selborne dans le Hampshire - 26 juin 1793 Selborne), est un naturaliste et un ornithologue britannique qui peut être considéré comme un pionnier de l'écologie.

Après une première éducation par des précepteurs à Basingstoke, il part à l'Oriel College d'Oxford. White obtient un titre de diacre en 1747 et devient vicaire de Moreton Pinkney dans le Northamptonshire. Il a en charge l'église de Farringdon dans le Hampshire, une paroisse proche de Selborne. En 1784, il est en poste à Selborne où il demeure jusqu'à sa mort.

White est considéré au Royaume-Uni comme le premier écologiste. Il dit des vers de terre :

Vers de terre, bien que semblant petits et insignifiants dans la chaîne de la nature, pourtant, si vous disparaissez, vous verriez un épouvantable chaos [...] les vers semblent être les grands promoteurs de la végétation, qui pourrait survivre sans eux mais si mal...

Histoire naturelle de Selborne, 1789.