CUADERNO

PREPARACIÓN

MATEMÁTICAS 3 ESO

Departament de MATEMÀTIQUES

1

NOMBRES, EQUACIONS i PROBLEMES:

1) Efectua les següents operacions, simplificant al màxim o expressant el resultat en forma de

potència, segons convingui:

a) 3 +

)21(·53

2

4

1

3

12

6

113

13

1·

3

2

4

5

= b)

2

3

2:

3

4

2

3

4323

22

3

5

2

2

12

=

Extreu factors i opera:

a) 6 3 4 46 72 · 216 3 12 · 1296

:2 72 6 2

=

b) 43 1002:4665600

360940001054 =

Opera:

a) 37233723 =

b) 343·127010·107062262

=

Racionalitza per separat primer i, després, opera:

a) 3233

33

33

33

= b) 6

6

3

63

63

63

63

=

c) 13

22

2

22

13 = d)

6

6

66

66

66

66

=

Departament de MATEMÀTIQUES

2

2) Resol les següents equacions, sistemes i inequacions :

a) 57

2x4

4

1x7

6

3x5

b)

12

2x

2

x

4

1x

3

1x

c) x2

1

3

)1x(·2

2

)1x(·31

d) 36

7

2xx

2

7x9

e) 57

2x4

4

1x7

6

3x5

f) x

2

1

3

)1x(·2

2

)1x(·31

g) 6x2 + 3x = 0 h) 4x2 + 2 = 0 i) 4x2 – 6x + 2 = 0

j) x2 – 7

6 x +

1

3 = 0 k) x2 − 16x − 225 = 0 l) x 2 + 9 = 10 x

3) Equacions irracionals:

a) 5 x

+ 3 = 2 x b) 3 6 x 1

– 5 = 2 x c) x + 2 = x 9

d) 2 x 1

– (x + 4) = 6 e) 2x – 1 – x 4

= 6 f) 7x + 5 = 2 5x19x12 2

4) Sistemes d’equacions:

a)

0 5 y 2 x3

0 2 y x 2 b)

3

x 1

12

2 y 2

6

4 x

4

x y

2

4 x

8

2 y 2

Departament de MATEMÀTIQUES

3

Problemes d’enunciat:

1) Escriu la següent frase en llenguatge matemàtic: " En Josep té tants caramels com el quadrat de

la suma dels caramels dels seus germans Pere i Lluís, dividit entre el doble del nombre de

caramels de la Maria . (X = caramels d'en Josep , P = caramels d'en Pere , L = caramels d'en Lluís

, M=caramels de la Maria)

2) a) Una moto que abans de l’estiu costava 5 000 €, avui val 250 € més. Quin és el percentatge

d'augment que li han aplicat?

b) Al comprar un cotxe elèctric que costava 8 800 €, ens fan un descompte del 7.5%. Quant cal

pagar pel vehicle?

3) En Pol, la Júlia i la Maria han comprat un regal. La Júlia ha gastat la meitat de diners que la Maria,

i en Pol n’ha gastat el triple que la Júlia i entre tots tres han gastat 63 €, quant ha gastat cadascú?

4) Una botiga ven llaunes de beguda a 0,6 € la llauna, però si comprem un paquet de sis llaunes ens

cobren 3 € . a) Quin és el percentatge d’estalvi en comprar un paquet respecte a la compra de sis

llaunes soltes? b) En una setmana, la botiga ha venut 240 llaunes i ha ingressat 132,6 € . Quants

paquets de sis llaunes ha venut?

5) He anat a una botiga i he decidit comprar uns pantalons, una camisa i unes sabates. Si faig la

compra avui, em costarà tot plegat 120 €. A més, actualment, la camisa i les sabates costen,

plegades, el doble dels pantalons.

6) Si m’espero una setmana, els pantalons i les sabates tindran un descompte del 20 %, mentre que

la camisa només tindrà un descompte del 10 %. D’aquesta manera, pagaré 99 €. Quin és el preu

inicial de cada article?

7) La Júlia, en Pol i la Maria han anat a comprar fruita. La Júlia ha comprat un kilogram de pomes,

dos de préssecs i tres de taronges, i ha pagat 9 €. En Pol ha comprat dos kilograms de pomes i

quatre de préssecs, i ha pagat 12 €. La Maria, en canvi, ha comprat quatre kilograms de pomes i

dos de taronges, i ha pagat 8 €. Calculeu el preu del kilogram de cada fruita.

8) Quatre germans tenen 45000 euros (entre tots). Si augmentem en 2000 € els diners del primer,

disminuïm en la mateixa quantitat el capital del segon; dupliquem el del tercer i reduïm a la

Departament de MATEMÀTIQUES

4

meitat el del quart el, tots els germans tindran la mateixa quantitat de diners. ¿Quants diners

tenia cadascú?

9) Determineu dos nombres enters positius que sumin 25, de manera que el doble del quadrat del

primer sumat amb el triple del quadrat del segon doni 750

10) Trobeu dos números tals que si es divideixen el primer per 3 i el segon per 4 la suma és 15;

mentre que si es multiplica el primer per 2 i el segon per 5 la suma és 174

11) El producte de dos nombres és 4, i la suma dels seus quadrats 17. De quins nombres parlem?

12) Una peça rectangular és 4 cm més llarga que ampla. Amb ella es construeix una caixa de 840 cm3

de capacitat, tallant un quadrat de 6 cm de costat a cada cantonada i doblegant les vores. Trobeu

les dimensions de la caixa.

13) Una aixeta triga dues hores més que una altra en omplir un dipòsit i obrint les dues alhora

s'omple en 1 hora i 20 minuts. Quant de temps trigarà a omplir-lo cada una per separat?

14) L’edat d’un pare és el doble de la suma de les edats dels seus dos fills. Fa uns anys (exactament

la diferència de les edats actuals dels fills) l’edat del pare era el triple que la suma de les edats

dels seus fills en aquell moment. Quan passin tants anys com la suma de les edats actuals dels

fills, entre els tres sumaran 150 anys. Quina edat tenia el pare quan van néixer els seus fills?

15) Trobeu la fracció equivalent a

5

7 els termes de la qual, elevats al quadrat, sumen 1184

16) Un client d'un supermercat ha pagat un total de 156 € per 24 litres de llet, 6 kg de pernil serrà i

12 litres d'oli d'oliva. Calcular el preu de cada article, sabent que 1 litre d'oli costa el triple que 1

litre de llet i que 1 kg de pernil costa igual que 4 litre d'oli més 4 litres de llet.

17) Hem de repartir, de manera exacta, 60.000 € entre els amics presents en una reunió. Algú nota

que si hi hagués dos amics menys, a cadascú li tocarien 2.500 € més. Quants amics hi ha a la

reunió i quant li toca a cadascú?

18) En Joan, en Pere i en Marc tenen, entre els tres, seixanta-tres anys. Si en Joan tingués tres anys

menys, la seva edat seria el doble de les edats d’en Pere i en Marc junts. Si en Pere tingués un any

més, la seva edat seria la meitat de la d’en Marc. Quina és l’edat actual de cadascun d’ells?

19) Si sumem 2 unitats al denominador d’una fracció, la nova fracció val 1 unitat. En canvi, si sumem

3 unitats al numerador de la fracció original, la nova fracció val 2 unitats. Determineu la fracció

original.

POLINOMIS : 1) Donats els polinomis: P(x) = x4 −2x2 − 6x − 1 ; Q(x) = x3 − 6x2 + 4 i R(x) = 2x4−2 x − 2

Departament de MATEMÀTIQUES

5

Calculeu: a) P(x) + Q(x) − R(x) ; b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) i c) Q(x) + R(x) − P(x)

2) Donats els polinomis:

2632)(

1253)(

234

34

xxxxxB

xxxxA

32)(

53)( 2

xxD

xxC

Calculeu:

a) )()( xBxA b) )()( xBxA c) )()( xCxA

d) )(:)( xDxB e) 2)()(3 xCxA f) )2(:)( xxB

3) Calculeu: a) (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =

b) ( x5 − 32 ) : (x − 2) =

c) ( x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x ) : ( x2 − x + 3 ) =

4) Si en una divisió de polinomis el dividend és x3 – 3 x2 – 4 ; el quocient x2 – x – 2 i el

residu – 8 , quin n'és el divisor?

5) Factoritzeu i trobeu les arrels dels següents polinomis:

a) 9x4 − 4x2 b) x5 + 20x3 + 100x c) 3x5 − 18x3 + 27x

d) 2x3 − 50x e) 2x5 − 32x f) 2x2 + x − 28

g) x4 − 2x2 − 3 h) 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 i) 2x3 − 7x2 + 8x − 3

j) x3 − x2 − 4 k) x3 + 3x2 − 4 x − 12 l) 6x3 + 7x2 − 9x + 2

6) Simplifiqueu:

a) 3

3 2

x 19 x 30

x 3 x 10 x

b)

4 3 2

4 3 2

x 2 x 4 x 8 x

x 5 x 2 x 20 x 24

c)

2 2

2 2

x 5 x 6 · x 2x 3

x 7 x 12 · x x 2

d)

5 4 3 2

4 3 2

3x 6x 3x 6x

12x 18x 30x 36x

Departament de MATEMÀTIQUES

6

SUCCESIONS

1) Trobeu el terme general i el valor del quinzè terme de les següents progressions aritmètiques:

a) a1 = 3 ; d = 2 b) a4 = 24 ; d = 2 c) a 2 = 10 ; d = 5

d) a5 = 28 ; d = – 3 e) a3 = 10 ; a4 = 60 f) a12 = 7 ; d = 0

g) a2 = 9 ; a9 = 37 h) a1 = 0 ; d = – 7 i ) a3 = 6 ; a8 = 9

2) En dues progressions aritmètiques sabem que a1 = 10 i a4 = 1 , i que b3 = 24 i b7 = 44.

Calculeu c20 . (cn = an/bn)

3) Els tres primers termes d’una progressió aritmètica són : x+3 , 4x-3 i 3x+3.

a) Calculeu el valor de x .

b) Trobeu el terme general d’aquesta progressió.

4) Si a – 3 , 2a + 5 i 4a – 1 són els tres primers termes d’una progressió aritmètica. Quant val la

diferència de la progressió? I quant la suma dels 20 primers termes?

5) Inseriu 7 mitjans aritmètics entre els nombres:

a) 8 i 32 b) 14 i -14 c) 9 i 5 d) 1/3 i 13/3 e) –1 i 1

6) Calculeu:

a) 2 + 7 + 12 + 17 + ··· + 202 = b) 40 + 37 + 34 + 31 + ··· + 4 =

c) 1,2 + 1,5 + 1,8 + ··· + 31,2 = d) La suma dels 100 primers nombres naturals.

e) Els 500 primers nombres imparells. f) Tots els nombres imparells de dues xifres.

7) Trobeu els 9 termes d’una progressió aritmètica si sabem que la suma dels tres primers és 3 i la dels

tres centrals val 39.

8) En una progressió aritmètica de diferència 3, el primer terme val 4 i l’últim 40. Quants termes té la

progressió? Quant val la suma de tots ells?

9) Quants termes de la successió 3 , 1 , -1 , -3 , -5 , ... hem considerat si la suma val – 140?

10) La diferència d’una progressió aritmètica val 3 i la suma dels 25 primers termes és 29 vegades

l’últim.

Quant valen el primer i l’últim terme d’aquesta successió?

11) a) Tres nombres en pa sumen 111 i la suma dels seus quadrat és 4157. De quins nombres parlem?

b) Tres nombres en pa sumen 33 i el seu producte és 1287. Quins nombres són?

12) Escriviu el cinquè terme i el terme general de cadascuna de les següents pg:

a) a1 = 3 ; r = 2 b) a4 = 24 ; r = 2

c) a2 = 10 ; r = 5 d) a5 = 405 ; r = 3

e) a3 = 10 ; a4 = 60 f) a7 = 1 ; r = 1/3

Departament de MATEMÀTIQUES

7

g) a10 = 7 ; r = 1 h) a6 = 1/8 ; a3 = 1

13) a) Inseriu cinc termes entre els nombres 7 i 5103 de manera que formin una pg.

b) Interpoleu 3 nombres entre 3 i 768 de manera que els cinc estiguin en pg.

c) Inseriu un terme entre 6 i 294 de manera que resultin 3 nombres en pg.

14) Una pilota va botant i en cada bot va perdent altura segons s’observa en aquesta successió:

125 cm, 100 cm, 80 cm, ...

a) A quina altura arribarà desprès dels 9 primers bots ?

b) A partir de quin bot baixarà dels 30 cm ?

Departament de MATEMÀTIQUES

8

GEOMETRIA :

1) Calcula el área y el perímetro de estas figuras:

Departament de MATEMÀTIQUES

9

2) Calcula el área y el perímetro de estas figuras:

3) En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm. Halla el área del segmento

circular sabiendo que el ángulo central correspondiente es de 90°.

4) Calcula el área de la zona sombreada:

Departament de MATEMÀTIQUES

10

2) Quants vasos de 250 cm3 es poden omplir amb 0,04 m3 d’aigua?

3) Calcula l’àrea i el volum de cadascun dels següents cossos geomètrics :