CyclePréparatoireSemestreS2Module OptiquePr.AAMOUCHEAhmedUniversitéCadiAyyadENSAMarrakech2018-2019

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Conseilsàsuivrepourunemeilleureassimilationdececours

• Cecoursestorganisésousformede3chapitresprincipaux.Ilseraalimentéaufuretàmesuredel'avancementducoursenprésentiel(voirsiteweb:http://aamouche.e-monsite.com ).

• LesupportPDF, nepeutenaucuncasêtreunealternativeàlaprésence desétudiantsinscritsdanscemodule.

• Lesétudiantssontinvitésàenrichirleforumenlignepourdiscuteretéchangerlesidéesautourdesconceptsqu’introduitcecours.

• Lecoursreprendsl’essentieldesrésolutionsmathématiquesdesdifférentesdémonstrations,lesétudiantsdevrontpareux-mêmesêtrecapabledereproduirelespassages.

• LasélectiondesTDsproposéecomplètelaconceptionoptiqueetlesétudiantsdoivents’inspirerdansletraitementd’autrescasd’étude. 2

SommaireChapitreI GénéralitésHistorique,AspectsCorpusculaireetOndulatoire:spectrelumineux- notionsd'ondes-notionsd'amplitude,defréquence,d’énergie,d'intensitéetdepuissanced'uneonde-équationsdeMaxwelletéquationsd'onde- vitessedelalumière- indicederéfraction.

ChapitreII L’OptiquegéométriqueLoisderéfractionetderéflexion,Dioptres,Miroirs,StigmatismeetAplanétisme,Systèmesoptiques:rayonlumineux- domainedevaliditédel'optiquegéométrique-milieuxnonhomogènes,applicationauxfibresoptiques,lumièresmonochromatique- lumièrepolychromatique- approximationdeGauss-aberrations- élémentsdessystèmesoptiques–dispersion- systèmecentrésdansl'approximationdeGauss- applicationauxlentilles-instrumentsoptiques.

ChapitreIII L’OptiqueondulatoirePolarisation,InterférencesetDiffraction:Conditiond'obtentiond'interférencesdedeuxondes- fentes- expérienced'Young-miroirsdeFresnel,bi-lentillesdeBillet,biprismedeFresnel- sourceslarges,lamesminces,coind'air,anneauxgénérauxd'interférencedeplusieursondescomprenantnotammentladiffractiondeFraunhofer,lesréseauxetlesfentesmultiples. 3

Chapitre1:GénéralitésHistoriqueDéfinition:L’optique(dugrec«Optikê »:vision)estunesciencedontlesfondementsontétéétablisavantle20ième siècle.C’estunebranchedel’électromagnétisme.

ObservationdesphilosophesLaGrèceAntique:Pythagore,Démocrite,Empédocle,Platon,Aristote,Euclide,Héron,Aristophane,Clèomède,Ptolémée,Sénèque….

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Chapitre1:GénéralitésQuelquesnomsetdates:IbnSahl 940-1000Ibnal-Haitham(Alhazen)965-1040Kepler1571-1630Snell 1591-1626Descartes 1596-1650Fermat 1601-1665Hooke1635-1703Newton 1642-1727Huygens 1629-1695Young 1773-1829Fresnel 1788-1827Malus 1775-1812Maxwell 1831-1879Hertz 1857-1894

Lumière???5

Chapitre1:GénéralitésNaissancedel’optiquequantique

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Chapitre1:GénéralitésDébathistoriquesurl’aspectondulatoireetl’aspectcorpusculairedelalumière:iln’aprisfinqu’avecl’arrivéedelaphysiquequantique.

Danscecoursnousnousrestreindronsàlathéorieondulatoire.ThéoriecorpusculaireàtraiterdansleprogrammeCP2/ModulePhysiqueModerne

Pourunaperçuallervisiterhttp://toutestquantique.fr

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Chapitre1:GénéralitésCaractéristiquesondulatoiresdelumière :Ondesélectromagnétiques(champsélectriqueetmagnétique)dontlalongueurd’ondecorrespondaudomainedesensibilitédel’œil.

Dansunmilieuisotrope,homogène,linéaireetisolant(voircoursélectromagnétisme),onécritleséquationsdeMaxwellsouslaforme:

Aprèsrésolution,ontrouve:

oùV estlavitessedepropagation

etn l’indicederéfractiondanscemilieu

72 Les équations de Maxwell dans les milieux

En utilisant la même démarche que dans le chapitre précédent, on peut montrer que lechamp électrique et le champ magnétique satisfont les équations de propagation suivantes :

�E ≠ 1V 2

ˆ2E

ˆt2 = ≠æ0 (6.39)

�B ≠ 1V 2

ˆ2B

ˆt2 = ≠æ0 (6.40)

où la vitesse de propagation de l’onde est :

V = 1Ôµ0µrÁ0Ár

= 1Ôµ0Á0

ÔµrÁr

= c

n(6.41)

n = ÔµrÁr est l’indice de réfraction (ou indice optique) du milieu. Dans les milieux réels

n est constant pour les grandes longueurs d’onde, tandis que pour les hautes fréquencesil faut faire intervenir le phénomène de dispersion qui entraîne une dépendance de n avecla fréquence.

Dans la plupart des diélectriques µr = 1, d’où n = ÔÁr.

On peut également montrer que l’impédance caractéristique d’un tel milieu peuts’écrire :

Z = Z0n

(6.42)

où Z0 est l’impédance caractéristique du vide.

6.4 ExercicesDiélectriques

Exercice 1 : Modèle de Thomson et polarisation induiteDans le modèle de l’atome de J.J Thomson, un atome d’hydrogène est représenté

par un noyau de charge e occupant une sphère de rayon R avec une densité de chargeconstante. L’électron de charge ≠e se déplace à l’intérieur de cette sphère.

1. Quelle est la force subie par l’électron ? Quelle est sa position d’équilibre ?2. On applique un champ E0 uniforme et on suppose que le noyau reste immobile.

Quelle force supplémentaire entraîne ce champ ? En admettant que ce champ estseul responsable de la polarisation de l’atome, montrer que le moment dipolairepeut se mettre sous la forme p = –Á0E0. – est la polarisation de l’atome. Quelle estsa dimension, quelle est son ordre de grandeur ?

3. Pour quelle valeur de E0, l’atome est-il ionisé ?

Exercice 2 : Trouver la polarisation P dans un milieu diélectrique, homogène et isotropeavec Ár = 2.8 et D = 3.0 ◊ 10≠7 u (C m≠2).

Exercice 3 : Déterminer la valeur de E dans un milieu dont la susceptibilité électriqueest 3.5 , avec P = 2.3 ◊ 10≠7 u (C m≠2).

Exercice 4 : Trouver les valeurs de E, P et ‰e dans un diélectrique avec Ár = 3.6 etD = 285 nC m≠2.

H. Djelouah

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PrérequisenparallèledansleModule ElectromagnétismeCP1SemestreS2

∇.E= 0

∇.B= 0

∇×E= −

∂B

∂t∇×B= µε

∂E

∂t

ΔE−1V 2

∂2E

∂t2= 0

ΔB−1V 2

∂2B

∂t2= 0

n = µrεr

Chapitre1:GénéralitésSolution complexedel’équationd’onde:Ondeélectromagnétique

Lechampmagnétiqueestenpermanenceperpendiculaireauchamp électriqueetauvecteurd’ondek=kex,letrièdre(k, E, B) étantdirectetl’amplitudeduchampmagnétiquevérifieB0 = E0/V

Cetteondediteplaneprogressivesepropagedansladirectiondel’axe(Ox);elleapourvecteurd’ondek,pourpulsationω etpourvitessedepropagation(ditedephase)V = c/n.

LesexpressionsE etB sontévidemmentdesnotationscomplexes,dépourvuesdesensphysique,àremplacerparleschampsélectriqueetmagnétiqueréels,à savoirRe (E)etRe (B)

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E =E 0 exp j(ωt − kx)[ ]

B = n

cex ×E 0 exp j(ωt − kx)[ ]

PlusdedétailsdansleModule PhysiquedesOndesCP2SemestreS3

Chapitre1:GénéralitésMilieutransparent:pasd’absorptiondelalumière.Milieuhomogèneetisotrope:lalumièresecomportedelamêmemanièrequelsquesoientlepointdumilieuetsadirection.

Dansuntelmilieu,lalumièresepropageenlignedroiteetsavitessedepropagationVestconstante(V ≤ c).

Cemilieuestcaractériséparsonindicen quiestlerapportentrelavitessedelalumièredanslevideestcelledanscemilieu.

Lavitessedelalumièrevarieenfonctiondumilieutraversé

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Considéronslecassimpled’uneonde(ψ=E ouB)harmonique (monochromatique)Lavaleurmaximaledeψ étantA ditAmplitude

Pourdécrireuneondeprogressivesedéplaçantdansladirectiondesxpositifs,àlavitesseV,oneffectuelatransformationxàx-Vt :

L’ondeψ estdoublementpériodiquedansl’espaceetdansletemps:lapériodespatialeestlalongueurd’ondeλ (longueurd’uncycle)etlapériodetemporelleT.

Chapitre1:Généralités

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ψ(x, t)t=0 =ψ(x) = Asinkx = f (x)

ψ(x, t) = Asink(x −Vt) = f (x −Vt)

Puisquel’argumentdelafonctionsinusest2π:kλ=2π etkVT=2π

Donc k=2π/λ et T=λ/VSachantquelafréquenceν=1/T,ontrouvelavitesseV=νλLapulsation ω=2πν=2π/Tsoit ω=2πV/λ=kVλ =V.T = (c/n)T donclalongueurd’ondedelalumièrechangelorsqu’ellepassed’unmilieuàunautre(maislafréquence ;ν=V/λ,nechangepas).

Chapitre1:Généralités

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A

ψ

-A

ψ périodeλ

périodeλ

A

-Ax

ψ(x, t) =ψ(x ±λ, t)ψ(x, t) =ψ(x, t ±T )

période T

période T

Onappellephasedel’ondemonochromatiquelaquantité:Surfaceéquiphase :ensembledepointspossédantlamêmephaseϕ=ctePouruneondeplanelessurfaceséquiphases sontdesplans

Pourl’ondeplane,lesplanséquiphases sontorthogonaux àladirectiondepropagationLaphases’écritcomme:

avec

et onretrouvel’expression

Chapitre1:Généralités

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ϕ0 phase à l’origine

Variationtemporelle aupointx=0

ϕ(x, t) =ω.(t − xV)+ϕ0

ψ(x,t)

ψ(0, t) = Acos(ωt +ϕ0 )

Equation du vecteur d’onde

ϕ(r, t) =ωt −k.r +ϕ0

r =OM

= x.ex + y.ey + z.

ez

L’ondeélectromagnétiquetransportel’énergiedepuislasource:parexemplelesrayonssolairesvoyagentdesmillionsdekmpouratteindrelaterreentransportantl’énergieémiseparlasource.Ladensitéd’énergieduchampélectriqueE estdonnéepar(exempleparuncondensateur):

aussiégaleàladensitéd’énergieportéeparlechampmagnétiqueB :

L’énergiequisepropagedansl’espacesousformed’ondeélectromagnétiqueestrépartiedefaçonégaleentreleschampsE etB.

Ladensitéd’énergietotaleportéeparl’ondeestdonc:

onretrouvelarelation

Chapitre1:Généralités

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Front d’onde ou Surface équiphase

VecteurdePoynting

uE =ε02E 2

uE = uB =12µ0

B2

u = uE +uB =ε02E 2 +

12µ0

B2

E =VB u = ε0E2 =

B2

µ0

R=1µ0E×B

Lalumièretransportedel’énergieavecundébitappeléfluxlumineuxφ oupuissanceoptiqueP.Elles’exprimeenWatt(W).L’intensitéoptiqueouéclairement estlapuissancetransportéeparunitédesurface. Ils’exprimeenWattparunitédesurface(W/m2):

Pouruneondeplanemonochromatiquedansunespacelibreetisotrope:

L’éclairementestdonnépar:

Chapitre1:Généralités

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ξ =dφdS

=uVΔtAΔtA

= uV =VB2

µ0=EBµ0

Surface traverséeA

NormeduvecteurdePoyntingR

Distance traverséeVΔt

ξ = R

=1µ0E×B=EBµ0

E =E 0 cos(k

.r−ωt) B

= B0 cos(k

.r−ωt)

ξ (r, t) = 1

µ0E(r, t)×B(r, t)

ξ (r, t) = n

cµ0

2

E(r,t)

Front d’onde ouSurface équiphase

Lesdétecteursélectromagnétiquespossèdentdestempsderéponseτ trèslongdevantlapérioded’oscillationdelalumière.Parexemple:l’œilhumainτ=0.05s,laphotodiodeτ≥10-10 sSachantquelapériodedelalumièrevisibleT ≈10-15s,lesoscillationsserontdonctrèsrapidespourêtredétectés. Ledétecteurn’estsensiblequ’àlavaleurmoyennetemporelledel’éclairement.SoitDonc

Etpouruneondeplane:

Chapitre1:Généralités

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ξ ∝ cos2(k.r −wt)

Puisquelapériodedeξ estT/2Pourcalculerlamoyennesurτ>T/2,ilsuffitdelacalculerpendantT/2:Paruncalculvisuel cos2ωt = 1

2

τ

ξ(r,t) =

1τ

ξ (r, t)dt

0

τ

∫

τ

ξ(r,t) =

T /2ξ(r,t) = ξ(r

,t) =

2T

ξ (r, t)dt

0

T /2

∫

ξ(r,t) =

ncµ0

2T

E(r, t)

2dt

0

T /2

∫

Lecalculdeladernièreintégrale:

L’éclairementestdoncproportionnelaucarrédel’amplitudeduchampélectrique quiportel’onde

LapuissanceoptiqueP rayonnéeparl’ondeélectromagnétiqueàtraversunesurfaceA,quis’exprimecommelefluxduvecteurR:

Onsecontentedecalculerlamoyennedecettegrandeur<P>caraucundétecteurnepeutsuivredes évolutionsaussirapides:

Lapuissancemoyennetransportéeparuneonde électromagnétique

Chapitre1:Généralités

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E(r, t)

2dt

0

T /2

∫ = E02 cos2(ωt − k

.r)

0

T /2∫ dt

=E02

21+ cos(2ωt − 2k

.r)#

$%&0

T /2∫ dt

=E02

2t + 1

2ω sin(2ωt − 2k.r)#

$%&0T /2

=TE0

2

4ξ = RT=2ncµ0T

TE02

4

ξ =nE0

2

2cµ0=ncε0E0

2

2 P = R.ndS(A)∫∫

P = R .ndS(A)∫∫ =

nA2µ0c

2 Re(E.E*)

Champcomplexe:

Sanorme

Enfinall’éclairementest:

Rappel surlesnotationscomplexes:

Chapitre1:Généralités

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E(r, t) = E0e

j (ωt−k . r )e

E(r, t).E

*(r, t) = E0

2

ξ (r, t) = KE02 =

KE(r, t).E

*(r, t)

K E(r, t).E

*(r, t)

τ

!

"#

$#

z = re jθ = x + jy = r(cosθ + j sinθ )

z* = re− jθ = x − jy = r(cosθ − j sinθ )

x =Re(z) = 12 (z+ z

*) = rcosθ

y = Im(z) = 12 j (z− z

*) = rsinθ

z

Cas d’oscillations normales

Cas d’oscillations rapides

• Doubleaspect(ondulatoireetcorpusculaire)delalumière.• Danscecoursnousnousrestreindronsàlathéorieondulatoire.• Lalumièreestuneondeélectromagnétiquecaractériséeparunepulsation,unvecteurd’onde,unelongueurd’ondeetunevitessedepropagationdépendantdumilieu.

• Prérequis:l’électromagnétisme• Continuité:ondesetmécaniquequantique

• L’équationd’onde:• 1ere Solution:OndePlane• L’éclairement:

• 2eme Solution:OndeSphérique

• Casgénéraldefluctuationsrapides:

Chapitre1:Résumé

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ΔE−1V 2

∂2E

∂t2= 0

ξ (r, t) = n

cµ0

2

E(r,t)

E(r, t) = E0e

j (ωt−k . r )e

ξ(r,t) =

ncµ0

2T

E(r, t)

2dt

0

T /2

∫

E(r, t) = A0

re j (ωt−k.r )e

• LienInternetpourcecours:• http://aamouche.e-monsite.com

• Ouvrages:• COURSDEPHYSIQUEOptique.AuteursJean-PaulParisot,PatriciaSegonds,SylvieLeBoiteux.2eédition(2003)Dunod,CollectionSciencesSup, ISBN2100068466

• OptiqueI:Optiquegéométrique.Auteurs:Soumetal.,TravauxDirigés1ercycle,HachetteSupérieur,ISBN:9782010179655

• Optiquegéométriqueetondulatoire.2ème édition(2000),Auteur:HubertLumbroso, Editeur:Dunod,Collection:J'intègre,ISBN:2-10-005006-0.

• Optique.4ieme Edition(2002),Auteur:EugeneHecht,EditionPearsonEducation,ISBN2-7440-7063-7

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